rapport tp 1 et 2

Analyse temporelle dun systme dynamique du 1er ordre et du 2me

ordre Rapport TP n 1 et n2 de la Rgulation

Industrielle

Ralis par :

ABOUDRAR Basma

ACHOR Zineb

EL BECHARI Reda

EL BOUAMI Sarah

EL KHAOURI Wiam

Encadr par :

Mr.Chikh

Ecole Nationale Suprieure dArts et Mtiers Casablanca

Analyse temporelle dun systme dynamique du 1er ordre et du 2me ordre

2

TP n 1 : Analyse temporelle dun systme

dynamique du 1er ordre


3

Introduction :

Ltude complte dun systme est compose de deux parties : son tude temporelle et son tude

frquentielle. En ce qui concerne ltude temporelle, nous nous intresserons ici identier les

rponses s(t)de systmes tudis des signaux dentre e(t) relativement simples, appels entres

canoniques, qui sont limpulsion de Dirac d(t), lchelon unitaire u(t) et la rampe unitaire v(t). La

rponse dun systme une impulsion de Dirac est appele rponse impulsionnelle ; la rponse dun

systme un chelon unitaire est appel rponse indicielle.

Dans ce TP on va se familiariser avec le logiciel Matlab en essayant de dessiner la rponse dun

systme du 1 er ordre pour trois entres diffrentes ; chelon, rampe, et acclration.

Objectif :

L'objectif de ce TP est de se familiariser avec tous les aspects des systmes du premier ordre. Cette

familiarisation introduit la fonction de transfert complexe, puis la fonction de transfert en

reprsentation de Laplace pour aboutir tous les diagrammes utiliss en automatisme, en ralisant

un fichier excutable sous Matlab.

Etude thorique :

Soit le circuit RC donn par le schma du montage suivante :

1. Appliquons la loi de Kirchhoff des tensions, lquation diffrentielle qui rgit le

fonctionnement de ce circuit est :


4

2. La fonction de transfert du systme :

En appliquant la transform de Laplace, on a

3. Dterminons :

Le gain statique:

K=1 daprs la fonction de transfert

La constante de temps :

T= RC = 3,15ms

4. Dterminons la rponse du systme lapplication dun chelon damplitude :

On a

Le graphe obtenu est de la forme :

K=E0 et T= R*C


5

)

5. Dterminons la rponse du systme lapplication dune rampe de pente a :

On a

Do

On peut simuler cette rponse par le graphe suivant :

et y(t)= s(t)

Calculons lerreur de trainage (erreur de vitesse)

On a

Calculons le temps de monte et le temps de rponse :


6

6. Traons la rponse du systme lorsque nous appliquons une impulsion e(t)= comme entre du systme.

On a

Avec K= et T=

Analyse sous Matlab :

La fonction de transfert calcule dans la partie thorique :

%%TP1 Analyse temporelle d'un systme dynamique 1er ordre

% Reponse impulsionnelle t=0:0.0001:0.1 ; % Discretisation du temps de 0 0.1 par un pas de 0.0001 R= 50; C= 63*10^-6; num=[ 1 ] ; % Numerateur de la fonction de transfert den=[R*C 1] ; % le denominateur de la FT sys=tf(num,den) ; % cration de la FT

y1=impulse(sys,t) ; % La reponse impulsionnelle y0=y1(1) plot(t,y1); % Le graphe de la reponse impulsionnelle title('Reponse impulsionnelle')


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Rponse impulsionnelle


% Reponse indicielle t=0:0.0001:0.1 ; % Discretisation du temps de 0 0.1 par un pas de 0.0001 R= 50; C= 63*10^-6; num=[ 1 ] ; % Numerateur de la fonction de transfert den=[R*C 1] ; % le dnominateur de la FT sys=tf(num,den) ; % cration de la FT

y1=step(sys,t) ; % La reponse impulsionnelle y0=y1(1) plot(t,y1); % Le graphe de la reponse indicielle title('Reponse indicielle')


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Rponse indicielle %%TP1 Analyse temporelle d'un systme dynamique 1er ordre

