sur la détermination de la teneur en eau et de l´infiltration à partir de

THESE DE DOCTORAT DE L’UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE

Spécialité

Géophysique Appliquée

Géosciences et Ressources Naturelles (ED398)

Présentée par

M. Mohamed Amine BECHKIT

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR de l’UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE

Sujet de la thèse :

Sur la détermination de la teneur en eau et de l’infiltration à partir de mesures

passives de la température du sol

Soutenue le 11 février 2011

Devant le jury composé de :

M. Hocine Bendjoudi UPMC Examinateur M. André Chanzy INRA Avignon Rapporteur M. Roger Guérin UPMC Directeur de thèse M. Cyril Kao AgroParisTech Examinateur M. Pascal Sailhac EOST Strasbourg Rapporteur M. Alain Tabbagh UPMC Invité M. Christian Valentin IRD Examinateur et Président

1

Remerciements

Je tiens à remercier chaleureusement M. Roger Guérin et M. Alain Tabbagh qui sont à

l’origine du sujet pour leurs conseils, leur disponibilité, leur gentillesse, leur sympathie, et

surtout pour avoir accepté de diriger ce travail et d’en corriger le manuscrit.

Merci à M. Sébastien Flageul pour avoir conçu l’électronique des capteurs de température au

millième de degré, et à Mme Jeanne Tabbagh pour avoir réalisé l’interface informatique de ces

capteurs, sans leur travail, accueil et gentillesse, ce travail n’aurait pu aboutir.

Je remercie aussi tous les membres du Cemagref (Institut de recherche en sciences et

technologies pour l’environnement) pour leur soutien, pour les données qu’ils m’ont fournies,

notamment M. Patrick Ansart et Mme Gaëlle Tallec.

Merci aux personnels du programme d’échange algéro-français pour leur financement et leur

accueil.

Merci aux rapporteurs et examinateurs : M. Hocine Bendjoudi, M. André Chanzy, M. Cyril

Kao, M. Pascal Sailhac et M. Christian Valentin.

Merci à tous ceux qui m’ont aidé à finir ce travail de prés ou du loin, merci à tous les

personnes du laboratoire Sisyphe. Merci à tous mes amis et collègues Asal, Yasmine, Rémi,

Amine, Gonca, Solène, Samir, Quentin, Pauline, Sihem, Claire, Marie, Cyril, Hacen, Donia,

Laura, Khaled, Aimed, Ahmed, Nassim, Houda, Hanene, Sabrina, Diana, Aurélie… A tous

mes amis de Zouaghi et de Taher.

Je tiens très respectueusement à dédier ce modeste travail à mes chers parents pour l’amour et

l’affection qu’ils m’ont donnés. Je le dédie également à toute ma famille, du plus vieux

jusqu’à plus jeune, à mon frère Walid et mes sœurs Sihem, Soumia, et Asma.

A tous ceux qui me connaissement et qui m’aiment…

Merci à tous

i

Résumé

Ce mémoire est divisé en quatre chapitres. Le premier chapitre présente une synthèse

bibliographique des différents paramètres permettant de caractériser les sols et les milieux non

saturés, ainsi que des différentes propriétés physiques du sol en relation avec les propriétés

hydrodynamiques. Les différentes méthodes de mesure de la teneur en eau y sont analysées.

Le deuxième chapitre présente les différents modes de transfert de la chaleur dans le sol

et les équations correspondantes. Les méthodes de mesure de la température et en particulier

la métrologie du capteur de mesure choisi : un thermomètre à résistance de platine, sont

développées.

Dans le troisième chapitre est présenté le site de Boissy-le-Châtel, sa situation

géographique et son cadre géomorphologique. Les différentes mesures réalisées sur ce site

sont présentées ensuite, en commençant par les températures enregistrées à différentes

profondeurs : 12, 15, 18, 24, 32 et 34 cm. Les résultats du sondage électrique, les mesures de

pluie et d’évapotranspiration potentielle (ETP) et les valeurs de teneur en eau obtenues par

sonde TDR sont détaillés.

Le quatrième et dernier chapitre correspond au traitement des mesures de température,

enregistrées aux différentes profondeurs, en résolvant l’équation de la chaleur avec transferts

par conduction et par convection. Plusieurs méthodes permettant de déterminer la vitesse de

Darcy et la teneur en eau y sont présentées et testées. La première consiste à extraire les

amplitudes et les phases des variations sinusoïdales. Appliquée avec succès pour les variations

annuelles et pluriannuelles, les limitations de cette méthode intervenant pour la variation

diurne sont dues principalement à la modulation de cette variation diurne. Deux approches,

purement numérique sont abordées ensuite : une résolution directe en différence finies (DF) et

une en éléments finis (EF). Pour pouvoir déterminer la vitesse de Darcy, la connaissance de la

structure thermique du terrain s’avère indispensable : dans l’exemple de Boissy-le-Châtel en

définissant la position optimale d’une interface. Les tests sur les données synthétiques

permettent de conclure que les résultats pour le terme de diffusion sont plus fiables que ceux

pour le terme de convection. La confrontation avec les données de contrôle existantes (pluie,

ETP, teneur en eau à partir de mesures TDR) permet de mettre en évidence une bonne

corrélation entre les valeurs relatives de teneur en eau déterminées par exploitation des

variations relatives de la diffusivité et celles obtenues à partir des sondes TDR. La procédure

à mettre en œuvre pour déterminer la vitesse de Darcy est beaucoup plus lourde.

ii

Abstract

This thesis is divided into four chapters. The first chapter presents a review of different

parameters for characterizing the soil and the unsaturated medium, and different physical

properties of soil in relation to the hydrodynamic properties. Different methods for measuring

the water content are analyzed.

The second chapter presents the different modes of heat transfer in soil and the

corresponding equations. The methods for measuring the temperature and especially the

metrology of the chosen sensor: a platinum resistance thermometer, are developed.

The third chapter presents the site of Boissy-le-Chatel, its location and its

geomorphology. Then the various measurements made on this site are presented, starting with

the recorded temperatures at different depths: 12, 15, 18, 24, 32 and 34 cm. The results of the

electrical sounding, the measurements of rainfall and of the potential evapotranspiration and

values of water content obtained by TDR probe are detailed.

The fourth and last chapter corresponds to the processing of temperature measurements

recorded at different depths, by solving the equation with heat transfer by conduction and

convection. Several methods to determine the Darcy velocity and water content are presented

and tested. The first method consists to extract the amplitudes and phases of sinusoidal

variations. Successfully applied for annual and pluri-annual changes, the limitations of this

method for the diurnal variation is due mainly to the modulation of the diurnal variation. Two

numerical approaches (direct resolution by finite difference and by finite element) are then

discussed. To determine the Darcy velocity, knowledge of the thermal structure of the field is

essential: in the example of Boissy-le-Chatel, it consists to determine the optimal position of

an interface. Different tests on synthetic data allow to conclude that the results for the

diffusion term are more reliable than those for the convection term. The confrontation with

data from existing control (rain, potential evapotranspiration, water content from TDR

measurements) demonstrates a good correlation between the relative values of water content

determined by use of relative changes in diffusivity and those obtained from TDR probes. The

procedure to be implemented to determine the Darcy velocity is much heavier.

iii

Sommaire

Introduction ..................................................................................1

Chapitre I : Sol et eau dans le sol ..................................................5

I.A) Présentation du sol : milieu poreux................................................................................. 5

I.A.1) Propriétés physiques des sols (triphasiques) en relation avec les propriétés hydrodynamiques................................................................................................................ 6

I.A.1.a) Propriétés géométriques..................................................................................... 6

I.A.1.b) Propriétés hydrauliques (transport de fluide) .................................................... 7

I.A.2) Propriétés électriques des sols................................................................................ 13

I.A.2.a) Conductivité électrique .................................................................................... 13

I.A.2.b) Permittivité diélectrique................................................................................... 14

I.A.3) Propriétés thermiques des sols ............................................................................... 15

I.A.3.a) Capacité volumique ......................................................................................... 15

I.A.3.b) Conductivité thermique des milieux poreux.................................................... 16

I.A.3.c) Diffusivité thermique ....................................................................................... 18

I.A.3.d) Inertie thermique (anciennement appelée effusivité thermique) ..................... 19

I.A.3.e) Profondeur de pénétration................................................................................ 20

I.B) L’eau dans le sol et le sous-sol...................................................................................... 20

I.B.1) Rappels de base ...................................................................................................... 20

I.B.1.a) Zone saturée (ZS)............................................................................................. 21

I.B.1.b) Zone non saturée (ZNS) ou vadose.................................................................. 22

I.B.2) Ecoulement d’eau en milieu poreux ....................................................................... 24

I.B.2.a) Ecoulement d’eau en milieu saturé .................................................................. 24

I.B.2.b) Ecoulement d’eau en milieu non saturé ........................................................... 26

I.B.3) Méthodes de mesure de la conductivité hydraulique ou coefficient de perméabilité....................................................................................................................... 29

I.B.3.a) Mesure du coefficient de perméabilité en laboratoire...................................... 29

iv

I.B.3.b) Mesure du coefficient de perméabilité in situ.................................................. 30

I.C) Mesures non thermiques de la teneur en eau................................................................. 33

I.C.1) Méthodes utilisant la permittivité diélectrique ....................................................... 33

I.C.1.a) Temporelles (TD : Time Domain) ................................................................... 34

I.C.1.b) Fréquentielles (FD : Frequency Domain) : sondes capacitives ....................... 36

I.C.1.c) Spectroscopie d’impédance ou spectroscopie diélectrique (TDS)................... 37

I.C.1.d) Géoradar (GPR : Ground Penetrating Radar) .................................................. 38

I.C.2) Méthodes basées sur la résonance magnétique des protons (RMP) ....................... 39

I.C.3) Méthode neutronique (sonde à neutron)................................................................. 41

I.D) Mesure d’autres paramètres hydrauliques..................................................................... 43

I.D.1) Tensiomètre ............................................................................................................ 43

I.D.2) Mesures de K(h) à l’infiltromètre à disque ............................................................ 45

I.D.3) Lysimètre................................................................................................................ 46

Chapitre II : Transferts thermiques dans les sols, liens avec les transferts hydriques et capteurs de mesure haute précision de la température.........49

II.A) Transferts de chaleur dans les sols............................................................................... 49

II.A.1) Modes de transferts de chaleur.............................................................................. 49

II.A.1.a) La conduction ................................................................................................. 49

II.A.1.b) La convection ................................................................................................. 49

II.A.2) Régimes thermiques et équations gouvernant le transfert de chaleur................... 50

II.A.2.a) Régime stationnaire (permanent).................................................................... 50

II.A.2.b) Régimes variables........................................................................................... 51

II.B) Mesure in situ haute précision de la température......................................................... 56

II.B.1) Capteur réparti (fibre optique)............................................................................... 57

II.B.2) Capteurs ponctuels ................................................................................................ 57

II.B.2.a) Thermocouples................................................................................................ 58

v

II.B.2.b) Thermomètres à thermistance......................................................................... 58

II.B.2.c) Thermomètres à résistance métallique............................................................ 59

II.B.3) Enregistrement de la température.......................................................................... 63

II.B.3.a) Partie analogique............................................................................................. 64

II.B.3.b) Le convertisseur analogique numérique ......................................................... 64

II.B.3.c) Le microcontrôleur ......................................................................................... 64

II.B.4) Caractéristiques globales de l’instrument de mesure ............................................ 65

II.B.4.a) Etendue de mesure (dynamique)..................................................................... 66

II.B.4.b) Justesse (offset)............................................................................................... 66

II.B.4.c) Fidélité ............................................................................................................ 70

II.B.4.d) Sensibilité ....................................................................................................... 71

II.B.4.e) Résolution ....................................................................................................... 71

II.C) Systèmes de mesure avec excitation artificielle utilisés pour mesurer la teneur en eau et la vitesse d’écoulement ......................................................................................... 73

II.C.1) Sondes à choc thermique mesurant λ et/ou Cv ...................................................... 73

II.C.2) Mesures de la vitesse d’écoulement ...................................................................... 73

Chapitre III : Site expérimental et dispositifs de mesure .........75

III.A) Situation géographique et caractéristiques lithologiques du terrain........................... 75

III.B) Installation des capteurs et mesures de la température............................................... 76

III.C) Structure et propriétés du sol ...................................................................................... 79

III.D) Précipitations .............................................................................................................. 80

III.E) Evapo-transpiration potentielle................................................................................... 81

III.F) Mesures de la teneur en eau volumique avec des sondes TDR .................................. 82

III.G) Infiltration................................................................................................................... 83

III.H) Calcul de l’ETP (formule de Thornthwaite)............................................................... 84

Chapitre IV : Traitement des données température .................87

IV.A) Génération de données synthétiques .......................................................................... 89

vi

IV.A.1) Sinusoïde diurne et semi diurne .......................................................................... 90

IV.A.2) Termes transitoires superposés à une sinusoïde diurne et semi diurne ............... 90

IV.B) Traitement de données synthétiques : codes utilisés .................................................. 92

IV.B.1) Méthode de calcul analytique utilisant les variations sinusoïdales ..................... 92

IV.B.1.a) Rappel sur les calculs en sol homogène ........................................................93

IV.B.1.b) Méthode d’extraction des amplitudes et phases de la variation diurne et de ses harmoniques ........................................................................................ 95

IV.B.1.c) Rappel sur les effets de la non homogénéité du terrain (milieu tabulaire 1 D)................................................................................................................. 96

IV.B.1.d) Résultats obtenus avec des données synthétiques en terrain homogène ...................................................................................................................... 98

IV.B.1.e) Modulation .................................................................................................... 98

IV.B.2) Code en différences finies (DF)......................................................................... 100

IV.B.2.a) Principe........................................................................................................ 100

IV.B.2.b) Prise en compte (ou non) de la vaporisation/condensation de l’eau et de la variation de la diffusivité avec la profondeur..................................................... 101

IV.B.2.c) Calcul direct de l’infiltration à partir d’un schéma en DF .......................... 103

IV.B.2.d) Application de la méthode des moindres carrés.......................................... 106

IV.B.2.e) Application des codes DF sur des données synthétiques ............................ 107

IV.B.3) Code en éléments finis (EF) .............................................................................. 110

IV.B.3.a) Principe........................................................................................................ 110

IV.B.3.b) Schémas numériques utilisés ...................................................................... 111

IV.B.3.c) Application des schémas en EF sur des données synthétiques ................... 112

IV.C) Analyse spectrale des données réelles...................................................................... 113

IV.D) Calculs sur les données réelles................................................................................. 114

IV.D.1) Calcul par utilisation des rapports d’amplitude et des déphasages de la variation diurne ............................................................................................................... 114

IV.D.2) Calcul par schéma en EF - Détermination de la diffusivité en EF et suivi de la teneur en eau........................................................................................................... 116

vii

IV.D.3) Calculs à partir d’un schéma par DF - Détermination de la vitesse de Darcy............................................................................................................................... 118

IV.D.3.a) Choix des épisodes...................................................................................... 118

IV.D.3.b) Détermination de la structure thermique du terrain par recherche de la position optimale d’une interface ............................................................................ 119

IV.D.3.c) Vitesse de Darcy ......................................................................................... 122

IV.E) Bilan hydrologique ................................................................................................... 125

Conclusions et perspectives .......................................................129

ix

Liste des tableaux

Tableau 1. 1 - Coefficients de corrélation entre les propriétés thermiques du sol et les fractions volumiques du sol...................................................................................................... 19

Tableau 1. 2 - Profondeur de pénétration des variations thermiques sinusoïdales .................. 20

Tableau 2. 1 - Erreur de justesse de l’électronique des différents capteurs de température............................................................................................................................... 67

Tableau 2. 2 - Etalonnage par comparaison au capteur 1......................................................... 69

Tableau 2. 3 - Ecart-type et coefficient de variation de chaque capteur .................................. 70

Tableau 2. 4 - Intervalle de confiance de chaque capteur ........................................................ 70

Tableau 3. 1 - Précipitations et températures moyennes mensuelles ....................................... 81

Tableau 3. 2 - Coefficient de correction F de la formule de Thornthwaite (Brochet and Gerbier 1968)..................................................................................................................... 85

Tableau 3. 3 - Valeur de la RFU pour un sol limono-argileux (Rieul and Ruelle 2003) ......... 86

Tableau 4. 1 - Erreur relative sur les valeurs de diffusivité thermique (pour u=10 mm j-1)........................................................................................................................... 109

Tableau 4. 2 - Erreur relative sur les valeurs de la vitesse de Darcy (pour u=8 mm j-1)........ 109

Tableau 4. 3 - Diffusivités apparentes en amplitude et en phase pour chacun des épisodes .................................................................................................................................. 114

Tableau 4. 4 - Bilan hydrique à la station de Boissy-le-Châtel, ETP (calculée selon Thornthwaite) à partir de la température de surface du sol.................................................... 126

Tableau 4. 5 - Bilan hydrique à la station de Boissy-le-Châtel, ETP (calculée selon Penman-Monteith) fournie par Météo-France........................................................................ 127

Tableau 4. 6 - Vitesse de Darcy moyenne en mm j-1 pour chaque mois à partir des enregistrements des capteurs situés à 12, 15 et 18 cm (sauf pour les mois de mai et juin : 15, 18 et 24 cm) et 24 cm.............................................................................................. 127

Tableau 4. 7 - Synthèse de tous les résultats des calculs à la station de Boissy-le-Châtel, selon l’ETP (calculée selon Thornthwaite et selon Penman-Monteith) et la RFU (50 ou 80 mm) utilisée................................................................................................... 128

x

Liste des figures

Figure 1. 1 - Porosités hydrogéologiques, concept de stockage d’eaux souterraines (modifié d’après de Marsily 1981 et Lubczynsk 2003)............................................................. 9

Figure 1. 2 - Tortuosité d’un milieu poreux............................................................................. 13

Figure 1. 3 - La conductivité thermique de quelques types de sols en fonction de la teneur en eau (Musy and Soutter 1991) ................................................................................... 17

Figure 1. 4 - Comparaison de la conductivité thermique équivalente prédite pour un sol limoneux (Muerth 2008)..................................................................................................... 18

Figure 1. 5 - Valeurs moyenne des conductivités thermiques et capacité calorifique pour chaque fraction (air, eau, solide)...................................................................................... 19

Figure 1. 6 - Schéma de la structure de l’eau souterraine au voisinage d’un grain. Interaction eau/roche (Polubrinova-Kochina 1962). ................................................................ 21

Figure 1. 7 - Zonalité sol/eau souterraine. 1, eau de rétention ; 2, eau gravitaire ; 3, eau capillaire (Castany 1982) ................................................................................................... 23

Figure 1. 8 - Flux de masse ...................................................................................................... 25

Figure 1. 9 - Principe de l’essai au perméamètre ..................................................................... 29

Figure 1. 10 - Schéma d’un réflectomètre sonde TDR ............................................................ 34

Figure 1. 11 - Signal enregistré par le réflectomètre................................................................ 35

Figure 1. 12 - Classification des appareils RMP (Legchenko 2001) ....................................... 40

Figure 1. 13 - Schéma fonctionnel du dispositif instrumental NUMIS (Boucher 2007) ......... 41

Figure 1. 14 - Sonde neutronique ............................................................................................. 42

Figure 1. 15 - Tensiomètre ....................................................................................................... 43

Figure 1. 16 - Schéma de l’infiltromètre à disque (Coquet et al. 2000)................................... 45

Figure 1. 17 - Schéma d’un lysimètre ...................................................................................... 46

Figure 2. 1 - Variations de température dans le sol à différentes profondeurs ........................ 51

Figure 2. 2 - Exemple d’écart des termes transitoires de la sinusoïde journalières ................. 56

Figure 2. 3 - Fibre optique........................................................................................................ 57

Figure 2. 4 - Principe du thermocouple.................................................................................... 58

xi

Figure 2. 5 - Vitesse de l’électron ............................................................................................ 60

Figure 2. 6 - Loi de transfert de la résistance de platine Pt 100 ............................................... 62

Figure 2. 7 - Tolérances des sondes à résistance Pt 100 suivant la norme CEI 751 ................ 62

Figure 2. 8 - Les différents types de raccordement électrique ................................................. 63

Figure 2. 9 - Schéma de l’électronique associée au capteur de température............................ 64

Figure 2. 10 - Quantifications des erreurs ................................................................................ 66

Figure 2. 11 - Résistances mesurées pour chaque capteur, par une résistance à

réponse constante à 100 Ω ....................................................................................................... 67

Figure 2. 12 - Etalonnage des capteurs de température dans un bain d’eau entre 0 et 20°C.......................................................................................................................................... 68

Figure 2. 13 - Enregistrements de températures brutes des capteurs dans un bain Marie ........................................................................................................................................ 68

Figure 2. 14 - Température étalonnée par rapport aux enregistrements de température du capteur 1 .............................................................................................................................. 69

Figure 2. 15 - La plus petite variation de la grandeur mesurée................................................ 72

Figure 3. 1 - Situation géographique du site d’étude ............................................................... 75

Figure 3. 2 - Installation des capteurs de mesures de température sur la parcelle de Boissy-le-Châtel ....................................................................................................................... 76

Figure 3. 3 - Mesures des températures obtenues aux différentes profondeurs (cas du 14 au 16 aout 2009).................................................................................................................. 77

Figure 3. 4 - Variation annuelle des températures du sol du 17 février 2009 au 8 mars 2010 (Boissy-le-Châtel) ........................................................................................................... 77

Figure 3. 5 - Épisode transitoire affectant les mesures entre le 19 et le 24 juillet 2009 .......... 78

Figure 3. 6 - Sondage électrique............................................................................................... 79

Figure 3. 7 - Précipitations et températures du sol mensuelles, entre février 2009 et février 2010 .............................................................................................................................. 80

Figure 3. 8 - Pluie annuelle moyenne depuis 1963 à 2009 ...................................................... 81

Figure 3. 9 - Evapotranspiration potentielle moyennes mensuelles en bleu et journalières en vert (mars 2009-février 2010) d’après la formule de Penman-Monteith ................................................................................................................................... 82

xii

Figure 3. 10 - Teneur en eau volumique du sol (à 5, 15, 25 et 35 cm) sec et humide ............. 83

Figure 3. 11 - Facteurs influençant l’infiltration ...................................................................... 84

Figure 3. 12 - Évapotranspiration potentielle calculée et corrigée par rapport à la latitude (d’après la formule de Thornthwaite).......................................................................... 85

Figure 4. 1 - Comparaison des valeurs de températures enregistrées avec un LSB au 1/1000 K et ceux au 1/10 K...................................................................................................... 88

Figure 4. 2 - Disparition complète de l’information pour des enregistrements effectués avec un LSB au 1/10 K (en rouge) ........................................................................... 89

Figure 4. 3 - Sinusoïdes diurnes comprenant une variation diurne et une variation semi diurne ............................................................................................................................... 90

Figure 4. 4 - Données synthétiques générées sur 10 jours ....................................................... 91

Figure 4. 5 - Données synthétiques avec une harmonique d’ordre 2 ....................................... 91

Figure 4. 6 - Variation transitoire sur quelques jours venant se superposer aux variations diurne et semi-diurne............................................................................................... 99

Figure 4. 7 - Maillage en différences finies ........................................................................... 100

Figure 4. 8 - Système à deux équations dans le temps (à gauche) et dans l’espace (à droite) ..................................................................................................................................... 103

Figure 4. 9 - Erreur relative maximale pour le terme de diffusivité en fonction de l’infiltration ou de l’exfiltration ............................................................................................. 108

Figure 4. 10 - Erreur de position des capteurs........................................................................ 108

Figure 4. 11 - Plaque métallique en laiton avec canons écartés de 3 cm ............................... 109

Figure 4. 12 - Épisode d’enregistrement des températures du 1er juillet 2009 au 30 septembre 2009 ...................................................................................................................... 113

Figure 4. 13 - Présence des harmoniques d’ordre 1 et 2 ........................................................ 114

Figure 4. 14 - Variation de Γph en fonction de la profondeur (1er octobre au 15 décembre 2009) ...................................................................................................................... 115

Figure 4. 15 - Précipitations mesurées - Variations de la teneur en eau (valeur moyenne entre 12 à 18 cm) calculées par EF à partir des mesures passives de température (en marron), et obtenues à partir des sondes TDR (à 5 cm : en vert, à 15 cm : en rouge et à 25 cm : en bleu) ................................................................................... 117

Figure 4. 16 - Episodes de traitement..................................................................................... 118

xiii

Figure 4. 17 - Exemple de maillage spatio-temporel pour M=5 (en temps) et I=6 (en profondeur)............................................................................................................................. 120

Figure 4. 18 - Comparaison entre les variations mesurées et calculées (du 18 au 26 janvier et du 6 au 14 aout 2009), en bleu les valeurs calculées, en rouge les mesures de température ........................................................................................................................ 121

Figure 4. 19 - Calcul (DF) de la vitesse de Darcy : résultats (épisode A), faible précipitation - forte variation de T ......................................................................................... 122

Figure 4. 20 - Calcul (DF) de la vitesse de Darcy : résultats (épisode B), forte précipitation - variation modérée de T ................................................................................... 123

Figure 4. 21 - Calcul (DF) de la vitesse de Darcy : résultats (épisode C), précipitation modérée – faible variation de T.............................................................................................. 123

Figure 4. 22 - Superposition d’un phénomène transitoire aux variations périodiques lors du réchauffement de février 2010 ................................................................................... 124

Figure 4. 23 - Pluie (en bleu) - vitesse de Darcy calculée via différentes configurations de capteurs...................................................................................................... 125

Figure 4. 24 - Episode de gel du sol entre le 5 et le 15 janvier 2010, température enregistrée à 12 cm de profondeur ......................................................................................... 128

xv

Liste des symboles

ρs masse volumique réelle du sol (kg m-3)

ρd masse volumique sèche (kg m-3)

ρb masse volumique humide (kg m-3)

Sp surface spécifique (m² kg-1)

Xi fractions volumiques du sol

n porosité totale

neff porosité efficace

nc porosité cinématique

e indice de vides

Vv volume des vides (m3)

Vair volume d’air (m3)

Veau volume d’eau (m3)

Vs volume des grains solides (m3)

Vt volume total (m3)

mw masse d’eau contenue dans l’échantillon de sol (kg)

ms masse de matière sèche de l’échantillon de sol (kg)

ω teneur en eau massique ou humidité pondérale

θ teneur en eau volumique ou humidité volumique du sol

Sw indice de saturation

As section (m²)

∆h perte de charge de l’eau (m)

K cœfficient de perméabilité (conductivité hydraulique) (m s-1)

L épaisseur (m)

V vitesse de filtration (m s-1)

k perméabilité intrinsèque en (m²)

µd viscosité dynamique (viscosité dynamique de l’eau à 20°C = 10-3 Pa s)

g accélération de la pesanteur (m s-2)

ρ masse volumique du fluide (kg m-3)

ρw masse volumique de l’eau (environ 1000 kg m-3)

∇P différence de pression (Pa)

σroche conductivité électrique de la roche (S m-1)

σfluide conductivité électrique du fluide (S m-1)

σsurface conductivité électrique de surface (S m-1)

F facteur de formation

m facteur de cimentation

ε permittivité diélectrique (F m-1)

xvi

ε0 permittivité diélectrique du vide = 8,854 10-12 F m-1

k′ permittivité diélectrique relative ou constante diélectrique

dQ quantité d’énergie à apporter par échange thermique (J)

Cv capacité calorifique (chaleur spécifique) volumique du sol triphasique (J K-1 m-3)

Cair capacité calorifique (chaleur spécifique) volumique de l’air = 0,0012 106 J K-1 m-3

Ceau capacité calorifique (chaleur spécifique) volumique de l’eau = 4,17 106 J K-1 m-3

Cms capacité calorifique (chaleur spécifique) volumique de la matrice solide (J K-1 m-3)

c chaleur massique (J K-1 kg-1)

λ conductivité thermique du sol triphasique (W m-1 K-1)

λ air conductivité thermique de l’air = 0,025 W m-1 K-1

λ eau conductivité thermique de l’eau = 0,59 W m-1 K-1

λ ms conductivité thermique de la matrice solide (W m-1 K-1)

Г diffusivité thermique (m2 s-1)

p profondeur de pénétration (m)

ω pulsation (rad s-1)

θmax capacité de rétention

θc capacité au champ

θs teneur en eau à saturation

θr teneur en eau résiduelle

H charge hydraulique (m)

u vitesse de Darcy (m s-1)

z cote (m)

ψp potentiel de succion matricielle (Pa)

ψz potentiel gravitaire (Pa)

t temps (s)

Ks conductivité hydraulique à saturation (m s-1)

D diamètre du forage (m)

T transmissivité (m2 s-1)

S(y) coefficient d’emmagasinement

s rabattement mesuré dans un piézomètre (m)

r distance du piézomètre à l’axe du puits (m)

Q débit (m3 s-1)

v vitesse de propagation d’une onde électromagnétique (m s-1)

cv vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide =3 108 m s-1

µ perméabilité magnétique (H m-1)

µr perméabilité magnétique relative (H m-1)

µ0 perméabilité magnétique du vide = 4 π 10-7 H m-1

d distance parcourue (m)

xvii

B0 champ magnétique (T)

N nombre d’impulsion neutronique pendant un intervalle de temps (taux de comptage)

N0 comptage standard (d’impulsion neutronique) dans un milieu référence très absorbant

(eau, paraffine…)

Pp pression d’eau dans les pores, au niveau de la bougie (Pa)

Px pression d’eau dans le capteur de pression en équilibre avec la bougie, relative à la

pression atmosphérique (Pa)

a distance verticale, entre le capteur de pression et la bougie (m)

h0 potentiel d’infiltration (m)

r rayon du disque (m)

α constante caractéristique du sol (m-1)

q∞ flux permanent émanant d’un disque (m s-1)

TJ

flux total de chaleur (W m-2)

DJ

flux de chaleur transférée par conduction ou diffusion thermique (W m-2)

VJ

flux convectif (W m-2)

Pe nombre de Péclet

d diamètre moyenne de pores (m)

Lλ′ conductivité thermique dans le sens de l’écoulement (W m-1 K-1)

T température (°C)

Tmoy température moyenne (°C)

T0 amplitude des variations de température à la surface du sol (°C)

zi profondeur des capteurs de température (m)

R(z1,z2) rapport des amplitudes des variations de température à deux profondeurs

φ phase des variations de température (rad)

∆φ(z1,z2) différence de phase des variations de température à deux profondeurs (rad) miτ valeurs approchées de la température T(z,t) au point (zi,tm)

Гamp diffusivité apparente en amplitude (m2 s-1)

Гph diffusivité apparente en phase (m2 s-1)

υ convection thermique (m s-1)

(0, )tφ flux de chaleur à la surface (W m-2)

H(t) fonction d’Heavside

(∂φ/∂τ) amplitude de la variation du flux de chaleur en échelon d’Heavside

τ durée des échelons d’Heavside en flux de chaleur (s)

TH(z,t) réponse à un flux unitaire en H(t) (°C)

R résistance électrique (Ω)

E champ électrique (N C-1)

Fe force électrostatique (N)

me masse effective (kg)

xviii

q charge électrique (C)

( )v t vitesse de l’électron (m s-1)

N nombre d’électron libre par unité de volume

j densité de courant (A m-2)

l longueur du fil (m)

S section du fil (m2)

ρ résistivité électrique (Ω m)

R0 résistance à 0°C ; pour une Pt 100 R0=100 Ω

R100 résistance à 100°C ; pour une Pt 100, R100=138,5 Ω

RT résistance à une température donnée (Ω)

X moyenne expérimentale

J erreur de justesse

Ti,j température du capteur j à la ième mesure

σ écart-type

S sensibilité

∆V différence de potentiel ou tension (V)

P pluie (mm)

ETP évapotranspiration potentielle (mm)

a exposant climatique en fonction de l’indice I

I indice thermique annuel (la somme des indices mensuels)

i indice thermique mensuel

ETR évapotranspiration réelle (mm)

RFU réserve facilement utilisable (mm)

RU réserve utile (mm)

A source de chaleur, représente la quantité de chaleur absorbée ou libérée (J m-3 s-1)

γ coefficient complexe d’amortissement (m-1)

ωd pulsation correspondant à la variation diurne (rad)

h pas d’espace (m)

k pas de temps (s)

Γi diffusivité thermique au niveau du capteur de température i (m2 s-1)

s somme des écarts quadratiques

1

Introduction

La zone non saturée est un milieu complexe qui joue un rôle majeur dans les stockages

et les transferts d’eau. La détermination de la teneur en eau liquide et de son évolution dans le

temps comme celle des transferts verticaux, ont donc fait et font toujours l’objet de

nombreuses études et des méthodes variées ont été développées pour mettre au point des

mesures quantitatives de ces phénomènes. A coté de la teneur en eau, facteur déterminant de

la croissance et de la survie de végétaux comme des propriétés mécaniques d’un sol, le

transfert vertical (infiltration, exfiltration) est en effet l’une des composantes principales du

bilan hydrique qui s’établit entre l’atmosphère et le sol mais elle est difficile à mesurer sur

toute l’étendue de la gamme de temps où on souhaiterait le connaître.

Parmi l’ensemble des nombreuses méthodes de mesures envisageables, l’analyse des

transferts thermiques offre de larges possibilités à la fois pour la détermination de la teneur en

eau et, simultanément, pour celle de l’infiltration. Toute variation de la teneur en eau modifie

en effet les propriétés thermiques, conductivité et chaleur volumique, et tout déplacement de

fluides introduit un transfert par convection qui vient se superposer au transfert par

conduction. La mesure des températures est par ailleurs relativement aisée : elle peut être

effectuée avec une grande sensibilité et les capteurs utilisés sont faciles à mettre en œuvre, de

faible coût et à faible consommation électrique. Elle est de ce fait couramment utilisée pour

les mesures de flux lents d’eau comme pour les mesures d’échange de chaleur.

Depuis la fin des années trente des études ont été réalisées pour établir les relations

entre les propriétés thermiques et la teneur volumique en chacun des constituants d’un sol,

elles ont abouti à la définition de formules empiriques simples appuyées à la fois sur un large

ensemble de données expérimentales et sur des modélisations théoriques. Plus tard, à partir

des années soixante, des études du suivi des mesures de température d’un profil vertical ont

été menées pour déterminer la composante verticale de la vitesse de Darcy en milieu non

saturé. Elles ont conduit à distinguer le cas de la zone peu profonde où les températures

dépendent de la profondeur mais aussi du temps (influence des changements de température

de surface), où le transfert doit être étudié dans ses deux dimensions z (profondeur) et t

(temps), du cas des couches profondes où un état stationnaire peut être considéré comme

établi. Dans ce second cas, Bredehoeft et Papadopoulos (1965) ont proposé une solution

analytique en régime stationnaire prenant en compte les transferts par conduction et par

convection, elle correspond à une variation exponentielle de la température avec la profondeur

2

où la courbure de l’exponentielle dépend de la vitesse de Darcy. Sous les mêmes hypothèses,

plusieurs auteurs (Stallman 1967 ; Sorey 1971 ; Boyle and Saleem 1979) ont comparé les flux

d’eau obtenus à ceux déduits de données hydrauliques, avec des résultats satisfaisants.

