linear do sistema seJa constante, pOI'em a energia cinetica total dosistema seja varia vel?Q8.11 Em cada um dos exemplos 8.10, 8.11 e 8.12 (Ser;ao 8.4),verifique se os vetores velocidade relativa antes e depois da coli-sao possuem 0 mesmo modulo. Em cada llill desses casos 0 queocorre com a direr:;iio e 0 sentido do vetor velocidade relativa?Q8.12 A probabilidade de um copo quebrar quando ele cai sobreum piso de concreto e maior do que quando ele cai sobre urn pisode madeira. Por que? (Tome como referencia a Figura 8.3b.)Q8.13 Na Figura 8.22b, a energia cinetica da bola de pingue-pon-gue depois de sua interar;ao com a bola de boliche e maior do queantes da interar;ao. De onde provem esse aumento de energia?Descreva 0 evento em termos da conservar;ao da energia.Q8.14 Uma metralhadora dispara sobre uma placa de ar;o. A forr;amedia oriunda do impacto da bala quando a bala e refletida emaior ou menor do que a forr;a quando a bala se amassa e ficacolada na placa? Explique.Q8.15 Uma for"a resultante de 4 N atua durante 0,25 s sobre umcorpo que estava inicialmente em repouso, fazendo-o atingir umavelocidade final igual a 5 m/s. Como uma for"a resultante de 2 Npoderia produzir a mesma velocidade final?Q8.16 Uma forr;a resultante com um cOl1lponente x dado por 2:.F,atua sobre urn corpo durante 0 intervalo de tempo de t, a '2' 0 com-ponente x do momenta linear possui 0 mesl1lo valor para t] e para/2, porem 2:.Fx nao e igual a zero em nenhum instante entre t, e /2'o que voce pode afirmar a respeito do grafico de 2:.F, versus t?Q8.17 Um jogador de tenis bate em uma bola de tenis com umaraquete. Considere 0 sistema bola e raquete. 0 momento lineartotal desse sistema e 0 mesmo imediatamente antes e imediata-mente depois da batida? 0 momenta linear total do sistema ime-diatamente depois da batida e 0 mesmo que 0 momento lineartotal do sistema dois segundos depois, quando a bola esta noponto superior de sua trajetoria no ar? Explique qualquer diferen-r;a entre as duas situar;6es.Q8.18 No Exemplo 8.4 (Ser;ao 8.2) considere 0 sistema rifle ebala. Qual e a velocidade do centro de massa do sistema depoisdo disparo? Explique.Q8.19 Um ovo e libertado do alto de um ediffcio e cai ate atingiro solo. A medida que 0 ovo cai, 0 que ocon'e com 0 momentalinear do sistema ovo e Terra?Q8.20 Uma senhora esta em pe no meio da superffcie sem atritode um lago gelado. Ela poderia se locomover atirando objetos,mas suponha que ela nao possua nada para atirar. Ela poderia selocomover ate a margem do lago sem jogar nada?Q8.21 Em um ambiente com gravidade igual a zero, pode umaespar;onave movida por foguete atingir uma velocidade maior doque a velocidade relativa com a qual 0 combustivel queimado eexpelido?Q8.22 Quando um objeto se rompe em duas partes (por explosao,decomposir;ao radioativa, recuo etc.), 0 fragmenta mais leve pro-duz energia cinetica maior do que 0 outro mais pesado. 1sso ocor-re em decorrencia da lei da conservar;ao do momento linear, mastambem se pode explicar essa ocon'encia usando as leis deNewton para 0 movimento?Q.823 Uma mar;a cai de uma arvore sem sofrer nenhuma resisten-cia do ar. Conforme ela cai, qual destas afirmar;6es e verdadeira?(a) Somente 0 seu momenta linear e conservado; (b) somente asua energia mecflllica e conservada; (c) tanto 0 seu momentalinear quanta a sua energia mecanica sao conservados; (d) a suaenergia cinetica e conservada.

Capitulo 8 Momenta linear, impulso e colis6es 275

Q.824 Dois peda"os de argila se col idem e ficam unidos. Durantea colisao, qual destas afirmar;6es e verdadeira? (a) Somente 0momenta linear da argila e conservado; (b) somente a sua ener-gia mecanica e conservada; (c) tanto 0 seu momento linear quan-to a sua energia mecanica sao conservados; (d) a sua energiaci netica e conservada.Q.8.25 Duas bolas de gude sao pressionadas entre si por umamola ideal leve entre elas, mas elas nao estao atadas a mola. Elassao entao liberadas sobre uma mesa com superficie horizontalsem atrito e logo se livram da mola. Conforme as bolas de gudese afastam entre si, qual destas afirmar;6es e verdadeira? (a)Somente 0 seu momenta linear e conservado; (b) somente a suaenergia meciinica e conservada; (c) tanto 0 seu momento linearquanta a sua energia mecanica sao conservados; (d) a sua ener-gia cinetica e conservada.Q8.26 Um vefculo utilitario Illuito pes ado colide frontal mente comum carro compacto muito leve. Qual destas afirmar;6es sobre acolisao e con'eta? (a) A quantidade de energia cinetica perdida peloutilitario e igual a quantidade de energia cinetica ganha pelo carro;(b) a quantidade de momenta linear perdida pelo utilitario e iguala quantidade de momento linear ganha pelo carro; (c) 0 carro sofrea a"ao de uma forr;a muito major durante a colisao do que 0 utili-tario; (d) ambos os vefculos perdel1l a Illesma guantidade de ener-gia cinetica.