% Rponse indicielle t=0:0.0001:0.1 ; % Discretisation du temps de 0 0.1 par un pas de 0.0001 R= 50; C= 63*10^-6; num=[ 1 ] ; % Numrateur de la fonction de transfert den=[R*C 1] ; % le dnominateur de la FT sys=tf(num,den) ; % cration de la FT

y1=step(sys,t) ; % La reponse indicielle plot(t,y1); % Le graphe de la reponse indicielle title('Reponse indicielle')

hold on ym=max(y1 ) ; yt=0.63*ym ; max_idx=find(y1>=yt, 1 ); tau=t(max_idx) plot([tau tau],[0 yt],'m--') str=sprintf('tau=%3.4f s',tau); gtext (str)


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Rponse indicielle


% Reponse indicielle t=0:0.0001:0.1 ; % Discretisation du temps de 0 0.1 par un pas de 0.0001 R= 50; C= 63*10^-6; num=[ 1 ] ; % Numerateur de la fonction de transfert den=[R*C 1] ; % le denominateur de la FT sys=tf(num,den) ; % cration de la FT

y1=step(sys,t) ; % La reponse impulsionnelle plot(t,y1); % Le graphe de la reponse indicielle title('Reponse indicielle')

hold on % Calcul de la constante du temps ym=max(y1 ) ; yt=0.63*ym ; max_idx=find(y1>=yt, 1 ); tau=t(max_idx) plot([tau tau],[0 yt],'m--') str=sprintf('tau=%3.4f s',tau); gtext (str)


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% Calcul du temps de monte Tm=t(find(y2>=0.9*k,1))-t(find(y2>=0.1*k,1))

% Calcule de temps de rponse Tr=t(find(y2>=0.95*k,1)) plot([Tr Tr],[0 k],':') str1=sprintf('t. rep =%3.4f s',Tr); gtext (str1)

hold off

Rponse indicielle


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%Rponses indicielles du systme correspondantes aux diffrentes valeurs de %tau(0.0016-rouge-, 0.0032-bleu-, 0.0064-vert-)

t=0:0.0001:0.1 ; % Discretisation du temps de 0 0.1 par un pas de 0.0001

num=[ 1 ] ; % Numerateur de la fonction de transfert % les denominateurs de la FT den1=[0.0016 1] ; den2=[0.0032 1]; den3=[0.0064 1]; % cration des FT sys1=tf(num,den1) ; sys2=tf(num,den2); sys3=tf(num,den3);

y1=step(sys1,t) ; plot(t,y1,'r'); % Le graphe de la reponse indicielle

hold on

y2=step(sys2,t); plot(t,y2,'b')

y3=step(sys3,t); plot(t,y3,'g')

hold off legend('tau= 0.0016','tau= 0.0032','tau= 0.0064') title('Rponse indicielle "variation de tau"')


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Rponse indicielle variation de tau

%Rponses une rampe du systme correspondantes aux diffrentes valeurs de %tau(0.0016-rouge-, 0.0032-bleu-, 0.0064-vert-)

t=0:0.0001:0.1 ; % Discretisation du temps de 0 0.1 par un pas de 0.0001 a=2; num=[ 1 ] ; % Numerateur de la fonction de transfert % les denominateurs de la FT den1=[0.0016 1] ; den2=[0.0032 1]; den3=[0.0064 1]; % cration de la FT sys1=tf(num,den1) ; sys2=tf(num,den2); sys3=tf(num,den3);

u=a*t ;

y1=lsim(sys1,u,t) ; plot(t,y1,'r'); % Le graphe de la reponse


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hold on

y2=lsim(sys2,u,t) ; plot(t,y2,'b')

y3=lsim(sys3,u,t) ; plot(t,y3,'g')

hold off legend('tau= 0.0016','tau= 0.0032','tau= 0.0064') title('Rponse une rampe 2*t "variation de tau"')

Rponse une rampe 2*t variation de tau

%Erreur de trainage correspondantes aux diffrentes valeurs de %tau(0.0016-rouge-, 0.0032-bleu-, 0.0064-vert-)


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t=0:0.0001:0.1 ; % Discretisation du temps de 0 0.1 par un pas de 0.0001 a=2; num=[ 1 ] ; % Numerateur de la fonction de transfert % les denominateurs de la FT den1=[0.0016 1] ; den2=[0.0032 1]; den3=[0.0064 1]; % cration de la FT sys1=tf(num,den1) ; sys2=tf(num,den2); sys3=tf(num,den3);

u=a*t' ;

y1=lsim(sys1,u,t) ; plot(t,u-y1,'r'); % Le graphe de l'erreur de trainage er_red= max(u-y1) hold on

y2=lsim(sys2,u,t) ; plot(t,u-y2,'b') er_blue= max(u-y2)

y3=lsim(sys3,u,t) ; plot(t,u-y3,'g') er_green= max(u-y3)

hold off legend('tau= 0.0016','tau= 0.0032','tau= 0.0064') title('Erreur de trainage "variation de tau"')


