rappels de thermo

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C Guili IUT GTE Longwy septembre 2012

Chapitre 1 : Rappels de thermodynamique

Sommaire

Nota : Pour faciliter les rvisions, jai indiqu en gras ou encadr les notions connatre par cur et en italique les remarques qui peuvent tre sautes lors dune premire lecture

I Gnralits

I-1 Dfinitions et notations Page 2

I-2 Principes en systme ferm Page 4 a) Premier principe b) Second principe Page5

I-3 Application des principes aux systmes ouverts Page 6

I-4 Fonctions dtat, diagrammes Page 8 a) Relations entre les fonctions dtat b) Diagrammes (gnralits)

II Gaz parfaits

II-1 Equation et fonctions dtat Page1 a) Dfinitions b) Mlanges de gaz parfaits c) Fonctions dtat du gaz parfait Page 11

II-2 Diagrammes du gaz parfait a) Clapeyron b) T,s Page 12 c) s,Ln(v) Page 13

II-3 Evolutions a) Principales volutions rversibles au cours de phases fermes

Isochores, isobares, Isothermes, adiabatiques Page 14 Polytropiques Page 16

b) Sous lments de machines flux continus Page 15 Echangeurs et chambres de combustion Compresseurs et turbines Page 16 Isothermes Page 17

III Vapeurs

III-1 Equations et fonctions dtat Page 18 a) Processus physique de changement de phase b) Projections des lignes caractristiques de la surface dtat Page 19 c) Equations dtat d) Fonctions dtat Page 20

III-2 Tables et diagrammes Page 22 a) Tables b) Diagrammes Page 23

2


I-GENERALITES

I-1 Dfinitions et notations

Un systme not E est constitu par le contenu matriel d'un volume de l'espace, intrieur une surface ferme choisie arbitrairement. Isoler un systme c'est choisir cette surface (notation: S). Le milieu extrieur est constitu par le reste de l'univers. On se limite en gnral au voisinage proche du systme pouvant influer sur lui (notation ) Un systme est dit ferm s'il n'change pas de matire avec l'extrieur travers S. Dans le cas contraire, il est dit ouvert.

Systme ferm

Systme ouvert

Les changes autres que massiques entre E et travers S sont les suivants:

-Travail (not We) : nergie fournie par des actions mcaniques entre E et Ces actions peuvent tre distance (champ gravitationnel) ou de contact (forces de pression ou contraintes).

-Chaleur (note Qe) : nergie fournie par des actions calorifiques entre E et . Elles sont distance (rayonnement) ou de contact (convection, conduction).

Ce que E reoit sera affect du signe + et ce quil donne sera affect du signe -

Ces actions font voluer le systme E d'un tat un autre tat.

Nous supposerons par la suite que le milieu extrieur agit suffisamment lentement pour que le systme E soit chaque instant un tat d'quilibre. Une telle transformation est dite quasi-statique.

Une transformation est dite rversible si la transformation inverse est possible en changeant seulement le signe des changes.

3


Les systmes que nous utilisons sont essentiellement constitus par des corps purs. L'tat de ces systmes est caractris par trois variables dpendantes appeles variables dtat : p, T, V.

La relation de dpendance de ces trois variables est appele quation dtat . On peut reprsenter cette relation de dpendance dans lespace tridimensionnel par une surface appele surface d'tat. Sur le schma ci-contre nous reprsentons la surface dtat dun corps pur.

Toute volution quasi-statique du systme peut tre reprsente par une ligne trace sur cette surface (chaque point de la surface dtat correspondant un tat dquilibre possible du systme) Les plus courantes de ces transformations sont les suivantes

-Isotherme T=cste - Isochore v =cste - Isobare p=cste

- Adiabatique qe = 0 - etc

N.B. sur les volutions: Les volutions des systmes rels ne sont jamais quasi-statiques au sens strict du terme. Il

s'en suit une htrognit inhrente aux systmes rels (gradients de composition, masse volumique, temprature, vitesse.,). Cette htrognit est source d'irrversibilits mais surtout chaque quantit de matire "voluant individuellement", le systme ne peut tre dfini par un nombre fini de variables d'tat.

Pour rsoudre le problme simplement, nous isolerons un modle quasi-statique du systme rel en remplaant le champ continu des variables d'tat par leur moyenne, et en supposant que les changes avec l'extrieur du systme rel et du systme quasi-statique sont identiques. Cela n'est pas rigoureusement vrai mais donne en gnral, dans le cadre de nos objectifs, des rsultats acceptables. Cette dmarche a deux objectifs:

-Connaissant exprimentalement les grandeurs moyennes du systme, faire le bilan des pertes pour juger de la qualit du systme rel et pour le modifier en consquence.

-Faire un calcul d'avant-projet d'une machine thermique. On se donnera, certaines grandeurs par estimation priori ou par dduction de mesures sur des systmes voisins existants, On peut alors reprsenter l'tat du systme rel par son quivalent quasi-statique donc simplement par un point sur les diagrammes et non plus par une infinit.

Toute fonction de 2 des 3 variables d'tat (systme indpendant) est appele fonction d'tat.

Par dfinition, on appellera grandeurs intensives du systme celles qui ne varient pas lorsque l'on multiplie la quantit de matire du systme sans changer son tat. Les grandeurs extensives varient alors proportionnellement cette quantit (n : nombre de moles ou m : masse du systme) :

T, p et toutes les grandeurs massiques ou molaires sont intensives. V le volume du systme et toutes les grandeurs se rapportant la masse totale du systme

sont extensives.

