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CENT CINQUANTE-SEPT EXERCICES D’ALGÈBRE POUR LE SIXIÈME SEMESTRE DE LA LICENCE DE MATHÉMATIQUES 2012–2013 Michèle Audin 1. Anneaux, morphismes et idéaux Anneaux (1) . Exercice 1.1. Déterminer toutes les structures d’anneaux possibles sur les ensembles à deux et trois éléments. Exercice 1.2. On considère le groupe additif (Z/4Z, +). On suppose que est une multiplication sur ce groupe qui est commutative, associative, et distributive sur l’addition. L’élément 2 peut-il être élément neutre de ? Déterminer toutes les structures d’anneau sur Z/4Z. Exercice 1.3. Combien d’anneaux commutatifs (unitaires) y a-t-il, à isomorphisme près, de cardinal n, pour 0 n 6? Exercice 1.4. Soit A un anneau (commutatif mais pas nécessairement unitaire). On munit B = A × Z des lois (a, m)+(b, n)=(a + b, m + n) et (a, m) · (b, n)=(mb + na + ab, mn). Montrer que B est un anneau (commutatif et unitaire). Sous-anneaux. Exercice 1.5. Est-ce que {-1, 0, 1} est un sous-anneau de Z ? Exercice 1.6. Quels sont les sous-anneaux de Z ? Ceux de Z/n ? Morphismes. Exercice 1.7. L’application f : R[X ] R définie par P P (0) est-elle un homomorphisme d’an- neaux ? Et l’application g : R[X ] ---→ M (2; R) P ---→ P (0) P (0) 0 P (0) ? Exercice 1.8. Montrer qu’il n’existe pas de morphisme d’anneau de Z/3Z dans Z/4Z. Exercice 1.9. Soient A et A deux anneaux et A × A l’anneau produit (avec les deux lois (a, a )+(b, b )=(a + b, a + b ) (a, a )(b, b )=(aa , bb )). Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des homomorphismes d’anneaux? (1) A A × A , a (a, 0) (2) A A × A, a (a, a) (3) A × A A,(a, a ) a (4) A × A A,(a, a ) aa (5) A × A A,(a, a ) a + a (1) Sauf mention explicite du contraire, tous les anneaux sont supposés commutatifs et unitaires. Les intertitres sont indicatifs. Les quarante-cinq premiers exercices de cette liste sont à considérer comme des révisions du cours du semestre 5.

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CENT CINQUANTE-SEPT EXERCICES D’ALGÈBREPOUR LE SIXIÈME SEMESTRE

DE LA LICENCE DE MATHÉMATIQUES

2012–2013

Michèle Audin

1. Anneaux, morphismes et idéaux

Anneaux(1).

Exercice 1.1. Déterminer toutes les structures d’anneaux possibles sur les ensembles à deux et troiséléments.

Exercice 1.2. On considère le groupe additif (Z/4Z,+). On suppose que ? est une multiplication sur cegroupe qui est commutative, associative, et distributive sur l’addition. L’élément 2 peut-il être élémentneutre de ? ? Déterminer toutes les structures d’anneau sur Z/4Z.

Exercice 1.3. Combien d’anneaux commutatifs (unitaires) y a-t-il, à isomorphisme près, de cardinal n,pour 0 ≤ n ≤ 6 ?

Exercice 1.4. Soit A un anneau (commutatif mais pas nécessairement unitaire). On munit B = A×Zdes lois

(a,m) + (b, n) = (a+ b,m+ n) et (a,m) · (b, n) = (mb+ na+ ab,mn).Montrer que B est un anneau (commutatif et unitaire).

Sous-anneaux.

Exercice 1.5. Est-ce que {−1, 0, 1} est un sous-anneau de Z ?

Exercice 1.6. Quels sont les sous-anneaux de Z ? Ceux de Z/n ?

Morphismes.

Exercice 1.7. L’application f : R[X] → R définie par P 7→ P ′(0) est-elle un homomorphisme d’an-neaux ? Et l’application

g : R[X] −−−→ M(2; R)

P 7−−−→(P (0) P ′(0)

0 P (0)

)?

Exercice 1.8. Montrer qu’il n’existe pas de morphisme d’anneau de Z/3Z dans Z/4Z.

Exercice 1.9. Soient A et A′ deux anneaux et A×A′ l’anneau produit (avec les deux lois(a, a′) + (b, b′) = (a+ b, a′ + b′) (a, a′)(b, b′) = (aa′, bb′)).

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des homomorphismes d’anneaux ?

(1) A→ A×A′, a 7→ (a, 0)(2) A→ A×A, a 7→ (a, a)(3) A×A′ → A, (a, a′) 7→ a

(4) A×A→ A, (a, a′) 7→ aa′

(5) A×A→ A, (a, a′) 7→ a+ a′

(1)Sauf mention explicite du contraire, tous les anneaux sont supposés commutatifs et unitaires. Les intertitres sontindicatifs. Les quarante-cinq premiers exercices de cette liste sont à considérer comme des révisions du cours du semestre 5.

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2 MICHÈLE AUDIN

Exercice 1.10 (L’homomorphisme de Frobenius)Soit A un anneau de caractéristique p. Montrer que l’applicationde A dans lui-même définie par a 7→ ap est un homomorphismed’anneaux.

Exercice 1.11. Soit A un anneau (pas nécessairement unitaire).Montrer que (End(A,+),+, ◦) est un anneau (en général pascommutatif). Pour tout élément a de A, notons ma l’applicationx 7→ ax de A dans A.

(1) Montrer que l’application A→ End(A,+), a 7→ ma, est unmorphisme d’anneaux.

(2) Montrer que si A est unitaire, ce morphisme est injectif.(3) Donner des exemples où le morphisme A → End(A,+) dé-

fini ci-dessus est un isomorphisme, et d’autres où il n’en est pasun. Georg Frobenius

(1849–1917)

Unités.

Exercice 1.12. Soient A un anneau, a et b dans A. Montrer que ab est inversible si et seulement si a etb le sont.

