relativité restreinte - introduction · biographied’einstein formation naissance...
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Relativité restreinteIntroduction
Option sciences
AL
11 novembre 2014
Biographie d’EinsteinFormation
Naissancele 14 mars 1879 à Ulm en Allemagne
Il s’intéresse tôt à la physiqueet apprend par lui-même la géométrie
Scolaritéau Luitpold Gymnasium de Munichd’où il est renvoyé à l’âge de 15 ans
Études à l’Écolepolytechnique fédérale de Zurich (ETH)
Il obtient de justesse son diplôme en 1900
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 2 / 51
Biographie d’EinsteinFormation
Naissancele 14 mars 1879 à Ulm en Allemagne
Il s’intéresse tôt à la physiqueet apprend par lui-même la géométrie
Scolaritéau Luitpold Gymnasium de Munichd’où il est renvoyé à l’âge de 15 ans
Études à l’Écolepolytechnique fédérale de Zurich (ETH)
Il obtient de justesse son diplôme en 1900
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 2 / 51
Biographie d’EinsteinFormation
Naissancele 14 mars 1879 à Ulm en Allemagne
Il s’intéresse tôt à la physiqueet apprend par lui-même la géométrie
Scolaritéau Luitpold Gymnasium de Munichd’où il est renvoyé à l’âge de 15 ans
Études à l’Écolepolytechnique fédérale de Zurich (ETH)
Il obtient de justesse son diplôme en 1900
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 2 / 51
Biographie d’EinsteinFormation
Naissancele 14 mars 1879 à Ulm en Allemagne
Il s’intéresse tôt à la physiqueet apprend par lui-même la géométrie
Scolaritéau Luitpold Gymnasium de Munichd’où il est renvoyé à l’âge de 15 ans
Études à l’Écolepolytechnique fédérale de Zurich (ETH)
Il obtient de justesse son diplôme en 1900
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 2 / 51
Biographie d’EinsteinFormation
Naissancele 14 mars 1879 à Ulm en Allemagne
Il s’intéresse tôt à la physiqueet apprend par lui-même la géométrie
Scolaritéau Luitpold Gymnasium de Munichd’où il est renvoyé à l’âge de 15 ans
Études à l’Écolepolytechnique fédérale de Zurich (ETH)
Il obtient de justesse son diplôme en 1900
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Biographie d’EinsteinCarrière
Fonctionnaire à l’officedes brevets de Berne de 1902 à 1909
L’année 1905 « Annusmirabilis » avec les publications sur
I la théorie des quantaI le mouvement brownienI la relativité restreinteI la relation masse-énergie E = m c2
Poste de professeur à l’université de Zurich en 1909
Élaboration de sa théorie de la relativité générale de 1907 à 1915
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 3 / 51
Biographie d’EinsteinCarrière
Fonctionnaire à l’officedes brevets de Berne de 1902 à 1909
L’année 1905 « Annusmirabilis » avec les publications sur
I la théorie des quanta
I le mouvement brownienI la relativité restreinteI la relation masse-énergie E = m c2
Poste de professeur à l’université de Zurich en 1909
Élaboration de sa théorie de la relativité générale de 1907 à 1915
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 3 / 51
Biographie d’EinsteinCarrière
Fonctionnaire à l’officedes brevets de Berne de 1902 à 1909
L’année 1905 « Annusmirabilis » avec les publications sur
I la théorie des quantaI le mouvement brownien
I la relativité restreinteI la relation masse-énergie E = m c2
Poste de professeur à l’université de Zurich en 1909
Élaboration de sa théorie de la relativité générale de 1907 à 1915
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Biographie d’EinsteinCarrière
Fonctionnaire à l’officedes brevets de Berne de 1902 à 1909
L’année 1905 « Annusmirabilis » avec les publications sur
I la théorie des quantaI le mouvement brownienI la relativité restreinte
I la relation masse-énergie E = m c2
Poste de professeur à l’université de Zurich en 1909
Élaboration de sa théorie de la relativité générale de 1907 à 1915
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Biographie d’EinsteinCarrière
Fonctionnaire à l’officedes brevets de Berne de 1902 à 1909
L’année 1905 « Annusmirabilis » avec les publications sur
I la théorie des quantaI le mouvement brownienI la relativité restreinteI la relation masse-énergie E = m c2
Poste de professeur à l’université de Zurich en 1909
Élaboration de sa théorie de la relativité générale de 1907 à 1915
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Biographie d’EinsteinCarrière
Fonctionnaire à l’officedes brevets de Berne de 1902 à 1909
L’année 1905 « Annusmirabilis » avec les publications sur
I la théorie des quantaI le mouvement brownienI la relativité restreinteI la relation masse-énergie E = m c2
Poste de professeur à l’université de Zurich en 1909
Élaboration de sa théorie de la relativité générale de 1907 à 1915
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Biographie d’EinsteinCarrière
Fonctionnaire à l’officedes brevets de Berne de 1902 à 1909
L’année 1905 « Annusmirabilis » avec les publications sur
I la théorie des quantaI le mouvement brownienI la relativité restreinteI la relation masse-énergie E = m c2
Poste de professeur à l’université de Zurich en 1909
Élaboration de sa théorie de la relativité générale de 1907 à 1915
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Biographie d’EinsteinReconnaissance
Vérification de la déviation derayons lumineux lors d’une éclipse en 1919
Prix Nobel en 1921pour ces travaux sur l’effet photoélectrique
En 1933 il accepte un poste à l’Institutefor Advanced Study de Princeton
Lettre au président Roosevelt en 1939
Einstein meurt le 18 avril 1955
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 4 / 51
Biographie d’EinsteinReconnaissance
Vérification de la déviation derayons lumineux lors d’une éclipse en 1919
Prix Nobel en 1921pour ces travaux sur l’effet photoélectrique
En 1933 il accepte un poste à l’Institutefor Advanced Study de Princeton
Lettre au président Roosevelt en 1939
Einstein meurt le 18 avril 1955
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Biographie d’EinsteinReconnaissance
Vérification de la déviation derayons lumineux lors d’une éclipse en 1919
Prix Nobel en 1921pour ces travaux sur l’effet photoélectrique
En 1933 il accepte un poste à l’Institutefor Advanced Study de Princeton
Lettre au président Roosevelt en 1939
Einstein meurt le 18 avril 1955
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Biographie d’EinsteinReconnaissance
Vérification de la déviation derayons lumineux lors d’une éclipse en 1919
Prix Nobel en 1921pour ces travaux sur l’effet photoélectrique
En 1933 il accepte un poste à l’Institutefor Advanced Study de Princeton
Lettre au président Roosevelt en 1939
Einstein meurt le 18 avril 1955
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Biographie d’EinsteinReconnaissance
Vérification de la déviation derayons lumineux lors d’une éclipse en 1919
Prix Nobel en 1921pour ces travaux sur l’effet photoélectrique
En 1933 il accepte un poste à l’Institutefor Advanced Study de Princeton
Lettre au président Roosevelt en 1939
Einstein meurt le 18 avril 1955
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Principe de relativitéFormulation
Référentiel d’inertieDans un référentiel d’inertie un corps isolé (force résultante nulle) estimmobile ou effectue un mouvement rectiligne et uniforme.
