Résolution de

problèmes au cycle 1D’après une conférence de M. André JACQUART, professeur de mathématiques à l'IUFM de. Douai

Le problème mathématique est posé par l’enseignant(e).

Ce problème doit devenir celui de l’élève qui devra:

Identifier la situation et le but à atteindre Accepter la tâche

Comment favoriser l’appropriation de la tâche?

Par le matériel qui impose le problème :

Le matériel orienté impose le problème. Il oriente vers une situation précise (ici, la connaissance des formes, le problème est imposé).

Le matériel ouvert permet lui toutes sortes de réalisations d’empilements, de configurations…

Matériel orienté Matériel ouvert

Par l’exposition momentanée ou non du résultat attendu (ex: tour de magie) :

L’élève découvre que des cubes ont été emboités parce qu’il sont « malheureusement tombés »

Par l’utilisation d’exemples ou de contre exemples:

Les élèves sont invités à observer et à réagir

Par la formulation et la reformulation de la consigne par l’élève:

Le langage est essentiel même si le matériel impose le problème, cependant l’oral doit venir en consolidation et ne doit pas être le seul moyen par lequel on permet à l’enfant d’identifier la situation et la tâche.

Comment favoriser l’acceptationde la tâche?

Par l’évidence du caractère fonctionnel de la tâche

Par la dimension ludique de la situation et du matériel 

Par le recours à un mime ou un médiateur (marionnettes, livres,…)

Par la mise en scène, la théâtralisation du problème

Une suite d’actions ou d’opérations est nécessaire pour atteindre ce but.Il faut pour cela qu’il y ait engagement de l’enfant.

Comment favoriser l’engagement dans la résolution?

Par l’intérêt porté à l’activité de l’enfant (même dans les ateliers en autonomie où l’on passera quelques minutes à la fin pour observer et analyser les réalisations des enfants)

Par les encouragements,

Par une aide appropriée,

Par la mise en valeur du défi à relever…En effet, l’enseignement des mathématiques doit développer un esprit de recherche ; il s’agit donc de faire des enfants des « petits chercheurs »…

La solution n’est pas disponible d’emblée, mais est possible à construire.

Avec ce matériel, on peut dans un premier temps, éliminer les pièces doubles, puis obstruer la face supérieure pour ne laisser apparaître que les faces latérales mais en ne donnant que des pièces simples avant donner les pièces doubles…

Il est donc fondamental pour l’enseignant de recenser le matériel dont il dispose et de réfléchir à son utilisation (non seulement son utilisation prévue par la notice mais également comment l’utiliser pour travailler des concepts mathématiques).

Comment favoriser la construction de réponses par tous?

Il faut envisager une différenciation des activités par le jeu des variables didactiques

Pour mettre en place des situations, on peut s’appuyer sur :

Les situations fonctionnelles

Les situations rituelles

Les situations construites

Les situations fonctionnelles

Elles naissent d’un besoin réel qui émerge de la vie quotidienne et de certains projets : il faut apporter un crayon à chacun pour l’atelier, préparer un goûter pour chacun, fabriquer un jeu pour une autre classe, réaliser un élément de décoration…Ce sont de « vrais » problèmes, le but est précisé, facile à comprendre. L’acceptation et l’engagement de l’élève seront favorisés si les enfants perçoivent la réalité du problème.Néanmoins, ces problèmes peuvent être complexes (de par les compétences mises en jeu ou de l’organisation même de l’activité), leur gestion n’est pas toujours aisée. D’autre part, il faut être vigilant à ce que mathématique et réalité ne doivent être ni l’une ni l’autre sacrifiées.

Les situations rituelles

Elles se répètent régulièrement voire quotidiennement : dénombrement des présents et des absents,…Ce sont des « situations repères » mais elles ne sont pas suffisantes. Les situations rituelles ne constituent pas à elles seules l’enseignement des mathématiques à l’école maternelle.

