systemes a temps discret commande numerique´ des … · 2003. 4. 7. · 1.1.2 d´eﬁnition de la...

SYSTEMESA TEMPSDISCRETCommandenumeriquedesprocedes

Dimitri Peaucelle

7 avril 2003

Avant-propos

Cedocumentestconcucommeunsupportdecoursdestine adeselevesingenieurs.Il a ete redigeenparticulierenvued’un enseignementde15heuresa l’ENSA (EcoleNationaledesSciencesAppliquees)situeesurle poletechnologiquedel’Uni versiteIbn Zohr, Agadir, Maroc.

L’objectif dececoursestd’abordercertainsaspectsdela commandenumeriquedessystemesetneseveutenaucuncasexhaustif.Lespre-requisconcernentdesaspectsmathematiquestelsquela manipulationdefonctionsetdesuites,le calculintegralet lesseries,la transformeedeLaplace;ainsiqu’unebonneconnaissancedel’Automatiquedessystemeslineairesa tempscontinu.Partantdeprocedesphysiquesmodeliseespardesfonctionsdetransferten p (variabledeLaplace)nousaborderonssuccessivementla modelisationdesystemesdiscretset echantillonnes,leur analyseet pourfinir la synthesedelois decommandenumeriques.

Le premierchapitreestentierementdedie a la modelisation.Il presentedansun premiertempsla modelisationdesi-gnauxa tempsdiscretavant d’introduire la notion de fonction de transferten z. Il porteuneattentionparticuliereauxsystemesdiscretsobtenusparechantillonnagedeprocedescontinuset qui sontaucentredela problematiquedela com-mandenumerique.

Lesdeuxchapitressuivantsportentsur la descriptionet l’analysedescomportementstemporelsd’un systemea tempsdiscret.Le chapitre2 commencepardecrireet calculerlesreponsesd’un systemea la donneed’uneentree.Le chapitre3 quanta lui, s’interessea la notion primordialeen Automatiquede stabilite. Il proposedesresultatstheoriquespouranalysercettepropriete.

Par la suite,deuxchapitressontconsacresa la synthesede lois decommande.Le chapitre4 considerele casle pluselementaired’une loi de commandestatiqueconstitueede simplesgains.Le chapitre5 abordeune techniquedite dediscretisation.Elle consistea transposerles methodesde synthesespecifiquesaux systemesa tempscontinu pour lacommandenumeriquedesystemesechantillonnes.

Il estimportantdepreciserquecedocumentdoit beaucoupaupolycopiedecoursrealise parBernardPradina l’INSAdeToulouse,[9]. Deplusil s’inspired’ouvragesprecedentstelsque[1] [3] [4] [6] [7] [2] [5] [8].

Toulouse,7 avril 2003

Dimitri Peaucelle

i

BIBLIOGRAPHIE iii

Bibliographie

[1] P. Borne,G. Dauphin-Tanguy, J.P. Richard,F. Rotella,and I. Zambettakis. Analyseet Regulation desProcessusIndustriels.Tome1: Regulationcontinue. Technip,France,1993.

[2] P. Borne,G. Dauphin-Tanguy, J.P. Richard,F. Rotella,and I. Zambettakis. Analyseet Regulation desProcessusIndustriels.Tome2: Regulationnumerique. Technip,France,1993.

[3] B. d’AndreaNovel andM. CohendeLara. CommandeLineaire desSystemesDynamiques. Masson,France,1994.

[4] E. DieulesaintandD. Royer. AutomatiqueAppliquee: 1. Systemeslineairesdecommandea signauxanalogiques.Masson,France,1987.

[5] E. DieulesaintandD. Royer. AutomatiqueAppliquee: 2. Systemeslineairesdecommandea signauxechantillonnes.Masson,France,1990.

[6] R.C.Dorf andR.H.Bishop.ModernControl Systems. Addison-Wesley PublishingCompany, Inc.,New-York, 1995.

[7] G.F. Franklin,J.D. Powell, andA. Emami-Naeini.Feedback Control of DynamicSystems. Addison-Wesley Publi-shingCompany, Inc.,New-York, 1994.

[8] D. Jaume,S.Thelliez,andM. Verge. CommandedesSystemesDynamiquespar Calculateur. Eyrolles,France,1991.

[9] B. Pradin.SYSTEMESA TEMPSDISCRET- Commandenumeriquedesprocedes. INSA Toulouse,France,1999.

iv BIBLIOGRAPHIE

Chapitre1

Modelesdessystemesa tempsdiscret

On examineici desmodelesqui peuvent etreutilisespourrepresenterdessystemesa tempsdiscret,monoen-treemono sortie.Dansun premiertemps,cesmodelessontpresentesdansleur generalite. Une attentionparti-culiereestensuiteporteeaux systemesa tempsdiscretsobtenusparechantillonnage,envuedela commandeparcalculateur, desystemesa tempscontinu.

1.1 Signal a tempsdiscret

1.1.1 Intr oduction

L’Automatiquedessystemesa tempscontinu reposesurunerepresentationmathematiquedesechangesd’ener-gies,de forces,d’informationsen tant que fonctionsdutempsa valeursreelles(eventuellementespacevectorielde

) : n

t x t Cetterepresentationne tient pascomptede l’ensembledesrealitesdesechangesde signauxrencontresen pra-tique. En particulier, l’emploi accrude calculateursnu-meriquesconduit a considererdessignaux,dit a tempsdiscret,qui n’admettentdesvaleursqu’acertainsinstantsregulierementespaces.Mathematiquementils sontrepre-sentespardessuites: n

k xk

Sansentrerdanslesdetails,notonsquelesoutils mathe-matiquesassocies aux suitessontaussirichesqueceuxemployesdansle casde fonctions.Un grandnombredenotionsprimordialesont leur equivalent tellesque l’in-tegration( T

t 0) qui corresponddansle casdesequencesdiscretesa l’operateursomme(∑N

k 0), et la transformeedeLaplace( x t X p ) dontl’ equivalentdiscretap-peleetransformeeenz ( xk X z ) estdecritedanscequi suit.

Il estpossiblesouscertaineshypothesesderepresenterlessignauxa tempsdiscretcommedessignauxa temps

continudont lesvaleurssontnullesa tout instantsaufacertainsinstantsperiodiquementrepartis.SoitT 0 cetteperiodequi peutetrequelconqueacestade.DanscertainscasT estappeleela cadencedusignal.Le signala tempsdiscretpeut etreconfondupar analogieavec le signal atempscontinusuivant: n

t x t xk si t kT : k x t 0 sinon

Nousverronsparla suitequecetterepresentationcor-respondalamodelisationduprocessusd’echantillonnage.

1.1.2 Definition de la transformeeenz

La transformeede Laplacepour les signauxcontinuss’ecrit:

X p x t !" ∞

0x t e# pt dt

Deslors, avec cequi precedeil estpossiblededefinir latransformeede Laplaced’un signaldiscreta la donneed’uneperiodeT :

X p$ x t ! " ∞

0x t e# ptdt

En ce cas,le signalX etantnonnul quepourcertainesvaleursdiscretesdu tempson trouve:

X p ∞

∑k 0

xke# pkT

C’est a partir de ce resultatquela transformeeen z dessignauxdiscretsa eteproposee.

On appelletransformeeenzdela sequence% xk & k ' N laserieentieredefiniepar:

X z (% xk & ! ∞

∑k 0

xkz# k

Desexemplesdetransformeesenz frequemmentutili-seessontdonneesdansle tableau1.1dela page5.

1

2 CHAPITRE1. MODELESDESSYSTEMESA TEMPSDISCRET

1.1.3 Propri etesde la transformeeenz

La transformeeenzestunesimplevariantedela trans-formeedeLaplaceetelleconservesesproprietesaquelquesmodificationspres.Voici lesprincipalesproprietes:

– Lin earitePourlessignauxa tempscontinuon rappelleque: α f t *) βg t + α f t +) β g t Dememe,ona pourla transformeeenz: α % fk & ) β % gk & α (% fk & +) β (% gk &

– Produit deconvolutionLa transformeede Laplacedu produit de convolu-tion f , g- t defini par: f , g- t . " t

0f τ g t / τ dτ " t

0f t / τ g τ dτ

estdonneepar : 0 f , g- t ! F p G pDansle casdessignauxa tempsdiscretla convolu-tion sedefinit par: f , g k k

∑l 0

fl gk # l k

∑l 0

fk # lgl

etsatransformeeenz est: (% f , g & k. F z G z– Theoremedu retard

On designepar f t / a le signal identiquea f t maisretardedela dureea. Ona: f t / a . e# ap f t e# apF pDememe,si fk # l estle signala tempsdiscret fk re-tardede l periodes: (% fk # l & z# l (% fk & ! z# l F zCe resultatpermetde signalerque l’operateurz# 1

s’apparentea l’operateur“retardd’uneperiode”.

– Theoremede l’avanceSi fk l correspondausignal fk avance del periodesettel que f j 0 pourtout j 1 0,alorsonala relationsuivante: (% fk l & ! zl 2 3% fk & 4/ ∑l # 1

i 0 fi z# i 5

– Theoremede la sommationPourlessignauxa tempscontinuon parlede theo-remedel’int egrationet il s’ecrit:76 " t

0f τ dτ89 1

pF p

Pourlessignauxa tempsdiscretona:;:=< k

∑l 0

fl >@? zz / 1

3% fk & zz / 1

F z– Theoremede la valeur initiale

La valeurinitiale d’un signala tempscontinusede-duit desatransformeedeLaplacecommesuit:

f 0 limt A 0B f t C lim

pA ∞pF p

La versiondiscretedecetheoremeestdonneepar:

f0 limzA ∞

F z– Theoremede la valeur finale

Si pF p estunefractionrationnelledontlesracinesdudenominateursontapartiereellenegativealorslesignal f t convergepourt

) ∞ etona:

limt A ∞

f t limpA 0

pF pDe meme,si z# 1

z F z est une fraction rationnelledontlesracinesdudenominateursontdansle cercleunitealorsle signal fk convergepourr

) ∞ et ona:

limk A ∞

fk limzA 1

z / 1z

F z1.1.4 Exemplesde transformeesen z

Exemple1.1

Soit le signaldiscrettel que:

δ0 1 D7E k F 0 δk 0

Le calculdesatransformeeen z estrelativementdirect.Enappliquantla definitionon trouve: 3% δk & ! ∞

∑k 0

δkz# k δ0z0 1

Remarque: Le signalδk definit ici estusuellementdesi-gne sousl’appellationde l’impulsion unitaireou encoredirac.Satransformeeenzvaut1. G

1.2. SIGNAL ECHANTILLONNE 3

Exemple1.2

A partir del’exempleprecedentet desproprietesdelatransformeeenz lesrelationssuivantessontobtenues.

Premierementconsideronsle diracretarde:

fh 1 DHE k F h fk 0

Onremarqueque fk δk # h, doncd’apresle theoremeduretard: (% fk & ! 3% δk # h & . z# h 3% δk & ! z# h

Consideronsmaintenantunsignaldu typeechelon:E k I 0 ek 1

Onremarquequeek ∑kj 0δk, doncd’apresle theoreme

dela sommation: (% ek & .J (% k

∑j 0

δk & zz / 1

(% δk & ! zz / 1

Prenonsensuivantle signaldu typerampe:E k I 0 rk k

Il estpossibledeconstaterquerk H/ ek ) ∑kj 0ek, donc

encombinantla linearitedela transformeeenzet le theo-remedela sommationon trouve: 3% rk & KL/M (% ek & )N (% k

∑j 0

ek & L/M (% ek & ) zz / 1

(% ek & HO/ 1 ) zz / 1

O (% ek & 1z / 1

(% ek & z z / 1 2 GExemple1.3 Consideronsle signalsuivant:E k I 0 fk ak

Pardefinition,satransformeeenzsecalculecommesuit: (% fk & ∞

∑k 0

fkz# k ∞

∑k 0

akz# k ∞

∑k 0

aP z k

Il s’agitd’uneseriegeometriqueconnue:

F z (% fk & . 11 / aP z

zz / a

La limite de la suiteak est tresbien connue.Elle existeuniquementsi Q a Q+1 1. Cetteconditioncorrespondbiena

l’ enoncedutheoremedelavaleurfinale.Eneffet, z# 1z F zR

z# 1z# a estunefraction rationnelledont la racineuniquedudenominateuresta. Direquecetteracineestdansledisqueunite reviens a Q a QS1 1. La limite de la suitese calculealorscommesuit:

limk A ∞

ak limzA 1

z / 1z / a

0 G1.2 Signal echantillonne

1.2.1 Intr oduction

Cecourss’intitule “CommandeNumeriquedesProce-des” car l’objet principalconcernel’utilisation decalcu-lateursnumeriquesutilisesen tempsreelpourcomman-der, piloter, guider... desprocedesphysiquesqui pares-sencesont le plus souvent a tempscontinu.La proble-matiqueestalorsderepresenterlesinteractionsentredessignauxphysiquesmodelisespardesfonctionsavec dessignauxassimilablespardescalculateursnumeriquesquisepresententsousformedesuites.

Sansentrerdanslesdetailsdu fonctionnementdesdif-ferentselements,la commandepar calculateur, ou pro-cesseur, d’un procede necessitela mise en œuvred’uncertainnombred’elements(figure1.1):

– un actionneur, ou organede commandequi recoitles ordresdu processeura traversun convertisseurnumerique-analogique,

– uncapteur, ouorganedemesurequi transmetaupro-cesseurlesinformationsrecueilliessurle procede,atraversunconvertisseuranalogique-numerique.

CNA CAN

Procedeu t y t uk

Processeur

yk

CapteurneurAction-

FIG. 1.1 – Structure generale d’une commandede pro-cede par calculateur


1.2.2 Conversionanalogiquenumerique

D’un point de vue modelisation,l’ensemblecapteurconvertisseuranalogique-numeriquepeutetreassimile auneprised’echantillonsde la sortiecontinuey t a pe-riodefixeT (perioded’echantillonnage). Si l’on fait l’hy-pothesequele tempsde codageestnegligeable(echan-tillonnageinstantane)et qu’il n’y apasd’erreurdequan-tification, on peut representerl’operationde conversionanalogique-numeriqueselonle leschemadela figure1.2.

CAN

T

t k0 0 1 2

yk

y t yk

y t FIG. 1.2– Convertisseuranalogique-numerique

Mathematiquement,l’operationd’echantillonnagepeutetreassimileea la modulationdu signalcontinuy t paruntraind’impulsionsunitairesdeperiodeT noteδT (par-fois appele egalementpeignedeDirac) :

y t y t δT t δT t ∞

∑k 0

δ t / kT Il vient:

y t ∞

∑k 0

y t δ t / kT ∞

∑k 0

ykδ t / kT ou y t est un signal a tempscontinu egal a y t auxinstantst kT et zero ailleurs et ou yk y kT est lavaleurde l’ echantillonde y t a l’instant kT . Le signalechantillonne estrepresente par la sequencedesvaleursy kT mesureesavecla periodeT :% y kT &UT % yk &

L’ echantillonnageconduitauneperted’informationauregard du signal continu.Cetteperted’information estd’autantplus grandeque la frequencef 1P T est pe-tite. Idealementil faudraitdoncechantillonnera unefre-quenceinfinie, cependant,le choixdela perioded’echan-tillonnagedependdu typede procede et despossibilitesoffertespar lesoutils numeriques.En tout etatdecause,l’ echantillonnagedoit respecterle theoremedeShannonqui precisequela frequenced’echantillonnagef 1P Tdoit etreau moins egale a deuxfois la plus grandefre-quencecontenuedansle spectredu signalquel’on veutechantillonner.

Le tableau1.1 de la page5 donneunecollection designauxcontinusclassiquesainsiqueleurstransformeesdeLaplaceetleursrepresentationsapresechantillonnage.

1.2.3 Conversionnumerique analogique

Le processeurcalculantla commandea appliquerauprocede travaille de manieresequentielleet generedesvaleursnumeriquesuk avec la memeperiodeT quecellequi a ete choisiepour l’ echantillonnage.L’operationdeconversionnumerique-analogiquelapluscouranteconsisteaproduireunsignaldecommandeu t enescalierapartirdesvaleursuk selonle schemadela figure1.3.

k0 0 1 2k1 2 CNA

u t uk

uk u t B0 p

FIG. 1.3– Convertisseurnumerique-analogique

Le modele mathematiqueque l’on associealors a laconversionnumeriqueanalogiqueestle bloqueurd’ordrezerodont la fonctionde transfertB0 p peutetrefacile-mentcalculee.En effet, c’est la transformeedeLaplacedesareponseimpulsionnellerepresenteesurlafigure1.4.

0 0CNAt tT

1 1

B0 pδ t FIG. 1.4– Bloqueurd’ordre zero

La reponseimpulsionnelledu bloqueurd’ordre zeroestdela forme:

Γ t ./ Γ t / T ou Γ t representel’ echelondepositionunitaire.Il vientdonc:

B0 p 1p

/ e# T p

p 1 / e# Tp

p

1.2. SIGNAL ECHANTILLONNE 5

TransformeedeLaplace Signalcontinu Signalechantillonne Transformeeenz

F p f t f t fk F zVJ fk 1 δ t f0 1 D7E k F 0 fk 0 1

e# ap δ t / ae# hTp δ t / hT fh 1 D7E k F h fk 0 z# h

1p

Γ t 1z

z / 1

1p2 t kT T

z z / 1 2

2p3 t2 k2T2 T2 z z ) 1 z / 1 3

1p ) a

e# at e# akT zz / e# aT

1 p ) a 2 te# at kTe# akT Tze# aT z / e# aT 2

b / a p ) a- p ) b e# at / e# bt e# akT / e# bkT z e# aT / e# bT z / e# aT W z / e# bT ak z

z / aO/ a k zz ) a

ap p ) a 1 / e# at 1 / e# akT z 1 / e# aT z / 1W z / e# aT

ωp2 ) ω2 sinωt sinωkT

zsinωTz2 / 2zcosωT ) 1

pp2 ) ω2 cosωt cosωkT

z z / cosωT z2 / 2zcosωT ) 1

TAB. 1.1– Signauxechantillonneset leurstransformeesdeLaplace


1.3 Systemea tempsdiscret

Un systemea tempsdiscretsedefinit commeun ope-rateurentredeuxsignauxa tempsdiscret.Consideronslesystemerepresente sur la figure1.5, ou uk representeletermegeneralde la sequenced’entreeet yk le termege-neralde la sequencede sortie.Un modele entree-sortie,appeleaussimodeleexterne,nefait intervenirquelesva-riablesd’entreeuk etdesortieyk.% uk & % yk &

Systeme

FIG. 1.5– Systemea tempsdiscret

Nousallonsaborderdanscecoursdeuxtypesdemo-delesexternes,complementairesl’un del’autre,quesontlesequationrecurrenteset lesfonctionsdetransfert.