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Erreur de trainage variation de tau

Conclusion:

A lissu de ce TP, on a pu analyser les rponses de ces systmes des entres diffrentes et dterminer les performances tout en utilisant le logiciel Matlab qui nous a facilit ltude quon fait habituellement par la main.


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TP n 2 : Analyse temporelle dun systme

dynamique du 2me ordre


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Objectif :

Lobjectif de ce TP est dexploiter les connaissances acquises, pendant le cours sur lanalyse

temporelle dun systme dynamique du 2eme ordre. Ltudiant, aprs une tude thorique des

systmes proposs, devra dabord raliser un fichier excutable sous Matlab afin danalyser les

rponses de ces systmes des entres diffrentes et de dterminer leurs performances. La

reprsentation dun modle sous Simulink va permettre ensuite de visualiser les rponses du

systme tudi.

Etude thorique :

Exemple 1 : Circuit RLC

Etant donn un circuit RLC suivant avec les caractristiques suivantes : R=20, L=3mH, et C=5F.

Figure1. Circuit RLC

1. La fonction de transfert :

Daprs la loi des mailles on trouve :

Avec :

Remplaons chaque terme par sa valeur, on trouve :

En utilisant la transforme de la place, et en tenant compte que : on trouve :


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Do la fonction de transfert du systme :

2. Dtermination des lments du systme :

On sait le modle de fonction de transfert dun circuit dordre 2 est le suivant :

On identifie la fonction de transfert avec le modle (1), on trouve :

3. Les rponses de lquation de transfert diffrentes entres :

Rponse un chelon unitaire :

On a donc le systme un comportement oscillatoire :

Cette rponse se compose de deux parties, la premire correspond au rgime

transitoire, la seconde au rgime permanent.

Rponse une rampe de pente a=2 :

Avec une entre de type Dirac :

Systme sous amorti :

7482t)


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Rponse une impulsion de 1 :

Exemple 2 : Systme mcanique oscillant

On considre le systme mcanique donn par (Fig.2). Lapplication dune force f (t) (entre du

systme) sur le systme provoque des oscillations de la masse m suivant la direction x(t) (la sortie

du systme). Le systme est constitu, en plus de la masse m, dun ressort de raideur k et dun

amortisseur de coefficient b.

Lquation diffrentielle correspondante ce systme est la suivante :

"+ + = (2)

1. La fonction de transfert du systme :

On appliquant la transforme de la place sur lquation (2) on obtient :

Ce qui donne :

2. Paramtres du systme :

A un chelon f(t)= 2 N.m ce qui donne aprs une transforme de la place :


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La rponse est :

On cherche les paramtres m, b, K :

On a daprs la Fig.3 :

On a

,

et aussi

Do :

Avec =0,6 et (pseudo-priode)

- On obtient :

.

Ce qui donne et donc

Analyse sous Matlab :

Exemple 1 :

%definition des parametres du problemes R=20; L=3*10^-3; C=5*10^-6;

num=1; den=[C*L R*C 1];

wn=1/sqrt(C*L); z=(R/2)*sqrt(C/L);

t=0:0.0001:0.01;

%fonction de transfert

fct=tf(num,den) %rponse une impulsion y1=impulse(fct,t); figure(1) plot(t,y1) title('rponse impulsion') %rponse un chelon y2=step(fct,t); figure(2)


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plot(t,y2) title('rponse chelon') hold on

%calcul de tau ym=max(y2); yt=0.63*ym; idx=find(y2>=yt, 1 ); tau=t(idx); plot([tau tau],[0 yt],'m--') str=sprintf('tau=\n%1.5fs',tau); gtext(str)

tr=3/(z*wn) %tm=atan((-sqrt(1-z^2)/z)*(180/pi))/(wn*sqrt(1-z^2)) tp=pi/(sqrt(1-z^2)*wn) D=exp(-z*pi/sqrt(1-z^2))*100 %valeur pour laquelle z=1 - amortissement critique R1=2*sqrt(L/C) hold off

