cours : intégrales de lesbegue (intl)perso.eleves.ens-rennes.fr/people/emily.clement/... · 2016....

Cours : Intégrales de Lesbegue (INTL)

Emily Clement

Professeur : Thibault Deheuvels

Licence de MathématiquesSemestre 12014-2015

Table des matières

0 Cardinaux et dénombrabilité 40.1 Cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 Dénombrabilité 7

2 Tribus 102.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1 Borélien de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Hors cours/TD : Lemme de Borel-Cantelli . . . . . . . . . 132.3 Tribu image réciproque - Tribu image . . . . . . . . . . . . . 142.4 Boréliens de

_R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Mesures 173.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Fonctions mesurables 224.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2 Fonctions mesurables à valeurs réelles ou complexes . . . . . . 24

5 Intégrale de Lesbegue 275.1 Intégration des fonctions mesurables positives . . . . . . . . . 27

5.1.1 Fonctions étagées positives . . . . . . . . . . . . . . . . 275.1.2 Intégration des fonctions mesurables positives. . . . . . 33

5.2 Fonctions intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.3 Théorème de convergence dominée et applications . . . . . . . 46

5.3.1 Théorème de convergence dominée . . . . . . . . . . . 465.4 Comparaison intégrale de Riemann et intégrale de Lesbegue . 53

5.4.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.4.2 Lien intégrale de Riemann-intégrale de Lesbegue . . . 54

6 Espace Lp 576.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2 Inégalité de Hölder et Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . 596.3 Espaces de Banach Lpµ (E),1 ≤ p ≤ +∞ . . . . . . . . . . . . 62

1

TABLE DES MATIÈRES

6.4 Densité de Cc(Rd)dans Lpµ (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.5 théorème de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7 Convolution et applications 707.1 Opérateurs de translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.2 Convolution sur Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7.2.1 Le cas positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.2.2 Le cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.2.3 Condition d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.2.4 L’algèbre L1

(Rd). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.3 Approximation de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.4 Régularisation par convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8 Construction de mesures, Unicité 768.1 Construction de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.1.1 Mesures extérieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768.1.2 Mesure de Lesbegue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.1.3 Mesure de Lesbegue sur

(Rd,B

(Rd))

. . . . . . . . . . 828.2 Unicité des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8.2.1 Unicité de la mesure de Lesbegue . . . . . . . . . . . . 858.3 Tribu complétée,mesure complétée . . . . . . . . . . . . . . . 86

8.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.3.2 Complétion de BBB

(Rd)

. . . . . . . . . . . . . . . . 88

9 Mesures produits 909.1 Tribu produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909.1.2 Sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

9.2 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939.2.1 Mesure de Lesbegue sur

(Rd,B

(Rd))

. . . . . . . . . . 959.3 Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

10 Changement de variables 10010.1 Mesure image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10010.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

10.2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10110.2.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Emily Clement page 2

Introduction-Mise en contexte

On va avoir un emsemble E, on cherchera une mesure µ i.e :

µ : P (E) 7→_R+

tel que :

µ (∅) = 0

Si ∀n ∈ N, An ⊂ E, avec An 2 à 2 disjoints, alors

µ

(⋃n∈N

An

)=∑n∈N

µ (An) .

Application : Probabilité, par exmeple.Cas de R : On veut une mesure λ : P (R) 7→

_R+ (Mesure de Lesbegue)

vérifiant :

λ ([0, 1]) = 1

λ invariant par translation : i.e si A ⊂ R et a ∈ R, λ (A+ a) = λ (A).

Intégrale de Lesbegue : On va vouloir intégrer sur n’importe quel ensemblepour peu qu’on ai mis une mesure dessus.

C’est une généralisation de Riemann

On pourra intégrer des fonctions qui n’étaient pas Riemmann intégrable

On pourra intégrer des fonction sur autre chose que RLes théorèmes de convergences sont plus forts

On pourra écrire pour de bon une somme comme une intégrale

3

Chapitre 0

Cardinaux et dénombrabilité

0.1 Cardinaux

On considère E un ensemble quelconque.

Soient E, F deux ensembles. On dit que E et F sont équipotents siil existe une bijection entre E et F . On note alors E ' F , ou encoreCard E = Card F (C’est juste une notation !)

Définition 1.

Remarque 1.La relation ' vérifie :

E ' ESi E ' F , alors F ' ESi E ' F , F ' G, alors ' G

mais ce n’est pas une relation d’équivalence !

Exemple 1.

Card N = Card 2N car ϕ :N 7→ 2Nn τ 2n

est une bijection.

Card P (E) = Card {0, 1}N car ϕ :P (E) 7→ Card {0, 1}NA → 1A

est une

bijection.

Rappel : 1A :

E 7→ Card {0, 1}

x τ

{0 si x /∈ A1 sinon

4

CHAPITRE 0. CARDINAUX ET DÉNOMBRABILITÉ

Soit E un ensemble. Il n’existe pas de surjection de E dans P (E).En particulier Card E 6= Card P (E).

Proposition 1.

Démonstration.Supposons qu’on ait ϕ : E 7→ P (E) surjective. On pose A def

= {x ∈ E| x /∈ϕ (x)} ⊂ P (E), donc ∃a ∈ E tel que ϕ (a) = A. Soit a ∈ E tel que ϕ (a) = A :

Si a ∈ A, a /∈ ϕ (a), donc a /∈ ASinon, a ∈ varphi (a) donc a ∈ A.

C’est absurde.

Remarque 2 (Notation).Soit E, F deux ensembles, lorsqu’il existe une injection de E dans F on noteE ≤ F , ou encore Card E ≤ Card F .Si de plus il n’existe pas de bijection entre E et F on note Card E < Card F .De même s’il existe une surjection de E dans F on note E ≥ F , ou encoreCard E ≥ Card F .

Si Card E ≥ Card F , alors Card F ≤ Card E (Axiome du choix)Si Card E ≤ Card F , alors Card F ≥ Card E

Proposition 2 (démonstration admise).

Si Card E ≤ Card F et Card F ≤ Card E, alors Card E = Card F

Théorème 1 (Canton-Bernstein).

La démonstration est en ligne (mais technique).

Remarque 3.

Si E ⊂ F alors Card E ≤ Card F car E 7→ Fx → x

est injective.

On dit qu’un ensemble E est infini si Card N ≤ Card E i.e si l’onpeut établir une injection de B dans E.

Définition 2.


CHAPITRE 0. CARDINAUX ET DÉNOMBRABILITÉ

Exemple 2.

R est infini : N ⊂ R donc Card N ≤ Card RN 7→ P (N)n → {n} est injective.

Donc P (N) est infinie, et même Card (P (N)) > Card N.


Chapitre 1

Dénombrabilité

On dit qu’un ensemble E est dénombrsble si Card E ≤ Card N. i.es’il existe une injection de E dans N.

Définition 3 (Ensemble dénombrable).

Remarque 4.

Si il existe une surjection de N dans E alors E est dénombrable. (sansutiliser l’axiome du choix)

Quelques fois, on dit que E est "au plus" dénombrable si Card E ≤Card N et dans ce cas dénombrable signifie Card E = Card N. (pas lecas dans ce cours).

Exemple 3.

2N est dénombrable.

Z est dénombrable :N 7→ Z2n → n

2n− 1 → −n

est une bijection donc Card Z = Card NN2 est dénombrable.

N2 7→ N(m,n) → (n+m+1)(n+m)

2 + n

7

CHAPITRE 1. DÉNOMBRABILITÉ

Si E et F dénombrables, alor E × F l’est, car si :ϕE : E 7→ N et ϕF : F 7→ N sont des injections, alors :

ϕ :E × F 7→ N2

(x, y) → (ϕE (x) , ϕF (y))est une injection.

Donc Card E × F ≤ Card N2 ≤ Card NPlus généralement, si E1, . . . , En est dénombrable, E1×· · ·×En l’est.

Proposition 3.

Nk est dénombrable ∀k ∈ N∗. Q est dénombrable, en effet :Q 7→ Z× Npq → (p, q)

est injective avec pgcd (p, q) = 1 et p ∈ Z, q ∈ N.

donc Card Q ≤ Z× N, or Z× N est dénombrable.

Corollaire 1.

P (N) n’est pas dénombrable : il n’existe pas de surjection de N dans P (N)donc pas d’injection de P (N) dans N.Suites à valeur dans {0, 1} :

Card {0, 1}N = Card P (N)

donc {0, 1}N n’est pas dénombrable.

Une union dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable,donc :Si ∀n ∈ N, En est dénombrable, alors

⋃n∈N

En est dénombrable.

Proposition 4.

Démonstration.

Soit ϕn : En 7→ N est injective, alors

⋃n∈N

En 7→ N2

x → ϕnx (x)l’est

où nxdef= min{n ∈ N| x ∈ En}

donc Card⋃n∈N

En ≤ Card N2 ≤ N.

R n’est pas dénombrable.

Théorème 2.


CHAPITRE 1. DÉNOMBRABILITÉ

Démonstration.On va montrer que Card {0, 1}N ≤ Card R.

Je veux construire ϕ{0, 1}N 7→ R(xn)n≥1 →

∑n≥1

xn3n

(on se place en fait en base 3.)

Si (xn)n≥1, (yn)n≥1 ∈ {0, 1}N sont deux suites distinctes, alors n0def= min{n ≥

1| xn 6= yn} existe. on a alors :

|ϕ (x)− ϕ (y)| =

∣∣∣∣∣∣∑n≥1

xn − yn3n

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣ 1

3n0+∑n≥n0

xn − yn3n

∣∣∣∣∣∣≥∣∣∣∣ 1

3n0

∣∣∣∣−∣∣∣∣∣∣∑n≥n0

xn − yn3n

∣∣∣∣∣∣Or (xn)n≥1 , (yn)n≥1 sont à valeur dans {0, 1}, donc :

≥ 1

3n0−∑n≥n0

1

3n0

≥ 1

3n0

1

2> 0


Chapitre 2

Tribus

2.1 Définitions

Soit E un ensemble quelconque.

On appelle classes de partie de E tout sous-ensemble de P (E).

Définition 4 (Classe de parties).

On appelle tribus sur E une classe de partie A qui vérifient :

∅ ∈ ASi A ∈ A, alors Ac ∈ A. (Stabilité par complémentaire)

Si An ∈ A,∀n ∈ N, alors⋃n∈N

Ab ∈ A. (Stabilité par union

dénombrable.)

On appelle alors le couple (E,A) espace mesurable.

Définition 5 (Tribus- α−algèbre).

Exemple 4.

P (E), qu’on appelle tribu triviale sur E.

{∅,P (E)} qu’on appelle tribu grossière sur E.

Soit A ⊂ E, {∅, A,Ac, E} est une tribu et c’est la plus petit tribu conte-nant A, on l’appelle tribu engendrée par A.

{A ⊂ E| A dénombrable ou Ac dénombrable} est une tribu sur A, eneffet :

10

CHAPITRE 2. TRIBUS

— ∅ ∈ A— Si A ∈ A, Ac ∈ A— Si An ∈ A, ∀n ∈ N, on a deux cas :

Soit ∀n ∈ N, An est dénombrable, donc⋃n∈N

An est dénombrable.

Soit ∃n0 ∈ N tel que Acn0est dénombrable, alors

( ⋃n∈N

An

)c=

⋂n∈N

Acn ⊂ Acn0. Donc

( ⋃n∈N

An

)cest dénombrable et

⋃n∈N

An ∈ A.

Remarque 5.toute tribu est stable par intersection dénombrable.

Tribu engendrée, tribu borélienne

Remarque 6.Si (Ai)i∈I est une famille quelconque de tribu, alors

⋂n∈NAi est une tribu, en

effet :— ∅ ∈ Ai, ∀i ∈ I, donc ∅ ∈

⋂n∈NAi.

— Si A ∈⋂n∈NAi, alors ∀i ∈ N,Ac ∈ Ai, donc Ac ∈

⋂n∈NAi

— Si An ∈⋂n∈NAi,∀n ∈ N, alors ∀i ∈ I,

⋃n∈N

An ∈ Ai et⋃n∈N

An ∈⋂i∈IAi

Si C ⊂ P (E), il existe une plus petite tribu sur E (au sens del’inclusion) qui contient C. On la note σ (C) et on l’appelle tribuengendrée par C. i.e siA est une tribu qui contient C alors σ (C) ⊂ A.

Définition 6 (Tribu engendrée).

Démonstration.On pose σ (C)

def=

⋂A tribu sur E

C⊂A

A : la plus petite tribu sur E contenant C.

Exemple 5.

Soit A ⊂ E, quelle est la tribu engendrée par A ?

σ ({A}) = {∅, A,Ac, E}

Tribu engendrée par les singletons de E :

σ ({{x}, x ∈ E}) = {A ⊂ E| A dénombrable ou Ac dénombrable}


CHAPITRE 2. TRIBUS

Soit (E, τ), τ topologie sur E.On rappelle que τ ⊂ P (E) tel que :

∅, E ∈ ττ stable par union quelconque et intersection finie.

On appelle tribu borélienne sur E la tribu sur E engendrée par τ , onla note B (E). i.e B (E) = σ (τ). On appelle ses éléments des boréliensde E.

Définition 7 (Tribu borélienne).

Remarque 7.B (E) est aussi la tribu engendrée par les fermés de E.En général B (E) 6= P (E) .Cas E = R : B (R) 6= P (R), on peut montrer que Card B (R) = Card R.(TD : construction d’un ensemble non borélien)

2.1.1 Borélien de R

On a :

B (R) = σ ({]α, β[, α, β ∈ Q})B (R) = σ ({]−∞, α[, α ∈ Q})

= σ ({]−∞, α], α ∈ Q})= σ ({]α,+∞[, α ∈ Q})= σ ({[α,+∞[, α ∈ Q})

Proposition 5.

Démonstration.

1. α, β ∈ Q, ]α, β[∈ O (R) : ouvert de R.

σ ({]α, β[, α, β ∈ Q}) ⊂ σ (O (R)) = B (R) .

Soit ω ∈ O (R), on a :

ω ∈⋂

p,q∈Q,p,q∈ω]p, q[.

On a bien ω ∈ σ ({]α, β[, α, β ∈ Q}), d’où l’inclusion.


CHAPITRE 2. TRIBUS

2. Soit a ∈ Q, ]−∞, a[∈ O (R), donc :

σ ({]−∞, α], α ∈ Q}) ⊂ σ (O (R)) = B (R)

Soient α, β ∈ Q, montrons que ]α, β[∈ σ ({]−∞, a[, a ∈ Q}).

]α, β[=]−∞, β[\]−∞, α[

or ]−∞, α[=⋂n>0

]−∞, α+ 1

n

[. donc

]α, β[=]−∞, β[\

(⋂n>0

]−∞, α+

1

n

[)⊂ σ ({]−∞, α], α ∈ Q}) .

2.2 Hors cours/TD : Lemme de Borel-Cantelli

Normalement ce lemme figure dans le TD, mettons le formellement dansce cours :

Soit µ une mesure sur (E,A) et An ∈ A, ∀n ∈ N. On a :∑n∈N

µ (An) <∞⇒ µ

(lim sup

nAn

)= 0

Lemme 1 (Lemme de Borel-Cantelli).

Démonstration.

Supposons que∑n∈N

µ (An) <∞, or µ

( ⋃n≥0

An

)≤∑n∈N

µ (An) <∞ donc :

µ

(lim sup

nAn

)= lim

n→+∞µ

⋃k≥n

Ak

∀n ∈ N, µ

⋃k≥n

Ak

≤∑k∈N

µ (Ak)︸︷︷︸def=Rn

−→n→+∞

0

Donc −→n→+∞

µ

( ⋃k≥n

)= 0 et µ

(lim sup

nAn

)= 0.


CHAPITRE 2. TRIBUS

2.3 Tribu image réciproque - Tribu image

Soient 2 ensembles E et F , soit f : E 7→ F .

Si B est une tribu sur F , alors

{f−1 (B) , B ∈ B}

est une tribu sur E. On l’appelle tribu image réciproque par f de B,on la note f−1 (B).

Définition 8.

Démonstration.Il faut montrer que :

— ∅ = f−1 (∅) ∈ f−1 (B)— Si A ∈ f−1 (B) : A = f−1 (B) avec B ∈ B. Ac = f−1 (B)c =

f−1 (Bc) ∈ f−1 (B)— Si An ∈ f−1 (B), n ∈ N, An = f−1 (Bn), Bn ∈ B.⋃

n∈NAn =

⋃n∈N

f−1 (Bn) = f−1

(⋃n∈N

Bn

)∈ f−1 (B) .

Exemple 6.

Si X ⊂ E et A tribu sur E. {A∩X,A ∈ A} tribu sur X. Si i :X 7→ Ex → E

{i−1 (A) , A ∈ A} = {A ∩X,A ∈ A}

Remarque 8.Si A est une tribu sur E, {f (A) , A ∈ A} n’est pas une tribu en général.

Soit A tribu sur E, alors B = {B ∈ F, f−1 (B) ∈ A} est ine tribuimage par f de A.

Définition 9 (Tribu image).

Démonstration.f−1 (∅) = ∅ Si B ∈ B, f−1 (Bc) = f−1 (B)c ∈ ASi Bn ∈ B,∀n ∈ N,

f−1

(⋂n∈N

Bn

)=⋂n∈N

f−1 (Bn) ∈ A.


