page de garde seba · devant le jury composé des membres suivants : djemaÏ abed-el-farid :...

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE D’ORAN ES-SENIA

FACULTE DES SCIENCES DEPARTEMENT DE PHYSIQUE

MEMOIRE

Présenté par

Melle Souâd SEBA

Pour obtenir

LE DIPLOME DE MAGISTER

Spécialité : Physique Option : BioPhysique Mathématique & Simulations

Intitulée :

Propagation d’une Maladie dans un Réseau de Petit Monde (Effet de Corrélation)

soutenu le :…...……………..à la salle de conférences de la Faculté des Sciences devant le jury composé des membres suivants : DJEMAÏ Abed-El-Farid : Professeur à l’Univ. d’Oran Es-sénia, Algérie (Président) ZEKRI Noureddine : Professeur à l’USTO-MB, Oran, Algérie (Rapporteur) BOUAMRANE Rachid : Maître de Conf. à l’USTO-MB, Oran, Algérie (Examinateur) HACHI Mustapha : Maître de Conf. à l’Univ. d’Oran Es-sénia,Algérie (Examinateur)

Résumé

Le modèle de petit monde est l’un des modèles les plus adéquats pour étudier

la propagation dans une population. Plusieurs études de propagation des

maladies Sur ce réseau ont été réalisées depuis 1998 et la transition de phase

épidémie/endémie semble concorder avec réalité du terrain. Nous proposons

d’étudier les effets de corrélation (désordre) sur cette propagation.

Mots clés : Petit monde (réseau), propagation des épidémies, transition de phase.

REMERCIEMENTS

J’exprime ma profonde gratitude et sincère reconnaissance envers monsieur Zekri

Nouredinne pour m’avoir orientée vers ce sujet, de même je le remercie pour tous les

conseils qu’il m’a prodigués.

J’exprime également ma profonde gratitude au professeur Djemai Abd El Farid pour

l’honneur qu’il me fait en présidant le jury ; je tiens à le remercier pour toute l’aide qu’il

m’a apportée lors de la réalisation de ce mémoire.

Je remercie vivement professeur M. Hachi et Monsieur R.Bouamrane d’avoir bien

voulu accepter de juger ce travail en tant que membres du jury.

Je remercie vivement Monsieur L.Zekri, Monsieur D.Boukrdimi et Melle A.Seba pour

leurs soutiens et leurs encouragements.

A mes parents, mes frères et mes sœurs

Sommaire

Introduction générale.....................................................................................................02

Chapitre I: Généralités sur la théorie de percolation

I.1. Introduction ..............................................................................................................05

I.2. Exemple de percolation ...........................................................................................06

I.3. Définition...................................................................................................................06

I.4.Seuil de percolation...................................................................................................09

I.5. Grandeurs caractéristiques .....................................................................................12

I.5.1.Nombre d'amas de taille S normalisé ........................................................12

I.5.2.Probabilité d'appartenir à l'amas infini .....................................................13

I.5-3.Taille moyenne des amas finis ...................................................................14

I.6.Lois d’echelles et exposants critiques ....................................................................15

I.6.1.Lois d’échelle ................................................................................................15

I.6.2.Exposants critiques ......................................................................................17

I.7. Dimention fractale...................................................................................................20

Chapitre II :Généralités sur les maladies transmissibles

II.1. Introduction .............................................................................................................23

II.2.Transmission de maladie ........................................................................................24

II.2.1.Période d'incubation.....................................................................................24

II.2.2.Période latente ...............................................................................................24

II.3.Modeles de transmission ........................................................................................24

II.3.1.Modele de type SI…………………………………………………………….24 II.3.2.Modele de type SIR…………………………………………………………..25 II.3.2. Autres modeles……………………………………………………………..............26 II.4.Le taux de reproduction..........................................................................................27

II.5.La transmission des infections ...............................................................................27

II.5.1.L’agent infectieux..........................................................................................27

II.5.2.La voie de transmission ...............................................................................28

Sommaire

II.5.3.L’hote réceptif...............................................................................................29

II.6.Exemple d'une maladie transmissible ..................................................................30

Chapitre III: Le réseau de petit monde

III.1.Introduction.............................................................................................................35

III.2.Les propriétés de réseau ........................................................................................36

III.2.1. La distance moyenne entre les paires de noeuds...................................36

III.2.2. Le coefficient d'amas ..................................................................................38

III.2.3. La distribution des degrés.........................................................................46

III.3.Modèle basé sur le réseau de petit monde..........................................................47

Chapitre IV:Application du RPM pour l'étude de la dynamique du propagation

des maladies

IV .1.Introduction............................................................................................................52

IV.2.Simulation................................................................................................................53

IV.3.Résultat et discussion.............................................................................................55

conclusion générale ........................................................................................................67

Bibliographie ...................................................................................................................69

Liste des figures Liste des figures

FIG 01 : Réseau carré de sites à différentes échelles…………………………………07

FIG 02 : Réseau régulier à différentes géométries……………………………………08

FIG 03 : (a) et (b) percolation de sites et (c) percolation de lien…………………….09

FIG 04 : Exemple de percolation sur un réseau carré de lien pour différent (25*25site)..10

FIG 05 : Exemple de percolation sur un réseau carré de liens pour différent p…..10

FIG 06 : Probabilités de percolation…………………………………………………...12

FIG 07 : Les différents modèles de transmissions……………………………………26

FIG 08 : Modalité de transmission de la rougeole…………………………………...32

FIG 09 : Paramètre démographique et âge à la transmission de la rougeole…….33

FIG 10 : Exemple de calcul de la distance entre les paires de nœuds……………..37

FIG 11 : Exemple de calcule de coefficient d’amas………………………………….39

FIG 12 : Exemple de réseau aléatoire…………………………………………………40

FIG 13 : Exemple de réseau régulier………………………………………………….42

FIG 14 : Exemple 1 de réseau de petit monde basé sur l’addition des raccourcis

au sein d’un réseau régulier…………………………………………………43

FIG 15 : Exemple 2 de réseau de petit monde basé sur l’addition des raccourcis

au sein d’un réseau régulier………………………………………………….44

FIG 16 : Exemple 1 de réseau de petit monde basé sur l’addition d’un nœud

dont le degré est élevé au sein d’un réseau régulier………………………45

FIG 17 : Exemple 2 de réseau de petit monde basé sur l’addition d’un nœud

dont le degré est élevé au sein d’un réseau régulier………………………46

FIG 18 : Distribution selon une loi de puissance…………………………………….47

FIG 19 : Variation de la taille moyenne du plus grand amas avec p ……………..49

FIG 20 : Évolution temporelle du nombre de nouveaux infectés…………………50

FIG 21 : Distribution de court circuit pour différents paramètres σ …………….55

FIG 22 : évolution temporelle du nombre de nouveaux infectés………………….56

FIG 23 : le comportement de l’exposant γ en fonction de la concentration p……57

FIG 24 : Evolution temporelle du nombre de nouveaux infectés pour p=0. 1…………58

FIG 25 : Evolution temporelle du nombre de nouveaux infectés pour 0.2p = ……….59

Liste des figures FIG 26 : Evolution temporelle du nombre de nouveaux infectés pour p=0. 3 ………..60

FIG 27 : Le comportement de l’exposant γ en fonction de σ Pour p=0.1, 0.2 et 0.3......62

FIG 28 : Evolution temporelle du nombre de nouveaux pour p=0.1, 0.2 et0.3.....64

FIG 29 : Le comportement de l’exposant γ en fonction de σ Pour trois situations :

p=0.1, 0.2 et0.3………………………………………………………………..65

Liste des tableaux Liste des tableaux

TAB 01: Valeur du seuil de percolation…………………………………………………..11

TAB 02 : Valeur d’exposant critique …………….……………………………………….19

TAB 03 : Liste des périodes latentes et d’incubation de quelque maladie infectieuse….......24

TAB 04 : La transmission direct de la maladie………………………………………......29

TAB 05 : La transmission indirect de la maladie………………………………..……….29

TAB 06: Comparaison des propriétés structurelles des différentes catégories de réseaux….41

Introduction générale


~ 2 ~

Introduction La théorie de percolation est caractérisée par une transition de phase du

seconde ordre et des exposants critiques universels. Le champ d’application de

cette théorie dépasse largement le domaine de la science des matériaux. Ce

modèle mathématique décrit aussi de nombreux phénomènes tels que les feux de

forets [01] et l’épidémie [02].

L’étude de quelque épidémie indique que les le mouvement et les interactions

entre les individus et la distribution spatial de la population jouent un rôle

important sur la dynamique de propagation de plusieurs maladies infectieuses.

Pour modéliser la propagation d’une épidémie, il est nécessaire de définir un

réseau social reliant deux individus. Les propriétés attendues de ce réseaux

doivent d’une part permettre la création d’amas (ce qui exclu les graphes

aléatoires)[3] et d’autre part permettre la connexion de deux individus

aléatoirement choisit après un nombre fini d’étapes (ce qui exclu les réseaux

réguliers avec seulement les plus proches voisins).

Notre travail consiste à étudier l’effet de corrélation dans un réseau de petit

monde en prenant l’exemple de propagation d’une maladie.

Dans le premier chapitre, nous introduisons un contexte à savoir les concepts

fondamentaux du modèle de percolation tels que le mécanisme de percolation et

ses types, le seuil de percolation ainsi les caractéristiques statistiques (lois

d’échelle, exposants critiques et dimensions fractals).


~ 3 ~

Le deuxieme chapitre présente une généralité sur la propagation d’une

maladie tel que les periodes latente et d’incubation , les modes de transmission

etc….

Le troisieme chapitre donne une vue générale sur Le réseau de petit monde,

sur lequel on observe un effet de seuil pour la transmission d’un virus et on

présente aussi une étude similaire sur un model d’échelle libre qui a donné des

résultats différent, en particulier l’effet de seuil disparaît.

Le quatrieme chapitre est consacré à l’étude d’effet de corrélation dans un

réseau de petit monde sur la dynamique de la propagation d’une maladie.

Chapitre I

Généralités sur la

théorie de percolation

~ 5 ~

Généralités sur la théorie de percolation

Dans ce chapitre, nous introduisons un contexte à savoir les concepts fondamentaux du modèle de percolation tels que le mécanisme de percolation et ses types, le seuil de percolation ainsi les caractéristiques statistiques (lois d’échelle, exposants critiques et dimensions fractal)

I.1. Introduction

Le terme percolation vient de la latin percolatio qui signifie filtration. Utilisé dans

un grand nombre de situations, il évoque les notions de propagation et

d’agglutination dans des milieux aléatoires partiellement interconnectés. A été

introduit en 1957 par les mathématiciens BROADBENT et HAMMERSLEY [04,05] qui

étudiaient le problème de passage d’un fluide dans un filtre partiellement obstrué.

Ces auteurs ont donné un cadre mathématique et rigoureux au phénomène de la

percolation dont le concept avait déjà été abordé par des chimistes FLORY et

STOCKMAYKER qui s’intéressaient aux réactions de polymérisation réticulaire

tridimensionnelle de chaîne polymère.

FLORY note en particulier le passage soudain de l’état de solution à celui de gel

pour certain avancement de la réaction. Il montre que cette transition correspond à

l’apparition d’une structure macroscopique de chaînes branchées [04].

