3° ANNÉE ? 1 )5 JANVŒK

H. P01NCARÉ. LE PROBLÈME DES TROIS CORPS

mander au calcul plus de précision qu'aux obser-vations, mais on ne doit pas non plus lui endemander moins. Aussi l'approximation dont nouspouvons nous contenter aujourd'hui deviendra-t-elle un jour insuffisante. Et, en effet, en admettantmême, ce qui est très improbable, que les instru-ments de mesure ne se perfectionnent plus, l'accu-mulation seule des observations pendant plusieurssiècles nous fera connaitre avec plus de précisionles coellicients des diverses inégalités.On peut donc prévoir le moment ou les méthodes

anciennes, malgré la perfection que leur a donnéeLe Verrier, devront être abandonnées définitive-ment. Nous ne serons pas pris au dépourvu.Delaunay, Hill, Gyldén, Lindstedt ont imaginé denouveaux procédés d'approximation successiveplus rapides et plus satisfaisants à tous égards queles anciens; en particulier, ils se sont affranchisde l'inconvénient que je signalais plus haut.Les développements auxquels ils parviennent

pourraient même ètre regardés comme une solu-tion complète du problème des trois corps, si la

convergence en était établie. Il n'en est malheu-reusement pas ainsi.Faute de cette convergence, ils ne peuvent pas

donner une approximation indéfinie; ils donne-ront plus de décimales exactes que les anciensprocédés, mais ils n'en donneront pas autantqu'on voudra. Si on l'oubliait, on serait conduit ades conséquences erronées. On en serait vite averti,d'ailleurs, car ces conséquences ne seraient pas lesmêmes, selon qu'on appliquerait les méthodes deDelaunay ou celles de Lindstedt, et ces contradic-tions suturaient pour montrer qu'un au moins desdeux dévc!oppement.s n'est pas convergent.

n

~e peut-on cependant établir aucun résultat re-latif au mouvement des trois corps avec cetteabsolue rigueur à laquelle les géomètres sont habi-tués ? S'il est possible d'en découvrir, ne pourrait-on y trouver un terrain solide sur lequel on s'ap-puierait pour marcher à de nouvelles conquêtes?N'aurait-on pas ouvert une brèche qui permettraitd'entrer enfin dans la forteresse? On ne peut s'em-pêcher de le penser, et c'est ce qui do)ine quelqueprix aux rares théorèmes susceptibles d'une dé-monstration rigoureuse, quand même ils nesemblent pas immédiatement applicables a l'astro-nomie.Telles sont les propriétés des solutions particu-

lières remarquables du problème des trois corps.Le mouvement des trois astres dépend en effet

de leurs positions et de leurs vitesses initiales..Si l'on se donne ces conditions initiales du mouve-

ment, on aura défini une solution particulière duproblème. Il peut se faire que quelques-unes deces solutions particulières soient plus simples,plus abordables au calcul, que la solution géné-rale il peut se faire que pour certaines posi-tions initiales des trois corps, les lois de leurmouvement présentent des propriétés remar-quables.Parmi ces solutions particulières, les unes ne

sont intéressantes que par leur bixarrerie; lesautres sont, comme nous le verrons, susceptiblesd'applications astronomiques. Lagrange et Laplaceont déjà abordé le problème par ce côté, et ils ontdécouvert ainsi un théorème important. Il peutarriver que les orbites des trois corps se réduisentil (les ellipses. La position et la vitesse initiales denotre satellite auraient pu être telles, que la Lunefut constamment pleine; elles auraient pu êtretelles que la Lune fut constamment nouvelle;elles auraient pu aussi être telles que cet astrefût constamment a 60° du Soleil dans une phaseintermédiaire entre la nouvelle lune et le premierquartier.Ce sont la des solutions particulières très simples