1.3.1 Equation r ecurrente

La modelisationinitiale d’un systemea tempsdiscretconduitsouvental’ ecritured’uneequationrecurrenteentredifferentstermesdessequencesd’entreeet desortie.Laforme generaled’une equationrecurrentelineairepeutetredonneepar:

anyk n ) an# 1yk n# 1 )$XYXZX[) a1yk 1 ) a0yk bmuk m ) bm# 1uk m# 1 )$XYXYX\) b1uk 1 ) b0uk

(1.1)Par hypothesean F 0 et n estappele l’ordre du systeme.Le systemeestdit causalsi lessortiesdependentunique-mentdesevenementspasses.Pourcelail doit obligatoi-rementverifierm ] n. Danscecas,il estpossibled’ecrirel’algorithmequi determinela sortiedu systemea la don-needesentrees/sortiesprecedentes:

anyk 7/ an# 1yk # 1 /^XYXYX / a1yk # n# 1 / a0yk # n) bmuk m# n )_XZXYX[) b1uk # n# 1 ) b0uk # n

(1.2)

Cetteformulationdel’ equationrecurrenteestbienadap-teeaucalculnumerique.C’est la formesouslaquellese-ront presentesles algorithmesde commandedesproce-des.Le systemeest entierementdefini et l’ equationre-currentepeut etre resoluesi l’on preciseles conditions“initiales” : y0 D y1 DY`Z`Y`[D yn# 1 D u0 D u1 DY`Y`Y`\D um# 1.

1.3.2 Fonction de transfert enz

De la mememanierequel’on associea un systemeatempscontinu,unefonctionde transfert,parapplication

dela transformationdeLaplacea sonequationdifferen-tielle, onpeutassociera unsystemea tempsdiscret,unefonctionde transfertenz, parapplicationde la transfor-mation en z a son equationrecurrente(cf. Transforma-tion enz dansla section1.1.2).Sousl’hypothesequelesconditions“initiales” sontnulles(y0 y1 a`Y`Y`b yn# 1 u0 u1 7`Y`Y`Z um# 1 0) il vient la relationsuivante: a0 ) a1z )$`Y`Y`[) an# 1zn# 1 ) anzn Y z7 b0 ) b1z )$`Y`Y`\) bm# 1zm# 1 ) bmzm U zsoitencore:

Y z N zD z U z

avec:

N c zdD c zd G z b0 ) b1z )_`Z`Y`[) bm# 1zm# 1 ) bmzm

a0 ) a1z )$`Y`Y`[) an# 1zn# 1 ) anzn

qui estdefinie commela fonction de transfert en z dusysteme.

Dansle casgeneralou lesconditioninitialessontnonnullesla representationenzdusystemes’ecrit plusexac-tement:

Y z N zD z U z*) I z

D zou le polynome I z ne dependquedesconditionsini-tiales.Il influe sur la sortiedu systemesansmodifier lecomportementdu ausignald’entreeU z .

La factorisationdunumerateuretdudenominateurconduita la forme poles,zeros,gain suivante:

G z bm

an

z / z1 - z / z2 R`Y`Z` z / zm z / p1 - z / p2 R`Z`Y`O z / pn avec:

pi 1e f f fge n : poles zj 1e f f f e m : zeros k bm

an: gain

Par definition les poles du systemesont les racinesdupolynomedenominateuret leszeros du systemesontlesracinesdu polynomenumerateur. Les unset les autressontpardefautdesnombressoit reelssoit complexes.

Certainsauteurspreferentune formulation en z# 1 dela fonction de transfert.On peut l’obtenir a partir de laformulationenzcommesuit:

G z bm

anzm# n 1 ) bm# 1z# 1 )_XZXYX[) b0z# m

1 ) an# 1z# 1 )_XZXYX[) a0z# n (1.3)

aveclesnotationssuivantes:

b j b j

bmai ai

an

1.4. SYSTEME ECHANTILLONNE 7

Elle corresponda l’ equation(1.2)paroppositiona (1.1).Soninteret estde representerle systemeaupluspresdesarealite physiquedansle sensou z# 1 representel’ope-rateur“retard” qui estphysiquementrealistetandisquezsupposede prevoir les instantsfuturs.Bien entendu,lesformulationsenzetz# 1 sontequivalentes.L’ ecriture(1.3)fait apparaıtre nonseulementle gain,lespoles,leszerosmaisegalementunretardpurzm# n entreuneexcitationenentreedusystemeetsoneffet surla sortie.

Notons egalementque, commedansle casdes sys-temesa tempscontinu, le denominateurde la fonctionde transfertestappele egalementpolynome caracteris-tique du systeme.Sondegre n corresponda l’ ordre dusystemeetsesracinessontlespolesdusysteme:

anzn ) an# 1zn# 1 )$XYXYX\) a1z ) a0 an z / p1 W z / p2 R`Y`Z` z / pn 1.4 Systemeechantillonne

1.4.1 Intr oduction

Commenousl’avonsvu dansla section1.2, la com-mandepar calculateur, ou processeur, d’un procede ne-cessitelamiseenœuvredeconversionsnumerique-analogiqueet analogique-numerique(voir figure1.1). La modelisa-tionconduitdoncaconsiderersimultanementdanslaboucleun (ou plusieurs)organesa tempscontinuet un (ou plu-sieurs)elementsa tempsdiscret.Alors qu’il estmal aisedefairel’analysedessystemesatempsdiscretentantquesystemesatempscontinudontlesentreessortiessontnonnullesuniquementparinstants,la demarcheinversesere-veleetretresriche.

Ainsi, l’analysed’un systeme commande par calcu-lateurnumeriquepassepar la definition d’un systemeatempsdiscret,comprenantle procede commande de na-turegeneralementcontinue,etlesconvertisseursnumerique-analogiqueet analogique-numerique,que l’on peut res-pectivementassimileraubloqueurd’ordrezeroetal’ echan-tillonneur, selonle schemadela figure1.6.

TB0 p y t ykuk

Procedeu t

FIG. 1.6– Procede echantillonne

Lesmodelesentreuk etyk sontdutypedeceuxpresen-tesprecedemment.La suitedecettesections’interesseraautechniquesdedeterminationdu modeleechantillonne

a tempsdiscretobtenua la donneedu modelecontinuduprocede.

Avant cela il est importantde revenir sur le choix dela perioded’echantillonnage.Le theoremede Shannonprecisequela frequenced’echantillonnagef 1P T doitetreaumoinsegalea deuxfois la plusgrandefrequencecontenuedansle spectredu signalquel’on veut echan-tillonner. . Ce resultatest exploitable uniquementa ladonneed’un signal.Cependant,le signalde sortied’unsystemey t n’estpasconnudanslaproblematiqueconsi-deree.

Le veritableproblemeenvisage est celui de l’ echan-tillonnageen sortie d’un procede dont on connaıt, parexemple,sa fonction de transfertmais la sortiedu sys-temeestinconnuecarelledependdusignald’entreeu t qui n’estpasprecise.La methodeconsistealorsa analy-serlesfrequencestransmisesparlesysteme.EntracantlediagrammedeBodeil estpossiblededeterminerla fre-quencedecoupurefc du systemeet doncd’indiquerquetoutesles frequencessuperieuresa fc dansle spectredusignaldesortieserontattenuees.

Theoreme1.1 Enpratique,il estrecommande dechoi-sir la frequenced’echantillonnagedansunefourchettedel’ordrede6 a 24fois la frequencedecoupureduprocede.

Exemple1.4

Ainsi, pourunproceded’ordre1:

G p 11 ) τp

la frequencedecoupureest fc 1P. 2πτ . La frequenced’echantillonnagef 1P T serachoisietelleque:

62πτ

1 1T

1 242πτ

soitapproximativement:

τ4

1 T 1 τ GExemple1.5 Consideronscetautresysteme:

G p p / 1p3 ) 2p2 ) 10X 25p ) 9 X 25

Son diagrammede Bodeestdonne sur la figure 1.7.La frequencedecoupureestapproximativementdeωc 5rad P souencorefc ωc P 2π. Le criteredeShannonim-posedoncdechoisir:

2π P. 24 , 51 T 1 2π P. 6 , 5ih 0 X 05 1 T 1 0 X 2


−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Mag

nitu

de (

dB)

10−2

10−1

100

101

102

−180

−90

0

90

180

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

FIG. 1.7– DiagrammedeBodeduprocede

NouschoisissonsT 0 X 2s pour observer le comporte-mentquandl’ echantillonnageimpliquelaplusgrandeperted’information.L’effet decetteperioded’echantillonnageest observee sur desexemplesde signauxen sortie dusysteme.Nous avons trace deux telles reponsessur lafigure 1.8 pour uneentree impulsionnelleet uneentreeenechelon.On observe quela perioded’echantillonnagerendcorrectementcomptedela realite du signala tempscontinu.Il n’y a pasde pertesignificative de l’informa-tion contenuedansle signal.

0 1 2 3 4 5 6 7 8−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

FIG. 1.8– Sortiesa tempscontinuet echantillonnees

Lesobservationspeuventegalementsefaire avecT 0 X 05s, quandl’ echantillonnagedevient eleve au regarddesfrequencesnon-attenueesparle systeme.Pourcecasnousavons fait un grossissementdespremiersinstantsdesreponsesdu systeme(voir figure 1.9). On constate

quel’ echantillonnageesttresdenseencomparaisondesdynamiquesobservees.Tout echantillonnageplusrapidedemanderaitdesvitessesde capacite de traitementnonnecessaires.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

FIG. 1.9– Sortiesa tempscontinuet echantillonneesG1.4.2 Fonction de transfert echantillonnee

Danscettesous-section,la methodedecalculqui per-meta la donneed’unefonctiondetransfertd’un systemea tempscontinude deduirele modele en z du systemea tempsdiscretobtenupar echantillonnageestexposee.Elle seresumeautheoremesuivant.

Theoreme1.2 Soit un procede continu modelise parunefonctiondetransfertGc p . Ceprocede,echantillonnesuivantle schemadela figure 1.6admetunefonctiondetransfertenz telleque:

G zj G p Bo p . z / 1z

6 Gc pp

8Avantdeprocedera la preuvedeceresultatil convient

dedetailler l’ ecriture H p ou H p estunefonctiondetransfertd’unsystemecontinu.Cettenotationrecouvrel’operationsuivante:

H pNkVl 1/ h t T/

hk m/ H z

A la donneed’unefonctiondetransfertH p il convientenpremierlieudecalculersareponseimpulsionnelleh t ,puisd’echantillonnercesignal, % hk &UT % h kT & , et enfin

1.4. SYSTEME ECHANTILLONNE 9

de calculersatransformeeen hk n H z . Cettepro-cedureestdetailleepar la suite sur desexempleset untableaudeconversionestfourni (tableau1.2page10).

Preuve dutheoreme1.2

Appelonsuo t le signala tempscontinuconstituedesechantillonsuk u kT du signalde commandeet quivautzeropartoutailleurs:

u t ∞

∑k 0

ukδ t / kT La transformeedeLaplacedecesignals’ecrit:

U p " ∞

0u t e# ptdt ∞

∑k 0

uke# kTp

Pardefinitiondesfonctionsdetransfertlessignauxconti-nusU p etY p verifient:

U p B0 p U p Y p Gc p U pAinsi enposantH p Gc p B0 p :

Y p H p U p ∞

∑k 0

H p uke# kTp

cequi enappliquantle theoremedu retarddonne:

y t pq # 1 Y p ∞

∑k 0

r# 1 s H p e# kTp t uk ∞

∑k 0

h t / kT uk

avech t .u # 1 H p .Apresechantillonnage,yl y lT ,le signala tempsdiscretdesortieverifiedonc:

yl ∞

∑k 0

hn# kuk

quiestlaconvolutiondiscretedessequences% uk & et % hk & .Il vientdoncY zV G z U z avec:

G z H p !J Gc p B0 p Enintroduisantl’expressiondela fonctiondetransfertdubloqueurd’ordrezero:

G z 6 1 / e# Tp

pGc p 8

LesproprietesdestransformationsdeLaplaceetenzper-mettentd’ecrire:

G z7 1 / z# 1 Ov6 Gc pp

8w z / 1z

v6 Gc pp

8

uk

T

ykB0 p 1

p p ) 1FIG. 1.10– Systemeechantillonne x

Exemple1.6

Consideronsle systemeechantillonnerepresentesurlafigure1.10et pour lequelon veutcalculerla fonctiondetransfertenz.

La fonctiondetransfertcontinueetant:

Gc p 1p p ) 1

la fonctiondetransfertechantillonneeestdonneepar:

G zJ B0 p Gc p z / 1z

v6 Gc pp

8avecla decompositionenelementssimplessuivante:

Gc pp

1p2 p ) 1 r / 1

p) 1

p2 ) 1p ) 1

Enutilisantle tableau1.1,il vient:

G z z / 1z

6 / zz / 1

) Tz z / 1 2 ) zz / e# T 8

soit:

G z K z / b z / 1- z / a yy yy K e# T / 1 ) T

a e# T

b 1 / T 1 / e# T e# T / 1 ) T

Applicationnumerique:

SoitT 1s. Il vient:

G z 0 X 3679z ) 0 X 7183 z / 1W z / 0 X 3679 G

1.4.3 Propri etesdu modeleechantillonne

Suite aux formulesdu tableau1.2 de la page10 quipermettentdedeterminerle modelea tempsdiscretd’unsystemecontinuechantillonne, nouspouvonsmettreenavant quelquesproprietesfondamentalesde cetteopera-tion:

– Unsystemelineairecontinurestelineaireapresechan-tillonnage.


Systemecontinu Decompositionenelt. simples Transformeeenz Systemeechantillonne

Gc p Gc pp

6 Gc pp

8 G z Gc p B0 p 1

1p

zz / 1

1

1p

1p2

Tz z / 1 2

Tz / 1

bp ) a

bP ap

/ bP ap ) a

ba

zz / 1

/ ba

zz / e# aT

ba

` 1 / e# aT

z / e# aT

b1p ) b0

τp ) 1b0

p) b1 / τb0

τp ) 1b0z

z / 1) b1 P τ / b0 z

z / e# T z τb1 P τ z / 1R/ b0 1 / e# T z τ

z / e# T z τ

1p τp ) 1 / τ

p) 1

p2 ) τ2

τp ) 1/ τzz / 1

) Tz z / 1 2 ) τz

z / e# T z τ τe# T z τ / τ ) T z ) τ /^ τ ) T e# T z τ z / 1- z / e# T z τ p1 / p2 p p / p1 - p / p2 1

p / p1/ 1

p / p2

zz / ep1T / z

z / ep2T

ep1T / ep2T - z / 1 z / ep1T W z / ep2T p1 / p2 p1p2 p / p1 - p / p2 p1 / p2

p) p2

p / p1/ p1

p / p2

p1 / p2 zz / 1

) p2zz / ep1T / p1z

z / ep2T

b1z ) b0 z / ep1T W z / ep2T b1 p2 / p1 )$ 2p2 / p1 ep1T)$ p2 / 2p1 ep2T

b0 H p1 / p2 ec p1 p2 d T) p1ep2T ) p2ep1T

TAB. 1.2– Calculdesfonctionsdetransfertdessystemesechantillonnes

1.5. EXERCICES 11

– L’ordredusystemeestconserve.

– Lespolesdusystemeechantillonnesededuisentdespolesdusystemecontinucommesuit:

pdi epciT E i 1 DYXYXYX[D nou pci sont les poles du systeme continu, pdi lespolesdusystemeechantillonneetT laperioded’echan-tillonnage.

– La perioded’echantillonnageT conditionneforte-mentle modeledusystemeechantillonne.

– L’ echantillonnagedu produit de deuxfonctionsdetransfertn’estpasegal auproduitde leursmodelesechantillonnes respectifs.Cette derniere remarqueest tres importante.Le calcul d’un systemeechan-tillonnen’a desensques’il correspondauntransfertentreunbloqueurd’ordrezeroetunechantillonneur(voir l’exercice1.3).

1.5 Exercices

Exercice1.1

Onsouhaitemodeliserl’ evolutionduchepteld’un ele-veurdebovins.Soit:

– x1k : le nombredevachesde1 an,

– x2k : le nombredevachesde2 ans,

– x3k : le nombredevachesde3 ansetplus,

cesvaleursrepresentantdesnombresmoyensaucoursdel’anneek.

Lesvachesde1 annesereproduisentpas.Lesvachesdedeuxansproduisentenmoyenne0 X 8veauparan,cellesde trois anset plus0 X 4 veauparan.D’autrepart,seulescellesde trois anset plus meurentde causesnaturellesavecun tauxmoyende30% paran.

Enfin l’ eleveurs’autorisea acheterou vendreunique-mentdesvachesde trois anset plus. Soit uk le nombredevachesachetees(uk 0) ou bienvendues(uk 1 0) aucoursdel’anneek.

