théorie des systèmes dynamiques : une introduction… · 2013. 10. 30. · théorie des systèmes...

COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP //// Mathématiques

www.edpsciences.org

22 eurosISBN : 978-2-7598-0765-9

Théorie des systèmes dynamiques : Une introduction

Luís Barreira et Claudia Valls

Ce livre est une introduction à la théorie des systèmes dynamiques. On étudie les systèmes dynamiques topologiques, en basse dimension, hyperboliques et symboliques, ainsi que, brièvement, la théorie ergodique.

Le livre peut être utilisé comme manuel pour un cours d’un ou deux semestres pour les étudiants de niveau avancé de licence ou les étudiants des cycles supérieurs. Il peut aussi être utilisé pour une étude indépendante et comme point de départ pour l’étude de sujets plus spécialisés.

L’exposition est directe et rigoureuse. En particulier, tous les résultats sont prouvés. Le texte comprend de nombreux exemples qui illustrent en détail les concepts et les résultats, ainsi que 140 exercices, avec différents niveaux de difficulté.

Luís Barreira et Claudia Valls sont professeurs à l’Instituto Superior Técnico, à Lisbonne. Ils sont spécialistes en équations différentielles et systèmes dynamiques, domaines dans lesquels ils ont publié plusieurs livres.

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COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP //// Mathématiques

Luís Barreira et Claudia Valls



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Extrait de la publication

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Théorie des systèmesdynamiques :

une introduction

Luis Barreira et Claudia Valls

Traduit par les auteurs

17, avenue du HoggarParc d’activités de Courtabœuf, BP 112

91944 Les Ulis Cedex A, France


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Imprimé en France

ISBN : 978-2-7598-0765-9

Tous droits d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute re-production ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiéesdans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon.Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste etnon destinées à une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractèrescientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 etL. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avecl’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille,75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.

c© 2013, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf,91944 Les Ulis Cedex A


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TABLE DES MATIÈRES

Avant-Propos vii

I Notions de base 1I.1 Notion de système dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.2 Exemples pour le temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.2.1 Rotations du cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.2.2 Applications dilatantes du cercle . . . . . . . . . . . . 5I.2.3 Endomorphismes du tore . . . . . . . . . . . . . . . . 6

I.3 Exemples pour le temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . 9I.3.1 Équations différentielles autonomes . . . . . . . . . . 9I.3.2 Temps discret et temps continu . . . . . . . . . . . . . 13I.3.3 Équations différentielles sur le tore T2 . . . . . . . . . 15

I.4 Ensembles invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16I.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

II Dynamique topologique 23II.1 Systèmes dynamiques topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . 23II.2 Ensembles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

II.2.1 Temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25II.2.2 Temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

II.3 Récurrence topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34II.3.1 Transitivité topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . 34II.3.2 Mélange topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

II.4 Entropie topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39II.4.1 Notions de base et exemples . . . . . . . . . . . . . . 39II.4.2 Invariance topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41II.4.3 Caractérisations alternatives . . . . . . . . . . . . . . 42

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Théorie des Systèmes Dynamiques

II.4.4 Applications expansives . . . . . . . . . . . . . . . . . 46II.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

III Systèmes dynamiques en basse dimension 55III.1 Homéomorphismes du cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

III.1.1 Relèvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55III.1.2 Nombre de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59III.1.3 Nombre de rotation rationnel . . . . . . . . . . . . . . 61III.1.4 Nombre de rotation irrationnel . . . . . . . . . . . . . 64

III.2 Difféomorphismes du cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68III.3 Applications de l’intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

III.3.1 Existence de points périodiques . . . . . . . . . . . . . 72III.3.2 Le théorème de Sharkovsky . . . . . . . . . . . . . . . 74

III.4 Le théorème de Poincaré-Bendixson . . . . . . . . . . . . . . . 80III.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

IV Dynamique hyperbolique I 85IV.1 Ensembles hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

IV.1.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85IV.1.2 Fer à cheval de Smale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87IV.1.3 Continuité des espaces stables et instables . . . . . . . 92