Le terme percolation est utilisé pour une grande variété de situation et fait appel à

la notion de diffusion dans un système aléatoire partiellement connecté. L’eau qui

Chapitre I :

Chapitre I Généralités sur la théorie de percolation

~ 6 ~

s’écoule à travers le café dans un percolateur, la propagation d’une maladie, la

propagation des feux de foret ou encore l’extraction pétrolière dans les roches

poreuses (percolation d’invasion) et autant de phénomène qui sont décrits par les lois

de percolation [04, 05, 06 ,07].

I.2. Exemple de percolation

L'exemple étymologie est celui du café [08] le percolateur est une machine à café

force du café, se règle en serrant plus ou moins le filtre de l'appareil. Ainsi, lorsque

l'on augmente la pression du filtre la densité du marc de café s'accroît suite à

l'agglomération des fines particules qui le compose. Le temps nécessaire pour que

l'eau traverse la poudre de café et par suite la durée pendant laquelle l'eau est en

contact avec le café dépend de cette densité. L'expresso obtenu est alors plus ou

moins « serré » selon la pression appliquée au café par le filtre du percolateur.

Toutefois, il existe une densité au dessus de la quelle l'eau ne peut plus traverser le

filtre. Cette densité est appelée le seuil de percolation.

Ce phénomène peut se modéliser par un réseau de canaux entre les particules de

café, canaux qui sont ouvert ou fermé de façon aléatoires [09] lorsque la densité

augmente, le nombre de canaux fermés s'accroît et l'eau passe alors plus difficilement.

Le seuil de percolation est atteint lorsque qu'il n'existe plus de chemins permettant

l'écoulement de l'eau à travers les cannant ouverts.

I.3. Définition

Les problèmes de percolations les plus simples sont ceux dit "percolation sur

réseau". (FIG 01), nous avons représenté un réseau régulier carré deux dimensions

mais il existe de nombreuses géométries différentes, par exemple, réseau triangulaire,

réseau nid d'abeille à deux dimensions ou encore réseau cubique ou hexagonal

compact en trois dimension (FIG 02). On distingue deux types de percolation :


~ 7 ~

• Percolation de sites (FIG 03 (a) et (b))

Dans un graphe, c'est-à-dire un ensemble des sites et liens, on dit que deux

sites sont plus proche voisins s’ils sont relies par un lien, on peut élaborer un

labyrinthe aléatoire en affectant aux sites, l’un des deux états possible 1ou 0,

actif non actif, conducteur ou isolant, occupé ou vide, etc. chaque site est

conducteur avec la probabilité p et isolant avec la probabilité pq −= 1 . Un

amas est un ensemble de point juxtaposé. On dit que deux sites qu’ils

appartiennent de même amas s’il existe au moins un chemin conducteur entre

deux sites.

Percolation de liens (FIG 03 (c))

Ou deux sites sont reliés par eux un lien. La création d’un labyrinthe se fait en

affectant aux liens l’un de deux états possible 1ou 0, actif ou inactif, occupé ou

vide, conducteur ou isolant, etc. chaque lien est actif avec la probabilité p est

inactive avec la probabilité pq −= 1 . L’amas sera dans ce cas l’ensemble de

traits pleins qui se touchent. On dit que deux liens appartiennent au même

amas s’il existe au moins un chemin conducteur entre les trois sites ainsi

reliées.

Figure01 : réseau carré de sites à différentes échelles

FIG 01 : Réseau carré de sites à différentes échelles.

(a) (10*10 sites) (b) (25*25 sites) (c) (50*50 sites)


~ 8 ~

(a) réseau cubique

FIG 02 : Réseau régulier à différentes géométries.

Réseau Cubique simple Réseau cubique centré Réseau cubique faces

(b) Réseau triangulaire de sites

(C) réseau nid d’abeille de sites


~ 9 ~

I.4. Seuil de percolation

La percolation représente le modèle de base pour un système structurellement

désordonné [04,10]. Pour la simplicité, considérons un réseau carré, ou chaque site est

occupé aléatoirement avec une probabilité p ou est vide avec une probabilité pq −= 1 .

Pour une valeur critique de p , appelée seuil de percolation et noté cp , un amas

particulier qui s'étend dans toutes les directions de l'espace se forme. Cet amas

permet de connecter les "bords"du réseau. Dans le cas ou l'on considère l'écoulement

d'un fluide sur le réseau (eau, courant ….) Cette amas permet le passage d'un coté à

l'autre du réseau; c'est l'amas infinis (ou amas percolant). Alors le seuil de percolation

cp se définit comme la concentration p à la quelle un amas de taille infinie apparaît

dans un réseau de taille infinie. Pour ⟩p cp une chaîne s'étend d'un coté à l'autre du

système alors que pour p < cp , il n'existe pas de chemin de ce type.

(FIG 04) montre l'apparition de l'amas percolant à p = cp dans un réseau carré de

site au fur à mesure que la proportion d'activité p s'accroît, la taille des amas

Augmente mais reste des tailles finies. À partir d'une valeur déterministe, on observe

l'apparition d'un amas qui joint les bords opposés. Cet amas est l'amas percolant et la

valeur de cette probabilité critique correspond au seuil de percolation. Les sites

éléments de l'amas infini sont représentés en noir pour mettre en relie la jonction des

cotes opposé. Les sites en gris sont les sites actifs distincts au l'amas percolant.

(a) Sites aux cases (b) sites aux intersections (c) lien

FIG 03 : (a), (b) percolation de site et (c) percolation de lien.


~ 10 ~

(FIG 05) illustre l'apparition de l'amas percolant dans un réseau carré de liens

( cp =0.5 pour un réseau carré de liens).l'amas infini est représenté en gras lorsqu'il

existe. On retrouve la même évolution que le problème de sites. Lorsque p < cp les

amas sont de taille finie et lorsque p > cp un amas reliant les bords opposés apparaît.

(a) p =0.4 (b) p = 0.6≈ cp (c) p =0.8

FIG 04 : Exemple de percolation sur un réseau carré de sites pour différent p

(25*25site)

(a) p =0.35 (b) p = 0.5≈ cp (c) p =0.65

FIG 05: Exemple de percolation sur un réseau carré de liens pour différents p


~ 11 ~

Réseau Site lien

Carré 0.593 0.500

Triangulaire 0.500 2sin ( 18Π )

Nid d'abeille 0.697 1-2sin ( 18Π )

Cubique simple 0.307 0.247

Cubique centrée 0.243 0.178

Cubique à face centrée 0.195 0.119

TAB 01:Valeur du seuil de percolation [11]

Dans la théorie de percolation, l’existence du seuil est fondamentale. Cette valeur

critique se caractérise par [12] :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⟩⟩

⟨

∞

c

c

pppour

pppour

pP

0

0

)(

Le seuil de percolation cp se définit alors comme la première valeur de p ou la

probabilité de percolation )( pP∞ n’est pas nulle, ce qui traduit de façon formelle par :

{ }0)(:sup == ∞ pPppc

La forme générale de la fonction de probabilité de percolation )( pP∞ est supposée

évoluer selon le schéma de (FIG 06)

(I.1)

(I.2)


~ 12 ~

FIG 06: probabilité de percolation.

I.5. Grandeurs caractéristiques

Dans un contexte statistique, la situation d’un problème de percolation se décrit à

travers quelques grandeurs fondamentales comme le nombre d’amas de tailles S , la

probabilité d’appartenir à l’amas infini, la taille moyenne des amas finis et les

longueurs caractéristique. [13 ,14]

I.5-1. Nombre d’amas de taille S normalisé par site

La plus simple des grandeurs caractéristiques du problème de percolation est le

nombre sn d’amas de taille S , dans un échantillon fini comportant N sites, sn est la

moyenne du nombre d’amas de taille S , et pour le réseau infini sn est la limite de cette

moyenne lorsque le nombre de sites tend vers l’infini

Pour un échantillon fini de N sites

NStailledeamasdtotalnombrens

'=

(I.3)

0

(1,1)

P(p)

p1

1

Pc


~ 13 ~

Pour un réseau de taille infinie

NStailledeamasdtotalnombren

Ns

'lim∞→

=

La probabilité pour qu’un site arbitraire soit actif et élément de même amas de taille

S est par conséquent sSn .

Le nombre total d’amas de toute taille, noté )( pG

∑=s

snpG )(

I.5-2. Probabilité d’appartenir à l’amas infini

Soit )( pP∞ la probabilité qu’un site appartienne à l’amas infini. Dans un

échantillon de taille finie, la probabilité qu’un site soit un élément de l’amas percolant

se détermine en faisant le rapport du nombre de sites dans l’amas infini par le

nombre total de sites actifs :

actifssitesdenombre

inFiniamasldesitesdenombrepP ')( =∞

Pour la probabilité d’appartenir à l’amas fini : dans un échantillon, cela revient à

rapporter le nombre de sites actifs en amas fini au nombre total de sites :

nonouactifssitesdetotalnombre

inFiniamasensitesdenombreSns

s =∑

(I.4)

(I.5)

(I.6)

(I.7)


~ 14 ~

Sachant )( pP∞ , la probabilité qu’un site ne soit pas élément de l’amas infini est 1-

)( pP∞ .pour qu’un site appartienne à un amas fini, il faut qu’il soit actif. En

conséquence, la probabilité pour qu’un site fasse partie d’un amas fini est :

))(1( pPpSns

s ∞−=∑

Pour p < cp , il n’existe pas d'amas infinie d'ou )( pP∞ =0.

Alors :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−∝

≤=

∞

∞

cc

c

pppourpppP

pppourpP

β)()(

0)(

I.5-3. Taille moyenne des amas finis

La probabilité qu’un site quelconque appartienne à un amas de taille S est sSn , et

celle qu’il fasse partie de n’importe quel amas fini est ∑s

sSn .soit sw la probabilité que

l’amas auquel appartient un site actif arbitraire contienne exactement S sites :

∑=

ss

ss Sn

Snw

La somme sSn De la, la taille moyenne des amas finis se calcule telle que

∑ =s

s pSn

(I.8)

(I.9)

(I.10)

(I.11)


~ 15 ~

∑ ∑∑ ==s

ss

s

ss n

nSSwS2

I.6. Lois d'échelles et exposants critiques

I.6.1. Lois d’échelle

Au voisinage de cp , l’insensibilité du comportement des grandeurs

caractéristiques d’un problème de percolation aux détails microscopiques de la

structure sur lequel il évolue, se résume dans les relations appelées « lois

d’échelle » [15,13]. Celles-ci concernant principalement ( )pξ , ( )pP∞ , ( )pS et ( )pns .

Pour des valeurs inférieures au seuil aussi bien que pour des valeurs supérieures, la

taille linéaire des amas finis se caractérise par la longueur de corrélationξ . Elle se

définit comme la distance moyenne entre deux sites du même amas. Au voisinage

de cp , c’est-à-dire lorsque cpp − est faible, la longueur de corrélation augmente [14] :

( ) vcppp −−∝ξ Pour cpp →

L’exposant v est identique pour cpp⟩ et cpp⟨ et il ne dépend que de la dimension

d. Autrement dit, la longueur de corrélation croit au dessous du seuil de la même

façon critique qu’elle décroît au dessus du seuil [11].