CHAPITRE 2. TRIBUS

Soit C ⊂ P (E),σ(f−1 (C)

)= f−1 (σ (C))

Notons que f−1 (C) ∈ P (E) et σ (C) est une tribu sur F , doncf−1 (σ (C)) est une tribu sur E. de plus f−1 (C) = {f−1 (B) , B ∈ C}.

Lemme 2 (Lemme du transfert).

Démonstration.⊆: On a f−1 (C) ⊂ f−1 (σ (C)) donc

σ(f−1 (C)

)⊂ f−1 (σ (C))

⊇: Soit B ∈ σ (C), on veut montrer que :

f−1 (B) ∈ σ(f−1 (C)

).

On considère B = {B ⊂ F, f−1 (B) ∈ σ(f−1 (C)

)} On a clairement B ⊂ B.

B est une tribu sur F , c’est la tribu image par f de σ(f−1 (C)

). Donc B

(tribu contenant C) contient σ (C). on a montré que :

∀B ∈ σ (C) , f−1 (B) ∈ σ(f−1 (C)

)i.e f−1 (σ (C)) ⊂ σ

(f−1 (C)

)

2.4 Boréliens de_R

Construction de_R

On considère

f :R 7→

]−π2 ,

+π2

[x → arctan(x)

f homéomorvarphisme de R dans]−π

2 ,+π2

[. On introduit deux éléments :−∞

et +∞ et on définit :_R= R ∪ {−∞,+∞} On définit

∼f :

_R 7→

[−π2 ,

+π2

]par :

∼f |R= f

∼f (−∞) =

−π2

et∼f (+∞) =

+π

2


CHAPITRE 2. TRIBUS

Ordre sur_R :

On prolonge l’ordre ≤ sur R en posant ∀x ∈_R,−∞ ≤ x ≤ +∞

Topologie sur_R :

On définit la distance δ sur_R par : δ (x, y) =

∣∣∣∣∼f (x)−∼f (y)

∣∣∣∣ On munit_R de la topologie associée à la distance δ, on peut montrer que :

∼f |R est un homéomorvarphisme de R dans

]−π2 ,

+π2

[.

∼f est un homéomorvarphisme de

_R dans

[−π2 ,

+π2

].

B(_R)

= σ(O(_R))

vérife :

B(_R)

= σ ({[−∞, a[; a ∈ Q})

= σ ({[−∞, a]; a ∈ Q})= σ ({]a,+∞]; a ∈ Q})= σ ({[a,+∞]; a ∈ Q})

Proposition 6.


Chapitre 3

Mesures

3.1 Définitions

Soit (E,A) un espace mesurable.

On appelle mesure sur (E,A) une application µ : A 7→_R+ qui

vérifie :— µ (∅) = 0— Si An ∈ A,∀n ∈ N et les An soient 2 à 2 disjoints : ∀i, j ∈

J1, nK, i 6= j, Ai ∩Aj = ∅ alors

µ

(⊔n∈N

An

)=∑n∈N

µ (An) .

Si µ (E) < ∞, on dit que µ est une mesure finie. On appelle parfoisµ (E) la masse de la mesure, on appelle mesure de probabilité unemesure de masse 1.

Définition 10 (mesure).

Exemple 7 (Exemple de mesures).

— Mesure nulle sur (E,P (E)) définie par :

∀A ⊂ E, µ (A) = 0

— Mesure de comptage m sur (E,P (E)) définie par : si A ⊂ E,

m (A) =

{|A| si A est fini+∞ si A est infini

17

CHAPITRE 3. MESURES

— Mesure de Dirac sur (E,P (E)) : Soit x ∈ E, on définit la mesure deDirac en x par :

δx (A) =

{1 si x ∈ A, ∀A ⊂ E0 sinon

.

Mesure de Lesbegue

Il existe une unique mesure λ sur (R,P (R)) vérifiant :— λ ([0, 1]) = 1— λ invariante par translation, i.e :

∀B ∈ B (R) , ∀a ∈ R, λ (B + a) = λ (B), où B + a = {x +a;x ∈ B}.

On l’appelle mesure de Lesbegue sur R.

Théorème 3.

On a même :

Il existe une unique mesure λd sur(Rd,P

(Rd))

vérifiant :— λd ([0, 1]) = 1— λd invariante par translation, i.e :

On l’appelle mesure de Lesbegue d−dimensionnelle.

Théorème 4.

Si a, b ∈ R, alorsλ ([a, b]) = b− a

λ (]a, b[) = b− a

Proposition 7 (Preuve en TD).

Si on munit un espace mesurable (E,A) d’une mesure µ, (E,A, µ)est un espace mesuré.

Définition 11 (Espace mesuré).


CHAPITRE 3. MESURES

3.2 Propriétés

Soit (E,A, µ) un espace mesuré.

Si A,B ∈ A et A ⊂ B alors µ (A) ≤ µ (B)et si µ (A) < +∞.

µ (A)− µ (B) = µ (A\B)

Proposition 8.

Démonstration.On a :

µ (B) = µ (A tB\A)

= µ (A) + µ (B\A)

≥ µ (A) car µ (B\A) ≤ 0

et si µ (A) >∞, on a alors

µ (A)− µ (B) = µ (B\A) .

Soit (An)n∈N une suite de A.— Si (An)n∈N est croissante pour l’inclusion (i.e ∀n ∈ N, An ⊂

An+1, alors :

µ

(⋃n∈N

An

)= lim

n→+∞µ (An)

— Si (An)n∈N est décroissante pour l’inclusion (i.e ∀n ∈ N, An ⊃An+1 et s’il existe n0 ∈ N, µ (An0) <∞ (*), alors

µ

(⋂n∈N

An

)= lim

n→+∞µ (An) .

Proposition 9.

Remarque 9.L’hypothèse (*) est nécessaire. Si on se place dans (N,P (N) ,m), et si on

pose Andef= Jn,∞K, m (An) =∞ mais m

( ⋂n∈N

An

)= m (∅) = 0.


CHAPITRE 3. MESURES

Démonstration.

1. On définit la suite (Bn)n∈N de la manière suivante :— B0 = A0

— ∀n ≥ 1, Bn = An\An−1∀n ∈ N, Bn ∈ A et

⋃n∈N

Bn =⋃n∈N

An.

Soit x ∈⋃n∈N

An, mdef= min{n, x ∈ An}.

si n = 0 : ok.sinon, x ∈ An\An−1. Les Bn sont 2 à 2 disjoints, par construction,donc :

µ

(⋃n∈N

An

)= µ

(⋃n∈N

Bn

)=∑n∈N

µ (Bn)

= limn→+∞

n∑k=0

µ (Bk)

= limn→+∞

µ

(n∑k=0

Bk

)

= limn→+∞

µ

(n∑k=0

Ak

)2. µ (An0) < ∞, on pose Bn = An0\An pour n ≥ n0 (Bn)n≥n0

est unesuite croissante dans A, donc d’après 1),

µ

⋃n≥n0

Bn

= limn→+∞

µ

(n∑k=0

Bk

).

⋃n≥n0

Bn =⋃n≥n0

An0\An

= An0\

⋂n≥n0

An

= An0\

( ⋂ninN

An

)

D’où µ

( ⋃n≥n0

Bn

)= µ (An0)− µ

( ⋂ninN

An

)D’où

limn→+∞

µ (Bn) = limn→+∞

µ [(An0)− µ (An)] .


CHAPITRE 3. MESURES

Donc µ( ⋂n∈N

An

)= lim

n→+∞µ (An)

Une mesure µ sur E est sous-additive, i.e si An ∈ A, ∀n ∈ N, alors

µ

(⋃n∈N

An

)≤∑n∈N

µ (An) .

Proposition 10.

Démonstration.Soit (Bn)n∈N définie par :

— B0 = A0

— ∀n ≥ 1, Bn = An\n−1⋃k=0

Ak

On a⋃n∈N

An =⋃n∈N

Bn, les Bn sont 2 à 2 disjoints par construction, et ∀n ∈ N,

Bn ∈ A. Donc

µ

(⋃n∈N

An

)= µ

(⊔n∈N

Bn

)=∑n∈N

µ (Bn)

=∑n∈N

µ (An)


Chapitre 4

Fonctions mesurables

4.1 Définitions

On considère (E,A) , (F,B) deux ensembles mesurables.

Soit f : E 7→ F . On dit que f est (A,B)−mesurable si ∀B ∈ B,f−1 (B) ∈ A, i.e si f−1 (B) ⊂ A

Définition 12.

Remarque 10.On dit souvent que f est mesurable sans préciser les tribus si le contexte estclair.

Si E et F sont deux espaces topologique munis de leur tribus bo-réliennes respectives. On appelle aussi les fonctions mesurables desfonctions boréliennes.

Définition 13.

Exemple 8.

1. Si f est constante, f est mesurable : f :E 7→ Fx → y0

où y0 ∈ F . Soit

B ∈ B,

{f−1 (B) = E si y0 ∈ Bf−1 (B) = ∅ si y0 /∈ B

f−1 (B) ∈ A.

22

CHAPITRE 4. FONCTIONS MESURABLES

2. Si f est la fonction indicatrice. f = 1A avec A ⊂ E. f : E 7→ F

Soit B ∈ B (R), f−1 (B) =

E si 0, 1 ∈ B∅ si 0, 1 /∈ BA si 0 ∈ B, 1 /∈ BAc si 0 /∈ B, 1 ∈ B

de même si f est de la forme f =N∑i=1

αi1Ai , où les Ai forment une

partition. Si f est mesurable, alors ∀i ∈ J1, NK, Ai ∈ A.

Soit f : (E,A) 7→ (F,B) avec B = σ (C) où C ∈ P (E) alors si∀B ∈ C, f−1 (B) ∈ A alors f est mesurable.

Proposition 11.

Démonstration.Supposons f−1 (C) ⊂ A, on a alors σ

(f−1 (C)

)⊂ A.

Par le lemme de transfert σ(f−1 (C)

)= f−1σ ((C)) = f−1 (B) donc f est

mesurable.

Si E et F sont deux espaces topologiques alors si f : E 7→ Fcontinue, alors f est (E ,F)−mesurable.

Corollaire 2.

Démonstration.Si ω est un ouvert de F , alors f−1 (ω) ouvert de E donc f−1 (ω) ⊂ B (E)donc f est mesurable par la proposition.

Cas F = R

Rappel :

B (R) = σ ({]−∞, a[; a ∈ Q})= σ ({]−∞, a]; a ∈ Q})= σ ({]a,+∞[; a ∈ Q})= σ ({[a,+∞[; a ∈ Q})

Donc pour montrer que f : E 7→ F est mesurable il suffit de vérifier que∀a ∈ Q, f−1 (]−∞, a[) = {f ≤ a} ∈ A



Remarque 11 (Notation).On note

f−1 (]−∞, a[) = {f ≤ a} = {x ∈ E, f (x) ≤ a}

f−1 (]a,+∞[) = ({f > a})

Cas F =_R

Pour montrer que f : E 7→ F est mesurable il suffit de vérifier que∀a ∈ Q, f−1 ([−∞, a]) = {f ≤ a} ∈ A

Soient (E,A), (F,B), (G, C) espaces mesurables. Si f : E 7→ Fet g : F 7→ G sont respectivement (A,B)−mesurables et(B, C)−mesurables, alorsf ◦ g : E 7→ G est (A, C)−mesurables.

Proposition 12.

Démonstration.f ◦ g−1 (C) = f

(g−1 (C)

)⊂ f−1 (B) ⊂ A car f est mesurable.

— Si f : E 7→ R est mesurable, alors |f | l’est.— Si f : E 7→ R∗ est mesurable, alors 1

f l’est.

Corollaire 3.

Démonstration.

Prendre |f | = g◦f où g :R 7→ R+

x → |x| qui est continue donc mesurable.

4.2 Fonctions mesurables à valeurs réelles ou com-plexes

On considère (E,A) un ensemble mesurable.

Soient f, g : (E,A) 7→ (R,B (R)) mesurables.

1. Si α ∈ R, alors αf + g est mesurable.

2. fg est mesurable.

Proposition 13.



Démonstration.

1. Soient les fonctions :

ϕ :E 7→ R2

x → (f (x) , g (x))

ψ :R2 7→ R

(x, y) → αx+ y

αf + g = ψ ◦ ϕ

ψ est continue de R2 sur R donc (R∈,R)−mesurable. ϕ est (A,B (R))−mesurable.

B (R) = σ{I1 × I2, I1, I2 intervalles ouverts de O

(R2)})

Soit ω ∈ O(R2), ω =

⋃]a1,b1[×]a2,b2[⊂ω

ai,bi∈Q

]a1, b1[×]a2, b2[

Soient I1, I2 intervalles ouverts de R

ϕ−1 (I1 × I2) = {x ∈ E, f (x) ∈ I1, g (x) ∈ I2}= f−1 (I1) ∩ g−1 (I2) ∈ A

2. fg = ψ ◦ ϕψ : (x, y) → xyϕ : x → (f (x) , g (x)) tous deux mesurables.donc fg est mesurable.

Remarque 12.On peut montrer que f : (E,A) 7→ (C,B (C)) est mesurable si et seule-ment si Re(f) et Im(f) le sont et les points de la propisition 1 et 2 restentvrais, avec α ∈ C.

Si fn : (E,A) 7→(_R,B

(_R))

sont des formes mesurables. alors :— sup

n∈Nfn, inf

n∈Nfn sont mesurables. où

supn∈N

fn :E 7→

_R

x → supn∈N

fn (x)

infn∈N

fn :E 7→

_R

x → infn∈N

fn (x)

— Si (fn)n∈N convergent simplement ver f : E 7→_R alors f

est mesurable.

Proposition 14.



Démonstration.Si a ∈ R,

{supn∈N

fn ≤ a} = {x ∈ E, supn∈N

fn (x) ≤ a}

= {x ∈ E,∀n ∈ N fn (x) ≤ a}

=⋂n∈N{x ∈ E, fn (x) ≤ a} ∈ A car fn est mesurable.

donc supn∈N

fn est mesurable.

Si a ∈ R,

{ infn∈N

fn < a} = {x ∈ E,∃n ∈ N, fn (x) < a}

=⋃n∈N{fn (x) < a} ∈ A car fn est mesurable.

donc infnfn est mesurable.

On a lim supn

fn = infn∈N

supk≥n

fk. Comme les fk sont mesurables, les fonctions

supk≥n

fk le sont, et infn∈N

supk≥n

fk est mesurable.

De même lim infn

fn = supn∈N

infk≥n

fk

Si fk converge simplement vers f alors f = limn→+∞

fn = lim infn

fn = lim supn

fn.

Donc f est mesurable.


Chapitre 5

Intégrale de Lesbegue

5.1 Intégration des fonctions mesurables positives

5.1.1 Fonctions étagées positives

Soit (E,A,mu) un espace mésuré.

On appelle fonction étagée sur E une fonction f :(E,A) 7→ (R,B (R)) mesurable ayant un nombre finis devaleurs. Si f : E 7→ R est étagée, on peut l’écrire.

f =N∑k=1

αk1Ak

où Ai = {x ∈ E, f (x) = αi}.

Plus généralement : si f s’écritN∑k=1

βk1Bk où les Bi forment une

partition de E, on appelleN∑k=1

βk1Bk une écriture canonique de f .

Définition 14 (Fonction étagée sur E).

On rappelle que :

27

CHAPITRE 5. INTÉGRALE DE LESBEGUE

On appelle partition de E une famille (Ai)i∈I de parties de E tellesque :

—⋃i∈I

Ai = E

— Si i 6= j, Ai ∩Aj = ∅

Définition 15 (Partition de E).

Remarque 13.

Si f : E 7→ R s’écrit f =N∑k=1

αk1Ak .

(f est étagée )⇔ (∀i ∈ J1, NK, Ai ∈ A) .

Remarque 14 (Notations).On note Et

def= {f : E 7→ R , f étagée positive}.

Remarque 15.f : [a, b] 7→ R

(f est en escalier)⇒ (f est étagée) .

Mais la réciproque est fausse, un contre-exemple sera 1Q.

Si f ∈ Et, f =N∑k=1

αk1Ak avec Ai = {f = αi}. On pose∫E

f dµ =

N∑k=1

αkµ (Ak)

Si f =M∑k=1

βk1Bk est une écriture canonique de f , alors :

N∑k=1

αkµ (Ak) =M∑k=1

βkµ (Bk) .

On choisit la convention : αiµ (Ai) = 0 si αi = 0 et µ (Ai) = +∞.

Définition 16.

Démonstration.



Si f =M∑k=1

βk1Bk est une écriture conique de f .

M∑k=1

βkµ (Bk) =

N∑i=1

M∑j=1

αiµ (Bj)

=N∑i=1

αi

M∑j=1

µ (Bj)

=N∑i=1

αiµ (Ai)

carM∑j=1

µ (Bj) = µ

( ⊔j,βj=αi

Bj

)car

⊔j,βj=αi

βj = {x ∈ E, f (x) = αi} =

Ai.

Remarque 16.On note aussi

∫E

f dµ,∫E

f (x) dµ (x), ou même∫f dµ si le contexte est clair.

Exemple 9.

1. Mesure de Dirac : Soit x ∈ E, δx mesure sur (E,P (E)) définie par

δx (A) =

{1 si x ∈ A0 sinon.

Si f ∈ Et, si µ = δx, alors∫E f dµ = f (x), en effet :

Démonstration.

Si f =N∑k=1

αk1Ak , (Ai = {f = αi}).

∫E

fdδx =

N∑k=1

αkδx ({f = αi})

Soit i0 ∈ J1, NK tel que f (x) = αi0 donc δx ({f = αi}) =

{1 si i = i0

0 sinondonc : ∫

E

fdδx = αi0 = f (x) .