Les situations construites

Ce sont les situations qui s’appuient sur un jeu, un matériel, une « activité papier-crayon » L’enseignant a la maîtrise de ces situations. Il en fixe la nature, le moment, la forme et les variables. Cependant les problèmes ne sont pas toujours signifiants pour les enfants. La manipulation est fondamentale à l’école maternelle. « Les activités proposées doivent s’appuyer sur un matériel riche et varié : objets « tout venant », jeux, supports fabriqués par l’enseignant ou par les enfants… ».

Extraits de « Vers les mathématiques – Quel travail en maternelle? »

Les situations construites (suite)

« Les « activités papier-crayon » doivent avoir une place limitée… elles ne se justifient que si elles ont un lien avec un vécu (action effective, jeu..) qu’elles accompagnent ou qu’elles prolongent pour en garder une trace figurative ou symbolique… ».

Extraits de « Vers les mathématiques – Quel travail en maternelle? »

Les « activités papier-crayon » peuvent participer à l’évaluation mais évaluer ainsi ce qui a été construit par la manipulation serait un détournement. On peut évaluer avec la manipulation.

A l’école maternelle, on peut distinguer deux catégories de problèmes :

les problèmes pour apprendre : on vise des connaissances

les problèmes pour chercher : on développe l’esprit logique

Le Tangram

- Si on donne à un élève ce personnage à refaire, il s’agit d’un problème pour apprendre. Les contours des pièces sont visibles. L’élève doit reconnaitre, différencier les pièces, les formes, repérer les différences de taille et les orientations.  

- Si on donne ce personnage à refaire, il s’agit d’un problème pour chercher. Il ne s’agit plus seulement de reconnaitre les pièces ; les connaissances à disposition ne sont pas suffisantes. L’élève va essayer, peut se tromper et recommencer.

Utilisation des géoplans : planches à trous  La situationUtilisation d’un seul bracelet élastique pour délimiter une forme et des perles de 3 couleurs (rouge à l’intérieur, vert à l’extérieur, jaune sur le bracelet)

- Si le but à atteindre est  pour l’élève de positionner les perles correctement en respectant la consigne : « intérieur, extérieur, sur », c’est un problème pour apprendre.

- Si on positionne d’abord les perles et que l’on demande à l’enfant où positionner le bracelet élastique, il s’agit d’un problème pour chercher.

Quelles procédures de résolution pour un problème de recherche?

Procédure par essais et ajustements

Il faut réhabiliter l’idée du tâtonnement (même si c’est parfois long)… Les mathématiques, c’est aussi tâtonner… L’enseignant (ou l’ATSEM) en faisant « à la place de l’élève » condamne la procédure par essai et ajustements.

Par contre, Il faut inviter l’élève à prendre du recul, à réfléchir à ce qu’il a fait, à verbaliser ce qu’il a fait, à

s’intéresser aux procédures des autres,…

Procédures par induction (à vraiment développer à l’école maternelle)

On propose un début de réalisation à l’enfant ; il doit trouver comment ça marche et doit poursuivre. L’enfant doit découvrir la règle et la prolonger.

Suite logique sur une grille

tableau à double entrée sans indiquer les

entrées

But :Compléter ces grilles

Procédure par déduction

J’ai caché une pièce semblable à l’une de celles-ci … laquelle est-ce ? Est-ce un carré ? NONEst-il bleu ? NONEst-il jaune ? NON

Résoudre des problèmes « pour chercher »

à l’école maternelle.

Faire des mathématiques, ce n’est pas seulement développer des notions, c’est aussi développer une attitude de « petits chercheurs ».

Voici quelques situations pour chercher :

a- Les jetons

C’est une situation pour chercher, l’élève ne dispose pas encore de la procédure experte pour résoudre la situation ; cela ne l’empêche pas de trouver la solution.

SituationSituation But But Variables didactiquesVariables didactiques   Une boîte rouge, Une boîte rouge, une boîte bleue une boîte bleue

12 jetons12 jetons

Distribuer les jetons de Distribuer les jetons de manière équitable dans les manière équitable dans les deux boîtes (situations de deux boîtes (situations de partage). partage).