Principe de relativité au sens restreintLes phénomènes de la nature se déroulent conformément aux mêmes loisgénérales dans tous les référentiels d’inertie.
ExempleLa 2e loi de Newton dans deux référentiels d’inertie R et R′ :∑
~Fext = m ~aG ⇐⇒∑
~F ′ext = m′ ~a′G
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Principe de relativitéFormulation
Référentiel d’inertieDans un référentiel d’inertie un corps isolé (force résultante nulle) estimmobile ou effectue un mouvement rectiligne et uniforme.
Principe de relativité au sens restreintLes phénomènes de la nature se déroulent conformément aux mêmes loisgénérales dans tous les référentiels d’inertie.
ExempleLa 2e loi de Newton dans deux référentiels d’inertie R et R′ :∑
~Fext = m ~aG ⇐⇒∑
~F ′ext = m′ ~a′G
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Principe de relativitéFormulation
Référentiel d’inertieDans un référentiel d’inertie un corps isolé (force résultante nulle) estimmobile ou effectue un mouvement rectiligne et uniforme.
Principe de relativité au sens restreintLes phénomènes de la nature se déroulent conformément aux mêmes loisgénérales dans tous les référentiels d’inertie.
ExempleLa 2e loi de Newton dans deux référentiels d’inertie R et R′ :∑
~Fext = m ~aG ⇐⇒∑
~F ′ext = m′ ~a′G
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Principe de relativitéFormulation
Conséquences :
pour deux expériences réalisées dans les mêmes conditions mais dansdes référentiels d’inertie différents, les mesures vont donner les mêmesrésultats
un voyageur dans un wagon « d’inertie » ne peut pas distinguer lerepos du mouvement rectiligne et uniforme
il n’existe pas de vitesse absolue, dire par exemple que la vitesse duvoyageur est 2m/s n’a pas de sens en physique
pour les curieux : l’accélération absolue a-t-elle un sens ?
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 6 / 51
Principe de relativitéFormulation
Conséquences :
pour deux expériences réalisées dans les mêmes conditions mais dansdes référentiels d’inertie différents, les mesures vont donner les mêmesrésultats
un voyageur dans un wagon « d’inertie » ne peut pas distinguer lerepos du mouvement rectiligne et uniforme
il n’existe pas de vitesse absolue, dire par exemple que la vitesse duvoyageur est 2m/s n’a pas de sens en physique
pour les curieux : l’accélération absolue a-t-elle un sens ?
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Principe de relativitéFormulation
Conséquences :
pour deux expériences réalisées dans les mêmes conditions mais dansdes référentiels d’inertie différents, les mesures vont donner les mêmesrésultats
un voyageur dans un wagon « d’inertie » ne peut pas distinguer lerepos du mouvement rectiligne et uniforme
il n’existe pas de vitesse absolue, dire par exemple que la vitesse duvoyageur est 2m/s n’a pas de sens en physique
pour les curieux : l’accélération absolue a-t-elle un sens ?
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Principe de relativitéFormulation
Conséquences :
pour deux expériences réalisées dans les mêmes conditions mais dansdes référentiels d’inertie différents, les mesures vont donner les mêmesrésultats
un voyageur dans un wagon « d’inertie » ne peut pas distinguer lerepos du mouvement rectiligne et uniforme
il n’existe pas de vitesse absolue, dire par exemple que la vitesse duvoyageur est 2m/s n’a pas de sens en physique
pour les curieux : l’accélération absolue a-t-elle un sens ?
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Principe de relativitéAddition des vitesses
ExempleUne boule se déplace à la vitesse u′ dans un vaisseau animé d’unmouvement rectiligne à la vitesse constante v par rapport à la Terre.Quelle est la vitesse de la boule par rapport à la Terre ?
Terre
vuÕ
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 7 / 51
Principe de relativitéAddition des vitesses
La vitesse de la boule par rapport à la Terre est u = v + u′.
Remarques :
Ce résultat est une conséquence des transformations de coordonnéeslors du passage d’un référentiel vers l’autre.
En général une vitesse est représentée par un vecteur.
ThéorèmeSoit un référentiel R′ se déplaçant à la vitesse constante ~v par rapport àun référentiel R. Les vitesses d’un corps relativement à ces référentielsvérifient :
~u = ~v + ~u′
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 8 / 51
Principe de relativitéAddition des vitesses
La vitesse de la boule par rapport à la Terre est u = v + u′.
Remarques :
Ce résultat est une conséquence des transformations de coordonnéeslors du passage d’un référentiel vers l’autre.
En général une vitesse est représentée par un vecteur.
ThéorèmeSoit un référentiel R′ se déplaçant à la vitesse constante ~v par rapport àun référentiel R. Les vitesses d’un corps relativement à ces référentielsvérifient :
~u = ~v + ~u′
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Principe de relativitéAddition des vitesses
La vitesse de la boule par rapport à la Terre est u = v + u′.
Remarques :
Ce résultat est une conséquence des transformations de coordonnéeslors du passage d’un référentiel vers l’autre.
En général une vitesse est représentée par un vecteur.
ThéorèmeSoit un référentiel R′ se déplaçant à la vitesse constante ~v par rapport àun référentiel R. Les vitesses d’un corps relativement à ces référentielsvérifient :
~u = ~v + ~u′
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Principe de relativitéAddition des vitesses
La vitesse de la boule par rapport à la Terre est u = v + u′.
Remarques :
Ce résultat est une conséquence des transformations de coordonnéeslors du passage d’un référentiel vers l’autre.
En général une vitesse est représentée par un vecteur.
ThéorèmeSoit un référentiel R′ se déplaçant à la vitesse constante ~v par rapport àun référentiel R. Les vitesses d’un corps relativement à ces référentielsvérifient :
~u = ~v + ~u′
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Principe de relativitéÉlectromagnétisme
Contrairement aux lois de Newton, il semble que les lois qui régissent lesphénomènes électriques et magnétiques sont incompatibles avec le principede relativité :
induction électromagnétique
théorie de Maxwell
aberration de la lumière
expérience de Michelson-Moreley
vitesse de la lumière
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 9 / 51
Principe de relativitéÉlectromagnétisme
ExempleConsidérons une spire se déplaçant relativement à un aimant.Nous allons analyser la force qui va mettre en mouvement les électronsdans une partie du conducteur.
v
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 10 / 51
Principe de relativitéÉlectromagnétisme
Observateur au repos par rapport à l’aimant :
Il existe un champ magnétique qui est responsable de la force de Lorentz ~f .C’est cette force magnétique qui va mettre en mouvement l’électron.
v
B
e≠f
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Principe de relativitéÉlectromagnétisme
Observateur au repos par rapport au conducteur :
La force de Lorentz est nulle. Il doit donc exister un champ électrique quiest responsable de la force ~F . C’est cette force électrique qui va mettre enmouvement l’électron.
