treillis relationnel : une structure algébrique pour le data mining multidimensionnel

Treillis Relationnel : Une Structure Algébrique pour le

Data Mining Multidimensionnel

Alain Casali, Rosine Cicchetti, Lotfi Lakhal

Laboratoire d’Informatique Fondamentale

Marseille

Plan

1. Nécessité d’un espace de recherche pour le data mining multidimensionnel

2. Treillis relationnel

3. Treillis relationnel contraint

4. Treillis relationnel vs Datacube

5. Perspectives

Casali, Cicchetti, Lakhal : Treillis Relationnel 2


• Problème de la transformation d’une relation d’attributs catégories en une relation binaire

• Treillis des parties : une structure mal adaptée au contexte multidimensionnel

• Non préservation de la complexité des algorithmes par niveaux


Exemple:

Entrée Plat principal Dessert Quantité

Salade composée Agneau Glace 3

Salade composée Bœuf Glace 2

Salade composée Agneau Fruit 2

Salade composée Bœuf Fruit 2

Jambon Agneau Glace 1

Melon Agneau Glace 1


Treillis des attributs binaires :

Mais toutes les solutions ne sont pas valides

SJMAB

JMABSMABSJABSJMBSJMA

MABJABJMBJMASABSMBSMASJBSJA

ABMBMAJBJAJMSBSASM

B

SJM

SJ

S AMJ

0


Plan





5. Perspectives



2.1 Espace multidimensionnel

tuple = élément de space(r) = motif multidimensionnelex: <S,ALL,ALL> et <S,A,ALL>

2.2 Ordre de généralisation

On munit space(r) de l’ordre de généralisation g

ex: <S,ALL,ALL> g <S,A,ALL>

ØØ,...,)))((()( ALLADimrspace DA

sinon ØØ,...,

][][,u t g uAtAuDA


r : relation de schéma

<S,?,?>

<S,A,F>

<?,B,G><?,B,F><?A,G><?,A,F><M,?,G><M,?,F><M,B,?><M,A,?><J,?,G><J,?,F><J,B,?><J,A,?><S,?,G><S,?,F><S,B,?><S,A,?>

<?,?,?>

<?,?,G><?,?,F><?,B,?><?,A,?><M,?,?><J,?,?>

<M,B,G><M,B,F><M,A,G><M,A,F><J,B,G><J,B,F><J,A,G><J,A,F><S,B,G><S,B,F><S,A,G>

<Ø,Ø,Ø>

Treillis de la relation exemple


2.3 Opérateurs de base(a) La Somme

sinon

][][si][][,

ALL

AvAuAuAtDAvut

? ALL

<S,?,?>

<S,A,F>

<?,B,G><?,B,F><?A,G><?,A,F><M,?,G><M,?,F><M,B,?><M,A,?><J,?,G><J,?,F><J,B,?><J,A,?><S,?,G><S,?,F><S,B,?><S,A,?>

<?,?,?>

<?,?,G><?,?,F><?,B,?><?,A,?><M,?,?><J,?,?>

<M,B,G><M,B,F><M,A,G><M,A,F><J,B,G><J,B,F><J,A,G><J,A,F><S,B,G><S,B,F><S,A,G>

<Ø,Ø,Ø>

Treillis de la relation exemple


(b) Le Produit

sinon ØØ,...,

Ø][,si

][][][,:Soit

AzDAztvut

AvAuAzDAz

2.4 Caractérisation du treillis relationnelThéorème: soit r une relation d’attributs catégories

sur .L’ensemble ordonné (space(r), g) est un treillis complet, atomique, co-atomique et gradué, appelé treillis relationnel et noté RL(r), dans lequel :


MDR

tTrRLT

tTrRLT

Tt

Tt

),(

),(

2.5 Treillis relationnel vs Treillis des parties

DA

ADimn )(

)( ))(( DADimmaxoDA

n2


Treillis Relationnel Treillis des PartiesHauteur |D|+1Nombre d'éléments

Opérateurs Sup. & Inf. Produit et Somme Union et Intersection

Caractéristiques non distributif distributif

Plan





5. Perspectives



3.1 Définition des contraintesUne contrainte cont est anti-monotone w.r.t. g ssi

Une contrainte cont est monotone w.r.t. g ssi)()](et[:)(, uconttcontutrRLut g

)()](et[:)(, tcontucontutrRLut g


3.2 Structure convexe « garantie »Théorème: le treillis relationnel contraint est un espace

convexe (représentable par bordures) dans lequel la borne maximale S+

cont et la borne minimale G+cont

sont:

1. Si cont = cmc, G+ = min ({t RL(r) : cmc(t)} )et S+=<Ø,…Ø>

2. Si cont = camc, G+=<ALL,…,ALL> et

S+ = max({t RL(r) : camc(t)})3. Si cont = chc, G+ = min({t RL(r) :chc(t)}) et

S+ = max({t RL(r) : chc(t)})


3.3 Exemples de contraintes(a) Fréquence

Freq(t) minfreq est une contrainte anti-monotone et Freq(t) maxfreq est une contrainte monotone.

