math: matrices (french)
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French presentation on matrix calculationTRANSCRIPT
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
CHAPITRE 2: MATRICES ET DÉTERMINANTS
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
APERÇU
DÉFINITIONS:
definitionterminologie
OPÉRATIONS:sommemultiplicationmatrice inverse
SYSTÈME LINÉAIRE:
DÉTERMINANTS ET SYSTÈMES LINÉAIRES:
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
APERÇU
DÉFINITIONS:
definitionterminologie
OPÉRATIONS:sommemultiplicationmatrice inverse
SYSTÈME LINÉAIRE:
DÉTERMINANTS ET SYSTÈMES LINÉAIRES:
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
APERÇU
DÉFINITIONS:
definitionterminologie
OPÉRATIONS:sommemultiplicationmatrice inverse
SYSTÈME LINÉAIRE:
DÉTERMINANTS ET SYSTÈMES LINÉAIRES:
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
APERÇU
DÉFINITIONS:
OPÉRATIONS:
SYSTÈME LINÉAIRE:
résolution au moyen des matricescontrôle de la validité
DÉTERMINANTS ET SYSTÈMES LINÉAIRES:
calcul du déterminantcalcul de l’inverse au moyen d’un déterminantsystème de Cramer
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
APERÇU
DÉFINITIONS:
OPÉRATIONS:
SYSTÈME LINÉAIRE:
résolution au moyen des matricescontrôle de la validité
DÉTERMINANTS ET SYSTÈMES LINÉAIRES:
calcul du déterminantcalcul de l’inverse au moyen d’un déterminantsystème de Cramer
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
DÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE
DÉFINITION
A est une matrice ⇐⇒ A=
a11 a12 . . . a1j . . . a1la21 a22 . . . a2j . . . a2l
...... . . .
... . . ....
ai1 ai2 . . . aij . . . ail...
... . . .... . . .
...ak1 ak2 . . . akj . . . akl
.
DÉFINITION
k lignes et l colonnes → (k × l) matrixélément aij ou ai ,j
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
DÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE
DÉFINITION
A est une matrice ⇐⇒ A=
a11 a12 . . . a1j . . . a1la21 a22 . . . a2j . . . a2l
...... . . .
... . . ....
ai1 ai2 . . . aij . . . ail...
... . . .... . . .
...ak1 ak2 . . . akj . . . akl
.
DÉFINITION
k lignes et l colonnes → (k × l) matrixélément aij ou ai ,j
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
EXEMPLE
EXEMPLE:
A=
40 40 20 3031 27 16 2526 34 12 2521 27 9 2829 30 13 21
5 lignes et 4 colonnes → (5×4) matrixélément a21 = 31
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
EXEMPLE
EXEMPLE:
A=
40 40 20 3031 27 16 2526 34 12 2521 27 9 2829 30 13 21
5 lignes et 4 colonnes → (5×4) matrixélément a21 = 31
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
DÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE
DÉFINITION
A est une matrice nulle ⇐⇒ ∀i , j : aij = 0
EXEMPLE:
0=(0 0 00 0 0
)
DÉFINITION
A est une matrice carrée ⇐⇒ k = l
EXEMPLE:
A=−2 0 3
1 0 20 −4 1
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
DÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE
DÉFINITION
A est une matrice nulle ⇐⇒ ∀i , j : aij = 0
EXEMPLE:
0=(0 0 00 0 0
)
DÉFINITION
A est une matrice carrée ⇐⇒ k = l
EXEMPLE:
A=−2 0 3
1 0 20 −4 1
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
DÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE
DÉFINITION
A est une matrice symétrique ⇐⇒ ∀i , j : aij = aji
EXEMPLE:
A=−2 0 3
0 5 −43 −4 1
DÉFINITION
A est une matrice unité ⇐⇒ k = l et∀i = j : aij = 1,∀i 6= j : aij = 0
EXEMPLE:
I2 =(1 00 1
)
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
DÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE
DÉFINITION
A est une matrice symétrique ⇐⇒ ∀i , j : aij = aji
EXEMPLE:
A=−2 0 3
0 5 −43 −4 1
DÉFINITION
A est une matrice unité ⇐⇒ k = l et∀i = j : aij = 1,∀i 6= j : aij = 0
EXEMPLE:
I2 =(1 00 1
)
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
SOMME DE DEUX MATRICES
DÉFINITIONa11 . . . a1l...