2. Mesure de comptage sur (N,P (N)). Si f : N 7→ R étagée positive.alors

∫Nfdm =

∑n∈N

f (n)

Démonstration.

Si f =N∑i=0

αi1Ai , où Ai = {f = αi}.

∑n∈N

f (n) =

N∑i=0

∑n,f(n)=αi

f (n)

=

N∑i=0

αi∑

n,f(n)=αi

1

=

N∑i=0

αiCard {f = αi}

=N∑i=0

αim ({f = αi})

=

∫N

fdm

Soient f, g ∈ E+, alors :1. f + g ∈ E+ et

∫E

(f + g) dµ =∫E

f dµ+∫E

g dµ (additivité)

2. Si α ∈ R+, αf ∈ E+ et∫E

(αf) dµ = α∫E

f dµ

3. Si f ≤ g alors∫E

f dµ ≤∫E

g dµ (croissance).

Proposition 15.

Démonstration.

1. f =N∑k=1

αk1Ak et g =M∑j=1

βj1Bj alors f+g =N∑k=1

M∑j=1

(αi + βj)1AI∩Bj

f + g ∈ E+ car αi + βj ≥ 0, (AI ∩Bj)i,j partition de E, et ∀i ∈



J1, NK, j ∈ J1,MK, Ai ∩Bj ∈ A∫E

(f + g) dµ =

N∑i=1

αi

M∑j=1

µ (Ai ∩Bj) +

M∑j=1

βj

N∑i=1

µ (Ai ∩Bj)

=

N∑i=1

αiµ

M⊔j=1

Ai ∩Bj

+

M∑j=1

βjµ

(N⊔i=1

µ (Ai ∩Bj)

)

=

N∑i=1

αiµ (Ai) +

M∑j=1

βjµ (Bj)

=

∫E

f dµ+

∫E

g dµ

2. Si α ∈ R+, αf =N∑i=1

αi1Ai =N∑i=1

ααi1Ai ∈ E+

∫E

αf =N∑i=1

ααiµ (Ai)

= α

∫E

f dµ

3. Si f ≤ g, g = (g − f) + f , or (g − f) ∈ E+, donc l’additivité estprouvée. ∫

E

g dµ =

∫E

(g − f) + f dµ

=

∫E

(g − f) dµ+

∫E

f dµ

≥∫E

f dµ car (f − g) ≥ 0



Si A ∈ A, si f ∈ E+, alors f1A ∈ E+, et on note :∫A

f dµ =

∫E

(f1A) dµ.

Si f =N∑i=1

αi1Ai , alors :

f1A =N∑i=1

αi1Ai1A =N∑i=1

αi1Ai∩A.

Donc comme Ai ∩A ∈ A ∀i ∈ llbracket1, NK, f1A ∈ E+.

Proposition 16 (Intégration sur une partie mesurable).

Si A,B ∈ A, et A ∩B = ∅. Alors ∀f ∈ E+ :∫A∪B

f dµ =

∫A

f dµ+

∫B

f dµ.

Lemme 3.

Démonstration.Comme 1A∪B = 1A + 1B on a :∫

E

f1A∪B dµ =

∫E

f1A dµ+

∫E

f1B dµ.

Soit f ∈ E+, soient En ∈ A tels que :— ∀n ∈ N, En ⊂ En+1 (croissance par inclusion)—

⋃n∈N

En = E

limn→+∞

∫En

f dµ =

∫E

f dµ

Lemme 4.



Démonstration.

f =N∑i=1

αi1Ai .

∫En

f dµ =N∑i=1

αiµ (Ai ∩ En)

limn→+∞

∫En

f dµ =N∑i=1

αiµ

(⋃n∈N

Ai ∩ En

)

Or Ai ∩ En ∈ A et (Ai ∩ En)n∈N croissante donc

⋃n∈N

Ai ∩ En = Ai⋂(⋃

n∈NEn

)= Ai ∩ E = Ai.

D’où

limn→+∞

∫En

f dµ =N∑i=1

αiµ (Ai) =

∫E

f dµ.

5.1.2 Intégration des fonctions mesurables positives.

On noteM+def= {f : (E,A) 7→

(_R+,B

(_R+

)), f mesurable}.

Soit f ∈M+, on définit :

∫E

f dµdef= sup

∫E

ϕdµ| ϕ ∈ E+ et ϕ ≤ f

Définition 17.

Remarque 17.

— Par croissance de l’intégrale des fonctions de E+, la définition estcompatible avec celle de l’intégrale pour E+.

— Si f ∈M+ alors∫E

fdµ ≥ 0 (ϕ ≡ 0 ≤ f et ϕ ∈ E+)

Si f, g ∈M+ avec f ≤ g alors∫E

f dµ ≤∫E

g dµ



.Si ϕ ∈ E+ avec ϕ ≤ f alors ϕ ≤ g donc

∫E

ϕdµ ≤∫E

g dµ par passage

au sup pour varphi ≤ f , où ϕ ∈ E+.

Si (fn)n∈N est une suite croissance surM+ (fn ≤ fn+1) alors :

f = limn→+∞

fn ∈M+∫E

f dµ = limn→+∞

∫fn dµ.

Théorème 5 (Beppo-Levi, ou théorème de convergence monotone).

Démonstration. ∀n ∈ N, fn ≤ f par croissance donc :∫E

fn dµ ≤∫E

f dµ

limn→+∞

∫E

fn dµ ≤∫E

f dµ

Montrons que∫E

f dµ ≤ limn→+∞

∫E

fn dµ.

Soit ϕ ∈ E+, avec ϕ ≤ f , soit α ∈]0, 1[.

Endef= {x ∈ E,αϕ (x) ≤ fn (x)} = {αϕ− fn < 0} ∈ A

On note que∫E

(αϕ) dµ ≤∫E

fn dµ, car αϕ1En ≤ fn On a

E =⋃n∈N

En

(si x ∈ E,∃n ∈ N tel que fn (x) > αϕ (x) car limn→+∞

fn (x) = f (x) > αϕ (x))

et (En)n∈N est une suite croissance donc

limn→+∞

∫En

(αϕ) dµ =

∫E

(αϕ) dµ

donc∫E

αϕdµ ≤ limn→+∞

∫E

fn dµ On laisse tendre α vers 1 et on obtient :

∫E

ϕdµ ≤ limn→+∞

∫E

fn dµ

pour tout ϕ ∈ E+, ϕ ≤ f



Si f ∈ M+ alors il existe une suite croissance (fn)n∈N de E+ telleque ∀x ∈ E, lim

n→+∞fn (x) = f (x).

Théorème 6 (Lemme d’approximation).

Démonstration.Soient :

— Andef= {f ≥ n} = {x ∈ E, f (x) ≥ n}

— Bn,idef= { i

2n ≤ f ≤i+12n } pour ß ∈ J0, n2n − 1K.

On pose :

fn =n2n−1∑i=0

i

2n1Bn,i + n1An

— On a fn ∈ E+, fn a un nobmre fini de valeur, An, Bn,i ∈ A car f estmesurable.

— limn→+∞

fn (x) = f (x) si f (x) = +∞, fn (x) = n qui tend vers ∞ si ntend vers +∞.

— Si f (x) < +∞, ∃n0 ∈ N, f (x) < n et si i2n < f (x) < i+1

2n alorsfn (x) = i

2n

∀n ≥ n0, f (x)− fn (x) <1

2n

alors limn→+∞

fn (x) = f (x), ∀n ∈ N, fn ≤ fn+1. Soit x ∈ E, deux cas :

Si f (x) ≥ n+ 1, fn (x) = n, fn+1 (x) > fn (x)

Si f (x) ≤ n, fn (x) = i2n , où i ∈ J0, n2n − 1K, fn (x) ∈

{2i

2n+1 ,2i+12n+1

}et fn+1 (x) ≥ fn (x)

Si n ≥ f (x) ≤ n+ 1, fn (x) = n, fn+1 (x) = i2n+1 , avec i ≥ n2n+1 et

fn+1 (x) ≥ fx (x)

Si fn ∈M+ alors∑nfn ∈M+ et

∫E

∑n

fn dµ =∑n

∫E

fn dµ

Corollaire 4 (Corollaire de Beppo Levi).

Démonstration.On a

∑nfn = lim

n→+∞

n∑k=0

fk comme limite de fonctions mesurables. Soit gn =



n∑k=0

fk, g ∈M)+, et (gn)n∈N est croissante donc par Beppo-Levi :

∫E

limn→+∞

∑k = 0nfk dµ = lim

n→+∞

∫E

n∑k=0

fk dµ

Par additivité de l’intégrale :∫E

∑n ∈ Nfk dµ = lim

n→+∞

n∑k=0

∫E

fk dµ =∑n∈N

∫E

fk dµ

Si fg ∈M+ alors

1.∫E

(f + g) dµ =∫E

f dµ+∫E

g dµ

2. Si α ∈ R+,∫E

αf dµ = α∫E

f dµ

3. Si A ∈ A, alors f1A ∈ M+ et on note∫A

f dµ =∫E

f1A dµ et

si on a A,B ∈ A tels que A ∩B = ∅ alors∫AtB

f dµ =

∫A

f dµ+

∫B

f dµ

Proposition 17.

Démonstration.

1. Soient (fn)n∈N , (gn)n∈N 2 suites croissantes de E+ telles que :

∀x ∈ E

limn→+∞

fn (x) = f (x)

limn→+∞

gn (x) = g (x)

On sait que ∀n ∈ N,∫E

(fn + gn) dµ =

∫E

fn dµ+

∫E

gn dµ

limn→+∞

∫E

(fn + gn) dµ

=

∫E

f dµ+

∫E

g dµ par Beppo-Levi



(fn + gn)n∈N est une suite croissante deM+ donc par Beppo-Levi :

limn→+∞

∫E

(fn + gn) dµ =

∫E

(f + g) dµ

2. Si α ≥ 0, soit (fn)n∈N croissante dans E+ avec limn→+∞

fn = f . On a :

— (αfn)n∈N est croissante— lim

n→+∞αfn = αf

— αfn ∈M+,∀n ∈ Ndonc ∫

E

αfn dµ = α

∫E

fn dµ

limn→+∞

∫E

αfn dµ = α

∫E

f dµ par Beppo Levi

Donc ∫E

αf dµ = α

∫E

f dµ.

3. est laissé au lecteur courageux...

Soit f ∈M+ alors∫E

f dµ = 0⇔ µ ({f 6= 0}) = 0.

Proposition 18.

Remarque 18. NotationsOn dit qu’une propriété P sur E est vraie µ−presque partout (notée µ− pp)si {x ∈ E, x ne vérifie pas P} ∈ A et µ ({x ∈ E, x ne vérifie pas P}) = 0Exemple : Montrer que si µ ({f 6= 0}) = 0 alors on dit que f = 0 µ− pp

Démonstration."⇐" : Si f = 0 µ− pp, et ϕ ∈ E+ avec ϕ ≤ f alors {ϕ 6= 0} ⊂ {f 6= 0} doncµ ({ϕ 6= 0}) ≤ µ ({f 6= 0}) donc ϕ = 0 µ− pp

Si ϕ ∈ E+ alors si ϕ =N∑i=0

αi1Ai alors αi > 0 ⇒ µ (Ai) = 0. ϕ = 0 µ − pp,

donc : ∫E

ϕdµ =N∑i=1

αiµ (Ai) .



"→" : Si µ ({f 6= 0}) > 0 montrons que∫E

f dµ > 0.

{f 6= 0} =⋃n∈N∗

{f ≥ 1

n

}

0 < µ ({f 6= 0}) = µ

( ⋃n∈N∗

{f ≥ 1

n

})= lim

n→+∞µ

({f ≥ 1

n

})donc ∃n ∈ N∗, tel que µ

({f ≥ 1

n

})> 0 on a f ≥ 1

n1{f≥ 1n} donc∫

E

f dµ ≥∫E

1

n1{f≥ 1

n} dµ

≥ 1

n

∫E

1{f≥ 1n} dµ

≥ 1

nµ

({f ≥ 1

n

})> 0

Si f, g ∈M+, et f = g µ− pp alors∫E

f dµ =

∫E

g dµ.

Corollaire 5.

Démonstration.On a µ ({f 6= g}) = 0∫

E

f dµ =

∫{f 6=g}

f dµ+

∫{f=g}

f dµ

=

∫{f=g}

g dµ car µ ({f 6= g}) = 0

=

∫{f 6=g}

g dµ+

∫{f=g}

g dµ

∫E

f dµ =

∫E

g dµ



Soit f ∈M+ alors ∀a ∈ R∗+,

µ ({f ≥ a}) ≤ 1

a

∫E

f dµ

Proposition 19 (Inégalité de Markov).

Démonstration. ∫E

f dµ =

∫{f<a}

f dµ+

∫{f≥a}

f dµ

≥ 0 +

∫{f≥a}

adµ

≥ a∫

{f≥a}

1 dµ

≥ aµ ({f ≥ a})

Si f ∈M+ et∫E

f dµ < +∞ alors

µ ({f = +∞}) = 0

Corollaire 6.

Exemple 10.

1. Dirac : Soit x ∈ E, si µ = δx, ∀f ∈M+,∫E

f dµ = f (x), en effet :

Démonstration.Si f ∈ E+, c’est évident, sinon f ∈M+ soit (fn)n croissante dans E+avec lim

n→+∞fn = f . Par Beppo-Levi :

limn→+∞

∫E

fn dµ =

∫Ef dµ

Or∫E

fn dµ = fn (x) donc∫E

f dµ = f (x)



2. Mesure de comptage sur (N,P (N)) :Si f ∈M+,

∫Nfdm =

∑n∈N

f (n)

Cas des famille sommables sur (E,P (E)) : Théorie des familles som-mables.

∫E

fdm =∑x∈E

f (x)

Exercice : f ∈ M+, montrez que si∫E

fdm < +∞ alors {f 6= −}

dénombrable.

Si (fn)n∈N est une suite de fonctions mesurables positives.∫E

lim infn

fn dµ ≤ lim infn

∫E

fn dµ.

Théorème 7 (Lemme de Fatou).

Démonstration.On pose gn

def= inf

k≥nfk :

— gn ∈M+ car les fn sont mesurables positives.— (gn)n est une suite croissante par Beppo-Levi :

limn→+∞

∫E

infk≥n

fk dµ =

∫E

limn→+∞

infk≥n

fk dµ

On a pour m ≥ n, infk≥n

fk ≤ fm, donc∫E

infk≥n

fk dµ ≤∫E

fm dµ

et par passage à l’inf pour m ≥ n, on a∫E

infk≥n

fk dµ ≤ infm≥n

∫E

fm dµ

Alors limn→+∞

∫E

infk≥n

fk dµ ≤ lim infn

∫E

fn dµ d’où

∫E

lim infn

fn dµ ≤ lim infn

∫E

fn dµ.



5.2 Fonctions intégrables

On se place dans un espace mesurables (E,A, µ).

On dit que f : (E,A) 7→ (K,B (K)) où K = R ou C est

µ−intégrable si

f mesurable de (E,A) dans (K,B (K))∫E

|f | dµ <∞

On note

L1µ (E,K)def={f : (E,A) 7→ (K,B (K)) , f est µ− integrable

}On le note parfois L1µ (E) ou même L1µ, ou même L1...(si la contexteest clair)

Définition 18.

(f ∈ L1µ

(E,

_R))⇔(f+, f− ∈ L1µ

(E,R+

))Où f+ def

= max {0, f} et f− def= max {0,−f} et(

f ∈ L1µ (E,C))⇔(Re (f) , Im (f) ∈ L1µ (E,R)

)

Proposition 20.

Remarque 19.Si f est mesurable, f−, f+ sont mesurables positives :

f+ = f1{f≥0} ∈M+, f− = f1{f≤0} ∈M+

On a f = f+ − f− et |f | = f+ + f−

Démonstration.Par la remarque on a f mesurable ⇔ f+, f− sont mesurables.On a |f | = f+ + f− donc si f est mesurable,∫

E

|f | dµ =

∫E

f+ dµ+

∫E

f− dµ

donc(∫E

|f | dµ < +∞)⇔(∫E

f+ dµ < +∞,∫E

f− dµ < +∞)

(f+, f− sont

à valeurs positives).



— f : E 7→ C mesurable ⇔ Re (f) et Im (f) sont mesurables. Si fest mesurable on a :

|Ref | ≤ |f | ≤ |Ref |+ |Imf ||Imf | ≤ |f | ≤ |Ref |+ |Imf |

D’où le résultat.

Soit f ∈ L1µ(E,

_R), on définit :∫E

f dµdef=

∫E

f+ dµ−∫E

f− dµ

Soit f ∈ L1µ (E,C), on définit :∫E

f dµdef=

∫E

Ref dµ+ i

∫E

Imf dµ

Définition 19 (Intégrale de Lesbegue).

Si f, g mesurables de E dans K et f = g µ−pp Alors

f ∈ L1µ ⇔ g ∈ L1µ

et dans ce cas ∫E

f dµ =

∫E

g dµ

Proposition 21.