Exercicios

Se~ao 8.1 Momento linear e impulso8.1 a) Qual e 0 modulo do momenta linear de llm caminhao de10000 kg que se desloca com velocidade de 12,0 m/s? b) Qualdeve ser a velocidade de um carro esportivo de 2000 kg para queele tenha i) 0 meslllo momenta linear do caminhao? ii) a mesmaenergia cinetica?8.2 No Exemplo Conceitual 8.1 (Ser;ao 8.1), mostre que 0 barcode Illassa 2m possui, ao chegar na linha final, um Illomento linear\12 vezes maior do que 0 momento linear do barco de massa m.8.3 a) Mostre que a energia cinetica K eo modulo do momentalinear p de uma partfcula de massa m. sao relacionados por K =p2/2m. b) Uill cardeal (Richmondena cardinalis) com massa de0,040 kg e uma bola de beisebol de 0,145 kg possuem a mesillaenergia cinetica. Qual desses COl'pOSpossui 0 maior Illomentolinear? Qual e a razao entre 0 modulo do momento linear do car-deal e 0 modulo do momenta linear da bola de beisebol? c) Umhomem com 700 N e uma mulher com 450 N possuem 0 mesmomomento linear. Quem possui a maior energia cinetica? Qual e arazao entre a energia cinetica do homelll e a energia cinetica daI11l1lher?8.4 Em uma competi,,30 masculina de arremesso de peso, 0 pesopossui massa de 7,30 kg e e liberado com lima velocidade esca-lar de 15,0 mls formando Ulll iingulo de 40 acima do plano hori-zontal e por sobre a perna esquerda esticada de Ulll homeill.Quais sao os componentes vertical e horizontal iniciais domomenta linear desse peso?8.5 Em lima partida de futebol americano, lIlll atacante de 100 kgesta correndo da esquerda para a direita a 2,75 m/s enquantooutro atacante de 125 kg esta cOlTendo diretamente na sua dire-r;ao a 2,60 m/s. Quais sao (a) 0 modulo, a direr;ao e 0 sentido do

276 FISICA I

momenta linear resultante desses dois atletas e (b) a energia cine-tica total deles?8.6 Dois vefculos se aproximam de um cruzamento. Um deles euma caminhonete de 2500 kg que se desloca a 14,0 mls do lestepara oeste (no sentido negativo de x), e 0 outro e urn carro de pas-seio de 1500 kg que segue do suI para 0 norte (no sentido positivode y, a 23,0 mls). (a) Ache os componentes x e y do momentolinear resultante desse sistema. (b) Quais sao 0 modulo, a direr;aoe 0 sentido do momento linear resultante?8.7 Forc;a sobre uma bola de golfe. Uma bola de golfe de0,0450 kg que estava inicialmente em repouso passa a se deslo-car a 25,0 mls depois de receber 0 impulso de urn taco. Se 0 tacoe a bola permanecerarn em contato durante 2,00 ms, qual e a forr;amedia do taco sobre a bola? 0 efeito do peso da bola durante seucontato com 0 taco e importante? Por que sim ou por que nao?8.8 Forc;a sobre uma bola de beisebol. Uma bola de beisebolpossui massa igual a 0,145 kg. a) Sabendo que a velocidade dabola arremessada e de 45,0 mls e a velocidade da bola rebatida ede 55,0 m/s na mesma direr;ao, mas em sentido contrario, calcu-Ie 0 modulo da variar;ao do momenta linear e do impulso aplica-do pelo bastao sobre a bola. b) Se 0 bas tao e a bola permanecemem contato durante 2,0 ms, qual e 0 modulo da for"a media dobastao sobre a bola?8.9 Urn disco de h6quei de 0,160 kg move-se sobre uma superfi-cie horizontal com gelo e sem atrito. No instante t = 0, 0 discode hoquei se move da esquerda para a direita a 3,0 mls.a) Determine 0 modulo, a direr;ao e 0 senti do da velocidade dodisco de hoquei apos ele ter sofrido a ar;ao de uma forr;a de25,0 N aplicada durante 0,050 s da esquerda para a direita. b) Se,em vez disso, Fosse aplicada uma forr;a de 12,0 N de t = 0 at = 0,050 s da direita para a esquerda, qual seria a velocidadefinal do disco de hoquei?8.10 0 motor de urn sistema de manobra orbital em um ani busespacial exerce uma forr;a igual a (26700 N)j durante 3,90 s, eje-tando uma quantidade de massa de combustivel desprezivel emrelar;ao a massa de 95000 kg do anibus espacial. a) Qual e 0impulso da for"a durante 3,90 5? b) Qual e a variar;ao do momen-to linear do anibus espacial referente a esse impulso? c) Qual e avariar;ao da velocidade do anibus espacial referente a esse impul-so? d) Por que nao podemos calcular a variar;ao da energia cine-tica do 6nibus espacial?8.11 No instante t = 0, um foguete de 2150 kg no espar;o sideralaciona um motor que exerce uma forr;a crescente sobre ele nosenti do positivo de x. Essa for~a obedece a equar;ao Fx = At2,onde teo intervalo de tempo, e possui modulo de 781,25 Nquando t = 1,25 s. (a) Ache 0 valor S1 da constante A, incluindosuas unidades. (b) Qual e 0 impulso que 0 motor exerce sobre 0foguete durante 0 intervalo de 1,50 s a partir de 2,0 sapos a igni-r;ao do motor? (b) Qual e a variar;ao da velocidade do foguetedurante esse intervalo?8.12 Uma bola de beisebol de 0,145 kg e golpeada por urn bastao.1mediatamente antes do impacto, a bola se desloca a 50,0 m/shorizontalmente da esquerda para a direita e abandona 0 bas taose movendo com velocidade de 65,0 mls para a esquerda forman-do urn angulo de 30 acima da horizontal. Considerando que 0bas tao e a bola permanecem em contato durante 1,75 ms, calcu-Ie 0 modulo do componente horizontal e do componente verticalda forr;a media do bastao sobre a bola.

