5ar02 : dynamique des systèmes théorie et méthodes ...pages.isir.upmc.fr/~amar/cours...

Université Pierre et Marie Curie Paris 6Master SDI/Systèmes Avancés et Robotique

5AR02 : Dynamique des systèmes

Théorie et Méthodes computationnelles

Faïz Ben Amar

[email protected]

Septembre 2014

Contenu du cours

Ce cours développe les principales techniques utilisées dans les logiciels d'analyse et de simulation numé-riques des systèmes mécaniques multi-corps tels que Adams, DADS, SolidDynamics, MotionWorks... Cesoutils permettent l'analyse des problèmes cinématique, dynamique, élastodynamique, vibratoire, d'équi-libre, de stabilité des équilibres...

Les systèmes mécaniques concernés dans ce cours couvrent les systèmes multi-corps qu'on peut retrouverdans les domaines du transport (automobile, camion, train, avion...), de la robotique manufacturière (ma-nipulateur, préhenseur, cellule exible, chariot guidé ...), de la biomécanique et la robotique humanoide,de la santé (rééducation, chirurgie, ...) ...

Les méthodes décrites ici se veulent génériques c'est-à-dire applicables à tout type de structures allantd'une simple chaîne cinématique sérielle au système multi-corps multi-liaisons multi-contacts formant destopologies complexes.

An d'appréhender les systèmes sans base xe, nous commencerons ici par le au paramétrage de l'orien-tation dans l'espace d'un corps isolé. Nous allons dénir les diérentes façons de dénir un paramétraged'un système ainsi que les types de contraintes auxquelles sont sujets ces paramétres. Nous donnerons parla suite une description cinématique générique des mécanismes qui permet d'analyser leur mobilité et leurhyperstatisme. Nous décrirons alors les équations de la dynamique des systèmes à partir des équations deLagrange en présence de contraintes. Un rappel du principe des travaux virtuels sera fait au préalable.

Les chaînes robotiques arborescentes seront traitées à part, en particullier an de résoudre leur dynamiquedans un problème de commande qui nécessite un temps de calcul minimal.

Les équations établies seront mises sous une forme adéquate à une résolution numérique. Quelques mé-thodes de résolution seront présentées ; en particulier celles qui permettent l'intégration du systèmealgébro-diérentiel issues des équations de la dynamique et de la cinématique.

Pré-requis : Calcul vectoriel, algèbre linéaire, notion de force et moment, savoir calculer des vitesses etdes énergies mécaniques.

Table des matières

1 Introduction et rappels de math 71.1 Méthodes computationnelles en dynamique des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Formulation des équations et paramétrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.2 Les problèmes types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Quelques rappels de mathématiques et Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.1 Vecteur géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2 Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3 Opérations sur les vecteurs algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.4 Dérivées totale et partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Rotation 3D et Paramètres d'Euler (quaternions) 182.1 Coordonnées d'un solide rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Matrice rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Paramètres d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Propriétés de la matrice rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5 Paramètres d'Euler fonction des cosinus directeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6 Identités avec les paramètres d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.7 Rotations successives : Les angles d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Description cinématique des systèmes de solides 313.1 Vitesse et accélération angulaires d'un solide rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Vitesse et accélération linéaires d'un point lié à un solide rigide . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Contraintes des liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4 Mobilité et hyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Dynamique analytique 404.1 Paramètres généralisés et contraintes cinématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 Déplacement virtuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3 Degrés de liberté et partitionnement des paramètres généralisées . . . . . . . . . . . . . . 464.4 Travail virtuel et forces généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.4.1 Equilibre statique d'un système de particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4.2 Equilibre dynamique d'un système de particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.4.3 Forces généralisées pour les solides rigides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.4.4 Transformation d'un ensemble de paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.5 Elements de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.6 Cas des forces conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.7 Dynamique Lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.8 Le lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.9 Dynamique Lagrangienne contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.9.1 La technique de réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.9.2 Formulation augmentée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5 Dynamique des systèmes de solides 625.1 Matrice masse des solides rigides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2 Equations dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.2.1 Equation de Newton-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.2.2 Equations de Newton-Euler et vecteurs 6D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.3 Dynamique des systèmes plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3

6 Dynamique des manipulateurs séries 706.1 Equations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.2 Dynamique inverse récursive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.2.1 Calcul cinématique : récurrence avant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.2.2 Calcul dynamique : Récurrence arrière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.3 Dynamique directe : Méthode du Complément Orthogonal Naturel . . . . . . . . . . . . . 766.3.1 Calcul de la matrice des contraintes K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.3.2 Calcul de la matrice des torseurs cinématiques T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7 Méthodes numériques 807.1 Equation diérentielle ordinaire ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.1.1 Schéma implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.1.2 Méthode de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.1.3 Algorithmes multi-pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.1.4 Prédiction-correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.1.5 Intégration des équations diérentielles raides (Sti) . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.2 Stabilisation des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.3 Résolution des équations algébriques non-linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Annexes 87

A Paramètres d'Euler (suite) 88A.1 Identités diérentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88A.2 Identités avec des vecteurs arbitraires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

B Dynamique analytique 90B.1 Equation de Gibbs-Appel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90B.2 Formulation Hamiltonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Notation et convention

Les valeurs scalaires sont notées avec des lettres minuscules : x, y Les vecteurs sont notés avec des lettres minuscules, en gras : x, y Les vecteurs sont notés avec des vecteurs algébriques colonnes. Les matrices sont notées avec des lettres majuscules, en gras : X,Y La transposée d'un vecteur colonne est un vecteur ligne xT et celui d'une matrice XT

Les vecteurs u,u (resp. I,I) représentent les coordonnées d'un même vecteur géométrique ~u (resp. d'untenseur) exprimées dans les bases globale (inertielle) et locale (liée au solide).

sauf quelques rares exceptions comme pour le vecteur des forces généralisées Q.

UPMC - Master SAR 5

Liste des symboles

(.)i quantité physique associée au solide i

uiP vecteur OiP i dans la base locale

rP accélération linéaire du point P

δrP déplacement virtuel du point P

δW travail virtuel d'une force

rP vitesse linéaire du point P

a la matrice antisymétrique du pré-produit vectoriel à gauche par a

n dimension des paramètres généralisés

nc dimension des équations de contraintes

T énergie cinétique

U énergie potentielle

Ai matrice rotation du solide i

Bi matrice de réduction des paramètres (en paramètres indépendants)

f i force s'appliquant sur une masse ponctuelle i

G,G ω = Gp, ω = Gp

p paramètres de rotation d'un solide : les 4 paramètres d'Euler (quaternions) ou les 3 angles d'euler

q vecteur des paramètres généralisés

qi paramètres indépendants après partitionnement

ri vecteur position du point de référence Oi du solide i dans la base globale

riP vecteur position du point P i dans la base globale

uiP vecteur OiP i dans la base globale

λ multiplicateurs de Lagrange

ωi,ωi vitesse angulaire du corps i exprimée dans les bases globale et locale.

Φ contraintes (holonomes) sur les paramètres généralisés

Φq Jacobienne des contraintes par rapport à q

qd paramètres dépendants après partitionnement

Q vecteur des forces généralisées

u, u matrices colonnes du vecteur ~u représentées dans les base globale et locale

6

Chapitre 1

Introduction et rappels de math

1.1 Méthodes computationnelles en dynamique des systèmes

On peut dénir un système mécanique multi-corps comme un ensemble de solides (rigides ou déformables)reliés entre eux par des liaisons cinématiques (pivot, glissière, rotule ...) et/ou par des éléments de force(ressort, amortisseur, actionneur...) (g.1.1).

L'objet d'un outil d'analyse - assisté par ordinateur - de ces systèmes est la formulation automatique deses équations de mouvement puis leur résolution. Ceci requiert des techniques systématiques d'élaborationdes équations et des méthodes numériques pour leur résolution.

Par exemple pour simuler une suspension automobile (1.2), l'utilisateur doit spécier :

le nombre de corps, le nombre et les types de liaison, connectivité entre les corps, la masse et les moments d'inertie de chaque corps, la connectivité des éléments de forces et leurs caractéristiques, raideur et viscosité du ressort-amortisseur, la gravité, les forces de contact pneu-sol, la position et la vitesse initiales dans chaque liaison (ou chaque corps).

Pour un système de solides rigides, la forme des corps peut ne pas être spéciée, seuls le centre degravité, la masse et la matrice d'inertie sont nécessaires. Après formulation et résolution des équations demouvement, l'utilisateur, en plus de l'animation graphique, peut accéder aux évolutions temporelles despositions, vitesses, accélérations, forces et moments dans les liaisons, couples des actionneurs, puissancedes actionneurs...

Figure 1.1 Système multi-corps.

7

Figure 1.2 Suspension à double triangles.

1.1.1 Formulation des équations et paramétrage

Le paramétrage est une question centrale en mécanique des systèmes. Les équations de la dynamique d'unsystème peuvent s'écrire de multiples façons suivant le paramétrage choisi. Un ensemble de paramètresq décrivant la conguration de chaque élément du système peut dénir la conguration par rapport àun autre élément ou par rapport à un repère de référence. Le nombre de paramètres doit être au moinségal à la mobilité du système (ou son degré de liberté), les paramètres doivent être capables de dénircomplètement la conguration du système. An d'illustrer ce choix, nous allons étudier un cas simpleplan et décrire diérentes façons de le paramétrer an d'élaborer une analyse purement cinématique,c'est-à-dire qu'on n'écrira pas ici les équations diérentielles qui régissent sa dynamique.

Exercice 1.1 Soit l'exemple du mécanisme dit à 4 barres (g.1.3). On peut proposer 3 façons de leparamétrer. Ecrire les équations géométriques de contraintes entre les paramètres dans chaque cas, et endéduire les équations cinématiques de contrainte. Montrer que le système a une mobilité de 1. (a) paramétrage strict :

q = [φ]

(b) paramétrage articulaire :q = [α1 α2 α3 α4]T

(c) paramétrage cartésien :

q = [x1 y1 θ1 x2 y2 θ2 x3 y3 θ3 x4 y4 θ4]T

Exercice 1.2 En utilisant un paramétrage cartésien du système bielle-manivelle (g.1.4), écrire les équa-tions géométriques puis cinématiques reliant ces paramètres. En déduire les congurations singulières.

Les propriétés de chaque type de paramétrage sont récapitulés dans le tableau ci-dessous :

Type de paramétrage Strict Articulaire Cartésien

Nombre de paramètres Minimal Modéré ImportantNombre d'équations diérentiels 2nd ordre Minimal Modéré ImportantNombre d'équations algébriques de contraintes zéro Modéré Important

Ordre de non-linéarité Elevé Modéré FaibleObtention des équation de mouvement Dicile Assez dicile SimpleEcacité computationnelle Ecace Assez ecace Pas ecaceGénéricité outil logiciel Dicile Assez dicile Facile

φ

(a)

α2

α4

α1

α3

(b)

θ1

θ3

θ2

(c)

Figure 1.3 Paramétrage : (a) strict (généralisé), (b) articulaire (relatif), (c) cartésien (absolu).

UPMC - Master SAR 9

Figure 1.4 Système bielle-manivelle.

Figure 1.5 2 congurations singulières.

Il existe d'autres méthodes de paramétrage tels que l'utilisation des 9 coordonnées de 3 points non copla-naires de chaque solide du système. Bien évidemment ces 9 coordonnées ne sont pas indépendants maisreliées par 3 équations traduisant que les distances entre les points restent constantes. Cette méthode al'avantage de fournir des équations de contrainte de type quadratique, et donc une jacobienne (matricedérivée partielle) linéaire.

1.1.2 Les problèmes types

On peut classer en deux catégories les types de problèmes rencontrés dans l'analyse des systèmes mé-caniques : les problèmes cinématiques et les problèmes dynamiques. L'analyse cinématique étudie lesmouvements indépendamment des causes, c'est-à-dire des actions mécaniques. Pour cela, il faut que lenombre de mouvements imposés (inputs) soit égal au nombre de degrés de liberté dans le système, on ditalors que le système est cinématiquement déterminé. Auparavant, il faut résoudre le modèle géométriquedu système.

Problème géométrique et conditions initiales

Ce problème, dit aussi problème d'assemblage, consiste à trouver la position de tous les éléments dusystème multi-corps, sachant que certaines positions sont connues. En général, ce problème est trèsdicile à résoudre car il conduit à un système d'équations algébriques non-linéaires, qui a la plupartdu temps plusieurs solutions.

Problème cinématique

Etant donnée la position d'un système et les vitesses entrées imposées, il s'agit de déterminer les vitessesdes autres éléments du système. Ce problème est beaucoup plus facile que le précédent, car il est linéaireet a une solution unique.

De même, étant donnée les positions et les vitesses de tous les éléments du système et étant donnéel'accélération des entrées, le problème cinématique d'ordre 2 consiste à calculer les accélérations desautres éléments du système.

Problème dynamique direct

Le problème dynamique direct consiste à déterminer le mouvement du système, connaissant l'ensembledes forces actives et les conditions initiales en position et vitesse. Cela consiste à résoudre un systèmed'équations diérentielles du second ordre, la plupart du temps de type non-linéaires. Généralement, ellessont intégrées numériquement et itérativement, en partant des conditions initiales. Ce calcul nécessitebeaucoup de ressources de calcul, car il faut veiller à la précision des calculs et leur stabilité. Il constituedonc un point clé de la simulation dynamique.

Problème dynamique inverse

Le problème dynamique inverse vise à déterminer les eorts que doivent développer les actionneurs per-mettant de produire un mouvement spécié. Cette formulation est extrêmement utile pour la commandedu système, assurant à travers les actionneurs le suivi d'une trajectoire désirée.

Problème d'équilibre statique

Ce problème cherche à calculer les positions du système dans laquelle les forces de gravité, d'élasticitéet extérieures s'équilibrent. Généralement, ce problème consiste à résoudre un système d'équations algé-briques non-linéaires, qui peut avoir plusieurs solutions.

Problème dynamique linéarisé

Ce problème, très proche du précédent, résout les modes propres de vibrations et les fréquences des petitesoscillations autour d'une position d'équilibre donnée. Ce problème est résolu d'abord en linéarisant leséquations de mouvement autour de la position d'équilibre. La connaissance des fréquences propres dusystème et de sa raideur permet de mieux dénir les lois de commande du système.

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1.2 Quelques rappels de mathématiques et Notations

1.2.1 Vecteur géométrique

On note ~a un vecteur au sens géométrique du terme : il commence en un point A et nit en un pointB. Sa norme est notée a.

On note ~ex, ~ey, ~ez les vecteurs unitaires associés à un repère orthonormé direct (O, x, y, z), alors

~a = ax~ex + ay~ey + az~ez (1.1)

ax, ay, az sont les composantes du vecteur ~a dans (O, x, y, z).

Le produit scalaire de deux vecteurs ~a et ~b est

~a.~b = ab cos (~a,~b) (1.2)

= ~b.~a (1.3)

Si ~a.~b = 0 alors les vecteurs sont orthogonaux.

Pour tout vecteur

~a.~a = a2 (1.4)

Le produit vectoriel de deux vecteurs ~a et ~b est un vecteur ~c :

~c = ~a×~b (1.5)

= ab sin (~a,~b)~u (1.6)

= (aybz − azby)~ex + (azbx − axbz)~ey + (axby − aybx)~ez (1.7)

avec ~u le vecteur unitaire orthogonal au plan déni par ~a et ~b, et respectant la règle de la main droite.

Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est le vecteur nul

~a× λ~a = ~0 λ ∈ R (1.8)

Le produit vectoriel n'est pas commutative, mais si on inverse l'ordre on obtient l'opposé

~a×~b = −~b× ~a (1.9)

Les produits scalaire et vectoriel sont distributifs par rapport à l'addition

(~a+~b).~c = ~a.~c+~b.~c (1.10)

(~a+~b)× ~c = ~a× ~c+~b× ~c (1.11)

Les vecteurs ~ex, ~ey, ~ez d'une base orthonormé vérient

~ex.~ex = ~ey.~ey = ~ez.~ez = 1 (1.12)

~ex.~ey = ~ey.~ez = ~ez.~ex = 0 (1.13)

et

~ex × ~ey = ~ez, ~ey × ~ez = ~ex, ~ez × ~ex = ~ey (1.14)

1.2.2 Matrice

Une matrice A de dimension m× n est notée

A = [aij ] =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

(1.15)

La transposée de la matrice A, notée AT , consiste à permuter les lignes et les colonnes, et donc dedimension n×m

AT =

a11 a21 . . . an1

a12 a22 . . . an2

......

. . ....

a1m a2m . . . anm

(1.16)

Une matrice avec une seule colonne est appelé une matrice colonne est noté a et une matrice ligne estnoté aT i.e. le transposé d'une matrice colonne). Ainsi un vecteur ~a ∈ R peut être déni d'une façonunique par ses coordonnées cartésiennes et écrit sous la forme matricielle

a =

axayaz

= [ax ay az]T

(1.17)

Si a et b deux matrices colonnes de dimension p alors le produit aTb est un scalaire

aTb = bTa = a1b1 + a2b2 + . . .+ apbp (1.18)

Si A = AT ou aij = aji, la matrice est carrée et dite symétrique.

La matrice est dite antisymétrique si A = −AT ou aij = −aji.On en déduit que la diagonale d'une matrice antisymétrique est nulle.

La somme de deux matrices - de même dimension - est commutative

A + B = [aij + bij ] = B + A (1.19)

Le produit de 2 matrices Am×pBp×n = Cm×n tels que cij =∑pk=1 aipbpj . Le produit n'est pas commu-

tatif :

AB 6= BA (1.20)

La somme et le produit des matrices sont associatifs

(A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (1.21)

(AB)C = A(BC) = ABC (1.22)

On a aussi, quand les dimensions sont compatibles,

(A + B)T = AT + BT (1.23)

(AB)T = BTAT (1.24)

Quand la matrice A est carrée et inversible (det(A) 6= 0), son inverse est noté A−1. Nous avons lesidentités suivantes :


AA−1 = A−1A = I (1.25)

(A−1)T = (AT )−1 = A−T (1.26)

(AB)−1 = B−1A−1 (1.27)

I est la matrice identité.