Pour un site, la probabilité d’appartenir à l’amas infini ( )pP∞ dépend de la

proportion d’éléments actifs. Au voisinage du seuil de critique, la décroissance

de ( )pP∞ vers 0 s’effectue selon une loi puissance de cpp − au fur et à mesure que

p tend vers cp par valeurs supérieurs [18]

( ) βcpppP −∝∞ pour cpp ↓

Le cœfficient β dépend lui aussi de la dimension d du modèle, mais

contrairement à la longueur de corrélation, la loi d’échelle n’est valide que pour

(I.12)

(I.13)

(I.14)


~ 16 ~

des valeurs supérieures au seuil. En effet, la probabilité d’existence d’un amas

infini est nulle pour p < cp d’où une probabilité nulle d’en faire partie.

Au voisinage du seuil de percolation, seuls les amas de taille voisine de ξ une

influence notable sur le comportement global du système. La taille caractéristique

ξS diverge à la percolation suivant une loi :

La taille moyenne des amas finis ( )pS suit également une loi d’échelle. Au voisinage

de cp , son évolution est supposée diverger selon la relation suivante [17] :

( ) γ−−∝ cpppS pour cpp →

Là aussi, le cœfficient γ dépend de la dimension ou évolue le problème. De plus, la valeur

de γ est identique au dessus et au dessous de percolation. Le moment zéro correspond au

nombre moyen d'amas normalisé par site.

α−−∝≡∑ 2

0 )( csS

pppnM

A cpp = , le nombre d’amas de taille est supposé défférentiable deux fois mais pas trois.

On postule alors que la troisième dérivée de sn satisfait la relation [18] :

α−−−∝ 1''''cs ppn pour cpp →

Avec α≤−1 < 0. Une nouvelle fois, l’exposant α est dépendant de la dimension du

modèle et il est identique lorsque p tend vers cp par valeur inférieur ou supérieur.

σξ

1−

−∝ cpps (I.15)

(I.16)

(I.17)

(I.18)


~ 17 ~

Les lois d’échelles insistent sur le caractère critique de la transition de percolation.

Elles rendent compte de l’évolution de certaines grandeurs statistiques au voisinage

du seuil de percolation. La caractéristique principale de ces lois d’échelle est leur

universalité, car les exposants qui sont liés à chacune d’entre elles ne dépendent que

de la dimension du problème et pas des détails du réseau [12].

I.6.2. Exposants critiques : relation et valeur estimées

La valeur des grandeurs obtenues dans un problème de percolation dépend des

éléments microscopiques du système comme par exemple la coordinence. Cependant

au voisinage du seuil critique, la plupart de ces grandeurs ont des comportements qui

sont indépendants de la structure du réseau et des détails microscopiques.

Chaque exposant critique étant lié à une loi d’échelle particulière, nous

évoquerons enfin les relations qu’entretiennent les divers exposants ainsi que les

estimations de leurs valeurs respectives.

Le nombre d’amas de taille S pour une concentration en sites donnée )( pns est

proportionnel au nombre d’amas au voisinage de cp soit )( cs pn par le moyen d’une

fonction d’échelle notée F:

)/()()(

ξSSFpnpn

cs

s ∝

Par ailleurs

τ−∝ Spn cs )(

En écrivant maintenant les moments d’ordre L:

τξ

−+∝⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∑ L

sL

s

SnS 1

(I.19)

(I.20)

(I.21)


~ 18 ~

Compte tenu de la relation (I.15), on peut écrire que :

στ )1( −+−−∝⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∑ L

csL

s

ppnS (I.22)

Pour L=0 :

στ )1( −−−∝⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∑ cs

sppn (I.23)

Pour L=1 :

στ )2( −−−∝⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∑ cs

sppSn (I.24)

Pour L=2:

στ )3(2 −−−∝⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∑ cs

s

ppnS (I.25)

A partir les relations (I.17), (I.23), (I.14), (I.24), (I.16) et (I.25) en déduit:

στγ −

=3 (I.26)

στβ 2−

= (I.27)

στα 12 −

=− (I.28)

Il existe d'autres relations [19]

γβσ

+=

1 (I.29)

γββτ+

+= 2 (I.30)


~ 19 ~

γβσ

τα +=−

=− 212 (I.31)

La validité de ces relations d'échelle n'est généralement pas contestée [18] .Elle montre

ainsi que tous dépend de deux exposants, peu importe qu'il s'agisse

de et ou etσ τ β ν car de ces deux exposants il est possible de déduire tous les autres

(04). De (I.31) par exemple, on détermine νβα etdeàpartir .ces relations sont

utilisées depuis 1960dans les problèmes de transition de phase thermique, elles ont été

étendues à la percolation en 1969 par P.W KASTELEYN et C.M. FORTUIM.

αν −= 2d (I.32)

Les lois d'échelles et d'hyper échelle pour se combiner pour déterminer les valeurs

des exposants. (TAB 02) reprend les résultats des estimations pour divers composants

critiques.

Exposant d=2 d=3

α -2/3 -0.62

β 5/36 0.41

γ 43/18 1.80

ν 4/3 0.88

σ 36/91 0.45

τ 187/91 2.18

TAB 02 : valeur d’exposant critique [15,16]

Les relations entre exposants du type loi d'échelles ou loi d'hyper échelle. Ont

illustrés l'indépendance des diverses grandeurs les unes par rapports au autres. La

notion de classe d'universalité a aussi été évoquées en indiquant qu'au voisinage de


~ 20 ~

cp et pour une classe particulière, les détails microscopiques du réseau été négligé .en

conséquence, la valeur des exposants critiques n'est apparue dépendre que la

dimension du problème et pas de la forme de la structure sur laquelle se posait le

modèle. Cette dimension euclidienne d qui a été utilisée jusqu'à présent, n'est

cependant pas la seule dimension liée à la notion de percolation .en effet, certaines

propriétés structurelles proviennent de la géométrie fractale et possèdent une

dimension fractale.

I.7. Dimension fractale : [13,19]

De part et d’autre de seuil de percolation, les grands amas infini sont

extrêmement ramifiés et sont caractérisé par une dimension fractale différente de la

dimension géométrique classique ou euclidienne. Cette dimension fractale, qui

caractérise partiellement la morphologie de l’amas peut être reliée aux exposants

critiques morphologiques.

Le rayon d’un S-amas fractal est relié à sa masse par la relation :

DfsRS = (I.33)

Si l’on définit la longueur de corrélation comme la distance moyenne entre deux sites

de même amas, on a :

∑∑=s

sss

S nSnSR ..2 2222ξ (I.34)

Le numérateur diverge enDf

cpp)23( +−−

−τ

, le dénominateur en στ )3( −−− cpp , soit

Pour la longueur de corrélation :

Df

cppp σξ 22 )( −−∝ (I.35)


~ 21 ~

Et comme par ailleurs vcppp −−∝)(ξ , on obtient finalement

σν1=fD (I.36)

Pour l’amas infini, dont le rayon diverge. On peut procéder à un calcul similaire sur

la densité de l’amas. On obtient alors :

νβ−= DD f (I.37)

Chapitre II

Généralités sur les

maladies

transmissibles

~ 23 ~

Généralités sur des maladies transmissibles

Dans ce chapitre, nous introduisons un contexte à savoir la transmission des maladies (période d’incubation et période latente) ainsi que ses modèles avec un exemple de rougeole.

II.1.Introduction

L’étude des épidémies est au carrefour des disciplines [20]: elle appartient en premier

lieu à la médecine, mais aussi à la géographie humaine par ses modes de propagation, à la

démographie et à l’histoire par ses effets. Même les mathématiques sont concernées [21] :

le calcul différentiel et intégral est le langage du changement, et ce langage va nous

permettre d’étudier les épidémies d’une manière plus approfondie que ne le permet la

langue naturelle.

Une épidémie est l’apparition brusque et à large échelle d’une maladie. Les

épidémies humaines sont souvent propagées par contact avec des personnes infectées. La

variole, la poliomyélite, la rougeole, la rubéole sont des maladies contagieuses qui se

propagent par contact fortuit avec une personne infectée.

Chapitre II :

Chapitre II Généralités sur des maladies transmissibles

~ 24 ~

II.2. Transmission de maladie

Propagation d’une épidémie dans un milieu d’êtres humains est caractérisée par

[22, 23, 24] :

II.2.1. Période d’incubation

La période d’incubation c’est la période pendant laquelle le virus est actif

(c’est la période ou le virus développe ou s’installe dans le corps humain).

II.2.2. Période latente

La période latente c’est la période ou le virus détruit une partie de corps

humain et peut se transmettre à un autre corps humain.

Maladie infectieuse Période d’incubation Période latente

Rougeole 8-16 6-9

Oreillons 12-26 12-18

Rubéole 14-21 7-14

Hépatite B 30-80 13-17

Poliomyélite 7-12 1-3

Grippe 1-3 1-3

Variole 10-15 8-11

TAB 03 : liste des périodes latente et d’incubation de quelque maladie infectieuse.

II.3. Modèles de transmission

II.3.1. Modèle de type SI

Il s’agit du modèle que W.H. HAMER a développé en 1906[25]. Il postule au départ

qu’il n’y a ni décès ni guérison. Les sujets qui sont infectés le restent et demeurent

contagieux. De plus les populations d’individus sains et d’individus infectés sont

en permanence en contact. L’infection s’établit par contact direct entre un

individu infecté et un individu sain.


~ 25 ~

Ce modèle comprend donc deux compartiments :

S = Sains ou Susceptibles c’est à dire les individus réceptifs à l’agent infectieux qui

ne sont pas contaminés mais peuvent le devenir.

I = Infectés, ce sont les individus atteints et qui sont donc contagieux.

Un flux s’établit entre S et I. Il dépend du nombre d’individus sains, du nombre

d’individus contagieux et d’un coefficient de proportionnalité ß appelé taux

d’infection ou taux de contagion .L’effectif de S sera appelé x et l’effectif de I sera

appelé y. Le nombre de nouveaux cas atteints par l’infection pendant l’intervalle

de temps dt sera ß x y. Dans le même temps la population d’individus sains

diminuera du même nombre .Cela conduit à deux équations différentielles :

dx/dt = - ß x y

dy/dt = ß x y , avec x + y = N la population totale.

II.3.2. Modèle de type SIR

Il s’agit du modèle proposé par KERMACK et MC KENDRICK au début du XXème

siècle[26]. C’est un modèle à trois compartiments :

On retrouve les compartiments S (Susceptibles) et I (Infectés). On introduit un

nouveau compartiment, R (Retirés) qui correspond à la population qui quitte le

compartiment des infectés par guérison, décès causé par la maladie, mort

accidentelle…

Le flux s'établissant entre I et R dépend du nombre d'infectés et d'un coefficient de

proportionnalité y appelé taux de retrait déduit des observations .L’effectif de R

sera appelé z. Le nombre d’individus entrant dans le compartiment R pendant

l’intervalle de temps dt sera γ y. Dans le même temps la population d’individus

infectés diminuera du même nombre.