4


On notera par la suite en minuscules les grandeurs massiques (v,u,h,s ), en majuscules doubles les grandeurs molaires V,U,H,SLes grandeurs se rapportant la quantit totale de matire seront notes en majuscules (V, U, H, S .. ), (V = m.v=n.V, U=m.u),

I-2 Principes en systme ferm

En plus des principes de la mcanique (conservation de masse, principe fondamental de la dynamique ou son corollaire le thorme de l'nergie cintique), la thermodynamique introduit deux nouveaux principes. Ils relient les changes d'nergie mcanique et thermique entre E et la variation de l'tat thermodynamique du systme E. Par soucis de simplicit, nous n'tudierons dans un premier temps que les systmes n'changeant avec l'extrieur que de l'nergie (systmes ferms).

a) Premier principe en systme ferm

Si on repre le mouvement du systme par rapport un rfrentiel galilen, on peut crire alors pour un systme ferm:

dEcdUQeWe +=+ (1)

o: - We est le travail lmentaire des forces extrieures - Qe est la quantit de chaleur lmentaire fournie au systme - dU est la variation d'une fonction de l'tat du systme appele nergie interne

- dEc est la variation dnergie cintique ( 221

mc ou m est la masse du systme, c sa

vitesse)

N.B: dU et dEc dsignent la variation de fonctions. Elles sont donc des diffrentielles totales exactes (notation d ) contrairement We et Qe (notation ) qui ne dsignent pas des variations mais des quantits lmentaires d'nergie change.

En sommant (1) sur une volution finie entre l'tat 1 et l'tat 2, on obtient:

1212 EcEcUUEcUQeWe +=+=+ (2)

En divisant (2) par m la masse du systme: ecuqewe +=+

En divisant (l) par la dure de l'volution lmentaire dt: dt

dEcdt

dUPe +=+

Pe dsigne la puissance des efforts extrieurs, le flux de chaleur reu par le systme.

Ces trois formes du premier principe en systme ferm sont savoir par cur.

b) Second principe

Ce principe nonce des conditions d'volution thermodynamique des systmes. Il introduit une notion de qualit de l'nergie et rgit la dgradation des nergies "nobles" (mcaniques, lectriques .. .) en chaleur, due aux frottements gnraliss (mcaniques, rsistance lectrique, ractions chimiques), autrement nomms irrversibilits. Il s'nonce ainsi en systme ferm:

5


QedST .

Ou ce qui revient au mme :

int. QQedST += avec 0int Q

o T est une chelle de temprature telle que la limite infrieure de T=O. Elle est appele temprature absolue.

S est une fonction d'tat du systme appele entropie. Qint (not aussi Wf et appel travail non compens) reprsente la somme des nergies

dgrades lors de l'volution (travail mcanique, nergie lectrique, chimique, thermique dgrads en chaleur par frottement, effet Joule, mlange, homognisation de tempratures).

CMR dSTdSTQWfQ ..int +++=

Wf : frottement lectrique ou mcanique, QR : chaleur de raction, dSM : mlange, dSC : conduction

En sommant: 2

1 TQeS

c) Prcisions sur l'application des principes

Pour notre usage de thermiciens le 1er principe est l'outil le plus couramment utilis, avec le principe de conservation de la masse. Le principe fondamental de la dynamique ajoutera une relation supplmentaire parfois superflue pour la connaissance du systme (sauf dans le cas ou les variations d'nergie cintique ne sont pas ngligeables, turboracteurs ). Nous pourrons ainsi quantifier les transferts lorsque l'on connatra la manire d'oprer pour obtenir un effet dsir. Mais il nous faudra tous les enseignements du second principe pour juger de la qualit et de la faisabilit du mode opratoire choisi. Nous pourrons en juger de faon qualitative en comparant notre machine relle une machine thorique totalement rversible (intrieurement et extrieurement), ou quantitativement en faisant un bilan exergtique ...

1 - 3 Application des principes aux systmes ouverts

On rappelle quun systme ouvert est un systme qui change de la matire avec lextrieur. Ce sont des systmes trs utiliss dans nos disciplines car le fonctionnement de toutes nos machines peut tre modlis par ce genre de systmes.

On envisage dans un premier temps un systme simple une entre et une sortie puis on gnralisera.

Pi sappelle la puissance indique : cest la puissance change entre le fluide et les parties mobiles de la machine

6


Hypothse: en toute rigueur l'coulement doit tre permanent ou priodique de priode et l'on fera la dmonstration avec cette hypothse, mais les rsultats pourront tre appliqus au coulements permanents en moyenne.

On se ramne l'volution d'un systme ferm en isolant le systme D dfini ci-contre qui volue entre linstant initial t et linstant final t+.