(b) Fréquence de la disjonction

Freq(vt) minfreq est une contrainte monotone et Freq(vt) maxfreq est une contrainte anti-monotone.

rt

rt

Mt

ttMttFreq

'

'

]['

ALLALL,...,'][')(


rt

rt

g

Mt

ttMttFreq

'

'

]['

'][')(

3.4 Exactitude des solutions(a) freq(t) 3/11 (contrainte anti-monotone)

E PP D Q

S A G 3

S B G 2

S A F 2

S B F 2

J A G 1

M A G 1

<?,B,?> 4

<?,?,?> 11

<?,?,F> 4<?,?,G> 7<?,A,?> 7<S,?,?> 9<?,B,?> 4

<?,?,?> 11

<?,?,F> 4<?,?,G> 7<?,A,?> 7<S,?,?> 9

<S,A,?> 5

<?,B,?> 4

<?,?,?> 11

<?,?,F> 4<?,A,?> 7<S,?,?> 9

<S,A,?> 5 <S,B,?> 4<?,A,G> 5

<?,?,G> 7

<S,?,G> 5 <S,?,F> 4

<S,A,G> 3


Algorithme par niveau binaire donne le même résultat ?

(b) freq(t) 4/11 (contrainte monotone)

E PP D Q

S A G 3

S B G 2

S A F 2

S B F 2

J A G 1

M A G 1<?,B,?> 4

<?,?,?> 11

<?,?,F> 4<?,?,G> 7<?,A,?> 7<S,?,?> 9 <M,?,?> 1 <J,?,?> 1<?,B,?> 4

<?,?,?> 11

<?,?,F> 4<?,?,G> 7<?,A,?> 7<S,?,?> 9 <M,?,?> 1 <J,?,?> 1

<S,A,?> 5 <S,B,?> 4 <?,B,F> 2<?,B,G> 2<S,?,F> 4 <?,A,F> 2<?,A,G> 5<S,?,G> 5

<?,B,?> 4

<?,?,?> 11

<?,?,F> 4<?,?,G> 7<?,A,?> 7<S,?,?> 9 <M,?,?> 1 <J,?,?> 1

<S,A,?> 5 <S,B,?> 4 <?,B,F> 2<?,B,G> 2<S,?,F> 4 <?,A,F> 2<?,A,G> 5<S,?,G> 5

<S,A,G> 3


<M,?,?> 1

<?,?,?> 11

<?,B,?> 4 <?,?,F> 4<?,?,G> 7<?,A,?> 7<S,?,?> 9 <J,?,?> 1

Si algorithme (cadre binaire) => SJ fait partie des résultats. Solution possible: ajouter la contrainte freq(t)>0. Mais freq(<J,B,?>)=0 et <J,B,?> vérifie la contrainte.

(c) freq(Vt) 6/11 (contrainte anti-monotone)

E PP D Q

S A G 3

S B G 2

S A F 2

S B F 2

J A G 1

M A G 1


Freq(V<J,?,F>) = 5/11 mais Freq(<J,?,F>) = 0Donc la contrainte Freq(t) > 0 ne permet pas d’obtenir l’ensemble des solutions d’un problème de data mining multidimensionnel en utilisant les techniques de data mining binaire.

<M,B,?> 5

<?,B,?> 4

<?,?,?> 0

<?,?,F> 4 <M,?,?> 1 <J,?,?> 1

<M,?,F> 5 <J,B,?> 5 <J,?,F> 5 <?,B,F> 6

Plan





5. Perspectives



• Datacube est un problème de data mining multidimensionnel dont l’espace de recherche est le treillis relationnel.

• RL(r) = Datacube( )

+ ordre de généralisation

+ opérateurs Produit et Somme

Ordre de généralisation et opérateurs de base permettent la navigation dans le Datacube

rr


• Projet similaire Laksmanan, Pei, Han pour l’extraction des connaissances (sémantiques) dans le Datacube.

• Premiers résultats (VLDB’02) :

Cube Quotient : Treillis des classes d’équivalences selon des fonctions agrégatives. Ce cube (réduit) permet la navigation comme dans le Datacube.


Plan





5. Perspectives


5. Perspectives

1. Treillis relationnel fermé

2. Espace de version

3. Espace de version émergent ( 2 Datacubes)

4. Représentations concises/condensées du treillis relationnel contraint


treillis relationnel : une structure algébrique pour le data mining multidimensionnel

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