guide de localisation des astres

8/9/2019 Guide de localisation des astres

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Guide de

localisation

des astres

Christian GENTILI


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Guidede localisation

des astres

Christian Gentili

17, avenue du Hoggar P.A. de Courtabuf

BP 112, 91944 Les Ulis Cedex A


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Couverture : Jrme Lo Monaco

Maquette intrieure : Exegraph

ISBN : 978-2-7598-0059-9

Imprim en France

Tous droits de traduction, dadaptation et de reproduction par tous procds,rservs pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 nautorisant, aux termes desalinas 2 et 3 de larticle 41, dune part, que les copies ou reproductionsstrictement rserves lusage priv du copiste et non destins une utilisationcollective , et dautre part, que les analyses et les courtes citations dans un butdexemple et dillustration, toute reprsentation intgrale, ou partielle, faite sans

le consentement de lauteur ou de ses ayants droits ou ayants cause est illicite (alina 1er de larticle 40). Cette reprsentation ou reproduction, par quelqueprocd que ce soit, constituerait donc une contrefaon sanctionne par lesarticles 425 et suivants du code pnal.

EDP Sciences, 2008


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Grce toi, Fabrice,

qui voulait toujours aller au fond des choses,cet ouvrage a pu voir le jour.


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Guide de localisation des astres

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2.2 Priodes................................................................................................ 28Priodes synodique et sidrale ............................................................. 28Relation entre les deux priodes ........................................................... 29

Distances .......................................................................................... 303.1 Unit astronomique ............................................................................ 31

3.2 Anne-lumire et parsec .................................................................... 33

Exercices .............................................................................................. 36

E1-1 Jour Julien ........................................................................................ 36

E1-2 Priodes des plantes ....................................................................... 37

Chapitre 2

Rappels sur les coniquesDfinition par foyer et directrice........................................... 44

1.1 quation cartsienne .......................................................................... 44

1.2 quation polaire .................................................................................. 45tablissement de lquation .................................................................. 45

Cas de lellipse...................................................................................... 46Dtermination de a, c, b....................................................................... 47Dtermination de p, k, d, e ................................................................... 47Prcisions sur le vocabulaire ................................................................ 47

Cas de lhyperbole ................................................................................ 48

1.3 Passage de lquation polaire lquation cartsienne................. 48Cas o e 1 .......................................................................................... 48Cas o e = 1 .......................................................................................... 49

Dfinition bifocale........................................................................ 492.1 Cas de lellipse .................................................................................... 49

2.2 Cas de lhyperbole .............................................................................. 49

volution des courbes reprsentatives............................... 50

3.1 Cas e 0 ............................................................................................ 513.2 Cas e ............................................................................................ 51

Exercices .............................................................................................. 52E2-1 Gomtrie de lellipse en fonction du demi-grand axe

et de lexcentricit............................................................................... 52

E2-2 quation commune aux coniques en fonction du paramtre

et de lexcentricit............................................................................... 54

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Sommaire

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Chapitre 3

Mouvements acclration centraleRappels de cinmatique du point ......................................... 58

Proprits du mouvement acclration centrale ....... 59

2.1 Dfinition du mouvement acclration centrale.......................... 59

2.2 Loi des aires......................................................................................... 60

2.3 Formules de Binet ............................................................................... 61tablissement des formules ................................................................... 61

Application dans le cas o =

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I .............................................. 61

Expressions de V et selon lexcentricit.................................... 623.1 Expressions de la vitesse.................................................................... 62

Cercle (e = 0) ........................................................................................ 62Ellipse (0 < e < 1)................................................................................. 62Parabole (e = 1) .................................................................................... 63Hyperbole (e > 1).................................................................................. 64

3.2 Expressions de lacclration centrale.............................................. 64Cercle .................................................................................................... 64

Ellipse ................................................................................................... 64Parabole ................................................................................................ 64Hyperbole.............................................................................................. 65

Orientation du vecteur vitesse ............................................... 65

4.1 Angle avec le rayon vecteur............................................................... 65

4.2 Composantes du vecteur vitesse ...................................................... 66

exercices ............................................................................................... 68

E3-1 Vitesses en certains points de lellipse ; relations dduites .............. 68

E3-2 Vitesses des plantes du systme solaire........................................... 70

Chapitre 4

Mouvement dans le reprede Frenet

Dtermination du repre de Frenet ..................................... 74

Rayon de courbure ....................................................................... 75

2.1 Dfinition ............................................................................................. 75

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2.2 Expressions .......................................................................................... 76Calcul de R(, ', '') ............................................................................ 76Expression dans le cas o la trajectoire est une conique,= p/1+ e cos .................................................................................... 76

Acclration, composantes et module ............................... 77

3.1 Expressions gnrales ........................................................................ 77

3.2 Composante tangentielle ............................................................. 78Acclration tangentielle dans le cas du mouvement acclration centrale.......................................................................... 78Cas o lacclration centrale est en 1/2,cest--dire = p/1 + e cos ............................................................... 79

3.3 Composante normale N ................................................................... 79Acclration normale dans le cas du mouvement acclration centrale.......................................................................... 79Cas o lacclration centrale est en 1/2,cest--dire = p/1 + e cos ............................................................... 80

3.4 Module et expressions vectorielles ................................................. 80Module .................................................................................................. 80

Cas du mouvement obissant la loi des aires ..................................... 80Cas o la trajectoire est une conique .................................................... 80

Expressions vectorielles ........................................................................ 80

Exercices .............................................................................................. 82

E4-1 Acclration centrale de la forme

= K I3.............................. 82

E4-2 Cas particulier : acclration centrale de la forme

= C I2

3... 84

Chapitre 5

Anomalie et orbite

Anomalies ....................................................................................... 88

1.1 Temps du passage............................................................................... 88Dfinitions............................................................................................. 88

quation de Kepler............................................................................... 891.2 Relations entre anomalies vraie et excentrique .............................. 89

Rayons et'........................................................................................ 89Relations trigonomtriques liantet................................................ 89Application lexpression de la vitesse et de lacclration ................ 90

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Sommaire

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Paramtrage avec lanomalie excentrique ........................ 91

2.1 Caractrisation paramtrique de lellipse ........................................ 91Coordonnes en fonction du paramtre ............................................. 91Vecteur tangent unitaire

et quation de la normale en P ................. 91

Vecteur normal unitaire n et quation de la tangente en P ................. 92Construction gomtrique de la tangente et de la normale .................. 93Rayon de courbure ................................................................................ 94

2.2- quation paramtrique de la developpe ........................................ 95

Exercices .............................................................................................. 97

E5-1 Temps de lintersection dune comte avec lcliptique ................. 97

E5-2 Dure et date des saisons................................................................. 102E5-3 Rflexion sur lellipse ....................................................................... 104

Chapitre 6

3e loi de Kepler

et rfrentielsLois de Kepler pour un centre attractif fixe .................... 110

1.1 Rappel des hypothses....................................................................... 110

1.2 3e loi de kepler..................................................................................... 111Formulation........................................................................................... 111Expressions numriques........................................................................ 112

Correction la 3e loi de Kepler............................................. 113

2.1 Rfrentiel galilen............................................................................. 113Cas de deux corps A et B ...................................................................... 113Cas de lensemble de corps A, B, C, , K........................................... 114

2.2 Rfrentiel relatif ................................................................................ 115Acclrations dans un rfrentiel galilen ............................................ 115Acclrations dans le rfrentiel hliocentrique................................... 115Acclrations dans un rfrentiel li la plante................................. 116

2.3 Masses des plantes et des satellites .............................................. 116

Exercices .............................................................................................. 119

E6-1 Systme de deux corps dans le rfrentiel du centre de masse ..... 119

E6-2 Systme plante-satellite naturel..................................................... 122

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Chapitre 7

nergie et vitesseselon la trajectoire

Caractrisation nergtique des trajectoires .................. 128

1.1 nergie potentielle, cintique et mcanique ................................... 128nergie potentielle E

P........................................................................... 128

nergie cintique EC

............................................................................. 129nergie mcanique E............................................................................ 130nergie fournie E

F................................................................................. 131

1.2 Trajectoire dduite de la loi de conservation de lnergie ............. 132

Vitesses et trajectoires .............................................................. 1332.1 Vitesses cosmiques............................................................................. 133

1re vitesse cosmique ............................................................................... 1332e vitesse cosmique................................................................................ 134

2.2 Paramtres altitude et vitesse de lancement ................................... 136

Exercices .............................................................................................. 139

E7-1 Satellite gostationnaire................................................................... 139

E7-2 Transfert dorbite de Hohmann ........................................................ 141E7-3 Trajectoire nergie minimale vers Mars........................................ 146

E7-4 Interaction sonde-plante................................................................. 151

Chapitre 8

Formules pour mouvementelliptique

Formulaire dduit du paramtrage ..................................... 160

1.1. Relations en fonction de la priode T, du demi-grand axe a,de lexcentricit e ................................................................................ 160

1.2. Relations en fonction de la constante dacclration ,du demi-grand axe a, de lexcentricit e.......................................... 161

1.3 Relations en fonction de la constante dacclration ,

de lnergie massiqueE

m, de lexcentricit e ............................... 161

1.4. Relations en fonction de la constante dacclration ,de la priode T, de lexcentricit e .................................................... 162

1.5. Relations en fonction de la priode T, de lnergie massiqueEm ,

de lexcentricit e ................................................................................ 163

