la modélisation d'une série...

IntroductionModèles d’ajustement

Modèles autoprojectifs ou autorégressifsModèles explicatifs

Tendance et saisonnalité

La modélisation d’une série temporelle

Myriam Maumy1

1IRMA, Université Louis PasteurStrasbourg, France

Master 2ème Année 10-11-2008

Myriam Maumy La modélisation d’une série temporelle




Ce chapitre s’appuie essentiellement sur les trois ouvragessuivants :

1 « Introduction to Time Series and Forecasting »de Peter J. Brockwell and Richard A. DavisSecond Edition, Springer, 2002.

2 « Time Series : Theory and Methods »de Peter J. Brockwell and Richard A. DavisSecond Edition, Springer, 1991.

3 « Séries temporelles et modèles dynamiques »de Christian Gouriéroux et Alain MontfortDeuxième édition, Economica, 1995.





Sommaire

1 Introduction

2 Modèles d’ajustement

3 Modèles autoprojectifs ou autorégressifs

4 Modèles explicatifs

5 Tendance et saisonnalité





DéfinitionUn modèle est une image simplifiée de la réalité.

RemarqueUn modèle peut être meilleur qu’un autre pour décrire la réalité.

Questions principalesPlusieurs questions se posent tout de suite :

1 Comment mesurer cette qualité ?2 Comment diagnostiquer un modèle ?





RemarqueNous allons traiter, le mieux possible, ces questions au fur et àmesure de ce cours.

Une première liste de modèlesMais à présent nous voulons simplement donner une premièreliste non exhaustive qui pourra servir à résumer et à classifierles modèles que nous pourrons dévélopper lors de notretraitement statistique.





Le modèle classiqueLes différents ajustements

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1 Introduction










Présentation du modèleDans le traitement des modèles d’ajustement, il faut d’abordparler du « modèle classique de décomposition »

Xt = Ft + St + Et (2.1)

où les observations Xt sont modélisées comme superpositionadditive :

1 d’une composante fondamentale ou tendance,déterministe notée Ft ,

2 d’une composante saisonnière déterministe notée St et3 d’une composante résiduelle aléatoire notée Et .






RemarqueCe sera justement cette structure qui nous intéressera le pluspar rapport au développement d’un bon modèle à ajuster pourréaliser notre but ultime, la prévision.

RemarqueCe modèle classique connaît comme généralisation

Xt = f (t ,Et). (2.2)






Trois types d’ajustementPour pouvoir séparer les trois composantes servant à décrire lasérie observée, il est nécessaire de préciser leur moded’interaction. La plupart des séries chronologiques entrentdans l’un des schémas suivants. Nous rappelons les trois typesd’ajustement déjà rencontrés dans le chapitre 1 :

1 l’ajustement additif : Xt = Ft + St + Et

2 l’ajustement multiplicatif : Xt = Ft × St × (1 + Et)

3 l’ajustement mixte : Xt = Ft × St + Et .






Remarque

La modélisation de la composante notée g(t) de typedéterministe pose normalement peu de problèmes.Par contre la modélisation de la composante aléatoire Etnécessite la majorité de notre attention.Une possibilité pour une modélisation puissante est donnée parles modèles autoprojectifs ou encore appelés modèlesautorégressifs.





Sommaire

1 Introduction









RappelsAvant d’introduire les modèles autorégressifs, nous rappelonsquelques définitions.

DéfinitionUne suite de variables aléatoires (X1,X2, . . . ) est stationnairesi les espérances sont constantes, c’est-à-dire, pour tout i :

E[Xi ] = µ

et si les covariances sont stables par translation du tempsc’est-à-dire, pour tout h,

Cov[Xi ,Xi+h] = σ(h) pour tout i .





Remarques1 Une telle suite est appelée processus stationnaire.2 Var[Xi ] = σ(0) pour tout i. Donc la variance est constante.3 Si l’esperance µ est nulle, alors le processus est dit centré.





Définition1 La suite σ(h) est appelée fonction d’auto-covariance du

processus stationnaire.

2 La suite ρ(h) =σ(h)

σ(0)est sa fonction d’auto-corrélation.

Propriétés1 Ces suites sont symétriques.2 σ(0) > 0, sinon la suite est constante. Ceci justifie

l’utilisation de la corrélation.3 Par défintion ρ(0) = 1.





Quelques exemples de processus stationnaires1 Les bruits blancs ;2 les moyennes mobiles ;3 les processus autorégressifs d’ordre 1 ;4 etc.

RemarqueSavez-vous donner une définition des deux premiersexemples ?





