uv automatique - département architecture des...

1Automatique

Commande dans l'espace d'état

UV Automatique

ASI 3

Cours 11

2Automatique

Contenu

q Analyse de la stabilité dans l'espace d'état

q Commandabilité de l'état

u Matrice de commandabilité

u Grammien de commandabilité

u Théorèmes de commandabilité complète d'un système linéaire

u Systèmes partiellement commandables

q Commande par retour d'étatu Notion de BF dans l'espace d'état

u Modèle d'état, matrice de transfert de la BF

u Commande en BF par placement de pôles

Ø Cas des systèmes monovariables commandables

Ø Cas des systèmes multivariables commandables

3Automatique

Analyse de la stabilité dans l'espace d'état

q Représentation d'état

u Réponse libre du système

q Analyse de la stabilité

+=+=

)()()()()(

tDUtCXtYtBUtAXX&

nnA ×∈R

mnB ×∈R

npC ×∈R

mpD ×∈R

ntX R∈)(

mtU R∈)(

ptY R∈)(

)()( 0)( 0 tXetX ttA −=0)( =tU

( )∫ −− += tt

tAttA dBUetXetX0

0 )()()( 0)( τττ

X(t0)

X1

X2

Xn

0

Solution divergente

Le système est stable si la solution X(t) à 0 lorsque tà∞. Le système est instable autrement et la solution diverge

,0)(lim)(lim 0)( 0 == −

+∞→+∞→tXetX ttA

tt)( 0tX∀ 0lim )( 0 =−

+∞→

ttA

te⇔

4Automatique


q Conditions de stabilité

Sous quelle condition ?0lim )( 0 =−+∞→

ttAt

e

Analysons un cas particulier : la matrice A admet n valeurs propres λi distinctes à A est diagonalisable

1−= TDTA

=

n

Dλ

λ

0

01O

T : matrice des vecteurs propres de A

1)()( 00 −−− = TTee ttDttA

avec

1

)(

)(

)(

0

01

0

0

0−

−

−

−

= T

e

eTe

tt

tt

ttA

nλ

λ

O

Cette condition est satisfaite si toutes les valeurs propres λi sont à partie réelle strictement négative

pour 0→tieλ0)( 0 →−ttAe tieλ+∞→t si les termes convergent càd

Théorème

Un système linéaire invariant est asymptotiquement stable si toutes les valeurs propres de la matrice d'état A sont à partie réelle strictement négative

5Automatique


q Exemple 1 q Exemple 2

[ ]

=

+

−−=

)(01)(

)(11)(

2410

tXtY

tutXX&

=5010)( 0tX

Valeurs propres

Réponse libre

231

231

2

1

j

j

−−=

+−=

λ

λ

-10 0 10 20 30 -40

-20

0

20

40

60

X(t0)

X1

X2

[ ]

=

+

−

=

)(01)(

)(01)(

2410

tXtY

tutXX&

=50)( 0tX

Valeurs propres

231

231

2

1

j

j

−=

+=

λ

λ

-60 -40 -20 0 20 -60

-40

-20

0

20

40

60

X(t0)

X1

X2

Réponse libre

InstableStable

6Automatique

Commande dans l'espace d'état

q Notions de commandabilité de l'état

DéfinitionUn système d'équation d'état est dit complètement commandable sur l'intervalle de temps [t0, t1], t1 < ∞ s'il existe une commande U(t) définie sur [t0, t1] permettant de faire évoluer le système d'un état initial quelconque X(t0) à un état désiré quelconque X(t1).

BUAXX +=&

X(t0)

X1

X2

Xn

X(t1)

X(t0)

X(t1) Existe-t-il une commande U(t) qui fait évoluer le système de l'état X(t0) à un état X(t1) en un temps fini ∆t=t1−t0? Si oui, le système est dit commandable.

Peut-on trouver un critère mathématique permettant de déterminer la commandabilité ?

