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ExemplesDéfinitions et notation

Quelques précautions à prendreQuelques problèmes posés par les séries temporelles

Représentations graphiques

Introduction aux séries chronologiques

Myriam Maumy1

1IRMA, Université Louis PasteurStrasbourg, France

Master 2ème Année 04-11-2007

Myriam Maumy Introduction aux séries chronologiques




Ce chapitre s’appuie essentiellement sur les trois ouvragessuivants :

1 « Introduction to Time Series and Forecasting »de Peter J. Brockwell and Richard A. DavisSecond Edition, Springer, 2002.

2 « Time Series : Theory and Methods »de Peter J. Brockwell and Richard A. DavisSecond Edition, Springer, 1991.

3 « Séries temporelles et modèles dynamiques »de Christian Gouriéroux et Alain Montfort2ème édition, Economica, 1995.





Sommaire

1 Exemples

2 Définitions et notation

3 Quelques précautions à prendre

4 Quelques problèmes posés par les séries temporelles

5 Représentations graphiques





Exemples1 Indice mensuel des prix à la consommation, base 100 en

juillet 1970,2 Trafic voyageur de la SNCF en deuxième classe,3 Accroissement relatif mensuel de l’indice des prix et de

son évolution à moyen terme, entre 1970 et 1978,4 Population des États-Unis, 1790-1980,5 Nombre de grèves aux États-Unis, 1951-1980,6 Nombre mensuel de décès accidentels aux USA,

1973-1978,7 Nombre mensuel de passagers des vols internationaux,

1949-1960.





Définition d’une série chronologiqueDéfinition de tendancesDéfinition de composantes périodiques ou saisonnièresDéfinition de la composante résiduelleNotationQuelques remarques

Sommaire

1 Exemples










DéfinitionUne série chronologique (ou encore série temporelle, ouencore chronique) est une suite finie formée d’observationsnumériques d’une grandeur (ici une variable aléatoire) Xt oud’un vecteur Xt =

(X (1)

t , X (2)t , . . .

)effectuées à intervalles

réguliers au cours du temps.






Nature de la variable mesuréeL’échelle de mesure et la variabilité de la grandeur sont tellesque celle-ci sera toujours représentée par une variablecontinue à valeurs réelles.Exemple : Le nombre mensuel de passagers aériensinternationaux aux États-Unis de 1949 à 1960, exprimé enmilliers, varie entre 104 et 622.






Fréquence des observationsLa fréquence des observations peut être journalière,hebdomadaire, mensuelle, trimestrielle, annuelle ou autre. Unechronique journalière sera observée pendant plusieurssemaines avec une périodicité de 5, 6 ou 7 jours selon le cas ;pour une chronique mensuelle (resp. trimestrielle) observée surplusieurs années, la période est égale à 12 (resp. 4).

DéfinitionsLa variable mesurée peut être l’état d’une grandeur à l’instantde mesure, nous parlons de niveau ou stock, ou le bilan d’uneactivité au cours de la dernière période écoulée à cet instant etnous disons qu’il s’agit d’un flux.






Exemples1 En météorologie, la température est un niveau et la

pluviométrie est un flux. Les relevés se font à heure fixe.2 En économie, l’indice des prix à la consommation est un

niveau et le taux d’inflation correspondant est un flux. Dansce cas, l’indice fait référence au mois bien qu’il résulte demesures pouvant être très étalées dans le temps.

3 En finance, un cours boursier est souvent considérécomme évoluant continûment bien que nous utilisons savaleur en ouverture de séance durant cinq jours parsemaine pour déterminer les rentabilités journalières puishebdomadaires ou mensuels par sommation.






Nous allons commencer par une définition générale puis nousdonnerons ensuite des définitions plus techniques.

DéfinitionLa composante fondamentale ou tendance (trend) traduitl’évolution à moyen terme du phénomène. Nous parlons ausside mouvement conjoncturel ou mouvement extra-saisonnier. Lasérie chronologique correspondante, notée Ft , t = 1, . . . , T , estune fonction à variation lente supposée déterministe dans cetteapproche. Elle sera estimée sous forme paramétrique (linéaire,polynômiale, logarithmique, exponentielle, etc) ou comme lerésultat d’une opération de lissage (le lissage sera traité dansun des chapitres suivants).