Une matrice est dite orthogonale quand

A−1 = AT ou AAT = I (1.28)

1.2.3 Opérations sur les vecteurs algébriques

Un vecteur algébrique est déni comme une matrice colonne. Quand celui-ci représente un vecteur géo-métrique de l'espace 3D, il a 3 composantes. Le produit scalaire de deux vecteurs ~a.~b peut être donc écritsous la forme matricielle aTb

aTb = bTa = a1b1 + a2b2 + a3b3 (1.29)

Le produit vectoriel ~c = ~a×~b peut prendre la forme matricielle

c = ab =

aybz − azbyazbx − axbzaxby − aybx

(1.30)

avec

a =

0 −az ayaz 0 −ax−ay ax 0

(1.31)

a est une matrice antisymétrique dite matrice du pré-produit vectoriel.

On peut démontrer aisément les identités

(αa) = αa ∀α ∈ R (1.32)

ab = −ba (1.33)

aa = 0 (1.34)

aT aT = −aa = 0T (1.35)

Exercice 1.3 Démontrer que

ab = baT − aTbI (1.36)˜ab = baT − abT (1.37)

= ab− ba (1.38)

ab + abT = ba + baT (1.39)

a + b = a + b (1.40)

Exercice 1.4 Compléter le tableau de correspondance des vecteurs donnés sous forme géométriques oualgébriques

Géométriques Algébriques

~a a

~a+~b a + bα~a αa

~a.~b aTb

~a×~b ab

~a.(~b× ~c) . . .

(~a×~b).~c . . .

~a× (~b× ~c) . . .

(~a×~b)× ~c . . .

1.2.4 Dérivées totale et partielle

Soit a = [ax(t) ay(t) az(t)]T un vecteur algébrique exprimé dans un repère xe. On note

d

dta = [

d

dt(ai(t))] = a (1.41)

Les relations habituelles de dérivation s'appliquent

d

dt(a + b) = a + b (1.42)

d

dt(αa) = αa + αa (1.43)

d

dt(aTb) = aTb + aT b (1.44)

d

dt(ab) = ˙ab + ab (1.45)

Notons que ˙a = ˜a.

Si a(t) un vecteur de longueur xe (par exemple vecteur reliant deux points d'un solide rigide), soitaTa = constante. La dérivée par rapport au temps de cette équation

aTa = 0 (1.46)

La dérivée seconde de a est égale à

d

dt(d

dta) =

d

dt(a) = a (1.47)

Idem pour les matrices

d

dtA = [

d

dt(aij(t))] = A (1.48)

d

dt(A + B) = A + B (1.49)

d

dt(αA) = αA + αA (1.50)

d

dt(AB) = AB + AB (1.51)

d

dt(Ab) = Ab + Ab (1.52)

Exercice 1.5 Soit A = [a, a] une matrice 3× 4 et C = AAT . Quelle condition doit vérier a pour queC soit une matrice nulle.

Il est fréquent en mécanique de manipuler des fonctions qui dépendent d'un certain nombre de paramètresq1, q2, . . . , qn et du temps t, avec qi dépendant également du temps, qi = qi(t). La dérivée totale parrapport au temps d'une fonction


f = f(q1, q2, . . . , qn, t) (1.53)

est

df

dt=

∂f

∂q1

dq1

dt+∂f

∂q2

dq2

dt+ . . .+

∂f

∂qn

dqndt

+∂f

∂t(1.54)

qui peut être écrit sous la forme matricielle

df

dt=

[∂f

∂q1

∂f

∂q2. . .

∂f

∂qn

]

dq1dt

dq2dt

. . .

dqndt

+∂f

∂t(1.55)

=∂f

∂q

dq

dt+∂f

∂t(1.56)

= fqdq

dt+∂f

∂t(1.57)

avec

fq =∂f

∂q=

[∂f

∂q1

∂f

∂q2. . .

∂f

∂qn

](1.58)

Dans le cas de plusieurs fonctions scalaires dépendantes de plusieurs variables

f1 = f1(q1, q2, . . . , qn, t) (1.59)

f2 = f2(q1, q2, . . . , qn, t) (1.60)

=... (1.61)

fm = fm(q1, q2, . . . , qn, t) (1.62)

(1.63)

Pour chaque fonction fj , j = 1, 2, . . . ,m, on a

dfjdt

=∂fj∂q

dq

dt+∂f

∂t(1.64)

(1.65)

On peut regrouper ces m équations en une seule

df

dt=

∂f1∂q1

∂f1∂q2

. . . ∂f1∂qn

∂f2∂q1

∂f2∂q2

. . . ∂f2∂qn

......

. . ....

∂fm∂q1

∂fm∂q2

. . . ∂fm∂qn

dq1dt

dq2dt

...

dqndt

+

∂f1∂t

∂f2∂t

...

∂f2∂t

(1.66)

=∂f

∂q

dq

dt+∂f

∂t(1.67)

= fqq + ft (1.68)

avec

fq =∂f

∂q=

∂f1∂q1

∂f1∂q2

. . . ∂f1∂qn

∂f2∂q1

∂f2∂q2

. . . ∂f2∂qn

......

. . ....

∂fm∂q1

∂fm∂q2

. . . ∂fm∂qn

(1.69)

q =dq

dt=

[dq1

dt

dq2

dt. . .

dqndt

]T(1.70)

ft =∂f

∂t=

[∂f1

∂t

∂f2

∂t. . .

∂fm∂t

]T(1.71)

Dérivée d'une fonction linéaire :

∂aTq

∂q=∂qTa

∂q= aT (1.72)

∂Aq

∂q=∂qTA

∂qT= A (1.73)

Dérivée d'une fonction quadratique :

∂qTAq

∂q= qT (A + AT ) (1.74)

Si A est symétrique i.e. A = AT alors ∂qT Aq∂q = 2qTA


Chapitre 2

Rotation 3D et Paramètres d'Euler(quaternions)

En 3D, le paramétrage de la rotation n'est pas aussi évident qu'en 2D où un angle est susant pourdénir une orientation. La méthode des paramètres d'Euler est la technique la plus utilisée dans leslogiciels de simulation car elle est générique et sans singularité, contrairement aux autres méthodes telleque les angles d'Euler. Noter bien la diérence d'appellation. Auparavant nous commençons par dénirplus généralement les coordonnées nécessaires pour dénir la conguration d'un solide rigide par rapportà un référentiel donné.

2.1 Coordonnées d'un solide rigide

Un corps non-contraint nécessite au moins 6 paramètres indépendants pour déterminer sa conguration- 3 coordonnées pour la translation et 3 pour la rotation. Ces six coordonnées dénissent la congurationd'un repère lié au solide par rapport au référentiel global (inertiel). Chaque point du solide peut être dénipar ses coordonnées dans le repère du solide, donc la position globale de tout point du solide peut êtredéterminée par 6 coordonnées. Les coordonnées de l'origine du repère du solide dénissent la translation.Des coordonnées rotationnelles sont nécessaires pour dénir l'orientation des axes du repère du solide parrapport au référentiel global. On note ξηζ les axes du repère liés au solide et xyz ceux du repère global(2.1(a)). La conguration du repère du corps ξηζ par rapport à xyz peut être considérée comme unetranslation de xyz à x′y′z′ puis une rotation de x′y′z′ vers ξηζ.

L'objectif de ce chapitre est d'étudier l'orientation angulaire de ξηζ par rapport xyz, on supposera pourcela, sans perte de généralité, que les 2 origines sont confondues (2.1(b)).

Soit un vecteur ~u joignant l'origine à un point P , il peut être exprimé par ses coordonnées dans les 2

ηζ

ηζ

ξ

ξ

Figure 2.1 Conguration des repères (a) translation et rotation (b) rotation uniquement.

18

repères ξηζ et xyz :

~u = ux~ex + uy~ey + uz~ez (2.1)

~u = uξ~eξ + uη~eη + uζ~eζ (2.2)

où (~ex, ~ey, ~ez) et (~eξ, ~eη, ~eζ) sont les vecteurs unitaires le long de xyz et ξηζ, et

ux = ~u.~ex, uy = ~u.~ey, uz = ~u.~ezuξ = ~u.~eξ, uη = ~u.~eη, uζ = ~u.~eζ

(2.3)

Les composantes du vecteur ~u exprimées dans dans les deux systèmes de coordonnées peuvent être misesdans des matrices colonnes (vecteurs algébriques) qui sont

u = [ux uy uz]T (2.4)

dans le repère global xyz, et

u = [uξ uη uζ ]T (2.5)

dans le repère lié au solide ξηζ.

Pour exprimer la relation entre u et u, on introduit les relations entre les vecteurs unitaires associés aux2 repères

~eξ = a11~ex + a21~ey + a31~ez (2.6)

~eη = a12~ex + a22~ey + a32~ez (2.7)

~eζ = a13~ex + a23~ey + a33~ez (2.8)

avec aij , i, j = 1, 2, 3 les cosinus directeurs dénis par

a11 = ~eξ.~ex = cos(~eξ, ~ex), a21 = ~eξ.~ey = cos(~eξ, ~ey), a31 = ~eξ.~ez = cos(~eξ, ~ez)a12 = ~eη.~ex = cos(~eη, ~ex), a22 = ~eη.~ey = cos(~eη, ~ey), a32 = ~eη.~ez = cos(~eη, ~ez)a13 = ~eζ .~ex = cos(~eζ , ~ex), a23 = ~eζ .~ey = cos(~eζ , ~ey), a33 = ~eζ .~ez = cos(~eζ , ~ez)

(2.9)

En substituant les expressions (2.8) dans l'équation (2.2), on obtient

~u = uξ(a11~ex + a21~ey + a31~ez) + uη(a12~ex + a22~ey + a32~ez) + uζ(a13~ex + a23~ey + a33~ez)

= (a11uξ + a12uη + a13uζ)~ex + (a21uξ + a22uη + a23uζ)~ey + (a31uξ + a32uη + a33uζ)~ez

... (2.10)

Comparant les équations (2.10) et (2.1), on a

ux = a11uξ + a12uη + a13uζuy = a21uξ + a22uη + a23uζuz = a31uξ + a32uη + a33uζ

(2.11)

ou sous forme matricielle

u = Au (2.12)

avec

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

(2.13)


A est la matrice de changement de base de ξηζ vers xyz. Notons eξ le vecteur des coordonnées de ~eξdans xyz, idem pour eη et eζ :

eξ =

a11

a21

a31

, eη =

a12

a22

a33

, eζ =

a13

a23

a33

(2.14)

et la matrice A peut s'écrire

A = [eξ eη eζ ] (2.15)

Comme eξ, eη, eζ est une base orthonormé, alors

AAT = I (2.16)

et donc

A−1 = AT (2.17)

L'inversion de l'équation (2.12) donne

u = ATu (2.18)

Les 9 cosinus directeurs de la matrice A dénissent l'orientation de ξηζ par rapport à xyz, cependant ilsne sont pas indépendants. Les 9 paramètres sont reliés par 6 équations issus de l'équation (2.16) (en fait 9équations dont 3 répétés deux fois). Donc, seulement 3 cosinus directeurs parmi les 9 sont indépendants.Néanmoins, on peut utiliser les 9 cosinus directeurs, contraints par 6 équations, comme coordonnées ro-tationnelles, cependant ceci n'est ni pratique ni élégant.

Quand les origines des 2 repères ne coïncident pas, alors la position absolue (dans xyz) d'un point P liéau solide est la somme de deux termes

rP = rO + uP

= rO + AuP

soit

rP = r + AuP (2.19)

où r = rO est le vecteur position de l'origine O du repère ξηζ qui regroupe les coordonnées de translationdu corps.

2.2 Matrice rotation

Comme nous l'avons vu dans la section précédente, l'orientation d'un corps peut être dénie par la ma-trice de transformation A. Cette matrice est orthogonale (dite aussi de rotation) de déterminant égalà 1. Ce qui permet de dire qu'à tout instant, le repère lié au solide peut être obtenu en eectuant unerotation imaginaire à partir d'une orientation coïncidante avec le repère globale. Ce résultat est connusous le nom du théorème d'Euler dans sa forme originale :

Théorème d'Euler : Quand une sphère eectue un mouvement autour de son centre, il est toujourspossible de trouver un diamètre dont la position après déplacement coïncide avec la position initiale.

Ceci veut dire que le déplacement général d'un corps ayant un point xe est une rotation autour d'uncertain axe. Cet axe est diérent de l'axe instantané de rotation. Nous allons l'appeler Axe d'Eu-ler. En corollaire de ce théorème, le théorème de Chasles peut être rappelé :

Théorème de Chasles : Le déplacement général d'un solide est une composition d'une translation etd'une rotation.

ξ

ηζ

Figure 2.2 Coordonnées d'un solide rigide.

Figure 2.3 Axe de rotation d'Euler.


αθ

θ

η

θ

∆

ζ

ξ

Figure 2.4 Rotation nie autour d'un axe (O,v).

Nous allons établir ici l'expression de la matrice rotation en fonction du vecteur d'Euler et en fonction del'angle de rotation. Pour dénir cette transformation qui dénit l'orientation relative entre 2 repères ξηζet xyz, on supposera ici, sans perte de généralité, que les 2 origines coïncident. On suppose égalementque les axes des deux repères coïncident initialement.

Soit uP la position du point P dont les coordonnées sont supposées xes dans ξηζ. Après une rotationpar rapport au repère global xyz autour de la droite dirigée par le vecteur unitaire v et d'un angle θ, lepoint P occupe la nouvelle position P de coordonnées u (g.2.4.a), d'où

u = u + ∆u (2.20)

Or ∆u peut s'écrire comme la somme de 2 vecteurs (g.2.4.b)

∆u = b1 + b2 (2.21)

où b1 est perpendiculaire au plan (OCP ) et donc porté par v × u. On peut écrire la norme de b1

b1 =| b1 |= a sin θ (2.22)

Soit α l'angle entre v et u et a le rayon du cercle CP

a =| u | sinα =| v × u | (2.23)

donc

b1 = a sin θv × u

| v × u |= sin θ v × u (2.24)

Le vecteur b2 entre les points P et D a une norme

| b2 |= a− a cos θ = (1− cos θ)a = 2a sin2(θ

2) (2.25)

Ce vecteur est perpendiculaire à la fois OC et à DP , et donc porté par le vecteur unitaire (v× (v× u))/a

b2 = 2a sin2(θ

2) .

v × (v × u)

a(2.26)

D'où

u = u + v × u sin θ + 2 [v × (v × u)] sin2(θ

2) (2.27)

En utilisant la matrice anti-symétrique du pré-produit vectoriel à gauche v

v × u = vu =

0 −v3 v2

v3 0 −v1

−v2 v1 0

u (2.28)

où v1, v2, v3 sont les composantes du vecteur v, l'équation (2.27) devient

u = u + vu sin θ + 2(v)2u sin2(θ

2) (2.29)

=

[I + v sin θ + (v)2 2 sin2(

θ

2)

]u (2.30)

où I est la matrice identité 3 × 3. Cette dernière équation se met sous la forme d'une transformationlinéaire

u = A(v, θ)u (2.31)

avec A est la matrice rotation

A =[I + v sin θ + (v)2 2 sin2( θ2 )

](2.32)

Cette équation est dite formule de Rodriguez ; elle dépend de l'angle de rotation et d'un vecteur unitairede l'axe de rotation.

2.3 Paramètres d'Euler

En utilisant l'identité

sin θ = 2 sinθ

2cos

θ

2

l'équation (2.32) devient

A = I + 2v sinθ

2

(I cos

θ

2+ v sin

θ

2

)(2.33)

En posant les 4 paramètres d'Euler

p1 = e0 = cosθ

2

p2 = e1 = v1 sinθ

2

p3 = e2 = v2 sinθ

2

p4 = e3 = v3 sinθ

2

(2.34)

la formule de Rodriguez (2.32) devient

A = I + 2e (e0I + e) (2.35)

où e = [e1, e2, e3]T et


e =

0 −e3 e2

e3 0 −e1

−e2 e1 0

(2.36)

Il est à noter que les 4 paramètres d'Euler ne sont pas indépendants mais reliés par l'équation

3∑k=0

(pk)2 = pTp = 1 (2.37)

avec p = [e0, e1, e2, e3]T . Vue que les paramètres sont dépendants, la matrice rotation peut prendreplusieurs formes, une d'elles est

A =

2[(e0)2 + (e1)2]− 1 2(e1e2 − e0e3) 2(e1e3 + e0e2)2(e1e2 + e0e3) 2[(e0)2 + (e2)2]− 1 2(e2e3 − e0e1)2(e1e3 − e0e2) 2(e2e3 + e0e1) 2[(e0)2 + (e3)2]− 1

(2.38)

Remarques : Les paramètres d'Euler dénissent un quaternion unitaire

q = cos(θ/2).1 + v1 sin(θ/2).i + v2 sin(θ/2).j + v3 sin(θ/2).k (2.39)

où i2 = j2 = k2 = ijk = −1.Les quaternions peuvent être vues comme une extension des nombres complexes (à 3 paramètres indé-pendants), ils permettent de construire une structure de groupe vériant plusieurs propriétés tel quela fermeture, l'associativité, la conjugaison, ...

La matrice A ne dépend pas des composantes de u, mais dépend du vecteur unitaire v et de l'angle θ.Donc toute ligne rigidement liée à OP sera transformée en utilisant la même matrice A, entre autresles axes du repère tournant ξηζ. Par conséquent A correspond aussi à la matrice de transformationdes coordonnées de ξηζ vers xyz.