F≠v
e≠
BÕ
E Õ
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Principe de relativitéÉlectromagnétisme
ConclusionPour les deux observateurs le phénomène est le même, maisl’interprétation fait intervenir des lois physiques différentes.
Remarques :
Ce problème fut résolu par J. C. Maxwell qui a réussi à réunir lesphénomènes magnétiques et électriques en une seule théorie.
Les champs électrique et magnétique ne sont pas indépendants etdiffèrent d’un référentiel à l’autre.
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Principe de relativitéÉlectromagnétisme
Les équations de Maxwell de l’électromagnétisme changent de formelorsqu’on passe d’un référentiel d’inertie à un autre en appliquant lestransformations classiques des coordonnées. On supposait doncqu’elles n’étaient valables que par rapport à un seul référentiel, appelééther.
L’éther fut déjà introduit bien plus tôt comme milieu de propagationdes ondes lumineuses. Par rapport à l’éther, les ondesélectromagnétiques se propagent à la vitesse c.
H. A. Lorentz a adapté les transformations des coordonnées de sorteque les équations de Maxwell gardent la même forme. Cependant, leslois de Newton ne sont pas invariants sous les transformations deLorentz !
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 11 / 51
Principe de relativitéÉlectromagnétisme
Les équations de Maxwell de l’électromagnétisme changent de formelorsqu’on passe d’un référentiel d’inertie à un autre en appliquant lestransformations classiques des coordonnées. On supposait doncqu’elles n’étaient valables que par rapport à un seul référentiel, appelééther.
L’éther fut déjà introduit bien plus tôt comme milieu de propagationdes ondes lumineuses. Par rapport à l’éther, les ondesélectromagnétiques se propagent à la vitesse c.
H. A. Lorentz a adapté les transformations des coordonnées de sorteque les équations de Maxwell gardent la même forme. Cependant, leslois de Newton ne sont pas invariants sous les transformations deLorentz !
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Principe de relativitéÉlectromagnétisme
Les équations de Maxwell de l’électromagnétisme changent de formelorsqu’on passe d’un référentiel d’inertie à un autre en appliquant lestransformations classiques des coordonnées. On supposait doncqu’elles n’étaient valables que par rapport à un seul référentiel, appelééther.
L’éther fut déjà introduit bien plus tôt comme milieu de propagationdes ondes lumineuses. Par rapport à l’éther, les ondesélectromagnétiques se propagent à la vitesse c.
H. A. Lorentz a adapté les transformations des coordonnées de sorteque les équations de Maxwell gardent la même forme. Cependant, leslois de Newton ne sont pas invariants sous les transformations deLorentz !
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Principe de relativitéAberration de la lumière
Pour l’homme courant sous la pluie, elle tombe sous un certain angle parrapport à la verticale.
Terre
vpluie/Terre
vhomme/Terre
vpluie/homme
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 12 / 51
Principe de relativitéAberration de la lumière
L’aberration de la lumière fut découverte par James Bradley en1725.
vlumière/éther vlumière/Terre
vTerre/éther
L’interprétation se base sur le mouvement de la lumière et de la Terre parrapport à l’éther.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 13 / 51
Principe de relativitéExpérience de Michelson-Morley
ExpérienceMichelson et Morley tentèrent de mesurer la vitesse de la Terre par rapportà l’éther à l’aide d’un interféromètre extrêmement précis.
L’idée fut de comparer la vitesse de la lumière suivant la direction dumouvement terrestre autour du Soleil et suivant la directionperpendiculaire à celle-ci.
Ils pensaient que, pour des longueurs de parcours égales, la lumière mettaitplus de temps pour l’aller-retour parallèle que pour l’aller-retourperpendiculaire.
Le résultat de l’expérience fut négatif, la différence de temps espérée nefut pas observée.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 14 / 51
Principe de relativitéExpérience de Michelson-Morley
vTerre/étherObservateur
Source
Miroirs
O
A
B
Lame semi-transparente
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Principe de relativitéExpérience de Michelson-Morley
ExpérienceMichelson et Morley tentèrent de mesurer la vitesse de la Terre par rapportà l’éther à l’aide d’un interféromètre extrêmement précis.
L’idée fut de comparer la vitesse de la lumière suivant la direction dumouvement terrestre autour du Soleil et suivant la directionperpendiculaire à celle-ci.
Ils pensaient que, pour des longueurs de parcours égales, la lumière mettaitplus de temps pour l’aller-retour parallèle que pour l’aller-retourperpendiculaire.
Le résultat de l’expérience fut négatif, la différence de temps espérée nefut pas observée.
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Principe de relativitéExpérience de Michelson-Morley
Tentatives d’interprétation du résultat négatif de l’expérience :
La Terre est liée à l’éther. Proposition inacceptableI car le mouvement de la Terre par rapport à l’éther était à la base de
l’explication de l’aberration de la lumièreI à cause de la position unique qu’occuperait la Terre dans l’univers
Les corps se contractent parallèlement à la direction de déplacement àtravers l’éther. (Lorentz et Fitzgerald, 1892)
L’éther n’existe pas. La vitesse de la lumière est la même pour tousles observateurs de référentiels d’inertie. (Einstein, 1905)
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 15 / 51
Principe de relativitéExpérience de Michelson-Morley
Tentatives d’interprétation du résultat négatif de l’expérience :
La Terre est liée à l’éther
. Proposition inacceptableI car le mouvement de la Terre par rapport à l’éther était à la base de
l’explication de l’aberration de la lumièreI à cause de la position unique qu’occuperait la Terre dans l’univers
Les corps se contractent parallèlement à la direction de déplacement àtravers l’éther. (Lorentz et Fitzgerald, 1892)
L’éther n’existe pas. La vitesse de la lumière est la même pour tousles observateurs de référentiels d’inertie. (Einstein, 1905)
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Principe de relativitéExpérience de Michelson-Morley
Tentatives d’interprétation du résultat négatif de l’expérience :
La Terre est liée à l’éther. Proposition inacceptableI car le mouvement de la Terre par rapport à l’éther était à la base de
l’explication de l’aberration de la lumière
I à cause de la position unique qu’occuperait la Terre dans l’univers
Les corps se contractent parallèlement à la direction de déplacement àtravers l’éther. (Lorentz et Fitzgerald, 1892)
L’éther n’existe pas. La vitesse de la lumière est la même pour tousles observateurs de référentiels d’inertie. (Einstein, 1905)
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Principe de relativitéExpérience de Michelson-Morley
Tentatives d’interprétation du résultat négatif de l’expérience :
La Terre est liée à l’éther. Proposition inacceptableI car le mouvement de la Terre par rapport à l’éther était à la base de
l’explication de l’aberration de la lumièreI à cause de la position unique qu’occuperait la Terre dans l’univers
Les corps se contractent parallèlement à la direction de déplacement àtravers l’éther. (Lorentz et Fitzgerald, 1892)
L’éther n’existe pas. La vitesse de la lumière est la même pour tousles observateurs de référentiels d’inertie. (Einstein, 1905)
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Principe de relativitéExpérience de Michelson-Morley
Tentatives d’interprétation du résultat négatif de l’expérience :
La Terre est liée à l’éther. Proposition inacceptableI car le mouvement de la Terre par rapport à l’éther était à la base de
l’explication de l’aberration de la lumièreI à cause de la position unique qu’occuperait la Terre dans l’univers
Les corps se contractent parallèlement à la direction de déplacement àtravers l’éther. (Lorentz et Fitzgerald, 1892)
L’éther n’existe pas. La vitesse de la lumière est la même pour tousles observateurs de référentiels d’inertie. (Einstein, 1905)
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Principe de relativitéExpérience de Michelson-Morley
Tentatives d’interprétation du résultat négatif de l’expérience :
La Terre est liée à l’éther. Proposition inacceptableI car le mouvement de la Terre par rapport à l’éther était à la base de
l’explication de l’aberration de la lumièreI à cause de la position unique qu’occuperait la Terre dans l’univers
Les corps se contractent parallèlement à la direction de déplacement àtravers l’éther. (Lorentz et Fitzgerald, 1892)
L’éther n’existe pas. La vitesse de la lumière est la même pour tousles observateurs de référentiels d’inertie. (Einstein, 1905)
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Théorie de la relativité restreintePrincipes
Principe de relativitéLes phénomènes de la nature se déroulent conformément aux mêmes loisgénérales dans tous les référentiels d’inertie.