DéfinitionNous parlons de tendance linéaire lorsque la série peut sedécomposer en

Xt = a1 × t + a0 + Et , t = 1, 2, . . .

Plus généralement, nous parlons de tendance polynômialelorsque la série peut se décomposer en

Xt = ap × tp + ap−1 × tp−1 + · · ·+ a0 + Et , t = 1, 2, . . .

expression dans laquelle Et est un résidu où ne figure plus latendance et qui, de ce fait, a une allure relativement homogènedans le temps.






D’autres types de tendancesDe même, nous pourrons définir des tendances logarithmiques,exponentielles, etc.

Exemple

Le graphe représentant la population des États-Unis de 1790 à1980, semble à première vue présenter une tendancepolynômiale ou exponentielle. Pour trancher entre les deux,nous pouvons tracer le graphe du logarithme des données etvoir si il présente une tendance linéaire. Nous reviendrons parla suite sur les représentations graphiques.






DéfinitionNous parlons de tendance multiplicative lorsque la série peutse décomposer en

Xt = Tt × Et , t = 1, 2, . . .

où Tt prend l’une des formes (linéaire, polynômiale, etc)évoquées plus haut.C’est alors le logarithme des données (si elles sont positives !)qui présente une tendance additive.






Comme précédemment, nous allons d’abord donner unedéfinition générale de la composante saisonnière.

DéfinitionLa composante saisonnière ou mouvement saisonnierreprésente des effets périodiques de période connue p qui sereproduisent de façon plus ou moins identique d’une période àl’autre. La série chronologique correspondante, égalementdéterministe, est notée St , t = 1, . . . , T . Elle est généralementsupposée rigoureusement périodique : St+p = St et les valeursSj = Sij , j = 1, . . . , p d’une période sont appelées coefficientssaisonniers. Le bilan de l’effet saisonnier sur une période doitêtre nul car il est pris en compte dans la tendance.






RemarqueLa composante saisonnière permet simplement de distinguer àl’intérieur d’une même période une répartition stable dans letemps d’effets positifs ou négatifs qui se compensent surl’ensemble de la période.






Nous donnons maintenant une définition plus technique.

DéfinitionNous parlons de composante périodique, ou de périodicité,lorsque la série chronologique se décompose en

Xt = St + Et , t = 1, 2, . . .

où St est périodique (c’est à dire St+p = St pour tout t , où p estla période, supposée entière) et où Et est un résidunon-périodique et sans tendance.






Remarques1 Lorsque la période p est de 6 mois ou un an, comme c’est

le cas dans beaucoup de phénomènessocio-économiques, nous avons plutôt l’habitude de parlerde saisonnalité ou de composante saisonnière.

2 Comme précédemment, il arrive que nous ayons recours àun modèle multiplicatif.






RemarqueCertains phénomènes économiques étudiés à très long termeprésentent une composante cyclique (cycles d’activité) dont lapériode, de plusieurs années, est souvent mal définie. Cettecomposante est prise en compte dans la tendance sur lesséries de taille moyenne et ne sera pas étudiée en tant quetelle.






DéfinitionLa composante résiduelle ou variations accidentelles est lapartie non structurée du phénomène temporel étudié. Elle estmodélisée par une suite de variables aléatoires Et , t = 1, . . . , Tcentrées, non corrélées et de même variance, nous parlonsalors dans ce cas de bruit blanc.

RemarqueNous supposons généralement que la partie résiduelle a unordre de grandeur très inférieur à celui des parties explicativesFt et St . En fait il sera toujours possible de déceler la présenced’une partie déterministe, même de faible importance, àcondition que la série observée soit suffisamment longue.






Notation{Xt , t ∈ I} ou {Xt}t∈I ou encore {X (t), t ∈ I}, où I est unintervalle de temps.