On peut alors appliquer les principes en systme ferm que lon a vu au paragraphe prcdent de linstant initial t linstant final t+:

Principe de conservation de la masse :

La masse du systme D se conserve entre linstant initial et linstant final : 1)(2)()()( mmmmmm tdtdtDtD +=+== ++ (1)

Or cause de lhypothse de priodicit (ou de permanence) )()( += tdtd donc :

)()( tdtd mm =+ do par (1) : 12 mm = et en divisant par :

12 qmqm =

Premier principe en systme ouvert:

Appliquons le premier principe en systme ferm au systme D :

)()()()( tDtDtDtD EcEcUUQeWe +=+ ++

Le travail des efforts extrieurs est la somme de tous les travaux appliqus au systme donc du travail indiqu Wi fournit durant (Wi=Pi.) et du travail des forces de pression (p.S) et de volume (m.g):

22112211 gzmgzmVpVpWiWe ++=

En effet, les forces de pressions sur le fluide lentre sont gales p1S1 et se dplacent de x1. Le travail fournit par lextrieur sur le systme D est donc de p1S1 . x1= p1V1 car S1 . x1 est le volume du fluide entr en 1, V1 . Il en est de mme pour la bride de sortie sauf que le travail est fourni par le systme D donc de signe ngatif.

Le travail des forces de volume sur D est loppos de la variation dnergie potentielle de D entre 1 et 2 donc 2211 gzmgzm Le deuxime membre peut se simplifier comme prcdemment pour la masse :

7


121)(2)()()( )( UUUUUUUU tdtdtDtD =++= ++ car )()( tdtd UU =+

Et de mme pour Ec. Donc finalement en laissant les nergies dans le premier membre et en regroupant les fonctions dtat dans le deuxime membre :

121122112212 EcEcgzmgzmVpVpUUQeWi +++=+

12 EcEc est la variation dnergie cintique du systme D. Donc comme lnergie

cintique de d ne change pas : 21122212 2

121 CmCmEcEc =

C1 et C2 sont les vitesses du fluide lentre et la sortie du fluide.

On pose par dfinition lenthalpie : H=U+pV donc : 2

11222112212 2

121 CmCmgzmgzmHHQeWi ++=+

Que lon peut crire sous forme massique en divisant par la masse m qui traverse le systme mmm == 12 :

21

221212 2

121 CCgzgzhhqewi ++=+

Ou sous forme de puissance et en gnralisant pour n entres et m sorties, en divisant par le temps :

)21()

21( 22 EEEESSSS gzChqmgzChqmPi ++++=+

Ces trois formes du premier principe en systme ouvert sont savoir par cur.

Second principe :

+

=+t

t tDdSTQQe

)(.int avec 0int Q

Le second principe ne peut pas se mettre sous une forme plus simple sauf si lvolution du fluide dans la machine est une fonction connue dune seule variable entre 1 et 2:

=+2

1int TdSQQe

avec 0int Q

I-4 Fonctions dtat, diagrammes :

a) relations entre fonctions dtat

Les fonctions dtat nergie interne et entropie tant dfinies par les principes sont donc lies par eux. Envisageons une volution lmentaire quasi-statique et rversible du systme ferm constitu par le fluide enferm dans la chambre:

Le travail est le produit de la force par le dplacement :

pdVpSdxFdxWe ===

8


Le signe moins vient du fait que lorsque dx est positif c'est--dire dans le mme sens que F le travail est positif mais la variation de volume est ngative (diminution du volume).

En crivant le premier principe en systme ferm (la variation dEc est nulle):

dUQeWe =+ avec pdVWe = donc pdVdUQe +=

Et le second principe pour une volution rversible de ce systme : QedST =. et en divisant par la masse du systme on obtient :

pdvdudsT +=.

Par dfinition de lenthalpie : pvuh += donc )( pvddudh += on obtient :

vdpdhTds = car vdppdvpvd +=)(

b) diagrammes

-diagramme de Clapeyron

Le diagramme de Clapeyron est un diagramme reprsentant lvolution de la pression en fonction de celle du volume du systme choisi.

Or nous avons vu au paragraphe prcdent que pour une volution quasi statique et rversible

pdVWe = : le travail au cours de cette volution est donc reprsente par laire comprise sous cette volution affecte dun

signe ngatif : =2

1pdVWe

-diagramme de Watt

Cest aussi un diagramme pression-volume mais le volume est celui de la chambre contenant le fluide V*. Il ne faut pas le confondre avec Clapeyron car en particulier lors des phases de transfert du fluide (admission, chappement) le volume du systme constitu par le fluide cycl ne correspond pas celui de la chambre. Lintrt du diagramme de Watt rside dans le fait quil peut tre trac directement sur les machines relles grce un indicateur de Watt (voir TP) Sur les phases fermes diagramme de Watt et diagramme de Clapeyron sont identiques. Lexemple ci-contre reprsente le diagramme thorique dune compression dans un compresseur piston (voir TD). Laire lintrieur du

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diagramme ne reprsente plus le travail des forces extrieures We mais celui des parties de la machine sur le fluide traversant celle-ci donc par dfinition le travail indiqu Wi :

=cycle

pdVWi

-diagramme T,s

Ce diagramme est utilis pour discuter de lefficacit des volutions et des cycles, nous lutiliserons frquemment lors du cours de machines thermiques. Les aires reprsentent les chaleurs changes car : += intqqeTds . Si lvolution est rversible qint=0

Par les relation entre les fonctions dtat :

pdvdudsT +=. , vdpdhTds = On dduit facilement que laire sous lisochore reprsente la variation dnergie interne 12

2

1uuTds = car

dv=0. De mme, laire sous lisobare reprsente la variation denthalpie 122

1hhTds = car dp=0

En pratique, il existe de nombreux autres diagrammes qui permettent de reprsenter des cycles particuliers pour des fluides particuliers et dobtenir les nergies changes directement par mesure des longueurs et non plus par planimtrie des aires. Nous verrons leurs particularits dans les chapitres suivants.