7Automatique

Commandabilité de l'état

q Critère mathématique

)()( tBUtAXX +=& nnA ×∈RmnB ×∈R

ntX R∈)(mtU R∈)(

§ Equation d'état : avec et

§ Réponse temporelle( )∫ −− += t

ttAttA dBUetXetX

00 )()()( 0

)( τττ

( )∫ −− += 10

101 )()()( 0)(

1tt

tAttA dBUetXetX τττ

D'après la formule de Sylvester, on a : .∑−

==

1

0)(

n

i

ii

At Ate α On en déduit

∫ ∑−

=

− −=− 1

001 )()()()(

1

010

)(1

tt

n

i

ii

ttA dBUAttXetX τττα

∑ ∫−

=

− −=−1

010

)(1

1

001 )()()()(

n

i

tt i

ittA dUtBAtXetX τττα

∫∫∫ −++−+−=− −−− 1

0

1

0

1

0

01 )()()()()()()()( 111

11100)(

1t

t nnt

t

t

tttA dUtBAdUtABdUtBtXetX τττατττατττα L

Le problème consiste à trouver la commande U(t) telle que cette équation soit vraie pour X(t0) et X(t1) quelconques.

8Automatique



∫∫∫ −++−+−=− −−− 1

0

1

0

1

0

01 )()()()()()()()( 111

11100)(

1t

t nnt

t

t

tttA dUtBAdUtABdUtBtXetX τττατττατττα L

[ ]

−

−

−

=−

∫

∫

∫

−

−−

1

0

1

0

1

0

01

)()(

)()(

)()(

)()(

11

11

10

10

)(1

),( tt n

tt

tt

nttA

dUt

dUt

dUt

BAABBtXetXBA

τττα

τττα

τττα

M444 3444 21 LC

).(),( mnnRBA ×∈C

Cette équation est une combinaison linéaire de matrices AiB (i = 0, …, n−1). La solution existe si les matrices AiB sont linéairement indépendantes càd

( ) nBArang =),(C

ThéorèmeUn système d'équation d'état est complètement commandable à la condition nécessaire et suffisante que la matrice de commandabilité C (A, B) soit de rang n.

BUAXX +=&

).(),( mnnRBA ×∈C[ ]BABAABBBA n 12),( −= LCMatrice de commandabilité :

9Automatique



u Remarques§La notion de commandabilité de l'état ne porte que sur l'équation d'état et donc sur les matrices A et B. Dire que le système est commandable équivaut à dire que la paire (A, B) est commandable

§Dans le cas d'un système mono-entrée, la matrice de commandabilité est une matrice carrée

nnRBA ×∈),(C1=m

CorollaireUn système mon-entrée u d'équation d'état est complètement commandable ssi

BuAXX +=&

( ) 0),(det ≠BAC

§ Approche pratique de vérification de la commandabilité

Ø Former la matrice de commandabilité C (A, B)

Ø Calculer le rang de C (A, B)

Ø En déduire que le système est commandable si rang(C (A, B) )=n

10Automatique


q Exemples

Exemple 1

)()( tBUtAXX +=&

=

−−

−=

01

10,

22

14BA

2=n états 2=m entrées

−−−

=

×

−−

−=

2241

0110

2214

AB

[ ]

−−−==

220141 10),( ABBBAC

Matrice de rang 2 à système commandable

Exemple 2

)()( tBUtAXX +=&

=

−−=

11,

412 BA

α

2=n états 1=m entrée

−

−=

×

−

−=

41

11

412

ααAB

Le système est commandable ssile det est non nul càd

[ ]

−

−==

4111

),(α

ABBBAC

( ) 3),(det −= αBAC

3≠α

11Automatique


q Programmation sous scilab

-->// Matrices équation d'état

-->A=[-4 1;-2 -2];

-->B=[0 1;1 0];

-->//Matrice de commandabilité

-->Ctr = cont_mat(A,B)

Ctr =

! 0. 1. 1. - 4. !

! 1. 0. - 2. - 2. !

-->rang = rank(Ctr)

rang =

2.

