1Automatique

Correction des systèmes linéaires continus asservis

UV Automatique

ASI 3

Cours 6

2Automatique

Contenu

! Introduction" Problématique de l'asservissement

! Différentes méthodes de correction" Correction série, correction parallèle

" Correction par anticipation

! Eléments du cahier de charges

! Synthèse des correcteurs série usuels" Correcteur proportionnel P" Correcteurs I, PI, retard de phase

" Correcteurs PD, avance de phase

" Correcteur PID

3Automatique

Introduction (1)

! Problématique de l'asservissement" Caractéristiques du système piloté (entité non modifiable)

" Objectif de l'asservissement#Amener le système à suivre un comportement fixé par un

cahier de charges # Comment faire ? Utiliser un dispositif complémentaire : le

correcteur en boucle fermée

H(s)

G(s)

Ha(s) ys u

d

Capteur

Actionneur Système

y

# système mal amorti# système lent# système peu précis# système présentant une tendance

à la dérive# cas extrême : système instable

4Automatique

Introduction (2)

! Problématique de l'asservissement

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Entrée Sortie

0 2 4 6 8 10 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ConsigneSortie

Système à commander Comportement désiré

$ Réponse oscillatoire$ Réponse mal amortie$ Ecart avec l'entrée en

régime établi

$ Réponse oscillatoire$ Réponse bien amortie$ Erreur statique nulle

Pour corriger le comportement du système : un correcteur

5Automatique

H(s)

G(s)

Ha(s) ysuyc + - ε

y

d

++

F(s)

-+

C(s)

Méthodes de correction (1)! Correction série

! Correction parallèle

H(s)

G(s)

Ha(s) ysuyc +-

ε

C(s)

y

Correcteur

d

++

F(s)

Rôle du correcteur : élaborer le signal de commande u approprié à partir du signal d'erreur ε

6Automatique

H(s)

G(s)

Ha(s) ysuyc +-ε

y

d

++

F(s)

-+

C2(s)

C1(s)

Méthodes de correction (2)

! Correction série-parallèle

! Correction par anticipation

H(s)

G(s)

Ha(s) ysuyc +- ε

y

d

++

F(s)

+

Wc(s)

C(s)

Wd (s)

−−−− −−−−

7Automatique

Méthodes de correction (3)! Remarques

% La correction série est la plus couramment utilisée % Pour la correction série, le schéma d'asservissement est

transformé en un asservissement à retour unitaire

H(s)

G(s)

Ha(s) ysuyc +-

ε

C(s) y

d

++

F(s)

)()()()( sGsHsCsH BOC =

)(1)()(sH

sHsHBOC

BOCBF +

=

)()()( sYsGsY s=

En général, λ=)(sGavec λ une constante

y et yc sont alors de même nature

)()()( sHsHsH sa=

)()()( sGsHsH BONC =

8Automatique

Exigences de l'asservissement (1)! Cahier de charges

! Elements du cahier de charges

1. Stabilité# On analyse la stabilité par les critères de Routh et de Nyquist

2. Marges de stabilité# Si marges de stabilité faibles ⇒ système proche de l'instabilité

en BF, réponse oscillatoire mal amortie, fort dépassement

# On règlera les marges de stabilité aux valeurs satisfaisantes suivantes :

Les exigences sont exprimées sous la forme d'un cahier de charges. La synthèse du correcteur doit permettre de satisfaire au mieux ces exigences.

dBmm g 10 ,45 ≥°≥ϕ

9Automatique

Exigences de l'asservissement (2)! Eléments du cahier de charges

3. Forme de la réponse indicielle en BF# Apériodique (HBF doit avoir des pôles réels)# Oscillatoire (HBF doit avoir des pôles complexes conjugués)

4. Précision en régime permanentPour avoir une bonne précision, deux solutions :# augmenter le gain en basses fréquences du système non bouclé

# introduire des intégrateurs (si nécessaire)

Mais, risque de rendre le système instable en BF!!

5. RapiditéPour augmenter la rapidité du système en BF, il faut élargir sa bande passante en BF. Augmenter la BP en BF ⇔ augmenter la pulsation de coupure à 0dB ωco de HBOC(s) = C(s)H(s)G(s)

10Automatique

Exigences de l'asservissement (3)Système du 1er ordre en BF

000,, 1 cnBFn K ωωω ≈+=

42 , << mBFn tωBF

BFc T1

, =ω, 2,

, π

ω BFcf BFc =

35.0, ≈BFcfmt

ωlog

G (dB)

0dB HBF(s)

HBOC(s)

ωco

Bande passante en BF ωc, BF

Pente −1

Relation temps de montée-BP

0, cBFc ωω ≈

Système du 2e ordre en BF

ωlog

G (dB)