DéfinitionUn modèle autoprojectif ou autorégressif est du type

Et = f (Et−1,Et−2, ..., εt),

où εt est une variable aléatoire qui est indépendante de lavariable aléatoire Et et qui ne porte pas de structure decorrélation intéressante.

RemarqueUne classe de tels modèles, particulièrement utiles pour laprévision, sont les modèles ARIMA. Comme nous le verronsdans un chapitre futur, cette classe permet d’atteindre à l’aided’un nombre de paramètres relativement limité une gamme demodèles très variés.





RemarqueLa signification de ce type de modèle est évidente : nousessayons d’expliquer la variable aléatoire Et par une relationfonctionnelle h(·) avec des valeurs du passé de cette variable,Et−1,Et−2, ..., mais en ajoutant un bruit aléatoire εt .εt est nécessaire pour distinguer dans cette modélisation unlien purement déterministe entre Et et les valeurs du passé.Notons que cette relation se trouve rarement en pratique : lelien fonctionnel donné par h restera toujours uneapproximation....





Un cas particulier pour h(·)Le cas particulier d’une relation fonctionnelle h linéaire estparticulièrement important.Il mène aux modèles autorégressifs linéaires.

ExempleUn modèle autorégressif linéaire d’ordre 2 avec les coefficientsa1,a2 s’écrit :

Et = a1 × Et−1 + a2 × Et−2 + εt ,

où εt est un « bruit blanc », c’est-à-dire, une variable aléatoirenon corrélée, d’espérance et de variance constante.





Définition mathématique

Étant donné un polynôme A(z) = 1 + a1z + a2z2 + · · ·+ apzp

de degré exactement p (c’est-à-dire ap 6= 0), dont toutes lesracines sont de module strictement supérieur à 1, la fonctionA(z)−1 se développe au voisinage de zéro en

1A(z)

=1

1 + a1z + a2z2 + · · ·+ apzp = 1+α1z+· · ·+αkzk +· · · .





Suite de la définitionSoit (εn)n>0 un bruit blanc centré dont la variance est égale àσ2. Le processus défini par

Xn = εn + α1εn−1 + · · ·+ αkεn−k + · · · pour tout n

est appelé processus autorégressif d’ordre p (ou encoreprocessus ARp) de polynôme caractéristique A et de bruitd’innovation (εn).





Remarque

Le polynôme A se décompose en A(z) = (1− z1z) . . . (1− zpz),où les zj sont les inverses des racines de A et sont, de ce fait,de module strictement inférieur à 1 (et non nécessairementréelles, évidemment). Du développement de chaque facteur(1− zjz)−1 = 1 + zjz + z2

j + · · · on peut déduire celui deA(z)−1, ce qui permet le calcul des coefficients αj , commenous le voyons dans l’exercice qui suit.





ExerciceExpliciter l’expression du processus autorégressif de polynômecaractéristique A dans chacun des cas suivants :

1 A(z) = 1− z +12

z2

2 A(z) = 1− 56

z +16

z2

3 A(z) = 1− 12

z2.





RemarqueLes processus autorégressifs d’ordre p sont des processusstationnaires.

Exerice

À démontrer !





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1 Introduction









GénéralisationPour une généralisation finale des modèles du type (2.2), nouscitons les modèles explicatifs du type

Xt = f (Vt ,Et)

où Vt représente une variable exogène ou un vecteur deplusieurs variables exogènes, qui sont soit déterministes, soitaléatoires.





À nouveau, nous distinguons deux types de modèlesexplicatifs :

1 un modèle statique,2 un modèle dynamique.

DéfinitionUn modèle statique est un modèle où toutes les variablesincluses sont observées au même temps t .

Exemple

Xt = a + b × Vt + Et .





DéfinitionUn modèle dynamique est un modèle où un décalagetemporel est inclu, c’est-à-dire qui s’écrit :

Xt = f (Xt−1, · · · ,Xt−p,Et).

RemarqueDe nouveau, l’inclusion des « perturbations aléatoires » Et dutype autoprojectif permettra une modélisation à la foispuissante et assez générale.

RemarqueNous rediscuterons de ces modèles dynamiques.





Élimination de la tendance en l’absence de saisonnalitéÉlimination de la tendance et de la saisonnalité

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1 Introduction










RappelLorsque nous souhaitons analyser une série chronologiqueprésentée sous la forme d’un tableau de chiffres, il faut toutd’abord représenter la série sous la forme d’un graphe.Dans les représentations graphiques distribuéesprécédemment, nous avons observé dans certains cas unecomposante déterministe qui se présente sous la formed’une tendance et/ou d’une saisonnalité.