Démonstration.On a {x ∈ E, |f (x)| 6= |g (x)|} ⊂ {x ∈ E, f (x) 6= g (x)} donc

µ ({|f | 6= |g|}) ≤ µ ({f 6= g}) = 0

{|f | − |g| 6= 0} = (|f | − |g|)−1 (R\{0}) ∈ A

Si K = R {x ∈ E, f+ 6= g+

}⊂ {x ∈ E, f 6= g}{

x ∈ E, f− 6= g−}⊂ {x ∈ E, f 6= g}



doncf+ = g+ µ− pp, f− = g− µ− pp

donc ∫E

f+ dµ−∫E

f− dµ =

∫E

g+ dµ−∫E

g− dµ

Si K = C{x ∈ E, Ref 6= Ref} ⊂ {x ∈ E, f 6= g}

{x ∈ E, Imf 6= Imf} ⊂ {x ∈ E, f 6= g}

...reproduire le même raisonnement.

Remarque 20.Soit f ∈ L1µ

(E,

_R),

µ ({|f | =∞}) = 0 donc µ ({x ∈ E, f =∞}) = 0. Donc si f ∈ L1µ(E,

_R)

et si on pose∼f

def= f1{|f |<∞}, on a f =

∼f µ−pp et∫

E

f dµ =

∫E

∼f dµ

def=

∫E

f1{|f |<∞} dµ

Si f, g ∈ L1µ (E,K), alors— f + g ∈ L1µ (E,K) et∫

E

(f + g) dµ =

∫E

f dµ+

∫E

g dµ

— si α ∈ KK, αf ∈ L1µ (E,K) et∫E

αf dµ = α∫E

f dµ

Proposition 22 (Linéarité de l’intégrale).

Démonstration.

— f + g mesurable car f et g le sont.

|f + g| ≤ |f |+ |g|

donc ∫E

|f + g| dµ =

∫E

|f | dµ+

∫E

|g| dµ < +∞



et f + g ∈ L1µ (E,K)

Cas K = R : on remarque que f + g = (f + g)+ − (f + g)− = f+ −f− + g+ − g− alors (f + g)+ + (f + g)− = f+ + g+ + f− + g− d’où∫

E

(f + g)+ + f− + g− dµ =

∫E

(f + g)− + f+ + g+ dµ

∫E

(f + g)+ − (f + g)− dµ =

∫E

f+ dµ−∫E

f− dµ+

∫E

g+ dµ−∫E

g− dµ

=

∫E

f dµ−∫E

g dµ

par additivité de l’intégrale des fonctions deM+.Cas K = C :∫E

(f + g) dµ =

∫E

(Ref + Reg) dµ+ i

∫E

(Imf + Img) dµ

=

∫E

Ref dµ+

∫E

Reg dµ+ i

∫E

Imf dµ+ i

∫E

Img dµ

=

∫E

f dµ+

∫E

g dµ

— Cas K = R si α ∈ K, |αf | = |α| |f |, αf ∈ L1µ (E,K). Si α ∈ R,soit α ≥ 0 et

(αf)+ = αf+

(αf)− = αf−

soit α ≤ 0 et(αf)+ = −αf+

(αf)− = −αf−

On conclut par l’homogénéité positive pour l’intégrale surM+.Cas K = C, α = a+ ib.

αf = (a+ ib) (Ref + iImf) = (aRef = bImf) + i (bRef + aImg)



∫E

αf dµ =

∫E

(aRef)

=

∫E

(aRef = bImf) dµ+ i

∫E

(bRef + aImg) dµ

= (a+ ib)

∫E

Ref dµ+ i (a+ ib)

∫E

Imf dµ

= α

∫E

f dµ

Soit f ∈ L1µ (E,K) où K = |RR ou C. On a :∣∣∣∣∣∣∫E

f dµ

∣∣∣∣∣∣ ≤∫E

|f | dµ

Proposition 23 (Inégalité triangulaire).

Démonstration.

K = R on a |f | = f+ + f− donc :∣∣∣∣∣∣∫E

f dµ

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∫E

f+ dµ+

∫E

f− dµ

∣∣∣∣∣∣≤∫E

f+ dµ+

∫E

f− dµ

≤∫E

f+ + f− dµ

≤∫E

|f | dµ



K = CCR Si∫E

f dµ 6= 0 on a :

∣∣∣∣∣∣∫E

f dµ

∣∣∣∣∣∣ =

∫E

∣∣∣∣∫E

f dµ

∣∣∣∣∫E

f dµdµ

=

∫E

Re (αf) dµ+ i

∫E

Im (αf) dµ

≤∫E

|Re (αf)| dµ

≤∫E

|αf | dµ =

∫E

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∫E

f dµ

∣∣∣∣∫E

f dµ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ dµ

≤∫E

|f | dµ

5.3 Théorème de convergence dominée et applica-tions

5.3.1 Théorème de convergence dominée

Soit (fn)n∈N ∈(L1µ (E,K)

)N où K = R ou C telle que :— Pour µ−presque tout x ∈ E (fn (x))n converge.— ∃g ∈ L1µ (E,K) telle que fn −→

n→+∞f µ−pp et∫

E

|fn − f | dµ −→n→+∞

0

Cette convergence sera appelée Convergence L1µ.

Théorème 8 (Convergence dominée de Lesbegue).

Remarque 21.On dit que (fn (x))n convergence pour µ− presque tout x si

µ ({x ∈ E, fn (x) ne converge pas}) = 0

On note aussi (fn (x))n converge µ−pp xPlus généralement, si P est une propriété sur E,on dit que P est vérifiée en



x pour µ−presque tout x ( ou P est vérifiée en x µ−pp x ) si et seulementsi :

— {x ∈ E,P n’est pas vérifiée en x} ∈ A— µ ({x ∈ E,P n’est pas vérifiée en x}) = 0

À noter également que(fn −→

n→+∞fµ− pp

)⇔ µ

({x ∈ E, fn (x) −→

n→+∞f (x)

})= 0

Démonstration.On pose f def

= lim infn

fn donc f est mesurable. fn −→n→+∞

f µ−pp :{x ∈ E, fn (x) 9

n→+∞f (x)

}=

{x ∈ E, lim inf

nfn (x) 6= lim sup

nfn (x)

}= {x ∈ E, (fn (x))n ne converge pas = 0}

µ

({fn 9

n→+∞f

})= 0 f est intégrale.

Adef=

{fn −→

n→+∞f

}⋂(⋂n∈N{|fn| ≤ g}

)∈ A

car les fn, f, g sont mesurables.

µ (Ac) ≤ µ

({fn 9

n→+∞f

}⋃(⋂n∈N{|fn| > g}

))

≤ µ({

fn 9n→+∞

f

})+ µ

(⋃(⋃n∈N{|fn| > g}

))≤∑n∈N

µ ({|fn| > g}) = 0

Donc ∫E

|f | dµ =

∫A

|f | dµ

≤∫A

g dµ

≤∫E

g dµ < +∞

car si x ∈ A,∀n ∈ N, |fx (x)| ≤ g (x), donc |f (x)| ≤ g (x)∫E

|fn − f | dµ −→n→+∞

0



Si x ∈ A, |fn (x)− f (x)| ≤ 2g (x), donc 1A (2g − |fn − f |) est mesurable,positive, pour tout n ∈ N. Par le lemme de Fatou :∫

A

lim inf (2g − |fn − f |) dµ ≤ lim infn

∫A

(2g − |fn − f |) dµ

2

∫A

g dµ−∫A

lim inf |fn − f | dµ ≤ 2

∫A

g dµ+ lim infn

−∫A

|fn − f |

dµ

Or lim inf |fn − f | = 0 car infk≥n

(−fk (x)) = − supk≥n

(−fk (x))

donc lim supn

∫A

|fn − f | dµ ≤ 0 alors :

0 ≥ lim infn

∫A

|fn − f | dµ ≤= lim supn

∫A

|fn − f | dµ = 0

alors : ∫A

|fn − f | dµ −→n→+∞

0

∫E

|fn − f | dµ =

∫A

|fn − f | dµ −→n→+∞

0

Le théorème de convergence dominée ne couvre pas tous les cas deconvergence,

∫E

fn dµ −→n→+∞

∫E

f dµ

Si fn = 1n1Jn,n+1K,

∫Rfndλ = 1

n −→n→+∞0 et fn (x) −→

n→+∞0, ∀x ∈ R.

Or Si ∀n ∈ N, |fn (x)| ≤ g (x) µ−pp. Alors∫R

∑n≥1

1

n1Jn,n+1Kdλ ≤

∫R

g (x) dλ (x)

Or∫R

∑n≥1

1

n1Jn,n+1Kdλ ≥

∑n > 0

∫R

1

n1Jn,n+1Kdλ

Par Beppo-Levi∑n > 0

∫R

1n1Jn,n+1Kdλ =

∑n>0

1n =∞ et

∫R

fdλ =∞

Proposition 24 (Extension du théorème de convergence dominée).



Remarque 22.On utilise dans la pratique que (car en général on connaitra f) :

— Si (fn)n est une suite de fonctions mesurables, f mesurable.— fn −→

n→+∞f µ−pp

— ∃g ∈ L1 telle que ∀n ∈ N, |fn (x)| ≤ g (x) µ−pp en x.Alors f ∈ L1 et ∫

E

|fn − f | dµ −→n→+∞

0

et en particulier ∫E

fn dµ −→n→+∞

∫E

f dµ

Soit (fn)n une suite de fonctions intégrales telles que :∑n

∫E

|fn| dµ <∞

Alors la fonction∑N

fn est définie µ−pp et est intégrable, et

∑n

∫E

fn dµ =

∫E

∑n

fn dµ

Proposition 25 (Interversion Somme et Integrale).

Démonstration.C’est une conséquence quasi-immédiate du théorème de convergence domi-née : On a

∑n

∫E

|fn| dµ < ∞ donc comme les |fn| sont mesurables, positifs,

on a : ∫E

∑n

|fn| dµ <∞

donc∑n|fn| ∈ L1µ (E), et µ

({∑n|fn| = ±∞

})= 0 Alors

∑n∈N

fn (x) converge

absolument (donc converge) µ−pp x.∑nfn est donc définie µ−pp (on peut

la prolonger en une fonction définie partout, par exemple par 0).∑n∈N

fn ∈ L1µ

∫E

∣∣∣∣∣∑n

fn

∣∣∣∣∣ dµ ≤∫E

∑n

|fn| dµ <∞



On pose gndef=

n∑k=0

fk, mesurable car les fk le sont. On a :

— gn (x) −→n→+∞

∑n∈N

fn (x) pour µ− presque tout x ∈ E.

— ∀n ∈ N, pour µ−presque tout x,

|gn (x)| ≤∑n∈N|fn (x)|

Or∑n∈N|fn| ∈ L1µ (E), alors par le théorème de convergence dominée :

limn→+∞

∫E

gn dµ =

∫E

∑n∈N

fn dµ

limn→+∞

∫E

n∑k=0

fk dµ =

∫E

∑n∈N

fn dµ

limn→+∞

n∑k=0

∫E

fk dµ =

∫E

∑n∈N

fn dµ

∑n∈N

∫E

fk dµ =

∫E

∑n∈N

fn dµ

Intégrale dépendant d’un paramètre

Soit (Y, d) un espace métrique. On considère f : E × Y 7→ K oùK = R ou C.

Soit z ∈ Y , on suppose :— Intégrabilité par rapport à la première variable : ∀y ∈ Y ,

x→ f (x, y) est intégrable.— continuité par rapport à la deuxième variable : Pour

µ−presque tout x ∈ E, y → f (x, y) est continue en z.— Hypothèse de domination : ∃g ∈ L1µ (E), telle que : ∀y ∈ Y ,

pour µ−presque tout x ∈ E, |f (x, y)| ≤ |g (x)| est continueen z.

Alors la fonction : F : y ∈ Y 7→∫E

f (x, y) dµ(x) est définie entout point de Y et est continue en z.

Théorème 9 (Continuité sous l’intégrale).



Démonstration.

— Par la première hypothèse, la fonction F est définie partout.— Soit (zn)n∈N ∈ Y N telle que zn −→

n→+∞z. On pose fn : x 7→ f (x, zn) ,

par la première hypothèse, les fn sont mesurables

f (x, zn) −→n→+∞

f (x, z) µ−pp x

∀n ∈ N,

|fn (x)| = |f (x, zn)|≤ g (x) µ− pp x

Par le théorème de convergence dominée, on a

F (zn) =

∫E

f (x, zn) dµ(x) −→n→+∞

∫E

f (x, z) dµ(x) = F (z)

Remarque 23.Si on remplace la deuxième hypothèse par f (x, y) −→

y→zl µ−pp x. Où l est

une fonction mesurable, alors on obtient de la même façon la conclusion :

F (y) =

∫E

f (x, y) dµ (x) −→y→z

∫E

l (x) dµ (x) .

On a l’application suivante : Soit f ∈ L1λ (R) on pose : F :R 7→ Ry →

∫]−∞,y]

f (x) dλ (x)

Alors F est continue sur R.

Démonstration. ∀y ∈ Y , F (y) =∫Rf (x)1]−∞,y] (x) dλ (x) On pose ϕ (x, y)

def=

f (x)1]−∞,y] (x) On a ∀z ∈ R :— ∀y ∈ R, x 7→ f (x)1]−∞,y] (x) est mesurable, comme produit de

telles fonctions.— Soit x ∈ R, y 7→ f (x)1]−∞,y] (x) = f (x)1[x,+∞[ (y) est continue

en z si et seulement si x 6= y. Donc y 7→ ϕ (x, y) est continue enz pour λ−presque tout x.

— ∀y ∈ R,∀x ∈ R,

|ϕ (x, y)| =∣∣f (x)1]−∞,y] (x)

∣∣ ≤ |f (x)|

Comme f ∈ L1λ (R), par le théorème de continuité sous l’intégrale,∀y ∈ R, f est continue en z. Alors F est continue sur R.



Soit f : E × I 7→ R où I intervalle ouvert non vide de R. Onsuppose :

— Intégrabilité par rapport à la première variable : ∀y ∈I, x 7→ f (x, y) est intégrable.

— Dérivabilité par rapport à la deuxième variable : Pourµ−presque tout x ∈ E, y 7→ f (x, y) est dérivable surI. On note ∂f

∂y (x, y) la dérivée en x.— Hypothèse de domination : ∃g ∈ L1µ (E,R+) telle que ∀y ∈ I,

pou µ−presque tout x ∈ E,

|derf | ≤ g (x)

Alors la fonction F : y 7→∫E

f (x, y) dµ (x) est définie surI, dérivable sur I et :

∀y ∈ I, F ′ (y) =

∫E

∂f

∂y(x, y) dµ (x) .

Théorème 10 (Dérivabilité sous l’intégrale).

Démonstration. Soit z ∈ I, soit (zn)n ∈ IN telle que zn −→n→+∞

z, ∀n ∈

N, zn 6= z F (zn)−F (z)zn−z =

∫E

f(x,zn)−f(x,z)zn−z dµ (x) ϕn (x)

def= f(x,zn)−f(x,z)

zn−z

— ∀n ∈ N, ϕn est mesurable car f l’est, par la deuxième hypothèse,ϕn (x) −→

n→+∞∂f∂y (x, z) pour µ−presque tout x ∈ E.

— ∀n ∈ N,

|ϕn (x)| ≤ supy∈[zn,z]

∣∣∣∣∂f∂y (x, z)

∣∣∣∣ par le théorème des accroissements finis

|ϕn (x)| ≤ supy∈I

∣∣∣∣∂f∂y (x, z)

∣∣∣∣ ≤ g (x) pour µ− presque tout x ∈ E

Alors par le théorème de convergence dominée :

limn→+∞

F (zn)− F (z)

zn − z=

∫E

∂f

∂y(x, z) dµ (x)

F ′ (z) =

∫E

∂f

∂y(x, z) dµ (x)



5.4 Comparaison intégrale de Riemann et intégralede Lesbegue

5.4.1 Rappels

On se place dans un intervalle fermé [a, b] ⊂ R.

1. On appelle fonction en escalier sur le segment [a, b] toute fonc-tion de la forme

ϕ =∑

k = 0Nαk1Ik

où les Ik sont des intervalles de [a, b].

2. Soit f : [a, b] 7→ R bornée, on note :

b∫_ a

f (x) dxdef= sup

∫

[a,b]

ϕdλ, ϕ en escalier, ϕ ≤ f

_ b∫a

f (x) dxdef= inf

∫

[a,b]

ϕdλ, ϕ en escalier, ϕ ≥ f

f est Riemann intégrale (RI) sur [a, b] ⇔(

_ b∫af (x) dx =

b∫_ a

f (x) dx

)On note alors :

b∫a

def=

b∫_ a

f (x) dx =

_ b∫a

f (x) dx

Contre-exemple où c’est faux : 1Q∩[0,1].

Définition 20 (Fonction de escalier).

Remarque 24.La définition et équivalente à la définition par somme de Riemmann-Darboux.



—{f : [a, b] 7→ R ; f Riemann intégrable

}est un espace

vectoriel.— Relation de Chasles.

Proposition 26.

Si (fn)n suite de fonctions Riemann intégrable sur [a, b], et fnconverge uniformément vers f sur [a, b] alors f est Riemann inté-grable et

b∫a

f (x) = limn→+∞

b∫a

fn (x) .

Théorème 11.

On appelle fonction réglée une fonction de [a, b] dans R qui est limiteuniforme de fonctions en escalier.

Définition 21 (Fonction réglée).

Remarque 25.Par le théorème précédent, toute fonction reglée sur [a, b] est Riemann inté-grable.

(Une fonction f : [a, b] 7→ R est reglée

)⇔

( f a une limite à gauche et à droite en tout point.)

Proposition 27.

exemple de fonctions vérifiées : les fonctions Co continues par morceaux,monotones...

