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Dominique Muller

Laboratoire Inter-universitaire de Psychologie

Cours 4

Bureau : 238Tel : 04 76 82 58 90

Email : dominique.muller@upmf-grenoble.fr

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Tests des contrastes

Yi=β0 +β1C1i +β2C2 i + ε i

Yi=β0 +β1C2 i + ε i

1) Comparaison de modèles pour le test du contraste 1 :

MA :

MC :

Yi=β0 +β1C1i + ε i

Yi=β0 +β1C1i +β2C2 i + ε i2) Comparaison de modèles pour

le test du contraste 2 :

MA :

MC :

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Tests des contrastes

47.11 6.26 1 1.11 2i i iY C C

Interprétation de b0 = 47.11 : prédiction pour C1 et C2 = 0, ces deux contrastes étant centrés, cela correspond à une condition moyenne. 47.11 est donc la moyenne

Interprétation de b1 = - 6.26 : pour toute augmentation d’une unité, notre prédiction diminue de 6.26. Il y a 3 unités de différence entre FBnm/NoFB et FBm, 6.26 correspond donc à 1/3 de la différence entre la moyenne de FBnm/NoFB et FBm.

Interprétation de b2 = - 1.11 : pour toute augmentation d’une unité, notre prédiction diminue de 1.11. Il y a 2 unités de différence entre FBnm et NoFB, 1.11 correspond donc à 1/2 de la différence entre la moyenne de FBnm et NoFB.

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Pourquoi une famille de contrastes orthogonaux ?

Y a-t-il un problème avec le fait d’utiliser des contrastes non orthogonaux ?

FBm FBnm NoFB

C1 2 -1 -1

C’2 1 -1 0

Moyenne 34.59 52.26 54.48

47.11 7.37 1 2.22 '2i i iY C C

b1 devrait être égal à 1/3 de la différence entre 34.59 et la moyenne de 52.26 et 54.48, soit -6.26. Or b1 = -7.37, soit 2/3 de la différence entre la moyenne des deux premières conditions et NoFB, soit un contraste 0.5, 0.5, -1

b2 devrait être égale à 1/2 de la différence entre 34.59 et 52.26, soit - 8.83. Or b2 = 2.22, soit la différence entre FBnm et NoFB, soit un contraste 0, -0.5, 0.5

FBm FBnm NoFB

C1 0.5 0.5 -1

C.O. Cont. Ortho.

FBm FBnm NoFB

C.O. Cont. Ortho.

C’2 0 -0.5 0.5

Oui, il y a un problème, nous ne savons pas ce que nous testons !

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Exemple de codage non orthogonaux : dummy codings

FBm FBnm NoFB

D1 1 0 0

D2 0 1 0

Moyenne 34.59 52.26 54.48

Avec un tel codage, la condition codée 0 sur les deux prédicteurs sera opposée à la condition codée 1. Ainsi,

D1 : la condition NoFB est opposée à la condition FBm

D2 : la condition NoFB est opposée à la condition FBnm

Yi=β0 +β1D1i +β2D2 i + ε i

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Un codage alternatif : test d’une tendance linéaire

Imaginons qu’un chercheur ait comme hypothèse une augmentation linéaire telle que FBm < FBnm < NoFB

Nous avons vu que le codage correspondant est – 1, 0, 1, donc L = – 1, 0, 1

Il nous faut également définir un contraste orthogonal à celui-ci pour avoir une famille de contrastes orthogonaux

=> contraste de tendance quadratique Q = -1, 2, -1

FBm FBnm NoFB

L -1 0 1

Q -1 2 -1Q teste la tendance quadratique mais c’est aussi le test de la condition FBnm contre la moyenne des deux autres conditions

L teste la tendance linéaire mais c’est aussi le test de la condition FBm contre la condition NoFB

Ainsi, pour dire que les données suivent une tendance linéaire, il faudra que le contraste de linéarité soit significatif MAIS pas celui de tendance quadratique

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Modèle à un facteur catégoriel k > 2 : test de linéarité

47.11 9.95(1) 2.58( 1) 54.48Y

47.11 9.95(0) 2.58(2) 52.26Y

Yi=β0 +β1Li +β2Qi + ε i

47.11 9.95( 1) 2.58( 1) 34.59Y

47.11 9.95 2.58i i iY L Q

Prédiction pour FBm :

Ces prédictions sont, là encore, les moyennes des trois conditions expérimentales

Prédiction pour FBnm :

Prédiction pour NoFB :