L’évaluation des flux d’eaux à partir des températures dans les couches superficielles,

est plus complexe du fait de la variation temporelle de la température. En considérant un

milieu saturé (riziculture) et des vitesses de percolation importantes Suzuki (1960) a le

premier élaboré une méthode permettant d’estimer la percolation à partir des variations

sinusoïdales de la température. Toujours à partir des variations sinusoïdales Stallman (1965)

proposa une solution analytique approximative qu’il appliqua aux milieux non saturés et aux

variations diurnes de la température mais avec une précision finale plus mauvaise que

1 mm j-1. Taniguchi (1993) a apporté plusieurs améliorations à cette approche en distinguant

infiltration et exfiltration mais, au contraire de Stallman, il a fait porter son calcul sur les

variations annuelles. Les solutions analytiques complètes au problème du transfert conductif

et convectif pour des variations temporelles sinusoïdales et transitoires ont finalement été

proposées par Tabbagh et al. (1999). Deux méthodes de calcul analytique pour des variations

sinusoïdales et transitoires ont d’abord été établies. Elles ont été appliquées aux variations

annuelles (Cheviron 2004 ; Cheviron et al. 2005) et aux variations transitoires (Bendjoudi et

al. 2005) ce qui a permis de montrer que, malgré le manque de précision (0,1 K) des capteurs

utilisés (existant dans les stations météorologiques, ou acquis dans le commerce), il était

possible de déterminer l’infiltration ou l’exfiltration sur des durées qui pouvaient être longues,

de plusieurs années, ou relativement courtes, sur une dizaine de jours, si l’importance de la

fluctuation thermique est suffisante. Ceci a notamment permis une estimation à long terme de

la recharge sur le Bassin de la Seine à partir des données des stations météorologiques

(Tabbagh et al. 2009), mais l’application de cette approche à de courtes durées en l’absence

de variations importantes de la température reste encore à réaliser.

Pour parvenir à exploiter des variations de courtes durées, deux limitations doivent être

levées : (1) les capteurs du commerce ont une sensibilité insuffisante, 0,1 K, (2) il faut

disposer de données acquises avec un pas de temps suffisamment court. La réalisation par

l’UMR Sisyphe de capteurs sensible à 1 m K et d’un système d’acquisition permettant un pas

de quelques minutes avec une autonomie supérieure au mois ouvre la possibilité de pallier ces

limitations. L’objectif de ce travail de thèse est de tester les outils et les méthodes permettant,

sur des durées de l’ordre de la journée (car un pas de temps plus fin n’a pas grande

signification in situ), de déterminer la teneur en eau, ou au moins ses variations, et

3

l’infiltration/exfiltration par des mesures passives utilisant les variations naturelles de la

température du sol observée sur un profil vertical.

En effet, l’exploitation des enregistrements de température du sol associés à d’autres

éléments de contrôle sont actuellement sous utilisées et n’ont pas encore réalisé leur plein

potentiel (Anderson 2005).

Ce mémoire est divisé en quatre chapitres.

Le premier chapitre présente d’abord les différentes propriétés physiques des milieux

tri-phasiques que sont les sols (géométriques, hydrauliques, électriques et thermiques) en

relation avec la présence et la circulation de l’eau. Nous décrivons ensuite la zone saturée et la

zone non saturée, les flux d’eau dans ces deux zones et les équations gouvernant les transferts

d’eau. Puis nous détaillons les différentes méthodes permettant de mesurer et de suivre la

teneur en eau dont celles qui vont être employées dans le cadre de notre travail.

Le deuxième chapitre est dédié à la présentation des mesures de la température. Après

un bref rappel des différents thermomètres, le capteur de mesure que nous avons choisi, un

thermomètre à résistance de platine, y est présenté en détail.

Dans le troisième chapitre est présenté le site d’étude, ses caractéristiques, l’installation

des capteurs de température, les données de contrôle dont nous avons disposé et les

caractéristiques principales des mesures de température obtenues.

Enfin dans le quatrième et dernier chapitre sont abordées les différentes méthodes

permettant de calculer l’infiltration et les variations de la teneur en eau, en particulier les

différents schémas numériques utilisés et une confrontation avec les données de contrôle

existantes est réalisée.

5

I) Chapitre I : Sol et eau dans le sol

Cette première partie est consacrée aux éléments de contrôle de notre étude, elle va nous

permettre de décrire les différentes propriétés physiques du sol en relation avec les propriétés

hydrodynamiques. Il s’agit des propriétés électriques et thermiques. Nous aborderons ensuite

les différentes méthodes de mesure de la teneur en eau.

I.A) Présentation du sol : milieu poreux

Le sol se forme par des processus lents à l’échelle humaine mais très rapides à l’échelle

géologique. Les roches s’altèrent au cours du temps sous l’action du climat et des êtres

vivants, microfaune comme macrofaune (y compris directement ou indirectement l’Homme),

avec modification des minéraux et formation de nouveaux composants. Progressivement les

sols acquièrent des structures définies, originales par rapport à celles que présentait la roche

mère. D’une manière générale, la structure d’un sol est définie comme le mode d’assemblage

des éléments constitutifs de la phase solide. Cet assemblage engendre la mise en place d’un

réseau d’espaces lacunaires. Le sol remplit deux rôles principaux vis à vis des écoulements

liquides : le stockage d’eau (et des substances nutritives nécessaires à la survie des végétaux)

et la filtration en profondeur de la fraction qui percole, par des voies préférentielles le plus

souvent, ce qui permet la recharge des nappes (et le transfert de produits toxiques contaminant

les réserves en eau). La structure du sol gouverne le transport d’eau et l’aération.

Toutes les grandeurs utilisées pour caractériser un sol sont basées sur le concept du

volume élémentaire représentatif (VER), différents d’une propriétés à une autres, essentiel

dans l’étude des milieux poreux, qui suppose que l’on peut affecter à un point dans l’espace

une perméabilité, une porosité ou tout autre variable macroscopique d’intérêt, permettant la

définition -éventuellement la mesure- de la propriété « moyenne » sur un « volume »

entourant ce point. Il s’agit donc d’une intégration dans l’espace (de Marsily 1981). Le VER

doit être assez grand pour contenir un nombre suffisant de pores afin de pouvoir définir une

propriété moyenne globale, et en même temps assez petit pour que les variations des

paramètres d’un domaine au domaine voisin puissent être décrites en les approchant par des

fonctions. On conçoit que la définition du VER, notamment quand un milieu est très

hétérogène, ne soit pas toujours possible. Les difficultés de l’étude des milieux multi-phasés

(comme le sol) proviennent principalement de la variété et de l’aspect aléatoire de leurs

microstructures internes et du couplage entre les composants des différentes phases. L’étude

des sols comporte en général la description du sol, en tant que système isolé, et l’analyse de

6

ses relations et interactions avec les autres éléments de l’écosystème. Les phénomènes

rapides, tels que les transferts d’eau, d’air, de chaleur ou de solutés, exercent en effet une

influence déterminante sur les conditions et les rythmes de croissance des végétaux qui à leur

tour peuvent en modifier la structure et les constituants. La physique du sol, en fournissant

une description de ces processus, constitue ainsi un instrument indispensable à une bonne

gestion des sols, non seulement du point de vue de l’amélioration de la production végétale,

mais également à l’égard de leur protection et de leur conservation (Musy and Soutter 1991).

Plusieurs propriétés physiques permettent la description d’un tel milieu.

I.A.1) Propriétés physiques des sols (triphasiques) en relation avec les propriétés hydrodynamiques

I.A.1.a) Propriétés géométriques

I.A.1.a.1) Texture

La texture est la proportion des particules minérales de différentes tailles qui composent

le sol. Elle est définie, en tant que critère de différenciation, comme étant la répartition

pondérale des particules élémentaires en fonction de leur géométrie (Musy and Soutter 1991).

I.A.1.a.2) Structure

La structure est le mode d’assemblage des particules de sol. Elle est définie comme

étant l’organisation de la phase solide du sol.

I.A.1.a.3) Masse volumique réelle du sol sρ

s

ss

Mmasse des particules de sol sec

volume des particules de sol sec Vρ = = , elle est toujours proche de 2,65 g/m3

(Hénin 1977). (I.1)

I.A.1.a.4) Masse volumique sèche dρ

s

dt

Mmasse sèche du sol

volume total de sol Vρ = = , elle aussi appelée abusivement densité apparente ds

du sol à l’état sec (bulk density en anglais), avec ds

eau

dρ

ρ= et 3 31000 / 1 /eau kg m g cmρ = = .

(I.2)

7

I.A.1.a.5) Masse volumique humide bρ

b

masse du sol

volume totalρ = (I.3)

I.A.1.a.6) Surface spécifique

La surface spécifique d’un milieu poreux, notéepS , est le rapport de la surface totale

des grains, soit sur le volume de l’échantillon (surface volumique), soit sur la masse (surface

massique) du solide.

' 'p p

surface totale des grains surface totale des grainsS ou S

volume de l échantillon masse de l échantillon= = (I.4)

Celle-ci est un facteur important des relations entre l’eau et l’encaissant. En effet la

proportion d’eau libre dépend de cette surface spécifique qui influence notamment :

La capacité d’échange des cations (CEC)

La sorption des substances chimiques

La rétention de l’eau aux faibles humidités

I.A.1.a.7) Fractions volumiques Xi du sol

Elle exprime le rapport du volume de la phase ou du constituant considéré au volume

total de sol.

i

volume du constituant considéréX

volume total= (I.5)

I.A.1.b) Propriétés hydrauliques (transport de fluide)

La description quantitative de la phase liquide (eau) dans le sol, repose sur la notion de

teneur en eau du sol (on réserve le terme d’humidité au rapport entre la tension de vapeur et la

tension de vapeur saturante). Celle-ci varie principalement en fonction de la structure de sol et

de sa porosité.

I.A.1.b.1) Les porosités et l’indice des vides

La porosité est la propriété d’un corps ou d’un milieu de comporter des vides, exprimée

quantitativement par le rapport du volume de ces vides au volume total du milieu. Elle

8

équivaut à la teneur en eau volumique du milieu saturé. Son inverse est la compacité. La

porosité totale, quantifie tous les vides présents dans le sol. Elle est la somme de la porosité

ouverte (ou connectée) et de la porosité fermée. La porosité totale n est donc:

v

t

Vvolume des videsn

volume total V= =

-1- 1-t s s d

t t s

V V Vn

V V

ρρ

= = = (I.6)

En prenant en compte la connexion entre les interstices, il a été distingué : la porosité

des vides ‘intercommunicants’ et celle des vides ‘non connectés’.

La porosité formée par les seuls vides intercommunicants est appelée porosité ouverte.

La porosité formée par les vides non interconnectés est la porosité close ou porosité

vacuolaire, dénommée aussi porosité résiduelle, qui ne peut entrer en compte dans la

perméabilité.

En hydrogéologie, les distinctions ne sont plus exclusivement géométriques mais se

réfèrent à l’eau contenue dans le milieu poreux, à ses liaisons physiques avec la matrice solide

et à ses mouvements possibles (Fig 1.1).

La porosité efficace effn (Castany 1982) est le rapport du volume d’eau gravitaire, que

le réservoir peut contenir à l’état saturé, puis libérer sous l’effet d’un égouttage complet, à son

volume total.

eff

'

volume d eau gravitairen

volume total= (I.7)

Elle équivaut en pratique au coefficient d’emmagasinement d’un aquifère à nappe libre.

Ce concept est dénommé aussi, suivant les auteurs : porosité effective, porosité de drainage,

porosité utile, porosité dynamique (Schoeller 1955), capacité d’écoulement, capacité de libre

d’écoulement (Schoeller 1955), coefficient d’écoulement, coefficient de restitution,

coefficient de stockage, absorption spécifique (Fourmarier 1939) ou capacité effective

d’absorption (Schoeller 1955). Elle représente ainsi le volume d’eau qui peut être drainée au

champ par l’action de la force gravitaire jusqu’à atteindre une saturation d’équilibre. Ce

volume d’eau quantifié par la porosité de drainage est différent du volume d’eau qui participe

réellement à l’écoulement en zone saturée. L’eau contenue dans les pores en cul de sac par

9

exemple, peut être drainée gravitairement alors qu’elle n’est pas mise en mouvement lors de

l’écoulement (Vouillamoz 2003).

Porosité totale (n)

Eau capillaire Eau gravifique

Eau mobile

Teneur en eau libreEau liée

Eau liéeP

oros

itécl

ose

(rés

idue

lle) o

u en

cul

-de-

sac

Capacité de rétention capillaire Porosité de drainage

Zone non saturée

Zone saturée

Porosité cinématique

Porosité totale (n)

Eau capillaire Eau gravifique

Eau mobile

Teneur en eau libreEau liée

Eau liéeP

oros

itécl

ose

(rés

idue

lle) o

u en

cul

-de-

sac

Capacité de rétention capillaire Porosité de drainage

Zone non saturée

Zone saturée

Porosité cinématique

Figure 1. 1 - Porosités hydrogéologiques, concept de stockage d’eaux souterraines (modifié

d’après de Marsily 1981 et Lubczynsk 2003)

La porosité cinématique (Castany 1982) est le rapport entre la vitesse de Darcy et la

vitesse de déplacement moyenne de l’eau en mouvement dans un milieu perméable.

' c

vitesse de Darcyn

vitesse moyenne de déplacement de l eau= (I.8)

Elle est aussi équivalente au rapport du volume des vides réellement parcourus par l’eau

gravitaire (en zone saturée sous l’action d’un gradient de charge) au volume total du milieu

(saturé ou non) : c’est la teneur en eau mobile.

'

c

volume d eau mobilen

volume total= (I.9)

Elle est dénommée aussi, suivant les auteurs : porosité effective cinématique, porosité

effective dynamique. Elle est équivalent à l’ « effective porosity » et dans la terminologie

américaine correspond à l’ « interconnected pore space volume available for fluid

transmission » différent de l’« effective porosity » de Meintzer, et équivalente à la porosité

« active » des auteurs russes.

10

Ce concept est proche de la porosité efficace, défini comme le rapport de volume. Pour

exprimer plus clairement la distinction entre ces deux concepts, l’un statique (teneur en eau

drainable, mobilisable), l’autre dynamique (teneur en eau mobile), les qualificatifs efficaces

ou effectifs attribués au premier ne sont peut être pas les plus appropriés : porosité de

drainage serait plus pertinent (de Marsily 1981).

Si l’on s’intéresse à la quantité d’eau que l’on peut extraire d’une roche par drainage,

c’est la porosité de drainage qu’il faut tâcher de mesurer.

Si c’est la quantité d’eau qui s’écoule dans une roche saturée, par exemple pour un

calcul de vitesse d’écoulement, c’est à la porosité cinématique qu’il faut penser.

L’indice de vides e, est le volume des vides vV contenus dans un échantillon ramené au

volume des grains solides sV de l’échantillon.

air eau t s v

s s s

V V V V Ve

V V V

+ −= = = (I.10)

L’indice des vides est généralement compris entre 0.3 et 2.0. Les relations entre indice

des vides et porosité sont les suivantes :

(1 ) 1v v t

s t v t

V V n V ne

V V V n V n= = = =

− − − et

( 1) 1v v s

t s v s

V V V e en

V V V V e e= = = =

+ + +

(I.11)

I.A.1.b.2) Coefficient d’emmagasinement spécifique

Le coefficient d’emmagasinement est défini comme le rapport du volume d’eau libérée

(ou emmagasinée), par unité de surface d’un aquifère. Dans les nappes libres, le coefficient

d’emmagasinement est égal à la porosité de drainage ; il est compris entre 0,2 et 0,01. Dans

les nappes captives, il est beaucoup plus petit, 0,001 à 0,0001. Il est mesuré sur le terrain par

des pompages d’essai qui rabattent la nappe.

I.A.1.b.3) Teneur en eau et indice de saturation

La teneur en eau du sol est exprimée, comme le rapport entre la masse d’eau

wm contenue dans l’échantillon de sol et la masse de matière sèche sm de cet échantillon, on

parle dans ce cas de teneur en eau massique ou humidité pondérale /eau sm mω = . (I.12)

11

Elle est exprimée d’une autre manière comme le rapport entre le volume d’eau eauV

contenue dans l’échantillon de sol et son volume initial echV , on parle dans ce cas de teneur

en eau volumique ou d’humidité volumique du sol /eau tV Vθ = (I.13)

Ces deux expressions sont liées par la masse volumique du sol dρ à l’état sec.

ds

eau

dρθ ω ω

ρ= = (I.14)

Dans un sol non saturé, la teneur en eau volumique d’un sol varie entre une valeur

minimale, la teneur en eau résiduelle rθ et une valeur maximale, la teneur en eau à saturation

sθ . Celle-ci est en principe égale à la porosité si l’ensemble de l’espace poral est occupé par

la solution du sol. Toutefois, dans les conditions naturelles, un sol ne parvient jamais à

saturation totale, car il reste toujours des poches d’air occlues ou des culs de sac ou l’air est

piégé, si bien que l’on fait parfois une distinction entre la teneur en eau à saturation et la

teneur en eau à saturation naturelle sθ (Musy and Soutter 1991).

La teneur en eau d’un sol peut également s’exprimer par un indice de saturation, wS ,

défini par le rapport du volume de cette phase liquide au volume de l’espace porale vV .

eauw

v

VS

V= (I.15)

Elle varie ainsi entre un minimum résiduel et la valeur de 100%. Dans les conditions

naturelles la présence d’air piégé empêche à nouveau d’atteindre un indice de saturation de

100%.

Toutefois, c’est la teneur en eau volumique qui est le plus généralement utilisée parce

qu’il est plus facile de s’imaginer ce qu’elle représente physiquement. Ainsi lorsque l’on parle

dans la suite de teneur en eau, sans autre précision, il s’agit implicitement de la teneur en eau

volumique.

I.A.1.b.4) Perméabilité et conductivité hydraulique

Différents paramètres hydrodynamiques sont utilisés pour la description de la

circulation de la phase liquide.

12

Darcy (1856) a établi expérimentalement que le débit d’eau (en m3 s-1) s’écoulant à

travers un massif de sable peut se calculer par (forme simple de la loi de Darcy) :

sQ A V= (I.16)

où

sA est la section du massif sableux en m² ;

V est la vitesse de filtration en m s-1.

Les causes du déplacement d’un fluide en milieu poreux sont les gradients de pression

créés par les forces extérieures, dont la gravité. Pour un fluide incompressible, on peut écrire

la forme différentielle de la loi de Darcy sous la forme :

- ( ) - ( )d d

k ku P g Z P gρ ρ

µ µ= ∇ + ∇ = ∇ −

(I.17)

où

k est la perméabilité intrinsèque en m² ;

dµ est la viscosité dynamique (la viscosité dynamique de l’eau à 20°C est de 10-3 Pa s) ;

g est l’accélération de la pesanteur en m s-2 ;

ρ est la masse volumique du fluide ;

P∇ est la différence de pression.

La perméabilité intrinsèque d’un matériau (une roche, un sol) est sa capacité à laisser

passer un fluide, c’est une caractéristique intrinsèque du matériau indépendante du fluide. On

appelle conductivité hydraulique (ou coefficient de perméabilité) le rapport entre cette

perméabilité intrinsèque et la viscosité du fluide (généralement le fluide est l’eau). Plus un

milieu est perméable plus le fluide s’écoulera vite.

Supposant que le fluide est incompressible, nous pouvons établir une relation entre la

perméabilité intrinsèque et le cœfficient de perméabilité en expriment le débit en fonction du

gradient de la charge hydraulique (de Marsily 1981) :

d

k gK

ρµ

= (I.18)

13

La perméabilité intrinsèque k s’exprime généralement en Darcy, qui correspond en

dimension à une surface (1 Darcy=0,987 10-12 m2), tandis que la conductivité hydraulique

s’exprime en m s-1.

I.A.2) Propriétés électriques des sols

I.A.2.a) Conductivité électrique

Pour une roche de faible surface spécifique et sans élément semi-conducteurs, la

conduction électrique est assurée par les ions présents dans le volume de l’eau. Ceci permet

de définir la conductivité de la roche, qui est proportionnelle à la conductivité du fluide, par

l’expression d’Archie (1942) :

fluideroche F

σσ = (I.19)

Le facteur de formation, F, est caractéristique de la topologie de l’espace poreux

connecté. Il est sans dimension, invariant par changement d’échelle (et indépendant du fluide

présent dans la roche).

Dans un milieu poreux de type sédimentaire sans argile F et n sont dépendants, ces

deux grandeurs sont reliées par la loi (empirique) d’Archie (1942) :

- mF n= , (I.20)

où m est appelé facteur de cimentation. Il dépend à la fois de la tortuosité du parcours des ions

et du volume d’eau qui participe effectivement à leur déplacement.

Si le parcours des ions était rectiligne on aurait m=1, la valeur m=2, permet de définir

une tortuosité (Fig 1.2).

Figure 1. 2 - Tortuosité d’un milieu poreux

21l

L n

≃

l

l

Lτ =

L

14

Si la conductivité de surface n’est pas négligeable (eau douce et roche avec argile), la

loi empirique de Waxman et Smits (1968) s’écrit :

fluideroche surfaceF

σσ σ= + (I.21)

Sachant que la conductivité de surface dépend de la surface spécifique, les argiles au

sens granulométrique sont à l’origine de cette conductivité de surface, dominante dans les

milieux continentaux superficiels.

I.A.2.b) Permittivité diélectrique

La permittivité diélectrique ε est une propriété physique qui décrit la polarisation d’un

milieu donnée en réponse à l’application d’un champ électrique. La permittivité est exprimée

en farad par mètre (F m-1).

Dans un milieu diélectrique réel, il existe toujours des retards à l’acquisition de la

polarisation. On parle alors de pertes diélectriques. On peut tenir compte de ces pertes en

définissant une permittivité complexe :

' ''iε ε ε= − (I.22)

Pour simplifier l’utilisation de cette propriété, on définit la constante diélectrique ou

permittivité diélectrique relative k′ , qui est le rapport de la permittivité diélectrique du milieu

sur la permittivité diélectrique du vide : 0

kεε

′ = (I.23)

avec 0ε , permittivité diélectrique du vide qui vaut 8,854 10-12 F m-1.

Le rôle des deux propriétés, conductivité et permittivité, dépend de la fréquence du

champ électrique appliqué (ω =2πf est la pulsation)

A basse fréquence dans les sols 'σ ωε>> , les courants de déplacement sont

négligeables devant les courants de conduction. Généralement pour les matériaux terrestres la

relation ( 'σ ωε>> ) est vérifiée aux fréquences inférieures à 105 Hz (=100 kHz). Dans ce

domaine la détermination de la permittivité est difficile.

A haute fréquence (pour des fréquences supérieures à 107 Hz=10 MHz) 'σ ωε<< , ce

sont les courants de déplacement qui dominent devant les courants de conduction. C’est le

15

régime de propagation. Si ' ''ε ε>> la propagation se fait pratiquement sans atténuation ni

dispersion on peut facilement déterminer la permittivité. Celle-ci est très dépendante de la

teneur en eau du fait que l’eau est une molécule polaire qui peut s’orienter sur le champ

appliqué, dont la permittivité relative propre, 80, est nettement supérieure à celle de la fraction

solide, entre 4 et 5.

Pour transformer la constante diélectrique k′ mesurée en teneur en eau, on utilise le

polynôme du troisième degré proposé par Topp et al. (1980).

-2 -2 -4 2 -6 3-5,3 10 2,92 10 -5,5 10 4,3 10k k kθ ′ ′ ′= + + (I.24)

I.A.3) Propriétés thermiques des sols

I.A.3.a) Capacité volumique

La capacité volumique vC d’un corps est une grandeur permettant de quantifier la

possibilité qu’a ce corps d’absorber ou de restituer de l’énergie par variation de sa

température.

v

dQC

dT= (I.25)

où dQ représente la quantité d’énergie à apporter par échange thermique pour élever de dT

la température de ce corps.

La capacité volumique vC d’un matériau est le produit de sa masse volumique ρ par sa

chaleur massique c . Pour la chaleur massique, qu’il convient d’appeler capacité thermique

massique ou capacité calorifique massique, on rencontre parfois le terme spécifique, dans le

même sens que massique (c’est un calque de l’anglais ‘specific heat’ correspondant au terme

français de chaleur massique). Elle est déterminée par la quantité de chaleur nécessaire pour

élever de 1 K la température de 1 kg du matériau, elle s’exprime en J K-1 kg-1.

La capacité thermique volumique d’un matériau est donc la quantité de chaleur mise en

réserve lorsque la température de 1 m3 du matériau augmente de 1 K. Elle s’exprime en J K-

1 m-3.

vC cρ= (I.26)

ρ étant la masse volumique, exprimée en kg m-3.

16

La capacité volumique vC du sol peut se calculer en utilisant le modèle de de Vries

(1963), qui fait intervenir la fraction volumique de chaque constituant et leur capacités

volumiques respectives.

( )v ms ms eau eau air airC X C X C X Cθ = + + (I.27)

où msX , eauX , airX sont les fractions volumiques de la matière solide (matrice), de l’eau et de

l’air respectivement. D’où on peut écrire :

( ) (1 ) ( )v ms eau airC n C C n Cθ θ θ= − + + − (I.28)

avec n porosité du sol et θ teneur en eau volumique.

Si on néglige la capacité volumique de l’air (environ mille fois inférieure à celle de

l’eau liquide ou de la matrice (Cosenza et al. 2003)), la capacité volumique du sol s’écrit :

( ) (1 )v ms eauC n C Cθ θ= − + (I.29)

I.A.3.b) Conductivité thermique des milieux poreux

La conductivité thermique λ est une grandeur physique caractérisant le comportement

des matériaux vis à vis du transfert de chaleur par conduction. C’est la capacité d’un milieu à

transmettre de la chaleur d’un point à un autre. Elle est définie comme le flux de chaleur, par

mètre carré, traversant un matériau d’un mètre d’épaisseur pour une différence de température

de 1 K entre les deux faces. Elle s’exprime en W m-1 K-1.

La conductivité thermique dépend non seulement de la porosité, du contenu

minéralogique et du contenu en fluide (sa teneur en eau) mais également de la géométrie des

pores, de l’arrangement et de la forme de ses particules constitutives, des liaisons entre ces

particules (ponts d’eau), ainsi que de sa teneur en air (faiblement conducteur) : à porosité

définie le sol sera d’autant plus conducteur de chaleur qu’il sera humide. La conductivité

thermique varie aussi dans le temps, notamment en fonction des évolutions de la teneur en eau

(Fig 1.3).

17

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0.1 0.2 0.3 0.4

Sable fin

Limon

Argile

Tourbeθ

λ (W m-1 K-1)

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0.1 0.2 0.3 0.4

Sable fin

Limon

Argile

Tourbeθ

λ (W m-1 K-1)

Figure 1. 3 - La conductivité thermique de quelques types de sols en fonction de la teneur en

eau (Musy and Soutter 1991)

Si la chaleur spécifique suit une loi de mélange simple (sommation de l’énergie

stockée). Il n’en est pas de même pour la conductivité thermique, pour laquelle les modèles

sont plus complexes. La conductivité thermique ne peut pas se calculer simplement à partir

des conductivités des composantes du sol et il n’y a pas de relation simple entre la

conductivité thermique λ d’un sol, et la teneur en eau θ , car la porosité n et la conductivité

thermique msλ de la matrice solide (très dépendant de la minéralogie du sol) ont une influence

dominante sur λ .

La littérature est très riche en modèles de calcul de la conductivité thermique

équivalente, on trouve un historique de ces modèles dans les travaux de Kunii et Smith (1960)

et Sun et Deng (1990). Plusieurs classifications des modèles sont possibles : modèle

théorique, modèle numérique, modèle analytique (sans et avec contact)… Il est intéressant de

noter que, quel que soit le modèle utilisé, la conductivité thermique du milieu est toujours

comprise entre deux valeurs extrêmes : la moyenne arithmétique et la moyenne harmonique.

Ces deux modèles (constituant les limites supérieures et inférieures) correspondent à

l’encadrement le plus large qu’il est possible d’obtenir pour les propriétés réelles d’un milieu.

On a choisi d’utiliser le modèle proposé par Cosenza et al (2003) issu d’une

modélisation numérique par la méthode des moments qui a permis d’utiliser une formule

linéaire reliant λ à θ .

(0,8908 -1,0959 ) (1,2236 - 0,3485 )msn nλ λ θ= + (I.30)

18

Cette relation est valable pour une conductivité thermique matricielle msλ (qui dépend

de la teneur en quartz et en matière organique) qui s’étend de 2 à 8 W m-1 K-1, pour une

porosité de 0,4 à 0,6 et pour une teneur en eau volumique de 0,1 à 0,4. Elle donne des

résultats proches (Cosenza et al. 2003) de la formule de CRIM (ou modèle quadratique

parallèle) : (1 ) (1 )QP eau ms w airn S nλ θ λ λ λ= + − + − (I.31)

Ce modèle a été utilisé dans une étude récente (Muerth 2008), en le comparant avec

deux autres modèles (modèle de Vries et modèle CRIM), (Fig 1.4).

Con

duct

ivité

ther

miq

ue W

m-1

K-1

0.40.2

0.6

1.00.8

1.21.4

1.6

1.8

0.15 0.2 0.30.25 0.40.35 0.550.50.45

modèle de de Vries (1952)modèle quadratique parallèle modèle de Cosenza et al. (2003)

Teneur en eau volumique en m3/m3

Con

duct

ivité

ther

miq

ue W

m-1

K-1

0.40.2

0.6

1.00.8

1.21.4

1.6

1.8

0.15 0.2 0.30.25 0.40.35 0.550.50.45

0.40.2

0.6

1.00.8

1.21.4

1.6

1.8

0.15 0.2 0.30.25 0.40.35 0.550.50.45

modèle de de Vries (1952)modèle quadratique parallèle modèle de Cosenza et al. (2003)

Teneur en eau volumique en m3/m3

Figure 1. 4 - Comparaison de la conductivité thermique équivalente prédite pour un sol

limoneux (Muerth 2008)

L’un des avantages qui encourage à choisir le modèle proposé par Cosenza, dans notre

étude, est sa facilité d’utilisation (Holt 2008).

I.A.3.c) Diffusivité thermique

Elle caractérise la facilité avec laquelle la chaleur diffuse par conduction, dans un corps.

Plus la valeur de la diffusivité thermique est faible, plus le front de chaleur mettra du temps à

traverser le milieu. Elle fait intervenir la conductivité thermique λ (qui s’exprime en W m-1

K-1) et la capacité thermique volumique vC (qui s’exprime en J K-1 m-3).

Г = λ/CV (I.32)

avec Г la diffusivité en m2 s-1. La diffusivité thermique devient importante quand la porosité

du sol diminue, donc quand la profondeur augmente.

19

Alors que la conductivité thermique intervient seule dans le régime stationnaire, c’est la

diffusivité thermique qui sera déterminée en régime variable et à partir de laquelle on déduira

la teneur volumique en eau.

Les travaux de Ochsner et al. (2001), donnent des coefficients de corrélation entre les

propriétés thermiques (conductivité thermique, capacité calorifique, diffusivité thermique) du

sol et les fractions volumiques du sol (teneur en eau, fraction volumique de la matrice solide,

fraction volumique d’air) pour 59 échantillons.

Conductivité thermique

Capacité calorifique

Diffusivité thermique

Eau Solide Air

Fractions volumiques

0,63

0,88

0,36

0,31

0,64

0,71 -0,74

-0,86

-0,93Conductivité thermique

Capacité calorifique

Diffusivité thermique

Eau Solide Air

Fractions volumiques

0,63

0,88

0,36

0,31

0,64

0,71 -0,74

-0,86

-0,93

Tableau 1. 1 - Coefficients de corrélation entre les propriétés thermiques du sol et les fractions volumiques du sol

En ce qui concerne la conductivité thermique on remarque une très forte dépendance à

la fraction volumique de l’air (avec un coefficient de corrélation de -0,93) par rapport aux

fractions volumique d’eau et de solide. Pour la capacité calorifique, on remarque que

l’influence de la fraction volumique de solide (avec un coefficient de corrélation de 0,31) est

moins marquée que celle des deux autres fractions.

λair λsolideλeau

3W m-1 K-1

0,025W m-1 K-1

0,59W m-1 K-1

λair λsolideλeau

3W m-1 K-1

0,025W m-1 K-1

0,59W m-1 K-1

Cair Csolide Ceau

2J m-3 K-1

4,17J m-3 K-1

0,0012J m-3 K-1

Cair Csolide Ceau

2J m-3 K-1

4,17J m-3 K-1

0,0012J m-3 K-1

106

Figure 1. 5 - Valeurs moyenne des conductivités thermiques et capacité calorifique pour chaque fraction (air, eau, solide)

La dominance de l’influence de la fraction volumique de l’air, qui réduit toutes les

propriétés, est bien mise en évidence aussi bien pour la diffusivité thermique (avec un

coefficient de corrélation de -0,74) que pour toutes les propriétés thermique du sol.

I.A.3.d) Inertie thermique (anciennement appelée effusivité thermique)

Elle indique la facilité avec laquelle une surface (le sol dans notre étude) qui reçoit un

flux de chaleur va modifier sa température. Une valeur d’inertie thermique faible par exemple,

20

indique une augmentation rapide de température en réponse à un apport de chaleur. Elle est

donnée par la formule suivante :

vP C

λλ= =Γ

(I.33)

I.A.3.e) Profondeur de pénétration

Lorsque la surface d’un demi-espace homogène reçoit un apport de chaleur sinusoïdal

de pulsation ω, la solution de l’équation de la chaleur montre un amortissement exponentiel,

en z pe− , des amplitudes des variations de température et de flux avec la profondeur, où :

2p

ωΓ= (I.34)

est appelée (comme en électromagnétisme) profondeur de pénétration.

En ce qui concerne le sol, les profondeurs de pénétration des variations diurne et

annuelle, si on considère que Γ (Fabry 1942) vaut en moyenne pour les sols 0,75 10-6 m2 s-1

sont données sur le tableau 1.2.

Tableau 1. 2 - Profondeur de pénétration des variations thermiques sinusoïdales

I.B) L’eau dans le sol et le sous-sol

Après avoir abordé quelques définitions qui permettent de caractériser le sol, sa capacité

à contenir de l’eau (porosité), son aptitude à laisser circuler l’eau (perméabilité)… nous allons

dans cette partie décrire les différentes zones traversées par cette eau, ainsi que les lois

associées à l’écoulement en milieu poreux dans chacune de ces zones.

I.B.1) Rappels de base

Un milieu poreux est un milieu continu, cohésif ou non qui présente intérieurement une

fraction de volume de vide accessible à un fluide. Dans ce milieu, on distingue la zone saturée

en eau (ZS) ou ‘nappe d’eau’, la zone non saturée (ZNS), où les pores sont remplis

partiellement d’eau et partiellement d’air, située au dessus de la ZS et une frange capillaire où

l’eau remonte de la ZS vers la ZNS, cette région constitue la transition entre la ZS et la ZNS.