5.4.2 Lien intégrale de Riemann-intégrale de Lesbegue

Si (E,A, µ) espace mesurée et P une propriété sur E. On étend la situa-tion : P est vraie µ−pp : si ∃A ∈ A telle que µ (E) = 0 et ∀x /∈ A, x vérifieP.Cela autorise le cas {x ∈ E, x vérifie pas P} /∈ A



Si f : [a, b] 7→ R Riemann intégrable alors ∃g ∈ L1λ ([a, b]) telleque :

f = g λ− pp

au sens où ∃F ∈ B ([a, b]) telle que λ (A) = 0,∀x /∈ A, f (x) = g (x).

b∫a

f (x) dx =

∫[a,b]

g (x) dλ

Théorème 12.

Démonstration.Soit (ϕn)n une suite de fonctions en escalier telle que : ∀n ∈ N, ϕn ≤ f et∫

[a,b]

ϕn (x) dλ −→n→+∞

∫[a,b]

f (x) dx

On peut supposer (ϕn)n croissante quitte à considérer∼ϕn

def= max (ϕ0, . . . , ϕn),

où ϕn est en escalier, ∼ϕn≤ f et∫[a,b]

∼ϕn (x) dλ −→

n→+∞

∫[a,b]

f (x) dx

Soit g : x 7→ limn→+∞

ϕn (x) mesurable, g ≤ f , montrons que∫ϕndλ −→

n→+∞

∫g dx

On a ϕn (x) −→n→+∞

g (x), ∀x ∈ [a, b],

ϕ0 (x) ≤ ϕn (x) ≤ max (‖f‖∞,−ϕ0) ∈ L1 ([a, b])

Donc par le théorème de convergence dominées :∫[a,b]

ϕndλ −→n→+∞

∫[a,b]

gdλ

On a donc∫

[a,b]

gdλ =∫

[a,b]

f (x) dx.

Soit (ψn)n∈N une suite de fonctions en escaliers avec :— ψn ≥ f



—∫

[a,b]

ϕndλ −→n→+∞

b∫af (x) dx

On peut supposer que (sin)n est décroissante, quitte à considérer∼ψn= min (ψ0, ψn)

Soit h def= lim

n→+∞ψn alors : h est mesurable et h ≥ f comme ci-dessus par le

théorème de convergence dominée.∫[a,b]

ψndλ −→n→+∞

b∫a

hdλ

On a alors ∫[a,b]

hdλ =

b∫a

f (x) =

∫[a,b]

gdλ

donc g = h λ−pp i.e λ ({g 6= h}) = 0 or g ≤ f ≤ h donc {g 6= f} ⊂ {g 6= h}et f = g λ−pp au sens de l’énoncé.

Remarque 26.Si f est mesurable, le théorème devient :

f est Riemann intégrable, f ∈ L1 ([a, b]) et∫

[a,b]

fdλ =b∫af (x) dx

Si on se place dans [a, b] muni de la tribu de Lesbegue (voir plus loin) lethéorème devient :Si f est Riemann intégrable, alors f est lesbegue intégrable et

∫fdλ =

b∫af (x) dx

La réciproque est cependant fausse : en effet si f = 1Q∩[0,1], f n’est pas

Riemann intégrable,b∫

_ af (x) dx = 0 et

_ b∫af (x) dx = 1 ϕdλ ≤ 0 si ϕ est en

escalier telle que ϕ ≤ f .ϕ

def==

∑αk1Ik

∃x ∈ Ik\Q, t.q., αk = ϕ (x) ≤ f (x) = 0 et f ∈ L1 ([0, 1]) et∫

[0,1]

fdλ =

λ ({Q ∩ [0, 1]} = 0)

Si f : R 7→ R localement Riemann intégrable d’intégrale abso-lument convergente, i.e Riemann intégrable sur tout compact de R,

∃g ∈ L1λ (R) telle que f = g λ−pp et+∞∫−∞

f (x) =∫Rfdλ.

Théorème 13.


Chapitre 6

Espace Lp

On se place sur un espace mesurable (E,A, µ).

6.1 Définitions

Soit p ∈ [1,+∞[, on définit :

Lpµ (E)def=

f : E 7→ R mesurable,∫E

|f |p dµ <∞

L∞µ (E)

def={f : E 7→ R mesurable, ∃c > 0, |f | ≤ c µ− pp

}Les fonctions de L∞µ sont dites essentiellement bornées. On note aussiLp (E) ,L∞ (E) ,Lp,L∞, lorsque le contexte est clair.

Définition 22.

Remarque 27.Si p ∈ [1,+∞[, si m mesure de comptage sur (N,P (N)).

Lpm (N) = lp (N)def=

{(un)n∈N ,

∑n∈N|un|p <∞

}

Si µ (E) <∞ si 1 ≤ p ≤ q ≤ +∞, alors Lpµ (E) ⊂ Lpµ (E)Si p ≤ q, lp (E) ⊂ lq (E)

Proposition 28 (Demo en TD).

57

CHAPITRE 6. ESPACE LP

Exemple 11 (Exemple de non égalité).

x 7→ 1[1,+∞[ (x) ∈ L2\L1

x 7→ 1]0,1[(x)√x

∈ L1\L2

Si p ∈ [1,+∞], on introduit la relation d’équivalence, si f, g ∈ Lpµ (E),

(f ∼ g)⇔ (f = q mu− pp)

Définition 23.

Si p ∈ [1,+∞], on définit Lpµ (E)def= Lpµ/ ∼

Définition 24.

Remarque 28.si f ∈ Lpµ (E) ,

_f= {g ∈ Lpµ (E) , f = g µ− pp} Les éléments de Lpµ (E) sont

des classes d’équivalences de fonctions égales µ−pp. Dans toute la suite, onfera l’abus d’écriture consistant à assimiler f ∈ Lp à sa classe d’équivalencepour ∼.

On ne fait plus la différence entre les deux fonctions égalesµ−pp

Exemple 12.On dit que f = 0 dans L1

µ (E) si f = 0 µ−pp

(f ∈ Lp est continue)⇔ (∃g ∈ Co, f = g µ− pp)

Remarque 29 (Notations).Si 1 ≤ p ≤ +∞,∀f ∈ Lpµ (E) on note

‖f‖p =

(∫|f |p dµ

) 1p

Pour f ∈ L∞µ (E) on note

‖f‖∞ = inf {c > 0, |f | < c µ− pp}

Avec la convention : inf∅ =∞, on appelle ‖f‖∞ le sup essentiel, noté aussisupess f .Il est à noter que les notations ne sont pas ambiguës :

— Si f, g ∈ Lp,1 ≤ p ≤ +∞, et f = g µ−pp, alors ‖f‖p = ‖g‖p(exercice)

— ∀f ∈ L∞µ (E), |f | ≥ ‖f‖∞ µ−pp



6.2 Inégalité de Hölder et Minkowski

Si p, q ∈∈ [1,+∞], on dit que p et q sont des composantes conjugéessi 1

p + 1q = 1.

Définition 25 (Composantes conjuguées).

Exemple 13.p = q = 2

Soient p, q 2 composantes conjuguées, si (f, g) ∈ Lpµ (E) × Lqµ (E),alors

fg ∈ L1µ (E) , et

∫E

|fg| dµ ≤ ‖f‖p‖g‖q

Théorème 14 (Inégalité de Hölder).

On a l’inégalité de Cauchy-Schwarz si p = q = 2

Démonstration.Si ‖f‖p = 0 ou ‖g‖q, on a |fg| = 0 µ−pp et l’inégalité est vraie.Supossons que ‖f‖pneq0 et ‖g‖q 6= 0, alors on a plusieurs cas :

Cas p = 1 et q =∞ : On a |fg| ≤ |f | ‖g‖∞ µ−pp. alors :∫|fg| dµ ≤ ‖g‖∞

∫|f | dµ = ‖f‖1‖g‖∞

Cas 1 < p et q <∞ : On montre que ∀u, v ≥ 0, ∀α ∈]0, 1[,

uαv1−α ≤ αu+ (1− α) v

On effectue la démonstration de cela dans le cas u, v > 0, on a :

ln(uαv1−α

)= α lnu+ (1− α) ln v

≤ ln (αu+ (1− α) v)

uαv1−α ≤ αu+ (1− α) v

L’inégalité reste vraie si u = 0 ou v = 0.Soit x ∈ E, u def

= |f(x)|p‖f‖pp

et v def= |g(x)|q

‖g‖qqet α def

= 1p on a alors

|fg (x)|‖g‖q‖f‖p

≤ 1

p

|f (x)|p

‖f‖pp+

1

q

|g (x)|q

‖g‖qq



On intègre sur E :∫E

(|fg| dµ)

‖g‖q‖f‖p≤ 1

p

∫E

(|f |p dµ)

‖f‖pp+

1

q

∫E

(|g|q dµ)

‖g‖qq= 1

car

∫E

(|g|q dµ)

‖g‖qq= 1 =

∫E

(|f |p dµ)

‖f‖pp.

D’où l’inégalité suivante :∫E

(|fg| dµ) ≤ ‖g‖q‖f‖p.

Exemple 14 (Exercice). Cas d’égalité : Montrer que il y a cas d’égalité siet seulement si ∃α, β non tous nous, α |f |p = β |g|q µ−pp

Remarque 30. Si µ (E) est fini (i.e si µ est une mesure fini), et f ∈ Lpµ (E)alors : ∫

|f | dµ =

∫|f | × 1dµ

≤(∫|f |p dµ

) 1p(∫

1dµ

) 1q

≤(∫|f |p dµ

) 1p

µ (E)1q

Si µ (E) < ∞, on sait que si p ≤ q, Lpµ (E) ⊂ Lqµ (E) De plus :Lqµ (E) 7→ Lpµ (E)f → f

est continue.

En d’autres termes, ∃c > 0,∀f ∈ Lqµ (E) , ‖f‖Lp ≤ c‖f‖Lq .

Proposition 29.

dans le cas où 1 ≤ p ≤ +∞. p ∈ N Soient f, g ∈ Lpµ (E), alorsf + g ∈ Lpµ (E) et

‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p.

Théorème 15 (Inégalité de Minkowski).



Démonstration.On a plusieurs cas :Cas 1 < p < +∞ On a :

|f + g|p ≤ (|f |+ |g|)p

≤ 2max (|f | , |g|)p

≤ 2p (|f |p + |g|p)

donc ∫|f + g|p dµ ≤ 2p

(∫|f |p dµ+

∫|g|p dµ

)≤ ∞

et f + g ∈ Lpµ (E) On a

|f + g|p ≤ (|f |+ |g|) |f + g|p−1

≤ |f | |f + g|p−1 + |g| |f + g|p−1

On intègre sur E :∫|f + g|p dµ ≤

∫|f | |f + g|p−1 dµ+

∫|g| |f + g|p−1 dµ

1

p+

1

q= 1⇔ p+ q = pq

Donc q =p

p− 1

D’où |f + g|q(p−1) = |f + g|p

On a |g|,|f | ∈ Lp et |f + g|p−1 ∈ Lq où 1p + 1

q = 1, donc en appliquantHölder :∫|f + g|p dµ ≤

(∫|f |p dµ

) 1p(∫|f + g|p dµ

) p−1p

+

(∫|g|p dµ

) 1p(∫|f + g|p dµ

) p−1p

D’où : ‖f+g‖pp ≤ ‖f‖p‖f+g‖p−1p +‖g‖p‖f+g‖p−1p Si ‖f+g‖p = 0, l’inégalitéest triviale.Sinon, on divise par ‖f + g‖p−1p , et on a :

‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p

Cas p = 1 |f + +g| ≤ |f |+ |g| par l’inégalité triangulaire.∫|f + g| dµ ≤

∫|f | dµ+

∫|g| dµ.



Cas p = +∞ |f + +g| ≤ |f |+ |g| ≤ ‖f‖∞+‖g‖∞ µ−pp, par passage au pluspetit majorant on a :

‖f + g‖∞ ≤ ‖f‖∞ + ‖g‖∞.

6.3 Espaces de Banach Lpµ (E),1 ≤ p ≤ +∞

Soit p ∈ [1,+∞], ‖.‖p définit une norme sur Lpµ (E).

Proposition 30.

Démonstration.Si p < +∞,

‖f‖p = 0⇔∫|f |p dµ = 0

⇔ f = 0 µ− pp⇔ f = 0 dans Lpµ (E)

Si p = +∞

‖f‖∞ = 0⇔ |f | ≤ 0 µ− pp⇔ f = 0 dans L∞µ (E)

Si α ∈ R, ‖αf‖p = |α| ‖f‖pPour l’inégalité triangulaire, se référer à Minkowski.

Soit p ∈ [1,+∞], l’espace (Lpµ (E) , ‖.‖p) est un espace vectoriel normécomplet.

Théorème 16 (Riesz-Fischer).

Démonstration.Cas p < +∞, soit (fn)n une suite de Cauchy dans Lpµ (E), il existe donc unesous-suite

(fϕ(n)

)n∈N telle que ∀n ∈ N :

‖fϕ(n+1) − fϕ(n)‖p ≤1

2n



car ((fn)n est de Cauchy dans Lp donc est bornée.

|h− gn|p dµ =

∫lim inf

N|gN − gn|p dµ

≤ lim infN

∫|gN − gn|p dµ

≤ lim infN‖gN − gn‖pp dµ

≤

(N∑k=n

‖gk+1 − gk‖p

)pdµ Minkowski

≤

(N∑k=n

1

2k

)p

≤(

1

2n−1

)pCas p =∞ on se ramène au cas de fonctions bornées. soit (fn) suite de Cau-chy dans L+∞

µ (E). SoitA def=⋂n{|fn| ≤ ‖fn‖+∞}

⋂ ⋂n,m{|fn − fm| ≤ ‖fn − fm‖+∞}

On a µ (Ac) = 0 et on pose gndef= fn1A. On a ∀n ∈ N, ‖gn‖sup = sup {|gn (x)| , x ∈ E} =

‖f‖+∞∀n,m ∈ N, ‖gn − gm‖sup = ‖fn − fm‖sup donc (gn)n est de Cauchy dansFf (E,R) donc convergence uniformément vers une fonction f . On a ‖gn −f‖sup −→

n→+∞0 or |fn − f | ≤ ‖gn − f‖sup, d’où :

|fn − f‖+∞ −→n→+∞

0.

Remarque 31 (Notations).Soit (fn) une suite de Lpµ (E) avec 1 ≤ p ≤ +∞on note fn

Lp−→n→+∞

f si et seulement si ‖fn − f‖p −→n→+∞

0

i.e (fn) converge vers f dans (Lpµ (E) , ‖.‖p).

Remarque 32.fn ∈ Lpµ (E), fn −→

n→+∞f µ−pp ; fn

Lp−→n→+∞

f

Exemple :— fn = n1[0, 1

n, fn −→

n→+∞0 λ−pp,

∫|f | dλ = 1.

fn ∈ Lpµ (E), f ∈ Lp, fnLp−→

n→+∞f ; fn

Lp−→n→+∞

f µ−pp.

— fn,k : x 7→ 1[ k2n, k+12n

] où k ∈ [0, 2n − 1]. Si x ∈ [0, 1], ∀n ∈ N,∀kn, k2n ≤ x ≤

k+12n , fn, k

2(x) = 1 Or (fn,k (x))n ne converge pas.



En revanche, la démonstration du théorème de Riesz Pischer donne immé-diatement :

Si ∀n ∈ N, fn, f ∈ Lpµ (E), fnLp−→

n→+∞f . Alors il existe une suis-suite(

fϕ(n))nqui converge µ−pp.

Proposition 31.

Si (fn)n suite de fonctions dans Lpµ (E) et f ∈ Lpµ (E) telle que— fn −→

n→+∞f µ−pp

— ∃f ∈ Lpµ (E), ∀n ∈ N, |fn| ≤ g µ−pp donc fnLp−→

n→+∞f .

Théorème 17 (Convergence dominée - Lp).

Démonstration.On a |fn − f |p mesurable donc |fn − f |p −→

n→+∞0 µ−pp et |fn − f |p ≤ (2g)p,

or gp ∈ L1 car g ∈ Lp, donc par le théorème de convergence dominée :∫E

|fn − f |p dµ −→n→+∞

0.

Dans le cas où p = 2 : L’espace L2µ (E) muni du produit scalaire :

〈f, g〉 =

∫E

fg dµ

est un espace de Hilbert :— 〈., .〉 est bien défini (par Cauchy Schwarz)— 〈., .〉 est un produit scolaire, de norme associée ‖.‖2 =

√〈., .〉

Or(L2µ (E) , ‖.‖2

)est complet. On peut donc utiliser tous les résultats dans

les espaces de Hilbert.



6.4 Densité de Cc(Rd)dans Lpµ (E)

On appelle Cc(Rd), (l’espace des fonctions continues à support com-

pact), l’espace des fonctions ϕ : Rd 7→ Ru continues telles qu’ilexiste K ⊂ Rd compact avec ϕ ≡ 0 Kc

Définition 26.

L’espace Cc(Rd)est dense dans

(Lpµ(Rd), ‖.‖p

).

Théorème 18.

Il faut noter que ∀f ∈ Lpµ(Rd), ∀ε > 0 ∃ϕ ∈ Cc

(Rd)telle que ‖f −ϕ‖Lp < ε

Démonstration.d = 1, on va faire une série de simplification :

— On peut supposer f positive, quitte à écrire f = f+ − f−.Si ‖f+ − ϕ‖p ≤ ε

2 et ‖f− − ψ‖p ≤ ε2 où ϕ, psi ∈ Cc

(Rd). Alors :

‖f − ψ‖p = ‖f− − f− − (ϕ− ψ) ‖p ≤ ε

par inégalité triangulaire.— Montrons que l’on peut supposer f étagé positive intégrale.