. . ....
ak1 . . . akl
+b11 . . . b1l
.... . .
...bk1 . . . bkl
=
c11 . . . c1l...
. . ....
ck1 . . . ckl
avec cij = aij +bij
DÉFINITION
1 opération interne: A+B est une matrice2 associativité: A+ (B+C)= (A+B)+C3 élément neutre: A+0=A4 élément symétrique: A+ (−A)= 05 commutativité: A+B =B+A
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
MULTIPLICATION PAR UN NOMBRE RÉEL
DÉFINITION
k .
a11 . . . a1l...
. . ....
ak1 . . . akl
=
c11 . . . c1l...
. . ....
ck1 . . . ckl
avec cij = k .aij
DÉFINITION
∀r ,s ∈R1 première distributivité: r(A+B)= rA+ rB2 deuxième distributivité: (r +s)A= rA+sA3 associativité mixte: rs(A)= r(sA)
4 élément neutre: 1.A=A5 élément absorbant: 0.A= 0
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
MULTIPLICATION DE DEUX MATRICES
DÉFINITION
(a1 a2 . . . ai . . . am
).
b1b2...
bi...
bm
= (
c)
avec c = a1b1 +a2b2 + . . .+aibi . . .ambm
DÉFINITION
A.B =C avec A= (1×m),B = (m×1),C = (1×1)
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
MULTIPLICATION DE DEUX MATRICES
DÉFINITION
(a1 a2 . . . ai . . . am
).
b1b2...
bi...
bm
= (
c)
avec c = a1b1 +a2b2 + . . .+aibi . . .ambm
DÉFINITION
A.B =C avec A= (1×m),B = (m×1),C = (1×1)
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
MULTIPLICATION DE DEUX MATRICES
DÉFINITION
a11 . . . a1l...
. . ....
ai1 . . . ail...
. . ....
am1 . . . aml
.
b11 . . . b1j . . . b1n
... . . .... . . .
...bl1 . . . blj . . . bln
=
c11 . . . c1j . . . c1n... . . .
... . . ....
ci1 . . . cij . . . cin... . . .
... . . ....
cm1 . . . cmj . . . cmn
avec cij =Ai .Bj = ai1b1j +ai2b2j + . . .+ailblj
DÉFINITION
Ai =(ai1 ai2 . . . ail
)Bj =
b1jb2j...
blj
DÉFINITION
A.B =C avec A= (m× l),B = (l ×n),C = (m×n)
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
MULTIPLICATION DE DEUX MATRICES
DÉFINITION
a11 . . . a1l...
. . ....
ai1 . . . ail...
. . ....
am1 . . . aml
.
b11 . . . b1j . . . b1n
... . . .... . . .
...bl1 . . . blj . . . bln
=
c11 . . . c1j . . . c1n... . . .
... . . ....
ci1 . . . cij . . . cin... . . .
... . . ....
cm1 . . . cmj . . . cmn
avec cij =Ai .Bj = ai1b1j +ai2b2j + . . .+ailblj
DÉFINITION
Ai =(ai1 ai2 . . . ail
)Bj =
b1jb2j...
blj
DÉFINITION
A.B =C avec A= (m× l),B = (l ×n),C = (m×n)
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
MULTIPLICATION DE DEUX MATRICES
DÉFINITION
a11 . . . a1l...
. . ....
ai1 . . . ail...
. . ....
am1 . . . aml
.
b11 . . . b1j . . . b1n
... . . .... . . .
...bl1 . . . blj . . . bln
=
c11 . . . c1j . . . c1n... . . .
... . . ....
ci1 . . . cij . . . cin... . . .
... . . ....
cm1 . . . cmj . . . cmn
avec cij =Ai .Bj = ai1b1j +ai2b2j + . . .+ailblj
DÉFINITION
Ai =(ai1 ai2 . . . ail
)Bj =
b1jb2j...
blj
DÉFINITION
A.B =C avec A= (m× l),B = (l ×n),C = (m×n)
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
MULTIPLICATION DE DEUX MATRICES
DÉFINITION
1 pas de commutativité: A.B 6=B.A2 associativité: A.(B.C)= (A.B).C3 distributivité: A.(B+C)= (A.B)+ (A.C)
4 élément neutre: A.In = In.A=A (avec A= (n×n))
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
MATRICE TRANSPOSÉE
DÉFINITION
A=
a11 . . . a1l...