RemarqueBien entendu, cette tendance ou cette saisonnalité ne sont pastoujours faciles à déceler. Il peut même arriver que des sériesne contiennent aucune de ces composantes déterministes. Ilse peut aussi que la tendance n’apparaisse qu’après avoirtransformé les données par une fonction, par exemple,logarithmique.

RemarqueNous supposerons que toute série chronologique Xt puisseêtre mise sous la forme de la décomposition (2.1), c’est-à-dire

Xt = Ft + St + Et






Quelques remarques sur les composantes du modèleLe paramètre Ft , la tendance, est soit une fonction décritepar un nombre fini de paramètres, par exemple, unefonction linéaire du temps ou une fonction polynômiale ent , soit, plus généralement, une fonction lisse en temps t.Le paramètre St , la saisonnalité, est une fonctionpériodique. Soit p la période de St , nous avons alors :St = St+p pour tout t . Nous supposerons également queSt ne contient pas de tendance, ce qui se traduit par :

p∑j=1

St+j = 0.






Suite des remarquesFt + St est la composante déterministe du modèle.Et est la composante aléatoire, supposée de moyennenulle (parce qu’elle représente les composantes (erreurs)non systématiques), mais possédant en général unestructure de corrélation non nulle. C’est bien évidemmentla partie la plus intéressante à modéliser. Nous verronscomment, sous certaines hypothèses, nous pourronsajuster un modèle pour Et qui permettra de prévoir lesvaleurs futures de la série chronologique. Notons que, siEt n’est pas de moyenne nulle, nous pourrons remplacerFt , par Ft + E[Et ], et Et sera remplacé par Wt = Et − E[Et ].






Dans un premier temps, nous allons estimer la composantedéterministe du modèle.Ainsi, nous n’aurons plus qu’à nous intéresser à la partiealéatoire qui constitue le véritable enjeu de ce cours.






Élimination de la tendance en l’absence de saisonnalitéSupposons, dans un premier temps, que la partie déterministedu modèle soit uniquement composée d’une tendance. Lemodèle s’écrit par conséquent :

Xt = Ft + Et . (5.1)

RemarqueNous présenterons dans ce chapitre trois méthodes pourestimer Ft .






Première méthode : Estimation paramétrique.Position du problèmeCette méthode consiste à estimer la tendance par la méthodedes moindres carrés ordinaires. Supposons que nousobservons une série d’obsevation et qu’il semble natureld’estimer la composante Ft de cette série par une fonctionlinéaire

Ft = a + bt ,

où a et b sont des estimateurs des coefficients de la fonctionlinéaire estimant Ft .






Estimation paramétrique. SuitePour trouver ces estimateurs par la méthode des moindrescarrés, il faut minimiser l’erreur quadratique commise enremplaçant Ft par Ft . En conséquence, si nous observons lasérie X1, ...,XT , il faut trouver les coefficients a et b quiminimisent

T∑t=1

(Xt − a− bt)2.






Estimation paramétrique. SolutionLa solution de ce problème de minimisation est

a =4T + 2T − 1

X − 6T (T − 1)

T∑t=1

tXt

b =6

T (T − 1)

(2

T (T + 1)

T∑t=1

tXt − X

).






RemarqueCependant, la modélisation linéaire de la tendance peut êtreparfois trop simpliste. Parfois, il faut s’attendre plutôt àrencontrer une tendance quadratique.

Ft = a + b × t + c × t2.

Remarque

Nous pouvons utiliser Ft pour prévoir les valeurs futures de lasérie.






Remarque

Cependant, si nous tenons compte des résidus Et = Xt − Ft ,nous pouvons améliorer cette prévision en tenant compte de lastructure de Et .En d’autres termes, si les résidus Et présentent descorrélations entre ses réalisations, nous pourra utiliser cetteaffirmation pour affiner la prévision par la tendance.Nous renvoyons au chapitre sur la prévision des processus nonstationnaires.






Deuxième méthode : Estimation non paramétrique.Position du problèmeDans certaines situations, il n’est pas facile de trouver le degrédu polynôme d’ajustement pour Ft .Parfois, il n’est pas possible d’utiliser la méthode des moindrescarrés car le polynôme utilisé au départ pour Ft n’est ni linéaire,ni quadratique.Nous pourrions utiliser un polynôme avec un degré élevé, maisle nombre de paramètres à estimer serait important et rendraitles calculs fastidieux.






Estimation non paramétrique. SolutionDans cette situation, nous avons recourt à la théorie nonparamétrique de l’estimation de la tendance, qui ne supposepas que la tendance soit polynomiale a priori. Pour comprendrecette technique, supposons que Ft soit linéaire dans unintervalle [t − q, t + q]. Dans ce cas, un bon estimateur de latendance est donné par :

Ft =1

2q + 1

q∑k=−q

Xt+k .






