Trois types de mesures numériques… des mesures discrètes à intervalles réguliers

Introduction à l’étude des variations

t t t

Population

temps

… des mesures discrètes à intervalles irréguliers

Introduction à l’étude des variations

Population

t2 t

3 t1 temps

… des mesures continues

Introduction à l’étude des variations

I) Introduction au calcul des variations discrètes

Régularité des mesuresCalcul de l’évolutionContexte des suites

Irrégularité des mesuresSe ramener à une même échelle de temps Calcul du taux d’évolution

)f( t 2 f( t 1

t 2 t 1

un un

)

f( t2 f( t1)

Activités

Activité 1: régularité des mesuresLes écarts en hauteur sont suffisants

Activité 2: irrégularité des mesures

Insuffisance des mesures des écartsMesure des évolutions moyennes« Pente » entre deux points

II) Du discret au continu

Quelle nécessité ?Des variations trop rapidesPour une notion instantanée des variations

Quels paradigmes ?Des cordes aux tangentesVitesse moyenne et vitesse instantanée

Activités

Activité 3 :

… changer d’échelle, vers une vision locale.

Notion géométrique délicate

Objet géométrique déterminé par la courbe ou la fonction

III) La tangente : perception et statut

t

yT

C

t

yT

C

t

yT

C

Deux approches complémentaires

La courbe détermine la tangenteCalcul de la dérivéeDétermination d'une tangente

La tangente conditionne la courbeLe tableau de variation à partir de f ’Recherche d’extremum

Activités

Activité 4: La tangente contraint la courbe

Diverses situations graphiques à discuterAide au classement des formes

Activité 5: Des tangentes à la courbe

Le hérissonLa table de mixage

Activité 4:

Manipulation de courbes de BezierReproduire une forme déterminéeReproduire les fonctions de référenceEst-ce que c’est tangent ?Classement des formes selon des critères

signe de la fonctionsens de variationsigne de la « pente »sens de variation de la penteposition de la courbe par rapport à la tangente

Activité 5:

De la tangente à la courbe

Le hérisson

Dosage de l'acide acétique par l'hydroxyde de sodium Va = 20 mL Cb = 0,01 mol/L

0

2

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15 20 25 30 35

pH

Vb

mL

Méthode des tangentes parallèles pour la détermination du point d'équivalence E. (en Term)

E

La table de mixage

Courbe de chute libre (x(t),y(t)) , h = 0,001, angle = 30°, v0 = 5 m.s-1.

0

5

10

15

20

25

30

35

0 50 100 150 200 250x

y

Galilée  (1638) un unun un 1

2n 12n 1

Références

Logiciels Geogebra – Trace en poche Wink pour convertir en animation flash

Courbes de Bézier http://www4.ac-lille.fr/~math/ classes/analyse

/bezierspline/bezier-spline.htm Modèles de Bézier, des B-splines et des NURBS, G

Demengel, JP Pouget, éditions ellipses