matrices slides 5

7/24/2019 Matrices Slides 5

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Cours dAlgbre IIChap. 2 : Calcul Matriciel

Pr. Youssef JABRI

ENSA dOujda, Maroc

Mars 2015 / Cours

Youssef JABRI Cours dAlgbre II
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Structure despace vectoriel

K R ou K C.

Loi de composition externe

Dfinition

On appellematricede type ou de taillem n pou pm, nq q pourmlignesetncolonnes coefficientsdans K, toute familleA paijqij p1 i m,

1 j nq reprsente par :

a11 a12 a1na21 a22 a2n

... ...

. . . ...

am1 am2 amn

fi

ffiffiffiflou A

`ai,j1in1jp

.

On noteMm,npKq lensemble des matrices de type pm, nq.

http://goforward/http://find/http://goback/


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Exemple

A

1 2 50 3 7

est une matrice2 3avec, par exemple,a1,1 1eta2,3 7.

Remarque

Deux matrices sontgaleslorsquelles ont la mme taille et lescoefficients correspondants sont gaux.

Les lments deMm,npRq sont appelsmatrices relles.

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Matrices particulires

Sin p(mme nombre de lignes que de colonnes), la matrice estdite

matrice carre. On noteMnpKq au lieu deMn,npKq.

a1,1 a1,2 . . . a1,na2,1 a2,2 . . . a2,n

... ...

. . . ...

an,1 an,2 . . . an,n

Les lmentsa1,1, a2,2, . . . , an,nforment ladiagonale principalede lamatrice.

Une matrice qui na quune seule ligne (n 1) est appelematriceligneouvecteur ligne. On la note

A `

a1,1 a1,2 . . . a1,p

.

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De mme, une matrice qui na quune seule colonne (p 1) est

appelematrice colonneouvecteur colonne. On la note

A

a1,1a2,1

..

.an,1

.

La matrice (de taillen p) dont tous les coefficients sont des zros estappele lamatrice nulleet est note0n,pou plus simplement0. Dans le

calcul matriciel, la matrice nulle joue le rle du nombre 0pour les rels.



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Addition de matrices

Dfinition (Somme de deux matrices)

SoientAetBdeux matrices ayant la mme taillen p. LeursommeC A ` Best la matrice de taillen pdfinie par

cij aij ` bij.

En dautres termes, on somme coefficients par coefficients.

Exemple

Si A

3 21 7

et B

0 5

2 1

alors A ` B

3 3

3 6

.

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Dfinition (Produit dune matrice par un scalaire)

Le produit dune matriceA `

aij

deMn,ppKq par un scalaire P K estla matrice

`aij

forme en multipliant chaque coefficient de Apar. Elle

est note A(ou simplementA).

Exemple

Si A

1 2 3

0 1 0

et 2 alors A

2 4 6

0 2 0

.

La matrice p1qAest lopposedeAet est note A. LadiffrenceA Best dfinie parA ` pBq.

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Exemple

Si A

2 1 0

4 5 2

et B

1 4 2

7 5 3

alors A B

3 5 23 0 1

.

Laddition et la multiplication par un scalaire ont les proprits :

Proposition

SoientA,BetCtrois matrices dansMn,ppKq. et, P K deux scalaires.

1 A ` B B ` A: la somme est commutative,

2 A ` pB ` Cq pA ` Bq ` C: la somme est associative,3 A ` 0 A: la matrice nulle est llment neutre de laddition,

4 p` qA A ` A,

5 pA ` Bq A ` B.


d i d M i
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produit de Matrices

Le produitABde deux matricesAetBest dfini si et seulement si le nombre

de colonnes deAest gal au nombre de lignes de B.Dfinition (Produit de deux matrices)

SoientA paijq une matricen petB pbijq une matricep q. Alorsle produitC ABest une matricen qdont les coefficientscijsont

dfinis par :

cijp

k1

aikbkj

On peut crire le coefficient de faon plus dveloppe, savoir :

cij ai1b1j ` ai2b2j ` ` aikbkj ` ` aipbpj.

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Il est commode de disposer les calculs de la faon suivante.

B

A

||

cij

AB

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Exemple

A

1 2 32 3 4

B 1 2

1 11 1

Ondispose dabord le produit correctement: la matrice obtenue est detaille2 2.