0dB

HBOC(s)Pente −1

HBF(s)Pente −2

BP en BF

ωn, BF

8.02.0 << BFξPour

On a

11Automatique

Correcteurs série usuels

! Correcteurs qui modifient le gain " Correcteur proportionnel (P)" Correcteur intégral (I)" Correcteurs proportionnel-intégral (PI), à retard de phase

! Correcteurs qui modifient la marge de phase" Correcteur proportionnel dérivé (PD)" Correcteur à avance de phase

! Correcteur réalisant les deux actions" Correcteur proportionnel-intégral-dérivateur (PID)

Il y a des correcteurs qui modifient le gain du système en BO (précision), d'autres qui agissent sur la marge de phase (stabilité, rapidité).

12Automatique

Correcteur proportionnel P (1)

! Correcteur P

! Effets du correcteur

cKsC =)(Le correcteur est un gain Kc :

Commande du système : )()( tKtu c ε=

# Modification du gain du système en BO

# Si Kc > 1 (amplification)

% amélioration de la précision du système en BF

# Si Kc < 1 (atténuation)

% diminution de la précision du système en BF

Le correcteur P ne permet pas de régler indépendamment la rapidité, la précision et les marges de stabilité

En effet …⇒

13Automatique

Correcteur proportionnel P (2)

! Effets du correcteur

10 -2 10-1 10 0 101 102 103-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

Kc=1 Kc >1

Kc <1 ωc0 ωc0 ωc0

10 -2 10-1 10 0 101 102 103-180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20

0

mϕ mϕ

mϕ

# Si Kc > 1% translation du diagramme de gain

de Bode vers le haut

% augmentation de ωco ⇒augmentation de la rapidité

% diminution de la marge de phase (dégradation de la stabilité en BF)

# Si Kc < 1% translation du diagramme de gain

de Bode vers le bas

% diminution de ωco ⇒ diminution de la rapidité

% Augmentation de la marge de phase (amélioration stabilité)

HBOC(s) Amplitude (dB)

Phase (°)

14Automatique

Correcteur intégral I (1)! FT du correcteur

! Effets en fréquentiel du correcteur

sTsC

i

1)( =

Ti : constante d'intégration

Commande du système

∫= t

id

Ttu 0 )(1)( ττε

1 0 -2 10 -1 10 0 101 1 02 10 3

-27 0

-18 0

-9 0

0

H B O C (s) H B O N C (s)

m ϕ

m ϕ

10 -2 1 0 -1 10 0 1 01 102 1 0 3-1 50

-1 00

-50

0

5 0

10 0 H B O C (s)

H B O N C (s) 0

-1

-2

-1

-3

-2 ωc0

ωc 0

Augmentation des pentes de +20dB/décade

Translation du diagramme de phase de 90° vers le bas

Amplitude (dB) Phase (°)

15Automatique

Correcteur intégral I (2)

! Effets du correcteur" Introduction d'un intégrateur ⇒ amélioration précision

# annulation de l'erreur statique, diminution de l'erreur de vitesse (si le système non corrigé est de classe 0)

# rejet asymptotique des perturbations constantes

" Diminution de la pulsation de coupure à 0dB ωco

# diminution de la rapidité du système en BF

# l'effet intégrateur provoque un ralentissement du système

" Réduction de la marge de phase ⇒ dégradation de la stabilité voire instabilité

Le correcteur I n'améliore que la précision ; les autres performances sont dégradées

16Automatique

Correcteur PI (1)! FT du correcteur

sTsTK

sTKKsC

i

ic

i

cc

+=+= 1)(

Commande du système

∫+= t

i

cc d

TKtKtu 0 )()()( ττεε

Plus Ti est grande, plus l'action intégrale est faible

PI : combinaison des correcteurs P et I

t

ε

t

u PI

I

P

Correcteur utilisé en industrie

17Automatique

Correcteur PI (2)! Réponse fréquentielle

0000 10 -2 10 -1 10 1 10 20

10

20

30

40

50 Amplitude (dB)

iT1

Kc=1

−−−−1

10 -2 10 -1 10 1 10 2-100

-80

-60

-40

-20

0

iT1

Phase (°)

! Effets du correcteurs% Introduction d'un intégrateur% Gain en basses fréquences (ω<<1/Ti) infini ⇒ erreur statique nulle (système de classe 0)

% Le gain du système corrigé ne sera pas modifié en hautes fréquences si ⇒ ωco

(⇒ rapidité) non modifiée

% La phase du système corrigé n'est modifiée qu'en basses fréquences (au contraire de I)