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Sommaire

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Longueur et surface des orbites elliptiques ..................... 164

2.1 Longueur de lorbite ........................................................................... 164Rappel des formules mathmatiques..................................................... 164

Longueur dun arc de courbe ............................................................... 164

Expression en coordonnes polaires..................................................... 165Expression en coordonnes paramtriques ........................................... 165

Application lellipse ........................................................................... 165Expression en coordonnes polaires..................................................... 165Expression en coordonnes paramtriques ........................................... 165Expression partir de la vitesse ........................................................... 166

Approche du primtre.......................................................................... 166Obtention par dveloppement en srie dune intgrale elliptique .......... 166Expressions en fonction des demi-grand axe et petit axe ...................... 167

Longueur dorbites plantaires ............................................................. 1682.2 Surface de lorbite ............................................................................... 169

Aire dun secteur................................................................................... 169Application lellipse ........................................................................... 170Angle mdian ........................................................................................ 171

Exercices .............................................................................................. 173

E8-1 Caractrisation du mouvement elliptique par rayons et vitesse .... 173

E8-2 lments orbitaux en fonction de la priode et de la vitesseau pricentre et lapocentre........................................................... 174

E8-3 Trajectoire dduite du rayon et du vecteur vitesse en un point...... 177

E8-4 Trajectoire de la sonde Giottovers la comte de Halley :

le problme de Lambert.................................................................... 180

Chapitre 9

Reprage des astrespar rapport la Terre

Coordonnes gographiques ................................................... 188

1.1 Parallles et latitude ........................................................................... 188

1.2 Mridiens et longitude ....................................................................... 188

1.3 Coordonnes dun point gographique ........................................... 188

Coordonnes locales ................................................................... 190

2.1 Dfinition du repre ........................................................................... 190

2.2 Hauteur et azimut dun astre............................................................. 190

2.3 Vertical de lastre et plan mridien du lieu...................................... 191

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2.4 Distance znithale............................................................................... 192

2.5 Monture alt-azimutale ....................................................................... 193

Coordonnes horaires................................................................. 194

3.1 Repre li la sphre terrestre.......................................................... 194

3.2 Dclinaison .......................................................................................... 194

3.3 Cercle horaire de lastre et angle horaire ......................................... 195

3.4 Angle horaire et temps ....................................................................... 197

3.5 Monture quatoriale ........................................................................... 197

Relations entre coordonnes horaires et locales ........... 198

4.1 Triangle sphrique............................................................................... 198

Triangle de position .............................................................................. 198Formules fondamentales de la trigonomtrie sphrique....................... 199

4.2 Passage des coordonnes horaires aux coordonnes horizontales 201Dtermination de la hauteur h .............................................................. 201Dtermination de lazimut Z................................................................. 202Point astronomique ............................................................................... 203

4.3 Passage des coordonnes horizontales aux coordonnes horaires 204

Exercices .............................................................................................. 205E9-1 Orthodromie ..................................................................................... 205

E9-2 Intrt dune base de lancement quatoriale .................................. 206

E9-3 Coordonnes dun satellite gostationnaire au lieu dobservation 211

E9-4 Coordonnes locales du Soleil au cours de la journe.................... 214

Chapitre 10

Coordonnes quatorialeset cliptiques

Vote cleste .................................................................................. 2201.1 Constellations ..................................................................................... 220

1.2 Magnitude ........................................................................................... 222

1.3 Nom des toiles .................................................................................. 222

1.4 Catalogues des toiles et objets non stellaires............................... 223

Coordonnes quatoriales........................................................ 223

2.1 Repre li la sphre cleste ............................................................ 223

2.2 Dclinaison .......................................................................................... 224

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Sommaire

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2.3 Ascensions verse et droite ................................................................. 225

2.4 Passerelle avec les coordonnes horaires........................................ 226

2.5 Coordonnes de quelques toiles..................................................... 227

Coordonnes cliptiques ........................................................... 2283.1 Repre, latitude b et longitude l ....................................................... 228

3.2 Relations de passage entre coordonnes cliptiques et quatoriales 230Coordonnes quatoriales (a, d) cliptiques (l, b) ............................ 230Coordonnes cliptiques (l, b) quatoriales (a, d) ............................ 231

Temps ................................................................................................. 231

4.1 Temps drivs du temps solaire ........................................................ 231

Temps solaire vrai local ........................................................................ 231Temps solaire moyen ............................................................................. 232quation du temps................................................................................. 232Temps civil............................................................................................. 233Temps universels et fuseaux horaires .................................................... 233Temps lgal............................................................................................ 234

4.2 Temps des phmrides et temps atomique international ............ 234Temps des phmrides ......................................................................... 234Temps atomique international............................................................... 235

Temps universel coordonn................................................................... 2354.3 Temps sidral....................................................................................... 236

Exercices .............................................................................................. 239

E10-1 Matrices rotations appliques au changement de systmes

de coordonnes................................................................................. 239

E10-2 Influence du recul du point gsur la drive des toiles.................... 243

E10-3 Lever, coucher, passage au mridien des toiles............................. 246

E10-4 Visibilit des toiles ......................................................................... 250

Chapitre 11

Reprage des orbiteset phmrides

lments dorbites ....................................................................... 254

1.1 Plans et axes de repre....................................................................... 254Plan orbital ........................................................................................... 254Plan de rfrence .................................................................................. 254Ligne des nuds .................................................................................... 254Ligne de rfrence................................................................................. 255

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1.2 Position de lorbite ............................................................................. 255Ascension droite.................................................................................... 255Inclinaison............................................................................................. 255Argument du pricentre......................................................................... 256

1.3 Position de lastre sur lorbite ........................................................... 256Par anomalie vraie ................................................................................ 256Par anomalie moyenne.......................................................................... 257Date au prihlie................................................................................... 257

Variables elliptiques et phmrides................................... 258

2.1 lments moyens ................................................................................ 258

2.2 Thories plantaires, base des phmrides ................................... 261Le problme N corps pour les plantes.............................................. 261

Historique de sa rsolution ................................................................... 261

Coordonnes dans un repre de rfrence donn ........ 262

3.1 Cas dun satellite terrestre ................................................................. 262

3.2 Cas dune plante ............................................................................... 264Passage des coordonnes orbitales cliptiques ................................. 264Translation du repre cliptique ........................................................... 264

Exercices .............................................................................................. 266E11-1 Satellites semi-synchrones MOLNYA .............................................. 266

E11-2 De la trajectoire elliptique aux coordonnes quatoriales de Vnus 273

E11-3 Coordonnes quatoriales de Vnus par les phmrides............. 279

Index ........................................................................................................... 283

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Avant-propos

Notre univers ne cesse de nous fasciner et nombreux sont ceux qui consacrentleur vie professionnelle ou leurs loisirs son observation, afin den percer les

mystresIl y a de par le monde des milliers de clubs et de socits dastronomie.Paralllement, les programmes spatiaux dexploration de notre systmesolaire sont toujours actifs et sont passs du stade de comptition celui, trsfructueux, de cooprations internationales orchestres par des organisationsprestigieuses telles que la NASA, lInstitut russe de la recherche spatiale,lAgence spatiale europennePointer un tlescope sur un astre ou une antenne sur un satellite, dduire

sa position de celle des toiles et connatre linstant du crpuscule, dfinirle mouvement dune sonde dans le milieu interplantaire, dterminer uninstant donn la position dune comte ou dun satellite artificiel sur lor-bite assigne par sa mission sont autant de problmes qui, nous lesprons,trouveront leur solution dans le prsent ouvrage. Dans cet objectif, et afinde sadresser au plus grand nombre, nous avons adopt une dmarche trsprogressive, guide galement par le souci dviter au lecteur davoir rechercher dans dautres sources les supports mathmatiques et physiques

ncessaires la comprhension.Le milieu au sein duquel nous voluerons, le systme solaire, est prsentdans un chapitre introductif o nous prcisons un certain nombre de gran-deurs astronomiques fondamentales. ce stade, il convient de saluer le travaildes astronomes, en particulier dans le domaine de la mesure et des units ;


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Avant-propos

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elliptiques, nous passons des coordonnes polaires de lastre ou du satelliteartificiel ses coordonnes quatoriales terrestres.Pour les tudiants, cet ouvrage permettra dapprofondir le cours de mca-nique newtonienne dun systme de points matriels ; il constitue galementune introduction un enseignement dastronomie. Mais, par lensemble desformules quil contient, par les exercices entirement rsolus en fin de chaquechapitre plus de trente, dont certains sont de vritables bureaux dtudesncessitant lutilisation du tableur , ce livre devrait intresser, outre lesastronomes et navigateurs, tous ceux, techniciens et ingnieurs, qui auraient traiter du mouvement et de la localisation des astres, satellites artificiels,sondes spatiales, et que nous appellerons navigateurs de lespace


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Au cours de ce chapitre introductifnous prcisons lespace au sein duquelnous voluerons et les grandeursfondamentales sur lesquelles nousnous appuierons. Lespace est notresystme solaire, infime lment denotre Galaxie, que nous explorons

laide de satellites et de sondes.Toujours lchelle plantaire, nouscaractrisons, outre la masse, les gran-deurs lies au temps et la dure dunepart et celles relatives aux distancesdautre part.