Puis on calcule chacun des coefficients :c11 1 1 ` 2 p1q ` 3 1 2,

1 2

1 11 1

1 2 3

2 3 4

c11 c12c21 c22

et on calcule

1 2

1 11 1

1 2 3

2 3 4

2 c12c21 c22

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Un exemple intressant est le produit dun vecteur ligne parun vecteurcolonne :

u

`a1 a2 an

v

b1b2...

bn

Alorsuvest une matrice de taille 1 1dont lunique coefficient esta1b1 ` a2b2 ` ` anbn. Ce nombre sappelle leproduit scalairedesvecteursuetv.


Piges viter
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Piges viter

Le produit de matrices nest pas commutatif en gnral.

En effet, il se peut queABsoit dfini mais pasBA, ou queABetBAsoienttous deux dfinis mais pas de la mme taille.Mais mme dans le cas o ABetBAsont dfinis et de la mme taille, on aen gnralAB BA.

Exemple

5 1

3 2

2 0

4 3

14 3

2 6

mais2 0

4 3

5 1

3 2

10 2

29 2

.


AB 0 i li A 0 B 0
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AB 0nimplique pasA 0ouB 0.Il se peut que le produit de deux matrices non nulles soit nul.En dautres termes, on peut avoirA 0etB 0maisAB 0.

Exemple

A

0 10 5

B

2 30 0

et AB

0 0

0 0

.

AB ACnimplique pasB C.On peut avoirAB ACetB C.

Exemple

A

0 10 3

B 4 1

5 4

C

2 55 4

et

AB AC

5 415 12

.


Proprits du produit de matrices
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Proprits du produit de matrices

Le produit vrifie les proprits suivantes :

Proposition

1 ApBCq pABqC: associativit du produit,

2 ApB ` Cq AB ` AC et pB ` CqA BA ` CA: distributivitdu produit par rapport la somme,

3 A 0 0 et 0 A 0.

La matrice carre dont les lments diagonaux sont gaux 1et tous sesautres lments sont gaux 0se noteInet sappellela matrice identit:

In

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

... . . .

...0 0 . . . 1


P iti
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Proposition

SiAest une matricen p, alors

In A A et A Ip A.

Dans lensembleMnpKq des matrices carres de taillen n coefficientsdans K, la multiplication des matrices est une opration interne :

A, B P MnpKq AB P MnpKq

En particulier, on peut multiplier une matrice carre par elle-mme : on noteA2 A A,A3 A A A.

Dfinition

Pour toutA P MnpKq, on dfinit les puissances successives deApar :A0 InetA

p`1 Ap Apour toutp P N. Autrement dit,

Ap A A Alooooooooomooooooooonp-fois

.


Inverse dune matrice
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Inverse d une matrice

Dfinition (Matrice inverse)

SoitAune matrice carre de taillen n. Sil existe une matrice carreBde

taillen ntelle que

AB I et BA I,

on dit queAestinversible. On appelleBlinverse deAet on la noteA1.

On verra plus tard quil suffit en fait de vrifier une seule des conditionsAB Iou bienBA I.

Plus gnralement, quandAest inversible, pour toutp P N, on note :

A p pA1qp A1A1 A1loooooooomoooooooonp-fois

.

Lensemble des matrices inversibles deMnpKq est notGLnpKq.

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Exemple

SoitA `

1 20 3

. tudier siAest inversible, cest tudier lexistence dune

matriceB ` a bc d coefficients dans K, telle queAB IetBA I.AB I

1 2

0 3

a b

c d

1 0

0 1

a ` 2c b ` 2d3c 3d

1 00 1

"

a ` 2c 1, b ` 2d 0,3c 0, 3d 1

donca 1,b 2{3,c 0,d 1{3. DoncB 1 2{3

0 1{3

. Pourprouver quelle convient, il faut aussi montrer lgalit BA I.

La matriceAest donc inversible etA1

1 2{30 1{3

.

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Exemple

La matriceA `

3 05 0

nest pas inversible. En effet, soitB

a b

c d

une

matrice quelconque. Alors le produit

BA

a b

c d

3 0

5 0

3a ` 5b 03c ` 5d 0

ne peut jamais tre gal la matrice identit.

Exemple

SoitInla matrice carre identit de taille n n. Elle est inversible, et

son inverse est elle-mme.La matrice nulle0nde taillen nnest pas inversible. En effet,@B P MnpKq, on aB0n 0n, qui ne peut jamais tre la matriceidentit.


Proprits
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Proprits

Proposition

SiAest inversible, alors son inverse est unique.

Dmonstration.