Les paramètres d'Euler sont au nombre de 4 reliés par une équation algébrique. Une alternative, quiutilise seulement 3 paramètres, appelé paramètres de Rodriguez, sont dénis par

γ1 = v1 tanθ

2, γ2 = v2 tan

θ

2, γ3 = v3 tan

θ

2(2.40)

Ces paramètres dénissent un vecteur dit de Gibbs γ = v tan θ2 . Cependant ce paramétrage n'est pas

déni pour une rotation de 180(θ = π). Dans le cas plan de normale z, un seul paramètre θ est susant pour dénir la rotation d'un corps(g.2.5). Dans ce cas, la matrice rotation s'écrit

A =

[cos θ − sin θsin θ cos θ

](2.41)

2.4 Propriétés de la matrice rotation

v est une matrice anti-symétrique vT = −v, donc (v)2 est une matrice symétrique. De même

(v)3 = −v, (v)4 = −(v)2, (v)5 = v, (v)6 = (v)2 (2.42)

et par récurence

(v)2n−1 = (−1)n−1v, (v)2n = (−1)n−1(v)2 (2.43)

En utilisant ces équations et l'équation (2.32), on montre

ATA = AAT = I (2.44)

η θ

ξ

θ

ξ

η

Figure 2.5 Rotation plane.

Preuve :

Ceci prouve que la matrice A est une matrice orthogonale et que

A−1 =

[I− v sin θ + (v)2 2 sin2(

θ

2)

]= AT (2.45)

Dans le cas d'une rotation innitésimale,

sin θ = θ − (θ)3

3!+

(θ)5

5!+ ... ≈ θ

la matrice rotation devient

A ≈ I + vθ (2.46)

Exercice : Montrer que pour w = cv

Aw = w

qui signie que tout vecteur colinéaire à l'axe de rotation v est invariant.


Forme exponentielle de la matrice rotation

La formule de Rodriguez s'écrit aussi

A =[I + v sin θ + (v)2(1− cos θ)

](2.47)

En utilisant les développement limités de Taylor

sin θ = θ − (θ)3

3!+

(θ)5

5!+ ...

cos θ = 1− (θ)2

2!+

(θ)4

4!+ ...

A =

[I +

(θ − (θ)3

3!+

(θ)5

5!+ ...

)v +

((θ)2

2!− (θ)4

4!+ ...

)(v)2

](2.48)

=

[I + θv +

(θ)2

2!(v)2 +

(θ)3

3!(v)3 + ...

](2.49)

Cette dernière exploite les relations (2.42,2.43).

Comme l'exponentielle d'une matrice carrée est égale à

eX = I + X +X2

2!+

X3

3!+ ...

la matrice rotation peut se mettre sous la forme élégante

A = eθv (2.50)

2.5 Paramètres d'Euler fonction des cosinus directeurs

A partir de l'équation (2.38), on cherche à écrire les paramètres d'Euler en fonction des termes de lamatrice de transformation A, qui sont aussi appelés les cosinus directeurs. Soit

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

(2.51)

Soit tr(A) la trace de la matrice A, alors

tr(A) = a11 + a22 + a33 (2.52)

= 6(e0)2 + 2(e1)2 + (e2)2 + (e3)2 − 3 (2.53)

= 4(e0)2 − 1 (2.54)

d'où

(e0)2 =tr(A) + 1

4(2.55)

En prenant chaque terme de la diagonale, et en utilisant cette dernière équation, on obtient

(e1)2 =1 + 2a11 − tr(A)

4(2.56)

(e2)2 =1 + 2a22 − tr(A)

4(2.57)

(e3)2 =1 + 2a33 − tr(A)

4(2.58)

(2.59)

Toutes ces équations ne donnent pas le signe des paramètres d'Euler. Pour trouver le signe, il faut s'aiderdes autres termes de la matrice. Contrairement aux autres méthodes comme les angles d'Euler qu'onverra plus loin, il n'y a pas de singularité dans ces équations.

2.6 Identités avec les paramètres d'Euler

Ces relations sont très importantes pour le développement des équations de la dynamique spatiale.

Le produit ppT est une matrice 4× 4 qui s'écrit

ppT =

[e0

e

] [e0 eT

](2.60)

=

[(e0)2 e0e

T

e0e eeT

](2.61)

on peut écrire que

ee = 0 (2.62)

et

ee = eeT − eTeI (2.63)

= eeT − (1− (e0)2)I (2.64)

La matrice rotation peut être décomposée comme suit

A = EET (2.65)

où E, E sont des matrices 3× 4 dépendant linéairement des paramètres e0, e1, e2, e3

E =

−e1 e0 −e3 e2

−e2 e3 e0 −e1

−e3 −e2 e1 e0

= [−e, e + e0I] (2.66)

E =

−e1 e0 e3 −e2

−e2 −e3 e0 e1

−e3 e2 −e1 e0

= [−e,−e + e0I] (2.67)

Preuve :

Chaque ligne de E et E est orthogonale à p c'est-à-dire

Ep = 0 (2.68)

Ep = 0 (2.69)

Un calcul direct montre que les lignes de E sont orthogonales entre elles,

EET = I (2.70)

idem pour E


EET = I (2.71)

et doncEET = EET (2.72)

Cependant le produit ETE est égal àETE = −ppT + I4 (2.73)

idem pour ET E,

ET E = −ppT + I4 (2.74)

2.7 Rotations successives : Les angles d'Euler

La composition de rotations est en général non-commutative (voir gure 2.6), excepté si les axes de ro-tation sont parallèles.

Figure 2.6 Non commutativité des rotations.

Exercice : On considère les 2 rotations autour d'axes liés de la gure (2.6). Donner les matrices rotationspour chaque cas et montrer qu'elles sont diérentes.

Figure 2.7 Gyroscope paramétré par des angles d'Euler.

La technique des angles d'Euler est certainement la méthode la plus connue et la plus utilisée pour leparamétrage de l'orientation 3D d'un repère (ou d'un solide). Elle contient 3 rotations successives autourde 3 axes qui, en général, ne sont pas orthogonaux. Les angles d'Euler ne sont pas uniques. La séquencela plus utilisée est z,x,z, qui s'eectue autour des axes ~z0, ~x1 et ~z2 (g.2.7).

On considère que ~x0, ~y0, ~z0 et ~x1, ~y1, ~z1 deux systèmes de coordonnées qui coïncident initialement. Laséquence commence par une rotation de ~x1, ~y1, ~z1 d'un angle φ autour de ~z0. On a donc

u0 = A10u1 avec A10 =

cosφ − sinφ 0sinφ cosφ 0

0 0 1

La deuxième rotation transforme la base ~x1, ~y1, ~z1 en ~x2, ~y2, ~z2, d'un angle θ autour de ~x1, dont la matricede transformation

u1 = A21u2 avec A21 =

1 0 00 cos θ − sin θ0 − sin θ cos θ

La dernière rotation permet de tourner ~x2, ~y2, ~z2 d'un angle ψ autour ~z2 qui permet d'obtenir ~x3, ~y3, ~z3,dont la matrice de transformation

u2 = A32u3 avec A32 =

cosψ − sinψ 0sinψ cosψ 0

0 0 1

La matrice de rotation totale qui permet de passer les coordonnées de ~x3, ~y3, ~z3 vers ~x0, ~y0, ~z0 est

A = A30 = A10A21A32 (2.75)

A =

cosψ cosφ− cos θ sinφ sinψ − sinψ cosφ− cos θ sinφ cosψ sin θ sinφcosψ sinφ+ cos θ cosφ sinψ − sinψ sinφ+ cos θ cosφ cosψ − sin θ cosφ

sin θ sinψ sin θ cosψ cos θ


Dans le cas où la matrice A = [aij ] est donnée, les angles d'Euler peuvent être donnés à partir de relationssuivantes

cos θ = a33 sin θ = ±√a2

13 + a223

cosψ =−a23

sin θsinψ =

a13

sin θ

cosφ =a32

sin θsinφ =

a31

sin θ

On voit bien les dicultés numériques d'application de ces relations quand θ ' kπ k ∈ N. Ce type desingularité de paramétrage, est présent dans toutes représentations utilisant la composition de rotationssuccessives. On peut aussi se rendre compte de cette singularité quand deux axes de rotations coïncident,en l'occurrence quand θ = 0. Dans ce cas la matrice rotation s'écrit

A =

cosψ cosφ− sinφ sinψ − sinψ cosφ− sinφ cosψ 0cosψ sinφ+ cosφ sinψ − sinψ sinφ+ cosφ cosψ 0

0 0 1

=

cos(ψ + φ) − sin(ψ + φ) 0sin(ψ + φ) cos(ψ + φ) 0

0 0 1

On voit que dans ce cas, on ne peut pas distinguer ψ de φ.

Chapitre 3

Description cinématique des systèmesde solides

3.1 Vitesse et accélération angulaires d'un solide rigide

On considère le repère ξηζ attaché à un solide tournant autour d'un point O xe dans le référentielglobal xyz. On rappelle la position globale d'un point P attaché au solide (voir Chapitre 2)

uP = AuP (3.1)

En dérivant cette équation par rapport au temps, on a

uP = AuP + A ˙uP (3.2)

Sachant que P est xe dans le solide et que uP est un vecteur constant, on a ˙uP = 0. Ce qui fait

uP = AuP (3.3)

On pose Ω et Ω deux matrices 3× 3 telles que

A = ΩA (3.4)

etA = AΩ (3.5)

En dérivant par rapport au temps l'équation AAT = I, on obtient

AAT + AAT = 0 (3.6)

On substitue les équations (3.4) dans (3.6), on arrive à

ξ

ηζ

Figure 3.1 Rotation autour d'un point O.

31

ΩAAT + AATΩT = 0 (3.7)

soitΩ = −ΩT (3.8)

Donc Ω est une matrice anti-symétrique et peut s'écrire

Ω = ω (3.9)

où ω est un vecteur de dimension 3. D'où on peut écrire

A = ωA (3.10)

En utilisant l'équation (3.5), on démontre de la même façon que

Ω = −ΩT

= ˜ω (3.11)

L'équation (3.5) devient

A = A ˜ω (3.12)

En comparant les équations (3.10) et (3.12), on écrit que

ωA = A ˜ω (3.13)

ou encore

ω = A ˜ωAT (3.14)

Ouvrant une parenthèse : Soient 3 vecteurs ~a,~b et ~s quelconques tels que

~b = ~s× ~a

Cette relation exprimée dans les repères global et local s'écrit

b = sa

b = ˜sa

Sachant que a = Aa et b = Ab, en remplaçant dans cette dernière les diverses expressions, ona

sAa = A˜sa

En éliminant a on obtientsA = A˜s (3.15)

ou encores = A˜sAT (3.16)

Les équations (3.14) et (3.16) sont similaires, on en déduit que ω et ω correspondent à un même vecteurgéométrique ~ω, avec

ω = [ωx ωy ωz]T (3.17)

etω = [ωξ ωη ωζ ]

T (3.18)

Enn, l'équation (3.3) devient

uP = ωAuP (3.19)

= ωuP (3.20)

Cette relation prend la forme vectorielle suivante

~uP = ~ω × ~uP (3.21)

Plus généralement, pour tout vecteur ~s attaché à ξηζ, on peut écrire que

s = ωs (3.22)

Si on multiplie à droite l'équation (3.4), on obtient

AAT = ω (3.23)

Sachant que A = 2EET (Eq.A.7) et A = EET (Eq.2.65), cette dernière équation devient

2EET EET = ω (3.24)

Sachant que ET E = −ppT + I4 (Eq.2.74) et que Ep = 0 (Eq.2.68), on peut écrire

2EET = ω (3.25)

Or Ep = −EET (Eq.A.8) et EET = −EET (Eq.A.10), on peut nalement écrire que

ω = 2Ep (3.26)

De la même façon, on montre que

ω = 2Ep (3.27)

On pose G et G

G = 2E (3.28)

G = 2E (3.29)

et donc

ω = G(p)p (3.30)

ω = G(p)p (3.31)

La dérivée par rapport au temps de l'équation (3.26) permet d'écrire

ω = 2Ep + 2Ep

or Ep = 0 (Eq.A.4), donc

ω = G(p)p

Idem, on démontre que

˙ω = G(p)p

Les vecteurs ω et ˙ω sont les composantes globales et locales d'un même vecteur -au sens géométrique duterme- ~ω qui dénit l'accélération angulaire du repère ξηζ par rapport à xyz.


Vitesse et accélération angulaires fonction des angles d'Euler

Dans le cas des rotations successives d'Euler dénis dans le chapitre précédent suivant la convention 3-1-3ou z-x-z. On pose θ, l'ensemble des paramètres de rotation

θ = [φ θ ψ]T (3.32)

De la même façon que l'équation (3.30) avec le paramétrage d'Euler, la vitesse angulaire ω déni dans lerepère global peut être reliée aux paramètres

ω = G(θ)θ (3.33)

avec G qui prend une expression diérente

G =

0 cosφ sin θ sinφ0 sinφ − sin θ cosφ1 0 cos θ

(3.34)

Notons que les colonnes de G, qui représentent les vecteurs unitaires suivant les axes de rotation parrapport auxquels les rotations d'Euler φ θ ψ sont eectuées, sont des vecteurs dénis dans le repèreglobal.Cette vitesse angulaire exprimé dans le repère local est

ω = G(θ)θ (3.35)

avec

G =

sin θ sinψ cosψ 0sin θ cosψ − sinψ 0

cos θ 0 1

(3.36)

Cas 2D

Dans le cas de problème plan normale à z

ω = θ[0 0 1]T (3.37)

3.2 Vitesse et accélération linéaires d'un point lié à un solide

rigide

Rappelons la position générale d'un point P attaché à un corps rigide (ou à un repère local) (Eq.2.19)

rP = r + uP = r + AuP

La dérivée par rapport au temps donne

rP = r + AuP (3.38)

Rappelons que uP est constant. En utilisant l'équation (3.12) on écrit

AuP = A ˜ωuP

= A(ω × uP )

= −A(uP × ω)

= −A˜uP ω

= −A˜uP Gp (3.39)

avec

˜uP =

0 −u3 u2

u3 0 −u1

−u2 u1 0

Enn, on peut écrire

rP = r−A˜uP Gp (3.40)

=[

I −A(p)˜uP G(p)] [ r

p

](3.41)

La dérivée seconde de la position absolue de P donne l'accélération

rP = r + AuP (3.42)

La dérivée par rapport au temps de A = ωA (Eq ;3.10), fournit

A = ˙ωA + ωA (3.43)

= αA + ωωA (3.44)

avec α l'accélération angulaire

α = ω (3.45)

L'accélération s'écrit donc

rP = r + αAuP + (ω)2AuP (3.46)

ou encore

rP = r +α× uP + ω × (ω × uP ) (3.47)

Le premier terme représente l'accélération linéaire de l'origine du solide, le second terme est appeléaccélération tangentielle et le dernier terme est appelé l'accélération normale.

Cas des angles d'Euler

Même expression qu'avec les angles d'Euler, à condition de prendre la bonne matrice G (Eq.3.36) et lebon vecteur θ (Eq.3.32) :

rP = r−A˜uPGθ (3.48)

=[

I −A(θ)˜uPG(θ)] [ r

θ

](3.49)

Cas 2D

Démontrer que

rP =[

I AθuP] [ r

θ

](3.50)

avec

Aθ =

[− sin θi − cos θi

cos θi − sin θi

](3.51)


3.3 Contraintes des liaisons

On peut dénir une liaison cinématique par les degrés de liberté qu'elle permet, ou d'une façon com-plémentaire par les contraintes qu'elle impose. Ces contraintes peuvent être traduites par des équationsalgébriques reliant les coordonnées absolues qui décrivent la position et orientation des solides.

Liaison pivot plane

Quand deux solides i et j sont reliés par une liaison pivot au point P (g.3.2). La position de ce pointexprimée en fonction des paramètres du solide i doit être la même que la position de ce même pointexprimée en fonction des paramètres du solide j. Ce qui s'écrit

riP = rjP (3.52)

soit

Φ(qi,qj) = ri + AiuiP − rj −AjujP = 0 (3.53)

On note uiP = [xiP yiP ]T , ujP = [xjP yjP ]T donne deux équations scalaires de la forme

rix + xiP cos θi − yiP sin θi − rjx − x

jP cos θj + yjP sin θj = 0

riy + xiP sin θi + yiP cos θi − rjy − xjP sin θj − yjP cos θj = 0

(3.54)

Comme on le verra plus tard, an de satisfaire ces contraintes qui sont non-linéaires, il est plus facilede satisfaire leurs dérivées par rapport au temps, qui sont elles des fonctions linéaires des paramètrescinématiques, d'où la nécessité d'exprimer leur dérivées Φ(qi,qj) = 0 :

[I Ai

θuiP

] [ ri

θi

]−[I Aj

θujP

] [ rj

θj

]= 0 (3.55)

soit

Φ(qi,qj , qi, qj) =[I Ai

θuiP

]qi −

[I Aj

θujP

]qj = 0 (3.56)

ce qui permet de déduire la jacobienne des équations de contraintes Φq = [∂Φ∂q ].

Dans le cas où le corps i est relié au bâti, on a

ri + AiuiP − c = 0 (3.57)

où c est un vecteur constant.

Liaison glissière plane

La liaison glissière permet un mouvement de translation entre deux corps le long d'un certaine direction.Comme la liaison pivot, c'est une liaison à 1 ddl et donc introduit 2 équations de contraintes indépen-dantes. La première traduit que l'orientation relative entre les deux corps est maintenue constante i.e.

θi − θj − c = 0 (3.58)

avec c = θi(t = 0)− θj(t = 0) une constante.

