Bac Malien 1998 Sries : SET- MTI-MTGC Page 1 sur 3 Adama Traor Professeur Lyce Technique

Ministre des Enseignements Secondaire, Ministre des Enseignements Secondaire, Ministre des Enseignements Secondaire, Ministre des Enseignements Secondaire, Suprieur et de la Recherche Scientifique Suprieur et de la Recherche Scientifique Suprieur et de la Recherche Scientifique Suprieur et de la Recherche Scientifique

C.N.E.C.E

Rpublique du MaliRpublique du MaliRpublique du MaliRpublique du Mali

Un Peuple Un Peuple Un Peuple Un Peuple Un But Un But Un But Un But Une Foi Une Foi Une Foi Une Foi

EEEEEEEEEEEEXXXXXXXXXXXXAAAAAAAAAAAAMMMMMMMMMMMMEEEEEEEEEEEENNNNNNNNNNNN :::::::::::: Baccalaurat malien BBBAAACCC SSSSSSSSSSSSEEEEEEEEEEEERRRRRRRRRRRRIIIIIIIIIIIIEEEEEEEEEEEESSSSSSSSSSSS SETSETSETSET----MTIMTIMTIMTI----MTGCMTGCMTGCMTGC SESSION Juillet. 1998

PPPPPPPPPPPPRRRRRRRRRRRREEEEEEEEEEEEUUUUUUUUUUUUVVVVVVVVVVVVEEEEEEEEEEEE DDDDDDDDDDDDEEEEEEEEEEEE :::::::::::: MathmatiquesMathmatiquesMathmatiquesMathmatiques DDDDDDDDDDDDUUUUUUUUUUUURRRRRRRRRRRREEEEEEEEEEEE :::::::::::: 4heures CCCCCCCCCCCCOOOOOOOOOOOOEEEEEEEEEEEEFFFFFFFFFFFF:::::::::::: 5

EXERCICE 1 : (6 points) 1)- Dmontrer que, quelque soit lentier naturel n, on a [ ]7023 332 + ++ nn 2)- Rsoudre dans / 7, lquation :

x2 + 2x + 6 = 0 3)- Rsoudre le systme :

(a, b) * XXXX *

=

=

abmba

340522

tant le P.P.C.M des entiers a et b.

Dans le plan complexe rapport un repre orthonorm direct (O, ); 21

ee dunit 1 cm, on considre les points A, B, et C daffixes respectifs :

322 ia = ; 322 ib += ; 8=c

1) Ecrire a ; b ; et c sous la forme trigonomtrique. Placer les points A, B et C.

2) Calculer le nombre complexe :

cbcaq

= que lon crira sous la forme exponentielle. En dduire la nature du triangle

ABC.

3) Dterminer le barycentre G des points pondrs (A,|a|) ; (B ;|a|) ; (C ;|c|) puis placer le point G.

4) Dterminer et construire lensemble (E) des points M du plan tels que :

MCMBMAMCMBMA

+

=

+

+

22

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EXERCICE 2 : (4points)

1) a) Vrifier que tout nombre rel x 1 et x -1, on a :

xxx +

+=

11

11

12

2

b) Soit un nombre rel tel que 0< < 21

. Dduire de a), la valeur de lintgrale :

J () =

21

212

dx

x

2) a)- En utilisant une intgration par parties, calculer en fonction de , lintgrale :

I () = 2

1

2

2 )1ln(

dxx

x

b)- Dterminer la limite de I () quand le nombre rel positif tend vers 0.

3)- Soit A = 10101010 un nombre crit en base deux. Ecrire A dans le systme de numration dcimale. PROBLEME : (10points) On dsigne par R = (O, ); ji un repre orthonorm du plan, et a, b, et c des rels quelconques. Les fonctions 0, 1, 2 et sont respectivement dfinies sur lensemble des rels par :

0 (x) = ex

2

; 1 (x) = exx

2

; 2 (x) = exx

22

et (x) = (a + bx +cx 2 )ex

2

On dsigne par (C0), (C1) et (C2) les courbes reprsentatives de 0, 1, et 2 dans le repre. A. On se propose de reprsenter (C0), (C1) et (C2).

1. Etudier les variations des fonctions 0, 1, et 2 2. Prciser par leurs coordonnes dans le repre R, les points dintersection de (C1) et (C0) ; (C1) et (C0) ; (C2) et (C1).

3. Etudier sur lensemble des rels, le signe de chacune des expressions : 1 (x) 0 (x) ; 2 (x) 0 (x) et 2 (x) 1 (x).

4. Tracer les courbes (C0), (C1) et (C2) dans le repre R, et hachurer le domaine ferm (E) dtermin par les trois courbes (C0), (C1) et (C2) , c'est--dire lensemble (E) des points M du plan, dont les coordonnes (x ; y) dans le repre R vrifient :

)x(fy)x(f0x1

02 ou

)x(01 fy)x(f1x0

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B. On se propose de calculer laire de (E)

1. Soit n, un entier naturel quelconque. Dmontrer quen posant :

=)x(In

x

02t

n dtet ;

On dfinit une fonction nI qui a lensemble des rels pour ensemble de dfinition.

2. Soit n, un entier naturel et x un rel quelconque. Dmontrer que :

1+nI = -2x nx

n Ine )1(221 ++

+ (x)

3. Soit x un rel quelconque.

a) Calculer )(0 xI en fonction de x. b) En dduire les expressions de )(1 xI et )(2 xI en fonction de x.

4. Calculer laire de (E).

C. On se propose de calculer la drive dordre n de f. On dsigne par 0 (ou ), (1) (ou ), (2) (ou ) , (3) (ou ), etc. les drives successives de la fonction .

1. Dmontrer par rcurrence, que pour tout entier naturel n, on peut trouver trois rels n , n et n vrifiant pour tout nombre rel :

(n) (x) = ( n + n x + n x 2 ) e 2x

On trouvera 0 = a, 0 = b et 0 = c et pour chaque entier naturel n, le raisonnement par rcurrence montrera que : n+1 , n+1 et n+1, vrifient :

n+1 = n 21

n , n+1 = 2n 21

n et n+1= - 21

n

2222. Pour chaque entier naturel n, on pose :

n= n + 4n n et n = n +2n n + 4n(n+1) n

Dmontrer que (n) , (n) , et (n ) sont des suites gomtriques de raison - 21

.

3333. En dduire pour chaque entier naturel n, lexpression de n, n et n en fonction de n, a, b et c.