Traitement du signal 1

Vahid Meghdadi

ELT2

1 Rappels

1.1 Echantillonnage [1, Chap. 4]

Soit x(t) un signal limite en frequence. C’est-a-dire que

X(f) = 0 pour |f | > B

Si on echantillonne ce signal par une peigne de dirac avec une frequence minimalede repetition de 2B, le signal d’origine, x(t) peut etre reconstruit parfaitementen passant ce signal par un filtre passe bas de largeur de bande B.

Theorem 1. Un signal x(t) d’energie finie dont la transformee de Fourier aun support borne [−B,B] est entierement defini par ses echantillons x(kTe)preleves a une frequence d’echantillonnage fe = 1/Te ≥ 2B.

DefinitionsOn definit un train de dirac de periode T etant:

δT (t) =

+∞∑n=−∞

δ(t− nT )

La serie de Fourier de δT (t) est la suivante:

δT (t) =1

T

+∞∑n=−∞

ej2πnt/T

La transformee de Fourier de ce signal est donc:

F{δT (t)} =1

T

+∞∑k=−∞

δ

(f − k

T

)Le signal echantillonne (peigne) est le produit de x(t) par δT (t), ce qui traduitpar une convolution en frequence.

xT (t) = x(t)δT (t) =

+∞∑n=−∞

x(t)δ(t− nT ) =

+∞∑n=−∞

x(nT )δ(t− nT )

XT (f) = F (xT (t)) =1

T

+∞∑k=−∞

X

(f − k

T

)(1)

1

Il est clair que si le spectre du signal est nul pour les frequences superieuresa fe/2 = 1/2T , le chevauchement de spectre n’aura pas lieu. Ainsi, un filtrepasse bas ideal est capable de restaurer le signal parfaitement.

Remarque: Le theoreme d’echantillonnage peut etre utilise pour developperune methode d’interpolation. En fait, la transformee inverse de Fourier deXT (f) filtre, donne la serie suivante:

x(t) =

+∞∑n=−∞

x(nT )sinπ(t/T − n)

π(t/T − n)

Filtre anti-repliement (”anti-aliasing”): Pour eviter a tout prix lechevauchement de spectre (aliasing), on utilise un filtre anti-repliement avantl’echantillonnage. Ce filtre passe bas a une frequence de coupure fe/2.

2 Signaux discrets[1, Chap. 5]

Un signal est une suite de nombres (qui ne sont pas forcement quantifies).Exemple de signaux

• L’impulsion unite (delta dirac)

δ(n) =

{1 pour n = 00 pour n 6= 0

• L’echelon unite

u(n) =

{0 pour n < 01 pour n ≥ 0

• La porte de longueur N:

ΠN (n) =

{1 pour 0 ≤ n ≤ N − 10 ailleurs

Propriete: Un signal peut etre ecrit sous forme d’une somme de diracsponderes:

x(n) =

+∞∑k=−∞

x(k)δ(n− k)

2.1 Transformee en Z

Pour des signaux analogique, c’est la transformee de Laplace qui est utilisee alorsque pour des signaux discrets, c’est la transformee de Z qui devient important.La transformee en Z du signal discret x(n) est definie par la relation:

X(z) =

+∞∑n=−∞

x(n)z−n

2

z est une variable complexe et la transformee en Z existe si la serie converge.Domaine de convergence: Le domaine de convergence est l’ensemble depoints sur le plan complexe Z ou la transformee en Z converge. C-a-d

ROC1 =

{z tel que |X(z)| =

∣∣∣∣∣+∞∑

n=−∞x(n)z−n

∣∣∣∣∣ <∞}

remarque:

Si z1 ∈ ROC, ∀z tel que |z| = |z1| alors z ∈ ROC

Dans ce cours nous ne considerons que les signaux causaux. Dans ce cas la limiteinferieure de la somme devient zero et la formule se transforme en suivante:

X(z) =

+∞∑k=0

x(n)z−n

Cette relation est appele la transformee en Z monolateral. Pour ces signaux laregion de convergence est toujours a l’exterieur d’un cercle centre a l’origine.Par exemple pour un delta dirac, le domaine de convergence est la totalite duplan complexe Z. Pour le signal x(n) = anu(n), la ROC est |z| > a. (pourquoi?)

Exercices: Calculer la transformee en Z des signaux suivants et pour chaquecas donner la region de convergence: x1(n) = δ(n), x2(n) = u(n), x3(n) =anu(n), x4(n) = Π5(n)

2.2 Proprietes de la transformee en z

• Linearite:ax1(n) + bx2(n)⇒ aX1(z) + bX2(z)

• Decalage dans le temps:

x(n− n0)⇒ z−n0X(z)

• Multiplication par exponentiel:

zn0 x(n)⇒ X(z/z0)

• Derive de X(z):

nx(n)⇒ −z dX(z)

dz

• Convolution:x1(n) ∗ x2(n)⇒ X1(z)X2(z)

• Valeur initiale: si x(n) est un signal causal, alors:

x(0) = limz→∞

X(z)

• Valeur finale : si x(n) est un signal causal, alors:

limn→+∞

x(n) = limz→1

(1− z−1)X(z)

