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Université Mohammed V Agdal Année universitaire 2012-2013

Faculté des Sciences Rabat Licence Physique Informatique

Département de Physique Semestre 6

1

Travaux dirigés - Introduction à la Physique des Matériaux

Correction de la série 5 : Phonons et vibrations des réseaux

Exercice 1 : Vibration dans la direction [100] du polonium Po

1. Si une vibration se propage dans ce cristal suivant une direction donnée [100] tous les plans

perpendiculaires à cette direction se déplacent en phase et on peut décrire le déplacement par une seule

coordonnée up le déplacement d’un plan p par rapport à la position l’équilibre.

2. Soit Cs la constante de rappel entre le plan p et le plan p+s, p est soumis à l’action de tous les plans s,

s p :

p s p s p

s p

F C u u

up+s déplacement du plan p+s par rapport à la position d’équilibre et up déplacement du plan p par rapport à

la position d’équilibre.

3. Soit U(R) l’énergie potentielle d’interaction, U(R) est continue et indéfiniment dérivable. Pour un petit

déplacement r autour de la position d’équilibre R = R0 on peut remplacer U(R) par l’expression de son

développement limité au voisinage de R0 :

0 0

22

0 2

1

2. . ...

r r r r

dU d UU R U R R R

dR dR

U(R) est une fonction paire donc les termes d’ordres impairs sont nuls, il vient :

0

22

0 2

1

2. ...

R R

d UU R U R R

dR

La force F de rappel dérive de l’énergie potentielle on a alors :

dUF

d R

0

2

2

RRdR

UdRF

.

En utilisant la définition de la force de rappel :

.sF C R

L’identification des deux expressions donne :

0

2

2s

R R

d UC

dR

4. Soit M la masse d’un atome de polonium dans le plan p, la deuxième loi de Newton donne :

2

2

p

s p s p

s p

d uM C u u

dt

(1)

5. On cherche des solutions de l’équation précédente sous forme d’onde plane monochromatique :

0 exppu u ipkr i t

0 expp su u i p s kr i t

r la distance entre deux plans consécutifs dans la direction de [100], dans ce cas r est égale au paramètre du

réseau.

k

a Plan p

u1

u2

u-1

u-2




2

On calcule :

0 exp . exp expp s pu u u i t i p s ka ipka

2

2

02exp . exp

pd uM M u i t ikpa

dt

La relation (1) devient :

2

0 0 1exp . exp exp . exp exps

s p

M u i t ikpa u i t ipka C iska

¨

On simplifie le terme : 0 exp . expu i t ikpa et on obtient :

2 1 exps

s p

M C iksa

1

2

1

1 1exp exp

s s

s s

s s

M C iksa C iksa

Or C-s = Cs. D’où :

2

1

1 1exp exp

s

s

s

M C iska iska

2

1

2 exp exp

s

s

s

M C iska iska

2

1

2 2cos

s

s

s

M C ska

2

1

21 cos

s

s

s

C skaM

6. Si on se limite au premiers proches voisins (s = 1) on obtient :

2 121 cos

Cka

M

Or pour tout nombre réel

21 22

cos .sin

2 214

2sin

C ka

M

14

2sin

C ka

M

7. Si on calcule

1exp

p

p

uika

u

Le domaine des valeur des vecteurs d’onde ayant une signification physique est tel que :

ka

ka a

C’est-à-dire que les valeurs de k appartiennent à la première zone de Brillouin. La valeur maximale est de

l’ordre de 108 cm

-1. On considère les fonctions :

2

14f k

C

M

= 2

2sin

ka




3

14

g kC

M

=

2sin

ka

Les deux fonctions sont périodiques et de période égale à la longueur de la première zone de Brillouin.

k (cm-1)0.0

0.5

1.0

f(k)

a a a

k (cm-1)0.0

0.5

1.0

g(k)

a a a On remarque que pour ka << 1 c’est-à-dire >> a qui correspond à l’approximation continue, la pulsation

est proportionnelle à k.

8. La vitesse d’un paquet d’onde est la vitesse de groupe, définie par :

gv grad k

Relation valable à deux ou trois dimensions. Cette vitesse est la vitesse de transmission de l’énergie dans le

milieu. A partir de l’expression de on peut calculer vg : 2

1

2cosg

C a kav

M

La figure suivante représente les variations de la fonction :

2

1

gvh k

C a

M

= 2

coska




4

k (cm-1)

0.0

0.5

1.0

h(k)

0 a

La vitesse de groupe est nulle à la limite de la première zone de Brillouin, ce qui dénote la naissance d’une

onde stationnaire dans le cristal.

