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David Aubin 01/12/16

UPMC - 3H011 1

Un aperçu des mathématiques au 20e siècle

[email protected]

2 décembre 2016 D. Aubin, Mathématiques au 20e siècle 1

3H011 – Éléments d’histoire des mathématiques

Sommaire

•  Retour sur l’algèbre au 19e siècle •  Mathématiques au 20e siècle

– « Big Science, Big Mathematics » – Paris 1900: les problèmes de Hilbert

•  Crise des fondements: –  la fin de la certitude? – Axiomatisation et structuralisme

•  Le rôle des guerres mondiales


RETOUR SUR L’ALGÈBRE DU 19E SIÈCLE


Représentation graphique des imaginaires

•  J. Wallis, Traité d’algèbre (1685): « aller en dehors de la ligne où si elles étaient réelles, elles seraient mesurées. »

•  Robert Argand (1806): « un genre de grandeur auquel peut s’allier l’idée de direction, de manière que, étant adoptées deux directions opposées, l’une pour les valeurs positives, l’autre pour les valeurs négatives, il en existât une troisième. »

Donc les imaginaires « sont des quantités tout aussi réelles que l’unité primitive. »


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z

z + z’

Réticences des mathématiciens

•  La troisième dimension résiste. •  Abandon de la « pureté » algébrique, indépendante de

la géométrie. Servois (1813): « je ne vois dans cette notation qu’un masque géométrique appliqué sur des formes analytiques dont l’usage immédiat me semble plus simple et plus expéditif. »

•  Fondée sur des conventions, et non des intuitions, l’algèbre ne peut être définie à partir d’une image géométrique.

•  Adoption progressive (v. 1847–1849) de la représentation géométrique des imaginaires à cause de l’interprétation qu’elle fournit de l’analyse complexe.


L’analyse complexe

•  Position formaliste de Cauchy: –  un nombre imaginaire est une « expression symbolique » (a,b) =

a + ib soumise à des « règles fixes » selon des « conventions établies. »

–  n’est qu’« un outil, un instrument de calcul. » •  Lettre de Gauss à Friedrich Wilhelm Bessel (1811):

–  « de même qu’on peut se représenter tout le domaine des quantités réelles au moyen d’une ligne droite indéfinie, de même on peut se représenter le domaine complet de toutes les quantités, les réelles et les imaginaires, au moyen d’un plan indéfini; où chaque point déterminé par son abscisse a et son ordonnée b, représente en même temps la quantité a+bi. Le passage continu d’une valeur de x à une autre a+bi se fait par conséquent suivant une ligne, et peut donc s’effectuer d’une infinité de manières. »


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UPMC - 3H011 2

William R. Hamilton (1805-1866)

•  Théorie arithmétique des nombres complexes.

•  Recherches d’extension à l’aide de triplets, etc.

•  1843: les quaternions.


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dbcadcba+−=×

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Les quaternions (1843)

Quadruplets (a,b,c,d)=a+bi+cj+dk. Les quaternions forment un corps non commutatif, dont le corps C des complexes est un sous-corps.


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−===Plaque à Brougham Bridge (Ireland): « En ce lieu, alors qu’il marchait, le 10 octobre 1843, Sir William Rowan Hamilton découvrit dans un éclair de génie la formule fondamental de la multipli-cation des quaternions. »

L’école algébrique anglaise •  L’influence de l’université Cambridge

–  1819: fondation de l’« Analytical Society » (John Hershell, Charles Babbage, William Whewell) à Cambridge Philosophical Society

•  En 1833, George Peacock (Analytical Soc.) –  Distinction entre « algèbre arithmétique » et

« algèbre symbolique » (science « pure » des symboles).

•  Augustus de Morgan, son disciple.

•  Arthur Cayley et les octaves. •  La logique mathématique et les lois de la

pensée de George Boole. –  « Les mathématiques traitent des opérations considérées

en elles-mêmes, indépendamment des matières diverses auxquelles elles peuvent être appliquées » (1847).


George Peacock

(1791–1858)

Augustus de Morgan (1806–1871)

qpqp ¬∧¬=∨¬ )(

Arthur Cayley (1821–1895)

George Boole (1815–1864)

Nouveaux objets en algèbre: les Matrices (v. 1858)

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•  Provient de l’usage des déterminants dans la résolution de systèmes d’équations linéaires.

•  Arthur Cayley: A Memoir on the Theory of Matrices (1858). Étude des propriétés de la multiplication des matrices (associativité, distributivité, commutativité).