Deux cas se présentent1 I = Intervalle de temps discret : t = 1, 2, . . . , T

où T = nombre d’observations. I ⊂ N = nombres entiers.Idée : Observations répétées avec une certaine fréquence.Exemples : une fois par jour, par mois, par an, etc.

2 I = Intervalle de temps continu. I ⊂ R, R+ avec la notation{X (t), t ∈ I}. Exemple : Des variables observées aumoyen d’un appareil de mesure comme les températures,etc.






Quelques remarquesNous comprenons facilement l’intérêt de connaître la tendancede la série. La composante saisonnière sert également àanalyser le phénomène temporel étudié et participe à la volontéde prévision (aspect que nous essayerons de développer toutau long de ce cours !)Cependant bien des séries économiques sont publiées endonnées corrigées des variations saisonnières (notées sériesCVS). De telles séries, dites désaisonnalisées, sont obtenuesen éliminant la composante saisonnière de la série initiale. Àcette fin la composante saisonnière est estimée en général defaçon non paramétrique.






Suite des remarquesLa série CVS gomme l’effet saisonnier en le répartissant defaçon uniforme sur toute la période et conserve ainsi lagrandeur observée dans son ensemble. En particulier ellecontient la composante résiduelle et ne doit pas être confondueavec la tendance. Elle permet de comparer directement deuxvaleurs consécutives.Le chômage peut augmenter d’un mois sur l’autre en donnéesbrutes alors qu’il baisse en données corrigées des variationssaisonnières.






Fin des remarquesMaintenant que nous avons introduit les trois composantesd’une série chronologique, nous allons introduire les différentsschémas existants.Pour pouvoir séparer les trois composantes, il est nécessairede préciser leur mode d’interaction. La plupart des sérieschronologiques entrent dans l’un des schémas suivants :

Schéma additif : Xt = Ft + St + Et

Schéma multiplicatif : Xt = Ft × St × (1 + Et)

Schéma mixte : Xt = Ft × St + Et .






Remarques1 En utilisant (1 + Et) dans le cas multiplicatif, nous

conservons la même signification et les mêmes propriétésà chacune des composantes Ft , St et Et dans les 3schémas de composition. Il est nécessaire de supposerque (1 + Et) reste positif dans le modèle multiplicatif car lacomposante résiduelle ne peut être responsable du signede la grandeur observée.

2 Dans les schémas multiplicatif et mixte, les oscillationsdues à l’effet saisonnier ont une amplitude proportionnelleà la valeur de la tendance. Nous utilisons cet argumentpour faire le choix entre le schéma additif et les autresschémas au vu de la représentation graphique de la série.






Remarques3 La distinction entre le schéma multiplicatif et le schéma

mixte peut également s’apprécier graphiquement selon lemême principe. Elle peut aussi relever de considérationssur l’origine des erreurs : une erreur structurelle (demodélisation) a des chances d’être proportionnelle à lagrandeur étudiée alors qu’une erreur de mesure pourraitne pas en dépendre.






ExempleLe trafic aérien aux Etats Unis entre 1949 et 1960 fournit unexemple où le schéma multiplicatif s’impose. Nous avons déjàremarqué que dans ce cas il fallait considérer le logarithme dela variable qui est alors expliqué par un schéma additif.






Remarques4 Par la suite nous ne considérerons plus que le cas additif.

Il peut être nécessaire d’appliquer plusieurs fois latransformation logarithmique.





La régularité des observationsLa stabilité des structures conditionnant le phénomèneLa permanence de la définition de la grandeur étudiéeL’aspect périodique d’une partie de la grandeur observée

Sommaire

1 Exemples










Quelques précautions à prendreLa régularité des observationsLa stabilité des structures conditionnant le phénomèneétudiéLa permanence de la définition de la grandeur étudiéeL’aspect périodique d’une partie de la grandeur observée.