  Placer les 12 jetons dans Placer les 12 jetons dans les deux boîtes mais il doit les deux boîtes mais il doit y avoir 2 jetons de plus y avoir 2 jetons de plus dans la boîte rouge.dans la boîte rouge.

Le nombre de jetons (les Le nombre de jetons (les procédures d’essais et d’ajustement procédures d’essais et d’ajustement seront plus difficiles à mettre en seront plus difficiles à mettre en œuvre si le nombre est plus œuvre si le nombre est plus important)important) L’écart entre les nombres de L’écart entre les nombres de jetons (ex : 4 jetons de plus dans jetons (ex : 4 jetons de plus dans la boîte rouge) la boîte rouge) La nature des boîtes (ex : au lieu La nature des boîtes (ex : au lieu de donner une simple boîte, de donner une simple boîte, proposer une boîte à proposer une boîte à compartiments pour faciliter le compartiments pour faciliter le travail et la recherche)travail et la recherche) Les dimensions de la boîteLes dimensions de la boîte

b- Les boites à œufs

SituationSituation But But Variables didactiquesVariables didactiques   Une boite à œuf et Une boite à œuf et des jetons rouges des jetons rouges et bleuset bleus

Remplir la boîte (Remplir la boîte (unun jeton dans chacune des 12 jeton dans chacune des 12 alvéoles).alvéoles).

Il doit y avoir 2 jetons Il doit y avoir 2 jetons rouges de plus que de rouges de plus que de jetons bleus. jetons bleus.

L’écart entre les nombres de L’écart entre les nombres de jetons.jetons. Les « dimensions » de la boîte. Les « dimensions » de la boîte.

c- Tous différents (ou rechercher tous les possibles)

Les acromaths

SituationSituation But But Variables didactiquesVariables didactiques   Des acromaths : une seule Des acromaths : une seule taille, 3 couleurs.taille, 3 couleurs.

Des « tambours » : 3 couleurs. Des « tambours » : 3 couleurs.

Trouver Trouver toutes les toutes les associations associations possibles : un possibles : un acromath sur acromath sur un tambour un tambour

Le nombre de propriétés en jeu,Le nombre de propriétés en jeu, Les propriétés en jeu,Les propriétés en jeu, Le nombre de valeurs pour Le nombre de valeurs pour chaque propriété,chaque propriété, Les valeurs de chaque propriété. Les valeurs de chaque propriété.

Les disques

Des disques de 3 tailles et de 3 couleurs

SituationSituation But But Variables didactiquesVariables didactiques   Des acromaths : une seule Des acromaths : une seule taille, 3 couleurs.taille, 3 couleurs.

Des « tambours » : 3 couleurs. Des « tambours » : 3 couleurs.

Rechercher Rechercher tous les tous les empilements empilements (grand, moyen, (grand, moyen, petit) de 3 petit) de 3 disques de 3 disques de 3 couleurs couleurs différentes. différentes.

Nombre de disquesNombre de disques Nombre de couleurs Nombre de couleurs

Au départ, les enfants créent librement des superpositions. Les solutions pourront ensuite être organisées et mise en valeur. En effet, mathématiques et sens artistique ne sont pas opposés !

Les carrés

SituationSituation But But Variables didactiquesVariables didactiques   Des carrés de 2 tailles et de 4 Des carrés de 2 tailles et de 4 couleurs couleurs

Rechercher Rechercher toutes les toutes les associations associations (petit / grand) (petit / grand) de 2 carrés. de 2 carrés.

Nombre de carrésNombre de carrés Nombre de couleurs Nombre de couleurs

Là aussi, on fait des empilements à la recherche de toutes les solutions. Lorsque les 16 solutions ont été trouvées, elles peuvent être organisées dans une structure quadrillée.

Les emporte-pièces

SituationSituation But But Variables didactiquesVariables didactiques   Des emporte-pièces, Des emporte-pièces, de la terre, de la de la terre, de la peinture peinture

Fabriquer des pièces Fabriquer des pièces de formes différentes, de de formes différentes, de couleurs différentes couleurs différentes (trouées ou non (trouées ou non trouées…) pour fabriquer trouées…) pour fabriquer un jeu.un jeu. Les enfants sont Les enfants sont amenés à rechercher des amenés à rechercher des formes différentes. formes différentes.

