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Thèse de Doctorat UNIVERSITÉ AIX-MARSEILLE

École Doctorale : Sciences pour l’Ingénieur : Mécanique, Physique, Micro et Nanoélectronique

Spécialité : Mécanique des solides

Audrey QUIVIGER

Ultrasons diffus pour la caractérisation d’une fissure dans le béton

Approche linéaire et non linéaire

Directeur de thèse : Vincent GARNIER

Soutenue le 16 Novembre 2012

Composition du jury

BALAYSSAC Jean Paul

Professeur, LMDC

Rapporteur

CHAIX Jean-François Maître de conférences, LMA Co-directeur de Thèse

GARNIER Vincent Maître de conférences, HDR, LMA Directeur de Thèse, Examinateur

JOHNSON Paul A. Professeur, LANL Examinateur, Président du jury

KOMATITSCH Dimitri Directeur de recherche CNRS, LMA Examinateur

LAROSE Eric Chargé de recherche, HDR, ISTERRE Rapporteur

PAYAN Cédric Maître de conférences, LMA Co-directeur de Thèse

SALIN Jean Ingénieur Chercheur, EDF R&D Responsable Industriel

Remerciements

Trois années se sont maintenant écoulées depuis le jour où cette thèse a

débuté. Il m’est aujourd’hui possible de mesurer ce chemin que je n’aurais pu

parcourir seule.

Je tiens avant tout à remercier les principaux acteurs de cette thèse, Vincent,

Jean, et Joseph pour leur encadrement, leurs conseils avisés et critiques constructives

qui ont été des atouts majeurs pour la réalisation de ce travail. Je remercie

chaleureusement Gilles, qui m’a accueilli au sein du LCND.

Je remercie tout particulièrement Cédric et Jean François, sans qui cette thèse

n’aurait pas été la même. Merci à vous pour votre soutien et vos idées de génie.

Je tiens également à remercier Gautier, Guy et Alexandre, avec qui j’ai eu

beaucoup de plaisir à travailler.

Je remercie l’ensemble des équipes du LCND, de P1E et P1B, ainsi que du LANL

pour leur accueil chaleureux et leur bonne humeur. Merci à vous tous, permanents,

thésards, stagiaires, post-docs, ATER… Avec une pensée particulière pour Jean-

Philippe, Matthieu, Nicolas, Alice, Erwin, Naïm et Samir pour tous les moments de

convivialité que nous avons pu partager.

Merci à ma famille et mes proches qui m’ont accompagnée et soutenue tout au

long de ce chemin.

Tabledesmatieres

Introduction ............................................................................................................................. 1

Chapitre 1. Evaluation non destructive du béton .................................................. 7

1.1. Contexte de recherche .......................................................................................... 7

1.2. Le béton .................................................................................................................. 10

1.2.1. Matériau......................................................................................................................10

1.2.2. Endommagementdubéton.................................................................................18

1.2.3. Fissuration.................................................................................................................24

1.3. Caractérisation non destructive du béton .................................................. 31

1.3.1. DifférentesméthodesdeCNDdubéton.........................................................31

1.3.2. Techniquesacoustiquesstandards–problématiquedecontrôle.......37

1.4. Potentiel de l’acoustique pour la caractérisation de fissures dans du

béton ................................................................................................................................... 39

Chapitre 2. Acoustique linéaire ................................................................................. 43

2.1. Propagation des ondes ...................................................................................... 43

2.1.1. Milieuhomogène.....................................................................................................43

2.1.2. Dispersion et atténuation des ondes de volume en milieu

hétérogène..................................................................................................................................49

2.1.3. Interactionondesetfissures..............................................................................55

2.1.4. Caractérisationdelafissureparacoustiquelinéairedansdubéton..58

2.1.5. Conclusionsetlimitations...................................................................................62

2.2. Equation de diffusion ......................................................................................... 63

2.2.1. Transportdel’énergieenrégimediffusif......................................................63

2.2.2. Solutionsparticulièresdel’équationdediffusion......................................64

2.2.3. Diffusiondel’énergieacoustiquepourleCND............................................67

2.2.4. Etats de l’art pour le CND du béton .................................................................. 68

2.3. Conclusion .............................................................................................................. 77

Chapitre 3. Diffusion appliquée à la caractérisation d’une fissure :

Expérience et simulation numérique ........................................................................... 81

3.1. Objectifs et enjeux ............................................................................................... 81

3.2. Méthodes expérimentales ................................................................................ 81

3.2.1. Elaboration des éprouvettes de béton ............................................................ 81

3.2.2. Protocole ..................................................................................................................... 85

3.2.3. Détermination des coefficients apparents de diffusion ........................... 87

3.2.4. Coefficients de diffusion en présence d’une fissure ................................... 91

3.2.5. Synthèse ...................................................................................................................... 95

3.3. Méthodes numériques ....................................................................................... 95

3.3.1. Simulation de diffusion ......................................................................................... 96

3.3.2. Modélisation numérique de la fissure ............................................................. 97

3.4. Simulation de la diffusion ................................................................................. 97

3.4.1. Modèle et paramètres de simulation ............................................................... 97

3.4.2. Fissure ouverte : validation du modèle numérique ................................... 99

3.4.3. Fissure fermée ....................................................................................................... 100

3.5. Résultats numériques et validation expérimentale ............................. 101

3.5.1. Fissure ouverte ..................................................................................................... 101

3.5.2. Fissure fermée : influence des points de contact ..................................... 106

3.5.3. Simulation de la fissure fermée ...................................................................... 111

3.5.4. Synthèse ................................................................................................................... 113

3.6. Conclusion ........................................................................................................... 114

Chapitre 4. Acoustique non linéaire et diffusion sous sollicitation

dynamique ……….. ............................................................................................................. 117

4.1. Elasticité non linéaire ...................................................................................... 117

4.1.1. Non linéarité « classique » ...............................................................................117

4.1.2. Non linéarité « non classique » ........................................................................119

4.1.3. Origines de la non linéarité ...............................................................................122

4.1.4. Méthodes de mesures de la non linéarité ....................................................125

4.1.5. Acoustique non linéaire pour le CND du béton .........................................135

4.2. Caractérisation de la fissuration par acoustique non linéaire .......... 139

4.2.1. Matériaux homogènes .........................................................................................139

4.2.2. Béton ..........................................................................................................................143

4.3. Caractérisation de fissure dans du béton par méthode NRUS ........... 145

4.3.1. Protocole expérimental ......................................................................................145

4.3.2. Détermination de l’indicateur non linéaire ................................................150

4.3.3. Résultats et analyse ..............................................................................................153

4.3.4. Synthèse ....................................................................................................................155

4.4. Diffusion sous sollicitation dynamique ..................................................... 156

4.4.1. Motivation ................................................................................................................157

4.4.2. Montage expérimental ........................................................................................159

4.4.3. Résultats et analyse ..............................................................................................164

4.4.4. Synthèse ....................................................................................................................170

4.5. Conclusion ............................................................................................................ 171

Conclusion générale ......................................................................................................... 175

Références ........................................................................................................................... 181

Introduction

Introduction

1

Introduction

L’exploitation des installations de production d’électricité, initialement prévue pour une

durée de 30 ans, pourrait être étendue à plus de 40 ans. Dans cet objectif, il est

nécessaire de pouvoir s’assurer que les matériaux utilisés lors de la construction

possèdent toujours des propriétés physiques suffisantes vis-à-vis de la sûreté des

installations. En particulier, les enceintes de confinement des réacteurs ont un rôle

essentiel de sûreté en assurant l’étanchéité entre l’intérieur de l’enceinte de confinement

et l’extérieur. Leur dégradation éventuelle par la fissuration du béton les constituant est

alors fortement préjudiciable à leur fonction. Si l'on dispose de méthodes aptes à

localiser les éventuelles zones non étanches comme lors de la mise en surpression des

enceintes de confinement, aucune méthode de caractérisation non destructive ne permet

actuellement de caractériser des fissures dans des bétons si celles-ci ne sont pas

traversantes.

La fissuration est un problème majeur au regard de l’intégrité des ouvrages en béton de

génie civil. En effet, ces derniers tiennent principalement leurs propriétés mécaniques

des armatures d’acier qu’ils contiennent. La première nappe de ferraillage ne se situe

qu’à quelques centimètres de la surface, protégée des attaques extérieures par une

couche de béton : le béton d’enrobage. Une mauvaise étanchéité de ce béton peut donc

avoir comme conséquence une corrosion des armatures, dont le volume va alors

augmenter, induisant une macro-fissuration de la structure, et réduisant d’une part les

propriétés mécaniques et d’autre part favorisant l’apparition de fissures traversantes.

Il est donc particulièrement important de pouvoir caractériser une fissure, souvent

fermée dans le cas de structure précontrainte et présente dans le béton d’enrobage, afin

de prévenir au plus tôt tout endommagement de la structure.

Les techniques de caractérisation non destructives du béton sont nombreuses et ne sont

pas toutes sensibles aux mêmes paramètres. Parmi celles-ci, les techniques ultrasonores

semblent les plus adaptées. En effet, les mécanismes de propagation des ondes sont

directement dépendants du milieu traversé et leur facilité de mise en œuvre sur les

structures déjà existantes rend ces techniques particulièrement attractives pour des

mesures in situ.

Introduction

2

Le béton est un matériau composite. Il entraîne la dispersion, ainsi que l’atténuation de

l’onde ultrasonore. Ce comportement est principalement dû aux interactions de l’onde

avec les inclusions issues de la composition, tels que les granulats ou porosités, ainsi

que les discontinuités locales du milieu telles que la présence de micro ou macro-

fissures. La complexité du matériau induit de fait la génération d’un champ ultrasonore

moyen : le champ cohérent, ainsi que d’un champ ultrasonore qui ne résiste pas au

moyennage : le champ incohérent. Le premier est sensible aux propriétés mécaniques

générales du béton, ainsi qu’à la présence d’un endommagement diffus. Sa sensibilité

par rapport à des discontinuités ponctuelles est néanmoins réduite vis-à-vis de celle liée

à des variations de composition ou de l’endommagement diffus. Le second décrit la

propagation entre deux capteurs, et reflète les propriétés locales du milieu. Son analyse

présente un fort potentiel au regard de la caractérisation de fissures fermées dans du

béton. Cependant, dans le cas du béton, il est impossible de connaître avec exactitude la

position, ainsi que la géométrie des diffuseurs, rendant l’exploitation du champ

incohérent complexe. Le champ incohérent est alors décrit par des équations de

diffusion de l’énergie ultrasonore au sein du matériau.

Les méthodes issues de l’acoustique non linéaire présentent également un fort intérêt

dans le cadre de la caractérisation de fissure. Les paramètres issus de ces méthodes

montrent des dynamiques d’évolution très intéressantes pour des caractérisations de

fissure dans des matériaux homogènes, tels que certains aciers. Une transposition de ces

méthodes au cas du béton serait donc un atout précieux. Cependant, la forte

hétérogénéité du béton est également source de non linéarités acoustiques,

indépendamment de la présence de fissure. L’enjeu est donc de différencier ces deux

contributions.

Dès lors, l’objectif de cette thèse est de fournir des réponses sur la capacité de ces

méthodes à apporter des solutions à la caractérisation de fissure en tenant compte de son

état de fermeture. Cette étude doit permettre de conclure sur les possibilités, ainsi que

les limites associées à chacune des méthodes.

Dans un premier chapitre, nous menons l’étude du matériau, ainsi que son

endommagement. Les éléments entrant dans la composition du béton sont présentés,

ainsi que le mécanisme de prise. Les mécanismes à l’origine de l’endommagement sont

Introduction

3

également abordés : ces derniers peuvent être d’origine thermique, chimique ou

mécanique et aboutissent généralement à une fissuration du béton. Les fissures sont

générées aux interfaces ciment/granulats, ou ciment/acier et leur propagation est

directement liée au type d’endommagement subi. Un état de l’art de la bibliographie sur

les différentes méthodes de caractérisation non destructive du béton est réalisé, avec un

point particulier sur les méthodes ultrasonores et leur interaction avec des macro-

fissures.

Dans un second chapitre, la propagation linéaire des ondes ultrasonores est étudiée.

Nous présentons les équations de base de la propagation des ondes en milieu homogène,

puis nous traitons plus particulièrement du béton, et des conséquences de son

hétérogénéité sur la propagation ultrasonore. L’interaction de l’onde avec une fissure est

également étudiée et permet de définir les conséquences de la fissuration sur la

propagation du champ acoustique. L’état de l’art de la caractérisation de fissure par

acoustique linéaire est développé. Nous examinons ensuite une méthode particulière

issue de l’acoustique linéaire : l’analyse de la diffusion de l’énergie, qui s’appuie sur

l’analyse du champ incohérent. Les équations relatives au transport de l’énergie sont

posées, ainsi que certaines solutions particulières associées à la géométrie des

structures. Enfin, un état de l’art est réalisé.

Le troisième chapitre présente l’étude expérimentale de la diffusion de l’énergie

ultrasonore au sein du béton ainsi que son interaction avec une fissure fermée

débouchante en surface. Les coefficients de diffusion sont déterminés pour des

éprouvettes de béton présentant chacune une entaille, ou fissure de hauteur différente.

Une simulation numérique de la propagation de l’énergie au sein du béton est réalisée.

Dans cette simulation, le béton possède également une entaille ou une représentation

d’une fissure, permettant une comparaison avec les résultats expérimentaux.

Dans le quatrième chapitre, nous traitons l’acoustique non linéaire. Différentes

méthodes permettant d’accéder à une mesure de la non linéarité sont présentées, et un

état de l’art est réalisé sur la caractérisation du béton et des fissures par acoustique non

linéaire. Une méthode de référence d’évaluation, basée sur le décalage de la fréquence

de résonance (NRUS), est appliquée sur des éprouvettes de béton fissurées. L’évolution

du paramètre non linéaire en fonction de la hauteur d’une fissure fermée est montrée.

Introduction

4

Une nouvelle méthode expérimentale est également développée. La mise en œuvre de la

méthode de diffusion de l’énergie ultrasonore pour un lot d’éprouvettes est réalisée sous

sollicitations dynamiques afin de faire varier l’état d’ouverture des fissures. Le potentiel

de ces méthodes pour la caractérisation in situ de fissures est ainsi défini.

La conclusion générale permet de faire le point sur les différentes méthodes envisagées

et leur potentiel dans le cadre de la caractérisation in situ de fissures fermées. Les

perspectives scientifiques et industrielles sont dégagées avec le double objectif

d’améliorer la compréhension des interactions ondes ultrasonores – défauts dans les

bétons et de parvenir à terme à de nouveaux moyens de mesures ultrasonores

exploitables in situ.

Chapitre I

Évaluation non destructive du béton

Chapitre 1. Evaluation non destructive du béton

7

Chapitre 1. Evaluation non destructive du beton

1.1. Contexte de recherche

En 2011, la production d’électricité d’origine nucléaire dans le monde était de 2518

milliards de kWh. Cette production est assurée aujourd’hui par 433 réacteurs répartis

dans 48 pays (World Nuclear Association 2012).

En France, les chocs pétroliers de 1973 et 1974 ont conduit à des modifications de la

politique énergétique et au développement du programme nucléaire civil, privilégiant

ainsi ce type de production afin de réduire la dépendance énergétique du pays.

Aujourd’hui, 58 réacteurs, répartis sur 19 sites en France, permettent en moyenne la

production de 410 milliards de kWh par an.

La nature du combustible, ainsi que le retour d’expérience depuis soixante ans ont

conduit les exploitants, ainsi que les agences gouvernementales et civiles à faire de la

sureté de ces centrales une priorité absolue. La conception et la construction de ces

centrales sont soumises à des règles et des contrôles très stricts en matière de sécurité.

Afin de protéger l’homme et l’environnement de toute dispersion de radioactivité, les

centrales nucléaires françaises disposent de trois barrières physiques de confinements,

résistantes et étanches (Figure 1). Ces trois barrières successives forment un véritable

écran entre les matières radioactives et l’environnement extérieur. La première barrière

est la gaine métallique qui enferme l’uranium à l’intérieur du réacteur. Cette barrière

retient les produits de fission, créés lors de la réaction en chaîne. La deuxième barrière

est constituée par l’enveloppe métallique du circuit de refroidissement primaire, qui

comprend notamment la cuve en acier du réacteur. Enfin, cet ensemble est lui-même

confiné dans une enceinte en béton précontraint, simple ou double, selon les cas. Cette

troisième barrière de sécurité étanche est conçue pour résister en cas de fusion du

réacteur ou à des agressions externes. L’absence de cette troisième barrière, l’enceinte

de confinement, dans la configuration de la centrale nucléaire de Tchernobyl a

notamment conduit, lors de l’accident de 1986, à une dispersion radioactive sans

précédent dans l’histoire de la production nucléaire.


8

Figure 1 : Coupe schématique, enceinte de confinement de réacteur

Cette structure de béton armé d’une épaisseur de 1,2 m (réacteur de type REP 1450

MWe) est bi-axialement précontrainte. Elle est dimensionnée pour résister à une

pression interne relative de 0.4 MPa à une température de 140°C, ce qui correspond à

l’accident de dimensionnement APRP (Accident par Perte de Réfrigérant Primaire). Si

l’on effectue un calcul simplifié des contraintes imposées à la structure lors d’un

incident APRP et celles apportées par la précontrainte, il est possible de constater que la

précontrainte permet de maintenir les sections du béton en compression lors d’un

APRP. Toutefois, ces calculs sont assez simplifiés en regard de la géométrie de

l’enceinte qui est en réalité localement complexe (présence de sas d’accès,

positionnement des câbles de précontrainte …). De plus, la température, en cas

d’incident, modifie le comportement de la structure et des efforts en jeu. Enfin, les

forces de précontrainte diminuent au cours du temps du fait du vieillissement du béton

et de l’acier. Il est nécessaire de prédire correctement cette évolution tout au long du

fonctionnement d’une centrale.

Dans le cadre d’un incident APRP, si les contraintes initiées sont de l’ordre des

contraintes apportées par la précontrainte, des fissures peuvent apparaître dans

l’enceinte.

Afin de vérifier que la structure de l’enceinte conserve ses propriétés initiales, des

épreuves d’enceintes décennales sont réalisées sur chaque réacteur. L’épreuve consiste

en une mise en surpression de l’enceinte à 0,4 MPa en air à température ambiante.

L’enceinte doit, à l’issue de ces tests, prouver sa capacité à assurer un taux de fuite

inférieur à 1,5% de la masse totale des fluides contenus par tranches de 24 heures.


9

De plus, en fonctionnement normal, l’étanchéité de l’enceinte de confinement est

surveillée en continu par comparaison du taux d’introduction d’air comprimé dans

l’enceinte avec l’évolution de sa pression interne.

La fissuration de l’enceinte de confinement est donc préjudiciable à ses fonctions de

résistance et d’étanchéité. La capacité de l’enceinte à jouer son rôle dépend entièrement

de la qualité de la précontrainte, et de sa stabilité au cours du temps. Or, celle-ci

diminue naturellement. Le béton armé qui la constitue est exposé en permanence aux

éléments extérieurs. Il subit donc différentes agressions, qui peuvent engendrer une

diminution de ses propriétés mécaniques, comme les résistances en traction et en

compression ainsi que la génération de fissures débouchantes ou non, éventuellement

traversantes, orthogonales à la surface de la structure.

Les agressions externes entraînent une dégradation prématurée du béton armé, qui sera

d’autant plus importante et rapide que le réseau de fissures est important, facilitant le

transport des agents agressifs au cœur de la structure. De plus, la présence de ces

fissures génère localement une augmentation des contraintes qui facilite leur

propagation.

Un endommagement chimique du béton situé à proximité de la surface externe de

l’enceinte peut conduire à la corrosion des armatures proches de celle-ci. Cette

corrosion entraîne une perte des propriétés mécaniques de la partie corrodée de l’acier

ainsi que son expansion géométrique. Cette dernière va ainsi générer de la macro

fissuration comme présenté figure 2 (Vidal et al. 2004; Zhao et al. 2012; Poursaee &

Hansson 2008).

Figure 2 : Fissure générée par la différence de coefficient d'expansion thermique entre une barre de PMMA et du béton (Poursaee & Hansson 2008)


10

Des endommagements mécaniques, comme des cycles de fatigue, un séisme, un

tsunami peuvent également engendrer de la fissuration et affecter la structure de

l’enceinte de confinement. Certains bâtiments réacteurs sont conçus avec une double

enceinte, dont la plus externe est capable de résister à la chute d’un avion tel qu’un

mirage V de 13 tonnes volant à 540 km/h.

Le rôle de l’enceinte de confinement est donc d’assurer l’étanchéité du bâtiment

réacteur et ainsi l’isoler de l’environnement extérieur. Cette enceinte (ou double

enceinte selon les types de réacteurs) protège l’environnement extérieur de la

radioactivité mais également le cœur du réacteur de toutes agressions externes.

Cependant, les différents types d’endommagement que rencontre le béton qui compose

l’enceinte au cours du temps peuvent générer une fissuration de la structure qui est

préjudiciable à sa fonction. Il est donc important aujourd’hui, dans un contexte

industriel, de pouvoir être capable de détecter, localiser et caractériser ces fissures afin

de mieux évaluer les propriétés de l’enceinte en temps réel afin de pouvoir procéder, au

plus tôt, aux réparations nécessaires.

L’objectif de ce travail est de parvenir à la caractérisation de fissures dans du béton.

Pour ce faire, une première étape est de connaitre le matériau étudié ainsi que sa

dynamique de fissuration.

1.2. Le béton

1.2.1. Matériau

1.2.1.1. Constituants et formulation du béton

Le béton désigne un matériau composite, composé de granulats et de sables, inclus dans

une matrice solide qui fait office de liant. Il existe de nombreux types de bétons. Parmi

ceux-ci, le béton avec liant hydraulique est utilisé dans la construction des ouvrages de

génie civil. Le liant hydraulique est alors du ciment, qui va durcir suite à une réaction

chimique avec l’eau.

Le terme « béton » désignera par la suite un béton classique, constitué uniquement de

ces trois composants : granulats, sable et ciment (Figure 3).


11

Il existe en réalité une très large gamme de bétons dont la composition évolue en

fonction des caractéristiques mécaniques souhaitées, ou encore selon l’environnement

du futur ouvrage. Certains adjuvants peuvent ainsi entrer dans la composition d’un

béton afin d’en modifier ses propriétés.

Figure 3 : Vue en coupe d'une éprouvette de béton

Les granulats utilisés dans les travaux de génie civil doivent répondre à des impératifs

de qualité et des caractéristiques spécifiques de chaque usage. Ils constituent le squelette

du béton et représentent dans les cas usuels, 70 à 80% de la masse totale du béton.

Les granulats sont définis par leur granularité : la distribution dimensionnelle des grains,

exprimée en pourcentage de masse passant au travers de tamis à mailles carrées. La

classe granulaire est ensuite déterminée en termes de dimension inférieure (d) et

supérieure (D) des tamis. Il existe trois classes de granulats : le sable (d=0 et D < 4

mm), le gravillon (d > 2mm et 4mm < D < 63mm) et le grave (D > 63mm). Il existe

également la notion de filler pour des grains inférieurs à 63µm. Pour plus

d’informations, il est possible de se référer aux normes en vigueur (AFNOR 2004b;

AFNOR 2004a; AFNOR 2002b; AFNOR 2003).

La distribution des granulats au sein du béton est réalisée de façon à être la plus

continue possible afin d’assurer la meilleure compacité possible. Ceci va contribuer à la

diminution des espaces entre grains, favorisant la réaction d’hydratation et améliorer les

propriétés mécaniques du béton.

Le ciment majoritairement utilisé dans le génie civil est un mélange de silicates et

d’aluminates de calcium, résultant de la combinaison de la chaux, de la silice, de

l’alumine et de l’oxyde de fer. L’ensemble de ces constituants est chauffé pour aboutir à

la formation de « clinker ». La finalisation du ciment se fait en broyant du clinker et du


12

gypse. Le tout est ensuite porté à très haute température, et le mélange est corrigé si

nécessaire.

Le ciment ainsi obtenu peut également offrir une très grande variabilité, qui dépend de

la provenance des matériaux, des adjuvants utilisés au cours de la fabrication et des

dosages entre les différents constituants. Le produit final est conforme aux exigences du

cahier des charges qui est lui-même fonction des contraintes environnementales

auxquelles doivent faire face les différents ouvrages, ainsi que des normes de

construction en vigueur.

Les différents modèles de formulation du ciment, parmi lesquels le plus largement

diffusé est le modèle de Dreux-Gorisse (Dreux & Festa 1998) révisé, ont tous les

mêmes objectifs : l’amélioration de l’ouvrabilité du béton (facilité de mise en œuvre du

béton liquide), la résistance du béton solide ainsi que sa durabilité.

L’ouvrabilité du béton dépend de la quantité d’eau que l’on apporte au mélange. Ainsi,

plus le béton sera liquide, plus il sera facile à mettre en place. Cependant, un excès

d’eau diminuera la résistance du matériau. En effet, la résistance d’un béton dépend

directement du ratio entre les quantités massiques d’eau et de ciment (E/C) introduites

dans le mélange (Figure 4).

Dans les faits, pour un béton ayant un rapport E/C élevé, la distance entre grains de

ciment augmente et rend difficile la création de contacts entre les grains pendant la prise

du ciment. Le ciment possède au final une plus faible résistance et une porosité accrue.

A contrario, lorsque le rapport E/C diminue, les contacts entre grains augmentent,

conférant une résistance élevée au béton une fois durci.


13

Figure 4 : Influence du rapport E/C sur les contacts lors de la prise du béton

Pour plus d’informations sur les procédés de formulation du béton, il existe de

nombreux ouvrages traitant ce sujet (Ollivier & Baron 1997; Dreux & Festa 1998;

Neville 2000; De Larrard 1999; Infociments).

1.2.1.2. Mécanismes de prise

Une fois la formulation du béton établie, les différents constituants du béton sont

mélangés.

L’eau commence par entourer chaque grain de ciment en formant un réseau capillaire.

Puis, les composés anhydres du ciment sont alors attaqués en surface par l’eau pour

produire des composés hydratés. Les silicates de calcium C3 S et C2 S présents dans le

ciment, se dissolvent pour former des silicates de calcium hydratés (C-S-H),

caractéristiques d’un gel, et de la portlandite. L’enchevêtrement du gel C-S-H donne sa

solidité au ciment : les C-S-H se développent à la surface des grains de ciment non

hydratés et comblent progressivement les interstices capillaires entre les grains.

En parallèle, les aluminates présents dans le ciment réagissent également. L’aluminate

tricalcique est le composé du ciment le plus réactif avec l’eau. Les réactions s’effectuent

en plusieurs étapes. Les aluminates réagissent d’abord avec le sulfate du gypse pour

former de l’ettringite (Figure 5). Puis, lorsque le gypse est épuisé, la concentration en

sulfates de la solution baisse. L’ettringite devient alors instable et se dissout pour former

du monosulfate de calcium hydraté. Au bout de quatre semaines, l'ettringite se

transforme totalement en monosulfo-aluminate (Garboczi & Bentz 1991).

Le mécanisme de prise du ciment fait depuis de nombreuses années l’objet de

recherches parmi la communauté scientifique (Stutzman 2001; Copeland et al. 1960;


14

Taylor 1997; Bentz & Stutzman 2006; Hanehara & Yamada 1999; Hewlett 2004). Il

existe également des simulations numériques en développement du modèle de prise afin

de mieux comprendre les phénomènes mis en jeu (Garboczi & Bentz 1991; Bentz et al.

1993).

Figure 5 : SEM (MEB) sur un ciment (Stutzman 2001)

Pendant la prise du béton, la porosité, ainsi que de nombreuses microfissures se forment

au sein du béton. Les microfissures sont principalement générées par les contraintes et

les déformations, elles-mêmes induites par une différence des modules élastiques des

granulats et du ciment et sont localisées au niveau de l’interface ciment-granulat

(Garboczi & Bentz 1991).

1.2.1.3. Porosité

La porosité correspond au rapport entre le volume de gaz présent dans le matériau et le

volume total de ce dernier.

La porosité influe directement la résistance des structures ainsi que leur durabilité. Elle

est directement issue de la formulation du béton, et des réactions chimiques qui ont

ensuite lieu jusqu’à la formation du béton. La porosité mesurée comprend également les

microfissures induites par le mécanisme de prise du béton. La dimension des pores est

variable, et s’étend de 10 nm pour les pores capillaires, à 1 mm pour les vides d’air

occlus et les défauts de compaction.

Bentz et Stutzman (Bentz & Stutzman 2006) constatent ainsi que la concentration de

fumées de silices introduites dans la formulation du béton possède une influence directe

sur la porosité au sein du matériau. Ce composé est généralement utilisé dans la


15

formulation du ciment comme adjuvant et permet d’augmenter la résistance à 28 jours

du ciment. Cette étude met également en avant la distribution non uniforme de la

porosité suivant la distance à la surface du béton (Stutzman 2001), induisant donc un

gradient des propriétés mécaniques dans le matériau (Figure 6).

Figure 6 : a) Evolution de la porosité en fonction de la distance au granulat en fonction du volume de fumées de silices introduites. b) Simulation numérique pour un béton classique ("Original " avant

hydratation, "hydrated", après hydratation) (Stutzman 2001)

Il existe ainsi une région, d’une épaisseur de dix à cinquante micromètres, localisée

autour des agrégats, dans laquelle la porosité augmente à mesure que l’on se déplace

vers le granulat, atteignant un maximum à la frontière avec ce dernier (Scrivener

1989).Cette zone se nomme classiquement ITZ, pour Interfacial Transition Zone

(Figure 7). Ce fait est confirmé par simulation numérique. Garbozi et al. montrent en

effet que la compacité particulière au niveau de l’interface granulat/ciment, ainsi que

l’impossibilité d’un granulat, non réactif, de créer un réseau de C-H-C avec le ciment

conduisent à une augmentation locale de la porosité dans cette zone (Garboczi & Bentz

1991). Le module d’Young dans cette zone particulière est de l’ordre de 15 GPa selon

Li & al (Li et al. 1999), soit environ égal à 0.4 fois le module d’Young de la pâte de

ciment selon Lutz et al. (Lutz et al. 1997). Le coefficient de Poisson au niveau de l’ITZ

est estimé comme étant de l’ordre de 0.3 selon Simeonov et al. (Simeonov & Ahmad

1995)


16

Figure 7 : Image en rétrodiffusion d'une coupe de béton. L'agrégat est à gauche. Les lignes blanches indiquent les distances à 20µm et 50µm de l'interface (Scrivener et al. 2004)

La connectivité mesure le degré d’interconnexions en milieu poreux. Il est préférable

dans un béton que les pores présents soit les plus petits possibles, avec une connectivité

faible (Figure 8). Une perméabilité de la pâte de ciment suffisamment basse assure une

fonction d’étanchéité et limite le transfert des liquides, gaz, ou ions potentiellement

agressifs au cœur du béton.

Figure 8: Illustration de la connectivité: à porosité égale, le transport des agents agressifs est facilité si la connectivité est élevée

Le béton est, par sa formulation et la présence des granulats, un matériau hétérogène.

L’étude de la porosité met de plus en évidence la notion de gradients au sein du béton.

Ces gradients conduisent à un matériau dont les propriétés mécaniques sont très

hétérogènes localement, accentuant la complexité d’un contrôle comme nous le verrons

ultérieurement.


17

1.2.1.4. Propriétés mécaniques du béton

Les propriétés mécaniques finales d’un béton solide dépendent directement du choix de

la formulation. Ainsi, il existe de très nombreux bétons, dont les caractéristiques

mécaniques sont définies dans le cahier des charges par l’usage qu’il en sera fait.

Historiquement, les caractéristiques retenues pour désigner un béton sont ses résistances

mécaniques en compression et en traction. Des normes ont également été édictées au

regard du classement des bétons. La norme actuelle NF EN 201-6 (AFNOR 2002a)

retient cinq critères pour définir un béton : la classe d’exposition, la classe de résistance,

la classe de consistance, la dimension maximale des granulats et les classes de

chlorures. Seules ces grandeurs ont longtemps intéressé les professionnels du bâtiment.

On cherchait alors uniquement à connaître le comportement du matériau pour une

situation donnée, et non à le rattacher à des paramètres plus classiques comme les

modules d’Young ou Coefficient de Poisson.

Il existe néanmoins des méthodes de détermination de ces derniers paramètres,

présentés tableau 1.

Rc (MPa) Rt (MPa) E (MPa) ν ρ (kg.m-3)

12-60 1-5 20-43

(Li et al. 1999)

0.15-0.20

(Newman & Choo

2003)

2200-2400

(Newman & Choo

2003)

Tableau 1 : Propriétés mécaniques du béton

Certains procédés expérimentaux sont destructifs : des essais mécaniques sont effectués

sur des échantillons provenant de la même gâchée que les ouvrages, ou encore

directement prélevés sur site par carottage. Certains procédés sont également non

destructifs, comme les mesures ultrasonores qui relient la vitesse des ondes aux

propriétés intrinsèques du matériau. Il existe actuellement des domaines de recherche

dont l’objectif à terme est de déterminer le module d’Young effectif du béton de façon

analytique en fonction de la formulation (Li et al. 1999). Ce modèle, basé sur un

principe d’homogénéisation de la structure, prend en compte différentes zones du

béton : agrégats, ITZ et matrice cimentaire. À partir des caractéristiques de

formulation, Li et al. (Li et al. 1999) déterminent le module d’Young du béton avec des

valeurs analytiques proches de la littérature (Stock et al. 1979).


18

1.2.2. Endommagement du béton

Au fil des années, les ouvrages en béton sont soumis à différents types d’agressions

externes. D’origines thermique, chimique, ou mécanique, ces sollicitations particulières

conduisent à une dégradation des propriétés initiales du matériau. Au niveau de la

structure du béton, ces endommagements se traduisent dans un premier temps par le

développement de microfissures. Celles-ci viennent s’ajouter à celles initialement

induites par le mécanisme de prise. Par la suite, pour un niveau de sollicitation plus

élevé, l’endommagement se traduit par la génération de macro fissures qui, à terme,

peuvent conduire à la rupture.

Les différents types d’endommagements, ainsi que leurs conséquences respectives sur le

béton sont donc présentés.

1.2.2.1. Sollicitations thermiques

L’endommagement thermique du béton, que l’on peut observer dans un cas d’incendie,

est particulier du fait que l’endommagement sera d’origine mécanique, ou chimique en

fonction de l’élévation de la température.

Pour de faibles élévations de température, les phénomènes observés, comme la

microfissuration, sont uniquement liés à des phénomènes de retrait dus à la variation du

taux d’hydratation des pièces.

