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IntroductionSondage aléatoire à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire à probabilités égales sans remise

Comparaison des prélèvements PEAR et PESR

Sondage aléatoire à probabilités égales

Myriam Maumy-Bertrand1

1IRMA, Université de StrasbourgStrasbourg, France

Master 2ème Année 05-10-2011

Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire à probabilités égales



Ce chapitre s’appuie essentiellement sur trois livres :« Éléments de statistiques »,de Jean-Jacques Droesbeke,Université de Bruxelles, 2001.« Les techniques de sondage »de Pascal Ardilly,éditions Technip, 2006.« Exercices corrigés de méthodes de sondage »de Pascal Ardilly et de Yves Tillé,éditions Ellipses, 2003.




Sommaire

1 Introduction

2 Sondage aléatoire à probabilités égales avec remise

3 Sondage aléatoire à probabilités égales sans remise

4 Comparaison des prélèvements PEAR et PESR




DéfinitionUn sondage aléatoire est simple (SAS) si tous les échantillonsde taille n fixée a priori, prélevés au sein d’une population Ud’effectif N, sont réalisables avec la même probabilité.

RemarqueDans ce cas, les individus de la population U ont tous la mêmeprobabilité d’être choisis pour faire partie de l’échantillon S :leur probabilité d’inclusion est une constante.




Remarque

Rappelez ce qu’est une probabilité d’inclusion !

RéponseVous pouvez trouver la réponse :

soit en relisant le cours d’introductionsoit en lisant une définition p: 51 dans le livre de Ardillysoit en allant regarder sur le lien internet suivant :« images.math.cnrs.fr/pdf2006/Lejeune.pdf ».

RemarqueSi nous reprenons le choix d’une seule observation, chaqueindividu de la population U a une probabilité égale à 1/N d’êtreprélevé dans la population U afin de constituer l’échantillon S.




Il y a deux méthodes pour sélectionner des individus pourconstituer un échantillon S.

La première méthodeElle consiste à replacer chaque valeur observée dans lapopulation U avant le tirage suivant et cela n fois de suite.⇒ Prélèvement avec remise. Ce type de sondage est ditsondage à probabilités égales avec remise (PEAR).

La deuxième méthodeElle consiste à ne pas remettre l’individu dans la population U àchaque tirage.⇒ Prélèvement sans remise. Ce type de sondage est ditsondage à probabilités égales sans remise (PESR).




Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque

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1 Introduction








Propriété

Dans ce cas, il y a Nn échantillons S possibles.

RemarqueUn même individu peut-être sélectionné plusieurs fois !

Remarque

À chaque tirage, la population U est toujours la même.





Chaque valeur observée est prise indépendamment des autres.

PropriétéL’échantillon S est alors considéré comme une suite devariables aléatoires indépendantes et équidistribuées{Y1, . . . ,Yn}, où Yi est la valeur observée pour le i-èmeindividu sélectionné, telles que

∀i = 1, . . . ,n E [Yi ] = Y = µY et Var [Yi ] = σ2Y ,

où µY est la moyenne de la population U et σ2Y la variance de la

population U.





DéfinitionUn estimateur classique de la moyenne µ d’une population Use définit par

µn =1n

∑i∈S

Yi .

PropriétéUn calcul direct montre que

E [ µn ] = µY et Var [ µn ] =σ2

Yn·





RemarqueL’avant dernière égalité de la dernière propriété implique que µnest un estimateur sans biais de la moyenne µY de la populationU.

RemarqueDans l’expression de la variance de µn, nous remarquons quele terme de la variance σ2

Y de la population U intervient. Or,dans la plupart des cas, nous ne connaissons pas la varianceσ2

Y de la population U. Nous serons donc amené à construireun estimateur de la variance de µn.





DéfinitionUn estimateur de la variance de µn se définit par

Var [ µn ] =S2

cn,

où S2c désigne la variance corrigée de l’échantillon S.


E[

Var [ µn ]]=σ2

Yn·





Remarque

Rappelons que la variance corrigée S2c de l’échantillon S se

définit par

S2c =

1n − 1

∑i∈S

(Yi − µn)2

et que S2c est un estimateur sans biais de la variance σ2

Y de lapopulation U.

Remarque

De cette dernière propriété, nous en déduisons que S2c/n est

un estimateur sans biais de la variance de l’estimateur µn.





DéfinitionUn estimateur classique du total TY d’une population U sedéfinit par

Tn = Nµn =Nn

∑i∈S

Yi .