~ 26 ~

On aboutit aux trois équations différentielles suivantes :

dx/dt = - ß x y

dy/dt = ß x y - γ y

dz/dt = γ y

avec x + y + z = N la population totale

II.3.3. Les autres modèles Ils découlent tous des mêmes principes de base énoncés précédemment mais

introduisent des degrés de complexité variés :

- SIRS : immunisation temporaire ; les individus du groupe R réintègrent après

un délai le groupe des susceptibles.

- SEIR : introduction d'une période de latence et donc d'un nouveau

compartiment avant la déclaration des symptômes.

l'être humain et un parasite, des infections avec des groupes à risque différents

parmi les susceptibles ainsi que de nombreux autres cas très variés.

FIG 07 : les différents modèles de transmissions.

SI SIS

SIR SIRS Recovered/immunise Infectieuse Susceptible (exposé)

SEIR InfEcted Infectieuse Recovered/immunisé Susceptible (exposé)

Infectieuse Susceptible (exposé)


~ 27 ~

II.4. Le taux de reproduction de base (R0) et net R

Le taux de reproduction de base, défini comme le nombre de cas secondaires

générés à partir de l’introduction d’un premier cas infecté dans une population

d’hôte sensible, traduit la notion du seuil pour qu’une maladie se propage ( 0R >1)

ou non 0(R 1) dans une population. L’utilisation de cet indicateur permet ainsi

d’étudier l’équilibre endémie/épidémie de manière simple. [27, 28]

R=R0.x ; x étant la proportion en % de susceptible.

Si maladie à prvention vaccinale : x= 1 - f ; f = % de vaccinés

• R=R0. (1 – f)

• Niveau minimal de f pour contrôler la transmission

- R=R0. ( 1 - f ) < 1 ; f < 1- ( 1/ R0)

- R0= 15 (rougeole ) ; f =93.3% ; R0=5 ; f=80%

II.5. La transmission des infections [29, 30, 31, 32, 33, 34,35]

Pour transmettre une infection, trois éléments doivent être présents en même

temps : un agent infectieux, une voie de transmission et un hôte réceptif.

II.5.1. l’agent infectieux, c’est le microbe qui causer une infection, comme un virus ou une bactérie. II.5.2.La voie de transmission : implique deux importantes notions :

La façon dont l’agent infectieux sera transportée d’une personne à une autre

(directement, par un contact de peau à peau, ou indirectement, par l’intermédiaire

d’un objet contaminée) et la porte d’entré qu’il utilisera pour pénétrer dans

l’autre personne (la peau, par une blessure a travers la peau ou par les muqueuses

Nombre de contact par unité

de temps

Probabilité de transmission par contact

Durée de la période e

contagiosité R0 = * * = ß.p.d


~ 28 ~

des yeux, du nez et de la bouche).il existe plusieurs voies de transmission : par

contact, par gouttelette et par voie aérienne.

La transmission par contact peux se faire, entres autres, par la voie sanguine et

par la voie fécale-orale. Dans la voie sanguine (VIH, hépatites, etc.), l’agent

infectieux présent principalement dans le sang d’une personne infectée doit

s’introduire dans le système sanguin d’une autre personne par contact avec ses

muqueuses ou par une blessure à travers sa peau. Dans la voie fécale- orale,

l’agent se retrouve dans les selles de la personne infectée. Le plus souvent la

transmission s’effectue lorsqu’une porte ses mains contaminées par des selles à sa

bouche.

Dans la transmission par gouttelettes (grippe, méningite, etc.), l’agent survit

dans les gouttelettes de salive et de sécrétions nasales d’une personne infectée,

gouttelettes qui sont projetées par la parole, la toux et l’éternuement.ces particules

sont grosses et voyagent sur une courte distance. Elles entrent chez l’hôte par les

musque uses des yeux, du nez et de la bouche.

Dans la voie aérienne (tuberculose, varicelle, etc.), les particules sont

microscopiques et demeurent en suspension dans l’air. Elles sortent des voies

respiratoires d’une personne infectée et elles entrent par la bouche ou le nez d’un

hôte lorsqu’il respire.

II.5.3. L’hôte réceptif, c’est la personne susceptible d’être infecté. Son état de santé,

l’état de son système immunitaire et son statut immunitaire font qu’une personne

sera plus ou moins fragile face à un agent infectieux.


~ 29 ~

Alors la transmission de virus peut se faire de deux manières différentes :

• Transmission direct : personne à personne

Voie Exemples

Aérienne Grippe

Cutanée Gale

Manuportée Typhoïde

Sexuelle VIH

Sanguine VIH

TAB 04 : la transmission direct de la maladie.

• Transmission indirect

Voie Exemples

Eau Cholera, typhoïde

Sol Tétanos

Air Penicillium

Produits animaux Charbon

TAB 05 : la transmission indirect de la maladie.


~ 30 ~

II.6. Exemple d’une maladie transmissible

La rougeole est une maladie dangereuse qui sévit dans le monde entier [36].

Dans les pays en développement la rougeole est la principale cause de la mortalité

infantile : chaque année, plus 700000 enfants ne meurent de cette maladie. Aux

pays- bas, le nombre de malades et décès dus à la rougeole a connu une baisse

spectaculaire après l’introduction de la vaccination anti-rougeole dans le

programme national de vaccination (1976). Il arrive cependant qu’une épidémie se

déclare a quelques années d’intervalles.

Agent pathogène

L’agent responsable de la rougeole est un virus des voies respiratoire qui ne

rencontre que dans l’espèce humaine.

Contamination le virus de la rougeole est extrêmement contagieux.il diffuse par

les gouttelettes en suspension dans l’air, par contact direct mais aussi à grandes

distances. Chaque malade peut contaminer au moins dix autres personnes.la

contamination est presque toujours suivie de la maladie. Un patient est contagieux

pendant 1 à 3 jours avant et 15 jours après l’apparition des éruptions cutanées.

Comme la rougeole est contagieuse, on ne peut éviter des épidémies que si

presque tout individu est vacciné. Parmi les malades de l’épidémie de 1999/2000,

aucun d’eux n’était entièrement vacciné, c’est-à-dire n’avait eu deux vaccinations.

Cette épidémie a ainsi montré encore une fois qu’une seule vaccination ne suffit

pas.

Temps d’incubation

le temps qui s’écoule entre la contamination par le virus de la rougeole et

l’apparition des premiers symptomes de la maladie est généralement de 8-13

jours.il se passe en moyenne 14 jours entre la contamination et l’apparition des

éruptions cultanées.

Symptomes

la rougeole commence par une forte fievre et la toux, le rhue et des yeux

rouges. Au premier stade, de petites taches apparaisent a l’intérieur des joues.ces


~ 31 ~

taches sont blanches avec un point rouge.apres cette premiere phase, la fievre

augmente de plus en plus. Les enfants sont généralement très malades. En

quelques jours, des éruptions cutanées font leur apparition sur le visage, le cou et

la nuque. La fievre peut augmenter une seconde fois. Les éruptions

envahissentprogrissivement le bas du corps.il s’agit d’abord de petites et grandes

taches. Elle se fondent ensuit en une rougeur quasiment égale.les taches se situent

manifestement sur la peau.

Les modalités démographiques de transmission de la rougeole :

FIG 08 schématise les modalités de transmission de la rougeole : elles sont

conditionnées par le taux de natalités (renouvellement de la population réceptive)

et la densité de la population [37,38] .BARTLETT [39,40] a montré qu’une population

de 250.000 habitant était nécessaire pour que la transmission de la maladie ne

connaisse pas d’interruption (situation endémique). Dans les régions rurales, la

transmission se fait par vagues épidémiques, et dépend de la mobilité des

populations concernées : c’est le problème de l’Afrique sud-saharienne, ou les

enfants se déplacent avec leur mère se rend pour les travaux des champs.Cela

explique la précocité de la transmission de la maladie dans ces régions

L’âge a la transmission de la rougeole :

FIG 09 schématise le rôle des paramètres démographiques sur l’âge à la

transmission de la rougeole.

Par contre, les régions totalement isolées peuvent connaître des épidémies

atteignant toute la population, comme cela a eu lieu en Groenland en 1952 [41] ou,

plus spécifiques, en indes ou les enfants de castes différentes ne jouent pas

ensemble [43]. Seuls les enfants d’une caste sont contaminés.

Le calendrier scolaire peut aussi rythmer les épidémies [43]

Immunité

une personne qui a contracté la rougeole est ensuite immunisée à vie contre la

maladie .Parfois, une nouvelle infection peut survenir mais sans donner des


~ 32 ~

symptômes .de même les deux vaccinations prévues par le plan national de

vaccination conféreraient une immunité à vie.

Traitement

il n’existe pas de traitement efficace contre la rougeole. Si la maladie

s’installe.il s’agit de laisser suivre son cours et de traiter les éventuelles

complications bactériennes. On ne peut rien faire contre une encéphalite.

Vaccination [44,45] la direction générale de la santé recommande depuis le 4eme

trimestre 1997 d’améliorer la couverture vaccinale contre la rougeole par vaccin

ROR avant l’âge de 2 ans et à 6 ans. L’objectif est d’obtenir une couverture

vaccinale de plus de 95% qui permettrait d’éradiquer la rougeole en Europe dans

les 10 ans. Cette décision a été prise suite à une étude montrant la nécessite d’une

seconde injection, qui n’est pas rappel, mais un rattrapage des échecs pour

atteindre ce taux de couverture.

FIG 08 : modalité de transmission de la rougeole.

Taux de natalité

Milieu urbain endémie

Milieu rural épidémie

Renouvellement de la population réceptive

Densité population réceptive

Population réceptive

Circulation du virus


~ 33 ~

Paramètres démographiques Age à la rougeole

FIG 09 : Paramètre démographique et âge à la transmission de la rougeole.

Modalité élevée

Natalité faible

Densité forte (milieu urbain)

Population isolées

Nourrisson

Préscolaire

Écoliers

Age plus précoce qu’en milieu rural

Age adulte

Natalité élevée +mobilité

Chapitre III

Réseau de petit monde

~ 35 ~

Le réseau de petit monde

Ce chapitre a pour but de définir Le réseau de petit monde offrant une bonne modélisation des réseaux sociaux à partir de leurs propriétés, ils présentent un grand intérêt pour l’étude de la diffusion d’une épidémie au sein d’une population.

III.1. Introduction Les systèmes complexes sont caractérisés par l’existence d’un grand nombre

d’éléments connectés par un ensemble d’interactions à différentes échelles, une

protéine, une cellule, un cerveau, une population d’être vivants, internet,…etc.

sont des systèmes complexes. depuis quelques années des réseaux à émergées

pour étudier les systèmes complexes à partir de la mise en relation de la structure

des interactions entre leurs éléments constitutifs .En science sociale par exemple

l’analyse des réseaux sociaux basés sur l’étude de la structure sociale à partir de sa

représentation sous la forme d’un système de relation sociale liant des entités

sociale les unes des autres à émergé dans les années (Moreno, 1937).depuis quelques

années suite à la publication de l’article de Watts et Strogatz (1998)qui a popularisé

l’idée que la topologie des interactions entre les composantes des réseaux n’étaient

ni complètement régulières ni complètement aléatoires c’est ce qu’on appelle

réseau du petit monde.