IV.2 Ensembles hyperboliques et cônes invariants . . . . . . . . . . 96IV.2.1 Cônes et caractérisation des ensembles hyperboliques 96IV.2.2 Existence de cônes invariants . . . . . . . . . . . . . . 98IV.2.3 Critère d’hyperbolicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

IV.3 Stabilité des ensembles hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . 104IV.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

V Dynamique hyperbolique II 109V.1 Comportement près d’un point fixe hyperbolique . . . . . . . . 109

V.1.1 Le théorème de Grobman-Hartman . . . . . . . . . . 109V.1.2 Le théorème de Hadamard-Perron . . . . . . . . . . . 117

V.2 Variétés invariantes stables et instables . . . . . . . . . . . . . 128V.2.1 Existence de variétés invariantes . . . . . . . . . . . . 128V.2.2 Structure produit locale . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

V.3 Flots géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134V.3.1 Géométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . 134V.3.2 Quotients par isométries . . . . . . . . . . . . . . . . 139V.3.3 Flot géodésique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141V.3.4 Flots hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

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Table des matières

V.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

VI Dynamique symbolique 149VI.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

VI.1.1 Espace de suites et décalage . . . . . . . . . . . . . . 149VI.1.2 Entropie topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151VI.1.3 Suites bilatérales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

VI.2 Exemples de codages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153VI.2.1 Applications dilatantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 154VI.2.2 Applications quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . 157VI.2.3 Fer à cheval de Smale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

VI.3 Chaînes de Markov topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 160VI.3.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160VI.3.2 Points périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162VI.3.3 Entropie topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164VI.3.4 Transitivité et mélange topologiques . . . . . . . . . . 165

VI.4 Fers à cheval et chaînes de Markov topologiques . . . . . . . . 169VI.5 Fonctions zêta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171VI.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

VII Théorie ergodique 177VII.1 Notions de théorie de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . 177VII.2 Mesures invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180VII.3 Récurrence non triviale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183VII.4 Le théorème ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185VII.5 Exposants de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190VII.6 Entropie métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193VII.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

Bibliographie 199

Index 201

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AVANT-PROPOS

Ce livre est une introduction autonome à la théorie des systèmes dynamiques,avec un accent particulier sur le temps discret. Cela inclut les systèmes dyna-miques topologiques, en basse dimension, hyperboliques et symboliques, ainsiqu’une brève introduction à la théorie ergodique. Le livre peut être utilisé commemanuel pour un cours d’un ou deux semestres pour les étudiants de niveau avancédu premier cycle ou étudiants des cycles supérieurs. Il peut aussi être utilisé pourune étude indépendante et comme point de départ pour l’étude de sujets plusavancés.

L’exposition est directe et rigoureuse. En particulier, tous les résultats formulésdans le livre sont prouvés. On a essayé que chaque démonstration soit la plussimple possible. Parfois, cela nécessite une préparation ou la restriction à classesappropriées de systèmes dynamiques, ce qui se justifie pleinement dans un coursintroductif. Le texte comprend aussi de nombreux exemples qui illustrent en détailles concepts et les résultats, ainsi que 140 exercices, avec différents niveaux dedifficulté.

La théorie des systèmes dynamiques est très large et très active en termesde recherche. Elle dépend aussi substantiellement de la plupart des principauxdomaines des mathématiques. Ainsi, afin de donner une vue suffisamment large,mais toujours autonome et avec une taille contrôlée, il était nécessaire de faireune sélection des sujets traités. De ce fait, certains sujets ont été exclus, notam-ment la dynamique hamiltonienne et la dynamique holomorphe. On a indiqué desréférences pour ces autres sujets qui sont des prolongements naturels de ce livre.

Luís Barreira et Claudia VallsLisbonne, avril 2013


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INOTIONS DE BASE

On introduit dans ce chapitre la notion de système dynamique, à temps discretet temps continu. On décrit aussi plusieurs exemples qui, avec d’autres exemplesintroduits au long du livre, sont utilisés pour illustrer les nouveaux concepts etles nouveaux résultats. On décrit également quelques constructions de base quidéterminent de nouveaux systèmes dynamiques.

