td 11 - intégrales dépendant d'un paramètre
DESCRIPTION
Exercices sur les intégrales dépendant d'un paramètre.TRANSCRIPT
-
CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali
TD 11 Intgrales paramtreExercice 1: Soit f C ([0, 1]). Calculer les limites :
1) limn+
10
et
1 + tndt 2) lim
n+
10
f(xn)dx 3) limn+
10
1 + nx
(1 + x)ndx
4) limn+
10
nx
1 + n2x2dx 5) lim
n+
10
nx2enx2
dx 6) limn+
n
10
ln(1 + xn)dx
Exercice 2: Soit a > 1. Calculer les limites :
1) limn+
+0
(1 +
x
n
)neaxdx 2) lim
n+
+
dx
1 + |x|a+ 1n3) limn+
+
nex2
cosx
1 + n2x2dx
Exercice 3: Soit a > 1. Calculer les limites :
1) limn+
n0
(1 x
n
)ndx 2) lim
n+
n0
(1 x
n
)nxa1dx
Exercice 4: Pour tout x > 1 on note (x) =+n=1
1
nx(Fonction Zta de Riemann).
Montrer que x > 1,(x)(x) = +0
tx1
et 1dt.
Exercice 5: Calculer +0
x
shxdx (On admet que
+n=0
1
(2n+ 1)2=2
8).
Exercice 6: Soitan une srie absolument convergente de nombres rels ou complexes.
Montrer que +0
ex
(+n=0
anxn
n!
)dx =
+n=0
an.
Exercice 7: Soit a > 0. Montrer que f(x) = sin xeax1 est intgrable sur ]0,+[.
Montrer que +0
sinx
eax 1dx =
+n=1
1
a2n2 + 1. En dduire un quivalent de
+0
sinx
eax 1dx quand a +.
Exercice 8: Calculer les limites :
1) limx+
+0
cos(xt)
1 + t4dt 2) lim
x+
+0
etx
1 + tdt 3) lim
x+
2
0
ex sin tdt 4) limx0+
+0
dt
x+ t3
Exercice 9: Soit f(x) = +0
dt
tx(t+ 1).
1: Dterminer le domaine de dfinition de f et tudier sa continuit sur lintervalle ]0, 1[.2: Calculer lim
x0+f(x) et lim
x1f(x).
Exercice 10: Soit f C 1([0, 1]) tel que f(0) 6= 0 et g(x) = 10
f(t)
x+ tdt.
1: Montrer que g est continue sur ]0,+[.
2: Montrer que g(x) =0+f(0) lnx
10
f (t) ln tdt+ o(1).
3: Montrer que g(x) =+
1
x
10
f(t)dt+ o
(1
x
).
Exercice 11: Soit a > 0, b R et f C ([0,+[) tel que f(0) 6= 0 et f(t) =+
O(ebt).
Montrer que +0
extta1f(t)dt +
f(0)(a)
xa.
Exercice 12: On considre la fonction f(x) = +0
t
1 + t2sin(xt)dt.
1: Montrer que f est dfinie sur R, impaire et continue sur R.2: Calculer lim
x0+f(x). Que peut-on dduire ?
3: Montrer que x > 0, f(x) = 2
2x x2
+0
sin t tt(x2 + t2)
dt.
www.mathlaayoune.webs.com 1/3 [email protected]
-
CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali
4: En dduire que a, b, c R, f(x) =0+a+ bx+ cx2 + o(x2).
Exercice 13: Montrer que f(x) = +0
e(1+ix)tt
dt est de classe C 1 sur R et calculer f .
Exercice 14: Montrer que f(x) = +0
arctan(tx)
1 + t2dt est C 1 sur R et dduire une expression simple de f .
Exercice 15: Montrer que x R, +0
et sin(xt)
tdt = arctanx.
Exercice 16: Soit f(x) = 10
tx ln tdt.
1: Montrer que f est de classe C 1 sur ] 1,+[.2: Montrer que f est solution dune quation diffrentielle et dterminer f .
Exercice 17: Soit f(x) = 10
t 1ln t
txdt.
1: Dterminer le domaine de dfinition de f .2: Montrer que f est de classe C 1 sur Df et dduire une expression simple de f .
Exercice 18: Soit la fonction f(x) = +0
et ext
tdt.
1: Montrer que f est de classe C 1 sur ]0,+[ et calculer f .2: Dterminer une expression simple de f .
3: Application : Montrer que a, b > 0, +0
eax ebx
xdx = ln
b
a.
Exercice 19: Intgrale de Gauss : Soient f(x) = 10
ex2(1+t2)
1 + t2dt.
1: Montrer que f est C 1 sur R.
2: Montrer que C R,x R, f(x) = C ( x
0
et2
dt
)2.
3: Montrer que limx+
f(x) = 0. En dduire que +0
et2
dt et (12
).
Exercice 20: Soit lapplication f(x) = +0
et2
cos(xt)dt.
