résumé probabilité part 2-s2

8/17/2019 Résumé probabilité part 2-S2

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Résumé


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Résumé Probabilités Conditionnelle etVariable Aléatoire

Mohamed [email protected].

15 décembre 2013


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Table des matières

1 Rappel du cours : Probabilités conditionnelle et V.A 2

1 Probabilité Conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1 Formules Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 L’arbre des probabilités : . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Application : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Variable Aléatoire : 8

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1. Rappel du cours : Probabilités conditionnelle et

V.A

1 Probabilité Conditionnelle

1.1 Formules Importantes

Dans la probabilité conditionnelle, comme je l’ai répété pas mal de fois, on

a deux relations importantes et une astuce qui aident dans le calcul.La 1ére relation c’est la 1ére formule de Bayes :

P (A = B) = P (A \B)

P (B)

P (Evenement cherché n Evenement déja réalisé) = P (Evnmt chérché et Evenmt R

P (Evnm réalisé)

On peut conclure cette relation

P (A = B) P (B) = P (A \ B)

Donc comme vous remarqué, pour calculé P (A=B) il nous faut la valeur deP (B) et P (A \B):

Cherchons P (B) :

Pour cela nous avons besoin de comprendre la notion du systéme complet,c’est tout simplement quand je dévise à des ensembles incompatibles deuxà deux.

Exemple 1 Une salle qui contient des hommes et des femmes ;

Une Fête qui contient des hommes et femmes et enfants.

Un usine qui contient 3 machines : Machine 1 ; Machine 2 ; Machine 3.

......

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dans ce cas là, pour étudier un événement il su¢t de l’etudier dans chaqueensemble,

Exemple 2 Les porteurs des lunettes dans la Salle ; Les malades dans la fête ; Les pieces défectueuses dans l’usine .....

Donc on peut voir cette evenement dans sous cette forme :

est partitionnée en sous ensembles Ai qui forment un systéme complet de, et on voit que l’evenement B est :

B = (B \ A1) [ (B \ A2) [ :::: [ (B \ An)

Alors on peut calculer P (B) :

P (B) = P (B \ A1) + P (B \ A2) + ::::: + P (B \ An)

= P (B=A1):P (A1) + P (B=A2):P (A2) + ::::: + P (B=An):P (An)

et c’est ça la 2éme formule importante,

Il nous reste juste l’astuce, tous simplent l’astuce sebase sur :

A \ B = B \ A , P (A \ B) = P (B \ A)

Donc, il su¢t que vous lisiez les données corréctement, et pour celà nousallons voir la notion de l’arbre.


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1.2 L’arbre des probabilités :

Soit A et B deux evenement de O, et dans chacun des deux evenements onva étudiér 3 événements (E 1; E 2 et E 3); et l’evenement E 3 donne trois autresévénements (M 1; M 2 et M 3):

Donc Voici notre arbre de probabilités :

Comme vous avez remarqué, chaque branche nous donne une information

(Une probabilité), cette branche indique la probabilité de la …n du branchesachant sa racine (Noeud)

Exemple 3 De A vers E 1 nous donne P (E 1=A); et de E 3 vers M 1 nous donne P (M 1=E 3):

Cette arbre nous permettre de trouver aussi les intersections entre les événe-ments.

Exemple 4 P (E 1 \A) = P (A) P (E 1=A) = P (A \E 1)

P (E 3 \B) = P (B) P (E 3=B) = P (B \ E 3)

P (M 1 \E 3 \ A) = P (M 1=E 3) P (E 3=A) P (A):


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1.4 Application :

On classe les gérants de portefeuille en deux catégories : ceux qui sont bieninformés et ceux qui ne le sont pas. Lorsqu’un gérant bien informé achète unevaleur boursière pour son client, la probabilité que le cours de celle-ci monteest de 0.8; dans le cas d’un gérant mal informé, cette probabilité ne vautque 0.5. Si on choisit au hasard un gérant dans un annuaire professionnel, laprobabilité qu’il soit bien informé est de 0.2.

Calculer la probabilité que le gérant ainsi choisi soit mal informé, sachant

que la valeur qu’il a acheté a monté.

Réponse : Avant de répondre, c’est mieux de bien lire et faire un schémapour l’exercice sous forme d’arbre.

I = Gerant bien informé.

M = La valeur boursiére a monté.


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D’aprés la formule de Bayes, on peut conclure que :

P (M \ I ) = P (I \ M ) = P (M =I ) P (I ) = 0:8 0:2

P (M \ I ) = P (I \ M ) = P (M = I ) P (I ) = 0:5 0:8

P (M \ I ) = P (I \ M ) = P (M = I ) P (I ) = 0:2 0:2

P (M \ I ) = P (I \ M ) = P (M = I ) P (I ) = 0:5 0:8

Remarque 1.1 Faire attention : P (M \ I ) = P (I \M ) car M \ I = I \M mais P (M = I ) 6= P (I = M )

On a aussi : P (M ) = P (M \ I ) + P (M \ I )

Donc sachant que la valeur a monté (M ) on cherche de calculer la probabilité


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qu’elle soit d’un gérant non bien informé (I ): C’est à dire, calculer P (I= M ):

P (I = M ) = P (I \ M )

P (M )

= P (M \ I )

P (M \ I ) + P (M \ I )

= 0:5 0:8

0:8 0:2 + 0:5 0:8

= 5

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2. Variable Aléatoire :

Comme son nom l’indique c’est le variable qu’on sait rien sur lui d’avancemais on sait toutes les valeurs qu’il peut prendre durant une éxpérience.

Pour un variable aléatoire, on doit connaitre 4 choses importantes :

1. L’espace du variable aléatoire X () = fLes xig :

Se sont les éléments possible que le variable aléatoire peut prendre, par

exemple :X : le chi¤re obtenue dans un lancement d’un dé bien équilibré

une fois ) X () = f1; 2; 3; 4; 5; 6g

X : le nombre de pile obtenu aprés 3 lancement d’une piéce

de monnaie ) X () = f0; 1; 2; 3g

2. La loi du variable P (X = xi) :

Loi de probabilité ça veut dire la loi qui à chaque valeur xi sa probabi-lité, elle est donnée sous forme d’un tableau et aussi elle peut être uneloi usuelle connue (On va les connaitre aprés).

Pour que P soit une loi il faut que :

XP (X = xi)

XP (X = xi) = 1

Exemple :

X : le chi¤re obtenue dans un lancement d’un dé bien équilibré

une fois :xi 1 2 3 4 5 6P (X = xi)

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

X : le nombre de pile obtenu aprés 3 lancement d’une piéce

de monnaie :

xi 0 1 2 3P (X = xi)

1

8

3

8

3

8

1

8

8


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3. L’espérence E (X ) et la variance V ar(X ) :

L’espérence :

E (X ) =X

xi P (X = xi)

E (a) = a ; E (aX ) = aE (X )

E (X 2) =X

xi2 P (X = xi)

La variance :

V ar(X ) = E (X 2) [E (X )]2

V ar(a) = 0 ; V ar(aX ) = a2V ar(X )

4. La fonction de masse f et la fonction de répartition F : Vous les trouvrerdans votre Polycope du cours et c’est à vous de me les expliquez.

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