%reponse a un echelon unitaire pour R= 0, 20, 60 R0=[0 20 60]; figure(3) hold on

den1=[C*L R0(1)*C 1]; den2=[C*L R0(2)*C 1]; den3=[C*L R0(3)*C 1];

sys1=tf(num,den1); y1=step(sys1,t); plot(t,y1,'r')

sys2=tf(num,den2); y2=step(sys2,t); plot(t,y2,'b')

sys3=tf(num,den3); y3=step(sys3,t); plot(t,y3,'y')

ksi=(R0/2).*sqrt(C/L);

legend(strcat('R=0 , ksi=', num2str(ksi(1))),... strcat('R=20 , ksi=', num2str(ksi(2))),... strcat('R=60 , ksi=', num2str(ksi(3)))); title('Reponse a echelon unitaire') hold off

%reponse a une rampe figure(4) R0=60; u=2*t'; den2=[C*L R0*C 1]; fonct=tf(num,den2); yr=lsim(fonct,u,t); plot(t,yr,t,u);


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title('Reponse une rampe')

figure(5) plot(t,u-yr); err=max(u-yr); hold on plot([0 0.01],[err err],'r--'); hold off


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Exemple 2 :

clear clc m=5.187; k=20; b=12.223;

wn=sqrt(k/m) z=b*wn/(2*k)

t=0:0.001:10;

num=1; den=[m b k]; fct=tf(num,den) %rponse une impulsion y1=impulse(fct,t); figure(1) plot(t,y1) title('rponse une impulsion')

%rponse un chelon y2=2.*step(fct,t);


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figure(2) plot(t,y2) title('rponse chelon') hold on

tau=1/(z*wn) tr=3*tau tm=2.2*tau tp=2*pi/(sqrt(1-z^2)*wn) D=100*(max(y2)-0.1)/0.1

z0=[1 0.4 0.7]; figure(3)

b0=2*z0.*k/wn;

den1=[m b0(1) k]; den2=[m b0(2) k]; den3=[m b0(3) k];

hold on fonct1=tf(num,den1); y01=2*step(fonct1,t); plot(t,y01,'r');

fonct2=tf(num,den2); y02=2*step(fonct2,t); plot(t,y02,'b');

fonct3=tf(num,den3); y03=2*step(fonct3,t); plot(t,y03,'y');

legend(strcat('ksi=', num2str(z0(1))),... strcat('ksi=', num2str(z0(2))),... strcat('ksi=', num2str(z0(3)))); title('reponse a echelon unitaire') hold off

figure(4)

u=2*t; yr=lsim(fct,u,t); plot(t,yr,t,u); legend('sortie', 'entree') title('reponse a rampe')


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Analyse sous SUMILINK :

On commence par crer un nouveau modle Sumilink sous le nom de tp2.mdl

On ajoute une fonction de transfert depuis la librairie de Sumilink :

SumilinkContinuousTransfer Fcn

On dfinit le numrateur et le dnominateur


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Pour dfinir les constantes k, m et b diagramMaskEdit MaskEdit MaskParameters

& Dialog ,ou par le raccourcis clavier (Ctrl+M)

Pour visualiser le rsultat on ajoute un oscilloscope SinksScope, et on entre du

systme on raccord une constante (chelon 2N) SourcesConstant.

Pour visualiser les rsultats run , et double clic sur loscilloscope

1- On fixe k=3, m=5 et on varie b de 2 6:


28

2- b=4 :

3- b=6 :


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Lorsquon augmente la valeur de b, le coefficient du facteur damortissement augmente, du

coup les oscillations diminue.

4- On fixe k=3, m=2,5 et b=3

Pour une entre rampe on remplace Constant par Ramp : SourceRamp:


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Conclusion :

En guise de conclusion, nous pouvons dire que la performance des systmes du second

ordre dpend fortement de leurs paramtres par exemple lorsque le b du systme

mcanique varie, lamortissement fait de mme. Il est remarquable que les rsultats

obtenus partir de ltude sur MATLAB et sur Simulink soient semblables. Enfin nous

avons pu constater que le Simulink est facilement plus utilisable que MATLAB pour

lanalyse des systmes automatiques.

rapport tp 1 et 2

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