il y en a de plus compliquées qui sont cependantremarquables. Si les conditions du mouvementavaient été diu'érentes de ce qu'elles sont, lesphases auraient pu suivre des lois bien étranges;dans une des solutions possibles, la Lune, d'abordnouvelle, commence par croitre; mais, avant d'at-teindre le premier quartier, elle se met a dé-croître pour redevenir nouvelle et ainsi de suiteelle a donc constamment la forme d'un croissant.Dans une autre solution, plus étrange encore, ellepasse trois fois par le premier quartier entre lanouvelle lune et la pleine lune; dans cet inter-valle, elle croit d'abord, décroit ensuite, pour semettre de nouveau à croître.Ces solutions sont trop din'érentes des véritables

trajectoires des astres, pour pouvoir jamais êtreréellement utiles à l'Astronomie. Elles n'ont qu'unintérêt de curiosité. 11 n'en est pas de même decelles dont je vais maintenant parler.li y a d'abord les so/M~'o/M~'tO~/tMs. Ce sontt

celles ou les distances des trois corps sont desfonctions périodiques du temps; à des intervallespériodiques, les trois corps se retrouvent doncdans les mêmes positions relatives. Les solutionspériodiques sont de plusieurs sortes. Dans cellesque j'ai appelées de la première sorte, les inclinai-sons sont nulles et les trois corps se meuvent dansun mêmeplait les excentricités sont très petites etles orbites sont presque circulaires; les moyensmouvements ne sont pas commensurables; lesdeux planètes passent en même temps au périhélie,qui, loin d'être fixe, tourne avec une rapidité com-

H. POINCARE. LE PROBLEMEDES TROIS CORPS 3

parable à celle des planètes elles-mêmes, de tellefaçon que ces deux astres sont au périhélie àchaque conjonction. C'est a cette catégorie qu'ap-partient la première solution périodique qui aitété découverte et que son inventeur, M. Hill, aprise pour point de départ de sa théorie de laLune.Dans les solutions de la seconde sorte, les incli-

naisons sont encore nulles, mais les exentrieitéssont finies; le mouvement du périhélie est trèslent; les moyens mouvements sont près d'être com-mensurables les périodes anomalistiques (onappelle ainsi le temps qui s'écoule entre deuxpassages consécutifs de l'astre au périhélie), lesont exactement. A certaines époques, deux pla-nètes passent en même temps au périhélie. Dansles solutions de la troisième sorte les inclinaisonssont finies, les orbites sont presque circulaires; lemouvement des périhélies est très lent et égal àcelui des nœuds; les périodes anomalistiques sontcommensurables; à certaines époques les planètespassent en même temps aux périhélies. Je laisse decôté de nombreuses catégories de solutions pério-diques plus compliquées et qu'il serait trop longd'énumérer.Il y a ensuite les MiMomsa~/m~o/~«~. Pour bien

faire comprendre ce qu'on doit entendre par la,qu'on me permette d'employer un exemple simple.Imaginons d'abord une Terre et un Soleil isolésdans l'espace, se mouvant par conséquent d'aprèsles lois de Képler, Supposons encore pour simpli-fier, que leur mouvement soit circulaire. Donnonsmaintenant il cette Terre deux satellites L, et L;;dont la masse sera infiniment petite de telle sorte

qu'ils ne troubleront pas le mouvement circulairede la Terre et du Soleil, et qu'ils ne se troubleront

pas non plus mutuellement, chacun d'eux se mou-vant comme s'il était seul. Choisissons la positioninitiale de L, de façon que cette Lune décrive uneorbite périodique; nous'pourronsa!ors choisircellede L., de façon que ce second satellite décrive ceque nous appellerons une orbite asymptotique.D'abord assez éloignée dé L,. il s'en rapprocheraindéfiniment, de sorte qu'après un temps infini-ment long, son orbite différera infiniment peu decelle de L~. Supposons un observateur placé sur laTerre et tournant lentement sur lui-même de façona regarder constamment le Soleil. Le Soleil lui pa-raitca immobile et la Lune L, dont le mouvementest périodique lui semblera décrire une courbefermée C..La Lune L.~décrira alors pour lui une sortede spirale dont les spires de plus en plus serréesse rapprocheront indéfiniment de la courbe C Il ya une infinité de pareilles orbites asymptotiques.L'ensemble de ces orbites forme une surface conti-nue, S qui passe par la courbe C et sur laquelle