1Region of convergence

3

3 Transformee inverse de Z [2, paragraphe 2.2]

3.1 Inversion par la formule de residus

Le theoreme d’integral de Cauchy montre que

1

2πj

∮C

zk−1dz =

{1, k = 00, k 6= 0

ou C est un contour oriente dans le sens positif englobant l’origine. La trans-formee en Z est definie par la relation:

X(z) =

+∞∑n=−∞

x(n)z−n

En multipliant les deux cotes par zk−1 et integrer comme il faut, puis, changerl’ordre de l’integral et la somme, on obtiendra

x(n) =1

2πj

∮C

X(z)zn−1dz

=∑

[ residus de X(z)zn−1 pour les poles a l’interieur de C]

En general, si X(z)zn−1 est une fonction rationnelle de z, elle peut s’ecrire sousla forme:

X(z)zn−1 =φ(z)

(z − z0)s

ou X(z)zn−1 possede s poles en z = z0. Dans ce cas le residu de X(z)zn−1 enz = z0 sera:

Res[X(z)zn−1 en z = z0] =1

(s− 1)!

[ds−1φ(z)

dzs−1

]z=z0

et pour le cas particulier de s = 1 on a:

Res[X(z)zn−1 en z = z0] = φ(z0)

Exemple: Soit

X(z) =1

1− az−1|z| > |a|

Alors la transformee inverse de z est:

x(n) =1

2πj

∮C

zn−1

1− az−1dz =

1

2πj

∮C

zndz

z − a

ou le contour C est un cercle de rayon superieur a a. Pour n ≥ 0 il n’y a qu’unseul pole a z = a. Dans ce cas x(n) = an. Pour les n < 0, deux poles existent.Pour n = −1, x(−1) = −a−1+a−1 = 0. Pour n = −2, x(−2) = −a−2+a−2 = 0.On peut voir que pour tout n < 0, x(n) = 0, c’est a dire que:

x(n) = anu(n)

4

3.2 Inversion par developpement en serie

Si on peut presenter le X(z) sous forme d’une serie en z−1, les valeurs de x(n)seront trouvees par identification.Exemple: Soit

X(z) = log(1 + az−1), |z| > |a|

Utilisant le developpement en serie de Taylor pour log(1 + x) on obtient:

X(z) =

∞∑n=1

(−1)n+1anz−n

n

Alors, x(n) sera:

x(n) =

{(−1)n+1 an

n n ≥ 10 n ≤ 0

Un exemple tres recurant dans les cas pratiques est le H(z) rationnel. Dans cecas, il suffit de diviser le numerateur par le denominateur selon les puissancescroissantes de z−1. Ainsi on trouvera finalement un signal nul a gauche.

Exemple: Soit X(z) = 1+2z−1

1−2z−1+z−2 . En effectuant une division longue, X(z) =

1+4z−1+7z−2+...+(3k+1)z−k+.... On en deduit le signal x(n) = (3n+1)u(n).

3.3 Inversion par developpement en elements simples

Dans cette methode, on essaye de developper la fonction rationnelle de X(z) =N(z−1)D(z−1) en une somme d’elements d’ordre 1. On peut ecrire

X(z) =

∑Mk=0 bkz

−k∑Nk=0 akz

−k

Si M < N alors:

X(z) =b0a0

M∏k=1

(1− ckz−1)

N∏k=1

(1− dkz−1)

=

N∑k=0

Ak1− dkz−1

ou Ak =(1− dkz−1

)X(z)|z=dk . Alors, utilisant le fait que anu(n) ↔ 1

1−az−1 ,la transformee inverse de Z sera donc:

x(n) =

N∑k=1

Ak(dk)nu(n)

Si M ≥ N ,

X(z) =

M−N∑r=0

Brz−r +

N∑k=0

Ak1− dkz−1

Exemple: Calculer la transformee inverse de

X(z) =3 + 2.5z−1 − z−2 − 0.5z−3

1 + 1.5z−1 + z−2

5

En divisant, on obtient

X(z) = 1− z−1 +3 + 2z−1

1 + 1.5z−1 + z−2

= 1− z−1 +2

1 + z−1+

1

1 + 0.5z−1

L’inverse de la transformee en Z est:

x(n) = δ(n)− δ(n− 1) + (2 + 0.5n)u(n)

Exemple: Calculer le transformee inverse de Z quand il existe un pole d’ordre2 : X(z) = 1

(1−az−1)2 .

Solution: x(n) = (n+ 1)anu(n)

3.4 Utilisation de la table et des proprietes

Il y a aussi la possibilite d’utiliser la table de la transformee en Z et ensuiteappliquer les proprietes de la transformee en Z pour obtenir la transformeeinverse. On peut appliquer cette methode a l’exemple precedant, tout en sachantque anu(n) ↔ 1

1−az−1 . Application de la propriete de la derive de X(z), puisdecalage temporel, on obtiendra le resultat souhaite.

