1 - aula 04_des. linear geometrico_r00

8/15/2019 1 - Aula 04_Des. Linear Geometrico_R00

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Desenho Linear Geométrico

http://www.desenhoprojetivo.pro.br/menudg.htm

Pedro Paulo L. Feijó

Arquiteto graduado pela UFPR – Prof. da EMBAP

Aula_04

1. TRAÇADO DE UMA MEDIATRIZ

O traçado de uma reta mediatriz (reta que divide um seguimento de reta em duaspartes iguais) é a primeira operação do Desenho Geométrico. Construir amediatriz de um segmento é traçar a perpendicular à esse segmento de tal formaque essa o divida em duas partes iguais. A mediatriz determina o ponto médio(M) do segmento e todos os seus pontos quando tomados isoladamente, sãoequidistantes dos extremos do segmento (A e B).

Para construí-la, com centro em A e B, trace dois arcos de circunferência iguaise maiores do que AB/2. Nas intersecções entre os arcos estão os pontos 1 e 2,que pertencem à mediatriz.

Figura 1: Traçado da mediatriz de uma reta.

2. CONSTRUIR UMA PERPENDICULAR A UMA RETA POR UM PONTO PDA RETA

Com centro no ponto P, pertencente à reta s, traçamos um arco de circunferênciaque determina em s os postos A e B, equidistantes de P. Em seguida, centrosem A e depois em B, dois arcos iguais e maiores que AB/2, se cruzam no ponto1. Finalmente construímos a perpendicular t, que passa por P e pelo ponto 1.

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Figura 2: Construir uma reta perpendicular à outra – 1° processo.

2.1. O ponto é exterior à reta

Pelo ponto P, construímos um arco que determine dois pontos (1 e 2) sobre areta s, em seguida traçamos a mediatriz do segmento determinado por essespontos. O ponto P pertence à mediatriz.

Figura 3: Construindo uma reta perpendicular à outra passando por um ponto externo à reta.


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3. RETAS PARALELAS

3.1. Paralela à uma reta S, por um ponto exterior P

Um arco com o centro no ponto P, corta a reta s nos pontos M e N. Os arcos:

um de centro em N, raio PM, e o outro de centro em P e raio MN, determinam oponto Q. A reta que passa por P e Q, é a paralela procurada.

Figura 4: Retas paralelas - 1° processo.

3.2. Paralela à uma reta S, a uma determinada distância d

Por um ponto M da reta s, traçamos uma perpendicular u, sobre a qualmarcamos o segmento MN = d. Centro em M, raio MN, determinamos o pontoO sobre s. Arcos de centros em N e em O, e raio = MN, se cruzam no ponto P. A reta paralela v, fica determinada por N e P.

Figura 5: Retas paralelas a uma distância d.


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Aula_05

4. ÂNGULOS

4.1.Transportar um ângulo

Seja transportar o ângulo formado pelas retas r e s de vértice V para uma novaposição de vértice V1, pertencente a uma reta suporte r1.

a) Um arco de raio qualquer determina M e N sobre as retas r e s respectivamente.

b) Mantendo o mesmo raio e centro em V1, temos M1 sobre r1.c) Centro em M1, o arco de raio = MN, determina N1 na intersecção com o

arco de centro em V1.d) A reta s1, determinada por V1N1, reproduz o ângulo desejado.

Figura 6: Transportar ângulos.

4.2.Bissetriz de um ângulo com o auxílio do vértice

Trata-se de dividir o ângulo em 2 partes iguais. Com centro em V, um arco deraio qualquer, determina os pontos 1 e 2 sobre r e s respectivamente. Doisarcos de mesmo raio com centros em 1 e 2, se interceptam em M. A reta quepassa por V e M é a bissetriz procurada.


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Figura 7: Bissetriz de um ângulo.

4.3.Bissetriz de um ângulo som o auxílio do vértice

a) Tomamos um ponto aleatório P sobre a reta t. Com o centro em P, umarco de raio qualquer determina os pontos A e B sobre as retas t e s respectivamente.

b) Mantendo o mesmo raio do arco anterior, com o centro em B, achamos oponto C na reta s.

c) Ainda com o mesmo raio, o arco com o centro em C, corta o primeiro arco

traçado no ponto D.d) Liga-se o ponto A ao ponto D, determinando-se E sobre a reta s.e) A mediatriz de AE é a bissetriz procurada.

Figura 8: Bissetriz de um ângulo sem o vértice - 2° processo.


