S1.3 La dispersion statistique

Thérèse Saint-Julien

Dispersion statistique : définition

On appelle dispersion statistique, la tendance qu'ont les valeurs de la distribution d'un caractère à s'étaler, à se disperser, de part et d'autre d'une valeur centrale.

On distingue la dispersion absolue (mesurée dans l'unité de mesure du caractère), et la dispersion relative (mesurée par un nombre sans dimension).

1. Les mesures de la dispersion absolue

Paris 1er 17 45Paris 2e 20 39Paris 3e 34 44Paris 4e 31 46Paris 5e 59 52Paris 6e 45 53Paris 7e 57 49Paris 8e 39 43Paris 9e 56 43Paris 10e 90 33Paris 11e 149 35Paris 12e 137 37Paris 13e 172 34Paris 14e 133 43Paris 15e 225 46Paris 16e 162 45Paris 17e 161 40Paris 18e 185 28Paris 19e 173 25Paris 20e 183 26

Part des cadres dans le total de la population

active résidente (%)

Nombre d'habitants en 1999 (en

milliers)

Arrondissements

• Les paramètres de dispersion absolue indiquent de combien les valeurs d'une distribution s'écartent en général de la valeur centrale de référence. Un paramètre de dispersion absolue s'exprime toujours dans l'unité de mesure.

• Les mesures de la dispersion absolue s’expriment dans l’unité de mesure de la variable considérée. Exemples:

– Pour le nombre d'habitants en 1999, il s’agira de milliers d'habitants

– Pour la part des cadres dans le total de la population active résidente, il s’agira de % de personnes actives occupant un emploi de cadre

• Les trois paramètres de dispersion absolue les plus courants sont l'étendue, l'intervalle inter quantile, et l'écart type

La dispersion inter annuelle des précipitations de septembre au

Mont Aigoual entre 1896 à 1925

nombre de mois de

septembre

1110987654321

0 100 200 300 400 500 600 700 800Total des précipitations en mm

Minimum 27 mmMaximum 760 mmEtendue 733 mm

1er quartile 90 mmMédiane 3ème quartile 252 mm

Intervalle interquartile 162 mm

Moyenne Variance 32246Ecart-type 179,6 mm

Année

Pluviosité du mois de septembre (en mm)

1896 1191897 1701898 311899 351900 5831901 4221902 271903 2541904 1531905 1331906 271907 7601908 491909 2011910 701911 901912 2521913 3001914 2001915 1581916 3821917 1861918 1501919 6301920 2111921 1601922 1821923 981924 1121925 61

1.1 L’étendue ou amplitude• l'étendue ou amplitude d'une distribution est égale à la

différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la distribution :

• Etendue de X = Xmax - Xmin

nombre de mois de

septembre

1110

987654321

0 100 200 300 400 500 600 700 800Total des précipitations en mm

médiane= 160moyenne=212

Année

Pluviosité du mois de

septembre (en mm)

1896 1191897 1701898 311899 351900 5831901 4221902 271903 2541904 1531905 1331906 271907 7601908 491909 2011910 701911 901912 2521913 3001914 2001915 1581916 3821917 1861918 1501919 6301920 2111921 1601922 1821923 981924 112

1.2 La mesure de la dispersion statistique et les valeurs centrales

43,0 11140,3 106

Nombre d'habitants en

1999 (en milliers)

MoyenneMédiane

Arrondissements

Part des cadres dans la

population active %

nombred'arrondissements

4321

<20]

]20-40]

]40-60]

]60-80]

]80-100]

]100-120]

]120-140]

]140-160]

]160-180]

]180-200]

]200-220]

]220-240]

nombred'arrondissements

54321

<24]

]24-30]

]30-35]

]35-40]

]40-45]

]45-50]

]50-55]

Part des emplois de cadres dans la population active résidente

Nombre d'habitants intervalle interquantile par rapport à la médiane

variance et écart-type par rapport à la moyenne

la mesure de l'étendue exceptée, chacun des paramètres de dispersion statistique caractérise le degré de dispersion des valeurs de la distribution statistique de part et d'autre d'une valeur centrale de référence

1. Mesures de la dispersion autour de la médiane

Quantiles Année

Pluviosité du mois

de septembre (en mm)

Nombre de mois de septembre

1902 271906 271898 311899 351908 491910 701911 90 1er quartile=90 mm1923 981924 1121896 1191905 1331918 1501904 1531915 1581921 1601897 1701922 1821917 1861914 2001909 2011920 2111912 252 3e quartile=252 mm1903 2541913 3001916 3821901 4221900 5831919 6301907 760

médiane=159 mm

1. Quantiles : les quantiles sont les valeurs du caractère qui définissent les bornes d'une partition en classes d'effectifs égaux. Ces particuliersLes quartiles sont les trois valeurs qui permettent de découper la distribution en quatre classes d'effectifs égaux. On les note Xq1 , Xq2 et Xq3.

