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Dans cette contribution, j’ai présenté deux séries d’exercices pour illustrer certains concepts théoriques concernant la phase de modélisation des systèmes asservis. Cette participation débute par un organigramme, qui indique une méthode d’étude des systèmes asservis, pour faire la mise en œuvre des connaissances acquises. Ce présent travail peut répondre également à vos besoins de révisions.

CPGE A Marrakech Les systèmes asservis Travail proposé par :LAAMIMICH

schéma avec perturbation P(p) schéma sans perturbation

Après réduction du schéma blocs pour le mettre sous sa forme canonique on peut déduire: FTBO ; FTBF et La fonction de l'écart

Utiliser le principe de superposition et les règles de réduction des schémas blocs pour trouver l'expression de la sortie

Compléter ou établir un schéma fonctionnel

Associer un modèle de comportement : Identification du système ou de certains éléments

Associer un modèle de connaissance au système

Oui

Non

Le système à étudier (connu) = Un ensemble des éléments

Un ensemble d'équations déduites des lois de la physique, pour décrire le comportement du système, est donné en fonction du temps.

Identification : - Temporelle à partir de la réponse indicielle et/ou fréquentielle à partir par exemple des diagrammes de BODE ou de BLACK

Equations linéaires

Linéarisation autour d'un point de fonctionnement précisé

Transformation des équations vers le domaine de LAPLACE

VOIR LA SUITE DE L'ORGANIGRAMME

.

SUITE DE L'ORGANIGRAMME

Non

Oui

Analyse des performances du système (Stabilité, précision, rapidité, amortissement...). Dans ce cas on peut utiliser les acquis de l'analyse temporelle, fréquentielle …..

Respect du cahier des charges

Réglage et correction pour satisfaire le cahier des charges

Fin de l'étude


Exercice n°1 : La transformée de LAPLACE I) La fonction de transfert d'un système asservi, d'entrée e(t) et de sortie s(t), est :

2)1)(2(

1)(

++=

pppH

Dans le cas ou e(t) est une entrée échelon d'amplitude 0e :

1) Déterminer l'expression de S(p) la transformée de s(t). 2) Déterminer les valeurs initiale et finale de s(t).

3) Déterminer les valeurs initiale et finale dedt

tdsts

)()( =′ .

4) – Trouver la valeur en régime permanent de )()()( tetst −=ε .

- Quelle est la performance évaluée par ce critèreε . 5) Déterminer l'expression de s(t).

II) La figure (1) représente les courbes de deux fonctions e1(t) et e2 (t). a) Donner les expressions de ces fonctions. b) Déterminer les transformées de LAPLACE de ces fonctions.

Exercice n°2 : Le schéma fonctionnel I) Déterminer les fonctions de transfert en boucle ouverte et en boucle fermée du système représenté par le schéma bloc ci-dessous, puis préciser la classe, le gain et l'ordre de ces fonctions.

p

k1 Tp

K

+12

3K p

1

4K

p

k

E(p) S(p)

1

0.4s t(s) 0.4 0.8 1 1.8

)(1 te )(2 te

1

Le nombre de périodes de )(2 te tend vers l'infini

Figure 1

t(s)

CPGE A MARRAKECH Série n°1 des exercices Professeur : LAAMIMICH

II) Considérons le schéma bloc suivant:

2-1) On pose S(p)= H(p).E(p) + G(p).P(p) En utilisant le principe de superposition, trouver les expressions de H(p) et G(p).

2-2) Que peut-on dire des dénominateurs de H(p) et G(p). III) On désire trouver la fonction de transfert modélisant un système en réduisant son schéma fonctionnel. Le système à étudier est le circuit suivant:

3-1) Après avoir fait la mise en équation du circuit dans le domaine de LAPLACE, compléter le schéma bloc suivant:

3-2) En transformant le schéma fonctionnel, complété, trouver la fonction de transfert modélisant le circuit. Exercice n°3 : En utilisant la transformée de Laplace, résoudre l’équation différentielle suivante :

2)(

2)(

2

2

=+dt

tdy

dt

tyd . On suppose que toutes les conditions initiales sont nulles.