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Aula_06

5. CÍRCULOS E CIRCUFERÊNCIA

Circunferência é o conjunto de pontos, pertencentes a um plano e equidistantesde um único ponto, chamado centro. Circunferência é, pois, uma linha curva,

plana e fechada.

Figura 9: Circunferência.

Círculo, por sua vez, é a porção do plano limitada por uma circunferência. Ocírculo é, portanto, uma superfície. Daí afirmar-se que a circunferência é ocontorno do círculo.

Figura 10: Círculo.

5.1.Linhas da circunferência

a) Raio (AO): É o segmento de reta que une o centro a qualquer ponto dacircunferência. Pela própria definição da curva, os raios são todos iguais.

b) Secante (s): É a reta que seca (corta) a circunferência em dois de seuspontos.

c) Corda (BC): É o segmento de reta que une dois pontos de umacircunferência e tem a secante como reta suporte.

d) Diâmetro (DE): É a corda que passa pelo centro da circunferência. Odiâmetro é, pois, a maior corda e é constituído por dois raios opostos. Daídizer-se que o diâmetro é o dobro do raio. O diâmetro divide acircunferência em duas partes iguais denominadas semicircunferências.Por extensão do raciocínio, temos que o círculo pode ser dividido em doissemicírculos.

e) Arco (BC), (BG), (CE), (AD) etc.: É uma parte qualquer da circunferência,compreendida entre dois de seus pontos. A toda corda corresponde umarco e vice-versa.

f) Flecha (FG): É o trecho do raio perpendicular a uma corda e limitado pela

mesma corda e o arco que lhe corresponde.


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g) Tangente (t): É a reta que toca a circunferência em um só ponto e éperpendicular ao raio que passa por esse ponto. Esta ponto chama-seponto de tangência.

Figura 11: Linhas de circunferência.

5.2.Determinando o centro e o raio

5.2.1. Restabelecer o centro de um arco ou circunferência dados

Tomam-se três pontos sobre o arco ou circunferência e determina-se o centrofazendo:

Considerando que os lados do triângulo ABC são cordas da circunferênciaprocurada, e sabendo que a mediatriz de qualquer corda de uma circunferênciapassa pelo seu centro, as mediatrizes m e n, determinam o centro e o raio da

circunferência desejada.


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Figura 12: Determinando o centro de um arco.

5.3.Questão de tangência

5.3.1. Construir uma tangente à uma circunferência por um ponto P dacurva

Constrói-se o raio OP. A tangente t é a perpendicular ao raio OP no ponto P.

Isto porque uma tangente sempre é perpendicular à uma normal a uma curvaem um ponto dessa curva. OP é uma normal à circunferência de centro O, noponto P, logo.

Figura 13: Tangência.


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5.3.2. Tangentes à circunferência, paralelas a uma reta dada s

Com o auxílio do centro.

a) Buscam-se os pontos 1 e 2 na reta s por meio de um arco de centro O.b) A reta p, mediatriz do segmento 12 determina os pontos de tangência T1

e T2. c) As perpendiculares à reta p, t1 e t2, traçadas pelos pontos T1 e T2, são

as tangentes procuradas.

Figura 14: Tangentes à circunferência, paralelas a uma reta s.

5.4.Tangentes à uma circunferência dada por um ponto exterior P

Com o auxílio do centro, determina-se o ponto médio M do segmento PO, e constrói-se a circunferência de centro M e diâmetro PO, que determina os pontos de tangênciaT1 e T2.

Note que os ângulos PT1O e PT2O, inscritos em semicírculos de diâmetro PO,são retos, condição necessária e suficiente entre tangentes e normais à curva.


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Figura 15: Tangentes à circunferência por um ponto p externo.

Aula 07 – 24/09/13

6. LINHAS PROPORCIONAIS

6.1. Dividir uma reta em n partes iguais

Seja dividir o segmento ABN em 5 partes iguais. Por um dos extremos dosegmento, traça-se uma semi reta s com fazendo um ângulo a qualquer. Emseguida, marcam-se, desde o ponto extremo escolhido (A), 5 unidades iguais e

liga-se o último ponto da divisão ao outro extremo do segmento (B). As paralelastraçadas pelos demais pontos fazem a divisão do segmento AB no número departes desejada, no caso, cinco partes iguais.

6.2. Dividir um seguimento em partes diretamente proporcionais anúmeros dados

Seja dividir AB em partes diretamente proporcionais aos números 2,5 e 3. Aqui,traçamos uma semi reta por A, sobre a qual tomamos 2,5 e 3 unidades. Em

seguida, o feixe de paralelas faz a divisão desejada do segmento.AK/2 = KG/5 = GB/3


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Figura 16: Dividir a reta em segmentos iguais.