Une deuxième condition est nécessaire pour éliminer le mouvement de translation le long de l'axe per-pendiculaire à l'axe de translation. Pour formuler cette condition, on dénit d = riP − rjP et un vecteurhi = riP − riQ lié au solide i et perpendiculaire à l'axe de translation tels que

d = riP − rjP (3.59)

= ri + AiuiP − rj −AjujP (3.60)

Figure 3.2 Liaisons planes

et

hi = riP − riQ (3.61)

= ri + AiuiP − ri −AiuiQ (3.62)

= Ai(uiP − uiQ) (3.63)

S'il n'y a pas de mouvement relatif entre ces deux corps suivant la perpendiculaire à l'axe de la liaisonalors d et hi sont perpendiculaires

hiTd = 0 (3.64)

ou encore

Φ(qi,qj) = (uiTP − uiTQ )AiT(ri + AiuiP − rj −AjujP

)= 0 (3.65)

Liaison rotule

Une liaison rotule possède 3 rotations indépendantes autour d'un point xe (g.3.3). En terme decontrainte, elle impose que deux points P i et P j , des corps i et j, coïncident à tout instant lors dumouvement, ce qui s'écrit

Φ(qi,qj) = ri + AiuiP − rj −AjujP = 0 (3.66)

Sachant que le problème dans ce cas est spatial, on montre que la dérivée par rapport au temps de cettecontrainte, s'écrit

Φ =[I uiTP Gi

] [ ri

pi

]−[I − ujTP Gj

] [rj

pj

]= 0 (3.67)


Figure 3.3 Liaisons spatiales

Liaison pivot-glissant

Liaison glissière spatiale

Liaison pivot spatiale

Liaison cardan (universal joint)

3.4 Mobilité et hyperstatisme

Soit un système à ns solides en mouvement (donc hors bâti), on appelle indice de mobilité (Grueblercount) :

im = d× ns − nc (3.68)

où nc est le nombre d'équations de contraintes Φ introduites par les liaisons, d est la dimension duproblème d = 3 quand le problème est plan, d = 6 quand le problème est spatiale.Cet indice reète une mobilité approximative du système. La mobilité réelle est donnée en étudiant lerang du système d'équations de contraintes géométriques Φ ou cinématiques Φ :

m = d× ns − rang(Φq) (3.69)

Φq = ∂Φ∂q est la Jacobienne des contraintes

L'hyperstatisme h est déni par

h = nc − rang(Φq) (3.70)

Il est aisé de démontrer que

h = m− im (3.71)


Chapitre 4

Dynamique analytique

L'analyse cinématique présentée dans le chapitre précédent est primordiale pour entreprendre l'analysedynamique d'un système. Dans ce chapitre, on présentera les techniques d'obtention des équations demouvement d'un système multi-corps composé de corps rigides interconnectés. Pour bien comprendre cestechniques, il est fondamental de bien maîtriser les notions de paramètres (ou coordonnées) généralisées,de contraintes holonomes et non-holonomes, de degrés de liberté, de travail virtuel et de forces généralisées.

Pour maintenir la généralité des formulations présentées dans ce chapitre et leur application aux systèmesmulti-corps de grande taille, les coordonnées cartésiennes sont utilisées pour décrire le mouvement descorps. Pour ceci, un repère est associé à chaque corps permettant de dénir la conguration des corps dusystème par rapport à un repère inertiel global.

4.1 Paramètres généralisés et contraintes cinématiques

La conguration d'un système est identiée par un ensemble de paramètres appelés paramètres généra-lisées qui dénit complètement la position et l'orientation de chaque corps du système. Pour une masseponctuelle, la conguration dans l'espace peut être dénie par 3 coordonnées qui décrivent la translationde cette masse par rapport au repère inertiel. Pour un solide rigide, la conguration peut être décrite par6 paramètres indépendants : 3 coordonnées qui dénissent la position de l'origine du repère du corps et3 paramètres de rotation décrivant son orientation.

La position absolue d'un point quelconque P du solide i peut être exprimée en fonction de ces coordonnées

riP = ri + AiuiP (4.1)

où ri = riOi est la position du point (Oi) origine du repère attaché au solide i, Ai est la matrice de transformation des coordonnées de la base lié au solide Xi

1, Xi2, X

i3 vers la base

absolue X1, X2, X3, uiP est la position locale du point P dans le repère lié au solide Ri, qui est un vecteur constant quandil s'agit de solide rigide (ceci n'est pas le cas quand le solide est déformable).

Donc la connaissance de ri et Ai permet de dénir la position globale de tout point du solide i. Lamatrice Ai est une fonction d'un ensemble de paramètres rotationnels, les 4 paramètres d'Euler pi, les 3angles d'Euler θi, les 3 paramètres de Rodriguez ou un angle θi pour un problème plan. Ainsi l'ensemblede paramètres généralisées pour un solide rigide

qi = [riT piT ]T (4.2)

Dans un problème spatial utilisant les angles d'Euler

qi = [ri1 ri2 r

i3 φ

i θi ψi]T (4.3)

Si les paramètres d'Euler sont utilisés, qi est un vecteur de dimension 7

qi = [ri1 ri2 r

i3 e

i0 e

i1 e

i2 e

i3]T (4.4)

40

Figure 4.1 Position d'un point d'un solide rigide

où les paramètres sont dépendants et reliés par une équation∑3j=0(eij)

2 = 1.

Figure 4.2 Système multi-corps

Un système multi-corps (g.4.2) composé de ns solides rigides interconnectés nécessite 6ns paramètrespour décrire sa conguration dans l'espace. Cependant, ces 6ns paramètres ne sont pas totalement indé-pendants du fait des liaisons cinématiques. Pour pouvoir bien commander un système multi-corps, il estimportant d'identier un ensemble de paramètres généralisés indépendants appelés degrés de liberté.

Soit q = [q1 q2 ... qn]T l'ensemble des paramètres généralisés d'un système multi-corps, où n est le nombrede paramètres. Ces n paramètres sont reliés par nc équations de contrainte, avec nc < n. Si ces contraintespeuvent s'écrire sous la forme


θ

θ

Figure 4.3 Contrainte dans une liaison pivot

Φ(q, t) = 0 (4.5)Φ1(q, t)Φ2(q, t)...Φnc

(q, t)

= 0 (4.6)

elles sont dites de type holonomes. Si le temps n'apparaît pas explicitement dans ces équations (∂Φj(q,t)

∂t =

0), elles sont dites scléronomes, sinon elles sont dites rhéonomes (∂Φj(q,t)

∂t 6= 0).

Exemple : Soit deux solides rigides plans i et j dont les paramètres généralisés sont [ri1 ri2 θ

i] et [rj1 rj2 θ

j ]reliés par une liaison pivot en P (g.4.3) . Cette liaison autorise une rotation entre les deux corps, etimpose que la position absolue du point P dénie à partir des paramètres généralisées du corps i soitégale à la position du point P dénie à partir des paramètres généralisées du corps j, soit

riP = rjP (4.7)

Dans les applications de robotique manufacturière, l'eecteur du manipulateur doit suivre une trajectoirespéciée (g.4.4).Le corps de l'eecteur est noté i et on peut écrire que la trajectoire du point terminal de l'eecteur Pdoit être égale à une fonction f(t) dépendant du temps t

riP = ri + AiuiP = f(t) (4.8)

Ce type d'équation est une équation de contrainte rhéonome.

Les contraintes qui ne prennent pas la forme (4.6) sont dites non-holonomes. Par extension le systèmeest qualié de non-holonome. Il est fréquent que ces dernières prennent la forme suivante

Figure 4.4 Eecteur d'un manipulateur parcourant une trajectoire spéciée.

Figure 4.5 Les diérents types de contraintes.


φ

θ

ψ

Figure 4.6 Roulement d'un disque sur un plan.

a0 + Bq = 0 (4.9)

avec q = [q1 q2 · · · qn]T , a0 = a0(q, t) = [a01 a02 · · · a0nc

]T ,

B = B(q, t) =

b11 b12 · · · b1nb21 b22 · · · b2n...

.... . .

...bnc1 bnc2 · · · bncn

.Cette équation doit être non-intégrable (sinon elle serait de type holonome).

Exercice 4.1 Ecrire les équations de contraintes entre les paramètres cartésiens d'un disque en roule-ment sur sur un plan. On pose q = [x y z φ θ ψ]T les paramètres regroupant la position du point O etles 3 angles de rotations successives atour de ~z0, ~x1 et ~y2.

4.2 Déplacement virtuel

Pour bien comprendre le sens du principe des travaux virtuels, il faut bien saisir le sens du déplacementvirtuel et des forces généralisées.Un déplacement virtuel est déni comme étant un déplacementinnitésimal compatible avec les contraintes cinématiques imposées sur le mouvement dusystème. Un déplacement virtuel est imaginaire dans le sens où il est supposé se produire pendant quele temps est maintenu xe.

Exemple 1 : Soit un point P attaché à un solide plan i non-contraint (4.7), sa position dans un problèmeplan s'écrit


=

[ri1ri2

]+

[cos θi − sin θi

sin θi cos θi

] [uiP,1uiP,2

](4.11)

Un changement virtuel de la position du point P est noté δriP et donné par

δriP = δri + δ(AiuiP ) (4.12)

θ

Figure 4.7 Position d'un point d'un solide rigide.

AiuiP dépend seulement de l'angle θi

δriP = δri + Aiθu

iP δθ

i (4.13)

avec

Aiθ =

∂Ai

∂θi=


cos θi − sin θi

](4.14)

L'équation (4.13) montre qu'un déplacement virtuel d'un point quelconque est exprimé en fonction d'unevariation virtuelle des paramètres généralisées, et dans ce cas des degrés de liberté. Equation (4.13) peutaussi s'écrire

δriP = riqiδqi (4.15)

avec

qi = [riT θi]T (4.16)

riqi =∂ri

∂qi= [I2 Ai

θuiP ] (4.17)

Un déplacement virtuel peut être considéré comme une diérentielle partielle avec un temps supposéconstant et donc la dérivée partielle par rapport au temps est nulle. Pour expliquer la diérence entreun déplacement réel et un déplacement virtuel, on considère le cas d'une position qui est une fonctionexplicite des paramètres généralisées q et du temps t.

r = r(q, t) (4.18)

La dérivée par rapport au temps de cette équation

dr

dt=∂r

∂qq +

∂r

∂t(4.19)

En multipliant cette dernière par dt on obtient le déplacement réel

dr =∂r

∂qdq +

∂r

∂tdt (4.20)

Si r n'est pas une fonction explicite du temps, le déplacement virtuel δr et le déplacement réel dr sontégaux, assurant que la diérentielle partielle δq est identique à la diérentielle totale dq. Dans le cas d'unvecteur de paramètres généralisées de dimension n


δr =∂r

∂q1δq1 +

∂r

∂q2δq2 + . . .+

∂r

∂qnδqn (4.21)

=

n∑j=1

∂r

∂qjδqj =

∂r

∂qδq (4.22)

avec

∂r

∂q=

[∂r

∂q1

∂r

∂q2. . .

∂r

∂qn

](4.23)

Dans le cas de contraintes scléronomes δr = dr, alors que si les contraintes sont rhéonomes δr 6= dr.

4.3 Degrés de liberté et partitionnement des paramètres généra-

lisées

Dans les systèmes multi-corps, les paramètres (cartésiens) généralisées sont reliés par un ensemble d'équa-tions de contraintes géométriques qui représentent les liaisons ou qui représentent des trajectoires spé-ciées. Si le système n'est pas cinématiquement déterminé, le nombre d'équations de contraintes indé-pendantes nc est plus petit que le nombre de paramètres généralisées n. On peut donc diviser l'ensembledes paramètres en deux catégories : le premier sous-ensemble est celui des paramètres dépendants qd etle second est celui des paramètres indépendants ou des degrés de liberté du système qi. Le nombre deparamètres dépendants est égale à nc et le nombre de paramètres indépendants est n− nc. Les relationsgéométriques de contraintes permettent par la suite d'exprimer la variation virtuelle des paramètres dé-pendants en fonction de celle des paramètres indépendants.

Matrice jacobienne des contraintes : On peut généraliser à partir de l'exemple précédent pour tousles systèmes multi-corps contraints. Partant des équations algébriques des contraintes entre les paramètresgénéralisées qu'on peut mettre sous la forme

Φ(q, t) = [Φ1(q, t) Φ2(q, t) ... Φnc(q, t)]T = 0 (4.24)

avec nc (nc < n) le nombre de équations de contraintes qui sont supposées être indépendantes. Unevariation virtuelle des paramètres généralisées δq doit vérier

Φqδq = 0 (4.25)

avec Φq la matrice jacobienne des contraintes

Φq =∂Φ

∂q=

∂Φ1

∂q1∂Φ1

∂q2. . . ∂Φ1

∂qn

∂Φ2

∂q1∂Φ2

∂q2. . . ∂Φ2

∂qn...

.... . .

...∂Φnc

∂q1

∂Φnc

∂q2. . .

∂Φnc

∂qn

(4.26)

Cette matrice est de taille nc × n. Elle est de rang plein si les contraintes sont indépendantes.

Le vecteur des paramètres généralisés peut être partitionné comme suit

q =[qTd qTi

]T(4.27)

avec qd le vecteur de dimension nc des paramètres dépendants et qi le vecteur de dimension n− nc desparamètres indépendants. L'équation (4.26) peut se ré-écrire comme

Φqdδqd + Φqiδqi = 0 (4.28)

θ

λ

θ

Figure 4.8 Système bielle-manivelle

Les paramètres dépendants doivent être sélectionnés de telle sorte que la matrice Φqdde taille carrée

nc × nc soit non-singulière, on peut donc écrire

δqd = −Φ−1qd

Φqiδqi = Φdiδqi (4.29)

avec

Φdi = −Φ−1qd

Φqi(4.30)

On peut donc écrire la variation virtuelle des paramètres généralisés en fonction de celle des paramètresindépendants

δq =

[δqdδqi

]=

[Φdi

In−nc

]δqi (4.31)

qui peut aussi s'écrire

δq = Biδqi (4.32)

où Bi est une matrice de transformation de paramètres de dimension n× (n− nc) :

Bi =

[Φdi

In−nc

](4.33)

L'équation (4.32) peut être transposée pour exprimer les relations entre les vitesses réelles

q = Biqi (4.34)

Exercice 4.2 Soit le système Bielle-manivelle paramétré par q = [θ1 θ2 λ3]T . Ecrire les équations decontraintes entre ces paramètres. Dériver ces équations et en déduire Bi en θ1 est pris comme paramètreindépendant.

Exercice 4.3 Mêmes questions avec le mécanisme à 4 barres en prenant α1 comme paramètre indépen-dant.


α2

α4

α1

α3

Figure 4.9 Systèmes 4 barres

Figure 4.10 Système de particules.

4.4 Travail virtuel et forces généralisées

Pour bien maîtriser les équations de Lagrange et la notion de forces généralisées, il faut comprendre leprincipe des travaux virtuels. Ce principe peut s'appliquer aussi bien en statique qu'en dynamique. Pourcela nous commencerons par montrer son intérêt dans l'analyse statique des équilibres des systèmes departicules (masses ponctuelles), sachant qu'un solide rigide peut être considéré comme un système à trèsgrand nombre de particules. Cette section démontre tous les théorèmes généraux de la dynamique à partirde la seule équation de Newton appliquée à une particule.

4.4.1 Equilibre statique d'un système de particules

Considérons un système composé de np particules (g.4.10). La particule i est soumise à un système deforce dont la résultante est f i. Si la particule est en équilibre statique alors

f i = 0 (4.35)

où f i = [f i1 fi2 f

i3]T .

De l'équation (4.33), il est évident que

f i.δri = 0 (4.36)

pour tout déplacement virtuel arbitraire δri de la particule i. Si l'ensemble des particules est en équilibrealors

np∑i=1

f i.δri = 0 (4.37)

Si les particules sont soumises à des contraintes sur leurs positions absolues ou relatives alors nous pouvonsécrire la force résultante f i comme la résultante de deux forces

f i = f ie + f ic (4.38)

où f ie est le vecteur des forces extérieures appliquées sur la particule i et f ic est le vecteur des forces decontraintes provenant des connections entre les particules. L'équation (4.37) devient

np∑i=1

(f ie + f ic).δri = 0 (4.39)

ounp∑i=1

f ie.δri + f ic .δr

i = 0 (4.40)

On note

δW =

np∑i=1

f i.δri, δWe =

np∑i=1

f ie.δri, δWc =

np∑i=1

f ic .δri (4.41)

le travail virtuel de toutes les forces appliquées sur le système, le travail virtuel des forces extérieures etle travail virtuel des forces de contrainte.

Si les contraintes ne travaillent pas, (liaison parfaite sans frottement par exemple où les forces decontraintes agissent perpendiculairement à la direction de déplacement), elles sont dites parfaites etdans ce cas

δW = δWe =

np∑i=1

f ie.δri = 0 (4.42)

Cette équation exprime le principe des travaux virtuels en équilibre statique, elle énonce que le travailvirtuel des forces extérieures appliquées à un système de particules en équilibre et ayant des contraintesinactives est égale à zéro. Cependant cette équation ne permet pas de dire que f ie = 0 pour tous les i, carles δri, i = 1, 2, . . . , np ne sont pas linéairement indépendants dans un système de particules contraintes.

Soit q = [q1 q2 . . . qn]T l'ensemble des paramètres généralisées décrivant les positions des particulesri = ri(q1, q2, . . . , qn). Le déplacement virtuel de chaque particule i est

δri =∂ri

∂q1δq1 +

∂ri

∂q2δq2 + . . .+

∂ri

∂qnδqn (4.43)

=

n∑j=1

∂ri

∂qjδqj =

∂ri

∂qδq (4.44)

Substituer cette équation dans (4.42) donne

δW = δWe =

np∑i=1

f ie.

n∑j=1

∂ri

∂qjδqj = 0 (4.45)

qui peut aussi s'écrire

δW = δWe =

n∑j=1

np∑i=1

f ie.∂ri

∂qjδqj = 0 (4.46)


θ

λ

θ

ττττ

Figure 4.11 Relations entrée-sortie en force et en vitesse.

On pose

Qj =

np∑i=1

f ie.∂ri

∂qj=

np∑i=1

f ie.riqj (4.47)

avec

riqj =∂ri

∂qj(4.48)


δW = δWe =

n∑j=1

Qjδqj = QT δq = 0 (4.49)

où Q = [Q1 Q2 . . . Qn]T est appelé le vecteur des forces extérieures généralisées. L'élément Qj estdit force généralisée associée au paramètre généralisé qj . Si l'ensemble des paramètres généralisés sontindépendants alors la condition d'équilibre de l'équation (4.49) devient

Qj = 0, j = 1, 2, . . . , n (4.50)

Exercice 4.4 Le système bielle-manivelle (g.4.11) est en équilibre sous l'eet d'un couple τ~z0 et d'uneforce F~x0. Trouver la relation entre ces deux eorts.