Partition du caractère Xmin Xq1Xq2 Xq3 Xmax

fréquence des éléments: 25% 25%25% 25%

Remarque : Xq2 est égal à la médiane.Intervalle interquartile 162 mm

Quantiles

Précipitations en mm (déciles)

33 1er décile65,5 2e décile105 3e décile

141,5 4e décile159 5e décile184 6e décile206 7e décile277 8e décile

502,5 9e décile

2. Déciles- Les déciles sont les neufs valeurs de X qui permettent de découper la distribution en dix classes d'effectifs égaux. 0n les note Xd1...Xd9.

Etc..

Intervalle interquantile

- L'intervalle interquartile est l'étendue de la distribution sur laquelle se trouvent concentrée la moitié des éléments dont les valeurs de X sont les plus proches de la médiane. On exclut alors de la distribution les 25% des valeurs les plus faibles et les 25 % des valeurs les plus fortes de X. Cet intervalle se note:(Xq3-Xq1).

- L'intervalle interdécile est l'étendue de la distribution sur laquelle se trouvent concentrés 80% des éléments dont les valeurs de X sont les moins différentes de la médiane. On exclut alors de la distribution les 10 % des valeurs les plus faibles et les 10% des valeurs les plus fortes. Il se note (Xd9-Xd1).

Le rapport interquantile : XQ3/XQ1; ou interdéciles : XD1/XD9

Application du rapport inter déciles aux revenus des ménages en Ile-de-

France• La position de chaque point est

définie en fonction de la valaur prise par le revenu médian (abscisse) et par le rapport inter déciles (ordonnée).

Revenus fiscaux déclarées au titre de l'année 2001

revenu médian 1er décile 9e décile

rapport interdécile

Paris 20147 4864 50961 10,5Hauts de Seine 20195 6138 45716 7,4Seine-Saint-Denis 13155 3658 27740 7,6Val de Marne 17181 5841 36129 6,2Ile de France 17982 5581 38912 7,0Province 14103 5446 27637 5,1

source DGI: revenus fiscaux localisés

Val de Marne

Ile de France

Province

Paris

Hauts de SeineSeine-Saint-

Denis

4

5

6

7

8

9

10

11

10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000

revenu médian

rapp

ort i

nter

déci

le

2. Mesures de la dispersion autour de la moyenne

1.4 Variance, écart-type et moyenne

• La variance de X, notée σ²x est une mesure globale de la variation d'un caractère de part et d'autre de la moyenne arithmétique (quantitéd'information). Elle exprime la dispersion dans une unité de l’ordre du carré de l’unité de mesure du caractère.

• Pour obtenir un paramètre de dispersion absolue, on calcule la racine carrée de la variance

• L'écart type, noté σx est la racine carré de la moyenne des carrés des écarts à la moyenne, c'est à dire la racine carrée de la variance.

( )21

2 1 XNn

iiX −= ∑

=σ

( )21

1 XN X i

n

i−= ∑

=σ

Exemple de calcul de la variance et de l’écart-type

/20

écarts algébrique

s à la moyenne

carré des écarts

algébriques/20

écarts algébrique

s à la moyenne

carré des écarts

algébriques

A 7 -3 9 0 -10 100B 8 -2 4 5 -5 25C 9 -1 1 9 -1 1D 10 0 0 10 0 0E 10 0 0 10 0 0F 10 0 0 10 0 0G 11 1 1 11 1 1H 12 2 4 15 5 25I 13 3 9 20 10 100moyenne 10 0 10 0 somme 0 28 0 252écart-type 1,8 1,8 5,3 5,3