Chapitre III :

Chapitre III Réseau de petit monde

~ 36 ~

III.2. Les propriétés de réseau

Un réseau peut être défini comme un ensemble d’entités, appelées nœuds, reliées

par un ensemble de connections, appelées liens. De nombreux réseaux représentent des

systèmes extrêmement divers partagent des propriétés communes. En particulier nombre

de systèmes sont des petits mondes et des réseaux sans échelle.

Les propriétés qui caractérisent les grands réseaux :

III.2.1.La distance moyenne entre les paires de nœuds

La distance entre deux nœuds, d, est définie comme le nombre de liens présents sur le

plus court chemin entre ceux-ci (FIG 10). La moyenne des distances, pour l’ensemble des

paires de nœuds du réseau, D, est une propriété globale du réseau, qui mesure la

séparation typique entre les nœuds. Cette mesure a attiré une attention considérable dans

le cadre des études sur le phénomène du petit monde [46, 47, 48, 49,50]. La découverte

apparemment surprenante d’une connaissance ou d’un ami commun entre deux

individus suscite presque invariablement l’exclamation : « que le monde est petit ! ». Dans

cette situation, les deux individus sont séparés par une distance d=2. Quelle est la

probabilité d’un tel événement à l’échelle d’une population, à l’échelle de la terre? A

partir de cette question, Pool et Kochen ont mis sur pied un agenda de recherche sur le

phénomène du petit monde dès les années 50 [48,49]. Quelques années plus tard, le

concept a été largement popularisé par les expériences de Milgram [46, 47] où environ 300

individus choisis aléatoirement dans les villes de Boston et Omaha (Nebraska) ont été

invités à faire parvenir une lettre à un individu cible travaillant à Boston. Si la personne

participante connaissait Personnellement l’individu cible, la lettre pouvait lui être

envoyée directement. Dans le cas contraire, hautement probable, elle recevait l’instruction

de poster la lettre à un individu qu’elle connaissait personnellement, qui aurait plus de

chance de connaître l’individu cible, et à qui la tâche d’atteindre la cible était également

confiée selon le même principe. La plupart des lettres ont été perdues en court de route,

mais environ 25% sont arrivés à destination en passant en moyenne par seulement 5

personnes Intermédiaires. Ces expériences ont permis d’avancer que deux personnes

quelconques vivant aux Etats-Unis, dont la population à l’époque était de l’ordre de

200.000.000 d’individus, peuvent être reliées par une courte chaîne de personnes qui se

connaissent personnellement. Plus récemment les conclusions de Milgram ont été

appuyées par une étude où plus de 60.000 utilisateurs du courrier électronique ont essayé

de rejoindre chacun un individu cible choisi parmi un total de 18, distribués dans 13 pays


~ 37 ~

différents, en envoyant un message électronique à une personne connue personnellement

et qui, selon la personne qui envoie le message, serait plus proche de la cible [51]. En

moyenne, les messages qui ont atteint leur cible ont été retransmis par 5 personnes

intermédiaires.

d (A-B) =1, d (J-M) =4

FIG 10 : Exemple de calcul de la distance entre les paires de nœuds.

Ces recherches suggèrent que la population humaine forme un grand réseau reliant la

totalité des être humains par un ensemble de relations sociales et que le monde est petit,

c’est à dire qu’il existe un chemin relativement court entre l’ensemble des paires

d’individus. Elles ne fournissent cependant aucune information sur la structure du réseau

des relations sociales entre les être humains à l’échelle de la terre, ni sur les

caractéristiques distinctives des réseaux qui seraient nécessaires pour faire émerger la

propriété du petit monde. Dans la mesure où la collecte des données qui seraient

nécessaires à mise en évidence du réseau des relations sociales à l’échelle planétaire est

hors de portée, c’est le développement de différents modèles qui a permis de progresser

A E

L

B

N I

M

F

G

D

K H

J

C


~ 38 ~

dans la connaissance de propriétés structurelles des réseaux qui possèdent les

caractéristiques du petit monde (appelés dorénavant réseaux petit monde).

Le modèle auquel les réseaux réels sont fréquemment comparés, est le modèle de réseau

aléatoire, où les liens entre les nœuds sont distribués au hasard [52]. Dans ce modèle, le

nombre de nœuds, N, est fini et chaque paire de nœuds est connectée aléatoirement avec

une probabilité p.

Dans le cas du modèle du réseau aléatoire, la distance moyenne entre les nœuds, D, est

proportionnelle au logarithme du nombre de nœuds dans les réseaux et lorsque N et <k>

sont grands, Bollobas (1985) a démontré que D est approximativement égal à ln(N)/ln

(<k>). En conséquence, dans ce type de réseau, D augmente lentement avec le nombre

total de nœuds [53]. Une courte distance entre les nœuds ne semble donc pas, à première

vue, reposer sur l’existence d’une structure particulière du réseau. Cependant un réseau

aléatoire ne possède pas une des caractéristiques essentielles partagée par la majorité des

réseaux sociaux: un niveau élevé d’amas. Cette propriété est associée à la propriété de

transitivité fréquemment rencontrée dans le cas des relations sociales : si nœud A est lié

au nœud B et au nœud C, il existe une probabilité accrue que le nœud B soit aussi lié au

nœud C [54]. Pour prendre un exemple concret, si l’individu A connaît personnellement

les individus B et C, il existe une probabilité accrue que les individus B et C se connaissent

eux aussi personnellement. Un groupe de trois nœuds, où chacun des nœuds est connecté

aux deux autres, forme une triade fermée (un triangle) L’amas au niveau d’un réseau est

fonction de la densité de triades fermées en son sein [55]. Elle peut être mesurée grâce au

coefficient d’amas qui est la deuxième propriété qui a été amplement utilisée pour

comparer les réseaux.

III.2.2. Le coefficient d’amas

Si un nœud i possède v voisins, au maximum, il peut exister v (v -1) /2 liens entre ces

voisins. Le coefficient d’amas locale du nœud i, KC est la fraction des liens observés entre

les voisins de i par rapport au nombre de liens potentiels (FIG 10). Il s’agit de la propriété

locale de l’amas au sein d’un groupe de nœuds centré sur le nœud i. C, le coefficient

d’amas du réseau est la moyenne des c Pour l’ensemble des nœuds ∑= icNC 1 [50].


~ 39 ~

: 11 FIG Exemple de calcul de coefficient d’amas

Le modèle de réseau aléatoire, possède un coefficient d’amas, C, égal à<k>/N (54). Un

réseau aléatoire où 1 >⟩⟩<⟩⟩ KN possède en conséquence un coefficient d’amas

relativement petit. La comparaison du coefficient d’amas entre différents réseaux et les

modèles de réseaux aléatoires qui leur correspondent (possédant le même nombre de

nœuds et de liens) a permis de confirmer que le modèle aléatoire ne reproduisait pas

l’amas élevée rencontrée dans la cas des réseaux sociaux [51, 57, 55] .La FIG 12 montre un

exemple de réseau, constitué de 200 nœuds, dont les liens entre ont été générés

aléatoirement avec une probabilité p = 0.02211 entre chaque paire de nœuds. Cette

probabilité a été déterminée de telle sorte qu’en moyenne un tel réseau possède 440 liens.

Les moyennes des valeurs de D et C est mesurées au niveau de 10 réseaux générés

aléatoirement en utilisant ces paramètres sont respectivement de 3.7 et 0.022. Les

formules ( ) ( ) NketkND ><><= lnln fournissent des valeurs très proches, soit D

= 3,6 et C = 0,022. Cet exemple illustre que l’existence d’un court chemin entre les paires

de nœuds et un coefficient d’amas relativement petit sont deux propriétés des réseaux

aléatoires. Le réseau de la figure 4 est présenté de telle façon que les nœuds se repoussent

tout en minimisant les variations entre les longueurs des liens. La table résume les

principales propriétés des différentes catégories de réseaux

( ) ,21

sin−

=ii

i vvinoeuddusvoilesentreliensdenombrec 5sin == idesvoinoeuddenombrevi

i i

i

110/10 ==iC4.010/4 ==iC0=iC


~ 40 ~

FIG 12 : Exemple de réseau aléatoire

TAB 06: Comparaison des propriétés structurelles des différentes catégories de réseaux.

Comparaison des propriétés structurelles des différentes catégories de réseaux

Catégories des réseaux

Exemples aux réseaux appartenant aux différentes catégories

Caractéristiques de propriétés utilisées pour différencier les catégories de

réseau

Caractéristiques des différents exemples de

réseaux

Les exemples de réseau (Borgatti ,2002)

D C Distribution des

degrés

N

L

D

C

Valeurs calculés

3.6 0.022

valeurs mesurés

Réseau aléatoire

Petit

= D aléatoire

Petit

= C aléatoire

homogène

200

440

3.7 0.022


~ 41 ~

Réseau régulier

Grand

D >> D aléatoire

Grand

C >>C

aléatoire

homogène

200

440

20.7

0.84

réseau petit

monde basé sur

l’addition de

raccourcis au sein

d’un réseau

régulier

Petit

D ≈ D aléatoire

Grand

C >>C aléatoire

homogène

200

460a

6.3

0.8

Réseau petit

monde basé sur

l’addition d’un ou

plusieurs nœuds dont le

degré est élevé d’un

réseau régulier

Petit

D ≈ D aléatoire

Grand

C >> C

aléatoire

hétérogène

201a

460a

4.5

0.82

N : nombre de nœuds ; L : nombre de liens ; D : distance moyenne entre les œuds ; C :

coefficient d’amas de réseau

a. L’addition d’un petit nombre de liens au modèle aléatoire ne modifie que très peu la

distance moyenne entre les nœuds et le coefficient d’amas. En effet, pour un réseau

aléatoire avec 200ou 201 nœuds et 460 liens. D calculé = 3.5 et C calculé = 0.023.

A l’opposé du modèle de réseau aléatoire se trouvent les modèles de réseaux dont les

éléments de base sont de petits groupes de nœuds tous connectés entre eux. Ces groupes

de nœuds sont arrangés de façon régulière de telle sorte que chaque groupe ne se trouve

relié qu’à deux groupes voisins [55, 58]. C’est ce qu’on appelle « réseau régulier ». Ce type

de modèle illustre, par Exemple, un ensemble de familles, dont les habitations sont isolées


~ 42 ~

et distantes les une des autres, et qui n’auraient chacune des contacts qu’avec les familles

voisines les plus proches. Il reproduit bien l’amas élevé rencontrée dans la majorité des

réseaux sociaux, mais D, la distance moyenne entre les paires de nœuds, grandit de façon

très rapide avec le nombre total de nœuds. Un exemple de réseau régulier est le modèle

connecté de l’homme des cavernes au niveau duquel, D est proportionnel à K ><N et

donc grandit beaucoup plus vite avec le nombre de nœuds que dans le cas du modèle de

réseau aléatoire (Watts, 1999). FIG 13 présente un modèle dérivé du modèle connecté de

l’homme des cavernes qui illustre les propriétés d’un réseau régulier.

FIG 13 : Exemple de réseau régulier

Son unité de base est un groupe de 5 nœuds où chaque nœud est connecté aux 4 autres.