8.13 Uma pedra de 2,0 kg estadeslizando a 5,0 mls da esquer-da para a direita sobre umasuperficie horizontal sem atri-to, quando e repentinamenteatingida por um objeto queexerce uma grande for~a hori-zontal sobre ela, par um curtoperfodo de tempo. 0 gnifico na F' 034 E ,. 813Igura u. xerCiClO..Figura 8.34 mostra 0 modulodessa forr;a em funr;ao do tempo. (a) Qual e 0 impulso que essaforr;a exerce sobre a pedra? (b) Imediatamente apos a far~a ces-sar, ache 0 modulo, a direr;ao e 0 senti do da velocidade da pedrase a for"a atuar (i) para a direita e (ii) para a esquerda.

F(kN)

2,50

16,0I I , t (ms)

15,0

Se~ao 8.2 Conserva~ao do momento linear8.14 Uma astronauta de 68,5 kg esta no espar;o fazendo urn repa-ro na esta~ao espacial orbital. Ela lanr;a fora uma ferramenta de2,25 kg a 3,20 mls em rela"ao a estac;ao espacial. Com que velo-cidade escalar e em que direr;ao e sentido ela comer;ara a semover?8.15 Propulsao animal. Lulas e polvos se impulsionam expe-lindo agua. Eles fazem isso armazenando agua em uma cavida-de e repentinamente contraem a cavidade para expelir a aguaatraves de urn oriffcio. Uma lui a de 6,5 kg (incluindo a agua nacavidade) esti\ em repouso quando de repente avista um perigo-so predador. (a) Se a tuta possui 1,75 kg de agua em sua cavi-dade, a que velocidade escalar ela deve expelir essa agua parasubitamente atingir uma velocidade escalar de 2,50 mls e assimconseguir escapar do predador? Despreze qualquer efeito dearraste da agua circundante. (b) Quanta energia cinetica a luI acria com essa manobra?8.16 Voce esta em pe sobre uma cam ada de gelo de um estiidio defutebol em urn pais frio; despreze 0 atrito entre seus pes e 0 gelo.Um amigo joga para voce uma bola de 0,400 kg que se deslocahorizontalmente com velocidade de 10,0 m/s. Sua massa e iguala 70,0 kg. a) Se voce agarra a bola, com que velocidade voce e abola se deslocarao logo a seguir? b) Se a bola colide com voce erebate em seu peito, passando a adquirir uma velocidade horizon-tal de 8,0 mls em sentido oposto ao inicial, com que velocidadevoce se desloca apos a colisao?8.17 Sobre uma mesa de ar horizontal sem atrita, 0 disco dehoquei A (com massa igual a 0,250 kg) se desloca de encontro aodisco de h6quei B (com massa igual a 0,350 kg), que inicialmen-te esta em repouso. Depois da colisao, 0 disco de hoquei A pos-sui velocidade igual a 0,120 mls da direita para a esquerda e 0disco de h6quei B possui velocidade igual a 0,650 mls da esquer-da para a direita. a) Qual era a velocidade do disco de hoquei Aantes da colisao? b) Calcule a variar;ao da energia cinetica totaldo sistema ocorrida durante a colisao.8.18 Quando os carros forem equip ados com para-choques flexi-veis, eles vao bater e recuar nas colis6es em baixa velocidade,assim causando menos danos. Em um desses acidentes, um carrode 1750 kg que se desloca da esquerda para a direita a 1,50 mlscolide com urn carro de 1450 kg que segue da direita para aesquerda ai, 10 mls. Medidas indicam que a velocidade do carromais pesado logo apos a colisao era 0,250 m/s no sentido origi-nal. Despreze qualquer atrito da pista durante a colisao. a) Qualera a velocidade do carro mais leve logo apos a colisao?

b) Calcule a variar;ao na energia cinetica combinada do sistemacomposto pelos dois carros durante essa colisao.8.19 Os gases que se expandem ao abandonar 0 cano de um rifletambem contribuem para 0 recuo. Uma bala de calibre 30 possuimassa igual a 0,00720 kg e velocidade de 601 mls em relar;ao aocano, quando disparada de um rifle com massa igual a 2,80 kg.Urn rifle apoiado frouxamente recua com velocidade de 1,85 mlsem relar;ao a Terra. Calcule 0 momento linear dos gases de pro-pulsao em relar;ao a urn sistema de coordenadas fixo na Terra, nomomenta em que eles abandonam a boca do rifle.8.20 0 bloco A indicado na Figura 8.35 possui massa igual a1,0 kg, eo bloco B possui massa igual a 3,0 kg. Os dois blocosse aproximam, comprimindo a mola S entre eles; a seguir, 0 sis-tema e libertado a partir do repouso sobre uma superffcie hori-zontal sem atrito. A mola possui massa desprezivel, nao estapresa a nenhum dos bloc os e cai sobre a mesa depois que seexpande. 0 bloco B adquire lima velocidade de 1,20 mls. a)Qual a velocidade final do bloco A? b) Qual foi a energia poten-cial armazenada na mol a comprimida?

mA = 1,Okg mB = 3,0 kg

~ LFigura 8.35 Exercicio8.20.

