7/25/2019 1re S Ex. relations mtriques.pdf

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1reS Exercices sur les relations mtriques dans un triangle

1 Soit ABC un triangle tel que AB = 5, AC = 9 etBAC 60 .

Calculer BC (valeur exacte).

2 Soit ABC un triangle tel que AB = 7, AC = 4 etBAC 60 .

Calculer BC (valeur exacte).

3 Soit ABC un triangle tel que AB = 5, BC = 7 et CA 6 .

Dterminer la valeur arrondie au dixime de la mesure en degrs de langle BAC.

4 Soit ABC un triangle tel que BC = 9,ABC 65 et ACB 47 .

1) Calculer la valeur arrondie au dixime de AB.

2) Calculer la valeur arrondie au dixime de AC.

5 Soit ABC un triangle tel que AB = 6, BC = 8 et CA = 4.

On note I le milieu de [AB].Calculer CI (valeur exacte).

6 Soit A et B deux points tels que AB = 6.

Dterminer lensemble Edes points M du plan Ptels que lon ait MA MB 16

.

7 Soit A et B deux points tels que AB = 2.

Dterminer lensemble Edes points M du plan Ptels que lon ait 2 2MA MB 16 .

Corrig

1 Daprs la formule du ct dans le triangle ABC, on a :

2 2 2BC AB AC 2 AB AC cos BAC .2

BC 25 81 90 cos 60 2BC 61

BC 61

2 BC 37 (formule dAl Kashi)

3 On utilise la formule dAl Kashi.

1cos BAC5

;B AC 78,48... doncBAC 78,5 (valeur arrondie au dixime)

On peut calculer les mesures des autres a ngles du triangle ABC en rutilisant la formule dAl Kashi.

4 On utilise la loi des sinus.

AB 7,1 (valeur arrondie au dixime) ; AC 8,8 (valeur arrondie au dixime)

Quappelle-t-on rsolutiondun triangle ?On dit que lon rsout un triangle pour exprimer que lon calcule les mesures des cts et/ou des angles du

triangle que lon ne connat pas.

5 CI 31 (formule de la mdiane)

6 LensembleEest le cercle de centre I (milieu de [AB]) et de rayon 5.

On utilise une formule de la mdiane.

Solution dtaille

1re

partie : autre expression du premier membre

Soit I le milieu de [AB].

Daprs lune des formules de la mdiane,

M P 2

2 ABMA MB MI4

Donc M P 2MA MB MI 9

2epartie : chane dquivalences

M E si et seulement si MA MB 16

si et seulement si 2MI 9 16

si et seulement si 2MI 25

si et seulement si MI 5

3epartie : conclusion ; identification de lensemble

Lensemble Eest le cercle de centre I et de rayon 5.

Attention aux conclusions fausses :

Lensemble Edes points M du plan est le cercle de centre I et de rayon 5.

Faux ; en effet, lensemble des points du plan est le plan.

Lensemble Edes points M du plan tels que MA MB 16

est le cercle de centre I et de rayon 5.

Juste mais trop long.

7 Recherche dun ensemble de points

1repartie : autre expression du premier membre

Soit I le milieu de AB .

Daprs lune des formules de la mdiane,

M P 2

2 2 2 ABMA MB 2MI2

Donc M P 2 2 2MA MB 2MI 4

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2epartie : chane dquivalences

M E si et seulement si 2 2MA MB 16

si et seulement si 22MI 4 16

si et seulement si 2MI 6

si et seulement si MI 6

3epartie : conclusion ; identification de lensemble

Lensemble Eest le cercle de centre I et de rayon 6 .

Trac

Construction dun segment de longueur 6 .

2 26 .. . . .. (pas possible dcrire 6 comme somme de deux carrs dentiers naturels)

2 26 .. . .. . (pas possible dcrire 6 comme diffrence de deux carrs dentiers naturels)

Mthode de construction : mthode de Descartes

Ou 2

26 2 2

On sait construire un segment de longueur 2 la rgle et au compas (hypotnuse dun triangle rectangleisocle dont les cts de langle droit ont pour longueur 1).

On construit un triangle rectangle dont les cts de langle droit ont pour longueurs 2 et 2 .