Exercice 1.13. Pour tout entier n avec 0 ≤ n ≤ 12, faire la liste des éléments inversibles de Z/nZ, etde leurs inverses. Dans chacun des cas, identifier le groupe des éléments inversibles.

Exercice 1.14. On considère l’ensemble Z[i] des nombres complexes de la forme a + ib avec a, b ∈ Z.Montrer que Z[i] est un sous-anneau de C. Quelles sont ses unités ?

Exercice 1.15. Soit A un anneau. Un élément x de A est dit nilpotent s’il existe un entier n > 0 tel quexn = 0. Soit x dans A. Montrer que si x est nilpotent, alors 1− x est inversible (indication : calculerle produit (1− x)(1 + x+ x2 + · · · )).

Exercice 1.16. Soit A le sous-anneau (unitaire) de C engendré par 2i. Montrer que A est l’ensembledes a+ 2bi avec a et b des entiers. Faire la liste des éléments de A×.

Exercice 1.17. Soit n ∈ Z. Rappeler quelles sont les unités de Z/nZ. Montrer que l’application

Aut(Z/nZ,+) −−−→ Z/nZf 7−−−→ f(1 mod n)

induit un isomorphisme du groupe (Aut(Z/nZ,+), ◦) sur le groupe (Z/nZ)× des éléments inversiblesde l’anneau Z/nZ.

Intégrité, corps des fractions.

Exercice 1.18. On considère, comme dans l’exercice 1.9, un anneau produit A×A′. Est-il intègre ?

Exercice 1.19 (Anneaux de Boole). On dit qu’un anneau A est un anneau de Boole si, pour tout x ∈ A,on a x2 = x. On ne suppose pas ici a priori que A est commutatif, ni qu’il est unitaire.

(1) Vérifier que (Z/2Z,+,×) est un anneau de Boole.(2) Soit E un ensemble. On note P(E) l’ensemble des parties de E. On appelle ∆ la différence

symétriqueA∆B = A ∪B −A ∩B.

Vérifier que (P(E),∆,∩) est un anneau de Boole.(3) Soit A un anneau de Boole. Montrer que l’on a x+ x = 0 pour tout x ∈ A.(4) Montrer que tout anneau de Boole est commutatif.(5) Soit A un anneau de Boole. Soient x et y des éléments de A. Calculer xy(x + y). En déduire

qu’un anneau de Boole ayant au moins trois éléments ne peut pas être intègre.

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EXERCICES D’ALGÈBRE 3

Exercice 1.20. Soit X un ensemble. On considère l’ensemble

F(X) = {f : X → R}

de toutes les applications de X dans R, muni des lois + et · induites par celles de R. Vérifier que(F(X),+, ·) est un anneau. À quelle condition est-il intègre ?

Exercice 1.21. Soit A un anneau fini. Montrer que tout élément qui n’est pas diviseur de zéro estinversible. Et si on ne suppose pas que A est fini ?

Exercice 1.22. Un anneau fini est un corps si et seulement si il est intègre.

Exercice 1.23. Existe-t-il un anneau intègre à dix éléments ?

Exercice 1.24 (Propriété universelle du corps des fractions). Soient A un anneau intègre et K son corpsdes fractions. On suppose que ϕ : A → F est un homomorphisme injectif de A dans un corps F .Montrer qu’il existe un unique homomorphisme de corps Φ : K → F qui prolonge ϕ (en d’autrestermes, qui forme un diagramme commutatif comme ci-dessous).

A //

ϕ

K

��F

Exercice 1.25 (Localisation). Soit A un anneau intègre. On considère une partie S de A qui ne contientpas 0 et qui est stable par multiplication (on dit que S est une partie multiplicative de A). On appelleS-fraction toute fraction d’éléments de A dont le dénominateur est dans S (c’est-à-dire les a/b, a ∈ A,b ∈ S). Montrer que les classes d’équivalence des S-fractions forment un sous-anneau du corps desfractions de A. Voir aussi les exercices 1.42 et 2.16.

Exercice 1.26 (avec de la topologie). Soit C(R,R) l’anneau des applications continues de R dans R.Montrer que les diviseurs de zéro dans C(R,R) sont les f : R → R telles que f−1(0) est d’intérieurnon vide.

Exercice 1.27 (avec de l’analyse complexe). Soit U ⊂ C un ouvert, et soit A l’anneau des fonctionsholomorphes f : U → C. Montrer que A est intègre si et seulement si U est connexe et non vide.

Idéaux.

Exercice 1.28. Soit A un anneau (commutatif). Soit I un idéal de A. Montrer que les conditionssuivantes sont équivalentes :

(1) I = A ;(2) I contient un élément inversible de A.

Exercice 1.29. Montrer que l’anneau commutatif A est un corps si et seulement si il ne possède pasd’autre idéal que A et {0}.

Exercice 1.30. Soit A un anneau commutatif intègre. Soient a et b des éléments non nuls de A. Onnote (a) (resp. (b)) l’idéal de A engendré par a (resp. b). Montrer que les conditions suivantes sontéquivalentes :

(1) on a (a) = (b) ;(2) il existe un élément inversible u ∈ A tel que a = ub.

Exercice 1.31. Montrer que l’ensemble

I = {P ∈ Z[X] | P (0) est divisible par 5}

est un idéal de l’anneau Z[X] et que cet idéal n’est pas principal.

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4 MICHÈLE AUDIN

Exercice 1.32. Soient I et J deux idéaux d’un anneau commutatif (A,+, ·). On définit une partie I+ J

de A parI + J = {b+ c | b ∈ I et c ∈ J} .

Montrer que I + J et I ∩ J sont des idéaux de A. Qu’en est-il de I ∪ J ? Et de l’ensemble des produitsxy, avec x ∈ I, y ∈ J ? On définit

IJ ={a ∈ A | ∃n ∈ N,∃x1, . . . , xn ∈ I, ∃ y1, . . . , yn ∈ J | a =

n∑i=1

xiyi

}.