E[

Tn

]= TY et Var

[Tn

]= N2σ

2Yn·





RemarqueL’avant dernière égalité de la dernière propriété implique queTn est un estimateur sans biais du total TY de la population U.

Remarque

Dans l’expression de la variance de Tn, nous remarquons quele terme de la variance σ2 de la population U intervient. Or,dans la plupart des cas, nous ne connaissons pas la varianceσ2

Y de la population U. Nous serons donc amené à construireun estimateur de la variance de l’estimateur Tn.





Définition

Un estimateur de la variance de Tn se définit par

Var[Tn

]= N2 S2

cn,



E[

Var[Tn

] ]= N2σ

2Yn·





Remarque

De cette dernière propriété, nous en déduisons que N2 S2c

nest

un estimateur sans biais de la variance de l’estimateur Tn.





Rappelons que :

Définition

Un estimateur classique de la variance σ2 d’une population Use définit par

S2c =

1n − 1

∑i∈S

(Yi − µn)2 .

PropriétéDes calculs montrent que

E[

S2c

]= σ2

Y et Var[

S2c

]=

1n(n − 1)

[(n − 1)µ4,Y − (n − 3)σ4

Y

].





RemarqueL’avant dernière égalité de la dernière propriété implique queS2

c est un estimateur sans biais de la variance σ2Y de la

population U.

Remarque

Dans l’expression de la variance de l’estimateur S2c , nous

remarquons que le terme σ4Y , qui est le carré de la variance de

la population U, intervient ainsi que le moment d’ordre 4, µ4,Y .Or, dans la plupart des cas, nous ne connaissons ni σ4

Y , ni µ4,Y .Nous serons donc amené à construire un estimateur de lavariance de l’estimateur S2

c , si besoin est.





Le prélèvement avec remise est susceptible de fournirplusieurs fois un individu de la population. Deux situations seprésentent.

Les n tirages fournissent n individus distincts.Dans ce cas, S correspond à un sous-ensemble de U de taillen.

Les définitions de µn,Tn et S2c sont équivalentes si nous

renumérotons les individus de la population U de telle sorte que

S = {1, . . . ,n}.





Les n tirages fournissent m individus, où m < n.Dans ce cas, deux comportements sont à envisager.

Le premier consiste à prendre en compte les observationsautant de fois qu’elles ont été recueillies.Le second consiste de prendre la moyenne des m valeursdistinctes observées dont l’ensemble est désigné par Sm :

µm =∑

k∈Sm

Yk .

Il est clair que dans ce cas, la taille de n de l’échantillonn’est plus une constante mais devient elle-même une v.a.,fonction du processus de prélèvement.

Nous montrons que, en moyenne, µm est encore égal à µY .




DéfinitionEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la variance

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1 Introduction








DéfinitionUn sondage aléatoire est sans remise si l’observationprélevée au i-ème tirage n’est pas replacée dans la populationavant les prélèvements suivants. Ce type de sondage estappelé un sondage à probabilités égales sans remise (PESR)

RemarqueUn individu est choisi au plus une fois, chaque tirage faitdécroître la population U d’une unité.⇒ Les observations ne sont plus des variables aléatoiresindépendantes les unes des autres.





DéfinitionUn estimateur classique de la moyenne µ d’une population Use définit par

µn =1n

∑i∈S

Yi .

PropriétéDes calculs (Ardilly, pages 259 à 261) montrent que

E [ µn ] = µY ,

et

Var [ µn ] =N − nN − 1

σ2Yn

= (1− f )N

N − 1σ2

Yn

= (1− f )σ2

Y ,c

n·





RemarqueL’avant dernière égalité de la dernière propriété implique que µnest un estimateur sans biais de la moyenne µY de la population.

RemarqueSi la taille N de la population U est grande, la variance de µnvaut :

Var [ µn ] ≈ (1− f )σ2

Yn·

RemarqueDans l’expression de la variance de µn, nous remarquons quele terme de la variance corrigée σ2

Y ,c de la population Uintervient. Nous serons donc amené à construire un estimateurde la variance de µn.





Remarque

Rappelons que la variance corrigée S2c de l’échantillon S se

définit par

S2c =

1n − 1

∑i∈S

(Yi − µn)2

et que S2c est un estimateur sans biais de la variance corrigée

σ2Y ,c de la population U.

Remarque

De cette dernière propriété, nous en déduisons que (1− f )S2

cn

est un estimateur sans biais de la variance de l’estimateur µn.





DéfinitionUn estimateur classique du total T d’une population U sedéfinit par

Tn = Nµn =Nn

n∑i∈S

Yi .