Loi de la propagation de la lumièreDans tout référentiel d’inertie, la lumière se propage en ligne droite avec lavitesse invariable c.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 16 / 51
Théorie de la relativité restreintePrincipes
Principe de relativitéLes phénomènes de la nature se déroulent conformément aux mêmes loisgénérales dans tous les référentiels d’inertie.
Loi de la propagation de la lumièreDans tout référentiel d’inertie, la lumière se propage en ligne droite avec lavitesse invariable c.
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Théorie de la relativité restreinteSimultanéité
ExempleConsidérons un vaisseau spatial se déplaçant par rapport à la Terre. Dessignaux lumineux sont émis par des sources placées en A et en B.
Terre
vA BM
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 17 / 51
Théorie de la relativité restreinteSimultanéité
Référentiel du vaisseau :
Soit M le milieu du segment [AB]. L’émission des signaux est simultanées’ils atteignent M au même instant.
Terre
vA BM
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 17 / 51
Théorie de la relativité restreinteSimultanéité
Référentiel terrestre :
Les deux signaux atteignent M au même instant. Comme M fuit le signalémis en A et va à la rencontre du signal émis en B, l’émission en A a lieuplus tôt que celle en B.
Terre
vA BM
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 17 / 51
Théorie de la relativité restreinteSimultanéité
ConclusionSoient deux événements qui ont lieu simultanément en deux pointsdifférents dans un référentiel d’inertie. Ces événements ne sont passimultanés dans un autre référentiel d’inertie en mouvement par rapport aupremier.
Remarques :
Ce résultat est une conséquence directe de la loi de propagation de lalumière.
L’écoulement du temps n’est pas absolu mais relatif à un référentield’inertie.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 17 / 51
Théorie de la relativité restreinteSynchronisation des horloges
Référentiel du vaisseau :
La valeur du temps associée à un événement est l’indication d’une horlogeau voisinage immédiat de l’événement.
Aux voisinages de A et de B se trouvent deux horloges de mêmeconstruction et synchronisées.Comme les événements « émission en A » et « émission en B » sontsimultanés, leurs valeurs du temps sont identiques.
A BM
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 18 / 51
Théorie de la relativité restreinteSynchronisation des horloges
Référentiel du vaisseau :
La valeur du temps associée à un événement est l’indication d’une horlogeau voisinage immédiat de l’événement.Aux voisinages de A et de B se trouvent deux horloges de mêmeconstruction et synchronisées.
Comme les événements « émission en A » et « émission en B » sontsimultanés, leurs valeurs du temps sont identiques.
A BM
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Théorie de la relativité restreinteSynchronisation des horloges
Référentiel du vaisseau :
La valeur du temps associée à un événement est l’indication d’une horlogeau voisinage immédiat de l’événement.Aux voisinages de A et de B se trouvent deux horloges de mêmeconstruction et synchronisées.Comme les événements « émission en A » et « émission en B » sontsimultanés, leurs valeurs du temps sont identiques.
A BM
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Théorie de la relativité restreinteSynchronisation des horloges
Référentiel terrestre :
Des observateurs enregistrent les indications des horloges dans le vaisseauaux voisinages de A et de B et les comparent ensuite.À l’instant de l’émission du signal en A, l’émission en B n’a pas encore eulieu.
A BM
v
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 19 / 51
Théorie de la relativité restreinteSynchronisation des horloges
Référentiel terrestre :
Des observateurs enregistrent les indications des horloges dans le vaisseauaux voisinages de A et de B et les comparent ensuite.À l’instant de l’émission du signal en B, l’émission en A a déjà eu lieu.
A BM
v
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 19 / 51
Théorie de la relativité restreinteSynchronisation des horloges
Conclusions :
dans un référentiel d’inertie, la valeur du temps d’un événement estdéterminée par une horloge placée au voisinage de cet événement
toutes les horloges d’un référentiel peuvent être synchronisées
ces horloges ne sont pas synchronisées dans un autre référentiel enmouvement par rapport au premier
de deux horloges identiques, celle qui est plus en aval retarde surl’autre
le temps absolu n’a pas de sens en physique, toute valeur de tempsest relative à un référentiel
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 20 / 51
Théorie de la relativité restreinteSynchronisation des horloges
Conclusions :
dans un référentiel d’inertie, la valeur du temps d’un événement estdéterminée par une horloge placée au voisinage de cet événement
toutes les horloges d’un référentiel peuvent être synchronisées
ces horloges ne sont pas synchronisées dans un autre référentiel enmouvement par rapport au premier
de deux horloges identiques, celle qui est plus en aval retarde surl’autre
le temps absolu n’a pas de sens en physique, toute valeur de tempsest relative à un référentiel
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 20 / 51
Théorie de la relativité restreinteSynchronisation des horloges
Conclusions :
dans un référentiel d’inertie, la valeur du temps d’un événement estdéterminée par une horloge placée au voisinage de cet événement
toutes les horloges d’un référentiel peuvent être synchronisées
ces horloges ne sont pas synchronisées dans un autre référentiel enmouvement par rapport au premier
de deux horloges identiques, celle qui est plus en aval retarde surl’autre
le temps absolu n’a pas de sens en physique, toute valeur de tempsest relative à un référentiel
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 20 / 51
Théorie de la relativité restreinteSynchronisation des horloges
Conclusions :
dans un référentiel d’inertie, la valeur du temps d’un événement estdéterminée par une horloge placée au voisinage de cet événement
toutes les horloges d’un référentiel peuvent être synchronisées
ces horloges ne sont pas synchronisées dans un autre référentiel enmouvement par rapport au premier
de deux horloges identiques, celle qui est plus en aval retarde surl’autre
le temps absolu n’a pas de sens en physique, toute valeur de tempsest relative à un référentiel
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 20 / 51
Théorie de la relativité restreinteSynchronisation des horloges
Conclusions :
dans un référentiel d’inertie, la valeur du temps d’un événement estdéterminée par une horloge placée au voisinage de cet événement
toutes les horloges d’un référentiel peuvent être synchronisées
ces horloges ne sont pas synchronisées dans un autre référentiel enmouvement par rapport au premier
de deux horloges identiques, celle qui est plus en aval retarde surl’autre
le temps absolu n’a pas de sens en physique, toute valeur de tempsest relative à un référentiel
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 20 / 51
Théorie de la relativité restreinteDistance spatiale
Référentiel du vaisseau :
Mesurer la longueur du segment [AB] revient à déterminer le nombre defois qu’il faut porter l’unité de mesure pour passer de A à B.Comme la longueur est au repos, nous écrivons Lrepos = AB.