Soit f : E 7→ R+ ∈ Lp Soit fn une suite de fonctions de Et,croissante et convergeant simplement vers f . On a : fn (x) −→

n→+∞f (x)

∀n ∈ N, fn ≤ f avec f ∈ Lp, donc par le théorème de convergencedominée dans Lp,

‖fn − f‖p −→n→+∞

0

On peut même supposer f = 1A où A ∈ B (E) et λ (A) < +∞.— Montrons qu’on peut supposer f = 1ω, où λ (ω) < ∞, et ω est un

ouvert. On a λ (A) = inf {λ (ω) , A ⊂ ω, ω ouvert de R} donc si ε >0,∃ω ∈ O (R) tels que A ⊂ ω et λ (ω\A) < ε. Donc∫

R

|1ω − 1A|p dλ =

∫R

1ω\Adλ

= λ (ω\A) < ε

— on peut donc supposer que f = 1ω, ω ouvert borné,car : Soit ωn =

ω⋂

]−n, n[, montrons que 1ωnLp−→

n→+∞1ω , on a déjà que 1ωn −→

n→+∞1ω



λ−pp. ∀n ∈ N,1ωn ≤ 1ω, or 1ω ∈ L1 (R) donc :∫R

(|1ω − 1ωn |p) dλ −→

n→+∞0

Si ω est un ouvert bornée de R, ω s’écrit : ω =⊔n∈N

In, où In est un

intervalle ouvert et borné de R. on a donc :n∑k=0

1Ik −→n→+∞1ω λ− pp

≤ 1ω

Donc, par convergence dans Lp, ‖1ω −n∑k=0

1Ik‖p −→n→+∞0.

On peut donc supposer f =n∑k=0

1Ik , où Ik est un intervalle borné

ouvert de R— On peut même supposer que f = 1I , où I est un intervalle ouvert

bornée de R. Si I =]a, b[, on approche 1I par fn :Alors

∫|f − fn|p dλ −→

n→+∞0.

— alors pour d quelconque, on se ramène comme ci dessus à f = 1ω, oùω est un ouvert borné, on a ω =

⋃n∈N

Pn où Pn sont des pavés ouverts

bornés.

ω =⋃n

n⋃k=0

Pk =⋃n

Nn⊔i=0

Pni

1ω = limn→+∞

Nn∑i=0

1Pni

Et on a enfin :∫ ∣∣∣∣1ω − N∑

i=01Pni

∣∣∣∣p dλ −→n→+∞

0



6.5 théorème de Radon-Nikodym

Si (E,A, µ) est un espace mesuré et que f : (E,A) 7→ R alors siν : A 7→ R est définie par : ∀A ∈ A, ν (A) =

∫A

f dµ, alors :

— ν est une mesure sur (E,A).— On dit que ν est une mesure de densité par rapport de µ— f est une densité de ν par rapport a µ

On a alors : si A ∈ A, µ (A) = 0 ⇒ ν (A) = 0 (La réciproque estfausse en général)

Définition 27.

On dit qu’une mesure ν sur (E,A) est absolument continue par rap-port a µ si :

∀A ∈ A, µ (A) = 0⇒ ν (A) = 0.

On note ν � µ.

Définition 28.

Si µ, ν deux mesures σ−finies sur (E,A), alors :

(ν � µ)⇔ (ν est à densité par rapport à µ)

i.e ∃f : E 7→ R+ mesurable telle que ∀A ∈ A, ν (A) =∫A

f dµ

Théorème 19 (Théorème de Randon-Nikodym).

On dit que ν est une mesure sur (E,A) est étrangère à ν si et seule-ment si : ∃A ∈ A telle que µ (A) = 0 et ν (Ac) = 0. On note alorsν ⊥ µ.

Définition 29.



Si µ, ν,σ−finies, alors ∃ un unique couple de mesures sur (E,A)(νac, ν⊥) tel que :

— ν = νac + ν⊥— νac � µ— ν⊥ ⊥ µ

Théorème 20 (Théorème de décomposition des mesures).


Chapitre 7

Convolution et applications

7.1 Opérateurs de translation

Si f : Rd 7→ R . On définit la fonction τaf : x 7→ f (x− a) ,a ∈ Rd.

Définition 30.

τa définit une isométrie de Lp(Rd)dans lui-même pour tout p ∈

[1,+∞].

Proposition 32.

Démonstration.si f = g pp, alors τaf = τag pp. Si f ∈ Lp

(Rd)alors : τaf est borélienne,

comme composée de fonctions mesurables, et :∫Rd

|τaf (x)|p dx =

∫Rd

|f (x− a)|p dx

(changement de variable y = x− a )∫Rd

|τaf (x)|p dx =

∫Rd

|f (y)|p dy = ‖f‖pp

70

CHAPITRE 7. CONVOLUTION ET APPLICATIONS

Si 1 ≤ p < +∞ alors : ∀f ∈ Lp(Rd),

‖τaf − f‖p −→‖a‖→0

0

Théorème 21.

Contre-exemple pour si p = +∞, f = 1[0,1], ‖τaf − f‖∞ = 1, ∀a 6= 0.

7.2 Convolution sur Rd

7.2.1 Le cas positif

Si f, g boréliennes, positives de Rd dans R. On définit f ? g :x 7→

∫Rdf (x− y) g (y) dy ∈ R+ On appelle f ? g le produit de

convolution de f et g.

Définition 31.

f ? g est bien définie, positive, et mesurable sur Rd.∫Rd

f ? g (x) dx =

∫Rd

f (x) dx

∫Rd

g (x) dx

Proposition 33.

Démonstration.∀x ∈ Rd, y 7→ f (x− y) g (y) est borélienne car :

— y 7→ x− y mesurable— f, g mesurables.— f ? g ≥ 0

— x 7→∫Rdf (x− y) g (y) dy est mesurable On a (x, y) 7→ f (x− y) g (y)

B(Rd)⊗B

(Rd)

= B(Rd ⊗ Rd

)−mesurable , en effet : Rd × Rd 7→ Rd

(x, y) → x− ycontinue, donc B

(Rd ⊗ Rd

)−mesurable.

Donc (x, y) 7→ f (x− y) et (x, y) 7→ g (y) sont B(Rd ⊗ Rd

)−mesurable.



Donc par Tonelli-Fubini : x 7→∫Rdf (x− y) g (y) dy est B

(Rd)−mesurable.

Toujours pas Fubini-Tonelli on a aussi que∫Rd

f ? g (y) dx =

∫Rd

∫Rd

f (x− y) g (y) dy dx

=

∫Rd

∫Rd

f (x− y) g (y) dy

dx

=

∫Rd

f (x) dx

∫Rd

g (y) dy

— f ? g = g ? f (changement de variable z = x− y )— {f ? g 6= 0} ⊂ {f 6= 0} + {g 6= 0} Si x /∈ {f 6= 0} + {g 6= 0},

i.e ∀y ∈ {g 6= 0}, x− y /∈ {f 6= 0}.Si g (y) 6= 0, alors f (x− y) = 0

Proposition 34.

Remarque 33 (Rappel). A,B 2 ensembles, A+Bdef= {x+ y, x ∈ A, y ∈ B}

Exemple 15. Soit f = 1[−12, 12]

— si x < −1, f ? f (x) = 0— si x > 1, f ? f (x) = 0— si x ∈ [−1, 1] ,

f ? f (x) =

∫E

1[−12, 12] (y)1[−1

2, 12] (y) dy

=

+12∫

−12

1x−[ 12,x+ 1

2] (y) dy

= λ

([−1

2,+1

2

]⋂[x− 1

2, x+

1

2

])7.2.2 Le cas général

Si f, g boréliennes de Rd dans R. on définit :

F ? g (x)def=

∫Rd

f (x− y) g (y) dy



aux points x ∈ Rd tels que y 7→ f (x− y) g (y) ∈ L1(Rd), i.e tels que

|f | ? |g| <∞

7.2.3 Condition d’existence

Si f ∈ Lp(Rd), g ∈ Lq

(Rd), si 1 ≤ p, q ≤ ∞, 1

p + 1q = 1 : alors : f ? g

est définie en tout point, bornée et uniformément continue.

Proposition 35 (Convolution Lp − Lq).

Démonstration.Soit x ∈ Rd, on a :

∫Rd

|f (x− y) g (y)| dy ≤

∫Rd

|f (x− y)|p dy

1p∫Rd

|g (y)|q dy

1q

≤ ‖τyf‖p‖g‖q = ‖f‖p‖g‖q

f ? g existe et est bornée. f ? g uniformément continue, soit a ∈ Rd :

|f ? g (x+ a)− f ? g (x)| =

∣∣∣∣∣∣∫Rd

|(f (x+ a− y)− f (x− y)) g (y)| dy

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∫Rd

|(τy−a (f)− τy (f)) (x) g (y)| dy

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∫Rd

|(τ−a (f)− f) (x− y) g (y)| dy

∣∣∣∣∣∣≤ ‖τ−a (f)− f‖p‖g‖q −→

‖a‖→00

Car τ−af, f ∈ Lp.

Si f ∈ Lp, g ∈ L1, alors : f ? g existe pp et f ? g ∈ Lp

Proposition 36 ((Lp − L1

)).



7.2.4 L’algèbre L1(Rd)

—(L1(Rd),+, ., ?,

)est une R−algèbre commutative.

— L1(Rd)n’a pas d’unité : i.e il n’existe pas de fonctions ϕ ∈ L1

telle que ∀f ∈ L1, f ? ϕ = f .

Théorème 22.

Démonstration.

— est laissé en exercice.— Supposons ϕ ∈ L1 est une unité, alors posons : fn : x 7→ exp−n‖x‖

2 ∈L∞, ϕ ∈ L1. Donc fn ?ϕ est uniformement continue, donc fn ?ϕ = fnen tout point.

fn ? ϕ (0) = f (0) = 1

=

∫R

fn (y)ϕ (y) dy

=

∫R

exp−n‖x‖2ϕ (y) dy −→

n→+∞0 par théorème de CVD

7.3 Approximation de l’unité

On appelle approximation de l’unité une suite (ϕn)n dans L1(Rd)

telle que ∀n ∈ N :— ϕn ≥ 0—

∫Rdϕn (x) dx = 1

— ∀δ > 0,∫B(0,δ[

ϕn (x) dx −→n→+∞

0.

Définition 32.



Si 1 ≤ p < +∞, si f ∈ Lp(Rd), alors :

f ? ϕnLp−→

n→+∞f.

Théorème 23.

NB : Construction d’approximation de l’unité :Si ϕ ≥ 0 et

∫Rdϕ = 1.

Si ϕn : x 7→ ndϕ (nx)

7.4 Régularisation par convolution

Si f ∈ L1, ϕ ∈ C1c , alors :

f ? ϕ ∈ C1 et ∀i ∈ J1, dK

∂

∂xi(f ? ϕ) =

(f ?

∂ϕ

∂xi

).

Théorème 24.

Démonstration. — Dérivation sur l’intégrale : f?g (x) =∫Rdf (y)ϕ (x− y) dy

— Domination : ∀x ∈ Rd :

|f (y)ϕ (x− y)| ≤ |f (y)|∥∥∥∥ ∂ϕ∂xi

∥∥∥∥∞

C∞c(Rd)est dense dans Lp

(Rd), 1 ≤ p <∞.

Théorème 25.

Démonstration. f ∈ Lp(Rd), ε > 0, ∃qinC

(Rd), ‖f − q‖ < ε

2 .Si (ϕn) est une suite d’approximation de l’unité, telle que ∀n ∈ N ϕn ∈ C∞c(suite régularisante), alors : G ? ϕn ∈ C∞c , or on a g ? ϕn

Lp−→n→+∞

g

Soit alors ϕn telle que ‖g − g ? ϕn‖p <ε2 , alors

‖f − g ? ϕn‖p ≤ ‖f − g‖p + ‖g − g ? ϕn‖p < ε


Chapitre 8

Construction de mesures,Unicité

8.1 Construction de mesures

Cas de la mesure de Lesbegue : On chercher λ mesure sur une tribu Asur R telle que :

— λ ([0, 1]) = 1— λ invariante par translation : ∀A ∈ A,∀x ∈ R, λ (A+ x) = λ (A)

Il n’existe pas de mesures sur (R,P (R)) vérifiant la première etdeuxième hypothèse.

Théorème 26 (Demo par l’axiome du choix : construction similaire à celle faite en TD).

Il existe une unique mesure λ sur (R,B (R)) vérifiant 1), 2). On rap-pelle que B (R) =

⋂A tribu sur R

R∈A

.

Théorème 27.

Quel est le but de toute cela ? Prolonger λ intervalle ouverts bornés sur R+.

8.1.1 Mesures extérieures

Sur les boréliens ça donnera la mesure de Lesbegue, ailleurs quelque chosequi ne sera pas nécessairement une mesure. Une mesure extérieure n’est pasnécessairement une mesure, mais une mesure est une mesure extérieure :

76

CHAPITRE 8. CONSTRUCTION DE MESURES, UNICITÉ

Soit E un ensemble, on dit que µ∗ : P (E) 7→_R+ est une mesure

exterieure sur E si :— µ∗ (∅) = 0— Si A,B ⊂ E, et A ⊂ B, alors µ∗ (A) ≤ µ∗ (B) (croissance)

Si ∀n ∈ N, An ∈ E :

µ∗

(⋃n∈N

An

)≤∑n∈N

µ (An) .

Définition 33 (Mesure extérieure).

Remarque 34. Une mesure sur P (E) est une mesure extérieure, la réci-proque est fausse.

Soit A ⊂ E, on dit que A est µ∗−mesurable si et seulement si :∀F ⊂ E,µ∗ (B) = µ∗ (B

⋂A) + µ∗ (B\A). On noteMµ∗ l’ensemble

des parties µ−mesurable de E.

Définition 34.

— Mµ∗ est une tribu sur E.— µ∗ est une mesure surMµ∗ .

Théorème 28.

Démonstration.

— Si B ⊂ E, µ∗ (B) = µ∗ (B⋂∅) + µ∗ (B\∅) = µ∗ (∅) + µ∗ (B)

— Si A ∈ Mµ∗ , soit B ⊂ E, comme µ∗ (B) = µ∗ (B⋂A) + µ∗ (B\A),

µ∗ (B) = µ∗ (B⋂Ac) + µ∗ (B\Ac).

Ac ∈Mµ∗



si ∀n ∈ N, An ∈Mµ∗ , soitB ⊂ E, montrons que :

µ∗ (B) ≤ µ∗(B⋂ ⋃

n∈NAn

)+ µ∗

(B\

(⋃n∈N

An

))(Par sous-additivité) :

= µ∗(B⋂A0

)+ µ∗ (B\A0)

µ∗ (B\A0) = µ∗(B⋂A0

⋂A1

)+ µ∗

(B\A0

⋃A1

)µ∗(B\A0

⋃A1

)= µ∗

(B\(A0

⋃A1

)∩A2

)+ µ∗

(B\(A0

⋃A1 ∪A2

))

µ∗

(B⋂ ⋃

n∈NAn

)+µ∗

(B\

(⋃n∈N

An

))=

N∑i=0

µ∗

((Bn−1⋃k=0

Ak

)∩An

)+µ∗

(B

N⋃n=0

An

)On passe à la limite pour N −→ +∞, on a alors :

µ∗ (B) ≥∑n∈N

µ∗

((B

n−1⋃k=0

Ak

)∩An

)+ µ∗

(B⋃n∈N

An

)

≥ µ∗(⋃n∈N

Bn−1⋃k=0

Ak ∩An

)︸︷︷︸

=0

+µ∗

(B⋃n∈N

An

)

≥ µ∗

B⋂ ⋃

n∈NAn\

n−1⋃k=0

Ak︸︷︷︸=

⋃n∈N

An

+ µ∗

(B⋃n∈N

An

)

≥ µ∗(B⋂ ⋃

n∈NAn

)+ µ∗

(B⋃n∈N

An

)

— Montrons que µ∗ est une mesure surMµ∗ . µ∗ (∅) = 0.



Si (An)n∈N ∈MNµ∗ , An 2 à 2 disjoints.

µ∗

(⊔n∈N

An

)≤∑n∈N

µ∗ (An) sous-additivité

µ∗

(⊔n∈N

An

)≥ µ∗

(N⊔n=0

An

)N ∈ N fixé

µ∗

(⊔n∈N

An

)≥ µ∗ (AN ) + µ∗

(N−1⊔n=0

An

)

≥N∑n=0

µ∗ (An)

µ∗

(⊔n∈N

An

)≥∑n∈N

µ∗ (An)

8.1.2 Mesure de Lesbegue

On définit pour A ⊂ R,

λ∗ (A)def= inf

{∑n∈N

l (In) , A ⊂⋃ninN

In et In ∈ T

}

où T est l’ensemble des intervalles ouverts et l = b− a si I =]a, b[

Définition 35.

λ∗ : P (R) 7→_R+ est une mesure extérieure sur R.

Proposition 37.

Démonstration.

— λ∗ (∅) = 0— Si A,B ⊂ R, avec A ⊂ B,{

(In)n ∈ TN, B ⊂

⋃n∈N

In

}⊂

{(In)n ∈ T

N, A ⊂⋃n∈N

In

}



donc λ∗ (B) ≥ λ∗ (A) par définition de l’inf.