Dans cette formulation seules les forces extérieures sont prises en compte quand on considère l'équilibrede l'ensemble des particules, étant donnée que les forces internes entre les particules ne travaillent pas. Enparticulier, si les particules forment un solide rigide, les forces internes sont de ce type. Pour le démontrer,on considère 2 particules i et j d'un solide rigide, la distance entre elles étant constante

(ri − rj)T (ri − rj) = c (4.51)

où ri,rj sont les positions absolues des particules et c une constante. On suppose une variation virtuelledes positions des vecteurs. Pour qu'elle soit compatible avec l'équation de contrainte (4.51), il faut qu'ellesatisfasse

(ri − rj)T (δri − δrj) = 0 (4.52)

Soit f jic la force qui s'applique sur i résultante de cette contrainte, d'après la troisième loi de Newtonf ijc = −f jic . Ces forces sont opposées, égales en amplitude, et colinéaires à la ligne qui joint les 2 particules

f jic = k(ri − rj) (4.53)

ou k est une constante réelle. Le travail virtuel des forces de contraintes est alors

δWc = f jiTc δri + f ijTc δrj (4.54)

= f jiTc δri − f jiTc δrj (4.55)

= f jiTc (δri − δrj) (4.56)

= k(ri − rj)T (δri − δrj) = 0 (4.57)

On en conclut que le travail virtuel des forces inter-particules dans un solide rigide est nul.

4.4.2 Equilibre dynamique d'un système de particules

De la même façon, le principe des travaux virtuels peut être énoncé en dynamique. La deuxième loi deNewton dit que la résultante des forces agissant sur une particule est égale à la dérivé par rapport autemps de la quantité de mouvement de la particule d

dtmiri = miri (la masse étant conservée)

f i = miri (4.58)

ou encore

f i −miri = 0 (4.59)

Si cette dernière équation est vériée, on parle d'équilibre dynamique de la particule i. Elle permet d'écrireaussi

(f i −miri).δri = 0 (4.60)

Si tout le système de particules est en équilibre dynamique alors

np∑i=1

(f i −miri).δri = 0 (4.61)

Chaque force f i est la résultante d'une force externe et d'une force de contrainte, on a donc

np∑i=1

(f ie + f ic −miri).δri = 0 (4.62)

Si les forces de contraintes sont parfaites∑np

i=1 f ic .δri = 0, alors

np∑i=1

(f ie −miri).δri = 0 (4.63)

En introduisant les paramètres généralisés, on obtient

np∑i=1

(f ie −miri).

n∑j=1

∂ri

∂qjδqj = 0 (4.64)

ou encoren∑j=1

np∑i=1

(f ie −miri).∂ri

∂qjδqj = 0 (4.65)

On pose

Qj =

np∑i=1


∂qj(4.66)


n∑j=1

np∑i=1


∂qjδqj =

n∑j=1

Qjδqj = QT δq = 0 (4.67)

avec Q = [Q1 Q2 . . . Qn]T . Si les paramètres généralisés sont indépendants alors Q = 0 et

Qj = 0 j = 1, 2, . . . , n (4.68)


λ

θ

ττττ

Figure 4.12 Masse coulissante.

Exercice 4.5 Le système représenté sur la gure (4.12) est composé d'un tige sans masse et une massem coulissante le long de la tige. La tige est reliée au bâti par une liaison pivot en O et soumise à uncouple τ~z0. Déterminer les équations d'équilibre dynamique de ce système.

4.4.3 Forces généralisées pour les solides rigides

Le travail virtuel d'une force est le produit scalaire de la force par le déplacement virtuel du pointd'application de la force. Bien entendu les deux vecteurs doivent être exprimés dans la même base. Cecisera étendu ici au solide rigide.

Cas 2D

On considère un solide rigide i soumis en P à une force f i dont les composantes [F i1 Fi2] sont données

dans le repère inertiel. Le travail virtuel de cette force est

δW i = f iT δriP (4.69)

avec


et

Ai =

[cos θi − sin θi

sin θi cos θi

]et uiP est le vecteur local de la position du point P . La diérentielle partielle de l'équation (4.69) est

δriP = δri + Aiθu

iP δθ

i (4.71)

avec

Aiθ =

[∂A

∂θi

]=


cos θi − sin θi

]Ce qui permet d'écrire

δriP =[I2 Ai

θuiP

] [ δri

δθi

](4.72)

Figure 4.13 Force appliquée à un solide rigide.

I2 est la matrice identité 2. La puissance virtuel de la force f i est donc

δW i = f iT[I2 Ai

θuiP

] [ δri

δθi

]=[f iT f iTAi

θuiP

] [ δri

δθi

](4.73)

ou encore sous la forme compacte

δW i =[QiTr Qiθ

] [ δri

δθi

](4.74)

avec

Qir = f iT

Qiθ = f iTAiθu

iP

les forces généralisées associées aux paramètres ri et θi. On peut démontrer aisément que

Qiθ = (uiP × f i).e3

qui est le moment en Oi de la force f i s'appliquant en P . Notez qu'il n'y a pas de barre sur uiP carexprimé dans le repère inertiel comme f i. Dans le cas où un couple M i s'applique sur le solide en plus dela force f i, la force généralisée Qiθ devient

Qiθ = M i + (uiP × f i).e3

alors que Qir reste inchangé.

Cas 3D


Figure 4.14 Element de force générique : ressort - amortisseur - actionneur

4.4.4 Transformation d'un ensemble de paramètres

Les forces généralisées sont toujours associées à un ensemble de paramètres généralisés q = [q1 q2 . . . qn]T .Dans le cas où un second ensemble de paramètres généralisés est déni p = [p1 p2 . . . pm]T et qu'il existeune relation entre les variations virtuelles δq et δp

δq = Bqpδp (4.75)

Le travail virtuel s'écrit

δW = QTq δq = QT

q Bqpδp = QTp δp (4.76)

On en déduit

Qp = BTqpQq (4.77)

Dans le cas du partitionnement de l'ensemble q en paramètres dépendants qd et indépendants qi (voir4.3), nous avons vu qu'on peut écrire

δq = Biδqi

Qi = BTi Q

4.5 Elements de force

On considère deux corps connectés i et j par un ressort de raideur k et de longueur libre l0, par unamortisseur de viscosité c, et par un actionneur linéaire qui développe une force fa (g.4.14). Calculer lesforces généralisées de ces éléments associées aux paramètres cartésiens [ri θi]T et [rj θj ]T .

4.6 Cas des forces conservatives

Le travail virtuel n'est pas une diérentielle exacte, c'est-à-dire n'est pas la variation d'une certainefonction. Dans le cas particulier où le travail virtuel est une diérentielle exacte on peut écrire que

Qj =∂W

∂qj

et par conséquent comme ∂2W∂qj∂qk

= ∂2W∂qk∂qj

∂Qj∂qk

=∂Qk∂qj

Dans ce cas les forces sont dites conservatives, puisqu'elles peuvent être obtenues en dérivant une fonctionpotentielle V

Qco = −(∂V

∂q

)T(4.78)

Les forces non-conservatives ne dérivent pas d'une fonction potentielle et leur travail virtuel n'est pas lavariation d'une fonction donnée. La force de gravité et la force de rappel d'un ressort linéaire sont desforces conservatives. Les forces de viscosité, de frottement et actionneurs ne sont pas conservatives.


4.7 Dynamique Lagrangienne

Sans perte de généralité, les équations de Lagrange seront établies ici pour un système à np particules. Unsolide ou un système de solide peut être considéré comme un système ayant un grand nombre de particules.Les positions ri des particules sont supposées dépendre d'un ensemble de n paramètres généralisés qj j =1, 2, . . . , n. Soit

ri = ri(q1, q2, . . . , qn, t) (4.79)

En dérivant par rapport au temps, on obtient

ri =∂ri

∂q1q1 +

∂ri

∂q2q2 + . . .

∂ri

∂qnqn +

∂ri

∂t=

n∑j=1

∂ri

∂qjqj +

∂ri

∂t(4.80)

Le déplacement virtuel δri s'écrit

δri =

n∑j=1

∂ri

∂qjδqj (4.81)

Le travail virtuel créé par une force f i s'exerçant sur une particule i = 1, 2, . . . , np est

f iT δri =

n∑j=1

f iT∂ri

∂qjδqj (4.82)

La somme des np équations donne

np∑i=1

f iT δri =

np∑i=1

n∑j=1

f iT∂ri

∂qjδqj =

n∑j=1

np∑i=1

f iT∂ri

∂qjδqj =

n∑j=1

Qjδqj (4.83)

(4.84)

avec Qj la force généralisée associée au paramètre qj , et qui s'écrit

Qj =

np∑i=1

f iT∂ri

∂qj(4.85)

Rappelons le principe de D'Alembert qui s'écrit

np∑i=1

(f i −miri).δri = 0 (4.86)

où mi est la masse de la particule i et ri son accélération. Ce terme correspond au travail virtuel desforces d'inertie de la particule i, soit

δW ii = miri.δri (4.87)

Le travail de toutes les forces d'inertie est égal à

δWi =

np∑i=1

δW ii =

np∑i=1

miri.δri (4.88)

En utilisant l'équation (4.81), on obtient

δWi =

np∑i=1

δW ii =

np∑i=1

n∑j=1

miri.∂ri

∂qjδqj (4.89)

Par ailleurs, on peut vérier aisément que

d

dt

(miri.

∂ri

∂qj

)= miri.

∂ri

∂qj+miri.

d

dt

(∂ri

∂qj

)(4.90)

ce qui donne

miri.∂ri

∂qj=

d

dt

(miri.

∂ri

∂qj

)−miri.

d

dt

(∂ri

∂qj

)(4.91)

La somme de ces np équations donne

np∑i=1

miri.∂ri

∂qj=

np∑i=1

[d

dt

(miri.

∂ri

∂qj

)−miri.

d

dt

(∂ri

∂qj

)](4.92)

∂ri

∂qjest une fonction qui dépend des paramètres généralisés qk, k = 1, 2, . . . n et du temps t et donc sa

dérivée par rapport au temps

d

dt

(∂ri

∂qj

)=

[n∑k=1

∂

∂qk

(∂ri

∂qj

)qk

]+∂

∂t

(∂ri

∂qj

)(4.93)

=d

dt

(∂ri

∂qj

)=

[n∑k=1

∂2ri

∂qj∂qkqk

]+

∂2ri

∂qj∂t(4.94)

=∂

∂qj

([n∑k=1

∂ri

∂qkqk

]+∂ri

∂t

)(4.95)

=∂ri

∂qj(4.96)

La dérivée partielle, par rapport qj , de ri dans l'équation (4.80) permet d'écrire

∂ri

∂qj=∂ri

∂qj(4.97)

L'équation (4.92) devient alors

np∑i=1

miri.∂ri

∂qj=

np∑i=1

[d

dt

(miri.

∂ri

∂qj

)−miri.

∂ri

∂qj

](4.98)

=

np∑i=1

d

dt

(∂

∂qj

[1

2miriT ri

])− ∂

∂qj

(1

2miriT ri

)(4.99)

On reconnaît l'énergie cinétique de la particule i

T i =1

2miriT ri (4.100)

L'équation (4.99) s'écrit donc

np∑i=1

miri.∂ri

∂qj=

np∑i=1

d

dt

(∂T i

∂qj

)− ∂T i

∂qj

(4.101)

=d

dt

(∂T

∂qj

)− ∂T

∂qj(4.102)

où T est l'énergie cinétique totale de toutes les particules

T =

np∑i=1

T i =

np∑i=1

1

2miriT ri (4.103)

L'équation (4.89) devient donc

δWi =

n∑j=1

[d

dt

(∂T

∂qj

)− ∂T

∂qj

]δqj (4.104)

Enn, en reportant ce résultat dans l'équation de D'Alembert (4.86) on obtient


n∑j=1

[d

dt

(∂T

∂qj

)− ∂T

∂qj−Qj

]δqj = 0 (4.105)

Cette équation est parfois appelée équation de D'Alembert-Lagrange. Quand l'ensemble des paramètresgénéralisés qj sont linéairement indépendants, on obtient alors les équations de Lagrange

d

dt

(∂T

∂qj

)− ∂T

∂qj−Qj = 0 pour j = 1, 2, . . . , n (4.106)

Il est intéressant parfois de mettre l'équation de D'Alembert-Lagrange sous forme matricielle. Pour cela,on réécrit l'équation (4.105)

[d

dt

(∂T

∂q1

)− ∂T

∂q1−Q1

]δq1 +

[d

dt

(∂T

∂q2

)− ∂T

∂q2−Q2

]δq2 (4.107)

+ . . .+

[d

dt

(∂T

∂qn

)− ∂T

∂qn−Qn

]δqn = 0 (4.108)

ou encore

[d

dt

(∂T

∂q1

)d

dt

(∂T

∂q2

)...

d

dt

(∂T

∂qn

)]δq1

δq2

...δqn

(4.109)

−[∂T

∂q1

∂T

∂q2...

∂T

∂qn

]δq1

δq2

...δqn

− Q1 Q2 ... Qn

δq1

δq2

...δqn

= 0 (4.110)

On obtient [d

dt

(∂T

∂q

)− ∂T

∂q−QT

]δq = 0 (4.111)

soit

d

dt

(∂T

∂q

)− ∂T

∂q= QT (4.112)

avec

d

dt

(∂T

∂q

)=

[d

dt

(∂T

∂q1

)d

dt

(∂T

∂q2

)...

d

dt

(∂T

∂qn

)](4.113)

∂T

∂q=

[∂T

∂q1

∂T

∂q2...

∂T

∂qn

](4.114)

QT = [Q1 Q2 ... Qn] (4.115)

Exemple :

4.8 Le lagrangien

Les forces s'appliquant sur un système mécanique peuvent être classées en deux catégories : les forcesconservatives et les forces non-conservatives, dont les vecteurs des forces généralisées sont notés Qco etQnc. Alors le vecteur des forces généralisées totale

Qe = Qco + Qnc (4.116)

Les forces conservatives dérivent d'une fonction potentielle V

Qco = −(∂V

∂q

)T(4.117)

q est le vecteur des paramètres généralisés. L'équation (4.116) devient

Qe = −(∂V

∂q

)T+ Qnc (4.118)

Rappelons les équations de Lagrange

d

dt

(∂T

∂q

)T−(∂T

∂q

)T= Qe (4.119)

En utilisant l'équation (4.118) et en se rappelant que la fonction potentiel V ne dépend pas des vitessesgénéralisées q, l'équation (4.119) devient

d

dt

(∂(T − V )

∂q

)T−(∂(T − V )

∂q

)T= Qnc (4.120)

Soit le Lagrangien L déni par

L = T − V (4.121)

Les équations de Lagrange deviennent

d

dt

(∂L

∂q

)T−(∂L

∂q

)T= Qnc (4.122)

4.9 Dynamique Lagrangienne contrainte

L'équation de Lagrange (4.106) est vrai seulement quand les paramètres généralisés sont linéairementindépendants. Les systèmes multi-corps présentent très souvent des équations de contraintes dues auxliaisons cinématiques, à la présence cycle cinématique ou à la présence de mouvements spéciés. Dans cecas, deux techniques sont utilisées pour formuler les équations de mouvement d'un système multi-corpscontraint : (1) la technique de réduction et (2) la formulation augmentée.

Dans la technique de réduction, la dynamique du système est formulée en terme des degrés de liberté.Cette technique conduit à un nombre d'équations minimal qui ne contient aucune de force de contrainte.Dans l'autre technique, la formulation augmentée utilise un ensemble de paramètres généralisés dépen-dants et fournit un ensemble d'équations dynamiques qui contiennent des forces de contrainte. Cettetechnique conduit à un système d'équation dit algébro-diérentiel dont la résolution requiert des mé-thodes numériques spéciques qui seront présentées plus loin. Alors que dans la première technique, leséquations diérentielles peuvent être directement résolues avec des schémas d'intégration ordinaires.

4.9.1 La technique de réduction

Les équations algébriques de contrainte qui relient entre les paramètres généralisés peuvent se mettresous la forme

Φ(q, t) = [Φ1(q, t) Φ2(q, t) ... Φnc(q, t)]T = 0 (4.123)

avec nc (nc < n) le nombre d'équations de contraintes, supposées être indépendantes. Une variationvirtuelle des paramètres généralisées δq doit vérier

Φqδq = 0 (4.124)

avec Φq la matrice jacobienne des contraintes


Φq =∂Φ

∂q=

∂Φ1

∂q1∂Φ1

∂q2. . . ∂Φ1

∂qn

∂Φ2

∂q1∂Φ2

∂q2. . . ∂Φ2

∂qn...

.... . .

...∂Φnc

∂q1

∂Φnc

∂q2. . .

∂Φnc

∂qn

(4.125)

Cette matrice est de taille nc × n. Elle est de rang plein si les contraintes sont indépendantes.

Le vecteur des paramètres généralisés peut être partitionné comme suit

q =[qTd qTi

]T(4.126)

avec qd le vecteur de dimension nc des paramètres dépendants et qi le vecteur de dimension n− nc desparamètres indépendants. L'équation (4.26) peut se réécrire comme suit

Φqdδqd + Φqi

δqi = 0 (4.127)

Les paramètres dépendants doivent être sélectionnés de telle sorte que la matrice Φqdde taille carrée

nc × nc soit non-singulière, on peut donc écrire

δqd = −Φ−1qd

Φqiδqi = Φdiδqi (4.128)

avec

Φdi = −Φ−1qd

Φqi(4.129)

On peut donc écrire la variation virtuelle des paramètres généralisés en fonction de celle des paramètresindépendants

δq =

[δqd

δqi

]=

[Φdi

In−nc

]δqi (4.130)

soit

δq = Biδqi (4.131)

où Bi est une matrice de transformation de paramètres de dimension n× (n− nc) :

Bi =

[Φdi

In−nc

](4.132)

Rappelons l'équation de D'Alembert-Lagrange mise sous la forme matricielle (4.111)

[d

dt

(∂T

∂q

)− ∂T

∂q−QT

]δq = 0 (4.133)

ou [d

dt(Tq)− Tq −QT

]δq = 0 (4.134)

En utilisant l'équation de réduction des paramètres généralisés (4.131), cette dernière devient

[d

dt(Tq)− Tq −QT

]Biδqi = 0 (4.135)

Comme les composantes du vecteur δqi, sont linéairement indépendants, on déduit de l'équation (4.135)que [

d

dt(Tq)− Tq −QT

]Bi = 0T (4.136)

ou encore

BTi

[d

dt

(∂T

∂q

)T−(∂T

∂q

)T−Q

]= 0 (4.137)

Ce système contient n − nc équations diérentielles. Les forces de contraintes sont automatiquementéliminées car seuls des paramètres indépendants sont utilisés.