1. Etablir les equationsrecurrentesde ce systemeenprenantpoursortieyk le nombretotal devachesaucoursdel’anneek.

2. En deduirela fonctiondetransfertY zU z .

3. En deduirel’ equationrecurrentequi relie unique-mentlesentreeset lessortiesdusysteme.

Solution

Pour commenceron peut remarquerque le systemeainsi decrit a une cadenceT de un an. Cettecadencepeutegalements’interpretercommeuneperioded’echan-tillonnagesi onconsiderequele procede (elevage)estenrealite continu(les vachesexistententredeuxmesures).Lanotiond’echantillonnagecorrespondauchoixdecomp-ter lesvachesunefois paran.

1. Lesequationscorrespondanta l’ enonces’ecrivent:

x1kB 1 0 X 8x2k ) 0 X 4x3k

x2kB 1 x1k

x3kB 1 x2k )$ 1 / 0 X 3 x3k ) uk

yk x1k ) x2k ) x3k

2. Pourobtenirla fonctiondetransfertonoperela trans-formeeenz surcesystemed’equationensupposantquelesconditionsinitialessontnulles:

zX1 z 0 X 8X2 z*) 0 X 4X3 zzX2 z X1 zzX3 z X2 z!) 0 X 7X3 z*) U zY zV X1 z*) X2 z*) X3 z

Si on remplacedanscesequationsX1 z parzX2 zon trouve:

z2X2 z 0 X 8X2 z!) 0 X 4X3 zzX3 z X2 z!) 0 X 7X3 z*) U zY zV zX2 z*) X2 z*) X3 z

OnendeduitequeX3 zVa 2 X 5z2 / 2 X2 z donc:

z 2 X 5z2 / 2 X2 z X2 z!)_ 1 X 75z2 / 1 X 4 X2 z!) U zY z zX2 z*) X2 z!)_ 2 X 5z2 / 2 X2 z

cequi conduitauxequationssuivantes: 2 X 5z3 / 1 X 75z2 / 2z ) 0 X 4 X2 z U zY zVa 2 X 5z2 ) z / 1 X2 z

La fonctiondetransfertdecesystemeestdoncdelaforme:

G z 2 X 5z2 ) z / 12 X 5z3 / 1 X 75z2 / 2z ) 0 X 4

3. L’ equationrecurrentedecrivantentierementl’ evolu-tion entree/sortiedu troupeauest doncobtenueenoperantla transformeeinverseenz:

2 X 5yk 3 / 1 X 75yk 2 / 2yk 1 ) 0 X 4yk 2 X 5uk 2 ) uk 1 / uk


TB0 p y t ykuk

Procedeu t


Exercice1.2

On considerele systemeechantillonne represente surla figure1.11.

Onsupposequela fonctiondetransfertduprocedeest:

G p H1 ) p

1. Etablirlesmodeles(equationrecurrente,fonctiondetransfertenz) decesysteme.

2. Memesquestionslorsquecesystemeestboucle parun retourunitaireuk yck / yk.

Solution

1. Modelesduprocede:

– Equationrecurrente:

yk 1 / e# Tyk 7 1 / e# T Huk

– Fonctiondetransfertenz:

G z H1 / e# T

z / e# T

2. Modelesdusystemeboucle:

– Equationrecurrente: 1 ) H yk 1 / e# T yk Hyck

– Fonctiondetransfertenz:

G z H1 / e# T

z ) H /^ 1 ) H e# T

Exercice1.3

Soit les systemesinterconnectesdonnespar la figure1.12.

1. Onposelesnotationssuivantes:

H1 z$j B0 p G1 pH2 z$j B0 p G2 pH3 z$j B0 p G3 pH5 z$j B0 p G1 p G2 p H6 z$j B0 p G1 p G2 p G3 p

G3 p| B0 p|B0 p| G1 p|H4 z| T

+

e3 t |G2 p| e4k

T

+-e1k

e2k

e7k e6k e5 t |FIG. 1.12 – Schemade trois systemesinterconnectesetregulespar H4 z

Donnerl’expressionde la fonction de transfertdecesysteme,F z , aveccommeentreee1k et commesortiemesureee4k .

2. La perioded’echantillonnageest de T 1s et lesfonctionsde transfertsont donnee par les expres-sionssuivantes:

G1 p 1p

G2 p 2ln 2- 1 / 2p*) 2pp ) ln 2

G3 p ln 2p ) ln 2

H4 z K

Donnerl’expressiondela fonctiondetransfertF zenfonctiondeK.

Solution

1. La premierechosea faire estd’identifier les trans-fert entreslesdifferentsbloqueurset lesechantillon-neurs.C’est uniquemententrecesdeuxoperateursquel’on peutdefinir dessystemesechantillonnes.Lepremiertransfertestdonnepar:

e4 ze2 z JJ B0 p G1 p G2 p H5 z

Ensuitedufait dela linearitedela transformeeenz,onpeutecrire:

e6 zqj B0 p G1 p e2 z*)Nj B0 p G3 p e4 z H1 z e2 z*) H3 z e4 zAinsi le systemesereecrit commeindiquesur la fi-gure1.13.Et la bouclefermeeestdonneepar:

e4 H5e2 D e2 e1 / H4H1e2 / H4H3H5e2

Cequi conduita la fonctiondetransfert:

e4

e1 F H5

1 ) H4 H1 ) H3H5

1.5. EXERCICES 13

+-

e7k e6k

+

e4k

H1 z|e2k

e1k

H4 z| H3 z|H5 z|

FIG. 1.13– Schemaequivalent

2. Le calcul de F z necessitele calcul prealabledesfonctionsde transfertechantillonneesH1 z , H3 zetH5 z . CommenconsparH1 z :

H1 z~qj B0 p G1 p z / 1z

6 G1 pp

8 z / 1z

6 1p2 8 z / 1

z` Tz z / 1 2 1

z / 1

PuismaintenantH5 z :

H5 z~qj B0 p G1 p G2 p z / 1z

6 G1 p G2 pp

8 z / 1z

6 2ln 2- 1 / 2p*) 2pp2 p ) ln 2b 8 z / 1

z 6 / 4

p) 2

p2 ) 4p ) ln 2 8 z / 1

z6 / 4zz / 1

) 2Tz z / 1 2 ) 4zz / 1P 2

8 1 z / 1- z / 1P 2etenfinH3 z qui donneavecla memedemarche:

H3 z~j B0 p G3 p z / 1z

6 ln 2p p ) ln 2 8 1P 2

z / 1P 2

Lesystemeenbouclefermeepeutdoncetrecalcule:

F z H5 z1 ) H4 zW H1 z!) H3 z H5 zbXYXYX 2 2z / 1 z / 1- 2z / 1 2 ) K 2z / 1 2 ) 2 4z / 24z3 )_ 4K / 8 z2 )$ 5 / 4K z )$ 3K / 1

Chapitre2

Reponsedessystemesa tempsdiscret

Cechapitrefait le lien entrelesdifferentsmodelesdessystemesatempsdiscretetleurcomportementdynamiqueenreponseadesentreesconnues.Dansunpremiertempsle calculdesreponsesensortieestaborde et dansun se-condtempsla notiondemodesestdefinieet etudiee.

2.1 Calcul de la r eponse

2.1.1 A partir de l’ equationr ecurrente

Unsystemeatempsdiscretpeutetrerepresenteparuneequationrecurrente:

anyk H/ an# 1yk # 1 /^XYXYX / a1yk # n# 1 / a0yk # n) bmuk m# n )$XYXZX[) b1uk # n# 1 ) b0uk # n

avecm ] n pourdesraisonsdecausalite.

Cettemodelisationestsousformealgorithmiquedirec-tementadaptableal’implantationdansle processeur. Elleestbienadapteea la formulationdeslois decommande.Lemodeleparequationrecurrenten’estpasceluiquel’onchoisitgeneralementpouruncalculmanueldereponse.Ilpeuttoutefoisetreutilisepourcalculerpoint parpoint lareponsecommele fait un calculateur. L’exemplesuivantillustrececalcul.

Exemple2.1

Soit le systemea tempsdiscretsuivant:

yk 2 / 3yk 1 ) 2yk uk

Il estsuppose initialementaurepos,soit:

yk 0 E k ] 0

etonappliqueuneentreeimpulsionnelletelleque

uk 0 E k F 0 et u0 1

L’applicationsuccessive del’algorithmeconduita:

y1 3y0 / 2y# 1 ) u# 1 0y2 3y1 / 2y0 ) u0 1y3 3y2 / 2y1 ) u1 3y4 3y3 / 2y2 ) u2 7

On peutici reconnaıtre (maiscen’estpastoujoursaussievident)la suite:

yk H/ 1 ) 2k # 1 E k 0

quidonnel’expressionanalytiquedela reponsecherchee.G2.1.2 A partir de la fonction de transfert

Theoreme2.1 Soit G z une fonction de transfertetU z uk la transformeeen d’unesequenced’en-tree,sousl’hypothesedeconditionsinitialesnullesla re-ponsedusystemeestdonneepar :

yk # 1 G z U z Commedansle casdessystemesa tempscontinu,la

fonction de transfertpermetun calcul aise desreponsesuniquementdansle casdessystemesinitialementau re-pos.La methodeestillustresurl’exempleduparagrapheprecedent.

Exemple2.2

La fonctiondetransfertdusystemes’ecrit:

G z 1z2 / 3z ) 2

La transformeeenz dusignalimpulsionneluk estici :

U z 1

Il vientdonc:

Y z G z U z 1z2 / 3z ) 2

Le calculde l’original peutsefaire a partir de tablesdetransformees,cequi necessitegeneralementunedecom-positionen elementssimples.Poursimplifier lescalculsil est recommande d’effectuerla decompositionen ele-mentssimplesde Y c zd

z et nonpascelledeY z . En effet,il vient ici :

Y zz

1z z2 / 3z ) 2 1

21z

) 12

1z / 2

/ 1z / 1

15

16 CHAPITRE2. REPONSEDESSYSTEMESA TEMPSDISCRET

Ainsi on obtientunedecompositiondeY z enelementsqui sonttousdestransformeesdetermesconnus(voir ta-bleau1.1page5) :

Y z 12

) 12

zz / 2

/ zz / 1

La transformeeinverses’obtientdirectementparapplica-tion destransformeesdela table:

yk Jw# 1 6 12

) 12

zz / 2

/ zz / 1

8 12

δk ) 12

2k / 1k

Cequi donne:

y0 12 ) 1

220 / 10 0

yk 0 122k / 1k 2k # 1 / 1 G

Exercice2.1

On considerele systemeregi parl’ equationrecurrentesuivante:

yk 2 / 5yk 1 ) 6yk uk

Calculersa reponseindicielle et sa reponseimpulsion-nelle.

Solution

Le calculdesareponseindicielle(reponseauneentreeentrain d’impulsionsunitairesuk 1 DE k I 0) peutsecalculerenpartantdesrepresentationenzdusignald’en-treeet dumodele:

U z zz / 1

D G z 1z2 / 5z ) 6

Ona donc:

Y zV G z U z z z / 1- z / 2- z / 3Par decompositionenelementssimples:

Y zz

1 z / 1- z / 2- z / 3 12

1z / 1

/ 1z / 2

) 12

1z / 3

d’ou:

Y z 12

zz / 1

/ zz / 2

) 12

zz / 3

Enutilisantle tableaudetransformees1.1page5, il vient:

yk 12

1k / 2k ) 12

3k

Le calcul de sa reponseimpulsionnelle(reponsea uneentreeu0 1 D uk 0 DE k F 0, i.e.U z 1) secalculedela memefacon:

Y z G z U z 1 z / 2W z / 3

Par decompositionenelementssimples:

Y zz

1z z / 2W z / 3 16

1z

/ 12

1z / 2

) 13

1z / 3

d’ou:

Y z 16

/ 12

zz / 2

) 13

zz / 3

Enutilisantle tableaudetransformees,il vient:

y0 0

yk / 12

2k ) 13

3k E k I 1

2.2 Reponsesechantillonnees

Commeevoque dansle chapitre1, l’ echantillonnaged’unsignalcontinuconduitaunperted’information.Sansentrerdansle detail nousallonsobserver cephenomenesur deuxexemplesde procedescontinusechantillonnesselonle modeledela figure2.1.

TB0 p y t ykuk

Procedeu t


On sait associera ce systemeun modele de type dis-cretentrelasequenced’entree % uk & etla sequencedesor-tie % yk & . Cemodele permetle calcul de % yk & pour % uk &donne,maisnepermetabsolumentpasderetrouver le si-gnalcontinuy t . La seuleutilisationdumodelea tempsdiscretne posegeneralementpasde problemepour uneetudeen boucleouverte,maispeuts’averer insuffisantepourcaracterisercompletementun systemefonctionnantenbouclefermee.Il estpreferabledanscecasd’utiliseraussile modele a tempscontinudu procede commandepourdeterminery t .

Lescalculsdevenantcomplexes,lescourbesquisuiventsontdetermineesa l’aide du logiciel Matlab.

Exemple2.3

Consideronsle procede continude fonction de trans-fert:

G p 11 ) p

Pourtrois periodesd’echantillonnagedifferentela figure2.2donnela reponseyk dusysteme.

2.3. NOTION DE MODES 17

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

FIG. 2.2– Trois echantillonnagesdifferents

Dansle premiercas,T 0 X 1s, l’ echantillonnageesttresrapidedevant la constantedetempsdu systemeτ 1s. La reponsedusystemeechantillonneseconfondavecla reponsedu systemecontinu.En premiereapproxima-tion on pourrait quasimentnegliger l’effet de l’ echan-tillonnage.

Dansle troisiemecas,T 2s, l’ echantillonnagen’estpasassezrapidepourrespecterla r egledeShannon. Lesignaldiscretnerendpascomptedela realitedu proces-sus.

Lesecondcas,T 0 X 5s, estdoncapreferercarl’ echan-tillonnagerendcomptefidelementdu comportementdusystemesansmultiplier desmesuresinutiles. GExemple2.4

Consideronsle systemeechantillonne boucle de la fi-gure2.3,avecuneperioded’echantillonnageT 0 X 5setunalgorithmedecommanderepresenteparla fonctiondetransfert:

5z / 3z ) 1

1p2

5z 3z 1 B0

y t yk

T

ek FIG. 2.3– Systemeechantillonneboucle

La figure 2.4 montred’une part la reponseindicielledecesystemeobtenueapartirdesseulsmodelesa tempsdiscret,d’autrepart la sortiey t du procede calculeeapartirdesonmodelea tempscontinu.

La constatationestquesi le capteurmesurey t avecla perioded’echantillonnageT 0 X 5s, la mesurenerendpascompteentierementdu comportementdu systemea

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.5

1

1.5Sortie du systeme

Temps

Ampl

itude

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.5

1

1.5

2Sortie du systeme

Temps

Ampl

itude

FIG. 2.4– Echantillonnagea la periodedel’oscillation

tempscontinu.Enparticulierici, l’ echantillonnagesefaitexactementala perioded’un phenomeneoscillantpourlesystemea tempscontinufaisantcroire a la convergencedusignal. G2.3 Notion demodes

Nous avons etabli quepour calculerla reponsed’unsystemea tempsdiscret,il estpossiblede procederpardecompositionen elementssimplesdeY zP z. Nousal-lonsmaintenantobservercettedecompositiondansle casgeneral.

SoitG z la fonctiondetransfertd’unsystemecompre-nantnp polesnotes p1 DYXYXZX D pnp. Chaquepole peuteven-tuellementapparaıtre plusieursfois dansle denomina-teur. On parlerademi, l’ordre demultiplicit edu pole pi

(i 1 DYXYXZXD np).

Identiquementon definit uneentreequelconqueU zpourle systeme.Satransformeeenzsecaracteriseparunpolynomeau denominateuravec un certainnombresderacinesr1 DYXYXZXD rq.

Apresavoir effectueladecompositionenelementssim-plesdeY zP z G z U zP z on trouve unerepresenta-tion dela formesuivante:

Y zV np

∑i 1

Gi zH) q

∑j 1

U j z (2.1)

Chacundestermesde cettesommes’exprime en fonc-tion soit d’un pole pi soit d’uneracinedu denominateurdeU z , r j . Nousnenousinteresseronspasacesdernierstermesdanscettepartiedu cours.Ils represententcequiestappele le r egime force du systemeet dependentes-sentiellementdu type d’entreeenvoyeeau systeme.Parcontre,nous allons detailler les premierstermesGi zqui, memes’ils dependentdu choix du signal d’entree,decriventdescaracteristiquesintrinsequesausystemeG z .


Plusprecisement,les fonctionsGi z sedecomposentcommesuit:

Gi z mi

∑q 1

αiqz z / pi q

et leur transformeeenz inverses’ecrit generiquementdela formesuivante: # 1 Gi z 7 β0 ) β1k )$XYXYX) βmi # 1kmi # 1 pk

i Pi k pki

Cetermeainsi formule estcompose du produitd’un po-lynomeenk avec la suitegeometriquedespuissancesdupole pi . On va voir quel’ evolution de ce type de termedependessentiellementdela valeurde pi. On parlerademode associe au pole pi et nousallons decriredanslasuite descategoriesde comportementde cesmodesenfonctiondela valeur(reelleoucomplexe) de pi.

Parsuperposition,la reponsed’un systemeauneentreequelconquecomprendstoujoursune sommede termestelsque: # 1 np

∑i 1

Gi z . np

∑i 1

Pi k pki

dont d’evolution temporelleest caracterisee par chacundesmodes.Il y a autantde modesquele systemea depolesdistincts.

Nousallonsmaintenantenvisagertour a tour descassimplesdemodesassociesadifferentesvaleursdespolespuisnouscaracteriseronsla reponseglobaledu systemecomposeedela superpositiondetouslesmodes.

2.3.1 Mode r eel

Un modereel estassocie a un pole reel.Pourallegerles notations,soientp ce pole et % P k pk & la suitecor-respondanta la contribution de ce pole a la reponsedusysteme.

IndependemmentdecequepeutetrelepolynomeP k ,l’ etudedessuitesnousenseigneque:

– Si Q p Q1 1, alorsla suite % P k pk & converge vers0quandk

) ∞. On parlealorsdemodeconvergentdont la convergenceestporteepar la suitegeome-trique % pk & . La vitessede convergencedependes-sentiellementdela valeurde p. Plusla valeurde Q p Qestfaible, plus le modeconvergevite versl’origine(convergenceexponentielle).