4 Transformee de Fourier signal discret (TFSD)

Ici, nous essayons de trouver le lien entre la transformee en Z et la transformeede Fourier du signal analogique echantillonnee. Supposons que x(t) est un signalanalogique a largeur de bande limitee. On echantillonne ce signal par un trainde delta pour obtenir le signal xT (t). Le spectre de ce signal est donne par larelation (1).La transformee de Fourier du signal xT (t) sera:

XT (f) =

∫ ∞−∞

∑n

x(nT )δ(t− nT )e−j2πftdt

=∑n

x(nT )e−j2πfnT

=

∞∑n=−∞

x(n)z−n

∣∣∣∣∣z=exp(j2πfT )

Sachant que T est la periode d’echantillonnage, fT = f/fe. Ce rapport est enfait le resultat d’une normalisation de la frequence par la frequence d’echantillonnage.Cette quantite s’appelle la pulsation normalisee: ω = 2πfT = 2πf/fe. La re-lation ci-dessus veut dire que la transformee de Fourier du signal xT (t) peutetre obtenue en remplacant le z, dans la transformee en Z de x(n), par exp(jω).C’est-a-dire que l’on doit evaluer la transformee en Z sur un cercle du rayon 1(cercle unite).

Alors, la transformee de Fourier d’une sequence discrete est definie par larelation:

X(ejω) =

∞∑n=−∞

x(n)e−jωn (2)

6

Conclusion: La transformee en Z calculee sur le cercle unite donne la trans-formee de Fourier de la sequence x(n), qui est la meme chose que la transformeede Fourier du signal xT (t), qui est la meme chose que la transformee du Fourierdu signal x(t) antre (−fe/2, fe/2), a condition d’avoir respecte le critere deShannon (tout cela est bien sur a un facteur pres).

La transformee de Fourier inverse est:

x(n) =1

2π

∫ π

−πX(ejω)ejωndω (3)

Exemple: Calculer la transformee de Fourier de la sequence

x(n) =

{1 −2 ≤ n ≤ 2

0 ailleurs

Proprietes : Nous avons les meme proprietes que celles d’une transformationen Z car la transformee de Fourier n’est que l’evaluation de la transformee en Zsur un sous ensemble des points sur le plan Z. Par exemple:

ax1(n) + bx2(n)↔ aX1(ejω) + bX2(ejω)

x(n− n0)↔ ejωn0X(ejω)

ejω0nx(n)↔ X(ej(ω−ω0))

x1(n) ∗ x2(n)↔ X1(ejω)X2(ejω)

5 Systemes lineaires

Considerons un systeme lineaire defini en temps continu presente par sa fonctionde transfert H(f). La relation entree-sortie de ce systeme est la suivante:

Y (f) = H(f)X(f)

En respectant le critere de Shannon, on peut remplacer X(f) par XT (f) etH(f) par HT (f) et toujours obtenir:

YT (f) = HT (f)XT (f)

Comme nous avons vu dans la section precedente, en passant par les sequencesau lieu des signaux “peignes”, on peut ecrire:

Y (ejω) = H(ejω)X(ejω)

Une transformation inverse de Fourier donne:

y(nT ) = x(nT ) ∗ h(nT )

Ou plus simplement:y(n) = x(n) ∗ h(n) (4)

Conclusion : Un systeme a temps continu peut etre parfaitement remplacepar son equivalent en temps discret (a condition de respecter le critere de Shan-non).

7

On peut appliquer une transformee en Z aux deux cotes de la relation (4). Onobtient alors pour un systeme lineaire:

Y (z) = X(z)H(z) (5)

Ceci est la relation la plus utilisee pour resoudre les systemes a temps discret.

5.1 Systeme lineaire et invariant dans le temps (LIT)

Un systeme est invariant dans le temps si la condition suivante est verifiee.Soit y(n) la reponse du systeme a l’entree x(n), la sortie du systeme a l’entreex(n− n0) est y(n− n0).On suppose le systeme S, un systeme LIT. La reponse de ce systeme a l’entreeδ(n) s’appelle par definition la reponse impulsionnelle h(n). Maintenant, quellesera la reponse a une entree quelconque x(n) ?On peut ecrire:

x(n) =

∞∑m=−∞

x(m)δ(n−m)

On applique cette sequence au systeme S et on profite de LIT du S:

y(n) =

∞∑m=−∞

x(m)h(n−m)

Cette somme s’appelle la somme de convolution :

y(n) =

∞∑m=−∞

x(m)h(n−m) =

∞∑m=−∞

h(m)x(n−m) = x(n) ∗ h(n)

C’est-a-dire que connaissant la reponse impulsionnelle, on peut parfaitementcalculer la reponse du systeme LIT a n’importe quelle autre entree.

5.2 Systeme rationnel

Le cas particulier ou la transformee en Z est le rapport de deux polynomes estconsidere par la suite:

H(z) =N(z)

D(z)

En re-ecrivant l’equation 5 mais en remplacant H(z) par N(z)D(z) on obtient:

Y (z) = X(z)N(z)

D(z)

D(z)Y (z) = N(z)X(z)

Les polynomes N(z) et D(z) sont en general en fonction des puissances negativesde z:

H(z) =N(z)

D(z)=

∑Mk=0 akz

−k∑Nk=0 bkz

−k

8

Ce qui donne:

Y (z)

N∑k=0

bkz−k = X(z)

M∑k=0

akz−k

Une transformee inverse de Z, donnera l’equation aux differences correspondanta ce systeme rationnel:

b0y(n) + b1y(n−1) + ...+ bNy(n−N) = a0x(n) +a1x(n−1) + ...+aMx(n−M)

y(n) =1

b0[a0x(n) + a1x(n− 1) + ...+ aMx(n−M)− b1y(n− 1)− ...− bNy(n− bN )]