SoientB1telle queAB1 B1A InetB2telle queAB2 B2A In.CalculonsB2pAB1q. Dune part, commeAB1 In, on aB2pAB1q B2.Dautre part, comme le produit des matrices est associatif, on aB2pAB1q pB2AqB1 InB1 B1. DoncB1 B2. l

Proposition

SoitAune matrice inversible. AlorsA1 est aussi inversible et on a :

pA1q1 A

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Proposition

SoientAetBdeux matrices inversibles de mme taille. Alors ABest

inversible et

pABq1 B1A1

Dmonstration.

Il suffit de montrer pB1A1qpABq Iet pABqpB1A1q I. Celadcoule de

pB1A1qpABq B1pAA1qB B1IB B1B I,

et pABqpB

1

A

1

q ApBB

1

qA

1

AIA

1

AA

1

I.

l


calcul de lInverse dune matrice2 2
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calcul de l Inverse d une matrice

Cette mthode est une reformulation de la mthode du pivot de Gauss pourles systmes linaires.

Considrons la matrice2 2:A

a b

c d

.

Proposition

Siad bc - 0, alorsAest inversible et

A1 1

ad bc

d bc a

Dmonstration.

On vrifie que siB 1adbc`

d bc a

alorsAB

`1 00 1

. Idem pour

BA. l


Mthode de Gauss pour inverser les matrices
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Mthode de Gauss pour inverser les matrices

La mthode pour inverser une matrice Aconsiste faire des oprationslmentaires sur les lignes de la matriceAjusqu la transformer en la

matrice identitI. On fait simultanment les mmes oprations lmentairesen partant de la matriceI. On aboutit alors une matrice qui est A1.

En pratique, on fait les deux oprations en mme temps en adoptant ladisposition suivante : ct de la matriceAque lon veut inverser, on rajoute

la matrice identit pour former un tableau pA | Iq. Sur les lignes de cettematrice augmente, on effectue des oprations lmentaires jusqu obtenir letableau pI | Bq. Et alorsB A1.Ces oprations lmentaires sur les lignes sont :

1 Li Liavec 0: on peut multiplier une ligne par un rel non nul(ou un lment de Kzt0u).

2 Li Li ` Ljavec P K (etj i) : on peut ajouter la ligne Liunmultiple dune autre ligneLj.

3 Li Lj: on peut changer deux lignes.


Un exemple
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p

Calculons linverse deA

1 2 1

4 0 1

1 2 2

.

Voici la matrice augmente, avec les lignes numrotes :

pA | Iq

1 2 1 1 0 0

4 0 1 0 1 0

1 2 2 0 0 1

L1

L2

L3

On applique la mthode de Gauss pour faire apparatre des0sur la premirecolonne, dabord sur la deuxime ligne par lopration lmentaireL2 L2 4L1qui conduit la matrice augmente :

1 2 1 1 0 00 8 5 4 1 0

1 2 2 0 0 1

L2L2 4L1


Puis un0sur la premire colonne, la troisime ligne, avec L3 L3 ` L1:
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25/56

p g

1 2 1 1 0 0

0 8 5 4 1 00 4 3 1 0 1

L3L3`L1On multiplie la ligneL2afin quelle commence par1:

1 2 1 1 0 0

0 1 5812

18 0

0 4 3 1 0 1

L2

1

8L2

On continue afin de faire apparatre des0partout sous la diagonale, et onmultiplie la ligneL3. Ce qui termine la premire partie :

1 2 1 1 0 0

0 1 5

8

1

2

1

8

0

0 0 12 1 1

2 1

L3L3 4L2

puis

1 2 1 1 0 0

0 1 5812

18 0

0 0 1 2 1 2

L32L3Youssef JABRI Cours dAlgbre II
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26/56

Puis on remonte pour faire apparatre des zros au-dessus de la diagonale :

1 2 1 1 0 0

0 1 0 7

4

3

4

5

40 0 1 2 1 2

L2L2 58L3

puis

1 0 0 12

12

12

0 1 0 74 3

4 5

4

0 0 1 2 1 2

L1L12L2L3

Ainsi linverse deAest la matrice obtenue droite et aprs avoir factoristous les coefficients par 14 , on a obtenu :

A1 142 2 2

7 3 58 4 8

On noublie pas la fin de vrifier rapidement que A A1 I.


Dterminants
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27/56

On note le dterminant dune matriceA paijq par

det A ou

a11 a12 a1na21 a22 a2n

..

.

...