Lorsque l’eau pénètre dans le sol, deux types de situation peuvent se présenter. Une première

possibilité est que cette eau soit retenue dans la tranche superficielle du sol (ZNS) et constitue

Période journalière Période annuelle

Profondeur de pénétration p ~14 cm ~2,70 m

21

la réserve hydrique. Une seconde possibilité est qu’elle ne soit pas retenue dans cette tranche

superficielle (ZNS), et qu’elle s’infiltre en profondeur constituant la recharge.

I.B.1.a) Zone saturée (ZS)

Afin de définir les caractéristiques hydrogéologiques d’un réservoir, il est possible de

distinguer deux grands types d’eau : l’eau gravitaire (libre) et l’eau de rétention liée (Fig 1.6).

molécules libres

Centre des vides

Eau Gravitaire

Eau de Rétention

Force d’attraction moléculaire

Grain

distance en µm

Eau adsorbée

Eau pelliculaire

0.1 0.5 1

molécules libres

Centre des vides

Eau Gravitaire

Eau de Rétention

Force d’attraction moléculaire

Grain

distance en µm

Eau adsorbée

Eau pelliculaire

0.1 0.5 1

Figure 1. 6 - Schéma de la structure de l’eau souterraine au voisinage d’un grain. Interaction

eau/roche (Polubrinova-Kochina 1962).

L’eau gravitaire ou eau libre

L’eau gravitaire est la fraction de l’eau souterraine libérée par la seule action de la force

de gravité. Cette fraction d’eau est dite mobilisable. Elle circule dans l’aquifère et alimente les

ouvrages de captage et les sources.

L’eau liée ou eau de rétention (eau pelliculaire et eau adsorbée)

C’est la fraction de l’eau souterraine, insensible à l’action de la gravité (non

mobilisable), attachée à la surface des grains par des forces d’attraction moléculaires

supérieures à celles de la gravité. Ces forces d’attraction décroissent, très rapidement, avec la

distance de la molécule d’eau au grain (de Marsily 1981).

En agronomie on distingue l’eau adsorbée de l’eau pelliculaire.

22

L’eau adsorbée (hygroscopique) est celle qui ne peut pas être extraite du sol par la

succion racinaire. Elle est retenue à la surface des particules. Elle constitue un film continu,

dont l’épaisseur est de l’ordre de quelques dizaines de molécules. Les forces d’attraction de

ces molécules atteignent plusieurs dizaines de milliers de bars, mais décroissent rapidement

avec la distance.

L’eau pelliculaire représente une pellicule de l’épaisseur de l’ordre du micron. Elle peut

se déplacer à la surface des grains sous l’action de l’attraction des molécules d’eau voisines.

La gravité n’est en revanche pas suffisante pour la déplacer. Elle peut être extraite par

centrifugation ou chauffage.

I.B.1.b) Zone non saturée (ZNS) ou vadose

Située dans la partie superficielle, la zone non saturée, (complexe dynamique à trois

phases : la phase solide, la phase liquide et la phase gazeuse) a une position particulière

comme interface entre l’atmosphère et la nappe phréatique. Cette zone occupe donc une

position clé dans les cycles globaux de matières. Elle se caractérise par rapport à la zone

saturée par la présence d’eau dite eau de rétention capillaire (de Marsily 1981), soumise à la

force de tension superficielle. Comme l’eau pelliculaire, cette eau de rétention capillaire est

assez fortement liée au sol pour échapper aux forces de la gravité, mais une large proportion

peut être extraite par l’évaporation et l’extraction racinaire (Cosandey and Robinson 2000).

L’ensemble de l’eau liée (section I.B.1.a) et de l’eau de rétention capillaire constitue

l’eau de rétention matricielle, qui correspond, à sa valeur maximale, à la capacité de rétention

maxθ du sol. Cette capacité de rétention est parfois confondue avec la capacité au champ cθ ,

qui est déterminée avant que le processus de drainage (drainage lent) par gravité soit

complètement achevé, il s’agit donc d’une valeur supérieure à la capacité de rétention maxθ .

Lorsque dans une situation donnée les deux valeurs sont disponibles, il est préférable de

retenir la valeur de la capacité au champ, car elle reflète en principe tout aspect de la réalité

(Musy and Soutter 1991), bien que la capacité de rétention reste une valeur caractéristique qui

permet de connaitre les réserves hydriques (θmax-θr) dont la végétation peut potentiellement

disposer (Cosandey and Robinson 2000).

Dans la zone non saturée, ou d’aération qui est caractérisée par le complexe

réservoir/eau de rétention matricielle/air, la quantité d’eau gravitaire est temporaire, en transit,

souvent nulle. En fonction des teneurs en eau ou de l’humidité qui croissent vers le bas, elle

23

est subdivisée en trois sous zones (Fig 1.7) : zone d’évapotranspiration, zone de transition et

frange capillaire.

piézomètre

Aquifère a nappe libre

Surface piézométrique

Frange Capillaire

Zone de transition

Zone d’évapotranspiration

1 2 3

5 15 25 30%

Surface de la nappe

Zone non

saturée

Zone saturée

Teneur en eau

Profile d’humidité

3

Profondeur (m)

4

1

2

piézomètre

Aquifère a nappe libre

Surface piézométrique

Frange Capillaire

Zone de transition

Zone d’évapotranspiration

1 2 3

5 15 25 30%

Surface de la nappe

Zone non

saturée

Zone saturée

Teneur en eau

Profile d’humidité

3

Profondeur (m)

4

1

2

Figure 1. 7 - Zonalité sol/eau souterraine. 1, eau de rétention ; 2, eau gravitaire ; 3, eau

capillaire (Castany 1982)

La zone d’évapotranspiration est soumise à des variations de teneur en eau importante

provoquées par l’infiltration et l’évapotranspiration. La teneur en eau après ressuyage y

oscille entre la capacité de rétention et le point de flétrissement surtout pour les couches

soumissent directement à l’évapotranspiration : c’est bien le lieu de stockage de la réserve

hydrique du point de vue des plantes. Il est à noter que l’évaporation directe de la surface d’un

sol nu peut provoquer un desséchement avec une teneur en eau au dessous de la valeur du

point de flétrissement.

La zone de transition (zone d’aération) est la zone où la teneur en eau est voisine de la

capacité de rétention. L’eau y circule librement sous la seule contrainte de la pesanteur. Dans

la mesure où cette tranche de sol est peu soumise à l’évaporation ou à l’extraction racinaire, sa

teneur en eau ne descend rarement en dessous de la capacité de rétention. De même, lorsque

le flux d’infiltration arrive de la surface, la variation de la teneur en eau n’est que transitoire,

puisque le sol est déjà à sa capacité de rétention (Cosandey and Robinson 2000).

La frange capillaire est alimentée par l’eau de la zone saturée remontant par ascension

capillaire. Si elle se situe à une profondeur suffisante, elle n’a pas de rôle hydrologique

particulier, en revanche elle peut être déterminante dans la production de certains écoulements

rapides lorsqu’elle est proche de la surface.

24

I.B.2) Ecoulement d’eau en milieu poreux

L’eau du sol est caractérisée par son état d’énergie. En considérant que l’eau est un

fluide incompressible, la charge hydrauliqueH en un point est définie par :

2

2

u pH z

g gρ= + + (I.35)

où

u est la vitesse du fluide en m s-1 ;

g est l’accélération de la pesanteur en m s-2 ;

p est la pression en eau en Pa ;

ρ est la densité de l’eau en kg m-3 ;

z est la cote en m.

En milieu poreux, où les vitesses sont très lentes, on néglige le terme de charge

dynamique, et l’on ne considère que la charge statique, ou cote piézometrique :

pH z

gρ= + (I.36)

I.B.2.a) Ecoulement d’eau en milieu saturé

Pour un milieu saturé homogène isotrope, et pour un fluide incompressible on utilise la

loi macroscopique (à l’échelle du VER) de Darcy :

u K H= − ∇

(I.37)

Cette équation dynamique (loi de Darcy) permet de déterminer le flux.

Mais pour décrire complètement le phénomène sur le plan quantitatif, il faut encore lui

adjoindre l’équation de continuité qui exprime le principe de conservation de la masse

(Fig 1.8).

25

( )

2x

x

u xu

x

ρρ ∂ ∆ − ∂ ( )

2x

x

u xu

x

ρρ ∂ ∆ + ∂

( )

2z

z

u zu

z

ρρ ∂ ∆ + ∂ ( )

2y

y

u yu

y

ρρ

∂ ∆+ ∂

( )

2z

z

u zu

z

ρρ ∂ ∆ − ∂

( )

2y

y

u yu

y

ρρ

∂ ∆− ∂

Figure 1. 8 - Flux de masse

Le bilan de masse selon la direction Ox s’exprime par la différence entre les flux entrant

et sortant, soit :

( ) ( ) ( )

2 2x x

x x

x

M u ux xu u y z

t x x

ρ ρρ ρ ∂ ∆ ∂ ∂∆ ∆ = − − + ∆ ∆ ∂ ∂ ∂

(I.38)

Après simplification :

( ) ( )x

x

M ux y z

t x

ρ ∂ ∆ ∂= − ∆ ∆ ∆ ∂ ∂ (I.39)

La variation totale de la masse en additionnant les trois contributions selon les trois

directions est donnée par :

( ) ( )( ) ( )yx zuM u u

x y zt x y z

ρρ ρ∂∂ ∆ ∂ ∂= − + + ∆ ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ ∂ (I.40)

et en utilisant une notion vectorielle : ( )

( )M

div u Vt

ρ∂ ∆

= − ∆∂

(I.41)

La masse contenue dans le volume V∆ , peut être exprimée par le produit de la masse

volumique d’eau et du volume effectif que celle-ci occupe, soit : sM Vρ θ∆ = ∆

En régime permanent, sans apport ni prélèvement extérieur, pour une nappe en

écoulement parallèle (ou uniforme), qui est une nappe où la vitesse est une constante (en

26

intensité et en direction) en tout point, la solution de l’équation de diffusivité (de Marsily

1981) est :

2( ) 0div H H∇ = ∇ =

(I.42)

avec 2 2 2

22 2 2x y z

∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂

L’équation générale des écoulements en milieu saturé s’exprime par dérivation du

potentiel total que constitue la charge hydraulique. Comme cette équation repose sur la loi de

Darcy généralisée, elle obéit aux mêmes hypothèses de validité, elle est donc définie pour des

conditions d’écoulement laminaire dans un milieu homogène, isotrope et continu.

I.B.2.b) Ecoulement d’eau en milieu non saturé

En condition saturée, le potentiel de succion matricielle est nul et la teneur en eau est

maximale. La conductivité hydraulique est alors constante, et sa valeur est maximale. En

condition non saturée, la conductivité hydraulique n’est plus une valeur constante, elle varie

en fonction de la teneur en eau du sol ou du potentiel matriciel du sol, entre une valeur

maximale, quand le sol est à saturation (la conductivité hydraulique à saturation), et une

valeur théoriquement nulle, quand la teneur en eau diminue jusqu’au coefficient

d’hygroscopicité rθ où l’eau n’est plus mobile en milieu naturel.

Si le potentiel matriciel du sol est uniforme, c’est la force de gravité qui génère

l’écoulement, tant qu’elle est supérieure aux forces de rétention (teneur en eau suffisamment

élevée). En revanche, lorsque ce potentiel varie d’un point à l’autre, des gradients

apparaissent et s’associent à la force de gravité afin de provoquer l’écoulement. La force

motrice de l’écoulement de l’eau en milieu non saturé est donc un gradient de potentiel total,

résultant de la somme des potentiels de succion matricielle pψ et du potentiel gravitaire zψ

(si le potentiel hydrique total est exprimé en unité de hauteur, et que le point de référence est

la surface du sol, on peut écrire z zψ = − , avec z mesuré positivement vers le bas). Ces forces

motrices de l’écoulement varient non seulement d’un point à l’autre du sol, mais également au

cours du temps. Il est, de plus, conditionné par un phénomène d’hystérésis (phénomène

d’hystérésis associé à la mouillabilité de la surface des grains).

27

En milieu non saturé, la charge de pression h est toujours négative ; on la remplace

fréquemment par la succion : hψ = (I.43)

La loi de Darcy, est définie pour les milieux saturés. Sa généralisation aux écoulements

non saturés implique l’introduction d’une conductivité hydraulique ( )K θ ou ( ( ))K h θ ,

fonction de la teneur en eau θ , ou du potentiel h.

( )u K h H= − ∇

ou ( )u K Hθ= − ∇

(I.44)

que l’on peut développer de la manière suivante :

[ ]( )u K h h z= − ∇ +

équation en h (I.45)

[ ]( ) ( )u K h zθ θ= − ∇ +

équation en θ (I.46)

Dans l’équation en h, la description des caractéristiques du sol repose sur la seule

relation ( )K h , synthèse des relations ( )K θ et ( )h θ . Il faut noter que la conductivité

hydraulique est affectée par un phénomène d’hystérésis et la relation ( )h θ est non univoque,

c’est-à-dire qu’une même teneur en eau θ peut correspondre à deux potentiels de pression

hydraulique, selon que l’on est en phase d’humidification ou d’assèchement.

La formulation du principe de conservation de la matière est identique dans le cas d’un

écoulement non saturé et dans celui d’un écoulement saturé, de ce fait on a :

( )( )

Mdiv u V

tρ

∂ ∆= − ∆

∂

(I.47)

En revanche, la masse de la phase liquide contenue dans le volume V∆ peut être

variable au cours du temps. A un instant t, cette masse s’écrit :

M Vρ θ∆ = ∆ (I.48)

Sa variation dans le temps, sous l’hypothèse de l’indéformabilité du volume, V∆ ,

s’écrit alors :

( )MV

t t

θρ∂ ∆ ∂= ∆

∂ ∂ (I.49)

L’équation de continuité (conservation) en milieu non saturé s’écrit finalement :

28

div ut

θ∂= −∂

(I.50)

Cette équation exprime le fait que la variabilité spatiale du flux correspond à une

variabilité temporelle de la teneur en eau, soit une variabilité temporelle d’emmagasinement

d’eau dans le petit volume V∆ .

L’équation générale de l’écoulement en milieu non saturé provient de la combinaison de

l’équation dynamique et de l’équation de continuité. On obtient deux expressions qui

constituent les deux formes de l’équation de Richards (1931).

div ut

θ∂= −∂

et

( )

( )

u K H

u K h H

θ = − ∇

= − ∇

(I.51)

Soit avec la teneur en eau comme variable principale :

( ( ) )div K Ht

θθ ∂∇ =∂

avec ( ) ( )H h zθ θ= + (I.52)

Si en revanche, c’est la charge qui est considérée comme variable principale, cette

équation devient :

( ( ) ) ( )h

div K h H c ht

∂∇ =∂

avec ( )c hh

θ∂=∂

(I.53)

où ( )c h est la capacité capillaire, soit la variation de la teneur en eau par unité de variation de

charge.

Même si on néglige l’effet du phénomène d’hystérésis, les tentatives de détermination

de la conductivité hydraulique ( )K θ d’après des grandeurs caractéristiques intrinsèques du sol

(texture et structure) n’ont pas débouché sur des résultats généraux simples. Il a donc été

nécessaire pour cela d’adopter des relations mathématiques empiriques ajustées aux

observations, telles que :

- Gardner (1958) : a , bet m étant des constantes empiriques.

( )( )m

aK h

b h=

+ − (I.54)

29

- Brooks and Corey (1964) : sK la conductivité hydraulique à saturation et n un

paramètre reflétant la porosité du sol.

3 2/

( )n

rs

s r

K Kθ θθθ θ

+ −= −

(I.55)

- Van Genuchten (1980) :

21/ 2 1/

( ) 1 1

mm

r rs

s r s r

K Kθ θ θ θθθ θ θ θ

− − = − − − −

(I.56)

I.B.3) Méthodes de mesure de la conductivité hydraulique ou coefficient de perméabilité

I.B.3.a) Mesure du coefficient de perméabilité en laboratoire

Le coefficient de perméabilité peut se mesurer avec un perméamètre. Il existe deux

types de perméamètres : l’un à charge constante (conseillé pour les matériaux perméables, de

perméabilité supérieure à 10-5 m s-1), l’autre à charge variable (conseillé pour les matériaux à

faible perméabilité, inférieure à 10-5 m s-1). La différence est que pendant les mesures, le

niveau de l’eau dans le tube est maintenu constant dans le premier cas. Dans le second cas,

l’eau descend dans le tube ; la charge est variable (Fig 1.9).

sol

∆h

L

∆h

L

Veau(t) Veau(t)

Écoulement Écoulement

Essai de perméabilité à charge constante Essai de perméabilité à charge variable

pierres poreuses

Figure 1. 9 - Principe de l’essai au perméamètre

30

I.B.3.b) Mesure du coefficient de perméabilité in situ

Les mesures se font généralement sur le terrain par deux types d’essais.

I.B.3.b.1) Essai ponctuel

Pour les formations meubles ou peu consolidées, on l’appelle l’essai Lefranc. Cet essai

est le plus simple à mettre en œuvre, tant pour le matériel que pour l’interprétation des

données de l’essai. L’essai Lefranc consiste à injecter de l’eau dans des couches perméables et

à mesurer le volume d’eau absorbé sous une charge hydraulique donnée.

Connaissant le volume injecté, le diamètre du forage (D) et la charge hydraulique

appliquée (H) en mètre, on peut calculer le coefficient de perméabilité qui est donné par

l’équation : /( )Q m K H D K Q m H D= ⇒ = , (I.57)

avec K coefficient de perméabilité en m s-1, m coefficient qui dépend de la forme de la

chambre (forage par exemple).

I.B.3.b.2) Essai de pompage

À l’inverse des essais ponctuels (essai Lefranc, essai Lugeon…) qui ne caractérisent que

des horizons perméables très limités, les essais de pompages s’intéressent à une zone autour

du puits suffisamment représentative que ce soit dans le cas d’un puits complet ou incomplet.

L’essai de pompage consiste à :

- Mesurer sur le terrain les paramètres hydrodynamiques : transmissivité et coefficient

d’emmagasinement ;

- Étudier qualitativement les caractéristiques particulières de l’aquifère (conditions aux

limites, hétérogénéités, drainance...) ;

- Suivre l’évolution de la charge hydraulique de la nappe dans le puits et/ou dans des

piézomètres proches en fonction du débit prélevé et du temps écoulé.

2 2( )2

2 2( ) .ySh h h

div gradh hx y T t

∂ ∂ ∂= ∇ = + =∂ ∂ ∂

(I.58)

avec t le temps en s, T la transmissivité en m2 s-1 et S(y) le coefficient d’emmagasinement dans

le cas d’un aquifère captif et la porosité de drainage dans le cas d’un aquifère libre.

31

L’évolution du rabattement en fonction du temps et du débit pompé permet d’estimer la

transmissivité T en résolvant de façon analytique l’équation de la diffusion.

Les méthodes de calcul analytique des écoulements souterrains s’effectuent

généralement en employant la formule de Dupuit pour des calculs en régime permanent et la

formule de Theis pour des calculs en régime transitoire. La solution de Theis (1935) suppose

que :

- La formation aquifère est homogène, isotrope et infinie ;

- Le puits capte toute la hauteur de l’aquifère et a un diamètre négligeable donc que

l’emmagasinement est négligeable dans le volume du puits ;

- Un seul puits de pompage à débit constant ;

- L’écoulement vers le puits est horizontal, dans des conditions de validité de la loi de

Darcy ;

- Lors du pompage, l’eau provenant de l’emmagasinement est libérée instantanément

avec la baisse de la charge hydraulique ;

- La transmissivité est constante dans le temps, c’est-le cas pour une nappe captive. Pour

une nappe libre : elle doit être peu rabattue (rabattement/charge initial<25%, (Boucher 2007)).

L’expression générale de Theis, applicable à tous les dispositifs de station d’essai, est :

4

u

u

Q es du

T uπ

∞ −

= ∫ où ( )4

QW u

Tπ avec

2

4

r Su

T t= (I.59)

Le terme ( )W u est une fonction exponentielle intégrale décroissante. C’est la fonction

du puits donnée par des tables.

2 3 4

( ) 0.5772161 ln ...2.2! 3.3! 4.4!

u u uW u u u= − − + − + − + (I.60)

où

s est le rabattement mesuré dans un piézomètre, en m.

r est la distance du piézomètre à l’axe du puits, en m.

32

t est le temps écoulé depuis le début de pompage, en secondes.

Q le débit en m3 s-1

Les termes du développement en série de la fonction exponentielle intégrale, deviennent

négligeables comparés au premier terme constant, lorsque le temps de pompage croit et que la

valeur de r décroît. D’où l’expression d’approximation logarithmique donnée par Jacob

(1950).

2

4(ln 0,577216)

4

Q T ts

T r Sπ= − (I.61)

d’où : 2

2,25(ln )

4

Q T ts

T r Sπ= (I.62)

Soit, en introduisent les logarithmes décimaux :

2

0,183 2,25ln

Q T ts

T r S= (I.63)

La transmissivité est calculée par la pente (rabattement exprimé en mètre de haut en bas,

sur un axe des ordonnées linéaire, et les temps de pompage en secondes sur un axe des

abscisses logarithmique) de la droite représentative. Au cours d’un module logarithmique,

noté c, la transmissivité est calculée par l’expression : 0,183QT

c= (I.64)

Le coefficient d’emmagasinement est obtenu par calcul avec le deuxième terme de

l’expression, ou plus simplement, avec t0 (temps à l’origine), d’où l’expression :

02

2,25T tS

r= (I.65)

Le principe de superposition et la méthode des images permettent de prendre en compte

les limites de l’aquifère (alimentée ou étanche) et les variations de débit.

Si le diamètre du puits n’est pas négligeable, on observe un effet (effet de capacité) de

retard des rabattements en début de pompage, la solution de Papadopoulos and Cooper (1967)

permet de le prendre en compte.

Neuman (1975) a proposé aussi une solution qui permet de prendre en compte le retard

dans le drainage du à la zone non saturée (cas de l’aquifère libre). Cette solution permet aussi

33

de corriger les effets liés à un puits incomplet, ou à un aquifère avec une anisotropie verticale-

horizontale.

I.C) Mesures non thermiques de la teneur en eau

A coté des mesures thermiques qui seront développées au chapitre suivant, différentes

méthodes géophysiques peuvent nous renseigner sur la présence de l’eau dans le sol. Les

méthodes électriques et électromagnétiques sont les plus employées pour l’hydrogéologie ;

non–destructives, elles permettent de déterminer la distribution verticale et horizontale des

propriétés électriques dans le sous-sol. Les sondes à neutron et les méthodes basées sur la

résonance magnétique des protons (RMP), sont directement sensibles à la présence

d’hydrogène donc d’eau, et permettent l’estimation de la teneur en eau dans le sol ainsi que le

suivi hydrique. Nous allons passer en revue les méthodes les plus importantes, qui servent à la

détermination de la teneur en eau surtout pour la zone non saturée.

I.C.1) Méthodes utilisant la permittivité diélectrique

L’eau joue un rôle important dans les propriétés électriques (conductivité électrique, et

permittivité diélectrique). Cependant, le paramètre conductivité a l’inconvénient d’être

d’abord dépendant de la présence d’argile et d’être corrélé à la teneur en eau par

l’intermédiaire de la salinité. On a alors en principe deux autres variables à déterminer avant

de pouvoir obtenir la teneur en eau. Nous ne détaillons donc pas ici les méthodes électriques

(sondage, profilage, cartographie et tomographie) ou les méthodes électromagnétiques basse

fréquence (slingram, very low frequency resistivity VLF-R, time domain ou transient

electromagnetism TDEM ou TEM). En revanche en hautes fréquences, la permittivité

diélectrique relative rε (la constante diélectrique k’) a l’avantage d’être quasiment

indépendante de la salinité de l’eau, tout en étant très sensible à la teneur en eau (cf. supra loi

de Topp).

Le sol est un ensemble complexe de particules de compositions chimiques différentes

dans une matrice d’air et d’eau. Alors que les différents grains solides ont une permittivité

située dans une fourchette de 3 à 7, celle de l’air et de l’eau sont respectivement de 1 et 80 et

la constante diélectrique est d’abord fonction de la teneur en eau que cette propriété permet

d’estimer.

On distingue deux grandes classes de méthodes : les méthodes temporelles et les

méthodes fréquentielles.

34

I.C.1.a) Temporelles (TD : Time Domain)

Il s’agit des méthodes de réflectométrie dans le domaine temporel (TDR). Les

réflectomètres (l’appareil TDR proprement dit) sont constitués d’un oscilloscope numérique

couplé à un générateur d’impulsion et connecté par l’intermédiaire d’un câble coaxial à un

guide d’onde (souvent 2 à 3 tiges métalliques parallèles d’une longueur de 15 à 30 cm que

l’on enfonce dans le sol) jouant le rôle de sonde (Fig 1.10).

Figure 1. 10 - Schéma d’un réflectomètre sonde TDR

Le générateur de signal émet une impulsion électrique de haute fréquence, qui se

propage via un câble coaxial le long des guides d’ondes, générant dans le sol un champ

électromagnétique autour de la sonde. Arrivé à l’extrémité des guides, le signal est réfléchi

vers l’oscilloscope qui enregistre les variations d’amplitude de l’onde en fonction du temps.

Le principe de mesure repose sur la mesure du temps de propagation t∆ dans le sol

d’une impulsion électromagnétique haute fréquence dans la gamme [1 MHz - 1 GHz]. Ce

temps est fonction de la constante diélectrique k’ du milieu, elle-même étroitement

dépendante de la teneur en eau.

Sous l’hypothèse d’un milieu homogène et sans pertes (parfait), la vitesse de

propagation d’une onde électromagnétique à haute fréquence est donnée par :

1v

µ ε= (I.66)

avec ε la permittivité diélectrique. La perméabilité magnétique µ permet de décrire le

comportement d’une matière soumise à un champ magnétique. Dans le vide, la perméabilité

magnétique µ0 vaut 4 π 10-7 H m-1. Or, µ = µr µ0 = (1+κ) µ0 (I.67)

35

avec µr la perméabilité magnétique relative, et κ la susceptibilité magnétique. Pour la plupart

des roches et des sols κ est inferieure à 10-2 on prend donc µ = µ0

La permittivité diélectrique 0ε dans le vide vaut 8,854 10-12 F m-1. La vitesse de

propagation vc des ondes électromagnétiques dans le vide est connue : cv=3 108 m s-1

0 01/vc µ ε= et 20 01/( )vcµ ε= (I.68)

Dans un milieu de constante diélectrique k’ on aura donc : vc dv

tk= =

′ (I.69)

où d la distance parcourue et t le temps de propagation, soit avec une sonde TDR :

2

vc tk

d =

' (I.70)

Pour déterminer la vitesse de propagation on doit connaître la longueur des guides

d’ondes et mesurer le temps de propagation t entre les réflexions sur le début et la fin de la

sonde (Fig 1.11).

Fin de la sonde

Début de la sonde

∆t

Temps (ns)

Sign

al e

nreg

istr

é

0 10

Fin de la sonde

Début de la sonde

∆t

Temps (ns)

Sign

al e

nreg

istr

é

0 10

Figure 1. 11 - Signal enregistré par le réflectomètre

Pour transformer la constante diélectrique k’ mesurée en teneur en eau, on utilise le

polynôme proposé par Topp et al. (1980).

Ce modèle n’est théoriquement utilisable que pour des sols ni trop argileux ni trop

sableux. Autrement (par exemple pour des sols ayant une fraction importante de matière

organique) il faut déterminer avec plusieurs points une relation d’étalonnage, ( ')kθ . On

trouvera dans Zakri (1997) une synthèse des modèles correspondants.

36

Dans les sols salins, des pertes d’énergie significatives limitent l’utilité de la méthode

TDR. De même dans les sols complètement gelés, la méthode TDR est inopérante parce que

les constantes diélectriques de la glace et des sols secs sont approximativement égales. Pour

plus d’informations sur cette méthode on peut se référer aux thèses de Pereira Dos Santos

(1997) et Todoroff (1998).

I.C.1.b) Fréquentielles (FD : Frequency Domain) : sondes capacitives

La méthode capacitive (Paquet 1965 ; Tran et al. 1970 ; Paquet 1971 ; Ambrosino

1972 ; Tran et al. 1972 ; Manière et al. 1974 ; Tran and Jallet 1974 ; Hamid and Mostowy

1976 ; Wobschall 1978 ; Kuraz 1981 ; Saxena and Tayal 1981 ; Bell et al. 1987 ; Dean et al.

1987 ; Campbell 1990 ; Gaudu et al. 1993) utilise, comme la réflectométrie dans le domaine

temporel, la constante diélectrique du sol comme mesure indirecte de sa teneur en eau. Mais

alors que la méthode TDR est basée sur une réflexion dans le domaine temporel (mesure d’un

temps de transit d’un signal électrique), la méthode capacitive est basée sur l’impédance dans

le domaine fréquentiel.

Une sonde capacitive est composée d’une source électrique (oscillateur électronique),

d’un fréquencemètre et de deux ou plusieurs électrodes que l’on introduit dans le sol. Les

électrodes et le sol adjacent forment un condensateur dont la capacité est fonction de la

constante diélectrique du sol et donc aussi de la teneur en eau du sol (due au fort contraste

entre la permittivité électrique de la plupart des minéraux et celle de l’eau) dans la gamme de

fréquence choisie, entre 1 à 100 MHz en général.

Cette capacité est donnée par :

0' C a k ε= (I.71)

où a est un coefficient qui ne dépend que de la géométrie de la sonde capacitive utilisée.

Plusieurs méthodes (appareils) peuvent être utilisées pour mesurer la capacité. Les

différents prototypes ou appareils du commerce se différencient d’une part par leur

électronique, et d’autre part, par le choix de la fréquence de fonctionnement. Divers

configurations sont disponibles suivant la géométrie des pôles : la teneur en eau peut être

mesurée à partir d’électrodes enterrées en contact direct avec le sol, ce type de mesure

nécessite un étalonnage à partir des mesures gravimétriques pour chaque sol et pour chaque

sonde. Dans une deuxième configuration les électrodes sont noyées dans un matériel connu

37

dont la teneur en eau s’équilibre avec celle du sol en place ; la mesure est alors (comme dans

les sondes de Bouyoucos) indirecte.

Généralement, ces sondes capacitives sont munies d’une procédure de correction de

température pour compenser les effets de la température sur la relation entre la teneur en eau

et la constante diélectrique.

L’avantage de cette méthode par rapport aux sondes TDR est d’avoir une électronique

moins coûteuse. En revanche, il existe un grand nombre de facteurs autres que la teneur en

eau influençant la mesure. Parmi ceux-ci, on peut retenir :

- la texture (Paquet 1965 ; Tran et al. 1970 ; Tran et al. 1972 ; Manière et al. 1974 ;

Kuraz 1981 ; Bell et al. 1987 ; Campbell 1990),

- la structure (Tran et al. 1970 ; Tran et al. 1972 ; Manière et al. 1974 ; Kuraz 1981),

- la température (Kuraz 1981 ; Campbell 1990),

- la salinité (Tran et al. 1970 ; Kuraz 1981),

- les capteurs doivent être mis en place très soigneusement afin d’assurer le bon contact

avec le sol (Dean et al. 1987 ; Robinson and Dean 1993).

Ces principales limitations ont été abordées par Gaudu et al (1993), ils ont conclu que

pour une texture donnée, les effets liés à la température peuvent être pris en compte par la

conception même du capteur en prévoyant un dispositif de correction thermique. Pour ce qui

concerne les effets liés à la salinité, le capteur fonctionne sans perturbation, jusqu’à des

valeurs de conductance électrique de l’ordre de 2 à 3 siemens. Dans le cas des effets liés à la

structure, les risques de mauvais contact apparaissent réels. Cela interdit l’utilisation de

relations d’étalonnage universelles, un étalonnage in situ s’impose alors.

Une autre limitation de cette technique de mesure est la faiblesse de sa sphère

d’influence (quelques centimètres), ce qui a comme conséquence supplémentaire, des mesures

particulièrement sensibles aux discontinuités locales et le fait que les sondes de profondeur ne

peuvent pas être déplacées, ce qui limite le nombre de mesures possibles.

I.C.1.c) Spectroscopie d’impédance ou spectroscopie diélectrique (TDS)

La mesure diélectrique de la teneur en eau par sondes capacitives ou TDR est

confrontée au problème de la dispersion (variation de la permittivité avec la fréquence) qui

38

peut apparaître dans les sols. Cela ce traduit par des écarts entre mesures opérées à des

fréquences différentes et, donc, par une perte de généralité des relations d’étalonnage. Pour

éviter cela, il était donc crucial d’avoir une bonne connaissance du comportement diélectrique

(partie réelle et imaginaire de la permittivité) sur toute la gamme de fréquence d’intérêt. Cette

caractérisation peut être appelée « spectrométrie diélectrique ». En fait, en physique, on

désigne par spectroscopie diélectrique l’ensemble des techniques de mesures des propriétés

diélectriques d’un milieu en fonction de la fréquence. Dans certain cas, on parle également de

spectroscopie d’impédance.

Ce type de mesure peut être effectué directement dans le domaine fréquentiel, à l’aide

d’un analyseur (scalaire ou vectoriel), ou indirectement, par le traitement fréquentiel des

signaux TDR. La méthode TDR a l’avantage de fournir une mesure rapide mais reste limitée

par rapport à la méthode TDS (Time-Domain Spectroscopy) en largeur de bande et dans la

qualité du rapport signal sur bruit.

L’application de la TDS sur les milieux poreux (Heimovaara 1994 ; Heimovaara et al.

1994 ; Heimovaara et al. 1996), elle fournit la permittivité relative complexe :

' ''iε ε ε= − et ' ''

0

( ) ( ) ( )k k ikεω ω ωε

= = − (I.72)

L’objectif de la spectrométrie diélectrique (TDS) à partir de mesure TDR, est de

connaitre l’évolution de la permittivité d’un milieu en fonction de la fréquence.

I.C.1.d) Géoradar (GPR : Ground Penetrating Radar)

A une fréquence telle que ω ε σ>> , l’essentiel de la transmission de l’énergie

s’effectue selon un mode de propagation, par courant de déplacement. C’est le domaine (haute

fréquence) d’application du radar géologique encore appelé géoradar ou GPR (Ground

Penetrating Radar). C’est un outil de prospection géophysique rapide et non destructive,

fondée sur l’analyse de la propagation et de la réflexion des ondes électromagnétique hautes

fréquence pour l’exploration des couches superficielles. Une antenne émettrice envoie dans le

sol des impulsions (signaux temporels d’une période de l’ordre de quelque dizaine de

nanosecondes) électromagnétiques à hautes fréquences dans la gamme [10 MHz – 2 GHz].