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II GAZ PARFAITS

II-1 Equations et fonctions dtat

a) Dfinitions

Un gaz parfait est un gaz qui vrifie lquation dtat :

RTp =V

V est le volume occup par 1 mole de N=6,023.1023 molcules

Corollaire: R est une constante universelle, c'est--dire quelle ne dpend pas de la nature du gaz. En effet, daprs la loi dAvogadro toutes les molcules gazeuses occupent le mme volume sous les mmes conditions de pression et de temprature. Ce volume est de 22,4l dans les conditions dites normales p=1atm=1,013bar et T=273K. On en dduit la constante :

R=8,32J/moleK

Pour n molcules lquation des gaz parfaits scrit : nRTpV = or mvV = donc :

m

nRTpv = et la masse molaire est : n

mM = donc : MRTpv = .

En nergtique, nous avons coutume dutiliser les grandeurs massiques le terme MR

r = est

appel constante massique des gaz parfaits. Elle dpend du gaz considr par lintermdiaire de la masse molaire M.

rTpv =

Par exemple pour lair M=29g/mole donc KJ/kg28710.2932,8

3 == r

b) Mlanges de gaz parfaits

En toute rigueur lair est un mlange. La loi de Dalton-Gibbs prcise que tout mlange de gaz parfait est un gaz parfait qui se comporte comme si chacun des constituants du mlange occupait seul la totalit du volume du mlange. (Cela est vident lorsque lon considre quun gaz parfait est un gaz dans lequel les molcules nont aucune interaction entre elle).Autrement dit, en appelant pi la pression partielle du constituant i (pression quil aurait sil occupait seul la totalit du volume du mlange) on peut crire que :

n

pnp ii = donc que ppi = et que toute grandeur

extensive G du mlange est telle que : = ),(),( TpGTpG ii Toute grandeur massique (ou molaire) du mlange sera donc la moyenne barycentrique

affecte du titre massique (ou molaire) de la mme grandeur des constituants du mlange dans les conditions pi et T.

Exemples : lnergie interne : = ),(.),( TpuxTpu iii , la constante des gaz parfaits : = ii rxr . Nous verrons plus loin que u ne dpend pas de p pour un GP ce qui simplifie considrablement les choses. Ce nest pas le cas pour lentropie s.

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c) Fonctions dtat du gaz parfait

On dmontre en thermodynamique classique en utilisant le fait que les fonctions dtat sont des diffrentielles totales exactes (quation de Cauchy-Schwartz) et lquation du gaz parfait que lnergie interne et lenthalpie dun gaz parfait ne dpendent que de la temprature, ce que lon peut crire :

dTTCvdu )(= et dTTCpdh )(=

Nous verrons plus loin pourquoi nous utilisons Cv et Cp pour dsigner ces fonctions appeles chaleur spcifiques. En utilisant les relations entre les fonctions dtat trouves au chapitre prcdent : vdpdhpdvdudsT =+=. on obtient lentropie du gaz parfait :

vdpdTTCppdvdTTCvdsT =+= )()(. (1)

Comme par dfinition de lenthalpie :

=+=+=+= dTTCprdTdTTCvrTddupvddudh )()()()( )()( TCprTCv =+

Cette dernire relation est connue sous le nom de relation de Mayer. Si lon pose de plus

CvCp

= on obtient :

1.

=

rCp

et 1

=

rCv

En gnral nest pas constant, il dpend de la temprature. Par exemple pour lair:

Cependant pour simplifier les calculs, on considrera souvent constant : le gaz est alors appel gaz idal . Dans ce cas, la thorie cintique des gaz nous donne la valeur de :

=5/3=1,667 pour un gaz monoatomique (He,Ne,Ar) =7/5=1,4 pour le gaz diatomique (O2,N2,air)

Et lon prendra de lordre de 1,3 pour les gaz poly atomiques (H2O, CO2). Si est constant alors Cv et Cp aussi et par intgration les fonctions dtat sont les

suivantes: )( 00 TTCvuu =

12


)( 00 TTCphh =

)()()()(0000

0 pp

rLnTTCpLn

v

vrLn

TTCvLnss =+=

(2)

Dmonstration :

Rcrivons lquation (1) : vdpdhpdvdudsT =+=. Si le gaz est idal lquation, elle devient:

pdp

vpCpdTv

dvpvCvdTdsT =+=. en intgrant on

obtient lquation (2).

II-2 Diagrammes du gaz idal

a) Clapeyron

Nous reprsentons lallure gnrale des volutions simples. Les isothermes sont des

hyperboles quilatres (y=a/x) car :v

rTpTcsteT 00 ===

Cherchons lquation de lvolution isentropique dun gaz idal, par dfinition :

0)1(0)(00 =++=++==== vdppdvCvrpdvpvd

r

CvpdvCvdTdsscstes

or ==+CvCp

Cvr 1 donc =+ 0vdppdv cstepv = v

cstep =

Les isentropiques ont aussi lallure dhyperboles. On montre que le rapport des pentes de lisentropique sur lisotherme est . Donc les isentropiques sont plus pentues au point dintersection que les isothermes car est toujours suprieur 1. On obtient le schma suivant :

b) diagramme T,s Les isobares vrifient : )(

00 T

TCpLnss = en faisant 0pp = dans lquation (2) du

paragraphe prcdent donc :

)exp( 00 Cpss

TT

=

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Les isobares sont donc des exponentielles dans le diagramme T,s.