Pour terminer cette prsentation, nousproposons un premier exercice dfinis-sant le jour julien correspondant unedate donne, rfrence que lon utili-sera largement au dernier chapitre.Le deuxime exercice porte en particu-lier sur les priodes synodiques : lenvoi

dune sonde vers Mars par exempleimplique une configuration donnepar rapport au Soleil de cette planteavec la Terre (voir exercice E7-3), etil est important de savoir quand sereproduira la configuration identiquefavorable un nouveau lancement.

Chapitre1

Mcanique cleste


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Structure cosmique

Lordonnancement de lunivers est essentiellement d la force gravitation-nelle qui, pour deux corps en prsence, est proportionnelle au produit de leurmasse et inversement proportionnelle au carr de leur distance. La force dat-traction ou de rpulsion dorigine lectrostatique napparat pas, car la chargedes corps est globalement neutre.La valeur de la constante gravitationnelle (voir chapitre 6) est :

G = 6,672 59 10 -11 N.m2/kg2 (m3 kg-1 s-2)

dtermine par lobservation, cest une constante primaire.

La permittivit absolue du vide tant dsigne par 0 , la constante de la formulede Coulomb est :

1/40

= 9 10 9 N.m2/C2

1.1 Notre systme solaire

Soleil

Notre Soleil est une toile, cest--dire un astre dont les ractions thermonu-claires internes peuvent sentretenir, au moins pendant un certain temps. Samasse a pour valeur :

MS

= 1,988 9 1030 kg

Cest une constante drive.

Dans le systme dunits astronomiques, la masse du Soleil est lunitde base de masse.

Le Soleil est plutt une petite toile ; certaines sont quelques dizaines de foisplus lourdes. En dessous dune masse critique, une toile ne peut pas natrecar son cur ne peut atteindre les tempratures ncessaires lamorage deractions nuclaires.

Plantes

Par rapport une toile, une plante est un astre mobile dont la brillance estdue la rflexion de la lumire de ltoile voisine, le coefficient de rflexiontant lalbdo.

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1. Mcanique cleste

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Les plantes ont des masses bien infrieures celles des toiles. Dans notresystme solaire, la plus grosse plante, Jupiter, est 318 fois plus massive quenotre Terre pour laquelle :

MT = 5,973 64 1024

kgJupiter est mille fois plus lger que notre Soleil.Par rapport la masse solaire, le Bureau des longitudes (voir bibliographie)donne :

MT

= 3,003 489 6 10-6 MS

MJ= 9,545 942 9 10-4 M

S

Les plantes, du mot grec signifiant vagabond , orbitent autour du Soleilselon des trajectoires faiblement elliptiques, sauf pour la plus proche, Mercure,

et la plus lointaine, Pluton. Les ellipses sont dcrites peu prs dans un mmeplan, sauf pour Pluton !Le plan dans lequel orbite la Terre est appel cliptique car cest dans ce planquont lieu les clipses en relation avec notre plante.On distingue les plantes infrieures, qui sont plus proches du Soleil que laTerre, et les plantes dites suprieures, qui en sont plus loignes.Le classement suivant est plus intressant : en sloignant du Soleil, Mercure, Vnus, Terre et Mars forment un groupe

dastres constitus dun noyau mtallique entour dun manteau rocheux ; cesont les plantes telluriques ; au-del, Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune constituent le groupe desplantes joviennes (nom driv de Jupiter). Elles sont beaucoup plus volu-mineuses que les plantes telluriques, mais caractrises par une plus faibledensit due une fraction importante dlments lgers, tels que le dihydro-gne et lhlium ; ainsi la surface de ces astres est fluide, et leur limite aveclatmosphre mal dfinie.

Ces quatre plantes possdent des anneaux, mais seul celui de Saturne estspectaculaire. La plante Neptune quant elle se caractrise par son axe derotation inclin de 98 par rapport la perpendiculaire au plan de son orbite,do son surnom de plante couche .Pluton nest pas une plante jovienne ; prcisons quune partie de sa trajec-toire est plus prs du Soleil que celle de Neptune, mais il ne peut y avoir derisque dinterfrence vu la forte inclinaison de lorbite par rapport lclip-tique (17,2). Notons que la priode de rvolution de Pluton est 3/2 de celle de

Neptune (respectivement 247,7 et 164,8 annes).

Astrodes et comtes

En dessous dune certaine taille, on parle dastrodes et non de plantes :Pluton, dun diamtre peine suprieur 2200 km est une petite plante ;


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Crs, dun diamtre de 940 km, est le plus gros astrode. Actuellement, onconnat les orbites de quelques milliers dastrodes ; la grande majorit deceux-ci ont des orbites quasiment circulaires confines entre Mars et Jupiter,qui constituent la ceinture principale. Toutefois certaines orbites ont uneexcentricit notable, faisant que les prihlies peuvent tre proches de Marsvoire de la Terre la diffrence des plantes parfaitement sphriques, lesastrodes de petite taille ont tendance tre dune forme irrgulire.Bien au del de lorbite de Pluton existe un nuage de petits astrodes consti-tuant le nuage de Oort, du nom de lastronome qui en fit lhypothse.Certains corps quittent ce nuage et adoptent des orbites hliocentriques trselliptiques : ce sont les comtes. Elles sont constitues dun mlange de pous-

sires et de glace. Si la comte sapproche prs du soleil, cest--dire ds quelordre de grandeur de sa distance est compris entre Mars et Jupiter, son noyaucommence svaporer, donnant naissance une queue spectaculaire dirigevers lextrieur de la trajectoire, comme lavaient not les Chinois plus demille ans avant J.-C.

Autres corps

On considre ici les corps orbitant autour de plantes dont la masse leur est

bien suprieure ; on les dnomme satellites. On distingue les satellites natu-rels et les satellites artificiels.

Satellites naturels

Les plantes infrieures nont pas de satellites. La Terre possde un seul satel-lite, la Lune, dont la masse reprsente environ 1,2 % de celle de notre astre.Les deux satellites de Mars sont minuscules et sapparentent des astrodes.Sur les 16 satellites de Jupiter, 12 sont petits et ressemblent des astrodes

galement, mais les quatre autres, dcouverts par Galile (1564-1642), ontune dimension et une masse de lordre de grandeur de celle de la Lune. Cesont, en sloignant de Jupiter : Io, Europe, Ganymde et Callisto.Saturne a de nombreux satellites assez petits, sauf Titan qui est plus gros quela Lune. Le satellite Triton a la particularit de tourner autour de Neptune dansle sens rtrograde.Notre systme solaire compte ainsi 16 objets plantaires de diamtre suprieur 2500 km.

Satellites artificiels

Cest au cours des annes 1957-1958 que les premiers satellites artificielsde la Terre commencrent peupler notre espace : le 4 octobre 1957, lepremier spoutnik fut mis en orbite par les Sovitiques ; entre 1958 et 1959,


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1. Mcanique cleste

23

les Amricains mettent galement en orbite une vingtaine de satellites. Enlespace de 25 ans, environ 3000 satellites auront t lancs.Compte tenu de la trane atmosphrique et des ceintures de Van Allen consti-tues de particules charges piges par le champ magntique terrestre, lessatellites sont placs de prfrence dans les bandes daltitudes suivantes : 700-1500 km pour les orbites basses dites LEO pourLow Earth Orbit, 5000-15 000 km pour les orbites mdianes dites MEO pour Medium EarthOrbit, > 20 000 km, incluant ainsi lorbite gostationnaire dite GEO pour Geosta-tionary Earth Orbit.Les tlcommunications avec la tlphonie, la tldiffusion, la transmission de

donnes constituent lapplication majeure des satellites. Lorbite gostationnaireest largement utilise, voire sature, car elle permet entre autres une couvertureglobale avec seulement trois satellites. Toutefois, considrant par exemple lesbilans de liaison ou les dlais de transmission, de nombreux systmes font lechoix dorbites infrieures en sappuyant sur une constellation de satellites dfilement afin dobtenir la couverture ncessaire : Iridium, en tlphoniemobile, compte 66 satellites 780 km daltitude ; le systme de localisa-tion GPS (pour Global Positioning System) comporte pour le secteur spatial

24 satellites voluant dans six plans orbitaux une altitude de 20 200 km.

1.2 Galaxies

Notre Galaxie

Les galaxies sont principalement constitues dune concentration dtoilesdont lorigine est la force gravitationnelle. Le nombre dastres ainsi rassem-bls peut atteindre plusieurs centaines de milliards.On distingue trois principaux groupes de galaxies : les galaxies irrgulires,les galaxies elliptiques et les galaxies spirales. Ces dernires sont les plusnombreuses et notre Galaxie, qui compte environ cent milliards dtoiles, estde ce type.Vue de face, la Galaxie a la forme dun disque o les toiles sont concentresessentiellement au centre ainsi que dans quatre bras spiraux. Le Soleil est dansle bras dOrion, considr comme une ramification, ou plutt une protub-

rance du bras du Sagittaire.Le disque a une certaine paisseur, et, observe par la tranche, la Galaxiemontre un renflement symtrique au centre appel bulbe ; dautre part, elleest vue sur la vote cleste comme une bande ou trane laiteuse, do elle tireson nom de Voie lacte.


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1. Mcanique cleste

25

Dures

Dans le Systme international dunits (SI), la seconde est lunit de base dela grandeur temps. Sa dfinition, donne par le Bureau international des poidset mesures (BIPM), est la suivante : La seconde est la dure de 9 192 631 770 priodes de la radiation corres-

pondant la transition entre deux niveaux hyperfins de ltat fondamental delatome de csium 133.

