This article was downloaded by: [University of California Santa Cruz]On: 12 November 2014, At: 12:54Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: MortimerHouse, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

Communications in AlgebraPublication details, including instructions for authors and subscriptioninformation:http://www.tandfonline.com/loi/lagb20

Sur la complexité du calcul des projections d'unecourbe projectiveIsabel Bermejo a & Monique Lejeune-Jalabert ba Fac. Matemáticas , Univ. La Laguna , La Laguna, Tenerife, 38271, Spain E-mail:b Institut Fourier , Univ. 1 Grenoble, CNRS , UMR 55S2, BP 74, Saint Martin d’JIères, 38102, France E-mail:Published online: 27 Jun 2007.

To cite this article: Isabel Bermejo & Monique Lejeune-Jalabert (1999) Sur la complexité du calcul des projectionsd'une courbe projective, Communications in Algebra, 27:7, 3211-3220, DOI: 10.1080/00927879908826623

To link to this article: http://dx.doi.org/10.1080/00927879908826623

PLEASE SCROLL DOWN FOR ARTICLE

Taylor & Francis makes every effort to ensure the accuracy of all the information (the “Content”)contained in the publications on our platform. However, Taylor & Francis, our agents, and our licensorsmake no representations or warranties whatsoever as to the accuracy, completeness, or suitabilityfor any purpose of the Content. Any opinions and views expressed in this publication are the opinionsand views of the authors, and are not the views of or endorsed by Taylor & Francis. The accuracy ofthe Content should not be relied upon and should be independently verified with primary sourcesof information. Taylor and Francis shall not be liable for any losses, actions, claims, proceedings,demands, costs, expenses, damages, and other liabilities whatsoever or howsoever caused arisingdirectly or indirectly in connection with, in relation to or arising out of the use of the Content.

This article may be used for research, teaching, and private study purposes. Any substantial orsystematic reproduction, redistribution, reselling, loan, sub-licensing, systematic supply, or distributionin any form to anyone is expressly forbidden. Terms & Conditions of access and use can be found athttp://www.tandfonline.com/page/terms-and-conditions

COMMUNICATIONS IN ALGEBRA, 27(7), 321 1-3220 (1999)

sun LA COMPLEX IT^ DU CALCUL DES PRO.TECTIONS DWNE COURBE P R O J E C T I V E

Isabel Berrnejo Far. Mnte~nrilirns, Univ. La Luguna, 38271-La Laguna, Tenerifc (Spain)

e-~nail: ibermejoQull.cs

Moniclw L+unoJalnbert Ir~stitul 120urier. Univ. 1 Grenohle, CNlZS, UMR 5582, BP 74,

38102-Saht Mnrtir~ d'Mbres (France) e-1nai1: leje~~~ie~~fouricr.~~jf-g~~c~ioble.Ir

AusTR,\Cr. Our mail1 rewlt is that t,hc co~nplexity of co~nput,ing linear projections of an tqi~idi~nensir~~~nl, IJIIL 11011 nwtxsiirily red~~c.cxl, C I I ~ V P : C in PK, (or equivalc~~tly the degree- coniplcxity of the Grohner tmis colr~putntior~ for elirninatio~~ orders) h r ~ its n~axi~nal value, m~ncly Fhycl.'s ~ O I I I I ~ IIIIJ, i f nntl only ift~l~csnlallest linear subspace co~~ttiining C is n plane. If this is so, 1110 coincides with the dr:gree of C nnd with the tlegreccomplexit,). of the reverse Icxicograpl~ic orderi~~g.

Soit I< un corps aIg6briqi1c~n1et~~ clos et soit I un icI6cd hornogbnc? tie I 'annew do polyn6rnes h n+1 varinbles KIXo,..,X,,] d6fil1issallt U I I SOIIS-schdn1~ V de pk. O n sail que le calcul de la projection de V sur P;<'=Proj I<[X,,.,t~,..,X,], l<r<n , se rarnbno Ir crlui d'ime base de Grobner mit~irnnle de I IIOII? ntt o ~ t b e ~nultipliuitif (11-r)-sitparant quolconque sur les n~ononies en Xo,. . .,X, (voir rlCfillitior~s d - d e ~ ~ l ~ s ) . L'exp5dence rnontre que l i ~ corrlj~lexit8 du calcul d'une telle base, tneslwCe par I(: dey.6 n~axirnal tlrs polynijnles qui y fib%rent, d8pend fortentent de l'ordre (n-r)-s6pnrant choisi et qu'alle &passe en gQn6ral strictctttent celle du calcul d'une base de Grijbner ntirtilnale tie I pour l'ordre lexicogrcrphique inverse. Biiyer et Stillrnan ont fait apparailrc le role jou6 par urt invariant cohon~ologique, la rdgularit6, dans ms in6gnlit6.s

([31, [A]). Tontefois, si I ost, saturi. (i.e, si c'est. le plus grand icldal d6finissunt V), In complexit6 des

diti6rcnts calculs pr6cAdents pellt attcindre l'rrdic!r rno, ddpetldant uniclrtorner~l, du polynon~e de Hilbert de I, borne u11ivcrsc4e de la axnplexit6 du calcul de n'in~porlr: quella base de Grijbner dc I, obtenue auparavant par 13ayer dnns [I].

Duns ce travail, nous nous int6ressons principalsrnent au c w oil la tlirnension de V est un et oh 11id6al I est 6quidinic:nsionr1cl (i.e, tolls 11s id i ta~~u prencers nssociits b 1 sont de t n h e hauteur), rnais non nitcessairernertt radical. L'enlier to est alors supdriertr ou Bgal au degrit de V. Now motltrons (th.2) que si V no rencontre pas le sous-espace X,.l=Xn =O -nous disons que les variables Xo,. . .,X. sont (:onmodes pour V- la borne mo est atteinte pour un ordre multiplicatif quelconque vkrifian~ Xi >Xn.l et Xi >Xn , O<i<n-2, si et seulernent si V est un

Copyright 0 1999 by Marcel Dekker, Inc.