Exemple 1 Exemple 2

-->alpha = 6;

-->A=[-2 1; alpha -4];

-->B=[1;1];

-->// Matrice de commandabilité


Ctr =

! 1. - 1. !

! 1. 2. !

-->rang = rank(Ctr)

rang =

2.

3=α

--> alpha = 3;

-->A=[-2 1;alpha -4];

-->B=[1;1];

-->// Matrice de commandabilité


Ctr =

! 1. - 1. !

! 1. - 1. !

-->rang = rank(Ctr)

rang =

1.

Exemple 2 6=α



Matrice de rang 1 à Système non commandable

12Automatique


q Commandabilité : autre théorème

Analysons le cas particulier d'un système mono-entrée, mono-sortie dont la matrice A admet n valeurs propres λi distinctes à A est diagonalisable

1−= TTAA m

=

n

mAλ

λ

0

01O

T : matrice des vecteurs propres de A

ATTAm1−=

BTBm1−=

ThéorèmeUn système dont la matrice d'état est diagonalisable est complètement commandable ssi tous les modes de la forme modale associée sont commandables

CorollaireSi la ligne i de la matrice Bm (de la forme modale) est nulle alors le mode correspondant à la valeur propre λi de Am n'est pas commandable

CTCm =

13Automatique


q Illustration de la commandabilité sur une forme modale

)()( tBUtAXX +=&

=

−

−=

1

1,

10

1 2BAavec

§ Valeurs propres de A

)2)(1()det( ++=− λλλ AI 11 −=λ 22 −=λet A est diagonalisable

§ Diagonalisation de A

: matrice des vecteurs propres vi de A avec][ 21 vvT = iii vAv λ=

On montre que

=

0111

T

−=−

111 01T

−−== −

200 11ATTAm

== −011BTBm ligne nulle§ Schéma de simulation de la forme modale

u

+

∫

λ1

µ1

∫

λ2

µ2

+

+

+

x2 x2

x1 x1

y L'état x2 n'est pas influencé par l'entrée. Le mode λ2 n'est pas commandable

14Automatique


q Grammien de commandabilité

DéfinitionOn appelle grammien de commandabilité, la matrice Wc(t) définie par :

τττ∫= tt

ATAc deBBetW T

0)( nn

c RtW ×∈)(

Commandabilité

Existe-t-il une commande U(t)qui fait évoluer le système de l'état X(t0) à un état X(t1) en un temps fini ∆t=t1−t0?

( ) ( ))()()()( 01)( tXetXtWeBtU At

ctAT T −= −−τ

Si la matrice Wc(t) est inversible, la commande est donnée par

[ ]10 ttt ∈

ThéorèmeUn système d'équation d'état est complètement commandable ssile grammien de commandabilité est inversible ou de façon équivalente rang(Wc(t))=n.

BUAXX +=&

15Automatique


q Remarques sur la commandabilité

§La propriété de commandabilité est invariante par changement de base

§Un système complètement commandable admet une forme canonique decommandabilité

Soit la paire (A, B) commandable. Réalisons une transformation linéaire tq

ATTAT1−= BTBT

1−=et

[ ]Tn

TTTTTT BABABABBA TT12),( −= LC

[ ]LBATTATTTBATTTBTBA TT111111),( −−−−−−=C

[ ] ),(),( 121 BATBAABBTBA TT CC −− == L ),(),( 1 BATBA TT CC −=

La matrice T étant inversible, rang(T)=n. Par conséquent

( ) ( )),(),( BArangBArang TT CC =

16Automatique


q Cas de systèmes partiellement commandables

( ) nrBArang <=),(CSi le système n'est pas complètement commandable, on a

Ceci signifie qu'il existe r modes commandables et n−r modes non commandables

ATTAT1−=

BTBT1−=

CTCT =

TT

TTT

XCY

tUBtXAX

=

+= )()(&)()( tBUtAXX +=&Soit la représentation initiale. Il existe une matrice T telle que