1: Montrer que f est de classe C 1 sur R.2: Montrer que f est solution dune quation diffrentielle linaire du premier ordre.3: Dduire une expression simple de f .
Exercice 21: Intgrale de Dirichlet : Soit f(x) = +0
extsin t
tdt.
1: Montrer que f est de classe C 1 sur ]0,+[ et calculer f .2: Calculer lim
x+f(x) et conclure une expression sans intgrale de f sur ]0,+[.
3: On pose n N, fn : x [0,+] 7 n0
extsin t
tdt. Montrer que x > 0,n N,
+n
extsin t
tdt
2n et endduire que la suite de fonctions (fn) converge uniformment sur [0,+[.
4: Montrer que f est continue sur [0,+[ et en dduire que +0
sin t
tdt =
2.
Exercice 22: Thorme de Fubini : Soit une application continue f : [a, b] [c, d] K.
1: Montrer que F (t) = ba
( tc
f(x, y)dy
)dx est de classe C 1 sur [c, d] et calculer F .
2: En dduire que ba
( dc
f(x, y)dy
)dx =
dc
( ba
f(x, y)dx
)dy.
3: Application : Soit 1 < a < b. Calculer 0
lnb cos ta cos t
dt.
Exercice 23: Soit f(x) = +1
cos(xt)
1 + t4dt.
1: Montrer que f est dfinie, paire et continue sur R.2: Montrer que f est de classe C2 sur R et calculer f et f .
Exercice 24: Montrer que la fonction f(x) = +0
sin2(xt)
t2etdt est C 2 sur R et dduire une expression simple de f .
www.mathlaayoune.webs.com 2/3 [email protected]
-
CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali
Exercice 25: Montrer que f(x) = 0
cos(x sin t)dt est C 2 sur R et que f est solution dune quation diffrentielle du second
ordre.
Exercice 26: Soit f(x) = +0
cosxt
1 + t2dt.
1: Montrer que f est dfinie, paire et continue sur R.
2: On pose g(x) = +0
t sinxt
(1 + t2)2dt. Montrer que g est C 1 sur R.
3: Montrer que x R, xf(x) = 2g(x). En dduire que f est de classe C1 sur ]0,+[.
4: On pose h(x) = +0
cosxt
(1 + t2)2dt. Montrer que h est C 1 sur R.
5: Montrer que x > 0, g(x) = f(x) h(x) et h(x) = g(x).6: Montrer que f est C 2 sur ]0,+[ et que f vrifie une quation diffrentielle du second degr.7: En dduire une expression simple de f .Exercice 27: Soient n N et f C(R) telle que f(0) = = f (n1)(0) = 0.
1: Montrer que x R, f(x) = xn
(n 1)!
10
(1 t)n1f (n)(xt)dt.
2: En dduire que g C(R),x R, f(x) = xng(x).Exercice 28: Soit f C n(R). On pose g(x) = f(x)f(0)x si x 6= 0 et g(0) = f
(0).
1: Vrifier que x R, g(x) = 10
f (tx)dt.
2: Montrer que g C n1(R).Exercice 29: Montrer que f(x) = arctan(x)x est prolongeable en une fonction de classe C
sur R.
Exercice 30: (Fonctions de Bessel) Montrer que n Z, la fonction Jn : x 71
0
cos(x sin t nt)dt est dveloppable ensrie enttire sur R.Exercice 31: Soient m,n, a > 0. Calculer
+0
xmeaxn
dx.
Exercice 32: Soient n N et m > 1. Montrer que 10
xm lnn xdx =(1)nn!
(m+ 1)n+1.
Exercice 33: Montrer que ln est convexe sur ]0,+[. En dduire que x, y > 0,(x+y2
)
(x)(y).Exercice 34:1: Soit n N. Montrer que t J0, nK, 0
(1 tn
)n1 eet.2: Montrer que (1) = lim
n+
n0
ln t
(1 t
n
)n1dt.
3: Montrer que n0
ln t
(1 t
n
)n1dt = lnn+
10
(1 u)n 1u
du.
4: En dduire que (1) = o est la constante dEuler. Calculer (2)
Exercice 35: Soit x > 0. En utilisant la suite de fonctions fn(t) =(1 tn
)ntx1]0,n] montrer que (x) = lim
n+
n!nx
x(x+ 1) (x+ n).
Exercice 36: (Formule de Stirling) Soit n N.
1: En effectuant le changement de variable t = n + xn montrer que (n + 1) =
(ne
)nn
+
fn(x)dx o fn(x) =(1 + x
n
)nexn]
n,+[.
2: Montrer que fn f avec f(x) =
{e
x2
2 si x 0(1 + x)ex si x > 0
.
3: En appliquant le thorme de la convergence domine, montrer la formule de Stirling : n! (ne
)n2n.
Exercice 37: Intrale deux paramtres : Soit f(x, y) = +1
ext
y2 + t2dt.
1: Montrer que f est continue sur [0,+[R.2: Montrer que f est de classe C 1 sur ]0,+[R.
www.mathlaayoune.webs.com 3/3 [email protected]