S.:u Urn car;ador esta parado sobre um lago congelado e essen-cialmente sem atrito, quando usa um rifle que dispara balas de4,20 g a 965 m/s. A massa do car;ador (incluindo sua arma) e72,5 kg, e 0 ca"ador segura firmemente a arma apos 0 disparo.Ache a velocidade de recuo do car;ador, caso ele dispare 0 riflea) horizontalmente e b) formando urn angulo de 56,0 acima doplano horizontal.8.22 Um nucleo at6rnico se rompe repentinamente em duas par-tes (fiss6es). A parte A, de massa rnA' se desloca da direita para aesquerda com velocidade escalar Vk A parte B, de massa rnB, sedesloca da esquerda para a direita com velocidade VB' a) Use a leide conservar;ao do momento linear para solucionar vB em termosde rnA, rnB eVA' b) Use os resultados da parte (a) para mostrar queKAIKB = mJimA' onde KA e KB sao as energias cineticas das duaspartes.8.230 micleo do 124pO se decomp6e radioativamente por meio daemissao de uma partfcllla alfa (massa 6,65 X 10-27 kg) comenergia cinetica 1,23 X 10-12 J, conforme mediyao na estruturareferencial do laboratorio. Supondo que Po esteja inicialmenteem repouso nessa estrutura, ache a velocidade de recuo do nucleoque restou apos a decomposir;ao.8.24 Voce esta parado sobre uma ampla camada de gelo sem atri-to e segura uma pedra grande. Para sair do gelD, voce joga apedra de modo que ela atinja velocidade de 12,0 mls em relar;aoa superficie terrestre, formando um angulo de 35,0 acima doplano horizontal. Se a sua massa for 70,0 kg e a massa da rochafor 15,0 kg, qual sera a sua velocidade escalar apos lanr;ar apedra? (Veja Questiio para Discussao Q8.7.)8.25 Daniel (massa de 65,0 kg) e Rebeca (massa de 45,0 kg)estao praticando patinar;ao sobre uma pista de gelo. Enquantoesta parado amarrando 0 cordao de seu patim, Daniel ISatingidopor Rebeca, que se deslocava a 13,0 mls antes de colidir com ele.Depois da colisao, a velocidade de Rebeca possui modulo igual

Capitulo 8 Momenta linear, impulso e colisoes 277

a 8,0 mls e forma um angulo de 53,1 com a direyao de sua velo-cidade inicial. Ambos se movem sobre a superffcie horizontalsem atrito da pista de gelo. a) Qual sao 0 modulo, a direyao e 0senti do da velocidade de Daniel depois da colisao? b) Qual e avariayao da energia cinetica total dos dois patinadores em virtu-de da colisao?8.26 Uma astronauta no espar;o nao pode usar lima balanr;a parapesar objetos porque nao M gravidade. Mas ela possui recursospara medir a distancia e 0 tempo com precisao. Ela sabe que asua propria massa e 78,4 kg, mas nao tem certeza sobre a massade um grande tubo de gas no foguete sem ar. Quando esse tuboesta se aproximando del a a 3,50 mis, ela 0 empurra, dirninllindoa velocidade do tubo para 1,20 mlS (sem conseguir reverte-Io) eimpelindo-a a uma velocidade escalar de 2,40 mls. Qual e amassa desse tubo?8.27 Varia.;;ao de massa. Urn vagao de carga aberto na partesuperior possui massa de 24000 kg e se desloca sem atrito aolongo de um trilho horizontal. Esta chovendo torrencialmente eas gotas caem verticalmente. No inicio, 0 vagao esta vazio e sedesloca com velocidade de 4,0 mls. Qual sera a velocidade dovagao depois de acumular 3000 kg de agua da chuva?8.28 Colisao de aster6ides. Dois asteroides de igual massa nocinturao entre Marte e Jupitercolidem entre si com um estou-ro lurninoso. 0 asteroide A, quese deslocava inicialmente a40,0 mis, e desviado em 30,0 dasua direr;ao original, enquanto 0asteroide B se desloca a 45,0 dadirer;ao original de A (Figura 8.36). a) Ache a velocidade escalarde cada asteroide apos a colisao. b) Qual frar;ao da energia cineti-ca original do asteroide A se dissipa durante essa colisao?

A A{ ....,.\ ..40,0 mls (]f' 30,0~.. ~- --T-'''"j ~,Oo

Figura 8.36 Exerclcio 8.28.

Se~ao 8.3 Conserva~ao do momenta linear e colisoes8.29 Um peixe de 15,0 kg que nada a 1,10 m/s subitamente engo-Ie um peixe de 4,50 kg que estava inicialmente em repouso.Despreze qualquer efeito de arraste da agua. a) Ache a velocida-de escalar do peixe maior imediatamente apos ele devorar 0menor. b) Quanta energia mecanica foi dis sip ada nessa refeir;ao?8.30 Duas lontras brincalhonas deslizam ao encontro uma daoutra sobre uma superffcie horizontal lamacenta (e, portanto,sem atrito). Uma del as, com massa de 7,50 kg, desliza da direi-ta para a esquerda a 5,0 mis, enqllanto a outra, com massa de5,75 kg, escorrega da esquerda para a direita a 6,0 mls. Elasse agarram firmemente apos colidirem. a) Ache 0 modulo, adirer;ao e 0 sentido da velocidade dessas lontras logo aposa colisao. b) Quanta energia mecanica se dissipa durante essabrincadeira?8.:n Missao impacto profundo. Em julho de 2005, a missao"1mpacto Profundo" da NASA espatifou uma sonda de 372 kgcontra 0 cometa Tempel 1, atingindo a superficie a 37000 krn/h.A velocidade escalar original do cometa nesse instante era deaproximadamente 40000 kmIh, e sua massa foi estimada naordem de (0,10-2,5) X 10'4 kg. Use 0 menor valor da massa esti-mada. A) Qual variar;ao na velocidade do cometa essa colisaoproduziu? Essa variar;ao seria perceptivel? B) Suponha que essecometa fosse atingir a Terra e se fundir com ela. Em quanta elealteraria a velocidade do nosso planeta? Essa mudan"a seria per-ceptivel? (A massa da Terra e 5,97 X 1024 kg.)

