ds 2006 2011

Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de DouaiDevoir surveillé d’Energétique des Machines

On prendra g = 9,81 m.s-2. Les notations sont les notations habituelles du cours.Barème indicatif : Exercice 1 : 16 points Exercice 2 : 4 points

EXERCICE 1 Un installateur propose un système de préchauffage de l’eau chaude sanitaire comprenant deux capteursolaires placés sur un réseau en circuit fermé muni d’une pompe de circulation et un accumulateur (figure 1). L’eau réchauffée par les capteurs solaires circule en circuit fermé dans le réseau et échange de la chaleur avec le réseau d’eau chaude sanitaire lors de son passage dans l’accumulateur. Un chauffe eau fournit le complément de chauffage complémentaire. Le schéma hydraulique du circuit équipé de ces deux capteurs solaires de sa pompe et de l’accumulateur est présenté sur la figure 2. Les résistances Rc représente les résistances hydrauliques de chaque capteur solaire, la résistance Racc celle de l’accumulateur. Un ballon d’expansion est placé au niveau du point e. Dans tout l’exercice on néglige les pertes de charge singulières (autre que celles des capteurs et de l’accumulateur). Seules les pertes de charges linéaires provoquées par les longueurs droites de conduite sont considérées. Toutes les conduites ont un diamètre intérieur de 16 mm. Les longueurs de chaque tronçon sont données ci après :

- longueur [S-a]= 0,5 m - longueur [a-b]= 1 m - longueur [c-d]= 1 m - longueur [d-e]= 20 m - longueur [e-f]= 2 m - longueur [g-E]= 2 m - longueur [a-h]= 4 m - longueur [i-d]= 4 m

On considère que le coefficient de pertes de chargLes résistances hydrauliques des capteurs et de l’accumulateur sont égales àcourbe de fonctionnement de la pompe est donnée sous forme d’un tableau par le constructeur

Qv (m3/h) hn (m) Rendement global % NPSH requis (m) 0,6

1) Donner l’expression littérale de la résdébit volumique Qv (en mètre cube par heurede perte de charge λ. Dans la suite de l'exercice on exprimera les

2) Calculer les résistances hydrauliques équivalente

Ecole des Mines de Douai Devoir surveillé d’Energétique des Machines

Année scolaire 2010-2011 Tous documents autorisés

Calculatrice autorisée

Les notations sont les notations habituelles du cours.

EXERCICE 1 : Installation solaire

Un installateur propose un système de préchauffage de l’eau chaude sanitaire comprenant deux capteurs

circuit fermé muni et un accumulateur

L’eau réchauffée par les capteurs solaires circule en circuit fermé dans le réseau et échange de la chaleur avec le réseau d’eau chaude sanitaire lors

. Un chauffe eau fournit le complément de chauffage complémentaire.

circuit équipé de ces deux capteurs solaires de sa pompe et de l’accumulateur

Les résistances Rc drauliques de chaque

capteur solaire, la résistance Racc celle de l’accumulateur. Un ballon d’expansion est placé au

Figure 1 : principe de l’installation solaireDans tout l’exercice on néglige les pertes de

e que celles des capteurs et de l’accumulateur). Seules les pertes de charges linéaires provoquées par les longueurs droites de conduite sont considérées. Toutes les conduites ont un diamètre intérieur de 16 mm. Les longueurs de chaque tronçon

Figure 2 : schéma du réseau

On considère que le coefficient de pertes de charge linéaire de toutes les conduites est égal àLes résistances hydrauliques des capteurs et de l’accumulateur sont égales à : Rc= 1 [hcourbe de fonctionnement de la pompe est donnée sous forme d’un tableau par le constructeur

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,52 1,78 1,52 1,22 0,88 0,50 50 70 66 51 29

0,6 0,62 0,66 0,7 0,73 0,8

Donner l’expression littérale de la résistance hydraulique R, reliant la perte de charge ètre cube par heure) pour une conduite de diamètre D, de longueur L et de coefficient

ans la suite de l'exercice on exprimera les résistances hydrauliques avec les unités

r les résistances hydrauliques équivalentes suivantes : - R0=Racc+réseau[d-e-f-g-E-S-a]- R1=Rc+réseau[a-b-c-d]

: principe de l’installation solaire

: schéma du réseau

e linéaire de toutes les conduites est égal à : λ=0,02 : Rc= 1 [h2m-5] ; Racc= 0,6 [h2m-5] La

courbe de fonctionnement de la pompe est donnée sous forme d’un tableau par le constructeur :

0,5 0,6 0,5 0,08 29 2

0,8 1

te de charge ∆∆∆∆H (en mètre) au ) pour une conduite de diamètre D, de longueur L et de coefficient

résistances hydrauliques avec les unités : [h2m-5]

a]

Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai

3) Déterminer la résistance totale du réseau.4) Tracer la caractéristique du réseau pompe fonctionne avec un rendement supérieur à

5) Déterminer les débits circulant dans les capteurs solaires.

6) On désire, pour plus de précision, déterminer par dans la pompe. Pour cela vous détermipompe : CQBQAhn vv +⋅+⋅= 2 . Puis vous écrirez l’égalité entre la hauteur nette (fonction du débit) de la pompe

et la caractéristique du réseau.

7) La pression au niveau du vase d’expansion est de une altitude de deux mètres au dessus du vase d’expansion (point e). Montrer que la pompe ne cavite pas.du fonctionnement de l’installation la température au niveau de l’40°C ce qui donne une pression de vapeur saturante de 0,075 bar.

8) Afin d’obtenir des débits sensiblement semblables dans les deux capteurs et ainsi équilibrer le réseau, l’installateur propose un réseau avec une boucle dite de Tichelmann. Ce réseau est schématisé figure 3.Reprendre les questions 2, 3, 4, 5, 6 et commenter les résultats.

- longueur [S-a]= 0,5 m - longueur [a-b]= 1 m - longueur [c-d]= 4 m - longueur [d-e]= 23 m - longueur [e-f]= 2 m - longueur [g-E]= 2 m - longueur [a-h]= 4 m - longueur [i-d]= 1 m

EXERCICE 2

Une pompe centrifuge possède les caractéristiques suivantes

vitesse de rotation N=1500 Tours/min rayon d'entrée de la roue : r1=15 mm rayon de sortie de la roue : r2=100 mm la largeur de la roue est constante b =10 mml'angle d'entré des aubages de la roue β1 l'angle de sortie des aubages de la roue βles coefficients d'encombrement des aubages sont égaux à 1. On considère le fluide est toujours parfaitement guidé par les aubages de la roue.

Montrer que le débit d’adaptation est égal àvitesses à l’entrée et à la sortie de la roue lorsque le débit est égal au débit d’adaptation

Ecole des Mines de Douai - R2=Rc+réseau[a-h-i-d]

éterminer la résistance totale du réseau. Tracer la caractéristique du réseau et la caractéristique de la pompe sur un graphique

ctionne avec un rendement supérieur à 40%.

Déterminer les débits circulant dans les capteurs solaires.

6) On désire, pour plus de précision, déterminer par calcul les débits précédents circulant dans les capteurs et dans la pompe. Pour cela vous déterminerez les constantes A, B, C de l’équation de la caractéristique de la

Puis vous écrirez l’égalité entre la hauteur nette (fonction du débit) de la pompe

expansion est de 0,5 bar effectif. L’entrée de la pompe (point E) titude de deux mètres au dessus du vase d’expansion (point e). Montrer que la pompe ne cavite pas.

du fonctionnement de l’installation la température au niveau de l’accumulateur et à l’entrée de la pompe est d’environ 40°C ce qui donne une pression de vapeur saturante de 0,075 bar.

) Afin d’obtenir des débits sensiblement semblables dans les deux capteurs et ainsi équilibrer le réseau, avec une boucle dite de Tichelmann. Ce réseau est schématisé figure 3.

et commenter les résultats.

Figure 3 : boucle de Tichelmann

EXERCICE 2 : Avant projet - pompe

possède les caractéristiques suivantes

la largeur de la roue est constante b =10 mm

est égal à 30°. β2 est égal à 15°.

les coefficients d'encombrement des aubages sont égaux à 1. On considère le fluide est toujours parfaitement guidé par

ion est égal à 4,61 m3/h. Déterminer les composantes des triangles des vitesses à l’entrée et à la sortie de la roue lorsque le débit est égal au débit d’adaptation

sur un graphique. Vérifier que la

circulant dans les capteurs et nerez les constantes A, B, C de l’équation de la caractéristique de la

Puis vous écrirez l’égalité entre la hauteur nette (fonction du débit) de la pompe

. L’entrée de la pompe (point E) se situe à titude de deux mètres au dessus du vase d’expansion (point e). Montrer que la pompe ne cavite pas. Lors

et à l’entrée de la pompe est d’environ

) Afin d’obtenir des débits sensiblement semblables dans les deux capteurs et ainsi équilibrer le réseau, avec une boucle dite de Tichelmann. Ce réseau est schématisé figure 3.

: boucle de Tichelmann

éterminer les composantes des triangles des vitesses à l’entrée et à la sortie de la roue lorsque le débit est égal au débit d’adaptation


Correction 1) Donner l’expression littérale de la résistance hydraulique R (reliant la perte de charge au débit volumique) pour une conduite de diamètre D, de longueur L et de coefficient de perte de charge λ. Dans la suite de l'exercice on exprimera les résistances hydrauliques avec les unités : [h2m-5]

gD

LRQ

gDD

L

gQ

DD

LQR

QRg

v

D

LH

VVv

v

⋅⋅=→

⋅⋅=

⋅=⋅

⋅=⋅=∆

52

2

42

2

2

2

22

88

2

14

2

πλ

πλ

πλ

λ

2) Calculer les résistances hydrauliques équivalentes suivantes : - R0=Racc+réseau[d-e-f-g-E-S-a] - R1=Rc+réseau[a-b-c-d] - R2=Rc+réseau[a-h-i-d]

[ ] [ ] ( )[ ] [ ][ ] [ ]

[ ][ ] [ ] [ ]

[ ][ ] [ ] [ ]

[ ]52

5252

52

5252

52

522

252352

58,398,26,00

98,25,022208

974,1974,012

974,0448

243,1243,011

243,0)3600/(7,3155162

//7,3155162118

−

−

−

−

−

−

−

=+=

=+++⋅⋅⋅

=−−−−−−

=+=

=+⋅⋅⋅

=−−−

=+=

==−−−→

≡=+⋅⋅⋅

=−−−

mhR

mhgD

aSEgfedréseau

mhR

mhgD

diharéseau

mhR

mhdcbaréseau

smsmmgD

dcbaréseau

πλ

πλ

πλ

3) Déterminer la résistance totale du réseau. Le réseau est composé de deux résistances en parallèle (R1, R2) + une résistance en série R0 On calcule donc la résistance équivalente aux deux résistances en parallèle puis on ajoute la résistance en série.

( ) [ ][ ]52

522

97,3386,058,3

386,021

21

−

−

=+=

=+

⋅=

mhR

mhRR

RRR

total

eq

4) Tracer la caractéristique du réseau et la caractéristique de la pompe sur un graphique. Vérifier que la pompe fonctionne avec un rendement supérieur à 40%.

Courbe réseau :

Qv (m3/h) 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 pdc (m) 0,00 0,04 0,16 0,36 0,64 0,99 1,43

A l’aide de la représentation graphique : Qv=0,44 m3/h ; hn=0,75 m rendement global = 0,435



La hauteur nette fournie par la pompe est de hauteur nette de la pompe minorée des pertes dans le réseau [d

(QvRhnH da 435,058,375,020 ⋅−=−=∆ −

hauteur :

hmRHQv

QvQvRQvRH

da

da

/192,0 3

22

12

222

11

=∆=

∆=→==∆

−

−

Les débits sont sensiblement différents dans les deux branches du circuit c’solaires ; le réseau est déséquilibré. 6) On désire, pour plus de précision, détermidans la pompe. Pour cela vous déterminerez les constantes A, B, C de l’équation de la caractéristique de la pompe CQBQAhn vv +⋅+⋅= 2 .