I.1. Notion de système dynamique

Un système dynamique à temps discret est simplement une application.

Definition I.1. Une application f : X Ñ X est appelée un système dynamiqueà temps discret ou simplement un système dynamique.

On définit récursivementfn`1 “ f ˝ fn

pour chaque n P N. On écrit aussi f0 “ Id, où Id est l’application identité. Onnote que

fm`n “ fm ˝ fn (I.1)

pour m,n P N0, où N0 “ N Y t0u. Lorsque l’application f est inversible, on définitaussi f´n “ pf´1qn pour chaque n P N. Dans ce cas, l’identité (I.1) est satisfaitepour tous m,n P Z.

Exemple I.2. Soient f : X Ñ X et g : Y Ñ Y des systèmes dynamiques. On définitun nouveau système dynamique h : X ˆ Y Ñ X ˆ Y par

hpx, yq “ pfpxq, gpyqq.



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Chapitre I. Notions de base

On note que si f et g sont inversibles, alors l’application h est aussi inversible eta pour application réciproque

h´1px, yq “`f´1pxq, g´1pyq

˘.

On considère maintenant le cas du temps continu.

Definition I.3. Une famille d’applications ϕt : X Ñ X pour t ě 0 telles queϕ0 “ Id et

ϕt`s “ ϕt ˝ ϕs pour tous t, s ě 0

est appelée un semi-flot. Une famille d’applications ϕt : X Ñ X pour t P R

telles que ϕ0 “ Id et

ϕt`s “ ϕt ˝ ϕs pour tous t, s P R

est appelée un flot.

On dit aussi qu’une famille d’applications ϕt est un système dynamique àtemps continu ou simplement un système dynamique si elle est un flot ou unsemi-flot. Si ϕt est un flot, alors

ϕt ˝ ϕ´t “ ϕ´t ˝ ϕt “ ϕ0 “ Id.

Donc, chaque application ϕt est inversible et a pour application réciproque ϕ´1t “

ϕ´t.Un exemple simple d’un flot est un mouvement de translation avec vitesse

constante.

Exemple I.4. Soit y P Rn. On considère les applications ϕt : Rn Ñ Rn définies par

ϕtpxq “ x` ty pour t P R et x P Rn.

On a ϕ0 “ Id et

ϕt`spxq “ x ` pt ` sqy“ px ` syq ` ty “ pϕt ˝ ϕsqpxq.

Donc, la famille des applications ϕt est un flot.

Exemple I.5. On considère les flots ϕt : X Ñ X et ψt : Y Ñ Y , pour t P R. Lafamille des applications αt : X ˆ Y Ñ X ˆ Y définies pour chaque t P R par

αtpx, yq “`ϕtpxq, ψtpyq

˘2



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I.2. Exemples pour le temps discret

est aussi un flot. En outre,

α´1t px, yq “

`ϕ´tpxq, ψ´tpyq

˘.

On souligne que l’expression système dynamique est utilisée à la fois pour lessystèmes dynamiques à temps discret et les systèmes dynamiques à temps continu.


On décrit dans cette section plusieurs exemples de systèmes dynamiques àtemps discret.

I.2.1. Rotations du cercle

On considère d’abord les rotations du cercle. Le cercle est défini ici par S1 “R{Z, c’est-à-dire que S1 est obtenu à partir de la droite réelle en identifiant lespoints x, y P R tels que x´ y P Z. Autrement dit,

S1 “ R{Z “ R{„,

où „ est la relation d’équivalence dans R définie par x „ y ô x ´ y P Z. Lesclasses d’équivalence, qui sont les éléments de S1, peuvent être écrites sous laforme

rxs “�x `m : m P Z

(.

En particulier, on peut introduire les opérations

rxs ` rys “ rx` ys et rxs ´ rys “ rx´ ys.