8.32 Urn carro esportivo de 1050 kg se desloca com velocidadede 15,0 mls de leste para oeste em uma estrada horizontal quan-do colide com um caminhao de 6320 kg que se desloca de oestepara leste na mesma estrada a 10,0 m/s. Os dois veiculos ficamengavetados apos a colisao. a) Qual e a velocidade (modulo,direr;ao e selltido) dos veiculos logo apos a colisao? b) Qualdeveria ser a velocidade do caminhao para que os dois vefculosficassem parados logo apos a colisao? c) CaJcule a variar;ao daenergia cinetica total do sistema dos dois vefculos para a situar;aodescrita na parte (a) e para a situar;ao descrita na parte (b). Emqual das duas situa,,6es ocon'e a maior varia"ao da energia cine-tica total?8.33 Em um campo de futebol com lama, um zagueiro de 110 kgse choca com um jogador meio-de-campo de 85 kg. 1media-tamente antes da colisao, 0 zagueiro se deslocava com velocida-de de 8,8 m/s do suI para 0 norte e 0 outro jogador se deslocavacom velocidade de 7,2 m/s do oeste para 0 leste. Qual e a veloci-dade (modulo, direr;ao e sentido) com a qual os dois jogadores semovem unidos apos a colisao?8.34 Dois patinadores colidem e seguram um ao outro sobre gelosem atrito. Um deles, de mass a 70,0 kg, esta se movendo daesquerda para a direita a 2,00 mis, enquanto 0 outro, de massa65,0 kg, esta se movendo da direita para a esquerda a 2,50 m/s.Quais sao 0 modulo, a direr;ao e 0 sentido da velocidade dessespatinadores logo apos a colisao?8.35 Dois carros, sendo um compacto com massa de 1200 kg e 0outro um grande consumidor de gasolina com massa de 3000 kg,colidem frontal mente a velocidades tfpicas de estrada. a) Qualcarro possui maior modulo de varia"ao no momenta linear? Qualcarro possui maior varia

8.45 Moderadores. Os reatores nucleares do Canada usammoderadores de dgua pesada, nos quais ocorrem colis6es elasti-cas entre neutrons e deuterons de massa 2,0 u. (Veja 0 Exemplo8.11 da Ser;ao 8.4). a) Qual a velocidade de um neutron, expres-sa em funr;ao de sua velocidade inicial, depois de uma colisaofrontal com um deuteron que estava inicialmente em repouso? b)Qual e sua energia cinetica, expressa como uma frar;ao de suaenergia cinetica inicial? c) Quantas colis6es sucessivas iguais aessa seriam necessarias para reduzir a velocidade de um neutronate 1/59000 do seu valor original?8.46 Voce esta controlando um acelerador de partkulas,enviando um feixe de 1,50 X 107 m/s de protons (massa m)sobre urn alvo gasoso de um elemento desconhecido. Seudetector mostra que alguns protons sao rebatidos diretamentepara tras depois de uma colisao com urn mieleo do elementodesconhecido. Todos esses protons sao rebatidos para tras comvelocidade igual 1,20 X 107 mls. Despreze as velocidades ini-ciais dos nucleos dos alvos e suponha que as colis6es sejamelasticas. a) Ca1cule a massa do nueleo do elemento desconhe-cido. Expresse sua resposta em funr;ao da massa m do proton.b) Qual e a velocidade do nueleo do elemento desconhecidoimediatamente depois dessa colisao?

Se~ao 8.5 Centro de rnassa8.47 As massas e as coordenadas dos centros de massa de tres blo-cos de chocolate sao dadas por: (1) 0,300 kg, (0,200 m, 0,300 m);(2) 0,400 kg,(0,100 m, -0,400m); (3) 0,200 kg, (-0,300 m,0,600 m). Calcule as coordenadas do centro de massa do sistemaconstitufdo por esses tres blocos de chocolate.8.48 Determine a posir;ao do centro de massa do sistema consti-tuido pelo Sol e por Jupiter. (Como a massa de Jupiter e muitomaior do que as massas dos demais planetas, esta resposta fome-ce essencialmente a posir;ao do centro de massa do sistemasolar.) A posir;ao desse centro de massa esta dentro ou fora doSol? Use os dados do Apendice F.8.49 Plutao e Charon. 0 diametro de Plutao e de aproximada-mente 2370 km, e 0 diametro do seu satelite Charon e 1250 km.Embora haja variar;ao, em geral eles estao a 19700 kIn de distan-cia, de urn centro a outro. Supondo que Plutao e Charon possuema mesma composir;ao e, portanto, a mesma densidade media,ache a localiza"ao do centro de massa desse sistema em rela

280 FfslCA I

gas expel ida no primeiro segundo para que sua acelerar;ao sejaigual a 25,0 mls2?*8.59 Um foguete e disparado no espa"o sideral, onde a gravida-de e desprezivel. No primeiro segundo ele emite l~O da sua massacomo gas de exaustao e possui uma acelerar;ao igual a 15,0 mls2.Qual e 0 modulo da velocidade do gas de exaustao em relar;ao aofoguete?*8.60 Um modelo de motor de foguete C 6-5 possui um impulsoigual a 10,0 N . s durante 1,70 s, enquanto queima 0,0125 kg decombustive!. Sua forr;a de propulsao maxima e igual a 13,3 N. Amassa inicial do motor mais a massa do combustivel e igual a0,0258 kg. a) A forr;a de propulsao media corresponde a qual fra-r;ao da fon,;a de propulsao maxima? b) Calcule 0 modulo da velo-cidade relativa do gas de exaustao, considerando-o constante.c) Supondo que a velocidade relativa do gas de exaustao sejaconstante, ache a velocidade final do motor quando ele for dispa-rado a partir do repouso no espa,

