semestre 2 ds 4 2007-2008 robot rrt

Devoir surveillé n° 4 du 10 juin 2008 Mécanique 1è Année DUT GMP

Robot RRT (rotation – rotation - translation)

ConsignesDurée : 2 heures

Documents et calculatrices interdits.

Données du problèmeL'étude porte sur un bras de robot dont le schémacinématique est donné ci contre.

Le robot est composé • d'une base « 0 » fixée au sol de l'atelier• d'un corps « 1 » de masse m1 , de centre d'inertie O1 ,

de matrice d'inertie

I O1 ;1=A1 0 00 B1 −D1

0 −D1 C1«1»

en liaison pivot de centre O0 d'axe z0=z1 parrapport à la base « 0 » et d'angle =(t) entre x0etx1

asservi par un moteur de couple C 0 /1=C0 /1⋅z0,1

• d'un bras « 2 » de masse m2 , de centre d'inertie O2 , dematrice d'inertie

I 02 ;2 =A2 0 00 B2 −D2

0 −D2 C 2«2»

en liaison rotule au point B par rapport au solide « 1 » eten liaison linéaire annulaire d'axe x1=x2 par rapportau point A, ces deux liaisons formant une pivot de centre B, d'axe x1=x2 et d'angle =(t) entre y1 ety2 asservi par un moteur de couple C1 /2=C1 /2⋅x1,2

• d'un avant bras « 3 » de masse m3 , de centre d'inertie P , de matrice d'inertie

I P;3 =A3 0 00 B3 00 0 C 3

«2»

en liaison glissière d'axe y2 au point O3 par rapport au solide « 2 ». La liaison glissière

est commandée par un moteur d'asservissement linéaire générant un effort F 2 /3 au point O3 tel que F 2/3=F 2 /3⋅y2

• O0O1=h⋅z1 avec h = constante, O 1A=−a⋅x1 , O 1B=b⋅x1 , O1O 3=d⋅y2 avec a, b et d constantes

• O 1P= yt ⋅y2 O1O 2=0 les points O1 et O2 sont confondus• Sur le robot se monte un poignet (non étudié ici) permettant d'orienter les outils que pilote le robot.

Analyse du problème (3 points)1. Tracer le graphe des liaisons du robot. Vous supposerez connues toutes les lois de mouvement calculées par le directeur de

commande numérique : y(t)= y0 = constante, t et t .

Analyser le problème complet : quelles sont les inconnues, combien espérez vous obtenir d'équations ? Faire le bilan, conclure.

Cinématique – tous les résultats seront donnés en base « 2 » (5 points)2. Faire les schémas plans paramétrés permettant de visualiser les rotations de R0 à R1 puis de R1 à R2. En déduire les

vecteurs taux de rotation associés. Exprimer le vecteur taux de rotation 2 /0 (1 point)

3. Exprimer le vecteur vitesse V P /R0 (2 points)

4. Exprimer le vecteur accélération a P /R0 (2 points)

L.G. - /var/www/apps/conversion/tmp/scratch_7/ 1/7 mardi 19 avril 2016

y 1

x x x1 2 3

y 0

x 1

x 0

y 1

y y2 3

z z2 3

z z0 1

A

B

P


Cinétique – tous les résultats seront donnés en base « 2 » (10 points)5. Calculer le moment cinétique du bras « 2 » dans son mouvement par rapport au repère R0 exprimé au point O2 : 02

2 /R0 (1,5 points)

6. Calculer le moment cinétique de l'avant bras « 3 » dans son mouvement par rapport au repère R0 exprimé au point P : P 3/R0 (1,5 points)

7. Calculer le moment dynamique du bras « 2 » dans son mouvement par rapport au repère R0 exprimé au point O2 :02

2 /R0 . En déduire le torseur dynamique {D 2 / R0} réduit au point O2 . Le transférer au point B (2 points)

8. Calculer le moment dynamique de l'avant bras « 3 » dans son mouvement par rapport au repère R0 exprimé au point P :P 3/R0 . Le transporter au point B. En déduire le torseur dynamique {D 3 /R0 } réduit au point B (2 points)

9. En déduire le torseur dynamique au point B de l'ensemble {2∪3} : {D { 2∪3 }/R0} (3 points)

Dynamique (6,5 points)Les seules actions mécaniques extérieures qui s'appliquent sur le robot sont les actions gravitationnelles et l'encastrement du socle (solide « 0 ») sur le sol de l'atelier. Aucun effort supplémentaire n'intervient au bout du bras du robot.