2.1 Jours et annes

Les diffrents jours

Jour sidral

Cest le temps mis par un astre, plante ou satellite par exemple, pour effectuerune rotation complte autour de son axe et donc reprendre la mme orienta-tion par rapport des toiles lointaines.Pour la Terre, la dure du jour sidral est :

JSid

= 23 h 56 min 4,0956 s = 86 164,0956 s

Pour Jupiter la rotation est la plus rapide, et la dure du jour sidral est de9 h 50 min 30 s pour ce qui est de la rotation de latmosphre lquateur etde 9 h 55 min 30 s pour la rotation du champ magntique.Vnus, la plus lente, effectue sa rotation en 243 jours environ.Mars a une priode de rotation voisine de celle de la Terre, soit 24 h 37 min22,6632 s.Lorsque lon observe les plantes au-dessus de lcliptique, on note que lesrotations de Vnus et Pluton seffectuent dans le sens rtrograde, cest--dire

dans le sens des aiguilles dune montre.Jour solaire

Cest lintervalle de temps sparant deux passages conscutifs du Soleil aumridien du lieu dobservation (voir figure 9.6), cest--dire lintervalle entredeux culminations (Soleil au plus haut).Durant un jour solaire, la Terre effectue donc une rotation complte, plus unerotation dangle , conformment la figure 1.2 : cet angle correspond audplacement orbital.On suppose lorbite terrestre circulaire ; sachant que les 360 sont dcrits en365,256 jours environ, la valeur de langle est donc de 0,9856.Le temps J mis par la Terre pour tourner de est :

J = (JSid

/360) 0,9856 = 236 s

2

2


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26

S

T

mm

Figure 1.2 Dplacement orbitaldurant un jour solaire.

Si lon veut que le plan du mridien choisi au dpart contienne toujours leSoleil larrive, il faudra donc patienter de 4 minutes moins 4 secondes parrapport la dure du jour sidral.Notons que la valeur de la vitesse angulaire de la Terre correspond celle delangle puisque celui-ci est dcrit en un jour solaire. Cette vitesse angulaireest la constante de Gauss qui est maintenant une constante de dfinition dontla valeur arbitraire est :

k = 0,985 607 668 601 425 degr/jour = 0,017 202 098 95 radian/jour

Le jour solaire correspond au temps coul entre deux passages conscutifs duSoleil au mridien du lieu :

JSol

= JSid

+ J 24 h

Par dfinition, lheure est la 24e partie du jour solaire moyen, calcul sur une

anne ; le jour solaire varie cause de la trajectoire qui est en ralit ellip-tique.De fait, le jour se substitue au jour solaire moyen et vaut 86 400 secondestelles que dfinies dans le SI :

1 jour = 24 h = 86 400 s

Dans le systme dunits astronomiques, le jour est lunit de base dutemps.

On peut calculer directement le jour sidral en fonction du jour solaire, ennotant quune anne sidrale (voir suite de ce paragraphe) correspond


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1. Mcanique cleste

27

365,2564 jours solaires et 366,2564 jours sidraux, puisquil faut dans cedernier cas ajouter la rotation supplmentaire de notre plante ; do :

366,256 4 JSid

= 365,256 4 JSol

Confondant le jour solaire avec un jour solaire moyen de 86 400 s, on endduit que :

JSid

86 164,1 s

Ajoutons enfin que les jours solaires augmentent denviron 0,00164 seconde/sicle du fait du ralentissement de la rotation terrestre, affecte par les mareslunaires.

Les diffrentes annesLes Anciens croyaient que les toiles taient sur une sphre, la sphre cleste,dont la Terre tait fixe au centre. Lintersection de lquateur avec cette sphredonne lquateurcleste. Lcliptique, plan de la trajectoire du Soleil dansce rfrentiel gocentrique, est inclin de 23 et coupe lquateur cleste endeux points. Le Soleil montant rencontre le premier point, appel point vernalou point gamma, le 21 mars, date de lquinoxe de printemps ; cest--direlorsque la dure du jour est gale celle de la nuit (la date pouvant changer

selon lanne).Plus prcisment, lobliquit de lcliptique au 1er janvier 2000 12 h TU(origine des temps J2000) est de 23 26 21,4119.

Anne sidrale

Lanne sidrale TSid

correspond au temps TT

mis par notre plante pouraccomplir une rvolution complte autour du Soleil et donc revenir la mmeposition par rapport des toiles lointaines :

TSid = TT = 365,256 4 j = 365 j 6 h 9 min 12,96 s = 31 558 152,96 s

Anne tropique

Laxe de rotation de la Terre est inclin de 23 par rapport la perpendiculaire lcliptique ; il nest pas pour autant fixe par rapport aux toiles : il dcrit, dansle sens rtrograde, un cne de demi-angle 23. La priode de cette prcessionest lgrement infrieure 26 000 ans (on retient plutt 25 800 ans). Solsticeset quinoxes vont donc driver avec la mme priode : cest le phnomne dit

de prcession des quinoxes.Si on veut que lanne sidrale reprsente le cycle des saisons, il faut la corrigerde la prcession ; on obtient alors lanne tropique. La rvolution et la prces-sion tant de sens opposs, la correction annuelle de 365,2564/26 000 joursest ngative :


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28

TTro

= TSid

0,014 2 = 365,242 2 j

Ajoutons que la prcession des quinoxes fait que le point gamma () drivevers louest denviron 50 par an (360 / 26 000 ans).

Lintersection de laxe des ples avec la vote cleste donne le ple Nordcleste, actuellement trs proche de ltoile Polaris qui apparat donc fixe.Cest Vga qui dans 12 000 ans sera notre toile polaire !

Anne julienne, calendriers julien et grgorien

Lanne julienne a t fixe 365 j lors de la rforme du calendrierdemande par Jules Csar en 45 avant J.-C.Cest maintenant un multiple de lunit astronomique de temps, le jour ; cestdonc une unit auxiliaire :

1 anne julienne = 365,25 j = 31 557 600 s

Lanne commenait le 1er mars et se terminait le 28 fvrier. Elle comprenait4 mois de 30 jours, 7 mois de 31 jours et un mois de 28 jours . Cela ne faisaitque 365 jours, aussi il fut dcid dajouter au mois de fvrier un jour tousles quatre ans : les annes bissextiles, cest--dire divisibles par 4, ont donc366 jours.Le calendrier julien ainsi dfini sappuyait sur une anne suprieure lannetropique et gnrait une drive de la date de retour des saisons : il fallait retirer lanne julienne un jour tous les 128 ans.Le pape Grgoire XIII commanda une rforme du calendrier en 1582 : le calendrier julien se termina le 4 octobre et fut remplac le lendemain15 octobre par le calendrier grgorien ; dans ce nouveau calendrier, certaines annes bissextiles sont supprimes(1700, 1800, 1900, 2100, ) ; mais 1600, 2000, 2400, qui sont multiples

de 400, restent bissextiles.On conclut que lanne grgorienne moyenne est de (365,25 - 3/400) j, soit :

anne grgorienne = 365,2425 j

Il est noter que le calendrier grgorien na pas t mis en place partout lamme poque !

2.2 Priodes

Priodes synodique et sidrale

La priode synodique correspond au temps de rapparition dune mmeconfiguration de deux plantes par rapport au Soleil.Les configurations caractristiques sont :


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1. Mcanique cleste

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la conjonction, lorsque les deux plantes sont alignes avec le Soleil dunmme ct ; lopposition, lorsque les deux plantes sont de part et dautre alignes avecle Soleil ; la quadrature, lorsque les directions des plantes avec le Soleil forment unangle droit. La priode sidrale est le temps T

Pmis par une plante quelconque pour

accomplir une rvolution complte autour du Soleil par rapport un obser-vateur li aux toiles fixes. Elle correspond lanne sidrale pour la planteTerre.

Relation entre les deux priodes

Considrons par exemple la conjonction de la Terre de priode TT

et duneplante plus loigne que celle-ci du Soleil, plante dite suprieure, dont lapriode T

Psest inconnue.

Les donnes sont :- langle entre les deux alignements successifs,- le temps coul entre les deux configurations, cest--dire la priode syno-dique S

Ps.

Les orbites sont supposes circulaires.Pour la plante P

Sla relation entre sa priode synodique et sa priode sidrale

est :

ST

PsPs=

360

360

S

TPs

Ps

=

Pendant la dure SPs

la Terre a parcouru une rvolution supplmentaire en plusde ; do :

S T360

Ps T= +( )360

S T T 360 T STPs T TT Ps

Ps = =

Aprs division par TTS

Ps, on dduit la relation permettant de calculer par

exemple la priode sidrale.Pour une plante suprieure :

1 1 1

T T SPs T Ps=

Pour une plante infrieure :- T

Tremplace T

Ps,

- TPi

remplace TT

, do :

1 1 1

T T SPi T Pi= +


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30

la figure 1.3 ci-dessous, on a reprsent la conjonction dune plante sup-rieure avec la Terre.

S T PS

360 +

Figure 1.3 Priode synodique de la conjonction de deuxplantes.