8.11 Varia.;;ao de massa. Um vagao esta cheio de areia e se des-loca com uma velocidade inicial de 15,0 mls sobre trilhos hori-zontais. Despreze 0 atrito com os trilhos. A massa total do vagaocheio de areia e igual a 85000 kg. A porta do vagao nao esta bemfechada e a areia comer;a a escoar para fora pela parte inferior.Depois de 20 minutos, 13000 kg escaparam do vagao. Qual eentao a velocidade do vagao? (Compare sua analise com aquelaque voce usou para resolver 0 Exercfcio 8.27.)8.72 Em uma corrida envolvendo automoveis classicos, um carroNash Metropolitan 1955 com 840 kg se desloca com velocidadede 9,0 mis, seguido de urn carro Packard Clipping 1957 com1620 kg roncando com uma velocidade de 5,0 mls. a) Qual dosdois carros possui a maior energia cinetica? Qual e a razao entrea energia cinetica do Nash e a energia cinetica do Packard. b)Qual dos dois carros possui 0 maior modulo do momento linear?Qual a razao entre 0 modulo do momenta linear do Nash e 0modulo do momenta linear do Packard. c) Seja FN a forr;a resul-tante necessaria para fazer parar 0 Nash em urn intervalo detempo tl> e seja Fp a forr;a resultante necessaria para fazer pararo Packard no mesmo intervalo de tempo. Qual das duas e maior,FN ou Fp? Qual e a razao FNIFp? d) Seja FN a forr;a resultantenecessaria para fazer parar 0 Nash em uma dada distancia d, eseja F p a for

282 FislCA I

8.84 Uma bala de 5,0 g atravessa um bloco de madeira de 1,0 kgsuspenso por um flo de comprimento igual a 2,0 m. 0 centro demassa do bloco sobe ate uma altura de 0,45 cm. Sabendo que avelocidade inicial da bala era de 450 mis, ache a velocidade dabala no instante em que ela emerge do bloco.8.85 Um neutron de massa m colide frontalmente com um nucleode massa M, que esta inicialmente em repouso. a) Mostre que, sea energia cinetica inicial do neutron fosse Ko, a energia cineticaque ele perde durante a colisao e dada por 4mMKrl(M + mh. b)Para qual valor de M 0 neutron incidente perde a maior energia?c) Quando M possui 0 valor calculado na parte (b), qual e a velo-cidade do neutron depois da colisao?8.86 Compartilhamento de energia em colisoes elasticas. Umobjeto em repouso com massa ms e atingido frontalmente por umobjeto com massa mA que esta se movendo inicialmente a velo-cidade vo. a) Se a colisao for elastica, qual porcentagem da ener-gia original cada objeto tera apos a colisao? b) 0 que a sua res-posta para 0 item (a) fomece para os seguintes casos especiais i)rnA = ms e ii) mA = 5ms? c) Para quais valores, se for 0 caso, darazao mAims a energia cinetica original e compartilhada igual-mente pelos dois objetos apos a coli sao?8.87 No centro de distribuir;ao de uma transportadora de carga,um carrinJlO aberto com massa de 50,0 kg roda da direita para aesquerda com velocidade esca-Jar de 5,0 m/s (Figura 8.46).Despreze 0 atrito entre 0 carri-nho e 0 piso. Um pacote de15,0 kg desliza de cima parabaixo por uma calha de trans-porte que esta inclinada a 37do plano horizontal e deixa 0final da calha com velocidadede 3,0 m/s. 0 pacote cai dentro Figura 8.46 Probleilla8.87.do carrinho, e eles rodam jun-tos. Considerando que 0 final da calha esta a uma distancia ver-tical de 4,0 m acima do fundo do caninho, quais sao a) a veloci-dade escalar do pacote pouco antes de cair dentro do carrinho eb) a velocidade escalar final do carrinho?8.88 Um disco de hoquei azul de massa 0,0400 kg, deslizando comvelocidade igual a 0,200 m/s sobre uma mesa de ar horizontal sematrito, sofre uma colisao frontal pelieitamente elastica comum disco de hoquei vennelho de massa m, inicialmente em repou-so. Depois da colisao, a veJociclade do disco de hoquei azul e de0,050 mls no mesmo sentido da sua velocidade inicial. Determinea) 0 modulo, a direr;ao e 0 sentido do disco de h6quei vermelhodepois da colisao; b) a massa m do disco de h6quei vennelho.8.89 Dois asteroides com massas rnA e ms se Illovem com veloci-dades VA e VB em relar;ao a um astronomo que esta em um veicu-10 espacial. a) Mostre que a energia cinetica total medida peloast.ronomo e dada por

onde vern eM sao definidos como na Ser;ao 8.5, v;\ = VA - Vem'e VB = Vs - Vern' Nessa expressao a energia cinetica total dosdois asteroides e a energia associada com 0 centro de massa maisa energia associada com 0 movimento em torno do centro demassa. b) Se ocorrer uma coli sao entre os dois asteroides, qualdeve ser a energia cinetica minima que eles podem possuir emrelar;ao ao astr6nomo apos a colisao? Explique.

8.90 Suponha que voce mantenha uma bola pequena em contatocom uma bola grande diretamente sobre seu centro. Se voce lar-gar a bola pequena um pequeno intervalo de tempo apos Im'gar abola grande, a bola pequena sera rebatida para cima com umavelocidade surpreendente. Para exemplificar 0 caso extremo,despreze a resistencia do ar e suponha que a bola grande fa