. . ....
ai1 . . . ail...
. . ....
am1 . . . aml
⇒AT =
a11 . . . ai1 . . . am1...
. . ....
. . ....
a1l . . . ail . . . aml
DÉFINITION
∀k ∈R1 (A+B)T =AT +BT
2 (A.B)T =BT .AT
3 (kA)T = k(AT )
4 (AT )T =A
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
MATRICE TRANSPOSÉE
DÉFINITION
A=
a11 . . . a1l...
. . ....
ai1 . . . ail...
. . ....
am1 . . . aml
⇒AT =
a11 . . . ai1 . . . am1...
. . ....
. . ....
a1l . . . ail . . . aml
DÉFINITION
∀k ∈R1 (A+B)T =AT +BT
2 (A.B)T =BT .AT
3 (kA)T = k(AT )
4 (AT )T =A
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
MATRICE INVERSE
DÉFINITION
A︸︷︷︸(n×n)
. A−1︸︷︷︸(n×n)
= A−1︸︷︷︸(n×n)
. A︸︷︷︸(n×n)
= In︸︷︷︸(n×n)
DÉFINITION
1 (A.B)−1 =B−1.A−1
Le reste suit plus tard!
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
MATRICE INVERSE
DÉFINITION
A︸︷︷︸(n×n)
. A−1︸︷︷︸(n×n)
= A−1︸︷︷︸(n×n)
. A︸︷︷︸(n×n)
= In︸︷︷︸(n×n)
DÉFINITION
1 (A.B)−1 =B−1.A−1
Le reste suit plus tard!
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
MATRICE INVERSE
DÉFINITION
A︸︷︷︸(n×n)
. A−1︸︷︷︸(n×n)
= A−1︸︷︷︸(n×n)
. A︸︷︷︸(n×n)
= In︸︷︷︸(n×n)
DÉFINITION
1 (A.B)−1 =B−1.A−1
Le reste suit plus tard!
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
TOUT LE MONDE: DEBOUT!
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
DÉFINITION D’UN SYSTÈME LINÉAIRE (CFR CH.1)
DÉFINITION
Un système (ensemble) d’équations linéaires:a11x1 +a12x2 + . . .+a1nxn = b1a21x1 +a22x2 + . . .+a2nxn = b2...am1x1 +am2x2 + . . .+amnxn = bm
1 m équations et n inconnues2 aij ,bi ∈R
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
DÉFINITION D’UN SYSTÈME LINÉAIRE (CFR CH.1)
DÉFINITION
Un système (ensemble) d’équations linéaires:a11x1 +a12x2 + . . .+a1nxn = b1a21x1 +a22x2 + . . .+a2nxn = b2...am1x1 +am2x2 + . . .+amnxn = bm
1 m équations et n inconnues2 aij ,bi ∈R
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
DÉFINITION D’UN SYSTÈME LINÉAIRE (CFR CH.1)
DÉFINITION
Un système (ensemble) d’équations linéaires:a11x1 +a12x2 + . . .+a1nxn = b1a21x1 +a22x2 + . . .+a2nxn = b2...am1x1 +am2x2 + . . .+amnxn = bm
SOUS FORME MATRICIELLE:a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
. . ....
am1 am2 . . . amn
.
x1x2...
xn
=
b1b2...
bm
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
RÉSOLUTION AU MOYEN DES MATRICES
DÉFINITION
Si A−1 existe, on a:A.X =B
⇐⇒ A−1.A.X =A−1.B
⇐⇒ I.X =A−1.B
⇐⇒ X =A−1.B
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
RÉSOLUTION AU MOYEN DES MATRICES
EXEMPLE:{3x +2y = 71x −1y = 4 et
{x = 3y =−1
CONTRÔLE:(3 21 −1
).
(3−1
)=
(74
)
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
RÉSOLUTION AU MOYEN DES MATRICES
EXEMPLE:{3x +2y = 71x −1y = 4 et
{x = 3y =−1
CONTRÔLE:(3 21 −1
).
