Seconde Fonctions : Variations 2019/2020

Activité d’introduction

Réponses

1. Sur l’axe des abscisses, on lit le temps en heures, sur l’axe des ordonnées, la température en degrés La variable est le temps, l’ensemble de définition est l’intervalle [6 ; 22]

2. La température diminue entre 6 h et 8h, elle augmente entre 8 h et 15 h puis diminue entre 15 h et 22 h.

3. Au cours de cette journée, la température maximale était de 6 ° à 15 h ; la température minimale de -3 ° à 8 h.

I. Variations d’une fonction sur un intervalle 1. Définitions

On considère une fonction f définie sur un intervalle I ; on note C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthogonal

Définition 1

Dire que f est strictement croissante sur I signifie que pour tous réels u et v de I, si , alors

Remarque :

Une fonction strictement croissante range les nombres et leurs images dans le même ordre

Exemple

On considère une fonction f définie sur R, on admet que f est strictement croissante sur R

Compléter les phrases suivantes :

• Si , alors < f ( 2)

• Si , alors f (1 ) <

• Si , alors > f ( -1)

• Si , alors f ( -2 ) < < f ( 4)

( ); ,O i j! !

u v<( ) ( )f u f v<

2x < ( )f x1 x< ( )f x

1x > - ( )f x2 4x- < < ( )f x

Définition 2

Dire que f est strictement décroissante sur I signifie que pour tous réels u et v de I, si , alors

Remarque : Une fonction strictement décroissante range les nombres et leurs images dans l’ordre contraire

Exemple

On considère une fonction f définie sur R, on admet que f est strictement décroissante sur R.

Compléter les phrases suivantes :

• Si , alors > f ( 3)

• Si , alors f ( 1 ) >

• Si , alors < f ( 5 )

Définition 3

Dire que f est constante sur I signifie que pour tous réels u et v de I,

u v< ( ) ( )f u f v<

3x < ( )f x1 x< ( )f x5x > ( )f x

( ) ( )f u f v=

Remarque

La fonction tracée ci dessous , définie sur [0 ; 6] est strictement croissante sur [0 ; 3] et sur [5 ; 6] et constante sur [3 ; 5] ;

elle est croissante sur [0 ; 6].

2. Sens de variation d’une fonction

Etudier le sens de variation d’une fonction, c’est préciser les intervalles sur lesquelles la fonction est croissante et ceux sur lesquels elle est décroissante.

Exemple

On considère la fonction f dont la courbe est tracée ci dessous.

Préciser le sens de variation de f :

f est strictement croissante sur [-2 ; 1]

elle est strictement décroissante sur [-1 ; 1]

et strictement croissante sur [1 ; 2,5]

On peut résumer les informations précédentes dans un tableau de variation

Aller sur le site « maths et Tiques » seconde, variations d’une fonction et regarder la vidéo « dresser le tableau de variation d’une fonction » et l’exercice corrigé vidéo « dresser le tableau de variation d’une fonction »

Exercice résolu

On considère le tableau de variation ci-dessous

-5 -2 1 3 Variation de

f 2 3 0 -1

1. Quel est l’ensemble de définition de f ?......... La fonction est définie sur l’intervalle [5-5 ; 3]

2. Décrire à l’aide de phrases le sens de variation de la fonction. La fonction est décroissante sur [-5 ; -2], croissante sur [-2 ; 1] et décroissante sur [1 ; 3]

3. En utilisant le tableau, comparer, si c’est possible ; ;

-4 et -2 appartiennent à l’intervalle [-5 ; -2] où la fonction est décroissante ; -4 < -2 donc

-2 et -1,99 appartiennent à l’intervalle [-2 ; 0] où la fonction est croissante ; -2 < -1,99 donc

On ne peut pas comparer car 0 et 2 ne sont pas dans un même intervalle où la fonction est soit croissante soit décroissante

3.Maximum, minimum d’une fonction Définitions

Soit f une fonction .

Le maximum M de f sur un intervalle I est la plus grande valeur prise par lorsque x parcourt cet intervalle. On a alors pour tout x de I,

Le maximum est l’ordonnée du point le plus « haut » de la courbe

Le minimum m de f sur un intervalle I est la plus petite valeur prise par lorsque x parcourt cet intervalle. On a alors pour tout x de I,

Le minimum est l’ordonnée du point le plus « bas » de la courbe

Un extremum est un maximum ou un minimum.

x

( 4) et ( 3)f f- - ( 2) et ( 1,99)f f- -(0) et (2)f f

( 4) ( 2)f f- > -

( 2) ( 1,99)f f- < -(0) et (2)f f

( )f x( )f x M£

( )f x( )f x m³

Exemple

a. Quel est l’ensemble de définition de f ?.......... La fonction est définie sur [-5 ; 7]

b. Décrire à l’aide de phrases le sens de variation de la fonction. La fonction est décroissante sur [-5 ; -4], croissante sur [-4 ; 0], décroissante sur [0 ; 5] puis croissante sur [5 ; 7]

c. Compléter les phrases : Sur l’intervalle [-5 ; 7], f admet un maximum égal à ………., il est atteint pour x =……. Sur l’intervalle [-5 ; 7], f admet un minimum égal à ………., il est atteint pour x =……. Sur l’intervalle [-5 ; 7], f admet un maximum égal à 3,5, il est atteint pour x =0 Sur l’intervalle [-5 ; 7], f admet un minimum égal à -4, il est atteint pour x =-4

d. Dresser le tableau de variation de f.