L’intensité des impulsions mesurées dépend à la fois des caractéristiques de l’antenne utilisée

et du pouvoir de rétrodiffusion de la cible rencontrée. Ces impulsions se propagent dans le

sous sol sous forme d’un front d’ondes. Quand ces ondes rencontrent des interfaces à

39

contraste de permittivité diélectrique, une partie de leur énergie est réfléchie, tandis que

l’autre pénètre plus profondément. Ces ondes réfléchies sont captées en surface par l’antenne

de réception. Le radar géologique mesure donc le temps de parcours et l’amplitude (Bano et

al. 2009) d’une onde entre l’émetteur et le réflecteur, mais ici aussi, la permittivité

diélectrique doit le plus souvent être considérée comme une grandeur complexe

(section I.A.2.b).

Avec un radar sol on peut ainsi déterminer selon le même principe qu’avec une sonde

TDR la permittivité diélectrique relative, mais on obtient aussi son évolution en fonction de la

profondeur en observant les réflexions successives. En utilisant la relation de Topp et al

(1980), liant expérimentalement la teneur en eau θ et la permittivité diélectrique relative du

milieu on obtient la variation de la teneur en eau avec la profondeur.

Il est donc possible d’estimer la teneur en eau à partir des données du radar (Greaves et

al. 1996), la principale limitation étant la profondeur d’investigation limitée par la présence

d’argile (un milieu conducteur atténue rapidement l’énergie, la profondeur d’investigation

étant alors réduite). Un milieu de permittivité élevée a souvent aussi des pertes diélectriques

qui limitent la pénétration des ondes radar.

I.C.2) Méthodes basées sur la résonance magnétique des protons (RMP)

Cette méthode fait ici l’objet d’un simple rappel car l’application à la zone non saturée

ne fait l’objet de recherche que depuis peu. La méthode de sondage par Résonance

Magnétique des Protons permet aujourd’hui la détection de l’eau à partir des mesures en

surface. Contrairement aux autres méthodes géophysiques, cette méthode est directe car il n’y

a pratiquement pas d’autres noyaux atomiques sensibles à la mesure que les noyaux

d’hydrogène des molécules d’eau.

Son principe repose sur le fait que ces protons placés dans un champ magnétique 0B (le

champ magnétique terrestre ou un champ magnétique, artificiel), possèdent des moments

magnétiques qui, à l’équilibre, sont alignés dans la direction de champ principal 0B .

L’émission d’un champ magnétique orthogonal au champ permanent, à la fréquence de

Larmor (Slichter 1990), modifie cet état en provoquant une précession des moments

magnétiques autour du champ magnétique initial. La coupure brusque de ce champ est suivie

en quelques dizaines de millisecondes d’un retour progressif à la position d’équilibre initiale

des protons. Le signal électromagnétique émis au cours de cette relaxation constitue la

40

réponse RMP. Celle-ci est faible, elle correspond pour des mesures à partir de la surface à une

tension induite mesurable, de l’ordre de quelques nanovolts (nV) dans la boucle de réception.

Son amplitude est directement proportionnelle au nombre de protons entrés en résonance, et

donc à la quantité d’eau présente dans le sous-sol (Lubczynski and Roy 2003 ; Lubczynski

and Roy 2004).

On peut classifier en trois groupes les appareils basés sur le principe RMP, en fonction

de leur volume d’investigation et de l’intensité de champ magnétique statique utilisé

(Fig 1.12).

V~mm3, large field

V~dm3, medium field

V~m3, small field

Volume

Brucker, Varian

Schlumberger, NUMAR

Hydroscope, NUMIS

Figure 1. 12 - Classification des appareils RMP (Legchenko 2001)

Les appareils du premier groupe sont utilisés principalement en chimie et en médecine

pour l’analyse de petits échantillons. On peut utiliser un champ statique créé par un aimant

très fort.

Dans le deuxième groupe, on trouve les appareils utilisés en diagraphie, principalement

dans l’industrie pétrolière, la zone d’investigation est limitée à quelques dizaines de

centimètre. On utilise aussi un champ artificiel créé par un aimant.

Dans le troisième groupe les appareils (type NUMIS d’Iris Instruments) permettent la

détection des nappes d’eau jusqu’à environ 80-100 m de profondeur. Pour mesurer la réponse

RMP, on utilise le champ magnétique terrestre (mille fois plus petit que le champ utilisé dans

les deux autres groupes). L’équipement NUMIS se compose d’un générateur de courant

alternatif, une unité réceptrice, un détecteur de signal RMP, une antenne et un

microprocesseur (Fig 1.13).

41

Récepteurdétecteur

Fréquence de Larmor

générateur

CommutateurMicroprocesseur

PCAntenne

Récepteurdétecteur

Fréquence de Larmor

générateur

CommutateurMicroprocesseur

PCAntenne

Figure 1. 13 - Schéma fonctionnel du dispositif instrumental NUMIS (Boucher 2007)

Différents facteurs peuvent influencer l’amplitude des signaux RMP tels que par

exemple, l’amplitude et l’inclinaison du champ géomagnétique, la conductivité électrique des

terrains, la taille et la géométrie de l’antenne utilisée (Legchenko et al. 1997). Le temps mort

entre la fin d’injection et le début d’enregistrement (~40 ms pour l’appareil NUMIS) ne peut

être utilisé pour la mesure et l’information obtenue à partir de 40 ms n’est pas suffisante pour

extrapoler correctement le signal afin d’avoir la vraie amplitude à l’origine. En fait, les temps

de relaxation les plus courts correspondent à l’eau proche de la surface des grains solides

(l’eau liée), en conséquence la méthode RMP est capable de détecter uniquement l’eau libre

(approximation de la porosité cinématique). L’eau contenue dans les argiles par exemple n’est

pas mesurée. Le temps de relaxation ne dépend pas seulement de la distance entre la molécule

d’eau et la paroi solide, mais aussi des hétérogénéités du champ magnétique statique qui sont

liées aux propriétés magnétiques du milieu. De plus les mesures RMP sont très sensibles au

bruit électromagnétique (activité magnétique dans l’ionosphère, ligne haute tension, antenne

radio, pompe hydraulique…). Boucher (2007) a utilisé une procédure de « stacking » et des

filtres pour atténuer ces effets, et on trouve dans la littérature des géométries d’antenne ayant

une forme en huit afin d’avoir un meilleur rapport signal/bruit (Trushkin et al. 1994).

I.C.3) Méthode neutronique (sonde à neutron)

La méthode neutronique (Gardner and Kirkham 1952 ; van Bavel et al. 1956) indique

aussi la quantité d’atome d’hydrogène et donc d’eau par unité de volume de sol. Le volume de

sol mesuré par cette méthode a la forme d’un ellipsoïde de 15 à 40 cm de rayon, selon la

teneur en eau du sol, sa densité apparente et l’activité de la source émettrice.

Cette méthode est basée sur le principe du ralentissement des neutrons émis dans le sol

par une source de neutrons rapides (Greacen et al. 1981). La perte d’énergie est beaucoup plus

importante lors de collisions avec des atomes d’hydrogène et est proportionnelle au nombre

de ces atomes dans le sol. L’effet produit par ces collisions est de transformer un neutron

42

rapide en neutron lent. La mesure se fait à partir d’un tube en alliage d’aluminium enfoncé

verticalement dans le sol (Fig 1.14) où il est laissé en permanence : un bon contact entre la

terre et le tube est une condition essentielle à la précision de la mesure.

Figure 1. 14 - Sonde neutronique

La source de neutrons rapides (radium béryllium ou américium-béryllium) est amenée à

la profondeur désirée accompagnée du détecteur de neutrons lents. Les neutrons rapides

entrent en collision avec l’hydrogène, l’élément principal de faible poids atomique contenu

dans le sol. Lors des chocs inélastiques les neutrons perdront leur énergie cinétique, les

neutrons ralentis se dispersent au hasard formant un nuage autour de la source d’émission.

Une certaine proportion d’entre eux retourne vers la sonde où se trouve le détecteur de

neutrons lents.

La cellule du détecteur est remplie de gaz 10BF3. Quand un neutron thermique

rencontre un neutron et est absorbé, une particule alpha (le noyau d’hélium) est émise ce qui

crée une impulsion électrique transmise par un câble à un système électronique de comptage

où on enregistre un nombre d’impulsion N pendant un certain intervalle de temps soit un taux

de comptage. Pour s’affranchir des problèmes de dérive électronique dans le temps, à la fin de

chaque série de mesures, on effectue un comptage standard 0N dans un milieu référence très

absorbant (eau, paraffine…). En première approximation, le taux de comptage est donc

proportionnel à la densité volumique de ces atomes et il existe une relation linéaire entre le

taux de comptage et la teneur en eau volumique. Néanmoins, en raison de l’influence de la

phase solide (nature des minéraux en présence), de la densité du sol et de la matière

organique, la conversion des comptages réduits 0/ N N en teneur en eau nécessite

l’établissement d’une courbe d’étalonnage.

43

I.D) Mesure d’autres paramètres hydrauliques

I.D.1) Tensiomètre

La tension de l’eau dans le sol caractérise les forces de capillarité et indique le potentiel

hydrique du sol. Elle se mesure à l’aide d’un tensiomètre.

Un tensiomètre est formé d’une bougie poreuse (généralement en céramique) reliée par

un tube en PVC (Poly-Vinyl Chlorure) à un nanomètre, le tout étant rempli d’eau dégazée et

enfoncé dans le sol à la profondeur désirée dans des trous préalablement aménagées (Fig

1.15). L’extrémité du tube PVC dépassant le sol est bouchée à l’aide d’une membrane

autocicatrisante et imperméable à l’air. Il est ensuite possible de retirer l’air piégé dans le

système au moyen d’une pompe à vide.

Figure 1. 15 - Tensiomètre

L’eau est drainée hors de la cellule si le sol s’assèche et engendre une tension plus

grande ; l’eau reflue dans la cellule si le sol se réhumecte et fait baisser la tension. Ces

variations de pression ou de tension sont indiquées sur l’appareil de mesure.

Le tensiomètre fournit des données sur le potentiel hydrique du sol (composante de

pression), si on veut déterminer l’humidité, une courbe d’étalonnage est nécessaire. La courbe

d’étalonnage peut être en partie la courbe caractéristique de rétention mais il est recommandé

de l’établir à partir des données obtenues sur le terrain par la méthode de prélèvements

d’échantillons (méthode gravimétrique) et les valeurs indiquées par le tensiomètre (OMM

1994).

La lecture du tensiomètre indique la pression dans la bougie poreuse moins la différence

de pression causée par la colonne d’eau entre la bougie poreuse et le capteur de pression

44

(manomètre). La pression d’eau dans les pores du sol au niveau de la bougie est égale à la

lecture du capteur de pression plus la pression de la colonne d’eau entre le capteur de pression

et la bougie (Fig 1.15). Le potentiel hydrique du sol au niveau de la bougie se calcule à l’aide

de la formule suivante :

P X wP P g aρ= + (I.73)

où

PP est la pression d’eau dans les pores, en Pa, au niveau de la bougie ;

XP est la pression, en Pa, de l’eau dans le capteur de pression en équilibre avec la

bougie, relative à la pression atmosphérique ;

wρ est la masse volumique de l’eau, environ 1000 kg m-3 ;

a est la distance verticale, en mètres, entre le capteur de pression et la bougie ;

g est l’accélération due à la pesanteur, environ 9,81 m s-2.

Les données de teneur en eau obtenues par tensiomètre sont seulement approximatives

en raison de l’hystérésis entre les branches d’humectation et de desséchement de la courbe

caractéristique de rétention de l’eau du sol. Le domaine d’utilisation des tensiomètres est

réduit à la zone de 0 à 0,8 bar (0 à 8 m de charge hydraulique négative). En effet au delà d’une

charge de pression de l’ordre de 0,8 bar (l’ordre de grandeur de la capacité de rétention), les

pores de la bougie poreuse se désaturent, permettant à l’air de s’introduire dans le corps du

tensiomètre. La méthode ne convient donc qu’en zone humide (OMM 1994).

De plus, le temps de réponse des tensiomètres peut provoquer des mesures erronées si le

potentiel hydrique du sol varie rapidement. Dans ce cas, l’équilibre entre l’eau du tensiomètre

et l’eau du sol ne peut être atteint. En assurant un bon contact entre le sol et la bougie, ce

temps de réponse dépend :

- du type de capteur de pression, qui détermine le volume d’eau déplacée pour un

changement donné du potentiel du sol ;

- de la capacité du tensiomètre lui-même ;

- de la surface de contact de la bougie ;

45

- de la conductivité hydraulique du matériau poreux de la bougie.

Klute (1986) a montré que des bougies en plastique semi-perméable réagissent

beaucoup plus vite que les bougies en céramique.

Les tensiomètres sont sensibles aux variations de température qui provoquent une

dilatation ou une rétractation thermique des différentes composantes du système et influencent

les lectures des tensions (OMM 1994). La question de gel de la colonne d’eau a été résolue

(Weng 2000) en utilisant du glycol (de densité 0,96) au lieu de l’eau, mais les tensiomètres

doivent être purgés régulièrement pour enlever l’air qui s’accumule dans le dispositif.

L’intérêt essentiel des mesures tensiomètriques est de permettre de suivre en continu les

variations de tension dans le sol, et ce à différents niveaux, puisqu’il s’agit d’une méthode

relativement facile à utiliser et peu coûteuse. Mais il est pratiquement impossible de passer de

ces mesures à des valeurs de teneur en eau du sol, à cause des phénomènes d’hystérésis. Cette

méthode prend en fait tout son intérêt lorsqu’elle est couplée à des mesures directes de teneur

en eau du sol et qu’il est alors possible de connaître, pour un profil donné, à la fois les

variations de teneur en eau et le sens de circulation de cette eau.

I.D.2) Mesures de K(h) à l’infiltromètre à disque

L’infiltromètre à disque est un appareil dont le principe consiste à imposer à la surface

du sol un apport d’eau continu, afin de suivre la cinétique de l’infiltration de l’eau dans le sol

à partir d’un disque de diamètre connu (Fig 1.16).

Réservoir d’alimentation

Disque creux

Vase de Mariotte

Tube d’aération du réservoir d’alimentation

Tube d’aération du vase de Mariotte

h1

h2SableSol étudié

Réservoir d’alimentation

Disque creux

Vase de Mariotte

Tube d’aération du réservoir d’alimentation

Tube d’aération du vase de Mariotte

h1

h2SableSol étudié

Figure 1. 16 - Schéma de l’infiltromètre à disque (Coquet et al. 2000)

46

Pratiquement, il permet de réaliser des mesures d’infiltration successives en un point,

explorant une gamme de potentiel croissant allant de -20 cm de hauteur d’eau (-2 kPa) jusqu’à

la saturation (~0 kPa). Pour chaque potentiel considéré, nous obtenons une mesure de flux

d’eau. Ces résultats multi-potentiels (Ankeny et al. 1991 ; Reynolds and Elrick 1991)

permettent de calculer différents points de la relation K(h) dans la gamme de potentiel

explorée. Les premières méthodes de détermination des propriétés hydrodynamiques ont été

basées sur la solution montrant que le flux permanent émanant d’un disque peut s’exprimer

approximativement par l’expression (Wooding 1968) :

( ) ( )0 0

41q h K h

rπ α∞ = +

(I.74)

avec K la conductivité hydraulique (m s-1), h0 le potentiel d’infiltration (m), r le rayon du

disque et α la constante caractéristique du sol m-1.

Cette solution approximative est basée sur plusieurs hypothèses (Coquet et al. 2000 ;

Nicole 2003). Des formes plus développées de l’équation d’infiltration donnent lieu à des

expressions explicite (Philip 1957 ; Vandervaere et al. 2000).

I.D.3) Lysimètre

Le lysimètre est constitué d’une cuve cylindrique étanche sur les cotés (de 1 à 2 m) dont

le fond laisse percoler l’eau afin qu’on puisse la récolter et ainsi mesurer l’infiltration. Il peut

être placé in situ (sur le terrain) ou ex situ (en laboratoire).le lysimètre est constitué d’une

cuve cylindrique d’1,80 m de profondeur, remplie de sol remanié. Le tous pèse près de

3 tonnes (Fig 1.17).

Cuve du lysimètre

Système de drainageSortie de drain

Infrastructure béton

PrécipitationEvaporation

Mesures simultanées (tensiomètre, tube

gamma neutronique…)

Z= 0 m

Z= 1 m

Z= 2 m

Sol

Pluviomètre àauget basculeur

Figure 1. 17 - Schéma d’un lysimètre

47

Le lysimètre est muni d’équipements utiles à la détermination des propriétés

hydrauliques, de telle sorte que l’on puisse calculer à tout moment l’ETR

(l’évapotranspiration réelle), via le passage par la mesure de la pluviométrie, du drainage à la

sortie du drain (infiltration) et de la variation du stock d’eau.

Alors que les méthodes géophysiques ainsi que les tensiomètres nous renseignent sur la

teneur en eau, de manière indirecte à travers la permittivité ou d’autres propriétés, le lysimètre

et l’infiltromètre permettent une mesure directe de l’infiltration, malheureusement ces

techniques sont lourdes à appliquer. Il n’existe donc pas de mesures simples et directes des

paramètres hydrauliques, ceci justifie la continuation de la recherche dans ce domaine afin

d’améliorer encore les méthodes connues ou d’en proposer de nouvelles. Cette démarche nous

a conduits à reconsidérer les possibilités offertes par les mesures de la température.

49

II) Chapitre II : Transferts thermiques dans les sols, liens avec les transferts hydriques et capteurs de mesure

haute précision de la température

II.A) Transferts de chaleur dans les sols

II.A.1) Modes de transferts de chaleur

Les transferts de chaleur peuvent prendre plusieurs formes, avec ou sans déplacement

de matière. Ces transferts peuvent se faire par conduction, convection ou radiation. La

conduction ne fait intervenir aucun transfert de matière, le transport de chaleur se faisant par

diffusion de proche en proche de l’agitation des éléments du milieu. Dans le mécanisme

convectif, en revanche, la chaleur est transférée par déplacement de matière, que la matière

occupe tout l’espace ou qu’elle n’en occupe qu’une partie. Le transfert de chaleur par

radiation est limité au cas du vide (ou d’un gaz). Les échanges d’énergie thermique dans un

sol peuvent donc se faire simultanément par conduction et convection, si bien que le flux total

de chaleur sensible TJ

résulte de la somme des contributions respectives DJ

et VJ

de ces

deux phénomènes, soit :

T D VJ J J= +

(II.1)

II.A.1.a) La conduction

D’après la loi de Fourier, le flux de chaleur sensible transférée par conduction ou

diffusion thermique DJ

(W m-2) est proportionnel au gradient de température décroissant,

DJ grad Tλ= −

(II.2)

où T est la température, grad T

les variations de température suivant x, y, z les trois variables

d’espace et λ la conductivité thermique du matériau (W K-1 m-1).

II.A.1.b) La convection

Le transfert de chaleur par convection est proportionnel au contenu en énergie du fluide,

soit vC (T2-T1), si vC est la chaleur volumique du fluide (J K-1 m-3) et (T2-T1) la différence de

température entre le fluide (T2), et la température du point où il arrive (T1).

50

Dans l’hypothèse d’une percolation lente où on a un équilibre entre la température du

fluide et celle des grains solides au travers desquels il percole et où on peut donc définir une

température du milieu T. Le flux convectif a pour expression :

V vJ C T u→ →

= (W m-2) (II.3)

avec u

: vitesse de Darcy (m s-1).

II.A.2) Régimes thermiques et équations gouvernant le transfert de chaleur

L’influence de la vitesse de déplacement du fluide n’est dominante que pour des

nombre de Péclet élevés (Green 1962 ; Bia 1969). Or dans des milieux poreux, les vitesses de

filtration des fluides dépassent rarement 1 m/jour (Bia and Combarnous 1984), sauf au

voisinage des puits, ce qui correspond à des valeurs de nombre de Péclet :

( )v LPe C u d λ′= (II.4)

avec d : diamètre moyenne de pores et Lλ′ : conductivité thermique dans le sens de

l’écoulement) inférieurs à 0,1. On est dans le régime de percolation lente où l’utilisation de

l’équation : ( ) 0D v v

Tdiv J J C

t

∂+ − =∂

(II.5)

est parfaitement justifiée (Bia and Combarnous 1974 ; Bia and Combarnous 1984). De ce fait

on n’a pas recours à l’hypothèse de deux milieux continus fictifs représentant la phase solide

et l’ensemble des phases fluides, avec un coefficient de transfert entre les deux (Green 1962 ;

Bia and Combarnous 1974 ; Ginosar and Green 1994). Lors du transfert de chaleur par

convection, on suppose qu’il y a équilibre thermique (même température) entre le fluide qui

s’écoule et les minéraux avec lesquels le fluide entre en contact.

II.A.2.a) Régime stationnaire (permanent)

Le régime stationnaire permet de traiter plusieurs situations, le cas, in situ, où l’on fait

des mesures profondes en forage et le cas, en laboratoire, où l’on impose à un échantillon un

flux permanent permettant de déterminer sa conductivité thermique à partir de la loi de

Fourier. Ce deuxième cas, que l’on appelle la méthode de la barre divisée se pratique soit sur

des échantillons sec soit sur des échantillons saturés pour éviter tout effet de thermomigration

et n’a pas beaucoup d’intérêt pour la détermination des paramètres hydrauliques. En revanche,

51

en forage lorsque la conduction et la convection sont impliquées dans le transfert de chaleur,

l’équation de conservation de la chaleur (à une dimension selon la verticale z) s’écrit :

2

20c v

T TC u

z zλ ∂ ∂ − = ∂ ∂

(II.6)

Elle admet pour solution une variation en z en z

uCv

e λ , ce qui permet de déterminer la

vitesse verticale u du fluide en calant l’expression théorique à une série de mesures.

Plusieurs auteurs (Bredehoeft and Papadopoulos 1965 ; Stallman 1967; Sorey 1971 ;

Boyle and Saleem 1979) ont appliqué cette méthode, mais elles ne concerne que des

profondeurs suffisamment importantes où le régime permanent est une approximation

acceptable. Dans notre étude on s’intéresse plutôt aux variations temporelles de courte durée,

ce qui implique de travailler dans les couches superficielles et en régime transitoire.

II.A.2.b) Régimes variables

II.A.2.b.1) Régime sinusoïdal imposé en surface du sol

Le régime sinusoïdal correspond aux observations que l’on peut réaliser in situ à partir

des variations naturelles diurnes ou annuelles. Les développements effectués ici sont valables

aussi bien pour les cycles de variation thermique diurnes qu’annuels. Comme ont peut le voir

sur la figure 2.1, les variations thermiques sinusoïdales imposées en surface induisent des

variations de température dans le sol de même période et dont le déphasage et

l’amortissement croissent avec la profondeur.

12 cm15 cm18 cm

amplitudeamplitude

amplitude

déphasage

déphasage

période

12 h 24 h 36 h

4

5

6

7

8

9

Temps (heures)

Tem

péra

ture

(°C

)

Figure 2. 1 - Variations de température dans le sol à différentes profondeurs

52

Ce comportement à été décrit analytiquement (Carslaw and Jaeger 1959) à partir d’une

condition à la limite en surface du type : T(0,t)=Tmoy+T0 cosωt ; le cycle thermique à la

surface du sol (0, )T t est supposé suivre une variation sinusoïdale caractérisée par une

température moyenne moyT , par une amplitude T0 et par une fréquence angulaire ω .

L’équation de la chaleur, en absence de convection, se réduit à :

2

2

1T T

z t

∂ ∂=∂ Γ ∂

(II.7)

avec les conditions aux limites : 0(0, ) cos

( , )moy

moy

T t T T t

T t T

ω= + ∞ =

(II.8)

pour un sol homogène.

En appliquant la transformation de Fourier à l’équation et aux conditions aux limites, la

transformée ),( ωzT doit vérifier l’équation : 2

2,

T iT

z

ω∂ =∂ Γ

(II.9)

dont la solution est : (1 )

20( , )

i z

T z T eω

ω− +

Γ= (II.10)

ce qui conduit pour T à : ( )- 1

20( , )

i zi t

moyT z t T T e eω

ω +Γ= + (II.11)

La partie réelle de la solution générale de l’équation de la chaleur, à n’importe quelle

profondeur du sol z(m), aura par conséquent la forme suivante :

20( , ) cos

2

z

moyT z t T T e t zω ωω

−Γ

= + − Γ

(II.12)

Toutes les profondeurs présentent la même valeur de température moyenne, moyT .

L’amplitude des variations de la température dans le sol décroit avec la profondeur. Ce

comportement est représenté par un terme d’amortissement 2z

eω−Γ (cf. Chapitre I, la notion de

profondeur de pénétration) d’autant plus grand que z et ω sont grands et Γ petit. Le

déphasage 2z

ωϕ∆ =Γ est un décalage dans le temps d’autant plus grand que z est grand, que

la pulsation ω est élevée et Γ petit. L’amortissement et le déphasage peuvent être utilisés

53

séparément pour déterminer la valeur de Γ. En considérant deux profondeurs différentes, z1 et

z2, on a en effet si R(z1,z2) est le rapport des amplitudes des variations de température à ces

deux profondeurs et ∆φ(z1,z2) la différence de phase :

2

2 1

2 ( )

z z

Ln R

ω −Γ =

et 2

2 1

2

z zωϕ

−Γ = ∆ (II.13)

Dans un sol homogène ces deux valeurs sont égales et peuvent permettre de déterminer

la teneur en eau à partir de la diffusivité.

En ajoutant le terme de convection, l’équation de la chaleur à une dimension d’espace

s’écrit :

( ) ( ) ( )2

2

, , ,1T z t T z t T z t

z t zυ

∂ ∂ ∂= +

∂ Γ ∂ ∂ (II.14)

avec : vC

λΓ = , et eau

v

Cu

Cυ = (II.15)

Par application de la transformée de Fourier, l’équation devient :

( ) ( )2

2

, ,0

z t z ti

z z

τ τυ ω τ

∂ ∂− − =

∂ ∂ (II.16)

et a pour solutions complexes pour un sol homogène (Tabbagh et al. 1999) :

( ) ( ) ( ) ( )2

0

4

2

, , exp expz t z i t

i t

τ τ ω γ ω

υ υ ωγ

= − + =

Γ

(II.17)

Elles montrent aussi une décroissance de l’amplitude des variations avec la profondeur,

associée à une croissance du déphasage mais dans lesquels ν (terme de convection en m s-1)

intervient. Mais le calcul de la diffusivité à partir des deux formules précédentes donne des

résultats différents. Il est alors pertinent à partir d’un couple de profondeurs de définir deux

diffusivités « apparentes », ampΓ calculée à partir du rapport des amplitudes et phΓ calculée

à partir de la différence de phase et de les utiliser pour calculer les deux inconnues υ et Γ . Il

a été montré que phΓ est pratiquement indépendante de υ et fournit avec une très bonne

54

approximation la vraie valeur de la diffusivité et que υ pouvait être obtenue (Cheviron 2004)

par une formule approchée très simple : ( )2 amp ph

amp

ωυ = Γ − ΓΓ

. (II.18)

II.A.2.b.2) Régime transitoire à flux imposé

L’étude du régime transitoire est importante car il correspond à la totalité des mesures

au laboratoire ou in situ dans lesquelles est imposée une excitation artificielle, méthode que

l’on appelle ‘méthode du choc thermique’, l’excitation suivant le plus souvent une variation

en ‘step function’ ou fonction d’Heavside, H(t). Pour un apport de chaleur transitoire naturel à

la surface d’un sol (condition de Neumann), le flux de chaleur peut être décomposé en une

série de fonctions d’Heaviside selon la formule, 0

(0, ) ( )t

t H t dφφ τ ττ

∂= −∂∫ (II.19)

ce qui permet de se ramener aussi au calcul de la réponse à une excitation en H(t) dont la

transformée de Laplace a plus de chance d’être connue. On reconstitue ensuite la réponse

complète en appliquant :

τττφ

dtzTtzT H

t

),(),(0

−∂∂= ∫ (II.20)

où TH(z,t) correspond à la réponse à un flux unitaire en H(t), il s’agit d’une intégrale de

convolution temporelle.

Dans le cas d’un sol homogène où la conduction est le seul mode de transfert de la

chaleur (absence de convection), l’équation de la chaleur s’écrit : 2

2

1T T

z t

∂ ∂=∂ Γ ∂

, (II.21)

avec les conditions aux limites :

( ,0)

(0, )1

( , )

moy

moy

T z T

T t

zT t T

λ

= ∂− = ∂

∞ =

(II.22)

La transformée de Laplace ),( pzT vérifiera l’équation, 2

2

T pT

z

∂ =∂ Γ

(II.23)

puisque T(0,t)=0, dont la solution est : 32

( , )p

zT z p e

pλ

−ΓΓ= (II.24)

55

L’utilisation de la table de la transformée de Laplace inverse permet d’obtenir :

2( , )

2H

t zT z t ierfc

tλΓ = Γ

(II.25)

où ierfc est l’intégrale de la fonction erreur complémentaire :

( ) ( ) ( )211ierfc u u u erf u

π= − − − exp (II.26)

Lorsque la conduction et la convection thermique sont toutes les deux présentes,

l’équation de la chaleur s’écrit : 2

20

T T T

z z tυ∂ ∂ ∂Γ − − =

∂ ∂ ∂ (II.27)

En présence du terme de convection, le terme ( ),HT z t s’écrit (Tabbagh et al. 1999) :

22

222

2

( , )zz t

Hz

t

z eT z t e e dt

t

υυ

λ π

∞ − Γ Γ

Γ

= ∫ (II.28)

Avec cette solution, il est possible de déterminer Γ et υ en recherchant les valeurs qui

permettent, en prolongeant les variations observées à une profondeur 1z , les faire coïncider au

mieux avec celle obtenues à une profondeur 2z (Bendjoudi et al. 2005).

La figure 2.2 illustre ce que peuvent être les variations transitoires naturelles. Elle

montre la température enregistrée au cours d’un cycle journalier et son modèle sinusoïdal

théorique calé par moindres carrés.

Les mesures par choc thermique avec excitation artificielles sur de petits volumes de sol

in situ ou au laboratoire utilisent plutôt des sources linéiques ou ponctuelles. Les solutions

mathématiques font donc appel soit au système de coordonnées cylindriques soit au système

sphérique avec une seule variable d’espace le rayon. Elles sont analogues à celles obtenues

avec comme variable z .

56

4

8

12

16

20T

(°C

)valeurs mesuréesmodéle théorique

12 h 24 h

Variations transitoires

Temps (heures) Figure 2. 2 - Exemple d’écart des termes transitoires de la sinusoïde journalières

II.B) Mesure in situ haute précision de la température

Que ce soit en utilisant les variations naturelles de température ou à partir d’une chauffe

artificielle, les mesures thermiques ouvrent une large gamme de possibilités pour déterminer

la teneur en eau d’un sol, elles entrent pour ce faire en concurrence avec d’autres méthodes,

notamment électriques, et elles présentent deux points limitants : elles sont lentes (ce qui n’est

pas toujours gênant) et, pour les mesures actives, elles impliquent une consommation

énergétique relativement élevée. Elles ont aussi et c’est une caractéristique potentiellement

très intéressante et originale par rapport aux autres méthodes la capacité de mesurer la vitesse

de Darcy. Dans les deux cas, il est clair que l’on améliorerait sensiblement les possibilités

offertes par ces méthodes en augmentant la sensibilité et/ou le pas de mesure en espace et en

temps des capteurs. Ceci permettrait en effet d’exploiter des variations naturelles de faible

amplitude et de réduire l’intensité de chauffe lorsqu’on utilise des variations artificielles Dans

le cadre de ce travail, on s’est donc attaché à développer de nouveaux capteurs à haute

sensibilité.

La mesure de la température T est effectuée par des thermomètres, elle est fondée sur la

variation avec la température de différentes propriétés physiques (dilatation, modification

d’un potentiel électrique …). Nous allons discuter ci-dessous des différentes méthodes

(thermomètres) de mesure en donnant à chaque fois la grandeur thermométrique et sa

variation avec la température. Après avoir choisi la grandeur physique qui convient à notre

étude nous allons présenter, la manière dont la température sera enregistrée, et la qualité

métrologique de l’instrument de mesure choisi (capteur de température).

57

II.B.1) Capteur réparti (fibre optique)

La nouveauté la plus remarquable apparue ces dernières années pour la mesure des

températures est la mesure par fibre optique (Selker et al. 2006) qui peut être réalisée sur toute

la longueur d’une fibre (qui peut faire plusieurs kilomètres). Un laser envoie dans la fibre

optique (le long de laquelle sera mesurée la température) des impulsions de très courte durée

t0 d’une lumière monochromatique de fréquence f0. Lors de la propagation de cette impulsion,

une partie de la lumière va être diffusée par effet Raman, une partie de cette lumière diffusée

va se trouver guidée par le cœur de la fibre dans le sens opposé à l’onde incidente et permettre

la mesure (Fig 2.3).

Double échantillonneur ultra-rapide

Profil de température

FAs : filtre passe bande à λAs

x

photorécepteur

photorécepteur

Fibre optique

Impulsion laser à λ0

Lumière rétrodiffusée

F0 : filtre coupe-bande à λ0

Fs : filtre passe bande à λs

L1

L2

X

T

Double échantillonneur ultra-rapide

Profil de température

FAs : filtre passe bande à λAs

x

photorécepteur

photorécepteur

Fibre optique

Impulsion laser à λ0

Lumière rétrodiffusée

F0 : filtre coupe-bande à λ0

Fs : filtre passe bande à λs

L1

L2

X

T

Figure 2. 3 - Fibre optique

Une lame séparatrice L1 permet de récupérer la moitié de la lumière rétrodiffusée. Un

filtre coupe bande F0 bloque la raie principale correspondant à λ0 et la lame séparatrice L2

permet de dédoubler le faisceau. Le filtre passe bande FS laisse passer uniquement la raie

Stokes et le filtre FAS la raie anti-Stokes. Les deux photorécepteurs permettent de mesurer

l’intensité de chacune des deux raies. La mesure du rapport des intensités donne accès à la

température. Cette méthode de mesure ouvre des perspectives très larges pour suivre tous les

phénomènes thermiques se déployant dans l’espace. Elle permet notamment de détecter des

fuites. Cependant la sensibilité de la mesure de température reste aujourd’hui limitée à 0.1 K.

II.B.2) Capteurs ponctuels

On détermine avec eux la température en un ‘point’ c’est-à-dire en une zone de faibles

dimensions (de l’ordre du millimètre ou du centimètre) par l’intermédiaire d’un phénomène

physique accompagnant les variations de température, par exemple :

Dilatation d’un fluide : thermomètre à gaz, à mercure ou à alcool,

58

Emission d’un rayonnement : pyromètres optiques,

Thermomètres électriques,

Variation de la force électromotrice (fem) : thermocouple,

Variation d’une résistance : thermistance, thermomètre à résistance (en anglais thermistor).

Nous décrivons ci-après le fonctionnement des principaux thermomètres électriques les

seuls adaptés aux mesures considérées ici.