Groupe FBm FBnm NoFB

Moyenne 34.59 52.26 54.48

Un arrangement, un découpage,

différent pour arriver à une même solution

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Test omnibus et tests de contrastes

Ici encore le contraste qui teste notre hypothèse, la linéarité, est significatif, mais pas celui qui teste la variance résiduelle

F omnibus identique au découpage précédent

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Découpage du SCR (SC effet) total

Yi=β1.0 +β1.1C1i +β1.2C2 i + ε i

SCR total

C1C2 L Q

Yi=β2.0 +β2.1Li +β2.2Qi + ε i

Modèle ANOVA intra à 3 modalités

VI : type d’items positifs (Rien, Compatible et Incompatible)

VD : temps de réaction pour dire si l’item du milieu est positif ou négatif

Rien Compatible Incompatible

Comme pour les VI inter, pour traiter les VI intra à 3 modalités, utilisation de familles de contrastes orthogonaux

Ici deux questions orthogonales :

• La présence d’un « flanker » augmente-t-elle le temps de réponse ? (Q1)

• Les temps de réponse sont-ils plus lents avec un « flanker » incompatible qu’avec un « flanker » compatible ? (Q2)

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VI intra à 3 modalités : Flanker effect (Fenske et Eastwood, 2003)

Rien Compatible Incompatible

Première question :

• La présence d’un « flanker » augmente-t-elle le temps de réponse ?

Là encore, utilisation d’un contraste pour opposer la première condition aux deux autres

-2 1 1

Comme nous sommes en intra le contraste renvoie à un calcul sur les trois mesures (trois colonnes)

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Modèles pour Q1 :

VI intra à 3 modalités : première question, premier contraste

Tester ce premier contraste revient donc encore une fois à tester la moyenne de W1 contre 0 (test T pour échantillon unique)

W 1i=β0 + ε1i

1 ( 2) (1) (1) 2i i i i i i i

W Rien Comp Inc Rien Comp Inc Avec :

Comparaison de modèles pour Q1 : 1 0

iW

1 120i

W MC :

MA :

SCEC = 163478

SCEA = 77685

52.0163478

85793

163478

77685163478

C

AC

SCE

SCESCEPRE

52.5

1677685

0185793

paNSCE

pcpaSCR

FA

Le contraste opposant la condition rien avec les deux autres est donc tendanciel, F(1,5) = 5.52, p < .07, PRE = .52

VI intra à 3 modalités : première question, premier contraste

Comme pour tous modèles simples, on peut tester b0 contre 0 en utilisant un test t pour échantillon unique :

VI intra à 3 modalités : première question, premier contraste

W 1i=β0 + ε1i

Le contraste opposant la condition rien avec les deux autres est donc tendanciel, t(5) = 2.35, p < .07, PRE = .52

Aparté : quand ddl effet = 1 => F = t2 = 2.352 = 5.52

5.520.52

5.52 5erreur

effet

FPRE

ddlF

ddl

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VI intra à 3 modalités : Flanker effect (Fenske et Eastwood, 2003)

Rien Compatible Incompatible

Seconde question :

• Les temps de réponse sont-ils plus lents avec un « flanker » incompatible qu’avec un « flanker » compatible ?

Là encore, utilisation d’un contraste mais cette fois pour opposer les deux dernières conditions. Soit :

0 -1 1

2: (0) ( 1) (1)i i i i i i

Avec W Rien Comp Inc Inc Comp

W 2i=β0 + ε2 i

Comparaison de modèles pour Q2 : 2 0

iW

2 57i

W MC :

MA :

SCEC = 30300

SCEA = 11083

63.030300

19217

30300

1108330300

C

AC

SCE

SCESCEPRE

67.8

1611083

0119217

paNSCE

pcpaSCR

FA

Le contraste opposant les conditions Comp et Inc est donc significatif, F(1,5) = 8.67,p < .04, PRE = .63

VI intra à 3 modalités : seconde question, second contraste

Problème : la formule devait être appliquée pour retrouver le test omnibus

W 2'i=0 + ε 2 ' ci

W 2'i=β 0 + ε 2 ' ai

MC :

MA :

SCEC = 15150

SCEA = 5542

VI intra à 3 modalités : test omnibus

h

h hihi

hδ

YδW

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Recalculons les contrastes, que nous appellerons W1’ et W2’, mais en utilisant la formule ci-dessus. Ceci nous donne :

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2

)1()1()2(

)1()1()2('1

222

iiiiiii

IncCompRienIncCompRienW

2)1()1()0(

)1()1()0('2

222

iiiiii

CompIncIncCompRienW

W1'i=0 + ε1 ' ci

W1'i=β 0 + ε1 ' ai

MC :

MA :

SCEC = 27246

SCEA = 12947Pour le test de W1’ :

Pour le test de W2’ :

VI intra à 3 modalités : test omnibus

Pour le test omnibus, il nous suffit d’additionner les SC et ddl des 2 contrastes :

VI intra à 3 modalités : une raison pour éviter de tester des effets à plus d’1 ddl en intra !