– Si Q p Q 1, alors la suite % P k pk & diverge quandk

) ∞. On parlesalorsdemodedivergentdontladivergenceestporteeparla suitegeometrique % pk & .La vitessededivergencedependessentiellementdela valeurde p. Plusla valeurde Q p Q estgrande,plusle modedivergevite (divergenceexponentielle).

– Si Q p QY 1 et queP k P 0 estunpolynomecon-stant,alorsla contributiondecemodeestun signalqui ne diverge ni ne converge. On parle alors demodeentretenu. CecasestpossibleuniquementsiP k estunpolynomeconstant(i.e.dedegrezero)cequi estpossibleuniquementquandl’ordre demulti-plicit edupoleestegal a m 1.

– Si Q p Qb 1 etP k estdedegre nonnul, alorsla suite% P k pk & divergequandk ) ∞. Onparledemode

divergentdont la divergenceestporteepar la suite% km# 1 & (divergencepolynomiale).

– Si p 0,alorslasuite % P k pk & atendance(ausignedeP k pres)a etredu memesigne(modeaperio-dique).

– Si p 1 0, alorsla suite % P k pk 7O/ 1 kP kQ p Q k & atendance(ausignedeP k pres)a changerdesignea chaqueiteration(modeoscillatoire).

– Si p 0, alorsla suite % P k pk & convergevers0 enuneseuleiteration(r eponsepile).

Sansentrerplusdanslesdetails,voici quelquesexemplesqui illustrentcesdifferentesnotions.

Exemple2.5

Soientles deuxsystemessuivantscompose d’un seuletmemepole.

G1 z 1z / 2

G2 z / z2 ) 3z / 1 X 1 z / 2 3

Les reponsesa un echelonpourcesdeuxsystemessontdonneessur la figure2.5 ( pourG1 et o pourG2). Onconstatequela divergencememesi ellen’estpasexacte-mentidentiquesefait avec la memevitesseapproxima-tive. L’autre constatationestque le signede la reponsesuit la courbed’un polynome(modeaperiodique).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

FIG. 2.5– Reponsesdel’exemple2.5 G


Exemple2.6

Soientles deuxsystemessuivantscompose d’un seuletmemepole.

G1 zV 1z ) 0 X 5 G2 z z2 / 1z ) 1 z ) 0 X 5 2

Les reponsesa un echelonpourcesdeuxsystemessontdonneessur la figure2.6 (o pour G1 et pourG2). Onconstatequela convergenceestassezsimilaire memesielle n’estpasexactementidentique.L’autreconstatationestquele signedela reponsealterne(modeoscillatoire).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

FIG. 2.6– Reponsesdel’exemple2.6 GExemple2.7

Soientlesdeuxsystemessuivantscomposechacund’unseulet memepoledemoduleegal a un.

G1 z 1z ) 1

G2 zV 0 X 01 z / 1 2

Les reponsesa un echelonpourcesdeuxsystemessontdonneessur la figure2.6 (o pourG1 et pourG2). G1 aunereponseoscillanteni divergenteni convergente(modeentretenuoscillatoire)carlepole / 1 apparaıt dansla fonc-tion de transfertavec un ordredemultiplicit e egal a un.G2 parcontredivergesansoscillercar le pole ) 1 estpo-sitif et d’ordredemultiplicit eegal a deux.La divergencen’estpasexponentielle,maistendversuneasymptoteli-neaire. G2.3.2 Mode complexe

Lesracinesd’unpolynomeacoefficientsreelssontsoitreellessoit complexes.Dansle secondcas,pourchaquepole p telsqueIm pF 0 il existeunautrepole p com-plexeconjuguedep. cesdeuxpolesp et p interviennent

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

FIG. 2.7– Reponsesdel’exemple2.7

necessairementavec le memeordrede multiplicit e.Pardefinition un modecomplexe estassocie a un coupledepolescomplexesconjuguesl’un de l’autre. La contribu-tion decemodeestdela formesuivante:

Pa k pk ) Pb kW p k

ou Pa k etPb k sontdespolynomesa coefficientscom-plexesdumemedegre,maisil estpossibledemonterquela contributionconjointedespuissancesdepk et pY k estnecessairementreelle.Deslorsla contributiond’un modecomplexepeutegalements’ecriresousla formesuivante:

P k ρk sin kθ ) φ ou P k estun polynomea coefficientsreels,ou φ estundephasagedetermine par la situation,ou ρ estle moduledu pole et ou θ estl’argumentdu pole. D’apresles for-muled’Eulerona p ρejθ et p ρe# jθ.

Independemmentde ce peut etre le polynome P k ,l’ etudedessuitestellesqueP k ρk sin kθ ) φ nousen-seigneles caracteristiquessuivantessur la contributiond’un modecomplexe:

– Si Q p QY ρ 1 la reponsetransitoiredivergea la vi-tessedeρk (divergenceexponentielle),

– Si Q p QY ρ 1 1 la reponsetransitoireconvergevers0a la vitessedeρk (convergenceexponentielle),

– Si Q p QY ρ 1 la reponsetransitoiredivergea la vi-tessedu polynomeP k et si le poleestdemultipli-cite egalea 1 alorsP kV α et le modeneconvergeni nediverge(modeentretenu),

– Si arg p θ F 0 estl’argumentdep, la reponsedusystemeoscille a cettefrequence(oscillation“por-tee”parla convergencedeρk). Le modeestoscilla-toire.

Un resume decescomportementsdynamiquesestdonnesurla figure2.8page20.


FIG. 2.8– Alluredesmodesselonleur emplacementdansle plan deLaplace


Remarque2.1 Enpratique,onretiendra qu’unsystemea tempsdiscretpeutavoir deuxsourcesd’oscillations: lapresencedemodescomplexeset/oula presencedemodesa partie reellenegative. Bien entendu,cesdeuxpheno-menesd’oscillationspeuventsesuperposer.

Exemple2.8

Consideronsle systemedefonctiondetransfert:

G z b0

z2 ) a1z ) a0 b0 z / λ1 W z / λ2

La reponseimpulsionnelledecesystemeestobtenueencalculantl’original desafonctiondetransfertenz:

G z. b0

λ1λ2) b0z z / λ1 λ1 λ1 / λ2 ) b0z z / λ2 λ2 λ2 / λ1

soit:

gk b0

λ1λ2δk ) b0

λ1 / λ2 λk # 1

1 / λk # 12

Si lesmodesdusystemesontreels(4a0 ] a21), le systeme

estcompose dedeuxmodesreelsdont le comportementdependrespectivementdesvaleursdeλ1 et λ2.

Si lesmodessontcomplexesconjugues(4a0 a21), il

vient:

gk 0 b0ρk # 2sin k / 1 θsinθ

avec:ρ a0 cosθ L/ a1

2 a0

A la donneedea0 et a1, la reponsetransitoired’un sys-temedusecondordreestsoit unesommededeuxmodesreelssoirunmodecomplexedontla convergenceestdon-neepar le moduledespoles(ρ Q λ Q ) et l’oscillation estdonneeparleurargument(θ arg λ ).

Pour illustration les reponsesimpulsionnelleet indi-ciellepourlesvaleursb0 0 X 5, a1 / 1 eta0 0 X 5 sontdonneessur la figure2.9. GExemple2.9

Consideronslessystemessuivants:

G1 z2 ) 2z ) 3z2 / 1 X 414z ) 1

D G2 1z2 ) 1 X 414z ) 1

G3 z2 ) 2z ) 3z4 / 2 X 828z3 ) 4z2 / 2 X 828z ) 1

Lepremiersystemeadmetdeuxpolescomplexesconju-gues 2P 2 ) j 2P 2 et 2P 2 / j 2P 2. Cespolescom-plexessontdemoduleegal aunet ils sontdemultiplicit esimpledoncla reponseindicielleestoscillanteentretenue(pasdeconvergenceni dedivergence).

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.2

0

0.2

0.4

0.6

No. of Samples

Ampl

itude

0 2 4 6 8 10 12 140

0.5

1

1.5

No. des echantillons

Ampl

itude

FIG. 2.9– Reponsesimpulsionnelleet indicielle

Le secondsystemeadmetlespoles / 2P 2 ) j 2P 2 et/ 2P 2 / j 2P 2.Le modeassocie acepolea lesmemescaracteristiquesquepour G1 si ce n’est queen plus del’oscillation li eea θ F 0, s’ajouteunealternancedueaufait quela partiereelleestnegative.

Le troisiemeexempleest tel que le couplede poles( 2P 2 ) j 2P 2, 2P 2 / j 2P 2)estd’ordredemultipli-cite egalea deux.Le systemeestdoncoscillantavec lesmemescaracteristiquesquepourG1 maisa la differencequ’il divergeavecunevitessepolynomiale. G

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.5

0

0.5

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−100

0

100

200

FIG. 2.10– Reponsesindiciellesdel’exemple2.9

2.3.3 Caracterisation desmodespar analo-gie aveclessystemescontinus

Onrappellequelespolesdessystemescontinuspeuventetredecritspar:

pc / ζωn jωn 1 / ζ2

Cetteecrituregeneriquepourlespolescomplexesdevientdansle casdepolesreels(ζ 1):

pc H/ 1P τ


Et les polynomescaracteristiquesdessystemesa tempscontinusefactorisentavecdestermestelsque:

p2 ) 2ζωnp ) ω2n et p ) 1P τ

Les differentsparametresque nousvenonsde rappelercaracterisentlesreponsesdesmodesdessystemesconti-nus:

– τ 1PR ζωn : tempsde reponsedu mode(le modeconvergea95%desavaleurfinaleen3τ secondes).

– ωp ωn 1 / ζ2 : pulsationpropre(caracterise lapulsationdel’oscillationdanslecasd’unmodecom-plexe).

– ωn : pulsationproprenonamortie.

– ζ j 0 1 : coefficient d’amortissement(plusζ estfaibleplusle modeoscilleavantdeconverger).

Cesproprietessontmaintenantreprisespourcaracteriserlesmodesdessystemesdiscrets.

Nous avons etabli dansla section1.4.3 quepour lessystemescontinusechantillonnesque les polesdu sys-temesdiscretobtenuapresechantillonnagesededuisentdusystemecontinuoriginalsuivantla formule:

pd epcT

ou T estla perioded’echantillonnage,pc lespolesdusys-temecontinuet pd lespolesdusystemediscret.

Ainsi partantdu pole d’un systemecontinuayantcer-tainescaracteristiquesen termesde tempsde reponse,d’amortissementetdepulsationpropreontrouvele polesd’un systemediscret(fonctionnanta la periodeT) qui au-rait lesmemescaracteristiquesdynamiques:

pc a/ 1P τ pc L/ ζωn jωn 1 / ζ2 pd e# T z τ pd e# T z τ cos ωpT j sin ωpT b

Inversementunpolereeld’un systemediscret,pd zr secaracterisepar:

– un tempsdereponseτ L/ T P ln zr , ou T estla pe-riodedefonctionnementdusystemediscret,

– despulsationpropresnullesetunamortissementζ 1 (le modeestnonoscillant).

Un polecomplexe pd zr jzi secaracterisepar:

– un tempsdereponseτ L/ 2T P ln z2r ) z2

i ,– unepulsationpropreωp 1

T arctan zi P zr ,– unepulsationproprenonamortieωn ω2

p ) 1P τ2,

– unamortissementζ 1P 1 ) ω2pτ2.

Exemple2.10

En reprenantl’exemple2.8, le modecomplexe estca-racterise parle polynomecaracteristique:

z2 / z ) 0 X 5 h pd 12

1 j Cequi conduita:

– un tempsde reponseτ 2 X 89T (la convergencea95%sefait auboutde9 periodes),

– unepulsationpropreωp π4T (la periodedel’oscil-

lationesthuit fois superieurea la periodedesechan-tillons),

– unepulsationproprenonamortieωn 0 X 8585P T,

– un amortissementζ 0 X 4037(l’amortissementestindependantdela periodedesechantillons).

Le tempsdereponseet la pulsationpropreseretrouventsurla figure2.9. G2.3.4 Superpositiondesmodes

Pourlesprocedesrencontresenpratique,lespolespeu-ventetresmultiplesetleureffetss’additionnentsurlasor-tie mesureedusysteme.L’ensembledespossibilitesn’estpasdescriptible.Cependantil estparfoispossiblededis-cernerdesalluresduesauxdifferentspolesquandlesdy-namiques(vitessesdeconvergence/divergence)sonttresdifferentes.Quelquesexemplessontdonnessur la figure2.11.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20 25 300

2

4

6

8

10

12

14

FIG. 2.11– Reponsesindicielle avecun modereelet unmodecomplexeayantdesdynamiquesdifferentes

La premieredecescourbesmontreun systemeayantun pole reel a convergencelente (plus de 30 iterationspourconverger)etunmodefortementoscillantquiconverge


rapidement(l’oscillation rejoint rapidementl’exponen-tielle convergentedumodereel).

Lasecondecourbemontrelasituationinverse.Unmodereel tresrapideconverge dansles tout premiersinstants(monteerapideversun voisinagedel’ equilibre).A cetteconvergencerapides’ajouteun modeoscillant dont laconvergenceestpluslente.

Danstouslescasil estimportantdenoterquelaconver-genceglobaled’un systemesefait avec la constantedetempsdu modele plus lent. C’est a dire a la vitessedumodedontle pole a le modulele plusgrand.

Chapitre3

Stabilit e dessystemesa tempsdiscret

Cechapitreportesur la stabilitedessystemesa tempsdiscret.Dansunpremiertempsnousreplacerontla notiondestabilitedansuncadregeneralpuisnousporteronsplusprecisementnotreattentionsurla stabilitedefinieausensd’un transfertborne. La suitedu chapitreporte sur destechniquesd’evaluationde la stabilite et concluesur lecasdessystemesechantillonnes.

3.1 Stabilit e internedessystemes

Danscecoursnousavonsvolontairementchoisidenepresenterlessystemesquesousla formedefonctionsdetransfertset d’equationsrecurrentes.Une autremodeli-sationtresfrequemmentrencontrees’ecrit souscertaineshypothesescommesuit:

xk 1 f xk D uk yk g xk D uk

Ou u representele signalenentreedusysteme,y la sortiemesureeet f et g sontdesfonction quelconquesdecri-vantle fonctionnementduprocessus.Cetterepresentationa l’avantagedemettreenevidenceunvecteurxk n ap-peleetatdusysteme.Cevecteurdecritexactemental’ins-tant k l’ etat (positions,vitesses,concentrationsde pro-duits, tensionselectriques...)du systeme.D’usagediffe-rentde la representationpresenteedanscecours,elle vaaudela d’unedependanceentrelesentreeset lessorties,pour representerles comportementsinternesdu proces-sus.

La stabilite internedessystemesestdefinie a la don-nee de ce type de modeles.Nous donnonsici unique-ment quelquesbrefs elementsde cettetheorie.Le pre-mier d’entreeux estla definition despointsd’equilibre.On supposequele systemeestplace enmodeautonome(uk ue estuneconstantele plussouventnulle)etonde-finit lesetatsd’equilibrexe commelessolutiondel’ equa-tion :

xe f xe D ueIls correspondentauxsituationsdanslesquellessi le sys-temeestdanscetetatalorsil nepeutpasevolueramoins

demodifierla commande.

Cespointsd’equilibresesontengeneralpasuniques.Par exemplesi l’on considereunpenduleconstitued’unebarrerigidepouvanttournerdansunplanvertical,cesys-temeadmetdeux points d’equilibre quandla barreestverticalesoit versle hautsoit versle bas.Ceciestillustresurla figure3.1.

Positions d’équilibre pour

θ = 0θ = π

θ

mg

FIG. 3.1– Positionsd’equilibredupendulerigide

Il estaise deremarquerquelesdeuxpointsd’equilibredu pendulen’ont pasle memestatut.On peutspontane-mentqualifier l’ equilibreθ π d’instableet la positioninversedestable.Mathematiquementla stabilitededefi-nit commesuit:

Definition 3.1 Un pointd’equilibrexe est:

simplementstablesi quelquesoit le voisinageΩ1 dexe,il existeunvoisinageΩ2 dexe tel que,pour tout etatinitial x0 Ω2, xk Ω1 E k I 0.

asymptotiquementstablesi il existeun voisinageΩ1 dexe tel que,pour tout etat initial x0 Ω1, xk

xe

quandk ) ∞.

globalementasymptotiquementstablesi pour tout etatinitial x0 n, xk

xe quandk

) ∞.

instables’il n’estpasstable.

25

26 CHAPITRE3. STABILIT E DESSYSTEMES A TEMPS DISCRET

Par definition la stabilite indiquequesi le systemeaun etatinitial suffisammentprochedel’ equilibrealorsilnes’enecartepas.La stabiliteasymptotiqueajouteacelaque l’ etat du systemerejoint asymptotiquementl’ equi-libre pourdesconditionsinitialessuffisammentproches.Lecaractereglobalindiquequelaconvergenceversl’ equi-libre sefait pourtoutconditioninitiale.Enfin l’instabilit eindiquequeaussipresquel’ etatsoitdel’ equilibreconsi-dere, il a tendancea s’enecarter.

La problematiqueestbien souvent pour les systemesnon-lineairesde determinerdesdomainesde conditioninitialespour lesquellesle systemeestassure deconver-ger vers un equilibre. Pour ce qui est dessystemesli-neairessur lesquelsporte ce cours,la stabilite ou l’in-stabilite sonttoujoursdesproprietesglobaleset le pointd’equilibreest,saufcasparticulier, unique.

Nousne detaillonspasplus la notion de stabilite in-terneni la theoriedeLyapunov qui lui estassociee.Ce-pendant,onpeutnoterqu’apeudedifferencespres,pourlessystemesenvisagesdansce cours,la stabilite interneet la stabiliteBIBO sontequivalentes.