Puis, à partir d’une température d’environ 100°C, jusqu’à 600°C, les hydrates de gel

CSH se déshydratent, entraînant des pertes de masse importantes (Khoury et al. 2002).

Aux environs de 500°C, l’hydroxyde de calcium, se décompose en chaux et eau libre. A

700°C, les carbonates de calcium se décomposent à leur tour (Noumowé 1995).

L’étape de refroidissement du matériau entraîne enfin une augmentation rapide du

volume de la structure, dans la mesure où l’ensemble de la chaux libérée durant la phase

de température élevée va se recombiner avec l’humidité présente dans l’air. A l’échelle

mésoscopique, il est également à noter une forte incompatibilité de déformations entre

la pâte de ciment et les granulats, dont les coefficients de dilatation thermique apparents

évoluent de façon opposée avec la température (Desa 2007).

Des tests de chargement sur des éprouvettes de béton haute performance exposées à une

très forte élévation de température sont présentés figure 9. Ils montrent les


19

conséquences d’une telle exposition sur la résistance à la compression. Cette dernière

diminue lorsque la température d’exposition augmente (Kameche et al. 2009). Ainsi, un

béton soumis à une température de 1000 degrés ne possède plus que 12% de sa

résistance à la compression initiale.

Figure 9 : Résistance à la compression après une période de refroidissement de l'éprouvette de 24heures (Kameche et al. 2009)

1.2.2.2. Sollicitations chimiques

L’endommagement chimique est également très fréquent dans l’évolution d’un béton

tout au long de sa vie. Lié à l’environnement direct de la structure, il va entraîner une

modification importante des propriétés mécaniques du matériau. Les agents agressifs

pénètrent au sein du matériau par le réseau de porosités et des microfissures existantes

ou encore des fissures déjà présentes.

L’alcali-réaction , ou réaction alcali-granulat constitue une famille de réactions dans le

béton entre les ions alcalins présents dans la solution interstitielle des pores du ciment et

les granulats. Elle n’intervient que si trois conditions sont remplies : les granulats

doivent être réactifs aux alcalins, la quantité d’alcalin présente doit être suffisante, et

l’humidité au sein du béton doit être importante pour permettre le transport des ions.

Cette réaction, dont la cinétique augmente avec la température, conduit à une attaque

des granulats par les alcalins, entraînant la production de gels hydrophiles, dont

l’expansion conduit à la microfissuration du béton. Les conséquences sont alors

irréversibles, et se traduisent par une diminution des propriétés mécaniques du béton,

présentée figure 10 (Smaoui et al. 2005) et par une augmentation volumique de la pièce

accompagnée de fissuration ou d’éclatement comme il est possible de le voir figure 11.


20

Figure 10 : Étude de la résistance à la compression du béton en fonction de la concentration en gel. (Smaoui et al. 2005)

Figure 11 : Conséquences de l'alcali-réaction. a) Echelle macroscopique, b) Echelle mésoscopique (US Department of Transportation 2008)

La pénétration des chlorures au sein de la structure est également une très importante

source de dégradation de cette dernière dans le cas d’un béton armé. Les ions chlorures

pénètrent dans les pores ou par diffusion et provoquent, au-delà d’une certaine

concentration, une destruction locale du film de passivation au niveau des armatures.

Cette dépassivation permet par la suite un amorçage du processus de corrosion au

niveau des armatures en acier présentes dans le béton.

L’attaque sulfatique est la réaction entre les sulfates présents dans l’environnement et

les aluminates du béton. Cette réaction génère la formation d’une phase expansive au

sein du matériau qui se fissure comme indiqué figure 12 (Khelifa et al. 2008).


21

Figure 12 : Conséquences d'une exposition aux sulfates sur un échantillon de béton (Khelifa et al. 2008)

La carbonatation du béton résulte de la pénétration du dioxyde de carbone et de l’eau

dans le béton. Ce gaz réagit avec la portlandite, les hydrates de silicate de calcium et les

silicates non hydratés. Il se forme alors un front de carbonatation qui pénètre le béton

jusqu’à atteindre les premières nappes de ferraillage. Au fur et à mesure de sa

progression, le PH du béton, originellement situé autour de 13, diminue pour atteindre

des valeurs de l’ordre de 9. Ce phénomène entraîne une dépassivation de l’armature,

conduisant à sa corrosion généralisée.

1.2.2.3. Sollicitations mécaniques

Les chargements mécaniques induisent des contraintes qui peuvent localement excéder

les capacités du béton, et induire, par là même, de la micro et de la macro fissuration. Le

béton y est particulièrement sensible à un jeune âge, alors que ses propriétés

mécaniques définitives ne sont pas encore établies (Kasai et al. 1972). De même, une

exposition répétée à des cycles de chargements, sur une longue période, peuvent

également occasionner des phénomènes de fatigue qui vont fragiliser localement le

matériau et faciliter la fissuration. A terme, ces phénomènes peuvent engendrer une

défaillance de la structure (Bažant 1992).

Chargement statique

Le béton possède un comportement mécanique fortement non linéaire comparativement

aux comportements des éléments qui le composent (granulats et ciment). Cette non

linéarité est présentée figure 13.


22

Figure 13 : relation contrainte-déformation du béton (Transportation Research Circular 2006)

Cette non linéarité est supposée due à la présence de micro fissures qui se développent

au cœur de la matrice lors d’un chargement ou à la faible cohésion qui peut exister entre

le ciment et les granulats, dans cette zone communément nommée ITZ ou Interfacial

transition Zone.

Dès les premiers instants de chargement, le béton active un réseau de microfissures

(Wang et al. 1997; Saito & Ishimori 1995). Ces micro fissures n’affectent pas la

résistance du matériau qui présente une relation contrainte – déformation linéaire pour

un chargement allant jusqu’à 50% du chargement maximum. La relation contrainte –

déformation évolue ensuite pour devenir non linéaire à mesure que la microfissuration

diminue le module élastique du béton. Enfin, pour des chargements de 90 à 95 %, le

module d’Young diminue très fortement. Le béton se détériore à travers de multiples

processus, physiques et chimiques. Les microfissures coalescent, notamment au niveau

de l’ITZ : c’est le début de la macrofissuration.

Chargement cyclique (fatigue)

La résistance à la fatigue est dépendante du chargement imposé au matériau, de la

vitesse de chargement, du lieu d’application du chargement, de l’historique de

chargement, des propriétés du matériau ainsi que des conditions environnementales

(Hanson 1974; Newman 2003).

Il existe au moins deux hypothèses quant à la génération et la propagation de fissures

sous ce type de chargement : l’une implique une détérioration progressive du lien entre

les granulats et la matrice à mesure des cycles (Figure 14). La seconde avance


23

l’hypothèse de la coalescence de micro fissures déjà présentes au sein de la matrice

avant les essais. En réalité, il est possible de supposer que ces deux processus sont

également présents dans le mécanisme de fissuration du béton.

Figure 14 : Microfissuration induite par fatigue (W. Li et al. 2011)

Sur la figure 14, il est possible de constater les effets de la fatigue sur un béton conservé

à 20°C. Les fissures sont localisées dans la matrice et non dans la zone interfaciale de

transition. De plus, une déviation ou un arrêt des microfissures par les pores ainsi que

les granulats peut être observé. Selon Li et al. (W. Li et al. 2011), ceci démontre que la

fatigue sur le béton est principalement une source de génération de nouvelles

microfissures. Ceci s’explique par le fait que l’énergie requise pour propager une fissure

déjà existante est bien plus élevée que celle nécessaire à la génération de nouvelles

microfissures (Soroushian & Elzafraney 2004).

Cycles gel-dégels

L’exposition du béton à des cycles répétés de gel- dégels peut également entraîner un

vieillissement prématuré de la structure. En effet, suivant sa composition initiale, sa

capacité de résistance à de tels cycles peut évoluer de manière significative.

En cas d’exposition au gel, le risque d’endommagement augmente avec les degrés de

saturation en eau du béton ainsi que du réseau microporeux. Le volume de distribution,

le rayon, la taille de pores sont intrinsèquement liés à la température de gel du béton.

Lors d’une chute de la température suffisante, l’augmentation de volume de la glace

engendre une augmentation de la pression interne. Si la pression devient supérieure aux

capacités mécaniques de résistance du matériau, on assiste au développement de

fissures internes, généralement initiées au niveau de la porosité.


24

Li & al. (W. Li et al. 2011) présentent un béton soumis aux cycles gel-dégels, puis

soumis à des cycles de chargement. Cette étude permet de mettre en relief les

conséquences d’une exposition au gel sur la fissuration d’un béton par chargement

statique. Les auteurs mettent en évidence un renforcement du matériau par la présence

de gel qui solidifie les pores et diminuent ainsi la micro fissuration du béton aux

premiers stades du chargement. Pour un chargement plus important, la présence de

glace permet aux fissures initiées par la fatigue de se propager plus facilement,

accélérant ainsi la formation d’un réseau de macro-fissures.

1.2.3. Fissuration

Les modes de dégradation du béton après la prise sont nombreux, et peuvent avoir

plusieurs origines (Figure 15). Le principal point commun de tous ces types d’agression

du béton étant leur conséquence : la génération de microfissures dans le béton qui

peuvent par la suite se développer en macrofissures. Ces deux types de fissures

augmentent la porosité globale du matériau, ainsi que sa connectivité. A terme, elles

conduisent à une perte d’étanchéité du béton ainsi que de ses caractéristiques

mécaniques.

Figure 15 : Modes de dégradation conduisant à la fissuration du béton (Transportation Research Circular 2006)


25

1.2.3.1. Développement d’une fissure

Pour un béton durci, les origines de la macro-fissuration sont nombreuses : chargement

mécanique, gradient d’humidité ou thermique, réactions chimiques ou conditions

environnementales comme le gel de l’eau contenue dans les pores du béton. Selon les

modes d’endommagement, l’initiation de la fissuration, sa cinétique ainsi que son mode

de propagation diffèrent.

Origine de la

fissuration Fissure Cause principale

Temps d’apparition

des fissures

Endommagement

thermique

Au niveau des

granulats.

Fissures tangentielles et

radiales par rapport aux

inclusions

Exposition à une

température excessive,

fort gradients de

température

différences de

coefficient d’expansion

thermique entre les

granulats et la matrice

1 jour à 2-3 semaines

Gel- dégel

Parallèle à la surface du

béton. Connexion des

microfissures radiales

aux pores

Insuffisance de porosité

non connectée,

granulats non résistants

Après 1 ou plusieurs

hivers

Alcali réaction

Réseau ainsi que des

fissures parallèles à la

zone la moins résistante

Granulats réactifs,

alcalins et humidité

Généralement après 5

ans, mais au bout de

quelques semaines si

les granulats sont

fortement réactifs

Attaque sulfatique Réseau

Sulfates induisant la

formation d’ettringite

différée

1 à 5 ans

Corrosion des barres de

ferraillage A partir du ferraillage

Exposition de l’acier

aux agressions externes Plus de 2 ans

Endommagement

mécanique

Dépendante du champ

de contraintes Fatigue, séisme…

Dépendante de l’origine

et de l’intensité des

efforts

Tableau 2 : La fissuration du béton solide

La rupture dans le béton dépend principalement des champs de contraintes présents

dans le matériau. Il existe trois étapes différentes dans le processus de fissuration


26

(Newman & Choo 2003). Il est ainsi nécessaire de différencier les modes d’initiation

des fissures ainsi que leurs origines au niveau microscopique. Ces différents modes

génèrent ensuite des modes de propagation ainsi que des motifs de fissures différents.

Étape 1

Lorsque le béton est soumis à une faible contrainte, des fissures sont générées

localement au niveau microscopique aux endroits où les contraintes sont les plus

élevées et la résistance la plus faible. La redistribution des contraintes sur l’ensemble

de ces microfissures créé un état d’équilibre. A ce stade, les microfissures sont stables et

ne se propagent pas.

Étape 2

Lorsque le niveau de contraintes internes augmente, les microfissures initialement

stables commencent à se propager, et formant des macro fissures. Selon l’orientation

des efforts, le mode de déformation à la pointe de la fissure et la direction de

propagation diffèrent (Figure 16).

Figure 16 : Trois modes de déformation à la pointe de fissure

La propagation des fissures se fait généralement le long des granulats, via la zone de

transition où les résistances mécaniques sont les plus faibles de par la microfissuration

déjà présente (Satoh et al. 2010; Rosselló & Elices 2004).

Durant cette seconde étape, le réseau de fissures augmente de façon lente et stable. Si le

chargement est stoppé et que l’état de contraintes reste constant, la propagation cesse.

Cependant, le degré de fissuration atteint éventuellement un point pour lequel les

modifications structurelles sont importantes. En effet, lors de la propagation d’une

fissure macroscopique, il se crée en front de rupture une zone dans laquelle les


27

concentrations de contraintes présentes sont importantes et génèrent une forte

microfissuration (Figure 17).

Figure 17 : Modèle de fissure pour la modélisation de la fissuration dans le béton (Hillerborg et al. 1976). La figure montre la présence d’une zone de microfissuration en pointe de fissure

Étape 3

La troisième et dernière étape de la fissuration intervient lorsque, sous l’application de

contraintes, le réseau de fissures s’est développé à un tel point qu’il en devient instable.

A cette étape, la concentration d’énergie générée par la fissuration au sein du système

est suffisante pour auto-entretenir leur propagation. Dès que la fissuration a atteint ce

stade, la fracture complète du béton est inévitable, indépendamment du chargement.

La croissance de fissures ponctuelles fait l’objet de nombreuses recherches en

modélisation et simulation mais ne constitue pas le cœur de notre étude (Gasser &

Holzapfel 2006; Theiner & Hofstetter 2009; Yang & J. Chen 2004; Prasad &

Krishnamoorthy 2002; Gaedicke et al. ).

1.2.3.2. Conséquences de la fissuration

La présence de fissure dans du béton permet l’interconnexion des pores déjà présents au

cœur de la matrice, et augmente ainsi la perméabilité du béton (Wang et al. 1997).

L’augmentation de la perméabilité induite par la progression des fissures augmente la

quantité d’eau ou d’agents chimiques agressifs pouvant pénétrer au sein de la structure,

facilitant ainsi sa détérioration. Cette augmentation de la perméabilité accroît, de fait, le

débit de fuite de l’enceinte de confinement.

Pour un chargement mécanique, la nature du chargement à un impact non négligeable

sur le taux de pénétration des ions au sein du béton. Dans le cadre d’un chargement


28

statique, il a été montré qu’une application de chargement jusqu’à 90% de la résistance

du béton a très peu d’impact sur le taux de pénétration des chlorures. Pour un

chargement cyclique, la perméabilité au chlorure augmente de façon significative dès un

taux de chargement de 60% (Saito & Ishimori 1995).

La pénétration de ces agents agressifs a des conséquences inévitables sur la cinétique

d’endommagement du béton, et en particulier d’un béton armé.

Dans le cas du béton armé, la présence de fissures entre la surface du béton et la nappe

de ferraillage induit une corrosion de l’acier dont les conséquences sont préjudiciables

aux propriétés mécaniques de l’ensemble de la structure.

Pour un béton sain, le ferraillage est protégé de la corrosion par le pH élevé du béton.

Au contact de ce pH, de l’ordre de 13, la corrosion est stoppée par le développement

d’une fine couche d’oxyde ferreux en surface du métal : la couche de passivation. Les

agressions chimiques du béton conduisent à un abaissement du PH et au développement

actif de la corrosion.

Les produits de la corrosion sont naturellement extensifs. La variation de volume qui est

ainsi produite au niveau de l’armature génère des contraintes internes au niveau du

ferraillage.

Lorsque les contraintes ainsi générées sont supérieures à la capacité de résistance du

béton, des fissures sont générées avec une orientation préférentiellement

perpendiculaire à l’interface métal – béton. Ces fissures se propagent généralement vers

la surface, induisant un éclatement du béton (Figures 18 et 19). De plus on note une

perte de cohésion entre le ferraillage et la matrice cimentaire. De récentes recherches

ont montré que la présence de fissures préexistantes accélère l’initiation ainsi que la

cinétique de corrosion. En particulier, la vitesse de corrosion est dépendante de la

densité des fissures, de leur orientation ainsi que de leur ouverture (Vidal et al. 2004;

Cabrera 1996; Val et al. 1998). Enfin, l’exposition au chargement accélère également la

corrosion et génère des phénomènes de fluage de la structure.


29

Figure 18 : La corrosion induit une expansion volumique au sein de béton, induisant la fissuration (American Galvanizers Association 2012)

Figure 19 : Evolution de l'indice de confiance des ponts, influence de la corrosion (Val et al. 1998). Cet indice correspond à une probabilité annuelle de défaillance de l’ouvrage

1.2.3.3. Morphologie de la fissure

La cinétique d’endommagement d’un béton est liée à la morphologie de la fissure.

Ainsi, la pénétration d’agents agressifs au sein de la structure sera facilitée par la

présence d’une fissure dont l’ouverture est supérieure au dixième de millimètre, et qui

forme un chemin entre la surface du béton et les premières nappes de ferraillage.

La morphologie de la fissure débouchante en surface dans du béton est décrite sur la

figure 20. La fissure est composée de deux parties : La première est la partie ouverte de

la fissure. Elle est localisée sur la partie supérieure de la fissure, au niveau de la surface.

La partie ouverte présente une distance entre les deux lèvres de fissure supérieure à

0,3mm. La seconde, pour laquelle les deux lèvres sont partiellement ou totalement en

contact, est considérée comme fermée.


30

Figure 20 : Morphologie de fissure réelle, fermée, débouchante en surface (Quiviger et al. 2011)

Figure 21 : Macro fissuration au sein du béton, notion de points de contact entre les lèvres de la fissure (Bažant 1992)

La particularité d’une fissure réelle fermée réside dans les nombreux points de contact

qui existent entre les lèvres (Figure 21) et rend une description analytique et mécanique

difficile. La présence de ces points de contact modifie le comportement mécanique de la

fissure. Ces contacts permettent notamment une redistribution locale des contraintes

générées par la fissure dans le béton.

Le comportement de la fissure sous sollicitation dynamique est également modifié. Les

points de contacts évoluent alors en fonction de la contrainte appliquée, modifiant ainsi

le champ des contraintes le long et autour de la fissure.


31

Figure 22 : Vue de dessus de fissure (Quiviger et al. 2011)

L’évaluation non destructive d’une fissure nécessite la connaissance de plusieurs

paramètres :

- la détection est une première étape, elle consiste à pouvoir déterminer avec

certitude s’il y a présence, oui ou non, d’une macro-fissure dans la zone

contrôlée.

- La localisation de la fissure

- La caractérisation de la fissure.

o L’ouverture de la fissure ou distance entre les deux lèvres qui

conditionne la perméabilité du béton

o La hauteur de la fissure (partie ouverte et fermée)

o La longueur de la fissure, correspondant à la mesure de la distance entre

les deux extrémités de la projection de la fissure sur la surface externe du

béton (Figure 22).

1.3. Caractérisation non destructive du béton

1.3.1. Différentes méthodes de CND du béton

Il existe à ce jour différentes méthodes de détection et de caractérisation de fissures.

Chacune possède un domaine d’application bien défini, avec ses avantages et ses

limitations.

La méthode la plus usitée dans le domaine industriel est l’inspection visuelle. Cette

méthode est relativement simple à mettre en œuvre mais possède de nombreuses

limitations. Ainsi, si elle permet de suivre la progression d’une fissure en surface

d’ouvrage, elle ne fournit aucune indication fiable sur la hauteur de la fissure. Il existe


32

des relations entre l’ouverture d’une fissure en surface et le déplacement de la pointe de

fissure, mais ces relations sont complexifiées par la présence d’une zone fortement

microfissurée autour du front de fissure. Il est donc impossible de connaître précisément

la géométrie de la fissure dans le volume du béton. De plus, les fissures doivent

posséder une ouverture suffisante pour être détectables par l’œil humain : à cette

échelle, les fissures détectées sont le signe d’un endommagement déjà avancé de la

structure. Cette méthode exclut donc de fait une caractérisation de fissure fermée dont

les deux lèvres seraient en contact.

Une seconde méthode est également mise en pratique dans le cadre du contrôle des

enceintes de confinement de centrales nucléaires. Cette technique consiste à la mise en

surpression de l’enceinte. Le champ de contrainte ainsi généré favorise l’ouverture des

fissures. L’air en surpression va alors transiter par le réseau de fissures jusqu’à la

surface extérieure de l’enceinte. Celle-ci étant recouverte d’un liquide savonneux, un

ensemble de bulles va alors se former en surface, à l’extrémité des fissures, permettant

de les localiser. Lorsqu’un bullage significatif apparaît, les mesures de débit effectuées

localement peuvent ainsi permettre d’effectuer une estimation de l’ouverture de la

fissure en fonction de ce taux de fuite singulier. Cette méthode particulière permet à ce

jour de pouvoir détecter des fissures fermées dans du béton à la seule condition qu’elles

soient traversantes, c’est-à-dire que la fissure soit continue entre les deux parois

(intérieure et extérieure) de l’enceinte. De plus, les mesures de fuites ne sont pas

totalement cohérentes avec les variations de volume d’air : seule une partie du volume

est détectée en surface. Enfin, ce type de contrôle n’est possible que lors des arrêts de

tranches et ne permettent pas un suivi continu de la structure (Le Belego 2001).

Afin de trouver des alternatives, ou des compléments à ces deux principaux types

d’inspection, de nombreuses techniques ont été explorées durant ces dernières

décennies.

Le terme « Digital Image Correlation » dénomme une catégorie de techniques non

destructives qui mettent à profit le développement récent des appareils photos et des

caméras numériques. Cette technique compare deux images pour estimer les

déplacements des points d’une image déformée par rapport à une image de référence.

Contrairement aux moyens de mesures plus traditionnels (extensomètres ou jauges de


33

déformation), la corrélation d’images ne donne pas des valeurs moyennées en un point,

mais à un champ de valeurs. A partir des déplacements, il est ensuite possible de

déterminer les champs de contraintes par post- traitement.

Cette méthode a été mise en œuvre par Tung et al. (Tung et al. 2008) afin de mettre en

évidence la fissuration d’un mur de brique sous chargement mécanique (Figure 23)

Figure 23 : Utilisation du DIC pour la détection de fissure dans un mur de briques (Tung et al. 2008)

Ils montrent ainsi que la fissure initiale peut être identifiée par le champ de

déformations. De plus, cet essai confirme les performances de cette technique de

traitement d’images pour la détection précoce de fissures au sein de matériaux

inhomogènes. Des essais ont également été réalisés pour caractériser les fissures et

ruptures de joints dans du béton (Helm 2008; Choi & S. P. Shah 1997; Corr et al. 2007)

D’autres méthodes de caractérisation des fissures incluent de la microscopie optique

ou de la microscopie électronique à balayage en laboratoire, ou radiographie sur site.

Cependant, la plupart de ces techniques sont destructives, requérant l’extraction d’un

échantillon représentatif de la structure et présentant également la caractéristique de

n’autoriser que des analyses 2D. Ces techniques permettent de déterminer les propriétés

géométriques des fissures dans du béton. L’ensemble des observables qui sont

déterminés par imagerie sont présentés sur la figure 24. Ces paramètres, comme la

densité de fissures, leur largeur, longueur, ou encore leur connectivité sont très

importants pour la connaissance du matériau. Ils conditionnent en effet le transport


34

d’agents agressifs au sein de la structure, et donc sa cinétique d’endommagement, mais

également les fuites potentielles pour une enceinte de confinement.

Figure 24 : Géométrie de fissure ainsi que les principaux paramètres de caractérisation

(Ringot & Bascoul 2001)

Plus récemment, des méthodes 3D ont fait jour, comme des reconstructions

tomographiques basées sur l’utilisation de rayons X, ou radiations synchrotron. La taille

maximum des spécimens est de l’ordre du centimètre pour une résolution correcte, et

rend ainsi impossible une utilisation in situ (Surendra P. Shah 1990). Ces méthodes de

laboratoire peuvent néanmoins permettre de recaler d’autres techniques de

caractérisation non destructive.

Des techniques optiques telles que l’interférométrie ou les fibres optiques (Figure 25)

sont également à l’étude pour caractériser les fissures présentes dans un ouvrage. Les

vitesses et modes de réflexion des ondes au sein des fibres optiques sont sensibles aux

contraintes, déformations, température ou encore teneur en eau des bétons. Ainsi, les

déplacements engendrés par une ouverture de fissure génèrent une extension locale de

la fibre qu’il est possible de mesurer.


35

Figure 25 : Fissure et fibre optique intégrée (Lee et al. 1997)

L’utilisation de fibres optiques pour la détection et caractérisation de fissures sont

prometteuses de par leurs capacités d’intégration au sein des ouvrages de génie civil.

Hénault et al. (Henault et al. 2012) ont ainsi étudié la réponse optique de fibres dans un

bloc de béton soumis à une série de chargements en flexion. Les mesures sont

effectuées par l’utilisation d’un réflectomètre optique dans le domaine de Rayleigh dont

les réponses en déformation sont présentées pour différents chargements.

Figure 26 : Profils de déformations enregistrés par fibre optique pour différents taux de chargement d’une poutre en béton (Henault et al. 2012)

Ces chargements, d’amplitude croissante génèrent de la fissuration que les auteurs sont

alors capables de détecter et de localiser par le biais de fibres optiques avant même

qu’elles ne deviennent visibles. Les auteurs souhaitent également parvenir

prochainement à l’obtention d’une relation directe entre la forme des pics obtenus et

l’ouverture des fissures.


36

Cette méthode semble particulièrement prometteuse. Cependant, l’extension de la fibre

générée localement par la présence de fissure peut aller jusqu’à sa rupture. Il faut alors

pouvoir anticiper le remplacement des fibres, le plus souvent intégrées à la structure,

afin d’assurer la surveillance de l’ensemble de l’ouvrage.

Des méthodes par thermographie infrarouge sont également à l’étude. Ainsi, Aggelis et

al (Aggelis et al. 2010) utilisent une caméra thermique pour parvenir à imager des

fissures sub-surfaciques, perpendiculaire à la surface. Leur ouverture est inférieure au

millimètre pour une hauteur de fissure de 89 à 96mm sur des éprouvettes de 100mm.

Les éprouvettes sont d’abord portées en température à 90°C puis, la thermographie est

réalisée pendant la période de refroidissement. Les échanges thermiques étant favorisés

localement par la présence de fissure, cette partie devient alors visible à la

thermographie. Les auteurs rapportent une détection des fissures localisées entre 4 et

8mm sous la surface et nécessitant une résolution thermique de l’appareil de mesure de

0,06°C à 30°C. La détection de fissures localisées à une distance supérieure à 11mm

sous la surface est plus complexe, puisque à une telle distance, les échanges thermiques

ne sont plus dominés par la fissure. Des essais supplémentaires ont également été

réalisés en n’élevant la température des éprouvettes qu’à 50°C afin de se rapprocher des

conditions in situ, sans succès pour le moment.

Des méthodes de caractérisation de fissures dans du béton, basées sur la propagation des

ondes mécaniques au sein du matériau, sont également largement étudiées actuellement

au vu de leur potentiel. En effet, les propriétés de propagation des ondes sont

directement liées aux matériaux dans lesquelles elles se propagent et permettent

d’obtenir des informations à différentes échelles suivant la longueur d’onde utilisée.

Il existe principalement deux méthodes : l’une est basée sur l’étude des ondes générées

par la fissure elle-même, il s’agit de l’émission acoustique. La seconde repose sur

l’analyse d’ondes générées dans le système et ayant interagi avec le milieu,

généralement des ultrasons.

L’émission acoustique résulte d’une libération d’énergie sous la forme d’ondes au sein

d’un matériau sous contrainte. En effet, sous contrainte, des éléments comme des

fissures, microfissures, vont émettre des ondes et jouer ainsi un rôle de source. Les

ondes sont alors détectables sous forme de déplacements en surface par des


37

transducteurs piézoélectriques. Ce type de caractérisation n’est donc possible que si un

effort est placé au niveau de la fissure. De nombreux essais ont été réalisés afin de

détecter la formation et progression d’une fissure au sein de béton (Grosse et al. 1997;

Maji & S. P. Shah 1988). Maji et al. (Maji & S. P. Shah 1988) utilisent l’émission

acoustique pour caractériser le développement d’une fissure sous chargement cyclique

(Figure 27). Ils montrent que certains évènements apparaissent au-delà de la pointe de

fissure, pouvant fausser une estimation de la hauteur de fissure. La présence de ces

évènements particuliers laisse supposer que le ligament interne supporte toujours le

chargement malgré la fissuration.

Figure 27 : Sources d'Émission Acoustique ainsi que les fissures observées à mesure des cycles de chargement (Maji & S. P. Shah 1988)

Les méthodes ultrasonores sont également très utilisées en caractérisation non

destructive sur le béton. Leur sensibilité aux propriétés mécaniques des matériaux

permet par exemple de relier la vitesse des ondes à la résistance en compression d’une

éprouvette à un endommagement chimique (Ould Naffa et al. 2002) ou encore au

niveau d’hydratation du matériau (Ohdaira & Masuzawa 2000). Ces ondes permettent

également la détection de vides au sein du matériau ou de simples mesures d’épaisseur.

1.3.2. Techniques acoustiques standards – problématique de contrôle

L’utilisation de techniques acoustiques pour la caractérisation du béton dans un contexte

industriel fait l’objet de normes ISO, avec notamment la norme ISO 1920-7. Ce


38

document précise les conditions d’application des méthodes ultrasonores sur site, en

précisant notamment une fréquence ultrasonore qui doit être comprise entre 20 kHz et

150 kHz. La vitesse moyenne des ondes ultrasonores de compression pour un béton se

situe autour de 4400 m.s-1, la longueur d’onde de travail dans le béton pour ces

fréquence est donc au moins supérieure à 3cm. Cette longueur d’onde peut se révéler

insuffisante pour la détection et la caractérisation de fissures fermées dans du béton. De

plus, la norme ISO 1920-7 ne mentionne que la mesure de temps de vol des ultrasons

dans le béton, négligeant les autres mesures ultrasonores comme par exemple la prise en

compte de l’atténuation, très complexe à analyser dans le béton.

La présence des granulats au sein de la matrice cimentaire est une source de

multidiffusion conséquente. Cette multidiffusion dépend de la densité des granulats, de

leur forme, leur nature. Sa présence complexifie l’interprétation des résultats liés à la

propagation des ondes dans du béton (Chaix et al. 2003).

La porosité présente dans le béton a une incidence sur la propagation des ondes.

L’augmentation de la porosité diminue ainsi les vitesses de propagation des ondes

ultrasonores dans du béton (Goueygou et al. 2009; Lafhaj et al. 2006; Benouis & Grini

2011; Lafhaj & Goueygou 2009; Vergara et al. 2001; Hernández et al. 2000; Wang &

Subramaniam 2011). Hernandez et al (Hernández et al. 2000) ont également créé un

modèle micromécanique permettant de prédire les valeurs de porosité en fonction de la

vitesse des ondes dans le béton. Les valeurs de porosité ainsi déterminées montrent une

erreur d’estimation inférieure à 11% de la porosité sur des échantillons de mortier.

La teneur en eau se rapporte au taux volumique d’eau libre présent dans le réseau de

pores du béton. Différentes études montrent que la vitesse de propagation est

proportionnelle au taux d’hydratation du béton (Ohdaira & Masuzawa 2000; Philippidis

& Aggelis 2003; Berriman et al. 2005; LMDC et al. 2009)


39

Figure 28 : Evolution des vitesses ultrasonores en fonction de la teneur en eau d'une pièce de béton (Ohdaira & Masuzawa 2000)

Les ultrasons sont également utilisés en recherche pour permettre de caractériser divers

types d’endommagements chimiques à l’origine de microfissurations. Les différents

auteurs indiquent également des variations de vitesses qui diminuent globalement en

fonction du niveau d’endommagement, et une atténuation qui augmente. Ces variations

sont vraies quel que soit le type d’ondes considérées : ondes de compression, de

cisaillement ou encore de surface (Rivard & Saint-Pierre 2009; Ould Naffa et al. 2002;

Saint-Pierre et al. 2007; Chaix et al. 2003). Certaines études montrent également

l’influence de ce paramètre dans le domaine de l’acoustique non linéaire (X. J. Chen et

al. 2008; Lesnicki et al. 2011; Kodjo et al. 2011; Payan et al. 2007)

L’ensemble de ces études met en évidence les difficultés de contrôle du béton par

méthodes ultrasonores. La nature du matériau ainsi que la dépendance des ultrasons à

des nombreux facteurs nécessitent des conditions expérimentales maîtrisées et

complexifient une interprétation des résultats et le diagnostic du béton.

1.4. Potentiel de l’acoustique pour la caractérisation de fissures

dans du béton

Le béton est un matériau de composition complexe qui présente une distribution de

granulats de tailles et de formes diverses au sein de la matrice cimentaire. A cette forte

hétérogénéité au niveau mésoscopique s’ajoute une hétérogénéité microscopique. La

présence ainsi que le gradient de porosité au sein de la matrice mettent en évidence la

structure particulière d’un béton sain.


40

Cette complexité s’accroît avec l’endommagement du béton. Ce dernier est confronté à

un ou plusieurs types d’endommagement durant son service qui modifie ses propriétés.

Ils peuvent engendrer l’apparition de macro fissures et, à terme, une défaillance de la

structure qui n’assure alors plus ses fonctions de résistance et d’étanchéité.

Afin de détecter, localiser et caractériser ce type de fissures qui sont préjudiciables à la

fonction de l’enceinte de confinement, de nombreuses techniques non destructives sont

à l’étude. Certaines techniques ne sont pas pleinement compatibles avec une utilisation

sur site comme la thermographie ou l’utilisation de microscopie, rayons X ou

synchrotron. Les inspections visuelles ou la mesure de débit sont déjà implémentées sur

site, mais ne permettent pas toujours une détection précoce des fissures. Les méthodes

d’imagerie ou l’implémentation de fibres optiques impliquent généralement de

commencer la surveillance des structures dès leur mise en service, afin d’avoir des

données de références.

Les techniques acoustiques montrent des résultats prometteurs pour la caractérisation du

béton. L’émission acoustique permet de localiser et de suivre l’évolution d’une fissure

dans du béton si cette dernière est sollicitée de façon quasi-statique.