(3−1
)=
(74
)
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
DÉFINITION D’UN DÉTERMINANT
DÉFINITION
La matrice A= (n×n) a un déterminant det(A) ou |A|
1 det(A1A2 . . .Ai . . .Aj . . .An)=−det(A1A2 . . .Aj . . .Ai . . .An)
2 det(A1A2 . . .λAi . . .An)= λdet(A1A2 . . .Ai . . .An)
3 det(A1A2 . . .Ai +Aj . . .An)=det(A1A2 . . .Ai . . .An)+det(A1A2 . . .Aj . . .An)
4 det(In)= 1
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
DÉFINITION D’UN DÉTERMINANT
DÉFINITION
La matrice A= (n×n) a un déterminant det(A) ou |A|
1 det(A1A2 . . .Ai . . .Aj . . .An)=−det(A1A2 . . .Aj . . .Ai . . .An)
2 det(A1A2 . . .λAi . . .An)= λdet(A1A2 . . .Ai . . .An)
3 det(A1A2 . . .Ai +Aj . . .An)=det(A1A2 . . .Ai . . .An)+det(A1A2 . . .Aj . . .An)
4 det(In)= 1
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
DÉFINITION D’UN DÉTERMINANT
1 det(A1A2 . . .Ai . . .Ai . . .An)=−det(A1A2 . . .Ai . . .Ai . . .An)⇒ detA= 0
2 det(λA)= det(λA1λA2 . . .λAi . . .λAn)= λn detA3 det(A1A2 . . .0 . . .An)= det(A1A2 . . .Ai −Ai . . .An)=
det(A1A2 . . .Ai . . .An)−det(A1A2 . . .Ai . . .An)= 0
4 det(A1A2 . . .Ai . . .An)= det(A1A2 . . .Ai +n∑
j=1, 6=iλjAj . . .An)
5 det
a 0 . . . 00 b . . . 0...
.... . .
...0 0 . . . z
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a 0 . . . 00 b . . . 0...
.... . .
...0 0 . . . z
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a.b. . . . .z
6 Ceci est aussi valable pour les lignes! (cfr plus loin)
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
CALCUL D’UN DÉTERMINANT
n = 2∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣=
∣∣∣∣a+0 0+b0+c d +0
∣∣∣∣=
∣∣∣∣a 0+b0 d +0
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣0 0+bc d +0
∣∣∣∣=
∣∣∣∣a 00 d
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣a b0 0
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣0 0c d
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣0 bc 0
∣∣∣∣= ad +0+0−bc= ad −bc
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
CALCUL D’UN DÉTERMINANT
n = 3(Sarrus)∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i
∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i
= aei +bfg+cdh−ceg−bdi −afh
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
CALCUL D’UN DÉTERMINANT: ABAISSEMENT DE
L’ORDRE
DÉFINITION
Mineur de aij = |∆ij |: barrer dans la matrice A la ligne i et lacolonne j et calculer det
DÉFINITION
Cofacteur de aij =Aij = (−1)i+j |∆ij |
DÉFINITION
Déterminant:
det(A)=n∑
i=1aijAij ou det(A)=
n∑j=1
aijAij
Choix de la ligne ou colonne est arbitraire (mais peutnéanmoins simplifier les calculs, cfr une colonne avecbeaucoup de 0)!
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
CALCUL D’UN DÉTERMINANT: ABAISSEMENT DE
L’ORDRE
DÉFINITION
Mineur de aij = |∆ij |: barrer dans la matrice A la ligne i et lacolonne j et calculer det
DÉFINITION
Cofacteur de aij =Aij = (−1)i+j |∆ij |
DÉFINITION
Déterminant:
det(A)=n∑
i=1aijAij ou det(A)=
n∑j=1
aijAij
Choix de la ligne ou colonne est arbitraire (mais peutnéanmoins simplifier les calculs, cfr une colonne avecbeaucoup de 0)!
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
CALCUL D’UN DÉTERMINANT: ABAISSEMENT DE
L’ORDRE
DÉFINITION
Mineur de aij = |∆ij |: barrer dans la matrice A la ligne i et lacolonne j et calculer det
DÉFINITION
Cofacteur de aij =Aij = (−1)i+j |∆ij |
DÉFINITION
Déterminant:
det(A)=n∑
i=1aijAij ou det(A)=
n∑j=1
aijAij
Choix de la ligne ou colonne est arbitraire (mais peutnéanmoins simplifier les calculs, cfr une colonne avecbeaucoup de 0)!