3.2 Stabilit eBIBO dessystemes

BIBO vientdeladefinitionenanglais:“boundedinput,boundedoutput”. La caracterisationdessystemesstablessefait en prouvantquela sortiedu systemeesttoujoursnon divergentetant que le signal d’entree est contenudansun certaindomaine.La traductionde l’anglais dit“ a entreebornee,sortiebornee”. Mathematiquementladefinitionest:

Definition 3.2 Unsystemedefinitpartsesentrees/sortiestel que:

uk/ F

yk/ estBIBOstablesi pour touteentreebornee % uk &

∞ supk ' Q uk Q+1 ∞

la sortieesttoujoursbornee % yk & ∞ sup

k ' Q yk Qo1 ∞

Cettedefinitiontresgenerale,s’appliquea tout typedemodele.Dansle casdessystemeslineaires,nousallonsvoir qu’elleseparticulariseet revient a etudierlesmodesdusysteme.Eneffet,enreprenantlesnotationsdelapage17 la transformeeenz dela sortiedusystemepour touteentreeU z estdonneepar(2.1):

Y z np

∑i 1

Gi z) q

∑j 1

U j z

Lespremierstermesont ete etudiesdansle chapitrepre-cedent.Ils correspondenttousa dessignauxsoit conver-geantvers0 (modesconvergeantexponetiellement)soitentretenus,soitdivergeants.S’il existeaumoinsunmodedivergent,la sortieestnon bornee,le systemen’est passtable.Si parcontretouslesmodessontconvergentsalorsle premiertermeestconvergentetdoncborne.

Maintenant,enutilisantdesargumentssimilairessi touslesmodessonttelsque Q pi Q1 1 et sousl’hypothesequele signald’entreeestborne,il estpossibledemontrerquele secondtermedecritunsignalborne: # 1 : q

∑j 1

U j z ? ∞

1 ∞

Inversement,si il existeunmodetel que Q pi Qb 1 il estaisedeconstruireun signald’entreeborne tel quela sortieyk

diverge. Le resultatpour les systemeslineairesa tempsdiscretestdoncenonce parle theoremesuivant.

Theoreme3.1 SoitF z unsystemea tempsdiscret etsoientp1 D p2 DY`Y`Y`\D pr sesr polesdistincts.

1. Si i u% 1 DZ`Y`Y`[D r & tel que Q pi QSI 1, alors le systemeestBIBOinstable.

2. Si E j 1 DY`Y`Y`[D r, Q p j Q*1 1, alors le systemeverifiela propriete internedestabilite asymptotiqueet estBIBOstable.

3. Si E j 1 DY`Y`Y`[D r, Q p j QS] 1 et i ^% 1 DY`Y`Y`[D r & tel queQ pi Q 1, alors le systemepeut eeventuellementve-rifier la propriete internedestabilitemaisn’estpasBIBOstable.

Exemple3.1 Soit le systemecaracteriseparla fonctiondetransfert:

F z 0 X 25z z / 0 X 5W z / 0 X 25Les polessontde moduleinferieur a 1. Le systemeeststable.Par exemple,sareponsea uneentreeimpultion-nelle(U z 1) s’ecrit:

Y z F zR, 1 zz / 0 X 5 / z

z / 0 X 25 # 1

yk f1k ) f2k 0 X 5k / 0 X 25k

etconvergecommele montrel’ evolutionde f1k et f2k surla figure3.2. GExemple3.2 Soit le systemecaracteriseparla fonctiondetransfert:

F z z z ) 2- z / 0 X 5

3.2. STABILIT E BIBO DESSYSTEMES 27

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−1

−0.9

−0.8

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

FIG. 3.2– Systemeasymptotiquementstable

L’un despoleestdemodulesuperieura1 ( Q/ 2 QW 2). Lesystemeestinstable.Parexemple,sareponseauneentreeimpultionnelle(U z 1) s’ecrit:

Y zV F zR, 1 / zP 1 X 5z ) 2

) zP 2 X 5z / 0 X 5 # 1

yk f1k ) f2k L/ 11f 52k ) 1

2f 50 X 5k

et l’une descomposantesdela sommedivergecommelemontrel’ evolutionde f1k et f2k surla figure3.3. G

−50 0 50 100

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

FIG. 3.3– Systemeinstable

Exemple3.3 Soit le systemecaracteriseparla fonctiondetransfert:

F zV z z ) 1- z / 1Lespolessontdemoduleegauxa1.Le systemeestBIBOinstable.Par exemple,sareponsea uneentreeindicielle

(U z zz# 1) s’ecrit:

Y z F zR, zz# 1 / zP 4

z ) 1) zP 4

z / 1) zP 2 z / 1 2 # 1

yk f1k ) f2k / 14 O/ 1 k )a 1

41k ) 12k

et l’une descomposantesdela sommedivergecommelemontrel’ evolutionde f1k et f2k surla figure3.4.

−0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

k=0

k=1

k=7

FIG. 3.4–Systemedel’exemple3.3enreponsea uneche-lon

Parcontre,sareponseauneentreeimpultionnelle(U z.1) s’ecrit:

Y zV F z., 1 L/ zP 1 X 5z ) 2

) zP 2 X 5z / 0 X 5 # 1

yk f1k ) f2k L/ 12 O/ 1 k ) 1

21k 0 X 5 ) 0 X 5 O/ 1 ketellenedivergepasmaisalterneentredeuxvaleurs. GExemple3.4 Soit le systemecaracteriseparla fonctiondetransfert:

F z z z / 0 X 9cos π P 4bz2 / 2 ` 0 X 9cos π P 4 z ) 0 X 92) z z / 0 X 85cos π P 5

z2 / 2 ` 0 X 85cos π P 5 z ) 0 X 852

Lespolessontcomplexes(0 X 9ejπ z 4, 0 X 9e# jπ z 4, 0 X 85ejπ z 5et 0 X 85e# jπ z 5) de moduleinferieur a 1. Le systemeeststable.Par exemple,sareponsea uneentree impultion-nelleindicielle (U z 1) s’ecrit:

Y zV F z., 1 zP 2z / 0 X 9ejπ z 4 ) zP 2

z / 0 X 9e# jπ z 4) zz 2z# 0f 85ejπ 5 ) zz 2

z# 0f 85el jπ 5 # 1

yk f1k ) f2k 0 X 9kcos kπ P 4*) 0 X 85kcos kπ P 5


et lesdeuxcomposantesconvergentenoscillanta despe-riodesdifferentesetavecdesvitessesdeconvergencedif-ferentescommele montrel’ evolution de f1k et f2k sur lafigure3.5. G

−0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.5

0

0.5

1

k=0

k=8k=20

FIG. 3.5 – Systemede l’exemple3.4 en reponsea uneimpulsion

3.3 Crit eredeJury

Le critere de Jury adressela stabilite a partir de laconnaissancedupolynomecaracteristique:

P z anzn ) an# 1zn# 1 )_`Z`Y` ) a1z ) a0

Il est ainsi possibled’evaluer la stabilite d’un systemepartantd’une fonction de transferten etudiantle poly-nomeaudenominateursansencalculerlesracines.

Theoreme3.2 Un systemelineaire a tempsdiscret estasymptotiquementstablesi etseulementsi lescoefficientsde son polynomecaracteristique verifient les relationsqui suivent.Lesconditionsdependentde l’ordre du sys-temenousne les donnonsque pour n 2 ,3 et 4. Lesordressuperieurspeuventetregeneressansdifficultemaissont fastidieux.Pour plus de simplicite on supposequean 0. Dansle cascontraire il suffit demultiplier touslescoefficientspar / 1.

n 2 :

a0 ) a1 ) a2 0a0 / a1 ) a2 0

a2 / a0 0

n 3 :

yy yy a0 ) a1 ) a2 ) a3 0/ a0 ) a1 / a2 ) a3 0a3 /$Q a0 Q 0

a0a2 / a1a3 / a20 ) a2

3 0

n 4 :yy yy a0 ) a1 ) a2 ) a3 ) a4 0a0 / a1 ) a2 / a3 ) a4 0a2

4 / a20 /JQ a0a3 / a1a4 Qo 0 a0 / a4 2 a0 / a2 ) a4 *)$ a1 / a3 - a0a3 / a1a4 0

Exemple3.5 Soit le systemedont le polynomecarac-teristiques’ecrit:

P z z3 )_ K / 0 X 75 z / 0 X 25

L’applicationducriteredeJuryconduital’ensembled’equa-tions:yy yy a0 ) a1 ) a2 ) a3 K 0/ a0 ) a1 / a2 ) a3 K ) 0 X 5 0

a3 /JQ a0 Qn 1 / 0 X 25 0a0a2 / a1a3 / a2

0 ) a23 / K ) 1 X 6875 0

dontl’intersectiondonne0 1 K 1 1 X 6875commecondi-tion destabilite. G3.4 Crit eredeRouth

Le criterede Jury donne dansla sous-sectionprece-denteestun criterequi attestequelesracinesd’un poly-nomeappartiennentaudisqueunite( Q λ QY1 1) sansavoir ales calculer. Le criterede Routhquanta lui attestequeles racinesd’un polynome appartiennentau demi-plangauche(ℜ λ @1 0). Il n’estdoncpasdirectementappli-cablepourlessystemesa tempsdiscret.

Lemme3.1 Soit P z un polynomede degre n et soitP w le polynomedu memedegre obtenupar la relationsuivante:

P w7 1 / w n P 1 ) w1 / w ¡

Le polynomeP z a toutessesracinesdans le disqueunite( Q zi Qo1 1) si etseulementsi lesracinesdeP w sontdansle demi-plangauche(ℜ wi V1 0).

Preuve

Soit la transformationbijectivesuivante:

z 1 ) w1 / w ¢ h w z / 1

z ) 1

elle transformela variablecomplexe z en unenouvellevariablew telleque:

z α ) jβ ¢ h w α2 ) β2 / 1 ) 2 jβ α ) 1 2 ) β2

d’ou:Q zQW1 1 ¢ h α2 ) β2 1 1 ¢ h ℜ wV1 0

3.5. SYSTEMESECHANTILLONNES 29

CeresultatappliqueauxracinesdeP z concluelapreuve.

xIl estimportantdenoterquela transformationenw des

polynomescaracteristiquesde systemesa tempsdiscretpermetuniquementd’appliquerle criterede Routh.Au-cuneautreutilisation de cettetransformationn’est con-seillee.Il nefautenaucuncasconfondreceresultatavecdestransformationsdonnantuneequivalenceentreunsys-temediscretet un systemecontinu.Le polynomeP wn’a aucuneinterpretationenAutomatique.

Theoreme3.3 Soitle polynomedonnepar:

P w αnwn ) αn# 1wn# 1 )_XZXYX ) α1w ) α0

sesracinesappartiennentaudemi-plangauche(ℜ wi 10) si etseulementsi toussescoefficientsαi sontdumemesigneet que les coefficientsde la premiere colonnedutableaudeRouthsontegalementdumemesigne.

Soit q l’arrondi versle basdenP 2 (par exemplepourn 5,ontrouveq 2).Le tableaudeRouthestcomposeden ) 1 lignesetq colonneset seconstruitcommesuit:

βne 0 βne 1 βne 2 XYXZX βne q# 1 βne q 0βn# 1e 0 βn# 1e 1 βn# 1e 2 XYXZX βn# 1e q# 1 βn# 1e q 0βn# 2e 0 βn# 2e 1 βn# 2e 2 XYXZX βn# 2e q# 1 0...

...β2e 0 β2e 1 0β1e 0 0β0e 0 0

avecpour i n et i n / 1 lescoefficientsdu polynomerangesdedeuxendeuxtelsque:

βne j αn# 2 j D βn# 1e j αn# 1# 2 j

etpour i ] n / 2 la relationsuivante:

βi e j βi 1e 0βi 2e j 1 / βi 1e j 1βi 2e 0βi 1e 0

symboliquementrepresenteeparle produitencroix:

βi 2e 0βi 1e 0 βi 2e j 1

βi 1e j 1

Exemple3.6 Reprenonsl’exempleprecedentdont lepolynomecaracteristiques’ecrit:

P z z3 )_ K / 0 X 75 z / 0 X 25

Par transformationbilineaire,il vient le polynome:

w3 K ) 0 X 5!) w2 3 / K !) w 4 X 5 / K *) K

La tabledeRouthcorrespondantes’ecrit:

K ) 0 X 5 4 X 5 / K 0

3 / K K 0# 8K 13f 53# K 0

K 0

Le polynomeenw auratoutessesracinesa partiereellenegative(etparconsequent,le polynomeP z aurasesra-cinesdemoduleinferieura1) si toussescoefficientssontdememesigneet si les elementsdela premierecolonnede la tablede Routhsontde memesigne.Ceci conduita la satisfactionsimultaneede l’ensemblede conditionssuivantes: yyyy yyyy K ) 0 X 5 0

3 / K 04 X 5 / K 0

K 0/ 8K ) 13X 5 0

soit la conditiondestabilite0 1 K 1 1 X 6875. G3.5 Systemesechantillonnes

3.5.1 Etude enboucleouverte

Consideronsle systemeechantillonne en boucleou-verterepresente surla figure3.6.

TB0 p y t ykuk

Procedeu t


Le procede continuestrepresente parunefonctiondetransfertFc p et sastabiliteestdetermineeparlespolesλi. La conditionnecessaireet suffisantede stabilite estdonneepar:

ℜ λi V1 0 E λi

Consideronsmaintenantle systemeechantillonnedontlafonctiondetransferts’ecritFd zJ B0 p Fc p etno-tonscespolesµi . La conditionnecessaireetsuffisantedestabiliteasymptotiqueestdonneepar:Q µi QW1 1 E µi

Enraisondela correspondance:

ℜ λi 1 0 £ Q µi QW¤Q eλiT Qo1 1


on constatequ’un systemecontinustableen boucleou-verteestegalementstableen echantillonne.Ceciestparailleurstout a fait trivial. Lessignauxbornesrestentbor-nesquandils sontechantillonneset quandils passentparunbloqueurd’ordrezero.

La stabilitedessystemespris defaconisoleen’estpasalterneeparl’ echantillonnage.Il enva autrementdanslecasdessystemesechantillonnesboucles,commeonva leconstaterdansle paragraphesuivant.

3.5.2 Etude enbouclefermee

Surunexemplenousmontronsquelaperioded’echan-tillonnageinflue la stabilite ou non d’une bouclede re-troaction.De manieregenerale,il peutetreobserve quele fait de remplacerune regulation analogiquepar uneregulation numeriquedemandede s’assurerque la pe-rioded’echantillonnagechoisien’entrainepasunepertedesproprietesinitiales.

Exemple3.7 Consideronsla regulation continuere-presentee sur la figure 3.7. La fonction de transfertdusystemeenboucleouverteestd’ordre2. Le systemeestasymptotiquementstablequelquesoit K 0.

y t yc t +/ Kp p ) 1

FIG. 3.7– Regulationcontinue

Consideronsle memesystemedansle casd’uneregu-lation echantillonneeselonle schemadela figure3.8.

TB0 p| yku t |uk y t |¥ ¦

yck Kp p ¥

1|FIG. 3.8– Regulationechantillonnee

La fonctiondetransfertenboucleouvertedu systeme

echantillonnea pourexpression:

G zq s B0 p Kpc p 1d t z# 1

z s Kp2 c p 1d t z / a Kb z / 1W z / e# T

avec a el T c T 1d # 1el T T # 1 et b e# T / 1 ) T . La fonctionde

transfertenbouclefermees’ecrit alorscommesuit:

G z1 ) G z z / a Kb

z2 )_ Kb / 1 / e# T z ) e# T / Kba

Enappliquantle criteredeJuryle systemeestasymptoti-quementstablesi etseulementsi : e# T / Kba ) Kb / 1 / e# T ) 1 0

e# T / Kba / Kb ) 1 ) e# T ) 1 01 / e# T ) Kba 0

Cesconditionssontfortementconditionneesparla valeurdel’ echantillonnage.ParexemplepourT 1setT 10son trouverespectivement:

T 1s T 10s K 012X 2 K2 X 4 K

K 00 X 25 K1 K

On constateainsi qu’uneaugmentationde K et/oudeTconduisenta l’instabilit edecesysteme. G3.6 Exercices

Exercice3.1

Soit le systemeF z del’exercice1.3dela page12;

F z 4z / 24z3 )$ 4K / 8 z2 )$ 5 / 4K z )$ 3K / 1

Etudierla stabilitedeF z enfonctiondu parametreK al’aide ducriteredeJury.

Solution On esten presenced’un systemedu troisiemeordre.LecriteredeJuryestdonccomposedequatrecondi-tions.La premiereest:

a0 ) a1 ) a2 ) a3 0

cequi corresponda la sommedetouslescoefficientsdupolynomedenominateurdela fonctiondetransfert.Pourla fonctionF z cetteconditiondonne:

3K 0 h K 0

3.6. EXERCICES 31

La secondeconditionducriteredeJurydonne:/ a0 ) a1 / a2 ) a3 0 h K 1 18P 11

La troisiemeconditions’ecrit:

a3 /JQ a0 Qo 0 h / 1 1 K 1 5P 3

Enfin la troisiemeconditionest:

a0a2 / a1a3 / a20 ) a2

3 0 h 3 K / 1 2 0

On endeduit quele systemeeststablepour toutevaleurdeK comprisedanslesintervallessuivants:§

stab. ¨ 0 D 1 ~©ª 1 D 1811

Les valeurs0, 1 et 18

11 conduisenta dessystemesa la li-mitedela stabilite.Par exemplepourK 1 on trouveunsystemeF z tel que:

F z 4z / 24z3 / 4z2 ) z ) 2

dont les polessontdonneessur la figure 3.9. Les deuxpolescomplexessontdemoduleegalaunetcorrespondenta un modeoscillantentretenu.Le systemeestBIBO in-stablemaisverifie la stabilite internedanscecas.