Notes du Professeur YNotes du Professeur X

Elèves

( )XX i− ( )2XX i − ( )XX i− ( )2

XX i −

Notes du professeur X3 D2 E1 A B C F G H I J

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 16 17 18 19 20

nombre d'élèves

Notes du professeur Y3 D2 E1 A B C F G H I

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 16 17 18 19 20

nombre d'élèves

Valeurs centrales et paramètres de dispersion pour quelques indicateurs décrivant les arrondissements de

Paris

Paramères de la distribution

revenu moyen communal par

unité de consommation

en milliers d'Euros

Part chômeurs

dans la population active %

Part des cadres dans la

population active %

Part des ouvriers dans la

population active %

Part des étrangers dans la

population %

Nombre d'habitants en milliers en 1999

Nbr. de valeurs utilisées 20 20 20 20 20 20

Minimum 12807 8 25 4 11 17Maximum 45460 17 53 14 28 225Etendue 32652 9 28 10 17 208

1er quartile 15142 9 35 5 14 42Médiane 20033 11 43 7 17 1113ème quartile 25398 14 45 11 21 167Intervalle interquartile 10256 4 11 6 8 125intervalle interquartile relatif 0,51 0,41 0,25 0,78 0,48 1,12

Moyenne 22727 11 40 8 18 106Variance 94804619 7 63 11 24 4327214Ecart-type 9737 3 8 3 5 66Ecart absolu moyen 7687 2 7 3 4 62CV (écart-type/moyenne) 0,44 0,24 0,20 0,42 0,29 0,64

Caractéristiques de la distribution normale

Caractéristiques de la courbe Normale :

1. La variable x varie de -∞ à +∞

2. La fonction est toujours > 0

3. L’aire sous la courbe vaut 1

4. Elle est symétrique

5. Elle atteint son maximum au point X (moyenne arithmétique)

6. Elle a une forme en « cloche » : plus on s’écarte à gauche et à droite de lamoyenne arithmétique, plus la hauteur de la courbe diminue avec l’axe desabscisses comme asymptote.

La signification probabiliste de l’écart-type

L’écart-type a l'avantage d'avoir une signification probabiliste. La théorie des probabilités permet en effet d'estimer la chance qu'a une valeur d'être éloignée de la moyenne de plus d'un certain nombre d'écart-types.

Lorsqu'une distribution est gaussienne (on dit aussi "normale") les probabilités de trouver les valeurs a une distance donnée de la moyenne sont les suivantes :

68,3% des valeurs sont entreet

95,5% des valeurs sont entre et

99,7 % des valeurs sont entre

et

Distribution normale

XXX σ1−

XXX σ1+

XXX σ2−

XXX σ2+

XXX σ3−

XXX σ3+

68,30%

95,50%

99,70%

2. Les mesures de la dispersion relative

.méd

XX X

IIQIIQR =

• Eliminer l’effet de l’unité de mesure du caractère pour pouvoir comparer les degrés de dispersion de deux caractères

• Deux mesures usuelles de la dispersion relative à partir de:

l’intervalle interquantile: l’intervalle interquantile relatif (IIQR)

On peut aussi utiliser le rapport interquantile, par exemple:

l’écart-type: le coefficient de variation (CV)

XCV Xσ=

XX

Q

Q

1

3

XX

D

D

1

9

La dispersion statistique des revenus des ménages à Paris et dans les départements de la petite couronne

REVENUS FISCAUX DES MENAGES: MEDIANES ET DECILES

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

Par i s

Hauts de Sei ne

Sei ne-Sai nt -Deni s

V al de M ar ne

I l e de Fr ance

Pr ovi nce

1er décile revenu médian 9e décile

Zones géographiques

revenu médian

1er décile

9e décile

rapport interdécile

Paris 20147 4864 50961 10,5Hauts de Seine 20195 6138 45716 7,4Seine-Saint-Denis 13155 3658 27740 7,6Val de Marne 17181 5841 36129 6,2Ile de France 17982 5581 38912 7,0Province 14103 5446 27637 5,1

Revenus fiscaux (en euros) déclarées au titre de l'année 2001

Val de Marne

Ile de France

Province

Paris

Hauts de SeineSeine-Saint-

Denis

4

5

6

7

8

9

10

11

10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000

revenu médian

rapp

ort i

nter

déci

le

Evolution des salaires annuels des hommes et des femmes en Ile-de-France:

moyennes, médianes et déciles

Mesures absolues et relatives de la dispersion statistique

Minimum 3,9 24,7Maximum 14,3 53,0Etendue 208 28,31er quartile 5,5 34,5Médiane 7,2 43,03ème quartile 11,1 45,4intervalle interquartile 5,6 11

intervalle interquartile relatif 0,78 0,25

Moyenne 8,2 40,3

Ecart-type 3,4 7,9CV (écart-type/moyenne) 0,42 0,20

Part des ouvriers dans la population

active %

Arrondissements

Part des cadres dans la

population active %

• Pour comparer les degré de dispersion de deuxdistributions on a recours aux mesures de dispersion relative, et non pas les mesures de dispersion absolue.