II.B.2.a) Thermocouples

Un thermocouple est constitué de deux fils de métaux ou alliages différents M et M’,

soudés en (a) et (b), au milieu d’un des deux fils on insère un voltmètre sensible (Fig 2.4). Par

effet Seebeck, le thermocouple génère une différence de potentiel qui dépend de la différence

de température entre les soudures.

E

MM

ba

M’

E

MM

ba

M’

glace fondante Figure 2. 4 - Principe du thermocouple

La fem du thermocouple ne dépend pas de l’endroit où est situé le millivoltmètre dans la

boucle, elle ne dépend que des températures des deux soudures. Lorsqu’on fait la mesure, une

des deux soudures sera située au point de mesure (point chaud). L’autre soudure sera à

température constante (point de référence ou point froid). Les thermocouples créent donc une

force électromotrice, l’expérience montre que la fem « E » n’est fonction que des coefficients

thermoélectriques des deux métaux et de la différence de température des deux soudures.

Les principaux inconvénients de ce type de thermomètre électrique sont : (i) la nécessité

d’une soudure de référence (point froid) et (ii) l’influence des gradients de température sur les

fils qui ne sont pas toujours homogènes (variation des coefficients avec la température).

II.B.2.b) Thermomètres à thermistance

Il existe deux types de thermistance, les CTN à coefficient de température négatif et les

CTP à coefficient de température positif. Les plus courants sont les CTN où le capteur est

59

constitué d’oxydes semi-conducteurs (le semi-conducteur peut être de type n si la conduction

est assurée par les électrons libérés par les donneurs d’électrons, ou de type p si la conduction

est assurée par les trous créés pas les accepteurs d’électrons). L’augmentation de la

température provoque la création d’électron/trou qui participe à la conduction et entraine une

diminution de la résistance électrique, R, d’où le terme CTN.

La loi de variation approchée pour une thermistance CTN est de la forme :

B

TR A e= (II.29)

B est l’indice de sensibilité thermique. A est une constante caractéristique dépendant du

matériau, de la forme et des dimensions de la thermistance.

L’évolution de la résistance d’une CTN selon une loi exponentielle fait que pour un T∆

donné, les variations de résistance sont d’autant plus fortes que la température est basse. La

sensibilité sera donc grande aux basses températures et diminuera quand T augmente. La loi

de variation de la résistance en fonction de la température n’est pas linéaire. Ils sont de très

faibles dimensions et faciles à insérer dans un système de mesure, malheureusement leur

précision est de 0,1 à 0,5 K.

II.B.2.c) Thermomètres à résistance métallique

Les thermomètres à résistance métallique (platine, nickel…) ont une résistance qui

augmente avec la température, ce sont des capteurs ‘passifs’. Malgré sa bonne linéarité, on

n’utilise pas le cuivre à cause du risque d’oxydation, on lui préfère un métal chimiquement

inaltérable. Le thermomètre utilisé est ici constitué d’un fil de platine car, outre sa corrosion

nulle, il présente de nombreux avantages : grande pureté (99.999%), un système cristallin bien

défini, et une facilité de bobinage sans contraintes mécaniques (susceptible de varier selon les

cycles de température) dans une gaine de protection. On obtient donc des propriétés

électriques très stables, d’où une excellente reproductibilité des mesures et une

interchangeabilité de la sonde en cas de besoin. C’est l’instrument légal d’interpolation entre

19 K et 937 K. Une sonde au platine reste d’un faible coût. La loi liant la température à la

résistance du platine est parfaitement connue.

Le courant qui traverse la résistance de platine (ou n’importe quels autre métal) est dû

au déplacement des électrons libres, la résistance électrique est non nulle car le réseau et les

électrons ont une agitation thermique. L’électron subit des collisions d’autant plus

60

0 T 2T 3T 4T

V moy

V (t)

t0 T 2T 3T 4T

V moy

V (t)

t

nombreuses que la température est élevée, et que l’agitation de réseau est importante. Soit τ

la durée moyenne entre deux chocs (elle dépend du type, de la structure, et des impuretés),

1/cn τ= est le nombre moyen de chocs par seconde pour un électron. Un électron soumis à

un champ électrique E, va se déplacer en sens inverse de ce champ électrique sous l’action

d’une force électrostatique eF q E= . Sa vitesse de déplacement v est :

( )e

dv tq E m

dt= soit ( )

e

q Ev t t cte

m= + (II.30)

avec em la masse effective, q la charge électrique (en coulomb) ; en admettant que le

phénomène de collision se produit systématiquement, avec comme conséquence une perte de

l’énergie cinétique (convertie en chaleur dans le réseau cristallin du métal) de l’électron, la

vitesse ( )v t de l’électron est alors donnée par le graphe suivant (Fig 2.5).

Figure 2. 5 - Vitesse de l’électron

L’électron est caractérisé par une vitesse moyenne telle que :

0

1( )

2moy moye

qv v t dt v E

m

τ ττ

= ⇒ =∫ (II.31)

On constate que la vitesse moyenne de cet électron est proportionnelle au champ

électrique. Le coefficient de proportionnalité qui est une caractéristique importante du

comportement de l’ensemble des électrons libres dans le métal représente la mobilité de

l’ensemble des électrons libres du métal.

Soit N le nombre d’électron libre par unité de volume, la densité de courant j est

proportionnelle au champ électrique 2( / 2 )j N q v Nq m E Eτ σ= = = (II.32)

où σ représente la conductivité du matériau (platine dans notre cas). On en déduit la

résistivité 22 /m Nqρ τ= (II.33)

Cette formule montre que la résistivité augmente lorsque la durée moyenne entre deux

chocs diminue, du fait de l’échauffement du métal.

61

La résistance électrique R (en Ω) d’un fil métallique de section circulaire est liée à ses

caractéristiques géométriques par la relation : l

RS

ρ= (II.34)

où : l est la longueur du fil

S est la section du fil

ρ est la résistivité, caractéristique propre à chaque métal.

La relation entre la température et la valeur ohmique des capteurs à résistance de

platine, Pt 100, a été calculée par Callendar puis, plus tard, affinée par Van Dusen, c’est

pourquoi cette équation est nommée Callendar-Van Dusen.

2 30 1 ( 100)TR R A T B T C T T = + + + − (II.35)

Pour ce corps (résistance de platine), le terme du 4ème degré n’est nécessaire que pour

les températures comprises entre -200°C et 0°C.

La convention de 1968 de l’Echelle Internationale Pratique des Températures (EIPT) a

proposé pour le thermomètre à résistance de platine les lois de variation de résistance

suivantes (Donnini and Quaranta 1997) :

3 7pour 0 850 , 3,908 10 , 5,802 10 0C T C A B et C− −° ≤ ≤ ° = = − = (II.36)

3 7 12pour 200 0 , 3,908 10 , 5,802 10 4,2 10C T C A B et C− − −− ° ≤ ≤ ° = = − = − (II.37)

Entre 0 850C T C° ≤ ≤ ° , il suffit donc de résoudre l’équation du 2ème degré :

2

02

0

4 1

1 02

T

T

RA A B

RRB T AT T

R B

− + − −

+ + − = ⇒ =

(II.38)

Entre 200 0C T C− ° ≤ ≤ ° : 2 30 1 ( 100)TR R A T B T C T T = + + + − (II.39)

Cette équation du 4ème degré ( 124,2 10C −= − ), n’a aucune solution générale. On a établi

un programme fortran afin de résoudre cette équation, en lisant TR dans un fichier d’entrée et

on récupère la température T , dans le fichier de sortie (Fig 2.6).

62

-200 -100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

T (°C)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

R (Ω

)

y = 0,3427x + 106,53R² = 0,9986

La fonction de transfert (quatrième degré) entre -200 et 0°C La fonction de transfert

(deuxième degré) entre 0 et 850°C

Figure 2. 6 - Loi de transfert de la résistance de platine Pt 100

Il existe plusieurs classes de précision des sondes à platine Pt 100 (Fig 2.7).

-200 -100 0 100 200Température en °C

0

0.4

0.8

1.2

1.6

Tol

éran

ce +

- °C

Classe B

Classe A

1/3 Classe B

1/5Classe B

1/10 Classe B

Pt 100 ohm (1/10 classe B) à 0 et à 100 °C

Figure 2. 7 - Tolérances des sondes à résistance Pt 100 suivant la norme CEI 751

Cette classe correspond au degré de précision garanti sur la valeur de la résistance. Cette

précision dépend de la norme suivant laquelle la résistance a été fabriquée. Depuis 1990, les

deux normes les plus courantes sont les normes européennes CEI 751 et ASTM 1137.

Les résistances de platine dont on dispose à l’UMR Sisyphe sont des Pt 100 de classe

1/10 B, suivant la norme CEI 751, soit :

63

0R =100 0,01 , 0,03où C± Ω ± ° (II.40)

100R =138,5 0,03 , 0,08où C± Ω ± ° (II.41)

Il existe plusieurs branchements possibles des sondes de platine : le montage deux fils,

le montage trois fils et le montage quatre fils (Fig 2.8). Étant donné que la précision doit être

maximale, notre choix s’est porté sur un montage quatre fils.

1/ montage 2 fils

Montage le plus simple, mais la précision est influencée par la résistance de ligne

3/ montage 4 fils

Montage le plus précis permettant de supprimer totalement les erreurs dues à la résistance de ligne ainsi qu’au variations de température des conducteurs.

2/ montage 3 fils

Montage le plus couramment utilisé dans l’industrie

Ce montage permet de minimiser les erreurs systématiques dues aux résistance de lignes

Rouge RougeRouge

Blanc BlancBlancBlanc

RougeRouge

1/ montage 2 fils

Montage le plus simple, mais la précision est influencée par la résistance de ligne

3/ montage 4 fils

Montage le plus précis permettant de supprimer totalement les erreurs dues à la résistance de ligne ainsi qu’au variations de température des conducteurs.

2/ montage 3 fils

Montage le plus couramment utilisé dans l’industrie

Ce montage permet de minimiser les erreurs systématiques dues aux résistance de lignes

Rouge RougeRouge

Blanc BlancBlancBlanc

RougeRouge

Figure 2. 8 - Les différents types de raccordement électrique

Pour supprimer totalement les erreurs dues à la résistance des fils ainsi que les

variations de température des conducteurs, il faut établir une mesure dite « à quatre points »,

ou bien « montage quatre fils ». Deux connections servent à amener le courant circulant dans

la résistance et deux autres servent à la mesure de la tension. Dans ces fils de mesure de la

tension, où circule un courant quasi-nul, la chute thermique est négligeable. Ainsi on

s’affranchit de la résistance des fils (la tension ne dépend pas de la résistance des fils).

II.B.3) Enregistrement de la température

Après la partie capteur de température, où la résistance du platine a été choisie comme

grandeur physique dépendante de la température, une configuration de l’électronique (Fig 2.9)

a été définie, elle permet de mesurer et d’enregistrer les variations de température. Chaque

capteur possède sa propre électronique (Fig 2.9). La duplication de la même électronique, ne

pose pas de problème, d’autres configurations (en utilisant un multiplexeur) auraient pu être

choisies, mais le fait de disposer d’un tel montage (une électronique par capteur) permet de

limiter les conséquences d’une panne, et une plus grande flexibilité quant au choix du nombre

de capteur à utiliser.

64

Capteur de température

Mise en oeuvre du

capteur (analogique)

Conversion analogique numérique

Horologe

Microcontrôleur Mémoire

Carte liaison vers PC

Capteur de température

Mise en oeuvre du

capteur (analogique)

Conversion analogique numérique

Horologe

Microcontrôleur Mémoire

Carte liaison vers PC

Figure 2. 9 - Schéma de l’électronique associée au capteur de température

II.B.3.a) Partie analogique

Le principe de la mise en œuvre d’un capteur (sonde) de température est d’injecter un

courant constant dans le capteur et de lire la tension à ses bornes. La société CORREGE qui

conçoit et vend ces platines conseille d’utiliser un courant inférieur à 1 mA pour éviter tout

échauffement de la sonde. Pour fixer ce courant, la partie analogique fait intervenir une

référence de tension et une résistance. La référence de tension choisie a une consommation en

courant de 1 mA, une tension en sortie de 1,25 V avec une précision de 0,01% et possède une

dérive en température inférieure à 5 ppm/°C. Les résistances habituelles ont une dérive en

température d’environ 100 ppm/°C. Pour avoir un courant de 1 mA, on a utilisé une résistance

de 1250 Ω (une résistance de 1000 Ω et une résistance de 250 Ω ont été mises en série).

Pour un écart de température de 30°C entre l’électronique et la sonde, et pour une dérive

de température de 5 ppm/°C, on a une différence de courant de 2,991 µA et un écart de

température de 0,03896°C.

II.B.3.b) Le convertisseur analogique numérique

Le convertisseur analogique numérique est un circuit dont la fonction est de générer à

partir d’une valeur analogique, une valeur numérique codée sur plusieurs bits. Pour une plage

de température de 70 K qui peut s’étendre entre -20°C à 50°C, et pour disposer du millième

de degré, il faut que le convertisseur puisse coder au moins 70000 valeurs et soit donc capable

de convertir sur au moins 17 bits. Un convertisseur 20 bits qui consomme 200 µA à été choisi.

II.B.3.c) Le microcontrôleur

Le microcontrôleur permet d’une part de définir le moment de la mesure, de réaliser la

mesure et de la stocker dans la mémoire, d’autre part de transmettre les mesures selon un

protocole défini.

En pratique, toutes les 10 ou 30 minutes (à choisir, via un terminal), le microcontrôleur :

65

lit le convertisseur analogique numérique

stocke la valeur relevée dans une mémoire EEPROM avec l’heure à laquelle la mesure a été faite.

Sachant qu’à tout moment il est possible de récupérer les données stockées dans la

mémoire EEPROM via une liaison avec un micro-ordinateur.

NB : Le phénomène d’auto-échauffement est un phénomène général à tous les capteurs

de température résistif (résistance de platine, thermistance). Pour mesurer une résistance,

l’ohmmètre envoie un courant dans le composant et mesure la d.d.p. à ses bornes. Il en déduit

R par le rapport /V I∆ . L’inconvénient de ce procédé est qu’il dissipe sous forme de chaleur,

une puissance électrique valant R I2 qui peut fausser la mesure de la température : on doit

s’attendre à voir la résistance augmenter et ce d’autant plus que le courant de mesure est fort

et que le milieu dans lequel la résistance se trouve évacue mal la chaleur. Il est cependant

délicat de mettre en évidence cet effet dans la pratique car le courant de mesure des

multimètres est faible (1 mA pour mesurer 100 Ω). La puissance dissipée est donc très faible

(de l’ordre de 0,1 mW). Pour pouvoir observer l’auto-échauffement, il faut une sonde en

équilibre thermique depuis suffisamment longtemps dans un milieu de température très stable.

Ces conditions sont très difficiles à réaliser. Il faut cependant savoir que cet effet existe et

qu’il peut être source d’erreurs.

II.B.4) Caractéristiques globales de l’instrument de mesure

Six capteurs différents ont été réalisés pour chacun desquels il est impératif d’évaluer

les erreurs de mesure. D’une manière générale les principales composantes de l’erreur

peuvent faire intervenir (Fig 2.10) :

L’erreur grossière (facile à éliminer) comme un mauvais étalonnage ou erreur

de lecture ou de transcription.

L’erreur systématique due au manque de justesse de l’instrument (justesse

imparfaite d’étalonnage) : elle contribue à toujours surévaluer ou sous-évaluer la valeur

mesurée. Elle se traduit par un défaut d’exactitude. Quantitativement c’est l’écart entre

la moyenne qui résulterait des mesures dans des conditions de répétabilité et la valeur

vraie.

L’erreur aléatoire inévitable, tantôt en plus, tantôt en moins due au manque de

répétabilité de l’instrument. Elle se traduit par un défaut de précision et parfois par un

66

défaut d’exactitude. Quantitativement c’est l’écart entre le résultat des mesures dans des

conditions de répétabilité et la valeur vraie.

erreurs systématique

Biais

(Justesse)

erreurs de mesure

(exactitude)

erreur aléatoire

infidélité(fidélité)

Yy ma

Valeur vraie Résultat d’un mesurage

erreurs systématique

Biais

(Justesse)

erreurs de mesure

(exactitude)

erreur aléatoire

infidélité(fidélité)

Yy ma

Valeur vraie Résultat d’un mesurage

Figure 2. 10 - Quantifications des erreurs

Nous allons passer en revue les indications de qualité de notre appareil de mesure

(capteur de température).

II.B.4.a) Etendue de mesure (dynamique)

Elle correspond à la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la

gamme de mesure. Pour notre capteur de température elle est de 70°K en couvrant une plage

de température allant de -20°C à 50°C.

II.B.4.b) Justesse (offset)

La justesse d’un instrument, exprime l’étroitesse de l’accord entre la valeur moyenne

trouvée à partir d’une large série de résultats et la valeur qui est reconnue comme valeur de

référence. C’est l’aptitude à donner des indications exemptes d’erreur systématique. Elle est

quelquefois appelée abusivement exactitude.

Un instrument est ″juste″ s’il y a obtention de résultats dont l’espérance mathématique

est égale à la vraie grandeur à mesurer (cf. valeur d’un étalon par exemple). Ceci entraine

qu’il n’y a pas d’erreur systématique et que l’erreur aléatoire est nulle en moyenne.

L’électronique de mesure a été testée en préalable à l’installation des capteurs sur site

afin d’évaluer cette justesse lorsque l’électronique subit un évènement thermique brutal. Pour

chacun des capteurs nous avons remplacé les Pt 100 par une résistance de 100 Ω à 0,01% prés

67

(qui a une petite dérive en température inférieur à 5 ppm/°C), en faisant varier la température

brutalement entre 0°C et la température ambiante 25°C. La mesure de l’erreur de justesse J

(Tableau 2.1) correspond à la différence entre la moyenne expérimentale X des résultats

(moyenne des résistances mesurées pour chaque capteur) et la valeur vraie X (100 Ω dans

notre cas, qui correspond à 0°C) :

J X X= − avec 1

1 i n

ii

X Xn

=

=

= ∑ (II.42)

Tableau 2. 1 - Erreur de justesse de l’électronique des différents capteurs de température

Elle passe par l’application de corrections des erreurs systématiques, notamment grâce

aux opérations d’étalonnage. La figure 2.11 représente la résistance mesurée pour chaque

capteur.

Tem

péra

ture

(°C

)

Figure 2. 11 - Résistances mesurées pour chaque capteur, par une résistance à réponse

constante à 100 Ω

Capteur N : Résistance mesurée (Ω) Erreur de justesse

(résistance en Ω) Erreur de justesse

(température en °C)

1 99,989 0,0111 0,0284 2 99,997 0,0030 0,0077 3 99,996 0,0040 0,0102 4 99,991 0,0090 0,0230 5 100,003 -0,0030 -0,0077 6 100,004 -0,0043 -0,0109

68

Un étalonnage croisé de tous les capteurs entre eux à été effectué, afin de pouvoir

comparer ensuite leur résultats et de les corriger si nécessaire. Le capteur 1 a été choisi

arbitrairement comme référence. On les a tous placés dans un bain Marie avec agitation et les

6 mesures de températures ont été enregistrées pendant plusieurs heures (Fig 2.12).

Figure 2. 12 - Etalonnage des capteurs de température dans un bain d’eau entre 0 et 20°C

Les enregistrements des six capteurs de température, pour un cycle de variation

journalière, avant étalonnage se représentent comme suit (Fig 2.13).

10:40

12:40

14:40

16:40

18:40

20:40

22:40 0:4

02:4

04:4

06:4

08:4

010

:40

Temps (heures)

15

16

17

18

19

20

21

Tem

péra

ture

(°C

)

Cp1

Cp2

Cp3

Cp4

Cp5

Cp6

Figure 2. 13 - Enregistrements de températures brutes des capteurs dans un bain Marie

69

Pour apprécier la justesse globale de chacun des capteurs et définir la correction à

apporter à chacun pour qu’ils aient la même justesse, nous avons choisi comme référent le

capteur 1, et avons utilisé une régression polynomiale (régression cubique) pour définir les

coefficients par la méthode des moindres carrées. Soit ,i jT la température du capteur j à la ième

mesure, on minimise : ( ) ( )2

3 2 11 4 3 2 1

1

N

i i j i j i j i ji

S T T C T C T C T C=

= − − + + + ∑ , , , , , (II.43)

Les coefficients obtenus sont présentés dans le tableau 2.2.

Tableau 2. 2 - Etalonnage par comparaison au capteur 1

Apres avoir appliquée la correction (étalonnage) à chacun des capteurs par rapport au

capteur 1, les enregistrements de température étalonnés se représentent comme suit (Fig 2.14).

10:40

12:40

14:40

16:40

18:40

20:39

22:40 0:4

02:3

94:3

96:3

98:3

910

:40

Temps (heures)

15

16

17

18

19

20

21

Tem

péra

ture

(°C

)

Cp1

Cp2

Cp3

Cp4

Cp5

Cp6

Figure 2. 14 - Température étalonnée par rapport aux enregistrements de température du

capteur 1

Capteur N : C1 C2 C3 C4 S avant

étalonnage S aprés

étalonnage 2 1,41E-02 -1,41E-02 8,71E-04 -1,72E-05 0,0035 0,000012 3 -3,72E-02 2,12E-02 -1,47E-03 3,93E-05 0,0099 0,000045 4 -3,03E-01 1,23E-01 -8,76E-03 2,15E-04 0,1079 0,000589 5 -6,10E-02 3,60E-02 -2,40E-03 6,47E-05 0,0352 0,00011 6 -2,67E-03 -1,10E-02 8,28E-04 -1,65E-05 0,0009 0,000012

70

II.B.4.c) Fidélité

La fidélité est l’étroitesse de l’accord entre des résultats indépendants obtenus sous des

conditions stipulées (même observateur, même mode opératoire, même lieu, répétition durant

une période de temps constante).

Pour éviter une confusion éventuelle avec la notion de justesse, nous devrons définir

précisément la fidélité (terme à utiliser plutôt que celui précision). La fidélité caractérise la

dispersion des mesures iX , elle s’exprimera par la variance (ou l’écart-type) expérimentale

d’une série de mesures d’un même échantillon (Tab 2.3), quelque fois par le coefficient de

variation.

L’écart-type expérimental des résultats est donné par :

2

1

1( )

1

n

ii

X Xn

σ=

= −− ∑ (II.44)

La caractéristique d’une absence de fidélité sera l’étalement de la distribution des

erreurs aléatoires. La fidélité n’a aucune relation avec la valeur vraie ou la valeur spécifiée.

Capteur N : Ecart-type (Ω) Ecart-type (°C)

1 0,00090 0,00230

2 0,00059 0,00152

3 0,00076 0,00196

4 0,00076 0,00196

5 0,00059 0,00152

6 0,00050 0,00128

Tableau 2. 3 - Ecart-type et coefficient de variation de chaque capteur

Nous avons remplacé les Pt 100 par une résistance de 100 Ω pour tester l’électronique

de chacun des capteurs. L’étendue de la dispersion, pour un échantillon de 18 points de

mesures pour chaque capteur, dans laquelle se trouve X % des enregistrements est (Tab 2.4) :

Capteur N : Cp1 Cp2 Cp3 Cp4 Cp5 Cp6

X- , X+σ σ 66,77 66,77 66,77 44,44 66,67 61,11

X-2 , X+2σ σ 100,00 100,00 94,44 100,00 100,00 100,00

X-3 , X+3σ σ 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

Tableau 2. 4 - Intervalle de confiance de chaque capteur

71

II.B.4.d) Sensibilité

Soit T la grandeur à mesurer et R le signal fourni par l’appareil de mesure. A toutes

valeurs de T , appartenant à l’étendue de mesure, correspond une valeur de ( )R f T= .

La sensibilité autour d’une valeur de T est S : dR

SdT

= (II.45)

Si la fonction est linéaire, la sensibilité de l’appareil est constante : R

ST

∆=∆

(II.46)

Pour une sonde Pt 100, le modèle linéaire [ ]0 1TR R Tα= + (II.47)

donne une sensibilité théorique égale à 0,385 Ω K-1. Utiliser un modèle d’ordre 3 (voir section

II.B.3) nous a permis de confirmer que tous nos capteurs (y compris leurs électroniques)

possèdent une sensibilité égale à 0,3908 Ω K-1.

II.B.4.e) Résolution

C’est la plus petite variation de la grandeur R que l’appareil est capable de détecter.

Lorsque l’appareil de mesure est un appareil numérique, on définit la résolution par la formule

suivante :

( )Etendue de mesure

Résolution LSB Least Significant BitNombre de points de mesure

= = (II.48)

Comme on peut remarquer (Fig 2.15), la plus petite variation détectée par le capteur a

une étendue de 0,625 millièmes de K pour une variation de 0,000245 Ω, ce qui équivaut à une

résolution de 0,625/2=0,312 millièmes de K.

On peut vérifier cette résolution à partir des caractéristiques électroniques des capteurs.

En effet pour atteindre le millième de degré, il faut que le convertisseur soit capable de

convertir sur au moins 17 bits. Celui que l’on possède est un convertisseur « LTC2431 »

20 bits, sa tension de référence est de 0,125 V, on aura alors :

720

0,1251,19210

2 1

VV LSB V−∆ = = =

− (II.49)

72

15.89 15.91 15.93 15.95Température (°C)

106.210

106.212

106.214

106.216

106.218

106.220

106.222

106.224

106.226

106.228

106.230

106.232

Rés

ista

nce

(Ω)

la plus petite variation enregistrée est de 0,625 10-3 K

15.9165 15.9170 15.9175Température (°C)

106.2207

106.2208

106.2209

106.2210

Rés

ista

nce

(Ω)

Figure 2. 15 - La plus petite variation de la grandeur mesurée

Comme 1 K correspond à une variation de résistance de 0,385 Ω (100°C correspond à

38,5 Ω). Et comme le courant d’injection est de 10-3 A, on a :

43,8510V R I V−′∆ = = (II.50)

Le millième de degrés correspond donc à : 73,8510V V−′∆ =

1,1920,309

3,85

V

V

∆ = =′∆

(II.51)

On a alors une résolution théorique de 0,309 millièmes de degrés, très proche de la

résolution obtenue en pratique.

Tandis que la résolution correspond à l’affichage de la plus petite variation possible du

résultat de la mesure, la sensibilité est liée à la plus petite variation sur l’entrée (stimulus) qui

puisse causer un changement visible dans l’indication de la mesure.

Nous allons discuter dans la section suivante d’un autres genre de mesures de

températures qu’on peu effectuer. Il s’agit des mesures dites actives basées sur la mesure

d’une excitation artificielle, bien que dans ce travail de thèse, nous avons utilisé le

thermomètre à résistance de platine (Pt 100) qui est la référence internationale, pour toutes

nos mesures (passives) de la température.

73

II.C) Systèmes de mesure avec excitation artificielle utilisés pour mesurer la teneur en eau et la vitesse d’écoulement

II.C.1) Sondes à choc thermique mesurant λ et/ou Cv

La conductivité thermique et la chaleur volumique y étant sensible, leur mesure a été

considérée comme l’un des outils de mesure de la teneur en eau à partir du moment où cette

mesure était suffisamment facile à réaliser in-situ. Les sondes à choc thermique conçues à

l’origine pour la mesure de la conductivité des liquides (Hooper and Lepper 1950)

comprennent un élément chauffant avec lequel on produit un apport de chaleur en créneau (le

choc) et au moins un point de mesure de l’évolution de la température qui en résulte soit au

voisinage immédiat de l’élément chauffant soit à quelque distance dans le milieu. Les

premières études (de Vries 1952 ; Blackwell 1953 ; Blackwell 1954) ont porté sur des sondes

de forme cylindrique où la conductivité est déterminée par le comportement asymptotique

(temps longs), avant que d’autres solutions soient proposées pour déterminer les deux

propriétés (Tabbagh and Jolivet 1974) ou la chaleur volumique (Campbell et al. 1991). Leur

défaut par rapport aux autres méthodes comme les sondes TDR est le temps de mesure,

habituellement de quelques minutes, mais la chaleur volumique présente, elle, le grand

avantage d’être reliée à la teneur en eau par relation linéaire directe. Au final elles sont plus

simples et moins onéreuses (pour l’électronique surtout) que les TDR. Plusieurs fabricants

proposent actuellement des sondes qui, mesurant à la fois la permittivité et la chaleur

volumique, délivrent des mesures d’une grande fiabilité.

II.C.2) Mesures de la vitesse d’écoulement

Alors que les mesures directes de l’écoulement de l’eau sont très difficiles quand celui-

ci est lent, les mesures thermiques s’y prêtent bien puisque même aux vitesses très lentes le

transfert par convection reste d’un effet non négligeable devant le transfert par conduction. Si

les mesures thermiques de la vitesse de percolation dans un aquifère sont restées en nombre

très limité (Benderitter et al. 1980), elles ont en revanche donné lieu à d’importants

développements techniques pour la mesure des déplacements verticaux lents en forage. De

telles mesures sont très importantes pour caractériser le comportement des nappes in situ et

surtout indispensables pour restituer de façon fiable le flux géothermique. Tel est le cas de la

sonde développée par l’USGS où un réseau de fils, centré verticalement entre deux

thermistors très sensibles émet régulièrement des impulsions thermiques (Paillet 1987).

75

parcelle d’installation des capteurs de température

Bassin versant de l’OrgevalCoulommiersCoulommiersCoulommiers

Base hydrologique de Boissy-le-châtel

Bassin versant de l’Orgeval

réseau hydrographique

limites de bassins versants bois et forets

stations limnimétriques

pluviographes

5 Km

réseau hydrographiquelimites de bassins versants

bois et forets


pluviographes

5 Km







pluviographes

5 Km


bois et forets


pluviographes

5 Km







pluviographes

5 Km


bois et forets


pluviographes

5 Km

parcelle d’installation des capteurs de température







pluviographes

5 Km


bois et forets


pluviographes

5 Km







pluviographes

5 Km


bois et forets


pluviographes

5 Km







pluviographes

5 Km


bois et forets


pluviographes

5 Km

III) Chapitre III : Site expérimental et dispositifs de mesure

Avant d’aborder le procédé et les résultats des calculs d’infiltration et des variations de

la teneur en eau du sol, nous allons présenter le site expérimental, ses caractéristiques

lithologiques, l’installation des capteurs et les mesures de température enregistrées sur ce

terrain.

III.A) Situation géographique et caractéristiques lithologiques du terrain

L’installation des capteurs de température à été effectuée sur la parcelle expérimentale

du CEMAGREF à Boissy-le-Châtel située dans le Bassin de l’Orgeval (qui est une partie du

site expérimental du GIS ORACLE

(groupement d’intérêt scientifique)).

Ce site GIS est constitué par les

Bassins versants du « Grand Morin » et

du « Petit Morin », affluents de la

Marne (Fig 3.1).

Figure 3. 1 - Situation géographique du site d’étude

Le Bassin versant de l’Orgeval (BVRE), notre site expérimental, est un sous-bassin du

basin versant du grand Morin. Il se trouve en Seine et Marne (77) sur le plateau de la Brie. Il

est situé entre 3°00’ et 3°15’ de longitude Est et entre 48°47’ et 48°55’ de latitude Nord. Sa

superficie est de 104 km2.

Le bassin versant (Orgeval) comprend quatre sous bassins qui sont de l’est vers l’ouest,

les sous bassins du Mélarchez, de la Gouge, des Avenelles (la parcelle expérimentale étant

elle située sur le plateau), et du Theil. Selon la carte pédologique de la partie Est du bassin de

l’Orgeval (Gury and Bartoli 1999), le sol est de type brun lessivé à texture limono-argileuse.

La thèse de Gomendy (1996) synthétise les différents résultats des recherches menées en

76

pédologie sur le bassin versant du Grand Morin en général, et de l’Orgeval en particulier. Elle

indique que les sols bruns lessivés peuvent être décomposés en trois sous unités,

différentiables par la texture de leurs horizons et leurs taux d’argile. La distinction de ces trois

sous-unités résulte d’un phénomène d’érosion. Elles se trouvent le long de topo-séquences à

faible pente avec, d’amont en aval, une sous unité de sol lessivé typique (les limons blanc des

plateaux), puis une sous unité de sol tronqué par l’érosion (les rougettes) et enfin, une sous

unité de sol lessivé épaissie par des apports colluviaux (les limons blanc colluviaux). Notre

site expérimental est caractérisé plutôt par la présence d’un sol brun lessivé de type limons

blanc des plateaux.

III.B) Installation des capteurs et mesures de la température

L’installation des capteurs a été effectuée dans une fosse, les avant trous étant forés

horizontalement dans les parois Nord et Est de la fosse à l’aide d’une tige de diamètre

légèrement inférieur à celui des capteurs, afin d’assurer un bon contact entre les sols et les

capteurs. Ces derniers ont été installés aux profondeurs de 12, 15, 18, 24, 32 et 34 cm

(Fig 3.2).

Figure 3. 2 - Installation des capteurs de mesures de température sur la parcelle de Boissy-le-Châtel

L’enregistrement ainsi que la partie électronique se trouve dans des boitiers métalliques

placés en surface. La configuration et la récupération des données se fait à travers un port

série sur un micro-ordinateur portable, les interfaces ayant été élaborées au laboratoire.

Cp n°3 à 15 cm

Capteur °4 à 12 cm

Cp n°1 à 18 cm

Cp n°5 à 24 cm

Cp n°2 à 32 cm

Cp n°6 à 34 cm

77

14-A

ug-0

9

15-A

ug-0

9

16-A

ug-0

9

18

20

22

24

26

28 12 cm15 cm18 cm24 cm32 cm34 cm

T(°

C)

Temps (jours)

On présente sur la figure 3.3 un exemple des courbes de température enregistrées avec

les capteurs décrits précédemment. L’enregistrement correspond à des valeurs discrètes,

soient 144 valeurs par 24 h (au pas de 10 minutes).

Figure 3. 3 - Mesures des températures obtenues aux

différentes profondeurs (cas du 14 au 16 aout 2009)

Ces tracés mettent en évidence la décroissance de l’amplitude des variations de

température avec la profondeur ainsi, que la croissance du déphasage avec la profondeur. Ils

montrent aussi que la variation diurne n’est pas une sinusoïde pure mais possède une forte

harmonique 2 et 3.

La figure 3.4 présente les

mesures brutes de température

enregistrées à deux profondeurs,

12 et 34 cm, sur la totalité de la

durée de l’enregistrement qui

correspond à un peu plus d’un

cycle annuel.

Figure 3. 4 - Variation annuelle des températures du sol du 17 février 2009 au 8 mars 2010

(Boissy-le-Châtel) 17

-Feb

-09

06-A

pr-0

9

24-M

ay-0

9

11-Ju

l-09

29-A

ug-0

9

16-O

ct-09

03-D

ec-0

9

20-Ja

n-10

09-M

ar-10

Temps (jours)

-5

0

5

10

15

20

25

30

Tem

péra

ture

(°C

)

12 cm34 cm

lacunes (pannes d'enregistrement)

78

15-Ju

l-09

18-Ju

l-09

21-Ju

l-09

25-Ju

l-09

28-Ju

l-09

01-A

ug-0

9

Temps (jours)

16

18

20

22

24

26

Tem

péra

ture

(°c)

12 cm15 cm18 cm

épisode transitoire

Ainsi grâce à ce jeu considérable de données de température (385 jours) enregistrées,

nous disposons de l’acquis expérimental nécessaire pour tester les différents processus de

traitement.