•  Seront utilisés par Heisenberg (1924) dans la formulation de la mécanique quantique.


Groupes abstraits les tableaux de Cayley (1854) 1 a b c d e 1 1 a b c d e a a b c d e 1 b b c d e 1 a c c d e 1 a b d d e 1 a b c e e 1 a b c d


1 a b c d e 1 1 a b c d e a a b 1 e c d b b 1 a d e c c c d e 1 a b d d e c a 1 a e e c d a b 1

« Un ensemble de symboles 1, a, b, … tous distincts, et tels que le produit de deux d ’entre eux (dans n’importe quel ordre), ou le produit de l’un d’entre eux par lui-même appartienne à l ’ensemble est un groupe. »

Espaces vectoriels à n dimensions

•  Quaternions, octaves, matrices, et vecteurs… •  Hermann Günther Grassmann, lettre à

Cauchy (18 avril 1847) à propos de son Die lineale Ausdehnungslehre: –  « J’y ai déposé les principes d’un calcul véritablement

géométrique à l’aide duquel on pourrait calculer des points, des lignes, des aires et des angles presque comme des nombres sans avoir besoin de réfugier à des coordonnées ou à d’autres suppositions arbitraires. »

•  Produit extérieur et produit intérieur. •  L’électromagnétisme de James Clerk Maxwell

exprimée d’abord avec les quaternions, puis le calcul vectoriel.


Hermann Günther

Grassmann

(1809–1877)

James Clerk Maxwell (1831–1869)


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Nouveaux visages de l ’algèbre (début du 20e s.)

•  L’œuvre d’Emmy Noether. •  Vaste synthèse: Bartel van der

Waerden, Moderne Algebra (1930). •  Nouveaux objets:

–  Groupes, Corps, Anneaux, Modules, Espaces vectoriels…

•  Les relations deviennent le sujet privilégié des algébristes.

•  Les structures algébriques: des axiomes sans contenu intuitif.


Bartel van der Waerden (1903–1996)

La construction des nombres réels (1876)

•  Dedekind, Continuité et nombres réels. –  « des fondements purement

arithmétiques, et tout à fait rigoureux, aux principes de l’analyse infinitésimale. »

–  Idée de « coupure ». –  « Si l ’on sépare toutes les grandeurs d’un

domaine constitué de façon continue en deux classes telles que toute grandeur de la première classe est plus petite que toute grandeur de la seconde classe, alors il existe ou bien dans la première classe une grandeur qui est la plus grande, ou bien dans la seconde classe une grandeur qui est la plus petite. »


Richard Dedekind (1831–1916)

Arithmétisation des mathématiques

•  Leopold Kronecker (1886):

–  « J’ai la conviction qu’un jour, nous réussirons à « arithmétiser » le contenu complet des disciplines mathématiques, c’est-à-dire de les fonder exclusivement sur la notion de nombre prise dans son sens strict en nous débarrassant des modifications et des extensions à cette notion, la plupart inspirée par les applications à la géométrie et à la mécanique. »

•  Cela est réalisé avec Dedekind, Hilbert et Cantor.


Georg Cantor (1845-1918)

•  Théorie des ensembles •  Dénombrabilité des nombres

rationnels •  Arithmétisation de l’infini.


Q est dénombrable

•  « Si deux ensembles bien définis M et N se laissent coordonner l’un à l’autre, élément par élément, de façon univoque et complète, je me sers de l’expression qu’ils égale puissance » (Cantor 1872).

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L’intervalle, et donc R , n ’est pas dénombrable

•  « Je le vois mais je ne le crois pas » (Dedekind).

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•  Hypothèse du continu: les sous-ensembles infinis de Rn ont la puissance de N, soit celle de R.

•  Indécidable! (P. J. Cohen 1963).


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Axiomatisation de l’arithmétique

•  Gottlob Frege (1848-1925) •  Guiseppe Peano (1858-1932) •  Ernst Zermelo (1871-1953) •  Adolf Fraenkel (1891-1965) •  Paradoxe de la théorie des

ensembles


Un paradoxe troublant

•  Bernard Russel (1872-1970).

•  Un ensemble peut se contenir lui-même.

•  Soit A l’ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas.

•  A est-il ou non dans A?


Mathématiques au 20e siècle

1. « Big Science, Big Mathematics » 2. Paris 1900: les problèmes de Hilbert


« Big Science »

•  Env. 2000 mathématiciens actifs en 1950 ; env. 100 000 aujourd’hui.