En tenant compte de la sensibilité des ultrasons à différents paramètres du béton

(porosité, teneur en eau…), l’utilisation des ondes ultrasonores pour caractériser une

fissure dans du béton présente un fort potentiel. Ainsi, Van Hauwaert et al. (Van

Hauwaert et al. 1998) montrent que le temps d’arrivée, l’énergie ainsi que l’amplitude

d’une onde ultrasonore évoluent en fonction d’une fissure durant la mise en flexion

d’une éprouvette de béton. Ces évolutions sont confirmées par d’autres études réalisées

sur des fissures ouvertes ou des entailles (Aggelis & Shiotani 2007b; Aggelis et al.

2010; Liou et al. 2009). Il n’existe pas à notre connaissance de méthode ultrasonore

classique fiable permettant la caractérisation de fissure fermée.

Dans la suite de cette étude, nous nous attacherons dans un premier temps à la

description de la propagation des ondes ultrasonores dans du béton ainsi que son

interaction avec une fissure. La capacité de ces ondes à caractériser une fissure fermée

sera ensuite éprouvée expérimentalement et numériquement par l’étude de la diffusion

de l’énergie au sein du béton et à travers une fissure.

Chapitre II

Acoustique linéaire

Chapitre 2. Acoustique linéaire

43

Chapitre 2. Acoustique lineaire

2.1. Propagation des ondes

2.1.1. Milieu homogène

Les ondes mécaniques correspondent à une propagation de déplacement d’un volume

élémentaire du milieu autour de sa position d’équilibre.

La théorie de propagation de ces ondes est établie dans l’hypothèse de petites

déformations : Elles doivent être suffisamment faibles pour considérer que la réponse

du milieu à toute sollicitation acoustique varie proportionnellement à l’amplitude de la

source excitatrice, et que la fréquence de l’excitation soit conservée.

Dans le cadre de la caractérisation non destructive (CND), les ondes les plus

couramment utilisées sont les ondes de volume, telles les ondes de compression et

cisaillement, ou encore les ondes de surface comme l’onde de Rayleigh. Nous allons

nous intéresser plus particulièrement aux mécanismes de propagation de ces ondes. En

effet, pour notre objectif de caractérisation de fissure réelle dans du béton, ces ondes

sont susceptibles d’interagir avec les interfaces air/béton qui existent le long du profil

d’une fissure.

2.1.1.1. Ondes de volume

Les ondes de volume sont de deux natures différentes : les ondes de compression et de

cisaillement (Figure 29).

Figure 29 : Ondes de volume


44

Les ondes de compression sont caractérisées par un mouvement des particules parallèle

à la direction de propagation du front d’onde, qui progresse par séries successives de

compressions et de dilatations du volume.

Les ondes de cisaillement sont caractérisées par un mouvement perpendiculaire au sens

de propagation des ondes. Elles sont polarisées, car leur vecteur de déplacement se

trouve dans un plan normal à la direction de propagation. Le milieu subit une distorsion,

mais aucune variation de volume.

Les équations de propagation de ces ondes reposent sur les équations générales

d’équilibre de la mécanique. Pour un milieu de masse volumique ρ, et pour un vecteur

déplacement ��, l’équation du mouvement s’écrit :

�� − � � �� = 0 ( 2.1 )

Où �� représente le tenseur des contraintes, lié au déplacement par la loi de Hooke.

La loi de Hooke décrit une relation linéaire entre le tenseur des contraintes �� et le

tenseur des déformations � pour un matériau élastique, homogène et isotrope.

�� = �� + 2��ù� = 12 �� (��" + �� #��(��)) ( 2.2 )

Avec �%�� les coefficients de Lamé.

En exprimant le tenseur des contraintes en fonction du déplacement, puis en appliquant

l’opérateur divergence, on obtient :

�� = (� + �)�� (��) + �Δ�� ( 2.3 )

Par ailleurs, conformément au théorème de Poisson, tout vecteur peut s’écrire comme la

somme d’un gradient (champ scalaire ') et d’un rotationnel (champ vectoriel (� ) �� = �� ' + ��(� ( 2.4 )


45

� � �� )�� ' + ��(�*= (� + �)�� )�� ' + ��(�*"+ �Δ)�� ' + ��(�*

( 2.5 )

Enfin, en utilisant la condition ��(� = 0, on obtient :

� �²��²)�� ' + ��(�*= (� + 2�)�� (Δ') + ��(Δ(�)

( 2.6 )

Cette équation ne peut être vérifiée en tout point et en tout temps que si les deux

conditions suivantes sont obtenues :

� �²'��² = (� + 2�)Δ'%�� ²(��² = �Δ(� ( 2.7 )

Il est alors possible de reconnaître les équations d’Alembert que l’on peut réécrire :

Δ' − �� + 2�� '�� = 0%�Δ(� − ��

(�� = 0 ( 2.8 )

Ces relations permettent de définir deux vitesses de propagation : l’une ,- =./0 12

pour le potentiel scalaire ', l’autre ,# =.12, pour le potentiel vecteur (�. Le potentiel scalaire décrit la propagation d’une onde de compression (longitudinale).

Ce type d’onde est également couramment dénommé onde P, puisqu’elle arrive en

premier, mais également pour sa correspondance à la dénomination anglaise « Pressure

wave ».

Le potentiel vecteur décrit quant à lui la propagation d’une onde de cisaillement

(transversale). Cette onde est quelquefois nommée onde S, puisqu’elle arrive en second.

Cette dénomination correspond à l’anglais « Shear wave », traduction d’onde de

cisaillement. Elle possède deux degrés de liberté SH et SV suivant que la polarisation

est parallèle ou perpendiculaire au plan horizontal.

Les coefficients de Lamé sont toujours positifs, il s’ensuit que la vitesse 34 est toujours

supérieure à 35. Il est également possible de définir les vitesses de chaque type d’onde


46

de volume en fonction des module d’Young 6 et coefficient de Poisson 7 du matériau

en utilisant les relations entre ces coefficients et les coefficients de Lamé :

,- =8 6. (1 − 7)�. (1 + 7). (1 − 27) %�,# =8 62�. (1 + 7) ( 2.9 )

Les solutions harmoniques progressives les plus générales aux équations d’Alembert

( 2.8 ) s’écrivent :

'(�, �) = ';%<(=#>?@∙B) ((�, �) = (;%<(=#>?C∙B)

( 2.10 )

Où D est la pulsation d’onde, égale à 2EF, Fétant la fréquence, '; et (; les amplitudes

initiales, r et t les dépendances spatiales et temporelles. La pulsation d’onde est reliée

aux nombres d’ondes longitudinaux G- et transversaux G# en milieu homogène par les

relations de dispersion :

G- = D,- G# = D,#

( 2.11 )

Les relations directes entre vitesse des ondes et les propriétés mécaniques des matériaux

dans lesquelles elles se propagent illustrent parfaitement l’utilité des ondes ultrasonores

dans le cadre de la caractérisation non destructive. Cependant, il est toutefois très

important de garder à l’esprit les hypothèses qui mènent à ces relations.

Pour des matériaux à comportement hétérogènes et/ou non linéaires, ces relations ne

sont plus qu’une approximation de la réalité et ne permettent donc pas une description

exacte de la propagation des ondes.

2.1.1.2. Ondes de surface

Les ondes de surface existent en milieu fini. Elles impliquent l’existence d’une surface

particulière, et donc l’existence de certaines conditions aux limites de cette surface. La

surface peut être soit une surface libre, soit une surface de séparation entre deux milieux

de caractéristiques différentes. Guidées à l’interface entre les deux milieux, ces ondes,


47

ainsi que les vibrations associées des particules sont d’une description plus complexe

que les ondes de volume. Les ondes de surfaces sont plus lentes que les ondes de

volume, mais présentent la particularité d’être plus énergétiques : l’onde n’est pas

dispersée dans la totalité du volume, mais dans une fraction de celui-ci, proche de la

surface. Il existe différents types d’ondes de surface, qui sont dépendantes de la

géométrie des milieux, ainsi que de la nature des interfaces.

Le type d’onde de surface le plus couramment utilisé en CND est l’onde de Rayleigh,

du nom du physicien Lord Rayleigh, qui en découvrit l’existence en 1885.

Les ondes de Rayleigh sont une combinaison particulière d’ondes de compression et de

cisaillement qui se forme au voisinage de la surface libre des matériaux. Le mouvement

des particules a un vecteur de déplacement de direction perpendiculaire à la surface et

un autre vecteur de déplacement, de plus faible amplitude, parallèle à la direction de

propagation. Le mouvement qui en résulte est donc de forme ellipsoïdal. La figure 30

représente le mouvement d’un milieu à la surface duquel se propage une onde de

Rayleigh. La propagation se fait par hypothèse selon une direction horizontale, et la

partie haute de la figure correspond à l’interface du milieu considéré.

.

Figure 30 : Onde de Rayleigh

Ces ondes de surfaces sont très énergétiques : pour une génération d’onde par impact

présentée sur la figure 31, 67% de l’énergie est transmise sous forme d’ondes de

Rayleigh pour 7% sous forme d’ondes de compression et 26% d’ondes de cisaillement

(Graff 1975). Cette propriété les rend plus facilement détectables qu’aucun autre type

d’onde. De plus, comme elles se propagent essentiellement sur deux dimensions, leur

énergie ne se disperse pas aussi rapidement que celles associées à des ondes de volume.

Ainsi, leur amplitude est inversement proportionnelle à la racine carrée de la distance de


48

propagation alors que l’énergie associée à une onde longitudinale est inversement

proportionnelle à la distance (Owino & L. J Jacobs 1999).

Figure 31 : Distribution des ondes mécaniques dans un demi-espace homogène, isotrope, élastique pour une source d’émission ponctuelle (Graff 1975)

La profondeur d’inspection de ces ondes n’est à ce jour pas encore strictement résolue.

Ainsi, si les auteurs s’accordent sur le fait que la profondeur de pénétration des ondes de

surface dépend de la fréquence de l’onde utilisée, il n’existe pas pour le moment de

valeur reconnue comme étant la profondeur d’auscultation d’une onde de surface. Al

Wardany et al. par exemple, définissent une profondeur égale à la longueur d’onde (Al

Wardany et al. 2004) lorsque des auteurs tel Checkroun affirment qu’elle ne dépasserait

pas la demi-longueur d’onde (Chekroun 2008).

La théorie de la propagation des ondes de Rayleigh repose sur les équations générales

de la mécanique décrites précédemment pour les ondes de volumes et présentées au

chapitre 2.1.1.1. Les conditions aux limites cependant changent : sur la surface libre du

matériau semi-infini, la contrainte est nulle.

La vitesse des ondes de Rayleigh ,Best donc une fonction des vitesses de compression

et de cisaillement Vl et Vt reliés par la relation (Royer & Dieulesaint 1999):

H2 − ,B ,# I − 48H1 − ,B ,- IH1 −

,B ,# I = 0 ( 2.12 )

La vitesse de propagation des ondes de Rayleigh est donc fonction des vitesses des

ondes de volume et du coefficient de Poisson, quel que soit le matériau considéré. En

conséquence, il est possible de supposer que la présence ponctuelle d’interfaces au

niveau d’une fissure fermée modifie la propagation d’une onde de Rayleigh.


49

L’utilisation d’une telle onde pour caractériser une fissure débouchante en surface

présente également un intérêt puisque l’énergie de cette onde ne se propage que dans la

zone proche de la surface, limitant ainsi l’atténuation géométrique dans la zone

d’intérêt.

2.1.2. Dispersion et atténuation des ondes de volume en milieu

hétérogène

Les équations régissant les vitesses des ondes en fonction de leurs caractéristiques

mécaniques sont fondées sur certaines hypothèses : le milieu est supposé infini, linéaire,

isotrope et homogène. Bien qu’ils permettent une excellente approche du système pour

des matériaux parfaits, ces postulats ne sont pas strictement représentatifs de la réalité.

Les matériaux plus complexes, comme des matériaux granulaires, présentent un

comportement dispersif et atténuant (Chaix et al. 2012). La dispersion fréquentielle de

la vitesse et de l’atténuation sont mises en évidence pour un matériau tel que le béton

(Figure 32). Philippidis & Aggelis (Philippidis & Aggelis 2005) montrent ainsi que pour

un matériau tel que le béton, l’atténuation augmente en fonction de la fréquence pour

une fréquence supérieure à 200kHz, et peut atteindre 0.36dB/mm pour 900kHz. Les

auteurs montrent également que, pour deux formulations identiques, avec un ratio w/c

de 0.4 et a/c (agrégats/ciment) de 3, la présence de granulats à une faible influence sur la

vitesse de propagation des ondes, mais augmente de près de 50% l’atténuation. Par

contre, pour des ratios w/c et a/c plus élevés (0.5 et 4 respectivement), la vitesse de

propagation des ondes dans le béton est bien plus élevée que dans le mortier pour les

hautes fréquences..


50

Figure 32 : Évolution de la vitesse et de l'atténuation des ondes ultrasonores au sein de deux bétons et mortiers de composition différentes (Philippidis & Aggelis 2005)

L’atténuation est le résultat de différents facteurs: la divergence géométrique,

l’absorption ainsi que la diffusion.

- La divergence géométrique : est liée au mode de génération de l’onde et au types

d’ondes étudiées. Pour une onde de volume émise par une source ponctuelle dans un

milieu infini, le front d’onde va décrire des sphères concentriques dont le rayon

augmente progressivement en fonction de la propagation. Cette distribution dans le

volume est présentée figure 31. Sur cette sphère, de rayon r, l’intensité acoustique

moyenne < �B > est constante si l’on néglige les effets dissipatifs. Donc la puissance

acoustique M s’écrit :

M = 4E�² < �B > ( 2.13 )

L’expression précédente montre que l’intensité acoustique moyenne varie alors en 1/r²

pour une puissance donnée P de la source.

- L’absorption : est due à la conversion de l’énergie mécanique en chaleur par des

phénomènes de friction interne liés à la viscosité, ainsi qu’au temps de relaxation des

molécules au sein du matériau (Ploix 2006). Ce phénomène est à rapprocher de la

dissipation, qui est représentative de la perte de l’énergie mécanique sous forme de

chaleur.

- La diffusion : correspond à la réémission dans toutes les directions de l’espace d’une

fraction de l’énergie ultrasonore « incidente » due à la présence d’une hétérogénéité

locale (Figure 33), telle qu’un granulat ou une fissure. L’amplitude de l’onde dirigée


51

dans la même direction que l’onde incidente est donc diminuée. Cet effet dépend de la

longueur d’onde utilisée, de la densité des granulats, ainsi que des différences

d’impédances acoustiques entre l’hétérogénéité et le milieu continu. Il devient maximal

lorsque la longueur d’onde est comparable à la dimension du diffuseur.

Figure 33 : Diffusion sur une hétérogénéité

L’absorption et la diffusion représentent l’atténuation intrinsèque, induite par une perte

d’énergie due aux interactions de l’onde avec la microstructure du matériau.

L’atténuation intrinsèque N∗(D)génère une décroissance exponentielle du signal

acoustique. Pour une onde sphérique, l’amplitude de l’onde ((D, �$ peut être définie

comme suit :

(!D, �$ � exp!N∗!D$�$ ( 2.14 )

Le coefficient d’atténuation N∗ est également présent dans la partie imaginaire du

vecteur d’onde. L’équation ( 2.11 ) est alors modifiée et devient :

G- � D,- �N-∗

G# � D,# �N#∗

( 2.15 )

2.1.2.1. Diffusion multiple dans le béton

Le béton est un matériau composite composé d’une phase continue, le mortier, et de

deux phases dispersées : les granulats qui peuvent représenter jusqu’à 70% du béton

ainsi que les pores présents dans le ciment.

Ces phases dispersées jouent le rôle de diffuseurs au sein du béton et conduisent à une

dispersion spatiale de l’onde incidente. La multiplicité des hétérogénéités va conduire à


52

l’apparition d’une diffusion à très grande échelle : la multidiffusion (Figure 34). Celle-ci

a plusieurs conséquences bien identifiables sur le signal de l’onde reçue.

Dans un premier temps, Il est possible d’observer une très nette diminution de

l’amplitude de la partie cohérente du signal reçu. La partie cohérente pouvant être

décrite comme la partie du signal ultrasonore résistant au moyennage spatial. Elles ont

alors conservé la phase par rapport au signal émis.

Figure 34 : Multidiffusion dans le béton

La diffusion va également avoir pour conséquence la génération d’ondes incohérentes,

qui sont des ondes n’ayant pas parcouru le même trajet au sein du matériau en fonction

des diffuseurs rencontrés lors de leur parcours.

La partie incohérente du signal, appelée « coda », en référence à la partie finale d’une

pièce musicale, est clairement distincte sur des signaux d’ondes ayant traversé du béton,

contrairement à des matériaux sans diffuseurs, comme les aciers à grains fin, ou l’eau

(Figure 35).

Figure 35 : Signal observé après transmission d'ondes ultrasonores dans du béton (fréquence de 500kHz)


53

Les phénomènes de diffusion en fonction du rapport entre le rayon moyen a d’un

diffuseur et la fréquence de l’onde utilisée pour l’auscultation, il existe trois régimes :

- Le domaine de Rayleigh, λ >> a - Le domaine stochastique, λ ≈ a - Le domaine géométrique, λ << a

Lorsque l’on travaille dans le domaine stochastique, la diffusion est maximale

Les composants du béton présentent une étendue granulométrique répartie sur plusieurs

ordres de grandeur.

Figure 36 : Granulométrie dans le béton

Sur la figure 36, il est possible de constater que toutes les tailles de diffuseurs sont

présentes dans le béton avec des granulats pouvant atteindre des diamètres de 5 cm.

Avec une vitesse des ondes de compression dans le béton autour de 4000m/s, pour des

fréquences de travail allant de 100 kHz à 1MHz, le régime de travail est dans le

domaine stochastique.

2.1.2.2. Cohérence et incohérence du champ acoustique

Le champ cohérent décrit une onde s’étant propagée dans un milieu effectif qui est une

représentation homogénéisée du milieu réel. Les ondes cohérentes sont classiquement


54

utilisées afin d’obtenir des informations comme la vitesse de propagation, ou encore

l’atténuation.

Chaix (Chaix 2003) utilise la notion de milieu effectif pour déterminer le lien entre un

endommagement thermique et les vitesses de phase et l’atténuation des ondes

ultrasonores. Chekroun (Chekroun 2008) s’attache tout particulièrement à l’interaction

entre partie cohérente des ondes de Rayleigh et du béton.

Le champ incohérent décrit des ondes ayant parcouru des chemins extrêmement

complexes et sont souvent traités comme du bruit. Ce n’est qu’à partir de 1969 et les

travaux d’Aki (Aki 1969) que les géophysiciens commencent à s’intéresser à cette

partie du signal, qui sera alors renommée « coda », par analogie avec la musique. L’idée

est alors d’exploiter le signal reçu dans sa totalité afin de parvenir à en extraire le

maximum d’informations. C’est ainsi qu’en 1975, Aki et al (Aki & Chouet 1975)

montrent que l’énergie K de la coda obéit à une loi exponentielle en fonction du temps :

S~�>Uexp(−2EF� VW)⁄ ( 2.16 )

Avec f la fréquence et n un exposant dont les valeurs observés sont de l’ordre de 1. VW est appelé facteur de qualité de la coda. Des exploitations récentes de la coda basées sur

la corrélation des signaux, ont été réalisées sur le béton (Payan 2007; Payan et al. 2011;

Larose et al. 2006). Larose (Larose et al. 2006) démontre la possibilité d’utiliser la coda

pour mesurer de très faibles variations relatives de vitesse (inférieures à 1/1000) dans le

béton et pour remonter ainsi à des variations de températures. Payan (Payan et al. 2009)

l’utilise pour mesurer l’effet d’une contrainte statique et ainsi déterminer les propriétés

non linéaires du béton.

La partie incohérente du signal peut être décrite par une approximation de régime de

diffusion, décrivant l’évolution temporelle de la densité d’énergie du signal reçu

(Weaver 1998; Anugonda et al. 2001). Cette partie du signal montre de fortes

variations spatiales de phase et d’amplitude. En conséquence, le champ diffus converge

vers zéro si le signal est moyenné spatialement. Cet effet est très largement mis à profit

lors de l’étude du champ cohérent, ou dans le cadre de l’étude d’un matériau homogène

équivalent (Chaix et al. 2003; Chekroun et al. 2009).


55

2.1.3. Interaction ondes et fissures

L’interaction d’une onde ultrasonore avec une fissure réelle est un phénomène

complexe. Dans le béton, la fermeture, ainsi que la présence de surfaces de contact

entre les lèvres de la fissure contribuent à la transmission des ultrasons (Bažant 1992).

Ces phénomènes peuvent réduire la capacité à détecter une fissure, ou induire une sous-

estimation de sa hauteur.

Lorsqu’une fissure est « fermée », il existe de multiples points de contact dus aux

rugosités respectives des lèvres. Ces contacts permettent une redistribution des

contraintes normalement localisées en pointe de fissure. Dans le cas contraire, la fissure

est dite « ouverte »

Buck & al (Buck et al. 1984) présentent une revue des interactions présentes entre un

faisceau ultrasonore et une fissure générée par fatigue dans le cas de matériaux

métalliques.

Deux principaux modes d’interaction sont présentés : la diffraction des ondes au niveau

des contacts, ainsi que la variation des coefficients de transmission et de réflexion

induits par la présence de fissure dans l’acier.

Une première méthode consiste en l’analyse fréquentielle d’un signal transmis à travers

une fissure. Cette analyse permet d’obtenir des informations sur les aspérités des

contacts. De plus, les conversions de modes sur les aspérités conduisent à un effet de

diffraction (Figure 37) qui peut également apporter des informations relatives à la

fissure (Rehbein et al. 1985).


56

Figure 37: Diffraction en pointe de fissure pour un élément métallique (Rehbein et al. 1985)

Une autre méthode, basée sur la diffraction des ondes ultrasonores, est réalisée dans le

domaine temporel.

Lorsqu’un faisceau ultrasonore est dirigé avec un certain angle sur une fissure, de

l’ordre de 10-15°, un écho est généré par les pointes de fissures (Figure 38). Baby & al.

(Baby et al. 2003) analysent les temps de vols de ces échos en transmission ou réflexion

pour dimensionner une fissure dans un acier. Les auteurs parviennent ainsi à une

évaluation de la hauteur totale d’une fissure avec une résolution de ± 1mm.

Figure 38 : Caractérisation de fissure par temps de vol dans un acier (Baby et al. 2003)

Cependant, cette technique suppose une connaissance a priori de l’orientation de la

fissure. De plus, certains paramètres, comme un mauvais état de surface, un mauvais

placement des capteurs peuvent conduire à une mésestimation de la hauteur de fissure.


57

Enfin, la fissure doit être totalement ouverte, et posséder une hauteur totale supérieure

une longueur d’onde.

Les conversions de mode de l’onde ultrasonore sur la fissure permettent également de

caractériser cette dernière dans les métaux (Figure 39). Ainsi, une onde transversale est

propagée au sein du matériau. Son interaction avec la fissure génère deux ondes

réfléchies, une onde transversale ainsi qu’une onde de surface, dont les vitesses de

propagation diffèrent.

Figure 39 : Conversion de mode au contact d'une fissure dans les métaux (Baby et al. 2003)

La hauteur de fissure est égale à :

Z[\] � ,,# ∗ ∆`[\]

( 2.17 )

Avec , \a-b<cd la célérité de l’onde de surface, ,# celle de l’onde transversale, et ∆` la

distance correspondant au temps entre les échos.

Ces différents modèles permettent une caractérisation de hauteur de fissure dans les

métaux sous certaines conditions mais peuvent difficilement être transposés à un milieu

tel que le béton. En effet, dans les métaux à grains fins, la multidiffusion n’est pas

présente, contrairement au béton dont la présence de granulats complexifie fortement la

propagation des ondes. De plus, l’interaction des ondes avec les granulats génère


58

également des conversions de modes, non discriminables de celles générées par une

fissure.

Enfin, les auteurs indiquent que la caractérisation de fissure dans les métaux par ces

méthodes est possible si la fissure est isolée, sans autre fissure à proximité. Se pose la

question de la possibilité de transfert des techniques métalliques sur le béton. En effet,

dans le béton, la fissure génère localement des concentrations de contraintes,

notamment à sa pointe , qui entraînent une forte microfissuration de la zone (Hillerborg

et al. 1976) . Ces microfissures peuvent à leur tour générer une fissuration plus

importante et créer de multiples branches sur la fissure principale, supprimant l’unicité

du défaut (Figure 24).

2.1.4. Caractérisation de la fissure par acoustique linéaire dans du

béton

La caractérisation de fissure par ultrasons dans du béton est difficile à mettre en œuvre

du point de vue expérimental. La création d’un échantillon représentatif d’une fissure

réelle dans du béton est complexe, dans la mesure où générer une fissure de géométrie

connue reste un défi technique. La difficulté majeure provient du fait qu’une fois la

fissure générée, (par flexion notamment), il est techniquement difficile de définir le

profil exact de la fissure.

D’autre part, de nombreuses équipes de recherches (Van Hauwaert et al. 1998; Liou et

al. 2009…) ont également pris le parti de commencer leurs études sur des cas à

géométries simples et contrôlées, de type entaille, pour lesquels les lèvres de la fissure

ne seraient pas en contact. Il s’agit alors d’une volonté scientifique de mener la

recherche sur la caractérisation des fissures dans du béton en procédant par étapes, avec

la volonté de complexifier ultérieurement le modèle pour aboutir in fine à la

caractérisation de fissures réelles.

Enfin, la dispersion présente dans le béton engendre une forte atténuation du signal

acoustique et rend difficile la propagation des hautes fréquences. Cette atténuation est à

l’origine de la norme ISO 1920-7 qui précise une utilisation de fréquences comprises

entre 20 et 150kHz pour le contrôle des bétons par ultrasons. Or, pour un béton

classique, cette fréquence implique une longueur d’onde supérieure à 3cm, ce qui est

bien supérieur à la taille d’ouverture d’une fissure réelle, de l’ordre du dixième de


59

millimètre. Afin de pouvoir caractériser ce type de défaut, l’un des enjeux techniques de

l’utilisation des ultrasons est de pouvoir accéder aux informations contenues dans les

fréquences les plus hautes.

Ces différentes raisons permettent ainsi d’expliquer le grand nombre de recherches de

caractérisation effectuées sur des modèles de bétons entaillés dans la littérature.

Dans une première étude, Van Hauwaert et al. procèdent à des essais de mesures

ultrasonores dans un béton entaillé sur différentes profondeurs (Van Hauwaert et al.

1998). Ces essais permettent une étude comparative de l’amplitude du signal

ultrasonore et de l’énergie de l’onde, obtenus par les capteurs en fonction de l’entaille,

mais également de la position des capteurs sur l’éprouvette.

Plusieurs paramètres sont ainsi étudiés comme le temps d’arrivée de l’onde de

compression directe, l’énergie totale de l’onde, ou encore l’évolution de l’amplitude de

l’onde en fonction de la position des capteurs, et de la hauteur d’entaille testée (Figure

40).

Figure 40 :Temps d'arrivé, amplitude et énergie en fonction de la hauteur de l'entaille. Pour deux capteurs de part et d’autre de l’entaille, a) sur des faces opposées, b) sur la même face (Van Hauwaert et al. 1998)

Ils mettent en évidence l’impossibilité de détecter une entaille si celle-ci n’est pas située

sur le trajet de l’onde, entre les deux capteurs. Ainsi, dans le cas a) de la figure 40,

l’entaille n’est pas détectée avant d’atteindre une hauteur de 40mm. Dans le cas b), les

capteurs sont de part et d’autre de l’entaille, placés sur la face où l’entaille débouche.

On voit alors que l’entaille est détectée dès les premières mesures pour de très faibles

hauteurs. En revanche, cette méthode b) n’est possible que si l’on connaît a priori la


60

position de l’entaille, et ne permet pas de caractériser des entailles au-delà de 80mm,

puisqu’alors, l’onde ne passe plus entre les deux capteurs. Dans les deux cas néanmoins,

on observe qu’à mesure que l’entaille augmente, les trois paramètres diminuent. Parmi

eux, l’énergie est le paramètre qui montre la plus forte évolution en fonction de la

hauteur de l’entaille. Le même type de mesure, sur des entailles, a été fait par Liou et al.

pour des conclusions similaires (Liou et al. 2009).

Van Hauwaert et al. effectuent les mêmes mesures sur une éprouvette placée sur un

banc de flexion trois points. La fissure est plus représentative d’une fissure réelle

puisque son tracé n’est pas plan, et suit bien l’évolution d’une fissure réelle. Par contre,

les contraintes sont appliquées de manière constante sur l’éprouvette ce qui limite les

contacts entre les lèvres de la fissure. Pour une fissure ouverte, les résultats sont donc

similaires à ceux obtenus pour une entaille.

Une expérience est également menée par Aggelis et al. , pour des fréquences de 200kHz

sur des fissures en flexion trois points, à la différence que le contrôle se fait sur la

surface opposée à l’ouverture de la fissure (Aggelis et al. 2010).

Figure 41 : a) profil de fissure dans le béton, b) vitesses de propagation des ondes pour un béton sain, et fissuré (Aggelis et al. 2010)

Les résultats présentés sur la figure 41b) montrent une diminution de la vitesse

apparente des ondes en présence d’une fissure ouverte.

La quantité de fissure influe également sur les vitesses des ondes de compression et de

surface. Aggelis et Shiotani simulent des densités de fissures allant de 1% à 10% du

volume total d’une éprouvette de béton en y incorporant des carrés de vinyle de 15mm


61

de côté (Aggelis & Shiotani 2007a). Des mesures de vitesses montrent également une

relation linéaire entre le nombre de fissures et les vitesses des ondes de compression et

de Rayleigh (Figure 42). Il est également montré que cette diminution est plus

importante pour les ondes de surface que pour les ondes de volume et qu’elle est

dépendante de la fréquence.

Figure 42 : Vitesse de phase et atténuation apparentes en fonction du pourcentage de fissures incluse dans le béton (Aggelis & Shiotani 2007a)

Une étude de caractérisation de fissures sur un ouvrage d’art a été faite par Bond et al.

(Bond et al. 2000) .Il s’agit de mesures faites sur le Barker Dam de l’Etat du Colorado

aux Etats-Unis. Le site a été retenu car il possède une série de fissures horizontales déjà

largement étudiées dans le passé. La méthode utilisée, la tomographie acoustique par

temps de vol (ATTT) utilise les informations portées par les ondes transmises pour

dresser une carte des vitesses sur une tranche de l’objet étudié et nécessite donc un

réseau de capteurs conséquent.

Les premiers résultats montrent une bonne concordance entre les localisations des

fissures par méthode ATTT et leurs positions réelles alors que la zone d’étude fait plus

de cinq mètres, et que la fréquence d’excitation est comprise entre 1 et 50kHz.

Cependant, aucune information n’est donnée sur l’état d’ouverture des fissures.

Enfin, Hévin et al. (Hévin et al. 1998) montrent de façon expérimentale et numérique

que la présence d’entailles, d’une ouverture de 5mm, induit la présence d’une fréquence

de coupure dans le domaine fréquentiel des ondes transmises. La fréquence de coupure

observée étant directement liée à la hauteur des entailles par le biais de la longueur


62

d’onde, les auteurs parviennent à déterminer la hauteur de chacune de leurs entailles

avec une incertitude de l’ordre de 15%.

2.1.5. Conclusions et limitations

La propagation des ondes ultrasonores de volume et de surface est décrite pour un

milieu homogène mais cette propagation est modifiée par la nature complexe du

matériau béton.

L’analyse de la partie cohérente du signal se propageant à travers une fissure est

aujourd’hui utilisée pour la caractérisation de fissures dans des matériaux linéaires de

type métallique. La possibilité de transfert de ces méthodes au béton est également

étudiée dans la littérature mais de nombreux freins existent. La notion d’ouverture de la

fissure est un frein majeur aux transferts des méthodes linéaires classiques de mesures

du temps de vol ou d’atténuation des ondes interagissant avec une fissure. En effet, les

études (Van Hauwaert et al. 1998; Liou et al. 2009…) montrent des résultats

encourageants sur la caractérisation de fissures ouvertes, dont les lèvres ne sont pas en

contact. Cependant, à notre connaissance, de tels résultats n’ont pas été présentés pour

des fissures fermées, avec de grandes surfaces de contact entre les lèvres. De plus, ces

études ne présentent aucune diffraction à la pointe de fissure dans le béton de manière

analogue à celle observée dans les métaux non multidiffusants.

Le béton est un milieu naturellement absorbant et diffusant. En particulier, la

granulométrie très large des éléments constituant le béton rend l’interprétation des

données, et donc sa caractérisation par méthodes ultrasonores très complexe.

Il est également important de noter que de nombreux paramètres influent sur la

propagation des ondes dans un tel milieu. Ainsi, la température, la porosité, la teneur en

eau ou tout autre endommagement de nature chimique ou mécanique font évoluer la

propagation des ondes cohérentes dans le béton (Marc Goueygou et al. 2009; Lafhaj et

al. 2006; Ohdaira & Masuzawa 2000; Rivard & Saint-Pierre 2009; Ould Naffa et al.

2002…).

L’analyse de la seule partie cohérente du signal ultrasonore transitant dans du béton ne

semble donc pas être appropriée à la caractérisation de fissure fermée. Dans la suite de


63

cette étude, nous nous attacherons donc plus particulièrement à l’analyse de la partie

incohérente du signal et des informations qu’elle transporte.

2.2. Equation de diffusion

2.2.1. Transport de l’énergie en régime diffusif

Le champ diffus est prépondérant en régime de multidiffusion. L’énergie ultrasonore en

milieu hétérogène évolue selon un processus de diffusion. La distribution d’énergie au

cours du temps évolue alors selon l’ équation ( 2.18 ) qui dérive de la théorie des

transferts radiatifs (Larose 2005; Chekroun 2008)..

2.2.1.1. Théorie et approximation de diffusion

L’évolution de la densité spectrale de l’énergie ultrasonore au sein du matériau multi-

diffusant est soumise au régime de diffusion qui est décrit par l’équation différentielle

suivante :

e∆⟨6!`, g, h, �)⟩ − �� ⟨6(`, g, h, �)⟩ − �⟨6(`, g, h, �)⟩= 6;j(`)j(g)j(h)j(�)

( 2.18 )

Où ⟨6(`, g, h, �)⟩ représente la densité spectrale d’énergie pour une position et un temps

donné. Cette densité d’énergie est moyennée temporellement afin de tenir compte de

plusieurs réalisations du désordre. e est le coefficient de diffusion (ou diffusivité),

dépendant de la fréquence. � est le coefficient de dissipation, dépendant de la fréquence

également. Enfin j représente ici le symbole de Kronecker.