La régularité des observations

Elle est parfaite dans le cas de certains relevésmétéorologiques mais c’est déjà moins vrai pour beaucoup devariables économiques ou financières puisque les mois necomportent pas le même nombre de jours, en particulier dejours ouvrables. Une correction par simple proportionnalité peutêtre envisagée mais elle change la signification concrète desvaleurs manipulées. En fait, de légères entorses à la règle sontprises en compte dans la composante résiduelle ou dans lacomposante périodique lorsqu’elles sont systématiques.Exemples : février, jours fériés de mai en France, etc.Par contre une période de grève nécessite plus de précautions.






La stabilité des structures conditionnant le phénomène observéLa plupart des séries chronologiques étudiées concernent desgrandeurs économiques et les techniques d’analyse cherchentà déterminer l’évolution lente du phénomène ainsi que sesvariations saisonnières (pour une meilleure compréhension ouà des fins de prévision). Cela suppose une certaine stabilitéqui, lorsqu’elle n’est pas vérifiée, peut être obtenue endécomposant la série chronologique observée en plusieursséries chronologiques successives (empiriquement à l’aided’une représentation graphique où à partir de la connaissancedes modifications de l’environnement économique).






La permanence de la définition de la grandeur étudiée

Cette condition, qui paraît évidente, n’est parfois pasrespectée. C’est en particulier le cas de certains indiceséconomiques (changement du mode de calcul de l’indice).






Aspect périodique d’une partie de la grandeur observée

Cette condition est indispensable dans l’usage des techniquescherchant à déterminer des variations saisonnières. Ellesuppose comparable deux observations relatives au mêmemois de deux années différentes. Elle n’exclut pas l’existenced’une évolution lente. Elle indique qu’une part du phénomène(la composante saisonnière) se répète de façon plus ou moinsidentique d’une année à l’autre. Dans ce cas, il est souventcommode d’indexer la chronique à l’aide de deux indices, yijreprésente l’observation du je mois de la ie année, et lesdonnées sont listées dans une table à double entrée.





La prévisionLa détection de rupturesL’élimination de la tendanceLa correction des variations saisonnièresLa causalité et le décalage temporel

Sommaire

1 Exemples










Quelques problèmes lors d’une étudeLa prévisionLa détection de ruptureL’élimination de la tendanceLa correction des variations saisonnièresLa causalitéLe décalage temporeletc.






DéfinitionPrévoir les valeurs futures XT+h, h > 1, à partir des valeursdonnées X1, ..., XT , par « les valeurs attendues en moyenne »,avec une incertidude à contrôler.

Notation

La valeur prédite ou encore la prévision sera notée X̂T+h ouencore X̂T (h).






RemarqueEn général, nous avons

X̂T+h 6= XT+h.

La différence est ce que nous appelons l’erreur de prédiction.

RemarqueNous pouvons quantifier cette erreur en utilisant l’erreurquadratique moyenne (EQM) :

E[(

X̂T+h − XT+h

)2]

.






RemarquePlus h est grand, plus cette erreur est grande aussi.

Une éventuelle solutionChercher un intervalle de prévision, susceptible de contenir lavaleur inconnue XT+h, noté par :[

X̂ (1)T+h, X̂ (2)

T+h

].






RemarqueLa prévision sert aussi :

1 à évaluer la qualité d’un modèle par application auxvaleurs Xt , t 6 T ,

2 à traiter les valeurs manquantes,3 mesurer l’effet d’un phénomène accidentel comme par

exemple une grève,4 etc.






ImportantAucune prévision n’est possible sans avoir une certainestructure, par exemple celle des « corrélations », ou encore ladépendance, dans les valeurs aléatoires Xt .

Un contre-exemple« Random walk », ce qui signifie une marche aléatoire.Une marche aléatoire est une somme de variables« purement » aléatoires.






ExemplesDes ruptures peuvent être engendrées par

1 un changement de politique,2 un changement de politique économique,3 etc.

Deux types de rupture1 Ruptures de niveau. Par exemple, le cours du PNB

espagnol a été fortement modifié en raison de la crisepétrolière de 1973.