Les 40 groupes sont reliés entre eux pour former un cercle, où chaque groupe est relié à

deux groupes voisins par un seul lien. Ce réseau possède 200 nœuds et 440 liens et un

degré moyen égal à 4.4. Deux nœuds situés à des pôles opposés du réseau sont séparés

par un grand nombre d’intermédiaires et il est aisé de comprendre que la distance

moyenne entre les nœuds soit relativement grande. En effet, en moyenne deux nœuds

quelconques de ce réseau sont séparés par 20,7 liens (TAB 06). Le coefficient d’amas de ce

réseau est quant à lui particulièrement élevé (0.84) et traduit la connectivité de 100 % entre

les nœuds de chacun des groupes de 5 nœuds. Ni le modèle de réseau aléatoire, ni les

modèles de réseau régulier ne sont donc en mesure de reproduire « simultanément » les

propriétés rencontrées dans le réseau de relations humaines : l’existence d’un court


~ 43 ~

chemin liant deux personnes quelconques et un haut degré d’amas. C’est à Watts et

Strogatz (1998) que revient le mérite d’avoir construit un modèle de réseau petit monde

qui possède à la fois une courte distance moyenne entre les nœuds, propriété des réseaux

aléatoires et un amas élevée, propriété des réseaux réguliers. Ce modèle a permis de

démontrer que la création d’un petit nombre de liens aléatoires au sein d’un réseau

régulier est une condition suffisante pour générer un réseau où la distance moyenne entre

deux nœuds quelconques diminue drastiquement pour se rapprocher de celle du modèle

aléatoire, tandis que le coefficient d’amas pour l’ensemble du réseau reste pratiquement

inchangé.

Suite à la publication du modèle de Watts et Strogatz, différents modèles alternatifs de

réseaux petit monde construits à partir d’un réseau régulier ont été proposés, soit par

déplacement de liens préexistants, soit par addition de nouveaux liens [55,58, 59,60]. Les

FIG 14 et 15 sont deux représentations du même exemple de réseau petit monde généré

par l’addition de 20 liens entre des nœuds distants au sein du réseau présenté à la FIG 13.

FIG 14 : Exemple 1 de réseau de petit monde

basé sur l’addition des raccourcis au sein d’un réseau régulier.


~ 44 ~

L’addition des raccourcis n’affecte pratiquement pas le coefficient d’amas du réseau qui

reste très élevé, tandis qu’elle possède un impact considérable sur la distance moyenne

entre les nœuds qui diminuent considérablement et se rapproche de la valeur du modèle

aléatoire de la FIG 12 (TAB 06). La FIG 14 illustre le principe de l’addition des raccourcis,

tandis que FIG 15 facilite la comparaison avec les réseaux présentés aux FIG 12 et 13. Une

alternative au modèle WS basé sur la création de raccourcis aléatoires pour générer un

réseau petit monde à partir d’un réseau régulier, consiste à relier les nœuds distants dans

le réseau régulier par un ou quelque nœud dont le degré est très élevé [57, 61,62]. Dans le

réseau présenté à la FIG 16, 20 nœuds du réseau de la FIG 13 ont été reliés par

l’intermédiaire d’un seul nœud. Cette construction n’altère pratiquement pas l’amas du

réseau, tandis que D chute brutalement, générant ainsi un réseau petit monde (TAB 06).

La FIG 17 présente le même réseau que celui de la FIG 16.


basé sur l’addition des raccourcis au sein d’un réseau régulier


~ 45 ~


basé sur l’addition d’un nœud dont le degré est élevé

au sein d’un réseau régulier

Nous avons vu dans l’introduction qui précède que les termes « petit monde » ont été

utilisés dans des sens différents par divers auteurs. Ils ont d’abord été utilisés en

sociologie pour faire référence à la situation apparemment étonnante qui survient lorsque

deux étrangers découvraient qu’ils avaient un ami commun et étaient en conséquence

séparés par une distance égale à 2. Milgram s’est penché sur le « problème du petit monde

» où la question était de savoir comment est-il possible que n’importe quelle paire

d’individus sur terre puisse être reliée par un petit nombre d’intermédiaires malgré

l’existence des barrières sociales, culturelles et géographiques. Watts et Strogatz ont utilisé

la phrase « réseau petit monde » pour les réseaux qui possèdent à la fois une courte

distance moyenne entre les nœuds et un coefficient d’amas élevée.


~ 46 ~


basé sur l’addition d’un nœud dont le degré est élevé

au sein d’un réseau régulier

Les modèles basés sur l’addition de raccourcis ou d’un ou quelques nœuds fortement

connectés à un réseau régulier sont tous deux en mesure de générer les propriétés du petit

monde. Ils sont cependant différents du point de vue d’une autre propriété des réseaux :

la distribution des degrés. Dans le premier cas la distribution est homogène, centrée sur

k, le degré moyen du réseau, dans le second cas la distribution des degrés est hétérogène,

certain nœuds possédant un degré beaucoup plus élevé que la moyenne. Cette

observation nous amène à nous tourner maintenant vers la distribution des degrés, qui est

la troisième propriété qui a été utilisée pour comparer un grand nombre de réseaux.

III.2.3. La distribution des degrés

La distribution des degrés, P(k), donne la probabilité qu’un nœud spécifique ait

exactement k liens. P(k) est obtenue en comptant le nombre de nœuds, N(k), qui ont k = 1,

2, 3… liens et en divisant ce nombre par le nombre total de nœuds N. La distribution des

degrés permet de distinguer différentes classes de réseaux. La découverte que la

distribution des degrés de divers réseaux, comme le WWW et le réseau de transmission

d’énergie électrique aux E.U., n’était pas du tout homogène, mais suivait une loi de

puissance [64]. La loi de puissance: ( ) γ−∝ kkp , où γ est une constante. Les réseaux qui


~ 47 ~

possèdent une distribution des degrés qui suit une loi de puissance ont été appelé sans

échelle (Scale Free – SF).

FIG 18 : Distribution selon une loi de puissance

III.3.Model basé sur le réseau de petit monde

Plusieurs études ont était faites sur le réseau de petit monde et parmi ses études la

propagation d'une maladie.

La distribution des degrés et la propagation des maladies infectieuses et des virus

informatiques :

Les études concernant le rôle de la distribution des degrés sur la propagation des

maladies infectieuses et des virus informatiques [64,65,66,67]et sur l’efficacité des

stratégies d’immunisation pour les combattre [68,69] ont révélé des différences

fondamentales entre les réseaux dont la distribution est homogène et ceux dont elle est

hétérogène. La propagation des maladies infectieuses et des virus informatiques dans les

réseaux a été analysée en faisant usage du modèle SIS (susceptible – infecté – susceptible)

utilisé en épidémiologie. Chaque nœud dans le réseau correspond à un individu et

chaque lien une connexion au travers de laquelle l’infection peut se propager. A chaque

unité de temps, un individu susceptible peut être infecté à un taux ν , tandis qu’un

individu infecté peut retourner à l’état susceptible à un taux δ .


~ 48 ~

Le développement d’une épidémie dépend, en conséquence, du taux de propagation de

l’infection δνλ = .

Au sein des réseaux dont la distribution est homogène, une épidémie se propagera et

l’infection sera persistante si λ dépasse ce qui est appelé le seuil épidémique, cλ . Siλ ,

est inférieur à cλ , l’infection disparaît rapidement. Dans cette situation, les interventions

dont l’objectif est de réduire la transmission seront efficaces si elles sont en mesure de

faire baisser le taux de propagation en dessous du seuil épidémique[69]. La FIG 19

représente la variation de la taille moyennes des amas qui deviennent non nulles au-delà

du seuil de percolation cp et varient en puissance avec p .la valeur de cp est en bon

accord avec la prédiction analytique du Newman [61] ils ont trouvée que le seuil de

percolation cp est donné par : c

kc

kpp 2)1( −

=φ ; k : le nombre de proche voisin, :φ court

circuit.

La FIG 20 présente l’évolution du nombre de nouveaux cas en fonction du temps pour

différentes phases : p=0.1 (situation endémique), p=0.15 et p=0.2 (situation

épidémique).nous remarquons que dans le cas endémique le nombre de cas est quasi

stationnaire. Au de-là de cp Le nombre de cas augmente exponentiellement. Le nombre

de contaminés diminue par la suite ce qui n’est pas le cas dans les résultats de Pastor –

Satorras[64].

Au sein des réseaux dont la distribution des degrés suit une loi de puissance et dont

l’exposant,γ , se situe entre 2 et 3, Pastor-Satorras et Vespigiani (2001) ont démontré en

utilisant un modèle dynamique de réseau, que l’infection se propagera et sera persistante

quelle que soit la valeur de λ . Ce résultat est en accord avec les données sur la

persistance extrêmement longue des virus informatiques au sein du réseau Internet qui

possède une distribution des degrés sans échelle[64].

L’utilisation de modèles de réseaux dynamiques a également permis d’évaluer

l’efficacité des stratégies d’immunisation en fonction d’hétérogénéité de la distribution

[68]. Dans le cas d’un réseau dont la distribution des degrés est homogène immunisation

uniforme sur une fraction des nœuds est efficace pour éliminer la propagation de

l’infection. Par contre, cette approche ne l’est pas du tout dans le cas d’un réseau dont a

distribution des degrés est sans échelle au niveau duquel la propagation n’est éliminée

que si pratiquement 100% de la population est immunisée. De plus, dans le cas des


~ 49 ~

réseaux dont la distribution des degrés est homogène, une stratégie d’immunisation

ciblant préférentiellement les nœuds les plus connectés ne présente pas d’avantage

significatif par rapport à une immunisation uniforme. Elle apparaît par contre comme la

seule alternative réellement efficace pour réduire la propagation au sein des réseaux sans

échelle. Ces résultats trouvent une application dans le cas de la lutte contre la

transmission des virus informatiques tout comme des maladies infectieuses.

FIG 19 : Variation de la taille moyenne du plus grand amas avec p pour 3 valeurs de φ : 6

(pleine) ; 30 (tirés) et 30 avec δφ = 15 (pointillés). Le graphe inséré représente la

distribution (semi-logarithmique) des tailles d’amas dans le premier cas pour p = 0,01

(pleine) et 0,15 (tirés).


~ 50 ~

FIG 20 : Évolution temporelle du nombre de nouveaux infectés dans le cas

φ = 6 pour 3 situations : p = 0,1 (pleine), p = 0,15 (tirés) et p = 0,2 (pointillés).

Le même graphe (en log–log) est inséré.

Chapitre IV

Application du R.P.M pour

l’étude dynamique de la

propagation d’une maladie

Chapitre IV Application du R.P.M pour l’étude dynamique de la propagation d’une maladie

~ 52 ~

IV.1. Introduction Le modèle de percolation a été appliqué à plusieurs domaines. Nous nous

intéressons ici à son application à la propagation d’épidémie [2,64].

Parce que les petits mondes ont les mêmes caractéristiques que de nombreux

systèmes de la vie courante, ils constituent un bon modèle pour étudier la

propagation d'influences à travers un réseau. Par exemple, ces influences peuvent être

des épidémies se propageant au sein d'une population ou des virus informatiques

diffusés par messages électroniques.