Nombre de formes différentes, Nombre de formes différentes, Nombre de critères Nombre de critères

SituationSituation But But Variables didactiquesVariables didactiques   3 cartes sur lesquelles sont 3 cartes sur lesquelles sont déjà collées 1, 2, 3 étoilesdéjà collées 1, 2, 3 étoiles

12 étoiles à coller 12 étoiles à coller

Placer les 12 Placer les 12 étoiles. Sur les étoiles. Sur les 3 cartes il devra 3 cartes il devra y avoir autant y avoir autant d’étoiles. d’étoiles.

Le nombre de cartesLe nombre de cartes Le nombre d’étoiles déjà collées Le nombre d’étoiles déjà collées sur chacune des cartes sur chacune des cartes Les écarts entre ces nombresLes écarts entre ces nombres Le nombre d’étoiles à placer Le nombre d’étoiles à placer

d- La carte aux étoiles

e- Un de plus

3 boîtes (petite, moyenne, grande). La moyenne a 1 jeton de plus que la petite. La grande a 1 jeton de plus que la moyenne.

Situation à présenter au préalable :

SituationSituation But But Variables didactiquesVariables didactiques   3 boîtes (petite, moyenne, 3 boîtes (petite, moyenne, grande) et 12 jetons grande) et 12 jetons

La moyenne La moyenne doit avoir 1 doit avoir 1 jeton de plus jeton de plus que la petite. que la petite.

La grande La grande doit avoir 1 doit avoir 1 jeton de plus jeton de plus que la que la moyenne moyenne

Le nombre de jetonsLe nombre de jetons Le nombre de boîtes Le nombre de boîtes

f- Devinez

SituationSituation But But Variables didactiquesVariables didactiques  

2 formes et 2 couleurs. 2 formes et 2 couleurs.

Une carte est proposée aux Une carte est proposée aux enfants. enfants.

Un codage indique quelle est Un codage indique quelle est la pièce à placer. la pièce à placer.

Retrouver les Retrouver les formes (à l’aide formes (à l’aide des indications des indications données)données)

L’ordre dans lequel on donne les L’ordre dans lequel on donne les informationsinformations Augmenter les critèresAugmenter les critères Introduction de la notion de Introduction de la notion de négation à partir de la première négation à partir de la première propriété propriété

ou

SituationSituation But But Variables didactiquesVariables didactiques  

Un ensemble bien défini de Un ensemble bien défini de blocs logiques (ici, 3 formes 3 blocs logiques (ici, 3 formes 3 couleurs) mais on peut le faire, couleurs) mais on peut le faire, pour commencer, avec pour commencer, avec uniquement 2 formes et 2 uniquement 2 formes et 2 couleurs (soit 4 blocs).couleurs (soit 4 blocs).

Trouver le Trouver le bloc logique bloc logique choisi au choisi au préalable.préalable.

le nombre de propriétés en jeu le nombre de propriétés en jeu (donc le nombre de pièces)(donc le nombre de pièces) le nombre de valeurs pour le nombre de valeurs pour chacune des propriétéschacune des propriétés

g- Mastermind

L’enfant a toutes les pièces disponibles au départ. Il les prend au fur et à mesure. S’il propose une pièce qui a une des propriétés commune avec celle qui a été choisie, on place un sourire ; sinon rien.Une trace du cheminement est conservée. Une réflexion peut être conduite sur les procédures mises en place durant la recherche.

h- Le parking

SituationSituation But But Variables didactiquesVariables didactiques  

Des voitures « 2 passagers » Des voitures « 2 passagers » et « 3 passagers » (au moins 4 et « 3 passagers » (au moins 4 de chaque) et 9 passagers à de chaque) et 9 passagers à transportertransporter

Les 9 passagers Les 9 passagers doivent être dans les doivent être dans les voitures.voitures.Les voitures utilisées Les voitures utilisées doivent être pleines : doivent être pleines : on peut mettreon peut mettre2 passagers dans les 2 passagers dans les bleues, bleues, 3 passagers dans les 3 passagers dans les jaunes.jaunes.