Pour une autre isobare p1 la constante s0 deviendra : )('0

100 p

prLnss = . La nouvelle isobare

aura pour quation )'exp( 00 Cpss

TT

= : elle se dduit donc de la prcdente par une translation

daxe s et de longueur )(0

1

pp

rLn . Donc si la pression de lisobare augmente, lisobare se dplace

par translation daxe s dans le sens des entropies dcroissantes (voir figure ci-dessous).

Cherchons la pente de la tangente en drivant lquation dvolution :

CpT

Cpss

TCpds

Cpss

Td

dsdT

=

=

= )exp(1)exp(

00

00

Par dfinition la sous-tangente est la distance x de lintersection de la tangente une courbe avec laxe des abscisses et la projection du point de tangence sur cet axe (voir figure) donc

CpxCpT

dsdT

x

T=== donc la sous-tangente de lisobare est gale Cp.

On pourrait refaire de mme pour lisochore et montrer que lorsque v croit la translation daxe horizontal est dans le sens des entropies croissantes et que la sous-tangente est

gale Cv. On saperoit donc que comme CvCp

= >1 => Cp>Cv donc les isochores sont toujours plus pentues que les isobares (voir figure ci-dessous). Le rapport des pentes est aussi de .

Comme pour un gaz idal h=CpT le diagramme h,s appel diagramme de Mollier du gaz idal est identique au diagramme T,s une affinit daxe vertical prs.

c) diagramme s,Ln(v)

Ce diagramme est utilis pour les moteurs alternatifs. Comme par lquation (1) du paragraphe prcdent:

14


)()()()(00000

0v

vrLn

vppvCvLn

v

vrLn

TTCvLnss +=+=

Les isothermes et les isobares sont des fonctions s( Ln(v)) linaires, donc reprsentes par des droites dans le diagramme s,Ln(v)

II-3 Evolutions dun gaz idal.

a) Principales volutions rversibles au cours de phases fermes

1) Isobares

Lors dune volution isobare rversible, nous avons vu au paragraphe I-4 : pvvppdvwe === car p est constant donc par le premier principe en systme

ferm =+ uqewe hpvuqe =+= or pour un gaz parfait TCph = donc finalement :

TCpqe =

On peut donc dire quau cours dune volution isobare la chaleur change est gale CpT Cest pour cela que Cp sappelle chaleur spcifique pression constante .

2) Isochores

Cette fois comme v est constante dv=0 et donc we est lui aussi nul. Donc par le premier principe en systme ferm :

qe=CvT

Cest pour cela que Cv sappelle chaleur spcifique volume constant

3) Isothermes

Le premier principe en systme ferm scrit : TCvuqewe ==+ car le gaz est idal. T est nul puisse que T est constante donc :

0=+ qewe

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Pour obtenir une deuxime quation soit on utilise = pdvwe soit le deuxime principe avec qint=0 car lvolution est rversible (on obtient le mme rsultat):

= qeTds

Or T est constante = sTTds et le gaz est idal donc :

)()()()(0000

0 pp

rLnTTCpLn

v

vrLn

TTCvLnss =+=

Avec 0)(0

=

TTLn car T est constante donc finalement :

weppLnrT

v

vLnrTqe === )()(0

00

0

4) Adiabatiques

Une volution adiabatique qe=0 rversible qint=0 est isentropique car par le deuxime principe ==+= 00int dsqqeTds (T est par dfinition 0 ) Nous avons dmontr au II-2 a) que pour volution isentropique dun gaz idal :

cstepv = En utilisant lquation de gaz parfait rTpv = on obtient les relations entre les variables

dtat suivantes :

=

=

1

0

1

1

0

1

0

1

v

v

pp

TT

Il suffit dcrire :

0011 vpvp = , 111 rTvp = , 000 rTvp = .

En faisant le rapport des deux dernires quations, on obtient : 0

1

00

11

TT

vpvp

=

Et en reportant dans cette quation la premire modifie ainsi :

1

0

0

1

v

v

pp

=

On obtient : 0

11

0

1

1

0

0

1

TT

v

v

v

v

v

v=

=

. Puis on fait de mme pour la pression.

Nous utiliserons les relations encadres de trs nombreuses fois cette anne : elles sont connatre par cur.

Nous procdons toujours de la mme faon pour chercher le travail : on crit le premier principe ici avec qe=0:

)1()1()(1

0

10

0

1001

====

v

vCvTTTCvTTTCvuwe .

Or =1

0

v

v est le taux de compression volumique donc :

16


)1( 10 = CvTwe

5) Polytropiques

Ces volutions sont peu utilises nous les citons ici pour mmoire. Par dfinition ce sont des volutions telles que cstepv k = : en faisant varier k de + on obtient toutes les volutions possibles :

Les rsultats sont identiques ceux de lisentropique en remplaant par k pour 1k , savoir :

kk

k

v

v

pp

TT

=

=

1

0

1

1

0

1

0

1 et )1( 10 = kCvTwe

Pour k=1 on retrouve le cas de lisotherme.

b) Machines flux continu

Dans ces machines chaque phase est ouverte. Il existe trois types dvolutions :

1) Les changeurs et chambres de combustion.