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
CALCUL D’UN DÉTERMINANT: ABAISSEMENT DE
L’ORDRE
DÉFINITION
Mineur de aij = |∆ij |: barrer dans la matrice A la ligne i et lacolonne j et calculer det
DÉFINITION
Cofacteur de aij =Aij = (−1)i+j |∆ij |
DÉFINITION
Déterminant:
det(A)=n∑
i=1aijAij ou det(A)=
n∑j=1
aijAij
Choix de la ligne ou colonne est arbitraire (mais peutnéanmoins simplifier les calculs, cfr une colonne avecbeaucoup de 0)!
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
CALCUL DE L’INVERSE
DÉFINITION
Matrice adjointe adj (A):1 Etablir AT
2 Remplacer chaque aij par Aij = (−1)i+j |∆ij |
DÉFINITION
Matrice inverse A−1 = adj (A)
det(A)
PROPRIÉTÉS:
1 det(A)= det(AT )
2 A est invertible ⇐⇒ det(A) 6= 03 det(AB)= det(A)det(B)
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
CALCUL DE L’INVERSE
DÉFINITION
Matrice adjointe adj (A):1 Etablir AT
2 Remplacer chaque aij par Aij = (−1)i+j |∆ij |
DÉFINITION
Matrice inverse A−1 = adj (A)
det(A)
PROPRIÉTÉS:
1 det(A)= det(AT )
2 A est invertible ⇐⇒ det(A) 6= 03 det(AB)= det(A)det(B)
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
CALCUL DE L’INVERSE
DÉFINITION
Matrice adjointe adj (A):1 Etablir AT
2 Remplacer chaque aij par Aij = (−1)i+j |∆ij |
DÉFINITION
Matrice inverse A−1 = adj (A)
det(A)
PROPRIÉTÉS:
1 det(A)= det(AT )
2 A est invertible ⇐⇒ det(A) 6= 03 det(AB)= det(A)det(B)
MM001
Ch2.
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DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
LA MÉTHODE DE CRAMER
ON DONNE:
A︸︷︷︸(n×n)
. X︸︷︷︸(n×1)
= B︸︷︷︸(n×1)
et det(A) 6= 0
ON NOTE:
A= (A1A2 . . .Ai−1AiAi+1 . . .An)
X = (X1)
B = (B1)
DÉFINITION
xi =det(A1A2 . . .Ai−1B1Ai+1 . . .An)
det(A1A2 . . .Ai−1AiAi+1 . . .An)= det(Ai)
det(A)
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
LA MÉTHODE DE CRAMER
ON DONNE:
A︸︷︷︸(n×n)
. X︸︷︷︸(n×1)
= B︸︷︷︸(n×1)
et det(A) 6= 0
ON NOTE:
A= (A1A2 . . .Ai−1AiAi+1 . . .An)
X = (X1)
B = (B1)
DÉFINITION
xi =det(A1A2 . . .Ai−1B1Ai+1 . . .An)
det(A1A2 . . .Ai−1AiAi+1 . . .An)= det(Ai)
det(A)
MM001
Ch2.
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DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
LA MÉTHODE DE CRAMER
ON DONNE:
A︸︷︷︸(n×n)
. X︸︷︷︸(n×1)
= B︸︷︷︸(n×1)
et det(A) 6= 0
ON NOTE:
A= (A1A2 . . .Ai−1AiAi+1 . . .An)
X = (X1)
B = (B1)
DÉFINITION
xi =det(A1A2 . . .Ai−1B1Ai+1 . . .An)
det(A1A2 . . .Ai−1AiAi+1 . . .An)= det(Ai)
det(A)
MM001
Ch2.
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DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
LA MÉTHODE DE CRAMER: EXEMPLE
ON DONNE: (k 2k −11 −3k
).
(xy
)=
(7
k −6
)
ETAPPE 1: det(A) ∣∣∣∣k 2k −11 −3k
∣∣∣∣=−3k2 −2k +1
Condition: |A| 6= 0 ⇐⇒ −3k2 −2k +1 6= 0 ⇐⇒ k 6∈ {−1, 13 }
ETAPPE 2A: k 6∈ {−1, 13 }
x =
∣∣∣∣ 7 2k −1k −6 −3k
∣∣∣∣−3k2 −2k +1
= −2k2 −21k −6−3k2 −2k +1
MM001
Ch2.
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DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
LA MÉTHODE DE CRAMER: EXEMPLE
ON DONNE: (k 2k −11 −3k
).