•  Croissance exponentielle du nombre d�articles publiés (double tous les 20 ans).

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1900

1910

1920

1930

1940

1950

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1970

1980

1990

2000


Les problèmes séculaires

•  Théorie des parallèles –  Les géométrie euclidiennes et non euclidiennes comme

« conventions » à la topologie et la géométrie moderne.

•  Nature des nombres –  Les nombres réels, complexes, construits à partir des

naturels. à l’algèbre moderne.

•  L’infini, les fondements de l’analyse –  Théorie des ensembles comme base de l’analyse des

transfinis, etc. à l’analyse fonctionnelle.

•  Quelles nouvelles mathématiques ?


•  John Charles Fields Legacy Symposium, 7–9 juin 2000 •  Deux ères différentes:

–  1900–1950 : « spécialisation » –  1950–2000 : « unification ».

•  Des tendances globales: –  Du local au global, du linéaire au non-linéaire, du commutatif au non-

commutatif… –  L’influence de la physique

•  Des techniques en commun: –  homologie, K-théorie, groupes de Lie.

THE EVOLUTION OF... Edited by Abe Shenitzer and John Stillwell

Mathematics in the 20th Century' Michael Atiyah

If you talk about the end of one century and the beginning of the next you have two choices, both of them difficult. One is to survey the mathematics over the past hundred years; the other is to predict the mathematics of the next hundred years. I have cho- sen the more difficult task. Everybody can predict and we will not be around to find out whether we were wrong. But giving an impression of the past is something that everybody can disagree with.

All I can do is give you a personal view. It is impossible to cover everything, and in particular I will leave out significant parts of the story, partly because I am not an expert, and partly because they are covered elsewhere. I will say nothing, for example, about the great events in the area between logic and computing associated with the names of people like Hilbert, G6del, and Turing. Nor will I say much about the applications of mathematics, except in fundamental physics, because they are so numerous and they need such special treatment. Each would require a lecture to itself. Moreover, there is no point in trying to give just a list of theorems or even a list of famous mathe- maticians over the last hundred years. That would be rather a dull exercise. So instead I am going to try and pick out some themes that I think run across the board in many ways and underline what has happened.

Let me first make a general remark. Centuries are crude numbers. We do not really believe that after a hundred years something suddenly stops and starts again. So when I describe the mathematics of the 20th century, I am going to be rather cavalier about dates. If something started in the 1890s and moved into the 1900s, I shall ignore such detail. I will behave like an astronomer and work in rather approximate numbers. In fact, many things started in the 19th century and only came to fruition in the 20th century.

One of the difficulties of this exercise is that it is very hard to put oneself back in the position of what it was like in 1900 to be a mathematician, because so much of the mathematics of the last century has been absorbed by our culture, by us. It is very hard to imagine a time when people did not think in our terms. In fact, if you make a really important discovery in mathematics you will get omitted altogether! You simply get absorbed into the background. So going back, you have to try to imagine what it was like in a different era when people did not think in our way.

1. LOCAL TO GLOBAL. I am going to start by listing some themes and talking around them. My first theme is broadly under what you might call the passage from the local to the global. In the classical period people on the whole would have studied things on a small scale, in local coordinates and so on. In this century, the emphasis has shifted to try and understand the global, large-scale behavior. And because global behavior is more difficult to understand, much of it is done qualitatively, and topo- logical ideas become very important. It was Poincare who both made the pioneering

'This article is based on a transcript of a recording of the author's Fields Lecture at the World Mathematical Year 2000 Symposium, Toronto, June 7-9, 2000.

654 ? THE MATHEMATICAL ASSOCIATION OF AMERICA [Monthly 108


Sir Michael Atiyah (1929– )


UPMC - 3H011 5

Congrès de Paris, 1900

Henri Poincaré(1854-1912) David Hilbert (1862-1943)


Poincaré 1900

•  11 août – Congrès international des mathématiciens : « Du rôle de l’intuition et de la logique en mathématiques ». –  Intuition pour la découverte (esprit géométrique) et logique pour la

démonstration (esprit analytique).

•  Congrès international de physique : « Sur les rapports de la physique expérimentale et de la physique mathématique » –  Expérience comme seule source de vérité et physique mathématique

comme généralisation.

•  Congrès de philosophie : « Sur les principes de la mécanique ».