Montrer que IJ est un idéal, que IJ ⊂ I ∩ J. A-t-on égalité ? Et si on suppose que I + J = A ?On suppose que A = Z, que I = (m) et que J = (n). Déterminer deux éléments r et s de Z tels que

I + J = (r) et I ∩ J = (s).

Exercice 1.33. Montrer que tout anneau commutatif intègre fini non nul est un corps(2).

Exercice 1.34. Soit A un anneau commutatif. On note N l’ensemble des éléments nilpotents de A (voirl’exercice 1.15). Montrer que N est un idéal de A. Déterminer N pour A = Z/12, A = Z/n, A = Z.

Exercice 1.35. Soient I et J deux idéaux d’un anneau A. Montrer que la classe d’un élément de I ∩ J

dans A/IJ est nilpotente.

Exercice 1.36 (Radical). Soit A un anneau commutatif. On appelle radical d’un idéal I de A l’ensemblenoté R(I) formé des x ∈ A tels qu’il existe un entier n ≥ 1 vérifiant xn ∈ I.

(1) Soit I un idéal de A. Montrer que R(I) est un idéal de A. Montrer que l’on a I ⊂ R(I) etR(R(I)) = R(I).

(2) Soient I et J des idéaux de A. Montrer que l’on a R(I ∩ J) = R(I) ∩R(J).(3) Quel est le radical de {0} ?

Exercice 1.37. Soient A et B des anneaux commutatifs et f : A → B un morphisme d’anneau. Soit Jun idéal de B. On pose I = f−1(J). Montrer que I est un idéal de A. Montrer que si J est un idéalpremier de B, alors I est un idéal premier de A.

Exercice 1.38. On suppose que l’idéal {0} est maximal. Que peut-on dire de l’anneau ?

Exercice 1.39. Soient X un ensemble et K un corps commutatif. On considère l’ensembleF(X) = {f : X → K}

de toutes les applications de X dans K, muni de sa structure naturelle d’anneau (c’est-à-dire des lois+ et · induites par celles de K).

(1) Déterminer les éléments inversibles de l’anneau F(X).(2) Soit x0 ∈ X. Montrer que l’ensemble Mx0 défini par

Mx0 = {f ∈ F(X) | f(x0) = 0}est un idéal maximal de F(X).

Exercice 1.40 (avec de la topologie). Soit a dans R. Posons A = C(R,R) et I = {f ∈ A | f(a) = 0}.(1) Montrer que I est un idéal de A.(2) Montrer que I n’est pas principal.(3) Que se passe-t-il si on remplace A par R[X], ou par C∞(R,R), ou par RR ?

Exercice 1.41 (Examen S5, septembre 2007). Étant donné un anneau A, on désigne parN(A) l’ensembledes éléments non inversibles de A.

(1) Déterminer N(A) pour A = Z, pour A = Z/4Z et pour A = Z/6Z. On dit qu’un anneau A estun anneau local si l’ensemble N(A) est stable pour l’addition, c’est-à-dire si l’on a a+ b ∈ N(A) quelsque soient a ∈ N(A) et b ∈ N(A).

(2) Montrer que si A est un anneau local, alors N(A) est un idéal.(3) L’anneau Z est-il un anneau local ?

(2)Déjà dit...

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EXERCICES D’ALGÈBRE 5

(4) Montrer que l’anneau Z/4Z est un anneau local mais que l’anneau Z/6Z n’est pas un anneaulocal.

(5) Soit A un anneau local. Montrer que N(A) est un idéal maximal de A et ensuite que N(A) estl’unique idéal maximal de A.

(6) On se donne un entier n ≥ 2. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :(a) Il existe un nombre premier p et un entier α ≥ 1 tels que n = pα.(b) L’anneau Z/nZ est un anneau local.

Exercice 1.42. Soient A un anneau intègre, K son corps des fractions, et P un idéal premier de A.Montrer que A − P est une partie multiplicative de A (comme dans l’exercice 1.25). On a ainsi unsous-anneau

AP = {a/b | a ∈ A, b ∈ A− P} ⊂ K.Déterminer ses idéaux maximaux.

Anneaux quotients.

Exercice 1.43. Montrer que l’anneau quotient Z[i]/(1 + 3i) est isomorphe à Z/10Z.

Exercice 1.44 (une petite vérification). Dire, dans cette liste d’isomorphismes d’anneaux, ce qui est vraiet ce qui est faux :

(1) Z/2× Z/3 ∼= Z/6(2) Z/2× Z/4 ∼= Z/8(3) Z/2× Z/5 ∼= Z/10(4) Z/2× Z/3× Z/3 ∼= Z/18

(5) Z/2× Z/9 ∼= Z/18(6) Z/10× Z/5 ∼= Z/2× Z/25(7) Z/12 ∼= Z/2× Z/2× Z/3

Anneaux de polynômes.

Exercice 1.45. Soient k un corps, a dans k et P dans k[X].(1) Montrer que le reste de la division euclidienne de P par X − a est P (a).(2) Montrer que P (a) = 0 si et seulement si P appartient à l’idéal principal (X − a) de k[X].(3) Supposons que P 6= 0. Montrer qu’il existe au plus degP éléments x ∈ k tels que P (x) = 0.

Exercice 1.46. Montrer que dans l’anneau Z[X] l’idéal (X) est premier mais non maximal.

Exercice 1.47. Soient A un anneau intègre et a dans A. Notons εa : A[X]→ A l’application P 7→ P (a)qui évalue P en a.

(1) Montrer que εa est un morphisme d’anneaux.(2) Montrer que εa est surjectif.(3) Montrer que Ker(εa) est l’idéal (X − a) engendré par X − a, et que εa induit un isomorphisme

de A[X]/(X − a) vers A.