Exemple: Donner l’equation aux differences pour le systeme ci-dessous:

H(z) =2− z−1 + 0.5z−2

1 + 0.5z−1 + 3z−2 − 0.3z−3

L’equation aux differences sera donc:

y(n) = 2x(n)− x(n− 1) + 0.5x(n− 2)− 0.5y(n− 1)− 3y(n− 2) + 0.3y(n− 3)

5.3 Stabilite

Un systeme est stable si une entree bornee donne une sortie bornee (BIBO pour

Bounded Input Bounded Output). Reconsiderons le systeme H(z) = N(z)D(z) , la

region de convergence est a l’exterieur du cercle qui passe au pole le plus loin ducentre. Pour que la transformee de Fourier existe, il faudra donc que le cercleunite fasse partie de la region de convergence. Ceci implique qu’il faudra quetous les poles du H(z) soient a l’interieur du cercle unite. On peut montrer quec’est un condition necessaire et suffisante pour le systeme H soit stable. Dansce cas, la fonction de transfert frequentielle est obtenue par la relation

H(ejω) =

∞∑n=−∞

h(n)e−jωn =N(ejω)

D(ejω)

5.4 Fonction de transfert

Pour un systeme lineaire rationnel avec

H(z) =

∑Mk=0 bkz−k∑Nk=0 akz

−k

La transformee de Fourier est donc:

H(eiω) =

M∑k=0

bke−jωk

N∑k=0

ake−jωk=

(b0a0

) M∏k=1

(1− cke−jω)

N∏k=1

(1− dke−jω)

On peut ecrire separement le module et la phase de H(ejω)

∣∣H(ejω)∣∣ =

∣∣∣∣ b0a0∣∣∣∣M∏k=1

∣∣1− cke−jω∣∣N∏k=1

|1− dke−jω|

9

et

argH(ejω) = arg

(b0a0

)+

M∑k=1

arg(1− cke−jω

)−

N∑k=1

arg(1− dke−jω

)Le delai de groupe de H(z) est definie par la derivee de la phase par rapport

a ω:

Delai de groupe : = − d

dωargH(ejω)

5.4.1 Evaluer la reponse frequentielle par une methode graphique

Soit H(z) = N(z)D(z) , les racines de N(z) et D(z) sont respectivement les zeros et

les poles de H(z). On peut donc ecrire:

H(z) = α

∏Mj=1(z − zj)∏Nj=1(z − zj)

C’est une relation qui calcule la valeur de H(z) quand z bouge sur le plan Z.Le numerateur est le produit de tous les vecteurs qui relie les zeros de H(z) aupoint Z, et le denominateur est le produit de tous les vecteurs qui relie les polesde H(z) au point Z. Si on souhaitait calculer H(eiω), le z ne varie que sur lecercle unite. Alors en se referant a la figure de la page 196 du livre Delamas, le|H(ejω)| peut etre evaluer par l’expression:

|H(ejω)| = |α|∏Mj=1(ZjM)∏Nj=1(PjM)

Dans cette expression, le point M est en fait ejω et ZjM est la taille de la droitereliant le zero Zj au point P . Pour la phase nous avons l’expression suivante:

Arg[H(ejω)] = Arg[α] +

M∑j=1

Arg[ZjM ]−N∑j=1

Arg[PjM ]

Remarque: Lorsque h(n) est reel, les coefficients de N(z) et D(z) sont reels.Alors,les poles et les zeros de H(z) sont par pair conjugue.

5.4.2 Filtre a phase minimale

Le comportement frequentiel d’un filtre est en partie caracterise par le modulede la TFSD:

|H(ejω)|2 = H(ejω).H∗(ejω)

Utilisant l’astuce:H(ejω) = H(1/z∗)|z = ejω

On peut ecrire:

|H(ejω)|2 = H(ejω).H∗(ejω) = H(z).H∗(1/z∗)|z=ejω

10

x1(n)

x2(n)

x3(n)

y1(n)

y2(n)

a

b

c

z1

1/z1*

plan Z

Figure 1: Reflexion d’un zero (ou pole) par rapport au cercle unite

Ceci veut dire que:|H(z)|z=ejω = |H(1/z∗)|z=ejω

En etudiant la relation entre z et 1/z∗ presente sur la figure 1, on constatequ’une reflexion d’un pole ou d’un zero par rapport au cercle unite ne changepas le module de la transformee de Fourier.

Nous allons profiter de cette propriete et definir les filtre a phase minimal.Dans un premier temps, on parle de l’inverse d’un filtre. L’inverse d’un filtreH1(z) est le filtre H2(z) qui se met en serie avec le premier et qui donne unsysteme avec une reponse impulsionnelle δ(n). Idealement H2(z) = 1/H1(z).Le probleme est que quand le filtre H1 possede des zeros a l’exterieur du cercleunite, ces zeros seront transformes en pole qui rendent le systeme inverse in-stable. C’est-a-dire que le systeme inverse n’est pas realisable. Cependant, onpeut uniquement essayer d’inverser le module de la transformee de Fourier, enreflechissant les zeros en dehors du cercle vers l’interieur et concevoir le systemeinverse. Ainsi, on pourra egaliser le module de la TFSD.

