Programme de seconde 2009Fonctions

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Un principe affirmé pour l’ensemble du programme

Progresser dans la maîtrise du calcul algébrique sans recherche de technicité, toujours dans la perspective de résolution de problèmes ou d’apprentissage de la démonstration.

Les intentions du programme

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Motiver l’introduction d’outils par la résolution de problèmes :Problèmes se ramenant à une équation du type

f(x) = k Problèmes d’optimisation ou du type f(x) > k

(fonction donnée ou à associer au problème)

Les intentions du programme

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Développer l’esprit critique

Distinguer un nombre de ses valeurs approchées.

Distinguer la courbe représentative d’une fonction des dessins obtenus à l’aide d’un traceur de courbe ou à la main.

Les intentions du programme

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Donner l’envie de chercher, valoriser la prise d’initiative…

Exemple:« La somme d’un nombre strictement

positif et de son inverse est toujours supérieure ou égale à 2 »

Que pensez-vous de cette affirmation ? Argumentez

En situation d’évaluation: « Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation »

Les intentions du programme

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• tableur,• traceur de courbes,• logiciels de géométrie

dynamique, • logiciels de calcul

numérique, • logiciel de programmation• logiciels de calcul formel.

Le programme a été conçu pour être enseigné et mis en œuvre avec l’outil informatique

Les intentions du programme

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Au collègeObjectifs  en classe de troisième

• faire émerger progressivement, sur des exemples, la notion de fonction en tant que processus faisant correspondre, à un nombre, un autre nombre ;

• faire apparaître les fonctions linéaires et affines comme des exemples particuliers de tels processus et synthétiser le travail conduit sur la proportionnalité dans les classes antérieures

• exploiter des exemples issus de situations concrètes ou de thèmes interdisciplinaires ;

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Commentaires du programme de troisième

Toute définition générale de la notion de fonction et la notion d’ensemble de définition sont hors programme.

La détermination d’un antécédent à partir de l’expression algébrique d’une fonction n’est exigible que dans le cas des fonctions linéaires ou affines.

Au collège

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CapacitésDéterminer l’image d’un nombre par une fonction

déterminée par une courbe, un tableau de données ou une formule.

Déterminer un antécédent par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation graphique.

Déterminer une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres et de leurs images.

Connaître et utiliser la relation y=ax + b entre les coordonnées (x,y) d’un point M qui est caractéristique de son appartenance à la droite représentative de la fonction affine x→ax + b.

Lire et interpréter graphiquement les coefficients d’une fonction affine représentée par une droite.

Déterminer la fonction affine associée à une droite donnée dans un repère.

Au collège

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Collège : quelques évaluations de ce nouveau programme

Le DNB 2009 Sujet métropoleExercice 3 et problème

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Évaluation diagnostique septembre 2009

(1000 élèves d’un district)

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13

Réponses correctes 77,0%

75,5%

49,6%

38,4%

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Seconde : programme 2009A disparu dans le programme 2009

Valeur absolue et distanceCaractérisation des fonctions

affines par le fait que l'accroissement de la fonction est proportionnel à l'accroissement de la variable

La représentation graphique des fonctions cosinus et sinus.

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Seconde : programme 2009Des contenus à introduire en situation

Nature et écriture des nombres Ordre et intervalles Nouveau Encadrer une racine d’une équation

grâce à un algorithme de dichotomie.

Fonctions polynômes de degré 2.Fonctions homographiques.

(Identifier l’ensemble de définition d’une fonction homographique).

Un exemple : l’influence du vent

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La boîte au lycée

La boîte au collège

Un exemple du collège au lycée

1717

Pour fabriquer une boîte (sans couvercle), on découpe un carré de même dimension à chaque coin d’une plaque de carton carrée de côté 20 cm .On veut fabriquer une boîte de volume maximal.

Activité d’introduction

Un problème d’optimisation : le volume de la Un problème d’optimisation : le volume de la boîteboîte

Au collège : Approche de la notion de fonction

x

20 cm

x

…….

…….

1818

Approche de la notion de fonction

Activité d’introduction : déroulement

•Construction de boîtes avec différentes dimensions pour les découpes carrées et calcul des volumes.