avec

[ ] T

T

T

T

T

XCCY

tUB

X

X

A

AA

X

X

21

1

,2

,1

22

1211

,2

,1 )(00

=

+

=

&

&rrA ×∈R11

)()(22

rnrnA −×−∈R

rrnA ×−∈ )(12 R

mrB ×∈R1

TT

TTT

XAX

tUBXAXAX

,222,2

1,212,111,1 )(

=

++=&

& Partie commandable de dimension r

Partie non-commandable de dimension n−r

La paire est commandable),( 111 BA

17Automatique


q Cas de systèmes partiellement commandables : exemple

)()()(

tCXYtBUtAXX

=+=&

−=

43 2141

Bavec

−−−

−−=

045 232251

12125A

§ Matrice de commandabilité

,

(n=3 et m=1)

[ ]

−−−−

−==

414143232121434141

),( 2BAABBBAC ( ) 32),( =<= nBArang C

Il y a un mode non commandable

§ Changement de base

−−

−=

4141 2121 21 141 4121

T

−−

−== −

30001001 1

1ATTAT

== −

011

1BTBT ]001[== CTCT

]414121[ −=Cet

Partie commandable

§ Fonction de transfert correspondante

TTT BAsICsH 1)()( −−=)1)(1)(3(

)3)(2(375s

65s)( 23

2

jsjssss

ssssH

−++++++=

+++++=

La perte de commandabilité est due à la simplification d'un pôle par un zéro

18Automatique

Commande par retour d'état

q Modèle d'état d'un linéaire invariant en boucle ouverte (BO)

q Loi de commande

+=

+=

)()()(

)()(

tDUtCXtY

tBUtAXX&

nnA ×∈R

mnB ×∈R

npC ×∈R

mpD ×∈R

ntX R∈)(

mtU R∈)(

ptY R∈)(

Supposons tous les états mesurables (hypothèse restrictive). La loi de commande consiste à réaliser un retour d'état sous la forme

)()()( tKXtrtU −=

nmK ×∈R

matrice de retour d'état

r : signaux de référence

U

C

Y

X X& ∫

B

A

D

+ + + + + +

K

r

U

C

Y

X X& ∫

B

A

D

+ + + +

19Automatique


q Modèle d'état de la boucle fermée

q Propriétés

+=+=

)()()()()(

tDUtCXtYtBUtAXX& )()()( tKXtrtU −=avec

−+=

−+=

))()(()()(

))()(()(

tKXtrDtCXtY

tKXtrBtAXX& ( )( )

+−=

+−=

)()()(

)()(

tDrtXDKCtY

tBrtXBKAX&

§Les modes du système en BF sont les pôles de la matrice A−BK

§Le système en BF est commandable par r(t) ssi le système en BO est commandable par U(t) càd . La propriété de commandabilité est invariante par retour d'état

§ La matrice de retour K offre des degrés de liberté pour

Ø imposer un comportement dynamique au système

Ø stabiliser le système (s'il est instable en BO)

)( BKAspecBF −∈λ

( ) ( )),(),( BBKArangBArang −= CC

20Automatique


q Matrice de transfert en BF

q Commande par retour d'état des systèmes commandables

BFBFBFBFBF DBAsICsH +−= −1)()(

DBBKAsIDKCsHBF ++−−= −1))(()( BBKAsICsHBF1)()( −+−=

Car généralement, D=0

ThéorèmeSi le système (A, B) est complètement commandable, il est possible par le choix de K de placer arbitrairement les valeurs propres du système en BF

§ Dynamique désirée en BFElle est caractérisée par les pôles désirés en BF : BFnBFBF ,,2,1 ,,, λλλ L

§ Polynôme caractéristique en BF

011

11

, )()( βββλ ++++=−= −−

=∏ sssssP n

nn

n

iBFiBF L

Trouver K tq 011

1)()det()( βββ ++++==+−= −−− ssssPBKAsIsP n

nn

BFBKA L§ Problématique

21Automatique

Commande des systèmes par placement de pôles

q Cas des systèmes mono-entrée, mono-sortie commandablesu Exemple

=

+

−

=

)(]01[)(

)(40

)(20

10

tXtY

tutXX&

§ Vérification de la commandabilité

[ ]