Ecole des Mines de Douai


ar la pompe est de 0,75 m la différence de hauteur entre les points a et d correspond à la des pertes dans le réseau [d-e-fg-h-E-S-a] c'est-à-dire dans la résistance R0

) m0725,0435 2 = ; Les débits se déterminent ma

hmRH da /241,0 3

1=∆ −

Les débits sont sensiblement différents dans les deux branches du circuit c’est à dire dans les deux capteurs

6) On désire, pour plus de précision, déterminer par calcul les débits précédents circulant dans les capteurs et dans la pompe. Pour cela vous déterminerez les constantes A, B, C de l’équation de la caractéristique de la

m la différence de hauteur entre les points a et d correspond à la

dire dans la résistance R0

maintenant à partir de cette

dire dans les deux capteurs

circulant dans les capteurs et dans la pompe. Pour cela vous déterminerez les constantes A, B, C de l’équation de la caractéristique de la

Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai Pour déterminer les constantes on prend 3 points appartenant à la courbe de la pompe et on résoud le système comprenant 3 équations et trois inconnues :

( )( )

248,02,0204,0

216,008,0)1(2)2(

)2(12,14,016,088,04,04,0

)1(48,02,004,052,12,02,0

2200

2

2

2

−=→−=⋅+−⋅−=⇒−=⋅→×−

−=⋅+⋅→=+⋅+⋅

−=⋅+⋅→=+⋅+⋅

=→=+⋅+⋅

BB

AA

BACBA

BACBA

CCBA

Ensuite on écrit l’égalité entre la hauteur nette et la perte de charge du réseau total :

mQvRhn

hmQv

QvQv

QvQvQvQvRhn

total

total

751,0435,097,3

/435,097,52

2

76,51297,542

02297,5

97,3222

22

3

2

2

222

=⋅⇔⋅=⇒

=−⋅

∆±=

=⋅−⋅−−=∆

=+⋅−⋅−

⋅=+⋅−⋅−⇔⋅=

=> ( ) mQvRhnH da 0736,0435,058,3751,0 220 =⋅−=−=∆ −

: hmRHQv

hmRHQvQvRQvRH

da

dada

/193,0

/243,0

3

22

3

11

222

211

=∆=

=∆=→==∆

−

−−

7) La pression au niveau du vase d’expansion est de 0,5 bar effectif. L’entrée de la pompe (point E) se situe à une altitude de deux mètres au dessus du vase d’expansion (point e). Montrer que la pompe ne cavite pas. Lors du fonctionnement de l’installation la température au niveau de l’accumulateur et à l’entrée de la pompe est d’environ 40°C ce qui donne une pression de vapeur saturante de 0,075 bar.

( ) [ ]

( ) cavitationdepasNPSHNPSHdispomNPSH

mg

NPSHdispo

mQvgDg

Vasp

mgD

EgferéseauRaccH

g

VaspH

g

pvsPNPSHdispo

Hg

P

g

PaspHZ

g

Vasp

g

PaspZ

g

V

g

P

g

Vasp

g

pvsPasp

g

pvspompeaspirationechNPSHdispo

requisrequis

Ee

Eeballon

Eeballon

Eeaspballonballonballon

⇒>⇒≈

=+−−−=

=⋅⋅⋅

=

=⋅

+⋅

⋅⋅+=⋅−−−+=∆

+∆−−−=

∆−−=→∆+++=++=>

+−=−=

−

−

−−

75,0435,0

15,202,02,02075,05,0

02,08

2

2,0435,0228

6,0435,0][

22

222

2arg

242

2

252

2

2

22

2

ρ

π

πλ

ρ

ρρρρ

ρρ

8) Afin d’obtenir des débits sensiblement semblables dans les deux capteurs et ainsi équilibrer le réseau, l’installateur propose un réseau avec une boucle dite de Tichelmann. Ce réseau est schématisé figure 3. Reprendre les questions 2, 3, 4 ,5 et commenter les résultats.

Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai- longueur [S-a]= 0,5 m - longueur [a-b]= 1 m - longueur [c-d]= 4 m - longueur [d-e]= 23 m - longueur [e-f]= 2 m - longueur [g-E]= 2 m - longueur [a-h]= 4 m - longueur [i-d]= 1 m

- R0=Racc +réseau[d-e-f-g-E-S-a] - R1=Rc+réseau[a-b-c-d] - R2=Rc+réseau[a-h-i-d]

[

[

[

,36,00

609,112

609,011

+=

−

==

−

+=

−

R

edréseau

RR

haréseau

R

baréseau

( ) [ ][ ]52

522

35,495,3402,0

402,021

21

−

−

=+=

=+

⋅=

mhR

mhRR

RRR

total

eq

Qv (m3/h) 0,00pdc (m) 0,00

A l’aide de la représentation graphique : Qv=0,425 m

La hauteur nette fournie par la pompe est de hauteur nette de la pompe minorée des pertes dans le réseau [d


Figure 3 : boucle de Tichelmann

] [ ] [ ][ ]

] [ ] [ ][ ]

] [

[ ]52

52

52

5252

52

5252

95,3345,

22238

609

609,0148

609,1609

609,0418

−

−

−

−

−

=

+++⋅⋅⋅

=−−−−−

=+⋅⋅⋅

=−−

=

=+⋅⋅⋅

=−−

mh

gDaSEgf

mh

mhgD

di

mh

mhgD

dc

πλ

πλ

πλ

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,500,00 0,04 0,17 0,39 0,70 1,09

: Qv=0,425 m3/h ; hn=0,79 m rendement global = 0,4

La hauteur nette fournie par la pompe est de 0,79 m la différence de hauteur entre les points a et d correspond à la des pertes dans le réseau [d-e-fg-h-E-S-a] c'est-à-dire dans la résistance R0

: boucle de Tichelmann

] [ ]52345,35,0 −=+ mh

0,50 0,60 1,09 1,57

m rendement global = 0,46

m la différence de hauteur entre les points a et d correspond à la dire dans la résistance R0


( ) mQvRhnH da 0765,0425,095,379,0 220 =⋅−=−=∆ − ; Les débits se déterminent maintenant à partir de cette

hauteur trouvée:

hmRHQvQvQvRQvRH da

da /218,0 3

121

222

211 =∆==→==∆ −

−

Les débits sont bien équilibrés dans les capteurs ; le débit total est très légèrement plus faible ; le rendement est légèrement supérieur. Par calcul :

mQvRhn

hmQv

QvQv

QvQvQvQvRhn

total

total

787,04254,035,4

/4254,035,62

2

8,54235,642

02235,6

35,4222

22

3

2

2

222

=⋅⇔⋅=⇒

=−⋅

∆±=

=⋅−⋅−−=∆

=+⋅−⋅−

⋅=+⋅−⋅−⇔⋅=

( ) mQvRhnH da 0735,0425,095,3787,0 220 =⋅−=−=∆ − ; les débits se déterminent maintenant à partir de cette

hauteur :

hmRHQvQvQvRQvRH da

da /214,0 3

121

222

211 =∆==→==∆ −

− on retrouve pratiquement le résultat

précédent obtenu graphiquement.


Une pompe centrifuge possède les caractéristiques suivantes

vitesse de rotation N=1500 Tours/min rayon d'entrée de la roue : r1=15 mm rayon de sortie de la roue : r2=100 mm la largeur de la roue est constante b =10 mm l'angle d'entré des aubages de la roue β1 est égal à 30°. l'angle de sortie des aubages de la roue β2 est égal à 15°. les coefficients d'encombrement des aubages sont égaux à 1. On considère le fluide est toujours parfaitement guidé par les aubages de la roue.

Montrer que le débit d’adaptation est égal à 4,608 m3/h. Déterminer les composantes des triangles des vitesses à l’entrée et à la sortie de la roue lorsque le débit est égal au débit d’adaptation

( ) ( ) [ ]hmN

rbrSuSVdQvadapt /61,460

230tan2130tan11 3

111 =⋅⋅⋅⋅°⋅⋅⋅⋅=⋅°⋅=⋅= ππ

Les triangles des vitesses à l’entrée et à la sortie ont la forme suivante


( )

( ) ( )( )

smV

smW

smVd

UVu

smbr

Q

S

QVd

smW

smuVdV

smrU

smrU

VV

/9,149,142,0

/77,095,147,152,0

/95,1415tan

2,07,15

15tan

22

/2,022

2

/71,2355,235,1

/35,130tan

/7,156015002

2

/355,260

15002

222

222

2

2

221

111

2

11

=+=

=−+=

=−=−=

=⋅⋅⋅

==

=+=

=⋅==

=⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅=

π

π

π

U2

W2

V2

U1

W1 V1


Devoir surveillé d’Energétique des Machines

On prendra g = 9,81 m.s-2. Les notations sont les notations habituelles du cours.Barème indicatif : Exercice 1 : 15 points Exercice 2 :5 points

EXERCICE 1Un circuit de pompage véhicule de l’eaumasse volumique égale à 1000 kg/m3, entre deux réservoirs..

- Altitude réservoir 1 Z = 0 m - Altitude réservoir 2 Z = 50 m - Altitude pompe Z = 3 m

Les pressions au niveau des réservoirs sont égales à 1bar. Toutes les conduites sont supposées avoir un coefficient de perte de charge linéaire λ=0,02. Les seules pertes de charge singulières à prendre en compte celles engendrées par le clapet anti refoulement, et le filtre situé à l’extrémité de la conduite d’aspiration: la pompe à la caractéristique à 2800 T/min

H (m) 90 85 Q (l/s) 0 20 η (%) - 60

NPSHr (m) - 0,5

circuit d’aspiration DA= 300 mm LA= 800 m un filtre : ξfiltre=14 , un clapet : ξclapet=4 1) Tracer sur le même graphique : La caractéristique de rendement de la pompe. Déterminer le point de fonctionnement de la pompefeuille quadrillé en dernière page)

2) Tracer la courbe de NPSH requis et de NPSH disponible. cavitation à l’entrée de la pompe. On considèrera que la pression de vapeur saturante à la température de fonctionnement est de 2500 Pa.

3) On désire obtenir un débit dans le réseau de 60 l/s déterminer la fonctionner cette pompe pour obtenir ce débit. En déduire la puissance absorbée par la pompe et le coût du md’eau transportée.

4) Toujours pour obtenir ce débit de 60 l/s on décide de placer deux pompesur la même conduite que précédemment. On considère que la caractéristique du réseau n’est pas modifiée par le changement d’une seule pompe à deux pompes. Quel est le débit obtenu avec ce montage. Pour obtenir le bon débit de 60 l/s on place sur la conduite tableau suivant. Déterminer : - l’angle d’ouverture de la vanne (tableau ci contre) - la puissance absorbée par les deux pompes


Devoir surveillé d’Energétique des Machines Année scolaire 2009-2010

(4 pages dont celle-ci) Tous documents autorisés



EXERCICE 1 : Circuit de pompage Un circuit de pompage véhicule de l’eau, de

entre

Les pressions au niveau des réservoirs sont Toutes les conduites sont

supposées avoir un coefficient de perte de es seules pertes de

endre en compte sont celles engendrées par le clapet anti

et le filtre situé à l’extrémité de

à 2800 T/min suivante : 80 72 60 40 60 80 66 69 75,5 0,8 1,2 1,8

circuit de refoulement DR= 300 mm LR3=10000 m

La caractéristique de la pompe, la caractéristique du réseau, la courbe de Déterminer le point de fonctionnement de la pompe (il est possible de se servir

Tracer la courbe de NPSH requis et de NPSH disponible. Déterminer à partir de quel débit il y aura de la On considèrera que la pression de vapeur saturante à la température de

) On désire obtenir un débit dans le réseau de 60 l/s déterminer la vitesse de rotation à laquelle il faut faire cette pompe pour obtenir ce débit. En déduire la puissance absorbée par la pompe et le coût du m

) Toujours pour obtenir ce débit de 60 l/s on décide de placer deux pompes identisur la même conduite que précédemment. On considère que la caractéristique du réseau n’est pas modifiée par le changement d’une seule pompe à deux pompes. Quel est le débit obtenu avec ce montage. Pour obtenir le bon

l/s on place sur la conduite de refoulement une vanne dont la caractéristique est donnée dans le

(tableau ci

la puissance absorbée par les deux pompes

coefficient de perte de charge singulière en fonction de l’angle de fermeture de la vanne

50 35 90 100 75 70 2,2 3

la pompe, la caractéristique du réseau, la courbe de (il est possible de se servir de la

Déterminer à partir de quel débit il y aura de la On considèrera que la pression de vapeur saturante à la température de

vitesse de rotation à laquelle il faut faire cette pompe pour obtenir ce débit. En déduire la puissance absorbée par la pompe et le coût du m3

identiques à la place d’une seule sur la même conduite que précédemment. On considère que la caractéristique du réseau n’est pas modifiée par le changement d’une seule pompe à deux pompes. Quel est le débit obtenu avec ce montage. Pour obtenir le bon

une vanne dont la caractéristique est donnée dans le

coefficient de perte de charge singulière en fonction de l’angle de

Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai - le coût du m3 d’eau transportée

5) On décide d’étudier une troisième solution pour obtenir ce débit. On place deux réseaux de conduites identiques en parallèles (avec la pompe de la question 1). Les conduites d’aspiration et de refoulement de ces deux réseaux de conduites sont identiques à celui de la question 1. Quel est le débit obtenu avec ce montage. On place une vanne sur chacune des conduites de refoulement déterminer le coefficient de perte de charge singulière des deux vannes afin d’obtenir le débit total de 60 l/s et le même débit dans chaque réseau. Déterminer le coût du m3 d’eau transportée. Déterminer la solution donnant le coût de fonctionnement le plus faible.