Dans ce chapitre nous étudions la transmission des maladies en utilisant le réseau

de petit monde. Nous essayons de voir l’effet de corrélation sur l’évolution temporelle

des sites infectés et le comportement de l’exposant critique.


~ 53 ~

IV.2. Simulation Les probabilités pij qu’un site j soit voisin du site occupé i pour un paramètre d’ordre σ sont données par :

(1 )OOP p pσ= − + ; (IV.01) L’ indice o représente un site occupé. Le paramètre d’ordre σ varie de -1 pour le cas

de la ségrégation (séparation) complète entre les sites occupés de différents types à 1

pour l’ordre total (corrélation total) en passant par 0 pour le désordre total . en fixant

une valeur du paramètre d’ordre σ , ceci permet de déterminer les différents ,i jP .

Mais pratiquement, si nous nous intéressons à un type de sites occupés, il suffit de

connaître la probabilité de trouver un site occupé voisin d’un site occupé ( )ooP pour

réaliser l’échantillon. Seulement , dans l’environnement local d’un site occupé, il est

impossible de réaliser la probabilité OOP pour chaque site occupé et avec une

concentration des sites occupés P dans l’échantillon. par exemple pour 0.5σ = et

0.5p = , alors 0.75ooP = . Ceci signifie que pour chaque site occupé, parmi les 6 sites

voisins, 4.5 doivent être des sites occupés ce qui est impossible à réaliser. Par

conséquent, pour 0.5, OOPσ = devrait fluctuer de 3/4 avec une variance dépendant de

la taille de l’échantillon et du nombre de proches voisins. On fait la même chose pour

les cours circuits.


~ 54 ~

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

1000

2000

3000

4000

5000

fréq

uenc

e

n o m bre d e co u rt circu it (o ccu p és)

σ = − 0 ,4

0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 80

5 0 0

1 0 0 0

1 5 0 0

2 0 0 0

2 5 0 0

3 0 0 0

σ = 0

fréq

uenc

e

n o m b re d e c o u rt c irc u it (o c c u p é s )

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

500

1000

1500

2000

2500

fréq

uenc

e

nom bre de court circuit(occupée)

σ=0,2

FIG 21 : distribution de court circuit pour différents paramètres σ :

a) ségrégationσ =-0.4, b) désordre total σ =0, c) arrangement local σ =0.2


~ 55 ~

La FIG 21, nous montrons, pour une taille fixée à 100000 sites, la distribution des courts

circuits pour des valeurs de σ représentant la ségrégation, le désordre total et

l’arrangement local la principale remarque est que la valeur de court circuit obtenue

a partir de l’équation (IV.01) correspond à la valeur la plus probable dans la FIG. La

forme de ces distributions tend vers des piques quand le nombre de court circuit tend

vers l’infini.

IV.3. Résultats et discussions

Etude dynamique de la propagation d’une maladie Nous réalisons 100 configurations du réseau [46, 50] avec une taille fixée à 100000

sites. Le nombre moyen de proches voisins est fixé à k =2 et le nombre de court

circuit fixé à ϕ =30.

Supposant que l’épidémie commence par se propager à partir d’un seul site

infecté. Alors, dans un temps tΔ il transmettra la maladie à tous les sites occupés

(exposés) qui lui sont connectés, après tΔ2 ces sites la transmettrons aux seconds

connectés et ainsi de suit. En ne supposant que le temps de transmission de l’épidémie

tΔ est constant, nous pouvons ainsi déterminer l’évolution du nombre de cas

contaminés en fonction du temps nous restreignons à 30=φ .

Dans la FIG 22 nous montrons l’évolution du nombre de nouveau cas en fonction

du temps pour différentes valeurs de p. nous remarquons que le nombre de cas

augmente exponentiellement et diminue par la suite (ce qui n’est pas le cas dans les

résultats de Pastor-Satorras [65] ou il sature, car dans leur cas un site ayant été

contaminé plusieurs fois).


~ 56 ~

0 10 20 30 40 500

400

800

1200

1600

2000

2400

nom

bre

de c

as

temps

p = 0,08p = 0,1p = 0,12

FIG 22: évolution temporelle du nombre de nouveaux infectés

Pour différentes valeurs de p

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,300,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

expo

sant

γ

concentration p

FIG 23: le comportement de l’exposant γ en fonction de la concentration p


~ 57 ~

Ce résultat pourrait permettre aux services de prévention de détecter une épidémie

une épidémie en évaluant systématiquement le nombre de cas en fonction du temps et

de les ajuster à une exponentielle.

1. Effet de corrélation entre les courts circuits

Dans cette partie et pour la partie (effet de corrélation entre les voisins) on

étudie l’effet de corrélation sur la dynamique de la propagation d’une maladie.

Donc on suppose aussi que l’épidémie commence par se propager à partir d’un

seul site infecté.

Dans les FIG 24, FIG 25 et FIG 26 nous montrons l’évolution du nombre de

nouveau cas en fonction du temps pour différentes valeurs de σ et pour

différentes valeurs de p et aussi le comportement de l’exposant γ en fonction de σ

(FIG 27). Nous remarquons que le nombre de cas augmente exponentiellement et

diminue par la suite.


~ 58 ~

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

nom

bre

de s

ites

infe

ctés

temps

σ = 0 σ = 0,05 σ = 0,1 σ = 0,2 σ = 0,3

p=0,1

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

nom

bre

de s

ites

infe

ctés

temps

σ = 0σ = -0,05σ = -0,1

p = 0,1

FIG 24 : évolution temporelle du nombre de nouveaux infectés dans le cas 30=φ

Pour différentes valeur de σ pour p=0.1


~ 59 ~

2 4 6 8 10 12 14-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

σ = 0 σ =- 0,05 σ = -0,1 σ = -0,15 σ = -0,2

nom

bre

de s

ites

infe

ctés

temps

p=0,2

2 4 6 8 10 12-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

nom

bre

de s

ites

infe

cté

temps

σ = 0 σ = 0,1 σ = 0,2 σ = 0,3

p=0,2

FIG 25 : évolution temporelle du nombre de nouveaux infectés dans le cas

30=φ Pour différentes valeur de σ pour 0.2p =


~ 60 ~

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0

5000

10000

15000

20000

25000

nom

bre

de s

ite

infe

ctés

temps

σ = 0 σ = 0,05 σ = 0,1 σ = 0,2 σ = 0,3

p=0,3

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

5000

10000

15000

20000

nom

bre

de s

ites

infe

ctés

temps

σ = 0 σ =-0,05 σ =-0,1 σ =-0,2 σ =-0,3

p=0,3


Pour différentes valeur de σ pour 3.0=p

Nous remarquons aussi que Pour σ >0 le nombre de cas contaminés augmente et

diminue pour σ <0.


~ 61 ~

-0 ,1 0 ,0 0 ,1 0 ,2 0 ,30 ,3 0

0 ,3 5

0 ,4 0

0 ,4 5

0 ,5 0

0 ,5 5

expo

sant

γ

σ

p = 0 ,1

- 0 ,2 - 0 ,1 0 ,0 0 ,1 0 ,2 0 ,30 ,6 6

0 ,6 8

0 ,7 0

0 ,7 2

0 ,7 4

0 ,7 6

0 ,7 8

0 ,8 0

0 ,8 2

expo

sant

γ

σ

p = 0 ,2

-0 ,3 -0 ,2 -0 ,1 0 ,0 0 ,1 0 ,2 0 ,3

0 ,9 0

0 ,9 1

0 ,9 2

0 ,9 3

0 ,9 4

0 ,9 5

0 ,9 6

0 ,9 7

0 ,9 8

expo

sant

γ

σ

p = 0 ,3

FIG 27 : le comportement de l’exposant γ en fonction de σ

Pour trois situations : p=0.1, 0.2 et 0.3


~ 62 ~

Alors l’exposant γ augmente en augmentant la valeur de σ et son augmentation

semble linéaire lorsque p est petit (0.1). Plus il y a d'arrangement plus il y a de

contacts et donc la vitesse de propagation augmente. Pour la ségrégation c'est l'inverse

car il y a moins de connexions.

2. L’effet de corrélation entre Les voisins

On a fait la même chose que les cours circuits, dans la FIG 28 nous montrons aussi

l’évolution du nombre de nouveau cas en fonction du temps pour différents valeurs

de σ pour trois cas de concentration p=0.1, 0.2, et 0.3. Nous remarquons que le

nombre de cas augmente exponentiellement. Le nombre de contaminés diminue par la

suite. Et vérifier le comportement de γ en fonction σ (FIG 29)


~ 63 ~

2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 2 2 2 4 2 6- 5 0 0

0

5 0 0

1 0 0 0

1 5 0 0

2 0 0 0

2 5 0 0

3 0 0 0

3 5 0 0

4 0 0 0

4 5 0 0

5 0 0 0

5 5 0 0

6 0 0 0

nom

bre

de s

ites

infe

ctés

t e m p s

σ = 0 σ = 0 ,2 σ = 0 ,4 σ = - 0 ,1

p = 0 ,1

2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1

0

5 0 0 0

1 0 0 0 0

1 5 0 0 0

2 0 0 0 0

2 5 0 0 0

3 0 0 0 0

σ = 0σ = - 0 ,2 = 0 ,2 σ = 0 ,5

nom

bre

de s

ites

infe

ctés

t e m p s

p = 0 ,3


Pour différentes valeur de σ

2 4 6 8 1 0 1 2 1 4- 2 0 0 0

0

2 0 0 0

4 0 0 0

6 0 0 0

8 0 0 0

1 0 0 0 0

1 2 0 0 0

1 4 0 0 0

1 6 0 0 0

nom

bre

de s

ites

infe

ctés

t e m p s

σ = 0 σ = 0 , 2 σ = 0 , 4 σ = 0 , 5 σ = - 0 , 2

p = 0 , 2


~ 64 ~

- 0 ,2 0 ,0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,00 ,3 5

0 ,4 0

0 ,4 5

0 ,5 0

0 ,5 5

0 ,6 0

0 ,6 5

expo

sant

γ

σ

p = 0 ,1

-0 ,2 0 ,0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,0

0 ,6 5

0 ,7 0

0 ,7 5

0 ,8 0

0 ,8 5

0 ,9 0

expo

sant

γ

σ

p = 0 ,2

-0 ,4 -0 ,2 0 ,0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,00 ,9 0

0 ,9 2

0 ,9 4

0 ,9 6

0 ,9 8

1 ,0 0

1 ,0 2

1 ,0 4

1 ,0 6

expo

sant

γ

σ

p = 0 ,3

FIG 29 : le comportement de l’exposant γ en fonction de σ

Pour trois situations : p=0.1, 0.2 et0.3


~ 65 ~

Nous remarquons aussi que pour σ >0 le nombre de cas contaminés augmente

et diminue pour σ <0 et l’exposant γ augmente an augmentantσ .Lorsque on a plus

d'arrangement plus γ augmente et son augmentation semble linéaire lorsque p est

petit. Plus il y a d'arrangement plus il y a de contacts et donc la vitesse de propagation

augmente. Pour la ségrégation c'est l'inverse car il y a moins de connexions.

Alors L’étude de quelque épidémie indique que les mouvements et les

interactions entre les individus et la distribution de la population jouent un rôle

important sur la dynamique de propagation de plusieurs maladies infectieuse.