Si Ak ⊂ R, montrons que λ∗(⋃k

Ak

)≤∑k

λ∗ (ak) :

∑n

l(Ikn

)≤ λ∗ (Ak) +

ε

2k+1

Or⋃k∈N

Ak ⊂⋃k

⋃nIkn, donc λ∗

(⋃k

Ak

)≤∑k∈N

∑n∈N

L(Ikn)≤∑k∈N

λ∗ (Ak)+

ε car∑n∈N

L(Ikn)≤ λ∗ (Ak) + ε

2k+1

En laissant tendre ε vers 0, on a :

λ∗

(⋃k

Ak

)≤∑k∈N

λ∗ (Ak)

DoncMλ∗ est une tribu, et λ∗ est une mesure surMλ∗ .

— λ∗ ([0, 1]) = 1 item λ∗ est invariant par translation.

Proposition 38.

Démonstration.

— [0, 1] ⊂]−ε, 1+ε[,∀e > 0, λ∗ ([0, 1]) ≤ 1+2ε. On fait tendre ε vers 0, ona : λ∗ ([0, 1]) ≤ 1 Soit In =]an, bn[ avec [0, 1] ⊂

⋃nIn, par compacité,

il existe N ∈ N, [0, 1] ⊂N⋃n=0

In. Il existe une sous-suite ]aik , bik [ telleque :— ai0 < 0— ∀k ≥ 1, bik−1

∈]aik , bik [— biN > 1

∑n∈N

(bn − an) ≥N∑k=0

(bik − aik)

≥N∑k=0

(bik − bik−1

)+ bi0 − ai0

≥ biM − ai0 > 1

On passe à l’inf sur (In) ∈ T N, [0, 1] ⊂⋃nIn, on a λ∗ ([0, 1]) ≥ 1 d’où :

λ∗ ([0, 1]) = 1



— A ⊂ R, x ∈ R,

λ∗ (A) = infIn∈T N

∑n

l (In)

= inf∑In∈T N

A+x⊂⋃nJn

l (In) .

La tribuMλ∗ contient B (R).

Proposition 39.

Démonstration.Il suffit de montrer que ∀α ∈ R, ]−∞, α[∈Mλ∗ (car B (R) = σ ({]−∞, α[, a ∈ R})). On appelle I l’intervalle ] − ∞, α[, soit B ⊂ R, montrons que λ∗ (B) =λ∗ (B ∩ I) + λ∗ (B\I)

λ∗ (B) ≤ λ∗ (B ∩ I) + λ∗ (B\I)

Soit (In)n ∈ T N telle que B ⊂⋃nIN , où In =]ab, bn[., donc si ε > 0 :

B⋂I ⊂

⋃n

]min (an, α) ,max (bn, α) [

B\I ⊂⋃n

]max (an, α)− ε

2n+1,max (bn, α) [

S = λ∗ (B⋂I) + λ∗ (B\I)

S ≤∑n

(min (bn, α)−max (an, α))+∑n

(max (bn, α)−max (an, α) +

ε

2n+1

)

λ∗(B⋂I)

+ λ∗ (B\I) ≤∑n

[(bn + α− an − α)] + ε

≤∑n

(bn − an) + ε

On laisse tendre ε −→ 0, λ∗ (B ∩ I) + λ∗ (B\I) ≤∑n

(bn − an) On passe

à l’inf : (]an, bn[)n , B ⊂⋃n

]an, bn[ λ∗ (B ∩ I) + λ∗ (B\I) ≤ λ∗ (B) Alors

Mλ∗ ⊃ σ ({]−∞, α[, α ∈ R}) = B (R) .



8.1.3 Mesure de Lesbegue sur(Rd,B

(Rd))

De la même façon, on peut construire une mesure λd sur(Rd,B

(Rd))

telle que :— λd

([0, 1]d

)= 1

— λd invariante par translation.On appelle λd mesure de Lesbegue d−dimensionnelle sur Rd. Construction :

λ∗d (A)def= inf

{∑n∈NV (Pn) , A ⊂

⋃N∈N

Pn, Pn ∈ P}

où P pavés ouverts bornés

sur Rd, i.e lesd∏i=1

]ai, bi[, et V (P ) =d∏i=1

(ai − bi), si P =d∏i=1

]ai−bi[ Régularité

de la mesure de Lesbegue :

La mesure de Lesbegue λd est régulière au sens où ∀B ∈ B(RD),

λd (B)def= inf {λ (ω) , ω ouvert , B ⊂ ω}

λd (B)def= sup {λ (K) ,K compact ,K ⊂ ω}

Proposition 40.

Démonstration. En exercice.

8.2 Unicité des mesures

Question : Si (E,A, µ) espace mesuré, et A = σ (C), µ est-elle caractériséepar ses valeurs sur C ? Non. i.e sur µ = ν sur C. Exemple : E = a, b, σ ({0}) =P (E).

On appelle classe monotone sur E une classe de partiesM⊂ P (E)telle que :

— E ∈M— si A,B ∈M et A ⊂ B, alors B\A ∈M— si An ∈M et (An) est croissante, alors

⋃n∈N

an ∈M.

Définition 36.

NB : Toute tribu sur E est une classe monotone. Une intersection quelconquede classes monotones est une classe monotone, donc on peut définir la pluspetite classe monotone content C ⊂ P (E).

m (C) =⋂

M classes monotoneC⊂M

M



Si CsubsetP (E) est stable par intersection finie alors m (C) = σ (C)

Lemme 5 (des classes monotones).

Si µ, λ deux mesures sur (E,A), supposons que A = σ (C) avec :— E ∈ C— C stable par intersection finie, ∀A ∈ C, µ (A) = ν (A)

donc :— Si λ, ν sont finies alors µ = ν sur A— Il existe (En) ∈ AN vérifie :

(En)n croissante pour l’inclusion⋃nEn = E

µ (En) = E

µ (En) = λ (En)

Alors µ = ν sur A

Théorème 29 (Unicité des mesures).

Démonstration.

— On considèreM = {A ∈ A, µ (A) = µ (A)},M est une classe mono-tone, en effet :

E ∈MSi A ⊂ B, A,B ∈M,

µ (B\A) = µ (B)− µ (A)

= ν (B)− ν (A)

= ν (B\A)



Si An ∈M et est croissante :

µ

(⋃n∈N

An

)= lim

n→+∞µ (An)

= limn→+∞

ν (An)

= ν

(⋃n∈N

An

)

Par hypothèse C ⊂ M, donc M ⊃ m (C) ( M est une classe mo-notone) or m (C) = σ (C) = A par le lemme des classes monotones.Donc ∀A ∈ A, µ (A) = ν (A).

— On pose : µn : A 7→ µ (A⋂En) mesure sur A finie : µn (E) <∞.

νn : A 7→ ν (A⋂En) finie sur A. Par hypothèse, νn = µn sur C,

donc par le premier point, νn = µn sur A.

µn (A) = µ(A⋂En

)−→

n→+∞µ

(⋃n

A⋂En

)= µ (A)

νn (A) −→n→+∞

ν (A) pour les mêmes raisons.

donc ∀A ∈ A, µ (A) = ν (A).

Si C ⊂ P (E) est stable par intersection finie alors

m (C) = σ (C) .

Lemme 6.

Démonstration.

— σ (C) est une tribu, donc une classe monotone, donc

m (C) ⊂ σ (C)

— m (C) est une tribu :

∅ = E\E ∈ m (C).Si A ∈ m (C), Ac = E\A ∈ m (C).



Si An ∈ m (C), Bn =n⋃k=0

Ak est croissante ,donc

⋃n

Bn =⋃n

An

Si on a Bn ∈ m (C) ,⋃nBn ∈ m (C), d’où

⋃nAn ∈ m (C). Il suffit

donc de montrer que m (C) est stable par union finie, ou encorestable par intersection finie. i.e montrons que ∀A,B ∈ m (C) , A

⋂B ∈

m (C).— montrons que ∀C ∈ C, ∀B ∈ m (C), C ∩B ∈ m (C).

Soit C ∈ C, posons Mcdef= {B ∈ m (C) , C ∩B ∈ m (C)} ⊂

m (C). Par hypothèse, Mc ⊃ C Mc est une classe monotone,en effet :C ∩ E = C ∈ m (C).Si B,B′ ∈Mc avec B ⊂ B′

C⋂(

B⋂B′)

=(C⋂B)\(C⋂B′)∈ m (C)

et B\B′ ∈Mc.Si Bn ∈Mc est une suite croissante.

C⋂⋃

N

Bn =⋃N

(C ∩Bn) ∈ m (C)

Donc Mc classe monotone contenant C, alors Mc ⊃ m (C).Finalement,Mc = m (C) d’où le résultat.

— Montrons que ∀A ∈ m (C) , ∀B ∈ m (C), A⋂B ∈ m (C). Soit

A ∈ m (C)m (C), on pose :

MAdef= {B ∈ m (C) , A ∩B ∈ m (C)}

MA est une classe monotone, qui contient C, par le point pré-cédent.Donc :MA ⊃ m (C) d’oùMA = m (C), d’où le résultat.

8.2.1 Unicité de la mesure de Lesbegue

Si µ est une mesure sur (R,B (R)) telle que :— µ ([0, 1]) = 1— µ invariante par translation.

Alors pour tout intervalle I de R, µ (I) = longueur (I)

Proposition 41 (Voir TD pour la démonstration).



La mesure de Lesbegue sur (R,B (R)) est unique.

Théorème 30.

Démonstration.Si λ, µ sont deux mesures sur (R,B (R)), vérifiant les hypothèses précédentes,alors la propriété précédente donne : Elles coïncident sur {I ⊂ R, I intervalle de R}qui contient R et est stable par intersection finie.Si on pose En

def= [−n, n], λ (EN ) = µ (EN ) = 2n < +∞ Or

⋃nEn = R et la

suite En est croissante. Par le théorème d’unicitié de la mesure, µ = λ surB (R).

8.3 Tribu complétée,mesure complétée

8.3.1 Généralités

(E,A, µ) espace mesuré.

On dit que N ⊂ E est µ−négligeable si il existe A ∈ A telle que :— N ⊂ A— µ (A) = 0

On note Nµ l’ensemble des parties µ−négligeables. Si Nµ ∈ A on ditque (E,A, µ) est complet.

Définition 37 (µ−négligeable.).

On appelle tribu complétée de A par µ la tribu :_Adef

= σ({A⋃N,A ∈ A, N ∈ Nµ

})on peut montrer que ceci est une tribu.

Définition 38 (Tribu complétée).

_A=

{A ⊂ E,∃B,B′ ∈ A, B ⊂ A ⊂ B′ et µ

(B′\B

)= 0}

Lemme 7.



Démonstration.Si A ∈ A, N ∈ Nµ, ∃B′ ∈ A telle que N ⊂ B′ et µ (B′) = 0.A ⊂ A ∪ B′ ∈ A et µ ((A ∪B′) \A) ≤ µ (B′) = 0, alors A

⋃N ∈ B. Soit

A ∈ B, soient B,B′ définies comme dans l’énoncé.A = B

⋃(A\B) or B ∈ A, A\B ⊂ B′\B ∈ A, et A ∈

_A.

On appelle mesure complétée de µ la mesure_µ sur

(E,

_A)

définiepar :

_µ (A) =

{µ (A) si A ∈ Aµ (B) si B ⊂ A ⊂ B′ avec B,B′ ∈ A et µ (B′\B) = 0

.

Définition 39 (mesure complétée de µ).

NB :_µ (A) ne dépend pas du choix de B,B′, si B1, B

′1 et B2, B

′2 contient

alors :µ (B1) ≤ µ

(B′2)

µ (B2) ≤ µ(B′1)

or µ (B1) = µ (B′1) et µ (B2) = µ (B′2)

_µ est une mesure qui prolonge µ.

(E,

_A,

_µ)est complet.

Proposition 42.

Démonstration._µ est une mesure :

—_µ (∅) = µ (∅) = 0

— Si An ∈_A 2 à 2 disjoints, soient Bn, B′n ∈ A telle que :

Bn ⊂ An ⊂ B′nµ (B′n\Bn) = 0

alors⊔n

Bn︸︷︷︸∈A

⊂⊔nAn ⊂

⊔nB′n ∈ A Or

µ

(⋃n

B′n\⋃n

Bn

)≤ µ

(⋃n

B′n\Bn

)≤∑n

µ(B′n\Bn

)= 0



donc

_µ

(⊔n

An

)= µ

(⊔n

Bn

)=∑n

µ (Bn)

=∑n

_µ (An)

_µ est complète, i.eM_

µ ⊂_A.

Si N ∈ N_µ i.e N ⊂ A ∈

_A, avec

_µ (A) = 0.

Soient B,B′ ∈ A avec B ⊂ A ⊂ B′ et µ (B′\B) = 0. donc

µ(B′)

= µ (B)

∅ ⊂ N ⊂ B′, µ (B′\∅) = µ (B′) = 0

8.3.2 Complétion de BBB(Rd)

On appelle tribu de Lebesgue la tribu_B (R) complétée par la mesure

λ. On la note α (R). On appelle encore mesure de Lebesgue la mesurecomplétée

_λ. On la note aussi souvent λ

Définition 40.

— La tribuMλ∗ des parties λ∗ mesurable coïncide avec α (R).— λ∗ =

_λ surMλ∗ = α (R).

Proposition 43.

Démonstration en exercice.

— Card B (R) = Card (R)— Card α (R) = Card P (R) et α (R) 6= P (R) (axiome du choix)

Théorème 31.

Démonstration.



— Admise (difficile)— soit C l’ensemble de Cantor. C ∈ B (R), λ (C) = 0 (exercice), donc

comme Card C = Card R, Card P (C) = cardP (R).P (C) ⊂ Nλ ⊂ α (R)P (R) donc :

Card P (R) = Card P (C) ≤ Card α (R) ≤ Card Card P (R)

Card α (R) = Card P (R)

et α (R) 6= P (R)


Chapitre 9

Mesures produits

9.1 Tribu produit

9.1.1 Définitions

Soient (E,A) , (F,B) deux espaces mesurables. On appelle tribu pro-duit de A et B la tribu A⊗ B sur E × F définie par :

A⊗ B def= σ ({A×B,A ∈ AA,B ∈ B}) .

Définition 41.

On définit les projections :

πE :E × F 7→ E(x, y) → x

πF :E × F 7→ F(x, y) → y

— πE , πF sont respectivement (A⊗ B,A)−mesurable et(A⊗ B,B)−mesurable.

Proposition 44.

Démonstration.Soit A ∈ A, on a : π−1E (A) = A × F ∈ A ⊗ B et piE est (A⊗ B,A)−mesurable. idem pour le reste.

On généralise au cas des k espaces mesurables, (E1,A1) , . . . , (Ek,Ak) enposant :

90

CHAPITRE 9. MESURES PRODUITS

A1 ⊗ · · · ⊗ Akdef= σ ({A! × · · · ×Ak, ∀i ∈ J1, kK, Ai ∈ Ai}) .

(E1,A1) , (E2,A2) , (E3,A3) trois espaces mesurables. On a :

A1 ⊗ (A2 ⊗A3) = (A1 ⊗A2)⊗A3

= A1 ⊗A2 ⊗A3

Proposition 45.

Démonstration.(A1 ⊗A2)⊗A3 = σ ({C ×A3, C ∈ A1 ⊗A2, A3 ∈ A3}), donc

(A1 ⊗A2)⊗A3 ⊃ A1 ⊗A2 ⊗A3

Montrons que ∀A3 ∈ A3, ∀C ∈ A1 ⊗A2, C ×A3 ∈ A1 ⊗A2 ⊗A3.

τA3

def= {C ∈ A1 ⊗A2, C ×A3 ∈ A1 ⊗A2 ⊗A3}

τA3 contient {A1 ×A2, A1 ∈ A1, A2 ∈ A2} et est une tribu :— ∅×A3 ∈ A1 ⊗A2 ⊗A3.— Si C ∈ τA3 , Cc ×A3 = E1 × E2 ×A3︸︷︷︸

∈A1⊗A2⊗A3

\ C ×A3︸︷︷︸∈A1⊗A2⊗A3

et Cc ∈ τA3 .

— Si Cn ∈ τAn , alors Cn ×A3 ∈ A1 ⊗A2 ⊗A3.(⋃n

Cn

)×A3 =

(⋃n

Cn ×A3

)∈ A1 ⊗A2 ⊗A3

Alors τA3 = A1⊗A2 et on a l’inclusion (A1 ⊗A2)⊗A3 ⊂ A1⊗A2⊗A3...

Cas de B(Rd): a-t-on B (R)⊗ · · · ⊗ B (R) ?

On a B(R2)

= B (R)⊗ B (R).

Proposition 46.

Démonstration.

B(R2)⊃ B (R)⊗B (R) π1 :

R2 7→ R(x, y) → x

,π2 :R2 7→ R

(x, y) → ysont conti-

nues, d’où le résultat.



9.1.2 Sections

Si C ∈ A⊗ B, on appelle section de C :∀x ∈ E : Cx

def= {y ∈ F, (x, y) ∈ C}

∀y ∈ E : Cydef= {x ∈ E, (x, y) ∈ C}.

Définition 42.

Si C ∈ A⊗ B, alors :∀x ∈ E,Cx ∈ B∀y ∈ F,Cy ∈ A.

Proposition 47.

Démonstration.Soit x ∈ E, montrons que ∀X ∈ A⊗B, Cx ∈ B. Soit Tx

def= {C ∈ A⊗ B, Cx ∈ B}.