La pompe de l’exercice précédent possède les caractéristiques suivantes

vitesse de rotation N=1500 Tours/min rayon d'entrée de la roue : r1=15 mm rayon de sortie de la roue : r2=250 mm la largeur de la roue est constante b =10 mm l'angle d'entré des aubages de la roue β1 est égal à 30°. l'angle de sortie des aubages de la roue β2 est égal à 15°. les coefficients d'encombrement des aubages sont égaux à 1. On considère le fluide est toujours parfaitement guidé par les aubages de la roue.

1) Montrer que la caractéristique idéale (hauteur indiquée) du ventilateur s'exprime par l'équation suivante

(avec hi en m et Qv en l/s). : Vi QBAh ⋅−= donner les valeurs des constantes A et B.

2) On estime que le rendement hydraulique (hn/hi) est égal à 57% lorsque la pompe fournit un débit nul ; ce rendement hydraulique est égal à 75% lorsque les pertes par choc à l’entrée de la roue sont nulles. Montrer que

la hauteur nette s’exprime par l’équation suivante : 2

VVn QEQDCh ⋅−⋅−= et déterminer les constantes D, C, E lorsque la hauteur est exprimée en m et le débit en l/s.

Correction 1) Tracer sur le même graphique : La caractéristique de la pompe, la caractéristique du réseau, la courbe de rendement de la pompe

Pour la perte de charge du réseau on ajoute les caractéristiques des deux réseaux aspiration refoulement

2

42

2

863,753550

16

25050

Qv

Dg

Q

D

L

D

LHHH V

R

R

asp

asptfiltreclapetrefoulasp

⋅+=

⋅⋅⋅

⋅+

⋅+++=∆+∆+=∆

πλλξξ

0 20 40 60 80 50 53 62 77 98 Déterminer le point de fonctionnement de la pompe

sur la courbe => Qv= 56 l/s hn= 74 m ren= 68 %

α° 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

ξ 0,05 0,29 0,75 1,6 3,1 5,5 9,7 17 31 53 110 210 490


2) Tracer la courbe de NPSH requis et de NPSH disponible. Déterminer à partir de quel débit il y aura de la cavitation à l’entrée de la pompe. On considèrera que la pression de vapeur saturante à la température de fonctionnement est de 2500 Pa.

242

272894,6

16

233 Qv

Dg

Q

D

L

g

PvsPatH

g

PvsPat

g

pvsHNPSHdispo V

asp

asptfiltreclapetaspasp ⋅−=

⋅⋅⋅

⋅++−−−=∆−−−=−=

πλξξ

ρρρ

0 20 40 60 80 90 6,94 6,6 5,8 4,3 2,2 1 L’intersection nous donne le débit de cavitation => Qv=83 l/s (voir figure) 3) On désire obtenir un débit dans le réseau de 60 l/s. Déterminer la vitesse de rotation à laquelle il faut faire fonctionner cette pompe pour obtenir ce débit. En déduire la puissance absorbée par la pompe et le coût du m3 d’eau transportée.

il faut calculer le paramètre A de la parabole de similitude : 2* QvAh= qui passe par le point de fonctionnement du réseau à 60

l/s et delta H=77m=> 02,060

772

==A 14 ; on trace ensuite la parabole de similitude ; l’intersection de celle-ci avec la courbe de la

pompe à 2800 t/min nous donne le débit en similitude à 2800 t/min soit => 58,5 l/s pour trouver la valeur de la vitesse de rotation pour avoir 60 l/s on utilise ensuite la loi de similitude soit :

5,5860

*2800222

11

2

2

1

133

=⇔=⇒⋅

=⋅

== NN

Qv

N

Qv

R

Qv

R

Qvcte

ωωδ =2872 t/min

Pour la puissance absorbée, on connait la hauteur nette et le débit à 2870 t/min ; en outre, le rendement est le même que celui du point homologue (placé sur la parabole de similitude à 2800 T/min) soit rend global (interpolation linéaire 40 l/s =>66% ; 60lS=>69%) environ 68 %

€1047,23600

06,01*65,66

*08,065,6668,0

10607781,91000 23

−−

⋅=

==>=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅== coûtkWQvhgPn

Pag

n

g ηρ

η

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110Qv (l/s)

H(m

)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

rend

emen

t (%

)

H(m)circuitNPSHrNPSH disporend


4) Toujours pour obtenir ce débit de 60 l/s, on décide de placer deux pompes identiques (en parallèle) à la place d’une seule sur la même conduite que précédemment. On considère que la caractéristique du réseau n’est pas modifiée par le changement d’une seule pompe à deux pompes. Quel est le débit obtenu avec ce montage. Pour obtenir le bon débit de 60 l/s on place sur la conduite de refoulement une vanne dont la caractéristique est donnée dans le tableau suivant. Déterminer : - l’angle d’ouverture de la vanne - la puissance absorbée par les deux pompes - le coût du m3 d’eau transportée

On trace la caractéristique des deux pompes en parallèle => même hauteur débit doublé ; le point d’intersection donne le nouveau point de fonctionnement et donc le débit Qv = 65 l/s ; ∆H=82 m Pour avoir l’angle d’ouverture de la vanne il faut déterminer la hauteur nette donnée par le montage des deux pompes en parallèle lorsqu’un débit de 60 l/s circule dans le montage des deux pompes. C’est également la hauteur nette donnée par une seule pompe pour un débit de 30 l/s (moitié du débit total) => hn = 82 m rendement pour chaque pompe = 63 %. Pour avoir la valeur de l’ouverture de la vanne il faut déterminer la perte de charge que doit rajouter la vanne pour obtenir une valeur de perte de charge dans le réseau égale à 82 m

( )

°≈⇒==

=⇒=⋅

⋅⋅

+

⋅+

⋅+++=∆+∆+=∆

57:int134

03676,0

92,482

16

2

06,05050

42

2

ouverturelinéaireerpolationvanne

vannemDg

vanneD

L

D

LHHH

R

R

asp


ζ

ζπ

ζλλξξ

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110Qv (l/s)

H(m

)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

rend

emen

t (%

)

H(m)circuitrendrend % (2872t/min)parab-similitudeH(m) 2872T/minrend % (2872t/min)

parabole de similitude

courbe pompe à 2872 t/min


Puissance absorbé par le montage des deux pompes fonctionnant à 30 l/s (rendement égal à 63%). Patotal = 2* Pa.

€108,23600

06,01*6,76

*08,06,763,3863,0

10308281,91000 23

−−

⋅=

==⇒=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅== coûtkWPatotalkWQvhgPn

Pag

n

g ηρ

η 5) On

décide d’étudier une troisième solution pour obtenir ce débit. On place deux réseaux de conduites identiques en parallèles (avec la pompe de la question 1). Les conduites d’aspiration et de refoulement de ces deux réseaux de conduites sont identiques à celui de la question 1. Quel est le débit obtenu avec ce montage. On place une vanne sur chacune des conduites de refoulement déterminer le coefficient de perte de charge singulière des deux vannes afin d’obtenir le débit total de 60 l/s et le même débit dans chaque réseau. On trace la conduite résultante des deux conduites en parallèle : pour une même perte de charge on double les débits Point de fonctionnement => 78 l/s ; 62 m

Pour connaitre l’ouverture des deux vannes on connait la perte de charge dans les deux réseaux en parallèle => Qv =60 l/s courbe pompe => hn= 72 m

Chaque caractéristique du réseau doit donc fournir la même perte de charge de 72 m pour un débit de 30 l/s

( )

1655

00919,0

217,1572

16

2

03,05050

42

2

==

==>=⋅

⋅⋅

+

⋅+

⋅+++=∆+∆+=∆

vanne

vannemDg

vanneD

L

D

LHHH

R

R

asp


ζ

ζπ

ζλλξξ

la puissance de la pompe et le prix du mètre cube se déduisent donc :

€1027,23600

06,01*42,61

*08,042,6169,0

10607281,91000 23

−−

⋅=

=⇒=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅== coûtkWQvhgPn

Pag

n

g ηρ

η

cette dernière solution est donc celle qui donne le coût de fonctionnement minimal

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110Qv (l/s)

H(m

)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

rend

emen

t (%

)

H(m)circuitH (m) 2pompes //rendréseau avec vanne fermée de 57°

courbe pompe en parallèle

rseeau avec vanne fermée (57°)



1) Montrer que la caractéristique idéale (hauteur indiquée) du ventilateur s'exprime par l'équation suivante

(avec hi en m et Qv en l/s). : Vi QBAh ⋅−= donner les valeurs des constantes A et B.

( ) [ ] [ ]slQvmhQvQgtgbr

u

g

uh iVi /951,004,15795104,157

2 22

22

2 ⋅−==>⋅−=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−=βπ

2) On estime que le rendement hydraulique (hn/hi) est égal à 57% lorsque la pompe fournit un débit nul ; ce rendement hydraulique est égal à 75% lorsque les pertes par choc à l’entrée de la roue sont nulles. Montrer que la hauteur nette s’exprime par l’équation suivante : 2

VVn QEQDCh ⋅+⋅+= et déterminer les constantes D, C, E.

On sait que ( )22 QvadaptQvPQvMhh in −⋅−⋅−= avec M et N des constantes et Qvadapt le débit d’adaptation. Pour déterminer

la constante M on se sert du rendement hydraulique au débit d’adaptation (perte par choc nulles). le débit d’adaptation correspond au débit pour lequel les pertes par choc à l’entrée de la machine sont nulles (vitesse w alignée avec les aubages. Donc :

( ) [ ]smN

rbrSVdQvadapt /00128,060

230tan211 3

11 =⋅⋅⋅⋅°⋅⋅⋅⋅=⋅= ππ

=>5

22

10732,237

75,08,155

00128,08,15575,0

00128,0

⋅==>

=⋅−=>=⋅−

M

M

h

Mh

i

i

Pour le débit nul on a :

5

22

10153,412

57,004,157

00128,004,15757,0

00128,0

⋅==>

=⋅−=>=⋅−

P

P

h

Ph

i

i

Donc : ( ) [ ]slQvQvQvQvQvhh in /651054,8900128,010153,41210732,237 22525 →⋅−⋅+=−⋅⋅−⋅⋅−=

circuit parallèle

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 20 40 60 80 100

Qv (l/s)

hn (

m)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

H(m)

circuit parallèle

circuit en parallèle sans vanne

rend

Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de DouaiDevoir surveillé d’Energétique des Machines


EXERCICE 1Un circuit de pompage véhicule de l’eaude masse volumique égale à 1000 kg/mentre deux réservoirs situés en contrebas et un réservoir situé à une altitude pluélevée.

- Altitude réservoir 1 Z = 5 m- Altitude réservoir 2 Z = 0 m- Altitude réservoir 3 Z = 8 m

Les pressions au niveau des réservoirs sont égales à 1bar. Toutes les conduites sont supposées avoir un coefficient de perte de charge linéaire λ=0,02. Les seules pertes de charge singulièresprendre en compte sont celles engendrées par les clapets, les filtres, et les coudesξclapet=4; ξfiltre=14 Pour le Té de raccordement les coefficients de pertes de charge à prendre en compte pour les deux sens de circulation sont : ξTé, sens1=1,2 ; ξTé, sens2=1,8 Qv1 =40 m3/h Qv2=24 m3/h

circuit A1 : circuit d’aspiration DA1= 100 mm LA1= 10 m un filtre circuit R1 : circuit refoulement débit : Qv1= 40 m3/h DR1=100 mm LR1= 40 m un clapet

1) Déterminer les hauteurs nettes ainsi que les pui ssances nettes que doivent fournir les pompes P1 et P2.