8.96 Um proton se deslocando ao longo do eixo +Ox com velo-cidade VA' sofre uma colisao elastica fora da linha central comoutro proton identico que esta inicialmente em repouso. Depoisdesse impacto, 0 primeiro proton se desloca com velocidade VA2no primeiro quadrante, formando um angulo a com 0 eixo +Ox,eo segundo proton se desloca com velocidade UB2 no quarto qua-drante formando um angulo f3 com 0 eixo +Ox (veja a Figura8.13). a) Escreva as equar;6es que descrevem a lei da conserva-r;ao do momenta linear para os componentes x e y. b) Eleve aoquadrado as equar;6es obtidas na parte (a) e some membro amembro os resultados. c) 1ntroduza agora 0 fato de a colisao serelastica. d) Demonstre que a + f3 = 71'/2. (Voce esta demonstran-do que esse resultado e valido para qualquer colisao elastica forada linha central entre dois corpos de mesma massa, quando umdos COl'poSesta inicialmente em repouso.)8.97 Um disco de hoquei B, inicialmente em repouso sobre umasuperficie de gelo sern atrito, sofre uma colisao com outro discode hoquei A que possui a mesma massa do primeiro. 0 disco dehoquei A estava inicialmente se deslocando a 15,0 m/s e sofre umdesvio de 25,0 em relar;ao it direr;ao inicial. Considere uma coli-sao perfeitamente elastica. Calcule 0 modulo cia velocidade finalde cad a disco de hoquei e a direr;ao e 0 senti do cia velocidadefinal do disco de hoquei B. (Sugestiio: Use a relar;ao deduzida naparte (d) do Problema 8.96).8.98 Joao e Jose estao sentados em um treno que esta inicialmen-te em repouso sobre uma superficie de gelo sem atrito. 0 peso deJoao e igual a 800 N, 0 peso de Jose e igual a 600 N e 0 peso dotreno e igual a 1000 N. Ao notar a presen

284 FislCA I

(a) (b)

y yNeutron emitido

Neutron350 \ original

x K.=== I-- x

Neutron Niicleoem repouso

Neutron emitido

Figura 8.49 Problema 8.105.

discos se movem ao longo do eixo +Ox. a) Calcule a velocidadedo centro de massa do sistema dos dois discos antes da coLisao. b)Considere um sistema de coordenadas cuja origem e localizada nocentro de massa e que se move com ele. Esse sistema de coorde-nadas constitui um sistema de referencia inercial? c) Quais sao asvelocidades iniciais UAI e UBI neste referencial do centro demassa? Qual e 0 momento linear total do sistema nesse referen-cial do centro de massa? d) Use a lei da conserva"ao do momen-to linear e a lei da conSerVayaO da energia, aplicando-as para 0referencial do centro de massa, para obter rela,,6es entre 0momento linear final e 0 momenta linear inicial de cada disco dehoquei e, pOt1anto, entre a velocidade final e a velocidade inicialde cada disco de hoquei. Os seus resultados mostrarao que proble-mas envolvendo uma colisao frontal elastica em uma dimensaopodem ser descritos de modo muito simples em rela"ao ao refe-rencial do centro de massa. e) Considere mA = 0,400 kg, me =0,200 kg eVA' = 6,0 m/s. Usando 0 resultado da parte (d), deter-mine as velocidades do centro de massa uA] e U/3I; a seguir, trans-forme as velocidades para 0 sistema estacionario para achar asvelocidades finais dos discos. Os seus resultados concordam comos obtidos nas equar;6es (8.24) e (8.25)?8.1070 coeficiente de restituir:;iioE de uma colisao frontal e defi-nido como a raZ30 entre a velocidade relativa depois da coli sao ea velocidade relativa antes da coLisao. a) Qual e 0 valor de para Euma colisao completamente inelastica? b) Qual eo valor de E parauma colisao elastica? c) Uma bola e largada de uma altura h sobreuma superffcie estaciomi.ria e retorna ate uma altura H,. Mostreque E = ViiJh. d) Uma bola de basquete enchida com a pres-sao apropriada possui um coeficiente de restituir;ao igual a 0,85.Se essa bola e largada de uma altura de 1,2 m acima de um pisode madeira ate que altura ela retorna? e) Quando a bola e rebati-da depois da primeira colisao com 0 solo, a altura atingida e Hr.Supondo que E seja constante, mostre que a altura atingida quan-do a bola e rebatida depois de n colis6es com 0 solo e dada porH" = E2"h. f) Supondo que E seja constante, qual a altura atingidapor uma bola de basquete enchida com a pressao apropriada e lar-gada de uma altura de 1,2 m?8.108 Energia de ligac;:aoda moh~cula de hidrogenio. Quandodois aromos de hidrogenio de massa In se combinam para formara molecula diatomica do hidrogenio (H2), a energia potencial dosistema depois da combinar;ao e igual a - 11,onele 11e uma gran-deza positiva denominada energia de ligar:;iio da molecula.a) Mostre que em uma colisao envolvendo somente dois aromos

de hidrogenio e impassIve! formar uma moIecula de H2, porquenao poderia ocorrer simultaneamente conservar;ao do momentalinear e conservar;ao da energia. (Sugestiio: Se voce provar queessa afirmar;ao e valida em um dado sistema de referencia, entaoela sera valida em qualquer sistema de referencia. Voce sabe pOl'que?) b) Em uma colisao envolvendo tres atomos de hidrogenio,uma molecula de H2 pode ser formada. Suponha que antes dacolisao cad a lllll dos tres atomos se aproxime com velocidadeigual a 1,0 X 103 m/s e que as direr;6es dessas velocidades for-mem entre si angulos iguais a 120, de modo que a cada instanteos aromos estejam sobre os vertices de um triangulo equilatero.Calcule a velocidade do atomo de hidrogenio que sobra depoisda colisao e a velocidade da molecula de H2. A energia de liga-