Exercice 1.48 (Principe de substitution). Soit ϕ : A→ A′ un morphisme d’anneaux.(1) Soit α ∈ A′. Montrer qu’il existe un unique morphisme Φ = A[X]→ A′ qui coïncide avec ϕ sur

les polynômes constants et qui envoie X sur α.(2) Soit π : Z→ Z/p la projection canonique (p est un nombre premier). Montrer que π se prolonge

en un morphisme d’anneaux Z[X]→ Z/p[X].(3) Montrer qu’il existe un unique isomorphisme d’anneaux A[X,Y ] → A[X][Y ] qui est l’identité

sur les constantes et envoie X sur X et Y sur Y .(4) Montrer qu’il existe un homomorphisme d’anneaux injectif R[X1, . . . , Xn] → C0(Rn; R) qui

envoie un polynôme en n variables sur la fonction continue qu’il détermine.

Exercice 1.49. Montrer que l’anneau quotient C[X,Y ]/(XY ) est isomorphe au sous-anneau de l’anneauproduit C[X]×C[Y ] constitué des couples (P,Q) tels que P (0) = Q(0).

Exercice 1.50. Déterminer les idéaux maximaux des anneaux suivants :

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6 MICHÈLE AUDIN

(1) R ×R(2) R[X](X2)

(3) R[X]/(X2 − 3X + 2)(4) R[X]/(X2 +X + 1)

Exercice 1.51 (Le Nullstellensatz (théorème des zéros) de Hilbert). Le but de cet exercice est de démon-trer que les idéaux maximaux de l’anneau de polynômes C[X1, . . . , Xn] sont les noyaux des applicationsd’évaluation

εa : C[X1, . . . , Xn] −−−→ Cpour a = (a1, . . . , an) ∈ Cn, c’est-à-dire les idéaux engendrés par les polynômes X1− a1, . . . , Xn− an.

(1) Soit Ia ⊂ C[X1, . . . , Xn] le noyau de εa. En développant unpolynôme par la formule de Taylor en a, montrer que Ia est bienl’idéal (X1 − a1, . . . , Xn − an).

(2) Soit I un idéal maximal de C[X1, . . . , Xn] et soit K le corpsC[X1, . . . , Xn]/I. On appelle π1 : C[X1] → K la restriction de laprojection canonique. Montrer que, si π1 n’est pas injective, alorsson noyau est un idéal maximal de C[X1].

On montre maintenant que π1 n’est pas injective. Supposonsπ1 injective. En déduire que K contient un sous-corps isomorpheà C(X1). Montrer que K est un espace vectoriel complexe dedimension dénombrable et que C(X1), comme espace vectorielcomplexe, est de dimension non dénombrable. Indication : utiliserla décomposition en éléments simples des fractions rationnelleset la non-dénombrabilité de C. D’où une contradiction, et lanon-injectivité de π1.

(3) Montrer que I contient un idéal de la forme X1 − a1 et, demême, que I contient un idéal de la forme Xk − ak pour tout k.Donc I est contenu dans le noyau d’une application d’évaluation.Conclure.

David Hilbert(1862–1943)

Exercice 1.52. Peut-on remplacer C par R dans l’énoncé du Nullstellensatz ?

Exercice 1.53. Montrer que l’idéal (X + Y 2, Y +X2 + 2XY 2 + Y 4) ⊂ C[X,Y ] est maximal.

2. Factorisation, division euclidienne, etc.

Exercice 2.1. Soient a et b deux entiers positifs dont la somme est un nombre premier. Montrer qu’ilssont premiers entre eux.

Exercice 2.2. Soit n un entier positif qui n’est pas le carré d’un nombre entier. Montrer que√n 6∈ Q.

Exercice 2.3. Effectuer (en la posant) la division euclidienne de 3X5+X4−6X2+5X−1 par 2X3−X+1.

Exercice 2.4. Quel est le pgcd des deux polynômes X3 − 6X2 +X + 4 et X5 − 6X + 1 ?

Exercice 2.5. Faire la division euclidienne, dans F2[X], de X64 +X par X16 +X.

Exercice 2.6. En utilisant la division euclidienne, montrer que Z[i] ∼= Z[X]/(X2 + 1). En déduire queZ[i]/(p) ∼= Z/p[X]/(X2 + 1).

Exercice 2.7. Soit K un corps. Montrer qu’il existe dans K[X] une infinité de polynômes irréductiblesdont le coefficient dominant est 1.

Exercice 2.8. Soit P ∈ Q[X] le pgcd des deux polynômes f, g ∈ Q[X]. Montrer que P est aussi leurpgcd dans C[X].

Exercice 2.9. Montrer que, dans un anneau factoriel, les idéaux maximaux sont les idéaux principauxengendrés par les éléments irréductibles.

Exercice 2.10. Vrai ou faux ?

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EXERCICES D’ALGÈBRE 7

(1) R[X,Y ] est un anneau euclidien.(2) Z[X] est un anneau principal.(3) Z[X,Y ] est un anneau factoriel.

(4) Un anneau factoriel est principal.(5) Un anneau euclidien est principal.(6) Un anneau euclidien est factoriel.

Exercice 2.11. Soit A un anneau. Montrer que A[X] est principalsi et seulement si A est un corps.

Exercice 2.12. Montrer que Z[e2iπ/3] et Z[i√

2] sont des anneauxeuclidiens.

Exercice 2.13. Soient m et n deux entiers. Montrer que leur pgcddans Z est le même que leur pgcd dans Z[i]. On suppose que mdivise n dans Z[i]. Montrer que m divise n dans Z.

Exercice 2.14. Montrer que les éléments irréductibles de Z[i] sont,aux unités près,

(1) les entiers premiers p ∈ N avec p ≡ 3 mod.4,(2) les entiers de Gauss a + ib dont la norme a2 + b2 est un

nombre premier. Carl Friedrich Gauss(1777–1855)

Exercice 2.15 (Anneaux intégralement clos). Soient A un anneau intègre et K son corps des fractions.On dit qu’un élément x de K est entier sur A s’il vérifie une équation

xn + an−1xn−1 + · · ·+ a0 = 0 avec ai ∈ A.