2) Dans toute la suite de l’exercice(page suivante) aux emplacements des pompes P1 et P2. débit plus important que les débits Qv1 et Qv2 requ isréglages sur les conduites R1 et R2 afin d’obtenir les débits requis Qv1 et Qv2 en utilisant ces pompes. Déterminer l’angle d’ouverture des deux vannes.

α° 5 10 15

ξ 0,05 0,29 0,75

(dans la suite de l’exer

3) La pompe 1 est maintenant arrêtée. Seule la pompe 2 assure un débit dans le réservoir 3. Déterminer le débit de pompage de l’eau.


Année scolaire 2007-2008 (4 pages dont celle-ci)

Tous documents autorisés Calculatrice autorisée


EXERCICE 1 : Circuit de pompage Un circuit de pompage véhicule de l’eau, de masse volumique égale à 1000 kg/m3,

éservoirs situés en contrebas t un réservoir situé à une altitude plus

= 5 m = 0 m

m Les pressions au niveau des réservoirs

Toutes les conduites sont supposées avoir un coefficient de

=0,02. Les seules pertes de charge singulières à prendre en compte sont celles engendrées par les clapets, les filtres, et les coudes :

Pour le Té de raccordement les coefficients de pertes de charge à prendre en compte pour les deux sens de

circuit A2 : circuit d’aspiration DA2= 100 mm LA2= 10m un filtre

circuit R3DR3= 150 mmLR3=300 mun té de raccordement

circuit R2 : circuit refoulement débit : Qv2= 24 m3/h DR2= 80 mm LR2= 16 m un clapet

pour le té de raccordement le déterminé en fonction de la vitesse la plus grande esections définies par le sens sur la figure (conformément à la définition du cours)

1) Déterminer les hauteurs nettes ainsi que les pui ssances nettes que doivent fournir les

Dans toute la suite de l’exercice, on décide d’utiliser la pompe dont la caractéristique est donnée (page suivante) aux emplacements des pompes P1 et P2. Montrer que ces pompes vont fournir un débit plus important que les débits Qv1 et Qv2 requ is . On décide de placer des vannes de

onduites R1 et R2 afin d’obtenir les débits requis Qv1 et Qv2 en utilisant ces pompes. l’angle d’ouverture des deux vannes.

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

0,75 1,6 3,1 5,5 9,7 17 31 53 110 206

(dans la suite de l’exercice on n’utilise pas cette solution des vannes de réglages)

La pompe 1 est maintenant arrêtée. Seule la pompe 2 assure un débit dans le réservoir 3. Déterminer le débit de pompage de l’eau.

circuit R3 : refoulement 150 mm

300 m un té de raccordement pour le té de raccordement le ξ est déterminé en fonction de la vitesse la plus grande entre les deux sections définies par le sens sur la figure (conformément à la définition du cours)

1) Déterminer les hauteurs nettes ainsi que les pui ssances nettes que doivent fournir les

d’utiliser la pompe dont la caractéristique est donnée Montrer que ces pompes vont fournir un

. On décide de placer des vannes de onduites R1 et R2 afin d’obtenir les débits requis Qv1 et Qv2 en utilisant ces pompes.

65

206 490

cice on n’utilise pas cette solution des vannes de réglages)

La pompe 1 est maintenant arrêtée. Seule la pompe 2 assure un débit dans le réservoir 3.

Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai 4) Vérifier que dans ce mode de fonctionnement (pom pe 1 arrêté pompe 2 en marche) il n’y a pas de cavitation dans la pompe. On prendra une pre ssion de vapeur saturante de l’eau égale à 4600 Pa. 5) Le débit trouvé à la question précédente (question 3) étant trop faible on décide d’augmenter la vitesse de rotation de la pompe qui tournait initialement à 1500 t/min. A quelle vitesse de rotation doit-on faire tourner la pompe pour assurer un débi t de 40 m 3/h. 6) On fait fonctionner les deux pompes à la vitesse de 1500 T/min. Expliquez comment peut-on procéder pour déterminer le débit de pompage Q v3. Pour cette question on considérera que le Té est à une altitude de 6 m. (il n’est pas demandé d’effectuer les calculs).

EXERCICE 2 : Avant projet - ventilateur axial

On effectue une étude préliminaire afin de définir les caractéristiques d’un ventilateur axial permettant d’extraire de l’air (d’une masse volumique constante égale à 1,2 kg/m3) d’un local. Dans cet avant projet on n’étudiera pas les pertes les pertes de charges dans la machine, et on négligera l’encombrement des aubages. Ce ventilateur fonctionne à la vitesse de rotation de 1950 t/min. La roue du ventilateur axial possède les caractéristiques suivantes : rayon moyeu : Ri=50 mm ; rayon extérieur : Re=400 mm ; angle du redresseur α3=90°

1) fonctionnement sans distributeur. . Le ventilateur doit permettre d’extraire un débit égal à 10 m3/s en fournissant une différence de pression totale (théorique) entre l’entrée et la sortie égale à 120 mm CE (millimètre de colonne d’eau). Tracer les triangles des vitesses à l’entrée et à

0123456789

1011121314151617181920

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

Qv (m3/h)

hn (

m)

0246810121416182022242628303234363840

N P S H

Caractéristique à 1500 T/min

Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douaila sortie de la roue au rayon moyen de la machine Déterminer (à partir de toutes ces données précéden tes) les angles des aubages au rayon moyen à l’entrée de la roue et du redreDonner également la valeur de la variation de press ion statique dans la roue et dans le redresseur .

2) Déterminer l’expression de la variation de pression totale théorique en fonction du débit dans la roue et dans le redres

directement liée à la hauteur indiquéetotale maximale (théorique)

3) Fonctionnement avec distributeurl’expression de la variation de pression totale thé orique pour l’ensemble de la machineet pour un angle du distributeur que peut donner la machine avec cette inclinaison d u distributeur ainsi que le débit maximal.

1) Déterminer hauteurs nettes que doivent fournir l es pompes P1 et P2.Il nous faut calculer les charges aux extrémités de chaque pompe.

3113111 − ++−=−= '''' HHH'H''Hhn ∆∆

3223222 − ++−=−= ''''''' HHHHHhn ∆

Vs/m,,.

VV ARA 411360010

4042211 =

⋅⋅==

π

m,,

,

,,

g

V

D

LH A

A

Afiltre'

6218192

411

10

1002014

2

2

21

1

111

=⋅

⋅

⋅+=

⋅

⋅+=− λξ∆

=

∆

( )m,

,

,

,,,

V

D

LH

R

Rsenstéclapet'''

3318192

411

10

40020214

2

2

1

1131

=⋅

⋅

++=

⋅

⋅++= −− λξξ∆

1’ 1’’

Ecole des Mines de Douai au rayon moyen de la machine (en l’absence de distributeur)

Déterminer (à partir de toutes ces données précéden tes) les angles des aubages au rayon moyen à l’entrée de la roue et du redre sseur pour fonctionner sans chocs ?Donner également la valeur de la variation de press ion statique dans la roue et dans le

Déterminer l’expression de la variation de pression totale théorique en fonction du débit dans la roue et dans le redres seur . La variation de pression totale théorique

directement liée à la hauteur indiquée : ithéo hgPt ⋅⋅ρ=∆ . Donner la variation de pression (théorique) que peut donner la machine ainsi que le débit maxim al.

onctionnement avec distributeur. Après avoir expliqué le rôle du distributeur, l’expression de la variation de pression totale thé orique pour l’ensemble de la machineet pour un angle du distributeur αααα0=80°. Donner la variation de pression totale maximale que peut donner la machine avec cette inclinaison d u distributeur ainsi que le débit

Correction 1) Déterminer hauteurs nettes que doivent fournir l es pompes P1 et P2.

les charges aux extrémités de chaque pompe.

Bernoulli entre 1 et 1’

_H'H 11 = ∆

Bernoulli entre 1

'H''H 31 +=

Bernoulli entre 2 et 2’

' _HH 22 =

Bernoulli entre 2’’ et 3’

'H''H 32 +=

Bernoulli entre 3’ et 3

33 +=' HH

33311311311 −−−− −=+++−= '''''' ZZHHHHHH ∆∆∆∆

33322322322 −−−− =+++−=+ '''''' ZHHHHHH ∆∆∆∆

,,.

Vs/m,,.

R 3213600080

244850

360010

244222

=⋅

⋅==⋅

⋅=ππ

m,,

,

,,

g

V

D

LH A

A

Afiltre'

5908192

850

10

1002014

2

2

22

2

222

=⋅

⋅

⋅+=

⋅

⋅+=− λξ∆

m,

,,

H '

052

150

300020

33

=

⋅=

⋅=− λ∆

g

VR

2

21

( )

m,,

,

,,,

g

V

D

LH R

R

Rsenstéclapet'''

8708192

321

080

16020814

2

2

22

2

2232

=⋅

⋅

++=

⋅

⋅++= −− λξξ∆

Pn

hn

Pn

hn

2’’ 2’

3’

(en l’absence de distributeur). Déterminer (à partir de toutes ces données précéden tes) les angles des aubages au

sseur pour fonctionner sans chocs ? Donner également la valeur de la variation de press ion statique dans la roue et dans le

Déterminer l’expression de la variation de pression totale théorique en fonction du débit . La variation de pression totale théorique theoPt∆ est

Donner la variation de pression que peut donner la machine ainsi que le débit maxim al.

. Après avoir expliqué le rôle du distributeur, déterminer l’expression de la variation de pression totale thé orique pour l’ensemble de la machine ,

Donner la variation de pression totale maximale que peut donner la machine avec cette inclinaison d u distributeur ainsi que le débit

oulli entre 1 et 1’ :

'H 11−∆

Bernoulli entre 1’’ et 3’ :

'''H 31 −+ ∆

Bernoulli entre 2 et 2’ :

'H 22−∆

Bernoulli entre 2’’ et 3’ :

'''H 32 −+ ∆

noulli entre 3’ et 3 :

33 −'H∆

3311311 −−− +++ ''''' HHHZ ∆∆∆

33223223 −−− +++− ''''' HHHZ ∆∆∆

s/m,.

Vs/m R 13600150

64432

23 =⋅

⋅=π

,

g

V

D

L R

R

R

8192

1

15

300

2

23

3

3

⋅⋅

⋅

⋅

WQvhngPn

m,,,,hn

WQvhngPn

m,,,hn

751222

51105259087082

870111

805262133131

=⋅⋅⋅==+++=

=⋅⋅⋅==+++=

ρ

ρ

Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai 2) Montrer que ces pompes vont fournir un débit plu s important que les débits Qv1 et Qv2 requis . Déterminer les coefficients de perte de charge de c es vannes ξξξξvanne1 , et ξξξξvanne2 . A partir de la courbe de la pompe on voit que pour un débit Qv1=40 m 3/h la hauteur nette est d’environ 9,5 m. la perte de charge du réseau quant à elle à été calculée à la question précédente et est égale à 8 m. Le débit qui s’établirait dans la conduite si on place cette pompe serait donc effectivement légèrement supérieur à 40 m 3/h. De même, pour la pompe 2, la hauteur nette lue sur la courbe pour un débit de 24 m 3/h est égale à environ 12,75 m. La perte de charge du réseau est égale pour ce débit à 11,5 m. Il faut donc placer sur les conduites de refoulement des deux pompes une vanne pour augmenter la perte de charge du réseau. Pour la pompe 1 il faut que la perte de charge du réseau soit de 1,5 m plus grande donc :

°≈

=⋅⋅=⇒

=

°≈

=⋅⋅=⇒

⋅=

38

14321

81922512

22251

38

14411

8192511

2151

2

22

2

21

α

ξ

ξ

α

ξ

ξ

,

,,vanne

g

Vvanne,

,

,,vanne

g

Vvanne,

R

R

3) La pompe 1 est maintenant arrêtée. Seule la pompe 2 assure un débit dans le réservoir 3. Déterminer le débit de pompage de l’eau. Caractéristique du réseau :

( ) ( )

( )

( ) 2424242

2v4

3R2

3R

3R4

2R2

2R

2R2senstéclapet4

2A2

2A

2Afiltre23

23R

3R

3R2

2R

2R

2R1senstéclapet

22A

2A

2Afiltre23

Qv395588Qvg15,0

8

15,0

30002,0

g08,0

8

08,0

1602,08,14

g1,0

8

1,0

1002,0148

QgD

8

D

L

gD

8

D

L

gD

8

D

LZZ

g2

V

D

L

g2

V

D

L

g2

V

D

LZZQvfH

⋅+=⋅

⋅⋅π

⋅⋅

⋅+⋅⋅π

⋅⋅

+++⋅⋅π

⋅⋅

⋅++=

⋅

⋅⋅π

⋅⋅

⋅λ+

⋅⋅π

⋅⋅

⋅λ+ξ+ξ+

⋅⋅π

⋅⋅

⋅λ+ξ+−=

⋅λ+⋅

⋅λ+ξ+ξ+⋅

⋅λ+ξ+−==∆

−

−

Qv (m3/h) 28 32 34

∆H (m) 10,4 11,1 11,53

On trouve à l’aide du graphe un débit d’environ 32 m3/h.