2 Ruptures de pente. Par exemple, le taux d’échange entrela livre sterling et le dollar.






L’idéeIl faudra éliminer la tendance représentant l’évolution à moyenterme du phénomène étudié.

RemarquePourquoi ? Parce que cette tendance agit comme une fortecorrélation entre les variables Xt qui n’exprime aucune liaison àcaractère explicatif.






RemarqueNous verrons par la suite comment estimer et enlever cettetendance pour voir si de telles liaisons existent afin de n’étudierque les corrélations sans tendance qui sont les quantités quinous intéressent pour expliquer un phénomène observé.






L’idéeNous corrigerons les éventuelles variations saisonnières quirésultent d’un comportement cyclique dans la série observée.

ExempleConsidérons l’évolution du trafic des voyageurs qui utilisent lestrains de la SNCF. Dans cet exemple, nous observons unerelation directe entre la période de l’année (par exemple lemois d’août), et la fréquentation des trains.






RemarqueToute théorie d’analyse de séries chronologiques et deprévision devra tenir compte de ce phénomène.

RemarqueNous verrons comment éliminer cette saisonnalité afin de nousintéresser uniquement aux composantes aléatoires de la sériechronologique.






ExempleSi deux séries sont observées, nous pouvons nous demanderquelle influence elles exercent l’une sur l’autre.En notant (Xt) et (Yt) deux séries chronologiques observées,nous nous demandons, par exemple, s’il existe des relations dutype :

Yt = a1 × Xt−1 + a3 × Xt−3.






RemarqueDans ce dernier exemple, deux questions interviennent :

1 La question de la causalité.Quelle variable (ici c’est Xt ) va expliquer l’autre (ici c’estYt ) ? Ce qui amène la deuxième question.

2 La question du décalage temporel.Si une influence de (Xt) sur (Yt) existe, alors avec queldélai et pendant combien de temps la variable explicative(Xt) influence-t-elle la variable expliquée (Yt) ?





Représentation de la chroniqueReprésentation du mouvement saisonnier

Sommaire

1 Exemples










Représentation graphique

La représentation graphique des observations est une étapeindispensable avant d’entreprendre une analyse plus techniquede la chronique. Les points (t , yt), t = 1, . . . , T sont représentésdans un système d’axes orthogonaux (échelles arithmétiques).Ils sont joints chronologiquement par des segments de droitepour faciliter la visualisation. Cette représentation permetd’apprécier l’évolution lente du phénomène (tendance), dedégager les périodes de stabilité. Elle suggère parfois d’opérerune transformation de la grandeur.Exemple : C’est le cas pour le trafic aérien où, par exempleune transformation logarithmique peut être envisagée.






La tendanceL’interprétation de la tendance est délicate, lorsqu’elle estnaturellement liée au phénomène observé.Exemple : trafic aérien, indice des prix, etc.Elle est reproductible dans un contexte similaire et seraconsidérée comme déterministe. Par contre une tendanceapparente peut résulter du pur hasard comme dans l’exemplede la marche aléatoire. Dans ce cas elle est de naturestochastique et n’a pas d’interprétation autre que descriptive.






L’analyse d’une série chronologique

L’analyse d’une série chronologique ne doit pas se faire au vude ses seules valeurs numériques mais doit prendre en comptele contexte des observations. Cette représentation graphiqueest également utile pour le choix d’un modèle. L’aspectgraphique est un indicateur sommaire permettant d’opérer unpremier tri.






La composante saisonnièreLa représentation de la chronique peut faire apparaître, en plusde la tendance, un aspect périodique plus ou moins marqué depériode connue, 12 pour une chronique mensuelle, 4 pour unechronique trimestrielle,...Exemple : Il est très net dans le cas du trafic aérien.Une première appréciation de son importance est obtenuegraphiquement en représentant, pour une chroniquemensuelle, les courbes annuelles (sur 14 mois). Lareprésentation polaire de la chronique a le même objectif, elleest plus originale mais moins lisible.


introduction aux séries chronologiquesirma.math.unistra.fr/~mmaumy/enseignement/m2stats/cours1...5...

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