Le matériau est supposé isotrope et les coefficients de diffusion ne dépendent donc pas

de la direction de propagation des ondes ultrasonores.

La diffusivité e, de dimension [m]²[s]-1 est caractéristique de la structure du matériau

(Anugonda et al. 2001). Ce paramètre est donc particulièrement intéressant dans le

cadre de la caractérisation non destructive. En effet, si une distribution de microfissures

est présente dans le matériau, le transport de l’énergie se fera le long d’un chemin de

propagation de plus en plus tortueux. Ainsi, le temps nécessaire pour atteindre le

récepteur augmentera, réduisant d’autant la valeur de e.


64

La dissipation �, de dimension [s]-1 reflète les propriétés viscoélastiques du milieu et

doit nécessairement être positif. Selon Anugonda et al. (Anugonda et al. 2001) la

dissipation dans le béton est essentiellement liée aux propriétés de la pâte de ciment.

Selon Becker et al. (Becker et al. 2003), cette dissipation est dominée par les pertes

viscoélastiques de la matrice. Ainsi, selon ces mêmes auteurs, le type de ciment utilisé,

mais également le rapport E/C, lié à la porosité, ou le temps de cure sont supposés

influer sur l’évolution de la dissipation en fonction de la fréquence. La dissipation est

liée à la transformation de l’énergie ultrasonore en chaleur (absorption), aux pertes

d’énergie en surface ainsi qu’aux effets non linéaires qui entraînent la génération

d’harmoniques (Deroo et al. 2010).

2.2.2. Solutions particulières de l’équation de diffusion

La démarche de résolution de l’équation de diffusion ( 2.18 ) est analogue à celle

utilisée pour les transferts de chaleurs, le coefficient de dissipation n’ajoutant qu’un

terme supplémentaire à la solution classique.

Les conditions initiales et limites doivent donc être définies.

Pour la condition temporelle initiale, il est logique de considérer que pour un temps

inférieur à zéro, aucune énergie n’est transmise dans le matériau, soit :

⟨6!`, g, h, �)⟩ = 0k�� ≤ 0 ( 2.19 )

Pour les conditions aux limites, on considère qu’aucune énergie n’est transmise du

matériau à l’air environnant au vu de la grande différence d’impédance entre ces deux

milieux. Le gradient sur la surface est donc nul, impliquant qu’aucun flux ultrasonore

n’est dirigé vers l’extérieur. En considérant m la surface du matériau, nous avons donc :

∇⟨6(`, g, h, �)⟩ = 0∀`, g, h ∈ m ( 2.20 )

Il est alors possible de déterminer les solutions particulières pour différentes

configurations spatiales.

- Modèle 1D

Ce modèle s’applique pour un cylindre semi infini, dont l’épaisseur est négligée. Ainsi,

la distribution de l’énergie est supposée uniforme sur une section du cylindre.


65

⟨6!`, �)⟩ = 6; q

√st# %>]² ut#v %>w# ( 2.21 )

Cette solution est utilisée par Anugonda et al. (Anugonda et al. 2001) et Schubert et

Koehler (Schubert & Koehler 2004) pour caractériser des éprouvettes cylindriques de

béton dont le ratio longueur/diamètre est égal à 9.2.

- Modèle 2D

⟨6(`, g, �)⟩ = 6; 1

4Ee� %>(]x0ax) ut#v %>w#

=6; 14Ee� %

>B² ut#v %>w# ( 2.22 )

Ce modèle s’applique pour une géométrie plane, et se retrouve dans la littérature

(Punurai et al. 2007; Becker et al. 2003).

Ce modèle nous intéresse en particulier puisqu’il a été préalablement utilisé avec succès

par Ramamoorthy et al. (Ramamoorthy et al. 2004) pour caractériser une entaille dans

du béton avec une configuration de capteurs placés de part et d’autre de l’entaille. Cet

aspect est particulièrement important dans l’objectif de transfert de la méthode sur site,

où les deux faces de la structure à contrôler sont rarement accessibles. Dans ce cadre, ce

modèle est donc le plus adapté puisqu’il tient compte des conditions aux limites induites

par la surface sur laquelle sont posés les capteurs, et qui est donc la principale source de

modification du champ diffus. De plus, avec cette étude, il nous est possible de valider

un protocole expérimental sur des entailles avant un transfert sur fissures réelles.

- Modèle 3D infini

⟨6(�, �)⟩ = 6; 18√Ee�z %>B² ut#v %>w# ( 2.23 )

Ce modèle est notamment utilisé par Weaver et Deroo (Weaver & Sachse 1995; Deroo

et al. 2010). Il ne tient compte d’aucune condition aux limites, et ignore donc de fait

l’influence des surfaces extérieures sur la diffusion de l’énergie. Ce modèle est plus

approprié sur de larges structures, dont l’atténuation est suffisamment importante pour

limiter les interactions avec les surfaces.

- Modèle 3D fini : le parallélépipède


66

Une solution de l’équation de diffusion existe également pour des matériaux de

géométrie parallélépipédique de dimensions finies (Deroo et al. 2010).

Pour un parallélépipède de dimensions ∗ { ∗ | avec une impulsion d’excitation au

point (`;, g;, h;) et supposant qu’à l’instant � = 0l’énergie est nulle. Il est également

supposé qu’aucun flux d’énergie n’est dirigé vers l’extérieur (équation ( 2.20 )).

Cette solution à l’équation de diffusion est établie par le biais de séries de Fourier et

s’écrit comme suit :

⟨6(`, g, h, �)⟩ = 6;%>w#}1+ ~�(`, `;; )�(g, g;; {)�(h, h;; |)�+ ~�(`, `;; ) + �(g, g;; {) + �(h, h;; |)�+ ~�(`, `;; )�(g, g;; {)+ �(`, `;; )�(h, h;; |)+ �(g, g;; {)�(h, h;; |)��

( 2.24 )

Avec

�(�, �;; () = 2�cos ��E�( � cos ��E�;( �%>t�Us� �x#�

U�q

( 2.25 )

Pour cette solution, (`, g, h) est la position spatiale du récepteur ultrasonore (`;, g;, h;) est la position de la source.

Cette solution pourrait être la solution idéale pour toute éprouvette de forme

parallélépipédique et de dimension finie, cependant, la prise en compte de toutes les

conditions aux limites génère une solution relativement complexe à mettre en œuvre.

- Géométrie complexe

L’équation de diffusion est résolue analytiquement dans le cas de géométries simples :

1D, 2D et 3D. Cependant, ces solutions se complexifient pour des pièces à géométries

complexes. Deroo et al. (Deroo et al. 2010) ont récemment entrepris de caractériser des

pièces de béton de faibles dimensions (75x75x46 mm3) en comparant deux modèles de

résolution. La première résolution s’appuie sur l’assimilation de la pièce à un milieu

infini. La seconde tient compte du caractère fini de l’échantillon et prend en compte ses

dimensions. Ils mettent en évidence les évolutions similaires des courbes de diffusion et


67

de dissipation pour les deux modèles. De plus, selon les auteurs, le modèle infini

présente une plus grande robustesse en raison de sa simplicité.

2.2.3. Diffusion de l’énergie acoustique pour le CND

En 1990, Weaver (Weaver 1990) présente des travaux portant sur la théorie de la

diffusion ultrasonore pour la caractérisation de poly-cristaux cubiques. L’auteur

propose alors que l’étude de l’évolution de la partie incohérente et multi-diffusée d’un

champ ultrasonore permet une mesure plus robuste de la microstructure du matériau que

des méthodes ultrasonores basées sur l’analyse du champ cohérent. La théorie

développée dans cette étude est sensiblement différente de celle utilisée par la suite : le

terme de dissipation n’est pas présent dans l’étude de cristaux qui ne présentent pas de

viscoélasticité. Une solution analytique est donc développée, et les résultats associés

obtenus (Figure 43) montrent une concordance avec une étude expérimentale réalisée

par Guo et al. (Guo et al. 1985).

Figure 43 : Diffusivité en fonction de la fréquence (adimensionnée). Les résultats analytiques sont représentés en traits pleins (Weaver 1990). Les quatre points expérimentaux obtenus par Guo et al. (Guo

et al. 1985) sont également indiqués

Weaver (Weaver 1998) utilise la diffusion pour caractériser la porosité d’une mousse

d’aluminium. Les échantillons sont rectangulaires, d’épaisseur 18 mm et de largeur

38mm. Pour la première fois également à notre connaissance, les capteurs ultrasonores

pour l’émission et la réception de l’onde sont placés sur la même face du matériau, à

côté l’un de l’autre et non en vis-à-vis. Cette disposition permet alors d’entrevoir

l’utilisation de cette méthode acoustique pour la caractérisation de matériaux dont


68

l’accessibilité est limitée (sur site par exemple dans un contexte industriel). Cette étude

met également l’accent sur l’influence de la porosité sur la diffusivité de l’onde.

Figure 44 : Diffusivité et absorptivité en fonction de la quantité d'air occlus : 10 et 20 pores par pouce (inch), dans la matrice d’aluminium. (Weaver 1998). Les valeurs de diffusivité déterminées par l’auteur

sont mises en évidence

La figure 44, issue de l’étude de Weaver (Weaver 1998) montre ainsi les évolutions de

la diffusivité et de l’absorptivité en fonction de la quantité de porosité incluse dans une

mousse d’aluminium : 10 et 20 pores par pouce (inches). L’auteur utilise le terme

absorptivité dans son étude en lieu et place du terme dissipation que nous utilisons. Ces

deux dénominations se rapportent à la même observable σ. L’auteur montre ainsi que

l’augmentation du nombre de pores induit peu de variation de la dissipation mais que la

diffusivité décroît lorsque le nombre de pores augmente.

2.2.4. Etats de l’art pour le CND du béton

En 2001, Anugonda et al. (Anugonda et al. 2001) posent les bases de la diffusion dans

le béton en étudiant des éprouvettes cylindriques. Ils parviennent à déterminer les

paramètres de diffusion dans du béton avec une fréquence centrale d’émission de

500kHz, soit bien supérieure aux fréquences usuelles dans ce type de matériau. Pour

rappel, la norme ISO 1920-7 précise les conditions d’application de caractérisation

ultrasonore sur site avec des fréquences d’auscultation comprises entre 20 kHz et 150


69

kHz. Ils laissent ainsi entrevoir un grand nombre de possibilités de caractérisation non

destructive d’endommagements microstructuraux du béton. Les valeurs de diffusivité et

de dissipation sont déterminées expérimentalement pour des éprouvettes de béton

cylindriques par l’utilisation de la solution 1D de l’équation de diffusion (équation (

2.21 ) ). Les résultats de diffusivité sont ensuite comparés aux valeurs théoriques issues

du modèle de propagation d’onde développé par les auteurs pour des matériaux bi-

phasiques tels que le béton. Ils sont présentés sur la figure 45.

Figure 45 : Diffusivité en fonction de la fréquence pour le béton. Les symboles correspondent aux valeurs expérimentales, le trait plein correspond à l'estimation théorique (Anugonda et al. 2001)

La figure 45 montre un bon accord entre les valeurs théoriques de la diffusivité et les

valeurs expérimentales. Les auteurs envisagent néanmoins de perfectionner leur analyse

théorique afin de tenir compte des multiples échelles associées aux différentes tailles de

granulats. Selon Anugonda et al. (Anugonda et al. 2001) , l’endommagement réel de la

microstructure possède une grande influence sur la propagation de l’énergie au travers

du béton. Ainsi, selon ces mêmes auteurs, la distribution de microfissures au sein du

béton engendre une diminution de la diffusivité. Le fait que le temps de transport de

l’énergie augmente pour une distribution de fissures plus importante est également

cohérent avec les résultats d’Aggelis et al. (Aggelis & Shiotani 2007a). Ces derniers

avaient montré que la vitesse des ondes de Rayleigh diminue lorsque le nombre de

fissures artificielles augmente.

Deux ans plus tard, Becker et al. (Becker et al. 2003) étudient l’évolution des

paramètres de diffusion en fonction des diamètres des granulats, qui sont ici représentés


70

par des billes de verre de 1 et 3 mm de diamètre et présentent de 22 à 41% du volume

total du béton.

Figure 46 : Diffusivité eet dissipation � pour un mortier comprenant des billes de verres de différents diamètres, 1 et 3mm. (Becker et al. 2003)

Utilisant la solution de l’équation de diffusion 2D ( 2.22 ), ils déterminent

expérimentalement les valeurs des paramètres de diffusion présentés sur la figure 46. Ils

montrent que la dissipation est presque égale pour les deux diamètres de billes de verre.

Selon les auteurs, ces résultats montrent que la dissipation de l’énergie dans le béton

reflète uniquement les propriétés viscoélastiques de la pâte de ciment, et que la présence

d’interfaces au niveau des granulats n’a aucune incidence sur ce paramètre. L’évolution

de la diffusivité est également étudiée en fonction du diamètre des billes de verre. Les

résultats montrent que la diffusivité décroît lorsque le diamètre des granulats augmente.

Schubert et Koehler (Schubert & Koehler 2004) effectuent une simulation numérique

des travaux d’Anugonda et al.(Anugonda et al. 2001). La simulation numérique est

effectuée dans le domaine temporel, en appliquant la technique d’intégration élasto-

dynamique finie (EFIT) (D. O. Thompson & Chimenti 1995) et intégrant le modèle

viscoélastique de Kelvin-Voigt (Figure 47).


71

Figure 47 : Simulation de l'évolution de la dissipation en fonction de la fréquence incluant la viscoélasticité du matériau (pointillés). La valeur moyenne théorique selon le modèle de Kelvin-Voigt est

indiquée en trait continu (Schubert & Koehler 2004)

Les résultats de dissipation présentés sur la figure 47 montrent que la simulation

numérique n’est pas encore parfaitement en accord avec le modèle de Kelvin-Voigt

utilisé par Anugonda et al. (Anugonda et al. 2001).

Cette simulation numérique est néanmoins utilisée pour étudier l’influence de la

porosité sur la diffusion de l’énergie dans le béton. Elle montre que la porosité influe

sur la diffusivité : celle-ci diminue à mesure que la porosité augmente. Punurai et al.

(Punurai et al. 2007) étudient l’évolution des paramètres de diffusion dans du ciment en

fonction de la quantité d’air occlus dans le système. L’ajout d’un adjuvant entraîneur

d’air dans la pâte de ciment avant prise permet d’obtenir une éprouvette de porosité plus

importante, avec des pores plus grands qu’une seconde éprouvette formulée sans

adjuvant. Les valeurs de diffusivité déterminées pour les deux spécimens sont

présentées sur la figure 48.


72

Figure 48 : Évolution fréquentielle de la diffusivité pour deux éprouvettes de ciments, sans adjuvant, et avec adjuvant entraineur d'air (Punurai et al. 2007)

La figure 48 montre que la présence d’air entraîné dans du ciment diminue la diffusivité

de l’énergie ultrasonore. Ceci est consistant avec une augmentation du nombre de

diffuseurs qui accentue le phénomène de multidiffusion. Il est possible également de

noter une similitude avec les travaux de Becker et al. (Becker et al. 2003) présentés

précédemment. En effet, l’utilisation d’adjuvant entraîneur d’air dans un ciment génère

des pores de diamètres plus importants que ceux présents dans un ciment classique. De

façon analogue aux billes de verres de Becker et al., l’augmentation de la taille des

pores peut expliquer la diminution de la diffusivité. De plus, pour les deux études

((Becker et al. 2003; Punurai et al. 2007), il est possible de noter que les valeurs de la

diffusivité sont presque identiques pour les fréquences les plus hautes. Par contre, une

variation notable prend place dans les fréquences les plus basses : les valeurs de

diffusivité décroissent en fonction du diamètre de l’inclusion, qu’elle soit constituée

d’air ou de verre.

La dissipation est également étudiée en fonction de l’ajout, on non, d’air entraîné dans

la matrice (Figure 49).


73

Figure 49 : Évolution fréquentielle de la dissipation pour deux éprouvettes de ciments, sans adjuvant, et avec adjuvant entraineur d'air (Punurai et al. 2007)

La figure 49 montre que l’éprouvette contenant l’air entraîné présente une dissipation

inférieure de près de 7% par rapport au spécimen de ciment. Les auteurs supposent que

la diminution de la dissipation est proportionnelle à la fraction volumique d’air entraîné.

En effet, des analyses effectuées sur les éprouvettes montrent une différence d’air

occlus de l’ordre de 8%.

Punurai et al. suggèrent également que si la dissipation est une mesure représentative

des propriétés viscoélastiques au niveau de la pâte de ciment, une analyse

dimensionnelle laisse supposer que la dissipation est liée au coefficient d’atténuation

intrinsèque par absorption par le biais de l’équation ( 2.26 ).

N∗ = �, ( 2.26 )

Où � est la dissipation et V est la vitesse moyenne de l’onde acoustique diffusée. Selon

les auteurs, l’onde diffusée est essentiellement de nature longitudinale ; ainsi, la vitesse

de phase des ondes longitudinales prédomine. Les valeurs de dissipation sont ensuite

converties en coefficient d’atténuation intrinsèque et comparées à l’atténuation

déterminée en utilisant une technique de mesure qui exploite la partie cohérente de

l’onde.


74

Figure 50 : Comparaison des valeurs d'atténuation par absorption déterminées par mesure directe et déterminées par la mesure de la dissipation (Punurai et al. 2007)

Les résultats (Figure 50) suggèrent que la dissipation peut être utilisée comme une

mesure équivalente de l’atténuation intrinsèque.

Le potentiel de caractérisation de l’endommagement diffus du béton par méthode de

diffusion est également étudié. Deroo et al. (Deroo et al. 2010) effectuent leur étude sur

trois spécimens de bétons endommagés, à différents niveaux, par alcali-réaction (Figure

51).

Figure 51 : Diffusivité et Dissipation des bétons endommagés par alcali-réaction pour deux modèles de résolution de l’équation de diffusion. a) modèle 3D infini, b) modèle cuboïde fini (Deroo et al. 2010)


75

Au cours de cette étude, un échantillon de béton endommagé (ASR6) par alcali-réaction

est également soumis à un endommagement thermique (Figure 52). Il est soumis à une

température de 120 °C. A cette température, la microfissuration est établie dans les

bétons. Périodiquement, l’échantillon est retiré du four, et des mesures des paramètres

de diffusion sont effectuées. Il est ainsi possible de connaitre l’évolution des paramètres

en fonction du temps d’exposition aux températures.

Figure 52 : Diffusivité et Dissipation des bétons endommagés thermiquement (Deroo et al. 2010)

Cette étude montre le potentiel d’utilisation de la méthode de diffusion pour quantifier

la présence de microfissures issues de l’endommagement dans du béton induites par

l’exposition aux températures élevées (120°C). Les paramètres obtenus montrent une

évolution similaire : la diffusivité D diminue avec l’augmentation de la

microfissuration, alors que la dissipation varie peu pour les basses fréquences.

La diminution de la diffusivité est due à l’augmentation de la diffusion par les

microfissures, ce qui ralentit le processus de propagation de l’énergie. Dans le même

temps, la dissipation du béton n’est pas significativement sensible à la microfissuration.

Enfin, le comportement des paramètres de diffusion au regard de la macro-fissuration

du béton est également étudiée par Ramamoorthy et al. (Ramamoorthy et al. 2004).

Cette étude est faite de manière expérimentale et numérique sur des éprouvettes

possédant des entailles, perpendiculaires à la surface du spécimen et débouchantes sur

celle-ci. Pour la solution numérique, un code éléments finis est développé afin de

simuler la propagation de l’énergie selon l’équation de diffusion ( 2.18 ) et permet de

déterminer les paramètres de diffusivité, dissipation, ainsi que le temps correspondant


76

au maximum du pic de diffusion. Les auteurs déterminent ainsi un nouveau paramètre :

le lag time. Ce temps correspond au décalage temporel entre le maximum de l’énergie

diffusée en présence d’une entaille et celui observé, pour un protocole de mesure

identique, dans une zone sans entaille. Les valeurs numériques de ce paramètre sont

ensuite comparées aux valeurs expérimentales obtenues pour des hauteurs d’entailles

variables (Figure 53). Ce graphique met en évidence la concordance qui existe entre les

valeurs de ce paramètre issu de la simulation et les valeurs expérimentales, validant

ainsi la simulation numérique dans le cas considéré.

Figure 53 : Décalage temporel de l'énergie diffusée en fonction de la hauteur d'une entaille dans du béton (Ramamoorthy et al. 2004)

De plus, les résultats de cette étude mettent également en évidence la corrélation entre la

profondeur de ce type d’entaille et le décalage temporel de l’énergie diffusée.

Cette dernière étude en particulier est significative du potentiel de la théorie de diffusion

appliquée au béton pour envisager une caractérisation de fissures réelles. L’objectif est

de pouvoir développer une méthode de mesure permettant de contribuer de manière

fiable à la caractérisation d’une fissure réelle. En cela, la théorie de la diffusion nous

permet de procéder à la détermination de trois observables : la diffusivité, la dissipation,

ainsi que le temps d’arrivée du maximum d’énergie, ou ATME (Arrival Time of

Maximum Energy).


77

2.3. Conclusion

L’analyse des seules ondes cohérentes présente un fort potentiel pour la caractérisation

de fissure ouverte, lorsque les lèvres de fissures ne sont pas en contact. Cependant, la

sensibilité de ces ondes à de nombreux paramètres, comme la formulation du béton, la

teneur en eau, ou encore la température rend l’analyse complexe. Cette partie du signal

ne permet pas, à ce jour, la caractérisation d’une fissure fermée dans du béton.

Afin de parvenir à caractériser une fissure fermée, une analyse de la partie incohérente

est donc nécessaire. Cette partie du signal présente en effet la particularité de décrire

parfaitement le milieu, en tenant compte de la position de chaque diffuseur présent sur

le trajet de l’onde. Ses multiples interactions avec la fissure fermée génèrent des

informations, contenues dans le signal, et qu’il est nécessaire de pouvoir extraire. Une

mesure de la vitesse des ondes, ou encore de l’atténuation, utilisée lors de l’analyse de

la partie cohérente n’est pas adaptée à l’analyse de la partie incohérente. Afin de traiter

la totalité des informations du signal, une méthode consiste à étudier le transport de

l’énergie entre deux capteurs ultrasonores.

Le transport de l’énergie en régime diffusif est présenté, en introduisant l’équation de

diffusion dans un milieu multi-diffusant. La nature complexe du matériau, qui présente

un obstacle à la caractérisation du matériau lors de l’analyse de la partie cohérente de

l’onde est ici mise à profit pour l’analyse de la partie incohérente.

Deux des paramètres clefs de l’analyse de la diffusion de l’énergie ultrasonore sont ici

présentés : La diffusivité e, et la dissipation �.

L’analyse de la diffusion de l’énergie au sein de matériaux est relativement récente. La

littérature existante met cependant en évidence la capacité des différents paramètres de

diffusion pour la caractérisation du béton.

Des premières études sur les polycristaux (Weaver 1990), un empilement des billes de

verre immergées (Weaver & Sachse 1995) ou une mousse d’aluminium (Weaver 1998)

constituent les prémices de ce type d’analyse. Elles mettent en évidence le

comportement diffusif de l’énergie ultrasonore au sein d’un milieu multidiffusant.


78

Dans le béton, la taille des granulats, la porosité, ou un endommagement diffus comme

les attaques chimiques ou l’endommagement thermique montrent une réelle incidence

sur les paramètres de diffusion.

Enfin, il est également montré qu’un endommagement local, la présence d’une entaille,

modifie également les propriétés de diffusion de l’onde, permettant une caractérisation

de la hauteur de l’entaille.

Le succès de ces derniers travaux met en évidence le fort potentiel de l’analyse de la

diffusion de l’énergie au sein du béton et son interaction avec une fissure.

Les interactions des ondes diffusées avec une fissure réelle n’ont cependant jamais été

établies, en particulier au regard de l’influence des contacts partiels sur la propagation

de l’énergie.

Nous étudierons donc ces interactions dans le chapitre suivant pour valider

expérimentalement la modification du champ diffus par une fissure ouverte. La capacité

de l’utilisation de cette méthode en vue de la caractérisation de fissures fermées sera

ensuite testée expérimentalement.

Cette partie expérimentale sera ensuite confrontée à la simulation numérique afin de

mieux comprendre les interactions avec la fissure, en particulier au niveau des points de

contacts existants entre les lèvres de fissures fermées.

Chapitre III

Diffusion appliquée à la caractérisation d’une fissure : Expérience et simulation numérique

Chapitre 3. Diffusion appliquée à la caractérisation d’une fissure : Expérience et

simulation numérique

81

Chapitre 3. Diffusion appliquee a la caracterisation

d’une fissure : Experience et simulation numerique

3.1. Objectifs et enjeux

La caractérisation de fissures fermées, dites réelles, dans du béton par méthodes

ultrasonores est un enjeu majeur pour les domaines de la recherche et de l’industrie.

Une étude précédente basée sur l’analyse de la diffusion de l’onde ultrasonore

(Ramamoorthy et al. 2004) a mis en évidence la capacité de cette méthode à caractériser

une entaille dans du béton. Les résultats sont prometteurs, mais, à ce jour, aucune

application n’a encore été réalisée dans le cas de fissures réelles.

Dans un premier temps, une étude de l’évolution du champ diffus et son interaction

avec une entaille ouverte est réalisée. Cette première étude permet de valider la méthode

sur nos éprouvettes de béton.

Puis la capacité de cette méthode à caractériser des fissures fermées est éprouvée

expérimentalement sur des éprouvettes de béton fissurées.

Enfin, la modélisation numérique de la diffusion ultrasonore est réalisée afin de mieux

comprendre les interactions de l’onde avec la fissure. Les résultats de la simulation sont

analysés comparativement aux résultats expérimentaux et permettent de mieux définir le

rôle des points de contact qui peuvent exister entre les lèvres de la fissure.

3.2. Méthodes expérimentales

3.2.1. Elaboration des éprouvettes de béton

Deux séries distinctes d’éprouvettes sont élaborées dans le cadre de cette étude. Les

premières éprouvettes présentent une série d’entailles de différentes hauteurs. Les

secondes éprouvettes présentent chacune une fissure fermée et débouchante, de hauteurs

différentes.

1.1.1.1 Eprouvettes entaillées

La première série est constituée de cinq éléments : des éprouvettes réalisées au LCND

afin de permettre l’étude de l’influence d’une entaille sur une onde ultrasonore.

L’entaille représente de la fissure, pour laquelle les deux lèvres ne sont pas en contact.



82

Ces éprouvettes proviennent de la même gâchée, et ont suivi une période de cure de 28

jours en eau. Chaque éprouvette possède une entaille, réalisée en plaçant un film

plastique, de la dimension souhaitée pendant la mise en œuvre du béton. Le film

plastique est ensuite retiré. Ces éprouvettes sont de dimensions 15x10x60cm3, et

possèdent respectivement des entailles de 0, 1, 2, 3 et 5cm de profondeur et de 1mm

d’ouverture.

La composition des éprouvettes de cette série entaillée est la suivante :

- Mortier standard d'usage courant.

- Ciment 20% - Granulats 80% (en volume).

- 4,2 l d'eau pour 35kg de mélange (ciment et granulats).

1.1.1.2 Eprouvettes fissurées

La seconde série est composée de quatre éprouvettes en béton réalisées au LMDC de

Toulouse dans le cadre d’une étude antérieure sur la caractérisation de fissures par

moyens ultrasonores (Zardan et al. 2010). Ces éprouvettes sont de géométrie

parallélépipédique et de dimension 15x15x60cm3 et présentent une fissure

perpendiculaire à la surface. Cette fissure est supposée « fermée » : les deux lèvres de la

fissure sont en contact.

Ces éprouvettes proviennent d’une même gâchée dont la composition est présentée dans

les tableaux 3 et 4. Cette composition est identique à celle utilisée dans le cadre du

projet de l’ANR SENSO (Stratégie d’Évaluation Non Destructive pour la Surveillance

des Ouvrages en Béton).

Ciment CEM I 52,5N Calcia 370 Sable 0/2 ou 0/4 774 Gravier 4-14 ou 10-14 1069 Eau (efficace) 212

Tableau 3: Composition massique des éprouvettes (en kg)

Granulats Siliceux D max 12,5 mm Forme des granulats roulés

Tableau 4: Données sur les granulats

Le béton réalisé est ensuite coffré dans un moule aux dimensions. Les moules utilisés

pour la fabrication de ces éprouvettes présentent également une particularité

supplémentaire, qui est la présence d’une baguette de dimensions 150x10x2 mm placée



83

sur une paroi, pour ainsi créer une entaille de 1cm de hauteur (Figure 54). Cette entaille

permettra ensuite d’amorcer la fissuration réelle de l’éprouvette.

Figure 54 : Eprouvette de béton comprenant une entaille de 1cm de hauteur, sans fissure

Les éprouvettes sont ensuite conservées dans l’eau durant 28 jours afin de les stabiliser.

Au terme de cette période, les éprouvettes possèdent les caractéristiques suivantes :

E/C (rapport eau / ciment) 0,55 Masse volumique réelle (kg/m3) 2400 Rc 28j (MPa) 53,0 Porosité accessible à l’eau (%) 15,5 E (MPa) 29718

Tableau 5 : Caractéristiques finales des éprouvettes (projet ANR SENSO)

Les valeurs présentées dans le tableau 5 sont directement issues des données du projet

SENSO. Ce sont les moyennes des valeurs mesurées pour différentes gâchées de béton

de composition identique à celle de nos éprouvettes.

L’étape suivante de la fabrication de cette série d’éprouvettes est la génération de

fissures pour trois d’entre elles, préalablement entaillées.

La fissuration est effectuée par flexion trois points. Un effort mécanique est appliqué et

permet d’induire une concentration de contraintes en pointe de l’entaille et d’amorcer

ainsi la fissuration. Afin de contrôler la profondeur de la fissure ainsi générée, le

système est asservi par un système de transducteurs LVDT (Linear Variable Differential

Transformer) mesurant l’ouverture de la fissure en surface. L’ouverture de la fissure

étant liée à sa profondeur, cela permet d’arrêter les sollicitations mécaniques une fois la

profondeur de fissure désirée atteinte.



84

Ce système a donc permis de générer trois éprouvettes, possédant respectivement des

fissures de 1, 3 et 5,5cm de hauteur. Les hauteurs de fissure sont ensuite confirmées sur

la partie latérale de chaque éprouvette par ressuage (Figure 55).

Figure 55 : Visualisation de la fissure après ressuage

Nous disposons donc d’un jeu de quatre éprouvettes :

- Entaille 1 cm, sans fissure. - Entaille 1 cm, fissure 1 cm. - Entaille 1 cm, fissure 3 cm. - Entaille 1 cm, fissure 5,5 cm.

3.2.1.1. Caractéristiques mécaniques des éprouvettes de béton

Les éprouvettes sont caractérisées par méthodes ultrasonores. La mesure des vitesses

des ondes de compression et de cisaillement, ainsi que de la masse volumique de

chacune des éprouvettes permet de déterminer les modules d’Young et coefficients de

Poisson dynamiques présentés tableau 6.

Vitesse OL

(m/s) Vitesse OT

(m/s) E (GPa)

Coefficient de Poisson

Entaille 0cm 3747 2175 25.540 0.24 Entaille 1cm 3588 2165 24.540 0.21 Entaille 2cm 3797 2197 26.121 0.25 Entaille 3cm 3597 2157 24.592 0.22 Entaille 4cm 3667 2180 25.268 0.23 Fissure 0cm 4474 2757 42.362 0.19 Fissure 1cm 4373 2628 39.251 0.22 Fissure 3cm 4509 2747 42.442 0.21 Fissure 5,5cm

4477 2717 41.644 0.21

Tableau 6 : Caractéristiques mécaniques des éprouvettes utilisées (2010 - mesures expérimentales)



85

3.2.2. Protocole

Pour chaque éprouvette des jeux entaillés et fissurés, les constantes de diffusion sont

déterminées. Le protocole expérimental est chaque fois identique.

Figure 56 : Montage expérimental

Les capteurs ultrasons sont placés au contact sur la surface supérieure de l’éprouvette,

de part et d’autre de la fissure (Figure 56). Le couplant utilisé est de type SWC

(Sofranel). Les caractéristiques des deux capteurs utilisés sont présentées dans le

tableau 7.

Rôle du transducteur

Dénomination des transducteurs

Fréquence (kHz)

Diamètre de l’élément actif

Émission Panametrics V101 (OL) 500 1 pouce

(25,4 mm) Réception pico S/N 5014 PAC (EA) 200-700 5 mm

Tableau 7 : Caractéristiques des transducteurs (données constructeur)

L’utilisation d’un capteur d’émission acoustique en réception est tout d’abord motivée

par la possibilité d’avoir une bonne réponse du capteur dans une large gamme de

fréquences autour de la fréquence d’émission. Le choix de ce capteur est également

motivé par son faible diamètre. En effet, en réponse aux fluctuations rapides en

amplitude ainsi qu’en phase, le champ diffus converge vers une valeur nulle si le signal

est moyenné en surface. Ce phénomène est appelé annulation de phase (Page et al.

1995). L’annulation de phase est implicitement effectuée par des capteurs dont la

surface est supérieure à la longueur d’onde, et il est donc nécessaire d'utiliser des

transducteurs ayant une petite surface lors de la mesure du champ diffus (Ramamoorthy

et al. 2004; Anugonda et al. 2001; Punurai et al. 2007). La longueur d’onde dans le

béton étant de l’ordre de 9 mm pour une fréquence de travail de 500kHz, un capteur de

diamètre 5mm est utilisé.



86

Afin de déterminer la distribution statistique concernant la détermination des paramètres

de diffusion, chaque mesure est répétée 25 fois, et ce sur chacune des éprouvettes (en

ôtant, puis en repositionnant les capteurs). Ceci permet de pouvoir considérer ces

mesures comme étant indépendantes les unes des autres. Il est donc nécessaire de

s’assurer que les distances des capteurs par rapport à la fissure /entaille restent

constantes tout au long de la campagne de mesure.

Pour cela, il a été réalisé une cale en téflon (Figure 57) qui permet de positionner les

capteurs pour que la distance entre ces deux derniers soit égale à 60 mm, et que le point

d’ouverture de la fissure/entaille soit systématiquement à équidistance des centres des

éléments actifs de chaque transducteur.

La distance de 60mm est égale à six longueurs d’ondes. Elle permet de se placer en

régime de diffusion. Elle est également suffisamment courte pour éviter de perdre la

quasi-totalité de l’énergie par atténuation dans le volume de l’éprouvette et ainsi

conserver un caractère local à la mesure.