...

an1 an2 ann

Si on noteCilai-me colonne deAalors

detA

C1 C2 Cn

detpC1, C2, . . . , Cnq


le dterminant estlinairepar rapport chaque vecteur colonne, les
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28/56

p pp qautres tant fixs

detpC1, . . . , Cj ` C1

j , . . . , Cnq

det

pC1, . . . , Cj, . . . , Cnq ` det

pC1, . . . , C

1

j , . . . , Cnqcest--dire

a11 a1j ` a11j a1n

... ...

...

ai1 aij ` a1ij ain...

... ...

an1 anj ` a1nj ann

a11 a1j a1n

... ... ...ai1 aij ain

... ...

...an1 anj ann

`

a11 a11j a1n

... ... ...ai1 a

1ij ain

... ...

...an1 a

1nj ann


Premires proprits
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29/56

p p

det 0n 0(par la proprit (ii))

det In 1(par la proprit (iii))

Proposition

SoitA pC1, C2, . . . , Cnq P MnpKqSoitA 1 P MnpKq obtenue par opration lmentaire sur les colonnes :

1 Ci Ciavec 0. Alors det A1 det A

2 Ci Ci ` Cjavec P K (etj i). Alors det A1 det A

3 Ci Cj. Alorsdet A 1 det A

Plus gnralement pour (2),Ci Ci `n

j1ji

jCjconserve le dterminant


Dterminant de matrices particulires
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30/56

Proposition

Le dterminant dune matrice triangulaire suprieure (ou infrieure) estgal

au produit des termes diagonaux

Pour une matrice triangulaireA paijq

det A

a11 a12 . . . . . . . . . a1n0 a22 . . . . . . . . . a2n

... . . . . . . ...

... . . .

. . . ...

... . . .

. . . ...

0 . . . . . . . . . 0 ann


Dterminant de matrices particulires
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31/56

Proposition

Le dterminant dune matrice triangulaire suprieure (ou infrieure) estgal

au produit des termes diagonaux

Pour une matrice triangulaireA paijq

det A

a11 a12 . . . . . . . . . a1n0 a22 . . . . . . . . . a2n

... . . . . . . ...

... . . .

. . . ...

... . . .

. . . ...

0 . . . . . . . . . 0 ann

a11 a22 ann

Corollaire

Le dterminant dune matrice diagonale est gal au produit des termes

diagonaux

http://find/


32/56

Exemple

Calculer det A avecA

0 3 2

1 6 6

5 9 1

http://find/


33/56

Exemple


0 3 2

1 6 6

5 9 1

C1 C2


l
http://find/


34/56

Exemple


0 3 2

1 6 6

5 9 1

det A

p1q det

3 0 2

6 1 69 5 1

C1 C2


E l
http://find/


35/56

Exemple


0 3 2

1 6 6

5 9 1

det A

p1q det

3 0 2

6 1 69 5 1

C1 13 C1


E l
http://find/


36/56

Exemple


0 3 2

1 6 6

5 9 1

det A

p1q det

3 0 2

6 1 69 5 1

p1q 3 det

1 0 2

2 1 63 5 1

C1 13 C1


E l


37/56

Exemple


0 3 2

1 6 6

5 9 1

det A

p1q det

3 0 2

6 1 69 5 1

p1q 3 det

1 0 2

2 1 63 5 1

C3

C3

2C1


Exemple
http://find/


38/56

Exemple


0 3 2

1 6 6

5 9 1

det A

p1q det

3 0 2

6 1 69 5 1

p1q 3 det

1 0 2

2 1 63 5 1

p1q 3 det

1 0 02 1 10

3 5 5

C3

C3

2C1


Exemple
http://find/


39/56

Exemple


0 3 2

1 6 6

5 9 1

det A

p1q det

3 0 2

6 1 69 5 1

p1q 3 det

1 0 2

2 1 63 5 1

p1q 3 det

1 0 02 1 10

3 5 5

C3 C3 10C2


Exemple
http://find/


40/56

Exemple


0 3 2

1 6 6

5 9 1

det A

p1q det

3 0 2

6 1 69 5 1

p1q 3 det

1 0 2

2 1 63 5 1

p1q 3 det

1 0 02 1 10

3 5 5

p1q 3 det

1 0 02 1 0

3 5 55

C3 C3 10C2


Exemple


41/56

Exemple


0 3 2

1 6 6

5 9 1

det A

p1q det

3 0 2

6 1 69 5 1

p1q 3 det

1 0 2

2 1 63 5 1

p1q 3 det

1 0 02 1 10

3 5 5

p1q 3 det

1 0 02 1 0

3 5 55

p1q 3 p55q


Exemple


42/56

Exemple


0 3 2

1 6 6

5 9 1

det A

p1q det

3 0 2

6 1 69 5 1

p1q 3 det

1 0 2

2 1 63 5 1

p1q 3 det

1 0 02 1 10

3 5 5

p1q 3 det

1 0 02 1 0

3 5 55

p1q 3 p55q 165


Dterminant dun produit


43/56

Thorme

detpA Bq det A det B

Thorme

Une matrice carreAest inversiblesi et seulement sison dterminant est

non nul. De plus siAest inversible, alors :