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

alif

orni

a Sa

nta

Cru

z] a

t 12:

54 1

2 N

ovem

ber

2014

3212 BERMEJO AND LEJEUNE-JALABERT

sous-schema tl'urr plan de Pk. Ces in6galitCts &ant satisfaites par l'ordre lexicographique, par les ordres d'dlimir~ation ct pw l'ordrc lexirographique inverse (voir ci-dessous), la ramplexitd de ces diffhents ordres est alors la m h e . I1 se t,rouve qu'elle coi'ncidc avcc la depd de V et la regularit6 de I.

Par ailleurs, nn exemple (ex. 3) d'une courbe int,hgre, arithm8tiquement intersection corn- plbte dans pK rnontre que In complexit6 du cnlcul de la projection d'une courbe qui n'est pas contenue dans un plan peut ddpasser strictement son degri., mBme si l'ordre utilis6 est un ordre d1Blimination, Il suffit, par contre, qu'une courbe int6gre de pK soit ddfinie par des &pations binomiales pour ernpkher CY d6passement (t.h. 3).

Nos demonstrations sont basdes sur une dhonstration conrbinatoire Clernentaire des inbgali- t6s de Bayer [l] et h4Gller-Mora [s], specifique B la dimension un. C'est l'objet du kl. Les BnoncCs prdc6dents sont dhontr6s aux k2 et 3.

Nous rappelons maintenant quelques ddfinitions et nous fixorrs les notations cpi seront utilisdes dans toute la suite.

Pour tout polyniirne f # 0, f=Cc ,xU E KB] :=KIXo,. . .,X,,] on note e x p j le plus grxnd a pour l'ordrc > tel clue ca # 0 et on pose in f = c,, f ~ e x ~ ' f . Pour tout idkd l~omogkne I#(O) de KM], l'ensemble

est stable par l'addition de Nu+'. On dil que c'est un E-ensemble. Tout Eensemble posskde une unique froritihre (i.e, une famille gbndratrice) de cardinal mirrinial qtl'on appelle son escnlier. On designe l'escalier de expI par escI. On note D(E) (resp. D(1)) le degr6 maximal des Blernents de l'escalier d'un E-ensemble GC W+' (resp, escI).

L'ensemble {Xa; a E escI) est un systhme de g6n6rateurs minimal de l'iddal monomial in1 engendre par {in f ; f E I\ (0)). Une base de Grobner de I pour l'ordre > est un ensemble fini de polyn6mes homoghes {gl,. . .,gt) de I tel que {ing,,. . .,ing,) engendre in I. Si 91,. . .,gt est une base de Griibner minimale de I, on a donc D(I)= max deg (gi ).

1<,<t

Quelque soit l'ordre considerk, In valeur en sE W h;e'ia fonction de Hilbert HI d'un ideal homoghne I est Ilr(s)= # { a E N"'.' \ expI; la1 = a0 + . . . +a, = s ) . La rdgularitd H(1) de la fonction de Hilbert ITI de I, est le plus petit entier B partir duquel la vnleur de la fonction de Hilbert cni'ncide avec celle du polynome de Hilbert PI. On d6signe le degd d'un sous-schdma V de IPz par degV et son genre arithm6tique par p,. Si la dimer~sior~ tie V est d-1,on dit que les variables Xo,. . .,Xu sont cotnm,odes pour V si V ne rencontre pas le sous-espace de P;f( dCfini par X,-d+'= . . .=X,=O.

Un ordre mi~ltiplicatif > sur l'ensemble des ~nonomes tie I<[Xo,. . .,X,,] ider~tifid avec W+ ' est (n-r)-siparunt ( l l r s n ) s'il vdrifie la condition suivante:

L'ordre lexicographique ( a > P si la premibre coordonnk nor1 nulle de a - P est positive) est (n-r)-sbparant pour tout r, 15rSn. Par cnntre, pour tout r, I l r l n , l'ordre lexicographique inverse ( a = (ao, . . . , a,) > 0 = (Po, . . . , A) si la1 = a o + . . . + a, > IPI = Po + . . . + P,, ou si la1 = /Pi et la derni6re coordonn6e non nulle de a - P est rihgative) n'est pas (n-r)-s6parant.

Pour tout r , 1 5 r I n , le (11-r)-ordre d'8litnination (a = ( ao , . . . , a,,) > P = (h,. . . ,P,) si a 0 + . . . + a,.,. > Po + . . . + &,., ou si a" + . . . + a,., = Pu + . . . + On.,. et a > 0 pour l'ordre lexicogrnphique inverse) est aussi (n-r)-s6pnrant.

Si l'ordre est (n-r)-sbparant, les polynomas d'nne base de Grobner cle I qui ne dCpendent que des variables X,.,.+l,..,X, foment une base cle Grobr~er de InI<[X,.,+I,..,X,] pour l'ordre induit, en particulier un systhrne de g6ndratcurs.

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

alif

orni

a Sa

nta

Cru

z] a

t 12:

54 1

2 N

ovem

ber

2014

LES PROJECTIONS D'UNE COURBE PROJECTIVE 3213

1. LES W ~ G A L I T ~ ~ S

T116orbme 1. Soit I#(O) un ide'd homoghne (lasp, satur6) de l<[Xo,. . . , X,] d8fini,mnt une courbe ( non ne'cessairernent rdduite ) C de P;<. Si lcq variables Xo, . . . ,X, sont con~modes pour C, pour tout ordre rnciltiplicatif virifittnt Xi>X,,., et Xi>Xl, , OSiSn-2, on a D(I)< rnax {H(I), mo) (,ssp. D(l)<ino), ob ]no= dcsC(p f 1-pa.