Estimation non paramétrique. Solution

Nous pouvons à présent calculer Ft pour chaque valeur de t encalculant cette moyenne sur les 2q observations autour de t .Nous pouvons aussi voir l’intervalle [t − q, t + q] comme une« fenêtre » sur les observations, que nous déplaçons lorsque tvarie.À chaque valeur de t , l’estimateur Ft calcule la moyenne desobservations tombant dans cette fenêtre glissante.Nous disons alors que nous effectuons une estimation parmoyenne mobile.






Troisième méthode : Méthode des différences itérées.Position du problèmeNous pouvons également éliminer la tendance sans l’estimer.Définissons tout d’abord l’opérateur de retard comme étant lafonction linéaire B qui, à toute donnée Xt fait correspondre ladonnée précédente Xt−1 :

B(Xt) = Xt−1.

Cet opérateur peut être utilisé récursivement, pour obtenirl’avant-dernière observation avant t :

B2(Xt) = Xt−2.






Méthode des différences itérées. Introduction d’opérateursNous pouvons écrire par récurrence sur n :

Bn(Xt) = Xt−n.

Nous introduit également l’opérateur de différence ∇ dontl’application à Xt fournit la différence entre Xt et la valeurprécédente Xt−1 de la série :

∇Xt = Xt − Xt−1.






Méthode des différences itérées. RemarqueEn vertu de la définition précédente, nous avons directement :

∇Xt = (1− B)Xt .

Tout comme avec l’opérateur B, nous pouvons itérer ∇ pourobtenir :

∇2Xt = Xt − 2Xt−1 + Xt−2.






Méthode des différences itérées. RemarquePlus généralement, l’opérateur de différence d’ordre d envoiela valeur Xt de la série observée sur la différence de Xt avec lavaleur prise par la série au temps t − d :

∇dXt = Xt − Xt−d .

Nous montrons, en exercice, que :

∇dXt = (1− Bd)Xt .






Méthode des différences itérées. SuiteSupposons à présent que la tendance Ft soit de la forme d’unpolynôme d’ordre k . Si nous appliquons à la tendance Ftl’opérateur de retard ∇ (d’ordre 1), nous obtenons

∇Ft =k∑

j=0

aj t j −k∑

j=0

aj(t − 1)j .






Méthode des différences itérées. Suite

En développant (t − 1)j , nous obtenons, que le membre dedroite devient :

k∑j=0

aj(t − 1)j =k∑

j=0

aj t j +k∑

j=1

bj−1t j−1

pour certains coefficients bj−1. Donc, ∇Ft devient :

∇Ft =k−1∑i=0

bi t i .






Méthode des différences itérées. SuiteNous noyons que l’opérateur ∇ a diminué l’ordre du polynômeFt . Ft est d’ordre k , tandis que ∇Ft est d’ordre k − 1. Dès lors,si nous appliquons k fois l’opérateur ∇ au polynôme Ft , nousobtenons :

∇kFt = k !ak = constante indépendante de t .

Donc, appliqué à l’équation (5.1), l’opérateur ∇k livre :

∇kXt = constante +∇kEt .






Méthode des différences itérées. ConclusionBien entendu, en pratique, nous ignorons le degré du polynômeFt . C’est pourquoi nous appliquons l’opérateur ∇ à la sérieobservée autant de fois qu’il est nécessaire pour obtenir unesérie ∇kXt dont la moyenne est nulle, et donc seule lacomposante aléatoire est présente. En pratique k est assezpetit : de l’ordre de 1, 2, 3.






Élimination de la tendance et de la saisonnalitéSupposons à présent que, en plus d’une composante« tendance », la partie déterministe du modèle comporte unecomposante saisonnière St . Le modèle s’écrit par conséquent :

Xt = Ft + St + Et ,

où St est une fonction périodique en t , c’est-à-dire St = St+ppour un certain p > 0 et ne comporte pas de composante« tendance ».






RemarqueL’élimination de la composante saisonnière, appelée ladésaisonnalisation d’une série chronologique, occupe uneplace non négligeable dans la littérature. L’importance pratiqued’une telle opération n’est pas toujours évidente a priori. Denombreuses méthodes de désaisonnalisation existent.

Méthodes de désaisonnalisationIl y a deux types de méthodes pour aborder ce problème.

1 Une méthode simple : déterminer par une méthodecomme la R.L., la méthode des M.M. ou la méthode desD.I., la composante saisonnière.

2 Une méthode plus élaborée : la méthode de Shiskin.


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