(xy
)=
(7
k −6
)
ETAPPE 1: det(A) ∣∣∣∣k 2k −11 −3k
∣∣∣∣=−3k2 −2k +1
Condition: |A| 6= 0 ⇐⇒ −3k2 −2k +1 6= 0 ⇐⇒ k 6∈ {−1, 13 }
ETAPPE 2A: k 6∈ {−1, 13 }
x =
∣∣∣∣ 7 2k −1k −6 −3k
∣∣∣∣−3k2 −2k +1
= −2k2 −21k −6−3k2 −2k +1
MM001
Ch2.
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DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
LA MÉTHODE DE CRAMER: EXEMPLE
ON DONNE: (k 2k −11 −3k
).
(xy
)=
(7
k −6
)
ETAPPE 1: det(A) ∣∣∣∣k 2k −11 −3k
∣∣∣∣=−3k2 −2k +1
Condition: |A| 6= 0 ⇐⇒ −3k2 −2k +1 6= 0 ⇐⇒ k 6∈ {−1, 13 }
ETAPPE 2A: k 6∈ {−1, 13 }
x =
∣∣∣∣ 7 2k −1k −6 −3k
∣∣∣∣−3k2 −2k +1
= −2k2 −21k −6−3k2 −2k +1
MM001
Ch2.
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DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
LA MÉTHODE DE CRAMER: EXEMPLE
ON DONNE: (k 2k −11 −3k
).
(xy
)=
(7
k −6
)
ETAPPE 2A: k 6∈ {−1, 13 }
y =
∣∣∣∣k 71 k −6
∣∣∣∣−3k2 −2k +1
= k2 −6k −7−3k2 −2k +1
⇒ 1 solutions: (x ,y)= (−2k2 −21k −6−3k2 −2k +1
,k2 −6k −7
−3k2 −2k +1)
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
LA MÉTHODE DE CRAMER: EXEMPLE
ON DONNE: (k 2k −11 −3k
).
(xy
)=
(7
k −6
)
ETAPPE 2A: k 6∈ {−1, 13 }
y =
∣∣∣∣k 71 k −6
∣∣∣∣−3k2 −2k +1
= k2 −6k −7−3k2 −2k +1
⇒ 1 solutions: (x ,y)= (−2k2 −21k −6−3k2 −2k +1
,k2 −6k −7
−3k2 −2k +1)
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
LA MÉTHODE DE CRAMER: EXEMPLE
ON DONNE: (k 2k −11 −3k
).
(xy
)=
(7
k −6
)
ETAPPE 2B: k =−1 { −x −3y = 7+x +3y =−7
⇒∞ solutions: (x ,y)= (−7−3t , t)
ETAPPE 2C: k = 13 {
x −y = 2x −y =−17
3
⇒Ø solution
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
LA MÉTHODE DE CRAMER: EXEMPLE
ON DONNE: (k 2k −11 −3k
).
(xy
)=
(7
k −6
)
ETAPPE 2B: k =−1 { −x −3y = 7+x +3y =−7
⇒∞ solutions: (x ,y)= (−7−3t , t)
ETAPPE 2C: k = 13 {
x −y = 2x −y =−17
3
⇒Ø solution
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
LA MÉTHODE DE CRAMER: EXEMPLE
ON DONNE: (k 2k −11 −3k
).
(xy
)=
(7
k −6
)
ETAPPE 2B: k =−1 { −x −3y = 7+x +3y =−7
⇒∞ solutions: (x ,y)= (−7−3t , t)
ETAPPE 2C: k = 13 {
x −y = 2x −y =−17
3
⇒Ø solution
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
RÉSOLUTION D’UN SYSTÈME
CFR CH1. (SYSTÈME ÉQUATIONS LINÉAIRES):
1 par substitution2 avec la méthode de Gauss3 avec la méthode de Gauss-Jordan
CFR CH2. (MATRICES):
1 par A−1
2 avec la méthode de Cramer
MM001
Ch2.
Aperçu
DéfinitionsDéfinitions
Terminologie
Opérationssomme
multiplication
Inverse
SystèmelinéaireRésoudre
Contrôle
Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
RÉSOLUTION D’UN SYSTÈME
CFR CH1. (SYSTÈME ÉQUATIONS LINÉAIRES):
1 par substitution2 avec la méthode de Gauss3 avec la méthode de Gauss-Jordan
CFR CH2. (MATRICES):
1 par A−1
2 avec la méthode de Cramer