Re(z)

Im(z)

0.75 + 0.6614i

0.75 − 0.6614i

Mode convergent alterné

Mode oscillant entretenu

−0.5

FIG. 3.9– PolesdusystemepourK 1

Chapitre4

Synthese: Gain de r etroaction

A cestade,nousavonsetabliunensembledenotionsetd’outils mathematiquesqui permettentdedecrirele fonc-tionnementdessystemes.Les chapitresqui suivent sontdediesa la synthesede correcteurs.L’objectif estd’ob-tenir par le calculuneloi decommandequi connaissantlesmesuresen tempsreel realiseessur le systemeet lesconsignesimposeesparunutilisateur, agitsurlesentreesdusysteme.Globalement,l’objet a realiserfonctionneentempsreel en parallele du systemecommedecrit sur leschema4.1.

commande

aux actinneursappliquée

Consigne

Loi de commande Procédé

mesure réalisée par les capteurs

FIG. 4.1– Loi decommande

Danscecoursnousaborderonsuniquementdeslois decommandesousformedemodeleslineaires.Ellesserontrepresenteessoit par desequationsrecurrentes(c’est engeneral souscetteformequeles lois decommandesontrealiseesenpratique),soit pardesfonctionsdetransfert.

4.1 Intr oduction

Ce premierchapitres’interesseau casle plus simpledesynthese: la synthesed’un gainstatiquepour lessys-temesayantuneentreeetunesortie.Danscecasla loi decommandeseresumea deuxcoefficientsrepresentessurle schema4.2.

On note uk le signal de commande,yk le signal demesure,yck le signalde consigneet vk Kcyck. Partantd’un procede decrit parunefonctiondetransfertY z«G z U z on trouve:

Y z KG z1 ) KG z V z Y z KcKG z

1 ) KG z Yc z

Loi de commandeConsigne

KcK+

− Procédé

commande

mesure

FIG. 4.2 – Loi decommandepar un gain de retroactionetungaindepre-commande

et endetaillantlespolynomesaunumerateuret audeno-minateurdela fonctiondetransfertG z N zbP D z :

Y zC KN zD z*) KN z V z Y zC KcKN z

D z*) KN z Yc z4.2 Calcul du gain de r etroaction

Le gainderetroactionK permetessentiellementd’as-surerla stabilite de la bouclefermee.C’estce gain uni-quementqui agitsurle denominateurdela bouclefermeeet doncsur les poles.Au dela de la stabilite, l’objectifestd’imposerdesdynamiques.La premierespecificationimposeque les polesdu systemeboucle soienttous demoduleinferieura l’unit e, la seconderevient a imposerdescontraintesplus strictessur cesmemespoles (voirchapitre2 et la notiondemodes).

4.2.1 Crit eresdeJury et Routh

Les criteresde Jury et deRouthabordesdansle cha-pitre 3 permettentde donnerdesconditionspour la sta-bilit e dessystemesa la donneedescoefficients du po-lynome caracteristique.Des lors en appliquantcescri-teresaupolynomeD z.) KN z il estpossibled’ecrirelesconditionssurK pourquela bouclefermeesoitstable.

UneapplicationducriteredeJurydanscetobjectif estdonneedansl’exemple3.7.Deplusenchoisissant:

D z z3 / 0 X 75z / 0 X 25 N z¬ z

33

34 CHAPITRE4. SYNTHESE: GAIN DE RETROACTION

l’exemple3.6montreuneapplicationducriteredeRouthpourla synthesedugainderetroaction.

4.2.2 Lieu d’Evans

Definition 4.1 Le lieu d’Evansd’un systemeG zN zbP D z se definit commele lieu desracinesdu po-lynomeD z!) KN z pour touteslesvaleursdeK ®

.

Pardefinitionle lieud’Evansrepresentel’ensembledesconfigurationspossiblespour lespolesde la bouclefer-mee representee sur la figure 4.2. Nous choisissonsdedonneruniquementquelquesresultatsdeconstructiondulieu d’Evanssansen detailler les preuves.Le plus sou-vent le lieu d’Evansestde nos jours trace ł’aide de lo-gicielscommeparexempleMATLAB. Dansla CONTROL

TOOLBOX la fonctionquipermetdetracerle lieud’Evansestrlocus.

Notations:

Le denominateurdeG z estdonnepar

D zH z / p1 - z / p2 R`Z`Y` z / pn ou les pi sontlesn polesdu systeme.Le numerateurdeG z donnepar

N z Kg z / z1 - z / z2 R`Z`Y` z / zmou les zi sont lesm zerosdu systemeet Kg estun gain.Pourchaquepoleet zeroonnote:

θi zV arg z / pi φi zV arg z / zi lesarguments(ou phases)desvecteursde ¯ reliant res-pectivementlespoleset leszerosaupointz.

MethodedeconstructionpourKg 0

Le lieu d’Evans de G z est constitue de n courbescontinuesdansle plan complexe ¯ appeleesegalementbranchesdu lieu d’Evans.Globalementle lieu d’Evansestsymetriqueparrapporta l’axereel.

– Lespointsdedepartdupieud’Evanssontlesn polespi representesparunecroix.

– Le lieud’Evanscomportembranchesquiconvergentversleszeroszi quandK devientgrand.

– Le lieu d’Evanscomporten / m branchesqui di-vergentasymptotiquementversdesdroitescaracte-riseesparunpointd’intersectionreelunique:

σa 1n / m

: n

∑i 1

pi / m

∑i 1

zi ?etqui font desanglesavecl’axe reeltelsque:

Φa T πn / m

6 2πn / m

8

– Uneportiondel’axe reelappartientaulieu d’Evanssi le nombrede poleset zerosreelsa sadroite estimpaire.

– Les pointsde rencontreet d’eclatementsontparmilessolutionsreellesdel’ equation:

dD zdz

N zR/ dN zdz

D zV 0

Le lieu d’Evansadmetunetangenteverticaleencespoints.

– Les points d’intersectionavec le cercleunite sontobtenuscommesolutions k D θ de l’ equationcom-plexe:

D ejθ *) KN ejθ 0

– Au departd’un pole complexe pk, le lieu d’Evansaunetangented’angle:

π / ∑i ° k

θi pk *) ∑i

φi pk – A l’arriveesurunzerocomplexe zk, le lieu d’Evans

a unetangented’angle:

π / ∑i ° k

φi zk *) ∑i

θi zk MethodedeconstructionpourKg 1 0

Dansce casla constructionest quasimentidentique.Lesdifferencessontlessuivantes:

– Anglesdesasymptotesauxbranchesinfinies:

Φa T 0 6 2πn / m

8– Angleaudepartd’un polecomplexe pk :/ ∑

i ° k

θi pk *) ∑i

φi pk – Angled’arriveesurunzerocomplexe zk :/ ∑

i ° k

φi zk *) ∑i

θi zk Exemple4.1 Reprenonsl’exemple3.6qui corresponda l’analysedela stabilitedusysteme

G z zz3 / 0 X 75z / 0 X 25

boucleparuneretroactionK.

Le lieu d’Evansdecesystemeesttracesurlafigure4.3ainsiquesurla figure4.4(trace obtenuavecMatlab).

4.2. CALCUL DU GAIN DE RETROACTION 35

FIG. 4.3– Lieud’EvansdeG z zz3 # 0f 75z# 0f 25

Le lieu d’Evansa lescaracteristiquessuivantes:

– Il y aautantdebranchesquelesystemeG z contientde poles.Dansl’exemplele systemeestd’ordre 3,lestrois branchesrepresententlesvaleursprisesparlestroispolesdusystemebouclequandK croit de0a ) ∞.

– le lieu d’Evansest symetriquepar rapport a l’axereel.

– Chacunedes branchespart (K 0) d’un pole dusystemeen boucleouverte (polesde G z ) et tend(K

) ∞) soitversunzerodela boucleouverte(ra-cinedu numerateurdeG z ) soit versl’infini. Dansl’exemple,l’un despolesdela bouclefermeeestsi-tueenfonctiondela valeurdeK entrele pointz 1(poledela boucleouverte)et le pointz 0 (zerodela boucleouverte),lesdeuxautrespolessontcom-plexes conjugues et sont situes en z / 0 X 5 j0pour K 0 (polesde la boucleouverte)et suiventune asymptoted’angle de π P 2 quandK prenddegrandesvaleurs.

A partir de ce trace on notequequ’a partir de la va-leur K 1 X 6875lespolesdela bouclefermeesortentdudisqueunite.Onendeduitqueabouclefermeeeststableuniquementsi 0 1 K 1 1 X 6875.

Enplusdecesinformations,le lieu d’Evanspermetdeconclurequequellequesoit la valeurdeK le systemeest

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real Axis

Imag

Axi

s

FIG. 4.4– Lieud’EvansobtenuavecMatlab

composededeuxmode.L’un reeldevientdeplusenplusrapidea mesureque K est grand(le pole se rapprochedel’origine). Le secondmodequanda lui estdeplusenplusoscillantet deplusenplus lent a mesurequeK estpris grand(partie imaginairedu pole et le moduleaug-mentent).

Root Locus

Real Axis

Ima

g A

xis

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.12.2

1.881.57

1.26 System: untitled1 Gain: 0.848 Pole: −0.292 + 0.592i Damping: 0.201 Overshoot (%): 52.5 Frequency (rad/sec): 2.07

FIG. 4.5– Zoomsur le lieu d’Evanset choixd’un gain

De cesconstations,il estpossibledefaire unchoix deK envued’assurerunerapiditeglobaleausystemeetevi-terdetropgrandesoscillations(voir section2.3.3pourladefinition decesproprietes).Si l’objectif du choix deKestd’avoir unamortissementdeζ 0 X 2 il estpossiblede


choisirdirectementsurla courbela valeurdeK associee.Ceciestfait sur le zoomdela figure4.5.Le point selec-tionneestsur la courbeiso-amortissementζ 0 X 2. Mat-lab renvoie la valeurdu gainK 0 X 848correspondantetindiquequela pulsationproprenonamortieassocieeestde 2 X 07rad P s (en ayantfait le choix de T 1s pour laperiodedesechantillons). GExemple4.2 Reprenonsl’exemple3.7.La stabilitedumodeleechantillonneboucledependduchoixdel’ echan-tillonnageT . Ce resultatseretrouve quandon traceleslieu d’Evansdesdeuxsystemes

G z$ 6 B0 p 1p p ) 1 8

obtenusaveclesdeuxechantillonnageT 1setT 10s.

T=10s

Real Axis

Imag

Axi

s

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1T=1s

Real Axis

Imag

Axi

s

−2 −1 0 1

−1

−0.5

0

0.5

1

FIG. 4.6– Lieud’EvanspourdifferentesvaleursdeT

Les courbes4.6 montrentque le choix de la perioded’echantillonnagemodifie fortementle type decompor-tementatteignableparla bouclefermee. G4.3 Calcul du gaindepr e-commande

Un gainde retroactionK etantchoisi, le gainde pre-commandeKc estutilise pour regler le gain statiquedusystemeenreponsea la consigne.

Definition 4.2 Le gain statiqued’un systemeestla va-leur a l’infini de la sortie du systemeen reponsea unechelon unite. Il caracterise egalementle rapport entrel’entreeet la sortiequandle systemeesta l’ equilibre.

Theoreme4.1 Legainstatiqued’un systemedecrit parsafonctiondetransfertF z estdonnepar:

Fs limzA 1

F z

Preuve Soit l’ echelonunite U z@ zz# 1, la reponse

dusystemeacetechelonestY z¬ F z U z . D’apresletheoremedela valeurfinalela sortiedusystemeconvergevers:

y∞ limzA 1

1 / z# 1 Y z. limzA 1

1 / z# 1 F z U z. limzA 1

F zCequi d’apresla definitioncorrespondaugainstatique.

xCommenousl’avonsindique,legaindepre-commande

permetderegler le gainstatiquedela boucleenreponsea la consigne.Eneffet, la reponsedusystemeregulepourunsignaldeconsigneyc s’ecrit:

Y zYc z KcKG z

1 ) KG zet songainstatiqueestdonnepar(la limite quandz tendvers1 estatteintedeslors quele systemeestasymptoti-quementstable):

Fs KcKG 11 ) KG 1

Onsouhaitegeneralementreglercegainstatiqueal’unit e.Ainsi, quandl’utilisateurenvoie uneconsigneconstante,yck yco, le systeme,stablepar le choix deK, converge

versla valeurdeconsigne,ykk A ∞/

yco.

Pourassurerungainstatiqueunitaireonprend:

Kc 1 ) KG 1KG 1

4.4 Exercices

Exercice4.1

On considere le systemede l’exercice1.1 de la page11. Il s’agit de l’ evolution du chepteld’un eleveur debovins ou l’action de commandeconsistea acheterouvendredesvacheset la mesureest la sommetotale debovins.Onrappellequele modeleestdonnepar:

G z 2 X 5z2 ) z / 12 X 5z3 / 1 X 75z2 / 2z ) 0 X 4

1. Etudierla stabilitedusystemeenboucleouverte.

2. On considere une loi de commandestatiquetelleque:

uk K Kcyc / yk Etudier la stabilite et le comportementen regimetransitoirede ce systeme en fonction de K. Illus-trer le comportementdecesystemepourdesvaleursremarquablesde K en considerantque la consignefixeepar l’ eleveur estd’avoir un cheptelde trentevaches(yc 30).

4.4. EXERCICES 37

Solution

1. LespolesdeG z sont:

λ1 H/ 0 X 72 λ2 1 X 24 λ3 0 X 18

Le systemeestdoncinstable.Il possededeuxmodesstableset un modeinstableaperiodique(λ2 1).Ceci signifie que toute initialisation non nulle dutroupeauconduit a une augmentationtendantversl’infini dela population.

2. Le trace du lieu d’Evansdu systemeestdonne surla figure 4.7. Il permetde voir que la stabilite estatteinteuniquementpour1 X 86 K 0 X 33.Onpeutalorsdistinguerplusieurstypesde choix de K quiassurela stabilite:

Root Locus

Real Axis

Ima

g A

xis

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

System: G Gain: 0.322

Pole: 1.01 Damping: −1

Overshoot (%): Inf Frequency (rad/sec): 0.0113

System: G Gain: 1.86 Pole: −0.874 − 0.464i Damping: 0.00375 Overshoot (%): 98.8 Frequency (rad/sec): 2.65

FIG. 4.7– Lieud’Evans

a - Si K estprisassezprochede0 X 33.Alors lestroispolessontreelsetstableset l’un despolesestoscil-lant carnegatif. Cequi dominedanscecasc’est lemodeassocie aupoleprochez 1. Il estdemoduleeleve cequi conduitaunsystemeboucle treslent.

A titre d’illustration, la reponsedu systemea l’ etatinitial x0 estrepresenteesur la figure4.8 avec K 0 X 4.Le traceestfait avecunchoixdeKc 0 X 15afind’assurerun gainstatiqueunitaireet lespolesdelabouclefermeesont:

λ1 0 X 96 λ2 H/ 0 X 66 λ3 0

Ce choix de regulation ne convient pasa l’ eleveurqui ne souhaitepas attendre100 anneesavant deconstituersontroupeau.

Pouraccelererle processusonpeutprendreK 0 X 7.CelaimpliquedeprendreKc 0 X 5143etlespolesde

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

5

10

15

20

25

30K=0.4

annees (sec)

Nom

bre

de v

ache

s

FIG. 4.8– Evolutiondu troupeaupourK 0 X 4la bouclefermeesontalors:

λ1 0 X 82 λ2 / 0 X 55 λ3 H/ 0 X 27

L’ evolution du troupeauestplus rapide(voir figure4.9).

0 5 10 15 20 250

5

10

15

20

25

30

K=0.7, Kc=0.5143

annees (sec)

Nom

bre

de v

ache

s

FIG. 4.9– Evolutiondu troupeaupourK 0 X 7b - Si K estpris superieur a 0 X 76 (valeurpour la-quelle un desmodesdevient complexe). Alors onpeuts’attendreadesphenomenesoscillantmaiseven-tuellementavecuneconvergencedunombredebetesassezrapide.

A titre d’illustration, la reponsedu systemea l’ etatinitial x0 estrepresenteesur la figure4.10avecK 1. Le trace estfait avec un choix deKc 0 X 66 afind’assurerun gainstatiqueunitaireet lespolesdelabouclefermeesont:

λ1 0 X 72 λ2e 3 / 0 X 51 j0 X 27

La figure4.11montreplusendetail l’ evolution ex-actedunombredevachesparcategories.Onconstateuneconvergencerapideversunequilibretel qu’il y aenviron 12vachesdemoinsd’un anet12vachesde


0 5 10 150

5

10

15

20

25

30

K=1, Kc=0.66

annees (sec)

Nom

bre

de v

ache

s

FIG. 4.10– Evolutiondu troupeaupourK 1

0

5

10

Mo

ins d

e 1

an

0

5

10

2 a

ns

0

10

20

plu

s d

e 3

an

s

0 2 4 6 8 10 12

−10

0

10

20

ach

ats

K=1, Kc=0.66

annees

No

mb

re d

e v

ach

es

FIG. 4.11– Evolutiondu troupeaupourK 1

deuxans.Le nombredevachesde trois anset plusconvergevers6 et l’ eleveurvendpresde10 vacheschaqueannee. La strategie sembleetre de consti-tuerdesla premiereanneeuntroupeaude20vachesageeset ensuitetres vite l’ eleveur finit par vendrelesvachesenexces.

c - Si K estprisprochede1 X 86.Alors le systemeestprochede l’instabilit e et le modedominantestunmodeoscillant.

A titre d’illustration, la reponsedu systemea l’ etatinitial x0 estrepresenteesur la figure4.12avecK 1 X 86.Le trace estfait avecunchoixdeKc 0 X 8172afin d’assurerun gain statiqueunitaireet les polesdela bouclefermeesont:

λ1 0 X 59 λ2e 3 / 0 X 88 j0 X 46

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

K=1.86, Kc=0.8172

annees

Nom

bre

de v

ache

s

FIG. 4.12– EvolutiondutroupeauK 1 X 86

Cechoix deregulationneconvient evidementpasal’ eleveur.