On dit que A est intégralement clos si pour tout x ∈ K, x entier sur A implique x ∈ A.(1) Montrer qu’un anneau factoriel est intégralement clos.(2) Soit d = δ2. On suppose que l’entier d est sans facteur carré. Montrer que si d ≡ 1 mod.4, Z[δ]

n’est pas intégralement clos. Indication : considérer 1 + δ

2 .

Exercice 2.16. Soit A un anneau euclidien (pour une application σ). Soit K l’anneau des fractionsde A. On fixe un s 6= 0 dans A et on considère

As ={x ∈ K | x = a

sn, n ∈ N

}.

Montrer que As est un anneau euclidien (pour une application σ̃ que l’on précisera).

Exercice 2.17. Soit A un anneau factoriel. On suppose que, pour tous a, b ∈ A, l’idéal (a, b) estprincipal. Montrer que A est factoriel.

Exercice 2.18. On dit qu’un nombre algébrique (sur Q) est un entier algébrique s’il est racine d’unpolynôme unitaire à coefficients entiers :

P (X) = Xn + an−1Xn−1 + · · ·+ a0, ai ∈ Z.

(1) Montrer qu’un nombre algébrique est un entier algébrique si et seulement si le polynôme irré-ductible unitaire dans Q[X] qui l’annule est dans Z[X].

(2) Montrer qu’un nombre rationnel est un entier algébrique si et seulement si c’est un entier (c’est-à-dire, si et seulement si il est dans Z).

(3) On suppose que α est un nombre algébrique et racine d’un polynôme irréductibleanX

n + an−1Xn−1 + · · ·+ a0, an 6= 0, ai ∈ Z.

Montrer que anα est un entier algébrique.

(4) Les nombres algébriques suivants sont-ils des entiers algébriques i, i2 ,12(1 +

√2), −1

2 + i

√3

2 ?

Dans la suite, on fixe un entier d ∈ Z sans facteur carré, une de ses racines carrées δ ∈ C (δ2 = d)et le corps Q(δ).

(5) Montrer que le polynôme X2− 2aX + a2− db2 annule a+ bδ. Montrer que a+ bδ (a, b ∈ Q) estun entier algébrique si et seulement si a2 − db2 et 2a sont des entiers (sont dans Z).

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8 MICHÈLE AUDIN

(6) Déterminer les entiers algébriques du corps Q[i].(7) Montrer que les entiers algébriques de Q(

√2) sont les a+ b

√2, avec a, b ∈ Z.

(8) Est-il vrai que les entiers algébriques de Q(i√

3) sont les a+ ib√

3, avec a, b ∈ Z ?

Exercice 2.19. On considère l’anneau A = C[X,Y ]/(Y 2 −X3). On appelle x et y les images de X etY dans A.

(1) Montrer que A est un anneau intègre.(2) Montrer que les formules ϕ(x) = T 2, ϕ(y) = T 3 définissent un homomorphisme ϕ : A→ C[T ].

Montrer que ϕ est injectif et déterminer son image.(3) Montrer que le corps des fractions de A est isomorphe à C(T ). En déduire que A n’est pas

intégralement clos (voir l’exercice 2.15 et considérer T ) et donc pas factoriel.

Exercice 2.20. Par une méthode de type « crible », déterminer tousles polynômes irréductibles de degré ≤ 4 à coefficients dans Z/2.Montrer que le polynômeX4−6X3+12X2−3X+9 est irréductibledans Q[X].

Exercice 2.21. Soit P ∈ C[T,X] un polynôme à deux indétermi-nées, que l’on écritP (T,X) = An(T )Xn + · · ·+A1(T )X +A0(T ), Ai ∈ C[T ].

On suppose que A0, . . . , An−1 sont divisibles par T , An ne l’est pas,et A0 n’est pas divisible par T 2. Montrer que P est irréductibledans C(T )[X]. On suppose de plus que P n’est pas divisible parun polynôme (non constant) en T . Montrer que P est irréductibledans C[T,X].

Gotthold Eisenstein(1823–1852)

Pathologies (dramatisations de contre-exemples).

Exercice 2.22. L’anneau Z[X] est un anneau factoriel (pourquoi ?). Dans cet anneau, montrer que 1est le pgcd de 2 et X. Peut-on écrire 1 comme combinaison linéaire de 2 et X ?

Exercice 2.23. Dans Z/8[X], calculer (X + 3)(X − 3). En déduire que le polynôme X2 − 1 a quatreracines dans Z/8. L’anneau Z/8[X] est-il factoriel ?

Exercice 2.24. Dans l’anneau Z[i√

5], montrer que les éléments 2, 3, 1+i√

5, 1−i√

5 sont irréductibles.Montrer que les unités de cet anneau sont 1 et −1. En déduire que l’anneau n’est pas factoriel.

Exercice 2.25. Soient K un corps et A l’anneau K[X1, . . . , Xn, . . . ]/I des polynômes à une infinité devariables sur K avec les relations I = (X2

2 −X1, . . . , X23 −X2, . . . , X

2n+1 −Xn, . . . ). Montrer que cet

anneau contient une chaîne ascendante infinie d’idéaux principaux. Et en particulier qu’il n’est pasnoethérien(3).

(3)La tendance est de considérer comme pathologiques les anneaux qui ne sont pas noethériens.

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EXERCICES D’ALGÈBRE 9

Exercice 2.26. Dans cet exercice, K est un corps. On considère

A ={P ∈ K[X,Y ] | P (X,Y ) =

∑i>j

XiY j}.

Montrer que A est un sous-anneau de K[X,Y ] et que,comme algèbre sur K, il est engendré par les monomesX,X2Y, . . . ,Xi+1Y i, . . . . Montrer que A n’est pas noethérien.

Exercice 2.27. On considère l’anneau O(C) des fonctions holo-morphes sur C tout entier (fonctions entières).

(1) Montrer que c’est un anneau intègre (voir plus généralementl’exercice 1.27).

(2) SoitIk = {f ∈ O(C) | f(n) = 0 ∀n entier ≥ k} .