•Tableau de valeurs sur tableur

•Représentation graphique sur tableur

•Volume en fonction du côté de la découpe carrée

•Réponse au problème posé

1919

Registre numériqueRegistre numérique

côté de la découpe carrée

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

volume de la boîte

0 324 512 588 576 500 384 252 128 36 0

Registre algébriqueRegistre algébriquex le côté de la découpe carréeV(x) le volume de la boîteV(x) = x(20 – 2x)(20 – 2x) V: x x(20 – 2x)(20 – 2x)

Registre graphiqueRegistre graphique

0

100

200

300

400

500

600

700

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

côté de la découpe carrée

vo

lum

e d

e la b

oît

e

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Dans une feuille de carton carrée de côté 10 cm on enlève à chaque coin un carré de côté x cm.On replie le carton suivant les pointillés montrés pour fabriquer une boîte à fond carré de hauteur x cm.1. Calculer le volume de cette boîte pour x = 1, x = 2 et x = 3. Pour quelles valeurs x peut-on calculer ce volume ?2. Écrire un algorithme qui permet de calculer le volume de la boîte v(x) en fonction de x.

Des fonctions aux algorithmes

La boîte au lycée

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3. Enregistrer dans votre calculatrice l'un des programmes suivants :Texas Instruments ClrI/ODisp « Entrer un nombre entre 0 et 5 »Prompt X4X*(X-5)^2 YDisp YEnd

Casio :ClrText« Entrer un nombre entre 0 et 5 »« X » ? X4X*(X-5)^2 YY▲

Que calcule ce programme ?

5. Quel volume maximal de la boîte peut-on espérer ?

6. Comment faut-il choisir x pour obtenir ce volume maximal ?

La boîte au lycée

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La boîte au lycée

On s’intéresse cette fois à une boîte de longueur L et de largeur l. Des considérations physiques nous indiquent qu’il existe une valeur x pour laquelle le volume est maximal. On veut un algorithme qui restitue la valeur x si on lui donne les dimensions de la boîte et la précision voulue.

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Version ALGOBOX

La boîte au lycée

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Version ALGOBOX

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La longueur d’une courbe

Phase 1

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Phase 2

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Synthèse par le professeur des deux premières phases

Synthèse du travail effectué et mise en évidence des éléments importants pour la réalisation de l’algorithme (symétrie, nombre de subdivision de l’intervalle [0,1]).

Animation28

Phase 3: Algorithme

Exemple On partage le segment [0, 1] en n intervalles. En partant de l’origine et tant que l’on a pas atteint le point de coordonnées (1,1), on calcule la longueur L de la ligne brisée constituée des segments d’extrémités les points de la parabole d’abscisses i/n.On affiche la longueur de l’arc de parabole sur [-1,1] qui égale à deux fois la longueur L.

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En langage naturel

Phase 3: AlgorithmeEntrée

Saisir n, nombre de subdivisions de [0,1] Traitement

Affecter à Long la valeur 0.Affecter à i la valeur 0.Tant que i<n faire:

-Calculer la distance entre les points de coordonnées (i/n,(i/n)²) et ((i+1)/n,((i+1)/n)²) et ajouter cette distance à la variable Long.-Augmenter i de 1.

Sortie Afficher la valeur de 2*Long.

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Phase 4: traduction de l’algorithme en langage Python

from math import *def distance(x1,y1,x2,y2): return sqrt((x2-x1)**2+(y2-y1)**2)n=int(input("Nombre de subdivisions de l'intervalle

[0,1] "))Long=0i=0while i<n:Long=Long+distance(i/n,(i/n)**2,(i+1)/n,((i+1)/

n)**2)i=i+1print("Une valeur approchée de la longueur de la

courbe cherchée est",2*Long)

Importation des fonctions du module maths (on a besoin ici de la fonction racine)

Définition de la fonction distance

La valeur, saisie par l’utilisateur, du nombre de subdivisions est affectée à n.

Affecter à i la valeur 0.Tant que i<n faire:

Calculer la distance entre les points de coordonnées (i/n,(i/n)²) et

((i+1)/n,((i+1)/n)²) et ajouter cette distance à la variable Long.

Augmenter i de 1.

Afficher la valeur de 2*Long

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