4) vérifier que dans ce mode de fonctionnement (pom pe 1 arrêté pompe 2 en marche) il n’y a pas de cavitation dans la pompe NPSH dipo :

0123456789

10111213141516

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

02468101214161820222426283032

0123456789

101112131415

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

hn (

m)

024681012141618202224262830


m2NPSHrequism5g1000

46002,6NPSHdispo

m6,6QvgD

8

D

L3

g1000

100000H3

g

Pat

g2

'v

g

P 24

2A2

2A

2Afiltre'22

2'2

=>=⋅

−=⇒

=⋅

⋅⋅π

⋅⋅

⋅λ+ξ−−

⋅=∆−−

ρ=−

ρ −

Il n’y a pas cavitation

5) Le débit trouvé à la question précédente étant trop faible on décide d’augmenter la vitesse de rotation de la pompe qui tournait initialement à 1500 t/min. A quelle vitesse de rotation doit-on faire tourne r la pompe pour assurer un débit de 40 m 3/h. Avec l’expression précédente (question 3) on connait la perte de charge du réseau pour un débit de 40 m3/h.

m,Qv 912839558 2 =+⋅ On peut donc calculer le coefficient k de la parabole de similitude passant par ce point :

10449091222

===Qv

,

Qv

Hk

∆ Avec ce coefficient on peut tracer la parabole de similitude et trouver le point homologue

pour une vitesse de rotation de la pompe égale à 1500 t/min. On trouve grapiquemnent que la parabole de similitude coupe la caractéristique de la pompe au point 36 m3/h ; 10,4 m.On calcule ensuite la vitesse de rotation

en effectuant la similitude : min/tNN

16671500

364021 =⇒=⇒= δδ

Qv (m3/h) 30 36 38

h 7,3 10,4 11,6

6) On fait fonctionner les deux pompes à la vitesse de 1500 T/min. Expliquez comment il faut procéder pour déterminer le débit de pompage Q v3. (il n’est pas demandé d’effectuer les calculs).

La question n’est pas aussi simple qu’il n’y parait. Une première solution est de d’approximer la caractéristique de chaque pompe par un polynôme du second degré.

cQvbQvahn +⋅+⋅= 2 . On écrit ensuite

24

12

1

11

1

131111

8Qv

gDD

L

D

LHHH

AR

Rsenstéclapet

A

Afiltre''''R ⋅

⋅⋅

⋅+++

⋅+=+= −−−

πλξξλξ∆∆∆

24

22

2

224

22

2

232222

88Qv

gDD

L

gDD

LHHH

RR

Rsenstéclapet

AA

Afiltre''''R ⋅

⋅⋅

⋅+++

⋅⋅

⋅+=+= −−−

πλξξ

πλξ∆∆∆

⋅⋅⋅

⋅=

gDD

LHR

RR

R4

32

3

3 83

πλ∆

. Si on connait l’altitude du Té on peut ensuite déterminer graphiquement

la caractéristique de chaque pompe diminué par la perte de charge du circuit allant de chaque réservoir au Té ( CR1 et CR2).

0123456789

101112131415

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

hn (

m)

024681012141618202224262830

réseau

Parab. similitude

Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai• ( )111 ZZHhCR TéRn −−−= ∆

• ( )222 ZZHhCR TéRn −−−= ∆

Il suffit ensuite de construire la caractéristique de ces deux pompes en parallèle (CR1//CR2).

Il ne reste plus qu’a tracer la caractéristique dl’intersection avec la caractéristique de CR1//CR2.

EXERCICE 2

1) fonctionnement sans distributeurde la roue au rayon moyen de la machine partir de toutes ces données précédentes) les angle s des aubages au rayon moyen à l’entrée de la roue et du redresseur pour fonctionn er sans chocs ?valeur de la v ariation de pression statique dans la roue et dans le redresseur

0123456789

1011121314151617181920

0 4 8 12 16 20 24 28

hn (

m)

CR1

CR2

CR2

V1

W1

U1 β1



Il ne reste plus qu’a tracer la caractéristique du réseau R3 ( RHCR =3 ∆l’intersection avec la caractéristique de CR1//CR2.

EXERCICE 2 : avant projet - ventilateur axial

fonctionnement sans distributeur. Tracer les triangles des vitesses à l’entrée et à l a sortie rayon moyen de la machine (en l’absence de distributeur)

partir de toutes ces données précédentes) les angle s des aubages au rayon moyen à l’entrée de la roue et du redresseur pour fonctionn er sans chocs ?

ariation de pression statique dans la roue et dans le redresseur

28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72

Qv (m3/h)

CR1//CR2

CR2

V2

W2

U2 β2

α2

α3


( )TéR ZZ −+ 33 ) et trouver

Tracer les triangles des vitesses à l’entrée et à l a sortie (en l’absence de distributeur). Déterminer (à

partir de toutes ces données précédentes) les angle s des aubages au rayon moyen à l’entrée de la roue et du redresseur pour fonctionn er sans chocs ? Donner également la

ariation de pression statique dans la roue et dans le redresseur .

76 80

V3

V2

α3−α2 α3


( )( )

( ) s/m41,292Vd2Vu2Vs/m81,312Vu2U2Vd2W

5,392Vu2U

2Vdarctg2S/m36,212Vu

g

2Vu2U

g

Pthi

RiRe

Qv1V2Vd1U2U8,23

1U

1VarcTg

s/m18,501V1U1Ws/m92,45Rm60

N21Us/m22,20

RiRe

Qv1V

2222

theorique

221

2222

=+==−+=

°=

−=β=⇒=

⋅ρ

∆=

−⋅π===°=

=β

=+==⋅⋅π⋅==−⋅π

=

Variation de pression statique :

dans la roue :

Pa4,9032

1V

2

2VPtP

22

s =

ρ−ρ−∆=∆

dans le redresseur (en l’absence de pertes) :

ρ−ρ=∆⇒ρ+=ρ+

2

3V

2

2VP

2

2VP

2

3VP

222

2

2

3 =273,8 Pa

2) Déterminer l’expression de la variation de pression totale théorique en fonction du débit dans la roue et dans le redresseur . La variation de pression totale théorique theoPt∆ est directement liée à la hauteur indiquée : ( )théoi Ptgh ∆ρ ⋅⋅= .

( ) ( ) ( )Qv

2tgRiRe

2U2U

2tg

2Vd2U2U2VU2UP

222

t β⋅−πρ−ρ=

β−⋅⋅ρ=⋅ρ=∆

Variation de pression maxi pour Qv=0 => Pa2,2533Pt =∆

Débit maxi pour variation de pression totale nulle => =Qv 18,68 m3/s

3) Fonctionnement avec distributeur. Après avoir expliqué le rôle du distributeur, déterminer l’expression de la variation de pression totale thé orique en fonction du débit volumique pour l’ensemble de la machine , et pour un angle du distributeur αααα0=20°.

Le distributeur permet de réduire le débit en modifiant la caractéristique du ventilateur.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Qv1tg

1

2tg

1

RiRe

2U2U

1tg

1Vd

2tg

2Vd2U2U1VU2VU2UP

222

t

α+

β⋅

−πρ−ρ=

α−

β−⋅⋅ρ=−⋅⋅ρ=∆

Variation de pression maxi pour Qv=0 => Pa2,2533Pt =∆

Débit maxi pour variation de pression totale nulle => =Qv 16,31 m3/s

V1

W1

U1

V2

W2

U2 β2

β1 α1

Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de DouaiDevoir surveillé d’


EXERCICE 1 Un circuit de chauffage possède un réchauffeur électrique fournissant de l'eau chaude, une pompe, un radiateur, un ballon d’expansion, et un circuit de dérivation comportant une vanne de réglage.Toutes les conduites ont un diamètre de mm (Le vecteur g représente sur la figure cile sens de l’accélération de la pesanteur

Pour les pertes de charge singulières on considère les singularités suivantes :� Coude avec un rayon de courbure R

90RD

,,θ

⋅+=ξ 2

7

02851130

� Té en dérivation 51,=ξ , Té en mélange� Le réchauffeur électrique : le constructeur donne une perte de charge de 500 mm CE (millimètres de colonne� Le radiateur : le constructeur donne une perte de charge de 1000 mm CE (millimètres de colonne d’eau) pour un débit de 10 m

1) Déterminer les valeurs du coefficient de pertes de charge du radiateur et du réchauffeurélectrique

2) Toutes les conduites ont un diamètre de

0,02. Déterminer l’expression de la caractéristique du ré seau m) lorsque la vanne de réglage est fermée

3) Le débit maximal souhaité dans le radiateur est de 25 mpompe me propose deux solutions. La

caractéristique est fournie page suivante. La deux moteurs et deux roues de pompe. Normalement ce type de pompe s’utilise sur un réseau de chauffage en utilisant uniquement une seule roue et un seul moteur (la seconde roue et le second moteur servant en cas de défaillan

les deux roues (et moteur) en fonctionnement, c’est lacaractéristique de cette pompe est fournie page suivante, mais attention de fonctionnement avec une seule roue en marcheA l’aide de ces caractéristiquepermettent de répondre à notre demande de débit.

Pompe double en fonctionnement alterné. (r


Année scolaire 2006-2007

(4 pages dont celle-ci) Tous documents autorisés



EXERCICE 1 : Circuit de chauffage

Un circuit de chauffage possède un réchauffeur électrique fournissant de l'eau chaude, une pompe, un radiateur, un ballon d’expansion, et un circuit de dérivation comportant une vanne de réglage.

onduites ont un diamètre de 70

Le vecteur g représente sur la figure ci- contre le sens de l’accélération de la pesanteur)

Pour les pertes de charge singulières on considère les singularités suivantes : Coude avec un rayon de courbure R0 égal à 1,5 D.

, Té en mélange 3=ξ , Té branche fermée 20,=ξ : le constructeur donne une perte de charge de

500 mm CE (millimètres de colonne d’eau) pour un débit de 10 m3/h : le constructeur donne une perte de charge de 1000 mm CE

(millimètres de colonne d’eau) pour un débit de 10 m3/h

1) Déterminer les valeurs du coefficient de pertes de charge du radiateur et du réchauffeur

Toutes les conduites ont un diamètre de 70 mm et un coefficient de perte de charge régulière

Déterminer l’expression de la caractéristique du ré seau ∆∆∆∆H=R××××QV2 (avec Q

vanne de réglage est fermée .

Le débit maximal souhaité dans le radiateur est de 25 m3/h. Le commercial d’un constructeur de pompe me propose deux solutions. La solution consiste en une pompe centrifuge dont la

caractéristique est fournie page suivante. La solution est une pompe centrifuge double constituée de deux moteurs et deux roues de pompe. Normalement ce type de pompe s’utilise sur un réseau de chauffage en utilisant uniquement une seule roue et un seul moteur (la seconde roue et le second moteur servant en cas de défaillance). Néanmoins il est possible de faire fonctionner cette pompe avec

les deux roues (et moteur) en fonctionnement, c’est la solution proposée par le commercialcaractéristique de cette pompe est fournie page suivante, mais attention il s’agit de la caractéristique de fonctionnement avec une seule roue en marche.

caractéristique s de pompe vérifier (graphiquement) qupermettent de répondre à notre demande de débit.