Le montage expérimental diffère donc de la norme ISO régissant les contrôles non

destructifs par ultrasons sur du béton et présentée tableau 8. Le choix d’une fréquence

de travail plus élevée nous permettant de gagner en résolution et de nous placer dans le

régime stochastique.

Norme ISO

1920-7 (2004) Montage expérimental

Fréquence

ultrasonore 20-200 kHz 500 kHz (gain en résolution)

Distance entre

capteur

50mm pour

200kHz (2λ)

60mm pour 500kHz (6λ)

(plusieurs λ : cadre de diffusion

Mais < à 10cm : conservation du caractère local de

la mesure, et signal reçu suffisamment énergétique)

Diamètre des

transducteurs Non spécifié

5 mm (objectif : s’affranchir d’un moyennage

spatial de l’onde)

Tableau 8 : Présentation des paramètres de mesure préconisées par la norme, et paramètres expérimentaux



87

De plus, pour chaque mesure, il faut veiller à placer les capteurs suffisamment au centre

de l’éprouvette pour ne pas être soumis, autant que possible, aux effets de bord.

Figure 57 : Cale utilisée pour fixer la distance entre les transducteurs

Le signal reçu est amplifié de 20dB, et aucun filtrage fréquentiel n’est effectué au

moment de l’amplification. En revanche, le signal est moyenné temporellement cent

fois afin de limiter le bruit électronique.

3.2.3. Détermination des coefficients apparents de diffusion

La détermination des coefficients de diffusion, de manière expérimentale, est possible

en développant une des solutions précédentes, selon la configuration choisie (1D, 2D ou

3D). La procédure étant analogue pour les trois modèles, seul le modèle 2D est ici

analysée. Ce modèle, utilisé par Ramamoorthy et al. (Ramamoorthy et al. 2004) prend

en compte les conditions aux limites liées à la présence de la surface sur laquelle sont

posés les deux capteurs. Il ne permet donc pas de déterminer les coefficients réels de

diffusion, mais les coefficients apparents puisqu’il ne tient pas compte des conditions

aux limites particulières induites par la présence d’une fissure fermée. En effet, dans le

contexte de CND du béton sur site, il est impossible de connaître la géométrie exacte de

la fissure a priori. De plus, la présence de cette étude (Ramamoorthy et al. 2004) sur

des éprouvettes de béton nous permettra de conforter le protocole expérimental.

La solution de l’équation 2D générale est donnée par :

⟨6!�, �)⟩ = 6; 14Dπt%

>B² ut#v %>w# ( 3.1 )

Si l’on prend le logarithme :

ln⟨6(�, �)⟩ = ln6; 1

4Dπt + ln %>B² ut#v + ln %>w#

ln⟨6(�, �)⟩ = ln 6; 14Dπt −

�²4e�– ��

( 3.2 )



88

Figure 58 : a) Signal ultrasonore diffus. b) Représentation de la densité spectrale d’énergie (courbe en pointillés) et de la solution lissée (trait plein) selon l’équation de diffusion

Ainsi, expérimentalement il est possible de déterminer trois observables : La diffusivité

e, la dissipation � mais également le Temps d’Arrivée du Maximum d’Énergie

(ATME).

L’ATME, de dimension [s] correspond au temps mis par l’énergie pour atteindre sa

valeur maximale après l’impulsion source. Il s’agit d’une variable analogue à celle

proposée par Ramamoorthy et al. (Ramamoorthy et al. 2004) pour mettre en évidence la

relation entre le temps de transport de l’énergie et la hauteur d’une entaille sur un

échantillon de béton.

Une analyse de l’équation de diffusion 2D ( 3.2 ) permet de constater que les valeurs

des paramètres D et du temps d’arrivée du maximum d’énergie sont liées à la première

partie du signal. Le paramètre de dissipation, quant à lui, domine très largement la

dernière partie du signal (Figure 58).



89

Figure 59 : Signal temporel obtenu après une propagation des ondes ultrasonores dans du béton et présentation du principe de fenêtrage temporel utilisé lors du traitement de l’information

Une analyse temps-fréquence est effectuée sur le signal temporel (Figure 59) afin de

déterminer la densité spectrale d’énergie en fonction du temps pour différentes

fréquences. Le processus est strictement identique pour chaque mesure.

- Chaque signal temporel est divisé en plusieurs fenêtres de temps ∆t. Chaque

fenêtre ayant un taux de recouvrement de 90% avec la précédente (Deroo et al.

2010). Dans le cas présent, ∆t = 50 µs, ce qui correspond à 100 points du signal

d’origine.

- Un fenêtrage de Hamming est ensuite appliqué à chacune des fenêtres

temporelles. Ceci permet de donner plus de poids aux points du signal situés au

centre de la fenêtre et de ne pas induire d’artefacts lors du traitement temps-

fréquence. Ce fenêtrage induit donc une diminution de l’information au niveau

des extrémités de la fenêtre temporelle. Le taux de recouvrement appliqué lors

de l’étape précédente permet de s’assurer que la totalité du domaine temporel du

signal est analysé.

- La transformée de Fourier discrète de chaque fenêtre temporelle est ensuite

effectuée, puis élevée au carré.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Signal Temporel

temps [ µ s]

am

plitu

de

Fenêtre temporelle glissante



90

- La densité spectrale d’énergie de chaque fenêtre temporelle est ensuite calculée

en intégrant le spectre sur une bande fréquentielle, de largeur ∆f et centrée

autour de la fréquence d’intérêt. Dans notre cas, ∆f vaut 79kHz.

- Enfin, chaque valeur de densité spectrale est associée à une valeur discrète de

temps, déterminée comme étant le centre de la fenêtre temporelle

correspondante.

Le tableau 9 présente l’ensemble des choix de traitement de l’information réalisés pour

différentes études de diffusion de l’énergie dans du béton. Nos fenêtres temporelles et

fréquentielles sont cohérentes par rapport aux études précédentes. La détermination de

ces paramètres est directement influencée par le matériel utilisé lors de

l’expérimentation, ainsi que par les moyens de traitement informatique.

Auteur Emission Réception Distance

entre capteurs

∆t ∆f fréquence diamètre fréquence diamètre

Anugonda et al. 2001

500 kHz (400-600)

25.4 mm

2.5 mm 23.6µs 60

kHz

Ramamoorthy

et al. 2004 500 kHz

(400-600)

25.4 mm

2.5 mm 60 mm

Punurai et al. 2007

5 MHz 12.5 mm

2 MHz 1 mm 40 mm 60µs 250 kHz

Quiviger 500 kHz 25.4 mm

200-700 5 mm 60 mm 50 µs 79

kHz Tableau 9 : Données expérimentales utilisées par les différents auteurs pour la mesure de diffusion

Ce traitement effectué, il est alors possible de tracer ⟨6!�$⟩ en fonction du temps, pour

enfin déterminer les valeurs des coefficients de diffusivité, de dissipation et du temps

d’arrivée du maximum de l’énergie en accord avec l’équation ( 3.1 ).

Le logarithme de l’énergie est ensuite tracé (Figure 60) en fonction du temps afin de

permettre la régression, conformément à l’équation ( 3.2).

Le modèle ne s’applique en théorie que pour une géométrie spécifique (2D) et ne

correspond pas ici à la géométrie exacte de nos éprouvettes. En effet, les conditions aux

limites spécifiques à la présence de fissure ne peuvent pas être prises en compte sans

une connaissance parfaite de sa géométrie. L’application de ce modèle permet de



91

faciliter le traitement du signal ainsi que la détermination des paramètres de diffusion

apparents. Selon Deroo & al. (Deroo et al. 2010) lors de leur étude sur la caractérisation

de l’ASR dans du béton, L’utilisation d’un modèle infini montre les mêmes tendances

qu’une solution tenant compte de la géométrie finie de leurs éprouvettes. Selon ces

mêmes auteurs, le modèle infini présente de plus une plus grande robustesse.

Cette régression 2D nous permet donc d’obtenir les paramètres D et σ apparents, ainsi

que le temps d’arrivée du maximum de l’énergie, soit le temps qui correspond à la

valeur maximale de la régression (Figure 60). La valeur de l’énergie mesurée fluctue

autour de sa valeur moyenne proportionnellement au produit ∆t par ∆f (Weaver 1998)

selon l’équation :

6 � 6[b��Béb ± � 1√Δt ∗ Δf� 6[b��Béb

( 3.3 )

Figure 60 : Logarithme de l'énergie en fonction du temps dans le cadre du modèle semi-infini

3.2.4. Coefficients de diffusion en présence d’une fissure

Les coefficients apparents de diffusion sont déterminés dans le domaine fréquentiel

[240-320 kHz], pour lequel le maximum d’énergie est transmis à travers la fissure. Pour

les bandes fréquentielles d’ordre supérieur, l’amplitude de l’énergie est très faible, ce

qui est dû à l’atténuation dans le béton. Ceci induit plus d’incertitudes quant à la

détermination des paramètres de diffusion.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

Temps [µµµµ s]

Log

(Ene

rgie

) [n

orm

alis

é]

mesurérégression non linéaire



92

Figure 61 : Évolution de la dissipation en fonction de la hauteur d'une fissure ouverte (rouge) ou fermée (bleu)

La figure 61 présente les moyennes des 25 valeurs de dissipation obtenues lors des 25

mesures indépendantes ainsi que la dispersion de ces mesures, pondérées par le biais du

coefficient de Student pour les éprouvettes entaillées (partie ouverte de la fissure, en

rouge) et fissurées (fissure fermée, en bleu sur la figure). Les échelles respectives de

chacun des types de fissures sont placées en haut et bas de figure. Elles indiquent la

hauteur de la partie ouverte de la fissure, suivie de la hauteur de la partie fermée, en

centimètres.

Elles sont en accord avec les valeurs relevées dans la littérature pour le béton. Ainsi, des

valeurs comprises entre 4 et 12 ms-1 sont comparables à celles observées par Punurai et

al. (10 ms-1), Becker et al. (Entre 10 et 30 ms-1), ou encore Anugonda et al. (Entre 10 et

25 ms-1).

La dissipation ne montre pas de tendance d’évolution particulière en fonction de la

hauteur de l’entaille ou de la fissure.

Les valeurs moyennes de dissipation pour les deux séries d’éprouvettes sont bien

distinctes. Cette écart provient du fait que deux ciments de types différents ont été

1/0 1/1 1/3 1/5,52

4

6

8

10

12

14D

issi

patio

n [

ms

-1]

1/0 2/0 3/0 5/0

Notched samplesCracked samples

Legend : X/YX : Notch depth (cm)Y : Crack depth (cm)



93

utilisés pour chacune des séries et confirme la possibilité de la dissipation à apporter

une information sur les propriétés viscoélastiques du ciment.

La dissipation � reflète les propriétés viscoélastiques du milieu selon Anugonda et al.

(Anugonda et al. 2001). Elle serait essentiellement liée aux propriétés de la pâte de

ciment. Ainsi, selon l’auteur, le type de ciment utilisé, mais également le rapport E/C ou

le temps de cure sont supposés influer sur l’évolution de la dissipation.

Figure 62 : Évolution de la Diffusivité en fonction de la hauteur d'une fissure ouverte ou fermée

La diffusivité (Figure 62) décroit lorsque la hauteur de la fissure/ entaille, croit.

La diffusivité est caractéristique de la microstructure du matériau : la présence des

granulats ou de tout élément générant une forte diffusion au sein du béton (Anugonda

et al. 2001).

Si une macrofissure est présente dans le matériau, il est alors possible de supposer que

le transport de l’énergie se fera le long d’un chemin de propagation de plus en plus

tortueux. Ainsi, La présence de l’entaille ou d’une fissure réelle, augmente la

multidiffusion, ce qui ralentit et diminue le transport de l’énergie entre les deux capteurs

et réduit la valeur de e.

1/0 1/1 1/3 1/5,5

10

12

14

16

18

20

Diff

usiv

ity

[m2.s

-1]

1/0 2/0 3/0 5/0





94

La valeur de diffusivité apparente est prépondérante pour l’équation de diffusion sur la

première partie du signal qui ne représente qu’un nombre réduit de points vis à vis de la

taille du signal.

De plus, la notion de seuillage rentre également en compte lors de la régression linéaire.

En effet, ne doivent être pris en compte que les points du signal à partir du temps

d’arrivée de la première onde directe. La méthode utilisée ici est un moyennage du

bruit. L’onde directe est détectée lorsqu’un seuil (moyenne du bruit + 3 écart-types) est

atteint.

Figure 63 : Évolution du Temps d'Arrivée du Maximum de l'Énergie (ATME) en fonction de la hauteur d'une fissure ouverte ou fermée

La variation du temps d’arrivée du maximum de l’énergie (ATME) en fonction de la

présence d’une entaille ou d’une fissure est présentée sur la figure 63.

Nous remarquons que la détermination de la hauteur d’une entaille par le biais de

l’étude de l’arrivée d’énergie est possible. L’ATME croît quasi-linéairement en fonction

de la hauteur de l’entaille jusqu’à atteindre une augmentation de 50% pour une fissure

de 5cm. Ces résultats sont en accord avec ceux observés par Ramamoorthy et al.

Concernant la fissure fermée, l’évolution de l’ATME montre une variation très nette,

de 5µs, entre l’absence de fissure et la présence d’une fissure réelle de 1cm. La

détection de la fissure est donc réalisée. Ces nouveaux résultats montrent également que

1/0 1/1 1/3 1/5,535

40

45

50

55

60

65

AT

ME

[µ

s]

1/0 2/0 3/0 5/0





95

si le temps d’arrivée du maximum d’énergie pourrait donner une indication sur la

hauteur d’une fissure, la dispersion des valeurs de l’ATME ainsi que la très faible

augmentation observée ne sont pas suffisantes pour assurer cette caractérisation.

3.2.5. Synthèse

Il a été montré que l’ATME est un bon indicateur pour la caractérisation d’une fissure

ouverte. Cependant, au vu de la dispersion des valeurs il semble difficile d’extraire une

information sur la hauteur de fissure fermée. Nous faisons l’hypothèse que la dispersion

ainsi que la faible variation de l’ATME en fonction d’une fissure réelle sont dues à la

présence de zones partiellement ouvertes entre les lèvres qui modifient le transport de

l’énergie.

Le potentiel de l’utilisation du champ ultrasonore diffus en vue de la caractérisation de

la partie ouverte d’une fissure, représentée par une entaille, dans du béton est démontré.

L’ATME est un indicateur sensible à la présence ainsi qu’à la hauteur d’une

macrofissure débouchante en surface. L’ensemble de ces paramètres, ainsi que leurs

évolutions nous permet donc d’obtenir une indication sur la nature de

l’endommagement du béton. Au regard de la dispersion des valeurs, cette technique

permet de détecter la présence d’une fissure fermée, mais il est difficile d’en déterminer

la hauteur.

Afin de mieux comprendre la signification de ces résultats expérimentaux, il est

nécessaire d’analyser la nature des interactions de l’onde diffusée avec une fissure

réelle. Une méthode numérique est développée dans la suite de cette étude pour simuler

ces interactions avec un regard particulier sur le rôle des points de contact qui existent

entre les lèvres de fissures réelles.

3.3. Méthodes numériques

La propagation des ondes élastiques dans les milieux fortement hétérogènes et

atténuants est de plus en plus répandue dans le domaine de la recherche, notamment en

géophysique. Aki et Richards (Aki & Richards 2002) posent ainsi les bases de la

modélisation suivant les caractéristiques du milieu. La modélisation de tels milieux

dépend fondamentalement de leurs caractéristiques intrinsèques, et notamment des

hétérogénéités présentes. Ainsi, si dans un milieu homogène, les équations permettent



96

de décrire la propagation des ondes, il est souvent nécessaire de prendre en compte un

« milieu équivalent » en présence d’hétérogénéités de petites tailles. Pour des milieux

dont la taille des hétérogénéités est supérieure aux longueurs d’onde propagées, la

théorie des rayons a montré de bons résultats (Spetzler et al. 2002; Krueger & Kimert

1996; Lockwood et al. 1989).

Dans le cadre particulier où les hétérogénéités sont de dimensions proches de la

longueur d’onde d’auscultation, la simulation s’avère être plus complexe. L’importance

de la diffraction, des transferts d’énergie et des conversions de modes ne sont alors plus

négligeables.

La dimension des granulats, de l’ordre de la longueur d’onde d’auscultation rend donc

complexe la simulation de la propagation des ondes acoustiques dans du béton.

Les méthodes de résolution dépendent du phénomène étudié, ainsi que des

connaissances et des moyens à disposition. La géométrie du modèle peut ainsi varier,

passant de la résolution 1D à 3D. L’espace de résolution numérique est fréquentiel ou

temporel. Les modèles discontinus font peu à peu place aux modèles continus afin de

prendre en compte des effets dissipatifs ou comportements non linéaires. La description

des hétérogénéités évolue également avec des géométries et des lois de contact plus

complexes (Scarella 2004). Des méthodes de simulation telles que les différences finies

sont plus simples à mettre en œuvre et efficace sur une grille cartésienne régulière. Les

éléments et volume finis ou méthode Garlerkin discontinu (Ezziani & Joly 2010)

permettent l’utilisation d’un maillage adapté aux interfaces mais nécessitent un temps

de calcul plus long.

Il convient toutefois de rappeler que la simulation numérique n’est pas une réponse

absolue, mais qu’elle peut permettre d’apporter certains éléments de réponse sur les

phénomènes physiques étudiés. C’est dans ce sens qu’elle est de nos jours de plus en

plus utilisée dans le cadre de la recherche scientifique.

3.3.1. Simulation de diffusion

Ramamoorthy et al. (Ramamoorthy et al. 2004) développent un code éléments finis afin

de modéliser la diffusion de l’énergie ultrasonore au sein d’une éprouvette de béton. Le

code satisfait à l’équation de la diffusion de l’énergie en deux dimensions. Le matériau



97

est modélisé comme un domaine rectangulaire, de la taille de l’éprouvette, discrétisé et

maillé en éléments rectangulaires. Le modèle satisfait également aux conditions de

Neumann aux interfaces (la dérivée de la solution de l’équation différentielle est fixée

sur la frontière du domaine). La concordance des résultats numériques avec les résultats

expérimentaux sur des éprouvettes de béton permet aux auteurs la validation de ce code.

Ils montrent ainsi que le maximum de l’énergie est dépendant des valeurs de dissipation

et de diffusion du milieu, ainsi que de la distance entre les deux capteurs.

La modélisation du béton entaillé est effectuée en utilisant un maillage identique au

précédent. L’entaille est créée en appliquant une condition de flux nul au niveau de

certains nœuds en fonction de la position et de la dimension de cette entaille sur les

éprouvettes.

3.3.2. Modélisation numérique de la fissure

La simulation numérique de fissure réelle et son intégration dans un programme de

propagation d’ondes est à notre connaissance encore très peu répandue. En effet, de

nombreux auteurs (Hévin et al. 1998; Ramamoorthy et al. 2004…) présentent la fissure

comme une entaille, sans aucune connexion entre les lèvres, et une réflexion des ondes

sur les bords de fissure.

Dans le cadre des études numériques spécifiques à l’étude de la diffusion ultrasonore

dans du béton, Ramamoorthy et al. (Ramamoorthy et al. 2004) avaient également

effectué une simulation numérique pour étudier l’interaction de l’onde diffusée avec une

entaille. Les conditions numériques n’autorisent aucun flux d’énergie au travers de

l’entaille.

3.4. Simulation de la diffusion

3.4.1. Modèle et paramètres de simulation

Le mode d’interaction des ondes diffusées avec une fissure fermée est à ce jour encore

mal connu. Afin de mieux visualiser les interactions qui ont lieu au niveau des points de

contact entre lèvres de fissure, une simulation numérique a été réalisée conjointement

avec EDF R&D.



98

Le mode de calcul retenu est la méthode des différences finies en 2D, implémentée sous

Matlab. Le choix de cette méthode est principalement justifié par sa facilité de mise en

œuvre pour une simulation de diffusion en fonction du temps. Le choix du 2D est

motivé par la symétrie de nos éprouvettes ainsi que par le gain en temps de calcul.

Le béton, dans lequel l’onde diffuse se propage, possède des valeurs de dissipation et de

diffusivité fixes, La géométrie, la position des émetteurs et récepteurs ainsi que les

conditions aux limites du modèle sont fixées également afin de correspondre aux

conditions de l’expérience. Le maillage utilisé dans l’étude suivante est un maillage

rectangulaire, de résolution horizontale 2 mm et de résolution verticale 1mm. Le choix

des résolutions sur les deux axes est lié à un compromis entre la maximisation de la

résolution dans l’axe de la fissure, et une résolution plus faible pour l’axe

perpendiculaire à la fissure, permettant ainsi d’optimiser le temps de calcul.

La diffusion de l’énergie est initiée par le spectre en énergie d’un capteur de 500kHz,

obtenu expérimentalement. Pour ce faire, deux capteurs de 500kHz ont été placés en

vis-à-vis dans une cuve en eau. Un premier capteur génère une impulsion qui se propage

au second capteur. Le signal enregistré présenté sur la figure 64 est ensuite analysé afin

d’en déterminer le spectre en énergie qui est ensuite utilisé comme source.

Figure 64 : Signal temporel expérimental pour un capteur de 500kHz, de diamètre 1’’, utilisé comme source de propagation pour la simulation numérique

La simulation de la diffusion de l’onde est effectuée en implémentant directement

l’équation générale de la diffusion (2.19) dans la simulation.

-2 0 2 4 6 8

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

temps [µs]

Am

plit

ude



99

Afin d’optimiser les temps de calcul, seule une partie de la pièce de béton est modélisé

de dimensions 100x300 mm, autour de la fissure (Figure 65). Les conditions aux limites

du modèle sont donc choisies en conséquence : des conditions d’absorption aux

interfaces béton-béton (en vert sur la figure), des conditions de réflexion à l’interface

béton-air (indiquée en rouge).

Figure 65 : Section de béton modélisée de dimensions 10x30 cm. Une entaille (1cm) est placée à l’origine. Les deux transducteurs sont indiqués en blanc, de part et d’autre de la fissure (à +3 et -3 cm)

Ce modèle de simulation numérique permet la modification des paramètres de la fissure

comme sa hauteur ou sa géométrie. Elle permet également de créer des contacts partiels

le long de la fissure dont les conséquences sur le phénomène de diffusion sont

comparées aux résultats expérimentaux.

3.4.2. Fissure ouverte : validation du modèle numérique

La génération d’une fissure ouverte au sein du programme de modélisation est effectuée

en imposant des conditions de Dirichlet (réflexion totale) sur les flancs de la fissure.

Cette condition permet d’indiquer qu’aucun flux d’énergie ne peut être transmis au

travers de la fissure.

Les fissures ouvertes ainsi modélisées peuvent présenter différentes hauteurs dans la

simulation (Figure 66), afin de correspondre aux éprouvettes réelles auxquelles les

résultats numériques seront comparés.

x [cm]

y [c

m]

-15 -10 -5 0 5 10 15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Transducteurs

Entaille



100

Figure 66 : Deux exemples de fissure ouverte de hauteur 1 et 5cm

3.4.3. Fissure fermée

Une des caractéristiques de la fissure fermée est la présence, entre les lèvres de fissure,

de points de contact. Ces points particuliers permettent une transmission directe des

ondes diffusées au travers de la fissure. Afin de tenir compte de ces contacts, des

conditions de diffusion identiques à celles de la matrice sont placées le long de la

fissure. La figure 67 présente la morphologie de deux fissures numériques de hauteur

5cm, mais dont les nombres de points de contact diffèrent avec respectivement 2 et 8

contacts ponctuels.

Figure 67 : Implémentation de points de contacts entre les lèvres de fissure. 2 et 8 points de contacts pour une hauteur totale de fissure de 5 cm

x [cm]

y [c

m]

0

0

1

2

3

4

5

x [cm]y

[cm

]

0

0

1

2

3

4

5

x [cm]

y [c

m]

0

0

1

2

3

4

5

x [cm]

y [c

m]

0

0

1

2

3

4

5



101

3.5. Résultats numériques et validation expérimentale

3.5.1. Fissure ouverte

Notre étude numérique porte dans un premier temps sur l’impact de la hauteur d’une

fissure fermée sur la dynamique de diffusion de l’onde au sein du matériau. Nous

utilisons le modèle de fissure ouverte décrit précédemment pour une hauteur de fissure

croissante : de 0 à 6 cm. Les résultats numériques sont ensuite comparés aux résultats

expérimentaux obtenus précédemment afin de valider le modèle.

Dans un premier temps, l’énergie reçue par le capteur en réception est déterminée pour

chaque hauteur de fissure ouverte. Ces distributions d’énergie en fonction du temps sont

présentées sur la figure 68.

Cette simulation met en évidence une diminution globale de l’énergie en fonction de la

hauteur de ce type de fissure. Cette perte d’énergie au récepteur est due à la réflexion de

l’énergie ultrasonore à l’interface béton/air de l’entaille.

Figure 68 : Amplitude de l'énergie ultrasonore pour plusieurs entailles, assimilées à des fissures ouvertes, et de hauteur variable

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40

1

2

x 10-4

Temps [ms]

Am

plitu

de

ATME0 cm1 cm2 cm3 cm4 cm5 cm6 cm

Hauteur de l'entaille:



102

Sur la figure 68, il est également possible de constater une augmentation du temps

d’arrivée du maximum de l’énergie (ATME) en fonction de la hauteur d’une fissure

ouverte. Cette évolution est en accord avec le fait que, pour ce type de fissure, l’onde

diffusée ne peut pas se propager au travers de la fissure, rallongeant d’autant la distance

à parcourir d’un capteur à l’autre.

Afin de pouvoir comparer les résultats numériques avec ceux provenant de l’expérience,

les paramètres de diffusion, de diffusivité, ainsi que l’ATME (temps d’arrivée du

maximum de l’énergie) doivent être déterminés. Deux méthodes de détermination

différentes sont utilisées.

- Les résultats sont directement issus de la simulation numérique : les valeurs de

la diffusivité et de la dissipation sont constantes. Ce sont ces paramètres qui

conditionnent la diffusion de l’onde dans le modèle. La seule variable

dépendante de la géométrie de la fissure est l’ATME, qui est déterminée

directement d’après les courbes de distribution de l’énergie en fonction du

temps, obtenues par la simulation.

- Pour obtenir des paramètres comparables avec l’expérience, le traitement du

signal utilisé sur les signaux expérimentaux est également appliqué aux courbes

de diffusion générées par le modèle (figure 69). Lors de la partie expérimentale,

la distribution de l’énergie au cours du temps était lissée par la solution 2D de

l’équation de diffusion. Ce même lissage est appliqué aux résultats numériques.

Ce choix était alors motivé par le fait que dans le cas d’une mesure in situ, et en

particulier pour une fissure fermée, il est impossible de connaitre parfaitement la

géométrie de la fissure et donc de prédire les mécanismes de diffusion. De cette

façon, nous déterminons donc des paramètres apparents de la diffusion issus de

la simulation, comparables avec les résultats expérimentaux.

Il est possible de visualiser la validité de cette régression 2D pour un milieu simulé sans

entaille, présentée sur la figure 69 a), alors que ce type de régression est moins adapté

pour une géométrie présentant une entaille de cinq centimètres (Figure 69 b)).



103

Figure 69 : Logarithme de l'énergie en fonction du temps ainsi que la régression 2D associée pour une simulation : a) sans entaille, b) avec une entaille de 5 cm, afin de se replacer dans les conditions de

l’expérience.

Nous choisissons donc d’étudier l’influence de la hauteur d’une entaille sur ces

différents paramètres, déterminés par le biais des 3 méthodes décrites précédemment.

Les paramètres directement implémentés dans la simulation sont signalés par : e pour la

diffusivité, � pour la dissipation. L’ATME pour le Temps d’Arrivée du Maximum de

l’Énergie est directement issu de la simulation.

Les paramètres apparents déterminés par l’application de la solution 2D sont signalés

par un astérisque.

Ces paramètres issus de l’Expérience et ceux issus de la Simulation sont suivis des

indices E et S respectivement.

L’évolution des paramètres directement issus de l’équation de diffusion, la diffusivité

ainsi que la dissipation, en fonction de la hauteur de fissure ouverte est présentée sur les

figures 70 et 71. La théorie de la diffusion implique en principe que ces paramètres sont

directement liés aux propriétés du matériau, et non à sa géométrie. Par contre, en

appliquant une régression mathématique 2D aux résultats de simulation, il est possible

de retrouver des évolutions de ces deux paramètres comparables à ceux de l’expérience

lorsque l’on ne suppose aucune connaissance a priori de la géométrie de la fissure.

0 1 2 3 4 5 6

x 10-4

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

Temps [ms]

Am

plitu

de

: Lo

g (E

nerg

ie)

Simulation numériqueFit avec solution 2D

0 1 2 3 4 5 6

x 10-4

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

Temps [ms]

Am

plitu

de

: Lo

g (E

nerg

ie)

Simulation numériqueFit avec solution 2D

a) b)



104

Figure 70 : Evolution du paramètre de diffusivité D en fonction de la hauteur d'une fissure ouverte

Figure 71:Evolution du paramètre de dissipation � en fonction de la hauteur d'une fissure ouverte

0 1 2 3 4 5 68

10

12

14

16

18

20

22

24

Hauteur entaille [cm]

Diff

usiv

ité D

[m

².s-1

]

DE*

DS *

0 1 2 3 4 5 67

8

9

10

11

12

13

14

15


Dis

sipa

tion σ

[ 1

/(m

s)]

σE*

σS *



105

Les résultats numériques nous montrent également que l’évolution de ces paramètres

apparents, en fonction de la hauteur d’une fissure ouverte, se trouve dans le domaine

d’incertitude des valeurs expérimentales, excepté pour la valeur de dissipation obtenue

pour une entaille de 2cm.

L’évolution du Temps d’Arrivée du Maximum de l’Énergie (ATME) est également

étudiée et présentée sur la figure 72. La simulation numérique montre une relation

quasi-linéaire entre la hauteur d’une entaille et l’ATME. Les résultats expérimentaux

(ATMEE*) montraient également un tel type de relation, avec une pente moins

importante.

Figure 72 : Évolution du paramètre de l’ATME en fonction de la hauteur d'une fissure ouverte. L’ATME est directement issu de la simulation numérique, l’ATMEE* ainsi que l’ATMES*sont obtenus par

régression mathématique sur les signaux Expérimentaux et Simulées

L’évolution de ce temps obtenu par régression linéaire des données issues de la

simulation (ATMES*) montre une évolution qui est proche à celle des résultats

expérimentaux.

0 1 2 3 4 5 630

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140


AT

ME

[µ

s]

ATMEATME

E*

ATMES *



106

Il existe donc bien un lien entre la hauteur d’une fissure ouverte et l’ATME, mais ce

dernier est alors sous-estimé à mesure que l’entaille augmente dans le cas où nous

utilisons une résolution à partir de la solution 2D.

Les valeurs de l’ATME déterminées par l’utilisation de cette solution 2D sur la

simulation numérique présentent un meilleur accord avec les valeurs expérimentales.

Cette première étude valide donc ce principe de simulation et d’analyse de l’information

sur la base de l’utilisation de la solution 2D de l’équation de diffusion.

Ce modèle est donc ensuite utilisé afin d’étudier l’effet de zones de contacts partiels

entre les lèvres de fissure sur la diffusion de l’onde ultrasonore en tenant compte de la

variation en densité et en répartition de ces contacts sur l’axe de la fissure.

3.5.2. Fissure fermée : influence des points de contact

En présence d’une fissure fermée, il est possible de supposer que les contacts ponctuels

entre les lèvres de fissures jouent un rôle prépondérant dans la mécanique de diffusion

de l’énergie ultrasonore.

Afin de vérifier cette hypothèse, deux études distinctes de simulation numérique sont

réalisées. Dans un premier temps, nous étudions l’influence du nombre de points de

contact sur la diffusion. Enfin, nous étudions l’influence de la position d’un point de

contact le long de la fissure.

3.5.2.1. Densité des contacts

Afin d’évaluer les conséquences d’une variation de la densité de contacts sur les

propriétés de diffusion à travers une fissure fermée, nous simulons une fissure, de

hauteur totale 5 cm, comprenant de 1 à 24 points de contacts, mesurant 1mm de haut et

linéairement répartis le long de la fissure (Figure 73).



107

Figure 73 : Répartition linéaire de 16 points de contacts le long de la fissure

Les simulations et traitements de l’information sont réalisés en suivant les mêmes

procédures que celles décrites précédemment.

Les résultats de cette simulation mettent en évidence l’influence directe des points de

contact sur l’estimation de la hauteur d’une fissure par méthode de diffusion. Il apparaît

sur la figure 74 que les temps d’arrivée des maxima d’énergie diminuent à mesure que

la densité de points de contact augmente. Lorsque l’on considère l’ATME directement

issu de la simulation, nous constatons que les variations de temps sont importantes.

Pour une fissure numérique de 5 cm, l’ATME varie de plus de 70 microsecondes

suivant que la fissure possède de 1 à 24 points de contacts.

x [cm]

y [c

m]

0

0

1

2

3

4

5



108

Figure 74 : ATME en fonction du nombre de points de contact distribués linéairement sur une hauteur totale de fissure de 5 cm

Cette grande variation de l’ATME peut conduire à une mésestimation de la hauteur

réelle d’une fissure d’autant qu’il est très complexe d’avoir connaissance a priori de la

géométrie exacte de la fissure et de la distribution spatiale des points de contact.

L’ATME S* obtenue par régression mathématique 2D des données de la simulation

montre une variation moins importante en fonction du nombre de contacts et qui semble

décroître de façon « exponentielle ». Cependant, la présence d’un seul point de contact

induit une variation de l’ATMES* de 5 microsecondes, et peut entraîner une sous-

estimation de la hauteur d’une fissure fermée.

En revanche, au-delà d’un certain nombre de contacts entre les lèvres de fissure, les

valeurs absolues de l’ATMES* et de l’ATME se stabilisent. A partir d’environ 15 points

de contact dans le cadre de notre simulation, la densité des points de contact n’influe

plus sur la valeur mesurée de l’ATME.

Enfin, nous constatons que les valeurs d’ATME déterminées par ces deux méthodes

sont très différentes en présence de peu de contacts, mais se rejoignent pour des

0 5 10 15 20 2530

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

Nombre de points de contact

AT

ME

[µs]

ATME ATME

S *



109

nombres de contacts élevés. Ces évolutions montrent que l’utilisation d’une régression

mathématique suivant l’approximation 2D est applicable à la géométrie de fissure

fermée, à partir de douze contacts entre les lèvres de fissure dans notre étude.