Terre
vA B
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 21 / 51
Théorie de la relativité restreinteDistance spatiale
Référentiel terrestre :
Il faut d’abord relever les positions A′ et B′ à un instant donné et mesurerensuite la distance entre ces deux points.Considérons l’instant situé au milieu entre les instants de l’émission dusignal en A et de l’émission du signal en B. Les sources en A et en B sontà cet instant respectivement en aval et en amont de leurs positionsd’émission.
A B
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 22 / 51
Théorie de la relativité restreinteDistance spatiale
Référentiel terrestre :
Il faut d’abord relever les positions A′ et B′ à un instant donné et mesurerensuite la distance entre ces deux points.Considérons l’instant situé au milieu entre les instants de l’émission dusignal en A et de l’émission du signal en B. Les sources en A et en B sontà cet instant respectivement en aval et en amont de leurs positionsd’émission.
AÕ BÕ
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 22 / 51
Théorie de la relativité restreinteDistance spatiale
Comme la longueur est en mouvement, nous écrivons Lmouvement = A′B′.La longueur en mouvement est inférieure à la longueur au repos :
Lmouvement < Lrepos
Contraction des longueursDans un référentiel d’inertie, une longueur parallèle à la direction de sonmouvement est plus courte que dans un référentiel d’inertie par rapportauquel elle est au repos.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 23 / 51
Théorie de la relativité restreinteDistance spatiale
Les longueurs perpendiculaires à la direction du déplacementsubissent-elles également une contraction ?
ExempleConsidérons deux tiges identiques se déplaçant avec la vitesse relative ~vperpendiculaire à leurs longueurs.Les extrémités des tiges sont équipées d’un système de marquage qui estactivé lors de la rencontre des tiges.
Hypothèse : il y a une contraction de la longueur de la tige en mouvementpar rapport à celle qui est au repos.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 24 / 51
Théorie de la relativité restreinteDistance spatiale
Référentiel dans lequel la tige T est au repos :
On observe des marques sur la tige T alors qu’il n’y en a pas sur la tigeT ′.
vT T Õ
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 25 / 51
Théorie de la relativité restreinteDistance spatiale
Référentiel dans lequel la tige T ′ est au repos :
On observe des marques sur la tige T ′ alors qu’il n’y en a pas sur la tigeT .
≠vT T Õ
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 25 / 51
Théorie de la relativité restreinteDistance spatiale
Les marques sont le résultat physique d’une expérience et devraient êtreles mêmes dans les deux référentiels. Cette contradiction n’est résolue quesi les deux tiges ont la même longueur.
ConclusionDans un référentiel d’inertie, une longueur perpendiculaire à la direction deson mouvement a la même mesure que dans un référentiel d’inertie parrapport auquel elle est au repos.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 25 / 51
Théorie de la relativité restreinteIntervalle de temps
Intervalle de temps propreLa durée entre deux événements se produisant au même lieu dans unréférentiel d’inertie est appelée intervalle de temps propre. Cet intervalleest mesuré par une seule horloge se trouvant au voisinage immédiat desévénements.
Intervalle de temps impropreLa durée entre deux événements se produisant en des lieux différents dansun référentiel d’inertie est appelée intervalle de temps impropre. Cetintervalle est mesuré par deux horloges se trouvant aux voisinagesimmédiats des deux événements.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 26 / 51
Théorie de la relativité restreinteIntervalle de temps
ExempleDans un vaisseau spatial en mouvement par rapport à la Terre unobservateur en A mesure la durée de son passage de M à N .Cet intervalle de temps est également mesuré dans le référentiel terrestre.
Terre
vA
M N
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 27 / 51
Théorie de la relativité restreinteIntervalle de temps
Référentiel du vaisseau :
La durée est un intervalle propre, la distance est une longueur enmouvement :
∆tpropre = Lmouvementv
Terre
vA
M N
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 27 / 51
Théorie de la relativité restreinteIntervalle de temps
Référentiel terrestre :
La durée est un intervalle impropre, la distance est une longueur aurepos :
∆timpropre = Lreposv
Terre
vA
M N
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 27 / 51
Théorie de la relativité restreinteIntervalle de temps
En tenant compte de la contraction des longueurs :
∆timpropre > ∆tpropre
Dilatation du tempsL’intervalle de temps impropre entre deux événements mesuré dans unréférentiel d’inertie dans lequel ces événement se produisent en des lieuxdifférents est plus grand que l’intervalle de temps propre mesuré dans unréférentiel où ces deux événement se produisent au même lieu.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 28 / 51
Théorie de la relativité restreinteIndications des horloges
Référentiel terrestre :
Les horloges en M et en N sont synchronisées. L’horloge en mouvementtourne plus lentement.
v
N
A
M
(a) passage de A par M
N
v
A
M
(b) passage de A par N
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 29 / 51
Théorie de la relativité restreinteIndications des horloges
Référentiel du vaisseau :
Les horloges en M et en N sont en mouvement par rapport au vaisseau.Elles ne sont pas synchronisées.
≠v
N
A
M
(a) passage de M par A
≠v
N
A
M
(b) passage de N par A
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 29 / 51
Théorie de la relativité restreinteIndications des horloges
Référentiel du vaisseau :
Les horloges en A et en B sont synchronisées. L’horloge en M tourne pluslentement.
B
≠v
N
A
M
(a) passage de M par A
B
≠v
N
A
M
(b) passage de M par B
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 29 / 51
Théorie de la relativité restreinteAddition des vitesses
Revenons au problème de l’addition des vitesses. La relation classique n’estpas applicable dans le cas de vitesses proches de la vitesse de lalumière.ExempleSoient v = 0,99 c et u′ = 0,02 c.
