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Universite Antonine Semestre-2Annee 2012-2013

TD chapitre 2 : Matrices

1. Trouver les matrices associees aux applications lineaires suivantes :

(a) L’application identique de R3 dans R3 (base canonique) ;

(b) Pr : R2 → R2; (x, y)→ (x, 0) ;

(c) f : R2 → R2 ou f est la projection sur la premiere bissectrice parallelement a la deuxiemebissectrice ;

(d) La symetrie par rapport a l’axe (0x) ;

(e) La rotation dans R2 d’angle θ ;

(f) f : R3 → R2; (x, y, z)→ (x− y, z − y) ;

(g) f : Rn → R; (x1, x2, . . . , xn)→ u1x1 + u2x2 + . . . unxn.

2. A=

[1 −11 0

]; B=

[1 1 11 1 0

]; C=

1 11 21 3

; D=

1 1 −12 1 01 −1 1

;

E=

1 −1 34 3 21 −2 5

; F=

1 1 10 1 10 0 1

; G=

[1 20 1

]; H=

[1 2 1

];

J=

1 1 2 1 12 1 1 1 11 1 1 2 12 1 1 1 11 1 1 1 2

; K=

1 0 0 0 11 1 0 0 01 0 1 0 01 0 0 1 01 0 0 0 1

; L=

1 −1 2−1 2 02 0 3

;

M=

1 4 −24 2 1−2 1 2

; N=

1 0 00 1 13 1 1

; P=

1 1 10 1 01 0 0

; Q=

1 1 11 2 10 −1 −1

(a) Calculer : A×B×C ; C×B+ 2D− I3 ; (E+D)×F ; H×E ; H×D×C ; (J −K)×K ;

K2 ; G× A×B × C ; C ×G× A×B.

(b) Calculer G2 et G3. Deduire Gn.

(c) Calculer F − I3 puis (F − I3)n.

(d) Donner KT ; HT ; CT ; F T ; AT .

(e) Calculer tr(A) ; tr(K + I5) ; tr(J).

(f) Trouver x, y, z et t sachant que

[x+ y 2x− yz 2t

]= A.

(g) Trouver la matrice M :

i. A×M = G

ii. M × E = F

(h) Calculer L × M et M × L. Deduire une loi generale pour le produit de deux matricessymetriques.

(i) Calculer N × P et N ×Q. A-t-on P = Q ? N peut-elle etre inversible ?

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3. On donne les matrices diagonales suivantes :

A =

1 0 00 3 00 0 2

et B =

2 0 00 −1 00 0 4

(a) Calculer AB et BA.

(b) Que peut-on deduire ?

(c) Sachant que C est une matrice inversible et diagonale, calculer C−1.

4. Soit A(θ) =

[cos θ − sin θsin θ cos θ

]ou θ ∈ R.

Calculer An(θ) pour tout n ∈ N.

5. Une entreprise E proprietaire de plusieurs boutiques avait en stock durant le mois d’oc-tobre 2010, des postes de television T , des chaınes de stereo S, des tourne-disques D et desmagnetophones M .Dans le 1er magasin, il y a avait : 10T , 15S, 9D, et 12M .Le 2nd magasin contenait : 20T , 14S, 8D, et 5M .Le 3eme magasin groupait : 16T , 8S, 15D, et 6M .Le 4eme magasin comportait :25T , 15S, 7D, et 16M .Le 5eme magasin rassemblait :5T , 12S, 20D, et 18M .

(a) Exprimer les stocks existants sous forme matricielle.

(b) Durant la derniere semaine de novembre 2010, la societe mere effectue les livraisons L ases magasins :

L =

4 3 5 20 9 6 15 7 2 610 2 4 87 6 3 5

Que deviennent alors les stocks ?

(c) Un etat mensuel de vente V revele que durant le mois de decembre 2010, V etait egal a :

V =

8 12 6 810 10 8 416 6 8 620 14 6 86 10 12 8

Quel niveau auront les stocks au debut janvier 2011 ?

(d) Si le prix d’un poste de television est de 300 $, le prix d’une chaıne de stereo est de 200$, le prix d’un tourne-disque est egal a 75 $, et le prix d’un magnetophone est egal a 50$, calculer la valeur des ventes effectuees durant le mois de decembre 2010.

(e) On suppose que la moitie des ventes a ete realisee en janvier 2011, mais avec une augmen-tation du prix de 25 %. Calculer la valeur des ventes effectuees en janvier 2011.

6. Montrer que les matrices A =

[1 −2−2 1

]; B =

[1 33 6

]; C =

[−1 11 −3

]forment une

base de l’espace vectoriel des matrices symetriques d’ordre 2.

Decomposer sur cette base la matrice M =

[a bb c

].

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7. Soit A =

[2 12 1

].

Trouver toutes les matrices carrees X telles que AX = XA = A.

8. On considere les 4 matrices carrees de M2(R) suivantes :

A1 =

[1 00 0

]; A2 =

[0 10 0

]; A3 =

[0 01 0

]; A4 =

[0 00 1

](a) Montrer qu’une condition necessaire et suffisante pour qu’une matrice X commute avec

toutes les matrices de M2(R) est que X commute avec A1, A2, A3 et A4.

(b) Deduire la forme de X.