Exercice4.2

Onconsiderele procededecritparla fonctiondetrans-fert continue:

G p 1p2 ) 1

1. Etudier la stabilite et le comportementen regimetransitoireduprocededefonctiondetransfertG p .

2. Calculerla fonctiondetransfertG z deceprocedeechantillonneselonle schemadela figure4.13,pouruneperioded’echantillonnageT π P 2s.

TB0 p y t ykuk

Procedeu t


3. Ce systemeestboucle par un retourunitaireselonle schemade la figure 4.14.Etudiersa stabilite enfonctiondeK 0.

+ ykykc / K G zFIG. 4.14– Systemeboucle

4.4. EXERCICES 39

Solution

1. Lesmodesdusystemesontp j . Le systemeestdoncenlimite destabiliteoscillatoireavecunepul-sationpropreω 1rad P s.

2. La fonctiondetransfertdusystemeechantillonneestdonneepar:

G z~ z# 1z s Gc pd

pt z# 1

z s 1pc p2 1d t z# 1

z s 1p / p

p2 1t z# 1

z zz# 1 / z2

z2 1 z 1

z2 1

3. L’applicationducriteredeJuryconduita:/ 1 1 K 1 0

quiestincompatibleaveclaconditionK 0.Lesys-temeboucleavecK 0 estdonctoujoursinstable.

Chapitre5

Synthese: Transpositiondesmethodesanalogiques

La synthesede correcteursnumeriquespar extensiondecorrecteursanalogiquesestuneapprochecourammentutiliseedansle domaineindustriel.Celas’explique parle fait queles techniquesd’etudedessystemescontinussont generalementbien maıtriseeset que les specifica-tionssontplusfacilementinterpretablessurdesmodelescontinusquesurdesmodelesechantillonnes.

On s’interessed’abord a desmethodesrelevant de ladiscretisationdirected’un correcteuranalogiquecalculea partir du modelecontinudu procede a commander. Onexamineensuitedesmethodesdesynthesedanslesquellesle correcteurestconcu a partir d’un modele prenantencomptedemaniereapprocheel’existencedubloqueurenamontdu procede. On examineensuitede manierede-taill eela discretisationdu correcteuranalogiquele plusrepandu,le regulateurP.I.D.

5.1 Discretisation

Cetteapprochesupposequel’on ait realise la synthesed’un correcteuranalogiqueparlesmethodesd’etudedessystemescontinus.On recherchealorsunalgorithmenu-meriquequi serapprochele pluspossibledu correcteuranalogique,en faisantdesapproximationsde la variablede Laplace p, ou sur les poles et zeros de la fonctionde transfertdu correcteuranalogique.Si on raisonneentermesde fonctionsde transfert,on cherchea obtenir lafonctiondetransfertR z d’un correcteurnumeriqueparapproximationdecelled’un correcteuranalogiqueR p ,commeillustresurla figure5.1.

5.1.1 Approximationsde la variable p

Le principede l’approcheconsistea deduireun cor-recteurRd z du correcteurRc p enchoisissantuneap-proximationdela variablep, selonle schemadela figure5.2.

¥ ¦uk

¥ ¦yck

T

yc t |G p|

B0 p| G p| y t | yk

y t |discretisation

Rd z|Rc p|

FIG. 5.1– Discretisationd’un correcteuranalogique

ukε t εku t p f zRc p Rd z

FIG. 5.2– Approximationdela variable p

Lesapproximationslesplusutiliseessontlessuivantes:

discretisation avant : p z# 1T

Elle resultedel’approximationdeladeriveed’unefonc-tion entredeuxinstantsd’echantillonnageparla methoded’Euler: # 1 pX p 4 dx t

dt ± x t ) T R/ x t T

² # 1 6 z / 1T

X z 8discretisation arri ere: p z# 1

zT

Elle resultede l’approximationsuivantede la derivee

41

42 CHAPITRE5. SYNTHESE: TRANSPOSITIONDESMETHODESANALOGIQUES

d’unefonctionentredeuxinstantsd’echantillonnage: # 1 pX p 4 dx t dt ± x t R/ x t / T

Tu # 1 6 z / 1

zTX z8

approximation deTustin : p 2T

z# 1z 1

Cetteapproximation,connueegalementsousle nomde transformationbilineaire,resultede l’approximationde l’int egrationnumeriquepar la methodedestrapezes.Eneffet, soit:

y t " x t dt / Y p 1

pX p

Par approximationentredeuxinstantsd’echantillonnage,il vient:

yk y kT yk # 1 ) xk l 1 xk

2 T³ 1 / z# 1 Y z T2 1 ) z# 1 X z

soit la formule:

Y z T2

z ) 1z / 1

X zUn inconvenientdesapprochespar approximationde

la variablede Laplacep est qu’elles peuvent modifierl’ echelledespulsationsdela reponsefrequentielleducor-recteurquel’on a discretise,cequi peutetregenantdansle casd’un filtre passe-bandeparexemple.Cet effet estconnusousle nomdedistorsionfrequentielle(frequencywarping).

Examinonssesconsequencesdansle casdel’approxi-mationdeTustin.Soit un correcteuranalogiquedefonc-tion de transfertRc p . Sareponsefrequentielleestde-termineeparla fonctioncomplexe Rc jω . Le regulateurdiscretobtenupar la methodedeTustin a pour fonctiondetransfert

Rd z Rc 2T

z / 1z ) 1

Enutilisantla relationz eTp e jTω (voir section1.4.3),sa reponsefrequentielleest determinee par la fonctioncomplexe:

Rd ´ ejTω µ¶ Rc ´ 2T

e jTω · 1e jTω ¸ 1

µ¶ Rc ´ j2T

tgωT2

µ¹¶ Rc ´ jω µManifestementla discretisationinduit deserreurssur lecomportementfrequentiel.Cecipeutetrecorrige auvoi-sinaged’une frequenceparticuliere.On peut mettreenœuvreuneadaptationpourquele gainenamplitudedesdeuxcorrecteurs(continuet equivalentdiscret)soit iden-tique a unepulsationparticuliereωc choisiepar l’utili-sateur, parexemplela pulsationdecoupureducorrecteur

continu.Eneffet,si l’on choisitcommeapproximationdeTustinadaptee(frequency prewarping):

p ¶ ωc

tgωcT2

z · 1z ¸ 1

il vient,pourla pulsationωc :

Rd ´ ejTωc µ¶ Rc ´ jωc

tgωcT2

tgωcT

2µ¶ Rc ´ jωc

µLes deux correcteurssont donc bien frequentiellementequivalentspourla pulsationωc.

5.1.2 Adaptation despoleset deszeros

Cetteapproche(matchedpole-zeromethod)consistea appliquerla transformationz ¶ eT p aux poleset auxzerosde la fonction de transfertdu correcteurcontinu,avec un facteurmultiplicatif permettantde conserver legainauxbassesfrequencesc’est-a-direpour p º 0 oubienz º 1.

Par exemple,le correcteuranalogique:

Rc ´ pµ¶ p ¸ ap ¸ b

estapproche parle correcteurdiscret:

Rd ´ zµV¶ ab

1 · e» bT

1 · e» aT

z · e» aT

z · e» bT

Une precautiona prendrelorsquele degre du nume-rateurest inferieur a celui du denominateur, consisteaintroduireaunumerateurducorrecteurdiscretdestermes´ z ¸ 1µ pourconserver ungainnul auxhautesfrequencesenretablissantdesdegresidentiques.Cecisejustifie parle fait quele theoremede Shannonlimite la pulsationaω ¶ π ¼ T, soit z ¶ ejTω ¶ · 1. La valeurz ¶ · 1 joueendiscretle memerolequeω ¶ ∞ encontinu.

Ainsi, le correcteuranalogique:

Rc ´ pµ¶ p ¸ a´ p ¸ bµ ´ p ¸ cµestapproche parle correcteurdiscret:

a2bc

´ 1 · e» bT µ ´ 1 · e» cT µ1 · e» aT

´ z ¸ 1µ ´ z · e» aT µ´ z · e» bT µ ´ z · e» cT µ5.1.3 Application

Position du probleme

On considerele procede represente par la fonctiondetransfert:

G ´ pµ¶ 5p ´ p ¸ 1µ

5.1. DISCRETISATION 43

Le gain de boucleayantete fixe a 5 pour satisfairedesconditionsde precision.On veut faire la synthesed’unreseaucorrecteurpermettantd’obtenir pour le systemeboucleunemargedephaseφm

¶ 45o.

10-1

100

101

-50

0

50

Frequency (rad/sec)

Gai

n dB

10-1

100

101

-60

-90

-120

-150

-180

Frequency (rad/sec)

Pha

se d

eg

FIG. 5.3– ReponsefrequentielledeG ´ pµA partirdescourbesdereponseenfrequence(figure5.3)

dansle plandeBodedela fonctiondetransfertG ´ pµ , ondetermineun reseaucorrecteurparavancedephase:

Rc ´ pµ¶ 1 ¸ 0 ½ 53p1 ¸ 0 ½ 21p

10-1

100

101

102

-100

-50

0

50

Frequency (rad/sec)

Gai

n dB

10-1

100

101

102

-60

-90

-120

-150

-180

Frequency (rad/sec)

Pha

se d

eg

FIG. 5.4– ReponsefrequentielledeRc ´ pµ G ´ pµLescourbesdereponseenfrequencedeRc ´ pµ G ´ pµ (fi-

gure5.4) permettentde verifier quel’on obtientbien lamargedephasesouhaiteeφm

¶ 45o.

La commandeen sortiedu correcteurRc ´ pµ et la re-ponseen bouclefermee du systemeainsi corrige, pouruneconsigneenechelonunitaire,sontdonneesfigure5.5.

Ondesireetudierle comportementdecesystemedansle casd’un regulateurnumeriquecalcule par discretisa-tion duregulateuranalogiqueprecedent,pouruneperioded’echantillonnageT ¶ 0 ½ 3s.

Calcul descorrecteurs

Les correcteurs(sousforme de fonctionsde transfertenz) obtenusparlesdifferentesapproximationssontdon-nesci-apres:

– discretisationsdirectesdep.

Avec p ¶ z» 1T , il vient:

Rd ´ zµ¶ 0 ½ 53z · 0 ½ 230 ½ 21z ¸ 0 ½ 09

Avec p ¶ z» 1zT , il vient:

Rd ´ zµ¶ 0 ½ 83z · 0 ½ 530 ½ 51z · 0 ½ 21

– methodedeTustin

Rd ´ zµ¶ 1 ½ 89z · 1 ½ 06z · 0 ½ 17

– methodede Tustin avec elimination de distorsionfrequentielle(prewarp,enprenantwc

¶ 5rd ¼ s).

Rd ´ zµ¶ 1 ½ 81z · 0 ½ 87z · 0 ½ 06

– methodedeconversiondespoleset deszeros(mat-chedpole-zeromethod).

Rd ´ zµ¶ 1 ½ 76z · 0 ½ 99z · 0 ½ 24

Etude du systemeboucleaveccorrecteur numerique

Lesreponsesdessystemesobtenuespourlesdifferentscorrecteursnumeriquessontdonneessur lesfiguressui-vantes:

– discretisationsdirectesde p : figures5.6et 5.7.

– methodedeTustin: figure5.8.

– methodede Tustin avec elimination de distorsionfrequentielle(prewarp),enprenantwc ¶ 5rd ¼ s: fi-gure5.9.

– methodedeconversiondespoleset deszeros(mat-chedpole-zeromethod): figure5.10.

On notequelesdifferentesmethodesconduisenta descorrecteursrelativementsimilairesmemesidansl’ensembleles systemescorriges par des regulateursdiscretssontpluslentset plusoscillantsqueavecRc ´ pµ .


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1

0

1

2

3

Time (secs)

Am

plitu

de

Commande du systeme

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

Time (secs)

Am

plitu

de

Sortie du systeme

FIG. 5.5– CommandeetreponseindicielledeRc ´ pµ G ´ pµ

0 1 2 3 4 5 6-1

0

1

2

3

Temps

Am

plitu

de

Commande du systeme

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

Temps

Am

plitu

de

Sortie du systeme

FIG. 5.6– Reponses(correcteurdiscretiseavecp ¶ z» 1T )

0 1 2 3 4 5 6-2

-1

0

1

2

Temps

Am

plitu

de

Commande du systeme

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

Temps

Am

plitu

de

Sortie du systeme

FIG. 5.7– Reponses(correcteurdiscretiseavecp ¶ z» 1zT )

0 1 2 3 4 5 6-2

-1

0

1

2

Temps

Am

plitu

de

Commande du systeme

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

Temps

Am

plitu

de

Sortie du systeme

FIG. 5.8– Reponses(methodedeTustin)

0 1 2 3 4 5 6-1

0

1

2

Temps

Am

plitu

deCommande du systeme

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

Temps

Am

plitu

de

Sortie du systeme

FIG. 5.9– Reponses(methodedeTustinavec“pr ewarp”)

0 1 2 3 4 5 6-2

-1

0

1

2

Temps

Am

plitu

de

Commande du systeme

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

Temps

Am

plitu

de

Sortie du systeme

FIG. 5.10– Reponses(matchedpole-zero method)

5.2. PRISEEN COMPTEDU BLOQUEURDANS LA SYNTHESE 45

5.2 Priseencomptedu bloqueur dansla synthese

Lesmethodespresenteesdansle paragrapheprecedentneprennentpasencomptela presencedansla boucledubloqueurd’ordrezero.Si l’on reprendla logiquedela fi-gure5.1,on notequ’ellesupposequeRd ´ zµ serauneap-proximationdeRc ´ pµ et devrait doncsatisfairela bouclerealiseeavec un operateurGd ´ zµ dont le comportementseraittresprochedeG ´ pµ . Danscettelogiquecelarevienta ignorerle comportementdubloqueur, B0 ´ pµ . Cecipeutdevenir tresprejudiciablesi l’ echantillonnageT et elevecardanscecasle comportementde ¾¿ Bo ´ pµ G ´ pµ À sedis-tinguefortementdecelui deG ´ pµ .

Nouspresentonsci-apresdesmethodesprenantencomptel’existencedu bloqueurd’ordrezero, demaniereexacteouapprochee.

5.2.1 Approximation du bloqueur par un re-tard pur eÁ T p

2

Dansce cas,la syntheseestrealiseecommedanslesmethodesduparagraphe5.1,maisla fonctiondetransfertduprocede estchoisieegalea:

e» T p2 G ´ pµ

Cequi revient a faire l’approximationle bloquerd’ordrezerocommeun retardpur d’unedemieperioded’echan-tillonnageet detenir comptedecetteapproximationlorsducalculinitial deRc ´ pµ .

Consideronsle procededela section5.1.3etla perioded’echantillonnage:

G ´ pµ¶ 5p ´ p ¸ 1µ T ¶ 0 ½ 3s

Lescourbesdereponseenfrequencedela fonctiondetransfert

e» T p2 G ´ pµ

sontrepresenteessur la figure 5.11.Sur la memefiguresontrepresenteesegalementles courbesde reponsefre-quentiellede G ´ pµ . On remarqueraque le gain en am-plitudeestidentique,maisquele retardpur introduit undephasageaux hautesfrequences(le dephasagedivergepourω croissant).

On calculepour e» T p2 G ´ pµ un reseaucorrecteurpar

avancedephase:

Rc ´ pµ¶ 1 ¸ 0 ½ 6p1 ¸ 0 ½ 1p

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

Mag

nitu

de (

dB)

−40

−20

0

20

40

10−1

100

101

−270

−225

−180

−135

−90

FIG. 5.11– DiagrammedeBodedeG ´ pµ et e» T p2 G ´ pµ

qui conduitaunemargedephasedeφm¶ 35o. Par la me-

thodedeTustin,la discretisationdececorrecteurdonne:

Rd ´ zµV¶ 3z · 1 ½ 8z ¸ 0 ½ 2

La reponsedu systemeechantillonneutilisantcecorrec-teurestdonneefigure5.12.

0 1 2 3 4 5 6-2

-1

0

1

2

3

Temps

Am

plitu

de

Commande du systeme

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

Temps

Am

plitu

de

Sortie du systeme

FIG. 5.12– Reponses(correcteurtenantcomptedu blo-queur)

5.2.2 Transformation en w

Cetteapprocheesttresdifferentedesprecedentes.Au-cuneapproximationn’est faite a aucunmoment.L’id eeestde faire la synthesea partir du modele exact G ´ zµ¶¾¿ B0 ´ pµ G ´ pµ À . Cependant,la syntheseutilise les tech-niquesdessystemescontinuau traversde l’astucepure-mentmathematiquede la transformationenw (voir sec-tion 3.4egalement).


On commenceparcalculerle modele discretde l’en-semblebloqueur+ procede:

F ´ zµ¶ ¾¿ B0 ´ pµ G ´ pµ ÀOnutiliseensuitela transformationenw :

z ¶ 1 ¸ w1 · w Â º w ¶ z · 1

z ¸ 1

pourdefinirensuiteunefonctiondetransfertdetypecontinu:

F ´ zµ · º Fc ´ wµ¶ F Ã 1 ¸ w1 · w Ä

La transformationmathematiquefait que si le systemecontinuFc ´ wµ eststable,alorsF ´ zµ eststable.CependantFc ´ wµ n’a pasd’autresignificationphysique.

