1Cours n°10

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UV Théorie de l’ Information

Cours n° 10 :

Codage de canal� Techniques courantes en codage de canal

− Codes en blocs

− Codes convolutifs

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Techniques courantes en codage de canal� Classification :

⇒ Codes détecteurs d’erreurs permettant au destinataire seul ement de ne pas t eni r compt e du symbol e r eçu

• Remarque : Si le canal est bidirectionnel, le destinataire a la possibilité de demander la répétition du dernier symbole reçu.

⇒ Codes correcteurs d’erreurs permettant non−seul ement l a dét ect i on, mai s aussi l a cor r ect i on des er r eur s

� Évaluation des capacités de détection et correction des codes binaires : Di st ance mi ni mal e de Hammi ng

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Classification des codes détecteurs et correcteurs d’erreurs

� Codes en blocs : traitements effectués par blocs de n symboles (appel és aussi mot s−code de l ongueur n)

⇒ Codes−groupes : mots−code considérés comme des éléments dans un espace vectoriel, à savoir des vecteurs

⇒ Codes cycliques : mots−code considérés comme des éléments dans une algèbre, à savoir des polynômes

� Codes convolutifs : traitements effectués de manière continue, c’est à dire un signe après un autre

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Codes−groupes

� Codes q−aires : mots−code considérés comme des éléments d’un corps à q éléments

Codes binaire : mots−code considérés comme des éléments du corps de Galois à 2 éléments notés (0, 1).

⇒ Remarque : Les opérations d’addition et de soustraction étant identiques dans le cas d’un corps à 2 éléments, elles seront notées par le même symbole +

+ 0 10 0 11 1 0

* 0 10 0 01 0 1

Addition modulo 2 Multiplication

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Codes−groupes binaires� Supposons un codeur de source qui émet à une cadence

d’émission

⇒ Le codeur de canal associe à chaque bloc de k bits, un nouveau bloc de n bits (n>k) contenant n−k bits de redondance

⇒ Le modulateur module une porteuse à partir du signal codé binaire

⇒Remarque : t emps r éel => t r ansmi ssi on des n bi t s pendant l e même i nt er val l e de t emps ∆T ( qu’ aupar avant l es k bi t s)

DS bits�s

Codeur de canal

ModulateurCodeur de source

DS bits�s DC bits

�s � DS

n

k

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Codes−groupes binaires� Soit C(n,k) un code ayant une longueur de bloc n

dont k bits d’ information :

⇒ Ensemble de Mots−code : constitué de blocs de n bits, blocs issus du codeur de canal

⇒ Rendement du codage = k/n� Réalisation du codage/décodage à l’aide d’additions et

de multiplications sur des éléments binaires (OU et ET excl usi f )

⇒ Exemple : 1 bit de contrôle de parité correspondant à un OU exclusif sur l’ensemble des k bits

2k

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Codes−groupes binaires� Soit C(n,k) un code ayant une longueur de bloc n

dont k bits d’ information : ⇒ Code linéaire : si les n−k bits de contrôle sont déterminés

par des sommes modulo 2 sur les k bits d’ information

⇒ Code systématique : si les n−k bits de contrôle ainsi obtenus sont rangés à la suite de k bits d’ information

• Exemple : Code de Hamming pour n=7 et k=4Symbole Codé binaire Bits de contrôle Décimal d1 d2 d3 d4 p1 p2 p3

0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 1 1 12 0 0 1 0 0 1 1... ... ...15 1 1 1 1 1 1 1

p1 � d1 � d2 � d4

p2 � d1 � d3 � d4

p3 � d2 � d3 � d4

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Matrice génératrice du codage

� Soit Gij (à k l i gnes et à n col onnes ), la matrice

génératrice d’un code C(n,k)

� Soit un bloc de k bits d’ information

⇒le mot−code associé est obtenu au moyen d’une relation matricielle :

m� m0 ,m1 , ...mk � 1

c � c0 ,c1 , ...cn � 1

c � mG

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Matrice génératrice du codage

� La matrice génératrice d’un code linéaire n’étant pas unique, elle peut être écrite sous la forme : , où I

k est l a mat r i ce i dent i t é et P une mat r i ce de

di mensi on k* ( n−k)