La dernonslrution du thi?or&me comporle plilsieurs btapes prblirninaires. Tout d'nbord, on dbcornpose NL'+l\exp I en la rbunion disjointe d'un "cylindre" ayant pour base le cornplbmentai- re d'un Lensernble dnns W1 x (0,O) et pour direct,rice (0,. . .,O) xN2, et d'une partie "rbsicluelle" R, et on exprilne le p o l y n h e de Hilbeft de I comme une perturbation du polynome de Hilbert de l'id6al morlonlial I tel que Nn+'\expl se reduise B la partie cylindrique de Nn+'\exp I (lenune

1). On rnajore-ensuite ~ ( i ) , In regulxriti: de 1n fonction de_Hilbert d e i et le genre arith_rnetique

de la courbe C de PP;, de rn6rne degre qne C, deflnie par I en fonction du degd de C (lernrne 2).

Puis on examine les perturbations apportbes nu genre arithmbtique et ir In ~+y la r i t& de la fonction de Hilbert de I par la presence de R (lemme 3).

Enfin, on exploite m e rernarque Blhentaire sur les escaliers de @, pour dMuire du lemrne 3 une majoration du degrC de certains 61Bments significatifs de expI (lemme 4).

Soit p: W"+' -+ Nn-I la projection p (ao l . . . ,a,) = (ao , . . . , an-2). Rernarquons d'abord que p(exp1 n [Wn-I x (0, 0)]) et p(expI) sont des Eensembles de Nn-I emboitb.

Pour tout j, O<j<n-2, il existe un entier positif rj tel que xiJ E in I. En effet, puisque les variables Xu,. . .,Xu sont commodes pour C , pour tout j, O5j<n-2, il existe un p o l y n h e hornog&ne nun constant B coefficients dans I<[X,.l, Xu] , x ~ + A ~ , x ~ ' I + . . .+Ajg,, qui est dans I. On v6rifie par recurrence sur y = a + 0 qu'on a X;> XE-lXf pour tout j#n-1,n en utilisant le fait que l'ordre est rnultiplicatif et que Xj> Xu.l, X,.

I1 en resulte que Nu-'\p(exp l) et F:= p(exp1) \p(exp I n IN"' x (0,0)]) sont des sous- ensembles finis de W1 et on a la partition NU+'\cxpI= {[Nn- \p(expI)] x W2) U R oh R = U {a x [N2\En]) avec E,={(a,,-I, a,) E MI2; (a, a,,-I, a,) €expI). OE F

Par dbfinition de F, si u EF on a En # 0 et En # N2 et c'est un Eensemble de N2. Nous tlesignerons par H(E,) ou r8.q.ularit.4 tle En (resp. II(R) ou r.4gulnrite' de R) le plus petit entior s B partir duquel # {(a,-I, a,) E N2\E,; a,,.-1 + a, = s) (resp. #{P E R ; (PI=s)) est constant et par degE, ou degr.4 de En (resp. degR ou degr.4 de R ) la valeur de cette constante.

On en d6tLuit irnrn6diaternent I'inbgnlitb

ainsi que le

Lemme 1. Soit i l'idhl de K[Xo,. . . , X,] ergendr6 par Xn, a €p(espI). Or1 a Pr(T)-Pi(?')= degR=CncF deg E,.

Lemme 2. Soit E la courbe de Pk (de mdrnc degd que C ) ddfinie par 17id6al i ci-dessus. On a %(T) = C (Tt1-1 a I ) et les inegdit6s:

n~N'~*\p(uxp I)

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

alif

orni

a Sa

nta

Cru

z] a

t 12:

54 1

2 N

ovem

ber

2014

3214 BERMEJO AND LEJEUNE-JALABERT

De'monstmlion. Pour s>>O, le nornbre de points du rkseau Zn+I de degrd s dans le cylin- dre i W 1 \ e x p i est C (s+l-1 a I). D'oh le calcul de PT. En particulier, deg C=

a€F("-'\p(expl)

#[N"l\p(exp~)] et pour tout a E ~ ~ - ' \ ~ ( e x ~ l ) , on u ) a )Sdeg z-1. D'oh ( i ) et (ii). On ddduit aussi de I'expression de Pi(T) que

Si ao<ul<. . .<ader E~ sont les Aldments de ~ ~ + ~ \ e x ~ i rungds par ordre croissant pour un ordre nlultiplicatif graduk - (par - exemple l'ordre lexicographique inverse), on a I ai ISi. D ? ~ ~ c I I deg L'(deg L'-1)

2 . D'oh (iii) et In caractdrisatior~ du cas d1dgalit6. H a~~n+l \ exp i

L e ~ n r r ~ e 3. On n Ies jndgalitis 05 p7;-p, <mo-tittg C. De plus, ou bien H(I) et H(R)<deg C-2, ou bien H(I)-H('R)>deg C-2.

De'tnondration. L'encadrc!ment de pa-p, est une refornlulntion de la majoration de obtenue au lemme 2 et de l'inkgalitb tlegR 20. La deuxieme assertion est une condquence immddiate de l'in6galit6 (ii) du lernme 2. H

Leinlne 4, Soit a = (ao,. . . , a n ) E expI tel que (an..l,a,,) EcscE,(,). Si (an-l ,an) # (0,O) ou si a E e s c I n w l x (0,O)j et p(a) 6 esc p(expI), $om R # 0 et on a:

(i) la) Srnau{deg C-1, H(I)+1) , si H(R) =Inas {I a I +H(E,)}. O E F

La d81nonstrat,ion de c.e lenunc utilise In rernarclne suivaute:

Remarque. Soit E un Gensernble de N2 non vide et distinct de N2. Si H(E) a t sa rbgularitd, degE son degri: et D(E) le degrd maxilnal des Clfments de I'escalier de El alors

(i) #{a E N2\E ; ( a (= H(E)-1) est strictement plus petit que degE si et seulement si l'esm- lier de E rl'a qn'un seul dldment. Dans ce cas, D(E)=degE et H(E)=D(E)-1.