Exemple

Un canal de transmission presente la distorsion suivante: H1(z) = 1−2z−1

1+0.5z−1 .Comment peut-on egaliser ce canal?

Solution: Le filtre H2(z) = 1+0.5z−1

1−2z−1 n’etant pas stable, on rentre d’abord lezero a z = 2 a l’interieur du cercle unite:

H ′1(z) = a.1− 0.5z−1

1 + 0.5z−1

Pour avoir le meme module, la valeur de a se calcule tel que |H1(ejω)|ω=0 soitegal a |H ′1(ejω)|ω=0. Ce qui donne a = 2. En suite, on inverse le H ′1(z) pourobtenir:

H2(z) = 0.51 + 0.5z−1

1− 0.5z−1

5.5 Filtre passe-tout

Un filtre est passe-tout si |H(ejω)| = 1. Nous avons vue que un pole et un zerosymetrique par rapport au cercle unite presentaient le meme module. Profitantde cette propriete, leur rapport va faire 1. A savoir:

|H(z)|z=ejω =

∣∣∣∣ z−1 − p∗11− p1z−1

∣∣∣∣z=ejω

= 1

11

x1(n)

x2(n)

x3(n)

y1(n)

y2(n)

a

b

c

Figure 2: Le diagramme de flux

5.6 Structure d’implantation

Soit H(z) = N(z)D(z) la fonction de transfert d’un systeme lineaire. On donne dans

ce paragraphe quelques methodes systematiques pour implanter cette fonctionde transfert.

5.6.1 Diagramme de flux

Pour implanter les fonctions de transfert, on utilise une methode graphique quiest immediatement implantable par des circuits numeriques. La figure 2 resumeles elements de ce type d’implantation et les operations correspondantes:

En utilisant cette figure, on peut ecrire:

y1(n) = y2(n) = ax1(n) + bx2(n) + cx3(n)

Y1(z) = Y2(z) = aX1(z) + bX2(z) + cX3(z)

Remarque: Les coefficients peuvent etre aussi de type z−1 ou en general z−M .

5.6.2 Structure Directe I

On presente dans ce paragraphe une methode systematique pour implanter unefonction de transfert rationnelle de type:

H(z) =b0 + b1z

−1 + ...+ bM−1z−M+1

1− a1z−1 − ....− aN−1z−N+1

Cette expression peut etre ecrite sous la forme H(z) = H1(z)H2(z) avec

H1(z) =(b0 + b1z

−1 + ...+ bM−1z−M+1

) 1

1− a1z−1 − ...− aN−1z−N+1

comme presente la figure 3.

H1(z) H2(z)x(n) y(n)y1(n)

Figure 3: Developper la fonction de transfert en deux structures plus simples

Ceci se realise par une mise en serie de deux systemes rationnelles. La4 presente la structure d’implantation de cette methode appelee la structureDirecte I.

12

z-1

z-1

z-1 z-1

z-1

z-1

b0

b1

bM-1

a1

aN-1

x(n) y(n)y1(n)

Figure 4: L’architecture Directe I

5.6.3 Structure Directe II

La structure directe II consiste a permuter H1(z) et H2(z), ce qui nous permetde mutualiser les elements de retard z−1. Cette structure est presentee sur lafigure 5.

z-1

z-1

z-1

b0

b1

bM-1

y(n)

a1

x(n)

z-1

aN-1

a2

Figure 5: L’architecture Directe II

5.6.4 Structure transposee

Le theoreme de transposition indique que, si dans un diagramme de flux, oninverse le sens de toutes les fleches et qu’on permute l’entree et la sortie, lafonction de transfert du systeme reste inchangee.

13

Exemple

Soit H(z) un filtre a reponse impulsionnelle finie (RIF) de taille N + 1. Lafigure 6 presente l’architecture Directe I ou Directe II d’un filtre FIR. Apresune transposition, le resultet se voit sur la figure 7. Cette figure peut etrearranger pour avoir comme d’habitude l’entree par la gauche et la sortie par ladroite (figure 8).

z-1 z-1 z-1 z-1

h0 h1 h2 hN-1 hN

x(n)

y(n)

Figure 6: Structure d’implantaion d’un filtre FIR.

z-1 z-1 z-1 z-1

h0 h1 h2 hN-1 hN

x(n)

y(n)

Figure 7: Structure transposee d’un filtre FIR.

z-1 z-1 z-1 z-1

h0h1h2hN-1hN

x(n)

y(n)

Figure 8: Structure transposee d’un filtre RIF (arrange)