(roue 1 ou 2 en fonctionnement) Pompe double en fonctionnement avec les deux roues

: le constructeur donne une perte de charge de

: le constructeur donne une perte de charge de 1000 mm CE

1) Déterminer les valeurs du coefficient de pertes de charge du radiateur et du réchauffeur

0 mm et un coefficient de perte de charge régulière λ =

(avec QV en m3/h, et ∆∆∆∆H en

/h. Le commercial d’un constructeur de consiste en une pompe centrifuge dont la

centrifuge double constituée de deux moteurs et deux roues de pompe. Normalement ce type de pompe s’utilise sur un réseau de chauffage en utilisant uniquement une seule roue et un seul moteur (la seconde roue et le second

ce). Néanmoins il est possible de faire fonctionner cette pompe avec

proposée par le commercial. La il s’agit de la caractéristique

de pompe vérifier (graphiquement) qu e les deux solutions

Pompe double en fonctionnement avec les deux roues


Schéma explicatif d

solution

solution

Attention la caractéristique correspond au fonctionnement alterné (une seule roue en fonctionnement)

4) On utilise la solution . L’eau circulvapeur saturante de l’eau (en pascal) est une fonction de la température T s’écrivant2195T + 58000. (T est exprimé en °C). En mode «peut atteindre 1,2 bar (absolu). fonctionnement.


Schéma explicatif des types de fonctionnement possibles avec la pompe double

L’eau circulant dans le réseau à une température de 90 °C.vapeur saturante de l’eau (en pascal) est une fonction de la température T s’écrivant2195T + 58000. (T est exprimé en °C). En mode « dégradé », la pression dans le vase d’expansiopeut atteindre 1,2 bar (absolu). Vérifier que la pompe ne risque pas de caviter lors de son

avec la pompe double

ant dans le réseau à une température de 90 °C. La pression de vapeur saturante de l’eau (en pascal) est une fonction de la température T s’écrivant : Pvs = 26T² -

», la pression dans le vase d’expansion Vérifier que la pompe ne risque pas de caviter lors de son


Même question dans le cas où l’on utilise la 5) On désire maintenant obtenir un débit réduit dans le radiateur à 20 mfaut procéder pour d éterminer l’angle d’ouverture de la vanne de réglag e pour obtenir ce débit.(il n’est pas demandé d’effectuer les calculs

Angle d’ouverture ° 5 10

ξξξξ 0,05 0,29

EXERCICE 2

On désire construire un ventilateur centrifuge permettant d’extraire des fumées (d’une masse volumique constante égale à 0,8 kg/mdébit de fumée égal à 600 m3/h en fournissant une différence de pression statique entre l’entrée et la sortie égale au minimum à 100 mm CE (millimètre de colonne d’eau)vitesse de rotation de 1500 t/min.bureau d’étude de votre société propose de construire une roue de ventilateur ayant les caractéristiques ci-dessous. Pour pmétallique avec des aubages droits. La roue du ventilateur centrifuge possède les caractéristiques suivantes : vitesse de rotation N=1500 Tours/minrayon d'entrée de la roue : r1=50 mmrayon de sortie de la roue : r2=500 mmla largeur de la roue est constante égale à b. l’épaisseur des aubages est de 2 mm.

1) Déterminer les coefficients d’encombrement des auba ges à l’entrée et la sortie de la roue. 2) Déterminer la hauteur indiquée fourni 3) Déterminer les composantes des triangles des vit esses à l’entrée et à la sortie de la roue lorsqu’un débit de 600 m 3/h est véhiculé. l’entrée de la roue soit égale à 20 m/ 4) Déterminer la différence de pression statique obtenue entre mm CE) pour un débit de fumées véhiculé de 600 mpertes de charge dans la roue sont égales à 20% de la hauteudes fumées est égale à 0,8 kg/m3. 5) Après construction de la machine (roue + volute + conduites entrée/sortie), on effectue des essais avec cette machine avec de l’airpermettent de déterminer les performances de notre ventilateur sous forme du tableau suivant donnant la différence de pression statique mesurée entre l’entrée et la sortie de la machine en fonction du débit d’air ; (ces mesures de pression sontsont de section circulaire et de même diamètre). ∆Pstatique [Pa] 1000 Qv air [m3/h] 0


Même question dans le cas où l’on utilise la solution

On désire maintenant obtenir un débit réduit dans le radiateur à 20 m3/h. Expliquezéterminer l’angle d’ouverture de la vanne de réglag e pour obtenir ce débit.

il n’est pas demandé d’effectuer les calculs).

15 20 25 30 35 40 45

0,29 0,75 1,6 3,1 5,5 9,7 17 31

EXERCICE 2 : ventilateur d’extraction

On désire construire un ventilateur centrifuge permettant d’extraire des fumées (d’une masse gale à 0,8 kg/m3) d’un four industriel. Le ventilateur doit permettre d’extraire un

/h en fournissant une différence de pression statique entre l’entrée et la mm CE (millimètre de colonne d’eau). Ce ventilateur fonctionne à la

1500 t/min. En se basant sur un ventilateur issu d’un catalogue constructeur le bureau d’étude de votre société propose de construire une roue de ventilateur ayant les

dessous. Pour plus de facilité de construction la roue est fabriquée en tôle métallique avec des aubages droits.

La roue du ventilateur centrifuge possède les

vitesse de rotation N=1500 Tours/min =50 mm =500 mm

la largeur de la roue est constante égale à b. l’épaisseur des aubages est de 2 mm.

Déterminer les coefficients d’encombrement des auba ges à l’entrée et la sortie de la roue.

2) Déterminer la hauteur indiquée fourni e par cette roue.

3) Déterminer les composantes des triangles des vit esses à l’entrée et à la sortie de la roue /h est véhiculé. On choisira une valeur de b telle que la vitesse du fluide à

l’entrée de la roue soit égale à 20 m/s.

la différence de pression statique obtenue entre l’entrée et la sortie de la rouemm CE) pour un débit de fumées véhiculé de 600 m 3/h. Pour ce calcul on considèrera que les pertes de charge dans la roue sont égales à 20% de la hauteur indiquée et que la masse volumique

.

Après construction de la machine (roue + volute + conduites entrée/sortie), on effectue des essais avec cette machine avec de l’air de masse volumique constante égale à 1,2 kg/mpermettent de déterminer les performances de notre ventilateur sous forme du tableau suivant donnant la différence de pression statique mesurée entre l’entrée et la sortie de la machine en fonction du débit

; (ces mesures de pression sont effectuées dans les conduites entrée et sortie de la machine qui sont de section circulaire et de même diamètre).

1300 1400 900 300 600 900

Expliquez comment il éterminer l’angle d’ouverture de la vanne de réglag e pour obtenir ce débit.

50 55 60 65

53 110 206 490

On désire construire un ventilateur centrifuge permettant d’extraire des fumées (d’une masse ) d’un four industriel. Le ventilateur doit permettre d’extraire un

/h en fournissant une différence de pression statique entre l’entrée et la e ventilateur fonctionne à la

En se basant sur un ventilateur issu d’un catalogue constructeur le bureau d’étude de votre société propose de construire une roue de ventilateur ayant les

lus de facilité de construction la roue est fabriquée en tôle

Déterminer les coefficients d’encombrement des auba ges à l’entrée et la sortie de la roue.

3) Déterminer les composantes des triangles des vit esses à l’entrée et à la sortie de la roue On choisira une valeur de b telle que la vitesse du fluide à

l’entrée et la sortie de la roue (en Pour ce calcul on considèrera que les

r indiquée et que la masse volumique

Après construction de la machine (roue + volute + conduites entrée/sortie), on effectue des essais de masse volumique constante égale à 1,2 kg/m3. Les essais

permettent de déterminer les performances de notre ventilateur sous forme du tableau suivant donnant la différence de pression statique mesurée entre l’entrée et la sortie de la machine en fonction du débit

effectuées dans les conduites entrée et sortie de la machine qui

40 1200

Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de DouaiVérifier si, lorsque l’on véhicule un débit de fumé es de 600 mde pression statique entre l’entrée et la sortie d’ au moins 100 mm CE. (Les fumées ont une masse volumique constante égale à 0,8 kg/m

6) Quelle est la différence de pression statique que l ’on peut obtenir lorsque l’ofumées à un débit de 600 m 3/h et que l’on fait tourner le ventilateur à

EXERCICE 1 :

1) coeff de pertes de charge radiateur et réchauffeur

� Le réchauffeur électrique : le constructeur donne une perte de charge de 500 mm pour un débit de 1m

2

116

22

42

2Q

DgV

H V ⋅⋅⋅

⋅πξ=ξ=∆

� Le radiateur : le constructeur donne une perte de charge de 1000 mm CE (millimètres de colonne d’eau) pour un

débit de 1m3/h : 16

2 2

2

gV

Hπ

ξ=ξ=∆

2) Calcul caractéristiqu e réseau

Pertes de charge régulières :

(

001746703600

54422637

54422637

26122148020

8

2

2

32

52

252

2

,,

R

s/menQvQ,H

gD,H

QgD

Lg

VDL

H

V

V

==→

⋅=∆

⋅⋅π

+++++++⋅⋅=∆

⋅⋅⋅π

⋅λ=⋅⋅λ=∆

Pertes de charge singulières :

Pour les coudes 3

1851130 2

7

..

×+=ξ

( ) ( )42

2

81181690

0201690637169020

8

2

,,

,,,,,H

QgDg

VH

+++++++

=∆

⋅⋅⋅π

ξ=⋅ξ=∆ ∑∑

3) Vérification que le débit maximal atteint bien 30 m

•••• solution : on reporte sur la caractéristique de la pompe la caractéristique du réseau

Ecole des Mines de Douai Vérifier si, lorsque l’on véhicule un débit de fumé es de 600 m 3/h, on obtient bien une différence de pression statique entre l’entrée et la sortie d’ au moins 100 mm CE. (Les fumées ont une masse volumique constante égale à 0,8 kg/m3 ).

Quelle est la différence de pression statique que l ’on peut obtenir lorsque l’o/h et que l’on fait tourner le ventilateur à 1600 T/min

Correction

coeff de pertes de charge radiateur et réchauffeur

: le constructeur donne une perte de charge de 500 mm CE (millimètres de colonne d’eau) pour un débit de 1m

3600

108

107014350

8

12

432

2

42 ,,

Q

gDH

gV

⋅

⋅⋅

⋅=⋅

⋅⋅π⋅∆=ξ→

−

: le constructeur donne une perte de charge de 1000 mm CE (millimètres de colonne d’eau) pour un

6372

116 24

,g

QD

V =ξ→⋅

⋅⋅⋅

e réseau

)41 2

s

QV

⋅++

16902

7

,=

242

2

820V

V

QgD

,

Q

⋅⋅⋅π

⋅

015303600

101984470

101984470

2

6

26

,,

R

Q,H V

=⋅=→

⋅⋅=∆

Caractéristique réseau :

[ ]{ ( )0153000174670m

,,H ⋅+=∆

Qv [m3/h]

8 12

∆H [m] 1,09 2,45

Vérification que le débit maximal atteint bien 30 m 3/h

on reporte sur la caractéristique de la pompe la caractéristique du réseau

, on obtient bien une différence

Quelle est la différence de pression statique que l ’on peut obtenir lorsque l’o n véhicule les 1600 T/min ?

CE (millimètres de colonne d’eau) pour un débit de 1m3/h :

8118819

4

,,

=⋅

: le constructeur donne une perte de charge de 1000 mm CE (millimètres de colonne d’eau) pour un

0153

3 s/menQv

[ ]{

22

3

0170

h/mVV Q,Q ⋅=⋅

16 24 28 30

4,35 9,8 13,3 15,3

on reporte sur la caractéristique de la pompe la caractéristique du réseau :


Le débit trouvé à partir du point d’intersection est bien supérieur à 25 m

• solution : On doit tout d abord construire la courbe correspondant aux deux roues en parallèles

Le débit trouvé à partir du point d’intersection est très prochsous estimées la pompe risque de ne pas nous fournir le débit voulu.

4’4’4’4’ Déterminer la température de l’eau à l’entrée de la pompe à partir de laquelle on a cavitation

58000 2195T- 26T² Pvs ⇒+=Il faut vérifier que la charge à l’aspiration est supérieure au NPSH requis. À partir de la courbe de la pompe on détermine le NPSH requis : NPSH requis = 3 m

Calcul du NPSH disponible :

Bernoulli entre le point au niveau du vase d expansion (appelé A’ et l entrée

211

211

42

2

2

2

8

=+ρ−

=

+ρ

=+⋅⋅π

⋅+ρ Avase

g

v

g

PvsPdisponibleNPSH

g

v

g

PZ

gD

Qvg

P

Calcul des pertes de charge entre le vase et l’entrée de la pompe


oint d’intersection est bien supérieur à 25 m3/h il est au alentours de 27 m

On doit tout d abord construire la courbe correspondant aux deux roues en parallèles

Le débit trouvé à partir du point d’intersection est très proche de 25 m3/h. Si les pertes de charge sont légèrement

la pompe risque de ne pas nous fournir le débit voulu.