Conclusion générale


~ 67 ~


Dans notre travail Le champ d’application de la théorie de percolation dépasse

largement le domaine de la science des matériaux et décrit aussi de nombreux

phénomènes tels que l’épidémie [2].

Ainsi que L’application de ce modèle mathématique dans les réseaux réguliers afin

’étudier des phénomènes réel compliqué est insuffisante. La relation entre les individus dans

les réseaux sociaux par exemple n’est plus régulière, donc la propagation d’une épidémie

suit une procédure différente et plus compliquer en comparant avec la conduction

électrique dans un réseau réguliers. Dans le cas d’épidémie l’utilisation de ces réseaux ne

permet pas d’inclure des effets à longue distance [50].

On a étudié dans ce mémoire l’effet de corrélation sur la dynamique de

propagation d’une maladie en utilisant le réseau de petit monde.

On a vu l’évolution en fonction du temps du nombre de cas contaminés et le

comportement de l’exposantγ . On a trouvée que le début d’une épidémie est

caractérisé par une augmentation exponentielle du nombre de cas avec le temps

On a montré que l’arrangement augmente le pouvoir de propagation alors que

la ségrégation la diminue. Ce résultat s’explique par le fait que la dynamique de

propagation dépend essentiellement de la connectivité du réseau.

Bibliographie

Références et bibliographies

~ 69 ~

Bibliographie

[1] Bernard Poterie, Nouredinne Zekri, Jean-Pierre Clerc and Jean-Claude Loraud

Comptes Rendus Physique, Volume 6, Issue 10, December 2005, Pages 1153-

1160.

[2] N.Zekri et al/C.R.Physics 3(2002)741-747.

[3] B.Bollobas, Random Graphs (Academic Press, New York, 1985).

[4] Stauffer D; Aharony A ;( 1992), introduction to percolation theory, second edition,

London, Taylor et Francis, 181 p.

[5] S.R. mazes, proceeding of the Cambridge Philosophical Society 53,629-641 Broadbent

and J.M.Hammersley « percolation processes » Crystals.

[6] Serge Galam and Alain Mauger “Universal formulas for percolation threshold “Phys

Rev E Vol. 53 N° 3 (1995)

[7] P.H.L Martins and J.A.Plascak “percolation on two and three dimensional lattices”

ArXiv: Cond-mat /0304024 V1 (2003).

[8] Lesne A;(1996), Méthode de renormalisation – Phénomène critiques, chaos, structure

– fractales, Paris, Eyrolles Sciences, 388 p.

[9] Zallen R; 1983, introduction to percolation:”A model for all seasons “in deutscher G;

Zallen R; Adler J. (eds.), Percolation structures and processes, Jerusalem, annals Of

the Israel physical society, vol.5pp.3-16.

[10] M. Sahimi, application of percolation theory Taylor and Francis, London, 1994

[11] Clerc J.P; Giraud G; Roussenq J; Blanc R; Carton J.P ; Guyon E. Ottavi H ; Stauffer D ;

(1983), « la percolation – modèles, simulations analogiques et numériques », Annales.

[12] Kesten H ;( 1987),” Percolation theory and First-Passage Percolation”, Annals of

Probability, vol.15, n°4, pp.1231-1271.

[13] S.Berthier, optique des milieux composites, (1993) polytechnique, Paris.


~ 70 ~

[14] .J.Reynolds, H.E.Stanley, W.klein, J.Phys, A10, L203 (1977).

[15] D.Stauffer, phys.Rev.Lett.35, 394(1975).

[16] D.Stauffer, phys.Rep.Lett. , 54, 9(1979).

[17] Bunde A ; Havlin S;(1991) ” percolation I ” in bunde;Havlin S.(eds.),fractals and

disordred systems,Berlin,Springer – verlag.

[18] Grimmett G ;( 1989), Percolation, New York, Springer-Verlag, 296 p.

[19] B.Mandelbrot, the fractal geometry of nature, Freeman and Co. New York (1983)

[20] J.brosselet, G.duby, J,-L.Miege , « épidémies »8-544c, CD universalis v4.0 ,1998.

[21] K.D.Stroyan, Calculus Using Mathematica , Academic Press ,1993.

[22] Christie, A.B (1974).Infectious diseases: epidemiology and clinical practice.

Churchill Livingstone, London.

[23] Fenner and white, D.O.(1970).Medical virology. Academic , new work.

[24] Bennenson , A.S.(1975).Control of communicable diseases in man , (12th edn).

American Piblic Health Association , Wshinton ,D.C.

[25] W.H.Hamer,Lancet 1,733(1906).

[26] Kermack WO, McKendrick AG. A contribution to the mathematical theory of

epidemics. Proc R Soc Lond 1927; A115: 700-21.

[27] Anderson and R.M.May , infectious diseases of Humans , Oxford University

Press, Oxford 1991.

[28] Van den Driessche P. et al. – Reproduction numbers and sub-threshold

endemic equilibria for compartemental models of disease transmission.

Mathematical Biosciences, 2002, 180, 29-48.

[29] Haeghebaert S, Bouvet P, De Valk H. Les fièvres typhoïdes et paratyphoïdes

en France en 2001. BEH 2003; 14: 77-9.


~ 71 ~

[30] Liu SL, Sanderson KE. Rearrangements in the genome of the bacterium

Salmonella typhi. Proc Natl Acad Sci U S A. 1995 Feb 14; 92(4): 1018-22.

[31] Olsen SJ, Bleasdale SC, Magnano AR, Landrigan BH, Holland BH,Tauxe RV,

Mintz ED, Luby S. Outbreaks of typhoïd fever in the United States, 1960-

99.Epidemiol Infect 2003; 130: 13-21.

[32] Wilson ME, Schwartz E. Fever Dans :Keystone JS et coll., rédacteurs. Travel

Medicine. 1re éd. Philadelphie :Mosby-Elsevier ; 2004. Reproduction autorisée.

[33] Soumare M, Diop BM, Ndour CT, Gaye OH & BADIANE S – Aspects

épidémiologiques, cliniques et pronostiques du tétanos otogène au Centre

Hospitalier Universitaire de Dakar. Méd Mal Infect, 2003, 33, 254-257.

[34] Baron S., Bimet F., Lequellec-Nathan M., Patey O., Rebière I., Vachon

F.,Recommandations sur la conduite à tenir lors de l’apparition d’un cas de diphtérie.

Bulletin épidémiologique hebdomadaire 1998 ; 23 : 97-101

[35] Circulaire DGS/DH/DRT N°99/680 du 8 décembre 1999 relative aux

recommandations à mettre en œuvre devant un risque de transmission du

VHB et du VHC par le sang et les liquides biologiques

[36] Strebel PM, Papania MJ, Halsey NA. Measles Vaccine, in: Vaccines Plotkin S,

Orenstien H eds 4°edition. Elsevier Inc Philadelphia 2004;389-440.

[37] V.Volterra , leçons sur la théorie mathématique de la lutte pour la vie , Gauthier-

Villars , Paris 1931.

[38] M.Chavance , Modelling correlated data in epidemiology : mixt or marginal model ,

conference in epidemiology 2000.

[39] M.Ya Azbel , Universal unification of life , death , evolution , post- evolution and

extinction ,Physica A, Vol.273,75(1999).


~ 72 ~

[40] A.F.Rozenfeld , C.J.Tessoune,E.Albano and H.S.Wio , On the influence of noise on the

critical and oscillatory behavior of a Predator-Prey model: Coherent stochastic

resonance at the proper frequency of the system , cond-mat/0012366.

[41] G.Pison and P.Aaby , Pourquoi la rougeole tue en Afrique , Pour la Science , April

1998 , pp.40-7

[42] R.M.Anderson , Tuberculose , chiffres et polémique , la recherche N° 319 , April 1999

[43] R.Baylet et al .,l’age de la rougeole en milieu urbain ,Bull.Soc.Med.Afr., vol, 771(1963)

[44] Levy-Bruch LD et al .Modélisation de la rougeole en France et conséquences pour

l’age d’administartion de la seconde vaccination rougeole –oreillons-

rubiole.BEH.1997 ;29,133-5

[45] Anderson R.M ;ET AL population dynamics of fax rabies in EUROPE Nature ,

1981 ,289 ,765-71.

[46] Milgram, S. (1967): the small world .psychology today, 1: 61-67.

[47] Travers, J. (1969): an experimental study of the small world problem. Sociometry,

32:425-443.

[48] Pool, I. de Set Kochen, M, (1978), contacts and influence .social net works, 1:1-48

[49] Kochen, M. (ed.) (1989) the small word .Norwood: Ablex .

[50] Watts, D.J .et Strogatz, S.H. (1998), collective dynamic of small world.

[51] Dodds, P.S; et al. (2003).An experimental study of search in global social

networks.Science, 301:827-829.

[52] Erdos, P.et Rényi, A (1959).on random graphs .pub. Math Debrecen, 6:290-297

[53] Bollobas, Bp (1985), random graphs .London. Academic Press

[54] Holland, P. Wleinhard TS. (1977).Transitivity in structural models of small

group’s.In.S.leinhardet (Ed) social networks: a developing paradigm, (PP. 49- 66)

New York: Academic press.


~ 73 ~

[55] Newman, 2003: the structure and function of complex networks .SIAM review,

45:167-256.

[56] Watts, D, and J.2003.six Degrees: the science of a connected age .Norton: New York

[57] Albert, B.et Barabasi, A-L, (2002) statistical mechanics of complex net work .Reviews

of modern physics, 74, 67-97

[58] Watts, D, J (1999et 2003), dynamics and the small word phenemen American journal

of sociology, 105:493-592

[59] Newman et Watts D.J (1999) renormalization group analysis of the small network

model. Physics letters a, 263,341-346cond-mat /9903357.

[60] Dorogovtsev, S.N. et Mendes, J, F, F ,2001. Evolution of net works .ArXiv:Cond-

mat/0116144V2

[61] Newman (2000): Newman, M.E.J. (2000) models of the small worlds: A review.

ArXiv: Cond-mat /0001118V2

[62] Barabasi et Albert (1999).emergence of scaling in random networks. Science, 286:509-

512.

[63] Albert, R. ET all (1999): diameter of the word –Wide web. nature ,401:130-131

[64] Pastor –Satorras et Vespigiani 2001 epidemic spreading in scale free networks.

Physical reviews letters, 86:3200-3203.

[65] Ebel (2002): Abel ,H. Mielsch et Boruhldt , S.(2002)scale free topology of e-mail net

works,phys.rev.E,66:035103

[66] Barthélémy et al (2004): velocity and hierarchical spread of epidemic out breaks in

scale-free networks. ArXiv: Cond-mat /031151V2

[67] Eubank et al 2004: Modeling disease out breaks in realistic urban social networks.

Nature, 429:180-184

[68] Pastor-Satorras et Vespigiani (2002): Immunization of complex networks. ArXiv:

Cond-mat/0107066V2


~ 74 ~

[69] Dezso et al (2002): hating viruses in scale-free networks. Physical reviews E, 65,

055103(R)

page de garde seba · devant le jury composé des membres suivants : djemaÏ abed-el-farid :...

Documents