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IUFM de Basse Normandie Travaux dirigés Master 1

TD 5 : Capteurs

Ms. AVRIL & ERNOULT page 1 UE124-S2I Chaîne d’information et constituants

Exercice N° 1 :

Un capteur de pression et son conditionneur donnent en sortie une tension v en fonction de la

pression suivant la fonction suivante :

V = 33.10-3 p – 3.10-6 p² + 1.10-9 p3

Dans cette expression la pression p est en hectopascal (hPa) et la tension v en millivolt (mV). La

pression du milieu où l’on effectue les mesures par l’intermédiaire de ce capteur est susceptible

de varier entre 100 hPa et 2000 hPa.

1. Tracer l’allure de la courbe donnant v en fonction de p sur l’intervalle utile.

2. Quel est le mesurande ?

3. Quelle est l’étendue de mesure ?

4. Afin d’adopter une représentation linéaire approchée, on envisage deux solutions

possibles :

a. On linéarise en prenant la droite qui passe par les points d’abscisses 1000 hPa et

2000 hPa. Cette droite est appelée Da.

b. On linéarise en prenant la droite tangente à la courbe au point d’abscisses 1000

hPa. Cette droite est appelée Db.

Quelle est l’erreur maximale de linéarité et pour quelle(s) valeur(s) de p est-elle obtenue

pour chaque option ?

5. Quelle méthode devrait-on utiliser pour minimiser l’écart en linéarisant le signal de

sortie.

Exercice N°2 :

Un capteur mesure une grandeur physique G homogène à un intervalle de temps de mesure t. La grandeur de sortie est is compris entre 4mA et 20mA. Le lien entre ces deux grandeurs est : is = 6 * 10-5.t2 + 3 * 10-2.t + 3,6 * 10-3 avec is en A et t en secondes

1. Dans cette expression, quel est le mesurande ? 2. Quelle est l’expression de la sensibilité σ ? 3. Quelles sont la valeur maximum tM et la valeur minimum tm de t accessible par la mesure

avec ce capteur ? 4. Quelle est l’expression de l’erreur de linéarité ε(t) ? 5. Pour quelle valeur de t1 la sensibilité est-elle maximale ? Quelle est sa valeur σM en

µA/ms ?


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Correction

Exercice N° 1 :

Un capteur de pression et son conditionneur donnent en sortie une tension v en fonction de la

pression suivant la fonction suivante : V = 33.10-3 p – 3.10-6 p² + 1.10-9 p3

Dans cette expression la pression p est en hectopascal (hPa) et la tension v en millivolt (mV). La

pression du milieu où l’on effectue les mesures par l’intermédiaire de ce capteur est susceptible

de varier entre 100 hPa et 2000 hPa.

1. Tracer l’allure de la courbe donnant v en fonction de p sur l’intervalle utile.

V P

3,27001 100

6,48008 200

9,63027 300

12,72064 400

15,75125 500

18,72216 600

21,63343 700

24,48512 800

27,27729 900

30,01 1000

32,68331 1100

35,29728 1200

37,85197 1300

40,34744 1400

42,78375 1500

45,16096 1600

47,47913 1700

49,73832 1800

51,93859 1900

54,08 2000

2. Quel est le mesurande ? le mesurande est la pression

3. Quelle est l’étendue de mesure ?

L’étendue de mesure est de [100hPa ; 2000hPa]

4. Afin d’adopter une représentation linéaire approchée, on envisage deux solutions

possibles :

a. On linéarise en prenant la droite qui passe par les points d’abscisses 1000 hPa et

2000 hPa. Cette droite est appelée Da.

ε : Valeur d’après le graphique : environ 3 mV


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b. On linéarise en prenant la droite à la courbe au point d’abscisses 1000 hPa. Cette

droite est appelée Db.

5. Quelle méthode devrait-on utiliser pour minimiser l’écart en linéarisant le signal de

sortie.

Chercher la droite qui va optimiser l’écart en appliquant la droite des moindres carrés




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Exercice N°2 :

Un capteur mesure une grandeur physique G homogène à un intervalle de temps de mesure t. La grandeur de sortie est is compris entre 4mA et 20mA. Le lien entre ces deux grandeurs est : is = 6 * 10-5.t2 + 3 * 10-2.t + 3,6 * 10-3 avec is en Ampère et t en secondes

1. Dans cette expression, quel est le mesurande ? La mesure est la grandeur d’entrée ici G mais associé à une mesure de temps t : d’où le mesurande est ici t.

2. Quelle est l’expression de la sensibilité σ ? σ = Variation du signal de sortie (∆s) = ds d’où σ = dis / dt Variation de la grandeur à mesurer (∆m) dm D’après l’équation, lorsque celle-ci est dérivée par rapport au temps, on obtient : σ = dis / dt = 12 * 10-5 t + 3 * 10-2

3. Quelles sont la valeur maximum tM et la valeur minimum tm de t accessible par la mesure avec ce capteur ?

Valeur maximum de t pour is = 20 mA : 0.02 = 0.03 tM + 0.0036 + 0.00006 tM

2 D’où ∆ = b² - 4ac = 0.00090394 donc tm1 = (–b - √∆) / 2a = 0.546624 Sec soit 546.624 msec donc tm2 = (–b + √∆) / 2a = -500.547 Sec résultat impossible On a donc tM = 546.624 ms

Valeur minimum de t pour is = 4 mA : 0.004 = 0.03 tm + 0.0036 + 0.00006 tm

2 D’où ∆ = b² - 4ac = 0.000900096 donc tm1 = (–b - √∆) / 2a = 0.01333 Sec soit 13.33 msec donc tm2 = (–b + √∆) / 2a = -500.013 Sec résultat impossible On a donc tm = 13.33 mA

4. Quelle est l’expression de l’erreur de linéarité ε(t) ? Un capteur linéaire équivalent à notre capteur possède une équation d’évolution de type Y = a X + b passant par les deux points (13.33msec ; 4 mA) et (546.624 msec ; 20 mA) L’erreur de linéarité ε(t) correspond à l’erreur entre la courbe d’étalonnage du capteur et cette droite linéaire.

ε(t) = s1 - s2 Recherche de l’équation de la droite linéaire Y = aX +b 20 = a x 546.624 + b 4 = a x 13.33 + b D’où (1) – (2) 20-4 = a (546.624-13.33) +b –b = 16/533.294 = 0.03 D’où b = 4 – (0.03 * 13.33) = 3.6 La droite a donc pour équation is = 0.03t + 3.6

ε(t) = s1 - s2 = 0.03 t + 3.6 – (6 * 10-5.t2 + 3 * 10-2.t + 3,6 * 10-3)


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= - 6 * 10-5.t2 + (0.03– 0.03) t + (3.6 - 0.0036) = - 6 * 10-5.t2 + (3.5964) D’où t = 244.82 ms valeur ou l’écart est maximal Dans l’équation 1 : 6 * 10-5.t2 + 3 * 10-2.t + 3,6 * 10-3 on obtient 10.94mA Dans l’équation 2 : 0.03 t + 3.6 on obtient 10.9441mA L’erreur sera donc de 10.9441 – 10.94 = 0.0041 mA soit 4.1µA

5. Pour quelle valeur de t1 la sensibilité est-elle maximale ? Quelle est sa valeur σM en

µA/ms ? La valeur σMax sera maximale lorsque l’équation sera à t maxi. D’où : 12 * 10-5 t + 3 * 10-2 = (12 * 10-5 * 0.546624) + 3 * 10-2 = 30.1 µA/ms

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