3.5.2.2. Localisation spatiale des contacts

L’étude précédente nous a permis de mettre en évidence l’importance des points de

contacts concernant la propagation des ondes ultrasonores diffusées. Cette étude soulève

également un autre point d’importance : la localisation des points de contact le long de

la fissure. Une nouvelle étude est donc effectuée afin de mieux comprendre ce

phénomène. Un point de contact ponctuel, de hauteur égale à 1mm, est placé à

différentes positions le long d’une fissure de 5 centimètres (Figure 75).

Figure 75 : Position variable d'un point de contact unique le long d'une fissure de 5 cm

x [cm]

y [c

m]

0

0

1

2

3

4

5

x [cm]

y [c

m]

0

0

1

2

3

4

5



110

Figure 76 : Variation de l'ATME en fonction de la distance à la surface d'un point de contact ponctuel entre les lèvres de fissure.

Les résultats (Figure 76) montrent bien que la position des points de contact, et en

particulier leur distance à la surface influencent directement la propagation de l’onde

diffuse au travers d’une fissure. Plus le point de contact est éloigné de la surface, plus le

temps d’arrivée du maximum de l’énergie est grand. Cette observation, bien que

logique, nous permet surtout de quantifier ces délais en fonction de la position du

contact. On constate ainsi que, pour une fissure de hauteur égale, la différence de

position d’un point unique de contact engendre une variation de l’ATME de l’ordre de

10 µs.

Un autre point important est la comparaison entre le paramètre directement issu de la

simulation et celui obtenu par l’utilisation de la régression mathématique 2D. En effet,

nous constatons des variations similaires des deux types d’ATME, malgré un décalage

constant de 60 microsecondes entre les temps d’arrivée. Ceci montre que l’utilisation de

la régression 2D, bien qu’elle ne soit en théorie pas adaptée à la géométrie de la fissure,

permet de suivre l’évolution relative de la position d’un point de contact, à défaut de

pouvoir nous fournir une mesure absolue de l’ATME en fonction de la position d’un

point de contact.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5030

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

Distance entre un point de contact et la surface [mm]

AT

ME

[µ

s]

ATME ATME

S *



111

3.5.3. Simulation de la fissure fermée

Une dernière simulation est enfin réalisée afin de pouvoir retranscrire numériquement

les résultats de l’expérience sur les éprouvettes fissurés.

Dans un premier temps, l’entaille d’un centimètre présente au droit des fissures, au

niveau de la surface, est décrite dans le modèle. Nous considérons donc qu’au niveau de

cette zone, l’énergie ne peut traverser l’entaille.

Puis les différentes tailles de fissures sont représentées. Comme les éprouvettes de

l’étude expérimentale, nous plaçons donc à la suite de l’entaille des fissures de tailles

respectives : 1, 3 et 5,5 centimètres.

Cherchant à vérifier qualitativement l’influence de zones partiellement ouvertes le long

de la fissure, la description des points de contact au sein de chaque fissure est réalisée

(Figure 77) avec une densité de contacts constante. Nous supposons que les contacts

sont linéairement répartis le long de la fissure. En effet, au vu du procédé de fissuration

par flexion trois points des éprouvettes, il semble logique que la fissure se soit refermée

de façon identique le long de la fissure. Aucune donnée de fabrication ne nous permet

de supposer qu’il existe une zone particulière plus ouverte que le reste de la fissure.

Figure 77 : Simulation numérique des éprouvettes utilisées lors de l'expérience

Le Temps d’Arrivée du Maximum de l’Energie issu de la simulation (ATMES*) est

ensuite déterminé en effectuant une régression de l’énergie par la solution 2D de

x [cm]

y [c

m]

0

0

1

2

3

4

5

6

x [cm]

y [c

m]

0

0

1

2

3

4

5

6

x [cm]

y [c

m]

0

0

1

2

3

4

5

6

x [cm]

y [c

m]

0

0

1

2

3

4

5

6



112

l’équation de diffusion. Les résultats sont présentés en figure 78. Les résultats

expérimentaux sont également reportés sur cette même figure pour comparaison.

Figure 78 : Variation de l'ATME en fonction de la hauteur de fissure, comparaison aux résultats expérimentaux

Les résultats de la simulation numérique montrent dans un premier temps que les

évolutions des résultats simulés et expérimentaux sont du même ordre pour une

configuration de la fissure fermée où 6.5% de la hauteur totale de la fissure fermée sont

des points de contact, par lesquels l’onde diffusée peut transiter.

Les évolutions de l’ATME en fonction de la hauteur totale de l’entaille et de la fissure

ne sont cependant pas strictement les mêmes. Ainsi, il est possible de remarquer

qu’après une augmentation de l’ATME jusqu’à une hauteur de 4 cm pour les résultats

de simulation, celle-ci décroît ensuite pour une hauteur de 6.5 cm mais reste dans le

domaine d’incertitude des résultats expérimentaux. Cette évolution peut trouver son

origine dans la description du modèle, incluant la distribution des points de contact. De

plus, il faut également garder à l’esprit que cette simulation est réalisée dans un espace à

deux dimensions, infinies, ce qui n’est pas le cas de notre expérience.

0 1 2 3 4 5 6 70.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

hauteur totale : entaille +fissure

AT

ME

[n

orm

alis

ée

]

ATMEE *

ATMES *



113

3.5.4. Synthèse

La simulation du processus de diffusion au travers d’une fissure ouverte est effectuée et

validée.

Ce nouvel outil de simulation permet de mieux comprendre les interactions de l’onde

diffusée avec une entaille. Ainsi, le Temps d’Arrivée du Maximum de l’Énergie varie

linéairement avec la hauteur d’une entaille dans du béton lors de la simulation, ce que

confirment les résultats expérimentaux.

Dans le cas d’une fissure fermée, les résultats expérimentaux montrent une variation

plus faible de cette ATME, et rend difficile une discrimination fiable des différentes

hauteurs de fissures. Cette faible variation était alors supposée provenir de la présence

locale de points de contacts entre les lèvres de fissure.

Il est presque impossible, dans l’état actuel, de connaître exactement la morphologie de

ce type de fissure, ainsi donc que la distribution spatiale des contacts. Ce modèle réalisé

est donc une vision de la fissure à travers certaines hypothèses fortes : les points de

contact sont linéairement espacés le long de la fissure, et chaque contact est considéré

comme parfait. Cette simulation est donc plus assimilable à une projection sur un plan

de toutes les zones partiellement ouvertes.

La simulation numérique nous a permis de mettre en évidence ce processus, où une

partie de l’onde diffusée transite par l’intermédiaire de ces contacts et occasionnant des

variations de l’ATME plus faibles. Nous avons également pu mettre en évidence

l’influence de certains paramètres sur le régime de diffusion, comme la densité des

contacts, ou encore leur position le long de la fissure.

Enfin, la comparaison de la simulation numérique et de l’expérience avec des

éprouvettes fissurées montre que, lorsque l’on rajoute ces points de contact au sein de la

fissure, la variation de l’ATME devient alors comparable avec les résultats

expérimentaux. Les variations sont alors du même ordre de grandeur et montrent ainsi

que les contacts jouent un rôle prépondérant pour la diffusion en présence d’une fissure

fermée. Les résultats numériques diffèrent cependant quelque peu des résultats

expérimentaux, ce qui peut être attribué aux approximations et hypothèses qui ont été

faites lors de la modélisation de la fissure par rapport aux conditions exactes de



114

l’expérience. Ces conditions n’ont pu être exactement reproduites, ne connaissant pas

parfaitement la localisation et la densité de points de contact. De plus, la simulation est

réalisée en deux dimensions et ne tient donc pas compte d’éventuels effets de bord

présents lors de l’expérience comme les surfaces de l’éprouvette. Cette limitation

pourrait être levée par une extension 3D de la simulation.

3.6. Conclusion

Le potentiel de l’étude du champ ultrasonore diffus pour caractériser une fissure est

expérimentalement démontré et vérifié numériquement.

Les valeurs des paramètres de diffusion en présence d’une entaille sont en accord avec

la littérature, validant le protocole expérimental ainsi que le modèle numérique

développé pour l’étude des contacts partiels.

Cette étude montre qu’en présence de la partie supérieure ouverte d’une fissure,

assimilable à une entaille, le Temps d’Arrivée du Maximum de l’Énergie déterminé par

régression mathématique sur la base de la solution 2D de l’équation de diffusion varie

quasi-linéairement avec la hauteur de l’entaille.

Les paramètres de diffusion sont moins sensibles à la hauteur d’une macrofissure

fermée. Nous avons montré par le biais de la simulation numérique que les points de

contacts qui existent entre les lèvres de fissures jouent un rôle important dans

l’évolution de l’ATME. Ainsi, une grande partie de l’énergie se propage par ces

contacts, ce qui peut induire une sous-estimation importante de la hauteur d’une fissure

réelle.

Afin d’étudier les zones fermées, nous proposons par la suite d’induire au sein du

matériau des sollicitations de compression et de traction au niveau de la fissure afin de

faire évoluer dynamiquement ces contacts.

L’objectif est dans un premier temps de pouvoir se replacer dans le contexte d’une

fissure sans contact et ainsi accéder à l’information sur la hauteur de la fissure, mais

également, éventuellement, d’obtenir une signature propre à ces derniers, dépendante de

la hauteur totale de la fissure fermée. Cette nouvelle approche dynamique de la

diffusion fera donc l’objet du prochain chapitre.

Chapitre IV

Acoustique non linéaire et diffusion sous sollicitation dynamique

Chapitre 4. Acoustique non linéaire et diffusion sous sollicitation dynamique

117

Chapitre 4. Acoustique non lineaire et diffusion

sous sollicitation dynamique

4.1. Elasticité non linéaire

4.1.1. Non linéarité « classique »

L’élasticité linéaire est classiquement décrite dans les matériaux par la loi de Hooke, qui

traduit le fait que contraintes � et déformations � sont proportionnelles et liées par un

coefficient : le module élastique K. Cette équation constitue la base de l’acoustique

linéaire.

�� S�� ( 4.1 )

De nombreuses expérimentations statiques ou dynamiques à forte amplitude ont

cependant montré que le comportement élastique de la plupart des matériaux solides

n’était pas linéaire (Van Den Abeele et al. 2000; Guyer & P. A. Johnson 2009; Delsanto

2006). En acoustique, cette non linéarité se traduit par une modification de la vitesse des

ondes et par la génération d’harmoniques.

En première approche, il est possible de traduire cette non linéarité en supposant que le

module élastique dépend dorénavant de l’état de déformation. Le module élastique est

alors exprimé à l’ordre deux en déformation tel que:

S!�$ � S;!1 ��$ ( 4.2 )

Où � est un paramètre non linéaire quadratique, caractéristique de la non linéarité du

milieu.

La vitesse de propagation des ondes devient une fonction du paramètre non linéaire

classique �:

,!�$ � ,;!1 + ��$ ( 4.3 )

Sous contrainte statique, la vitesse de propagation des ondes est dépendante de sa

déformation : c’est l’acoustoélasticité.


118

Ainsi, il est possible d’accéder aux paramètres non linéaires par la relation:

∆,!�$,; � �∆� ( 4.4 )

Figure 79 : Déformation locale de l'onde acoustique se propageant dans un matériau non linéaire (P. N. J. Rasolofosaon et al. 1997)

La figure 79 représente la déformation locale au sein d’un matériau non linéaire dans le

cas de faible amplitude (en gras) ainsi que pour une forte amplitude de l’onde

(pointillés).

Lorsque l’amplitude de l’onde est faible, la non linéarité s’exprime peu. L’onde se

propage sans se déformer, ce qui permet de trouver en sortie du système une onde

totalement similaire à celle qui y a été introduite (fréquence, amplitude et longueur

d’onde identiques).

Si l’amplitude de l’onde est importante, la non linéarité du matériau est mise en œuvre.

Le module élastique étant alors fonction de la déformation du matériau, la vitesse varie

donc en fonction de l’amplitude. Dans les zones en compression, et suivant le signe de

béta, la vitesse augmente. Dans les zones en traction, elle diminue. Les ondes se

propageant dans les zones en compression rattrapent celles des zones en traction, créant

une distorsion de l’onde. Lorsque les secondes rattrapent les premières, l’unicité de la

solution est perdue et l’on atteint la génération d’ondes de choc.


119

L’acoustique non linéaire présente un fort potentiel dans le cadre de la caractérisation

non destructive des matériaux. Elle est en mesure d’apporter des informations,

complémentaires de celles obtenues par acoustique linéaire.

Différentes valeurs du coefficient β ont pu être déterminées par les auteurs afin de

caractériser les matériaux et sont présentées tableau 10 :

Grès (Johnson et al. 1996) β=-9600 Granite (Johnson et al. 1996) β=-441 Béton (1) (Payan et al. 2009) β=-157 Béton (2) (Shkolnik 2005) β=-139 Silice (Coulouvrat 2010) β= -3.75

Air (Hamilton & Blackstock 1997) β=1.2 Titane (Coulouvrat 2010) β= 2.5

Eau distillée à 20°C (Hamilton & Blackstock 1997) β=3.5 Duralumine (Coulouvrat 2010) β= 5.5

Os trabéculaire (Renaud et al. 2008) β= 440 Céramique (Johnson et al. 1996)

β= 24 000 Tableau 10 : Paramètre non linéaire quadratique pour différents types de matériaux

Les valeurs de β présentent une grande disparité de signe et de valeur absolue. Plus la

valeur absolue de β est élevée, plus la non linéarité est importante.

De nombreux auteurs ont également étudié l’évolution de la non linéarité dans les

matériaux en fonction de l’endommagement. Zumpano et al. (Zumpano & Meo 2008)

étudient l’évolution de paramètres non linéaires afin de détecter des endommagements

sur des pièces composites. Nagy (Nagy 1998) étudie l’évolution non linéaire face à un

endommagement progressif par fatigue pour de nombreux matériaux, tels que des

plastiques, métaux, composites ou adhésifs.

4.1.2. Non linéarité « non classique »

La non linéarité hystérétique, ou encore nommée non linéarité non classique fut

introduite dans les années 90 par certains auteurs, dont notamment Guyer et Johnson

(Guyer et al. 1999; Guyer & Johnson 1999) à la suite d’observations dans les roches que

la non linéarité classique ne suffit plus alors à décrire. En particulier, ils montrent qu’il

existe une relation entre contrainte et déformation particulière au sein de roches dont le

grès et observent qu’en fonction de l’histoire du chargement appliqué à ces roches, des

hystérésis se forment. En 1999, Guyer et Johnson définissent donc une nouvelle classe

de matériaux : Le NME pour Non linear Mesoscopic Elasticity dont font partie les


120

roches, les bétons, ainsi que tous les matériaux présentant des points de contact

distribués à l’échelle mésoscopique, tel qu’une fissure.

La non linéarité non classique est avant tout une description phénoménologique des

phénomènes d’hystérésis que l’approche par développement du modèle classique ne

pouvait pas représenter. Elle est décrite par la relation (Van Den Abeele et al. 2001) :

S��!�$, �!�$� " � S;�1 ��!�$ N!∆� � �!�$

∗ ��!�!�$� $" ( 4.5 )

Le paramètre non linéaire non classique , permet de rendre compte des phénomènes

d’hystérésis observés dans les matériaux hétérogènes.

Les effets non linéaires contenus dans la relation contrainte/déformation sont mis en

évidence en soumettant l’éprouvette à un protocole de chargement quasi-statique et en

étudiant sa réponse en déformation (Figure 80).

Figure 80 : Réponse non linéaire (b)) d'un cylindre de grès soumis à un protocole de chargement quasi-statique (a)). C) Mémoire discrète (Ostrovsky & P. A. Johnson 2001)

La figure 80 présente les résultats expérimentaux du grès et illustre la dépendance entre

contrainte et déformation pour un matériau non linéaire. Les caractéristiques principales

sont :


121

- Une non linéarité de la relation contrainte-déformation : dans le cadre des

faibles déformations, la linéarité entre contrainte et déformation pour les

matériaux élastiques n’est plus observée ( Figure 80b)

- Le phénomène d’hystérésis : pour une même contrainte appliquée, la valeur de

déformation dépend de l’historique du chargement. Elle diffère donc suivant que

l’on charge ou décharge le matériau.

- La mémoire discrète : ce phénomène est illustré figure 80 c). Si un cycle de

chargement intermédiaire est effectué pendant le cycle principal (Figure 80a)),

la réponse en déformation présente des boucles d’hystérésis internes à la boucle

principale. Ce phénomène reflète la mémoire du précédent maximum de

déformation vu par le matériau.

La non linéarité présente également quelques caractéristiques particulières lorsqu’un

matériau est sollicité de façon dynamique avec une forte amplitude de déformation. Aux

trois phénomènes décrits précédemment et observables sous sollicitation quasi-statique,

viennent s’ajouter trois autres phénomènes : la dynamique rapide, la dynamique lente et

le conditionnement (Delsanto 2006).

- La dynamique rapide : Lorsqu’un échantillon est soumis à une onde de forte

amplitude, ses propriétés élastiques diminuent jusqu’à atteindre un nouvel état

hors équilibre.

- La dynamique lente : Lorsque le matériau n’est plus soumis à ces sollicitations,

le processus s’inverse. La dynamique lente correspond alors au temps de

relaxation nécessaire pour que le matériau recouvre ses propriétés initiales

(Johnson et al. 1996). Cette relaxation suit un processus logarithmique. Il

dépend du taux de conditionnement, ainsi que de la nature du matériau considéré

(Figure 81). Ainsi Johnson & al. (Johnson & Sutin 2005) montrent qu’il est de

l’ordre de 103 secondes.

- Le conditionnement : Le mélange apparent des dynamiques rapide et lente est

connu sous le nom de conditionnement.


122

Figure 81 : Conditionnement et dynamique lente (Johnson et al. Poster)

4.1.3. Origines de la non linéarité

Il a été suggéré (Guyer et al. 1999; Guyer & Johnson 1999; Ostrovsky & P. A. Johnson

2001) que les matériaux présentant une réponse non linéaire hystérétique forment une

nouvelle classe de matériaux, la classe d’élasticité non linéaire mésoscopique. Cette

classe, très riche, comprend les matériaux granulaires, les roches, le béton, ou encore les

céramiques (Johnson & Rasolofosaon 1996; Zimenkov & Nazarov 1993; Van Den

Abeele & De Visscher 2000).

Selon ces mêmes auteurs, le comportement non linéaire non classique n’est pas le

résultat d’effets microscopiques (à l’origine des comportements non linéaires

classiques), mais mésoscopiques. Ainsi la source principale de cette forme de non

linéarité se trouve au niveau des joints de grains ou des microfissures. Les contacts entre

ces grains constituent alors une gamme d’éléments élastiques qui contrôlent le

comportement des matériaux lorsque ceux-ci sont soumis à une sollicitation suffisante

pour activer les non linéarités. Cette sollicitation doit induire une déformation de l’ordre

de 10-7 afin d’activer les non linéarités du système (TenCate et al. 2000). La figure 82

présente l’évolution de la fréquence de résonnance d’une roche en fonction de la

déformation. Le décalage de la résonance est caractéristique de la non linéarité.


123

Figure 82 : Décalage de la fréquence de résonance en fonction de la déformation (TenCate et al. 2000)

Les phénomènes non linéaires observés, tels que l’hystérésis, la mémoire discrète ou

encore la dynamique lente pourraient provenir de différents processus (Figure 83):

rupture et recouvrement des propriétés cohésives des joints (stick-slip), contacts

rugueux entre les grains, ouverture et fermeture de fissures (clapping).

Figure 83 : Contacts entre grain, générateurs de non linéarité (Ostrovsky & P. A. Johnson 2001)

Un autre élément important est la présence dans ces matériaux de fissures (micro ou

macro). Il a été montré expérimentalement que la présence de fissure augmentait

considérablement la non linéarité du matériau. Les exemples sont nombreux, mais nous

retiendrons dans le cas du béton les travaux concernant la microfissuration dans le cas

d’éprouvettes endommagées thermiquement (Payan et al. 2010) ainsi que ceux sur la

macro-fissuration (Zardan et al. 2010; Donskoy et al. 2001; Van Den Abeele & De

Visscher 2000; Antonaci et al. 2010)


124

Des contacts totalement clos génèrent une impédance acoustique linéaire continue à

travers un contact fermé, supprimant une éventuelle réflexion sur l’inhomogénéité.

Cependant, une sollicitation mécanique de forte amplitude génère des mouvements

d’ouverture et de fermeture de la fissure. De plus la rugosité des surfaces en contact crée

les conditions propices au développement d’un modèle de contact Hertzien et une

concentration des contraintes mécaniques. Le comportement à l’interface devient alors

non linéaire de par la Non linéarité Acoustique de Contact (CAN) (Solodov 1998).

Le niveau de saturation en eau est également à prendre en compte. Van Den Abeele et

al (Van Den Abeele et al. 2002) étudient ainsi l’évolution du module élastique et du

paramètre non linéaire non classique α en fonction du taux de saturation de roches

(Figure 84).

Figure 84 : Evolution du paramètre non linéaire non classique alpha en fonction de la saturation en eau pour les roches meule et berea (K. E. A. Van Den Abeele et al. 2002)

Il en résulte que les réponses linéaires et non linéaires sont extrêmement sensibles à la

saturation en eau, en particulier pour des taux compris entre dix et vingt pour cent. Ce

phénomène trouverait son origine au sein des forces misent en jeu au niveau

microscopique comme les forces de tension ou de capillarité (Figure 85).


125

Figure 85 : Forces capillaires mises en jeu dans la génération de non linéarité (Van Den Abeele et al. 2002)

D’un point de vue microscopique, pour de faibles saturations, l’interaction fluide-solide

engendre une précontrainte du solide. A mesure que la saturation augmente, les forces

de contraction microscopiques diminuent, entraînant une expansion de la matrice solide.

Grâce à cette expansion, la mobilité microscopique et mésoscopique augmente avec la

saturation, la rigidité diminue et l’amortissement augmente. Dans le même temps, le

nombre de micro-inhomogénéités non linéaires et/ ou hystérétiques ainsi que leur

capacité à changer d’état augmente. Par conséquent, une augmentation des effets non

linéaires élastiques est attendue pour une saturation faible (<10-20%). Pour un niveau

de saturation plus élevé, les effets des micros contraintes chutent. Les pores remplis

d’eau vont voir l’apparition de ménisques qui vont rigidifier le système et diminuer la

non linéarité.

4.1.4. Méthodes de mesures de la non linéarité

4.1.4.1. Générations d’harmoniques

Lorsqu’un matériau non linéaire est excité par une onde monochromatique de fréquence

D, la non linéarité se traduit par une génération d’harmoniques d’ordre i, dont

l’amplitude (!�D$ est proportionnelle à celle de la fondamentale au coefficient non

linéaire quadratique près.

Ainsi, si l’on considère la non linéarité quadratique, la réponse non linéaire associée à

un signal d’entrée S est de l’ordre de S².


126

Pour une onde monochromatique de type :

m!�$ � (��!D�$ ( 4.6 )

La réponse non linéaire associée sera de l’ordre de S², soit :

m !�$ � ( �� !D�$ � (

2 !1 cos!2D�$$ ( 4.7 )

Il apparaît alors un terme indépendant du temps, un second terme de pulsation qui est le

double de celui injecté dans le système.

Figure 86 : Spectre fréquentiel d'une onde se propageant dans un milieu à la non linéarité quadratique

L’analyse de ce spectre fréquentiel (Figure 86) permet d’obtenir une information

relative au paramètre non linéaire quadratique β du matériau. Ce paramètre est en effet

proportionnel au rapport de l’amplitude de la seconde harmonique sur le carré de

l’amplitude du fondamental.

Afin de déterminer β, il est nécessaire d’effectuer plusieurs mesures en faisant varier

l’amplitude du fondamental. Pour chaque amplitude A1 du fondamental, on relève la

valeur de l’amplitude A2 de l’harmonique. Le paramètre non linéaire est enfin décrit par

Abeele & al. comme étant proportionnel à la pente de la droite :

( � �(q² ( 4.8 )

4.1.4.2. Nonlinear Wave Modulation Spectroscopy (NWMS)

La modulation d’ondes (NWMS pour Nonlinear wave modulation spectroscopy) est

basée sur l’application d’une onde ultrasonore au sein de la pièce à inspecter, modulée

par une vibration basse fréquence. La non linéarité intrinsèque au matériau, ainsi que


127

celle générée par un endommagement local (fissure) ou global (endommagement

chimique) est alors visible dans le domaine fréquentiel. Elle se traduit par l’apparition

de bandes latérales dans le spectre.

En théorie linéaire, il est possible d’appliquer le principe de superposition. Dans un tel

cas, la réponse globale à plusieurs sollicitations serait égale à la somme des réponses

individuelles prises séparément. Ce principe suppose, dans le cas de la propagation des

ondes, qu’une onde ne serait pas affectée par sa voisine et se propagerait dans le milieu

comme elle le ferait si elle était seule. En revanche, et pour de fortes amplitudes, la

propagation d’une onde acoustique entraîne une modification locale du matériau non

linéaire. Cette modification n’est que temporaire, mais suffit pour qu’une seconde onde

se propageant au même endroit sonde un milieu différent de celui dans lequel elle se

serait effectivement propagée sans le passage de cette première onde.

Supposons deux sources d’amplitudes et de pulsations différentes dans ce milieu :

mq!�$ � (q cos!Dq�$%�m !�$ � ( cos!D �$ ( 4.9 )

Chacune de ces ondes vont générer leurs propres harmoniques. De plus, l’interaction

non linéaire de ces deux ondes crée deux nouvelles composantes fréquentielles : l’une

est proportionnelle à la somme des pulsations des ondes sources, la seconde à leur

différence. Ces deux ondes sont nommées bandes latérales (Figure 87).

Figure 87 : Spectre fréquentiel de l’interaction de deux ondes se propageant dans un milieu à la non linéarité quadratique


128

Cette interaction fréquentielle permet également d’extraire une information sur le

paramètre β, qui est alors proportionnel à l’amplitude des bandes latérales sur le produit

des amplitudes des deux ondes originellement injectées dans le système.

� ∝ S; ( ±q(q( ( 4.10 )

La méthode a été adaptée par Abeele et al. (Van Den Abeele & De Visscher 2000) au

paramètre non linéaire hystérétique. Nous avons dans ce cas une expression du

paramètre non linéaire hystérétique s’appuyant sur une description énergétique de la

transformée de Fourrier. Le paramètre non linéaire hystérétique est proportionnel au

rapport des énergies des bandes latérales de hautes fréquences avec l’énergie des basses

fréquences :

N ∝ S; 6 ±q6q6 ( 4.11 )

4.1.4.1. Nonlinear Resonant Ultrasound Spectroscopy (NRUS)

La spectroscopie ultrasonore par résonance non linéaire (NRUS, Nonlinear Resonant

Ultrasound Spectroscopie) est une méthode de caractérisation par mesure du décalage

de la fréquence de résonance d’un matériau et de son atténuation en fonction de

l’amplitude d’excitation (Muller et al. 2005; Muller et al. 2006; P. A. Johnson 2006;

Johnson et al. 1996; Johnson et al. n.d.; Johnson & Sutin 2004; Windelsa & Van Den

Abeele n.d.).

Un exemple de montage expérimental communément utilisé pour cette méthode est

présenté figure 88. L’échantillon est excité par une source. Celle-ci délivre une onde

sinusoïdale qui effectue un balayage fréquentiel autour de la fréquence de résonance du

matériau. L’accélération du matériau est mesurée par un accéléromètre afin de

déterminer le déplacement du matériau en fonction de la fréquence. Ce processus est

réitéré plusieurs fois en augmentant l’amplitude d’excitation.


129

Figure 88 : Montage NRUS classique et courbe de résonance (P. A. Johnson et al. 2004)

Dans un matériau linéaire, la fréquence de résonance du premier mode serait toujours

identique, indépendamment de l’amplitude d’excitation. Pour un matériau non linéaire,

il est possible d’observer une asymétrie croissante du pic de résonance à mesure que

l’amplitude d’excitation augmente ainsi qu’un décalage de la résonance vers des

fréquences plus faibles.

La détermination du coefficient non linéaire hystérétique α est alors possible grâce à la

relation ( 4.12 ):

F; FF; � N∆� ( 4.12 )

Où F est la fréquence de résonance, ∆� la variation d’amplitude de la déformation et F;

est la fréquence de résonance linéaire, obtenue pour de très faibles amplitudes de

déformation.

Les courbes de résonances obtenues pour une roche de Fontainebleau et présentées

figure 89 permettent de mettre en évidence ce décalage fréquentiel de la résonance.

Elles mettent également en évidence la différence de comportement fréquentiel selon le

fait que l’excitation soit faite dans le sens des fréquences croissantes, ou décroissantes :

cette différence d’amplitude est caractéristique des matériaux non linéaires non

classiques, elle met en évidence le caractère hystérétique du matériau.


130

Figure 89 : Accélération en fonction de la fréquence pour 9 niveaux d'excitation d’un échantillon de roche de Fontainebleau. Le domaine fréquentiel des signaux correspondant à deux niveaux d’excitation sont

également présentés (Johnson & Rasolofosaon 1996)

4.1.4.2. La dynamique lente: Slow dynamic diagnostic (SDD)

Pour observer le phénomène de dynamique lente, une méthode consiste à analyser le

comportement du pic de résonance avant et après une forte sollicitation selon la

méthode RUS. Après avoir déterminé le pic de résonance pour une très faible amplitude

(dans le domaine linéaire), le matériau est soumis à une forte sollicitation afin de le

conditionner. Immédiatement après le conditionnement, le balayage NRUS est de

nouveau effectué autour de la résonance pour une amplitude de déformation très faible

(~10>� selon Johnson et al. (P. A. Johnson 2006)) afin de sonder le matériau. La

mesure est répétée pour une même amplitude jusqu’au retour de la résonance à sa

fréquence initiale.


131

Figure 90 : Mesure de la dynamique lente pour l'acier (P. A. Johnson 2006)

Un exemple de mesure SDD pour l’acier est présenté figure 90. L’acier intact ne montre

aucune variation de la fréquence de résonance. L’acier endommagé présente une

variation initiale de la fréquence de résonance induite par le conditionnement de

l’échantillon ainsi que le retour progressif à ses propriétés initiales. L’auteur montre que

dans le cas de cet acier endommagé, l’échantillon nécessite près d’une heure pour

recouvrer ses propriétés.

La figure 91 illustre les comportements en dynamique lente pour les roches, ainsi que

pour deux échantillons de béton, l’un endommagé alors que l’autre ne l’est pas.

Figure 91 : Illustration de la dynamique lente pour différentes classes de matériaux, dont le béton (TenCate et al. 2000)


132

4.1.4.3. Time Reversal Acoustics (TRA)

Le retournement temporel est basé sur la réciprocité temporelle et spatiale de la

propagation d’onde acoustique. Cette onde est propagée entre deux capteurs au travers

d’un matériau. Le signal reçu est ensuite retourné temporellement et réémis sans

modifier la position des capteurs. L’onde acoustique se refocalise alors temporellement

et le maximum d’énergie acoustique se concentre au niveau du second capteur.

Une méthode particulière de retournement temporel, le TR NEWS (Time Reversal et

Nonlinear Elastic Wave Spectroscopy) est à l’étude (SUTIN 2004, Sutin et Johnson

2004) pour parvenir à la localisation spatiale de fissure dans les matériaux linéaires

(Ulrich 2004). Cette méthode exploite conjointement les propriétés du retournement

temporel et des propriétés non linéaires des fissures.

Une impulsion ultrasonore est transmise au milieu par l’émetteur. L’onde ultrasonore se

propage alors jusqu’au récepteur. Le signal acoustique reçu est enregistré, retourné

temporellement, puis réémis dans le matériau. L’onde acoustique (TR) qui en résulte se

propage donc dans le matériau et se refocalise sur la source selon le principe du

retournement temporel.

La particularité du TR NEWS tient du fait que le signal TR reçu est filtré en fréquence

avant d’être retourné afin d’analyser uniquement la réponse non linéaire du matériau

pour chacune de ses harmoniques.

Plusieurs résultats montrent la faisabilité de cette méthode en laboratoire pour la

caractérisation de fissure dans des matériaux linéaires, comme un bloc de verre (Ulrich

et al. 2006), ou dans l’acier (Ulrich et al. 2007), présenté figure 92.

Figure 92 : Contributions non linéaires le long d'une fissure (Ulrich et al. 2007)


133

Cette méthode présente en particulier l’avantage de pouvoir refocaliser, et donc de

concentrer l’énergie acoustique dans une zone précise du matériau. Dans l’objectif de

caractériser une fissure dans du béton, cette énergie peut alors s’avérer suffisante pour

activer les non linéarités.

4.1.4.4. Dynamic Acousto-Elastic Testing (DAET)

La méthode DAET, ou Dynamic acousto-elastic testing, est développée par G. Renaud

(Renaud et al. 2008; Renaud et al. 2011; Renaud et al. 2012). Elle consiste en une

détermination des paramètres non linéaires sous sollicitation dynamique.

Le principe est le suivant : Une onde pompe, de forte amplitude et de basse fréquence

est injectée dans le système. Cette onde est injectée sur plusieurs périodes afin de créer

au sein de l’éprouvette des mouvements de traction et de compression qui vont

engendrer une activation des non linéarités au niveau du béton et de la fissure.

Ensuite, une onde de plus haute fréquence et de faible amplitude est transmise au sein

de la zone à caractériser afin de « sonder » le béton. Dans la pratique, ce n’est pas une

impulsion qui est simplement transmise, mais une succession d’impulsions, avec une

fréquence de récurrence choisie afin de pouvoir sonder la pièce pour différents niveaux

de déformation.

Figure 93 : Illustration de l'effet acousto-élastique. Les phases de compression et de traction induites par la basse fréquence modifie le temps de propagation des ondes hautes fréquence ainsi que l'énergie

transmise et reflètent ainsi la non linéarité du milieu (Renaud 2008)


134

En fonction de la phase de compression ou de traction dans lequel se trouve le matériau

de par l’action de l’onde pompe, le temps de vol des impulsions ultrasonores va évoluer.

Ainsi, en phase de compression, la cohésion entre les inhomogénéités du béton est

accrue, induisant une diminution du temps de vol. Au contraire, en phase de traction, le

temps de vol des ondes ultrasonores augmente.

Considérons un milieu dont les dimensions sont très grandes devant la longueur d’onde

des ultrasons et avec L la distance entre les deux capteurs. Il existe une relation entre la

variation de temps de vol et la déformation :

�� ¡ � ¢2,; ~�� + N(∆� + ��(�)� )� ( 4.13 )

Dans le cadre de cette relation prenant en compte la non linéarité non classique, la

variation du temps de vol ne dépend plus uniquement de la déformation, mais

également du signe de la vitesse de déformation.

