Master IXXI, cours interdisciplinaire de systèmes dynamiques

Emmanuel Risler, INSA de Lyon

3 - Systèmes différentiels dans le plan, suite

Exemple 1 : systèmes proie - prédateur

Oscillations plus ou moins régulières, période 9 à 10 ans, grande amplitude

Système de Lotka-Volterrau’ = u ( 1 - v )v’ = v ( -1 + u )

Iscoclines u’=0 v’=0Quantité conservée H(u,v) = uv exp(-u-v)

u

v

Système de Lotka-Volterra : ajout d’une perturbation

Exemple 2 : système de Fitz Hugh-Nagumo

u

v

u’ = - u ( u - a ) ( u - 1) - vv’ = e u 0 < a < 1 , e > 0 petit

0

1a

Système à deux échelles de temps

u’ = 0v’ = 0

Exemple 2 : système de Fitz Hugh-Nagumo

u

v

u’ = - u ( u - a ) ( u - 1) - vv’ = e (u-1/2)0 < a < 1 , e > 0 petit

0

1a

u’ = 0v’ = 0

Bifurcations de codimension 1 d’orbites périodiques dans le plan

Bifurcation de Hopf super-critique

Au voisinage de la bifurcation : amplitude tend vers 0, fréquence finie

Naissance d’une solution périodique par bifurcation nœud-col(bifurcation « homocline à un nœud-col »)

Définitions• Une solution homocline est une solution qui converge vers un même équilibre quand t-> + l’infini et – l’infini. • Une solution hétérocline est une solution qui converge vers deux équilibres différents lorsque t-> + l’infini et – l’infini.

Au voisinage de la bifurcation : amplitude finie, fréquence tend vers 0

Définition : multiplicateur de Floquet d’une orbite périodique du plan

Définition : une orbite périodique est dite non dégénérée (= transverse) si son multiplicateur de Floquet n’est pas égal à 1

Proposition : une orbite périodique non dégénérée est robuste (= stable par perturbation)

Bifurcation « pli » ( = « fold ») d’une orbite périodique dégénérée = confusion de deux orbites périodiques de stabilités opposées (codimension 1)

Au voisinage de la bifurcation : amplitude finie, fréquence finie

Homoclinisation à un point selle(bifurcation « globale »)

Valeurs propres du point selle : l- < 0 < l+ avec l+ < | l- |

Orbite homocline « attractive »

Orbite périodique attractive

Au voisinage de la bifurcation : amplitude finie, fréquence tend vers 0

Théorème de Poincaré-Bendixon

Soit x’(t) = f(x(t)) une équation différentielle dans le planOn suppose (hypothèse générique) que les points d’équilibres forment un ensemble discret (les équilibres sont isolés, ou encore dans tout ensemble bornée il n’existe qu’un nombre fini d’équilibres)

Soit x(t) une solution, bornée lorsque t tend vers + l’infini

Alors on est dans l’un des quatre cas suivants : 1. la solution est constante (équilibre)2. la solution est asymptotiquement constante (converge vers un équilibre lorsque t tend vers

+ l’infini)3. la solution est périodique4. la solution est asymptotiquement périodique (converge vers une orbite périodique lorsque t

tend vers + l’infini)5. la solution converge vers un « cycle » constitué d’un nombre fini d’orbites homoclines ou

hétéroclines (en ce cas, la solution est asymptotiquement oscillante, avec une fréquence qui tend vers 0).

Le cas 5 se produit par exemple lors de l’homoclinisation à un point selle. Il est non générique (se produit en codimension 1 ou plus)

« Démonstration » du théorème de Poincaré-Bendixon

Théorème de Poincaré-Bendixon : dans le plan, les solutions sont toujours soit asymptotiquement constantes, soit asympotiquement oscillantes (avec une fréquence ou bien constante, ou bien qui tend vers 0).

La complexité de la dynamique que l’on peut rencontrer dans le plan est donc limitée à : • équilibres• oscillations

La trajectoire se contraint elle-même : « pas suffisamment de place pour des comportements complexes »

Théorème d’Andronov : classification des bifurcations de codimension 1 des orbites périodiques du plan

1

2

3

4

Exercice : retrouver ces quatre bifurcations dans des systèmes à deux échelles de temps (en modifiant la forme des isoclines dans le système de Fitz-Hugh Nagumo)

« Canards » de Fitz Hugh-Nagumo

1. Comportements générés par une perturbation d’amplitude de plus en plus forte2. Croissance de la solution périodique issue de la bifurcation de Hopf super-critique

« Canards » (suite)

Phénomènes analogues en dimension supérieure

Bifurcation d’homoclinisation à un point col en dimension 3

Bifurcation d’homoclinisation à un point selle en dimension 3

Bifurcations des multiplicateurs de Floquet d’une orbite périodique (dimension 3 et plus)

Bifurcation de confusion de deux orbites périodiques

Bifurcation de doublement de période

Perte de stabilité d’une solution périodique (multiplicateur non résonnant)

Deux types d’homoclines à une orbite périodique de type « nœud-col » (et deux types de « Blue sky catastrophes »)

Problème : quand on fait varier un paramètre, peut-on avoir une orbite périodique : • dont la période tend vers l’infini • dont la longueur tend vers l’infini• donc la trajectoire reste bornée« Blue sky catastrophes »

Bifurcation « Blue-sky »

Systèmes excitables

Neurone (système excitable) « formel »

« Bursting »

Excitabilités de types I et II

Exemples dans des systèmes à deux échelles de temps

Systèmes excitables (suite)

Exercice : interpréter ces schémas

Déploiement d’une bifurcation de codimension deux

Déploiement d’une bifurcation de codimension deux

Déploiement d’une bifurcation de codimension deux (bis)

Exemple d’un système mécanique présentant cette bifurcation de codimension deux : le pendule amorti forcé

Libre interprétation de dessins