06/12/2006 Changement de repères, de système 1

Usage des éphémérides de l’IMCCE

chapitre III

Changements de système de référenceChangement de repère

partie I : bases

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Rappels sur les systèmes de coordonnées

Coordonnées sphériques

xyz

r

r

z

r

O

x

z

P

y O

x

x

y

z

P

z

y

O

x

r

z

z

y

Coordonnées cartésiennes

Coordonnées cylindriques

non utilisé en astronomie courante

P

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Passage coordonnées cartésiennes - coordonnées sphériques

Coord. cartésiennes

x ry rz r

co s co ssin co ssin

r x y zzr

xr

yr

2 2 2

asin

sin co s

Coord. sphériques Coord. cartésiennes

Coord. sphériques

z

x

x

O y

r

z

PP

y

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Repères et systèmesEphémérides astronomiques

En astronomie utilisation de plusieurs systèmes de coordonnées, dits sphériques.

Ils utilisent deux angles pour positionner un objet dans le ciel.

La troisième dimension (distance au centre) étant le plus souvent inutilisée. Pôle Nord

verti

cale

du lie

u

TerreC

Est

Ouest

M

PN méridien

Zénith

Sud

horiz

on

équateurcéleste

sphèrecélestelocale

Systèmes de coordonnées utilisables dans différents référentiels du système solaire :

– héliocentrique,– géocentrique,– topocentrique,– planétocentrique...

Le système de coordonnées cartésiennes (utlisé dans l’usage courant) sert à passer d’un référentiel à l’autre

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Repères et systèmesEphémérides astronomiques

Les différents systèmes de coordonnées sont supposés connus• coordonnées locales• coordonnées horaires• coordonnées équatoriales• coordonnées écliptiques

Dans ce chapitre pour les applications dans Excel nous passerons en revue – les changements de coordonnées,– les changements de systèmes

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Changement de coordonnées

Système sphérique origine (a et b)

▼x, y, z

Sur la sphère céleste, r est pris égal à 1.

On passe d’un système d’angle (a et b) à un nouveau système d’angle (a’ et b’)

Peut se faire soit par

• formules de la trigonométrie sphériquevoir formule en tableau annexe ou dans les Ephémérides de l’IMCCE.

• rotation en calcul matriciel

Rotation

xyz

xyz

'''

bzr

axr

ayr

'

s in ' co s '

asin

x, y, z▼

Système sphérique nouveau(a’ et b’)

x = cos a cos by = sin a cob b

z = sin b

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Passage coordonnées locales - coordonnées horaires[a ; h] [H ; ]

Passage coordonnées horaires - équatoriales :

H = T -

Passage coordonnées équatoriales - écliptiques[; ] [l ; b]

Changement de coordonnées

Passage coordonnées équatoriales – galactiques

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  Coordonnées locales Coordonnées horaires Coordonnées équatoriales Coordonnées écliptiques

Coordonnées locales  

Rotation autour de Oy

sinδ=sin.cosz-cos .sinz.cosaϕ   

cosδ.sinH=sinz.sina

cosδ.cosH=cos .cosz+sin .sinz.cosaϕ ϕ

Coordonnées horaires

Rotation -autour de Oy

cosz=sin .sinδ+cos .cosδ.cosHϕ ϕ 

Rotation Tautour de Oz

α = T - H 

sinz.sina=cosδ.sinH

sinz.cosa=-cos .sinδ+sin .cosδ.cosHϕ ϕ

Coordonnées équatoriales  

Rotation autour de Oz

H = T - α 

Rotation autour de Oy

sinb=cosε . sinδ-sinε . cosδ . sinα

cosb . cosl=cosδ . cosα

cosb . sinl=sinε . sinδ+cosε . cosδ . sinα

Coordonnées écliptiques    

Rotation -autour de Oy

sinδ=cosε . sinb+sinε . cosb sinl cosδ . cosα=cosb . cosl

cosδ . sinα=-sinε . sinb+cosε . cosb . sinl

Changements de coordonnéesTrigonométrie sphériqueCoordonnées

origine▼

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Translation de [X, Y, Z]

Changement de référentiel

S

T P

plan de l’écliptique

XP/SYZ

P/S

P/S

XT/SYZ

T/S

T/S

XP/TYZ

P/T

P/T

S

T P

plan de l’écliptique

XP/SYZ

P/S

P/S

XT/SYZ

T/S

T/S

XP/TYZ

P/T

P/T

x’ = x+Xy’ = y+Yz’ = z+Z

dans le Système solaire

L’orientation du plan de l’écliptique et la direction du point sont communes aux référentiels

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Géocentrique

Changement d’origine

S

T P

plan de l’écliptique

XP/SYZ

P/S

P/S

XT/SYZ

T/S

T/S

XP/TYZ

P/T

P/T

S

T P

plan de l’écliptique

XP/SYZ

P/S

P/S

XT/SYZ

T/S

T/S

XP/TYZ

P/T

P/T

XP/T

YP/T

ZP/T

dans le Système solaire

XP/S

YP/S

ZP/S

Héliocentrique

XP/S =XP/T+ XT/S

YP/S=YP/T +ZT/S

ZP/S=ZP/T +ZT/S

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Changement d’originedans le Système solaire

Méthode

1 – passage du système de coordonnées utilisées en coordonnées écliptiques2 – changement de système de référentiel par translation

3 – retour aux coordonnées utilisées

x’ = x+Xy’ = y+Yz’ = z+Z