La variation de temps de vol est utilisée par Renaud (Renaud 2008) pour caractériser la

présence de fissures dans du pyrex (Figure 94). Cette figure montre une évolution du

comportement de l’onde ultrasonore en présence ou non de fissures dans le matériau.

Figure 94 : TOFM en fonction de la pression pour un pyrex non fissuré, et fissuré (Renaud 2008)

En utilisant cette méthode, La Roca et al. (La Rocca et al. 2010) déterminent le

paramètre non linéaire quadratique d’un joint de colle (Figure 95) comme étant la pente

moyenne de la relation entre la variation de vitesse et la contrainte.


135

Figure 95 : Évolution de la vitesse de propagation des ondes en fonction des contraintes dans un joint de colle (La Rocca et al. 2010)

4.1.5. Acoustique non linéaire pour le CND du béton

4.1.5.1. Porosité

La porosité et le réseau de microfissures sont une source de non linéarité,

indépendamment de tout autre endommagement. Cette non linéarité est mise en

évidence par Payan et al. (Payan et al. 2010) qui étudient son évolution en fonction du

ratio eau/ciment de cinq éprouvettes de béton pour un taux de saturation de 0 et 100%.

Ce ratio E/C est directement lié à la porosité du matériau, dans le sens ou son

augmentation génère une augmentation du nombre de pores (Gagné & Aïtcin 1993). Les

auteurs effectuent une analyse NWMS de la réponse acoustique des bétons. Ils montrent

ainsi que la non linéarité évolue très peu pour des bétons secs dont le ratio E/C est

compris entre 0.3 et 0.65 mais diminue de près de 30% pour un ratio de 0.8.

Figure 96 : Paramètre non linéaire en fonction du ratio eau/ciment, pour deux états de saturation: sec et saturé (Payan et al. 2010)


136

Selon les auteurs, la porosité n’a donc que peu d’incidence sur la réponse non linéaire

du béton pour des taux de vide compris entre 12,5 et 16%.

4.1.5.2. Alcali Silica Réaction (ASR)

L’Alcali réaction du béton engendre une modification de la non linéarité mesurée du

béton. Cette évolution est mesurée par Leśnicki et al. (Leśnicki et al. 2011) qui

constatent un décalage de la fréquence de résonance de l’éprouvette de béton entre le

moment ou l’éprouvette est saine, et lorsqu’elle est endommagée (Figure 97).

Figure 97 : Décalage de la fréquence de résonance pour des éprouvettes de béton endommagées par ASR (Leśnicki et al. 2011)

La non linéarité globale induite par la microfissuration et les délaminages induits par la

réaction alcali-silice dans le béton sont également confirmés par Chen et al (X. J. Chen

et al. 2008). Les auteurs privilégient une mesure par NWMS selon la méthode introduite

par Abeele (Van Den Abeele et al. 2001) et présentée en chapitre 4.1.4.2. La figure 98

montre en effet l’évolution de la non linéarité de quatre échantillons de béton en

fonction du degré d’endommagement par ASR. Sur cette figure, deux groupes

d’éprouvettes se distinguent : T et S. Ces deux groupes sont constitués d’éprouvettes de

béton de formulation identique, mais dont l’âge avant leur exposition à un

environnement propice au développement de l’ASR diffère. Ces résultats mettent en

évidence une variabilité de la réponse non linéaire du béton à l’ASR en fonction de

l’histoire du matériau.


137

Figure 98 : Évolution du paramètre non linéaire mesuré par NWMS en fonction de l’expansion de la réaction alcali- silice (X. J. Chen et al. 2008)

Enfin, Kodjo et al. (Kodjo et al. 2011) s’intéressent plus particulièrement à l’impact de

l’ASR sur la dynamique lente de bétons. Certains bétons étudiés présentent un

endommagement par ASR, alors que les seconds sont fissurés. Ils mettent ainsi en

évidence le recouvrement des propriétés initiales des bétons, qui est réalisé suivant une

loi logarithmique (Figure 99). Ils montrent également que si le temps de recouvrement

est identique pour les deux types d’endommagement, l’ASR entraîne une chute plus

importante des propriétés mécaniques globales du béton que la présence d’une fissure.

La vitesse de recouvrement est donc également plus importante, ce qui permet de

discriminer les deux types d’endommagement.

Figure 99 : Evolution en dynamique lente de bétons atteint d’ASR ou comportant des fissures (Kodjo et al. 2011)

4.1.5.3. Carbonatation

La méthode NRUS est utilisée par Bouchaala & al. (Bouchaala et al. 2011) pour

caractériser la carbonatation de pièces de béton. Les auteurs montrent une diminution de

la non linéarité des échantillons carbonatés dont ils attribuent l’origine à la


138

carbonatation du gel de C-S-H, qui « raidirait » la structure, ou à la présence de CaCO3

engendré par la réaction. Leur présence diminuerait les contacts entre les grains et lèvres

de microfissures, considérés comme prépondérant dans la réponse non linéaire.

Dans le cadre de cette thèse, nous avons également pu observer expérimentalement

cette diminution du paramètre non linéaire induite par la carbonatation de pièces de

béton. Pour cette mesure, nous avons utilisé des éprouvettes de béton cylindriques de

hauteur 11cm et de diamètre 5,5cm. L’un des échantillons a ensuite séjourné deux jours

dans une chambre CO2 sous pression afin de s’assurer d’une carbonatation maximale du

béton. Enfin, les deux échantillons ont été soumis à une mesure NRUS afin de mettre en

évidence la variation du paramètre non linéaire induit par la carbonatation et dont les

résultats sont présentés figure 100.

Figure 100 : NRUS sur éprouvettes saine et carbonatée, mesures expérimentales réalisées au LANL

4.1.5.4. Endommagement thermique

Payan & al. (Payan et al. 2007) montrent la grande sensibilité de la méthode NRUS

pour la caractérisation de l’endommagement thermique incluant l’analyse du

comportement non linéaire par l’utilisation des modes P et S. Les résultats obtenus alors

et présentés en figure 101 mettent en évidence une sensibilité décuplée de la

caractérisation non linéaire, comparativement à une méthode de mesure de vitesse dans

le domaine linéaire.


139

Figure 101 : Évolution relative du paramètre non linéaire (traits) et de la variation relative de vitesse (points) en fonction de la température d’exposition (Payan et al. 2007)

4.2. Caractérisation de la fissuration par acoustique non linéaire

4.2.1. Matériaux homogènes

Les indicateurs non linéaires montrent une grande sensibilité à la présence de fissure en

milieu linéaire. Abeele et al. (Van Den Abeele et al. 2001) montrent ainsi que le

paramètre non linéaire possède une sensibilité à l’endommagement par fatigue dans le

métal presque 1000 fois supérieure aux paramètres linéaires classiques (Figure 102).

Figure 102 : Evolution des paramètres linéaires et non linéaires du métal lors d’essais en fatigue

(Van Den Abeele et al. 2001)

La méthode NRUS a été largement exploitée dans le cas du suivi de l’endommagement

par fatigue des matériaux métalliques tels l’aluminium, l’acier ou le titane. Les

différents auteurs mettent systématiquement en évidence une augmentation du

paramètre non linéaire � en fonction de l’augmentation des cycles de fatigue (Cantrell


140

& Yost 2001; Hurley et al. 1998; Morris et al. 1979; Cantrell & Yost 1994; Frouin et al.

1999; Palit Sagar et al. 2006). Cette méthode mesure la non linéarité globale du

système. Elle permet une détection de l’endommagement, mais ne permet pas sa

localisation précise. De plus, le NRUS ne peut permettre une discrimination entre

différents types d’endommagement, dont l’endommagement par macrofissuration.

D’autres auteurs, comme Donskoy & al. (Donskoy et al. 2001) utilisent les propriétés

non linéaires d’interaction de deux ondes monochromatiques au sein du matériau à

contrôler.

La méthode NWMS, utilisée afin de caractériser la hauteur d’une fissure dans l’acier

par Donskoy & al. (Donskoy et al. 2001) montre que le paramètre non linéaire ainsi

déterminé est proportionnel à la hauteur de fissure pour une dimension de fissure

inférieure à 50% de l’épaisseur totale de la barre d’acier. Les auteurs supposent que la

non linéarité observée pour des hauteurs de fissure plus importantes est liée à une

ouverture partielle de la fissure lorsqu’elle est sollicitée.

Figure 103 : Paramètre non linéaire en fonction de la hauteur d'une fissure dans l'acier (Donskoy et al. 2001)

La localisation spatiale d’une fissure dans l’acier est néanmoins réalisée par Kazakov et

al (Kazakov 2006). Les auteurs, par modulation d’ondes (NWMS) effectuent l’imagerie

acoustique d’une pièce d’acier présentant une fissure, ainsi que celle d’un trou placé

devant celle-ci. Le montage expérimental utilisé est présenté figure 104. Le trou,

diffuseur linéaire, est placé entre la fissure et le capteur ultrasonore. Cette configuration

a pour effet de masquer la fissure, donc la non linéarité dans les signaux analysés. En

effet, les résultats présentés figure 104d) montrent que la mesure de vitesse des ondes


141

ultrasonores permet une localisation du trou, mais que l’amplitude des ondes réfléchies

par la fissure est très faible et que la localisation de la fissure manque de résolution. Au

contraire, la mesure de la non linéarité présente permet de minimiser les effets induits

par le trou, qui possède une réponse essentiellement linéaire, et met en évidence le

caractère non linéaire de la fissure comme présenté figure 104c).

Figure 104 : Imagerie non linéaire de fissure dans l'acier par méthode NWMS (Kazakov 2006)

La caractérisation de fissure par méthode non linéaire est également éprouvée sur le

verre. Les auteurs (Ulrich et al. 2006) parviennent à la caractérisation d’une

macrofissure dans un bloc de verre par retournement temporel non linéaire (TR NEWS).

Les auteurs analysent le premier et second harmonique du signal acoustique propagé

dans le matériau après retournement temporel et détecté le long de la surface.


142

Figure 105 : a) signal acoustique TR au-dessus de la fissure, b) à 3 cm de la fissure. C) Distribution spatiale du fondamental, d) du second harmonique, par rapport à la fissure (Ulrich et al. 2006)

La figure 105 présente les résultats obtenus. Sur les parties a) et b), il est possible de

visualiser les signaux TR filtrés dans la gamme du second harmonique et détectés au

droit de la fissure, ainsi qu’à 3 cm de celle-ci. A une distance de 3cm de la fissure,

presqu’aucun signal non linéaire n’est détecté, confirmant le fait que le signal du second

harmonique est directement lié à la présence de la fissure. Sur les parties c) et d), sont

présentées les distributions spatiales des amplitudes des premiers (linéaire) et seconds

(non linéaire) harmoniques. Expérimentalement, la fissure est placée au point 0 de l’axe

des abscisses. Les deux harmoniques parviennent donc à localiser la fissure. Pour le

dimensionnement de la fissure, il est possible de voir que la réponse du premier

harmonique s’étend sur 8 mm autour de la fissure. Le second harmonique offre une

réponse sur une distance de 2mm autour du centre de la fissure, or, la fissure fait 2 mm

d’ouverture. L’analyse de la réponse non linéaire du second harmonique après

retournement temporel (TR NEWS) montre donc une excellente capacité à détecter,

localiser, et surtout dimensionner une fissure fermée dans un matériau linéaire.

A travers toutes ces études, nous avons donc pu constater la capacité de l’acoustique

non linéaire à caractériser une fissure au sein d’un matériau linéaire. Dans ce type de

matériau, la non linéarité mesurée est alors totalement induite par la présence de fissure.


143

Quelle est alors la capacité de l’acoustique non linéaire à caractériser une fissure

présente dans un matériau fortement non linéaire comme le béton ? Un transfert de ces

méthodes est-il possible ?

4.2.2. Béton

La caractérisation de fissure dans du béton par méthodes acoustiques non linéaires est

complexe. En effet, à la non linéarité déjà présente dans le matériau viennent s’ajouter

les non linéarités induites par la fissure. Le béton est un matériau composite et possède

intrinsèquement des sources de non linéarité dont les origines sont présentes à toutes les

échelles, comme nous avons pu le voir précédemment. Les origines sont

microscopiques avec les joints de grains, ou mésoscopiques, induites par la porosité

ainsi que le réseau de microfissures, naturellement présents dans le matériau. Une non

linéarité est également induite par l’humidité dans les capillaires du béton, et qui évolue

en fonction de l’environnement de la pièce. Des études (Van Den Abeele & De Visscher

2000; Zardan et al. 2010; Kodjo et al. 2011…) ont néanmoins permis une avancée vers

la résolution de ce problème complexe.

La méthode NRUS est employée par Van Den Abeele & al. pour la caractérisation de

microfissures et de fissures dans du béton (Van Den Abeele & De Visscher 2000). Dans

le cadre de leur étude, les auteurs font subir à des poutres de béton des chargements

successifs en flexion trois points. Ces chargements, de plus en plus importants,

induisent au fur et à mesure de la microfissuration pour les premiers chargements, puis

de la macrofissuration (en particulier pour le dernier chargement).

Figure 106 : Évolution de la fréquence de résonance d'une poutre en béton pour différents pas de chargement (Van Den Abeele & De Visscher 2000)


144

Les variations des fréquences de résonnances exposées en figure 106 montrent un

décalage plus important de la fréquence de résonance de l’éprouvette à mesure des

chargements, donc de l’apparition de fissures. Cette mesure ne fournit par contre aucune

indication sur la localisation des fissures, leur distribution, ou encore leur géométrie.

Zardan et al. (Zardan et al. 2010) appliquent la méthode NWMS sur quatre éprouvettes

possédant chacune une fissure fermée de hauteur différente. Ces éprouvettes sont celles

qui sont étudiées dans le cadre de cette thèse. Cette méthode présente l’intérêt de sonder

plus spécifiquement la zone présentant la fissure.

Les auteurs utilisent l’interaction de deux ondes, l’une haute fréquence de 49kHz et la

seconde étant générée par le lâcher d’une bille dans le but d’exister le premier mode de

flexion de l’éprouvette (Figure 107). Le paramètre hystérétique N est ensuite déterminé

selon la méthode introduite par Abeele et al. (Van Den Abeele et al. 2001)

Figure 107 : Caractérisation de fissures réelles par méthode NWMS (Zardan et al. 2010)

Les résultats présentés figure 107 montrent une évolution quasi-linéaire du paramètre

non linéaire en fonction de la hauteur de fissure dans cette configuration.

Dans la suite de cette étude, nous utiliserons donc les propriétés de l’acoustique non

linéaire afin de caractériser une fissure fermée dans du béton dans une optique de

transfert in situ de la méthode.

Nous étudierons la possibilité de caractériser à différentes échelles une fissure fermée.

Une échelle globale tout d’abord, avec la méthode NRUS qui est une mesure de

référence de la non linéarité et permet l’auscultation d’une partie plus importante du


145

béton. Ce type de méthode est alors employé pour détecter l’endommagement par

macrofissuration.

Une seconde méthode, locale, est ensuite choisie pour parvenir à la caractérisation de la

fissure. La méthode NWMS utilisée par Zardan et al. a mis en évidence la capacité à

visualiser une non linéarité propre à la fissure dans le béton. La méthode de diffusion

modulée, méthode locale que nous développons dans la suite de cette étude, a pour

objectif d’aboutir à la caractérisation de la fissure, indépendamment du couplage

4.3. Caractérisation de fissure dans du béton par méthode NRUS

Dans le cadre d’une caractérisation de fissure sur site, la surface à sonder est très

importante. Il est donc nécessaire, dans un premier temps, d’étudier l’applicabilité d’une

méthode plus globale de détermination de la non linéarité du matériau. La méthode

NRUS est alors particulièrement intéressante de ce point de vue. En effet, la réponse

non linéaire d’une zone peut nous donner des indications sur la présence ou non de

fissures dans une partie de la structure. Une fois la zone d’intérêt connue, d’autres

méthodes acoustiques plus locales, comme le NWMS utilisé par Zardan et al. (Zardan et

al. 2010) peuvent alors être utilisées afin de contribuer à une caractérisation plus précise

de la fissure. De plus, la caractérisation NRUS est une référence dans le domaine de

l’acoustique non linéaire.

Dans la suite de cette étude, nous allons donc appliquer cette méthode de résonance non

linéaire sur des éprouvettes de béton fissurées. Ces travaux nous permettrons de vérifier

s’il est possible d’observer les contributions non linéaires de la fissure,

indépendamment des contributions du béton, avec cette méthode d’analyse globale des

non linéarités.

4.3.1. Protocole expérimental

Nous appliquons la méthode de résonance non linéaire pour la caractérisation de

fissures sur les quatre éprouvettes de béton décrites au chapitre III. Pour rappel, nos

éprouvettes sont de dimension 15x15x60 cm3. Chaque éprouvette possède une entaille

verticale de 1 cm débouchante en surface. Enfin, 3 des éprouvettes possèdent, en

extrémité de l’entaille, une fissure fermée, de hauteur 1, 3 et 5,5 cm.


146

La première étape de l’application du protocole NRUS consiste en la détermination du

mode propre de l’éprouvette que l’on souhaite mettre en résonance afin de caractériser

la fissure fermée. Il est possible de travailler sur différents modes de l’éprouvette, mode

de compression comme Bentahar & al. (Bentahar et al. 2006), ou sur le mode de flexion

(Van Den Abeele & De Visscher 2000). Nous avons choisi de travailler sur le premier

mode de flexion. Notre choix est motivé par les dimensions et la masse des éprouvettes.

De plus, cette configuration nous permet de générer un maximum de déformation au

niveau de la fissure, ce qui est confirmé par les simulations numériques que nous avons

réalisées. La mise en flexion génère des mouvements de compression et de traction

entre les lèvres de fissure, induisant donc l’ouverture et la fermeture de la fissure de

manière dynamique. Ces effets sont attendus dans le cadre de notre recherche puisqu’ils

favorisent donc ces effets de « clapping » entre les lèvres de fissure et qui sont supposés

être à l’origine de la non linéarité (Solodov 1998).

Pour travailler en flexion, les éprouvettes sont donc placées en équilibre sur deux appuis

linéiques.

Pour chaque éprouvette, au droit de la fissure, mais sur le côté opposé, nous fixons un

cylindre métallique de section hexagonale percée d’un trou en son centre. Cette pièce

permet de lier l’éprouvette au pot vibrant de type B&K 4809 qui assure la mise en

résonance de chaque poutre. Elle remplit deux fonctions : tout d’abord, elle fixe le pot

vibrant à l’éprouvette. Ensuite, elle permet une répartition des efforts du pot vibrant sur

la largeur totale de l’éprouvette et favorise le mode de flexion.

Il est totalement exclu de percer le béton au droit de la fissure afin d’y visser le pot

vibrant puisqu’une telle action génère de la microfissuration, ou suffisamment de

contraintes locales pour propager les fissures déjà présentes. Le choix a donc été fait de

coller la pièce au béton, et l’utilisation de la pièce intermédiaire permet de répartir les

efforts sur la colle.


147

Figure 108 : Tige métallique collée sur la face opposée à la fissure

De nombreux essais ont été réalisés afin de déterminer la colle adéquate. Ils montrent

que les colles du commerce de type glue ne sont pas adaptées à ce type de montage. En

effet, la glue pénètre dans le béton par l’intermédiaire des pores présents. Sous l’effet de

sollicitations mécaniques importantes, la rupture n’intervient alors pas au niveau du

joint de colle, mais au niveau du béton, dégradant sa surface. De plus, cette pénétration

de la colle la rend impossible à dissoudre sans endommager l’éprouvette. Il est donc

impossible de repositionner la fixation métallique si nécessaire.

Notre choix s’est donc porté vers l’utilisation de Phenyl salicilate, ou Salol. Le Salol se

présente sous la forme d’une poudre cristalline qui se liquéfie pour des températures

supérieures à 42°C. Sa recristallisation lorsque la température diminue permet une

fixation rigide de la tige au béton. Les propriétés de ce composé chimique ont motivé

notre choix. Dans un premier temps, le Salol assure une cohésion grâce à une formation

cristalline alors que les glues classiques sont relativement visqueuses et induisent une

non linéarité supplémentaire à la mesure. De plus, ce matériau est plus fragile que le

béton de peau. Lors des expérimentations, lorsque les efforts appliqués par le pot

vibrant sont trop importants, le joint de Salol cède avant le béton de peau préservant

ainsi la pièce expérimentale.

Une fois tous ces préparatifs effectués, le pot vibrant est placé sous la pièce de béton et

fixé. Enfin, un accéléromètre triaxial (B&K) est fixé, toujours au Salol, au bord de

l’entaille, sur la face supérieure de l’éprouvette. L’instrumentation finale de l’éprouvette

est présentée figure 109.


148

Figure 109 : Instrumentation de l'éprouvette de béton fissurée

Le montage de la figure 109 est ensuite modélisé sur RDM Le Mans, afin de déterminer

numériquement les modes propres de l’éprouvette. Cette procédure nous permet

d’estimer la fréquence du premier mode de flexion d’une éprouvette non entaillée ni

fissurée. Ce mode existe pour une fréquence de 1,4kHz. Pour les autres éprouvettes,

comportant entaille et fissure, la résonance doit être déterminée expérimentalement,

mais se situe également autour de 1,4kHz.

Maintenant que la fréquence de résonance est connue, la méthode NRUS est employée

afin de déterminer le paramètre non linéaire hystérétique de chaque éprouvette, pour

différentes hauteurs de fissure.

La mise en œuvre de la résonance présente quelques difficultés avec, en particulier, le

positionnement de l’éprouvette sur ses appuis. En effet, les surfaces des éprouvettes ne

sont pas parfaitement planes. Il en résulte que des modes de résonances, autres que le

mode de flexion sont également mis en œuvre si l’on n’y prend pas garde. Afin

d’assurer que le montage est correct, l’éprouvette est sollicitée en flexion par le pot

vibrant. L’accéléromètre triaxial, fixé au niveau de la fissure, nous permet de connaître

le déplacement horizontal dans l’axe x. Un déplacement sur cet axe peut indiquer une

sollicitation du mode de torsion de l’éprouvette, que l’on corrige alors en insérant des

lames métalliques entre les appuis et le béton pour s’adapter au défaut de planéité de

l’ensemble. Des marquages sont également apposés sur l’éprouvette afin de faciliter son

positionnement. Enfin, si l’utilisation du Salol pour le collage n’endommage pas le


149

béton, il cède relativement vite, n’offrant pas une excellente résistance en traction. Dans

ce dernier cas, le remontage entier de l’expérience est à effectuer.

Une fois l’expérience mise en place, un premier balayage en fréquence est d’abord

effectué autour de 1,4 kHz. Ce balayage nous permet de déterminer expérimentalement

la fréquence de résonance de chaque éprouvette pour une amplitude de déformation la

plus faible possible.

Nous employons ensuite un générateur de fonction arbitraire (Tektronix3102) connecté

au pot vibrant et amplifié pour générer une sollicitation sinusoïdale de notre éprouvette.

La réception est assurée par l’accéléromètre, sur l’axe z, puis le signal est conditionné

et enregistré sur l’oscilloscope.

Le protocole employé est présenté figure 110. Un train d’onde monochromatique de

fréquence Fest généré au niveau du pot vibrant, faisant travailler l’éprouvette en

flexion. Pour une amplitude d’excitation identique, plusieurs trains d’ondes sont

transmis, d’une durée chacun de 2.5 secondes et dont les fréquences s’échelonnent sur

20 Hz de part et d’autre de la fréquence de résonance à faible amplitude, par pas de 1

Hz. Ce procédé se nomme le « Step Sweep », et permet, pour chaque fréquence de

sollicitation de l’éprouvette, d’atteindre le régime établi. Il permet également de

déterminer avec plus d’exactitude l’amplitude de déformation de l’éprouvette dans le

domaine fréquentiel.


150

Figure 110 : Montage expérimental NRUS

Le protocole est ensuite réitéré pour des amplitudes de sollicitation croissantes.

4.3.2. Détermination de l’indicateur non linéaire

Les signaux correspondants, provenant de l’accéléromètre et présentés figure 111, sont

analysés.

Figure 111 : Accélération enregistrée par l'accéléromètre fixé à l'éprouvette

Figure 112 : Division du signal final en fonction des fréquences d'excitation

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

temps [s]

Am

plitu

de

0 5 10 15 20 25 30 35 40-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

temps [s]

Am

plitu

de


151

Chaque bande fréquentielle est isolée (Figure 112) et analysée de façon identique. Le

signal temporel est converti dans le domaine fréquentiel pour lequel l’amplitude

maximale ainsi que la fréquence correspondante sont relevées. L’accélération est

ensuite convertie en déplacement dans le domaine fréquentiel en utilisant la relation

suivante :

�ék£ |%¤%�� (¤k£��%FF� ∗ | £�{�%|��%��(2EF)

( 4.14 )

L’utilisation de la relation ( 4.14 ) n’est possible que dans le cadre d’une sollicitation

sinusoïdale.

Les courbes NRUS, représentant le déplacement en fonction de la fréquence

(normalisée ou non par rapport à la fréquence de résonance dans le mode linéaire)

peuvent ensuite être tracées pour chaque amplitude d’excitation comme présenté figure

113. Cette représentation met en évidence la non linéarité de l’éprouvette avec un

décalage important de la fréquence de résonance à mesure que l’amplitude d’excitation

de l’éprouvette augmente.

Figure 113 : Courbe NRUS normalisée d'une éprouvette de béton possédant une entaille de 1 cm et une fissure de 5.5 cm

Les courbes NRUS des différentes éprouvettes sont dans un premier temps représentées

sur le même graphique et présentées figure 114.

0.98 0.985 0.99 0.995 1 1.005 1.01 1.0150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

F/F0

Dé

pla

cem

en

t [

µm

]

fissure 5.5 cm


152

Figure 114 : Courbes NRUS non normalisées des différentes éprouvettes de béton

Nous pouvons constater sur la figure 114 que les fréquences de résonance diffèrent pour

chaque éprouvette. Cette différence est attribuée au fait que les éprouvettes ne sont pas

strictement identiques, ce qui est inhérent à leur fabrication. En effet, deux bétons, pour

un mélange et des granulats identiques ne seront jamais exactement les mêmes, de par

les arrangements des granulats dans le matrice. De plus, la présence de fissure de tailles

différentes pour chaque éprouvette modifie la géométrie de la pièce.

Les courbes NRUS sont ensuite normalisées par rapport à leur fréquence respective de

résonance, et le décalage relatif de la fréquence de résonance en fonction de son

l’amplitude est déterminé. Ces décalages sont présentés figure 115.

Figure 115 : Courbes de résonance NRUS normalisées

1330 1340 1350 1360 1370 1380 1390 1400 1410 14200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

F [Hz]

dép

lace

me

nt

[µ

m]

fissure 0 cmfissure 1 cmfissure 3 cmfissure 5.5 cm

0.99 0.995 1 1.005

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

F/F0 [Hz]

dépl

ace

me

nt

[µm

]



153

Sur la figure 115, il est possible de constater que chaque éprouvette testée possède un

décalage en fréquence distinct des autres. De plus, ce décalage est corrélé avec la

hauteur de fissure : Plus la hauteur de fissure est importante, plus la pente est faible.

Une étude du décalage de la fréquence de résonance sur le deuxième harmonique a

également été analysée. La présence du deuxième harmonique est une conséquence

directe de la non linéarité du milieu. Cependant, nous n’observons aucune concordance

entre la variation de la résonance et la hauteur de fissure pour cette harmonique (Figure

116).

Figure 116 : Courbes de résonance pour le second harmonique du mode de flexion

La très faible amplitude de ce second harmonique implique qu’il est partiellement noyé

dans le bruit électronique, ce qui complexifie l’exploitation des signaux et induit des

incertitudes supplémentaires. De plus, la présence d’autres modes d’excitation peut

générer de la modulation et perturber la réponse fréquentielle.

4.3.3. Résultats et analyse

L’analyse NRUS sur le premier mode de flexion des éprouvettes fissurées montre une

corrélation importante entre la valeur du paramètre non linéaire et la hauteur de fissure

fermée dans du béton (Figure 117). La non linéarité augmente jusqu’à 110% de sa

valeur initiale en présence d’une fissure de 5,5 cm pour un même béton.

0.99 0.995 1 1.0050

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8x 10

-3

F/F0 [Hz]

dép

lace

me

nt

[µm

]



154

Figure 117 : Évolution du paramètre non linéaire en fonction de la hauteur de fissure dans du béton par méthode NRUS

Payan & al. (Payan et al. 2007) ont appliqué la méthode NRUS afin de caractériser des

bétons endommagés thermiquement et montrent une évolution du paramètre non

linéaire de 230% pour un fort endommagement. De même, Bouchaala & al. (Bouchaala

et al. 2011) constatent une évolution de 290% de ce paramètre en appliquant le NRUS

afin de caractériser la carbonatation du béton.

Nous constatons donc que l’évolution du paramètre non linéaire en présence de fissure

est moins importante que celles obtenues par d’autres auteurs pour des

endommagements diffus. Ceci trouve son origine dans nombre de contacts présents sur

la hauteur d’une fissure qui entraîne une modification de la non linéarité. En revanche,

lors d’endommagements thermiques ou chimiques, une partie bien plus importante ou la

totalité de la pièce est affectée par ces endommagements diffus et génère ainsi une non

linéarité globale.

Les résultats sont également en accord avec ceux obtenus par Zardan et al (Zardan et al.

2010) et présentés figure 118.

-1 0 1 2 3 4 5 62500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

6000

Hauteur de fissure [cm]

Par

am

ètr

e N

on L

inéa

ire

∝ α


155

Figure 118 : Evolution du paramètre non linéaire en fonction de la hauteur de fissure dans du béton par méthode NWMS (Zardan et al. 2010) Les éprouvettes sont celles utilisées ensuite pour notre

caractérisation NRUS

La non linéarité globale, mesurée par méthode NRUS augmente de 110% en présence

d’une fissure de 5cm. Pour une méthode de mesure locale de la non linéarité, telle que

réalisée par NWMS, elle augmente de 600% pour les mêmes éprouvettes. Ces résultats

montrent l’importance de procéder à une mesure de type local pour parvenir à une

meilleure caractérisation de la fissure.

4.3.4. Synthèse

Nous venons de montrer dans ce chapitre la grande sensibilité du paramètre non linéaire

non classique à la présence d’une fissure fermée et débouchante dans du béton. Nous

avons étudié les possibilités d’extraction de l’information pour la fondamentale du

premier mode de flexion, ainsi que sa deuxième harmonique. Les résultats sont

concluants pour la fondamentale, montrant une relation linéaire entre la pente NRUS et

la hauteur de fissure réelle. L’analyse du second harmonique reste très complexe à

effectuer et ne permet pas à ce jour de d’extraire une information fiable de la hauteur de

fissure fermée. Nous avons choisi d’étudier le premier mode de flexion des éprouvettes,

Les fissures n’ont donc pu travailler qu’en mode d’ouverture et fermeture (clapping).

Afin d’obtenir une autre analyse, il serait intéressant de pouvoir travailler sur un mode

de torsion au niveau de la fissure, afin de connaître les effets non linéaires induits par le

cisaillement entre les lèvres de fissure et ainsi parvenir à une meilleure caractérisation

de celle-ci.

L’utilisation d’une méthode acoustique décrivant la non linéarité à une échelle plus

globale permet d’extraire des informations sur une source de non linéarité très localisée

0

2

4

6

0 10 20 30 40 50 60

Crack depth (mm)

Nor

mal

ized

par

amet

ers

Linear parameter (low amplitude flexural mode)Nonlinear α parameter


156

dans le matériau. Cette étude met ainsi en évidence la présence d’une non linéarité

induite par la fissure, indépendamment de la non linéarité intrinsèque du béton et qui

peut être appréciée globalement avec une faible sensibilité. Cependant, l’évolution du

paramètre non linéaire ne constitue pas à lui seul une signature spécifique à la présence

de fissure. En effet, d’autres types d’endommagements (chimiques, thermiques)

modifient également la non linéarité globale du système. Ainsi, si la méthode NRUS

nous permet de visualiser un endommagement quelconque d’une pièce de béton, elle

n’apporte en réalité que très peu d’information sur la nature de celui-ci et ne permet pas

de discrimination entre un endommagement local ou diffus.

L’industrialisation de ce type de méthode nécessite de pouvoir solliciter une structure

sur un de ses modes de résonance. Il est alors possible d’imaginer l’utilisation de

camions vibrants, utilisés en géophysique, de haut-parleurs, ou encore de tirer parti des

vibrations naturelles induites par l’environnement de la structure. La contrainte

principale reste de pouvoir générer suffisamment d’énergie pour induire le

comportement non linéaire du béton.

4.4. Diffusion sous sollicitation dynamique

Une méthode non linéaire différente, le DAET, semble adaptée à une caractérisation

spécifique de fissure. En effet, cette méthode, développée par Renaud (Renaud et al.

2008; Renaud et al. 2011) et utilisée par La Rocca et al. (La Rocca et al. 2010) pour

caractériser un collage epoxy montre des signatures particulières. Ainsi, La Rocca

suggère que la présence de bulles dans un collage change significativement la réponse

non linéaire du matériau (Figure 119).


157

Figure 119 : Essais DAET sur des joints de colle. A gauche, la réponse pour un collage sans bulle. A droite, la même réponse, en présence de bulles d’air dans le joint d’epoxy (La Rocca et al. 2010)

La méthode DAET permet donc la discrimination de ce type d’endommagement

spécifique dans le joint de colle et semble donc une voie prometteuse pour l’obtention

d’une signature acoustique non linéaire spécifique à un type d’endommagement, comme

la présence d’une fissure.

4.4.1. Motivation

La méthode DAET semble donc pouvoir fournir une signature spécifique pour un

endommagement déterminé. Afin de vérifier cette hypothèse, nous avons réalisé un

premier montage expérimental afin d’étudier le potentiel de la méthode pour la

caractérisation de fissures fermées.

Les essais effectués sur les éprouvettes fissurées ne se sont pas avérés concluants. En

effet, afin d’effectuer une mesure la plus locale possible autour de la fissure, il est

nécessaire de placer les capteurs, à plat, de part et d’autre de la fissure. Dans cette

configuration, la première onde longitudinale, sur laquelle est basée l’analyse DAET est

de très faible amplitude, parfois noyée dans le bruit électronique puisque le récepteur

n’est pas dans l’axe de l’émetteur. La variation de temps de vol de cette première onde

n’est donc pas simple à déterminer avec justesse.