−

==84

40),( ABBBAC ( ) 2),( =BArang C

Système commandable

§ Pôles désirés en BF : 322,1 jBF −−=λ 322,2 jBF +−=λet

§ Polynôme caractéristique en BF

)322)(322()()(2

1, jsjsssP

iBFiBF −+++=−= ∏

=λ 164)( 2 ++= sssPBF

§ Représentation d'état du système en BF

( )

=+−=

)()()()(

tCXtYtBrtXBKAX&

avec [ ]21 kkK = )1et 2,( ==∈ × mnK nmR

[ ]2140

2010

kkBKA

−

−

=−

−−−

=−21 424

10kk

BKA

§ Matrice d'état en BF

22Automatique


q Cas des systèmes mono-entrée, mono-sortie commandables

§ Polynôme caractéristique de la matrice d'état en BF A−BK

))(det()( BKAsIsP BKA −−=−

122 4)42()( kskssP BKA +++=−

−−−

−

=−−

21 42410

1001

)(kk

sBKAsI

++

−=−−

21 4241

)(ksk

sBKAsI

§ Placement des pôles en BF

Pour avoir les pôles désirés en BF, il faut que )()( sPsP BFBKA =−

1644)42( 212

2 ++=+++ ssksks

==+

164442

1

2

kk 21et 4 21 == kk

[ ]214=K

Matrice de gains

§ Généralisation

Dans le cas général de n états, cette approché directe consiste à résoudre un système de n équations à ninconnues ki

)det()( BKAsIsP BKA +−=−

[ ]nkkkK L21= n élémentsIdentification

23Automatique


q Cas des systèmes mono-entrée, mono-sortie commandablesSi le système est commandable, on peut le mettre sous la forme canonique de commandabilité

=+=)()(

)()(tCXtY

tButAXX&

=+=)()(

)()(tXCtY

tuBtAXX

c

ccc&

ccc ATTA 1−=

BTB cc1−=

cc CTC =

avec

Tc matrice de passage d'une représentation quelconque commandable à sa forme canonique de commandabilité

XTX cc1−=

−−−−

=

−− 1210

1000

001000010

nn

c

aaaa

A

LL

OOMMOOM

LLL

[ ]0010 LL mc bbbC =

[ ]TcB 1000 L=

§ Commande dans l'espace d'état défini par les nouvelles variables Xc

)()()( tKXtrtu −= )()()( tXKTtrtu cc−= )()()( tXKtrtu cc−=

cc KTK =

24Automatique


q Cas des systèmes mono-entrée, mono-sortie commandables

§ Modèle d'état en BF dans l'espace d'état défini par les nouvelles variables Xc

( )

=+−=

)()()()(

tXCtYtrBtXKBAX

c

cccccc& [ ]ncccc kkkK L21=avec

[ ]

=

=

nccc

nccccc

kkk

kkkKB

LL

MMML

LM21

21 000

000

1

00

−−−−−−−−

=−

−−− ncncnncc

ccc

kakakaka

KBA

1,122110

1000

001000010

LL

OOMMOOM

LLL

−−−−

=

−− 1210

1000

001000010

nn

c

aaaa

A

LL

OOMMOOM

LLL

§ Polynôme caractéristique de la matrice d'état en BF Ac−BcKc

))(det()( cccKBA KBAsIsPccc

−−=−

)()()()( 10211

1 ccn

ncnn

KBA kaskaskassPccc

+++++++= −−− L

25Automatique


§ Placement des pôles

011

11

, )()( βββλ ++++=−= −−

=∏ sssssP n

nn

n

iBFiBF L

)()()()( 10211

1 ccn

ncnn

KBA kaskaskassPccc

+++++++= −−− L

)()( sPsP BFKBA ccc=−

Equation caractéristique (pôles désirés)