sont tracées les spires dont je viens de parlerMais il y a une 'autre catégorie de solutions

asymptotiques. 11peut arriver, si l'on choisit con-venablement la position initiale de L~, que cetteLune aille en s'éloignant de 1," de telle façon qu'àune époque très reculée dans le passé, son orbitediffère très peu de celle de L,. Pour notre obser-vateur, ce satellite décrira encore une courbe enspirales dont les spires se rapprocheront indéfini-ment de la courbe C; mais il la décrira en senscontraire en s'éloignant constamment de C. L'en-semble de ces nouvelles orbites asymptotiquesformera une seconde surface continue S' passantégalement par la courbe D.Enfin il y a une infinité de solutions ~OM~/e~

a~/H~M/t/MM; c'est la un point que j'ai eu beau-coup de peine a établir rigoureusement. Il peutarriver que le satellite L. d'abord très rapprochéde l'orbite de L,, s'en éloigne d'abord beaucoup ets'en rapproche ensuite de nouveau indéfiniment.A une époque très reculée dans le passé, cetteLune se trouvait sur la surface S', et y décrivaitdes spires en s'éloignant de C; elle s'est ensuitebeaucoup éloignée de C; mais dans un temps trèslong elle se retrouvera sur la surface S et décrirade nouveau des spires en se rapprochant de C.Soient L~, L~ L, M 1 lunes décrivant ~des

orbites doublement asymptotiques; aune époquereculée, ces n J lunes se meuvent en suivantdes spirales sur S en parcourant cette surfaceon rencontre ces ?: ') orbites dans un certainordre. Aubout d'un temps très long, nos satellitesse retrouveront sur S et décriront de nouveau desspirales; mais, en parcourant cette surface S, onrencontrera les orbites desK ilunes~M~ ~Mordre/o:

H. POINCARÉ. LE PROBLÈME DES TROIS CORPS4

à l'astronome. Il peut arriver, en effet, et il arrive

quelquefois que les conditions initiales du mouve-ment différent peu de celles qui correspondent àune solution périodique. L'étude de cette solutionprésente alors un double intérêt.D'abord, le plus souvent, le mouvement de l'astre

présentera une inégalité dont le coefficient seratrès grand, mais très peu différent de ce qu'il se-rait si l'orbite était rigoureusement périodique. Lecalcul de cette solution périodique fournira alorsce coefficient plus rapidement et plus exactementque les méthodes anciennes. C'est ce qui est arrivédans la théorie de la Lune de M. Hill pour le calculde cette grande inégalité appelée variation.En second lieu, l'orbite périodique peut être

prise comme première approximation, comme« orbite intermédiaire pour employer le langagede M. Gyidén. La seconde approximation conduitalors à un calcul relativement facile, parce queles équations sont linéaires et à coeflicients pério-diques. C'est ainsi que M. Hill a calculé le mouve-ment du périgée et qu'il aurait pu calculer égale-ment le mouvement du nœud et la grande inégalitéconnue sous le nom d'évection.Je pourrais citer beaucoup d'autres exemples.

Un des satellites de Saturne a un mouvement trèstroublé son périsaturne tourne très rapidementM. Tisserand a rattaché sa théorie à l'étude d'unesolution périodique de la première sorte. La mêmeméthode est applicable à une certaine petite pla-nète dont le moyen mouvement est sensiblementdouble de celui de Jupiter et que M. Harzer a étu-diée.Gauss a cru pouvoir affirmer que les mouvements

moyens de Jupiter et de Pallas étaient entre euxexactement dans le rapport de 7 a 18. Si ses vuesvenaient à se confirmer, ce qui est encore douteux,la théorie de Pallas se ramènerait a celle d'unesolution périodique de la seconde sorte.Mais l'exemple le plus frappant nous est fourni

par l'étude des satellites de Jupiter. Les relationsqui ont lieu entre leurs moyens mouvements, etdont la découverte est le plus beau titre de gloirede Laplace, montrent que leur orbite diffère fortpeu d'une orbite périodique; en y regardant deprès, on voit que la méthode spéciale créée par legénie de ce grand géomètre ne diffère pas de celleque nous préconisons ici.