Exemples

1. Pour les fonction de transfert suivantes donner la realisation directe I etpuis directe II.

• H(z) = 11−0.5z−1

• H(z) = h0 + h1z−1 + h2z

−2 + ...+ hMz−M

• H(z) = 0.2+0.2z−1+0.6z−3

1−0.3z−1

2. Pour chacune des fonctions de transfert ci-dessus, donner l’equation auxdifferences.

14

3. Pour l’accumulateur ci-dessous, donner la structure directe II.

h(n) =

0 n < 0

1 0 ≤ n < M

0 n ≥M

6 Transformee de Fourier discrete (TFD)

6.1 Signaux periodiques

Un signal discret est periodique de periode N si

x(n) = x(n+ rN) pour tout n et r

Pour cette sequence la transformee en Z n’existe pas car le domaine de con-vergence est vide. On peut cependant presenter ce signal par une serie, c’est adire par une somme des exponentiels ponderes. La frequence fondamentale est2π/N . Le nombre d’exponentiels distincts aux frequences n(2π/N) n’est pasinfini alors que cela etait le cas pour des signaux a temps continu. Ici, il n’y aque N exponentiels distincts car

ej2πN = ejN

2πN

Alors la serie de Fourier d’un signal discret periodique de periode N n’a que Ntermes:

x(n) =1

N

N−1∑k=0

X(k)ej(2π/N)nk (6)

ou X(k) est la ponderation sur l’exponentiel correspondant. Utilisant la remar-que:

1

N

N−1∑n=0

ej(2π/N)nr =

{1, pour r = mN, m un entier

0, autres

on peut demontrer que

X(k) =

N−1∑n=0

x(n)e−j2πN nk (7)

On peut facilement remarquer que la sequence X(k) est une sequence periodiquede frequence N , c-a-d X(0) = X(N), X(1) = X(N + 1), etc.

6.2 Signaux bornes dans le temps

Maintenant considerons un signal qui est zero en dehors d’un intervalle temporel:x(n) = 0 pour tout n < 0 ou n ≥ N . Pour ce signal, la transformee de Z existeet le domaine de convergence est le plan Z. La transformee de Z de ce signal est:

X(z) =

N−1∑n=0

x(n)z−n

15

Comparant cette expression et celle de la serie de Fourier (7) pour un signalperiodique, on remarque que

X(k) = X(z)|z=ej2π/Nk

On definit alors la Transformee de Fourier Discret (TFD) d’un signal discret etborne dans le temps avec:

X(k) =

N−1∑n=0

x(n)e−j2πN nk (8)

Le transformee inverse de Fourier discret est alors:

x(n) =1

N

N−1∑k=0

X(k)ej(2π/N)nk

Conclusion

• Un signal borne dans le temps peut etre represente par sa TFD alors qu’unsignal periodique est represente par sa SFD (Serie de Fourier Discret,relation 6).

• Soit X(k) la TFD d’un signal borne dans le temps x(n). La TFD inversede X(k) donne un signal periodique x(n). Il suffit de ne le regarder quedans l’intervalle (0,N − 1) pour obtenir x(n).

x(n) =

{x(n) 0 ≤ n < N

0 ailleurs

• La TFD de x(n) est une sequence de taille N qui peut etre obtenue apartir de X(z) car

X(k) = X(z)|z=ej2πk/Nce qui veut dire que le TFD n’est que les echantillons de X(Z) sur despoints homogenement repartis sur le cercle unite.

• X(k) se trouve aussi sur la transforme de Fourier de x(n): X(ejω a lafrequence ω = 2πk/N .

6.3 Proprietes de la TFD

Nous pouvons prouver les proprietes suivantes pour des signaux bornes [0, N−1]:

• lineariteax1(n) + bx2(n)↔ aX1(k) + bX2(k)

• decalage temporel circulaire

x((n− n0)N )↔ ej2πkn0/NX(k)

ou (.)N est l’operateur modulo N .

16

• symetrie

x(n) est reel ↔ X(k) = X∗(−k) = X∗(N − k)

• decalage frequentiel (modulation)

y(n) = ej2πk0nx(n)↔ Y (k) = X((k − k0)N )

• convolution circulaire (attention: cette expression est differente qu’uneconvolution lineaire que nous connaissions deja)

x(n)⊗ y(n) =

N−1∑m=0

x((m)N )y(n−m)N )↔ X(k)Y (k)

ou (m)n signifie m modulo n.

• Theoreme de ParsevalN−1∑n=0

|x(n)|2 =1

N

N−1∑k=0

|X(k)|2

6.4 Presentation matricielle de la TFD

Reconsiderons l’expression de la TFD donnee en (8). Pour simplifier l’ecriture,on, definit

WN = e−j2π/N

Alors l’equation (8) peut etre presentee

X(k) =

N−1∑n=0

x(n)WnkN

Utilisant cette definition la relation (8) peut s’ecrire:

X = Wx

et la TFD inverse est:

x =1

NWHX

Dans ces expressions:

x = [x(0), x(1), ..., x(N − 1)]T

X = [X(0), X(1), ..., X(N − 1)]T

W = [wij ]N×N ou wij = W ijN = ej

2πN ij

Par exemple pour un signal borne de taille 4, la matrice W a la forme suivante:

W =

1 1 1 11 e−j2π/4 e−j2π2/4 e−j2π3/4

1 e−j2π2/4 e−j2π4/4 e−j2π6/4

1 e−j2π3/4 e−j2π6/4 e−j2π9/4

=

1 1 1 11 −j −1 j1 −1 1 −11 j −1 −j

Remarque: On note que WWH = NI.