LasynthesedureseaucorrecteurHc ´ wµ s’effectuealorsselonune methodeclassiquede synthesedessystemescontinusappliqueea Fc ´ wµ . De cecorrecteuril vient parla transformationinverseen w la fonction de transfertH ´ zµ ducorrecteurnumeriquea utiliser:

H ´ zµ¶ Hc Ã z · 1z ¸ 1 Ä

Appliquonscetteapprocheauproblemeduparagraphe5.1.3.On calcule le modele discretde l’ensembleblo-queur+ procede:

F ´ zµ¶ ¾¿ B0 ´ pµ G ´ pµ À.¶ 0 ½ 204z ¸ 0 ½ 185z2 · 1 ½ 74z ¸ 0 ½ 74

Onutiliseensuitela transformationenw pourdefinir unefonctiondetransfertfictivedetypecontinu:

Fc ´ wµ¶ F Ã 1 ¸ w1 · w Ä ¶ · 0 ½ 019w2 · 0 ½ 37w ¸ 0 ½ 389

3 ½ 58w2 ¸ 0 ½ 52w

On effectuela synthesed’un reseaucorrecteura avancede phaseHc ´ wµ a partir descourbesde reponseen fre-quencedeFc ´ wµ representeesfigure5.13.

Le choixd’un reseaucorrecteur:

Hc ´ wµ¶ 1 ¸ 3 ½ 73w1 ¸ 0 ½ 74w

conduita unemarge dephasede φm¶ 35o. La transfor-

mationinverseenw permetd’obtenirla fonctiondetrans-fert H ´ zµ ducorrecteurnumeriquea utiliser:

H ´ zµ¶ Hc Ã z · 1z ¸ 1 Ä ¶ 4 ½ 73z · 2 ½ 73

1 ½ 74z ¸ 0 ½ 26

La reponsedu systemeechantillonneutilisantcecorrec-teurestdonneefigure5.14.

10-2

10-1

100

101

102

-50

0

50

Frequency (rad/sec)

Gai

n dB

10-2

10-1

100

101

102

-90

-180

-270

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se d

eg

FIG. 5.13– DiagrammedeBodedeFc ´ wµ0 1 2 3 4 5 6

-2

-1

0

1

2

3

Temps

Am

plitu

de

Commande du systeme

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

Temps

Am

plitu

de

Sortie du systeme

FIG. 5.14– Systemecorrigepar H ´ zµ5.3 RegulateurP.I.D. numerique

Le regulateurP.I.D. est tresrepandudansle domaineindustriel. Il constituel’outil standardde la commandedenombreuxprocedesindustriels.Concuinitialemententechnologieanalogique(hydraulique,pneumatique,elec-tronique,...),il a etetransposeennumeriquepourpouvoiretreimplantesurcalculateur. Cettetranspositionn’estriend’autrequel’applicationdela methodedediscretisationdela section5.1.

5.3.1 Rappelssur le r egulateur P.I.D. ana-logique

La formulationdebasedu regulateurP.I.D. estdonneeparla relationsuivante:

u ´ t µC¶ kp Å ε ´ t µ ¸ 1τi Æ t

0 ε ´ t µ dt ¸ τddε Ç t È

dt ÉÊJËU ´ pµ¶ kp Å 1 ¸ 1

τi p¸ τdpÉ¬Ì ´ pµ

5.3. REGULATEUR P.I.D. NUMERIQUE 47

ou ε representel’ ecartentrele signaldeconsigneyc et lesignaldesortiemesure duprocede y.

En pratique,desadaptationssontrealiseesa partir dela formulationdebase.

Adaptations de la partie derivee.

L’effet derivepur nepeutpasetreimplemente carnonrealisablephysiquement.Deplus,l’effetderivateurappli-queadehautesfrequencesconduiraitauneamplificationtrop importantedesbruits de mesure.En approchantletermeτdp parla fonctiondetransfert:

τdp

1 ¸ τd

Np

on limite a N le gain aux hautesfrequencesde la par-tie derivee.LesvaleursdeN sontgeneralementchoisiesdansla fourchette3-20,voir N ¶ 10pardefaut.

Enregulation,oneviteaussisouventdederiverle termedeconsignepoureviterdesvariationsbrusquesdelacom-mandelors dediscontinuitessurla consigne.

Enconclusion,l’effet derive peutetrepris suivantl’undestroismodelessuivants:

D ´ pµ¶ kpτdpÌ ´ pµÊlimitationssurleshautesfrequences

D ´ pµ¶ kpτd p

1Í τdN p Ì ´ pµÊ

limitationssurla consigne

D ´ pµ¶ · kpτd p

1Í τdN p

Y ´ pµAdaptations de la partie proportionnelle.

Pourla memeraisonquepour l’effet derive, on peutetreamene a n’injecterqu’unepartiedela consignedansle termeproportionnel.La precisionestmalgretoutassu-reegraceautermeintegral.

L’effetproportionnelpeutetreprissuivantl’un desdeuxmodelessuivants:

P ´ pµ¶ kp Ì ´ pµÊlimitationssur la consigne

P ´ pµ¶ kp ´ bYc ´ pµ · Y ´ pµbµavec0 Î b Î 1.

Adaptations de la partie int egrale.

Lapartieintegralepeutentraınerdeseffetsindesirableslorsque,enraisond’un signald’erreurtrop grand,l’int e-grateursature.L’actionneurrestealorsen butee,memelorsquela sortieduprocedevarie.Uneapprochepossiblepour eliminerceteffet consistea introduireun bouclagesur l’int egrateur, ramenantl’ ecartentrel’entreevk et la

sortie uk de la saturation(reelle ou simulee),avec uneconstanted’integrationτt . Le principedecetteadaptationestmontresur la figure5.15.

u¸ ¸ε

es

kpτdp

kp ¸ ¸·1τt

1p

v¸¸kp

τi

· y

FIG. 5.15– Adaptationdela partie integrale

La variablev, qui est la sortiedu P.I.D. classiquege-nerela commandeu a traversunesaturationsimulantlasaturationreellede l’actionneur. L’ ecartentreu et v estreboucle sur la partieintegraledu correcteur. Le schemadusystemepeutetreramene a celuidela figure5.16.¸

¸ ·v

u

es

P.I.D.

1pτt

FIG. 5.16– Schemaequivalent

Lorsquela commandesature,alorsu ¶ Cteestdetypeechelon.La bouclecomportantuneintegration,l’ ecartes

tendverszeroetv tenddoncversu ¶ Cte, entraınantunede-saturationdel’int egrateur.

Cecisetraduit,pourla partieintegraleducorrecteur, al’un desdeuxmodelessuivants:

I ´ pµ¶ kp1

τi p Ì ´ pµÊanti-derivedel’int egrateur

I ´ pµ¶ kp1

τi p Ì ´ pµ ¸ kp1

τt p ´ U ´ pµ · V ´ pµbµ5.3.2 Reglagedu P.I.D.

Le reglagedu regulateurP.I.D. passepar le choix desparametreskp, τi , τd, τt , b et N. Les parametresfonda-mentauxsontkp, τi etτd. Le parametreN estsouventfixe


a la valeurpardefautN ¶ 10. La constantede tempsτt

estchoisiedansla fourchette¿ 0 ½ 1τi Ï τiÀ .

Pourla determinationdesparametreskp, τi et τd, desmethodesexperimentalesd’analysedu procede ont eteproposeesparZiegleret Nichols(entreautres).

Methodedela reponseindicielle :

Pourunsystemecaracterise parun retardpurTr etunepentea en regime transitoire,lesvaleursdesparametressont:

Type kp τi τd

P 1¼ aTr

PI 0 ½ 9¼ aTr 3Tr

PID 1 ½ 2¼ aTr 2Tr 0 ½ 5Tr

Methodedel’oscillation limite enbouclefermee:

Onbouclele systemeavecunregulateurproportionneldegainK. Si Ko estle gainmettantle systemeenoscilla-tion limite deperiodeTo, lesvaleursdesparametressont:

Type kp τi τd

P 0 ½ 5Ko

PI 0 ½ 45Ko To ¼ 1 ½ 2PID 0 ½ 6Ko To ¼ 2 To ¼ 8

5.3.3 Equations d’un correcteur P.I.D. nu-merique

Ayantfait unchoixdemodelepourleP.I.D. etayantre-glelesparametresil estpossibled’appliquerceregulateurauxsystemeechantillonnesparla techniquedediscretisa-tion. Prenonsparexemplele choix d’uneapproximationarriere.

La partieproportionnelles’ecritdoncsuivantl’une desdeuxformules:

pk¶ kpεkÊ

limitationssurla consigne

pk¶ kp ´ byck

· ykµ

avec0 Î b Î 1.

La partieintegraleverifie l’une desdeuxequationsre-currentes:

ik¶ ik » 1

¸ kpTτi

εkÊanti-derivedel’int egrateur

ik¶ ik » 1

¸ kpTτi

εk¸ kpT

τt´ uk

· vkµ

La partiederiveeverifie l’une destrois equationsre-currentes:

dk¶ kpτd

T ´ εk· εk » 1

µÊlimitationssurleshautesfrequences

dk¶ τd

τd Í NT dk » 1¸ kpτdN

τd Í NT ´ εk· εk » 1

µÊlimitationssurla consigne

dk¶ τd

τd Í NT dk » 1· kpτdN

τd Í NT ´ yk· yk » 1

µL’algorithme general du P.I.D. numerique est donne

commela sommedestrois termes:

uk¶ pk

¸ ik ¸ dk

qui secalculententempsreel a la donneedu signalεk etdesvaleursprecedentes.

Adaptation predictivedel’err eur.

Lorsquelaperioded’echantillonnageesttroppetitepourquele tempsdecalculnepuisseplusetreneglige,l’hypo-thesedesynchronismeentreuk et εk peutconduirea desresultatserrones.OnmetalorsenœuvreunP.I.D. predic-teur. La valeurde εk estpreditepar la valeurεk obtenueparl’extrapolationlineaire:

εk· εk » 1

¶ εk » 1· εk » 2

c’estadire:εk

¶ 2εk » 1· εk » 2

qui estporteedansl’algorithmea la placedeεk.

5.3.4 Exemple d’application du P.I.D. nu-merique

Exemple5.1 A titre d’exemple,nouspresentonsici lesresultatsde simulationobtenusdansle casde la regula-tion parP.I. numeriqued’un procede continudefonctiondetransfert:

G ´ pµ¶ 1p ´ p ¸ 1µ

en presenced’un bloqueurd’ordre zero et avec unepe-riode d’echantillonnageT ¶ 1s. Les parametresdu cor-recteursontfixesa:

kp¶ 1 b ¶ 1 τi

¶ 5s τt¶ 5s

Lafigure5.17donnele resultat(commandeetsortie)dansle casou il n’y a pasde saturationde l’organedecom-mande.La figure5.18correspondaucasou l’amplitudede la commandeest saturee a 0,1 en valeur absolueetou il n’y a pasd’adaptationdu regulateur. La figure5.19montrel’effet ducorrecteurdesaturation. Ð

5.4. EXERCICES 49

0 5 10 15 20 25 30 35 40-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Temps

Am

plitu

de

Commande du systeme

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

2

Temps

Am

plitu

de

Sortie du systeme

FIG. 5.17– Reponseindicielledusystemeboucle

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

Temps

Am

plitu

de

Commande du systeme

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

2

Temps

Am

plitu

de

Sortie du systeme

FIG. 5.18– Reponseavecsaturationdela commande

5.4 Exercices

Exercice5.1

On considerele systemecontinudefonctiondetrans-fert :

G ´ pµ¶ 1p

1. Etudierle comportementenfonctiondeK decesys-temelorsqu’onle boucleavecun regulateur:

Rc ´ pµ¶ Kp ¸ 1

2. On decidede mettreen œuvreune regulation nu-meriqueet onchoisituneperioded’echantillonnageT ¶ 1s. CalculerlesregulateursnumeriquesobtenuspardiscretisationdeR pµ enutilisantlesapproxima-tionssuivantes:

p ¶ z · 1T

p ¶ z · 1zT

p ¶ 2T

z · 1z ¸ 1

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

Temps

Am

plitu

de

Commande du systeme

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

Temps

Am

plitu

de

Sortie du systeme

FIG. 5.19– Reponseindicielleavecanti-derive

3. Etudieren fonction de K le comportementdu sys-temeechantillonneboucleavecbloqueurd’ordrezero,enpresencedecesdifferentsregulateurset compa-rer avec la regulationcontinue(lieu d’Evans,limitedestabilite,comportementenregimetransitoire).

Solution

1. Le systemecontinuboucle a pourequationcaracte-ristique

1 ¸ Kp ´ p ¸ 1µ ¶ 0

soit l’ equationcaracteristique:

p2 ¸ p ¸ K ¶ 0

Le systemeestdoncasymptotiquementstable,quelquesoit K Ñ 0, avecle comportementsuivant

0 Î K Î 1¼ 4 aperiodique

K Ñ 1¼ 4 oscillatoire

2. Lesdifferentesapproximationsconduisentauxregu-lateursnumeriques

p ¶ z · 1 º Rd ´ zµ¶ Kz

p ¶ z · 1z

º Rd ´ zµ¶ Kz2z · 1

p ¶ 2z · 1z ¸ 1

º Rd ´ zµ¶ K ´ z ¸ 1µ3z · 1

3. Lestrois regulateursconduisentrespectivementauxresultatssuivants.


Casno 1

Equationcaracteristique

z z · 1µ ¸ K ¶ 0

Le lieu d’Evansestrepresentesurla figure5.20.Lesconditionsdestabilitesont:

Stabiliteasymptotique 0 Î K Î 1

aperiodique 0 Î K Î 1¼ 4

oscillatoire 1¼ 4 Î K Î 1

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real Axis

Imag

Axi

s

FIG. 5.20– Lieud’Evanscasn0 1

Casno 2

Equationcaracteristique´ z · 1µ ´ 2z · 1µ ¸ Kz ¶ 0



aperiodique 0 Î K Î 0 ½ 17

oscillatoire 0 ½ 17 Î K Î 3

doublementoscillatoire 3 Î K Î 5 ½ 82

oscillatoire 5 ½ 82 Î K Î 6

Casno 3

Equationcaracteristique´ z · 1µ ´ 3z · 1µ ¸ K ´ z ¸ 1µ¬¶ 0



aperiodique 0 Î K Î 0 Ï 63

oscillatoire 0 Ï 63 Î K Î 2

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real Axis

Imag

Axi

s


−4 −3 −2 −1 0 1 2−3

−2

−1

0

1

2

3

Real Axis

Imag

Axi

s


INDEX 51

Index

amortissement,22,35

bloqueurd’ordrezero,4, 45branchesasymptotiques,34

cadence,1, 11causalite,6, 15convertisseur

analogique-numerique,4numerique-analogique,4

criteredeJury, 28,30,33criteredeRouth,28,33

decompositionenelementssimples,9, 17discrerisation,41

arriere,41avant,41matchedpole-zero,42Tustin,42

echantillonnagetabledeconversion,5

echantillonneur, 4equationrecurrente,6, 11,15

fonctiondetransfert,6echantillonnee,8formeenz» 1, 6formepole,zero,gain,6

gaindepre-commande,36gainderetroaction,33gainstatique,36

lieu d’Evans,34loi decommande,33

moded’un systeme,18modeaperiodique,18modecomplexe,19modeentrennu,19modeoscillatoire,18,19modereel,18

ordredusysteme,7, 11oscillations,21

P.I.D.

analogique,46numerique,48

perioded’echantillonnage,4, 7, 11,16,36polesd’un systeme,6, 11,26,34pointd’equilibre,25pointsderencontreetd’eclatement,34polynomecaracteristique,7, 28,29pulsationpropre,22,36

regimeforce,17reponsepile, 18retardpur, 45

signala tempscontinu,1a tempsdiscret,1echantillonne,3

signalborne,26stabilite,25,26

asymptotique,25,26BIBO, 26globale,25interne,25

systemeechantillonne,7, 10,29systemesinterconnectes,12

tempsdereponse,22theoremedeShannon,4, 7, 17transformeedeLaplace,1, 5transformeeenw, 29,45transformeeenz, 1, 5, 11

linearite,2produitdeconvolution,2theoremedel’avance,2theoremedela sommation,2, 3theoremedela valeurfinale,2, 3, 36theoremedela valeurinitiale, 2theoremedu retard,2, 3, 9

zerosd’un systeme,6, 34

52 INDEX

TABLE DESMATIERES 53

Tabledesmatieres

1 Modelesdessystemesa tempsdiscret 11.1 Signala tempsdiscret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Definitiondela transformeeenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Proprietesdela transformeeenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.4 Exemplesdetransformeesenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Signalechantillonne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Conversionanalogiquenumerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3 Conversionnumeriqueanalogique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Systemea tempsdiscret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.1 Equationrecurrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.2 Fonctiondetransfertenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Systemeechantillonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.2 Fonctiondetransfertechantillonnee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.3 Proprietesdumodeleechantillonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Reponsedessystemesa tempsdiscret 152.1 Calculdela reponse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 A partirdel’ equationrecurrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2 A partirdela fonctiondetransfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Reponsesechantillonnees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Notiondemodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.1 Modereel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.2 Modecomplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.3 Caracterisationdesmodesparanalogieaveclessystemescontinus. . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.4 Superpositiondesmodes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Stabilit edessystemesa tempsdiscret 253.1 Stabilite internedessystemes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 StabiliteBIBO dessystemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 CriteredeJury. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4 CriteredeRouth. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.5 Systemesechantillonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.5.1 Etudeenboucleouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.5.2 Etudeenbouclefermee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Synthese: Gain de retroaction 334.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Calculdugainderetroaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

54 TABLE DESMATIERES

4.2.1 CriteresdeJuryetRouth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2.2 Lieu d’Evans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3 Calculdugaindepre-commande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5 Synthese: Transpositiondesmethodesanalogiques 415.1 Discretisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.1.1 Approximationsdela variablep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.1.2 Adaptationdespolesetdeszeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.1.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2 Priseencomptedubloqueurdansla synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2.1 Approximationdubloqueurparun retardpure» T p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2.2 Transformationenw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3 RegulateurP.I.D. numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.3.1 Rappelssurle regulateurP.I.D. analogique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.3.2 ReglageduP.I.D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3.3 Equationsd’un correcteurP.I.D. numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.3.4 Exempled’applicationduP.I.D. numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Index 51

systemes a temps discret commande numerique´ des … · 2003. 4. 7. · 1.1.2 d´eﬁnition de la...

Documents