Exercice n°4 : Soit le schéma fonctionnel suivant :

Déterminer ?)(

)(

pX

pY

* r et r' sont des résistances. * C1 et C2 sont des capacités. * I et I' sont des courants

I'

)(tVs )(tVe

r r'

C1 C2

I

u(t)

F B

A

C

D

G E

X

Z

Y

U

A(p) B(p) C(p)

E(p) S(p)

P(p)

Ve(p) Vs(p) I I' U(p)


Exercice n°5 : Transformer le schéma blocs suivant, pour le mettre avec un retour unitaire :

1) Déterminer la fonction de transfert )(

)()(

pC

pQpH

op

vm =

2) Une manipulation des schémas-blocs du modèle continu permet de faire apparaître une fonction de transfert H0(p) dite « en boucle ouverte », dont l’insertion dans une boucle à retour unitaire fournit un système équivalent à Hm. (voir figure 2) Dans le contexte du schéma-bloc général de la figure , exprimer H0(p) en fonction de Hm(p). Exercice n°7 : Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée du système ayant ce schéma fonctionnel

S(p) A(p) B(p)

C(p)

K E(p)

A(p) B(p)

C(p)

E(p) S(p)

Exercice n°6 : Extrait du concours des mines 2007 Soit le schéma fonctionnel suivant :

2

E(p) + + S(p) - - P(p) E(p) + + + + S - - X + + - Y - + - Les questions : Exercice n°1: Déterminer la FTBO, la FTBF et donner leurs classes, gains et ordre. Exercice n°2: Déterminer la FTBF. Exercice n°3: On pose S(p)= H(p). E(p)+ G(p).P(p),trouver H(p) et G(p). Exercice n°4: Déterminer la FTBF.

K/p

n/1+p K1 1/p

K2

X Y

EXERCICE N°1

F1 F2 F3

F4

F5

EXERCICE N°2

1/1+p K 1/p

K1

EXERCICE N°3

G1

G4

G2 G3

G5

EXERCICE N°4

Série N°2 : Manipulation des schémas blocs

CPGE à Marrakech Professeur : A. LAAMIMICH

Eléments de correction de la série n°1 : Exercice n°1 : I)

1) 2

0

)1)(2()(

++=

ppp

epS

2) 0)0( =s et 2

)( 0es =+∞

3) os =)0(' et 0)(' =+∞s

4) 2

)()()( 0ees =+∞−+∞=+∞ε et la performance évaluée est la précision

II) a) )4.0()()(1 −−= tutute ....)4.1()4.1(5)1()1(5.2)8.0()8.0(5.2)4.0()4.0(5)(5.2)(2 +−−−−−+−−+−−−= tuttuttuttutttute b)

p

epE

p4.0

1

1)(

−−=

)1(

)1(5.2)(

2

24.0

2 p

p

ep

epE −

−

−−=

Exercice n°2 :

I) )1()1(

)1)((

412232

421

pKKKKKTPp

pKpKKKFTBO

++++++

= et ordre=3 ; classe=0 ; gain=K

))(1()1()1(

)1(

421412232

421

pKpKKKpKKKKKTPp

pKKKFTBF

++++++++

= et ordre=3 ;

classe=0 ;gain=K+1

1

II)

1)ABCB

ABCpH

++=

1)(

ABCB

CpG

++=

1)(

2) ces fonctions ont le même dénominateur. III)

2

21'

212' ))((1

1

)(

)(

pcrcrpccrcrpV

pV

e

s

++++=


Exercice n°3 :

pppYpYp

2)(2)(2 =+ on a donc

)2(

2)(

2 +=

pppY et après décomposition en éléments

simples on trouve que )()2

1

2

1()( 2 tuetty t−++−=

Exercice n°4 :

)()(

)(FCDEA

pX

pY +=

Exercice n°5 : Exercice n°6 : 1)

).).(().).((1

)()..).((

)(

)()(

2

1

mmvvv

vvv

op

vm kpbpGkpbpH

pGkpbpH

pC

pQpH

+++++==

2) Remarque sur l’énoncé :La forme à retour unitaire proposée n’a pas une sortie et une entrée homogènes. La fonction H0 ne peut pas être déterminée, à moins d’introduire un bloc dans la chaîne de retour de gain K=1 N.m.rad-1.

m

m

H

HH

−=

10

Exercice n°7 :

)()()()()()(1

)().(.

)(

)()(

pCpBpKApCpBpA

pBpAK

pE

pSpH BF ++

==

C(p)A(p) B(p) 1/C(p) E(p) S(p)


Eléments de correction des exercices de la série n°2 sur la manipulation des schémas blocs:

Exercice n°1: 2

2121

21

2

)(

1

)(

11 P

nKKKP

nKKK

KKnKK

n

FTBO

−+

−+

+

−= et classe= 0 ; ordre= 2 ;

Gain= nKK

n

−2

2

121121

21

2

)(

1

)(

11 P

nKnKKKP

nKnKKK

KKnKKn

n

FTBF

+−+

+−+

+

−+=

Classe= 0 ordre= 2

Gain= nKKn

n

−+ 2

Exercice n°2:

421532

321

1 FFFFFF

FFFFTBF

++=

Exercice n°3:

211 11

1

1)(

pK

KKp

K

KKpH

++++= ;

211 111

)1(1

)(p

K

KKp

K

KK

pKpG

++

++

+=

Exercice n°4:

)1(1

)(

532

4231

GGG

GGGGFTBF

−+−

=


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