(ii) Si l'escalier de E se compose de plus d ' m ClCment, alors D(E)SH(E).

Dimonstmtion du lemine 4 . Supposons d'abord que (a,,.. 1,an)#(O,O). Alors p(a)E F, an-1 + a,, 5 H(En)+l et In/< mnx {I a 1 +H(1;;,)+1), d'uprbs lo rcmarque ci-dessus.

o€ F Puisquc II(R)< rnitu(t1egC-2, N(1)) d'aprbs le lemme 3, si on se trouve dn~is le cas (i) on

a fini. Dans le cls (ii), d'aprPs la rcnlnrqur prbciclentc, il existe a" E F tel que

1 ao I +FI(Euo) = rnax ( 1 cr 1 +H(E,)}, nEF

l'esculier de En, se compose d'un scul i:ldnient et degE;,,=H(En,)+l. Donc,

I fl 1 5 / 00 1 +H(E,,) + 1 = 1 a 0 1 +degEno.

La rdunion de ( a E F; degE,=O) et de p(exp1 n [NU-' x (0, O)]) est un Eensernble G contenu dans p(exp1) ct a,) E (p (cxp I) \G):= Fo. On a

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

alif

orni

a Sa

nta

Cru

z] a

t 12:

54 1

2 N

ovem

ber

2014

LES PROJECTIONS D'UNE COURBE PROJECTIVE

deg R - deg E, = deg En > deg En, + #Fo - 1. neF oc Fo

D'oh conlpte tenu du lemnle 3, 1 no I +deg E,, <nu - [deg C + #Fo- I a0 I - 11 . Or deg C + #Fo = # [N"-'\GI. Enfin p~~ i sque a0 E NU-'\G, on a I no 15 # [W1\G] - 1. IYoh I'inBgalite annoncie dans I P cas (ii).

Supposons maintenant qlle a c csc In[N1'.' x (0,O)j et que p(a) ne soit pa5 un 616rnent de l'escalier de p(exp1). Il existc a '€ Nn-' x(0,O) Lel que al$expI, a € a' + NU' ', Ia'l=lal -1 et p(a ')€ p(exp1). Donc p(o')E F. Si on se trouve dans le cas (i), on a fini puisque

lnax I n I < H(R) < rnax {rlegC-2, H(1)) aEF

Si on se trouve daris le cas ( i i ) , rnax I o 1 < I a n 1 +H(E,,) = I LYO I +degE,,, - l.oh a 0 est O E F

comrne ci-clessus. On conclut en r6utilismt la majoration dBjh obtenue.

DCmon.stmti_on du thr'oi.i.me 1 (cas gintml). Tout element de I'escalier de I qui n'est pas dans l'escalier dc I satisfait los hypothhses du lern~ne 4. Puisque OsdegR <mo-degC (lernme 3), il rhulte de l'inbgalitb (i) du lemme 2 et du len~rne 4 que D(I)<rnax{m~,H(I)+l).

Supposons rnaintennnt que D(I)>rnax{mo, H(1)). Il existe alors un element dans escI, a=(a, an-l, a,), tel quc ~a~=D(I)=H(I)+l>mo. Donc, d ' a p r l l'inBgalit6 (i) du lemme 2, a satisfait les hypotl~hses tlu lemme 4 et lI(R)= rnax {I a 1 +II(E,)). DR plus cornpte tenu du

aEF lemrne 3, on a H(I)=H(R).

Supposons que a$ Nu~'x(O,O), dors a :=p(a) E F et ( ~ , . ~ , a , ) est un element de l'escalier de E,. On a

d'oh LY,.~+Q,=D(E,)=H(E,)+~. On deduit alors dc la remarque prBc6dentc quo deg E,=LY,.~+ a, d'oh degR 2 a,.l + a,.

On verific que a n'est pas un Clement cle I'escalier de p(exp1). En effet, s'il en Btait autrernent, d'aprhs (i) du lemnie 2, on aurnit I a IsdegC et

mo + 1 < II(1) + 1 = I a ( + ail < degC + degR 5 nu.

I1 existe donc a(') € F tel que a E a(') + Nn-' at ( a(') I = ) a 1 -1. Mais le Eensenlble EOc,, est mntenu dnns E,, d'od deg Earl) 2 deg En= cr,.l + a, ct degR 2 2 ( ~ , . ~ + cr,).

L'BIBrnent u(l) n'est pas non plus un b lhen t de 1'escalic.r de p(exp I). S'il en itait autrement, on surait encore 1 a( ' ) 15 degC et

On construirait airlsi une suite infinie a , d l ) , d 2 ) , . . . d'B16rnents de F. Mais c'est impossible car F est un ensen~ble fini.

Supposons maintenant clue a E Nu-' x(0,O). Puisque a:= p(a) n'est pas un BlBrnent de I'eswlier de p(expI), il existe a(') E F tel que I u(') ) = I a I -1 et a E a(') + Nu-'. On a H(I)< ( a(') 1 +II(Eacl))S lI(R)=lI(I) d'ob H(E,(i))=O. Il en r6sulte que I'escalier de En,,) n'a qu'un seul 616rnent, a::)), et quc degEncl,= a!! + (xi1) = 1.