Ces systmes ne contiennent pas de parties mobiles donc par consquent : 0=Pi et en crivant le premier principe en systme ouvert : )( 12 hhqm = si lon nglige les variations dnergie cintique. Il peut exister une petite perte de charge 012 pp que lon ngligera souvent : dans ce cas lvolution sera isobare.

2) Les compresseurs et turbines

Les fluides passent une telle vitesse dans ces machines que lon peut supposer que les changes de chaleur sont ngligeables par rapport aux changes dnergie mcanique. Donc ce sont des systmes ouverts adiabatiques. Par le premier principe en systme ouvert:

0= et )()( 1212 TTqmCphhqmPi == On dfinit par ailleurs le taux de compression manomtrique par :

1

2

pp

c =pi

17


Et le taux de dtente par linverse pour que le rapport soit toujours suprieur 1 : 2

1

pp

d =pi

Ces machines ne sont pas rversibles dans la ralit mais pour tudier les machines relles on les comparera des machines thoriques rversibles. On a vu au paragraphe prcdent que les volutions adiabatiques et rversibles sont isentropiques et que lon peut crire :

1

1

2

1

2

=

pp

TT s

Lindice s se dsigne lvolution isentropique. Donc le travail indiqu chang au cours dune compression isentropique 1,2s est :

)1()1()1(1

1

1

1

21

1

21 =

==

pi cs

isc CpTppCpT

TTCpTw

Au cours dune dtente adiabatique 1,2s :

)11()1()1(1

1

1

1

21

1

21

=

==

pi d

s

isd CpTppCpT

TTCpTw

Lorsque la dtente nest pas rversible cause des frottements du fluide sur les aubes 0int >q donc comme qe=0, ds>0 : lentropie de 1 2 augmente :

Pour calculer la puissance de ces machines relles, on la compare la puissance de la machine isentropique par lintermdiaire du rendement isentropique.

Ces rendements sont bien entendus infrieurs 1 : Le compresseur parfait consomme moins que le compresseur rel alors que la turbine parfaite fourni plus de puissance que la turbine relle. La dfinition des rendements isentropiques tient compte de ces remarques :

PicPisc

isc = et PisdPid

isd =

Vous devez savoir retrouver les dfinitions prcdentes.

3) Evolutions isothermes :

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Ces volutions ne sont pas ralisables en pratique car comme le montre le premier principe il faudrait changer une quantit de chaleur identique au travail. Cela nest pas possible vu les grandes vitesses de passage des fluides dans les compresseurs ou les turbines et les faibles surfaces de contact. Nanmoins ces volutions permettent de connatre simplement les limites possibles de gain des compresseurs multi tags refroidis par rapport aux compresseurs mono tags.

Le premier principe en systme ouvert donne :

TCphhqewi ==+ 12 avec T=0 => qewi =

Si lvolution est sans frottement donc rversible, en faisant de la mme faon quau paragraphe II-3a 3) en utilisant le deuxime principe, on obtient :

wippLnrTqe == )(

00 (1)

Si lvolution nest pas rversible, on dfinit les rendements de compression isotherme comme les rendements de compression isentropique :

relle

frottementsansc

wiwi

.

=

Le travail sans frottement se calcule par (1) et lon dduit le travail rel de la connaissance du rendement. La dtente isotherme est moins frquente mais on pourrait faire de mme.

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III- VAPEURS

III-1 Equations d'tat - fonctions d'tat

Pour notre usage de thermicien, nous nous limiterons l'tude des changements de phase quasi statiques liquide-vapeur.

a) Processus physique de changement de phase

Il n'existe pas de phase intermdiaire entre le liquide et la vapeur. Lorsque le liquide atteint la temprature de vaporisation, toute quantit de chaleur supplmentaire va tre dissipe dans la rupture dun certain nombre de liaisons entre les molcules de liquide. Elles formeront alors de la vapeur

une temprature identique celle du liquide. Et vice versa dans le cas de la condensation. Comme il n'y a pas d'volution dans la composition de la vapeur, ni dans celle du liquide, si le corps est pur, lorsque la pression reste constante lors du changement de phase, la temprature aussi. Donc pression constante, un corps pur se vaporise ou se condense temprature constante.

NB : Lors de variations trop rapides comme dans une vanne de dtente, il peut arriver que le liquide parvienne une temprature suprieure la temprature de vaporisation pour la pression locale sans se vaporiser immdiatement ou comme dans une tuyre, il peut arriver que la vapeur parvienne une temprature infrieure la temprature de condensation (sursaturation). Cet tat mtastable (identique au phnomne plus connu de surfusion) obtenu au cours dvolutions non quasi-statiques sort du cadre de ce cours. Il est peu frquent dans nos machines, nous ne ltudierons pas ici.

Sur la surface dtat, on reprsente 1'quilibre liquide-vapeur par un point M de coordonnes (p, T, vM) o vM est le volume massique moyen.

Le point M ne reprsente, sur ce diagramme, que le barycentre affect des titres massiques des grandeurs (ici le volume massique) des phases liquide et vapeur. Il ne reprsente aucun tat physique particulier de la matire.