Les deux figures sont représentatives des cycles de variations sinusoïdales journalières

et annuelles. Pour un sol ayant une diffusivité thermique de l’ordre λ/Cv = 1,2 / 2,4 106 =

0,5 10-6 m2 s-1. La profondeur de pénétration (cf. chapitre I) du cycle diurne est de l’ordre de

12 cm, alors que celle du cycle annuel correspond à 2,25 m soit environ 19 fois la valeur du

cycle quotidien. Ces valeurs correspondent à la profondeur pour laquelle l’amplitude des

variations thermiques à la surface du sol est divisée par e-z/p=2,71828. À 34 cm se trouve le

capteur le plus profond, si on considère que la diffusivité thermique du milieu est proche de

0,5 10-6 m2 s-1, l’amplitude des variations de température à cette profondeur (34 cm) doit être

réduite d’un facteur de 0,055 par rapport à celui à la surface du sol ce qui est effectivement le

cas.

La température du sol subit à la fois un cycle quotidien et un cycle associé aux

variations météorologiques saisonnières et transitoires. Mais moins le capteur de température

est profond, plus il est sensible aux perturbations associées aux variations météorologiques. A

coté des variations périodiques d’autres, toujours d’origine météorologique, ont un caractère

aléatoire (transitoire) comme les périodes pluvieuses où au contraire sèches. Les mesures ont

ainsi enregistré le phénomène de gel du sol entre le 5 janvier et le 15 janvier 2010. Une autre

présentée sur la figure 3.5, montre un épisode de réchauffement de plusieurs jours en juillet

2009.

Figure 3. 5 - Épisode transitoire affectant les mesures entre le 19 et le 24

juillet 2009

79

III.C) Structure et propriétés du sol

Ce sont des raisons pratiques qui nous ont conduits à choisir la parcelle expérimentale

du site de Boissy-le-Châtel pour une première expérience : proximité de Paris, existence de

données de contrôle.

En herbe il n’a pas été travaillé depuis au moins 40 ans et sous une couche superficielle

peu épaisse (horizon A) on a très rapidement une couche de matériaux fins limono-argileux

épaisse d’un peu plus de 4 m (d’après l’ensemble des mesures réalisées sur le plateau). Dans

ce contexte il est logique de considérer que la porosité (la macroporosité essentiellement)

décroit rapidement dans les premiers décimètres ce qui conduit à une augmentation de la

conductivité thermique et dans une moindre mesure de la chaleur volumique.

Malheureusement on ne dispose pas à Boissy-le-Châtel de profils de la densité avec la

profondeur.

Le sondage électrique réalisé le 10 février 2010 confirme parfaitement l’hypothèse

d’une variation significative des propriétés physiques sur les premiers décimètres. Il peut être

interprété avec un modèle à 3 couches, avec une première couche de résistivité de 85 Ω.m sur

15 cm suivie d’une couche de 30 Ω.m de résistivité apparente sur 4,20 m puis d’une dernière

couche de 40 Ω.m, avec une erreur relative de 5,7% (Fig 3.6). Il peut tout aussi bien être

interprété avec un modèle multi-couches à variation continue (Zohdy 1989). L’interprétation

‘parcimonieuse’ avec le modèle à 3 couches, est présentée sur la figure 3.6.

Position des capteurs de

température

0.15 m

4.2 m

Distance (AB/2)

ρ a(Ω

. m)

Modèle


température

0.15 m

4.2 m

Distance (AB/2)

ρ a(Ω

. m)

Modèle


température

0.15 m

4.2 m

Distance (AB/2)

ρ a(Ω

. m)

Modèle

Figure 3. 6 - Sondage électrique

Si nous ne disposons pas d’étude de la relation densité résistivité sur le limon-argileux

local on peut néanmoins s’appuyer sur les résultats obtenus à la station INRA de Mons qui

80

montre pour ce type de matériau une décroissance de la résistivité avec l’augmentation de la

‘bulk density’ (BD en français la masse volumique sèche) qui vaut environ 100 Ω.m pour

BD=1,1 ce qui correspond à une porosité n=0,585 (pour une masse volumique de la fraction

solide de 2,65), et 32 Ω.m pour BD=1,6 ce qui correspond à une porosité de 0,396.

L’application sur ces valeurs des formules habituellement utilisées pour les propriétés

thermiques (de Vries 1963 ; Cosenza et al. 2003), en prenant pour la fraction solide

λs=3 W m-1 K-1 et Cs=2 106 J m-3 K-1 et une teneur volumique en eau θ=0,336, conduit à une

conductivité thermique croissante de 1,2 à 1,8 W m-1 K-1 et à une chaleur volumique elle aussi

croissante de 2,28 à 2,60 106 J m-3 K-1. Ces résultats sont parfaitement cohérents avec des

mesures directes des propriétés thermiques (Tabbagh 1977) qui avaient donné pour la couche

superficielle des conductivités de 1,27 W m-1 K-1 en période sèche (juillet 1976) et

1,97 W m-1 K-1 en période humide (mars 1977).

III.D) Précipitations

Pour la période allant du mois de février 2009 au mois de février 2010 les précipitations

et la moyenne mensuelle des températures pour chacun des capteurs sont présentées sur la

figure 3.7.

Feb-0

9

Mar-

09

Apr-0

9

May

-09

Jun-

09Ju

l-09

Aug-09

Sep-

09

Oct-09

Nov

-09

Dec-0

9

Jan-10

Feb-1

0

Mar-

10

Apr-1

0

Mois

0

20

40

60

80

Pré

cipi

tatio

ns (m

m)

5

10

15

20

25

Tem

pérature (°C)

Pluie mensuelle (mm)Température à 12 cm15 cm18 cm24 cm32 cm34 cm

Figure 3. 7 - Précipitations et températures du sol mensuelles, entre février 2009 et février

2010

81

On y observe que les fortes précipitations ont correspondu à l’intersaison printemps-été

(de mai à juillet) et en automne 2009 (d’octobre à novembre) où elles ont atteint un maximum

pour le mois de novembre (80,8 mm), alors que le mois le plus sec est août avec 20,2 mm.

Mois F M A M J J A S O N D J F

P (mm) 22 25 39,4 70,8 75,8 49,6 20,2 25 68,6 80,8 53 31,2 59

T moy (°C) 5,3 7,1 12,5 15,7 18,3 20,5 21,2 17,4 13,4 10,5 6,1 2,9 3,9

Tableau 3. 1 - Précipitations et températures moyennes mensuelles

Afin de situer la série de mesures (précipitations) dans son contexte temporel, nous

proposons la figure 3.8 qui représente la pluie annuelle depuis 1963. Nous manipulons une

série qui représente une année de mesures à précipitation modérée (598,4 mm) et qui succède

à plusieurs années de précipitation peu inferieure à la moyenne (671 mm).

1962

1967

1972

1977

1982

1987

1992

1997

2002

2007

2012

Année

0

200

400

600

800

1000

Pré

cipi

tatio

ns (m

m)

précipitataions moyenne (1963-2009)

671 mmprécipitataions

mars 2009- féverier 2010598,4 mm

Figure 3. 8 - Pluie annuelle moyenne depuis 1963 à 2009

III.E) Evapo-transpiration potentielle

L’évapotranspiration potentielle (ETP) correspond à l’évapotranspiration maximale qui

peut avoir lieu, si le sol n’est pas limité en eau. L’évapotranspiration potentielle est défini

82

comme étant « la perte d’eau qui se produirait pour les besoins de la végétation couvrant un

sol bien alimenté en eau » (Thornthwaite et Holzman 1942 ; OMM 1994). La figure 3.9

présente les valeurs moyennes mensuelles ainsi que journalières pour la période allant du

début mars 2009 à la fin févier 2010.

Mar-

09

May

-09Ju

l-09

Sep-

09

Nov-0

9

Jan-1

0

Mar-

10

ET

Pm

oyen

nes

men

suel

les

(mm

)

Mar-

09

May-

09Ju

l-09

Sep-

09

Nov

-09

Jan-10

Mar-

10

ET

Pva

leur

sjo

urna

lière

s(m

m)

Figure 3. 9 - Evapotranspiration potentielle moyennes mensuelles en bleu et journalières en

vert (mars 2009-février 2010) d’après la formule de Penman-Monteith

L’ETP présente une plus grande gamme de variations mensuelles, avec 3 mm au

minimum pour la période de 20 jours d’enregistrement disponible, durant le mois de janvier

2010, soit 4,5 mm avec une extrapolation simple pour tous le mois de janvier et 172 mm au

maximum en août 2009. En ce qui concerne les variations journalières, les plus grandes

fluctuations, correspondent à la période où l’ETP est supérieure à la quantité d’eau disponible,

soit du début avril jusqu’à la fin septembre dans notre cas.

Ces valeurs journalières d’ETP ont été fournies par Météo-France. En effet Météo-

France fournit des données d’ETP calculée à partir de la formule de Penman-Monteith, cette

dernière fait intervenir les paramètres climatiques enregistrés sur le bassin versant de

l’Orgeval (température minimale et maximale, vitesse de vent, insolation …).

III.F) Mesures de la teneur en eau volumique avec des sondes TDR

Des sondes TDR sont déployées dans la même parcelle à Boissy-le-Châtel à quelques

mètres de la fosse où ont été implantés les capteurs de température. Ces sondes TDR

83

enregistrent l’humidité volumique du sol sur un profil vertical à 5, 15, 25 et 35 cm de

profondeur avec un pas de temps de 12 h, soit une mesure à 0 h T.U. et une autre à 12 h.

Nous avons pu disposer de 3 périodes de mesures : la première s’étend du 17 février au

17 mai 2009, la deuxième du 12 août au 28 septembre 2009 et la troisième du 8 janvier au 8

mars 2010 (Fig 3.10).

La période qui s’étend du 17 février au 17 mai 2009, couvre presque la même période

de l’année humide que la période allant du 8 janvier au 8 mars 2010. Nous avons eu de pannes

de capteurs de température lors de cette période (du 17 février au 17 mai 2009), ce qui la rend

moins intéressante, à exploiter dans nos futurs traitements.

La période allant du 12 août au 28 septembre 2009 représente la période sèche. Cette

période est illustrée (Fig 3.10), mais nous avons des doutes sur la fiabilité des mesures de

teneurs en eau de cette période, car elles ont été enregistrées entre deux épisodes de panne

majeure des sondes TDR.

0 30 60 90 120 150 180 210 240Nombre de jours

10

20

30

40

50

Ten

eur

en e

au v

olum

ique

en

(%)

Sondes TDR5 cm15 cm25 cm35 cm

Période estivale allant du 12 août au 28 septembre 2009

Période hivernale allant du 8 janvier au 8 Mars 2010

Figure 3. 10 - Teneur en eau volumique du sol (à 5, 15, 25 et 35 cm) sec et humide

III.G) Infiltration

L’estimation de l’importance du processus d’infiltration est essentielle en hydrologie.

Elle permet de déterminer quelle fraction de la pluie va participer à l’écoulement de surface,

et quelle fraction va alimenter les écoulements souterrains et donc aussi participer à la

recharge des nappes souterraines.

84

Malheureusement nous n’avons pas pu bénéficier, ni des tensiomètres, suite à une

panne, ni d’un système de drainage global de la parcelle. En effet, toute la parcelle, où nous

avons implanté nos capteurs de température, était auparavant drainée. Suite à des problèmes

de panne (par exemple celle de Thalimèdes, ou d’un système équivalent, qui permet une

mesure en continu du niveau des eaux récupérées en sortie) et d’étanchéité, le système n’était

pas opérationnel.

Les différents facteurs qui peuvent influencée l’infiltration sont regroupées (Fig 3.11)

humidité antécédente

irrigation

précipitation

Facteurs d’influence

Couverture du sol

degré de compaction

morphologie

orientation

pente

type de végétation

hydrodynamique

texture

structure

Alimentation

Topographie

Etat du sol

Type du sol

humidité antécédente

irrigation

précipitation

Facteurs d’influence

Couverture du sol

degré de compaction

morphologie

orientation

pente

type de végétation

hydrodynamique

texture

structure

Alimentation

Topographie

Etat du sol

Type du sol

Figure 3. 11 - Facteurs influençant l’infiltration

III.H) Calcul de l’ETP (formule de Thornthwaite)

La formule de Thornthwaite ne requiert qu’un minimum de données climatiques

mensuelles pour calculer l’ETP :

16 10a

TETP F

I =

(III.1)

avec :

ETP : évapotranspiration potentielle calculée et corrigée de l’effet de latitude (mm)

T : température moyenne mensuelle (°C) après correction d’altitude (-0,6°C par 100 m),

l’altitude moyenne des Avenelles (zone d’installation des capteurs) est de 85 m.

a : exposant en fonction de l’indice I :

a = 6,75 10-7 I3 – 7,71 10-5 I2 + 1,792 10-2 I + 0,49239 (III.2)

85

I : indice thermique annuel (la somme des indices mensuels) 12

1

I i=∑ où i est l’indice

thermique mensuel 1 514

5

Ti =

,

(III.3)

F : coefficient de correction qui dépend de la latitude et du mois et qui est donné dans

le tableau 3.2

Lat. N. M A M J J A S O N D J F

48 1,02 1,14 1,31 1,33 1,34 1,23 1,05 0,93 0,77 0,72 0,76 0,80

49 1,02 1,14 1,31 1,34 1,35 1,24 1,05 0,93 0,76 0,71 0,75 0,79

Tableau 3. 2 - Coefficient de correction F de la formule de Thornthwaite (Brochet and Gerbier 1968)

L’ETP varie largement selon les périodes de l’année : elle n’est que de quelques mm

durant un mois d’hiver et peut atteindre 160 voir 200 mm (selon les années) aux mois de

juillet et août. Dans la figure 3.12, nous présentons les valeurs d’ETP calculées et corrigées

par rapport à la latitude, via la formule de Thornthwaite. Nous avons utilisé les températures

de l’air enregistrées ou déduites à partir des températures du sol dans le cas des mesures

manquantes.

Mar-

09

May

-09Ju

l-09

Sep-

09

Nov-09

Jan-10

ET

P(m

m)

Figure 3. 12 - Évapotranspiration potentielle calculée et corrigée par rapport à la latitude

(d’après la formule de Thornthwaite)

Avant de présenter les résultats du bilan hydrique, nous présentons la façon dont nous

avons procédé.

86

Nous commençons le calcul par le mois de septembre avec une réserve d’eau égale à 0.

Si P ETP> ⇒ ETR ETP= (III.4)

Si P ETP< ⇒ 2 cas se présentent,

avec :

ETR : évapotranspiration réelle (mm)

Si 1i iP RFU ETP−+ > alors ETR ETP=

Si 1i iP RFU ETP−+ < alors 1i iETR P RFU−= + (III.5)

(l’indice i représente le mois où le calcul est effectué)

La RFU correspond à la fraction de la réserve utile (RU) disponible à une tension

suffisamment faible. La RU est la réserve maximale de la quantité d’eau du sol utilisable par

la plante.

La RFU est en général considérée comme égale à environ 1/2 de la réserve utile (RU) de

60 à 90 cm voir 2/3 de 0 à 60 cm de profondeur d’enracinement du sol. Pour une profondeur

donnée elle dépend fortement de la nature du sol.

Type de sol Profondeur RU RFU

Limono-argileux < 60 cm < 90 mm < 60 mm

Tableau 3. 3 - Valeur de la RFU pour un sol limono-argileux (Rieul and Ruelle 2003)

L’excédent (qui correspond à la somme de la recharge et du ruissellement) est calculé comme suit :

Excédent = Pi - ETRi + ∆ RFU (III.6)

∆ RFU correspond à la variation de la réserve facilement utilisable (RFU) d’un mois à

l’autre.

87

IV) Chapitre IV : Traitement des données température

Cette quatrième partie vise, en exploitant les enregistrements des variations de

température à différentes profondeurs du sol, à déterminer la variation de la teneur en eau et le

terme d’infiltration/exfiltration, cela pour des échelles de temps courtes, de l’ordre de la

journée.

Avoir recours aux mesures actives de la température du sol (par exemple sonde à choc

thermique…), permet de remonter, lors de la résolution, à la vitesse de Darcy (terme de

convection), à la conductivité thermique et à la capacité calorifique (terme de diffusivité).

L’équation à résoudre est :

( ) ( ) ( )2

2

, , ,

v

T z t T z t T z t A

z z t Cν

∂ ∂ ∂Γ + − = −

∂ ∂ ∂ (IV.1)

où A est la source de chaleur générée.

Dans ce cas la maitrise du terme source, et donc son impact sur la mesure de la

température permet de déterminer l’ensemble des propriétés.

Le fait d’avoir eu recours dans notre étude à des mesures passives de la température du

sol nous conduit à résoudre l’équation de la chaleur dans sa forme homogène. Cette résolution

va permettre de déterminer le terme de convection, et donc la vitesse de Darcy, et la

diffusivité thermique.

On part donc de :

( ) ( ) ( )2

2

, , ,0

T z t T z t T z t

z z tν

∂ ∂ ∂Γ + − =

∂ ∂ ∂ (IV.2)

avec : vC

λΓ = (IV.3) et eau

v

Cu

Cν = (IV.4)

Avant de résoudre cette équation à partir des données de température enregistrée

réellement sur le terrain, nous allons générer des données synthétiques (sinusoïde pure ou

avec termes transitoires...) en attribuant des valeurs aux deux termes vC

λΓ = et ν pour la

période du temps choisie. Avec ces données synthétiques, en résolvant l’équation de la

chaleur, nous allons tester différentes solutions permettant de retrouver Γ et υ .

88

Les méthodes utilisées jusqu’ici sont analytiques (Tabbagh et al., 1999) et peuvent être

répartie en deux groupes : l’utilisation des composantes sinusoïdales et les calculs de

prolongements. Ces travaux ont permis de montrer que, malgré le manque de précision

(1/10 K) des capteurs du commerce utilisés aux stations météorologiques, il était possible de

déterminer la vitesse de Darcy et la diffusivité, sur des durées longues, de plusieurs années, en

exploitant les rapports d’amplitudes et les déphasages entre les sinusoïdes annuelles

enregistrées à différentes profondeurs, jusqu’à une dizaine de jours en exploitant les variations

transitoires, si l’importance de la fluctuation thermique est suffisante. Mais cette démarche

implique de commencer par décrire la variation verticale des propriétés thermique du terrain

(Cheviron et al. 2005 ; Tabbagh et al. 2009).

Le fait d’avoir des capteurs de grande sensibilité (0,001 K), et un pas de temps bref

(10 minutes), nous a permis de plus d’envisager l’application de schémas numériques en

différences finies (DF) ou en éléments finis (EF).

Pour illustrer le rôle de la sensibilité de mesure on présente (Fig 4.1) pour la période

allant du 27 février au 28 février 2010, les données enregistrées avec un LSB 1/1000 K (en

bleu), et celles enregistrées avec un LSB 1/10 K (en rouge). Pour ce dernier les fluctuations

sont remplacées par des paliers.

27-F

eb-1

0

28-F

eb-1

0

28-F

eb-1

0

28-F

eb-1

0

28-F

eb-1

0

Temps (24 heures)

6.6

6.8

7

7.2

7.4

Tem

péra

ture

(°C

)

Valeurs mesurées à 12 cm (précision 1/1000 K)


Figure 4. 1 - Comparaison des valeurs de températures enregistrées avec un LSB au 1/1000 K

et ceux au 1/10 K

89

Ce phénomène est encore plus accentué pour le cas du 26 mai 2009 où on perd

complètement l’information, sur l’oscillation qui est produite entre 12h30 et 15 h, si les

mesures avaient été effectuées avec un LSB au 1/10 K (Fig 4.2).

10:30 12:10 13:50 15:30 17:10Temps (heurs)

19

19.1

19.2

19.3

19.4

Tem

péra

ture

(°C

)



26 mai 2009

Figure 4. 2 - Disparition complète de l’information pour des enregistrements effectués

avec un LSB au 1/10 K (en rouge)

Dans ce qui suit nous allons donc dans un premier temps générer des données

synthétiques avec lesquelles seront testés les codes analytiques puis numériques en DF et en

EF. Si les résultats sont satisfaisants, ces codes seront appliqués aux données enregistrées

réellement sur le terrain, et les paramètres ainsi restitués pourraient ensuite être comparés aux

autres mesures hydrologiques.

IV.A) Génération de données synthétiques

Par application de la transformée de Fourier à l’équation de la chaleur :

( ) ( ) ( )2

2

, , ,0

T z t T z t T z t

z z tν

∂ ∂ ∂Γ + − =

∂ ∂ ∂ (IV.5)

On obtient l’équation : ( ) ( )2

2

, ,0

z t z ti

z z

τ τν ω τ

∂ ∂− − =

∂ ∂ (IV.6)

qui a pour solutions complexes pour un sol homogène (Tabbagh et al. 1999) :

90

( ) ( ) ( ) ( )2

0

4

2

z t z i t

i t

τ τ ω γ ω

ν ν ωγ

= − + =

Γ

, , exp exp

. (IV.7)

A l’aide de cette équation, on peut générer des données synthétiques de température à

différentes profondeurs, après avoir fixer les valeurs des termes de convection υ et de

diffusivité Γ .

IV.A.1) Sinusoïde diurne et semi diurne

En superposant une variation diurne et une semi diurne, on reconstruit (Fig 4.3) une

variation proche de la variation expérimentalement observée sur 24 h.

0:00

12:00 0:0

012

:00 0:00

12:00 0:0

0

Temps (heures)

-10

0

10

20

Tem

péra

ture

(°C

)

12 cm

15 cm

18 cm

24 cm

32 cm

34 cm

Figure 4. 3 - Sinusoïdes diurnes comprenant une variation diurne et une variation semi diurne

IV.A.2) Termes transitoires superposés à une sinusoïde diurne et semi diurne

On peut superposer la variation diurne (qui comprend une diurne pure ou bien une

diurne et une semi diurne) à un terme transitoire s’étalant sur quelques jours (Fig 4.4). Ce

dernier est généré en appliquant à la surface du sol un flux de chaleur qui peut être décomposé

en une suite de variations d’Heaviside.

La température résultant de cet apport transitoire a pour expression :

91

0

( , ) ( , )t

HT z t T z t dφ τ ττ

∂= −∂∫ (IV.8)

avec : ( , )HT z t la réponse à une variation en échelon d’Heaviside, dont l’amplitude est φτ

∂∂

, φ

étant le flux imposé en surface et τ la durée des échelons de flux de surface.

Nombre de jours

-0.5

0

0.5

1

1.5

2T

empé

ratu

re (°

c)

12 cm15 cm18 cm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figure 4. 4 - Données synthétiques générées sur 10 jours

Il est aussi possible de superposer à la variation diurne un terme transitoire sur quelques

heures (Fig 4.5), un tel terme peut renforcer les harmoniques d’ordre 2 ou faire apparaître des

harmoniques d’ordre supérieur.

Figure 4. 5 - Données synthétiques avec une harmonique d’ordre 2

92

IV.B) Traitement de données synthétiques : codes utilisés

Pour le traitement des données, qu’elles soient synthétiques ou réelles, les résultats

seront stabilisés, pour les calculs analytiques comme pour les calculs numériques par la

méthode des moindres carrés, l’intervalle de temps sur lequel porte l’analyse par moindres

carrés englobant une série de plusieurs pas de mesures.

IV.B.1) Méthode de calcul analytique utilisant les variations sinusoïdales

Cette méthode de traitement a été « éprouvée » dans les études antérieures publiées sur

la variation annuelle. Elle se base sur le rapport d’amplitude et la différence de phase entre

deux profondeurs d’une variation sinusoïdale (la méthode est donc en principe indépendante

d’un possible offset, différence de justesse entre les différents capteurs). Comme introduit au

chapitre II à partir du modèle d’un terrain homogène, le rapport (complexe) entre les deux

transformées de Fourier de la température à deux profondeurs ( )1, zτ ω et ( )2, zτ ω possède

un module R et un argument ∆φ à partir desquels il est possible de définir des diffusivités

apparentes « en amplitude » et en « phase » dont on peut extraire la vitesse de Darcy u .

Comme cette méthode a été employée avec succès pour la variation annuelle sur des

données pluriannuelles, il est impératif d’évaluer la possibilité de son application à la

variation diurne. Son principe est particulièrement simple et élégant et, dans le cas d’un

terrain homogène, il permet un calcul très rapide mais l’expérience (Cheviron et al. 2005 ;

Tabbagh et al. 2009) a montré qu’il se heurte à deux difficultés :

1) Il n’est pas toujours possible d’extraire de la suite des données avec une précision

compatible avec la détermination du transfert par convection, les amplitudes et les phases

des composantes sinusoïdales que l’on veut utiliser,

2) Le terrain est rarement homogène (le modèle d’un terrain tabulaire est beaucoup plus

vraisemblable).

La première difficulté est en principe levée par la haute précision des capteurs utilisés et

le pas de temps adopté pour l’enregistrement. Cheviron et al. (2005) ont montré comment

surmonter la seconde difficulté en déterminant d’abord la répartition verticale des propriétés

thermiques du terrain. La variation diurne, cependant, présente des difficultés beaucoup plus

grandes que la variation annuelle avant même d’aborder le problème posé par la non-

homogénéité du terrain :

93

1) Périodique mais non sinusoïdale, la variation diurne comprend d’importantes

harmoniques 2 et 3,

2) Son amplitude n’est pas stable d’un jour à l’autre : elle peut même pratiquement

disparaitre en cas de couvert nuageux et de pluie. Autrement dit alors que le taux de

modulation de la variation annuelle reste faible (inférieur à 5% dans les régions de climat

tempéré), celui de la variation diurne peut être de 100% ce qui rend beaucoup plus délicat

la restitution de l’amplitude et de la phase de la ‘porteuse’ sur un nombre limité de

périodes (on cherche à déterminer la vitesse de Darcy sur des durées courtes). Les

variations qui modulent la variation diurne, plus lentes, sont en effet moins amorties avec

la profondeur que ne l’est la variation diurne et il faut les éliminer complètement si on

veut pouvoir utiliser celle-ci.

3) Par comparaison avec la variation annuelle, la précision relative à atteindre dans la

détermination des deux diffusivités apparentes est bien plus fine (section IV.B.1.a).

Les deux premières difficultés doivent être levée au préalable car si les rapports

d’amplitude et les différences de phase ne peuvent être déterminés avec suffisamment de

précision, toute détermination des propriétés thermiques du terrain sera impossible et la

méthode inapplicable. On va donc commencer par considérer des cas synthétiques où le sol

est homogène, où la variation diurne comporte des harmoniques et où des variations

transitoires de la température viennent se superposer à cette variation diurne.

IV.B.1.a) Rappel sur les calculs en sol homogène

L’équation que l’on utilise après avoir extrait une variation sinusoïdale à chaque

profondeur admet comme solution générale :

0zz T eγτ ω =( , ) où

2 4

2

iν ν ωγ − + Γ=Γ

(IV.9)

En considérant le rapport d’amplitude et la différence de phase entre les variations à

deux profondeurs 1z et 2z on peut calculer les deux inconnues v et Γ à partir des

diffusivités apparentes en phase phΓ et en amplitude ampΓ déduites de ce rapport. phΓ est

pratiquement indépendante de v et fournit avec une très bonne approximation de la vraie

valeur de la diffusivité et v peut être obtenue (Cheviron 2004) par la formule approchée :

( )2 amp ph

amp

vω= Γ − ΓΓ

(IV.10)

94

Un autre calcul approché peut aussi être proposé qui part du fait que, dans l’expression

de γ , le terme 2v est de l’ordre de 10-15 alors que le terme 4iωΓ est de l’ordre de 10-10. On

peut donc prendre comme valeur approchée de la partie réelle :

( )12

2R vγ ω= − Γ

Γ( ) (IV.11)

et comme valeur approchée de la partie imaginaire : 1( ) 2

2I γ ω= − Γ

Γ (IV.12)

La soustraction de la partie imaginaire à la partie réelle permet alors d’obtenir :

( ) ( )( )2 phv R Iγ γ= Γ − (IV.13)

Sur des données synthétiques, la formule de Cheviron donne des résultats très proches.

Ces formules permettent d’évaluer la précision qui doit être atteinte en utilisant la

variation diurne dans la détermination des diffusivités apparentes (ou de γ ). Pour u=2 mm j-1,

on aura : ( )amp phΓ − Γ =0,27 10-8 m2 s-1 (IV.14)

soit une variation relative (à atteindre pour pouvoir déterminer correctement la diffusivité)

proche de 0,5%. Par comparaison la variation annuelle avec u=100 mm an-1 correspond à une

différence entre les diffusivités apparentes de 7 10-8 m2 s-1 soit une variation relative proche

de 10%.

Si l’on observe d’un jour à l’autre (ou d’un groupe de jours à l’autre) une variation de

phΓ , elle peut être transformée en variation de teneur en eau. En effet, hormis en cas de

compactage du sol, les autres paramètres intervenant dans les propriétés thermiques, nature

minéralogique de la fraction solide et porosité, sont (en première approximation pour la

porosité qui peut être modifiée par des retraits ou gonflements) indépendants du temps. Les

dépendances des deux propriétés thermiques sont définies par les formules empiriques

présentées au chapitre I (de Vries 1952 ; Cosenza et al. 2003).

On peut en déduire pour des valeurs de porosité n=0,5, de conductivité thermique de la

fraction solide λms = 4 W m-1 K-1 et de chaleur volumique de cette fraction

Cms = 2 106 J m-3 K-1 : 1 1 11 2v

v

C

C

λθ λ θ θ

∂Γ ∂ ∂= − ≅ −Γ ∂ ∂ ∂

, (IV.15)

95

D’où une relation entre une variation de teneur en eau et la variation relative de la

diffusivité : 1

1 2ph

ph

δδθ

Γ=

Γ-,

. (IV.16)

IV.B.1.b) Méthode d’extraction des amplitudes et phases de la variation diurne et de ses harmoniques

La détermination de l’amplitude et de la phase à chaque profondeur, z, se réalise en

tenant compte du fait que, contrairement à la variation annuelle, la variation diurne peut avoir

une amplitude très variable et comporte des harmoniques. On cale au mieux, au sens des

moindres carrés, sur les données une expression somme des 3 harmoniques et d’une cubique

cette dernière permettant de suivre les variations non périodiques de la température :

2 30 1 2 3 1 1

2 2 3 32 2 3 3

( , ) cos sin

cos sin cos sin

d d

d d d d

T z t T C t C t C t A t B t

A t B t A t B t

ω ω

ω ω ω ω

= + + + + +

+ + + + (IV.17)

Dans cette expression, dω est la pulsation correspondant à la variation diurne.

La connaissance des coefficients iA et iB permet de connaitre l’amplitude de la

variation diurne et sa phase, mais la précision de leur détermination peut être variable d’un

jour à l’autre (ou d’un groupe de jours à un autre) et introduire une forte dispersion dans les

données. La plus courte durée qui puisse être prise en compte avec cette méthode est la

journée. Il est possible de considérer un nombre important de jours ce qui stabilise les

résultats et permet d’obtenir une valeur moyenne de la percolation mais le but de cette étude

reste de chercher à la déterminer sur de courtes durées. La journée est aussi une limite en

dessous de laquelle la détermination de la vitesse de Darcy perdrait en signification compte

tenu des écarts de profondeurs qu’il est possible d’adopter pour les capteurs (écarts dépendant

de la profondeur de pénétration de la sinusoïde diurne dans le sol). Si, en effet, on considère

une infiltration, c’est-à-dire un débit « moyen », de 2 mm j-1 et que la partie mobile de l’eau

correspond à 2% du volume élémentaire représentatif on aurait un parcours moyen de

100 mm en un jour, un peu supérieur mais du même ordre de grandeur que les écarts

verticaux entre les capteurs. Il est à noter que pour remonter aux deux inconnues v et Γ , il

est nécessaire de connaître l’amplitude et la phase de la variation diurne pour au moins deux

capteurs à deux profondeurs différentes.

96

IV.B.1.c) Rappel sur les effets de la non homogénéité du terrain (milieu tabulaire 1 D)

Prenons le cas où nous avons un terrain tabulaire, nous allons affecter une épaisseur et

des propriétés thermiques du sol (conductivité thermique et capacité calorifique) à chaque

couche.

Plutôt que de considérer l’équation : 2

20

T T Ti T

z z z zν ω∂ ∂Γ ∂ ∂Γ + − − =

∂ ∂ ∂ ∂ (IV.18)

qui n’a pas de solution analytique générale puisqu’il faudrait que la variation de ( ) zΓ soit

suffisamment simple pour permettre de la définir. On préfère utiliser l’équation sans le

deuxième terme, en considérant que le terrain tabulaire est constitué d’une série de couches

différentes ayant chacune des propriétés thermiques constantes en z.

Des calculs montrent alors que pour une variation sinusoïdale pure, la structure des

propriétés thermiques du terrain modifie complètement les diffusivités apparentes obtenues

aussi bien à partir des rapports d’amplitude que des différences de phase. Cependant quatre

caractéristiques établies lors les études antérieures (Cheviron 2004 ; Cheviron et al. 2005) à

partir des modèles synthétiques comme des résultats expérimentaux vont faciliter la tâche en

permettant de déterminer la structure verticale du terrain ou en définissant ce qu’il est possible

de faire en l’absence d’une telle détermination :

1) Les diffusivités apparentes déduites des différences de phase restent pratiquement

indépendantes de la vitesse de Darcy, pour un sol non-uniforme elles varient avec les

couples de profondeur considérés mais sont indépendantes de cette vitesse.

2) Le rapport des amplitudes et la différence des phases ne dépendent pas des propriétés

thermiques des terrains situés au-dessus des 2 profondeurs avec lesquelles on calcule le

rapport.

3) Les propriétés thermiques étant fixes, toute variation de la vitesse de Darcy est bien

restituée par le calcul ‘en terrain homogène’. Autrement dit, si la connaissance de la

structure verticale du terrain est indispensable pour déterminer sa valeur absolue, ses

variations d’une période considérée à une autre peuvent être déterminées de façon

satisfaisante en appliquant la formule (très simple) du terrain homogène.

4) Une variation globale de la teneur en eau du milieu se reporte sur toutes les

diffusivités apparentes déduites des différences de phase et la modification d’ensemble

97

(teneur en eau – variation relative de diffusivité apparente) respecte la formule approchée,

1

1 2ph

ph

δδθ Γ

= Γ -,

, obtenue avec le modèle du sol homogène. Il est donc possible de suivre

les variations de la teneur en eau.

A ces points s’ajoute l’effet (favorable) de l’amortissement de la variation diurne avec

la profondeur qui limite l’épaisseur de terrain à décrire : si le capteur le plus profond est à

34 cm (cas de Boissy-le-Châtel), l’erreur sur la détermination de la vitesse de Darcy est

inférieure à 5% pour une interface placée à 65 cm de profondeur.