� Cette matrice génératrice G engendre des mots−code de la forme : ; l es k bi t s d’ i nf or mat i on

et l es n−k bi t s de r edondance ét ant ai nsi sépar és

=> code systématique

G � I k ,P

c � m,mP

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Matrice de contrôle de parité

� La matrice de contrôle de parité H d’un code linéaire, satisfait la relation matricielle :

� Cette matrice (à n−k l i gnes et à n col onnes) est donnée par : , où I

k est l a mat r i ce

i dent i t é et P une mat r i ce de di mensi on k* ( n−k)

� Tout mot−code c est orthogonal aux lignes de la matrice de parité H ( )

⇒ H permet de détecter si un message reçu r est un mot−code

GHT � 0

H � PT , I n � k

cHT � mGHT � 0

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Détection et correction des erreurs� Supposons c le mot−code émis et r le vecteur reçu,

alors la règle de décodage doit tester :

⇒ si r est un mot−code et le cas échéant (r≠c) corriger les erreurs

� Le vecteur reçu r peut s’écrire sous la forme : où une composante du mot−erreur e égale à 1 indique la présence d’une erreur de transmission (sur l a posi t i on

cor r espondant e du mot −code c).⇒ Remarque : il faudrait que pour chaque mot −er r eur e

pouvant être généré par les perturbations du canal, i l y ai t un seul cor r ect eur di st i nct et ≠ 0

r � c � e

Canal

e

c r

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Classification des erreurs

� Erreurs individuelles : apparaissant indépendamment les unes des autres (sous l ’ hypot hèse que chaque si gne t r ansmi s est per t ur bé de mani èr e i ndépendant e) comme suite à l’action des bruits de fluctuation

� Paquets d’erreurs : succession de signes (cor r ect s ou er r onés) dans laquelle le 1er et le dernier signes sont erronés comme suite à des perturbations (d’ impulsions ou des interruptions) dont la durée dépasse celle d’un signe

• Remarque : les signes corrects successifs apparaissent en groupes plus petits qu’un paramètre dépendant de la statistique du canal

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Détection des erreurs

� Soit s le syndrome du mot−code reçu r

⇒ Si s ≠0 alors r n’est pas un mot−code (i l y a eu donc des er r eur s de t r ansmi ssi on)

� Remarque : Un syndrome nul ne signifie pas nécessairement une absence d’erreur.

⇒ Ex : transformation du mot−code émis c en un autre mot−code c’

s� rHT � c � e HT � eHT

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Distance de Hamming

� Entre 2 vecteurs binaires u et v ( = nombr e de bi t s di f f ér ent s) :

⇒ ,

Où est le poids de leur vecteur somme � Poids d’un mot−code c ( = nombr e de bi t s

non−nul s)

⇒ ,

• C’est à dire la distance de Hamming entre ce mot et le vecteur nul

dH u,v PH u v

PH c PH c,VecteurNul dH c,VecteurNul

dH u,v

PH u v

PH c

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Distance de Hamming et correction d’erreurs

� Règle de décodage en présence d’erreurs de transmission (syndr ome s non−nul ) :

⇒ Rechercher le mot−code le plus vraisemblable au mot−code reçu r :

• , pour l equel l a di st ance de Hammi ng est mi ni mal e

⇒ Remarque : mise en oeuvre difficile lorsque le nombre de mots−code (2k) est important

dH r, �c � PH r,c pour c ��c�c

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Distance de Hamming et correction d’erreurs

� Règle de décodage en présence d’erreurs de transmission (syndr ome s non−nul ) :

⇒ Plusieurs configurations du mot−erreur e pouvant conduire à une même valeur du syndrome s (pui sque i l y a 2n−1 conf i gur at i on d’ er r eur et seul ement 2n−k

conf i gur at i ons du syndr ome)

⇒ Rechercher la configuration du vecteur d’erreur e de poids minimal, en terme de distance de Hamming, puis calculer

� Remarque : mise en oeuvre difficile lorsque le nombre de bits de redondance n−k excède seulement quelques unité

�c r � e modulo2

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Pouvoir de détection et de correction