12000 kg, sendo de 9000 kg a massa do combustive!. A massatotal do segundo estagio e igual a 1000 kg, sendo de 700 kg amassa do combustive!' Suponha que a velocidade relativa Vex domaterial expelido seja constante e despreze qualquer efeitoda gravidade. (0 efeito da gravidade e pequeno durante 0 perfo-do da combustao, quando a taxa de consumo de combustivel eelevada.) a) Suponha que a massa total do combustivel transpor-tado pelo foguete com dois estagios seja utilizada em um fogue-te com um unico estagio com a mesma massa total de 13000 kg.Para urn foguete partindo do repouso, qual seria, em termos deVex> sua velocidade no momenta em que 0 combustivel termina?b) Para um foguete com dois estagios, qual seria sua velocidadeno momenta em que 0 combustivel do primeiro estagio termina,sabendo que 0 primeiro estagio transporta 0 segundo ate esseponto? A seguir, essa velocidade torna-se a velocidade inicial dosegundo estagio. Nesse ponto, 0 segundo estagio se separa doprimeiro. c) Qual e a velocidade final do segundo estagio?d) Qual deve ser 0 valor de Vex para que 0 segundo estagio atin-ja uma velocidade final igual a 7,0 km/s?*8.112 Suponha que a massa do foguete descrito nos Exemplos8.15 e 8.16 (Se"ao 8.6) seja uma fun"ao do tempo dada por

{

mo

m(t) = mO(1 __ t_)120 s

mo/4 para t 2: 90 sa) Calcule e far;a um grafico da velocidade em funltao do tempodes de t = 0 ate t = 100 s. b) Calcule e far;a um grafico da acele-raltao em funr;ao do tempo desde t = 0 ate t = 100 s. c) Urn astro-nauta de 75 kg esta deitado sobre uma cadeira inclinada duranteo lanltamento do foguete. Qual e a forr;a resultante maxima exer-cida pela cadeira sobre 0 astronauta durante 0 lanr;amento dofoguete? Como se compara essa resposta com 0 peso do astro-nauta sobre a Terra?

para t < 0

para 0 ,,; t ,,; 90 s

Problemas Desafiadores8.113 Na Ser;ao 8.5 calculamos 0 centro de massa considerandoobjetos compostos por urn numero finito de massas puntiformes ouobjetos que por simetria pudessem ser representados por umnumero finito de massas puntiformes. Para um objeto cuja distri-buir;ao de massas nao pennite uma determinar;ao simples do cen-tro de massa mediante considerar;6es de simetria, as somas indica-das nas equar;6es (8.28) devem ser generalizadas para integrais:

Xcm = ~ Ix dm Yem = ~ IY dmonde x e Y sao as coordenadas de uma pequena porr;ao do objetode massa dm. A integraltaO e feita sobre 0 volume total do obje-to. Considere uma barra delgada de comprimento L, massa M esejaA a area da ser;ao reta da barra. Suponha um sistema de coor-denadas com origem na extremidade esquerda da barra e com 0eixo +Ox ao longo da balTa. a) Sabendo que a densidade p =M/V do objeto e uniforme, integre as rela,,6es anteriores paramostrar que a coordenada x do centro de massa da ban'a coinci-de com 0 seu centro. b) Sabendo que a densidade varia linear-mente com x, ou seja, p = ax, onde a e uma constante positiva,determine a coordenada x do centro de massa da barra.

Capitulo 8 Momento linear, impulso e colis6es 285

8.114 Use 0 me to do doProblema Desafiador 8.113para deterrninar as coordenadasx e y do centro de massa deuma placa metalica semicircu-lar com densidade uniforme p eespessura t. Chame de a 0 raioda placa. Entao, a mass a daplaca e M = ~p7ra2t. Use 0 sis- Figura 8.51 Probleilla

d d d . . d Desafiador8.114.tema e coor ena as mdlca 0na Figura 8.51.8.115 Um quarto de uma corda de comprimento I esta suspensano ar apoiada na borda de uma mesa sem atrito. A corda possuiuma densidade linear (massa por unidade de comprimento) uni-forme ,\ (a letra grega 'lambda'), e sua extremidade que estasobre a mesa e mantida em repouso por uma pessoa. Qual eo tra-balho realizado por essa pessoa para puxar a corda lentamente eelevar a parte suspensa ate que a corda fique inteiramente sobrea mesa? Resolva 0 problema usando dois metodos, como sesegue. a) Ache a forr;a que a pessoa deve realizar para elevar.acorda e a partir da{ calcule 0 trabalho realizado. Note que essaforr;a e variavel porque a cada instante diferente, fra,,6es da cardaficam suspensas na borda da mesa. b) Suponha que 0 segmentoda corda que inicialmente estava suspenso na borda da mesa pos-sui toda a sua massa concentrada em seu centro de massa.Calcule 0 trabalho necessario para elevar essa massa ate a alturada mesa. Talvez voce ache esse metodo mais simples do que 0usado na parte (a). Como as duas respostas se comparam e porque voce obtem esse resultado?*8.116Vma gota de chuva com massa varhivel. Em urn proble-ma de propulsao de urn foguete, a massa e variavel. Outro pro-blema com massa variavel e fornecido par uma gota de chuvacaindo no interior de uma nuvem que contem muitas gotasminusculas. Algumas dessas got1culas aderem a gota que cai,fazendo, portanto, aumentar sua massa a medida que ela cai. Aforlta sobre a gota de chuva e dada por

dp dv dmF =-=m-+v-exl dt dt dt

y

x

Suponha que a massa da gota de chuva dependa da distancia xpercorrida durante sua queda. Entao, m = 10:, onde k e uma cons-tante, portanto dm/dt = kv. Como Fexl = mg, obtemos

dvmg = m- + v(ku)

dt

Ou, dividindo par k

dvxg = x- + v2

dt

Essa equar;ao diferencial possui uma solu"ao na forma V = at,onde a e uma aceleraltao constante. Considere a velocidade ini-cial da gota igual a zero. a) Usando a solultao proposta para v,determine a acelerar;ao a. b) Calcule a distancia percarrida pelagota ate 0 instante t = 3,0 s. c) Sabendo que k = 2,0 g/m, ache amassa da gota de chuva para t = 3,0 s. Para muitos outros aspec-tos intrigantes deste problema veja 0 artigo de K. S. Krane, Amer.Jour. Phys.Vol. 49 (1981), p. 113-117.