• Dans l’exemple ci-contre la comparaison directe des écart-types (ou des intervalles interquartiles) pourrait, à tort, laisser croire, qu’en moyenne, les disparités introduites entre les arrondissements par le caractère «Part des cadres dans la population active » sont supérieures à celles liées au caractère « Part des ouvriers dans la population active ». Il n’en est rien.

• Comme l’indique la comparaison des coefficients de variation les arrondissements parisiens sont, en moyenne, beaucoup plus différents les uns des autres du fait de la part des ouvriers (cv=0,42) que de la part des cadres(cv= contre 0,2).

3. Distribution statistique et répartition géographique

Montant moyen de l’impôt et nombre de contribuables dans les aires urbaines: distribution statistique et distribution

géographique

montant de l'impôt par

contribuable

nombre de contribuables

imposés

Nbre d'aires urbaines

361 361

Minimum 9609 26561er quartile 13386 4832Médiane 14620 89843ème quartile 15755 22354Int. interquartile 2369 17522Int. interquartile relatif

0,16 1,95

Maximum 25847 2745058Etendue 16239 2742402Moyenne 14718 30719CV (écart-type/moyenne)

0,15 4,89

Ecart-type 2193 149915

Forme de la distribution, dispersion et distribution géographique (dépt des Yvelines)

Paramètres des distributionsdensité en

1999(habitants/km²)

part des prof.

Intermédiaires dans la population

active résidente en

1999 (%)

Nbr. de valeurs utilisées 194 194Minimum 29 171er quartile 99 25Médiane 303 273ème quartile 1289 30Maximum 6729 39Etendue 6700 23Moyenne 934 28CV (écart-type/moyenne) 1,45 0,15Ecart-type d'échantillon 1355 4Ecart absolu moyen 993 3

Hi st ogr a mme

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

29 1369 2709 4049 5389 6729

Hist o gramme

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

0,350

0,400

16 20 24 28 32 36 40

Densité de population

Résidents ayant un emploi de profession intermédiaire pour 100 emplois

Montant moyen de l’impôt et nombre de contribuables dans les aires urbaines: distribution statistique et

distribution géographique: synthèse

Caractéristiques des distributions géographiques

montant de l'impôt par contribuable

nombre de contribuables imposés

Disparités entre les aires urbaines

Très faibles: les aires urbaines ont, en

moyenne, tendance à se ressembler. Les valeurs

des mesures de dispersion relative

voisines de 0.

Très fortes: les aires urbaines sont en moyenne très

dissemblables les unes des autres. Les mesures de

dispersion relative très éloignées de 0

Forme de la distribution

symétrique: méd.=moy. Les aires urbaines les plus nombreuses se

concentrent autour de la moyenne

très dissymétrique: méd.< moy. Les aires urbaines les plus

nombreuses se concentrent autour des valeurs les plus

faibles

Dispersion statistique et répartition géographique

Dispersion statistique et répartition géographique

intensité de la dispersion statistique

Distribution statistique de X

fortegrandes

différences des valeurs de X

faible

Distribution géographique de X

grandes ressemblances des

valeurs de X

avec un ordre géographique

concentration

dispersion

homogénéité des unités spatiales

hétérogénéité des unités spatiales

sans ordre géographique de la répartition

Les densités de population à Paris de 1861 à 1999

La répartition en 1861Forte dispersion statistique des

valeurs= forte hétérogénéitéspatiale

Dans ce cas, l’hétérogénéité est assortie d’un ordre spatial fort : les fortes densités concernent les quartiers des arrondissements centraux; les plus faibles concernent les quartiers les plus périphériques des arrondissements périphériques.

La répartition en 1999La dispersion statistique est

plus faible mais un ordre spatial demeure. Les fortes valeurs sont le fait des quartiers nord et est.

Dispersion statistique et répartition géographique dans l’exemple des arrondissements parisiens