Terre
vuÕ
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 30 / 51
Théorie de la relativité restreinteAddition des vitesses
Référentiel terrestre :
La longueur du parcours est fortement contracté, l’intervalle de tempsimpropre est plus grand.Ce qu’il faut ajouter à v est beaucoup plus petit que u′ ! La vitesse vautu = 0,9904 c et reste inférieure à c.
Terre
vuÕ
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 30 / 51
Théorie de la relativité restreinteAddition des vitesses
ConclusionDans tout référentiel d’inertie, il est impossible pour un corps matérield’atteindre voire de dépasser la vitesse de la lumière.
Remarque :
Conformément à la loi de propagation de la lumière, la vitesse est u = cquand u′ = c.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 30 / 51
Théorie de la relativité restreinteLois de Newton
Les lois de Newton restent-elles valables dans le cadre de la théorie de larelativité restreinte ?
ExempleUn corps de masse 1 kg, accéléré à partir du repos sous l’effet d’une forcede 1N, va atteindre la vitesse de la lumière en 9,5 années et va ensuite ladépasser.
Ce résultat contredit une des conséquences importantes de la théorie de larelativité, à savoir qu’un corps matériel ne peut pas atteindre la vitesse dela lumière.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 31 / 51
Théorie de la relativité restreinteLois de Newton
Les lois de Newton restent-elles valables dans le cadre de la théorie de larelativité restreinte ?ExempleUn corps de masse 1 kg, accéléré à partir du repos sous l’effet d’une forcede 1N, va atteindre la vitesse de la lumière en 9,5 années et va ensuite ladépasser.
Ce résultat contredit une des conséquences importantes de la théorie de larelativité, à savoir qu’un corps matériel ne peut pas atteindre la vitesse dela lumière.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 31 / 51
Théorie de la relativité restreinteLois de Newton
Les lois de Newton restent-elles valables dans le cadre de la théorie de larelativité restreinte ?ExempleUn corps de masse 1 kg, accéléré à partir du repos sous l’effet d’une forcede 1N, va atteindre la vitesse de la lumière en 9,5 années et va ensuite ladépasser.
Ce résultat contredit une des conséquences importantes de la théorie de larelativité, à savoir qu’un corps matériel ne peut pas atteindre la vitesse dela lumière.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 31 / 51
Théorie de la relativité restreinteLois de Newton
Il s’agit de redéfinir des grandeurs comme la quantité de mouvement etl’énergie et de reformuler les lois de sorte que :
les grandeurs et les lois reprennent leurs expressions classiques dansles référentiels où les vitesses sont faibles
les lois fondamentales aient la même expression dans tout référentield’inertie
Dans l’exemple qui suit, nous allons découvrir les changements qu’il fautapporter à la deuxième loi de Newton.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 31 / 51
Théorie de la relativité restreinteMasse relativiste
ExempleUne boule se déplace avec la vitesse ~v0 par rapport à la Terre. Elle estensuite accélérée sous l’effet d’une force ~F .
Terre
F
v0
v0
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 32 / 51
Théorie de la relativité restreinteMasse relativiste
Référentiel du vaisseau :
La boule est initialement au repos. Sa masse multipliée par l’accélérationest égale à l’intensité de la force.
Terre
F
v0
v0
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 32 / 51
Théorie de la relativité restreinteMasse relativiste
Référentiel terrestre :
La variation de la vitesse est plus faible, l’intervalle de temps est plusgrand ce qui résulte en une accélération plus faible. Pour une même forcela masse doit donc être plus grande.
Terre
F
v0
v0
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 32 / 51
Théorie de la relativité restreinteMasse relativiste
ConclusionLa masse m d’un corps augmente avec sa vitesse. Elle vaut m0 lorsque lecorps est au repos et tend vers l’infini quand sa vitesse approche c.
m
m0
0v
c
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 33 / 51
Théorie de la relativité restreinteÉnergie d’une particule
Nous arrivons à la plus célèbre des formules de la physique.
Énergie d’une particuleL’énergie E d’une particule de masse relativiste m est donnée par laformule :
E = m c2
Lorsque la particule est au repos, son énergie vaut E0 = m0 c2. Lorsque savitesse est non nulle, il faut additionner à l’énergie au repos son énergiecinétique :
E = m0 c2 + Ec
Pour les faibles vitesses Ec retrouve son expression classique.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 34 / 51
Théorie de la relativité restreinteÉnergie d’une particule
Nous arrivons à la plus célèbre des formules de la physique.
Énergie d’une particuleL’énergie E d’une particule de masse relativiste m est donnée par laformule :
E = m c2
Lorsque la particule est au repos, son énergie vaut E0 = m0 c2. Lorsque savitesse est non nulle, il faut additionner à l’énergie au repos son énergiecinétique :
E = m0 c2 + Ec
Pour les faibles vitesses Ec retrouve son expression classique.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 34 / 51
Théorie de la relativité restreinteÉnergie d’une particule
Nous arrivons à la plus célèbre des formules de la physique.
Énergie d’une particuleL’énergie E d’une particule de masse relativiste m est donnée par laformule :
E = m c2
Lorsque la particule est au repos, son énergie vaut E0 = m0 c2. Lorsque savitesse est non nulle, il faut additionner à l’énergie au repos son énergiecinétique :
E = m0 c2 + Ec
Pour les faibles vitesses Ec retrouve son expression classique.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 34 / 51
Théorie de la relativité restreinteÉnergie d’une particule
Nous arrivons à la plus célèbre des formules de la physique.
Énergie d’une particuleL’énergie E d’une particule de masse relativiste m est donnée par laformule :
E = m c2
Lorsque la particule est au repos, son énergie vaut E0 = m0 c2. Lorsque savitesse est non nulle, il faut additionner à l’énergie au repos son énergiecinétique :
E = m0 c2 + Ec
Pour les faibles vitesses Ec retrouve son expression classique.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 34 / 51
Théorie de la relativité restreinteÉnergie d’une particule
Le résultat le plus important est l’existence d’une énergie au repos nonnulle :
on ne peut pas la fixer arbitrairement à zéro car elle garantit lacompatibilité des lois de conservation de l’énergie et de la quantité demouvement avec le principe de relativité
pour une particule non élémentaire, elle comporte les énergies aurepos et les énergies cinétiques de ses constituants ainsi que l’énergiede leurs interactions mutuelles
elle peut être transformée en une autre forme d’énergie et vice versa
en mécanique relativiste, la loi de conservation de la masse doit êtreremplacée par la loi de conservation de l’énergie
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 35 / 51
Théorie de la relativité restreinteÉnergie d’une particule
Voici quelques conséquences surprenantes des propriétés de l’énergie aurepos.
La masse d’un noyau ou d’une molécule est inférieure à la somme desmasses de leurs constituants : on parle du défaut de masse.
ExemplesMolécule de dihydrogène : 2,4 · 10−7 %Noyau d’hélium : 0,8%
La masse d’un corps diminue lorsque sa température diminue.ExempleUn espresso perd 3,3 · 10−10 % de sa masse lorsqu’il refroidit.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 36 / 51
Théorie de la relativité restreinteÉnergie d’une particule
Voici quelques conséquences surprenantes des propriétés de l’énergie aurepos.