4.9.2 Formulation augmentée

Dans cette formulation, la méthode des multiplicateurs de Lagrange est utilisée. Elle permet de prendreen compte à la fois les équations holonomes ainsi que les équations non-holonomes. On suppose que toutdéplacement virtuel δq respectant ces contraintes satisfait l'équation

Φqδq = 0 (4.138)

Si toutes les contraintes sont holonomes, Φq est une matrice de type Jacobienne. S'il existe des contraintesnon-holonomes, Φq est une simple matrice. Le vecteur Φqδq est égal au vecteur nul, alors le produit scalaireavec tout autre vecteur est aussi égal à zéro

λTΦqδq = 0 (4.139)

où λ est un vecteur quelconque. Rappelons l'équation de D'Alembert-Lagrange

δqT

[d

dt

(∂T

∂q

)T−(∂T

∂q

)T−Q

]= 0 (4.140)

La transposée de l'équation (4.139) additionnée à l'équation (4.140) donne

δqT

[d

dt

(∂T

∂q

)T−(∂T

∂q

)T−Q + ΦT

q λ

]= 0 (4.141)

Supposant qu'il existe un partitionnement des paramètres en deux sous-ensembles qd et qi dits dépendantset indépendants de sorte que

Φqδq = Φqdδqd + Φqiδqi =[

Φqd Φqi

] [ δqd

δqi

]= 0 (4.142)

et que qi soit un ensemble de paramètres indépendants et que Φqd soit carrée et inversible. Alors il existeun vecteur unique λ solution de l'équation

d

dt

(∂T

∂qd

)T−(∂T

∂qd

)T−Qd + ΦT

qdλ = 0 (4.143)

avec Qd le vecteur des forces généralisées associées aux paramètres qd. Considérons ceci, l'équation(4.140) devient

δqTi

[d

dt

(∂T

∂qi

)T−(∂T

∂qi

)T−Qi + ΦT

qiλ

]= 0 (4.144)

avec Qi le vecteur des forces généralisées associées aux paramètres qi. Etant donné que ces paramètressont indépendants, alors nous pouvons écrire que

d

dt

(∂T

∂qi

)T−(∂T

∂qi

)T−Qi + ΦT

qiλ = 0 (4.145)

Les équations (4.143) et (4.145) peuvent être regroupées en une seule comme suit

d

dt

(∂T

∂q

)T−(∂T

∂q

)T−Q + ΦT

q λ = 0 (4.146)

d

dt

(∂T

∂q

)T−(∂T

∂q

)T−Q + ΦT

q λ = 0 (4.147)


Chapitre 5

Dynamique des systèmes de solides

Ce chapitre établi les équations de la dynamique d'un système de solides sur la base d'un paramétragecartésien global utilisant les paramètres ri pour la translation et les paramètres d'Euler pi pour la rotation.Les liaisons bilatérales entre les solides sont considérées par le biais des contraintes -holonomes- qu'ellesintroduisent entre cet ensemble de paramètres.

5.1 Matrice masse des solides rigides

Rappelons l'équation (3.41) de la vitesse d'un point P attaché à un solide rigide i

riP =[

I −Ai ˜uiP Gi

] [ ri

pi

](5.1)

où p désigne le vecteur des paramètres d'Euler (ou celui des angles d'Euler en prenant la matrice Gi

correspondante (Eq.3.36)). Notez que le i en exposant se réfère au corps i.

L'énergie cinétique du solide i s'écrit

T i =

∫V i

1

2ρiriTP riP dV

i (5.2)

où ρi est la masse volumique, V i le volume du solide. En utilisant l'équation (5.1), l'énergie cinétiquedevient

T i =1

2

∫V i

ρi[

riT piT] [ I

−GiT ˜uiTP AiT

] [I −Ai ˜u

iP Gi

] [ ri

pi

]dV i (5.3)

sachant que A est orthogonal, cette équation devient

T i =1

2

[riT piT

]∫V i

ρi

[I −Ai ˜u

iP Gi

sym GiT ˜uiTP

˜uiP Gi

]dV i

[ri

pi

](5.4)

et peut se mettre sous la forme

T i =1

2qiTMiqi (5.5)

avec qi =

[ri

pi

]le vecteur des paramètres généralisés du corps i et Mi la matrice masse associée dénie

par

Mi =

∫V i

ρi

[I −Ai ˜u

iP Gi

sym GiT ˜uiTP

˜uiP Gi

]dV i (5.6)

62

qu'on écrit également sous la forme

Mi =

[Mi

rr Mirθ

sym Miθθ

](5.7)

où

Mirr =

∫V i

ρiIdV i (5.8)

Mirθ = −

∫V i

ρiAi ˜uiP GidV i (5.9)

Miθθ =

∫V i

ρiGiT ˜uiTP

˜uiP GidV i (5.10)

On peut vérier aisément que

Mirr =

∫V i

ρiIdV i =

mi 0 00 mi 00 0 mi

(5.11)

Mirθ représente le couplage entre la translation et la rotation, elle peut aussi s'écrire sous la forme

Mirθ = −Ai

[∫V i

ρi ˜uiP dV

i

]Gi (5.12)

car Ai et Gi ne dépendent pas du volume du solide.

Si uiP = [x1 x2 x3]T est le vecteur position du point P par rapport à l'origine du repère local du solide.Dans le cas où cette origine est prise au centre de gravité, on a∫

V i

ρixkdVi = 0 k = 1, 2, 3 (5.13)

Dans ce cas particulier, Mirθ = 0.

Miθθ est donnée par

Miθθ = GiT

[∫V i

ρi ˜uiTP

˜uiP dV

i

]Gi (5.14)

= GiT IiGi (5.15)

où Ii est appelé le tenseur d'inertie du solide i déni par

Ii =

∫V i

ρi ˜uiTP

˜uiP dV

i (5.16)

Sachant que

˜uiTP

˜uiP =

0 x3 −x2

−x3 0 x1

x2 −x1 0

0 −x3 x2

x3 0 −x1

−x2 x1 0

(5.17)

=

(x2)2 + (x3)2 −x1x2 −x1x3

−x1x2 (x1)2 + (x3)2 −x2x3

−x1x3 −x2x3 (x1)2 + (x2)2

(5.18)


D'où le tenseur d'inertie est un tenseur symétrique dont les éléments sont des constantes

Ii =

∫V i

ρi[(x2)2 + (x3)2

]dV i

∫V i

−ρix1x2dV i

∫V i

−ρix1x3dV i

∫V i

ρi[(x1)2 + (x3)2

]dV i

∫V i

−ρix2x3dV i

sym

∫V i

ρi[(x1)2 + (x2)2

]dV i

(5.19)

Les éléments de la diagonale Iijj sont appelés moments d'inertie, les autres sont les produits d'inertie.

L'énergie cinétique peut aussi s'écrire en utilisant la décomposition précédente de la matrice masse suivantles paramètres généralisés :

T i = T irr + T irθ + T iθθ (5.20)

où

T irr =1

2riTMi

rr ri

T irθ = riTMirθp

i

T iθθ =1

2piTMi

θθpi

T irθ = 0 quand l'origine est attachée au centre de masse du solide. T irr est dite énergie cinétique detranslation, T iθθ est l'énergie cinétique de rotation. Sachant que ωi = Gipi (Eq.3.31), T iθθ s'écrit aussicomme suit

T iθθ =1

2ωiT Iiωi (5.21)

qui est la forme familière qu'on retrouve dans tous les cours de base sur la dynamique du solide rigide.

Par ailleurs, on sait que ωi = AiTωi alors on peut aussi écrire

T iθθ =1

2ωiTAiIiAiTωi (5.22)

=1

2ωiT Iiωi (5.23)

Ii = AiIiAiT (5.24)

Enn, quand l'origine du repère local du solide est au centre de gravité, l'énergie cinétique du solide (i)s'écrit

T i =1

2miriT ri +

1

2ωiT Iiωi (5.25)

5.2 Equations dynamique

On considère un système à ns solide rigides reliés par des liaisons et des éléments de forces. On note levecteur des paramètres généralisés du système

q = [q1T q2T . . . qnsT ]T (5.26)

où qiT , i = 1, 2, . . . , ns est le vecteur des paramètres généralisés du solide i.

On suppose que l'origine du repère du solide i est attachée en son centre de masse, alors la matrice massedu solide s'écrit

Mi =

[Mi

rr 0sym Mi

θθ

](5.27)

et donc l'énérgie cinétique prend la forme

T i =1

2

[riT piT

] [ Mirr 0

sym Miθθ

] [ri

pi

](5.28)

=1

2riTMi

rr ri +

1

2piTMi

θθpi (5.29)

On note Qie le vecteur des forces généralisées extérieures s'appliquant sur le corps i, calculé à partir du

travail virtuel

δW i = QiTe δq

i =[(QiT

e )r (QiTe )θ

]T [ δri

δpi

](5.30)

avec δqi est un déplacement virtuel du vecteur des paramètres généralisés.

Les corps sont reliés entre eux par des liaisons qui vont donc introduire des équations de contrainte entreles paramètres généralisés, soit

Φ(q, t) = 0 (5.31)

Nous avons vu que tout déplacement virtuel δq doit être compatible avec les liaisons et doit satisfaire

Φqδq = 0 (5.32)

où

Φq =∂Φ

∂q(5.33)

est la matrice Jacobienne des équations de contraintes.

On rappelle l'équation de Lagrange d'un système contraint :

d

dt

(∂T

∂q

)T−(∂T

∂q

)T+ ΦT

q λ = Qe (5.34)

avec λ les multiplicateurs de Lagrange.

Exprimons l'équation de Lagrange associée au vecteur qi des paramètres du corps i :

∂T

∂qi=

∂T i

∂qi(5.35)

=

[∂T i

∂ri∂T i

∂pi

](5.36)

=[riTMi

rr piTMiθθ

](5.37)

d

dt

(∂T i

∂qi

)=

[riTMi

rr piTMiθθ + piTMi

θθ

](5.38)

Calculons le dernier terme sachant que Miθθ = GiT IiGi

piTMiθθ = piT ˙G

iTIiGi + piT GiT Ii ˙G

i(5.39)

= ωiT Ii ˙Gi

(5.40)


car ˙Eipi = 0 (Eq.A.5) et ωi = Gipi (3.31). Ce qui fait que

d

dt

(∂T

∂q

)=

[riTMi

rr piTMiθθ + ωiT Ii ˙G

i]

(5.41)

Calculons le second terme de l'équation de Lagrange

∂T i

∂qi=

∂

∂qi

(1

2piTMi

θθpi

)(5.42)

=

[0T3

∂

∂pi

(1

2piT GiT IiGipi

)](5.43)

=

[0T3

∂

∂pi

(1

2piT ˙G

iTIi ˙G

ipi)]

(5.44)

=

[0T3 piT ˙G

iTIi ˙G

i]

(5.45)

=

[0T3 − ωiT Ii ˙G

i]

(5.46)

sachant que Ep = − ˙Ep (Eq.A.3) et en se rappelant que G = 2E.

Finalement l'équation de Lagrange associée aux paramètres qi prend la forme matricielle suivante :

[Mi

rr 0sym Mi

θθ

] [ri

pi

]+

[03

2 ˙GiT

Iiω

]+

[ΦT

ri

ΦTpi

]λ =

[(Qi

e)r(Qi

e)θ

](5.47)

soit

Miqi + ΦTqiλ = Qi

e + Qiv i = 1, 2, . . . , ns (5.48)

où Qiv est le vecteur des vitesses quadratiques, qui prend la forme

Qiv = −Miqi +

∂T i

∂qi=

[03

−2 ˙GiT

Iiωi

](5.49)

Toutes les équations de tous les corps du système, peuvent être regroupées en une seule

Mq + ΦTqλ = Qe + Qv (5.50)

avec

M =

M1 0 . . . 00 M2 0...

. . ....

0 0 . . . Mns

, Qv =

Q1v

Q2v...

Qnsv

, Qe =

Q1e

Q2e...

Qnse

(5.51)

L'équation dynamique du système multi-corps contraint est un système dit algébro-diérentielle quicontient l'équation de la dynamique (5.50) et l'équation de contrainte (5.31), résumé comme suit Mq + ΦT

qλ = Qe + Qv

Φ(q, t) = 0(5.52)

Une solution pour résoudre ce type de système, consiste à dériver par rapport au temps l'équation decontrainte (5.31), une première fois, ce qui peut s'écrire

Φqq = −∂Φ

∂t= −Φt (5.53)

et une seconde fois

Φqq = −Φtt − (Φqq)qq− 2Φqtq = γ (5.54)

Au passage, vous pouvez vous amuser à montrer que Φqq = (Φqq)q q + Φqtq.

Les équations (5.52) et (5.54) peuvent être regroupées sous la forme suivante[M ΦT

q

Φq 0

] [qλ

]=

[Qe + Qv

γ

](5.55)

5.2.1 Equation de Newton-Euler

Les 2 équations dynamiques précédentes sont exprimées en fonction des paramètres généralisées. Ici nousallons écrire les équations de Newton-Euler pour un solide en fonction de la vitesse angulaire. Dans ceformalisme, les forces de contraintes sont considérées au même titre que les forces extérieures.On pose donc

Qi = Qie + Qi

c = Qie −ΦT

qλ =

[Qir

Qiθ

](5.56)

L'équation (5.47) s'écrit donc

miri = Qi

r

Miθθp

i = Qiθ − 2 ˙G

iTIiωi

(5.57)

En utilisant l'équation (5.13), la seconde équation devient

GiT IiGipi = Qiθ − 2 ˙G

iTIiωi (5.58)

puis pré-multipliée par Gi, cela donne

4IiGipi = GiQiθ − 2Gi ˙G

iTIiωi (5.59)

puisqu'on a GiGiT = 2Ei2EiT = 4I.

On rappelle l'accélération angulaire αi = ˙ωi = Gipi. On peut aussi écrire 2Gi ˙GiT

Iiωi = 4˜ωiIiωi =

4ωi × (Iiωi), et ˜ωi

= −2 ˙EiET = 2E ˙E

iT. En utilisant ces deux équations, l'équation d'Euler apparaît

Ii ˙ωi = ni − ωi ×(Iiωi

)(5.60)

avec

ni =1

4GiQi

θ (5.61)

qui représente le moment des forces extérieures déni dans repère local attaché au solide.

Finalement les équations de Newton-Euler pour un solide rigide peuvent être écritesmir

i = Qir = f i

Ii ˙ωi = ni − ωi ×(Iiωi

) (5.62)

Qir = f i représente le vecteur des forces extérieures s'appliquant sur le solide i déni dans son repère

global.


5.2.2 Equations de Newton-Euler et vecteurs 6D

Ces équations peuvent également être écrite sous forme vectoriel (au sens géométrique) et indépendam-ment de la base projection et qui donnent les équations bien-connues de Newton-Euler

mir

i = f i

Iiωi = ni − ωi ×(Iiωi

) (5.63)

En introduisant le torseur cinématique (twist) au centre de gravité

ti =

[ri

ωi

](5.64)

le torseur cinétique (momentum screw) au centre de gravité

µi =

[miri

Iiωi

](5.65)

et le torseur des forces extérieures (wrench) au centre de gravité

wi =

[f i

ni

](5.66)

Le torseur cinétique s'écrit de la sorte

µi = Miti (5.67)

avec

Mi =

[mi1 00 Ii

](5.68)

Sa dérivée par rapport au temps s'écrit

µi = Miti + WiMiti (5.69)

avec

Wi =

[0 0

0 ωi

](5.70)

L'équation de Newton-Euler s'écrit en terme de vecteur à 6 dimensions (torseur)

Miti = −WiMiti + wi (5.71)

5.3 Dynamique des systèmes plans

On rappelle que pour un système plan on a

rP =[

I Aθu] [ r

θ

]avec

Aθ =


cos θi − sin θi

]

On peut montrer aisément que la matrice masse d'un solide i

Mi =

[Mi

rr Mirθ

sym Miθθ

](5.72)

où

Mirr =

∫V i

ρiIdV i = miI (5.73)

Mirθ = Ai

θ

∫V i

ρiuiP dVi (5.74)

Miθθ =

∫V i

ρiuiTP uiP dVi (5.75)

Si l'origine Oi du repère du solide est pris au centre de gravité, alors∫V i ρ

ixkdVi = 0, k = 1, 2 avec

ui = [x1 x2]T , ce qui permet d'écrire dans ce cas

Mirθ = 0 (5.76)

Miθθ =

∫V i

ρi((x1)2 + (x2)2

)dV i = J i (5.77)

L'équation dynamique d'un solide sécrit donc

[miI 00 J i

] [ri

θ

]=

[(Qi

e)r(Qi

e)θ

]+

[(Qi

c)r(Qi

c)θ

](5.78)

ou sous une forme plus compacte

Miqi = Qie + Qi

c (5.79)


Chapitre 6

Dynamique des manipulateurs séries

Le chapitre précédent présente la dynamique des systèmes dans un paramétrage cartésien où la positionde chaque solide est déni dans le repère global indépendamment du reste du système mécanique. Cetype de modèle convient aux outils de simulation et d'analyse génériques. Ce chapitre a pour but dereprésenter la dynamique des systèmes arborescents (séries) dans un paramétrage articulaire où chaqueliaison est dénie par un paramètre θi. Ces paramètres sont de facto indépendants du fait de l'absencede cycles cinématiques dans la structure cinématique. On note n le nombre de solides en mouvement etle nombre de liaisons. Toutes les liaisons sont élémentaires à 1ddl et sont soit de type rotoïde (R) ouprismatique (P).