=+=+

=+ −−

010

121

11

ββ

β

c

c

nncn

kaka

kaM

−=−=

−= −−

001

112

11

akak

ak

c

c

nnnc

ββ

βM

Gains kci

On calcule ainsi la matrice Kc qui est la matrice de retour dans l'espace d'état défini par Xc

On en déduit la matrice K, matrice de retour dans l'espace d'état initial (défini par X) par :

cc KTK = cc KTK 1−=

26Automatique


q Cas des systèmes mono-entrée, mono-sortie commandablesu Procédure pratique de la mise en œuvre

1. Vérifier la commandabilité de la paire (A, B)

2. Déterminer l'équation caractéristique du système en BO

On en déduit les coefficients ai

3. Choisir les pôles correspondants au comportement désiré en BF

4. Calculer le polynôme caractéristique en BF à partir de ces pôles

5. Déterminer les gains ki,c tels que

6. En déduire la matrice de gain

011

1)det()( asasasAsIsP nn

nA ++++=−= −

− L

011

11

, )()( βββλ ++++=−= −−

=∏ sssssP n

nn

n

iBFiBF L

niak iici ,,111, L=−= −−β

cc KTK 1−=

Les colonnes de la matrice de changement de base Tc sont calculées par l'algorithme suivant

=+=)()(

)()(tCXtY

tButAXX&

27Automatique


q Cas des systèmes mono-entrée, mono-sortie commandablesu Algorithme de calcul des colonnes de Tc

[ ]cnccc TTTT ,,2,1 L= avec cncc TTT ,,2,1 ,,, L les colonnes de Tc

Les colonnes vérifient les relations suivantes :

BIaAaAT

BIaAaAT

BIaATBT

nn

nc

nncn

ncn

cn

)(

)(

)(

12

11

,1

212

,2

1,1

,

+++=

++=

+==

−−

−

−−−

−−

LM

Toute cette procédure est lourde à mettre en œuvre. On lui préfère la forme compacte de la formule d'Ackerman

28Automatique


q Cas des systèmes mono-entrée, mono-sortie commandablesu Formule d'Ackerman

u Application de la formule d'Ackerman

Elle donne directement l'expression de la matrice de retour

( ) )(),(]100[ 1 APBAK BF−= CL

avec IAAAAP nn

nBF 01

11)( βββ ++++= −

− L

Solution unique

1. Vérifier la commandabilité de la paire (A, B)

2. Choisir les pôles correspondants au comportement désiré en BF

3. Calculer le polynôme caractéristique en BF à partir de ces pôles

4. En déduire PBF(A). Appliquer la formule d'Ackerman

011

11

, )()( βββλ ++++=−= −−

=∏ sssssP n

nn

n

iBFiBF L

29Automatique


q Cas des systèmes multivariables commandables

nmK ×∈R( )

=+−=

)()()()(

tCXtYtBrtXBKAX&

avec

La matrice de retour K contient m×n gains qu'il faut déterminer

§Le placement des n pôles fournit n contraintes. Il reste à déterminer m(n-1) contraintes.

§Ces degrés de liberté servent alors à réaliser un placement de pôles robuste, à rejeter les perturbations ou à calculer la matrice de gain qui conduit à une consommation d'énergie minimale

§ Des méthodes numériques existent pour placer les pôles en BF

30Automatique


q Exemple numérique

=

+

−−

=

)(]01[)(

)(41

)(21

41

tXtY

tutXX&

§ Pôles désirés en BF :

322,1 jBF −−=λ 322,2 jBF +−=λet

[ ]21 kkK =Trouver

--> A=[1 4;-1 -2];

--->B=[1;4];

-->// Vérification de la commandabilité

-3->Ctr = cont_mat(A,B);

-->rang = rank(Ctr)

rang =

2.

-->// Pôles désirés en BF

-->poles = [-2 - %i*2*sqrt(3); -2 + %i*2*sqrt(3)];

-->// Placement des pôles par K

-->K = ppol(A, B, poles)

K =

! .92 .52 !

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