Remarque

Un autre raisonnement consiste considrer les vitesses de chacune desplantes :- La vitesse de la plante suprieure est de 360/TPs degrs par jour ; pendantla priode synodique S

Psle nombre de degrs dcrit est

= 360T

SPs

Ps

360

S

TPs

Ps

=

- La vitesse de la Terre est de 360/TT

degrs par jour ; pendant la mmedure S

Psle nombre de degrs dcrit est

+ =360 360

TS

TPs

S

T

S

T

Ps

Ps

Ps

T

+ =1

Divisant par la priode synodique, il vient :1 1 1

T S TPs Ps T+ =

On retrouve la relation valable pour les plantes suprieures.

Distances

En prliminaire, rappelons que lunit de longueur a t dfinie comme suitlors de la 17e Confrence gnrale des poids et mesures en 1983 : Le mtre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumire

pendant une dure de 1/299 792 458 seconde.

3

3


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1. Mcanique cleste

31

La vitesse de la lumire est ainsi devenue une constante de dfinition dont lavaleur est :

c = 299 792 458 m/s

3.1 Unit astronomique

La circonfrence terrestre et par consquent son diamtre furent dterminstrs tt et avec une assez bonne prcision pour lpoque.ratosthne, en lan 200 avant J.-C., calcula que la circonfrence tait de42 000 km en utilisant la mthode suivante :

Les rayons du Soleil tant parallles, sils arrivent verticalement en un lieu etsi lon mesure simultanment langle quils font avec la verticale en un autrelieu sur le mme mridien, alors, connaissant la distance entre les deux sites,la circonfrence sen dduit facilement.Le premier lieu tait Syne au sud de lgypte, o les rayons solaires au sols-tice dt midi parvenaient clairer le fond dun puit profond ; le deuximelieu tait Alexandrie o, connaissant la hauteur dun oblisque et son ombreporte, ratosthne en dduisit que langle tait de 7 degrs.

La distance entre les deux cites tant de 820 km, il dtermina que la circonf-rence tait de (820/7) 360 km, do un diamtre de 13 400 kmLa valeur actuellement retenue pour le rayon quatorial de la Terre est de6 378,14 km, do le diamtre :

DT

= 12 756,28 km

On calculera lexercice E7-1 (chapitre 7) que la distance la surface terrestredun satellite en orbite gostationnaire est, exprime en diamtres terrestres :

Hsat

= 2,806 DT

Cest Hipparque qui, avec une trs bonne prcision galement, dterminala distance Terre-Lune. La mthode quil utilisa sappuyait sur la dure delclipse de Lune la plus longue, soit 2 h 30 min, et la connaissance du moissynodique, soit 29,5 j. Avec ces donnes, il en dduisit que la distance entreles centres des deux astres tait de 32,5 diamtres.

La figure 1.4 donne la gomtrie et les instants de lclipse du 16 mai 2003.La distance Terre-Lune moyenne (demi-grand axe) est value actuellement 383 398 km, soit environ 30,06 diamtres terrestres.La distance correspondante entre les deux sols, sachant que le rayon lunaireest de 1737,4 km, correspond 29,42 diamtres.


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32

entre pnombre1 h 06

sortie pnombre6 h 15

orbite lunaire :- dist. 357 694 km 3 h 40- diam. ombre 1,548

- diam. pnombre 2,624

SoleilTerreLune

entre ombre2 h 03

sortie ombre5 h 17

clipse totale de Lune (nuit du 15 au 16 mai 2003, heures TU)

dbut totalit3 h 14

maximum clipse3 h 40

fin totalit4 h 06

Figure 1.4 Distance Terre-Lune dduite de lclipse de Lune.

Les Anciens avaient conscience quils ne savaient pas dterminer correcte-ment la distance Terre-Soleil ; cest pourquoi ils valurent les distances des

autres plantes en fonction de cette distance qui servit dtalon et fut baptiseunit astronomique (symbole ua).Ainsi par exemple Kepler, en exploitant les mesures de Tiko Brah, dterminapoint par point la trajectoire de Mars en donnant une chelle arbitraire pourla distance de la Terre au Soleil. Dans sa construction, il traait la trajectoireterrestre et reportait des couples de lignes de vise de Mars obtenues partirdune position initiale de notre plante et de celle dtermine aprs une rvo-lution sidrale de Mars, soit 1,88 ans. Il obtint point par point la trajectoire de

Mars et saperut quelle tait elliptique avec une distance moyenne au Soleilde 1,5 ua.Ce nest que vers la fin du XVIIe sicle que lon commena dterminer dunemanire satisfaisante la valeur de lunit astronomique.En nous appuyant sur la troisime loi de Kepler dmontre au chapitre 6, nouspouvons crire que la distance moyenne Terre-Soleil, a

Ta pour expression :

aT

= (1/k)2/3 (GMS)1/3

Les valeurs de la constante de Gauss et du produit de la constante gravitation-nelle par la masse du Soleil tant donnes, on en dduit la valeur de lunitastronomique :

1 ua = 149,597 870 61 109 m


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1. Mcanique cleste

33

Dans le systme dunits astronomiques, lunit astronomique est lunitde base de longueur.

Lunit astronomique tant ainsi calcule, on conoit que la distance moyenneTerre-Soleil relle puisse sen carter lgrement, puisque la priode sidrale T

Sid

ne peut tre rigoureusement gale la priode gaussienne de 2/k.Cette unit est bien adapte notre systme solaire comme le montre le tableausuivant :

Plante Demi-grand axe (ua)

Mercure 0,387 098Vnus 0,723 330

Terre 1,000 001

Mars 1,523 679

Jupiter 5,202 603

Saturne 9,554 909

Uranus 19,218 446

Neptune 30,110 387

La distance moyenne de Pluton au Soleil est de 39,44 ua ; mais il peut senloigner jusqu 49,22 ua.Le nuage de Oort qui marque la limite de notre systme solaire est situ environ 50 000 ua, et ltoile la plus proche du Soleil, Alpha du Centaure, est5,3 fois plus loigne.

3.2 Anne-lumire et parsec

Nous avons donn dans lintroduction au paragraphe 3 la valeur de la vitessec de la lumire. Ainsi, la distance des deux astres et les rayons de ceux-ci tantconnus, la lumire provenant dune source place sur la Lune mettrait pournous parvenir :

(383 398 km 6378 km 1734 km) / (299 792 km.s-1) 1,252 s

Introduisant la seconde-lumire (sl), cest--dire la distance parcourue par lalumire pendant une seconde, on pourra dire que la Lune est un peu plus deune seconde-lumire de la Terre.Quant la Terre, elle est environ 500 sl du Soleil, ou encore, en minutes-lumire (minl), environ 8,3 minl.


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34

Les confins du systme solaire sont 25 106 sl.Pour de telles distances, cest lanne-lumire (al) qui est lunit la mieuxadapte. Lanne-lumire est la distance parcourue dans le vide par la lumiredurant une anne julienne :

1 al = 299 792 458 m.s -1 31 557 600 s

soit :

1 al = 9,460 730 473 1015 m

La correspondance avec lunit astronomique est :

1 al = 63 241,077 ua

Ainsi, notre systme solaire a un rayon de 0,8 al, et Alpha du Centaure est 4,22 al du Soleil.Le Soleil, lui, est 26 000 al du centre de notre Galaxie ; laquelle a un diamtredenviron 100 000 al. lchelle de lunivers, les distances peuvent atteindre des milliards dan-nes-lumire ; on les exprime alors en giga annes-lumire (Gal).Les astronomes qui cherchaient mesurer la distance des toiles prochesont introduit une autre unit, le parsec (pc), dont nous allons dterminer lacorrespondance avec lanne-lumire.Ltoile proche est repre par rapport aux toiles lointaines partir de deuxpositions de la Terre diamtralement opposes au Soleil comme indiqu lafigure 1.5.

Soleil

Terre

Terreposition 2

position 1

toile

D

aT

2

Figure 1.5 Parallaxe annuelle dune toileproche.


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1. Mcanique cleste

35

Les deux droites de vise obtenues font un angle 2 tel que :

tga

D

T = (D tant la distance de ltoile).

reprsente la parallaxe annuelle de ltoile ; sa faible valeur permetdcrire :

DaT=

avec aT

= 1,000 001 017 8 ua

Si la parallaxe est exprime en degrs, (rad) d=

180( ).

La parallaxe se mesure gnralement en secondes darc, do :

(rad) =180

1

3600(")

La distance de ltoile, en units astronomiques ou en annes-lumire, a pourexpression :

D(ua) =2 0626481105,

(")

D(al) = 3 2615638,(")

On pose : 1 pc = 3,261 563 8 al

Il vient D(pc) =1

(")

Ainsi, le parsec est la distance dune toile dont la parallaxe annuelle est deune seconde darc.On avait prcis que Alpha du Centaure tait 4,22 al du Soleil, ce qui corres-pond donc 1,29 pc soit une parallaxe de 0,77.

La distance correspondant 0,05 est de 20 pc, soit environ 65 al : ondnombre un millier dtoiles lintrieur de la sphre ainsi dfinie.


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36

exercic

es

exercicesE1-1 Jour Julien

Le jour julien (JJ) est le nombre de jours couls depuis le 1er janvier4712 avant J.-C. 12h TU. On peut calculer le JJ correspondant une datedonne laide de la formule suivante :

JJ = P.E.[365,25 (A + 4716)] + P.E.[30,6001 (M + 1)] + J + B + T 1524,5

P.E. = Partie EntireJ,M,A = date (J jour du mois, M numro du mois, A anne) Si M = 1 ou 2, on remplace A par A -1 et M par M + 12 Si J,M,A est une date du calendrier julien, B = 0 Si J,M,A est une date du calendrier grgorien, B = 2 C + P.E.[C/4],o C = P.E.[A/100]

Lheure UTC (ou TU) est exprime sous la forme HH MM SS, etT = HH/24 + MM/1440 + SS/86400

On dfinit galement le jour julien modifi (JJM ou MJD pour ModifiedJulian Day) qui se dduit du JJ en retranchant 2 400 000,5 j.