Une contrainte supplémentaire pouvait être ajoutée pour faciliter la détermination de la

structure verticale : le modèle thermique doit être cohérent avec les résultats du sondage

électrique et les gradients de la teneur en eau. Pour déterminer complètement l’infiltration, sa

valeur absolue et ses variations, on doit donc déterminer le modèle de terrain sur une

épaisseur limitée (à Boissy-le-Châtel entre 12 et 65 cm par exemple) à partir des 5 diffusivités

apparentes définies par les différences de phase (avec 6 profondeurs on dispose de 5 rapports

indépendants), tout en étant cohérent avec les diffusivités apparentes définies à partir des

rapports d’amplitude et avec les résultats du sondage électrique. Aux 5 diffusivités apparentes

fournies par la variation diurne, on peut ajouter les 5 diffusivités apparentes fournies par la

variation semi-diurne, ce qui permet de disposer de 10 conditions strictement déduites des

variations de température. Cependant dans le cas où l’on cherche à suivre les variations d’un

jour à l’autre (ou d’un groupe de jours à un autre), il n’est malheureusement pas possible de

faire l’hypothèse que les propriétés sont indépendantes du temps, comme c’est le cas pour des

durées pluriannuelles. La teneur en eau peut changer d’un jour à l’autre (ou d’un groupe de

jours à un autre), il n’est donc pas possible de réduire le nombre d’inconnues et on doit

déterminer le modèle de terrain chaque jour (ou groupe de jours) considéré.

L’expérience montre qu’un modèle à trois couches est en général satisfaisant pour

décrire la quasi-totalité des variations observées. On aurait alors à déterminer les

conductivités thermiques et les chaleurs volumiques de chaque couche soit 6 inconnues et la

position des 2 interfaces d’où un total de 8 inconnues. Avec 10 conditions et en s’aidant du

sondage électrique, il est possible de retrouver pour chaque jour (ou groupe de jours) le

modèle de terrain. Ceci a été vérifié avec des données synthétiques faisant intervenir

uniquement une variation diurne et une variation semi-diurne (Fig 4.3). Cependant, ici encore

les modèles synthétiques montrent que la présence de modulations (section IV.B.1.e) de ces

98

variations diurne et semi-diurne variant avec la profondeur vient disperser les résultats et

empêcher de définir un modèle thermique satisfaisant. Il sera donc prudent tant qu’une

solution n’aura pas été apportée au problème posé par la modulation de se limiter à une

approche plus simple (moins ambitieuse) où on suit les variations de la percolation d’une

période à l’autre et où le calage en valeur absolue pourra néanmoins être estimé a posteriori.

Ce type d’approche est aussi justifié par l’objectif de déterminer l’infiltration, ou au moins ses

variations, par une méthode qui soit la plus légère possible et évite de devoir procéder à une

inversion complexe à partir de données multiples qu’on ne peut relier entre elles que par des

modèles eux-mêmes basés sur des approximations. En parallèle avec les variations de la

percolation, on a la possibilité de suivre les variations de la teneur en eau.

IV.B.1.d) Résultats obtenus avec des données synthétiques en terrain homogène

Si l’on considère des données comprenant une variation diurne et une variation semi

diurne (Fig 4.3), une extraction par moindres carrés des amplitudes et des phases à chaque

profondeur permet un calcul exact de la vitesse de percolation, et ce quels que soient le

nombre de périodes (diurnes ou semi-diurnes) et le couple de profondeurs considérées. Il

serait donc possible sous cette hypothèse de déterminer la vitesse de percolation à un pas

diurne. En revanche si notre signal est modulé les résultats obtenus sont dispersés.

IV.B.1.e) Modulation

Si aux variations diurnes et semi-diurnes est superposée une variation transitoire lente

portant sur quelques jours (Fig 4.6), les résultats obtenus deviennent dispersés et on n’obtient

plus les valeurs correctes de la vitesse de Darcy.

L’explication de ce défaut n’est pas un manque de précision (on travaille en double

précision) mais a pour origine le fait que les variations transitoires modulent la composante

diurne (ou semi-diurne) d’une façon qui ne peut pas être identique aux différentes profondeurs

puisque les transitoires, plus lentes, pénètrent plus profondément (autrement dit, la

modulation n’étant pas exactement la même aux différentes profondeurs il faudrait un nombre

élevé de période pour bien l’éliminer).

99

11 14 17 21 24 28Temps (jours)

-2

0

2

4

Tem

péra

ture

(°C

)

12 cm

15 cm18 cm

24 cm32 cm

34 cm

Figure 4. 6 - Variation transitoire sur quelques jours venant se superposer aux variations

diurne et semi-diurne

Pour corriger ce défaut, on propose de profiter du fait que l’on dispose d’une part de la

variation semi-diurne et pas seulement de la diurne, et d’autre part de plusieurs paires de

profondeurs. On peut alors considérer que les meilleurs résultats (ou les moins mauvais) sont

ceux de la paire de profondeur qui donne simultanément les diffusivités apparentes et les

vitesses de Darcy les plus proches à partir de la variation diurne et à partir de la variation

semi-diurne. Les tests réalisés avec ce critère sur les données synthétiques montrent que la

moyenne obtenue entre les deux valeurs de vitesse est correcte à mieux que 10%. On

disposerait donc avec ce critère d’une méthode qui, sans être parfaite, permet une

détermination de la vitesse de Darcy au pas journalier ou avec un petit nombre de jours, mais

il reste à évaluer les difficultés introduites par la non-homogénéité du terrain.

L’utilisation d’un calcul analytique de prolongement, en exploitant les variations

transitoires (Tabbagh et al. 1999), en milieu tabulaire conduit à des calculs lourds.

Au vue des difficultés que soulève la méthode de calcul analytique traditionnelle et

comme les pas d’espaces et de temps choisis pour l’expérience menée à Boissy-le-Châtel sont

suffisamment petits, l’utilisation directe de schémas numériques mérite d’être considérée.

Pour évaluer la robustesse de cette approche on préfère ne pas se limiter à un seul schéma et

être capable de comparer les résultats obtenus en DF et avec plusieurs schémas en EF.

100

IV.B.2) Code en différences finies (DF)

IV.B.2.a) Principe

Le principe de toute méthode de résolution numérique d’équations aux dérivées

partielles est d’obtenir des valeurs numériques en des points discrets (ou nœuds) qui

approchent la solution exacte. Il existe pour ce faire de nombreuses méthodes, la plus

ancienne et la plus simple est la méthode des DF.

Les principes pratiques de cette méthode sont basés sur la discrétisation du continuum

spatio-temporel, en introduisant un pas d’espace 0h ⟩ et un pas de temps 0k ⟩ qui seront les

motifs de la construction (un maillage avec coordonnées discrètes en espace et en temps) de

ce qu’on appelle un schéma numérique (Fig 4.7).

t

z

2 3h k( , )k

h

j h n k( * , * )τ

τ

t

z

2 3h k( , )k

h

j h n k( * , * )τ

τ

Figure 4. 7 - Maillage en différences finies

On remplace le calcul de la fonction continue, ( ),T z t , par le calcul de valeurs

discrètes, valeurs approchées des température, τ ( ),i h m k . Pour remplacer les dérivées par

des différences finies on utilise la formule de Taylor dans laquelle on néglige les restes à

partir de l’ordre 3, on aurait par exemple avec un pas uniforme h en développant en z à l’ordre

4 :

2 2

3

2

2 2

3

2

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( )

2

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( )

2

T z t h T z tT z h t T z t h O h

z z

T z t h T z tT z h t T z t h O h

z z

∂ ∂+ = + + +

∂ ∂

∂ ∂− = − +

∂ ∂

+

+

(IV.19)

Ce qui donne en se limitant à l’ordre 2 :

( )

2

1 1

2 2 2

1 1

2( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , )

2

,

m m m

i i i

m m

i i

T z t T z h t T z t T z h t

z h h

h

T z t

z

τ τ τ

τ τ

+ −

+ −

− +∂ + − + −= ≈

∂∂ − ≈ ∂

(IV.20)

101

cette seconde formule est dite centrée car elle est symétrique par rapport au point i, l’indice m

relatif au temps est placé en position haute pour alléger la notation.

Pour la dérivée en temps on a le choix entre les formules en DF centrées, en DF

avancées (schéma d’Euler progressif) ou en DF retardées (schéma d’Euler rétrograde), ce qui

conduit à trois schémas possibles de l’équation de la chaleur. Le pas en espace ne peut être

indépendant du pas en temps et la condition de stabilité est (Carslaw and Jaeger 1959) :

22v

k hC

λ ≤

(IV.21)

En adoptant par exemple, 1( , ) m m

i iT z t

t k

τ τ+ −∂ ≈∂

(IV.22)

on aura pour l’équation de la chaleur dans sa forme la plus simple :

1 1

2

11 12

02

m m m

i i i

m m m mw i i i i

v vh

C u

C C h k

τ τ τ τ τ τ τλ + −+

+ −− + − −− − =

(IV.23)

Si on choisit un pas de 2 en temps : 2( , )

2

m mi iT z t

t k

τ τ −−∂ ≈∂

(IV.24)

on aura le choix entre :

1 1

2

21 12

02 2

m m m

i i i

m m m mw i i i i

v vh

C u

C C h k

τ τ τ τ τ τ τλ + −−

+ −− + − −− − =

Euler rétrograde, (IV.25)

ou 1 1

2

21 12

02 2

m m m

i i i

m m m mw i i i i

v vh

C u

C C h k

τ τ τ τ τ τ τλ + −+

+ −− + − −− − =

Euler progressif. (IV.26)

Le problème à résoudre comporte 2 inconnues, vC

λΓ = et w

v

C uv

C= , mais avant

d’aborder en détail les différentes manières d’exécuter les calculs, il convient de reconsidérer

l’équation à résoudre en justifiant les approximations faites jusqu’ici dans les calculs

analytiques.

IV.B.2.b) Prise en compte (ou non) de la vaporisation/condensation de l’eau et de la variation de la diffusivité avec la profondeur

Alors que dans les calculs analytiques on cherche à négliger des termes de façon à

garder une équation de départ suffisamment simple pour qu’une solution puisse être trouvée,

les méthodes numériques permettent de considérer sans trop de difficultés supplémentaires

102

tous les termes d’un problème. On reconsidère donc les termes jusqu’ici négligés de

l’équation de la chaleur.

Dans cette équation l’ordre de grandeur du terme de transfert par convection est de

3,5 10-6 K s-1 pour une infiltration de 2 mm j-1 et un gradient de température de l’ordre de

0,1 K cm-1. On vérifie que les autres termes : variation des propriétés avec la profondeur ou le

terme de génération ou absorption de chaleur (par changement d’état ou tout autre mécanisme

de création ou d’absorption de chaleur) restent sensiblement plus faibles. L’équation à

considérer (dérivée du premier principe de la thermodynamique) est alors :

( ) ( )v

A z tTdiv grad T v T

t C

∂− −Γ + − = −∂

, (IV.27)

où A (z, t) représente la quantité de chaleur absorbée ou libérée au point considéré. Si A est

un terme de chaleur latente, pour v v

A q L

C C= =3,5 10-6 K s-1 (IV.28)

(valeur équivalente au terme de transfert par convection) on aurait q=1,52 10-9 m3 m-3 s-1 en

considérant un changement d’état de l’eau liquide en vapeur de chaleur latente,

L=2,3 109 J m-3. Si on suppose que seuls les 20 premiers centimètres contribuent à

l’évaporation c’est donc une évaporation de 0,2626 10-4 m d’eau par mètre carré et par jour

soit 0,026 mm, dont il faudrait tenir compte, valeur très faible par rapport à l’ETP qui peut

être de plusieurs mm j-1.

En ce qui concerne la variation de la diffusivité en se limitant à un problème 1D en z

on aurait :

2

20

T T T

Z Z Z tν∂ ∂ ∂Γ ∂ Γ + − − = ∂ ∂ ∂ ∂

(IV.29)

Dans cette expression, le terme qui multiplie la dérivée première de la température en z

comprend deux termes : l’un proportionnel à v et l’autre à la dérivée première de Γ en z. Un

calcul global de ce terme ne permettrait pas de déterminer v et il n’est pas établi que le

premier soit négligeable devant le second. Par exemple, pour u=3 mm j-1, on aurait

u Cw = 1,45 W m-2 K-1 et il suffirait d’avoir sur les 3 cm qui séparent les premiers capteurs

une variation de 0,044 W m-1 K-1 de la conductivité pour que le terme multipliant de la

dérivée première se trouve compensé.

103

On en déduit qu’il est préférable a priori de tenir compte à la fois d’une possible

génération/absorption de chaleur et de la variation spatiale de la diffusivité, ce qui augmente

le nombre d’inconnues à considérer. En fait les calculs tant sur des données synthétiques que

sur des données réelles ont montré que la prise en considération du terme d’absorption de

chaleur ne change pratiquement pas les résultats sur les autres paramètres v et Γ pour les

profondeurs et le contexte climatique considérés ici.

IV.B.2.c) Calcul direct de l’infiltration à partir d’un schéma en DF

Dans un premier temps, on se place dans l’hypothèse d’un sol homogène et d’une

absence de génération/absorption de chaleur où l’équation différentielle de départ s’écrit :

2

20

T T T

z z tν∂ ∂ ∂Γ − − =

∂ ∂ ∂ (IV.30)

Dans cette équation, pour des distances en z de l’ordre du centimètre ou de la dizaine de

centimètres, des pas de temps compris entre la minute et l’heure et pour des valeurs courantes

de l’infiltration, le nombre de Péclet est proche de 10-2. Comme on a choisi d’implanter les

mesures à des profondeurs et avec des écarts relativement faibles (12, 15, 18, 24, 32 et

34 cm), l’utilisation d’un pas de temps de 10 minutes, permet de vérifier la condition

2

12

k

h

Γ ≤ pour la plupart des valeurs de la diffusivité Γ possibles. A partir de l’équation

différentielle on peut en principe avec deux pas de temps disposer de deux relations

permettant de déterminer Γ et ν, mais compte tenu de la faible importance relative du terme de

convection on va devoir mettre en œuvre une méthode plus élaborée.

Cela peut être établi soit à partir d’un système à deux équations dans le temps ou bien

dans l’espace (Fig 4.8), avec miτ valeurs approchées de la température T(z,t) au point (zi,tm),

ce denier faisant intervenir les enregistrements de 4 capteurs au lieu de 3 pour le premier cas.

t

m=4

m=3

m=2

m=1

zi=1 i=3i=2 i=4

12τ

32τ 3

3τ 34τ3

1τ

13τ

t

m=4

m=3

m=2

m=1

zi=1 i=3i=2 i=4

12τ

32τ 3

3τ 34τ3

1τ

13τ

t

zi=1 i=3i=2 i=4

m=4

m=3

m=2

m=1

34τ

13τ

32τ

23τ

33τ

43τ4

2τ 44τ

t

zi=1 i=3i=2 i=4

m=4

m=3

m=2

m=1

34τ

13τ

32τ

23τ

33τ

43τ4

2τ 44τ

Figure 4. 8 - Système à deux équations dans le temps (à gauche) et dans l’espace (à droite)

104

Pour stabiliser et moyenner les résultats il est possible de choisir un intervalle de temps

comprenant une série de plusieurs pas et d’appliquer la méthode des moindres carrés (section

IV.B.2.d.) pour déterminer les deux inconnues. Par exemple pour la série de mesures estivale

allant du 1er juillet au 30 septembre 2009 soit 91 jours, on a 13104 mesures de température

(pas de temps de 10 minutes et 144 valeurs par jours) pour chaque capteur soit 78624 valeurs

à traiter pour les six capteurs. Lors du traitement numérique on a besoin de trois capteurs, la

résolution par moindres carrés se portera donc sur 39312 mesures de températures, pour

déterminer les deux inconnues v et Γ pour cette intervalle d’analyse (91 jours). Néanmoins

l’application directe de ce processus conduit à partir des données expérimentales à des valeurs

visiblement erronées, on doit donc affiner les hypothèses : en premier lieu ne pas considérer

que le terrain est thermiquement homogène.

En prenant en compte la variation des propriétés thermiques avec la profondeur, on part

de l’équation : ( ) 0T

div grad T Tt

ν ∂− −Γ + − =∂

(IV.31)

On va rechercher le meilleur schéma numérique et le nombre d’intervalles à prendre en

compte simultanément par la méthode des moindres carrés pour aboutir à un résultat robuste

avec comme hypothèses : Γ variable en z mais fixe sur le groupe d’intervalles de temps

considéré et ν constant sur la gamme de profondeurs et sur le groupe d’intervalles de temps

considéré.

Etant donné que nos capteurs ont été implantés avec des pas d’espace non identiques

(profondeur de 12, 15, 18, 24, 32 et 34 cm i.e. des pas de 3, 3, 6, 8 et 2 cm), nous donnons ci

dessous les expressions des dérivées premières et secondes obtenues en repartant de la

formule de Taylor.

( ) ( )

( )( )1 1 0 1 1 1 1 0 1 1

21 1 0 1 1 0

m m m m m mi i i i i i

v v

m m m m mi i i i i

C ud d d c c c

C C

c c c

λ τ τ τ τ τ τ

τ τ τ τ τ

− + + − − + + −

−− + + −

+ + − − +

′ ′ ′− − + − = (IV.31)

L’expression des coefficients ic , id et mc′ dépendent du choix du maillage et de la

précision souhaitée. Pour un maillage quelconque, celui-ci sera précis au deuxième ordre pour

les termes de convection et d’évolution dans le temps et au premier ordre pour la diffusion.

Ainsi les coefficients seront donnés par les relations (IV.32) :

105

( )( )( )

11

1 1 1

i i

i i i i

h hc

h h h h+

−− + −

−=

− −

( )( ) ( )

1 10

1 1

2i i i

i i i i

h h hc

h h h h+ −

− +

− +=

− −

( )( )( )

11

1 1 1

i i

i i i i

h hc

h h h h−

++ + −

−=

− −

( )( )( )

1

1 1 1 1

m m

m m m m

k kc

k k k k

+

− − + −

−′ =

− −

( )( ) ( )

1 1

0 1 1

2m m m

m m m m

k k kc

k k k k

+ −

− +

− +′ =

− −

( )( )( )

1

11 1 1 1

m m

m m m m

k kc

k k k k

−

+ + + −

−′ =

− −

( )( )11 1 1

2

i i i i

dh h h h−

− + −

=− −

( ) ( )01 1

2

i i i i

dh h h h− +

= −− −

( )( )11 1 1

2

i i i i

dh h h h+

+ + −

=− −

Dans notre cas le pas de temps est constant (10 minutes) : conformément au protocole

adapté pour les mesures on se place toujours dans le cas d’un pas de temps constant.

( ) ( )1 1m m m mk k k k k− +− = − = , (IV.33)

( ) ( ) ( )2

1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 02

m mi iwm m m m m m

i i i i i iv v

C ud d d c c c

C C k

τ τλ τ τ τ τ τ τ−

− + + − − + + −

− + + − − + − =

(IV.34)

Considérons par exemple le cas particulier où le pas d’espace est constant et égal à

( ) ( )1 1i i i ih h h h h− += − = − , la relation précédente prend alors la forme classique simple

suivante :

( ) ( )2

1 1 1 12

1 12 0

22

m mm m m m mw i ii i i i i

v v

C u

C C kh h

τ τλ τ τ τ τ τ−

+ − + −

−− + − − −

=

(IV.35)

Dans le cas où Γ est variable et défini aux mêmes points que les mesures de la

température, on a alors les termes suivants (avec 3 inconnues en Γ à calculer, Γi-1, Γi, Γi+1, en

plus de ν ) :

( ) ( ) ( )1 1 1 1

1 1 1 1

22 2

m m m mi i i i i i i i

i i i i i ih h h h h h

τ τ τ τ+ + − −

+ − + −

Γ + Γ − Γ + Γ − − − − −

( ) ( )

( ) ( )

1 11 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

m m m mj j j ji i i i

i i i i i i i i

i i i i i i i i

i i i i i i i i

h h h h

h h h h h h h h

h h h h

h h h h h h h h

τ τ τ τ

ν

+ −− +

+ − + + − −

+ − − +

+ − + + − −

− − − −+ − − − −

Γ − Γ − Γ − Γ −− + + − − − −

(IV.36)

1 1

2i im m

k

τ τ+ −−=

106

Dans le cas où Γ est variable en z mais fixe dans chaque segment : Γi entre les points

d’indices i-1 et j et Γi+1 entre les points d’indice i et i+1 , on a alors (pour 2 inconnues en Γ à

calculer) :

( ) ( ) ( )1 1

11 1 1 1

2 m m m mi i i i

i ii i i i i ih h h h h h

τ τ τ τ+ −+

+ − + −

− −Γ − Γ − − −

( ) ( ) ( )1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

2m m m mi i i i i i i i i i

i i i i i i i i i i

h h h h

h h h h h h h h h h

τ τ τ τ ν+ − − + +

+ − + + − − + −

− − − − Γ − Γ+ − + − − − − − (IV.37)

1 1

2ii

m m

k

τ τ+ −−=

IV.B.2.d) Application de la méthode des moindres carrés

Les expressions aux DF, comme celles que l’on définira plus loin avec les EF

conduisent pour chaque pas de temps à une relation linéaire entre les inconnues recherchées,

par exemple les 3 valeurs de Γ et ν, du type :

1 1i i ia b c d eν+Γ + Γ + Γ + =- (IV.38)

Il faudrait dans cet exemple disposer de 4 pas de temps pour pouvoir calculer les 4

inconnues. En pratique, pour moyenner et stabiliser les résultats, il est préférable de prendre

simultanément en compte un nombre nettement plus important de pas de temps,

correspondant par exemple à une demi-journée ou à une journée entière, et d’appliquer la

méthode des moindres carrés.

Elle consiste à considérer la somme : ( )2

1 1i i im

P e a b c dν− += − Γ − Γ − Γ −∑ (IV.39)

et à calculer les 4 inconnues de telle sorte que cette somme soit minimisée en posant :

1

0i

P

−

∂ =∂Γ

, 0i

P∂ =∂Γ

, 1

0i

P

+

∂ =∂Γ

et 0P

ν∂ =∂

(IV.40)

Toutefois on peut améliorer le résultat en imposant des conditions complémentaires en

cherchant à minimiser la quantité :

( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 1 1i i i i i i im

Q e a b c dν− + − += − Γ − Γ − Γ − + Γ − Γ + Γ − Γ∑ (IV.41)

107

Ce choix est cohérent avec le fait que l’on considère une vitesse de Darcy constante ; il

ne devrait pas y avoir de stockage ou de déstockage d’eau dans l’intervalle de profondeur

considéré et la variation de diffusivité doit être minimale.

IV.B.2.e) Application des codes DF sur des données synthétiques

Les différents jeux de données synthétiques utilisés sont générés à partir de calculs

analytiques en considérant d’abord le cas très simple d’une sinusoïde diurne pure avec un sol

homogène, puis toujours un sol homogène mais une variation temporelle où se superposent la

variation diurne, la variation semi-diurne et une variation transitoire (Fig 4.6), et enfin un sol

tabulaire à trois couches avec une variation temporelle où interviennent simplement une

diurne et une semi-diurne.

Le premier schéma (section IV.B.2.c) à 4 inconnues (3 inconnues en Γ à calculer en

plus de ν ) est le plus satisfaisant. Retrouver les bonnes valeurs pour Γ ne cause aucun

problème, en revanche retrouver les bonnes valeurs de vitesse de Darcy n’est possible que par

l’introduction d’un terme correctif à la vitesse de Darcy, différent selon les groupes de points

utilisés et qu’on ne voit pas comment justifier physiquement. La superposition d’un

phénomène transitoire (modulation) vient disperser les résultats. Pour caractériser cette

dispersion nous avons fait un test sur 24 jours pour lesquelles nous avons obtenu pour les

triades (12, 15, 18 cm) et (12, 18, 24 cm) respectivement les médianes de 1,57 et -2,02 mm j-1

et les écarts interquartiles de 3,09 et 3,90 mm j-1 alors que la valeur unique de l’infiltration

était de 3 mm j-1.

Dans le seul cas d’une sinusoïde pure sur sol homogène (les données étant générées à

12, 15 et 18 cm avec un pas de temps de 10 minutes, la valeur choisie pour u pouvant être

positive (infiltration) ou négative (exfiltration) et la diffusivité thermique étant de

0,44 10-6 m2 s-1), on a pu calculer les valeurs de ν et de Γ directement via un schéma aux DF

à deux inconnues, et (avec la méthode des moindres carrés) pour un épisode de temps d’une

journée (puisque la sinusoïde est pure). L’erreur maximale entre ce que nous avons adopté

comme valeurs de u et ce que nous calculons en sortie, est, dans le cas le plus défavorable de

l’ordre de 0,03 mm j-1 avec une exfiltration en sortie de l’ordre de 0,97 mm j-1 au lieu de

1 mm j-1. Par ailleurs nous remarquons que, pour un u élevé de l’ordre de 15 mm j-1, l’erreur

relative sur u ne dépasse pas 1%.

108

L’erreur relative maximale entre ce nous avons adopté comme valeur de diffusivité (soit

0,44 10-6 m2 s-1) et ce que nous avons obtenu, sur une journée, a été de l’ordre de 3% pour une

exfiltration de l’ordre de 5 mm j-1, soit le cas le plus défavorable de notre série de test

(Fig 4.9).

-10 -5 0 5 10 15vitesse de Darcy (mm/jour)

4.4E-006

4.5E-006

4.6E-006

4.7E-006

4.8E-006

diff

usiv

ité th

erm

ique

(m2 /

s)

erreur relative maximale de l'ordre de 3 %

Figure 4. 9 - Erreur relative maximale pour le terme de diffusivité en fonction de l’infiltration

ou de l’exfiltration

Pour connaitre l’influence d’une erreur de positionnement de l’un des capteurs, sur les

résultats obtenus en u et Γ , nous avons effectué un test où pour une diffusivité thermique

donnée (0,44 10-6 m2 s-1) et pour différentes infiltrations (ou exfiltrations), la position de l’un

des capteurs varie de quelques millimètres (Fig 4.10).

Z=12 cm

Z=15 cm

Z=18 cm

erreur de positon du capteurs cp1



Z=12 cm

Z=15 cm

Z=18 cm




Figure 4. 10 - Erreur de position des capteurs

109

Sachant que le pas d’espace entre les capteurs les plus proches est de 30 mm, l’erreur de

positionnement change de 3,3%, pour chaque écart d’espace de l’ordre de 1 mm. Les

conséquences sur les valeurs de diffusivité thermique et de vitesse de Darcy calculées sont

présentées dans les tableaux 4.1 et 4.2.

Erreur relative sur les valeurs de diffusivité

Position des capteurs Capteur à 12 cm Capteur à 15 cm Capteur à 18 cm

Erreur de position de 3,3% vers le haut 5,9% 14,6% 0,2%

Erreur de position de 3,3% vers le bas 9,3% 3,5% 2,6%

Tableau 4. 1 - Erreur relative sur les valeurs de diffusivité thermique (pour u=10 mm j-1)

Erreur relative sur les valeurs de vitesse de Darcy

Position des capteurs Capteur à 12 cm Capteur à 15 cm Capteur à 18 cm

Erreur de position de 3,3% vers le haut 41% 115% 45%

Erreur de position de 3,3% vers le bas 50% 78% 54%

Tableau 4. 2 - Erreur relative sur les valeurs de la vitesse de Darcy (pour u=8 mm j-1)

Nous constatons que, comme on pouvait s’y attendre, une erreur de positionnement des

capteurs affecterait considérablement plus le terme d’infiltration que celui de la diffusivité

thermique. Par ailleurs, l’erreur de positionnement du capteur du milieu (à 15 cm) a plus

d’influence que celle des deux autres capteurs (à 12 et 18 cm). Nous constatons aussi que

l’erreur de positionnent du capteur le plus profond (à 18 cm) a le moins d’influence sur la

détermination du terme de diffusivité ce qui s’explique par l’effet de l’amortissement de la

variation diurne avec la profondeur.

Ce risque d’erreur de positionnement a été pris en compte lors de l’installation des

capteurs où on a utilisé une plaque en laiton avec canons pour faire des avant-trous (Fig 4.11)

Figure 4. 11 - Plaque métallique en laiton avec canons écartés de 3 cm

110

IV.B.3) Code en éléments finis (EF)

IV.B.3.a) Principe

Soient trois points dans l’une des dimensions du domaine (par exemple z) z1, z2, z3. Ces

trois points ou nœuds définissent 2 segments, ou éléments, sur lesquels on choisit une loi de

variation de la fonction considérée, ici la température, T. Avec, par exemple une variation

linéaire, on appelle N1(z) la variation adoptée sur le segment 1 et N2(z) la variation sur le

segment 2. Ces deux segments constituent le domaine sur lequel on décrit les variations de la

température. Dans sa formulation d’origine la méthode des EF demanderait que l’on définisse

ensuite la fonctionnelle que les valeurs de la fonction, T, aux nœuds du domaine doivent

minimiser mais la nature physique de la température ne permet pas de poser le problème à

résoudre en ces termes variationnels car la seule façon « physique » de choisir la fonctionnelle

est d’adopter l’expression de l’énergie potentielle du système physique considéré ce qu’on ne

sait pas faire avec la température (qui est elle-même une expression de l’énergie).

La méthode utilisée ici pour définir les relations entre les valeurs de T aux nœuds du

domaine est la procédure de Galerkin. Elle permet de partir de l’équation aux dérivées

partielles et par intégration par parties de pouvoir traiter des équations avec des dérivées

secondes tout en considérant des variations linéaires sur les éléments ce qui permet d’utiliser

un nombre limité de nœuds (ici 3 en z et en t).

Le principe de cette procédure est le suivant. Soit l’équation aux dérivées partielles :

( )( ) 0L f x = (IV.42)

Dans le domaine où cette équation est vérifiée, on a : ( )( ) 0L f x dx=∫ (IV.43)

De même en la multipliant par une autre fonction non nulle, D(x), on a toujours :

( ) ( )( ) 0D x L f x dx=∫ (IV.44)

Le choix de la fonction D(x) est libre. Dans la réalité, les expressions qui seront

adoptées pour la fonction f(x) ne pourront respecter exactement l’équation différentielle dans

tout le domaine et son intégrale ne sera pas exactement nulle mais comportera « un résidu ».

La procédure de Galerkin consiste à choisir comme fonction D(x), la fonction d’interpolation

N(x) de façon à ce que la condition : ( ) ( )( ) 0N x L f x dx=∫ (IV.45)

impose à la fonction d’interpolation d’être orthogonale à ce résidu.

111

Soit ici l’équation : ( ) 0T

div gradT Tt

ν ∂− −Γ + − =∂

(IV.46)

on peut considérer séparément les deux dimensions z et t et adopter comme éléments des

segments ou considérer des éléments triangulaires dans le plan ( ),z t .

Dans le cas le plus simple où on considère séparément les deux dimensions et en se

limitant à z, on part donc de : ( )3

1

0z

z

T TN z z T dz

z z tν∂ ∂ ∂ Γ − − = ∂ ∂ ∂

∫ ( ) (IV.47)

où N(z) est une fonction linéaire différente sur chaque élément. Soit en décomposant chacun

des termes de l’équation sur les 2 éléments du premier terme : ( )2

1

1

z

z

TN z dz

z z

∂ ∂ Γ ∂ ∂ ∫ (IV.48)

Par intégration par partie et par élimination des conditions aux limites qui s’annulent

avec les contributions des éléments voisins, cette intégrale est égale à :

2

1

1

z

z

N Tdz

z z

∂ ∂− Γ∂ ∂∫ (IV.49)

où : 1 22 1

2 1 2 1

( )z z z z

T z T Tz z z z

− −= +− −

, 1 22 1

2 1 2 1

( )z z z z

zz z z z

− −Γ = Γ + Γ− −

et 11

2 1

z zN

z z

−=−

(IV.50)

Le calcul de cette intégrale aboutit à : ( ) ( )( )2 1 2 1

2 1

1

2T T

z z− Γ + Γ −

− (IV.51)

Le deuxième terme se calcule de la même façon :

( )2 2

1 1

11 2 12

z z

z z

T NN dz T dz T T

z z

νν ν∂ ∂− = = +∂ ∂∫ ∫ (IV.52)

L’intégration du troisième terme se réalise par l’intégration de l’ensemble selon l’autre

variable t.

IV.B.3.b) Schémas numériques utilisés

En gardant les notations précédentes, en appliquant la procédure de Galerkin aux

éléments d’espace [i-1, i] et [i, i+1 ] et de temps [m-1, m] et [m, m+1] avec pour les deux

variables des variations linéaires indépendantes, soit en prenant en compte 9 points, on a

112

finalement (Г, la diffusivité étant définie aux 3 nœuds et variant linéairement sur chaque

élément) :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 1 11 1 1 1

1

1 1 1 11 1 1 1

1

1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1

2 1

2 3 6

2 1

2 3 6

2 1 1

3 6 12

m m m m m mi i i i i i i i

i i

m m m m m mi i i i i i i i

i i

m m m m m m m m mi i i i i i i i i

k

h h

k

h h

k

τ τ τ τ τ τ

τ τ τ τ τ τ

ν τ τ τ τ τ τ τ τ τ

+ + − −+ + + +

+

+ + − −− − − −

−

+ + − + − ++ − − − + +

Γ + Γ − + − + − −

− Γ + Γ − + − + − −

− + + + + + + + +

( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 1 1

1

2 3 6 6m m m m m mi i i i i ii i i i i i

h h h h h hτ τ τ τ τ τ+ − + − + −+ − − +− − + +

− − − = − + − + −

(IV.53)

En appliquant la même procédure sur les éléments d’espace et de temps avec des

variations linéaires indépendantes en z et en t, et en ne considérant que 5 points, on a :

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

1 1 1 11 1

1 11 11 1

2 2

22 4

m m m mi i i i i i i i

i i i i

m m m m mi ii i i i i

k k

h h h h

h hk

τ τ τ τ

ν τ τ τ τ τ

− − + +− +

+ −+ −+ −

− Γ + Γ − + Γ + Γ −− −

−+ + + = −

(IV.54)

En appliquant la même procédure aux 4 éléments triangulaires entourant le point, on

obtient :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 11 1

1 1

1 1 1 11 1 1 1

4 4

3 6 3 6

23 3 2

m m m mi i i ii i i i

i i i i

m m m mm m m i ii i i ii i i

k k

h h h h

h hk

τ τ τ τ

τ τ τ τν τ τ τ

− +− +

− +

+ − + −− + − +

Γ Γ Γ Γ − + − + + − − −

− + ++ − + = −

(IV.55)

Ces différents schémas peuvent être comparés sur des données synthétiques comme sur

les données réelles. Le fait de disposer de plusieurs schémas permet, si les résultats sont

concordants de pouvoir les considérer comme sûrs.