Soit a(l)=(a(l) , a:!, ah1)). Puisque a(') P N ~ - - ~ X(O,O) et 1 a(' ) I= H(I)+I, le mcme roisonnement que ci-dessus rnontre q w il existe une suite infinie a('), d 2 ) , . . . d'BlBrnents de F. . Dtmonstmtion du tlrCorbir~e 1 (cos satrrri). Si I est un id6al sature, puisque D(I)< max{H(I), m,), le resultat est une coushluenw inim6diste de la proposition suivante:

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

alif

orni

a Sa

nta

Cru

z] a

t 12:

54 1

2 N

ovem

ber

2014

3216 BERMETO AND LUEUNE-JALABERT

Proposition 1. Si I C K ~ X ~ , . . .,X,,/ esf. 1111 iclhl satu1.6 de hauteur 11-1, alors H(I)<mo.

De'mo7~strnlion. Supposorls qua les variables Xo,. . .,Xu soient commodes ponr 1 et que Xu soit nor1 diviseur de z6ro dans I<[X", . . . ,X,] 11. Munissous l'ensenible des mononies de I<[,b, . . . ,Xu] de l'ordrc lexicographique inversr.

Si P=CI. ti'aprbs (ii) du lernme '1 rL Ic lernrne 3, on a I-I(1) <_ ciegC - 2 < rno. Si F# 0, puisque Xu est non diviseur dc d r o dans K[&, . . . ,X,] /I et l'ordre choisi est

l'ordre lexicographiq~~r inverse, Nn\expl est un cylindre ayant pour directrice (0,. . .,O)xN, d'oli pour tout a E F, I'escalier de E, n'a qu'un seul 616ment de la forrne ,0) et H(R) = max { I a I +H(E,))= max { I a I +degEa-1). Supposons que H(1) > 1110. Comrne mo ZdegC, a€ F a€ F il r6sulte du lemme 3 que Ii(I)=H(R)~rno. Soit a un Clbrnent de F tel que H(R)=I CK I + degE,- 1. On a l'in6galitk deg F;,+ ( a / 2 mo+l, d'oh 1 a 1 2 degC + 1+ 1 deg E,l 2 degC + 1

a r e F\(o)

d'aprbs le lemme 3. Par suite a n'est pas un dk1Bment de l'escalier de p(exp1) et il existe a(') dans F tel que a appnrtient a a(]) + NU-I et I a(') I = ( a ( -1. Comme degE,(~, 21, on en d6duit que I a(') 12 deg C + 1 + C deg Eat, d'oli a(]) n'est pas un 616ment de I'escalier

alc~\{n,u('l) de p(exp I) . On construit ainsi une suite infi nie a, a( ') , . . . d'616ments de F, ce qui n'est pas possible. On conclut donc que H(I)<mo. I

2. J X CAS LIhfITE

Les in6galit6s dl1 thkorbrne 1 sont optirnales conune le rnontrer~t les d e w exenlples snivants:

Exelnple 1 (cas non uatr~rQ). Soit I l'id6nl de I<[Xo,XI,X2,&] enge11tir6 par {Xi, Xo Xz, XoXi+X:, Xi). Cet idBal n'est pas saturC car pour tout CEK, X&X2 cst un diviseur de d r o dans K[11)/I. On vhrifie, en uiilisant le logiciel hlacaulay, que

B = {%, xo Xz, xox: + x;, x:, xpz, xox:}

est la base cle Grobner r6duite de I pour l'ordre lexicogmphique et pour le 0-ordre d'6limination, et que

est la base de Grobner r6duite de I pour l'ordre lexicographique inverse. On constate que pour ces ordres D(I)=H(I)=mo=S.

Exetnple 2 (cas saturb). Soit I l'idbal de K [ X ~ , X I , X ~ , X ~ ] engendr6 par {Xu-XI, Xo X2, &XI-XlX2). Cet ideal est saturb rnais il n'est pas 6quidimensionnel car X2 est diviseur de d r o dans K[X]/I. On v6rifie que

est la base de Grobner r6duite de I pour l'ordre lexicographique, le 0-ordre d'dliminstion et l'ordre lexicographique inverse. On constate que D(I)=nio=P.

Dans les deux exemples prBckdents, si on d6signe par C la courbe de pK ddkfinie par I, on a l'in6galitb D(I)>degC. Le thhrhrne suivant mont,re que si I est Bquidimensionnel et la borne mo est atteinte, alors D(I)=deg C.

Tl~Oor&nc 2. Soit 1 C I<[Xo,. . . , X,,] un jd6al Iwrrog&ie Bq~udj~nension~iel tf6fi11iwrnt une courbe (no11 nBceiwai~,erncwl ,dduite) C dc Pa. Si les rz~riables Xo, . . . ,X,, sont comnlodes pour C, pour tout orthe mrrltipljcntif vdrifiant et Xi>X,, , O<i<_r~-2, les assertjons

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

alif

orni

a Sa

nta

Cru

z] a

t 12:

54 1

2 N

ovem

ber

2014

LES PROJECTIONS D'UNE COURBE PROJECTIVE

(b) rno=deg C,

(c) C est contenlie dims un plan de !P% ,

(d) il esiste i, Osisn-2, tel que jnI- (Xo,. . . , , Y i . l , P C , ~ i c l , . . . Pour dhon t re r Ir thbrb~rie on a besoin de la rernarque et du lemme suivrmts:

Rclnarque. Sous les hypothbses du th6orkn1e 2, pour tout j=0,. . .,n-2, x'? E inI. En effet, puisque les variables Xo, . . . ,X,, sont cornmodes pour C, pour tout j 4 , . . ..n-2, i l existe url entjcr posilif rj ~ r l qur X: E i r ~ I. 1, ' i t l i . t i l 1 6tcrnL 6rluiriimcnsionnei i l r6sr1ltr alors tie [fi], &2, cor. 6 qut! pour tolit ,j=O,. . .,]I-?, lnKIXj,Xu.l,X,] est 1111 ideal principal. Lc degr6 de la courbe pro,jactiw ddfinie 11ar cet idea1 est BU p h s dr!g C .