IV

Les équations différentielles du problème desstrois corps admettent un certain nombre d'inté-grales qui sont connues depuis longtemps; ce sontcelles du mouvement du centre de gravité, cellesdes aires, celle des forces vives. 11 était extrème-

ment probable qu'elles ne pouvaient avoir d'autresintégrales algébriques; ce n'est cependant quedans ces dernières années que M. Bruns a pu ledémontrer rigoureusement. Maison peut aller plusloin; en dehors des intégrales connues, le pro-blème des trois corps n'admet aucune intégraleanalytique et uniforme les propriétés des solu-tions périodiques et asymptotiques, étudiées avecattention, sufHsent pour l'établir. On peut en con-clure que les divers développements proposés jus-qu'ici sont divergents; car leur convergence entrai-nerait l'existence d'une intégrale uniforme.Dirai-je pour cela que le problème est insoluble? '?

ce mot n'a pas de sens; nous savons depuis 1882que la quadrature du cercle est impossible avec larègle et le compas, et pourtant nous connaissonsavec beaucoup plus de décimales que n'en pour-

rait donner aucune construction graphique. Toutce que nous pouvons dire, c'est que le problèmedes trois corps ne peut être résolu avec les instru-ments dont nous disposons actuellement; ceuxqu'il faudra imaginer et employer pour obtenir lasolution devront certainement être très différentset d'une nature beaucoup plus compliquée.

V

Une des questions qui ont le plus préoccupé leschercheurs est celle de la stabilité du système so-laire. C'est à vrai dire une question mathématiqueplutôt que physique. Si l'on découvrait une démons-tration générale et rigoureuse, on n'en devrait pasconclure que le système solaire est éternel. Il peuten effet être soumis a d'autres forces que celle deNewton, et les astres ne se réduisent pas à despoints matériels. Bien des causes peuvent dissiperpeu à peu l'énergie du système; on n'est pas abso-lument certain qu'il n'existe pas de milieu résis-tant d'autre part les marées absorbent de l'éner-gie qui est incessamment convertie en chaleur parla viscosité des mers, et cette énergie ne peut êtreempruntée qu'à la force vive des corps célestes. Deplus si tous les astres sont des aimants comme laterre, leurs mouvements doivent produire, par uneinduction mutuelle, des courants dans leur masseet par conséquent de la chaleur qui est encoreempruntée a leur force vive. Mais toutes ces causesde destruction agiraient beaucoup plus lentementque les perturbations, et si ces dernières n'étaientpas capables d'en altérer la stabilité, le systèmesolaire serait assuré d'une existence beaucoupplus longue. La question de la stabilité con-serve donc toujours un très grand intérêt.Lagrange, par une démonstration d'une admi-

rable simplicité, a montré que, si l'on néglige lescarrés des masses, les grands axes des orbites

A. VERNEUIL. LA REPRODUCTION ARTIFICIELLE DES RUBIS 5

demeurent invariables, ou plutôt que leurs varia-tions se réduisent à des oscillations périodiquesd'amplitude finie autour de leur valeur moyenne.Poisson a étendu la démonstration au cas ou l'ontient compte des carrés des masses en négligeantleurs cubes;-mais, malgré la virtuosité analytiquedont il a fait preuve, son analyse montre déjà lesdéfauts des anciennes méthodes. Il montre eneffet que les grands axes éprouvent autour de leurvaleur moyenne des oscillations périodiques; mais,d'après ses formules, l'amplitude de ces oscillations