VLM xvvxv += )1(

O 1-x est le titre massique du liquide et x celui de la vapeur.

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Lensemble des points, lorsque p et T varient, est appel surface dquilibre liquide-vapeur .

Elle est perpendiculaire au plan p,T donc son quation est de la forme f(p,T)=0 (voir plus loin : c). La courbe de saturation reprsente physiquement un tat limite avant apparition de la premire goutte ou de la premire bulle. Elle sappelle courbe de bulle ct liquide et courbe de rose ct vapeur.

b) Projections des lignes caractristiques de la surface dtat

NB : Prs du point critique le gaz est si comprim que ses caractristiques physiques (masse volumique, indice de rfraction) sont trs proches de celle du liquide tel point quon ne peut plus les diffrencier (voir TP 1ire anne). Le changement de phase nentrane plus de sparation importante des molcules, il ny a donc plus de chaleur fournir pour passer du liquide la vapeur. Nous verrons plus loin que ce point singulier pose des problmes pour mettre sous forme simple les quations et les fonctions dtat son voisinage.

c) Equations dtat

La surface dtat nest bien sr pas possible paramtrer par une seule quation mathmatique. On spare en trois domaines : la vapeur, le liquide et le mlange liquide vapeur.

Equation dtat du liquide.

Loin du point critique, la masse volumique du liquide varie trs peu quelque soit la pression et la temprature. Lhypothse la plus simple consiste considrer le liquide comme incompressible . Lquation dtat du liquide est alors :

0vv =

Pour leau /kgm10kg/m1000 3303

v

Equations dtat de la vapeur

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Loin du point critique la vapeur se comporte comme un gaz la diffrence prs quelle peut se condenser donc au-del des conditions de condensation (voir quation de la surface dquilibre), on peut utiliser lquation du gaz parfait comme quation dtat de la vapeur:

TMRpv =

Prs du point critique, on modifie lquation du gaz parfait. Deux approches sont possibles :

- La premire, en crivant rTTpZpv *)*,(= o Z le facteur de compressibilit est une fonction de la pression rduite

cppp =* et de la temprature rduite

cTTT =* , Tc et pc

tant les caractristiques du point critique. Cette fonction Z est universelle (en premire approximation) et est donne par un diagramme (voir cours de 1re anne et polycopi des tables thermodynamiques)

- La deuxime, en utilisant lquation semi empirique de Van der Waal :

rTbvv

ap =+ ))(( 2

Pour connatre les coefficients a et b, il suffit dcrire que le point critique vrifie lquation.

On obtient :c

cc

cc

c

Tpv

MR

rpvavb 8;3;3

2====

Pour leau : kgmvbarspCt ccc /00318,0;3,221;1,3743

===

Equation de la surface dquilibre :

Les conditions propices au changement de phases sont donnes par cette quation. Plusieurs types dquations existent. La plus utilise est lquation semi empirique dAntoine :

CTBA)Ln(p s

=

Pour leau : 13,46;3816;68,11 === CBA si p est en bars T en K

Pour mmoire, on trouve dans la littrature dautres quations totalement empiriques telles

que lquation de Duperray : pour leau 4)100

( tps = avec p en bars et t en C

d) Fonctions dtat

Liquide :

Loin du point critique, si lon considre le liquide comme incompressible dv=0 donc we=0 donc le premier principe scrit : qe=du=C(T)dT

Or, exprimentalement, on saperoit (voir TP de calorimtrie de 1re anne) que la capacit calorifique C est constante. Donc :

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)( 00 TTCuu LL = (1)

Par le 2me principe qui dfinit lentropie :

== T

T

T

TLL TCdT

Tqe

ss0 0

0 )(

00 T

TCLnss LL = (2)

Par dfinition de lenthalpie :

+= 0000 vppvuuhh LLLL )()( 0000 ppvTTChh LL += (3)

Exemples dapplications :

Vous utilisez depuis longtemps les rsultats des quations ci-dessus. Nous pouvons maintenant les dmontrer rigoureusement.

- Echangeur

Dans un changeur de chaleur, le systme constitu par un liquide circulant dans un des circuits est un systme ouvert, donc : ).( hehsqm = et (3) nous donne :

)()( 0 ESESES ppvTTChh +=

Le terme )(0 ES ppv est toujours trs faible mme si les pertes de charges sont importantes, exemple pour de leau v=10-3m3/kg avec T=10C et p=1bar :CT=4,18.104J/kg et vp=100J/kg donc on crit pour un changeur :

)(. ES TTCqm =

- Pompe parfaite :

Une pompe parfaite lve la pression dun liquide sans frottement ni sans lui fournir de chaleur, ie : qe=qint=0 => ds=0 donc (2) donne T=cte

La temprature du liquide reste constante dans une pompe parfaite.