% La marge de phase n'est pas modifiée si 0

1c

iTω<<

01

ciT

ω<<

18Automatique

Correcteur à "retard de phase" (1)

! FT du correcteur

! Contraintes pouvant être satisfaites

Le correcteur à retard de phase est une forme approchée du correcteur PI. Il réalise une action intégrale (augmentation du gain en basses fréquences) sans introduire d'intégrateur

bTsTsKsC c +

+=11)( avec b > 1

En pratique, on choisit Kc= b

% Erreur permanente imposée% Marge de phase imposée% Rapidité imposée

19Automatique

Correcteur à "retard de phase" (2)! Réponse fréquentielle du correcteur

10 -2

10 -1

102

10 3 0

5

10

15

Amplitude (dB)

bT1

0

−1

0

T1

Tb1

10 -2

10 -1

102

10 3 -90

-30

0

bT1

T1

Phase (°)

min,cϕ

% Introduction d'un déphasage négatif d'où le nom de correcteur à retard de phase

% Déphasage minimum

% Pulsation correspondante

b10log20

radbb

c +−=

11arcsinmin,ϕ

bTc1

min, =ω

0min, <cϕ

20Automatique

Correcteur à "retard de phase" (3)! Effets du correcteur

! Eléments de réglage du correcteur

% Augmentation du gain en basses fréquences de 20log10b⇒ effet intégral ⇒ diminution de l'erreur statique en BF (système de classe 0 en BO)

% Diminution de la bande passante à 0dB ωco ⇒ système moins rapide en BF (augmentation de tm ou de tr,5%)

% Introduire dans le correcteur un gain K'c qu'on calcule pour

avoir la marge de phase désirée

% Calculer Kc=b pour obtenir la précision imposée

% Choisir la constante de temps T telle que ( ) pour ne pas modifier la marge de phase et les performances dynamiques

01

cTω<< 01.01

cTω≤

21Automatique

Correcteur proportionnel dérivé PD (1)! FT du correcteur

( )sTKsC dc += 1)(

Commande du système

dttdTKtKtu dcc)()()( εε +=

Plus Td est grande, plus l'action dérivée est importante

PD : combinaison des correcteurs P et D

t

ε

La commande est proportionnelle à l'erreur et à la variation de l'erreur (dérivée)

Td : constante de dérivation

t

u

PDD

P

22Automatique

Correcteur PD (2)! Réponse fréquentielle

10 -2 10-1

101

102

0

10

20

30

40

50

0

Amplitude (dB)

dT1

Kc=1

+1

10 -2 10-1

101

102

0

30

60

90

dT1

Phase (°)

! Effets du correcteurs% Avance de phase maximale de

90° pour ω>>10/Td ⇒ amélioration de la stabilité (marge de phase)

% Augmentation de la pulsation ωco ⇒amélioration de la rapidité (tr,5% , tm↓ )

% Amplification en hautes fréquences (pour ω > 1/Td)⇒ élargissement de la BP du système en BF ⇒sensibilité aux bruits

% Diminution de l'erreur permanente

! Réglages% Régler Kc pour avoir ωco imposé% Régler Td pour avoir mϕ imposée% Vérifier a posteriori ωco et mϕ

23Automatique

Correcteur à avance de phase (1)! FT du correcteur

! Contraintes pouvant être satisfaites"Augmentation de la marge de phase (comme l'indique le

nom du correcteur)

"Augmentation de la bande passante (augmentation de la rapidité càd diminution de tr)

" Erreurs en régime permanent imposées

Le correcteur à avance de phase est une forme approchée du correcteur PD qui est physiquement irréalisable (condition de causalité non vérifiée)

TsaTsKsC c +

+=1

1)( avec a > 1

24Automatique

Correcteur à avance de phase (2)! Réponse fréquentielle du correcteur

10 -2

10-1

102

1030

5

10

15

20 Amplitude (dB)

aT1

0

+1

0

T1

Kc=1

10 -2

10-1

102

1030

30

90

aT1

T1

Phase (°)

max,cϕ

aT1

% Introduction d'un déphasage positif d'où le nom de correcteur à avance de phase

% Avance de phase maximale (la cloche)

% Pulsation correspondante

radaa

c 11arcsinmax, +

−=ϕ

aTc1

max, =ω

0max, >cϕ

a10log20

25Automatique

Correcteur à avance de phase (3)! Effets du correcteur

! Eléments de réglage du correcteur

% Augmentation de la marge de stabilité ⇒ effet dérivateur

% Augmentation de la bande passante à 0dB ωco ⇒ système plus rapide en BF (diminution de tm ou de tr,5%)