pourrait croître au delà de toute limite; ce n'est laqu'une apparence due au mode de développement,~et si l'on ne négligeait pas certains termes, onpourrait prouver que cette amplitude reste unie.Après Poisson on a cherché à trouver une démons-tration générale ou au moins à établir l'invariabi-lité des grands axes en tenant compte du cube desmasses. Mathieu avait cru un instant y réussir;mais M. Spiru-Aretu a montré ensuite qu'il s'était

trompé. If avait ainsi plutôt condamné les an-ciennes méthodes que démontré l'instabilité du

système. La question restait entière.Toutes ces recherches ont exigé de grands efforts

qui nous semblent aujourd'hui bien inutiles; lesméthodes de M. Gylden et celles de M. Lindstedtne donnent en effet, si loin que l'on pousse l'ap-proximation, que des termes périodiques, de sorte

que tous les éléments des orbites ne peuventéprouver que des oscillations autour de leur valeur

moyenne. La question serait donc résolue, si ces

développements étaient convergents. Nous savonsmalheureusement qu'il n'en est rien.

Incapables pour le moment de résoudre le pro-blème général, nous pouvons nous borner à uncas particulier. Imaginons trois masses se mou-vant dans un même plan, la première très grande,la seconde assez petite, la troisième infiniment

petite et par conséquent hors d'état de troublerles deux autres. Supposons de plus que les deux

grandes masses aient "un mouvement circulaire etuniforme. Tel serait le cas du Soleil, de Jupiter et

LÀ REPRODUCTIONARTIFICIELLE DES RUBIS

Au moment ou les recherches de MM. Fremy etVerneuil semblent démontrer que la productiondes rubis artificiels, applicables à la joaillerie, ne

dépend plus que des expériences rtlevant dudomaine de l'industrie, il peut paraître intéressant

d'exposer un résumé des nombreux travaux que lasolution de ce problème a nécessités. C'est ce que

d'une petite planète, si l'on négligeait l'inclinai-son des orbites et l'excentricité de Jupiter. Dansce cas, MM. Hill et Bohlin ont démontré que lerayon vecteur de la petite planète reste toujoursinférieur à une limite finie.Cela ne suffit pas toutefois pourla stabilité; il faut

encore que la petite masse repasse une infinité defois aussi près que l'on veut de sa position initiale.Il est évident qu'il n'en est pas ainsi pour

toutes les solutions particulières, c'est-à-direquelles que soient les conditions initiales du mou-vement l'existence des solutions asymptotiquesen est une preuve suffisante. Mais d'autre part onpeut rigoureusement démontrer que l'on peutchoisir ces conditions initiales de façon que l'astrerepasse une infinité de foi dans le voisinage de saposition primitive. 11y a donc une infinité de solu-tions particulières qui sont instables, au sens quenous venons de donner & ce mot et une infinitéd'autres qui sont stables. J'ajouterai que les pre-mières sont exceptionnelles (ce qui permet dedire qu'il y a stabilité en général). Voici ce quej'entends par là, car ce mot par lui-même n'aaucun sens. Je veux dire qu'il y a une probabiliténulle pour que les conditions initiales du mouve-ment soient celles quicorrespondent à une solutioninstable. On objectera qu'il y a une infinité demanières de définir cette probabilité; mais celareste vrai quelle que soit la définition que l'onadopte, à une condition toutefois soient x et y lescoordonnées de la troisième masse, x' et y'les com-posantes de sa vitesse. J'appelle P~~y~'o'y' la

probabilité pour que x soit compris entre etX, rlx, y entre et y, rly, a:' entre a; et

a; + y' entre ?/ et < + Nous pouvonsdéfinir la probabilité comme nous le voulons et parconséquent nous donner arbitrairement P en fonc-tion de xo, y, a;o et y~. Eh bien, le résultat quej'ai énoncé plus haut reste vrai, quelte que soitcette fonction P, ~OM