L e l n ~ n e 5. Sous lcs hypoll~&sc!s tlu tllkor&ne 2, Ies 616111enls a==(ao,. . . , a n ) € e sp I corlsiddrb au leln~ne 4 vdriiient I'i116gtilit,c' sf.~.ictr 1 a. I< mo.

- DCmonstmtion. Rernurquons tout d'abord clue si deg R. = mo-degC, alors I'iciBal I:=(~a)oCp(expI) est engendrt5 par (Xo, . . . , X? ', . . . , Xu-2) pour un i, U<i<n-2. Ceci r6sulte en effet irnmkdiate- ment du lemme 2, puisque mo-(leg C= ~dwC-1)(d"C-21 2 - p, et degR= G-pa, oh et p, - dbignent respectivement le genre arithmbtique de la courbe C dbfinie par 7 et de C.

I1 suffit de cor~sidBrer le cas oh (an-] ,an)# (0,O) auquel on se ramkne conme dans la dkrnorlstration du lemme 4. I1 r6sulte de ce lemme et de la proposition 1 que la\ s m o . Supposons maintenant que la l=m.

Par hypothkse, ( ~ , - ~ , a , ) € escE,(,). D'oh, F dBsignant I'ensemble fini de Nu-' introduit au &I, P ( ~ ) E F et la1 =mo I Ip(a)l +D(E,(,))S (p(a)l +H(Ep(,))+l 5 zt; {la1 + H(E,))+l.

Si l1inbgalit6 (*) est striae, on a observ6 au cours de la dhonstration du lemrne 4 que le terme de droite dans les in6gnlit6s ci-dessus est major4 par mo. Sinon il vnut H(R)+l . Mais alors H(R)> mo-l>degC-1 et d'aprks le lemme 3, H(1) et H(R) sont Bgalu;. Or I'id6al I &ant Bquidimensionnel, H ( I ) < m tl'aprks la proposition 1.

Dans tous les ens, ces inBgalitCs sont donc toutes des bgalit6s. En particulier D(E,,(,))= H(Ep(,))+I, d 'o i~ l'escalier de Ep(,) n'a qu'un seul Wkment (an- ',a,,) et deg E,,(,) = a,.. I +an.

I1 en rCsulte que ( a ( = m I (p(a)(+degR. Par ailleurs, d 'aprh le lemlne 3, on a degR 5 m-deg C, d'oii (p(a)l 2deg C. Si l'inbgalith est strict,e, p(a) n'appartient pas B I'escnlier de p(exp1) d'aprks l'assertion ( i ) du lemme 2. Sinon, on a degR=m-degC et on a remarque que tout a dans I'escalier de p(exp1) vkrifie, ou bien Ia(=l, ou bien (a,O,O)E expI. Puisque p(a)€ F, ceci empkche encore p(a) d'appartenir B l'escalier de p(exp I). I1 existe donc a(') E F tel que a:=p(n) E a( ')+~"- ' et ( a(') (=( a I -1. Ici encore E,(rj C En et degE,(~] _>degE,=a,.l+au. D'oh mo 5 a(')+deg72 et on corlclut, que a(') n'appnrtient pas B I'escalier de p(exp1). On construit airisi m e s ~ ~ i t c infinie a , d l ) , . . . d'B16ments de F. W

DCmonst~ntion dz' the'orhe: 2. (n)*(b) D'aprBs lelernme 5, si D(I)=mo, l'escalier deicontient un MBment de deg4 mo. D'ob mo 5 D(1). Or D( I ) s degC d'nprbs le lenlnie 2 et degC d'aprks le lernme 3.

(b)+(c) L'assertion ir dkmontrer est indkpcridente dc: l'ordre choisj s~u. Irs monBmes. On - peut donc supposer qu'il s'ogit de I'ordre lexicogrnphique inverse. Puisque -ide'C-1)2('legC-21-

degC-rno, 1'BgaUtk (b) irnplique que degR=O et g= ld0gC-1)2(degC-21 d'aprks le lernme 3. L'orclre choisi &ant l'ordrc lcxicographique inverse, si F# 0 on a degR $0. En effet, puisque X, est non diviseur de zkro dans I<[&, . . . ,);,]/I, conime dans la preuve de la proposition 1,

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

alif

orni

a Sa

nta

Cru

z] a

t 12:

54 1

2 N

ovem

ber

2014

3218 BERMEJO AND LUEUNE-JALABERT

pour tout a dans F, I'escalier de E, se compose d'un seul BlBrnent de la forrne (u,.l,O) $(O,O), d'oh deg R >deg E, > 0. Or, a donc F=O d'oh in I=(Xo, . . . , X L ~ , x Y C , x i + l , . . . ,Xo-l)r d'aprBs (ii) du lemme 2. Le resultat en dkoule imm&diat,ement.

(c)+(d) Les vnri~bles Xo, . . . .Xu &ant colnrnodes pour C, in1 z t contenu clans l'iddnl (Xo, . . . ,Xu-2) el il oxiste i , O<i<n-2, tel que les vnrinblcs Xo,. . . , Xi,. . . . X,.z, Xi, Xu.,, Xu soient comrnor& pour 11: plan corkenant C. Si J cst I'idBal d8finissnnt ce plnrl, on a donc in J=(Xo,. . . , X i , . . . ,X,,..I)C in I. D'oil in I= (Xo, . . . ,Xj.. . . ,X,.r). Comule #N1 '~ l \ l~ (ex l~ I ) = deg C , on a r=c\egC.