9. Trouver toutes les matrices qui commutent avec A =

[a b0 a

].

10. Calculer la matrice inverse de chacune des matrices suivantes :

A =

1 1 11 2 30 1 1

; B =

1 1 11 1 21 −1 1

11. On considere les deux matrices suivantes :

A =

−1 1 11 −1 11 1 −1

; B =

1 0 20 −1 11 −2 0

(a) Montrer que A2 = 2I − A.

Deduire que A est inversible et calculer A−1.

(b) Calculer B3 −B.Deduire que B est inversible et calculer B−1.

12. Soit M =

[1 −1−2 2

].

(a) Calculer M2 puis exprimer M2 en fonction de M .

(b) Calculer M3 et M4 en fonction de M .

(c) Deduire une relation de recurrence entre Mn et M ou n ∈ N∗.

13. On donne A =

−3 1 11 −3 11 1 −3

.

(a) Calculer B = A+ 4I3.

(b) Trouver une relation simple (R) entre B et B2.

(c) En utilisant la relation (R), trouver une relation entre I3, A et A2.

(d) Deduire que A est inversible et calculer A−1.

14. Soit A une matrice d’ordre n a coefficients complexes, verifiant, pour un certain nombre p > 1,la relation :

Ap + Ap−1 + . . .+ A2 + A+ In = 0

(a) Montrer que A est inversible, et exprimer A−1 a l’aide des puissances entieres de A.

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(b) Calculer l’inverse de la matrice A ci-dessous, en montrant que A3 + A2 + A+ I3 = 0.

A =

0

1 + i

2

1− i2

i−1 + i

2

−1 + i

2

−i −1− i2

−1− i2

15. On donne : Mα =

1 α α2

0 1 2α0 0 1

, ou α ∈ R.

(a) Montrer que Mα ×Mβ = Mα+β.

(b) Deduire que Mα est inversible.

(c) Calculer (Mα)n ou n ∈ N∗.

16. Une matrice carree N est dite ”Nilpotente” s’il existe p ∈ N tel que Np = 0.

(a) Montrer que si N est nilpotente alors I −N est inversible et

(I −N)−1 = I +N + . . .+Np−1

(b) Calculer alors l’inverse de la matrice

A =

1 a b c0 1 a b0 0 1 a0 0 0 1

17. On considere les endomorphismes de R2 suivants :

f(x, y) = (2y; 3x− y) g(x, y) = (3x− 4y;x+ 5y)

Ecrire la matrice associee a chaque endomorphisme relativement a la base canonique, puis a labase {e1 = (1; 3); e2 = (2; 5)}.

18. E = R3 est associe a sa base canonique B = {−→i ,−→j ,−→k }. Soient −→e1 = (0, 1, 1), −→e2 = (1, 0, 1) et

−→e3 = (1, 1, 0) trois vecteurs E.

(a) i. Montrer que B1 = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3} est une base de E.

ii. Ecrire −→e1 , −→e2 et −→e3 en fonction de−→i ,−→j et

−→k .

iii. Ecrire−→i ,−→j et

−→k en fonction de −→e1 , −→e2 et −→e3 .

iv. Soit−→X =

−→i + 2

−→j + 3

−→k . Donner les coordonnees de

−→X dans la base B1.

v. Soit−→Y = −→e1 + 2−→e2 + 3−→e3 . Donner les coordonnees de

−→Y dans la base B.

(b) Soit f une application lineaire de E dans E definie par :

f(−→i ) = 2

−→i +−→j ; f(

−→j ) = −−→i + 3

−→j +−→k ; f(

−→k ) =

−→j −−→k

i. Trouver la matrice M associee a f relativement a la base B.

ii. On cherche M1, la matrice associee a f relativement a la base B1.

A. Donner les coordonnees de f(−→e1 ), f(−→e2 ) et f(−→e3 ) dans la base B.

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B. Utiliser la question 18(a)iii pour ecrire les vecteurs f(−→e1 ), f(−→e2 ) et f(−→e3 ) dans labase B1.

C. Deduire M1.

iii. Trouver M1 directement, en utilisant les matrices de passage.

19. Soit f une application lineaire definie sur R3 par : f(x, y, z) = (2y + z, x − 4y, 3x). Ecrire lamatrice associee a f relativement a la base canonique, et a la base {(1, 1, 1); (1, 1, 0); (1, 0, 0)}.

20. Soit f l’endomorphisme de R3 represente dans la base canonique par la matriceA =

3 −1 10 2 01 −1 3

.

Determiner la matrice A′ qui represente f dans la base {e′1 = (1; 0;−1); e′2 = (0; 1; 1); e′3 =(1; 0; 1)}.

21. Soit P (x) l’ensemble des polynomes entiers en x de degres inferieurs a 3. On considere dansP (x) l’application d qui a tout polynome fait correspondre sa derivee.Determiner la matrice associee a d sachant que P (x) est muni de sa base {1;x;x2;x3}.

22. On donne la matrice A d’une application lineaire f par rapport aux bases B3 de R3 et B2 deR2 :

A =

2 4−1 30 1

B2 = {(1; 1), (1; 2)} B3 = {(1; 1; 1), (1;−1; 1), (1, 1,−1)}

(a) Trouver la matrice B de f par rapport aux bases canoniques.

(b) Determiner l’expression de f(x, y).