1. Calculer le JJ correspondant aux dates suivantes :

1er

janvier an 0 12h TU ; 15 octobre 1582 0h TU ; 4 septembre 1983 0h TU2. Calculer le JJ correspondant aux 1erjanvier 1001 et 2001 0h TU, justifierla diffrence par rapport lanne de 365,25 j.

3. quelle date correspond 2 400 000,5 JJ ?

4. Calculer le JJ et le MJD la date du 28 fvrier 2003 23 h 59 min59,9 s TU.

solutions1. 1er janvier an 0, 12 h TU 1 721 058 JJ15 octobre 1582, 0 h TU 2 299 160,5 JJ4 septembre 1983, 0 h TU 2 445 581,5 JJ2. 1er janvier 1001, 0 h TU 2 086 673,5 JJ1er janvier 2001, 0 h TU 2 451 910,5 JJLa diffrence est de 365 237 jours.Lanne de 365,25 j conduit 365 250 jours auxquels il faut retrancher 10 jdus au changement de calendrier et 3 j pour les annes 1700, 1800 et 1900 quine sont pas comptes comme bissextiles.

3. 2 400 000,5 JJ correspond au 17 novembre 1858 0h TU

4. 28 fvrier 2003 23 h 59 min 59,9 s TU : 2 452 699,5 JJ soit 52 699 MJD .


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ex

ercices

partir du 1er janvier 2001, on a bien rajout :(365 2 + 31 + 28) = 789 jours !

Remarque

Lpoque J2000,0 , cest--dire la date rfrence du 1er janvier 2000 0 h TU correspond 2 451 544,5 JJ. Lpoque J2000 , cest--dire la date rfrence du 1er janvier 2000 12 h TU correspond 2 451 545,0 JJ.

E1-2 Priodes des plantes

1. Priodes synodiques pour un observateur terrestre

a) Complter le tableau ci-dessous afin dobtenir les priodes sidrales ousynodiques des plantes Mercure, Vnus, Mars, Jupiter, Saturne, Uranuset Neptune.

Plante

priode sidrale pr. synodique

annes jours jours

Mercure 115,9

Vnus 224,7

Terre 1,0000 365,2564 --------

Mars 687

Jupiter 398,88

Saturne 378,09

Uranus 30 689

Neptune 60 182

b) Les deux prochains passages de Mercure devant le Soleil se traduisant parune clipse observable de la Terre ont lieu le 07/05/2003 7 h 52 min 37 s etle 08/11/2006 21 h 40 min 53 s. Pour Vnus, les dates sont le 08/06/2004 8 h 19 min 44 s et le 06/06/2012 1 h 19 min 24 s.Calculer pour chaque plante le nombre de jours sparant les passages ;conclure.

2.Priodes synodiques par rapport Jupiter

Dterminer les priodes synodiques de Mars et Saturne pour un observateurli Jupiter.

3.Mois synodiqueLa lune effectue sa rvolution autour de la Terre en 27,3217 jours : cest lemois sidral. Pendant cette rvolution, notre plante tourne autour du Soleil


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38

exercic

es

et par consquent la configuration initiale aura chang. Dterminer en deuxitrations la correction ajouter au mois sidral afin de retrouver la mmeconfiguration. Donner lexpression exacte dumois synodique, et sa valeur.

solutions1.a)

Plante

priode sidrale pr. synodique

annes jours jours

Mercure 0,2409 88 115,9

Vnus 0,6152 224,7 583,9

Terre 1,0000 365,2564 --------Mars 1,8809 687 779,9

Jupiter 11,8631 4 333 398,88

Saturne 29,4593 10 760 378,09

Uranus 84,0219 30 689 369,66

Neptune 164,7693 60 182 367,49

b)

Pour Mercure, le nombre de jours sparant les deux passages est donn parla diffrence des dates exprimes en jours juliens :

2 454 048,403 JJ 2 452 766,828 JJ soit 1281,575 jours .

Compte tenu de la priode synodique de 115,9 jours, cela correspond laonzime conjonction, et 14,5 priodes de rotation de Mercure, et 3,5 dela Terre.Mercure a bien effectu 11 rotations de plus que la Terre. On calcule de mme pour Vnus :

2 456 084,555 JJ 2 453 164,847 JJ soit 2919,708 jours .

Compte tenu de la priode synodique de 583,9 jours, cela correspond lacinquime conjonction et 13 priodes de rotation de Vnus, et 8 de la Terre.Vnus a bien effectu 5 rotations de plus que la Terre.

2.Par rapport Jupiter, Mars est une plante infrieure. La formule se note :

1 1 1S T TM M J= SM = 816,45 j = 2,235 annes

Par rapport Jupiter, Saturne est une plante suprieure. La formule se note :

1 1 1

S T TS J S= S

S= 7254,3 j = 19,861 annes


40/287

1. Mcanique cleste

39

ex

ercices

3. Supposons, pour illustrer, quau dpart on ait lalignement Soleil-Terre-Lune ; aprs un mois sidral T

Lil faudra encore attendre quelques jours pour

arriver la pleine Lune car la Terre aura tourn autour du Soleil de :

360 26 9285T

TL

T

= ,

La Lune a parcouru 360 en TL

jours ; les 26,9285 seront parcourus en :

T

T

T

T

TjL L

T

L2

T360360 2 0437 = = ,

Effectuons la deuxime itration :

Pendant ces 2,0437 j la Terre sest dplace de :

360

360 2 0143

T

T

T

T

T

T

L2

T

L2

T2 = = ,

Pour parcourir ces 2,0143 , la Lune mettra le temps supplmentaire :

T

T

T

T

TjL L

2

T2

L3

T2360

360 0 1529 = = ,

Correction ajouter : TL = 2,1966 j Ainsi aprs deux itrations, la valeur du mois synodique est :

SL2 LL2

T

L3

T2T

T

T

T

T= + + ; soit S

L2= 29,5183 j

S TT

T

T

T

T

TL LL

T

L2

T2

L3

T3= + + + +

1 .....

La raison de cette progression gomtrique est infrieure lunit, do :

S T T

T T T

L LL

T L T

=

=

11

11 1

SL

= 29,5306 j

On note que la convergence est trs rapide.

Remarques

1 Phases de la Lune et lunaisonsLalignement Soleil-Terre-Lune correspond la pleine lune (PL) ; la nou-velle lune (NL) correspond lalignement Soleil-Lune-Terre. partir decette dernire, les phases intermdiaires sont le premier croissant, le pre-mier quartier (PQ), la lune gibbeuse croissante ; puis aprs la pleine lune,


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40

exercic

es

la lune gibbeuse dcroissante, le dernier quartier et le dernier croissant.Le mois synodique, ou mois lunaire ou encore lunaison, correspond lintervalle de temps sparant deux pleines lunes ou deux nouvelles lunesconscutives ; sa valeur est en moyenne gale 29 j 12 h 44 min 2,9 s, soit29,530 589 j.Le tableau suivant fait apparatre les variations de la lunaison, comptesentre deux pleines lunes, pour lanne 2004 :

Pleine lune Mois lunaire Pleine lune Mois lunaireDate heure TU j, h, min jours Date heure TU j, h, min jours

07/01 15 h 40 min 02/07 11 h 09 min

29 j 17 h 07 min 29,7132 29 j 06 h 56 min 29,2889

06/02 08 h 47 min 31/07 18 h 05 min

29 j 14 h 27 min 29,6021 29 j 08 h 17 min 29,3451

06/03 23 h 14 min 30/08 02 h 22 min

29 j 11 h 49 min 29,4924 29 j 10 h 47 min 29,4493

05/04 11 h 03 min 28/09 13 h 09 min

29 j 09 h 30 min 29,3958 29 j 13 h 58 min 29,5819

04/05 20 h 33 min 28/10 03 h 07 min

29 j 07 h 47 min 29,3243 29 j 17 h 00 min 29,7083

03/06 04 h 20 min 26/11 20 h 07 min

29 j 06 h 49 min 29,2840 29 j 18 h 59 min 29,791002/07 11 h 09 min 26/12 15 h 06 min

On dduit que sur lanne 2004 la valeur moyenne des 12 lunaisons comp-tes partir de la pleine lune est de 29,4980 j. Dans le tableau ci-dessous,les lunaisons sont cette fois calcules entre deux nouvelles lunes conscu-tives et la valeur moyenne est de 29,5621 j !

Nouvelle lune Mois lunaire Nouvelle lune Mois lunaireDate heure TU j, h, min jours Date heure TU j, h, min jours

21/01 21 h 05 min 17/07 11 h 24 min

29 j 12 h 13 min 29,5090 29 j 14 h 00 min 29,5833

20/02 09 h 18 min 16/08 01 h 24 min

29 j 13 h 23 min 29,5576 29 j 13 h 05 min 29,5451

20/03 22 h 41 min 14/09 14 h 29 min

29 j 14 h 40 min 29,6111 29 j 12 h 19 min 29,5132

19/04 13 h 21 min 14/10 02 h 48 min

29 j 15 h 31 min 29,6465 29 j 11 h 39 min 29,4854

19/05 04 h 52 min 12/11 14 h 27 min29 j 15 h 35 min 29,6493 29 j 11 h 02 min 29,4597

17/06 20 h 27 min 12/12 01 h 29 min

29 j 14 h 57 min 29,6229

17/07 11 h 24 min


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1. Mcanique cleste

41

ex

ercices

La moyenne globale ressort cependant 29,5301 j.Depuis 1923, les mois lunaires, que lon fait commencer la nouvelle lune,sont numrots.