La masse d’un noyau ou d’une molécule est inférieure à la somme desmasses de leurs constituants : on parle du défaut de masse.
ExemplesMolécule de dihydrogène : 2,4 · 10−7 %Noyau d’hélium : 0,8%
La masse d’un corps diminue lorsque sa température diminue.ExempleUn espresso perd 3,3 · 10−10 % de sa masse lorsqu’il refroidit.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 36 / 51
Théorie de la relativité restreinteÉnergie d’une particule
Voici quelques conséquences surprenantes des propriétés de l’énergie aurepos.
La masse d’un noyau ou d’une molécule est inférieure à la somme desmasses de leurs constituants : on parle du défaut de masse.
ExemplesMolécule de dihydrogène : 2,4 · 10−7 %Noyau d’hélium : 0,8%
La masse d’un corps diminue lorsque sa température diminue.ExempleUn espresso perd 3,3 · 10−10 % de sa masse lorsqu’il refroidit.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 36 / 51
Théorie de la relativité restreinteDiagramme de Minkowski
Dans un référentiel d’inertie R, une source de lumière en O envoie àl’instant t = 0 un signal dans la direction x.
On observe la propagation du signal également dans un autre référentield’inertie R′. L’émission du signal est en O′ à t ′ = 0.
x
y
z
O
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 37 / 51
Théorie de la relativité restreinteDiagramme de Minkowski
Dans un référentiel d’inertie R, une source de lumière en O envoie àl’instant t = 0 un signal dans la direction x.
On observe la propagation du signal également dans un autre référentield’inertie R′. L’émission du signal est en O′ à t ′ = 0.
v
x xÕ
y yÕ
zÕz
O OÕ
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 37 / 51
Théorie de la relativité restreinteDiagramme de Minkowski
La même loi de propagation s’applique dans les deux référentiels :
référentiel R :x = c t ⇒ x2 − (c t)2 = 0
référentiel R′ :x ′ = c t ′ ⇒ x ′2 − (c t ′)2 = 0
Dans le cas de la propagation du signal lumineux :
x2 − (ct)2 = x ′2 − (ct ′)2
Cette relation est vérifiée pour la transformation des coordonnées deLorentz.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 38 / 51
Théorie de la relativité restreinteDiagramme de Minkowski
La même loi de propagation s’applique dans les deux référentiels :
référentiel R :x = c t ⇒ x2 − (c t)2 = 0
référentiel R′ :x ′ = c t ′ ⇒ x ′2 − (c t ′)2 = 0
Dans le cas de la propagation du signal lumineux :
x2 − (ct)2 = x ′2 − (ct ′)2
Cette relation est vérifiée pour la transformation des coordonnées deLorentz.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 38 / 51
Théorie de la relativité restreinteDiagramme de Minkowski
La même loi de propagation s’applique dans les deux référentiels :
référentiel R :x = c t ⇒ x2 − (c t)2 = 0
référentiel R′ :x ′ = c t ′ ⇒ x ′2 − (c t ′)2 = 0
Dans le cas de la propagation du signal lumineux :
x2 − (ct)2 = x ′2 − (ct ′)2
Cette relation est vérifiée pour la transformation des coordonnées deLorentz.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 38 / 51
Théorie de la relativité restreinteDiagramme de Minkowski
La même loi de propagation s’applique dans les deux référentiels :
référentiel R :x = c t ⇒ x2 − (c t)2 = 0
référentiel R′ :x ′ = c t ′ ⇒ x ′2 − (c t ′)2 = 0
Dans le cas de la propagation du signal lumineux :
x2 − (ct)2 = x ′2 − (ct ′)2
Cette relation est vérifiée pour la transformation des coordonnées deLorentz.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 38 / 51
Théorie de la relativité restreinteDiagramme de Minkowski
La propagation du signal est représentée par une demi-droite dans undiagramme de Minkowski.
x
xÕ
c tÕc t
◊
◊
0
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 39 / 51
Théorie de la relativité restreinteDiagramme de Minkowski
La propagation du signal est représentée par une demi-droite dans undiagramme de Minkowski.
x
xÕ
c tÕc t
◊
◊
0
Déplacement des termes :
x2 + (ct ′)2 = x ′2 + (ct)2
Rotation d’angle θ du repèreorthonormé :
(x; c t ′) 7−→ (x ′; c t)
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 39 / 51
Théorie de la relativité restreinteDiagramme de Minkowski
La propagation du signal est représentée par une demi-droite dans undiagramme de Minkowski.
x
xÕ
c tÕc t
◊
◊
0
Déplacement des termes :
x2 + (ct ′)2 = x ′2 + (ct)2
Rotation d’angle θ du repèreorthonormé :
(x; c t ′) 7−→ (x ′; c t)
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 39 / 51
Théorie de la relativité restreinteDiagramme de Minkowski
Dans le diagramme de Minkowski, un événement correspond à un point decoordonnées (x; c t) dans R et (x ′; c t ′) dans R′.
x
xÕ
c tÕc t
◊
◊
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 40 / 51
Théorie de la relativité restreinteDiagramme de Minkowski
La position de l’origine O′ dans le référentiel R à l’instant t1 est x = v t1.On en déduit l’angle de rotation θ.
x
xÕ
c tÕ
◊
c t
v t1
c t1
Dans le triangle rectangle :
sin θ = v t1c t1
= vc
et :
cos θ =»
1− sin2 θ
=
1−Åv
c
ã2
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 41 / 51
Théorie de la relativité restreinteDiagramme de Minkowski
On mesure l’intervalle de temps propre T0 entre deux événements qui ontlieu en x ′ = 0. Dans R on mesure l’intervalle de temps impropre T .
x
xÕ
c tÕc t
◊
◊ T0T
Dans le triangle rectangle :
cos θ = T0T
et :
T = T0cos θ
= T0»1− ( v
c)2
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 42 / 51
Théorie de la relativité restreinteDiagramme de Minkowski
Une tige de longueur L0 est au repos dans R′. Dans R, on mesure ladistance L entre les extrémités de la tige à l’instant t = 0.
x
xÕ
c tÕc t
◊
◊L0
L
Dans le triangle rectangle :
cos θ = LL0
et :
L = L0 cos θ
= L0
1−Åv
c
ã2
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 43 / 51
Théorie de la relativité restreinteDiagramme de Minkowski
Une autre forme de diagramme est obtenue en utilisant l’unité imaginairei =√−1. La relation :
x2 − (ct)2 = x ′2 − (ct ′)2
peut s’écrire comme :
x2 + (ict)2 = x ′2 + (ict ′)2
Dans le diagramme de Minkowski, un événement correspond à un point decoordonnées (x; ic t) dans un repère orthonormé.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 44 / 51
Théorie de la relativité restreinteDiagramme de Minkowski
La transformation des coordonnées lors du changement de référentielcorrespond à une rotation du repère orthonormé.