{A×B,A ∈ A, B ∈ B} ⊂ Tx

Si C = A×B, Cx =

{∅ si x /∈ AB si x ∈ A

donc Cx ∈ B. Tx est une tribu :

— ∅x = ∅ ∈ B— Si C ∈ Tx, (Cc)x = (Cx)c ∈ B— Si ∀n ∈ N, Cn ∈ Tx : (⋃

n

Cn

)x

=⋃n

(Cn)x ∈ B

donc A⊗ B ⊂ Tx et finalement Tx = A⊗ B.Raisonnement similaire pour Cy.

Si f : (E × F,A⊗ B) 7→ (G,D) est mesurable, où (G,D) est unespace mesurable, alors :

— ∀x ∈ E, fx : y → f (x, y) est (B,D) mesurable.— ∀y ∈ F, fy : x → f (x, y) est (A,D) mesurable.

Proposition 48.



Démonstration. Soit D ∈ D,

f−1x (D) = {y ∈ F, f (x, y) ∈ D}={y ∈ F, (x, y) ∈ f−1 (D)

}= f−1 (D)x︸︷︷︸

∈A⊗B

∈ B

donc fx est mesurable,o n obtient le même raisonne pour fy.

9.2 Mesure produit

Une mesure µ sur un espace mesurable (E,A) est dite σ−finie s ilexiste une suite (En)n∈N croissante d’éléments de A telle que :

—⋃n∈N

En = E

— ∀n ∈ N, µ (EN ) <∞

Définition 43.

Exemple 16.La mesure de Lebesgue de R est σ−finie. :En = [−n, n], λ (EN ) = 2n <∞ La mesure de comptage sur (R,P (R)) n’estpas σ−finie.

Soit µ mesure σ−finie sur (E,A), ν mesure σ−finie sur (F,B). Ilexiste une unique mesure µ⊗ ν sur (E × F,A⊗ B) vérifiant :

— ∀A ∈ A, ∀B ∈ B, (µ⊗ ν) (A×B) = (µ) (A) (ν) (B)La mesure de µ⊗ ν est σ−finie et vérifie, ∀C ∈ A⊗ B :

µ⊗ ν (C) =

∫E

ν (Cx) dµx

=

∫F

µ (Cy) dν (x)

Théorème 32.

Démonstration. — Unicité : Si m,m′ sont deux mesures qui coïncident :alors m,m′ coïncident sur {A×B,A ∈ A, B ∈ B} qui contient E×F



et qui est stable par intersections finies.

(A×B)⋂

(C ×D) =(A⋂B)×(C⋂D)

Soit (En)n ∈ AN croissante, telle que :⋃nEn = E, µ (E) <∞.

Soit (Fn)n ∈ BN croissante, telle que :⋃nFn = F , ν (F ) <∞.

Alors E × F =⋃nEn × Fn, En × Fn ∈ A ⊗ B, et m (En × Fn) =

m′ (En × Fn) = µ (En) ν (Fn) < ∞. Par le théorème d’unicité desmesures, on a donc m = m′.

— Posons, pour C ∈ A⊗ B :

µ⊗ ν (C)def=

∫E

ν (Cx) dµ (x)

— µ ⊗ ν est bien définie : ∀C ∈ A ⊗ B, x 7→ ν (x) Soit M ={C ∈ A⊗ B, c 7→ ν (Cx) est mesurable

}{A×B,A ∈ A, B ∈ B} ⊂M

Si C = A × B, ν (Cx) = 1A (x) ν (B) donc x 7→ ν (Cx) estmesurable. On pourra montrer en exercice que si ν est finie, avecM est une classe monotone. Donc

m ({A×B,A ∈ A, B ∈ B}) ⊂M

Donc par le lemme des classes monotones :

σ ({A×B,A ∈ A, B ∈ B}) = A⊗ B

DoncM = A⊗ B.— Si ν n’est pas finie : On définit la mesure νn par :

νn (B) = ν(B⋂En

)on a

νn (B) −→n→+∞

ν (B)

(B⋂En) est croissante, donc ν (B

⋂En) 7→ ν (

⋂(B ∩ En)) = ν (B)

∀n ∈ N, x 7→ νn (Cx) mesurable. donc x 7→ ν (Cx) mesu-rable, comme limite de fonctions mesurables.

— ν ⊗ µ est une mesure sur (E × F,A⊗ B) :— µ⊗ ν (∅) =

∫E

ν (∅x) dµ (x) = 0



— Si Cn ∈ A⊗ B 2 à 2 disjoints :

µ⊗ ν

(⊔n∈N

Cn

)=

∫E

ν

((⊔n∈N

Cn

)x

)︸︷︷︸

=⊔n∈N

(Cn)x

dµ (x)

=

∫E

∑n∈N

ν ((Cn)x) dµ (x)

Et par Beppo levi : =∑n∈N

∫E

ν ((Cn)x) dµ (x)

=∑n∈N

µ⊗ ν (Cn)

— : Caractérisation de µ⊗ ν : Soient A ∈ A, B ∈ B, soit C = A×B :

µ⊗ ν (C) =

∫E

ν (Cx)︸︷︷︸1A(x)ν(B)

dµ (x)

= ν (B)

∫E

1A (x) dµ (x)

= µ (A) ν (B)

On montre que, de même :∫F

µ (Cy) dν (y) = µ (A) ν (B)

Par l’unicité, on a donc : ∀C ∈ A⊗ B :

ν ⊗ µ−∫F

µ (Cy) dν (y)

9.2.1 Mesure de Lesbegue sur(Rd,B

(Rd))

La mesure de Lebesgue : λd sur(RdB

(Rd))

coïncide avec λ⊗ · · · ⊗ λ︸︷︷︸d fois

Proposition 49.

Démonstration. Idée de la démonstration : On pose λd def= λ⊗ · · · ⊗ λ.

On montre par récurrence sur d que elles vérifie les propriétés nécessaires.



9.3 Théorème de Fubini

Objectif : Comparer∫

E×Ff dµ⊗ν et

∫E

(∫F

f (x, y) dν (y)

)dµ (x) et

∫F

(∫E

f (x, y) dµ (x)

)dν (y)

(et il faudra justifier les écritures)

Soient µ, ν mesures σ−finies respectivement sur (E,A), et (F,B) etsi f : E × F 7→

_R+ (A⊗ B)−mesurable alors :

—x →

∫F

f (x, y) dν (y) est mesurable.

y →∫E

f (x, y) dµ (x) est mesurable.— ∫

E×F

f dµ⊗ ν =

∫E

∫F

f (x, y) dν (y)

dµ (x)

=

∫F

∫E

f (x, y) dµ (x)

dν (y)

Théorème 33 (Fubini-Tonelli).

Remarque 35.L’hypothèse σ−finie est cruciale, en effet si E = (R,B (R) , λ) F = (R,P (R) ,m)Si C = {(x, x) , x ∈ R}, 1C est B (R)⊗ P (R) mesurable.C est fermé, donc C ∈ B

(R2)

= B (R)⊗ B (R) ⊂ B (R)⊗ P (R).

∫R

∫R

1C (x, y)︸︷︷︸1{x}(y)

dm (y)

︸︷︷︸

m({x})=1

dλ (x) =∞

∫R

∫R

1C (x, y)︸︷︷︸1{y}(x)

dλ (x)

dm (y) = 0

Exemple 17.(E,A, µ) espace mesuré σ−fini. Si f : E 7→ R+ mesurable. Soit ϕf :t ∈ R+ 7→ µ ({f > t}) On a :∫

E

f dµ =

∫R+

ϕf (t) dt



( ϕf décroissante donc mesurable.) Si on peut utiliser Fubini :

∫R+

µ ({f > t}) dt =

∫R+

∫E

1{f>t} (x) dµ (x)

dt

=

∫E

∫R+

1{f>t}︸︷︷︸1[0,f(t)(t)

dt

︸︷︷︸=λ([0,f(x)[)=f(x)

dµ (x)

Justification : µ, λ sont σ−finies. R+ × E 7→ R(t, x) → 1{f>t} (x) = 1C (t, x)

où

C = {(t, x) ∈ R+ × E, f (x) > t} = {(t, x) ∈ R+ × E, f (π2 (t, x)) > π1 (t, x)} ∈ B (R+)⊗A

or f ◦ π2 et π1 sont B (R+)⊗A mesurables. NB :

C =⋃q∈Q

[0, q[︸︷︷︸∈B(R+)

×{f > q}︸︷︷︸∈A

Démonstration de Fubini-Tonelli.On traite 1) et 2) ensemble : Si F = 1C avec C ∈ A⊗ B, on sait que :

— ∀x ∈ E, fx : y → f (x, y) mesurable— ∀y ∈ F, fy : x → f (x, y) mesurable.

Soit x ∈ E, on a :∫F

f (x, y)︸︷︷︸1C(x,y) dµ(y)=1Cx (y)

dν (y) =

∫F

1Cx (y) dν (y) = ν (x)

On a vu que x → ν (Cx) est mesurable. Si C ∈ A⊗B, idem pour l’autrefonction...∫

E×F

1C (x, y) dµ⊗ ν = µ⊗ ν (C) =

∫E

ν (Cx)︸︷︷︸=∫F

1C(x,y) dν(y)

dµ (x)

de même pour l’autre égalitéSi f étagée positive : ok par linéarité de l’intégrale.Si f : E × F 7→

_R+ est mesurable.

Soit fn suite croissante de fonctions étagées de E × F → R+, telles quefn −→

n→+∞f .

∀x ∈ E, (fn)x : y 7→ fn (x, y) est mesurable, positive, croissante.



∀y ∈ F, (fn)x (y) = fn (x, y) 7→ f (x, y), donc par Beppo-Levi,G est mesu-rable comme limite de fonctions mesurable : ∀x ∈ E, :∫

F

fn (x, y) dν (y)

︸︷︷︸def=Gn(x)

−→n→+∞

∫F

f (x, y) dν (y)

︸︷︷︸def=G(x)

Par Beppo-Levi, comme (Gn) est croissante :∫E

Gn dµ −→n→+∞

∫E

Gdµ

. ∫E

∫F

fn (x, y) dν (y) dµ (x) −→n→+∞

∫E

∫F

f (x, y) dν (y) dµ (x)

∫E×F

fn dµ⊗ dν −→n→+∞

∫E×F

f dµ⊗ dν

Même raisonnement pour l’autre sens.

Si µ, λ, σ−finies et f : E × F 7→ K où K = R ou C telle quef ∈ L1µ⊗ν (E × F ) alors :

— y 7→ f (x, y) ∈ L1ν (F ) µ−pp xx 7→ f (x, y) ∈ L1µ (E) ν−pp y

— x 7→∫F

f (x, y) dν (y) ∈ L1µ (E)

y 7→∫E

f (x, y) dµ (x) ∈ L1ν (F ) les fonctions sont définierespectivement µ, et ν−pp

—∫

E×Ff dµ⊗ ν =

∫E

(∫F

f (x, y) dµ (y)

)dµ (x) = ...

Théorème 34 (Fubini).

Démonstration.

— On veut montrer que µ−pp x :∫F

|f (x, y)| dµ (x) < ∞ : |f (x, y)| =

f+ (x, y) + f− (x, y), on applique Fubini-Tenelli à f+ et f− et on adonc : x →

∫F

f± (x, y) dµ (y) mesurable et

∫E×F

f± dµ⊗ ν =

∫E

∫F

f± (x, y) dν (y)

dµ (x) .



∫E

∫F

|f (x, y)| dν (y) dµ (x) =

∫E

∫F

f+ (x, y) dν (y)

dµ (x)

+

∫E

∫F

f− (x, y) dν (y)

dµ (x)

=

∫E×F

|f (x, y)| dµ⊗ µ (x, y) <∞

Donc : x →∫F

|f (x, y)| dν (y) est intégrable. donc∫F

|f (x, y)| dν (y) <

∞ µ−pp x, idem pour l’autre fonctions.

—∫E

∣∣∣∣∫F

f (x, y) dν (y)

∣∣∣∣ dµ (x) ≤∫E

(∫F

|f (x, y)| dν (y)

)dµ (x) <∞

— On justifie les écritures et Fubini-Tonelli :

∫E×F

f± dµ⊗ ν =

∫E

∫F

f± dν (y)

dµ (x)

On soustrait et on obtient le résultat.


Chapitre 10

Changement de variables

10.1 Mesure image

Soient (E,A),(F,B) deux espaces mesurables.

Soit ϕ : (E,A) 7→ (F,B) mesurable et µ mesure sur (E,A). Onappelle mesure image de µ pour ϕ la mesure µϕ sur (F,B), définiepar :

∀B ∈ B, µϕ (B) = µ(ϕ−1 (B)

).

Définition 44.

µϕ est une mesure sur (F,B). (voir TD)

Soit µ une mesure sur (E,A). ϕ : E 7→ F mesurable.Si f : (F,B) 7→ K , où K = R ou C, mesurable, alors :

f ∈ L1µϕ ⇔ f ◦ ϕ ∈ L1µ (E)

Et dans ce cas :∫F

f dµϕ =∫E

f ◦ ϕdµ

Proposition 50 (Lemme de transfert, démonstration en TD).

Application : Si f ∈ L1(Rd)et a ∈ Rd,∫

Rd

f (x+ a) dx =

∫Rd

f (x) dx.

100

CHAPITRE 10. CHANGEMENT DE VARIABLES

Démonstration. ϕ :Rd 7→ Rdx → x+ a

, λϕ : mesure image de λ par ϕ.

∀B ∈ B(Rd),

λϕ (B) = λ(ϕ−1 (B)

)λ (B − a)

= λ (B)

Alors si f ∈ L1(Rd), ∫

Rd

f ◦ ϕdλ =

∫Rd

f dλϕ︸︷︷︸dλ

D’où le résultat.

10.2 Changement de variables

But : Calculer∫V

f (y) dy, où

{V ouvert deRd

f ∈ L1(Rd) En transportant l’inté-

grale sur U ouvert de Rd difféomorphisme à V .∫V=ϕ(U)

f dλ =

∫U

f ◦ ϕdν

Quelle mesure ν a pour image λ par ϕ

10.2.1 Rappels

On dit que ϕ est un C1 difféomorphisme de U dans V si :— ϕ est de classe C1 sur U— ϕ est bijective de U dans V— ϕ−1 est de classe C1 sur V

Définition 45.

Soit ϕ une fonction de U dans Rd. ϕ est un C1−difféomorphisme deU dans ϕ (U) si et seulement si :

— ϕ est de classe C1 sur U— ϕ est injective— ∀x ∈ U , Jϕ (x) inversible (i.e ∀x ∈ U , Jϕ (x) 6= 0)

On rappelle que Jϕ (x) =(∂ϕ(x)∂x1

. . . ∂ϕ(x)∂xd

)

Théorème 35.



10.2.2 Changement de variables

Soit ϕ un C! difféomorphisme entre deux ouverts U et V de Rd.— Si f : V 7→ R+ mesurable, alors :∫

V

f (y) dy =

∫U

f ◦ ϕ (x) |detJϕ (x)| dy

— Si f : V 7→ K , où K = R ou C, alors :f est intégrable sur V ⇔ (f ◦ ϕ |detJϕ (.)| intégrable sur U)Et dans ce cas :∫

V

f (y) dy =

∫U

f ◦ ϕ (x) |detJϕ (x)| dx

Théorème 36.

Remarque 36. 2) se réécrit : λ est la mesure image par ϕ de la mesure νdéfinie par :

ν (B)def=

∫B

|detJϕ (x)| dx

Application : Changement de variable : Coordonnées polaires.

On note D = R− × {0}

ϕ :

R∗+×]− π, π[︸︷︷︸=U

7→ R2\D︸︷︷︸=V

(r, θ) →(r cos θr sin θ

)ϕ est un C1−difféomorphisme de U dans V .

— ϕ est C1

— ϕ est injective : Si(r cos θr sin θ

)=

(r′ cos θ′

r′ sin θ′

)alors r2 = r′2 d’où r = R′

car les rayons sont positifs. de plus

{cos θ = cos θ′

sin θ = sin θ′, or θ ∈]−π, pi[.



On a Jϕ (r, θ) =

(cosθ −r sin θsin θ r cos θ

)detJϕ (r, θ) = r cos2 θ+ r sin2 θ =

r 6= 0 ∀ (r, θ) ∈ U ϕ C1 difféomorphisme sur U dans ϕ (U) = R2\D.Alors par le théorème de changement de variable, si f ∈ L1

(R2)j,∫

R2

f dλ or λ (D) = 0

=

∫R∗+\D

f (ϕ (r, θ)) r dλ (r, θ)

=

+∞∫r=0

+π∫−π

f (ϕ (r, θ)) r drdθ

Application 2 : Coordonnées sphériques.

phi :

R+r×]− π, π[×]− π2 ,

π2 7→ R3\P

(r, θ, ϕ) →

r cos θ cosϕr sin θ cosϕ

sinϕ

Où P = R−×{0}×R , λ (P ) = 0 On montre que φ est un C1 difféomorphismede U dans V et ∀ (r, θ, ϕ) ∈ U

detJϕ (r, θ, ϕ) = r2 cosϕ

donc i f ∈ L1(R3),

∫R3

f dλ =

∞∫r=0

+π∫θ=−π

π2∫

ϕ=−−π2

f (φ (r, θ, ϕ)) r2 cosϕdr dθ dϕ


cours : intégrales de lesbegue (intl)perso.eleves.ens-rennes.fr/people/emily.clement/... · 2016....

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