La nature de la fissure est également à prendre en compte. La variation de temps est

plus importante lorsque l’on se trouve en présence d’un endommagement diffus.

Cependant, même sous sollicitation dynamique, la fissure reste un endommagement

très ponctuel au regard de la distance entre les capteurs et aucune incidence sur le temps

de vol de la première onde directe n’a pu être constatée. En réalité, une variation de

temps est probablement induite par la sollicitation de la fissure, mais elle est trop faible

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

Contraintes dans la colle (MPa)

Va

riatio

n re

lativ

e d

e v

itess

e


158

pour pouvoir être mesurée. Les incertitudes de mesures sont alors très élevées, d’un

ordre généralement dix fois supérieur aux grandeurs que l’on souhaite mesurer.

En nous basant toutefois sur le protocole expérimental développé par Renaud (Renaud

et al. 2008), une nouvelle expérience est réalisée. Notre objectif est de définir une

signature acoustique spécifique à la fissure fermée, en ne se basant pas uniquement sur

la première onde directe, mais sur la totalité du signal par une analyse de la diffusion de

l’énergie ultrasonore telle que vu précédemment, et sous sollicitation dynamique.

L’objectif est de créer, au niveau de la fissure, des états de compression et de traction,

présentés figure 120, qui vont ouvrir et fermer la fissure, modifiant ainsi la densité, ainsi

que la distribution des points de contacts et générant de la non linéarité. Cette

modification de la fissure est réalisée de façon dynamique et les paramètres de

diffusions : la diffusivité, la dissipation et l’ATME (Temps d’Arrivé du Maximum de

l’Energie) sont donc déterminés pour différents états de déformation de l’éprouvette, et

donc de l’état d’ouverture de la fissure.

Figure 120 : Une onde monochromatique basse fréquence modifie la nature des contacts. Les ondes ultrasonores sont diffusées au travers de la fissure pour sonder le matériau à différents états de contraintes

de la fissure


159

Cette nouvelle méthode présente, de plus, la possibilité d’effectuer une mesure locale

montrée précédemment comme étant très sensible à la non linéarité de la fissure.

4.4.2. Montage expérimental

La méthode de diffusion sous sollicitation dynamique est appliquée à l’ensemble de nos

éprouvettes de béton. Ceci nous permet de déterminer l’évolution des paramètres de

diffusion dynamique pour quatre hauteurs de fissure distinctes : 0, 1, 3 et 5.5 cm.

La première étape de ce montage est de choisir un mode d’excitation dynamique qui

nous permette d’ouvrir et de refermer les contacts entre les lèvres de fissure afin d’en

déterminer les conséquences sur les paramètres de diffusion. Le mode choisi est le

mode de flexion, qui se prête particulièrement bien à la géométrie de nos éprouvettes,

compte tenu de l’emplacement des fissures.

Le montage expérimental consiste à placer l’éprouvette sur des appuis linéiques, et un

pot vibrant est fixé à l’aplomb, sur la face opposée de l’entaille afin d’assurer la

sollicitation pour ouvrir et fermer la fissure. Un accéléromètre est fixé au niveau de la

fissure afin de pouvoir contrôler les déplacements. Cette partie du montage est

strictement identique au montage NRUS décrit précédemment. Les difficultés liées à la

mise en place du montage sont également les mêmes.

Enfin, les capteurs ultrasonores sont placés de part et d’autre de la fissure, toujours de

façon identique au montage réalisé pour l’étude des propriétés de diffusion dans le

domaine linéaire. L’émission est réalisée par un capteur de 500kHz, la réception est

assurée par le capteur pico, capteur large bande, de diamètre 5mm (Chapitre III).

L’ensemble du montage est présenté figure 121.


160

Figure 121 : Montage expérimental de la diffusion sous sollicitation dynamique

Les fréquences de récurrence des ondes ultrasonores et d’excitation du pot vibrant

sont déterminées.

Une impulsion ultrasonore est transmise à travers le milieu entre les deux capteurs.

Cette mesure nous permet de déterminer que pour ce montage, la durée du signal

ultrasonore reçu, coda comprise, s’éteint au bout de 8ms après l’impulsion de départ.

La mesure effectuée, il est alors possible de fixer la fréquence de récurrence des ondes

ultrasonores. En effet, afin de sonder le matériau pour plusieurs états de déformation de

la fissure, des impulsions ultrasonores sont générées successivement. Chaque onde

diffusée verra donc un milieu sensiblement différent suivant que les contacts entre

lèvres de fissure sont ouverts ou fermés et que l’état de contrainte est différent. Afin que

les ondes ultrasonores successives ne se recouvrent pas et n’interagissent pas entre elles,

la fréquence de récurrence doit être supérieure à la durée d’une onde transmise, soit

8ms. Arbitrairement, il est donc choisi une fréquence de récurrence de 100Hz. La

génération d’impulsion est répétée 100 fois afin d’obtenir un signal total d’une durée

d’une seconde.

Générateur de

fonction arbitraire

Amplificateur

OscilloscopeTrigger

Conditionneur

RécepteurEmetteur

Accéléromètre

Pot vibrant

Amplificateur

Impulsions ultrasonore, 500kHz

Récurrence: 100 Hz

Sinus continu, 137Hz


161

L’oscillation de la poutre, que nous appellerons « onde pompe », est induite par le pot

vibrant. C’est cette onde pompe qui, en faisant travailler l’éprouvette en flexion, va

modifier la nature et la densité des contacts de la fissure.

Nous avons déterminé précédemment pour le NRUS que la fréquence de résonance du

premier mode de flexion est située autour de 1,4kHz. Cette fréquence est trop élevée

pour l’expérimentation car une fréquence de cet ordre correspond à une période de 0.7

ms, beaucoup trop court au regard de la durée d’un signal ultrasonore (8ms).

En réalité, seule la première milliseconde du signal ultrasonore est analysée en

diffusion. Afin de déterminer les paramètres de diffusion pour un état de déformation

stable, il faut que le signal ultrasonore analysé (1ms) soit court par rapport à la

fréquence d’oscillation de l’éprouvette. De cette façon, l’onde ultrasonore « voit » un

état de déformation quasi-statique de l’éprouvette.

Nous avons choisi d’utiliser une fréquence de l’onde pompe inférieure. Nous avons

choisi d’utiliser une fréquence d’oscillation de 137Hz, qui représente une période de

7ms, pour un signal ultrasonore analysé de 1ms. Cette fréquence se situe dans la limite

basse de ce que peut produire le pot vibrant pour induire un déplacement sur une

éprouvette pesant 40kg. De plus, cette fréquence est choisie de façon à ne pas être un

multiple de la fréquence de récurrence des ultrasons, ce qui nous permet donc

d’inspecter de multiples états de déformation.


162

Figure 122 : Signal ultrasonore (bleu) et déplacement de la poutre (rouge). Les deux signaux ont été normalisés pour plus de visibilité

Sur la figure 122, nous pouvons voir les deux ondes intervenant dans le montage. Les

ultrasons sont présentés en bleu, le déplacement de l’éprouvette en rouge. Cette figure

nous permet de constater que la partie du signal ultrasonore analysé (indiqué par un

rectangle bleu) correspond à une variation plus faible de la déformation de l’éprouvette

pour 137Hz qu’elle ne l’aurait été pour une mise en résonance de la poutre à 1,4kHz.

Les mesures effectuées, les signaux sont analysés

Le premier signal provient de la réception des ultrasons utilisés pour sonder le matériau.

Ce signal global est constitué des réponses en transmission des 100 impulsions initiales.

Ce signal ultrasonore est partitionné. Nous isolons séparément les réponses de

chaque impulsion ultrasonore transmise en utilisant comme référence le signal de

déclanchement de chacune des impulsions. Un exemple de signal ainsi isolé est montré

figure 122. Chaque signal ultrasonore est recalé en temps à partir du déclenchement du

générateur. Ainsi, pour chacun des signaux le déclenchement de l’impulsion correspond

au temps t=0.

Une analyse de diffusion est faite. Pour chacun des signaux ultrasonores, la première

milliseconde du signal est isolée. L’analyse de diffusion, analogue à celle présentée au


163

chapitre III, est réalisée sur cette première milliseconde du signal ultrasonore transmis

(indiquée en bleu sur la figure 122).

Aucun filtrage n’est appliqué sur ces signaux. En effet, la fréquence de la porteuse est

extrêmement basse ce qui limite sa détection par le capteur Pico, dont la fréquence de

travail est plus élevée (200-700 kHz). De plus, lors du traitement temps-fréquence

utilisé pour extraire les paramètres de diffusion, nous utilisons la fonction

spectrogramm de matlab. Cette fonction nous permet de sélectionner directement la

bande fréquentielle qui nous intéresse, située entre 240 et 300kHz, ainsi que nous

l’avions fait lors de l’analyse de la diffusion en statique, chapitre III. Cette manipulation

nous permet de limiter les contributions de la porteuse de 137Hz sur les résultats finaux.

L’analyse des signaux ultrasonores nous permet donc d’accéder aux valeurs de

dissipation, de diffusivité, ainsi que de Temps d’Arrivée du Maximum de l’Énergie

(ATME) propres à chacun.

La détermination du déplacement de l’éprouvette est réalisée.

Lorsque le signal ultrasonore initial est partitionné, le signal provenant de

l’accéléromètre est partitionné de façon identique. Ainsi, à chacun des signaux

ultrasonores est associé le signal basse fréquence correspondant.

La moyenne de l’amplitude de l’onde pompe est faite entre le temps t=0 correspondant

à l’impulsion ultrasonore et le temps t=ATME, déterminé précédemment. En effet, suite

aux observations réalisées dans le chapitre III concernant l’évolution de ce paramètre en

fonction de la présence de fissure ou d’entaille, nous choisissons de nous intéresser

uniquement aux conséquences de la modulation sur l’ATME. La moyenne entre t=0 et

t=ATME permet de tenir compte de la totalité des états de déformation « vus » par

l’onde ultrasonore entre les deux capteurs.

Enfin, l’amplitude moyenne est convertie en déplacement, en utilisant la relation ( 4.14

) et associée à l’ATME correspondante.

Nous verrons ultérieurement que les valeurs de l’ATME ainsi obtenues sont de l’ordre

de 50µs. Cet ordre de grandeur a contribué à notre choix de sollicitation de l’éprouvette


164

de 137Hz : la déformation de l’éprouvette est alors quasi-statique pour le temps

considéré.

4.4.3. Résultats et analyse

Nous émettons l’hypothèse que la sollicitation dynamique de la poutre de béton nous

permet de modifier ponctuellement les contacts existants entre les lèvres de fissure. Ce

procédé nous permet alors de déterminer les paramètres de diffusion de chaque poutre

de béton en fonction du déplacement de la poutre.

Nous nous interessons plus particulièrement à l’ATME, apparu comme étant le

paramètre le plus pertinent lors de l’étude de la diffusion statique, ainsi que pour les

simulations numériques. L’ensemble des évolutions de l’ATME en fonction du

déplacement de l’éprouvette est présenté figure 123.

Les déplacements positifs correspondent à une mise en compression de la fissure, alors

que les déplacements négatifs correspondent à une sollicitation en traction.

Figure 123 : Évolution de l'ATME en fonction du déplacement pour les fissures 0, 1, 3, et 5,5 cm. Les croix correspondent à l’ouverture de la fissure, les points à sa fermeture

Cette figure 123 nous permet dans un premier temps de visualiser le comportement du

paramètre ATME lors d’une sollicitation dynamique, détaillé ultérieurement.

Nous nous intéressons aux valeurs absolues de l’ATME. Afin de pouvoir comparer les

résultats obtenus sous sollicitation dynamique avec les résultats obtenus par la méthode

classique et présentés chapitre III. Les valeurs de l’ATME dynamique sont moyennées

pour tous les états de déformation. Les résultats sont présentés figure 124.

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

44

46

48

50

52

54

56

58

60

déplacement [µm]

AT

ME

[µs]


compressiontraction


165

Figure 124 : Évolution de l'ATME. Les résultats expérimentaux obtenus par méthode linéaire (Ch. III) sont rappelés. Les valeurs de l’ATME obtenus sous sollicitation dynamique sont moyennées pour

l’ensemble des déformations

Nous constatons que ces valeurs sont très proches : l’ATME modulé s’inscrivant dans le

domaine d’incertitude de l’ATME statique.

Nous confirmons ainsi le fait qu’un sondage pour plusieurs niveaux de sollicitation

moyennés de l’éprouvette est du même ordre de grandeur que la mesure statique. Les

valeurs d’ATME obtenues sous sollicitations dynamiques sont supérieures aux valeurs

d’ATME statiques d’un temps allant de 0.2µs à 2µs. Nous supposons que les valeurs

supérieures de l’ATME dynamique par rapport à celles de l’ATME statique sont

principalement dues à une évolution des éprouvettes au cours du temps.

Les valeurs supérieures de l’ATME observées dans le cas dynamique peuvent

également être induites par un conditionnement des zones de contact lorsque la fissure

est sollicitée.

Les modulations en ATME en fonction du déplacement vertical des quatre éprouvettes

sont ensuite représentées individuellement figure 125. Cette représentation nous permet

de relier l’ATME à l’état d’ouverture de la fissure : sous sollicitation, la nature ainsi que

la densité des contacts évoluent.

0 1 2 3 4 5 6 742

44

46

48

50

52

54

56

hauteur totale : entaille +fissure

AT

ME

[µ

s]

ATME linéaire ATME modulé


166

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.2541

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

déplacement [µm]

AT

ME

[µ

s]

pente = -2,8

fissure 0 cm

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.2547

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

déplacement [µm]

AT

ME

[µs]

pente = -5

fissure 1 cm


167

Figure 125 : Évolution de l'ATME dynamique pour différentes hauteurs de fissure réelle. La pente ainsi que le sens de rotation sont indiqués

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.2548

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

déplacement [µm]

AT

ME

[µ

s]

pente = -11,1

fissure 3 cm

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.2548

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

déplacement [µm]

AT

ME

[µs]

pente = -3,3

pente = 14 pente = -21

fissure 5,5 cm


168

En l’absence de fissure, nous déterminons ainsi la signature propre du matériau, lié à

l’ouverture et la fermeture des microfissures, à laquelle vient s’ajouter la présence d’une

hystérésis. La pente moyenne entre les extrema de déplacement est de -2.8µs/µm.

En présence de la fissure de 1cm de hauteur, aucune signature particulière n’est mise en

évidence, comparativement à la réponse obtenue en l’absence de fissure. L’hystérésis

est toujours présent, et la pente moyenne de déplacement (-5 µs/µm) est maintenant

multipliée par deux. Cette évolution traduit la réponse du béton, à laquelle vient

s’ajouter une évolution des contacts entre les lèvres de fissure.

Pour une fissure de 3cm, l’hystérésis disparaît, et la pente, de -11.1µs/µm, est multipliée

par 4 par rapport à une éprouvette ne comportant pas de fissure.

Enfin, pour une fissure réelle de 5.5cm, la pente diminue jusqu’à presque revenir à son

niveau initial sans fissure, avec une pente de -3.3 µs/µm. L’hystérésis est de nouveau

présent. Cette hystérésis est important par rapport aux autres éprouvettes. Nous notons

également que les valeurs maximales de l’ATME ne coïncident pas avec le maximum

de déplacement en traction. La signature acoustique, complètement différente pour cette

hauteur de fissure nous laisse penser qu’un changement particulier s’est produit au

niveau de la fissure, comparativement aux hauteurs moins importantes. Pour une telle

hauteur, le ligament du béton est moins important, ce qui diminue les contraintes en

compression de la fissure, et facilite donc son ouverture sous sollicitation. Une telle

signature peut également être caractéristique de l’ouverture partielle du haut de la

fissure.

Analyse

Pour chacun des résultats présentés figure 125, nous constatons que l’ATME diminue

dans les phases de compression de la fissure, et augmente dans les phases de traction.

Cette évolution est en accord avec les résultats expérimentaux et simulations

numériques (chapitre III) qui indiquent que l’ATME augmente lorsque le nombre de

points de contact diminue. Cette variation est donc cohérente avec le fait que lorsque la

fissure est sollicitée en traction, la densité de contact entre les lèvres diminue (Figure

126).


169

Figure 126 : Évolution d'un contact sous sollicitation mécanique

A ce jour, nous pouvons faire des hypothèses sur les phénomènes à l’origine de ces

différents comportements.

La pente moyenne est dans un premier temps déterminée entre les extrema de

déplacement. Ce procédé nous permet d’étudier la dynamique générale de variation du

temps maximum de l’arrivée d’énergie.

La valeur absolue de la pente augmente linéairement avec la hauteur de fissure, à

l’exception de la fissure de 5,5cm.

L’évolution de cette pente suggère que la sollicitation dynamique permet de modifier la

densité de contacts pour chaque hauteur de fissure, jusqu’à une hauteur de fissure de

3cm (Figure 126).

Plus la hauteur de la fissure est importante, plus la longueur de fissure est grande. Le

nombre de contacts susceptibles d’être modifié par la sollicitation augmente donc

également : Ainsi, la variation de l’ATME entre les deux états de traction et de

compression de la fissure sera d’autant plus importante que la hauteur de fissure est

élevée.

L’hystérésis est plus complexe à analyser. Elle constitue une partie de la signature de

chaque hauteur de fissure. Un hystérésis est observé pour le béton sans fissure, ainsi que

pour une hauteur de 1cm. mais disparaît pour une hauteur de 3cm. Enfin, nous

constatons une signature particulière pour une hauteur de 5.5cm.

Différentes hypothèses sont faites concernant la signature induite par la fissure de

5.5cm.

Traction CompressionSans

contraintes

Traction:

rupture du

contact


170

Dans un premier temps, considérons la représentation de l’ATME en fonction du

déplacement. Le déplacement est mesurable expérimentalement mais il est impossible

de mesurer directement l’état d’ouverture de chacun des contacts existants. Pour une

telle hauteur de fissure, le ligament n’est plus suffisant pour limiter l’ouverture de la

fissure. Cela autorise à émettre l’hypothèse que certains contacts entre les lèvres soient

suffisamment sollicités en traction pour induire une rupture complète du contact. Ainsi,

les déplacements mesurés ne sont éventuellement plus liés à la densité de contact selon

le schéma présenté figure 126.

Dans ce cadre, le contact n’est alors plus soumis à aucune contrainte en compression, et

peut donc être modifié par la vibration. La signature particulière présente pour la fissure

de 5.5cm pourrait donc être liée à une redistribution des contacts entre les lèvres induite

par la rupture totale en phase de traction. Lorsque la fissure est ensuite soumise à la

compression, les contraintes différentes mises en jeux peuvent ensuite s’avérer

suffisante pour recréer des contacts.

4.4.4. Synthèse

La modulation de la diffusion nous permet d’obtenir des signatures acoustiques

particulières (moyenne de l’ATME, hystérésis, pente de l’ATME), propres à chaque

fissure, sous condition de chargement dynamique en lien avec l’évolution des contacts

le long de la fissure.

L’évolution de la pente de l’ATME est linéairement dépendante de la hauteur de fissure

fermée si celle-ci est inférieure à 3cm.

Les variations de l’ATME suggèrent que la surface des contacts entre les lèvres de

fissure évolue sous sollicitation dynamique. En effet, l’évolution de ce paramètre en

fonction de la contrainte appliquée sur la fissure concorde avec les simulations

numériques effectuées au chapitre III.

Il est également possible d’envisager que la réponse acoustique à la modulation de la

diffusion soit dépendante de l’amplitude d’excitation de l’onde pompe, qui ne sollicitera

alors plus les contacts de façon identique.

Une étude similaire, réalisée dans des conditions de chargement quasi-statique peut

nous permettre de relier la pente de l’ATME au déplacement, à un état d’ouverture, à un


171

état de contact entre les lèvres de la fissure, ainsi qu’à la hauteur de celle-ci. Elle peut

nous permettre également de déterminer l’effort nécessaire à l’ouverture complète de la

fissure.

4.5. Conclusion

L’acoustique non linéaire présente un fort potentiel pour la caractérisation de fissure

fermée dans du béton, lorsque les lèvres sont en contact, et ce à plusieurs échelles

d’auscultation.

Pour une zone d’auscultation importante, l’utilisation de la méthode globale NRUS

permet de détecter une zone endommagée. Les essais réalisés dans ce chapitre nous

montrent également que ce type de mesure, globale, confirme la possibilité de détection

d’une non linéarité locale (la fissure fermée) présente dans un milieu lui-même

fortement non linéaire.

De plus, nous avons pu constater une corrélation entre la hauteur de fissure fermée et le

paramètre non linéaire déterminé par cette méthode. Cependant, le NRUS est également

sensible à toutes les sources de non linéarités existantes dans le béton. Ceci rend plus

complexe une discrimination entre la présence d’un endommagement diffus, tel que

l’endommagement chimique ou thermique, et celle d’une fissure locale. Afin

d’améliorer la caractérisation de la fissure fermée, nous proposons et mettons en œuvre

une méthode locale.

Une seconde méthode originale est donc mise en œuvre afin de caractériser la fissure :

la modulation de la diffusion.

L’ATME fournit des informations sur la morphologie de la fissure, et plus

particulièrement sur l’importance des points de contact (Chapitre III). Nous montrons

ici que l’ajout d’une sollicitation dynamique modifie les contacts présents entre les

lèvres de fissure. Elle nous permet alors d’obtenir des signatures spécifiques à la

morphologie de la fissure.

Cette dernière approche nous permet de définir de nouveaux paramètres propres à la

fissure et sa morphologie, alors que d’autres méthodes locales ne définissent souvent

qu’un seul paramètre non linéaire (NWMS par exemple).


172

Nous montrons également que la pente de l’ATME est proportionnelle à la hauteur de

la fissure lorsque celle-ci est inférieure à 3cm.

A ce jour, la morphologie de la fissure, ainsi que son évolution et l’évolution des

contacts sous sollicitation dynamique n’est pas connue. Une telle connaissance nous

permettrait alors de pouvoir relier directement chacun des paramètres déterminés

comme étant une indication sur la géométrie de la fissure fermée dans du béton.

Nous retenons donc l’importance de la description d’une fissure afin de décrire la

physique des évolutions dynamiques et statiques. Cette morphologie peut devenir un

enjeu de développements tant expérimentaux, qu’analytiques ou numériques.

Conclusion générale


175

Conclusion generale

La fissuration est un problème majeur au regard de l’intégrité des ouvrages en béton de

génie civil. La présence de fissures induit une accélération des processus de dégradation

de la structure, dont la corrosion des armatures. Celle-ci induit une macrofissuration du

béton, une réduction des propriétés mécaniques de l’ouvrage et favorise l’apparition de

fissures traversantes qui nuisent à sa fonction d’étanchéité.

Afin de pouvoir assurer le suivi des ouvrages et prévenir toute perte d’étanchéité, il est

donc nécessaire de parvenir à une caractérisation des fissures pour procéder au plus tôt

aux réparations nécessaires et conserver l’intégrité de l’ouvrage.

Afin de caractériser une fissure réelle dans du béton, une première étape fut d’étudier le

matériau ausculté, le béton, ainsi que la macrofissuration que l’on souhaite caractériser.

Ainsi, les fissures réelles sont décrites par la présence d’une partie ouverte, ainsi que

d’une partie fermée constituée de deux lèvres possédant de nombreux points de contact.

La caractérisation de la fissure nécessite la détermination de plusieurs paramètres : son

ouverture, sa hauteur, ainsi que sa longueur.

Une étude bibliographique réalisée dans le chapitre I présente les différentes techniques

de contrôle non destructif actuellement mis en œuvre sur site, ou encore à l’étude en

laboratoire. Cette étude montre que la caractérisation exacte de fissure réelle et fermée

n’est à ce jour pas réalisée. Parmi les moyens mis en œuvre, les méthodes ultrasonores

semblent prometteuses : Leurs propriétés de propagation sont directement liées au

matériau dans lequel elles se propagent, et permettent d’obtenir des informations à

différentes échelles, suivant la longueur d’onde utilisée.

Nous avons donc choisi d’utiliser les méthodes ultrasonores pour parvenir à la

caractérisation d’une fissure réelle dans le béton. Deux voies différentes de l’acoustique

sont utilisées : l’acoustique linéaire et non linéaire. Notre choix s’est également porté

sur l’utilisation conjointe de deux approches de caractérisation : une approche globale

ainsi qu’une approche locale.


176

Dans le second chapitre, l’accent est mis sur la difficulté induite par le matériau sur la

propagation des ondes ultrasonores. Les équations générales de propagation sont

présentées dans le cas de matériaux idéaux. Pour le milieu réel, la présence de

viscoélasticité, de porosité et de granulats génèrent de l’atténuation, de la dispersion

ainsi que de la multidiffusion qui complexifient le signal ultrasonore et son analyse.

Une étude bibliographique met en évidence l’impossibilité de transposer directement

les méthodes acoustiques usuellement appliquées pour la caractérisation de fissures

dans des matériaux homogènes, tels que certains métaux. En effet, la pointe de fissure

n’est pas un lieu géométriquement défini pour le béton et aucune rémission particulière,

ou diffraction ultrasonore en point de fissure n’a pu être mise en évidence.

L’étude bibliographique montre également qu’à ce jour, seules des fissures ouvertes

sont caractérisées par les méthodes ultrasonores basées sur l’analyse du champ cohérent

de l’onde. Pour aboutir à une caractérisation de fissures fermées dans du béton, il est

donc nécessaire d’analyser l’ensemble de la réponse ultrasonore en tirant parti du

champ incohérent. L’analyse est faite en étudiant le transport de l’énergie au sein du

matériau multidiffusant, ainsi que son interaction avec la fissure. L’équation de

diffusion, régissant cette première méthode de caractérisation est donc présentée, ainsi

que les paramètres de diffusivité e et de dissipation � qui lui sont associés. Le potentiel

de cette méthode au regard de la fissuration est montré dans le cas de la caractérisation

d’une entaille dans du béton.

L’étude du transport de l’énergie dans le domaine statique est ensuite mise en œuvre de

façon expérimentale sur des éprouvettes de béton fissurées. Les résultats montrent que

l’un des paramètres de diffusion, la dissipation, est sensible au caractère viscoélastique

de la pâte de ciment. Pour la caractérisation d’une macrofissure, un nouveau paramètre

est introduit : l’ATME (le Temps d’Arrivée du Maximum de l’Energie) qui se révèle

sensible à la partie ouverte de la fissure par rapport à la partie fermée.

Nous développons une étude paramétrique sur la base d’une simulation par différences

finies pour faire le lien entre une description numérique simplifiée d’une fissure et le

transport d’énergie.


177

L’hypothèse de l’influence du nombre et de la répartition des points de contact entre les

lèvres de fissure sur les propriétés de diffusion est validée.

La méthode développée présente une simplicité de mise en œuvre sur site, et possède

l’avantage d’être indépendante du couplage utilisé, puisque l’analyse ne porte pas sur un

temps de vol, ni sur une mesure d’amplitude, mais sur une évolution de l’énergie portée

par le signal et induite par le caractère diffusif du matériau et de la fissure.

Dans le quatrième chapitre, l’acoustique non linéaire est présentée et mise en œuvre

pour caractériser une fissure à différentes échelles.

Une première méthode, globale est tout d’abord mise en œuvre pour permettre la

détection de la fissure. La méthode NRUS est sensible à la présence, ainsi qu’à la

hauteur de fissure réelle dans le béton. Cette méthode nécessite de pouvoir faire

travailler la structure inspectée sur un mode propre de résonance, ce qui implique une

étude préalable détaillée du comportement de la structure.

Après la détection, nous proposons la mise en œuvre d’une seconde méthode, locale.

Cette nouvelle approche est fondée sur la modulation de la diffusion de façon

dynamique. Elle permet d’accéder à de nouvelles informations sur la morphologie de la

partie fermée de la fissure agissant sur les contacts présents entre les lèvres, dont la

nature et la densité évoluent avec la sollicitation. De nouvelles observables sont

analysées, comme la pente et l’hystérésis de l’ATME. Cette dernière méthode permet en

particulier de proposer l’étude d’une signature propre à chaque morphologie de fissure.

Les perspectives sont multiples et revêtent différents aspects.

Sur le plan fondamental, la connaissance de la morphologie d’une fissure et de

l’évolution des contacts sous sollicitation permettra de traduire numériquement les

transports de l’énergie de l’onde, mais également le comportement non linéaire local du

défaut. Il sera alors possible de simuler la diffusion sous sollicitation statique puis

dynamique ainsi que l’évolution des paramètres non linéaires dans des configurations

déterminées. Ces simulations permettront alors de vérifier les hypothèses proposées

dans le cadre de l’analyse des signatures de fissures.


178

Industriellement, notre étude montre une méthodologie pour accéder à des informations

sur une fissure dans du béton par l’utilisation d’une démarche multi-échelle.

Une première étape consiste en une mesure globale de la non linéarité du milieu, afin de

mettre en évidence la présence de l’endommagement par macrofissuration. Cette étape

est réalisée par méthode NRUS en sollicitant la structure sur un mode propre de

résonance. Elle nécessite une maîtrise de l’énergie nécessaire à la génération de la non

linéarité, ainsi que la définition de l’instrumentation, comme l’utilisation d’un balayage

laser en réception.

Différentes méthodes peuvent ensuite être mises en œuvre au niveau local comme la

mesure par diffusion de l’énergie ultrasonore La mesure statique permet alors

d’identifier la partie ouverte de la fissure, puis la mesure sous sollicitation dynamique

conduit à la caractérisation de la partie fermée.

Ces résultats et perspectives sont encourageants pour le développement de méthodes

ultrasonores linéaires et non linéaires appliquées à la caractérisation non destructive de

fissures réelles dans le béton.

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Ultrasons diffus pour la caractérisation d'une fissure dans le béton : Approche linéaire et non linéaire

Les différents processus de dégradation des structures de génie civil induisent une micro, puis macrofissuration du béton. Celle-ci génère

alors une réduction des propriétés mécaniques de l’ouvrage et, à terme, sa perte d’étanchéité. Il est donc nécessaire de fournir des

informations quant à la présence et à la taille de fissures pour procéder aux réparations nécessaires et conserver l’intégrité de l’ouvrage.

Dans un premier temps, le contrôle du béton ainsi que la morphologie de la fissure réelle sont présentés. La notion de contacts entre ses

lèvres est introduite pour définir la problématique de sa caractérisation. La bibliographie montre que les méthodes acoustiques standards

ne sont pas adaptées à la caractérisation d’une fissure dans le béton. Deux pistes sont alors identifiées : les ultrasons diffus et l’acoustique

non linéaire.

Nous présentons dans un second temps la caractérisation de la fissure par analyse du transport de l’énergie suivant une équation de

diffusion. Les paramètres associés (diffusivité et dissipation) sont déterminés expérimentalement sur des éprouvettes fissurées sur

différentes profondeurs. Nous introduisons et définissons le temps d’arrivée du maximum de l’énergie (ATME) qui s’avère être le

paramètre le plus sensible à la partie ouverte d’une fissure. Son évolution au regard des incertitudes de mesure ne permet toutefois pas de

caractériser totalement la partie fermée. Une simulation numérique en différences finies est réalisée. Elle met en évidence le rôle des

contacts au sein de la partie fermée de la fissure et confirme les observations expérimentales.

Nous présentons ensuite l’acoustique non linéaire et les méthodes associées appliquées au béton. Nous montrons expérimentalement que

le décalage fréquentiel de la fréquence de résonance en fonction de l’amplitude de sollicitation (NRUS) est lié à la hauteur de la fissure

fermée dans le béton. Cette méthode globale d’auscultation met en évidence que la non linéarité induite par la fissure est séparable de la

non linéarité « intrinsèque » du matériau.

Nous avons ensuite développé une méthode de diffusion sous sollicitation dynamique portant sur la modification du transport de l’énergie

associée à la modification dynamique de la morphologie de la fissure. L’analyse montre alors que l’évolution de l’ATME en fonction de

chaque fissure génère une signature qui lui est propre.

Nous concluons sur le potentiel de l’analyse de la diffusion ultrasonore pour la caractérisation de fissures dans du béton. Nous dégageons

les perspectives, tant du point de vue du comportement acoustique lié à la connaissance fine de la morphologie des contacts de la fissure

que du point de vue des applications industrielles potentielles.

Mots-clés : Caractérisation non destructive, Fissure, Béton, Ultrasons diffus, Acoustique non linéaire

Diffuse ultrasound for the characterization of a crack in concrete: Linear and nonlinear approach

The various processes of deterioration of the building structures lead to a micro and macro-cracking of the concrete. Consequently, the

mechanical properties of the structure are reduced and, eventually, the building is no longer airtight. It is therefore necessary to supply

information regarding the presence and size of cracks to carry out the necessary repairs and keep the integrity of the structure.

First, the control of concrete as well as the morphology of the actual crack are presented. The notion of contacts between its lips is

introduced to define the problem of its characterization. The bibliography shows that the standard acoustic methods are not adapted for

characterizing of a crack in concrete. Two tracks are then identified: the diffuse ultrasound and the nonlinear acoustics.

Subsequently, we present the characterization of the crack by analyzing the transport of the energy with a diffusion equation. The

associated parameters (diffusivity and dissipation) are experimentally determined on test tubes cracked at different depths. We introduce

and define the arrival time of the maximum energy (ATME), which turns out to be the most sensitive parameter to the open part of a crack.

Its evolution with regard to the measurement uncertainties does not allow a full characterization of the closed part. A digital modeling in

finite differences is performed. It highlights the role of the contacts within the closed part of the crack and confirms the experimental

observations.

Then, we present the nonlinear acoustics and the associated methods applied to concrete. We show experimentally that the frequency

shift of the resonance frequency depending on the amplitude of stress (NRUS) is tied to the height of the closed crack in the concrete. This

method of auscultation highlights the fact that the nonlinearity resulting from the crack is separable from the” intrinsic” non-linearity of

the material.

Finally, we developed a diffusion process under dynamic pressure concerning the modification of the transport of the energy led by the

dynamic change of the morphology of the crack. The analysis then shows that the evolution of ATME depending on each crack generates its

own signature.

We conclude with the potential of the analysis of the ultrasonic diffusion for the characterization of cracks in concrete. We draw out

perspectives, concerning both the acoustic behavior related to the detailed knowledge of the morphology of the crack and the possible

industrial applications.

Keywords : Non destructive characterization, Crack, Concrete, diffuse ultrasound, Nonlinear acoustics

LMA

Laboratoire de Caractérisation Non Destructive

IUT Aix en Provence

413 avenue Gaston Berger

13625 Aix en Provence Cedex

EDF R&D

STEP – Groupe P1E

6 quai Watier

78401 CHATOU Cedex

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