det`

A1

1{det A

ExempleDeux matricesA,Bsemblables B P1AP ont mme dterminant.En effet, det B detpP1APq det P1 det A det P det Acardet P1 1{det P.


Cofacteur


44/56

Dfinition

SoitA `

aij

P MnpKq une matrice carre

Aijest la matrice extraite obtenue en effaant la ligneiet la colonnej

deALe nombre det Aijest unmineur dordren 1de la matriceA

Le nombreCij p1qi j det Aijest lecofacteurdeArelatif au

coefficientaij


Dveloppement suivant une ligne ou une colonne


45/56

ThormeFormule de dveloppement par rapport la ligne i

det A n

j1

p1qi jaijdet Aijn

j1

aijCij

Formule de dveloppement par rapport la colonnej

det A n

i1

p1qi jaijdet Aijn

i1

aijCij


Exemple
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46/56

A

4 0 3 1

4 2 1 0

0 3 1 11 0 2 3


Exemple
http://find/


47/56

A

4 0 3 1

4 2 1 0

0 3 1 11 0 2 3

det A dvelop. par rapport C2


Exemple


48/56

A

4 0 3 1

4 2 1 0

0 3 1 11 0 2 3

det A 0C12 ` 2C22 ` 3C32 ` 0C42 dvelop. par rapport C2


Exemple


49/56

A

4 0 3 1

4 2 1 0

0 3 1 11 0 2 3


`2

4 3 1

0 1 11 2 3

3

4 3 1

4 1 0

1 2 3


Exemple
http://find/


50/56

A

4 0 3 1

4 2 1 0

0 3 1 11 0 2 3


`2

4 3 1

0 1 11 2 3

3

4 3 1

4 1 0

1 2 3

on dveloppeles dterminants3 3


Exemple
http://find/


51/56

A

4 0 3 1

4 2 1 0

0 3 1 11 0 2 3


`2

4 3 1

0 1 11 2 3

3

4 3 1

4 1 0

1 2 3


par rapport C1


Exemple
http://find/


52/56

A

4 0 3 1

4 2 1 0

0 3 1 11 0 2 3


`2

4 3 1

0 1 11 2 3

3

4 3 1

4 1 0

1 2 3


2

4

1 12 3

0

3 1

2 3

` 1

3 1

1 1

par rapport C1


Exemple


53/56

A

4 0 3 1

4 2 1 0

0 3 1 11 0 2 3


`2

4 3 1

0 1 11 2 3

3

4 3 1

4 1 01 2 3


2

4

1 12 3

0

3 1

2 3

` 1

3 1

1 1

par rapport C1

par rapport L2


Exemple
http://find/


54/56

A

4 0 3 1

4 2 1 0

0 3 1 11 0 2 3


`2

4 3 1

0 1 11 2 3

3

4 3 1

4 1 01 2 3


2

4

1 12 3

0

3 1

2 3

` 1

3 1

1 1

par rapport C1

3

43 12 3

` 14 11 3

04 31 2

par rapport L2


Exemple
http://find/


55/56

A

4 0 3 1

4 2 1 0

0 3 1 11 0 2 3


`2

4 3 1

0 1 11 2 3

3

4 3 1

4 1 01 2 3


2

4

1 12 3

0

3 1

2 3

` 1

3 1

1 1

par rapport C1

3

43 12 3

` 14 11 3

04 31 2

par rapport L2

2 4 5 ` 1 p 4q

3`

4 7 ` 1 11


Exemple
http://find/


56/56

A

4 0 3 1

4 2 1 0

0 3 1 11 0 2 3


`2

4 3 1

0 1 11 2 3

3

4 3 1

4 1 01 2 3


2

4

1 12 3

0

3 1

2 3

` 1

3 1

1 1

par rapport C1

3

43 12 3

` 14 11 3

04 31 2

par rapport L2

2 4 5 ` 1 p 4q

3`

4 7 ` 1 11

83

http://find/

matrices slides 5

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