II. Parité d’une fonction

Définitions

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

On dit que f est paire lorsque, pour tout x de I,

On dit que f est impaire lorsque, pour tout x de I,

Représentation graphique

Dans un repère orthogonal,

La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Des exemples de fonctions paires :

La fonction carré, la fonction définie par

et ( ) ( )x I f x f x- Î - =

et ( ) ( )x I f x f x- Î - = -

4( )f x x=

La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Des exemples de fonctions impaires :

La fonction cube, la fonction inverse, la fonction définie par

Remarque : une fonction peut n’être ni paire ni impaire

Par exemple la fonction affine définie par n’est ni paire ni impaire.

et ,

( )f x x=

( ) 2 1f x x= +

(1) 3f = ( 1) 1f - = - ( 1) (1) et ( 1) (1)f f f f- ¹ - ¹ -

III. Variations des fonctions usuelles 1. Fonctions affines

Théorème

Soit f une fonction affine définie sur ℝ par 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃.

Si 𝒂 > 𝟎, alors f est croissante sur ℝ. Si 𝒂 < 𝟎, alors f est décroissante sur ℝ.

Si 𝒂 = 𝟎, alors f est constante sur ℝ.

Cas où

Cas où

Exemples

a) La fonction f est définie sur ! par . la fonction f est affine de la forme

avec . donc la fonction f est strictement croissante sur !.

b) La fonction f est définie sur ! par . la fonction f est affine de la forme

avec . donc la fonction f est strictement décroissante sur !.

0a > 0a <

( ) 5 1f x x= -( )f x ax b= + 5a =0a >

( ) 2 3f x x= - +( )f x ax b= + 2a = -0a <

2. La fonction carré

Théorème

La fonction carré f est décroissante sur l’intervalle ]−∞; 𝟎] et croissante sur l’intervalle [𝟎; +∞[.

La fonction carré admet un minimum égal à 0, il est atteint pour .

Exemples

a) Si , alors c’est-à-dire car la fonction carré est strictement croissante sur .

b) Si , alors c’est-à-dire car la fonction carré est strictement

décroissante sur .

c) On cherche à encadrer lorsque

, donc c’est-à-dire car la fonction carré est strictement croissante sur .

d) On cherche à encadrer lorsque

Ici -2 est négatif et 5 est positif ; on dresse alors le tableau de variation de la fonction carré sur l’intervalle [-2 ; 5]

Sur l’intervalle [-2 ; 5], le minimum est 0 et le maximum est 25, donc .

0x =

3x > 2 23x > 2 9x >[ [0 ; +¥

2x < - 2 2( 2)x > - 2 4x >

] ]; 0-¥2x [ ]1;3xÎ

1 3x£ £ 2 2 21 3x£ £ 21 9x£ £[ [0 ; +¥

2x [ ]2;5xÎ -

20 25x£ £

3. La fonction cube

Théorème

La fonction cube est strictement croissante sur ℝ.

Exemples

a) Sans calculatrice, comparer : et .

donc car la fonction cube est strictement croissante sur !

b) Déterminer une inégalité que vérifie si

donc c’est à dire car la fonction cube est

strictement croissante sur !

33 3p3 p< 3 33 p<

3x3 2x- < £

3 2x- < £ 3 3 3( 3) 2x- < £ 327 8x- < £

4. La fonction inverse Théorème

La fonction inverse est décroissante sur l’intervalle ]−∞; 𝟎[ et décroissante sur l’intervalle ]𝟎; +∞[.

Exemples

a) Si , alors c’est-à-dire ou car la fonction inverse

est strictement décroissante sur

b) Si , alors c’est-à-dire ou car la

fonction inverse est strictement décroissante sur

1 3x£ £ 1 1 11 3x³ ³

1 113x

³ ³1 1 13 x£ £

] [0 ; +¥

4 2x- £ £ - 1 1 14 2x³ ³

- -1 1 14 2x

- ³ ³ -1 1 12 4x

- £ £ -

] [; 0-¥

5. La fonction racine carré Théorème

La fonction racine carrée est strictement croissante sur l’intervalle [𝟎; +∞[.

Exemple

Si alors c’est-à-dire car La fonction racine carrée est strictement croissante sur l’intervalle [0; +∞[.

0 25x< < 0 25x< < 0 5x< <