� Distance minimale de Hamming du code (= l a pl us pet i t e di st ance ent r e 2 mot s−code), c’est à dire le poids minimal des mots−code excluant le vecteur nul

� Pour détecter i erreurs pouvant intervenir dans une position quelconque du mot−code =>

� Pour corriger i erreurs pouvant intervenir dans une position quelconque du mot−code =>

� Pour corriger i erreurs et détecter d erreurs =>

dmin

dmin i 1

dmin 2 � i 1

dmin 2 � i 1 d

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Choix d’un code binaire correcteur d’erreur� Code correcteur pour une erreur unique :

⇒ k premières colonnes de H doivent être différentes entre elles et différentes d’une colonne de la matrice unité et d’une colonne ne comprenant que des zéros.

⇒ n−k bits de redondance peuvent être rangés selon 2n−k possibilités

� Code correcteur pour Nc erreurs :

2n � k � n � k 1 � k � 2n � k � n 1

2n � k � �i � 0

i � Nc

C ni

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Code−groupe binaire de parité� 1 seul bit de redondance par mot−code déterminé pour obtenir :

• , où les mi désignent les n bits du mot−code

� => détection d’une erreur isolée (ou un nombr e i mpai r e d’ er r eur ) par bloc ; pas de possibilité de correction

⇒ Règle de décodage : calcul de la somme des n bits du mot reçu ; si cette somme est paire il n’y a pas d’erreurs

•

�i � 0

i � n � 1

mi modulo2

dmin 2

G n � 1 � n �1 0 0 ... 0 10 1 0 ... 0 1... ... ... ... ... ...0 ... ... 0 1 1

H 1, n � 11...1

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Code−groupe binaire à répétition� 1 seul bit d’ information les autre étant une répétition de celui−ci

� (longueur du mot−code) => détection de n−1 erreurs ; ou correction de (n−1)/2 erreurs

•

•

⇒ Règle de décodage : si le nombre de 1 dans le mot reçu est supérieur au nombre de 0 => le bit d’ information émis est 1 ; sinon le bit d’ information émis est 0

•

dmin n

H n � 1 � n �1 1 0 0 ... 0 01 0 1 0 ... 0 0... ... ... ... ... ... ...1 0 0 0 ... 0 1

G 1 � n � 11...1

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Code−groupe binaire de Hamming

� 1a longueur n du mot−code et le nombre de bits d’ information k sont de la forme :

� => détection de 2 erreurs ou correction de 1 erreur

� Colonnes de la matrice de parité H = représentations binaires (sur n−k bits) des nombres de 1 à n

⇒ Règle de décodage : En présence d’une erreur, le syndrome prend la valeur de la colonne de la matrice de contrôle de parité H correspondant au rang de l’erreur => la position de l’erreur (que l ’ on peut ensui t e cor r i ger )

n � 2m 1et k � 2m m 1

dmin 3

!m"$#

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Code binaire cyclique BCH

� Généralisation du code de Hamming (t>1) pour la correction d’erreurs multiples par bloc

� Fondé sur l’algèbre des corps de Galois

� les paramètres n , k et dmin

sont de la forme :

⇒ Mise en oeuvre : Facile à l’aide des registres de décalage et d’opérations logiques combinatoires

•

n � 2m 1,k � 2m m 1et dmin % 2 & t ' 1

!m,t "$#

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Code q−aire de Reed−Solomon� Adapté à la correction de salves d’erreurs (er r eur s gr oupés)

⇒ Utilisé en code externe dans les codes concaténés pour corriger les paquets d’erreurs en sortie du décodeur interne

� Les paramètres n , k et dmin

sont de la forme :

• , où t = capacité de correction du code en nombre de signes q−aires

⇒ Remarque : Capacité de correction ≤ (n−k)* t [bits]

⇒ Ex : Un code à t =2 [ si gnes quat er nai r es] peut cor r i ger 8 bi t s er r onés , ssi ces bi t s sont bi en l ocal i sés sur 2 si gnes consécut i f s, ou un paquet de 4 bi t s consécut i f s dans un même mot −code

•

n � q 1,k � n 2 & t et dmin � 2 & t ' 1