x
xÕ
◊
◊
ic tÕ ic t
L’angle de rotation estdonné par :
tan θ = −ivc
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 45 / 51
Vérifications expérimentalesExpérience de Rossi et Hall
Expérience de désintégration de muons atmosphériques :
B. Rossi et D. B. Hall (1941)
D. H. Frisch et J. H. Smith (1963)
preuve expérimentale de la dilatation du temps et de la contractiondes longueurs
ExpérienceOn considère des muons créés en haute atmosphère et se déplaçantverticalement vers le bas avec une vitesse donnée proche de c.Les muons se désintègrent après une durée de vie moyenne très petite.On mesure le débit des muons en altitude et au sol.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 46 / 51
Vérifications expérimentalesExpérience de Rossi et Hall
Expérience de désintégration de muons atmosphériques :
B. Rossi et D. B. Hall (1941)
D. H. Frisch et J. H. Smith (1963)
preuve expérimentale de la dilatation du temps et de la contractiondes longueurs
ExpérienceOn considère des muons créés en haute atmosphère et se déplaçantverticalement vers le bas avec une vitesse donnée proche de c.Les muons se désintègrent après une durée de vie moyenne très petite.On mesure le débit des muons en altitude et au sol.
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 46 / 51
Vérifications expérimentalesExpérience de Rossi et Hall
Haute atmosphèreCréation des
muons
Désintégrationdes muons
Option sciences (AL) Relativité restreinte 11 novembre 2014 46 / 51
Vérifications expérimentalesExpérience de Rossi et Hall
On constate un nombre élevé de muons atteignant le sol alors que leurdurée de vie tellement petite ne devrait pas le leur permettre. Commentexpliquer ce résultat ?
Référentiel terrestre :
La durée de vie impropre est beaucoup plus élevée que la durée de viepropre du muon.
Référentiel du muon :
L’épaisseur de la couche atmosphérique à traverser est considérablementréduite par rapport à l’épaisseur au repos.
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Vérifications expérimentalesAccélération d’électrons
Expérience d’accélération d’électrons :
W. Bertozzi (1964)
vérification expérimentale de l’expression relativiste de l’énergiecinétique
preuve expérimentale d’une vitesse limite égale à c
ExpérienceDes électrons sont accélérés sous des tensions allant de 0,5MV à 15MV.Un électron acquiert ainsi une énergie cinétique correspondante entre0,5MeV à 15MeV.On mesure le temps de parcours sur une distance donnée pour en déduirela vitesse des électrons.
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Vérifications expérimentalesAccélération d’électrons
Expérience d’accélération d’électrons :
W. Bertozzi (1964)
vérification expérimentale de l’expression relativiste de l’énergiecinétique
preuve expérimentale d’une vitesse limite égale à c
ExpérienceDes électrons sont accélérés sous des tensions allant de 0,5MV à 15MV.Un électron acquiert ainsi une énergie cinétique correspondante entre0,5MeV à 15MeV.On mesure le temps de parcours sur une distance donnée pour en déduirela vitesse des électrons.
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Vérifications expérimentalesAccélération d’électrons
v/c
Ec en MeV
non relativiste
relativiste
expérience
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Vérifications expérimentalesFission et fusion nucléaires
La fission et la fusion sont des réactions nucléaires pour lesquelles la masseau repos des réactifs est supérieure à la masse au repos des produits.L’énergie cinétique libérée vaut ∆m0 c2.
FissionExemple de fission d’un noyau d’uranium par absorption d’un neutron :
10n + 235
92U→ 9438Sr + 140
54Xe + 2 10n + énergie
FusionFusion du deutérium et du tritium, deux isotopes lourds de l’hydrogène :
21H + 3
1H→ 42He + 1
0n + énergie
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Vérifications expérimentalesFission et fusion nucléaires
La fission et la fusion sont des réactions nucléaires pour lesquelles la masseau repos des réactifs est supérieure à la masse au repos des produits.L’énergie cinétique libérée vaut ∆m0 c2.
FissionExemple de fission d’un noyau d’uranium par absorption d’un neutron :
10n + 235
92U→ 9438Sr + 140
54Xe + 2 10n + énergie
FusionFusion du deutérium et du tritium, deux isotopes lourds de l’hydrogène :
21H + 3
1H→ 42He + 1
0n + énergie
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Vérifications expérimentalesFission et fusion nucléaires
La fission et la fusion sont des réactions nucléaires pour lesquelles la masseau repos des réactifs est supérieure à la masse au repos des produits.L’énergie cinétique libérée vaut ∆m0 c2.
FissionExemple de fission d’un noyau d’uranium par absorption d’un neutron :
10n + 235
92U→ 9438Sr + 140
54Xe + 2 10n + énergie
FusionFusion du deutérium et du tritium, deux isotopes lourds de l’hydrogène :
21H + 3
1H→ 42He + 1
0n + énergie
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Vérifications expérimentalesMatérialisation et annihilation
Annihilation (ou anéantissement)Lorsqu’une particule heurte son antiparticule respective, elles disparaissentet de nouvelles particules sont créées. C’est une preuve expérimentale de latransformation d’énergie au repos en une autre forme d’énergie.
ExempleAnnihilation d’un électron et d’un positron en deux photons :
e+ + e− → 2 γ
L’énergie initiale, qui inclut l’énergie au repos de l’électron et du positron,est emportée par les photons dont l’énergie au repos est nulle.
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Vérifications expérimentalesMatérialisation et annihilation
MatérialisationDes photons peuvent se transformer en une paire particule-antiparticule.L’énergie des photons du rayonnement gamma doit être supérieure àl’énergie au repos de la paire créée.
ExempleUn photon peut se matérialiser dans le champ intense d’un noyauatomique :
γ + champ électrique→ e+ + e−
On peut également observer dans le vide l’interaction de deux photonsdonnant une paire électron-positron.
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Vérifications expérimentalesMatérialisation et annihilation
Une chambre à bulles sert à visualiser les trajectoires de particuleschargées. Un champ magnétique intense permet de détecter le signe descharges de ces particules.
La figure montre l’annihilation d’un positron par interaction avec unélectron. Un des photons créés se matérialise en une paireélectron-positron.
L’orientation horaire ou anti-horaire du mouvement en spirale desparticules permet de déterminer le signe de leur charge électrique.
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Vérifications expérimentalesMatérialisation et annihilation
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Vérifications expérimentalesMatérialisation et annihilation
Une chambre à bulles sert à visualiser les trajectoires de particuleschargées. Un champ magnétique intense permet de détecter le signe descharges de ces particules.
La figure montre l’annihilation d’un positron par interaction avec unélectron. Un des photons créés se matérialise en une paireélectron-positron.
L’orientation horaire ou anti-horaire du mouvement en spirale desparticules permet de déterminer le signe de leur charge électrique.
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Vérifications expérimentalesMatérialisation et annihilation
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Vérifications expérimentalesMatérialisation et annihilation
“
e+
e+
e≠
annihilation
matérialisation
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