10. Énoncer le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'ensemble {2∪3} en détaillant les différentes actions mécaniques (1 point)

11. Faire le bilan des actions mécaniques extérieures et les modéliser (4,5 points)12. Ecrire les six équations du principe fondamental de la dynamique appliqué à à l'ensemble {2∪3} , au point B en

projection dans la base « 2 » (1 points)13. Question bonus : S'il vous reste du temps : Résoudre les équations obtenues en question 12 et 13. (3,5 points)



Analyse du problème

Moteur

F 2/3·y 1,2

Bâti « 0 »

corps « 1 »

bras « 2 »

Avant bras « 3 »P

ivot

d'a

xe

O0,z

0,1

Mot

eur

C

0/1·z

0,1

LA A,x 1,2

Rotule B

Moteur

C 1/2·x 1,2

glissière

O3,y2,3

Poids de 3

Poi

ds d

e 1

Poi

ds d

e 2

Efforts connus• Poids de « 1 » :

{P1 }= {0 00 0

−m1g 0}' 0 'O1

• Poids de « 2 » :

{P2 }= {0 00 0

−m2g 0}' 0 'O2

• Poids de « 3 » :

{P3 }= {0 00 0

−m3g 0}' 0'P

Efforts inconnus• Liaisons entre 0 et 1

◦ Liaison pivot entre « 0 » et « 1 » en O0 d'axe z0,1 : {P 01 }= {X 0 L0

Y 0 M 0

Z 0 0 }O0

base 0 ou 1

◦ Moteur d'asservissement entre « 0 » et « 1 » : {M 01 }= {0 00 00 C 0/1

}O0

base 0 ou 1

• Liaisons entre 1 et 2

◦ Liaison rotule entre « 1 » et « 2 » en B { R12 }= {X B 0Y B 0Z B 0}

B

base quelconque

◦ Liaison linéaire annulaire entre « 1 » et « 2 » en A d'axe x1,2 : { LA12 }= {0 0Y A 0Z A 0}

A

base 1 ou 2

◦ Moteur d'asservissement entre « 1 » et « 2 » : {M 12}= {0 C1/2

0 00 0 }

B

base 1 ou 2

• Liaison entre 2 et 3

◦ Liaison glissière entre « 2 » et « 3 » en O3 d'axe y2,3 : {G 2 3}= {X 3 L3

0 M 3

Z 3 N 3}' 2 'O3

base 2

◦ Moteur linéaire ou vérin d'asservissement entre « 2 » et « 3 » en 03 : {F 23 }= {0 0F 3 00 0}' 2 'O3



Bilan

Sur le système global : 15 inconnues d'effort articulaires (X0, Y0, Z0, L0, M0,YA, ZA, XB, YB, ZB, X3, Z3, L3,M3,N3)3 inconnues d'effort moteur : (C0/1, C1/2, F3)3 efforts extérieurs connus (P1, P2, P3)

3 solides hors bâti, soit la possibilité d'appliquer 3 fois le PFD et donc d'obtenir 3×6 = 18 équations

Le système est apparemment isostatique

Sur le solide « 3 » isolé seul : 5 inconnues d'effort articulaires (X3, Z3, L3,M3,N3)1 inconnue d'effort moteur F3

1 effort extérieur connu : P3


Sur les solide « 2 » + « 3 » isolés ensemble : 5 inconnues d'effort articulaires (YA, ZA, XB, YB, ZB)1 inconnue d'effort moteur C1/2

2 efforts extérieur connus : P2 et P3


Sur les solide « 1 » + « 2 » + « 3 » isolés ensemble : 5 inconnues d'effort articulaires (X0, Y0, Z0, L0, M0)1 inconnue d'effort moteur C0/1

3 efforts extérieur connus : P1, P2 et P3


Cinématique1 /0=z0,1

2 /1 =x1,2

2 /0 =x1,2z0,1=0

' 1 '

V P /R0 =d 0O0P

dt=d 0 O 0O1O1P

dt=d 0hz0,1 yy2

dt

V P /R0 = y y2 yx1,2z0,1∧ y2= y y2y z2− y cos x1,2=−y cos

yy

' 2'

a P /R0 =d 0V P /R0

dt=d 2V P /R0

dt2 /0∧V P /R0

=− y cos−y cosy sin

yy y

' 2 '

sin cos ' 2'

∧−y cos

yy

' 2 '

=−y cos2 y sin − y cos y− y 2 cos

2−

2 y 2 cos sin 2 y

' 2 '