•  Séance des 5 Académies : « La Géodésie française »


EXPOSITION UNIVERSELLE DE 1900

•  Paris, « ville lumière »


Palais de l’électricité à l’Exposition universelle de 1900 à Paris

2e Congrès international des mathématiciens.

Les 23 problèmes de Hilbert


Présentés le 8 août 1900:

1er problème de Hilbert

•  Tout sous-ensemble infini des réels peut être mis en bijection avec l'ensemble des entiers naturels ou avec l'ensemble des réels lui-même.

•  L�hypothèse du continu de Georg Cantor.

•  1938: la négation de l�hypothèse du continu est indémontrable dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (Kurt Gödel)

•  1962: l�hypothèse du continu n�est pas démontrable dans ZFC (Paul Cohen).


Paul J. Cohen (1934–2007),

médaille Fields 1966

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2e problème de Hilbert

•  Peut-on prouver la consistance de l'arithmétique ? En d'autres termes, peut-on démontrer que les axiomes de l'arithmétique ne sont pas contradictoires ?

•  1931: théorèmes d’incomplétude de Gödel. 1.  Dans n'importe quelle théorie récursivement

axiomatisable, cohérente et capable de « formaliser l'arithmétique », on peut construire un énoncé arithmétique qui ne peut être ni prouvé ni réfuté dans cette théorie.

2.  Si T est une théorie cohérente qui satisfait des hypothèses analogues, la cohérence de T, qui peut s'exprimer dans la théorie T, n'est pas démontrable dans T.


Kurt Gödel (1906–1978)

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•  Étant donnés deux polyèdres d'égal volume, peut-on découper le premier polyèdre en des polyèdres et les rassembler pour former le second polyèdre ?

•  1902: Max Dehn prouve que non –  les invariants de Dehn

•  Si P peut être découpé en P1 et P2 alors D(P)=D(P1)+D(P2)

–  exemple du cube (D=0) et du tétraèdre (D≠0).


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Max Dehn (1878–1952)


•  Définir toutes les géométries dont la plus courte distance entre deux points est un segment de droite.

•  Le développement de la géométrie différentielle (étude locale de la géométrie intrinsèque des espaces) a permis d’avancer sur cette question sans la résoudre.



•  Démontrer que les groupes de Lie sont nécessairement différentiables.

•  Groupes de Lie: [Sophus Lie (1842-1899)] –  Une structure algébrique G est un

groupe de Lie réel ou complexe lorsque : •  G est une variété différentiable réelle ou

complexe ; •  G, munie de deux fonctions G×G à G

(multiplication) et G àG (inversion), est un groupe ;

•  les applications de multiplication et d'inversion sont différentiables.

•  1953: théorème de Gleason.


Andrew Gleason (1921-2008) dans son uniforme de la Marine américaine pendant la 2e Guerre Mondiale. ht

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•  L'axiomatisation, fondée sur le modèle mathématique, de la physique.

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•  Démontrer la transcendance des nombres ab, avec a algébrique et b irrationnel (par exemple 2√2).

•  Théorème de Gelfond-Schneider, 1929–1935 –  Prouvé dans le cas où b est algébrique. –  Produit une infinité de nombres

transcendants.


Aleksandr Gelfond (1906-1968) ht

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Theodor Schneider (1911–1988) ht

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•  Démontrer l'hypothèse de Riemann.

•  Hypothèse de Riemann: –  Formulée en 1859 par Bernhard Riemann (1826-1866). –  Les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann

ont tous pour partie réelle ½.

•  Non résolue: malgré la conjecture de André Weil résolue par Pierre Deligne.

•  un des grands problèmes ouverts des mathématiques. [problème Clay: 1 million de dollars].

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André Weil (1906–1998)

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UPMC - 3H011 7

Problèmes de Hilbert

9. Nombre de solutions d’une congruence quadratique dans un anneau d'entiers d'un corps algébrique (résolu 1921-1927).

10. Existe-t-il un algorithme universel permettant de conclure à l'existence de solutions d'une équation diophantienne ? (solution partielle)

11. Généraliser la classification des formes quadratiques à celles dont les coefficients sont choisis dans des anneaux d'entiers algébriques.(résolu par Siegel).

12. Généralisation d'un théorème de Kronecker portant sur les corps algébriques (solution partielle).

13. Existe-t-il des fonctions continues de 3 variables non superposables par des fonctions continues de deux variables ? (Non, par Kolmogorov et Arnold, 1954).