(d)*(a) Ides polyniirr~es de Hilbert de I et in1 Btunt les n~Gmes, on a pa= ~'iqC-"("wC-21, 2

d'oG mo=dcgC. Puisque D(I)=D(inI)=clegC, on a (a). H

Remarque. L'bquivalence de (b) et (c) ne fait rBfBre11ce B aucun dmix de variables, ni d'ordre sur les rnonBmes. On peut In reforrnuler ainsi:

Proposition 2. Soit C une courbe ( ncm n6cessairement. r6duite ) de !P;( n'ayant pas de points irnmerg9. Les assertions suimntes sont Bq~iivalent~s:

(ii) C est contcnuc clans un plan de PYc

3. LE CAS DGS COURBES INTEGRES

Rernarquons tout d'abord que si I est un ideal premier de KIXo,. . . , Xu] definissant une courbe projective C on a H(I)<degC-'2, et si les variables Xo,..,X, sont commodes pour C et I'ordre choisi est l'ordre lexicographique inverse, on a D(I)<degC. En efI'et, c'est vrai si R=0 d'aprb le lernrne 2. Si R # 0 on a dBjB observB (proposition 1) que M(R)=max {I a ( +H(E,)}, d'oh

oEF D(I ) I rnax{degC, H(I)+l} d'aprks 1e lemme 4 el (i) du lemme 2. Or I Btant premier, si reg1 designe la rBgularitC de I , on a Il(I)+l<regI d'aprbs [L], 11.2.5, et regI<degC-1 d'aprbs [I], th. 1.1, et le t h k o r h r 2 ci-rlessus.

Si l'ordre choisi est l'ordre leximgraphique ou un ordre d'blimination, D(1) peut etre stricte- ment plus grand que degC cornrne le montre l'exernple suivant:

Exemple 3. Soit I l'idBal dc I<[XO,XI ,Xz,X3] engendre par

Cet ideal est premier d'aprbs l'algorithme de Giant~i-?\tiger-Zacharias, et la courbe qu'il dkfinit est arithmktiquernent intersection cornplitte. On vhrifie, en utilisarlt Macaulay, que si I'ordre choisi est l'ordre lexicographique, alors D(I)=13. Pour le 0-ordre dd'Blimination, on obtient D(I)=41.

Le th6orkme suivant montre que si I est un idCal premier homogkne de I<[Xo,Xl,X2,X3] en- gendrB par des binBrnes (i.e. Xu- CXo, oh C est dans K\{O)), pour ces ordres on a D(I)<degC.

ThOorkme 3. Soil IIIII idPd preniier hon~og8ne de K p o , X I ,X2,X3] engendre' par des binhnes dr(finissmt une courlx C de P& Si les mriabla XO,. . .,X3 sorlt commodes pour C, pour tout ordre 0-s6parant vhifiant X 1 > X z , X3 on tt L)(I)<deg C.

'Nous retnercion. U. Sturrnbls de I ~ U S awir I'aib remartper que cet hr~or~cO esb un rm prticulier du cor. 6.5 de w.

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

alif

orni

a Sa

nta

Cru

z] a

t 12:

54 1

2 N

ovem

ber

2014

LES PROJECTlONS D'UNE COURBE PROJECTIVE

LCI~IITIC G. Soit I url ideal premier 110111ogi.ne de K[Xo,XI,X2,&] d6finisw1t U I I ~ courbe C de Si les vminbles ,Yo,. . .,& so~lt corrlrrlodes pour C, pour tout ordre Us6pa~zmt v6rifiant X1>X2. X3, I'escalior de p(esp I) se cornpme de deus &ments, (e, 0) et (0, rl), o ~ i e est I'indice de 1.~1mifcatjon de la projection Fl de C sur P K - ~ r o j I<[XI,X2,X3] et rl est le degr6 de n(C). De p111s X';' E in I.

DCmonstratio~l. On dksignr par K[ro,s:l,zz,x3] I'ameau des coordonndes hornogt.r~es sur C et pe.r K(x0,z1,x2,z3) son corps des fractions.

L'idbal InK[XI,X2,X:,] csl cngenrlrk par le seul bldrnent de la base do Gr6bner r6d11ite de I qui appartient b K[X1,Xz,X3], qui esi de la forme Xi1 + A ~ X \ ' - ' + . . . +A,.,, oh AI , . ..,A,, E K[X2,X3]. D'oi~ Xi1 E in1 et (O,rl) erl un 616ment de l'escalier de p(exp1) et si I<(xz,x3) est identifie B I<(X2,X3), alors T"+A1Tr1"+ . . .+ A,, est le polyn6rnc niirlim~l de z.1 sur K(x2 ,~3) , d'oh [ I < ( : ~ : ~ , z ~ ) ( z . ~ ) : K ( z . ~ , i : ~ ) ] = rl .

Si f(l')=T"+f311"1 +. . .+Be E K(zl ,:g2,z3)(T] est le polynome minimal de ro sur I<(a1,z2,x3), alors il existe (:E I<[zz, z3] to1 que Cf(T) soit un polynome h coefficients dans K [ x ~ , x ~ , x ~ ] et C f ( ~ n ) =O. I1 existe donc un polynorne CX;+ClXb1 +. . .+ C,, ob CI, . . .,C, EI<[XlrX2,&], q~li appnrtient ir I, d'oh (e,O) est un elenlent de p(exp I).

Pnisque degC=[I<(zo,rrl,x2,x3):I<(zz,xa)]=~ on a #[WZ\p(expI)]=erl d'oh le rbsultat.

I1 suffit maintenant d'ohsenfer quc si R # 0, alors H(R)= maxi1 a I+ M(E,,)} pour achever REF

la ddnlonstration du thdorkme 3. C'cst I'objet de la proposition suivanti::

Proposition 3. Sous les hvpoth&es d ~ i th8or&me 3, si R # 0, pour tout u EF I'escalie~~ de E, se compose d'un seul 6161nent.

Dimonstmtion. Rernarquons tout d'abord clue puisque R # 0, C n'est pas contenue dans un plan d1apr8s le thbrkme 2. Les klCments de la base de Grobner rkduite de I sont donc des binomes Xa- Crj" oh CEI<\{O) et PGCD(_Xa,_X*)=l.