IV.B.3.c) Application des schémas en EF sur des données synthétiques

Les schémas aux EF se sont avérés plus stables et plus robustes que les schémas aux

DF. Ils ont fourni par exemple avec des données synthétiques des résultats stables pour la

détermination de la diffusivité jusqu’à des épisodes limités à 2h (12 points en temps).

Néanmoins, l’utilisation de données avec variations transitoires aboutit toujours à des résultats

113

dispersés et inutilisables même si la distance interquartile est plus faible qu’avec le schéma

aux DF.

IV.C) Analyse spectrale des données réelles

Avant de passer au calcul sur des données réelles, nous allons effectuer une analyse

spectrale des mesures de température pour les 6 profondeurs 12, 15, 18, 24, 32 et 34 cm.

L’application de la transformée de Fourier rapide (FFT) aux mesures permet de mettre en

évidence les fréquences dominantes.

L’analyse spectrale des mesures du 1er juillet 2009 au 30 septembre 2009 (Fig 4.12)

met en évidence la prédominance du spectre d’amplitude à 24 h et (moins) celui à 12 h.

01-Ju

l-09

11-Ju

l-09

21-Ju

l-09

31-Ju

l-09

10-A

ug-09

20-A

ug-09

30-A

ug-09

09-S

ep-09

19-S

ep-09

29-S

ep-09

09-O

ct-09

Temps (jours)

12

16

20

24

28

Tem

péra

ture

(°C

)

12 cm15 cm18 cm24 cm32 cm34 cm

Figure 4. 12 - Épisode d’enregistrement des températures du 1er juillet 2009 au 30 septembre

2009

Cela nous permet de vérifier (Fig 4.13) que ces mesures sont caractérisées par la

présence d’harmoniques d’ordre 1 (la sinusoïde à 24 h) et d’ordre 2 (celle à 12 h).

114

18 20 22 24 26 28 30

0.5

1

1.5

2

|FF

T(t

empe

ratu

re)|

12 cm15 cm18 cm24 cm32 cm34 cm

Figure 4. 13 - Présence des harmoniques d’ordre 1 et 2

IV.D) Calculs sur les données réelles

IV.D.1) Calcul par utilisation des rapports d’amplitude et des déphasages de la variation diurne

Dans une première étape on a choisi de traiter les données des enregistrements de

température par épisodes pluvieux et sec. La série de mesures correspond à une période sèche

du 1er août au 30 septembre, suivie d’une période pluvieuse du 1er octobre au 15 décembre

2009.

L’utilisation des diffusivités apparentes en amplitude et en phase calculées à partir de la

variation diurne pour chacune de ces périodes et pour chaque couple de capteurs par les

formules :

2

2 1

2 ( )amp

z z

Ln R

ω −Γ =

(IV.56) et 2

2 1

2ph

z zωϕ

−Γ = ∆ (IV.57)

donne les résultats, pour une série de mesures de température données, présentés dans le

tableau 4.3.

Période sèche

1er aout-30 septembre

Période pluvieuse

1er octobre-15 décembre

Couple de capteurs Гamp (10-6) Гph (10-6) Гamp (10-6) Гph (10-6)

0,12 à 0,15 cm 0,96 1,60 1,00 1,30

0,15 à 0,18 cm 0,60 0,92 0,60 0,69

0,18 à 0,24 cm 0,44 0,57 0,45 0,47

0,24 à 0,32 cm 0,35 0,46 0,41 0,40

0,32 à 0,34 cm 0,27 0,40 0,39 0,32

Tableau 4. 3 - Diffusivités apparentes en amplitude et en phase pour chacun des épisodes

115

Une première lecture des résultats obtenus, à partir des cycles journaliers, montre bien

que la diffusivité apparente Гph, au sein du même épisode de temps, varie avec les couples de

profondeur. On a donc a priori un terrain dont les propriétés thermiques varient avec la

profondeur entre 12 et 34 cm (Fig 4.14).

2E-007 4E-007 6E-007 8E-007 1E-006 1.2E-006 1.4E-006

diffusivité apparente en phase (m2 s-1)

36

32

28

24

20

16

12

prof

onde

urs

(cm

)

Cp 12 cmCp 15 cm

Cp 15 cmCp 18 cm

Cp 18 cmCp 24 cm

Cp 24 cmCp 32 cm

Cp 32 cmCp 34 cm

Figure 4. 14 - Variation de Γph en fonction de la profondeur (1er octobre au 15 décembre

2009)

On observe (Fig 4.14) une décroissance monotone de la diffusivité apparente Гph avec la

profondeur et des valeurs anormalement élevées pour le couple 12 à 15 cm. Rappelons qu’ici

l’infiltration n’est pas en cause puisqu’elle influe uniquement sur Гamp (la comparaison entre

termes de diffusivités apparentes en amplitude, obtenus à partir des variations journalières,

pour des périodes sèche et humide confirme bien l’existence de cette influence).

Dans une seconde étape, nous avons traité les données de la période (85 jours)

s’étendant du 22 septembre (à 12 h) au 15 décembre 2009 (à 12 h), qui correspond en principe

au changement le plus significatif de la pluie efficace (différence entre les précipitations et

l’évapotranspiration réelle). Cette période présente les plus fortes variations d’infiltration et

de la teneur en eau qui puissent se rencontrer au cours d’un cycle annuel. Au début de cette

période, l’amplitude de la variation diurne est bien marquée, elle est très faible pour plusieurs

des jours de la fin de cette période.

116

Sur ces 85 jours, soient 12240 points de mesures sur 6 profondeurs, plusieurs

traitements ont été testés et appliqués :

1) détermination des diffusivités apparentes pour les variations diurne et semi-diurne sur

des durées de 1, 3, 5, 7 et 9 jours.

2) puis détermination de la vitesse de Darcy et des variations de la teneur en eau à partir

du modèle du terrain homogène en appliquant le critère de cohérence entre les diffusivités

apparentes Гph et les vitesses obtenues avec la diurne et la semi-diurne.

3) puis élimination des valeurs aberrantes par un filtrage par la médiane et finalement

lissage par une moyenne sur 7 jours.

Au terme de ces traitements on n’a pas de résultats satisfaisants, la dispersion des

valeurs de variations de la vitesse reste autour de 10 mm j-1, et si qualitativement on observe

des corrélations avec la pluie ou l’ETP, elles sont quantitativement inexploitables.

On peut en conclure que la méthode consistant à extraire les amplitudes et les phases

des variations sinusoïdales, appliquée avec succès pour des variations annuelles et

pluriannuelles, ne permet pas une détermination correcte de la vitesse de Darcy (ou plus

modestement de ses variations) sur des durées de la journée à quelques jours. La cause

principale comme le montre sans ambiguïté le traitement de données synthétiques en est la

modulation de la variation diurne. On doit donc se tourner vers les méthodes numériques.

IV.D.2) Calcul par schéma en EF - Détermination de la diffusivité en EF et suivi de la teneur en eau

Comme on l’a présenté au chapitre II, les travaux portant sur la détermination de la

teneur en eau à partir des propriétés thermiques sont nombreux et anciens, cependant

l’utilisation de mesures passives est limitée (à notre connaissance) au suivi de la variation

annuelle (Béhaegel et al. 2007). Compte tenu de la cohérence des résultats obtenus quant à la

diffusivité entre DF et EF et de la plus grande robustesse des schémas en EF nous avons

adopté ces derniers pour les données de Boissy-le-Châtel en traitant par la méthode des

moindres carrés des épisodes de 24 h soit 144 pas de temps et en retenant comme résultat à

chaque épisode la moyenne 4

2 11 +− Γ+Γ+Γ=Γ iii (IV.58)

117

où Гi est la diffusivité thermique qui correspond à la position du capteur i, puis en utilisant la

formule (IV.16) : 11 2,

δδθ Γ= −Γ

. Un lissage sur une fenêtre glissante de 7 jours (par moyenne

ou par médiane) montre des résultats très comparables à ceux obtenus à partir des variations

de teneur en eau données par les sondes TDR implantées sur le site à faible distance (chapitre

III).

Pluie mesurée

Variations relatives de la teneur en eau calculées à

partir des capteurs de température à 12, 18 et

24 cm

à 5 cm

à 25 cmà 15 cm

Variations relatives de la teneur en eau

mesurées à partir des sondes TDR

11-Ja

n-10

21-Ja

n-10

31-Ja

n-10

10-F

eb-1

0

20-F

eb-1

0

02-M

ar-10

Figure 4. 15 - Précipitations mesurées - Variations de la teneur en eau (valeur moyenne entre

12 à 18 cm) calculées par EF à partir des mesures passives de température (en marron), et obtenues à partir des sondes TDR (à 5 cm : en vert, à 15 cm : en rouge et à 25 cm : en bleu)

A titre d’exemple, la figure 4.15, montre les résultats de la comparaison entre les

variations de la teneur en eau mesurées par les sondes TDR aux différentes profondeurs (cf.

chapitre III) et les variations calculées par EF à partir des variations de la température en

prenant les trois profondeurs à 12, 18 et 24 cm sur la période du 11 janvier au 2 mars 2010. La

corrélation est bonne (0,67 à 0,75) avec les sondes à 15 et 25 cm, la plus grande variabilité des

résultats de la sonde à 5 cm est tout à fait attendue.

Sur la même période, la comparaison avec les précipitations journalières est moins

parlante (Fig 4.15) puisque l’on part de données lissées sur 7 jours. Les fortes pluies

(rencontrées dans notre série de mesures) des 16 et 29 janvier, de respectivement 9,4 et

8,8 mm m-2 correspondent bien à des maxima, mais tel n’est pas le cas pour l’épisode

118

pluvieux des 5 et 6 février et il est difficile d’expliquer l’apparent retard de la pluie sur la

variation de la teneur en eau du sol le 20 février. Malgré cela, les résultats obtenus par les

sondes TDR à 15 et 25 cm sont cohérents, ils montrent bien l’existence de cette épisode de

montée de la variation de la teneur en eau à partir du 10 février.

IV.D.3) Calculs à partir d’un schéma par DF - Détermination de la vitesse de Darcy

IV.D.3.a) Choix des épisodes

Rappelons qu’il n’est pas possible de déterminer à partir des enregistrements de la

température les trois paramètres, u, λ, Cv, puisque le système d’équations à résoudre serait

alors indéterminé, on ne peut déterminer que 2 paramètres Γ et ν. Mais en fixant Cv à une

valeur vraisemblable (mais arbitraire) il est possible d’exprimer les résultats en λ et u. Dans

cette section, nous exprimerons les résultats finaux obtenus en u.

Pour tenir compte des différentes situations de température et de pluie, nous avons

choisi, figure 4.16, trois épisodes représentatifs d’une situation chaude et sèche (A), d’une

période de transition (B) et d’une situation froide et humide (C).

Feb-0

9

Mar-

09

Apr-0

9

May

-09

Jun-

09Ju

l-09

Aug-0

9

Sep-

09

Oct-

09

Nov-0

9

Dec-0

9

Jan-1

0

Feb-1

0

Mar-

10

Apr-1

0

Mois

0

20

40

60

80

Pré

cipi

tatio

ns (m

m)

5

10

15

20

25

Tem

pérature (°C)

Pluie mensuelle (mm)Température à 12 cm15 cm18 cm24 cm32 cm34 cm

A

C

B

Figure 4. 16 - Episodes de traitement

119

L’épisode A s’étend du 1er juillet au 22 septembre 2009 (jours de téléchargement des

résultats et de reconfiguration des capteurs). Cet épisode est caractérisé par une forte

amplitude des variations diurnes en plus d’une pluviométrie faible.

L’épisode B s’étend du 1er octobre jusqu’à la fin novembre 2009, il est caractérisé par

de fortes précipitations avec des variations diurnes d’amplitude moyenne.

L’épisode C s’étend du 17 décembre 2009 au 8 mars 2010 (il manque des données le 10

février 2010). Cet épisode est caractérisé par de faibles amplitudes de la variation diurne et

par une pluviométrie modérée.

IV.D.3.b) Détermination de la structure thermique du terrain par recherche de la position optimale d’une interface

Les tests sur des données synthétiques ayant montré que les différents schémas

numériques ne permettaient pas une détermination quantitative correcte de la vitesse de

Darcy, il n’est pas surprenant que la même difficulté (section IV.B.2.e) ait été rencontrée sur

les données réelles. Cette non adéquation entre les modèles (simples) et la réalité correspond

au fait qu’une variation linéaire (implicitement ou explicitement utilisée dans les schémas

numériques présentés jusqu’ici) de la diffusivité avec la profondeur ne colle pas assez bien

avec la réalité du terrain. Lors du traitement des données pluri-annuelles (Cheviron et al.

2005), il s’est avéré nécessaire de décrire précisément la variation avec la profondeur des

propriétés thermiques avant de pouvoir déterminer u, on suit ici la même démarche en

cherchant dans un premier temps à définir de manière optimale la structure verticale du

terrain. Le modèle où une interface correspondant à un changement brutal des propriétés vient

se positionner entre les points utilisés dans le schéma numérique s’avère pertinent.

Pour définir au mieux la position d’une interface et les propriétés thermiques, entre les 3

points (i-1, i et i+1) considérés, qui correspondent au positionnement des capteurs de

température, on applique un nouveau maillage, très fin, au domaine compris en profondeur

entre les points extrêmes (qui correspondent à la position des capteurs extrêmes), zi-1 et zi+1 et

couvrant tout l’épisode choisi en temps. On a alors un nouvel échantillonnage de I points en

profondeur et M points en temps. On utilise un schéma en DF en partant de l’équation :

( )1 2

21 1 1 12

22m m m m m m mw

i i i i i i i

K

s v

K

k C k u

C h C h

λ τ τ τ τ τ τ τ −+ − + −

−− + + − = −

(IV.59)

que l’on exprime sous la forme : ( ) ( ) ( )21 1 2 1 1 2 12 1 0m m m m

i i i iK K K K Kτ τ τ τ−+ −+ − − + − − = (IV.60)

120

On va calculer la température en tous les points du nouveau maillage en prenant les

valeurs de température en zj-1 et zj+1 comme conditions aux limites et à partir d’une condition

initiale obtenue en interpolant les valeurs de température en début d’épisode. Le principe du

calcul est présenté sur la figure 4 .17.

Conditions initiales m=0

Conditions aux lim

itesi+

1C

ondi

tions

aux

lim

ites

i-1

11τ

21τ

31τ

51τ

41τ

12τ

22τ

32τ

52τ

42τ

13τ

23τ

33τ

53τ

43τ

14τ

24τ

34τ

54τ

44τ

15τ

25τ

35τ

55τ

45τ

1Jτ

2Jτ

3Jτ

5Jτ

4Jτ

i=Ii=1 i=3i=2 i=5i=4

m=5

m=4

m=3

m=2

m=1

t

zConditions initiales m=0

Conditions aux lim

itesi+

1C

ondi

tions

aux

lim

ites

i-1

11τ

21τ

31τ

51τ

41τ

12τ

22τ

32τ

52τ

42τ

13τ

23τ

33τ

53τ

43τ

14τ

24τ

34τ

54τ

44τ

15τ

25τ

35τ

55τ

45τ

1Jτ

2Jτ

3Jτ

5Jτ

4Jτ

i=Ii=1 i=3i=2 i=5i=4

m=5

m=4

m=3

m=2

m=1

t

z

Figure 4. 17 - Exemple de maillage spatio-temporel pour M=5 (en temps) et I=6 (en

profondeur)

Ce calcul permet, sur le nouveau maillage, de choisir la position de l’interface et les

valeurs de la diffusivité au dessus et en dessous. En balayant sur toute la gamme possible pour

chacun, on peut définir les valeurs optimales de ces trois paramètres comme celles qui

permettent le meilleur accord (au sens de la norme L2) entre les valeurs de température ainsi

obtenues en zj et les valeurs expérimentales en ce point.

Nous avons choisi de traiter deux épisodes de données (avec les capteurs à 12, 15 et

18 cm) : le premier couvrant la période estivale allant du 1er juillet au 30 septembre 2009

(épisode A) soit 91 jours, le deuxième couvrant la période hivernale allant du 17 décembre

2009 au 8 mars 2010 (épisode C) soit 81 jours. Avec chacun des jeux de données nous avons

déplacé l’interface entre 13 et 17 cm selon un pas de 1 cm, les valeurs de diffusivité variant

entre 0,2 et 0,96 10-6 m2 s-1 par pas de 0,002 10-6 m2 s-1. La gamme de valeurs adoptée comme

position de l’interface a été choisie en tenant compte du résultat du sondage électrique. La

figure 4.18 présente une comparaison entre les courbes de température mesurées et calculées à

15 cm sur une durée de 8 jours dans chacun des deux épisodes.

121

18-Ja

n-10

20-Ja

n-10

22-Ja

n-10

24-Ja

n-10

26-Ja

n-10

T(°

C)

6-Aug

-09

8-Aug

-09

10-A

ug-09

12-A

ug-09

14-A

ug-09

T(°

C)

éche

lleve

rtic

ale

(hiv

er)=

éche

lleve

rtic

ale

(été

)x4

Figure 4. 18 - Comparaison entre les variations mesurées et calculées (du 18 au 26 janvier et

du 6 au 14 aout 2009), en bleu les valeurs calculées, en rouge les mesures de température

Pour la période hivernale (épisode C) : la somme des écarts quadratiques relatifs entre

les valeurs calculées et celles mesurées à 15 cm est de 4,7 10-4, cette solution optimale

correspond à des diffusivités thermiques de 0,592 10-6 m2 s-1 pour la première couche et de

0,616 10-6 m2 s-1 pour la deuxième couche avec une interface à 15 cm.

Pour la période estivale (épisode A), la somme des écarts quadratiques moyens (Fig

4.18) est plus importante que celle de la période hivernale mais reste très acceptable. Cela est

dû au fait que l’amplitude des courbes est beaucoup plus forte en période estivale. La somme

des écarts quadratiques relatifs entre les valeurs calculées et celles mesurées est de 1,18 10-2.

La valeur de diffusivité thermique optimale, 0,41 10-6 m2 s-1, est la même dans les deux

couches ce qui conduit à adopter alors un modèle de terrain homogène.

On conclut du traitement des deux épisodes que le milieu traité est plutôt homogène, et

que la légère hétérogénéité observée en période hivernale peut vraisemblablement être

attribuée à la distribution verticale de la teneur en eau.

C’est avec cette procédure en deux temps, détermination de la structure du terrain puis

application d’un schéma en DF simple qu’ont été obtenues les valeurs de vitesse de Darcy

présentées ci-après.

122

IV.D.3.c) Vitesse de Darcy

Les figures 4.19, 4.20 et 4.21 présentent la pluie (en bleu), la vitesse de Darcy (en

rouge) et l’évapotranspiration potentielle (en vert) pour les trois épisodes choisi (section

IV.D.3.a) exprimée en mm j-1 en adoptant une chaleur volumique de 2.6 J K-1 m-3.

Pour le premier épisode A (estival), l’exfiltration est plutôt dominante avec une

moyenne de l’ordre de -1,7 mm j-1. Les fortes valeurs d’exfiltration calculées lors de ce

premier épisode A sont cohérentes avec les fortes valeurs d’évapotranspiration.

Pluie mesurée

Vitesse de Darcy calculée

Evapotranspiration potentielle mesurée

Val

eurs

(mm

j-1)

91 jours01-Ju

l-09

11-Ju

l-09

21-Ju

l-09

31-Ju

l-09

10-A

ug-09

20-A

ug-09

30-A

ug-09

09-Se

p-09

19-Se

p-09

29-Se

p-09

Figure 4. 19 - Calcul (DF) de la vitesse de Darcy : résultats (épisode A), faible précipitation -

forte variation de T

La période (octobre-novembre) de l’épisode B constitue l’apport principal d’eau avec

une infiltration moyenne de l’ordre de 0,80 mm j-1. Dans ce deuxième épisode B, on observe

bien le passage d’une période (début octobre) d’évapotranspiration nette ~ -2 mm j-1 à une

période d’évapotranspiration modeste.

L’infiltration moyenne lors de l’épisode B dépasse de 40% la moyenne d’infiltration

pour l’épisode C qui est de 0,57 mm j-1. Cet épisode apparait comme moins intéressant en

terme de recharge. La différence observée dans l’infiltration, entre l’épisode B et l’épisode C,

correspond bien à la différence entre les moyennes des précipitations qui est de 2,0 mm j-1

pour l’épisode B alors qu’elle est de 1,48 mm j-1 pour l’épisode C. La comparaison pour cette

troisième épisode est malheureusement contrariée par un manque de données

d’évapotranspiration au début de l’épisode, cependant vers la fin (début mars) on remarque

123

bien, en ne tenant pas compte des ‘pics’, un début d’augmentation d’exfiltration et

d’évapotranspiration.

Val

eurs

(mm

j-1)

Pluie mesurée



61 jours01-O

ct-09

11-O

ct-09

21-O

ct-09

31-O

ct-09

10-N

ov-09

20-N

ov-09

30-N

ov-09

Figure 4. 20 - Calcul (DF) de la vitesse de Darcy : résultats (épisode B), forte précipitation -

variation modérée de T

Val

eurs

(mm

j-1)

Pluie mesurée



81 jours17

-Dec

-09

27-D

ec-09

06-Ja

n-10

16-Ja

n-10

26-Ja

n-10

05-F

eb-10

15-F

eb-10

25-F

eb-10

07-M

ar-10

Figure 4. 21 - Calcul (DF) de la vitesse de Darcy : résultats (épisode C), précipitation

modérée – faible variation de T

On remarque pour les trois épisodes, une cohérence entre la pluie et la vitesse de Darcy.

Les valeurs, apparemment trop fortes de la vitesse de Darcy obtenues en fin d’épisode C,

peuvent peut-être être expliquées par la présence d’une très forte variation transitoire

(Fig 4.22) entre le 21 et le 24 février 2010 qui introduirait une erreur dans la procédure de

détermination de u.

124

20-F

eb-10

21-F

eb-1

0

22-F

eb-1

0

23-F

eb-1

0

24-F

eb-1

0

25-F

eb-10

Temps (jours)

0

2

4

6

8

10

T(°

C)

12 cm15 cm

18 cm

épisode transitoire entre le 21 et le 24 Févier 2010

1

2

Figure 4. 22 - Superposition d’un phénomène transitoire aux variations périodiques lors du

réchauffement de février 2010

On observe en effet que si durant l’épisode 1 (autour du 22 février) les enregistrements

à 15 cm et à 18 cm sont très proches, lors de l’épisode 2 (autour du 23 février) les positions

des courbes sont complètement inversées. En effet, la superposition d’un phénomène

transitoire lent aux variations périodiques, modifie l’intensité et la phase de ces variations,

puisque la variation transitoire lente s’amortit moins en profondeur.

En utilisant la totalité des 6 capteurs, aux profondeurs successives de 12, 15, 18, 24, 32

et 34 cm, on peut tenter une première évaluation (sur un épisode qui illustre une phase de

précipitation et une autre de non précipitation entre le 20 décembre 2009 et le 10 janvier

2010) de l’évolution en profondeur de la vitesse de Darcy. La figure 4.23 montre les résultats

obtenus avec quatre configurations différentes.

Il est à noter que la vitesse de Darcy calculée est représentative de toute la tranche du

sol limitée par la position des capteurs extrêmes : en utilisant par exemple les enregistrements

à 12, 15 et 18 cm la valeur de u obtenue est représentative de toute l’épaisseur comprise entre

12 et 18 cm.

125

Figure 4. 23 - Pluie (en bleu) - vitesse de Darcy calculée via différentes configurations de

capteurs

A part quelques exceptions où le calcul abouti à une surestimation, l’évolution de la

vitesse de Darcy se montre cohérente avec d’une part les précipitations enregistrées durant la

période allant du 20 décembre au 31 décembre 2009, et durant la période de non précipitation

allant du 1er au 9 janvier 2010, et d’autre part avec une vraisemblable réduction avec la

profondeur de l’intensité de u.

Ces résultats montrent qu’il est possible grâce à notre travail, d’obtenir des profils

verticaux de teneur en eau.

Bien que le but de cette thèse soit de travailler sur des échelles de temps de l’ordre de la

journée, nous allons établir des bilans hydrologiques mensuels dont les résultats seront

comparés avec ceux obtenus par le calcul en DF des vitesses de Darcy moyenne pour chaque

mois. Cela nous permettra d’avoir une idée générale sur les périodes et les taux d’infiltration.

IV.E) Bilan hydrologique

Le bassin versant de l’Orgeval est soumis à un climat de type océanique tempéré. La

station météorologique située à Boissy-le-Châtel nous a permis d’avoir une série complète de

mesures de précipitations (P) avec un pas de temps horaire et journalier, et (malgré quelques

manques) des données d’évapotranspiration potentielle (ETP) au pas journalier fournies par

Météo-France.

126

Selon le guide pratique Irrigation (Cemagref 2003) et pour un type de sol tel que le

notre (limono-argileux), la réserve utile (RU) se situe entre 1,7 et 2 mm cm-1, soit entre 102 et

120 mm pour les 60 premier centimètres. D’après la même source (guide pratique Irrigation)

et pour la profondeur du sol de 0 à 60 cm, la réserve facilement utilisable (RFU), est déduite

de la RU, et correspond à 2/3 RU, soit une RFU dans notre cas entre 61,2 et 72 mm. Par la

suite de notre étude nous allons considérer deux RFU qui correspondent aux situations les

plus extrêmes possibles soit une RFU à 50 mm et une autre à 80 mm.

En effet et pour une RFU utilisée (50 ou 80 mm) nous avons procédé aux calculs du

bilan hydrique soit à partir d’une ETP fournie par Météo-France et donc calculée via la

formule Penman-Monteith, soit à partir d’une ETP calculée via la formule de Thornthwaite.

On aura alors quatre situations possibles. Lorsque la mesure de la température de l’air n’existe

pas, on a utilisé une valeur de la température de surface du sol extrapolée à partir de nos

mesures de température pour déterminer l’ETP en utilisant la formule de Thornthwaite

(équation III.1).

Ci-après (tableau 4.4 et tableau 4.5) nous allons vous présentez les tableaux

récapitulatifs des calculs détaillés des deux cas ou nous avons une RFU à 50 mm, une

synthèse de tous les résultats (RFU à 50 mm et RFU à 80 mm) est donnée a la fin de cette

partie.

Un récapitulatif du bilan selon la méthode de Thornthwaite, est donné en utilisant les

équations III.4 à III.6 comme suit :

Mois M A M J J A S O N D J F

P 25,0 39,4 70,8 75,8 49,6 20,2 25,0 68,6 80,8 53,0 31,2 59,0

ETPThornth 26,1 60,6 96,0 118,0 130,4 130,3 83,2 51,3 30,5 13,4 4,8 9,1

RFU50mm 48,8 27,6 2,3 0 0 0 0 17,2 50,0 50,0 50,0 50,0

ETR 26,1 60,6 96,0 78,1 49,6 20,2 25,0 51,3 30,5 13,4 4,8 9,1

Excédent / / / / / / / / 17,4 39,5 26,3 49,8

P-ETR -1,1 -21,2 -25,2 -2,3 0 0 0 17,2 50,2 39,5 26,3 49,8

Tableau 4. 4 - Bilan hydrique à la station de Boissy-le-Châtel, ETP (calculée selon Thornthwaite) à partir de la température de surface du sol

La reconstitution de la réserve hydrique commence (comme c’est habituel dans ce

contexte climatique) à partir du mois d’octobre, elle atteint son maximum en novembre et

devient nulle au mois de juin.

127

Avec les valeurs fournit par Météo-France nous obtenons le tableau 4.5.


P 25,0 39,4 70,8 75,8 49,6 20,2 25,0 68,6 80,8 53,0 31,2 59,0

ETPPenMon 42,6 73,1 80,3 94,2 138,6 172,3 83,8 31,4 16 6,7 3 14,2

RFU50mm 32,4 0 0 0 0 0 0 37,2 50 50 50 50

ETR 42,6 71,8 70,8 75,8 49,6 20,2 25 31,4 16 6,7 3,0 14,2

Excédent / / / / / / / / 51,9 46,2 28,1 44,8

P-ETR -17,6 -32,4 0 0 0 0 0 37,2 64,8 46,2 28,2 44,8

Tableau 4. 5 - Bilan hydrique à la station de Boissy-le-Châtel, ETP (calculée selon Penman-Monteith) fournie par Météo-France

Si on s’intéresse à la quantité d’eau infiltrée pendant la période de recharge allant du

mois d’octobre jusqu’au mois de février, on obtient pour le premier cas une somme des pluies

efficaces de l’ordre de 183 mm (somme des termes en bleu de P-ETR dans le tableau 4. 4). En

divisant cette somme des pluies efficaces par la somme des pluies tombées durant toute

l’année (somme des termes de la pluie P, soit 598,4 mm), on obtient un taux de recharge de

l’ordre de 31%. Pour le second cas, la somme des pluies efficaces est de l’ordre de 221 mm, le

taux de recharge serait alors de l’ordre de 37%, les 2 valeurs étant cohérentes.

Quel résultat obtient-on en partant de la détermination de la vitesse de Darcy à partir des

enregistrements de température des capteurs situés à 12, 15 et 18 cm ?

Avec deux restrictions, (1) la valeur du mois d’avril 2009 (-7,5 mm) ne correspond qu’à

la moitié du mois d’avril 2009 suite à une interruption d’enregistrement de tous les capteurs et

(2) les valeurs obtenues pour les mois de mai et juin 2009 l’ont été à partir des

enregistrements des capteurs situés à 15, 18 et 24 cm (suite à une panne du capteur situé à

12 cm), nous obtenons le tableau 4.6.


P (mm) 25,0 39,4 70,8 75,8 49,6 20,2 25,0 68,6 80,8 53,0 31,2 59,0

u (mm/Mois) -16,9 -7,5 -6,4 -15,6 -13,4 -16,3 -11,8 12 48,4 45,4 15,5 39,8

Tableau 4. 6 - Vitesse de Darcy moyenne en mm j-1 pour chaque mois à partir des enregistrements des capteurs situés à 12, 15 et 18 cm (sauf pour les mois de mai et juin : 15,

18 et 24 cm) et 24 cm

La période de recharge est bien la même que celle obtenue pour les bilans établis à

partir des données d’ETP. Les faibles valeurs de recharge du mois de janvier peuvent être

128

expliquées en partie par la faible pluviométrie et par l’épisode de gel qui a duré 10 jours

(Fig 4.24).

05-Ja

n-10

07-Ja

n-10

09-Ja

n-10

11-Ja

n-10

13-Ja

n-10

15-Ja

n-10

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Tem

péra

ture

(°C

)Température à 12 cm

Figure 4. 24 - Episode de gel du sol entre le 5 et le 15 janvier 2010, température enregistrée à

12 cm de profondeur

L’eau infiltrée, au delà des 18 cm de profondeur, durant les mois d’octobre 2009 à

février 2010 est finalement de 161,1 mm (somme des termes en bleu de u dans le tableau 4.

6). Cela correspond à un taux d’infiltration, par rapport à la pluie de l’année, de 27%. Ce taux

d’infiltration est inférieur à celui obtenu avec l’ETP, mais reste tout à fait vraisemblable pour

une année à faible pluviométrie (section III.D).

Si on raisonne en termes d’excédent (qui correspond à la recharge+ruissellement, avec

un ruissèlement nul dans notre cas) qui correspond à la recharge, on a pour les quatre

situations possibles les résultats présentées dans le tableau 4.7

RFU50 mm RFU80 mm Ecart-typeσ Moyenne X X- X+σ σ

Excédent ETPThornth 133,2 103,2

Excédent ETPPenMon 171,2 141,2 27,9 137,2 [ ]109,3 165,1

u 161,1

Tableau 4. 7 - Synthèse de tous les résultats des calculs à la station de Boissy-le-Châtel, selon l’ETP (calculée selon Thornthwaite et selon Penman-Monteith) et la RFU (50 ou 80 mm)

utilisée

On conclut que notre vitesse de Darcy calculé (161,1 mm) se situe bien dans un

intervalle de confiance X- X+σ σ , soit entre 109,3 et 165,1 mm.

129

Conclusions et perspectives

Les mesures thermiques adaptées dans ce travail pour déterminer la teneur en eau et

l’infiltration ont été retenues car elles sont fiables, légères (peu couteuses) et d’une grande

fidélité. Utilisées depuis longtemps pour mesurer la teneur en eau et les déplacements de

l’eau, elles offrent encore de larges perspectives de développement avec notamment les

possibilités ouvertes par les mesures sensibles au 1 mK, qui ont motivées ce travail pour

lequel la situation de départ pouvait être décrite de la façon suivante : on savait mesurer par

des mesures actives les propriétés thermiques des sols et en déduire la teneur en eau, d’autres

expérimentations, toujours avec des mesures actives permettaient de mesurer des

écoulements.

Pour les durées longues, la mesure des variations naturelles (avec des capteurs de

température de résolution 0,1 K) sur un profil vertical dans la zone non saturée, a pu être

utilisée pour déterminer la vitesse de Darcy (Tabbagh et al. 2009 ; Cheviron et al. 2005).

La construction de capteurs de température de grande sensibilité et la diminution du pas

de mesure nous a permis d’envisager, pour de courtes périodes journalières ou décadaires,

l’utilisation des variations naturelles pour déterminer la teneur en eau et la vitesse de Darcy.

Dans une première étape, les capteurs construits à l’UMR Sisyphe ont été soumis à des tests

métrologiques, qui ont permis d’une part de s’assurer que la sensibilité globale du capteur

était meilleure que 1 mK et d’autre part de réaliser l’étalonnage croisé de tous les capteurs

afin de corriger l’erreur de justesse. Associer à cette résolution un pas d’enregistrement de

10 minutes, a permis de disposer d’un outil de mesure adapté à la mise en évidence des

transferts convectifs en zone non saturée.

Plusieurs approches analytiques comme numériques ont été évaluées : rapport

d’amplitude des variations sinusoïdales, résolution directe en DF et en EF. Si les approches

numériques se sont révélées capables de déterminer la diffusivité et ses variations dont on

peut déduire la variation de la teneur en eau, la détermination de la vitesse de Darcy a

nécessité une étape préalable où la structure du terrain et la variation spatiale de la diffusivité

sont déterminées avec suffisamment de précision.

De l’expérience réalisée sur le site de Boissy-le-Châtel on peut conclure que la mesure

de la variation relative de la teneur en eau, déterminée par exploitation des variations relatives

de la diffusivité, est satisfaisante et peut être comparée aux autres méthodes utilisées en

130

routine. La mesure de la vitesse de Darcy est plus difficile, et mérite que la recherche continue

pour alléger le processus de calcul.

Cette perspective qui suppose un gros investissement en modélisation n’épuise

cependant pas toutes les voies possibles de recherche. Il nous faut souligner le fait que le

champ des méthodes actives non étudiées dans ce travail reste largement à explorer et que la

combinaison méthodes actives/méthodes passives pour les mesures de température, comme la

combinaison méthodes thermiques/méthodes électriques sont des voies de recherche

majeures, pour arriver à une description quantitative suffisamment précise des transferts d’eau

(et d’éléments dissous ou entrainés par l’eau) dans le sol et la zone non saturée.

131

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