Montrer que Ik est un idéal de O(C).(3) Montrer que O(C) n’est pas noethérien.

Emmy Noether(1882–1935)

3. Modules

Exercice 3.1 (La définition d’un module).(1) Soit M un A-module. Montrer que M est un Z-module.(2) Soit A un anneau, considéré comme module sur lui-même. Déterminer tous les morphismes de

module de A dans A.(3) Soient F un sous-module d’un A-module E, F ′ un sous-module d’un A-module E′, et ϕ : E → E′

un morphisme de A-modules. Montrer que ϕ(F ) est un sous-module de E′ et que ϕ−1(F ′) est un sous-module de E.

(4) Montrer que l’ensemble L(E) des endomorphismes d’un A-module E est un anneau (non com-mutatif).

(5) Déterminer l’anneau des endomorphismes de E pour E = A, E = A/I (pour un idéal I de A).

Exercice 3.2. Soit G un groupe abélien fini (non nul). Montrer qu’il n’existe aucune structure de Q-module sur G.

Exercice 3.3 (Annulateur d’un module). Ici encore, E est un A-module. Montrer que l’ensemble

I = {a ∈ A | a · E = 0}

est un idéal de A. Déterminer I quand A = Z et E = Z/2× Z/3× Z/4.

Exercice 3.4. Soient C et D deux sous-modules d’un A-module E.(1) On suppose que C ⊂ D ; décrire des homomorphismes naturels reliant les trois modules quotients

E/C, E/D, D/C. Montrer queE/D ∼= (E/C)/(D/C)

(« troisième théorème d’isomorphisme »).(2) On revient au cas général. Montrer que C ∩D et C +D sont des sous-modules de E et montrer

que(C +D)/C ∼= D/(C ∩D)

(« deuxième théorème d’isomorphisme »).

Exercice 3.5 (Modules simples). Un A-module est dit simple s’il n’est pas nul et s’il n’a pas de sous-module propre.

(1) Montrer que tout module simple est isomorphe à A/m, où m est un idéal maximal de A.(2) Soit ϕ : E → E′ un morphisme de A-modules. On suppose que E et E′ sont simples. Montrer

que, soit ϕ est nul, soit c’est un isomorphisme.(3) Montrer que l’anneau des endomorphismes d’un module simple est un corps.

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10 MICHÈLE AUDIN

4. Modules libres, bases, etc

Exercice 4.1. Soit I un idéal d’un anneau A. Montrer que I est un A-module libre si et seulement s’ilest principal et engendré par un élément qui n’est pas diviseur de 0 dans A.

Exercice 4.2 (Bases). Vrai ou faux ?

(1) Si le quotient A/I de l’anneau A par l’idéalI est libre, alors I = 0.

(2) Tout système de générateurs d’un modulelibre de rang fini contient une base.

(3) Tout système libre d’un module libre derang fini peut se compléter en une base.

Exercice 4.3. Mettre les matrices entières suivantes sous forme diagonale par opérations élémentairessur les lignes et les colonnes.

(1)(

3 1−1 2

)(2)

(1 2 34 5 6

)(3)

3 1 −42 −3 1−4 6 −2

Exercice 4.4. On considère le sous-groupe L ⊂ Z2 image de la matrice

(2 −11 2

). Dessiner L et déter-

miner une base de Z2 dont des multiples forment une base de L.

Exercice 4.5. Trouver une base du sous-module de Z3 engendré par (1, 0,−1), (2,−3, 1), (0, 3, 0), (3, 1, 5).Même question pour le sous-module formé des solutions du système{

x+ 2y + 3z = 0x+ 4y + 9z = 0.

Exercice 4.6 (Présentations de modules). La matrice(

40

)est la matrice de présentation d’un groupe

abélien de génération finie. Lequel ? Et la matrice (4, 0) ?Même question pour les matrices(

21

),

(05

),(2, 0, 0

),

(1 01 1

),

1 00 10 0

,(2 31 2

),

(2 41 4

),

(4 62 3

),

2 2 22 2 02 0 2

.Exercice 4.7. Décrire le groupe abélien engendré par x et y avec la relation 3x+ 4y = 0 comme sommedirecte de groupes cycliques.

Exercice 4.8. Combien y a-t-il de classes d’isomorphismes de groupes abéliens d’ordre 30 ? D’ordre 45 ?D’ordre 18 ?

Exercice 4.9. Soit M le Z[i]-module engendré par v1 et v2, avec les relations (1 + i)v1 + (2− i)v2 = 0,3v1 + 5iv2 = 0. Écrire ce module comme somme directe de modules cycliques.

Exercice 4.10. Mettre la matrice

2 0 00 4 00 0 9

sous forme diagonale, chacun des termes divisant le suivant.

Exercice 4.11. Soit G = Z/2× Z/4× Z/9. Écrire G sous la forme Z/d1 × · · · × Z/dk où di|di+1.

Exercice 4.12. Soit G = Z/6 × Z/180. Écrire G comme produit de groupes cycliques d’ordres despuissances de nombres premiers.

Exercice 4.13. Un groupe abélien est engendré par deux éléments, m1 et m2, qui satisfont aux deuxrelations

m1 +m2 = 0 et m1 + 3m2 = 0.À quel produit de groupes cycliques et de groupes abéliens libres est-il isomorphe ?

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EXERCICES D’ALGÈBRE 11

Exercice 4.14. Un groupe abélien a une matrice de présentation(

2 30 2

). Est-il cyclique ?

Exercice 4.15. Soit f : C2 → C2 l’endomorphisme dont la matrice dans la base canonique est(

2 30 2

).

Le C[t]-module (C2, f) est-il cyclique ?

Exercice 4.16. Soit f : C2 → C2 l’endomorphisme dont la matrice dans la base canonique est(

2 10 1

).

Le C[t]-module correspondant est-il cyclique ?

Exercice 4.17. Soit E un espace vectoriel complexe de dimension 5, et f un endomorphisme dont lepolynôme caractéristique est (λ − α)5 et tel que le rang de f − α Id est 2. Quelles sont les formes deJordan possibles pour f ?