Le nombre de passagers,Le nombre de passagers, Le nombre de passagers dans Le nombre de passagers dans les voitures (l’écart entre les 2 les voitures (l’écart entre les 2 nombres).nombres).

Il y a plusieurs solutions. Il est important de les comparer, de les décrire,…

i- Les chemins quadrillés

SituationSituation But But Variables didactiquesVariables didactiques  

Des réglettes de 10 longueurs Des réglettes de 10 longueurs différentes, à chaque longueur différentes, à chaque longueur est associée une couleur. est associée une couleur. Le matériel sera détourné pour Le matériel sera détourné pour recouvrir un chemin quadrillé.recouvrir un chemin quadrillé.

Recouvrir un Recouvrir un chemin avec des chemin avec des réglettesréglettes

Forme du chemin (surtout le Forme du chemin (surtout le nombre de changements de nombre de changements de direction)direction) Longueur des cheminsLongueur des chemins Réglettes disponibles (leur Réglettes disponibles (leur nombre, leur couleur)nombre, leur couleur)

i- Les chemins quadrillés (suite)

Situation 1 Situation 2 Situation 3

Toutes les réglettes (1 à 5) sont disponibles

Les réglettes sont imposées

Seules les réglettes 2, 4 et 5 sont disponibles

j- Quatre couleurs à combiner

SituationSituation But But

Avec le matériel « véhicolor »Avec le matériel « véhicolor »

Situation 1 : avoir 4 voiture de 4 mêmes Situation 1 : avoir 4 voiture de 4 mêmes couleurscouleurs

Situation 2 : Avoir 4 voitures de 4 couleurs Situation 2 : Avoir 4 voitures de 4 couleurs différentes.différentes.

Avec la dinette : Avec la dinette : 4 assiettes,4 assiettes,4 verres, 4 verres,

4 fourchettes,4 fourchettes,4 couteaux 4 couteaux

de 4 couleurs différentesde 4 couleurs différentes

Avoir 4 ensembles (1 ensemble =1 assiette, Avoir 4 ensembles (1 ensemble =1 assiette, 1 verre, 1 fourchette, 1 couteau) de 4 1 verre, 1 fourchette, 1 couteau) de 4 couleurs.couleurs.

k- Grilles, jetons et nombres

SituationSituation But But Variables didactiquesVariables didactiques  

Une grille et des jetonsUne grille et des jetons

Trouver où Trouver où mettre les jetonsmettre les jetons

Les « dimensions » de la grille.Les « dimensions » de la grille.

Activité préparatoire :

Il faut que l’élève comprenne comment fonctionne cette grille

l- Les pavages

SituationSituation But But Variables didactiquesVariables didactiques  

Une grille 6x6 et Une grille 6x6 et des rectangles 3x2des rectangles 3x2

Paver la grille Paver la grille avec des avec des rectangles (la rectangles (la recouvrir sans recouvrir sans trou ni trou ni recouvrement de recouvrement de pièces).pièces).

La dimension de la grille (6x12, La dimension de la grille (6x12, 6x8)6x8) La dimension des rectanglesLa dimension des rectangles

m- Les sudoku

SituationSituation But But Variables didactiquesVariables didactiques  

Une grille, des jetons de Une grille, des jetons de couleur.couleur.

Compléter la Compléter la grille. grille. Dans chaque Dans chaque ligne, dans ligne, dans chaque colonne, chaque colonne, tous les jetons tous les jetons sont de couleurs sont de couleurs différentes.différentes.

La taille de la grille: 4X4, 5X5…?La taille de la grille: 4X4, 5X5…? Le nombre de jetons déjà Le nombre de jetons déjà placés,placés, La disposition initiale des jetons. La disposition initiale des jetons.