Etc...


Crise des fondements

La fin des certitudes?


Crise des fondements

•  Rappel: – Géométrie non euclidiennes, basées sur la

géométrie euclidienne (Beltrami) – Géométrie euclidienne basées sur l�arithmétique

(Dedekind, Hilbert) – Arithmétique basée sur la théorie des ensembles

(Cantor, Zermelo-Fraenkel) – Théorie des ensembles basées sur la logique

(Russell Whithead) •  Théorèmes d’incomplétude de Gödel…


Axiomatique et structuralisme


Nicolas Bourbaki

•  Groupe de mathématiciens fondé en 1934, tous français à l�origine. –  André Weil, Jean Dieudonné, Claude Chevalley, Henri

Cartan, Laurent Schwartz, Jen-Pierre Serre...

•  Auteur des Éléments de mathématique. •  Exerce une influence profonde sur les

mathématiques depuis les années 1950. •  « L’architecture des mathématiques » (1948)


Congrès de Besse-en-Chandesse, juillet 1935


Henri Cartan

René de Possel

Jean Dieudonné

André Weil

Claude Chevalley

Szolem Mandelbrojt


UPMC - 3H011 8

Méthode axiomatique selon Bourbaki (1)

« Aujourd’hui […] l’essentiel de l’évolution des mathématiques a consisté en une systématisation des relations entre les diverses théories mathématiques et se résume à une tendance qui est généralement connue sous le nom de méthode axiomatique. De même que la méthode expérimentale part de la croyance a priori en la permanence des lois naturelles, la méthode axiomatique trouve son point d’appui dans la conviction que, si les mathématiques ne sont pas un enchaînement de syllogismes se déroulant au hasard, elles ne sont pas davantage une collection d’artifices plus ou moins ‘astucieux’. Là où l�observateur superficiel ne voit que deux ou plusieurs théories en apparence très distinctes […], la méthode axiomatique enseigne […] à trouver les idées communes enfouies sous l'appareil extérieur des détails... »


« Structures mathématiques » selon Bourbaki

« Le trait commun des diverses notions désignées sous ce nom générique, est qu’elles s’appliquent à des ensembles d’éléments dont la nature n’est pas spécifiée ; pour définir une structure, on se donne une ou plusieurs relations, où interviennent ces éléments ; on postule ensuite que la ou les relations données satisfont à certaines conditions (qu’on énumère) et qui sont les axiomes de la structure envisagée. Faire la théorie axiomatique d’une structure donnée, c’est déduire les conséquences logiques des axiomes de la structure en s’interdisant toute autre hypothèse sur les éléments considérés (en particulier, toute hypothèse sur leur ‘nature’ propre). »


La déraisonnable efficacité des mathématiques ?

•  Texte du physicien théoricien Eugene Wigner (1948).

•  Chez Bourbaki: « la mathématique apparaît en somme comme un réservoir de formes abstraites--les structures mathématiques; et il se trouve - sans que l �on sache bien pourquoi - que certains aspects de la réalité expérimentale vienne se mouler en certaines de ces formes, comme par une sorte de préadaptation. »

•  Est-ce bien si déraisonnable ? à le point de vue historique !


Eugene P. Wigner (1902 – 1995)

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Les rôle des guerres mondiales


Première guerre mondiale (1914�1918)

•  Les quatre rôles joués par les mathématiciens : –  Soldats et combattants –  Mobilisation scientifique –  Organisation de la recherche –  Croisade culturelle


Première guerre mondiale

•  Mobilisation des mathématiciens –  Balistique; Mécanique des fluides (aviation); Repérage par le

son.

•  Travail en collaboration avec les militaires sur des projets précis avec financement important

•  Importance du calcul •  Rôle politique (ex: Paul Painlevé). •  Exclusion des mathématiciens allemands des congrès

internationaux.



UPMC - 3H011 9

Jean Piglowski, 25 ans en 1914. Etudiant de mathématiques à l’ENS de la rue d’Ulm.

Mort le 18 février 1915.


Camp d’entraînement de mitrailleurs

De nombreux mathématiciens y sont affectés


Une génération perdue?

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1913

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1916

1917

Année de la promotion


Proportion des élèves de l’ENS qui sont disparus par année de promotion

Repérage par le son, au Bois de Boulogne Charles Nordmann (33 ans), le 17 novembre 1914


Le repérage par le son Mise en pratique de la science sur le front.