On peut aussi identifier S1 avec r0, 1s{t0, 1u, où les extrémités de l’intervalle r0, 1ssont identifiées.

Definition I.6. Soit α P R. On définit la rotation Rα : S1 Ñ S1 par

Rαprxsq “ rx` αs

(voir la figure I.1).

On écrit aussiRαpxq “ x` α mod 1,

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1

1

α

x

Rαpxq

Figure I.1. Rotation Rα.

en identifiant rxs avec son représentant dans l’intervalle r0, 1r. L’applicationRα pourrait aussi être appelée une translation de l’intervalle. On observe queRα : S1 Ñ S1 est inversible et son application réciproque est R´1

α “ R´α.On introduit maintenant la notion de point périodique.

Definition I.7. Soit q P N. Un point x P X est dit q-périodique pour une appli-cation f : X Ñ X si f qpxq “ x. On dit aussi que x P X est un point périodiquepour f s’il est q-périodique pour un certain q P N.

En particulier, les points fixes, c’est-à-dire les points x P X tels que fpxq “ xsont q-périodiques pour tout q P N. En outre, un point q-périodique est kq-périodique pour tout k P N.

Definition I.8. On dit qu’un point périodique a pour période q s’il est q-périodique mais n’est pas l-périodique pour tout l ă q.

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On considère maintenant le cas particulier des rotations du cercle Rα. Onvérifie que leur comportement est très différent selon que α est rationnel ou irra-tionnel.

Proposition I.9. Soit α P R.

1. Si α P RzQ, alors Rα n’a pas de point périodique.

2. Si α “ p{q P Q avec p et q premiers entre eux, alors tous les points de S1

sont périodiques pour Rα et ont pour période q.

Démonstration. On note que rxs P S1 est q-périodique si et seulement si rx`qαs “rxs, c’est-à-dire si et seulement si qα P Z. Les deux propriétés dans la propositiondécoulent facilement de cette remarque.

I.2.2. Applications dilatantes du cercle

On considère dans cette section une autre famille d’applications de S1 danslui-même.

Definition I.10. Soit m ą 1 un entier. L’application dilatante Em : S1 Ñ S1 estdéfinie par

Empxq “ mx mod 1.

Par exemple, pour m “ 2 on a

E2pxq “

#2x si x P r0, 1{2r,2x´ 1 si x P r1{2, 1r

(voir la figure I.2).On détermine maintenant les points périodiques pour l’application dila-

tante Em. Puisque Eqmpxq “ mqx mod 1, un point x P S1 est q-périodique siet seulement si

mqx´ x “ pmq ´ 1qx P Z.

Donc, les points q-périodiques pour l’application Em sont

x “p

mq ´ 1, pour p “ 1, 2, . . . ,mq ´ 1. (I.2)

En outre, le nombre nmpqq de points périodiques pour Em de période q peut êtrecalculé facilement pour chaque q (voir le tableau I.1 pour q ď 6). Par exemple, siq est premier, alors

nmpqq “ mq ´m.

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1

112 x

E2pxq

Figure I.2. Application dilatante E2.

Tableau I.1. Nombre nmpqq de points périodiques pour Em de période q.

q nmpqq1 m´ 12 m2 ´m “ m2 ´ 1 ´ pm´ 1q3 m3 ´m “ m3 ´ 1 ´ pm´ 1q4 m4 ´m2 “ m4 ´ 1 ´ pm2 ´ 1q5 m5 ´m “ m5 ´ 1 ´ pm´ 1q6 m6 ´m3 ´m2 `m

I.2.3. Endomorphismes du tore

On considère dans cette section une troisième famille de systèmes dynamiquesà temps discret. Soit n P N. Le n-tore ou simplement le tore est défini par

Tn “ Rn{Zn “ Rn{„,

où „ est la relation d’équivalence dans Rn définie par x „ y ô x ´ y P Zn. Leséléments de Tn sont donc les classes d’équivalence

rxs “�x` y : y P Zn

(,

avec x P Rn. Soit maintenant A une matrice de dimension pn, nq à coefficientsdans Z.