Exercice 2 : Bande interdite des phonons dans le chlorure de potassium KCl

1. Les résultats obtenus pour le chlorure de potassium sont :

a. Réseau de Bravais C.F.C.

b. Le paramètre de la maille a = 6,30 10-10

m.

c. Le plan d’indices de Miller (111) contient un seul type d’atome.

d. La distance séparant deux plans consécutifs contenant le même type d’atome est :

3

ar = 3,64 10

-10 m

2. Si une vibration se propage dans ce cristal suivant la direction [111] tous les plans perpendiculaires à cette

direction se déplacent en phase et on peut décrire le déplacement par une seule coordonnée up d’un type de

plan p par rapport à la position l’équilibre et vp le déplacement de l’autre type de plan p par rapport à la

position l’équilibre.

[111]

On suppose que chaque plan n’interagit qu’avec ses deux plans adjacents, en appliquant la deuxième loi de

newton à chacun des plans p on obtient :

2

12

2

12

2

2

p

K p p p

p

Cl p p p

d um C v v u

dt

d vm C u u v

dt

3. On considère des solutions sous forme d’ondes planes monochromatique :

0 exppu u i t pkr

0 exppv v i t pkr

On calcule les dérivées secondes et on peut simplifier par le terme exp .expi t ipkr , on obtient alors :

k

r plans p

up

vp




5

2

0 0 0

2

0 0 0

1 2

1 2

exp

exp

K

Cl

m u Cv ikr Cu

m v Cu ikr Cv

Soit :

2

0 0

2

0 0

2 1 0

1 2 0

exp

exp

K

Cl

m C u C ikr v

C ikr u m C v

C’est un système de deux équations à deux inconnues u0 et v0, pour qu’il admette des solutions non nulles il

faut que le déterminant du système soit nul :

2

2

2 10

1 2

exp

exp

K

Cl

m C C ikr

C ikr m C

Soit :

4 2 22 2 1 0cosK Cl K Clm m C m m C kr

4. On effectue les changements de variable en fonction de et M définies au début de la question 2. et on

remplace le cosinus par le sinus. L’équation précédente devient :

1 4 2 2 22 4 02

sinkr

M CM C

C’est une équation bicarré dont les solutions sont : 1

22 2 1 2

1 42

.sinkr

C C M

1

22 2 1 2

2 42

.sinkr

C C M

5. Les représentations graphiques pour sont données sur la figure suivante :

k

Branche des phonons optiques

Branche des phonons acoustiques

0

(2C )1/2

(2C/mCl

)1/2

(2C/mK

)1/2

2r 6. D’après la figure précédente on voit qu’il existe un intervalle de fréquences à la limite de la première zone

de Brillouin pour lequel la vibration ne peut pas se propager. La largeur de cette bande de fréquences est :

2 2u d

Cl K

C C

m m

7. Dans le montage une impulsion ultrasonore est engendrée par le transducteur piézoélectrique, elle se

réfléchit successivement sur les faces elle est ensuite détectée.




6

Connaissant l’épaisseur e du cristal et le décalage entre deux échos successifs on obtient : -2

-6

2 2 1 00 10

2 40 10

,

,s

ev

= 8,33 10

3 m.s

-1

Remarque : Pour la distance parcourue par l’impulsion ultrasonore il faut compter l’aller et le retour !

Pour déterminer , il faut déterminer la constante de rappel C. La vitesse du son le long de la rangée [111]

est égale au coefficient directeur de la tangente à l’origine (courbe en vert). On obtient :

2s

Cv r

M

2

22

sv MC

r

On effectue une analyse dimensionnelle de C, on a alors :

[C] = M.T-2

Donc C s’exprime en kg.s-2

homogène au N.m-1

.

23 -3

223 -10

8 33 10 74 6 10

2 6,02 10 3,64 10

, ,C

= 32,5 N.m

-1

On peut ainsi calculer : 23

-3

2 2 32 5 6 02 10

35 5 10

, ,

,u

Cl

C

m

= 3,32 10

13 rad.s

-1

23

-3

2 2 32 5 6 02 10

39 1 10

, ,

,d

K

C

m

= 3,16 10

13 rad.s

-1

= 1,6 1012

rad.s-1

Soit E la largeur de cette bande interdite :

E = 2

h

E = 1,69 10-22

J

E = 1,06 10-3

eV

E = 1,06 meV

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