17

6.5 Approximation de spectre utilisant la TFD

Soit x(t) un signal a temps continu. On souhaite estimer le spectre de ce signalen faisant un calcul sur les valeurs numeriques issues d’echantillonnage. Onsuppose que l’on respecte le critere de Shannon : le spectre du signal est nulpour tout |f | > fe/2. Par contre, le signal n’est pas borne dans le temps. UneTFD exige une sequence limitee sur N points. On echantillonne alors le signalxa(t) pour obtenir la sequence x′(n) = xa(nT ) et ensuite, on la tronque sur Npoints pour obtenir x(n). Cette operation est equivalent a

• soit multiplier le signal xa(t) par une fonction de porte et puis l’echantillonner

• soit par d’abord echantillonner le signal a temps continu x(t) pour obtenirx′(n) et puis multiplier la sequence obtenue par une fonction de portediscrete.

Dans les deux cas, le spectre de la sequence bornee obtenue ne sera pas ex-actement celui du signal d’origine. Par exemple, dans le premier cas, le spectreest d’abord convolue par un sinus cardinal. Ceci, non seulement va modifier lespectre, mais aussi va le rendre non-borne en frequence. Ce qui veut dire que lecritere de Shannon n’est plus respecte. Si la largeur de la porte est importante,N , le sinus cardinal va s’approcher d’un delta de Dirac et le spectre resultantse ressemble de plus en plus au spectre du signal d’origine. Ceci est tout a faitplausible car en augmentant le N , on tend vers le signal original.

Exercice

Soit le signal x(t) = e−tu(t). Echantillonner ce signal avec fe = 1/T et puis letronquer brutalement sur [0, NT ]. Tracer |X(f)| et |X(exp(jω))|ω=2πf/fe surles memes reperes pour N = 16 et Te = 0.25. Sur le meme repere, tracer lesX(k) sachant que l’frequence correspondant l’indice k, est kfe/N (pourquoi ?).

Remarque 1

Si on utilise la TFD pour estimer le spectre d’un signal a temps continu, laresolution frequentielle est une fonction de fe et N . En fait, la distance entredeux points consecutifs de la TFD est egale a fe/N .

Remarque 2

Si nous disposons d’une sequence limitee dans le temps [0, N − 1] et nous cher-chons a calculer son spectre utilisant la TFD mais avec une precision meilleureque fe/N , nous pouvons ajouter des zeros a la fin de la sequence pour obtenirune autre sequence sur M > N points et calculer la TFD pour cette nouvellesequence. Sachant que l’essentiellement le spectre des deux sequences sont iden-tiques (pourquoi ?), la resolution dans la deuxieme solution est de fe/M , quiest meilleure que fe/N .

18

6.6 Convolution lineaire et la TFD

On sais que la sortie d’un systeme lineaire est le resultat de la convolutionlineaire entre l’entree et la reponse impulsionnelle du systeme. On souhaiteutiliser la TFD pour calculer cette convolution.

6.6.1 Convolution des sequences bornees

Supposons que x1(n) et x2(n) sont deux sequences bornees de taille L et P ,respectivement. Si on effectue les operations suivantes:

• TFD de x1(n) sur N points

• TFD de x2(n) sur N points

• X3(k) = X1(k)X2(k)

• TFD inverse de X3(k) sur N points pour obtenir x3(n)

Est-ce que x3(n) = x1(n) ∗ x2(n) ? La reponse en general est “non”. Y’a-t-ilune possibilite pour que x3(n) = x1(n) ∗ x2(n) ? La reponse est “oui”. Maiscomment ?En faite, x3(n) est le resultat d’une convolution circulaire entre les deux sequences.Sachant que x1(n) est de taille L et que x2(n) est de taille P , x1(n) ∗ x2(n) estune sequence de taille L + P − 1. Dans ce cas, si on prend N ≥ L + P − 1, leresultat d’une convolution circulaire sera identique a une convolution lineaire.C’est a dire que l’on ajoute assez de zeros a la fin des sequences x1(n) et x2(n)pour obtenir des sequences de taille N . Ensuite, on applique la procedure ci-dessus.

Exercice

Calculer la convolution circulaire pour les sequence x1(n) = δ(n−1), et x2(n) =4δ(n) + 3δ(n− 1) + 2δ(n− 2) + δ(n− 3) quand N = 4 et puis quand N = 5.Utilisation de Matlab

x1=[0 1 0 0];

x2=[4 3 2 1];

conv(x1,x2)

ans = 0 4 3 2 1 % convolution lineaire x1*x2

ifft(fft(x1).*fft(x2))

ans = 1 4 3 2 % qui n’est qu’une convolution

% lineaire entre x1 et x2

ifft(fft(x1,5).*fft(x2,5),5)

ans = 0 4.0000 3.0000 2.0000 1.0000 % en respectant

Deuxieme exercice: x1(n) = x2(n) = rect5(n)Utilisation de Matlab

x1=[1 1 1 1 1];

x2=x1;

conv(x1,x2) % donne 1 2 3 4 5 4 3 2 1 (convolution lineaire)

ifft(fft(x1).*fft(x2))

ans = 5 5 5 5 5 % donne une convolutioncirculaire

19

% entre x1 et x2

ifft(fft(x1,9).*fft(x2,9),9)

ans = 1 2 3 4 5 4 3 2 1 % la on obtient

% la convolution lineaire car N=L+P-1

ifft(fft(x1,11).*fft(x2,11),11)

ans = 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 % la on obtient

% le convolution lineaire car N>L+P-1

Quel est le resultat si on effectuer la commande ci-dessous:

ifft(fft(x1,6).*fft(x2,6),6)

6.7 Transformee de Fourier Rapide (TFR ou FFT)

Pour calculer la TFD d’une sequence de taille N , et en utilisant la relation(8), il nous faut N multiplications complexes. Sachant que pour multiplierz1.z2 = (x1 + jy1)(x2 + jy2), il faut 4 multiplications reelles, pour une TFD detaille N il faudra 4N multiplications pour chaque point de TFD. Sachant que lataille de X(k) est de N , alors 4N2 multiplications reelles sont necessaires pourle calcule de la TFD. Ici, on cherche a reduire ce nombre.