CinétiqueNoter que le point O2 est centre d'inertie de « 2 » ou que le point O2 est fixe relativement au référentiel « 0 »


z2

x1=x

2

y

1

y2

z1

y1

z0=z

1

x0

x

1

y0


02 2 /R0 = I 02 ;2 ⋅2/0

02 2 /R0 =

A2 0 00 B2 −D2

0 −D2 C 2«2»

⋅

sin cos ' 2'

=A2

B2 sin −D 2 cos

−D 2 sin C2 cos ' 2'

Noter que P est le centre d'inertie de 3 et que 3 /0=2 /0 P 3/R0= I P;3 ⋅2 /0

Noter que le point O2 est centre d'inertie de « 2 » ou que le point O2 est fixe relativement au référentiel « 0 »

02 2 /R0 =

d0 02 2 /R0 dt

=d 2 02

2/R0 dt

2 /0∧ 02 2 /R0

P 3/R0=A3 0 00 B3 00 0 C 3

«2»

⋅

sin cos ' 2'

=A3

B3 sin

C3 cos ' 2 '02

2 /R0 =A2

B2sin −D2 cos B2 cos D2sin C 2cos−D2 sin − C2sin D2 cos ' 2 '

sin cos ' 2 '

∧A2

B2 sin −D 2 cos

−D 2 sin C2 cos ' 2'

02 2 /R0 =

A2 2 [ D2 cos2

−sin 2C2−B2 cos sin ]

B2 sin −D2cos [ A2B2−C2 cos 2D2 sin ] C 2cos −D2 sin − [ A2−B2C2 sin 2D2 cos ] ' 2 '

Le centre d'inertie O2 étant fixe relativement au galiléen, nous obtenons :

{D 2 /R0}= {0 A2

2 [D 2 cos2−sin

2 C 2−B2 cossin ]0 B2sin −D 2cos [ A2B2−C2 cos2D 2sin ]0 C2 cos−D2sin − [ A2−B2C2 sin 2D2 cos ]} ' 2 'O2

.

Comme la résultante dynamique est nulle, le moment dynamique est le même en tout point :

{D 2 /R0}= {0 A2

2 [D 2 cos2−sin

2 C 2−B2 cos sin ]0 B2sin −D2 cos [ A2B2−C2 cos2D 2sin ]0 C2 cos−D 2sin − [ A2−B2C2 sin 2D2 cos ]} ' 2 'B

Noter que P est le centre d'inertie de 3

P 3 /R0 =d 0 P 3/R0

dt=d 2 P 3/R0

dt2 /0∧ P 3 /R0

P 3 /R0 =A3

B3 sin B3 cosC 3 cos−C 3 sin ' 2 '

sin cos ' 2 '∧

A3

B3 sin

C3 cos ' 2 '

=A3C3−B3 2 sin cos

B3 sin A3B3−C3 cos

C3 cos− A3−B3C 3 sin ' 2'

B 3/R0 =P 3/R0 BP∧m3a P /RO

BP∧m3a P /RO=

−by0

' 2 '

∧m3−y cos2 y sin − y cos

y− y 2 cos2−

2 y 2 cossin 2 y

' 2 '

BP∧m3a P /RO =

m3 y2

2 cossin 2m3 y y

m3b [ y 2cossin 2 y ]

m3 y2cos 2m3 y y cos− y2

sin −m3b [b yb y 2−

2 cos ] ' 2 '

soit

B 3/R0 = A3m3 y

2 C 3−B3m3 y2 2 sin cos2m3 y y

B3 sin A3B3−C3 cosm3b [ y 2 cos sin 2 y ]

C3m3 y2 cos− A3−B3C3−2m3 y

2 sin 2m3 y y cos −m3b [b yb y 2−

2 cos ] ' 2 'L.G. - /var/www/apps/conversion/tmp/scratch_7/ 5/7 mardi 19 avril 2016


{D 3/R0}=

{−m3 yt cos2m3 y t sin − y t cos A3m3 y

2 C 3−B3m3 y2 2sin cos2m3 y y

m3¨yt −m3 y t 2 cos

2−

2 B3 sin A3B3−C 3 cos m3b [ y 2cos sin 2 y ]

m3 y t 2 cos sin 2m3 y t C3m3 y2 cos − A3−B3C3−2m3 y

2 sin 2m3 y y cos −m3b [b yb y 2− 2 cos ]} '2 'B

{D { 2∪3 }/R0 }={D { 2} /R0 }{D { 3} /R0 }

{D {2∪3}/R0 }= {−m3 y t cos2m3 y t sin − y t cos

m3¨y t−m3 y t 2 cos2

−2

m3 y t 2 cos sin 2m3 y t O2

A2A3m3y2 [ C2C 3−B2−B3m3 y

2 sin cos D2 cos 2−sin 2 ] 22m3 y y

[ B2B3 sin −D2 cos ] [ A2A3B2B3−C2−C3 cos2D 2sin ] m3b[ y 2 cos sin 2 y ]