Pour dterminer la puissance indique de la pompe, on utilise le premier principe. Le systme constitu par le liquide traversant la pompe est un systme ouvert donc:

)21()

21( 22 EEEESSSS gzChqmgzChqmPi ++++=+

Il ny a quune entre et une sortie qms=qme=qm, =0 comme on la suppos prcdemment et les variations dnergie potentielle et cintique sont en gnral faibles donc :

).( hehsqmPi =

Comme T=cte, (3) donne : )( 000 ppvhh LL = donc : )(. 0 pepsvqmPi = or qmv0=qv

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Donc finalement, on retrouve le rsultat bien connu de la puissance indique de la pompe parfaite:

).( pepsqvPi =

- Pompe relle, vanne de dtente :

Cette fois qe=0 mais pas qint, il y a du frottement entre le fluide et les aubages. On procde alors comme pour un compresseur en introduisant un rendement isentropique de

pompe :PiPis

is = et ).( pepsqvPis = . Le premier principe nous donne :

=+= ).(1).()(. pepsqvpepsqvTTCqmPiis

ES 0).(.11)( >

= pepsvTTC

isES

De mme pour une dtente statique adiabatique du type Joules-Thomson : Pi==0, donc grce au premier principe, on peut crire : 0)()( 0 =+= ESESES ppvTTChh

Alors : )()( 0 ESES ppvTTC = est positif car )( ES pp est ngatif.

Comme on pouvait sy attendre, llvation de temprature nest pas nulle, ni dans une pompe relle, ni dans une vanne de dtente, cause du frottement. Elle reste nanmoins trs faible pour les raisons voques au paragraphe changeurs .

Vapeur

Pour les vapeurs, loin du point critique comme nous lavons dit au paragraphe quations dtat , nous pouvons utiliser les fonctions dtat du gaz parfait (voir chapitre gaz parfait ). Par contre, nous sommes rapidement limits par la difficult des quations lorsque lon veut affiner les rsultats. Nous verrons alors en TD qu notre niveau nous utilisons les tables et les diagrammes.

Changement de phase

Lors du changement isobare dune masse dm de matire, le premier principe scrit :

)( LV uudmdUQeWe ==+ or dmvvpWe LV )( = donc : )( )()( LVLVLV hhdmdmvvpuudmQe =+=

Cette variation denthalpie est appele chaleur latente de vaporisation et est note :

)( LV hhLv =

Par le deuxime principe, la temprature restant constante au cours du changement de phase, la variation dentropie scrit :

TLv

ss LV = )(

Comme pour le volume massique, lorsquun mlange liquide vapeur en quilibre contient une fraction x de vapeur, ses fonctions dtat sont le barycentre des fonctions dtat du liquide et de la vapeur affect des titres respectifs :

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LV uxxuu )1( += ; LV hxxhh )1( += ; LV sxxss )1( +=

III-2 Tables et diagrammes.

Comme nous lavons dit dans les paragraphes prcdents, il est souvent prfrable vu la complexit des calculs et limprcision des expressions analytiques avoir recours aux tables ou aux diagrammes. Tables et diagrammes sont complmentaires. Les diagrammes sont beaucoup plus visuels mais manquent de prcision alors que les tables bien qutant plus prcises peuvent conduire des erreurs de lecture, de calcul dinterpolation

a) Tables

Sur lextrait de la table de la vapeur sature ci-dessous lentre est en temprature. Il y a aussi des tables avec entre en pression. Du fait de la discontinuit des valeurs, inhrente aux tables, il est souvent ncessaire dinterpoler entre deux valeurs.

Pour la vapeur surchauffe ou le liquide comprim, nous navons plus une seule entre mais deux entres. Linterpolation devra tre quatre points.

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b) Diagramme de Clapeyron et diagramme entropique

Pour le diagramme de Clapeyron, on se reportera aux gnralits et la projection de la surface dtat sur le plan p,v.

Sur le diagramme entropique, la courbe de saturation prsente une forme de cloche plus prononce que celle du diagramme p,v. Nous nous servirons beaucoup de ce diagramme en cours de machines thermiques pour discuter de lamlioration du rendement des cycles. Mais ltude quantitative des changes dnergie est difficile car, comme nous lavons vu au chapitre gnralits , les nergies sont reprsentes ici par des aires. Cest pour cela que pour les calculs industriels nous prfrons utiliser les diagrammes dits de Mollier

c) Diagrammes de Mollier

Pour les turbines vapeur nous utilisons le diagramme h(s)

Sur les diagrammes industriels, nous ne disposons pas de la totalit de la zone dquilibre Liquide-Vapeur comme indiqu sur la figure. Les valeurs pour le liquide seront dtermines soit

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partir des tables (attention la compatibilit tables diagramme: enthalpie et entropie de rfrence identiques), soit par lhypothse de fluide incompressible capacit calorifique constante (4,18kJ/kgK pour leau), soit en utilisant le fait que M est le barycentre entre A et B.

On peut remarquer dautre part, que, loin du point critique, la vapeur se comporte comme un gaz parfait : les isothermes sont des droites horizontales, les isobares et les isochores ont allure dexponentielles

Les frigoristes, quant eux, prfrent utiliser le diagramme h,ln(p). La mme rgle du barycentre existe entre M et A,B.

Sur les diagrammes industriels les isothermes dans la partie liquide ne sont pas traces : il faut les extrapoler. Or nous savons quun liquide est quasi incompressible et que le volume massique du liquide est trs faible donc, de ce fait, lenthalpie est quasi indpendante de la pression (voir paragraphe fonctions dtat dun liquide): les isothermes dans le liquide sont donc des droites verticales.

On peut faire la mme remarque que prcdemment concernant la zone loin du point critique o lon peut observer que le gaz se comporte comme un gaz parfait : les isothermes sont des droites verticales donc des isenthalpes :

rappels de thermo

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