6.1 Equations de Lagrange

Les équations de Lagrange s'écrivent pour un système mécanique à n paramètres indépendants θi stockésdans le vecteur θ

d

dt

(∂L

∂θ

)− ∂L

∂θ= Qnc (6.1)

avec L = T − V le Lagrangien du système, T l'énergie cinétique, V l'énergie potentielle, Qnc le vecteurdes forces généralisées non-conservatives.

On dénit respectivement les vecteurs 6n des torseurs cinématiques, cinétiques, statiques des forces conser-vatives et non-conservatives,

t =

t1

...tn

, µ =

µ1

...µn

, wco =

w1co...

wnco

, wnc =

w1nc...

wnnc

(6.2)

puis les matrices 6n× 6n de masse et des vitesses angulaires

M = diag(M1, . . . ,Mn), W = diag(W1, . . . ,Wn) (6.3)

ti,µi,wi,Mi,Wi sont dénis dans la section (5.2.2).

L'énergie cinétique d'un système composé de n solides s'écrit en fonction des vecteurs 6D (torseurscinématiques) ti

T =

n∑i=0

T i =

n∑i=0

1

2tiTMiti (6.4)

=1

2tTMt (6.5)

=1

2tTµ (6.6)

70

Les forces généralisées non-conservatives s'obtiennent à partir du travail virtuel de ces actions déniespar les torseurs wi

nc exercés sur chaque solide i

δWnc =

n∑i=0

δW i =

n∑i=1

wiTnc

n∑j=1

∂ti

∂θjδθj (6.7)

ce qui donne pour la force généralisée associée au paramètre θj

Qnc,j =

n∑i=1

wiTnc

∂ti

∂θj(6.8)

Celles-ci peuvent aussi être calculées à partir de la puissance virtuelle Pnc développée par les actionsnon-conservatives

Qnc,j =∂Pnc

∂θj(6.9)

la puissance étant en général plus facile à calculer quand on dispose des torseurs cinématiques et statiques

Pnc =

n∑i=1

P inc =

n∑i=1

wiTnct

i (6.10)

Etant donné que les torseurs cinématiques sont des fonctions linéaires des vitesses articulaires θ, l'énergiecinétique est donc une fonction quadratique de θ

T =1

2θTI(θ)θ (6.11)

La dérivée partielle de T par rapport à θ

∂T

∂θ= I(θ)θ (6.12)

puis,

d

dt

(∂T

∂θ

)= I(θ)θ + I(θ, θ)θ (6.13)

L'énergie cinétique peut aussi s'écrire

T =1

2l(θ, θ)T θ (6.14)

avec

l(θ, θ) = I(θ)θ (6.15)

La dérivé partielle de T par rapport à θ s'écrit donc

∂T

∂θ=

1

2

(∂l

∂θ

)Tθ (6.16)

=1

2

(∂(I(θ)θ)

∂θ

)Tθ (6.17)

Finalement, l'équation Lagrange s'écrit

I(θ)θ + I(θ, θ)θ − 1

2

(∂(I(θ)θ)

∂θ

)Tθ +

∂V

∂θ= Qnc (6.18)

Exercice : Ecrire le modèle dynamique d'un robot 3R plan schématisé sur (6.1).


Figure 6.1 Manipulateur 3R plan

6.2 Dynamique inverse récursive

L'exemple précédent montre qu'il devient fastidieux d'écrire le modèle dynamique d'un façon symbolique,pour des manipulateurs spatiaux à 6ddl. Pour cela d'autres méthodes sont requises pour établir ce modèle.Il convient de distinguer principalement deux problèmes : le problème dynamique direct et le problèmedynamique inverse.

La dynamique inverse a pour but le calcul des couples actionneurs pour la commande, le mouvement dé-siré du robot manipulateur étant donnée par la connaissance de θ, θ, θ. L'algorithme dit de Newton-Eulerrécursif consiste en deux étapes : (1) le calcul cinématique qui détermine les quantités cinématiques envitesse et accélérations de chaque solide à partir de θ, θ, θ, et (2) le calcul dynamique qui détermine lescouples actionneurs et les torseurs d'eorts dans les liaisons.

6.2.1 Calcul cinématique : récurrence avant

Il s'agit de calculer d'une façon récursive le torseur cinématique et sa dérivée pour chaque corps, enpartant de la base et en allant vers l'organe terminal.

La vitesse et l'accélération angulaire du corps (i, i = 1 . . . n ) s'expriment en fonction de celle de (i− 1)

ωi = ωi−1 + θie

i si la liaison i est de type Rωi = ωi−1 si la liaison i est de type P

(6.19)

ωi = ωi−1 + ωi−1 × θiei + θie

i si la liaison i est de type R

ωi = ωi−1 si la liaison i est de type P(6.20)

où ω0 = 0, ω0 = 0 sont la vitesse et l'accélération angulaires de la base (0). ei est un vecteur unitaire del'axe de la liaison rotoïde i qui est relie les corps (i− 1) et i.

Ces relations sont vectorielles et invariantes de la base, elles peuvent être exprimées dans n'importe quellebase, du moment où une seule base est utilisée pour représenter tous ces vecteurs. Soit Ai−1,i la matrice

Figure 6.2 Liaison Rotoïde. Dénitions des vecteurs positions.

de rotation qui permet de changer les coordonnées d'un vecteur du repère (i− 1) vers le repère i (celle-ciest en général exprimée en fonction des paramètres de DH), alors

ωi = Ai−1,i(ω

i−1 + θiei) si la liaison i est de type R

ωi = Ai−1,iωi−1 si la liaison i est de type P

(6.21)

˙ωi = Ai−1,i( ˙ωi−1 + ωi−1 × θiei + θie

i) si la liaison i est de type R˙ωi = Ai−1,i ˙ωi−1 si la liaison i est de type P

(6.22)

avec ei = [0 0 1]T , si on respecte la notation de DH.

Les positions des centres de gravité des diérents segments peuvent être déterminées d'une façon récursiveà partir de

ri = ri−1 − ρi−1 + ai−1 + ρi si la liaison i est de type Rri = ri−1 − ρi−1 + di−1 + bie

i + ρi si la liaison i est de type P(6.23)

Les vitesses et les accélérations des centres de gravité s'écrivent par dérivation par rapport au temps

ri = ri−1 + ωi−1 × (ai−1 − ρi−1) + ωi × ρi si la liaison i est de type R

ri = ri−1 + ωi−1 × (di−1 − ρi−1) + . . .

ωi × (ρi + biei) + bie

i si la liaison i est de type P

(6.24)

ri = ri−1 + ωi−1 × (ai−1 − ρi−1) + . . .ωi−1 × (ωi−1 × (ai−1 − ρi−1)) + . . .

ωi × ρi + ωi × (ωi × ρi) si la liaison i est de type R

ri = ri−1 + ωi−1 × (di−1 − ρi−1) + . . .ωi−1 × (ωi−1 × (di−1 − ρi−1)) + . . .

ωi × (ρi + biei) + ωi × (ωi × (ρi + bie

i)) + . . .

biei + 2ωi × biei si la liaison i est de type P

(6.25)


Figure 6.3 Liaison Prismatique. Dénitions des vecteurs positions.

avec r0 = 0, r0 = 0.

Toutes ces équations sont invariantes et peuvent être exprimées dans n'importe quelle base. Commeprécédemment, il conviendrait d'utiliser la matrice de rotation Ai−1,i qui permet de passer de la base(i− 1) à celle de i et traduire ces équations vectorielles dans la base locale du corps i.

6.2.2 Calcul dynamique : Récurrence arrière

Dans cette section, nous allons donner les équations permettant de déterminer les couples actionneurss'appliquant au niveau des liaisons en partant de l'eecteur et en allant vers la base ; donc on fait décroîtrei = n . . . 1.

On note wPi le torseur des actions dans la liaison i, qu'exerce le corps (i− 1) sur le corps i.

wPi =

[fPinPi

](6.26)

Les liaisons sont supposées être parfaites (sans frottement) et de ce fait, pour une liaison de type R, letorseur s'écrit

fPi =

fPi,xfPi,yfPi,z

nPi =

nPi,xnPi,y0

(6.27)

sinon (liaison de type P), il est égal à

fPi =

fPi,xfPi,y0

nPi =

nPi,xnPi,ynPi,z

(6.28)

An de condenser l'écriture des équations, les eort de liaison et le couple moteur sont agrégés dans un

unique torseur wi =

[fini

]. Ainsi, si la liaison est de type R

fi =

fi,xfi,yfi,z

ni =

ni,xni,yτi

(6.29)

Figure 6.4 Forces exercées sur le corps i.

Figure 6.5 Forces exercées sur le corps terminal.


sinon (liaison type P)

fi =

fi,xfi,yτi

ni =

ni,xni,yni,z

(6.30)

Les équations de Newton-Euler appliquées au corps terminal n (g.6.5) s'écrivent

fn = mnrn − f (6.31)

nn = Inωn + ωn × (Inωn)− n + ρn × fn (6.32)

avec [f ,n]T le torseur des eorts extérieurs qui s'appliquent sur l'eecteur terminal, celui-ci étant expriméau centre de gravité Cn.

De la même façon pour le corps i (g.6.4), on obtient

fi = miri + fi+1 (6.33)

ni = Iiωi + ωi × (Iiωi) + ni+1 + (ai − ρi)× fi+1 + ρi × fi (6.34)

Enn, le couple actionneur τi au niveau de la liaison i s'obtient par projection du moment ou de la forcesur l'axe de la liaison, ainsi si la liaison est de type (R) alors

τi = eTi ni (6.35)

sinon (liaison de type P)

τi = eTi fi (6.36)

6.3 Dynamique directe : Méthode du Complément Orthogonal

Naturel

En simulation, on a besoin de mettre les équations sous la forme d'une ODE (Ordinary DierentialEquation).

x = f(x, t) (6.37)

avec

x =

(θ

θ

)x =

(θ

θ

)(6.38)

Contrairement à la formulation générique utilisant le paramétrage cartésien qui aboutit à un nombre trèsimportant d'équations diérentielles et d'équations algébriques, on peut chercher pour plus d'ecacitéde calcul, à écrire les équations dynamiques avec un nombre minimal de paramètres. Dans notre cas desmanipulateurs séries, ces paramètres minimaux sont les paramètres articulaires θ.

Rappelons que les équations de Newton-Euler s'écrivent pour l'ensemble des solides que constitue lemanipulateur série

Mt = −WMt + wG + wL︸︷︷︸wco

+ wA + wD︸︷︷︸wnc

(6.39)

où wG,wL,wA,wD sont des vecteurs 6n qui regroupent les torseurs des eorts de gravité, de liaison, desactionneurs et dissipatifs.

Les composantes du vecteur t de dimension (6n) ne sont pas indépendantes mais sont reliées par deséquations de contraintes dues aux liaisons

Kt = 0 (6.40)

où K est une matrice de contrainte 6n×6n et sera dénie plus tard. Elle est diérente de la Jacobienne descontraintes. Si on transpose cette équation et on la multiplie par un vecteur quelconque λ de dimension6n, on obtient

tTKTλ = 0 (6.41)

D'autre part, les forces de liaisons wL ne fournissent pas de travail. La puissance développée par cesforces est nulle dans tout mouvement compatible avec les liaisons, donc

tTwL = 0 (6.42)

En comparant les équations (6.41) et (6.42), on peut déduire que

wL = KTλ (6.43)

Par ailleurs chaque composante de t peut s'écrire comme une fonction linéaire des paramètres indépen-dants θ. On a donc

t = Tθ (6.44)

T est une matrice 6n× n dite de twist-shaping.

Si on injecte l'équation (6.44) dans l'équation (6.40) on obtient

KTθ = 0 (6.45)

Les composantes de θ sont indépendantes et peuvent être assignées d'une façon arbitraire. L'uniquesolution de cette dernière équation est que

KT = O (6.46)

O est une matrice nulle 6n× n.

Cette équation met en évidence que T est un complément orthogonal de K. Du fait du choix particulierde T dans l'équation (6.44), cette matrice est dite complément orthogonal naturel.

La dérivée par rapport au temps de (6.40) donne

t = Tθ + Tθ (6.47)

En multipliant à gauche l'équation (6.39) par TT , le vecteur des eorts de liaison wL est éliminé etl'équation de Newton-Euler devient

TTMTθ = −TT (MT + WMT)θ + TT (wG + wA + wD) (6.48)

Soit I = TTMT la matrice d'inertie généralisée et C(θ, θ) = TTMT + TTWMT, cette dernière devient

Iθ = −Cθ + TT (wG + wA + wD) (6.49)

Si de plus une action wE est appliquée sur l'eecteur alors elle doit être ajoutée au second membre

Iθ = −Cθ + TT (wG + wA + wD) + JTwE (6.50)


6.3.1 Calcul de la matrice des contraintes K

Nous allons établir ici l'expression de la matrice des contraintes K pour un manipulateur composé uni-quement de liaison rotoïde.

L'équation (6.24) peut être réécrite

ri − ri−1 + ρiωi + (ai−1 − ρi−1)ωi−1 = 0 (6.51)

La vitesse angulaire relative (ωi − ωi−1) entre les corps (i − 1) et le corps (i) est colinéaire au vecteurθiei, on peut donc écrire

ei(ωi − ωi−1) = 0 (6.52)

Pour la première liaison entre le corps (1) et le bâti, on a

r1 + ρ1ω1 = 0 (6.53)

e1ω1 = 0 (6.54)

Ces équations s'écrivent en fonction des vecteurs 6D,

K11t1 = 0 (6.55)

Ki,i−1ti−1 + Ki,it

i = 0 i = 2, . . . , n (6.56)

avec

K11 =

(1 ρ1

O e1

)(6.57)

Ki,i−1 =

(−1 δ

i−1

O −ei

)(6.58)

Ki,i =

(1 ρi

O ei

)(6.59)

où O,1 sont les matrices nulle et identité de dimension 3× 3.

Pour un manipulateur à n corps et n liaison, la matrice des contraintes K s'écrit donc

K =

K11 O6 O6 . . . O6 O6

K21 K22 O6 . . . O6 O6

......

.... . .

......

O6 O6 O6 . . . Kn−1,n−1 O6

O6 O6 O6 . . . Kn,n−1 Kn,n

(6.60)

avec O6 la matrice nulle 6× 6.

6.3.2 Calcul de la matrice des torseurs cinématiques T

Cette matrice dite twist-shaping relie les torseurs cinématiques aux paramètres articulaires. Elle a doncla structure d'une jacobienne et peut être obtenue par dérivation partielle des coordonnées des corps dansle repère global, ce qui est dépendent d'une base particulière. Cependant il est plus aisée et plus générald'exprimer cette matrice indépendamment de la base en utilisant les propriétés cinématiques des torseurs.

Soit pour le corps i (i = 1, . . . , n), son torseur cinématique

ti = Jiθ (6.61)

= θ1ti1 + θ2t

i2 + . . .+ θit

ii (6.62)

Figure 6.6 Manipulateur à n corps et n liaisons.

avec

tij =

[ej × rij

ej

]si j ≤ i

[00

]sinon

(6.63)

avec

rij =

aj + aj+1 + . . .+ ai−1 + ρi si j < iρi si j = i0, sinon

(6.64)

Finalement, la matrice T s'écrit

T =

t11 0 0 0

t21 t2

2 0 0...

.... . .

...tn1 tn2 . . . tnn

(6.65)

où 0 est un vecteur colonne de dimension 6.

Exercice : Vérier à partir des équations (6.60) et (6.65) que KT = 0.


Chapitre 7

Méthodes numériques

7.1 Equation diérentielle ordinaire ODE

Une équation diérentielle ordinaire du premier ordre prend la forme

y = f(y, t) (7.1)

Cette équation a une famille de solution y(t). Le choix d'une valeur initiale y0 = y(t0) permet de déter-miner une solution dans cette famille.

Toute équation diérentielle d'ordre 2

y1 = f(y1, y1, t) (7.2)

peut se mettre sous la forme d'un système diérentiel ordinaire d'ordre 1

y1 = y2

y2 = f(y1, y2, t)(7.3)

L'intégration numérique consiste à déterminer des valeurs approchées de y(t) à des instants discretst0, t1, t2, . . . qui peuvent être réguliers ou non. On note hi = ti+1 − ti le pas de temps. A chaque instantti, la solution y(ti) est approchée par yi. On note aussi

ε =| y(ti)− yi | (7.4)

l'erreur totale à l'instant t = ti. Cette erreur a deux composantes : (1) une erreur d'intégration due auchoix du schéma d'intégration et (2) une erreur d'arrondi fonction de la longueur du mot utilisé pourcoder les nombres dans l'ordinateur.

7.1.1 Schéma implicite

Le développement de Taylor permet d'écrire

y(ti+1) = y(ti) +y(ti)

1!h+

y(ti)

2!+ termes d'ordre supérieur (7.5)

= y(ti) + hf(yi, ti) +h2

2!f(yi, ti) + termes d'ordre supérieur (7.6)

Si on néglige le terme d'ordre 2 et plus, on obtient le schéma d'Euler explicite

yi+1 = yi + hf(yi, ti) (7.7)

80

La troncature du développement de Taylor à l'ordre 1 montre que yi+1 est une valeur approchée de lavaleur exacte y(ti+1). L'algorithme de Taylor du second ordre obtenu en négligeant les termes d'ordre 3et plus

yi+1 = yi + hf(yi, ti) +h

2!f(yi, ti) (7.8)

Le terme f(yi, ti) peut être exprimé à partir de

f =∂f

∂yy +

∂f

∂t(7.9)

=∂f

∂yf +

∂f

∂t(7.10)

D'autres algorithmes d'ordre plus élevé peuvent être déterminés. L'inconvénient de cette méthode estqu'il faut calculer les dérivées d'ordre 1 et plus de la fonction f .