6.7.1 Decimation dans le temps

Dans un premier temps, et supposant que N est pair, on divise en deux larelation (8) pour des points pairs et impairs:

X(k) =

N/2−1∑r=0

x(2r)W 2rkN +

N/2−1∑r=0

x(2r + 1)W(2r+1)kN

=

N/2−1∑r=0

x(2r)W 2rkN +W k

N

N/2−1∑r=0

x(2r + 1)W 2rkN

Utilisant la propriete:

W 2rnN = e−j

2πN 2rn = e−j

2πN/2

rn = WN/2rn

On peut ecrire:

X(k) =

N/2−1∑r=0

x(2r)W rkN/2 +W k

N

N/2−1∑r=0

x(2r + 1)W rkN/2

= G(k) +W kNH(k) pour k = 0, 1, ..., N − 1

Cette expression presente deux TFD chacun de tailleN/2, la premiere a effectuersur les points pairs de la sequence x(n) et la seconde sur les points impairs. Lenombre de multiplications reelles sera: 4(N/2)2 + 4(N/2)2 + 4N = 2N2 + 4N .C’est a dire que pour grand N , la complexite est approximativement diviseepar deux. On peut dessiner le graphe de flux pour realiser l’equation ci-dessus(voir figure 6.7.1 En dessinant ce graphe, nous avons utilise la propriete deperiodicite de TFD: G(k) = G(k + N/2) et H(k) = H(k + N/2). Ce resultatetant encourageant, nous pouvons continuer a diviser ces deux TFD chacune de

20

DFTN/2 points

DFTN/2 points

x(0)

x(6)

x(4)

x(2)

x(1)

x(7)

x(5)

x(3)

G(0)

G(3)

G(2)

G(1)

H(0)

H(3)

H(2)

H(1)

WN

WN

WN

WN

WN

WN

WN

WN

3

4

2

0

1

5

6

7

X(0)

X(3)

X(2)

X(1)

X(4)

X(7)

X(6)

X(5)

DTFN/4 points

x(0)

x(4) G(1)

G(0)

WN

WN

6

7

DTFN/4 points

x(2)

x(6) H(1)

H(0)

WN

W4

6

0

W4

1

3

2

W4

W4

W21

W20

WNk+N/2

WNk

WNk

1

-1

Figure 9: Une seule decimation dans le temps pour le cas N = 8

DFTN/2 points

DFTN/2 points

x(0)

x(6)

x(4)

x(2)

x(1)

x(7)

x(5)

x(3)

G(0)

G(3)

G(2)

G(1)

H(0)

H(3)

H(2)

H(1)

WN

WN

WN

WN

WN

WN

WN

WN

3

4

2

0

1

5

6

7

X(0)

X(3)

X(2)

X(1)

X(4)

X(7)

X(6)

X(5)

DTFN/4 points

x(0)

x(4) G'(1)

G'(0)

WN

WN

6

7

DTFN/4 points

x(2)

x(6) H'(1)

H'(0)

WN

W4

6

0

W4

1

3

2

W4

W4

W21

W20

WNk+N/2

WNk

WNk

1

-1

G(0)

G(3)

G(2)

G(1)

Figure 10: Decimation dans le temps pour le cas N = 8 pour arriver a des TFDde taille 2

21

taille N/2. Si N = 2v, on arrive a la fin a des TFD de taille elementaire de 2comme presente figure (6.7.1 Dans cette iteration, on distingue v etages pourcalculer une TFD de taille N = 2v. On remarque dans chaque etage il y a Nmultiplication complexe a effectuer. Alors le nombre total de multiplicationsreelles est de 4(N log2N). Par exemple une TFD de taille 1024 a besoin de4.194.304 multiplications alors que la TFR correspondant ne demande que 40960multiplications.

7 Exercice

1. Soit

X(z) =1 + 3z−1 + 8z−4 + 16z−10

1− 3z−1 + 2z−2 + 8z−10

la transformee en Z du signal causal x(t). Quelles sont les valeurs x(0) etx(1).Hint: Utilisez la propriete de la valeur initial pour trouver x(0). Puis,retranchez le de x(t) est decalez le tout de 1 vers la gauche pour trouverx(1) a l’origine. Appliquez a nouveau la propriete de la valeur initiale.Un autre facon de resoudre cet exercice est d’effectuer la division longueet reperer la constante et le coefficient de z−1.

References

[1] Element de theorie du signal: les signaux deterministes, Jean-Pierre DEL-MAS

[2] Digital signal processing, A. Oppenheim and R. Schafer

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