[ C 2C 3m3 y2 cos −D2 sin ] −[ A2A3−B2−B3C2C 3−2m3 y

2 sin 2D 2cos ] 2m3 y y cos−m3b [b yb y 2−

2 cos ]} ' 2'

principe fondamental de la dynamique appliqué à 2∪3 : Le torseur représentant l'ensemble des efforts que l'extérieur applique sur 2∪3 est égal au torseur dynamique de 2∪3 relativement à un référentiel galiléen (ici R0).

Efforts connus que l'extérieur applique sur 2∪3

• Poids de « 2 » : {P2 }= {0 00 0

−m2 g 0}' 0 'O2

= {0 0

−m2 g sin 0−m2g cos 0}

' 2 'O 2

M / B P2=M /O2

P 2BO2∧P2=0−b00

' 2 '

∧0

−m2 g sin

−m2 g cos ' 2 '=0

−m2 g bcos

m2 g bsin ' 2 '

{P2 }= {0 0

−m2 g sin −m2 g b cos−m2 g cos m2 g b sin }

' 2 'B

• Poids de « 3 » : {P3 }= {0 00 0

−m3g 0}' 0'P

= {0 0

−m3 g sin 0−m3 g cos 0}

' 2 'P

M / BP3=

M /P P3BP∧P3=0−by0

' 2 '

∧0

−m3g sin

−m3 g cos ' 2 '=−m3g y cos

−m3g bcos

m3g bsin ' 2'

{P3 }= {0 −m3 g y cos

−m3 g sin −m3g b cos−m3 g cos m3g b sin }

' 2 'B

Efforts inconnus que l'extérieur applique sur 2∪3

• Liaison rotule entre « 1 » et « 2 » en B {R12 }= {X B 0Y B 0Z B 0}

' 2 'B

• Liaison linéaire annulaire entre « 1 » et « 2 » en A d'axe x1,2 : { LA12 }= {0 0Y A 0Z A 0}

' 2 'A

M /B LA 1 2=M / ALA 12 BA∧LA12=0

−ab00

' 2 '

∧0Y A

Z A' 2 '

=0

ab Z A

−ab Y A' 2 '

{ LA12 }= {0 0Y A abZ A

Z A −ab Y A}' 2 'B

• Moteur d'asservissement entre « 1 » et « 2 » : {M 12}= {0 C1/2

0 00 0 }

' 2 'B



Ecriture du PFD

{X B=−m3 y t cos 2m3 y t sin − y t cos

Y AY B−m2m3 g sin =m3¨y t −m3 y t 2cos 2−2

Z AZ B−m2m3 g cos=m3 y t 2 cossin 2m3 y t

C 1/ 2−m2 g ycos = A2A3m3 y2 [ C2C3−B2−B3m3 y

2 sin cosD2 cos2−sin 2 ] 22m3 y y

abZ A−m2m3 g cos=[ B2B3 sin −D 2cos ] [ A2A3B2B3−C2−C3 cos 2D 2sin ] m3 b [ y 2cossin 2 y ]−abY Am2m3 g sin=

[ C2C3m3 y2 cos−D2 sin ] −[ A2A3−B2−B3C2C 3−2m3 y

2 sin 2 D2cos ] 2m3 y y cos −m3b [ b yb y 2−2 cos ]

{X B=−m3 y t cos2m3 y t sin− y tcos Y B=m3

¨y t −m3 y t 2 cos

2−

2 m2m3g sin −Y A

Z B=m3 y t 2 cos sin 2m3 y t m2m3 g cos−Z A

C1/2= A2A3m3 y2 [ C2C3−B2−B3m3 y

2 sin cosD2 cos 2−sin 2 ] 22m3 y y m2 g y cos

Z A=[ B 2B3 sin −D2 cos ] [ A2A3B2B3−C 2−C 3 cos 2D2 sin ] m3b [ y 2 cos sin 2 y ] m2m3 g cos

ab

Y A=−[ C 2C 3m3 y

2 cos −D2 sin ] [ A2A3−B2−B3C 2C 3−2m3 y2 sin 2 D2 cos] −2m3 y y cos m3b [ b yb y 2− 2 cos ]m2m3 g sin

ab