Déterminer la température de l’eau à l’entrée de la pompe à partir de laquelle on a cavitation

PaPvs 71050=⇒ ier que la charge à l’aspiration est supérieure au NPSH requis. À partir de la courbe de la pompe on

NPSH requis = 3 m

Bernoulli entre le point au niveau du vase d expansion (appelé A’ et l entrée de la pompe

( ) 1142

2

42

2211

11

8

8

2

−

−

∆−−+⋅⋅π

⋅+ρ

⋅⋅π

⋅+ρ

=+ρ

→∆++

AAvase

vaseA

HZZgD

Qvg

Pvs_P

gD

Qvg

P

g

v

g

PHZ

Calcul des pertes de charge entre le vase et l’entrée de la pompe

/h il est au alentours de 27 m3/h

On doit tout d abord construire la courbe correspondant aux deux roues en parallèles

. Si les pertes de charge sont légèrement

Déterminer la température de l’eau à l’entrée de la pompe à partir de laquelle on a cavitation

ier que la charge à l’aspiration est supérieure au NPSH requis. À partir de la courbe de la pompe on

de la pompe

( ) 11 −∆−−+ AA HZZg


( )

( )

cavitationdepasrequisNPSHdisponibleNPSH

m,,,,,

,g

v

g

PvsPdisponibleNPSH

m,,,

,,,

,HA

⇒>

=−−⋅⋅π

⋅+

⋅−⋅=+

ρ−

=

=⋅⋅π

⋅×

++

⋅=∆ −

9431701819070

3600

278

8191000

710501021

2

2380819070

3600

278

1696020070

3020

42

2

5211

42

2

1

• Même question si on utilise la solution Il faut vérifier que la charge à l’aspiration est supérieure au NPSH requis. A partir de la courbe de la pompe on détermine le NPSH requis (le débit total étant égal à 25 m3/h le débit dans une roue est alors égal à 12,5 m3/h) : NPSH requis = 1,5 m (environ)

Le NPSH dispo est le même que précédemment donc on a également :

cavitationdepasrequisNPSHdisponibleNPSH

,,

⇒>> 51943

5’5’5’5’ Expliquer sans effectuer les calculs la marche à s uivre pour déterminer l’angle d’ouverture de la vanne pour obtenir un débit réduit dans le radiateu r à 20 m 3/h:

On modélise le problème par le schéma suivant

Il faut dans un premier temps déterminer par calcul les différentes résistances hydrauliques. La résistance R2 étant fonction du coefficient de perte de charge de la vanne. On peut donc procéder de la manière suivante : enlever à la caractéristique de la pompe les pertes de charge correspondant à la résistance R1, afin d’obtenir la charge aux bornes des points A et B (schéma ci-contre) en fonction du débit total QV.

( ) 21 vnBA QRhHH ⋅−=− Ensuite on détermine le débit Qv en

disant que la charge HA – HB est égale à la résistance hydraulique R3 multiplié par le débit circulant dans le radiateur (20 m3/h).

( ) 233 vBA QRHH ⋅=−

Le débit QV2 est donc égal à à QV –QV3 on déduit le coefficient de

perte de charge de la vanne en disant que ( ) 222 vBA QRHH ⋅=−

Et en exprimant R2 en fonction du coefficient de perte de charge de la vanne.

EXERCICE 2 :

1) Coefficient d’encombrement :

Entrée : 97402

42

2

42

1

1

1

11 ,

r

er

br

bebr

passagedeSurface

aubagesdesSectionpassagedeSurfacek =

⋅π⋅⋅−⋅π⋅

=⋅⋅π⋅

⋅⋅−⋅⋅π⋅=

−=

Sortie : 99702

42

2

42

2

2

2

22 ,

r

er

br

bebr

passagedeSurface

aubagesdesSectionpassagedeSurfacek =

⋅π⋅⋅−⋅π⋅

=⋅⋅π⋅

⋅⋅−⋅⋅π⋅=

−=

R1

R2 R3

Qv Qv2 Qv3

A

B

hn

hn-R1.Qv2

R3

qV3

HA-HB

Qv

Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai 2) hauteur indiquée :

[ ] [ ]N/Jm,g

r

g

u

g

uh uV

i ≡=

⋅⋅π⋅

===×

262860

150022

2222 2

3) triangles des vitesses : Les triangles des vitesses à l’entrée et à la sortie ont la forme suivante (angle béta 2 égal à 90°).

s/m,,,V

s/m,,W

s/m,b

,brk

Q

Sk

QW

cm,bs/mb

,V

brk

Q

Sk

QV

s/m,rU

s/m,rU

VV

VV

5278971578

482120857

97105360

222

72205450

2

57860

150022

85760

15002

222

221

222

1

11111

2

11

=+=

=+=

==⋅⋅π⋅×

=×

=

==>==

⋅⋅π⋅×=

×=

=⋅⋅π⋅=

=⋅⋅π⋅=

4) calcul de la différence de pression statique entrée/sortie roue :

( )

( )

( )

( ) CEmmPa,,,P

,,*,,g

,,,,

gP

Hrrg

WWUU

gP

Hrrg

VV

gP

Hhg

WWUUVVh

roue

roueroueni

1661634220881980

2208166282045002

9714821857578

2

22

2222

12

22

21

21

22

12

21

22

22

21

21

22

21

22

→=⋅⋅=∆

=−−⋅

−+

−

=ρ∆

∆−−−

−+

−

=ρ∆

∆+−+

−

+ρ∆=∆+=

−+

−+

−

=

5) Débit de fumée : Conduites de même diamètre => différence de pression statique égale différence de pression totale

∆Pstatique [Pa] 1000 1300 1400 900 40 Qv [m3/h] 0 300 600 900 1200 A l’aide de l’analyse dimensionnelle il est possible de déterminer la caractéristique du ventilateur lorsqu’il véhiculera les fumées.

( ) ( )

( )( )

( )( )

( ) ( )airP,,

fuméesPfuméesPairP

r

P

r

gh

fuméesQairQr

Q

ttufmées

t

air

ttn

vvv

∆⋅=∆→ρ

∆=

ρ∆

→⋅ω⋅ρ

∆=

⋅ω=ψ

=→⋅ω

=δ

21

802

222

22

32

Caractéristique avec les fumées

∆Pstatique [Pa]

666,7 866,7 933,3 600 26,6

Qv [m3/h] 0 300 600 900 1200 Pour 600 m3/h la différence de pression statique est de 933,3 Pa.

U2

W2

V2

U1

W1 V1


CEmm,

,soit 95

8191000

3933 =⋅

On obtient pas tout à fait 100 mm CE => le ventilateur ne répond pas au cahier des charges

6) Ventilateur à 1600 T/min

( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )airP,,

fuméesPfuméesPairP

r

P

r

gh

airQfuméesQr

Q

ttufmées

t

air

ttn

vvv

∆

⋅=∆→ρ

∆=

ρ

∆→

⋅ω⋅ρ

∆=

⋅ω=ψ

=→⋅ω

=δ

⋅⋅

2

160022

222

22

32

1500

1600

21

80

1500

1500

1600

2

∆Pstatique [Pa]

758,5 986 1062 683 30

Qv [m3/h] 0 320 640 960 1280 On procède a une interpolation linéaire pour avoir la différence de pression statique pour le débit de 600 m3/h :

( ) CEmmPa,P 10751052320600320640

9861062986 →=−⋅

−−+=∆ On obtient bien les 100 mm CE


30

Devoir surveillé d’Energétique des Machines

Année scolaire 2005-2006 (4 pages dont celle-ci )

Tous documents autorisés Matériel : papier millimétré.

Calculatrice autorisée Pour le premier exercice le fluide considéré est de l’air de masse volumique constante égale à 1,2 kg/m3. Pour le second exercice le fluide considéré est de l’eau de masse volumique constante égale à 1000 kg/m3. On prendra g = 9,81 m/s2. Les notations sont les notations habituelles du cours. Barème indicatif : Exercice 1 : 13 points Exercice 2 :7 points EXERCICE 1 : Ventilation mécanique controlée simple flux à deux allures

Une petite V.M.C comprend un extracteur (ventilateur centrifuge) sur lequel sont raccordées deux conduites d'aspiration et une conduite de refoulement. La perte de charge dans la conduite de refoulement est totalement négligeable. Les conduites d'aspiration sont des conduites souples en PVC armé. La rugosité absolue des deux conduites est de 8 mm La conduite de plus grande section (C1) à un diamètre de 80 mm. La conduite de section plus réduite (C2) un diamètre de 63 mm. Les deux conduites ont une longueur de 10 m. Pour chaque conduite la somme des coefficients de pertes de charge singulières (coudes, bouches d'extraction...) est égale à

85. ( 85

21

=ξ=ξ ∑∑CC

)

Le fluide est de l'air dont nous considèreront la masse volumique constante (incompressible) égale à 1,2 kg/m3. Dans la suite de l'exercice la charge de l'écoulement sera exprimée en Joules/m3 c'est à dire en Pa.

1) Pertes de charge du réseau

Déterminer les paramètres R 0, R1, R2 des caractéristiques de pertes de charge des circu its :

- de la conduite C 1 ∆∆∆∆H=R1××××QV12 (avec QV en m3/h, et ∆H en Pa)

- de la batterie C 2 ∆∆∆∆H=R2××××QV22 (avec QV en m3/h, et ∆H en Pa)

- global ∆∆∆∆H=R0××××QVO2 (avec QV en m3/h, et ∆H en Pa)

Pour cela on tiendra compte des pertes de charges singulières et linéaires. Le coefficient de pertes de charges linéaires λ sera calculé à l'aide de la loi de Blench:

D

ελ ×= 7900, avec ε la rugosité absolue en mm et D le diamètre de la conduite en mm.

Tracer sur le diagramme ci dessous (page 2) la cara ctéristique globale du réseau en calculant les pertes de charge (en Pa) pour les trois débits 10 m3/h, 20 m3/h, 30 m 3/h; Ainsi que la caractéristique de la conduite C 2 en calculant les pertes de charge pour les trois d ébits 4 m 3/h, 8m3/h, 12 m3/h

2) Ventilateur centrifuge


31

La roue du ventilateur centrifuge de la VMC possède les caractéristiques suivante : vitesse de rotation N=1200 Tours/min rayon d'entrée de la roue : r1=20 mm rayon de sortie de la roue : r2=80 mm la largeur de la roue est constante b =10 mm l'angle d'entré des aubages de la roue β1 est égal à 30°. l'angle de sortie des aubages de la roue β2 est égal à 30°.

les coefficients d'encombrement des aubages sont égaux à 1. On considère que la vitesse de l'air à l'entrée de la roue est purement radiale et que le fluide est toujours parfaitement guidé par les aubages de la roue. Montrer que la caractéristique idéale (hauteur indi quée) du ventilateur s'exprime par l'équation suivante (avec hi en Pa et Qv en m3/h). : [ ]PaQh Vi ⋅−= 15115121 ,,

L'ensemble des pertes de charge (par chocs et par frottement) dans la machine est fonction des angles des aubages à l'entré et à la sortie de la roue et s'exprime par l'équation suivante (avec QV en m3/h, et ∆H en Pa):

CQBQAH vv +⋅+⋅=∆ 2 (eq-1) avec A=0,08 ; B=1 et C=7 Tracer sur le diagramme ci dessous la caractéristiq ue du ventilateur (h n) en calculant la hauteur nette (en Pa) pour les quatre débits 10 m 3/h, 14 m 3/h, 20,5 m3/h, 24 m 3/h. En déduire le débit d'extraction, ainsi que le débit circulant dans la conduite C 2 et C1..

3) Variation de vitesse

Afin de pouvoir réduire le débit de ventilation dans le cas du fonctionnement normal (faible allure) le moteur possède une vitesse de rotation modifiable à 600 Tours/min . Tracer sur le diagramme la caractéristique du ventilateur à la vitesse réduit e de 600 T/min. En déduire le débit d'extraction, puis le débit circulant dans la conduite C 2.

4) Inversion du sens de rotation (la vitesse de rotation étant toujours égale à 1200 T/min)

Une solution moins onéreuse (à la construction) pour réduire le débit (fonctionnement à faible allure) est d'inverser le sens de rotation de la roue. La roue travaille alors en "action". Ce mode de fonctionnement dégradé, augmente les pertes de charge dans la roue modifiant les coefficients A , B et C de l'équation (eq 1) avec A=1,1 ; B=0,5 et C=1,6. Expliquer, à l'aide d'un schéma, pourquoi lorsque le sens de rotation est inversé l'angle du triangle des vitesses en sortie de la roue devient égal à (180- ββββ2222).).).).Tracer sur le diagramme la caractéristique du venti lateur en calculant la hauteur nette (en Pa) pour les quatre débits 0 m 3/h, 3 m 3/h, 6 m 3/h, 10 m 3/h . En déduire le débit d'extraction, puis lse débits circulant dans les co nduites C 1 et C2.