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Definition I.11. L’endomorphisme du tore TA : Tn Ñ Tn est défini par

TAprxsq “ rAxs pour rxs P Tn.

On dit aussi que TA est l’endomorphisme du tore induit par A.

Puisque A est une application linéaire,

Ax ´Ay P Zn lorsque x´ y P Zn.

Cela montre que Ay P rAxs lorsque y P rxs et, donc, TA est bien défini.En général, l’application TA n’est pas nécessairement inversible, même si

la matrice A est inversible. Lorsque TA est inversible, on dit aussi qu’elle estl’automorphisme du tore induit par A. On représente sur la figure I.3 l’automor-phisme du tore T2 induit par la matrice

A “ˆ

2 11 1

˙.

r0, 1s2

r0, 1s2

Apr0, 1s2q

Apr0, 1s2q

Figure I.3. Un automorphisme du tore T2.

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On détermine maintenant les points périodiques pour une classe d’automor-phismes du tore.

Proposition I.12. Soit TA : Tn Ñ Tn un automorphisme du tore induit par unematrice A sans valeur propre de module 1. Alors les points périodiques pour TAsont les points de coordonnées rationnelles, c’est-à-dire les éléments de Qn{Zn.

Démonstration. Soit rxs “ rpx1, . . . , xnqs P Tn un point périodique. Alors il existeq P N et y “ py1, . . . , ynq P Zn tels que Aqx “ x` y, c’est-à-dire,

pAq ´ Idqx “ y.

Puisque A n’a pas de valeur propre de module 1, la matrice Aq ´ Id est inversibleet on peut écrire

x “ pAq ´ Idq´1y.

En outre, puisque les coefficients de Aq ´ Id sont des nombres entiers, chaquecoefficient de pAq ´ Idq´1 est un nombre rationnel et donc x P Qn.

On suppose maintenant que rxs “ rpx1, . . . , xnqs P Qn{Zn et on écrit

px1, . . . , xnq “ˆp1

r, . . . ,

pnr

˙, (I.3)

où p1, . . . , pn P t0, 1, . . . , r ´ 1u. Puisque les coefficients de A sont des nombresentiers, pour chaque q P N, on a

Aqpx1, . . . , xnq “ˆp11

r, . . . ,

p1n

r

˙` py1, . . . , ynq

pour certains p11, . . . , p

1n P t0, 1, . . . , r ´ 1u et py1, . . . , ynq P Zn. Mais puisque le

nombre de points de la forme (I.3) est rn, il existe q1, q2 P N avec q1 ‰ q2 tels que

Aq1px1, . . . , xnq ´Aq2px1, . . . , xnq P Zn.

En supposant, sans perte de généralité, que q1 ą q2, on obtient

Aq1´q2px1, . . . , xnq ´ px1, . . . , xnq P Zn

(voir l’exercice I.12) et donc T q1´q2A prxsq “ rxs.

L’exemple suivant montre que la proposition I.12 ne peut être étendue à toutendomorphisme du tore.

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I.3. Exemples pour le temps continu

Exemple I.13. Considérons l’endomorphisme du tore TA : T2 Ñ T2 induit par lamatrice

A “ˆ

3 11 1

˙.

On remarque que TA n’est pas un automorphisme puisque detA “ 2 (voir l’exer-cice I.12). On observe maintenant que

TA

´0,

12

¯“

´12,12

¯, TA

´12,12

¯“ p0, 0q et TAp0, 0q “ p0, 0q.

Cela montre que les points de coordonnées rationnelles p0, 1{2q et p1{2, 1{2q nesont pas périodiques. D’autre part, les valeurs propres 2 `

‘2 et 2 ´

‘2 de A ont

des modules différents de 1.


On donne dans cette section plusieurs exemples de systèmes dynamiques àtemps continu.

I.3.1. Équations différentielles autonomes

On considère d’abord des équations différentielles (ordinaires) autonomes,c’est-à-dire des équations différentielles qui ne dépendent pas explicitement dutemps. On vérifie qu’elles donnent lieu naturellement à la notion de flot.