7.1.2 Méthode de Runge-Kutta

L'algorithme de Runge-Kutta d'ordre 2 s'écrit

yi+1 = yi + hg (7.11)

où

g = (1− a)f(yi, ti) + af(yi +h

2af(yi, ti), ti +

h

2a) (7.12)

avec a 6= 0 un paramètre libre. En général, on prend a = 12 , soit la formule du point milieu

yi+1 = yi +h

2f(yi, ti) +

h

2f(yi + hf(yi, ti), ti + h) (7.13)

ou a = 1, soit l'algorithme de Cauchy

yi+1 = yi + hf(yi +h

2f(yi, ti), ti +

h

2) (7.14)

L'algorithme de Runge-Kutta d'ordre 4 s'écrit

yi+1 = yi + hg (7.15)

où

g =1

6(f1 + 2f2 + 2f3 + f4) (7.16)

f1 = f(yi, ti) (7.17)

f2 = f(yi +h

2f1, ti +

h

2) (7.18)

f3 = f(yi +h

2f2, ti +

h

2) (7.19)

f4 = f(yi + hf3, ti + h) (7.20)

Cet algorithme maintient une erreur de troncature relativement faible même pour des pas de temps grand.Cependant, il a un coût computationnel assez important puisque la fonction f est évaluée 4 fois et cesvaleurs ne sont utilisées qu'une fois, contrairement aux méthodes multi-pas.


7.1.3 Algorithmes multi-pas

Runge-Kutta est une méthode à un pas. Les méthodes multi-pas exploitent les informations de plusieurspas précédents, en particulier yi, yi−1, . . . , yi−k+1, pour calculer une approximation précise de yi+1.

Parmi ceux-ci les algorithmes dits explicites d'Adams-Bashforth (7.1) et les algorithmes dits implicitesd'Adams-Moulton (7.2).

Ordre yi+1

1 yi + hfi (Euler implicite)

2 yi + h( 32fi −

12fi−1)

3 yi + h( 2312fi −

1612fi−1 + 5

12fi−2)

4 yi + h( 5524fi −

5924fi−1 + 37

24fi−2 − 924fi−3)

avec fi = f(yi, ti)

fi−k = f(yi−k, ti−k), k = 1, 2, 3

Table 7.1 Schémas d'intégration d'Adams-Bashforth.

Ordre yi+1

1 yi + hfi+1 (Euler explicite)

2 yi + h( 12fi+1 + 1

2fi)

3 yi + h( 512fi+1 + 8

12fi −112fi−1)

4 yi + h( 924fi+1 + 19

24fi −524fi−1 + 1

24fi−2)

avec fi+1 = f(yi+1, ti+1)

fi = f(yi, ti)

fi−k = f(yi−k, ti−k), k=1,2

Table 7.2 Schémas d'intégration d'Adams-Moulton.

Dans les algorithmes implicites, l'inconnue yi+1 apparaît à droite et à gauche de la formule. Alors quedans les algorithmes explicites yi+1 apparaît seulement à gauche. Runge-Kutta et Taylor méthodes sontclassées comme explicites. La résolution des équations implicites passe par la résolution de l'équationnon-linéaire en yi+1, mais le plus souvent par la méthode de prédiction-correction, détaillée plus loin.

Les méthodes multi-pas ne peuvent pas être utilisées pendant les premiers pas d'intégration, par exempleAdams-Bashford d'ordre 4 nécessite pour le calcul de y1, la connaissance de y0 mais aussi y−1, y−2, y−3.En général, pendant les premières itérations, un schéma à un pas tel que RK4 est utilisé pour le calculde y1, y2, y3.

D'une façon générale, les méthodes multipas sont plus ecaces d'un point de vue calculatoire. La propa-gation d'erreur d'intégration est également plus aisément contrôlée.

7.1.4 Prédiction-correction

Comme dit précédemment, dans les schémas d'intégration implicites l'inconnue yi+1 gure à la fois àdroite et à gauche. Pour démarrer l'itération de la formule, on procède d'abord à une estimation de yi+1

en utilisant un algorithme explicite. Cette étape est connu sous le nom de Prédiction. Ensuite, la formuleimplicite est employée pour corriger cette valeur estimée et obtenir une valeur plus précise yi+1. Cetteétape est appelé Correction. Parfois, la correction peut être itérée plusieurs fois jusqu'à ce que la valeurde yi+1 évolue peu entre deux itérations.

Dans la plupart des systèmes de simulation, si un schéma implicite d'ordre k est utilisée pour la correction,alors un schéma explicite d'ordre k − 1 est utilisée pour la prédiction.

7.1.5 Intégration des équations diérentielles raides (Sti)

Un système ODE est dit raide si il est stable et sa partie linéaire (développement limité à l'ordre 1 deTaylor) évaluée à cet instant, a des valeurs propres à parties réelles négatives mais avec des valeurs étalées(grande diérence entre la plus petite et la plus grande valeurs), c'est à dire des systèmes dont la solutionpossède à la fois des composantes rapides et des composantes lentes. Si la résolution des équations doitcouvrir la réponse transitoire complète, l'intégration doit être eectuée sur un intervalle de temps longpour rendre compte de la composante lente. En même temps, an de capturer les composantes rapidesde la réponse et garder l'erreur numérique bornée, le pas d'intégration doit être susamment petit. Il estévident que pour conduire des simulations sur un temps long avec des pas de calcul faibles peut très vitedevenir laborieux et inecace.

Les modèles mathématiques des systèmes robotiques sont reconnus pour être de type raides, du fait dela variété des ordres de grandeurs des paramètres physiques. Par exemple, un robot manipulateur est engénéral conçu de telle sorte que les segments proches de la base sont beaucoup plus lourds que les seg-ments proches de l'eecteur. De plus, comme on a l'a déjà vu pour les systèmes contraints, les équationsalgébriques de contraintes sont transformées par dérivation en équations diérentielles ; cette méthode aété prouvée comme rendant le système d'équations numériquement raide.

Les schémas numériques dits de Gear sont adaptés à la résolution de ces systèmes. Ils supportent des pasd'intégration grands tout en garantissent une stabilité et des erreurs numériques bornées (7.3).

Ordre yi+1

1 yi + hfi+1 (Euler explicite)

2 43yi −

13yi−1 + 2

3hfi+1

3 1811yi −

911yi−1 + 2

11yi−2 + 611hfi+1

4 4825yi −

3625yi−1 + 16

25yi−2 − 325yi−3 + 12

25hfi+1

avec fi+1 = f(yi+1, ti+1)

Table 7.3 Schémas d'intégration de Gear.

7.2 Stabilisation des contraintes

Rappelons que les équations de contraintes Φ(q) = 0 dans les systèmes contraints, sont dérivées deuxfois par rapport au temps, pour être prises en compte dans la résolution de la dynamique du système.Elles s'écrivent après dérivation

Φ ≡ Φqq − γ = 0 (7.21)

En automatique, il est bien connu que les circuits gérés par l'équation diérentielle du second ordre


y = 0 (7.22)

est instable, puisque tout toute perturbation extérieure (bruit ou dans notre cas erreur numérique) peutêtre ampliée. Pour stabiliser cette équation, on rajoute des termes de rétro-action fonction de y, y

y + 2αy + β2y = 0 (7.23)

avec α un réel positive.

Baumgarte propose d'utiliser cette technique de rétro-action pour stabiliser les contraintes dans un sys-tème mécanique, en considérant l'équation

Φ + 2αΦ + β2Φ ≡ 0 (7.24)

Ce qui donne

Φqq − γ + 2αΦqq + β2Φ = 0 (7.25)

ou encore

Φqq = γ − 2αΦqq − β2Φ (7.26)

= γ∗ (7.27)

An de stabiliser les contraintes, le vecteur γ dans l'équation (5.54) peut être remplacée par γ∗ =γ − 2αΦqq − β2Φ.

7.3 Résolution des équations algébriques non-linéaires

Le problème, dit d'assemblage ou des Conditions Initiales, consiste à trouver la position de tous les élé-ments du système multi-corps, sachant que certaines positions sont connus. En général, ce problème esttrès dicile à résoudre car il est décrit par un système d'équations algébriques non-linéaires, qui a laplupart du temps plusieurs solutions.

La méthode la plus connu pour résoudre les équations non-linéaires est la méthode de Newton-Raphson.Soit une équation algébrique scalaire

Φ(x) = 0 (7.28)

de type non-linéaire en x, qui est l'inconnu à résoudre. La technique de Newton-Raphson est une techniqueitérative, dont l'alogorithme

xi+1 = xi −1

Φx(xi)Φ(xi) (7.29)

avec

Φx(xi) =dΦ(x)

dxévalué en x = xi (7.30)

Cette technique est itérative et peut converger très vite (7.1). Elle nécessite donc une valeur initiale x0

estimée de la solution. Elle peut aussi converger vers une valeur non-désirée, voire aussi diverger en par-ticulier quand quand on est proche d'un minimum local (7.2).

Pour un système à n équations et à n inconnues

Figure 7.1 Représentation graphique de l'algorithme.

Figure 7.2 A gauche : plusieurs racines. A droite : divergence autour d'un minimum local.


Φ(x) = 0 (7.31)

l'algorithme s'écrit

xi+1 = xi −Φx−1(xi)Φ(xi) (7.32)

où Φx−1(xi) est la matrice inverse de la jacobienne Φx = ∂Φ

∂x , évaluée en x = xi.

Bibliographie

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[2] Jorge Angeles. Fundamentals of Robotic Mechanical Systems : Theory, Methods and Algorithms.Springer, 1997.

[3] W. Khalil and Dombre E. Modélisation, identication et commande des robots. Hermes, 1999.

[4] Francis C. Moon. Applied Dynamics. Wiley-VCH, 2008.

[5] Ahmed A. Shabana. Computational Dynamics. Wiley & sons, 2001.

[6] Parviz Nikravesh. Computer-Aided Analysis of Mechanical Systems. PrenticeHall, London, 1989.

[7] J. García de Jalón and E. Bayo. Kinematic and Dynamic Simulation of Multibody Systems. TheReal-Time Challenge. Springer-Verlag, New-York, 1994.

[8] E.J. Haug. Computer aided kinematics and dynamics of mechanical systems. Allyn & Bacon, 1989.

[9] F. Amirouche. Fundamentals of Multibody Dynamics : Theory and Applications. Birkhäuser, 2006.

87

Annexe A

Paramètres d'Euler (suite)

Cette annexe est la suite de la section (2.6) qui développe toutes les propriétés des paramètres d'Euler.

A.1 Identités diérentielles

Si on dérive par rapport au temps l'équation (2.37) on obtient

pT p = pTp = 0 (A.1)

De la même façon, pour les équations (2.69) et (2.70)

Ep = −Ep (A.2)

etEp = − ˙Ep (A.3)

En utilisant la dénition de E (Eq.2.66), montrez que

Ep = 0 (A.4)

idem, pour E

˙Ep = 0 (A.5)

Sachant que ab + abT = ba + baT , on montre que

E ˙ET

= EET (A.6)

La dérivée par rapport au temps de l'équation (2.65) donne

A = EET + E ˙ET

= 2E ˙ET

= 2EET (A.7)

Sachant que Ep = −e0e + ee + e0e et que ˜ab = ab− ba, montrez que

Ep = −EET (A.8)

de même

˜Ep = E ˙ET (A.9)

Ces deux dernières, combinées aux équations (A.2) et (A.3) permettent de déduire

EET = −EET (A.10)

E ˙ET

= − ˙EET (A.11)

La dérivée par rapport au temps de (A.1) fournit

pT p + pT p = 0 (A.12)

88

Si on dérive par rapport au temps l'équation (A.7), on a

A = 2E ˙ET + 2E ˙ET

= 2E ˙ET

+ 2EET (A.13)

qui permet de déduire la relation

E ˙ET

= EET (A.14)

A.2 Identités avec des vecteurs arbitraires

Sont dénis

+a =

[0 −aT

a a

](A.15)

et

−a =

[0 −aT

a −a

](A.16)

deux matrices antisymétriques 4× 4, donc

(+a)T = −+

a (A.17)

(−a)T = −−a (A.18)

Les symboles en-têtes + et − se réfèrent dans ces expressions au signe de a.Dès lors on peut démontrer que

ETa =+a p (A.19)

ETa =−a p (A.20)

ainsi que

E+a = aE + apT (A.21)

E−a = −aE + apT (A.22)

Les dérivées par rapport au temps donnent

ETa =+a p (A.23)

˙ETa =−a p (A.24)

ainsi que

ATa = 2E−a p (A.25)

ATa = 2E−a p (A.26)

ATa = 2E+a p (A.27)

ATa = 2 ˙E+a p (A.28)


Annexe B

Dynamique analytique

B.1 Equation de Gibbs-Appel

L'équation (4.97) peut être étendue aux ordres supérieures

∂ri

∂qj=∂ri

∂qj=∂ri

∂qj(B.1)

La force généralisée d'inertie pour un solide Si peut être calculé de plusieurs façon :

Qii =

∫Si

ρi(∂ri

∂qj

)TridV i (B.2)

Qii =

∫Si

ρi(∂ri

∂qj

)TridV i (B.3)

Qii =

∫Si

ρi(∂ri

∂qj

)TridV i (B.4)

ou en utilisant l'expression de l'énergie cinétique dans l'équation de Lagrange. Toutes ces relations sontéquivalentes et fournissent le même résultat, du moment où le même ensemble de paramètres généralisésest utilisé.

De la même façon que dans l'équation de Lagrange, les forces généralisées sont exprimées en termed'énergie cinétique qui est proportionnelle au carrée de la vitesse, dans l'équation de Gibbs-Appel lesforces généralisées d'inertie sont exprimées en terme d'une fonction d'accélération. L'équation (B.1) prendla forme

Qii =

∫Vi

ρi[∂

∂qj

(1

2riT ri

)]TdV i (B.5)

soit

Qii =

∂V i

∂qj(B.6)

avec V i est une fonction de l'accélération

Si =1

2

∫Vi

ρiriT ridV i (B.7)

90

B.2 Formulation Hamiltonienne

N.B. Dans cette section le vecteur p ne représente le vecteur des paramètres d'Euler, mais le vecteur dece qu'on appelle les impulsions généralisées ou moments généralisés (le moment ici est au sens anglo-saxonmomentum qui est la quantité de mouvement).

Si le système mécanique a n degrés de liberté alors les équations de Lagrange dénissent un système den équations diérentielles du second ordre exprimées en fonction des degrés de liberté et de leur dérivéestemporelles. D'un autre côté, la formulation hamiltonienne conduit à un ensemble d'équations du premierordre dénis en fonction des paramètres généralisés et des impulsions généralisées dénis par

pi =∂L

∂qi=∂T

∂qii = 1, 2, . . . n (B.8)

ou

p =

(∂L

∂q

)T=

(∂T

∂q

)T(B.9)

Le Hamiltonien est déni comme suit

H = qTp− L (B.10)

et donc sa variation virtuelle

δH = qT δp + pT δq−(∂L

∂q

)δq−

(∂L

∂q

)δq (B.11)

D'après la dénition de l'impulsion généralisée (Eq.B.9), le second et le troisième terme de cette dernièreéquation s'annulent, qui devient donc

δH = qT δp−(∂L

∂q

)δq (B.12)

D'après l'équation (B.9), les vitesses généralisées q peuvent être isolées et exprimées en fonction desmoments généralisés p. Le résultat substitué dans l'équation (B.10) permet d'écrire un Hamiltonienfonction des paramètres et moments généralisés

H = H(p,q) (B.13)

et donc

δH =

(∂H

∂p

)δp +

(∂H

∂q

)δq (B.14)

En comparant l'équation (B.12) avec cette dernière, on peut écrireq =

(∂H

∂p

)T∂L

∂q= −∂H

∂q

(B.15)

En utilisant ces identités, on peut écrire le système à 2n équations diérentielles du premier ordrep = −

(∂H

∂q

)T+ Qnc

q =

(∂H

∂p

)T (B.16)

Ces équations sont appelées les équations canoniques d'Hamilton. Il est à noter que pour pouvoir appli-quer ces équations, il faut procéder par déterminer le Lagrangien an de dénir les moments généralisés.

En principe, le principe des travaux virtuels, l'équation de Lagrange, l'équation de Gibbs-Appel ou leséquations canoniques d'Hamilton aboutissent au même système d'équations diérentielles.


Théorème de conservation

Un paramètre généralisé qk qui n'apparaît pas dans le Lagrangien est dit cyclique ou ignorable

∂L

∂qk=∂H

∂qk= 0 (B.17)

S'il n'existe pas de forces non-conservatives associées au paramètres qk alors

pk = 0→ pk = constant (B.18)

Si toutes les forces sont conservatives, l'équation de Lagrange

d

dt

(∂L

∂q

)=∂L

∂q(B.19)

La dérivée totale par rapport au temps du Lagrangien s'écrit

dL

dt=

(∂L

∂q

)q +

(∂L

∂q

)q (B.20)

En utilisant l'équation (B.19), cette dernière devient

dL

dt=

(∂L

∂q

)q +

d

dt

(∂L

∂q

)q (B.21)

Celle-ci peut se mettre sous la forme

dL

dt=

d

dt

(∂L

∂qq

)(B.22)

ou

d

dt

(L− ∂L

∂qq

)= 0 (B.23)

Rappelons que l'énergie potentielle ne dépend pas de q, on a

∂L

∂q=∂T

∂q= pT (B.24)

L'équation (B.23) devient

d

dt

(L− pT q

)=

d

dt(−H) (B.25)

et qui conduit à

H = pT q− L = constant (B.26)

On peut conclure que pour tout système conservatif, le Hamiltonien H est constant.

Notons que

pT q =∂T

∂qq = 2T (B.27)

et donc le Hamiltonien prend la forme suivante

H = 2T − L = 2T − T − V = T + V = constant (B.28)

Cette équation permet d'énoncer que pour tout système conservatif la somme des énergies cinétiques etpotentielles reste constante pendant le mouvement.

5ar02 : dynamique des systèmes théorie et méthodes ...pages.isir.upmc.fr/~amar/cours...

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