Exercice 4.18. Le polynôme caractéristique est (λ− 2)2(λ− 5)3, l’espace propre pour 2 est de dimen-sion 1, celui pour 5 de dimension 2. Écrire la forme de Jordan de la matrice.

5. Corps, notions de base et premiers exemples

Les fondamentaux.

Exercice 5.1. Montrer que tout morphisme de corps est injectif.

Exercice 5.2. Soit A un anneau intègre. On suppose que A est fini. Montrer que A est un corps.

Exercice 5.3. Soit A un anneau intègre. On suppose que A ⊃ K, où K est un corps et un sous-anneaude A. Montrer que A est un K-espace vectoriel. On suppose de plus qu’il est de dimension finie.Montrer que A est un corps.

Exercice 5.4. Soit K un sous-corps de R. Montrer que K est dense dans R.

Exercice 5.5. SoitK un corps à 8 éléments (à supposer qu’il en existe un). Quelle est sa caractéristique ?

Exercice 5.6. Y a-t-il une structure de corps sur Z/4Z dont le groupe additif sous-jacent est le groupe(Z/4Z,+) ?

Exercice 5.7. Soit K/k une extension de degré premier p. Déterminer tous les corps L tels que k ⊂L ⊂ K.

Exercice 5.8. Soit K un corps de caractéristique p. Montrer que l’application σ : K → K définie parσ(x) = xp est un morphisme de corps. Que vaut σ pour K = Fp ? On suppose que K est fini, montrerqu’alors σ est un isomorphisme. Montrer que ce n’est pas nécessairement vrai si K est infini.

Des exemples.

Exercice 5.9. On considère le groupe additif Z/2Z × Z/2Z. On le munit d’une loi ? qui en fait unanneau. On nomme ses éléments 0, 1, a, b (0 et 1 sont respectivement les éléments neutres pour +et ?).

– Montrer que a+ b = 1.– On suppose qu’un des éléments, disons a, est de carré nul. Montrer qu’alors ab = a et b2 = 1.– On suppose que a2 et b2 6= 0 mais que ab = 0. Montrer qu’alors a2 = a et b2 = b. Montrer que

l’anneau obtenu est isomorphe à l’anneau produit (Z/2Z,+, ·)× (Z/2Z,+, ·).– On suppose maintenant que a2, b2 et ab sont non nuls. Montrer qu’alors a2 = b, b2 = a et ab = 1.

Montrer que l’anneau obtenu est un corps.– Montrer qu’il existe un unique (à isomorphisme près) corps à quatre éléments.

Exercice 5.10. Faire la liste de tous les corps à cinq éléments ou moins.

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12 MICHÈLE AUDIN

Exercice 5.11. Soit F2 le corps à deux éléments (F2 ∼= Z/2Z). Soit L = F2[X]/(X2 +X + 1). Montrerque L est un corps à quatre éléments, et écrire ses tables d’addition et de multiplication. Vérifier queL est isomorphe au corps construit dans l’exercice 5.9.

Que se passe-t-il si on remplace X2 +X + 1 par X2 + 1 ?

Exercice 5.12. On considère l’ensemble

Z(3) ={x ∈ Q | x = a

bavec b non divisible par 3

}.

Montrer que Z(3) est un sous-anneau de Q, qu’il contient Z, que ce n’est pas un corps et que pourtout x ∈ Q, soit x, soit x−1 ∈ Z(3). Montrer que si A est un sous-anneau de Q contenant Z(3), alorsA = Z(3) ou Q. Quelles sont les unités de cet anneau ? Quel est le corps des fractions de cet anneau ?

Mêmes questions en remplaçant 3 par n’importe quel nombre premier p.

Exercice 5.13. Notons Q(i) le sous-anneau (unitaire) de C engendré par Q ∪ {i}.(1) Montrer que Q(i) est l’ensemble des a+ bi avec a et b dans Q.(2) Montrer que Q(i) est un corps.

Exercice 5.14 (Examen S5, janvier 2007). On considère, dans l’anneau R[X] des polynômes à une in-déterminée sur R, la partie

I ={A ∈ R[X] | il existe un polynôme B tel que A(X) = (X2 + 1)B(X)

}.

(1) Montrer que I est un idéal de R[X].(2) Soit J un idéal de R[X] tel que J ⊃ I et J 6= I. Montrer que J contient un polynôme de degré 0

ou 1, puis que J contient un polynôme constant non nul.(3) Montrer que l’idéal I est maximal. Que peut-on dire de l’anneau quotient R[X]/I ?(4) Montrer que l’anneau R[X]/I est isomorphe à C.

Exercice 5.15. À quel corps le quotient R[X]/(X2 +X + 1) est-il isomorphe ?

Exercice 5.16. Déterminer les degrés des extensions de corps suivantes : R ⊂ C, Q ⊂ Q(√

2),Q ⊂ Q( 3√2) et Q ⊂ Q(

√2, i).

Exercice 5.17. Montrer que Q(√

2,√

3) = Q(√

2 +√

3), Q(21/6) = Q(√

2, 3√2)et que [Q(

√2, 3√2) : Q] = 6. (Indication : pour la dernière égalité, donner une base du Q-espace

vectoriel Q(√

2, 3√2)).

Exercice 5.18. Soit F = X3 + 3X − 2 dans Q[X].(1) Montrer que Q[X]/(F ) est un corps.(2) Est-il isomorphe à un sous-corps de R ?(3) Est-il isomorphe à un sous-corps de C non contenu dans R ?(4) Combien F a-t-il de racines dans Q[X]/(F ) ?(5) Notons u la classe de X dans Q[X]/(F ). Montrer que (1, u, u2) est une Q-base de Q[X]/(F ).(6) Exprimer (2u2 + u− 3)(3u2 − 4u+ 1) et (u2 − u+ 4)−1 dans cette base.

6. Degré d’une extension, règle et compas

Exercice 6.1. Soit K/k une extension de corps de degré 5, engendrée par un élément α. Montrer queα2 engendre la même extension.