PropriétéDes calculs (Ardilly, pages 196 à 198) montrent que

E[

Tn

]= TY et Var

[Tn

]= N2(1− f )

σ2Y ,c

n·





RemarqueL’avant dernière égalité de la dernière propriété implique queTn est un estimateur sans biais du total TY de la population U.

Remarque

Dans l’expression de la variance de Tn, nous remarquons quele terme de la variance corrigée σ2

Y ,c de la population Uintervient. Or, dans la plupart des cas, nous ne connaissonspas la variance corrigée σ2

Y ,c de la population U. Nous serons

donc amené à construire un estimateur de la variance de Tn.





Définition

Un estimateur de la variance de Tn se définit par

Var[Tn

]= N2(1− f )

S2Y ,c

n,



E[

Var[Tn

] ]= N2(1− f )

σ2c

n·





RemarqueDe cette dernière propriété, nous en déduisons que

N2(1− f )S2

cn

est un estimateur sans biais de la variance de

l’estimateur Tn.





Définition

Un estimateur de la variance σ2 d’une population U, dans lecas d’un sondage aléatoire à probabilités égales sans remise,se définit par

σ2n =

N − 1N

S2c =

N − 1N

1n − 1

∑i∈S

(Yi − µn)2 .





PropriétéDes calculs (Ardilly et Tillé, pages 43 à 49) montrent que

E[σ2

n

]= E

[N − 1

NS2

c

]= σ2

Y

et

Var[σ2

n

]=

(N − n)n(n − 1)N(N − 2)(N − 3)

×

{µ4,Y (N − 1) [N(n − 1)− (n + 1)]

−σ4Y

[N2(n − 3) + 6N − 3(n + 1)

]}.





Remarque

L’avant dernière égalité de la dernière propriété implique que σ2n

est un estimateur sans biais de la variance σ2Y de la population

U.

Remarque

Dans l’expression de la variance de l’estimateur σ2n, nous

remarquons que le terme σ4Y , qui est le carré de la variance de

la population U, intervient ainsi que le moment d’ordre 4, µ4,Y .Or, dans la plupart des cas, nous ne connaissons ni σ4

Y , ni µ4,Y .Nous serons donc amené à construire un estimateur de lavariance de l’estimateur σ2

n, si besoin est.




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1 Introduction







RemarqueLes deux méthodes conduisent toutes les deux à desestimateurs µn qui sont, en moyenne égaux au paramètre µYde la population.

RemarquePar contre les variances de µn ne sont pas égales !

Problème :Qui est le meilleur estimateur de la moyenne µY de lapopulation parmi ces deux estimateurs ?




Pour répondre à cette question, nous allons utiliser uneméthode.

RemarqueEn général, les estimateurs que nous devons comparer sont enmoyenne égaux au paramètre à estimer. Ils ne différent que parleur variance. (La variance est un paramètre de précision del’estimateur.)

PropositionPour comparer deux estimateurs ou deux méthodes quiproduisent des estimateurs différents, nous utilisons l’effet desondage.




DéfinitionL’effet de sondage est défini par :

D(θ∗|θ) =Var[θ∗]

Var[θ] ·

Remarque

Si D(θ∗|θ) < 1, alors θ∗ sera plus précis que θ.




Rappelons

Propriété

Var[µPEAR

]=σ2

Yn

et Var[µPESR

]=σ2

Yn

N − nN − 1

·

Il s’en suit que

D (PESR|PEAR) =N − nN − 1

·

Si n > 1, alors nous avons N − n < N − 1. Par conséquent,nous obtenons

D(PESR|PEAR) < 1.




ConclusionLa précision de l’estimateur est donc meilleure si nous utilisonsun échantillon aléatoire à probabilités égales sans remise qu’unéchantillon aléatoire à probabilités égales avec remise.

RemarqueCe dernier résultat est intuitif car il y a une perte d’informationdès que certains individus sont observés plus d’une fois, ce quiest impossible lors d’un tirage sans remise.




Remarques1 Si la taille de la population est grande, l’effet de sondage

est tel que

D(PESR|PEAR) =N − nN − 1

≈ N − nN

= 1− f ,

où f est le taux de sondage. L’amélioration de la précisionest d’autant meilleure que f est grand.

2 La différence entre les deux procédures faiblit quand lataille de l’échantillon est petite par rapport à celle de lapopulation, i.e. quand f est faible ! Dans ce cas l’effet desondage est proche de 1, les deux méthodes fournissentdes estimateurs de précision analogue.


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