Proposition I.14. Soit f : Rn Ñ Rn une fonction continue telle que, pour chaquex0 P Rn, le problème de Cauchy #

x1 “ fpxq,xp0q “ x0

(I.4)

a une solution unique xpt, x0q définie par t P R. Alors la famille des applicationsϕt : Rn Ñ Rn définies pour chaque t P R par

ϕtpx0q “ xpt, x0q

est un flot.

Démonstration. Pour chaque s P R, considérons la fonction y : R Ñ Rn définie par

yptq “ xpt` s, x0q.

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�

�

�

�

�

�

�


On a yp0q “ xps, x0q et

y1ptq “ x1pt ` s, x0q “ fpxpt` s, x0qq “ fpyptqq

pour t P R. Donc, la fonction y est aussi une solution de l’équation x1 “ fpxq.Puisque par hypothèse le problème de Cauchy (I.4) a une solution unique, onobtient

yptq “ xpt, yp0qq “ xpt, xps, x0qq,

ouxpt` s, x0q “ xpt, xps, x0qq (I.5)

pour tous t, s P R et x0 P Rn. Il résulte de (I.5) que ϕt`s “ ϕt ˝ ϕs. En outre,

ϕ0px0q “ xp0, x0q “ x0,

c’est-à-dire ϕ0 “ Id. Cela montre que la famille des applications ϕt est unflot.

On considère maintenant deux exemples spécifiques d’équations différentiellesautonomes et on décrit les flots qu’elles déterminent.

Exemple I.15. Considérons l’équation différentielle#x1 “ ´y,y1 “ x.

Si px, yq “ pxptq, yptqq est une solution, alors

px2 ` y2q1 “ 2xx1 ` 2yy1 “ ´2xy ` 2yx “ 0.

Donc, il existe une constante r ě 0 telle que

xptq2 ` yptq2 “ r2.

Soientxptq “ r cos θptq et yptq “ r sin θptq,

où θ est une fonction différentiable. Il résulte de l’identité x1 “ ´y que

´rθ1ptq sin θptq “ ´r sin θptq.

Donc, θ1ptq “ 1 et il existe une constante c P R telle que θptq “ t` c. Pour

px0, y0q “ pr cos c, r sin cq P R2,

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�

�

�

�

�

�

�


on obtient ˆxptqyptq

˙“

ˆr cospt` cqr sinpt` cq

˙

“ˆ

cos t ¨ r cos c ´ sin t ¨ r sin csin t ¨ r cos c ` cos t ¨ r sin c

˙

“ˆ

cos t ´ sin tsin t cos t

˙ˆx0

y0

˙.

On remarque que

Rptq “ˆ

cos t ´ sin tsin t cos t

˙

est une matrice de rotation pour chaque t P R. Puisque Rp0q “ Id, il résulte de laproposition I.14 que la famille des applications ϕt : R2 Ñ R2 définies par

ϕt

ˆx0

y0

˙“ Rptq

ˆx0

y0

˙

est un flot. On note que l’identité ϕt`s “ ϕt ˝ϕs est équivalente à l’identité entrematrices de rotation

Rpt` sq “ RptqRpsq.

Exemple I.16. On considère maintenant l’équation différentielle#x1 “ y,

y1 “ x.

Si px, yq “ pxptq, yptqq est une solution, alors

px2 ´ y2q1 “ 2xx1 ´ 2yy1 “ 2xy ´ 2yx “ 0.

Donc, il existe une constante r ě 0 telle que

xptq2 ´ yptq2 “ r2 ou xptq2 ´ yptq2 “ ´r2. (I.6)

Dans le premier cas, on peut écrire

xptq “ r cosh θptq et yptq “ r sinh θptq,

où θ est une certaine fonction différentiable. Puisque x1 “ y, on a

rθ1ptq sinh θptq “ r sinh θptq

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théorie des systèmes dynamiques : une introduction… · 2013. 10. 30. · théorie des systèmes...

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