Exercice 6.2. Soit K un corps engendré sur k par deux éléments α et β de degrés respectifs m et n.On suppose que m et n sont premiers entre eux. Montrer que [K : k] = mn.

Exercice 6.3. Soient α, β ∈ C. On suppose que α + β et αβ sont algébriques. Montrer que α et β lesont aussi.

Exercice 6.4. Peut-on construire un carré dont l’aire est égale à celle d’un triangle donné ?

Exercice 6.5. Soit α une racine réelle de X3 + 3X + 1. Peut-on construire α à la règle et au compas ?

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EXERCICES D’ALGÈBRE 13

Exercice 6.6. On cherche à « trissecter »à la règle et au compas l’angle π/3. Montrer que ceci revient àconstruire le nombre α = cos(π/9). Montrer que α est racine du polynôme 8X3 − 6X − 1 et conclure.

Exercice 6.7. Soient η = e2iπ/5, ζ = e2iπ/7. A-t-on η ∈ Q(ζ) ?

Exercice 6.8. Pour chacun des sous-corps suivants de C, dire s’il contient i :

(1) Q(√−2) (2) Q( 4√−2) (3) Q(α), où α3 + α+ 1 = 0

Exercice 6.9. Soit α = 3√2. Quel est le polynôme irréductible qui annule 1 + α2 sur Q ?

Exercice 6.10. Quel est le polynôme irréductible qui annule√

3 +√

5 sur

(1) Q ? (2) Q(√

5) ? (3) Q(√

10) ? (4) Q(√

15) ?

Exercice 6.11. Soit α une racine de X3 − 3X + 4 dans C. Calculer l’inverse de α2 + α+ 1 dans Q(α).

Exercice 6.12. Soit β = 3√2e2iπ/3. Montrer que −1 n’est pas une somme de carrés dans Q(β).

7. Adjonction de racines, corps finis

Exercice 7.1. Soient k un corps de caractéristique 0 et f ∈ k[X]. Soit g ∈ k[X] un polynôme irréduc-tible, dont on suppose qu’il divise f et f ′. Montrer que g2 divise f .

Exercice 7.2. Est-il possible que Xp −X ait une racine multiple ? (choix du corps, de p).

Exercice 7.3. Trouver une racine treizième de 3 dans F13.

Exercice 7.4. Déterminer les polynômes irréductibles de degré 3 sur F3.

Exercice 7.5. Factoriser les polynômes X9−X et X27−X sur F3 en produits de facteurs irréductibles.

Exercice 7.6. Factoriser X16 −X sur F4, puis sur F8.

Exercice 7.7. Déterminer tous les polynômes dans Fq[X] qui s’annulent en tous les éléments de Fq.

Exercice 7.8. Soit K un corps fini. Montrer que le produit de tous les éléments non nuls de K vaut −1.

Exercice 7.9. Montrer que tout élément de Fp possède une unique racine p-ème.

Exercice 7.10. Vérifier que les polynômes f(X) = X3 +X+1 et g(X) = X3 +X2 +1 sont irréductiblessur F2. Ainsi on construit deux corps à huit éléments F2[X]/(f) et F2[X]/(g). Donner un isomorphismeexplicite entre les deux.

8. Un petit bilan, quelques « vrai ou faux ? »(et autres) posés lors des sessionsd’examen de 2012

Exercice 8.1 (Vrai ou faux ?).(1) Tous les groupes abéliens d’ordre 16 sont isomorphes entre eux.(2) Tous les groupes abéliens d’ordre 30 sont isomorphes entre eux.(3) Il existe un corps à 30 éléments.(4) Il existe un corps à 16 éléments.

Exercice 8.2 (Vrai ou faux ?).(1) Le polynôme X3 + 1 est irréductible sur F3.(2) Le polynôme X4 + 1 est irréductible sur R.

Exercice 8.3 (Vrai ou faux ?).(1) Il existe un sous-corps de F49 isomorphe à F4.(2) Il existe un sous-corps de F8 isomorphe à F4.(3) Il existe un sous-corps de F16 isomorphe à F4.

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14 MICHÈLE AUDIN

Exercice 8.4 (Vrai ou faux ?).(1) Dans le groupe multiplicatif F×9 , il y a un élément d’ordre 8.(2) Dans le groupe multiplicatif F×9 , il y a un élément d’ordre 9.(3) Dans le groupe additif (F9,+), il y a un élément d’ordre 8.(4) Dans le groupe additif (F9,+), il y a un élément d’ordre 9.

Exercice 8.5. Parmi les groupes suivants, dire lesquels contiennent un élément d’ordre 24.(F×25, ·), (F25,+), (Z/8× Z/3,+), (Z/2× Z/2× Z/2× Z/3,+).

Même question avec un élément d’ordre 25.

Exercice 8.6. Parmi les corps suivants, dire lesquels sont des extensions de F4.F2, F5, F8, F16, F19.

Exercice 8.7. Parmi les nombres suivants, dire lesquels sont l’ordre d’un groupe commutatif.0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Même question pour un corps commutatif.

Exercice 8.8. Le polynôme X4 + 1 est-il irréductible sur C ? Sur R ? Sur Q ?

Exercice 8.9. Vrai ou faux : tout groupe abélien fini s’écrit comme un produit Z/d1 × · · · ×Z/dk avecd1 | d2 | · · · | dk ? Qu’en est-il du groupe Z/2× Z/3× Z/4× Z/8 ?

?

Les exercices les plus intéressants de ces pages proviennent des livres de Michael Artin [1] et deDaniel Perrin [2], que je conseille de toute façon, et dans lesquels on en trouvera d’autres (exercices).

Références[1] M. Artin – Algebra, Prentice Hall, 1990.[2] D. Perrin – Cours d’algèbre, Ellipses, 1996.

Version du 14 janvier 2013

Version du 14 janvier 2013Michèle Audin, Institut de Recherche Mathématique Avancée, Université de Strasbourg et cnrs

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