Aula_07

7. CONSTRUÇÃO DE POLÍGONOS REGULARES

7.1. Triângulo equilátero

a) A partir do lado: Traça-se o lado e, com centro em cada extremidade eabertura igual ao lado, faz-se o cruzamento dos arcos, determinando-seo terceiro vértice.

Figura 17: Construção de triângulo.

b) Inscrito na circunferência: Descreve-se a circunferência com raioqualquer. Com a mesma abertura do raio, a partir de um ponto qualquerpertencente à curva, assinalam-se sucessivos cruzamentos, a partir decada ponto encontrado, dividindo a circunferência em seis partesexatamente iguais. Três pontos, alternadamente, dessa divisão definemum triângulo equilátero.*Esta é uma relação métrica existente entre o raio da circunferência, que

é igual ao lado do hexágono regular inscrito na mesma.


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Figura 18: Construção de triângulo inscrito na circunferência.

7.2. Quadrado

a) A partir do lado: Traça-se o lado. Por uma das extremidades, levanta-seuma perpendicular. Sobre esta, rebate-se a medida do lado. Com centronas extremidades dos lados definidos e abertura igual ao lado, cruzamosos arcos que definirão o quarto vértice, fechando a figura.

Figura 19: Construção de quadrado.

b) Inscrito na circunferência: Assinala-se um ponto, que será o centro dacircunferência, descrevendo-a em seguida. Passando pelo centro, traça-se uma reta que, ao cortar a curva em dois pontos, definirá o seu diâmetro.Com centro nas extremidades do diâmetro e abertura maior que a metadedeste, cruzam-se arcos que definirão o ponto que, junto com o centro dacircunferência, alinharão um outro diâmetro, perpendicular ao primeiro.Estes dois diâmetros dividem a circunferência em quatro partes iguais,correspondendo aos quatro pontos que inscrevem o quadrado.


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Figura 20: Construção de quadrado inscrito na circunferência.

7.3. Pentágono regular

a) A partir do lado: Traça-se o lado AB. Com centro em A, raio AB,descreve-se uma circunferência. Centro B, raio BA, descreve-se umasegunda circunferência que, ao cruzar com a primeira, define os pontos 1(acima) e 2 (abaixo do lado AB). Centro em 2, mesmo raio, traça-se aterceira circunferência, que passa em A e B. Esta terceira circunferência,ao cruzar com a de centro A, define o ponto 3 e, com a de centro B oponto 4. Os pontos 1 e 2 definem uma reta que é mediatriz do lado e cortaa circunferência de centro 2 no ponto 5. Traça-se a reta 35 que corta a

circunferência de centro B em C. Traça-se a reta 45 que corta acircunferência de centro A em E. Com raio igual ao lado e centro em C ouE, cruza-se sobre a mediatriz, definindo D, completando a figura.

Figura 21: Construção de um pentágono regular.


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a) Inscrita na circunferência: Descreve-se uma circunferência e, como naconstrução do quadrado, traçam-se dois diâmetros perpendiculares. Oponto superior vertical denominaremos de A. Pelo raio horizontal direito,traçamos sua mediatriz, determinando M, ponto médio. Centro M, raio MA,baixa-se o arco que corta o raio horizontal esquerdo em N. Centro A, raio

AN, descreve-se o arco que corta a circunferência em B e E. Centro B,raio AN=AB=AE, determina-se C, sobre a circunferência. Centro C,mesmo raio, determina-se D. Traçamos, então, os lados AB, BC, CD, DEe AE.

Figura 22: Construção de um pentágono regular inscrito na circunferência.

7.4. Hexágono regular

a) A partir do lado: Já conhecemos a relação métrica entre o lado dohexágono e o raio da circunferência, então: traçamos o lado e, fazendocentro em cada extremidade do mesmo, com raio igual ao próprio lado,cruzamos dois arcos que definem um ponto que será o centro dacircunferência que circunscreve o hexágono. Traçamo-la. Aplica-se amedida do lado sobre a circunferência, a partir de uma das extremidades,definindo-se os demais vértices e traça-se a figura.


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Figura 23: Construção de um hexágono regular.

b) Inscrito na circunferência: Traça-se a circunferência e aplica-se amedida do raio sobre a mesma, dividindo-a em seis partes iguais econstrói-se o hexágono.

Figura 24: Construção de um hexágono regular inscrito na circunferência.

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