% Sensibilité aux bruits à cause de l'élargissement de la BP

% Calculer a pour avoir l'avance de phase désirée

% Calculer T de façon à placer la cloche à la pulsation ωco désirée càd

% Le gain fréquentiel est augmenté de 20log10a à partir de ω=10/T. Ceci décale la pulsation ωco du système corrigé en BO

% Calculer Kc pour ramener ωco à la bonne valeur

11arcsinmax, +

−=aa

cϕ

01

max, caTc ωω ==

26Automatique

Correcteur à avance de phase (4)

)1()(

ssKsH BONC τ+

=TsaTsKsC c +

+=1

1)( )()()( sCsHsH BONCBOC =

10 -2 10-1

10 0 102

103

-100

-50

0

50

100

0cω

HBONC

C

Amplitude (dB)

10 -2

10-1

10 0

102

103-200

-150

-100

-50

0

50

0cω

Phase (°)

mϕϕϕϕ

ϕϕϕϕc,,,,max

10-2

10-1

100

101

102

10 3 -100

-50

0

50

100

HBOC

Amplitude (dB)

10-2

10-1

100

101

102

10 3 -180

-160

-140

-120

-100

-80

mϕϕϕϕ

Phase (°)

27Automatique

Correcteur PID théorique (1)! FT du correcteur

sTsTsTTKsT

sTKsC

i

idicd

ic

111)(2 ++=

++=

PID : combinaison des correcteurs P, I et D

Td : constante de dérivation

Ti : constante d'intégration

Factorisation de C(s)

% Si Ti > 4Td ,

% Si Ti < 4Td ,

sTsTsTKsC

ic

)1)(1()( 21 ++= avec

==+

di

iTTTTTTT

21

21

sTTssTKsC

ic

12)(22 ++= ξ avec

==

di

iTTT

TT2

2ξZéros réels

Zéros complexes conjugués

1<ξ

Commande du système

dttdTKd

TKtKtu dc

t

i

cc

)()()()( 0εττεε ++= ∫

28Automatique

Correcteur PID théorique (2)! Réponse fréquentielle

10 -2 10 0 102

1030

10

20

30

40 Amplitude (dB)

−1 0

1

1T

+1

2

1T

10 -2

10 0

102

103-100

-50

0

50

100

1

1T 2

1T

Phase (°)

! Effets du correcteurs% Avance de phase en hautes

fréquences % Amplification en hautes

fréquences

% Gain infini en basses fréquences% Retard de phase en basses

fréquences

% Fréquences moyennes : peu d'influence du correcteur

Effet PD en hautes fréquences

Effet PI en basses fréquences

29Automatique

Correcteur PID (1)! Caractéristiques du PID

" Correcteur utilisé industriellement avec les caractéristiques# Bp : bande proportionnelle

# Taux de répétition par minute

# Constante de temps de dérivation Td

" Le PID théorique est physiquement irréalisable

! PID réel : PID théorique filtré

cP K

B 100=

ir T

60=τ

+

++=

NT

sTsT

KsCd

di

c1

11)(

Le PID théorique a l'inconvénient du PD càd une amplification en hautes fréquences ⇒ sensibilité aux bruits. Pour éviter cela, on introduit un filtre passe-bas en hautes fréquences

+++=

NTsT

sTKsC

d

d

ic

1

11)(ou avec N≥10

1 2

30Automatique

Correcteur PID (2)! Réponse fréquentielle PID réel

+

++

=

NT

sTsT

KsCd

di

c1

11)(

Filtrage des hautes fréquences

1

10 -2

103 0

5

10

15

20 Amplitude (dB)

−1 0

1

1T

+1

2

1T

0

dT10

10 -2

100

103 -100

-50

0

50

100

1

1T 2

1T

Phase (°)

dT10

31Automatique

Stratégie de synthèse des correcteurs1. Analyse du système (identification,

performances dynamiques, réponse fréquentielle)

2. Analyse du cahier de charges (traduction en termes d'erreur, de rapidité, de marge de phase, de pulsation ωco)

3. Choix de la structure du correcteur compte tenu du cahier des charges et des caractéristiques du système

4. Calcul des paramètres du correcteur

5. Vérification des performances du système corrigé. Si le cahier des charges n'est pas satisfait, retour à 3

6. Réalisation de l'asservissement et tests

Réglage des paramètres plus difficile

Très utilisé en industrieAction PI + PD

PID

Sensibilité du système aux bruits

Amélioration stabilité et rapidité

Avance de phase

Système parfois lent en BF

SimplicitéErreur statique nulle

PI

Risque d'instabilité si Kc >> 1

SimplicitéMeilleure précision

P

InconvénientsAvantagesCorrecteurs