2 Autres moisIls correspondent des priodes de rvolutions moyennes.Le mois synodique, le plus long, a t dfini en choisissant la phase commerfrence. Par rapport dautres rfrences, on obtient : Le mois anomalistique, compt entre deux passages conscutifs de laLune au prige, et dont la dure est de 27,554 550 j, soit 27 j 13 h 18 min33,1 s. Le mois draconitique, compt entre deux passages conscutifs de la

Lune au nud ascendant (voir chapitre 11), cest--dire lorsque le satellitenaturel traverse lcliptique vers le Nord. Le nud ascendant reculant de19,341 362/an, le mois draconitique est le plus court ; sa dure tant de27,212 221 j, soit 27 j 05 h 05 min 35,9 s. Le mois tropique, bas sur lquinoxe et non plus sur la position parrapport aux toiles. Le recul du point fait que la dure de ce mois estlgrement infrieure celle du mois sidral.La dure du mois tropique est de 27,321 582 j soit 27 j 07 h 43 min 04,7 s ;

celle du mois sidral est de 27,321 662 j soit 27 j 07 h 43 min 11,6 s.


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Les trajectoires des astres et satellites

artificiels sont de nature elliptique,circulaire ou hyperbolique. Ce chapitreest donc consacr ltude des carac-tristiques des coniques, qui nousseront utiles par la suite. Les relationsentre reprsentations polaires et cart-siennes sont prcises et nous avonsinsist sur lvolution des paramtresen fonction de lexcentricit.

Un premier exercice donne un certainnombre de dimensions caractrisantlellipse en fonction du demi-grandaxe et de lexcentricit, et on en dduitpar exemple que la diffrence entrele grand axe et le petit axe de notreplante est pratiquement gale sonprimtre !Un second exercice permet dobtenirune quation cartsienne commune

des coniques en fonction du para-mtre et de lexcentricit.

Chapitre2

Rappels sur les coniques


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44

Dfinition par foyer et directrice

Une conique est lensemble C des points M du plan tels que le rapport desdistances un point fixe, le foyer F, et une droite fixe, la directrice (D), estconstant. H tant la projection de M sur (D), on a :

MF

MHe= (e est lexcentricit).

1.1 quation cartsienne

(D) ax + by + c = 0

M(x,y)

F(x0,y0)

O x

y

H

Figure 2.1 Conique dfinie par foyer et directrice.

M C MF2 e2 MH2 = 0 (x x

0)2 + (y y

0)2 e2 ( )ax by c

a b

+ +

+

=2

2 2 0

quation de la forme :

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

(La distance du point M(x,y) la droite (D) tant gale ax by c

a b

+ ++2 2

).

1

1


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2. Rappels sur les coniques

45

1.2 quation polaire

tablissement de lquation

y

M H

(D)

DF

xki

Figure 2.2 Rayon et angle polaires de la conique.

Le foyer est pris pour origine et le vecteur unitairei est perpendiculaire

(D) ;

k est la distance foyer directrice :

MF = ||MH = | k cos|

M C|| = e | k cos| ;cela conduirait deux quations, mais une seule suffit.

On pose p = ek, cest le paramtre.

Lquation polaire est :

=+

p

e1 cos

Le type de conique obtenu dpend de lexcentricit, comme indiqu dans le

tableau suivant :

excentricit courbe remarque

e = 0 point ou cercle cercle la cond. ncessaire que e 0 et k 0 < e < 1 ellipsee = 1 parabole

e > 1 hyperbole M < < M ; cosM = 1/ee droite (D) p/ecos = k /cos

Le paragraphe 3 prcisera quelques aspects intressants relatifs aux problmes

de continuit lorsque e varie de 0 linfini.


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46

Ainsi, la figure 2.5 illustre lvolution des courbes, la distance foyer-directricetant maintenue constante.Valeurs particulires :

= /2 = ek = p

= 0

0 1=

+p

e, on est au pricentre de lellipse.

Cas de lellipse = = p

e1, on est lapocentre de lellipse.

Cas de lhyperbole M

Lexpression de lexcentricit de lellipse en fonction de 0 et est :

e = +

0

0

Cas de lellipse

La figure 2.3 fait apparatre en plus de F et (D), le foyer F et la directrice (D)symtriques par rapport au centre O caractris comme suit :Le foyer F est lorigine ;A et A' ont pour coordonnes A (0 , 0) et A'(, 0) ;

les coordonnes du milieu O de AA' sont O ( 0

2

, 0).

On dduit :

A A' = 0 + F F' = 0Ox est laxe focal ; Oy laxenon focal.

D)(D)

HHB

B

AA

M

FF

O x

y

D D

Figure 2.3 Points caractristiques et directrices de lellipse.


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47

Dtermination de a, c, b

Classiquement, on pose a = OA a = 0

22 1+ =

p

e

c = OF c =

=

0

22 1

ep

e

On dduit c/a = e 0

= a c ; = a + c

On introduit b tel que b = a c2 2 b = 0 21=

p

eOn dduit b/a = 1 2 e , cest le coefficient daplatissement.

La distance 2a reprsente le grand axe ; la distance 2b le petit axe.

La distance 2c est la distance focale.a apparat comme la moyenne arithmtique des rayons au pricentre et lapocentre.b apparat comme la moyenne gomtrique de ces mmes rayons.Le rapport moyenne gomtrique sur moyenne arithmtique vaut 1 2 e .Dans la littrature, la distance moyenne au centre est tout simplement le demi-grand axe de lellipse. On pourrait galement retenir comme rayon moyen

m

la racine carre du produit du demi-grand axe par le demi-petit axe :

m = (ab)1/2

Cela se justifierait par le fait que le cercle de rayon m

a la mme surface quecelle de lellipse.

Dtermination de p, k, d, e

Considrons le paramtre p et la distance foyer directrice k :

p = a(1e2) p = b2/a

k = p/e k = b2/c

Soit d la distance de O (D), d = OD = OF + FD = c + k, do

d = a2/c

Rappel e = c /a

Prcisions sur le vocabulaire

Nous avons utilis les noms pricentre et apocentre pour dsigner la positionrespectivement la plus proche et la plus loigne du foyer considr de lel-lipse. Si le foyer correspond la position dun astre quelconque, on parlera depriastre et dapoastre. Si lastre est la Terre on retient les termes prige etapoge ; et pour le Soleil, prihlie et aphlie.


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48

Cas de lhyperbole

On part de 0 1= =

+a c

p

e

et on pose

c

a e=

On vrifie alors que : kp

ea c

e

e

a c

c= = + = ( )

1 2 2

Introduisant b tel que : b2 = c2 a2

on obtient kb

c=

2

, pb

a=

2

Afin que les paramtres k et p soient positifs, il convient que a et c soientngatifs.On retient finalement les deux jeux de formules :

ap

e=

1 2 c

ep

e=

1 2 b

p

e=

2 1

pb

a=

2

kb

c=

2

da

c=

2

1.3 Passage de lquation polaire lquation cartsienneCas o e 1

Lorigine est prise en O milieu des deux foyers. Soit M(x,y) un point delellipse.

x = OF + cos = c +

b

ac

a

2

1

cos

cos

+(pour lhyperbole, p = b2/a)

y = sin =ba

c

a

2

1

sin

cos

+

x2/a2 = (c/a + c2/a2 cos + b2/a2 cos )2 / (1 + c/a cos )2= (c/a + cos )2 / (1 + c/a cos )2

y2/b2 = (b/a sin )2 / (1 + c/a cos )2

x2

/a2

+ y2

/b2

= (c2

/a2

+ cos2

+ 2 c/a cos + b2

/a2

sin2

) / (1 + c/a cos )2

= [c2/a2 + b2/a2 + (1 b2/a2) cos2 + 2 c/a cos ] / (1 + c/a cos )2

Pour e < 1, b2 = a2 c2, on a lquation de lellipse x2/a2 + y2/b2 = 1

Pour e > 1, b2 = c2 a2, on a lquation de lhyperbole x2/a2 y2/b2 = 1


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49

Cas o e = 1

Lorigine O est prise au milieu du segment FD.Lquation polaire de la parabole est

= k1 + cosOn dduit cos = k Le systme : | x = cos k/2

| y = sin scrit : | (x + k/2)2 + y2 = 2

| x = k/2 et compte tenu de lexpression de dans la deuxime galit, lquation cart-

sienne de la parabole est :y2 = 2 kx

o k reprsente la distance algbrique FD .

Dfinition bifocale

2.1 Cas de lellipsePar raison de symtrie,

MF

MH

MF

MHe= ='

'do MF + MF' = e(MH + MH') = eD'D = 2 ed = 2aOn retrouve la dfinition de lellipse comme lieu des points dont la somme desdistances deux points fixes, les foyers, est constante.On dduit que BF = BF' = a.