Paul Appell, 59 ans

Doyen de la Faculté des Sciences. Président de l’Académie des Sciences. Président de la Commission des inventions intéressant la défense nationale.



UPMC - 3H011 10

Sauver la science ! Appell, le 21 décembre 1914

« Que faut-il penser ? La Science, la Philosophie, la Religion ne sont-elles donc que des mots vides de sens, faux semblants hypocrites ?... Ont-ils donc perdu toute leur peine, les hommes de pensée et les hommes d’action qui ont consacré un si long effort à substituer dans le monde le règne de la Justice au règne de la force brutale ? Il faut répondre : Non, mile fois non ! »


Paul Painlevé, 52 ans Ministre de l’Instruction publique et des inventions intéressant la défense nationale en 1915.


Émile Borel, 43 ans.

Directeur de l’ENS. Chef de cabinet de Painlevé, Direction des inventions intéressant la défense nationale. 9120 projets examinés, 781 inventions développées.


UNCLASSIFIED

SUMMARY TECHNICAL REPORT OF THE

APPLIED MATHEMATICS PANEL, NDRC

VOLUME 1

MATHEMATICAL STUDIESRELATING TO MILITARY

PHYSICAL RESEARCH

OFFICE OF SCIENTIFIC RESEARCH AND DEVELOPMENT

VANNEVAR BUSH, DIRECTOR

NATIONAL DEFENSE RESEARCH COMMITTEE

JAMES B. CONANT, CHAIRMAN

APPLIED MATHEMATICS PANEL

WARREN WEAVER, CHIEF

WASHINGTON, D. C., 1946

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Deuxième guerre mondiale

•  Mobilisation encore plus massive et plus systématique. à the Applied Mathematics Panel –  Bombe A; décryptage; radar;

organisation de la production et des convois transatlantiques.

•  Invention de l’ordinateur ENIAC. •  Recherche opérationnelle,

programmation linéaire, cybernétique.

•  Calcul, analyse numérique, etc.



Prosper Eckert

John Mauchly

L�ENIAC (Philadelphie1946)

« First Draft of a Report on EDVAC » (J. von Neumann, 1945)

•  Electronic Discrete Variable Automatic Computer

•  programme enregistré •  Une machine

universelle de Turing (1936)


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UPMC - 3H011 11

Les mathématiques de la Guerre froide, 1945�1989

•  Émergence des mathématiques appliquées comme champ de recherches autonome

•  Cybernétique, calcul numérique, recherche opérationnelle, théorie des jeux, théorie du contrôle, théorie de l’information, etc.

•  Mathématiques abstraites qui s’autonomisent encore plus: les dividendes de la guerre froide ?


Les mathématiques à l’ère numérique

•  Dans les mathématiques pures, l’impact de l’ordinateur sur le développement des mathématiques a été très lent à se faire sentir massivement

•  Le cas Steve Smale –  “If only conformists need apply [to NSF],

1984 is here already. What can Stephen Smale do that a computer can’t do a lot faster? And besides, a computer wouldn’t talk back.” (Washington Star (November 9, 1967).


MathématiquesL’explosion continue

Mathématiques à l’ère néo-libérale

•  Émergence de nouveaux domaines, comme les mathématiques financières, l’analyse de systèmes, les « big data », etc.

•  L’ « explosion des mathématiques » (2002-2013)

•  Quelle place pour les mathématiques pures ?


IHP, SMF, FSDS, SMAI, 2013

Les problèmes du millénaire

» Clay Mathematics Institute, fondé en 1998 par le l’homme d’affaire Landon T. Clay.

•  7 problèmes: –  Hypothèse de Riemann –  Conjecture de Poincaré

(résolue en 2003 par Gregori Perelman, né en 1966) –  Problème P = NP –  Conjecture de Hodge –  Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer –  Équations de Navier-Stokes –  Équations de Yang-Mills


Conclusions générales

•  L’expérience mathématique comme constante dans des situations diverses. –  Diversité des concepts, des pratiques et des applications ? –  Unité des problématiques ?

•  Quelques tournants marquants : –  Invention de la preuve chez les Grecs de l’Antiquité. –  Convergence des pratiques à la Renaissance à émergence de l’analyse.

–  Profonde rupture au 19e siècle à mathématiques structurales qui modifient le rapport avec le monde.

–  Quel impact du numérique ?


3h011 cours11 2016-2017bis - imj-prgdavid.aubin/cours/cours/3h... · 2016. 12. 6. · •...

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