D'aprL le lemme 6 ci-dcssus, pour tout a E F il existe des entiers k, r , oh kzO et Olr<deg Fl(C), tels que a=(e+k,r).

On dCmontre d'abord que si a= (e+k,r) E P et si (a2, a s ) EescE,, alors il existe k', O<k'lk, tel que (e+k',O, az, ns)EescI. En effet, il existe des entiers k',r', Olk 'sk , O<r'Sr, tels que (e+lc', r', a2, ag)EescI. ll s'ngit dc voir que r'=O. L'idCal I &ant premier, l'nn des trois entiers r', a2, a 3 est nu]. Cornme (a2, as)# (0,0), si on avait r'#O, il existerait CEK\{O) tel que, ou bien B1:= X?~'X;'X!~-CX;+~'+"+~~ I, ou bien B ~ : = % + ~ ' X I ' X ~ Y - 1 2 ~ ~ e + k ' + f + m 3 E 1. Or pour l'ordre lexicogaphique inverse (resp. pour l'ordre lexicogrephicluc inverse oh on dchange les r6les de X2 el X3), on a exp B1= (O,O, deg (B,), 0) (resp. exp B2= (O,O, 0, deg ( B 2 ) ) ) Pour CRS ordres, on aurait donc # [N2\p(exp T)]=degC=O.

On d h o n t r e ensuite que si o=(e+k,O)EF at si I'escalier de E, se compose des klkments (ay) ,af ) ) , . . . , ( a i ) , a t ) ) , alors il existe kj, l s i s t , tels que Oskl <k2 < . . . <kt <k et ( e + k i , ~ , a ~ ) , a ~ ) ) € e s c ~ , 11 sufiit dc voir que si i#j, il n'existe pas d'entier e 'ke tel que (e', 0, af) ,a$)) et (el, 0, a f ) , u t ) ) soient des Bknents de esc I. Or s'il en h i t autrement, le S-polynbme des det~x 61knlents de la base de Grobner rkduite qui leur sont nssoci6s serait un binome de la lorme XlfXi-CXiX; avw b et d#O et C€K\{O} qui n'appartient pas B I.

On ddmontre enfin par rbcr~rrence sur k que I'escnlier de E,, pour a= (e+k,r)€ F, a un scul BlCment. I1 rksulte des deux observations ci-dessus que c'ost vrai si k=O. On en ddduit aussi, en utilisant I'hypothkse de rkurrence et les inclusions E(,,o) G Eg+l,o) C . . . C E(e+k,~)

que ou bien escE, a un seul 616ment ou bien escE, ={ (uy) , a t ) ) , ( a r ) , a r ) ) } et on a

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

alif

orni

a Sa

nta

Cru

z] a

t 12:

54 1

2 N

ovem

ber

2014

3220 BERMUO AND LEJEUNE-JALABERT

Le S-polynBme des cleiu Blktnents de la base cle Grobner rbduite associ6s ir ces Clbments de escI serait alors un Iinonie de la forme x o x ; x ! j - C X ~ X j ] ou X ~ X ~ X ~ - C X C X ! : avec b et d#O et C€K\{O) selon clue a?) > 041' et of) < a!) ou cpe 062) < a?) e t ai2) > ay).

O n a d6jh vu que a_>c cst impossil~lc. Si u<c, nlors (l,O,b,O) ou (l,O,O,b)e expI. D'oii e=l et (b,O) ou ( 0 , b ) ~ E(.,") selon qur a:') > a?' 011 06') > 062). Or l'escalier de E(,,o) a un seul

Blbment (a, P)E E(,+k.l,o) = ( n ( 2 1 ) I ( ~ y ) ) + ~ 2 . C ' e ~ t encore impossible. 0 1 1 conclut que escE, n un scul b16lnent. W

[l] Bayer D.: The diz~isimr algo~ithm and the Hilbert scheme, Ph.D. Thesis Harvard Uni- versity, 1982.

12) Bayer D. et Mumford D.; What can be computed i n Algebraic Geometnj?, in Coinputa- tional Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Proceedings Cortona 1991 ( D . Eisenbud and L. Robbiar~o, Eds.), Cambridge University Press, 1993, 1-48.

[a] Baycr D. et Stillman % I . ; ,4 cn'tcrion for detecting m-mgulnrity, Invent. Math. u, 1987, 1-1 1.

(1) Bayer D. et Stillnian M.; A theo7enz on refining division oiders by the reverse ledco- gmphic order, Duke Math. Journd 55 (2), 1987, 321-328.

[5] Bermejo I.; Sur les degrds d ' w ~ base standard mini~nale pour l'ordre lezicogmphique d'un idial dont la .oaridti des ze'ros esl Cohen-Mncaulay de dimmsion I , C.R. Acact. Sci. Paris SBrie I Math. m, 1990, 591-504.

[GI Bourbalti N. ; A lge l~e Cominu~tati~ue, Ch. 8, Masson, 1985. [z] Grusori L., Lazursfrld R, et Peskine C.; O n a theorem of Castelnuovo, and the qu,ations

defining space cunles, Invent. Math. 22, 1983, 491-506. [B] Lejeune-Jalabert M.; Effectivitt! de culccrl. polgnorwiuw, C o w s de D.E.A., Grenoble,

1084-85. (91 Moller H. et Morn F.; Upper a t~d lower bo.unds for the degree of Grobner lases, Proc.

EUROSAM 84, Lecture Notes in Coniputer Science 124, 1984. [U] Sturmfels B.; Crohner bases and convcx polytopes, AMS University Series 8, Provi-

dence, 1996.

Received: February 1998

Revised: March 1998

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f C

alif

orni

a Sa

nta

Cru

z] a

t 12:

54 1

2 N

ovem

ber

2014