Exemple de comparaison de modèles pour un test à plus d’1 ddl en inter (k = 3)

Yi=β0 + β1C1i + β2C2 i + ε i

Yi=β0 + ε i

MA :

MC :

Le terme d’erreur utilisé pour le test de l’effet omnibus sera le même que celui que nous aurions utilisé pour les tests à 1 ddl => SCEA

Exemple de test à plus d’1 ddl en intra (k = 3)

Le terme d’erreur utilisé pour le test de l’effet omnibus d’une variable intra est (potentiellement) un composé de deux termes d’erreur totalement différents (ici l’un est plus de deux fois plus grand que l’autre)

(note : pas de test vraiment efficace pour voir si cette différence est trop importante)

W 2 'i=β 0 + ε 2 ' ai

MA : SCEA2’ = 5542 W1'i=β 0 + ε1 ' ai

MA : SCEA1’ = 12947 et

SCEomnibus = SCEA1’ + SCEA2’

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Test d’un modèle théorique avec facteurs catégoriels k > 3

Yi=β0 +β1C1i +β2C2 i +β3C3 i + ... +βkCki + ε i

Nous avons parfois une hypothèse très précise sur ce que nous attendons

Exemple de prédiction avec k = 4 :

1) Trouver le contraste du modèle théorique

2) Trouver des contrastes pour tester ce qui n’est pas expliqué par le modèle théorique, ce que l’on appelle le résidu ou la variance résiduelle

3) Montrer que le modèle théorique est significatif MAIS pas le(s) résidu(s)

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1) Contraste du modèle théorique

Placer des poids correspondant aux « hauteurs » prévues pour chaque condition

Ensuite, faire de ces poids un code de contraste (centrer) :

1

2 2

3

Pds T Pds TA Pds TV Pds TVA MOY.

1 2 2 3 2

1 – 2 =

- 1

2 – 2 =

0

2 – 2 =

0

3 – 2 =

1

Nous utiliserons donc un contraste appelé « Mod » du type : - 1, 0, 0, 1

Prédictions Résultats observés

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2) Contrastes du résidu

Trouver deux contrastes orthogonaux avec le modèle :

Vérification de l’orthogonalité deux à deux des contrastes :

Mod * Res1 : (-1 * 0) + (0 * -1) + (0 * 1) + (1 * 0) = 0

Mod * Res2 : (-1 * -1) + (0 * 1) + (0 * 1) + (1 * -1) = 0

Res1 * Res2 : (0 * -1) + (-1 * 1) + (1 * 1) + (0 * -1) = 0

Il s’agit donc d’une famille de contrastes orthogonaux, nous pouvons tester le modèle :

T TA TV TVA

Mod -1 0 0 1

Res1 0 -1 1 0

Res2 -1 1 1 -1

0mod . kkλ

01. kkresλ

02. kkresλ

(adresse pour trouver des contrastes orthogonaux : http://www.bolderstats.com/orthogCodes/)

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63.1531ASCE

3a) Test du modèle

Test du modèle théorique => simplement le test du contraste lui correspondant :

Chgti=β0 +β1Res1i +β2Res2 i + ε i

MA :

MC :

b1 = 11.74 est significatif, le changement d’attitude est donc plus fort dans la condition Texte seul (M = 34.95) que dans la condition Texte + Audio + Vidéo (M = 58.43), t(16) = 3.8, p < .02.

Ce contraste seul ne nous en dit pas plus

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3b) Test du résidu

3b) Test du résidu => nous allons mettre ensemble tout ce qui n’est pas le modèle théorique :

Chgti=β0 +β1Modi + ε i

MA :

MC :

Pour une fois, le logiciel ne fera pas tout seul la comparaison de modèles qui nous intéresse.

Comment faire ?

Nous allons faire les deux modèles (MA et MC), l’un après l’autre :

=> SCEA

=> SCEC