5) Analyse énergétique

La puissance électrique fournie par le moteur électrique du ventilateur est égale à la puissance indiquée. Déterminer la puissance électrique consommée à faib le allure dans le cas de la réduction de la vitesse de rotation et dans le cas de l'inversion de la vitesse de rotation. Quelle est la solution la plus rentable énergétiquement.


32

EXERCICE 2 : Circuit de chauffage Un circuit de chauffage possède une chaudière fournissant de l'eau chaude, un circulateur (pompe centrifuge) permettant de faire circuler un débit constant de 0,6 litres/secondes . La caractéristique de la pompe est donnée par l'équation suivante (avec hn en m et Qv en l/s).:

2913 Vn Qh ×−= (le débit est en litres par seconde dans la formule)

On donne :

� le diamètre de conduite du réseau φφφφ = 25 mm

� le coefficient de perte de charge régulière des conduites λλλλ = 0,02

� le coefficient de pertes de charge singulière de la chaudière : ξξξξ chaud = 40

� le coefficient de perte de charge des coudes : ξξξξ coude = 3

� la pression imposé dans la conduite au niveau du vase d'expansion est de 2 bars absolus .

1) Déterminer la valeur du coefficient de pertes de charge singulière du radiateur

05

101520253035404550556065707580859095

100105110115120125130135140145150

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

m3/h

Pa


33

2) L’eau circulant dans le réseau a une température comprise entre 60 et 95 °C. La pression de vapeur saturante de l’eau (en pascal) est une fonction de la température (°C) s’écrivant :

Pvs = 26T² -2195T + 58000 (Pour une température comprise entre 60 et 95 °C)

Le NPSH requis à l'entrée de la pompe est de 2 m de colonne d'eau. Déterminer la température de l’eau à l’entrée de la pompe à partir de laquelle o n a cavitation.

3) On change la position du vase d'expansion en le plaçant au repère (a). Sachant que la température de l'eau en sortie chaudière est limité e a 95 °C y a t-il cavitation?

Correction EXERCICE 1 : Ventilation mécanique controlée simple flux à deux allures

1) Pertes de charge du réseau

Avec la loi de blench on calcule les paramètres de pertes de charge linéaire

D790,0

ε×=λ ---------> λ1=0,250 ; λ2=0,282 les PdC se calculent avec la formule classique dans laquelle on fait apparaître le débit

2

42

8

VQDD

LH ⋅

⋅π⋅

⋅λ+ξ⋅ρ=∆ ∑

� R1=2763411,3 en unité SI en exprimant le débit en m3/h (diviser par (3600)2) R1=0,213 [Pa/(m3/h)2] = [Pa.m-6h2] R2=0,619 [Pa/(m3/h)2]

pour la caractéristique globale :

( )221

210

RR

RRR

+

⋅=

o R0=0,0846 [Pa/(m3/h)2] 10 m3/h ----------------------> 8,4 Pa 20 ----------------------->34 Pa 30 ----------------------->76 Pa

o R2=0,619 4 m3/h ----------------------> 10 Pa 8 ----------------------->39 Pa 12 ----------------------->89 Pa

2) Ventilateur centrifuge

.Montrer que la caractéristique idéale (sans pertes d'énergie) du ventilateur s'exprime par

l'équation suivante (avec hn en Pa et Qv en m3/h).: V2

i Q66,41057,7h ×−⋅=

poly de cours page 73 on sait que :

( ) [ ]PaQtgbr2

uuh v

222

222i

⋅

β⋅⋅⋅π⋅−ρ= avec [ ]s/m05,10

60Nπ2

ru22

=⋅⋅

⋅=

soit : [ ]PaQ15,115,121h Vi ⋅−=

10 m3/h ----------------------> 109,6 Pa 14 ----------------------->105 Pa 24----------------------->93,55Pa

CQBQAH v2

v +⋅+⋅=∆ avec A=0,08 ; B=1 et C=7

2VVV

2VVin Q08,0Q15,215,1147QQ08,0Q15,115,121Hhh ⋅−⋅−=−⋅−⋅−⋅−=∆−=

hn

0 m3/h ---------------------->114 10 m3/h ----------------------> 84,6 Pa 14 ----------------------->68 Pa 20,5----------------------->36 Pa 24----------------------->16,5 Pa

Pour le débit d'extraction on peut le résoudre graphiquement (intersection caractéristique réseau et ventilateur) on lit sur le graphe QV=20,5 m3/h dans le réseau global et QV2=7,5 m3/h dans la conduite 2 3) Variation de vitesse

loi de similitude 1200

600QQet

1200

600hh )1200(NV)600(NV2

2

)1200(N)600(N ==


34

1200 T/min 600 T/min QV hn QV hn

0 114 0 28,5 10 84,6 5 21 14 68 7 17 20,5 36 10,25 9 24 16,5 12 4

le débit d'extraction se lit a l'intersection de la caractéristique réseau global et ventilateur à vitesse réduite => QV=10,2 m3/h

le débit dans la conduite c1 se déduit de la même manière que précédemment => QV=4 m3/h le débit dans la conduite c2 se déduit => QV=6,2m3/h

4) Inversion du sens de rotation

lors de l'inversion du sens de rotation le triangle des vitesses devient :

( ) [ ]PaQtgbr2

uuh v

222

222i

⋅

β⋅⋅⋅π⋅−ρ=

Soit:

Vi Qh ⋅+= 15115121 ,,

CQBQAH v2

v +⋅+⋅=∆ avec A=1,1 ; B=0,5 et C=1,6

22116505511961501115115121 VVVVVin QQQQQHhh ⋅−⋅+=−⋅⋅−⋅−⋅+=∆−= ,,,,,,,,

Qv hn 0 119,55 3 111,6 6 84

10 16 Sur le graphique on déduit un débit d’extraction d’environ 10,2 m3/h le débit dans la conduite C1 est d’environ 3,8 m3/h est donc le débit dans la conduite C2=10,2-3,8=6,4 m3/h Puissance électrique consommée : Cas inversion de vitesse

hh

Vn

h

2,108,9QhPnPe

η⋅=

η⋅

=η

=

QV=10,2 m3/h

V

2VV

i

nh Q96,015,121

Q1,1Q46,055,119

h

h

⋅+⋅−⋅+==η =0,075

Pe=1333 W Cas réduction de vitesse

hh

Vn

h

QhPnPe

η⋅=

η⋅=

η= 251089 ,,

Le rendement hydraulique à 10,25 m3/h pour la vitesse réduite à 600T/min est le même que le rendement pour la vitesse 1200 T/min à 20,5 m3/h (point en similitude)

V

2VV

i

nh Q15,115,121

Q08,0Q15,215,114

h

h

⋅−⋅−⋅−

==η =0,37

Pe=267,6 W


35

On peu aussi déterminer les courbes hi= f(QV) et hn=f(QV) pour la vitesse de rotation 600 T/min. On effectue un changement de variable :

⋅=

⋅=

1200

600

1200

600

1200600

2

1200600

VV

ii

QQ

hh

Vi

Vi

Qh

Qh

⋅−=

⋅−⋅

=→

57502930

1200

60015115121

1200

6002

,,

,,

on procède de même pour hn 2

0800751528 VVn QQh ⋅−⋅−= ,,,

hh

Vn

h

2,108,9QhPnPe

η⋅=

η⋅

=η

=

370575037530

080075154282

,,,

,,,=

⋅−⋅−⋅−

==ηV

VV

i

nh Q

QQ

h

h

Pe=267,6 W La solution d'inversion de vitesse n'est absolument pas rentable énergétiquement

EXERCICE 2 : Circuit de chauffage 1) Déterminer la valeur du coefficient de pertes de charge singulière du radiateur

05

101520253035404550556065707580859095

100105110115120125130135140145150

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

m3/h

Pa


36

On donne :

le diamètre de conduite du réseau φφφφ = 25 mm le coefficient de perte de charge régulière des con duites λλλλ = 0,02 le coefficient de pertes de charge singulière de la chaudière : ξξξξ chaud = 40 le coefficient de perte de charge des coudes : ξξξξ coude = 3 la pression imposé dans la conduite au niveau du va se d'expansion est de 2 bars effectifs.

On a un débit égal à 0,6 l/s dans le réseau. la perte de charge totale du réseau est donc égale à la hauteur nette de la pompe pour ce débit donc :

[ ]mhH n 769609132 ,, =×−==∆

(attention dans le calcul de la pompe la formule utilise comme unité de débit des l/s et pas des m3/s)

on détaille ensuite les pertes de charge :

[ ]

( ) ( ) ( ) 63371060819

1

1025

8

1025

480204034769

18769

23

432

3

2

42

,,,

,,

,

≈ζ⇒⋅⋅⋅

⋅⋅π⋅

⋅⋅++⋅+ζ=

⋅

⋅π⋅

⋅λ+ξ==∆

−−−

∑

radiateurradiateur

V mQgDD

LH

(attention de bien prendre le débit en m3/s dans le calcul précédant car il faut prendre les unités SI pour être homogène)

2) la pression de vapeur saturante de l’eau (en pas cal) est une fonction de la température (°C) s’écrivant :

Pvs = 26 T² -2195T + 58000

Le NPSH requis à l'entrée de la pompe est de 2 m de colonne d'eau. Déterminer la température de l’eau à l’entrée de la pompe à partir de laquell e on a cavitation.

Il faut calculer le NPSH disponible à l'entrée de la pompe :

g

v

g

pvsPNPSHdispo

2

211 +

⋅ρ−= le problème est donc de déterminer la pression P1. En appelant PA la

pression au niveau du vase d'expansion on a :

1

2

1

211

22−∆−++

⋅ρ=++

⋅ρ AAAA Hzg

v

g

Pz

g

v

g

P

( ) ( ) ( ) mH

QgDD

LH

A

VA

A

181060819

1

1025

8

1025

2802040326337

18

23

432

31

2

42

11

,,,

,, =⋅⋅⋅

⋅⋅π⋅

⋅⋅++⋅+=∆

⋅

⋅π⋅

⋅λ+ξ=∆

−−−−

−− ∑


37

( ) mHzzg

PAA 296186

8191000

102

8191000

1025

11

51 ,,

,,=−−

⋅⋅=∆−−+

⋅⋅=

⋅ρ −

on a apparition de la cavitation lorsque le NPSH disponible est égal au NPSH requis donc :

C67T

4,36g58000 T 2195- T² 62

QgD

8229,6

g

P2

g2

v

g

P

g

P 2v42

VS2

1VS1

°=⋅⋅ρ=+⇒

⋅⋅π

+−=ρ

⇒=+ρ

−ρ

3) On change la position du vase d'expansion en le plaçant au repère (a). Sachant que la température de l'eau en sortie chaudière est limité e a 95 °C y a t-il cavitation?

Il faut calculer le NPSH disponible à l'entrée de la pompe :

g

v

g

pvsPNPSHdispo

2

211 +

⋅ρ−= le problème est donc de déterminer la pression P1. En appelant PA la

pression au niveau du vase d'expansion on a :

1

2

1

211

22−∆−++

⋅ρ=++

⋅ρ AAAA Hzg

v

g

Pz

g

v

g

P

( ) ( ) m061,0106,081,9

1

1025

8

1025

102,0H

Qg

1

D

8

D

LH

2343231A

2V42

1A1A

=⋅⋅⋅

⋅⋅π⋅

⋅⋅=∆

⋅

⋅π⋅

⋅λ=∆

−

−−−

−−

( ) m32,20061,081,91000

102Hzz

81,91000

102

g

P 5

1A

0

1A

51 =−

⋅⋅=∆−−+

⋅⋅=

⋅ρ −

=43421

Pour qu’il n’y ait pas cavitation il faut que le NPSH disponible soit supérieur au NPSH requis donc :

( )

283,11

2QgD

8

g

58000 95 2195- ²95 6232,202

g2

v

g

P

g

P 2v42

21VS1

>⇒

>⋅⋅π

+ρ

+⋅−⇒>+ρ

−ρ

Il n’y a pas cavitation

ds 2006 2011

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