2.2 Cas de lhyperbole

Se rfrant la figure 2.4, on a les galits

MF' MF = e(MH' MH) = 2 |ed| = 2|a|

Les valeurs absolues se justifient par un soucis de continuit ; cest--dire

que F est toujours gauche de (D) et F' passe de moins linfini plus linfinilorsque e crot de 1 1+, et par consquent a et c deviennent ngatifs.

On avait dj pos b2

= c2

a2

ce qui entrane p = b2

/a > 0Ces considrations, en particulier sur le signe de a, auront un intrt dans lestudes des nergies sur trajectoire.Lhyperbole est maintenant dfinie comme le lieu des points dont la diffrencedes distances deux points fixes est constante.

2

2


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50

F A D O D A F

M H H

x

y

Figure 2.4 Points caractristiques et directrices de lhyperbole.

volution des courbes reprsentatives

La figure 2.5 ci-dessous reprsente lvolution de la courbe reprsentative

de lquation polaire pour diffrentes valeurs de lexcentricit e. La distancefoyer-directrice, k, est maintenue constante.

F

D

(D)

e = 0,2

e = 0,5

e = 1 e = 2 e

e 0

F

Figure 2.5 volution des coniques avec lexcentricit.

3

3


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51

La continuit pour e tendant vers 1 a t examine. Prcisons les limiteslorsque lexcentricit tend vers zro et linfini.

3.1 Cas e 0 La conique, ellipse, se rduit normalement au point F ;

cela se dduit de la dfinitionMF

MHe=

Toutefois, considrant lquation polaire, on voit quil existe en fait deuxpossibilits dpendant de la distance foyer directrice :

k = constante,Alors p 0 et 0 : on obtient le point F ; c et a sont nuls. k ,Alors p = ek Ctte = Rp ; et comme p on obtient un cercle de rayon Rp.On note que c = 0,

a = b = Rp,

d = .Ainsi lellipse devient un cercle dquation :

= Rp

ou x y Rp2 2 2+ =

3.2 Cas e

On dduit :

p

ecossoit cos

p

ek

La conique, branche dhyperbole, devient la droite dquation :

cos = k ou x = k

Cette droite est la directrice (D).

la figure 2.5, la distance foyer directrice tait une constante. On peutgalement tracer les courbes fonction du paramtre excentricit en consid-rant que la distance

0foyer-extremum est une donne,

0= R

p, comme dans

le cas de la mise en orbite dun satellite dune plante P.La reprsentation sera fournie la figure 7.1.Dans cette hypothse,

R ekep = +1 ; et k R eep= +1

Pour e 0 k la courbe tend vers le cercle ;e = 1 k = 2R

pla courbe est la parabole ;

e k Rp

la courbe tend vers une droite.


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52

exercic

es

exercicesE2-1 Gomtrie de lellipse en fonction du demi-grand axe

et de lexcentricit

1. Reporter sur une figure les diffrentes dimensions de lellipse en fonctiondu demi-grand axe a et de lexcentricit e :On fera ainsi apparatre les expressions de OB, OF, OD, FA', FA, FD.Positionner le paramtre p.

2. Calculer pour la plante Mercure : OD, OF, OP, OB, ainsi que FD, FA, FP, FB, FP', FA' ; les angles (FA, FB) et (FA, FP').Donnes : a = 0,387 098 ua ; e = 0,205 632.

3. Calculer pour la Terre la diffrence entre les rayons vecteurs laphlie etau prihlie ; lexprimer en km et commenter.Calculer galement le demi-petit axe, ainsi que la diffrence en km avec ledemi-grand axe.

Donnes : a = 1,000 001 ua ; e = 0,016 710.

solutions1.

B

A DFOA F

B

a ae a(1-e )/e

a(1+e) a(1-e)

a/e

a(1-e )1/2

a(1-e )

PP

Figure 2.6 Coordonnes caractristiques de lellipse en fonction du demi-grand axeet de lexcentricit.


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53

ex

ercices

2. Plante Mercure Calcul de OD, OF, OP, OB :

OD = d = a/e OD = 1,882 479 uaOF = c = ae OF = 0,079 600 uaOA = a (donne) OA = 0,387 098 uaOP = (c2 + p2)1/2 = a(e4 e2 + 1)1/2 OP = 0,379 179 uaOB = b = a(1e2)1/2 OB = 0,378 825 ua

Calcul de FD, FA, FP, FB, FP', FA' :FD = k = a(1e2)/e FD = 1,802 880 uaFA =

0= a(1e) FA = 0,307 498 ua

FP = p = a(1e2) FP = 0,370 730 ua

FB = b = a FB = 0,387 098 uaFP' = p = (4c2+p2)1/2 = a(1+e2) FP' = 0,403 466 ua

FA' = = a(1+e) FA' = 0,466 698 ua Calcul de (FA, FB) et (FA, FP') :

(FA, FB) = 90 + arctg(c/b) = 90 + arctge

e1 2 (FA, FB) = 101,866

(FA, FP') = 90 + arctg(2c/p) = 90 + arctge

e

2

12

(FA, FP') = 113,240

3. Plante TerreFA' FA = 0 = 2ae (cest la distance focale) FA' FA = 0,033 420 ua ;or, voir chapitre prcdent, 1 ua = 149,597 871 106 km, do

FA' FA = 4 999 566 km

La diffrence des rayons vecteurs laphlie et au prihlie, cest--dire ladistance focale, est de pratiquement cinq millions de kilomtres, soit 13 fois

la distance Terre-Lune, ou encore 125 primtres terrestres.OB = b = a(1 e2)1/2 OB = 0,999 861 uaOA OB = a b OA OB = 0,000 140 ua

OA OB = 20 885 km

Ainsi la diffrence entre le grand axe et le petit axe de notre plante est prati-quement gale son primtre.

RemarqueLes rayons au pricentre et lapocentre sont parfois nots respectivementq et Q :

q = FA = 0

= a(1e)Q = FA' = = a(1+e)


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56

exercic

es

do : X2/a2 2X/a Y2/b2 = 0soit : Y2 = 2 (b2/a)X + (b2/a2)X2Or (b2 /a) = p et b2/a2 = e2 1On obtient pour quation : Y2 = 2pX + (e2 1)X2

ConclusionMoyennant le choix correct des sommets , quelque soit e 0, on obtient lesdeux quations communes suivantes :

Y2 = 2pX + (e2 1)X2

Y2 = 2pX + (e2 1)X2

Remarque

Avant de clore ce chapitre, prcisons que les termes conique, ellipse, pa-rabole et hyperbole trouvent leur origine en particulier dans les travauxde deux mathmaticiens clbres de la Grce antique, savoir Menaech-mus (environ 380-320 avant J.-C.) et Appolonius de Perge (environ 262-190 avant J.-C.).Cest Menaechmus qui le premier dfinit les coniques comme intersectiondun cne et dun plan ; peut-tre mme aurait-il invent les mots paraboleet hyperbole pour dsigner les courbes obtenues respectivement lorsque le

plan est parallle une gnratrice du cne ou lorsquil coupe les deuxnappes de celui-ci.Environ un sicle plus tard, Appolonius de Perge crivit un importantouvrage en huit tomes quil intitula Coniques , toujours par rfrence lintersection dun cne avec un plan ; les termes ellipse, parabole, hyper-bole y taient introduits. Ce livre allait bien au-del de tout ce qui avait ttudi au paravant sur le sujet, y compris par le clbre Euclide (environ325-265 avant J.-C.).


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Chapitre3

Mouvements acclration centrale

Nous rappelons que la trajectoire dunpoint matriel, soumis une accl-ration dirige vers un centre attractif,est plane et satisfait la loi des airesnonce par Kepler, la premireconstante dynamique y reliant lairedcrite au temps coul. Pour uneacclration inversement proportion-nelle au carr de la distance, nous

dmontrerons que la trajectoire estalors une conique et prciserons lavitesse du mobile sur celle-ci.

Dans le premier exercice propos,cette vitesse et ses composantes sontexprimes en fonction de lexcentri-cit en certains points particuliers delellipse. Avec le second exercice, nouscalculons les vitesses des plantes auprihlie et laphlie et en dduisonsune vitesse moyenne qui nous permetde formuler la 3e loi de Kepler


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3. Mouvements acclration centrale

59

Pour un mouvement plan, les composantes de V

sont la vitesse radiale V et

la vitesse transversale V.

Acclration de P

= dVdt

, soit :

= + + +( ) ( ) 2 2I J zk

Les coordonnes du vecteur acclration sont par consquent :

= ( ) 2

= ( )2 +

z= z

Proprits du mouvement acclration centrale

2.1 Dfinition du mouvement acclration centrale

F

P

V

A

Figure 3.2 Trajectoire plan de P.

On peut le dfinir par la relation vectorielle :

FP = 0

SoitA le moment du vecteur vitesse

V par rapport F,

A FP V=

En drivant par rapport au temps, on obtient :

dA

dtV V FP

= + 0

Donc :A = constante

Compte tenu de la dfinition de

A , on en dduit que le mouvement seffectuedans un plan fixe passant par le centre des acclrations (figure 3.2).

Du reste, on vrifie que :

A FP FP V FP. ( ).= 0 , ce qui entrane bien FP A

.

2

2


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60

2.2 Loi des aires

On se place dans le plan de la trajectoire, et on utilise les coordonnes polaires.

V

PF

A

P0

dS

d

Figure 3.3 Coordonnes polaires de P.

Le vecteur vitesse a pour e

guide de localisation des astres

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