quelques probl`emes de la th©orie des syst`emes paraboliques

Download Quelques probl`emes de la th©orie des syst`emes paraboliques

Post on 05-Jan-2017

221 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Quelques problemes

    de la theorie des systemes

    paraboliques degeneres

    non-lineaires

    et des lois de conservation

    Boris P. ANDREIANOV

    These de doctorat en Mathematiques et Applications

    soutenue

    a lUniversite de Franche-Comte, Besancon, France

    le 20 janvier 2000

    devant le jury compose de

    Assia Benabdallah, Universite de Franche-Comte

    Philippe Benilan, Universite de Franche-Comte (le Directeur)

    Valery Galkin, Institut de lEnergie Nucleaire, Obninsk, Russie (Rapporteur)

    Raphaele Herbin, Universite de Provence, Marseille (Rapporteur)

    Louis Jeanjean, Universite de Franche-Comte

    Evgenii Radkevich, Universite Lomonossov de Moscou, Russie

    Denis Serre, Ecole Normale Superieure de Lyon (Rapporteur)

    Petra Wittbold, Universite Louis Pasteur de Strasbourg.

  • Remerciements

    Je crois sincerement avoir eu une chance extraordinaire. Pendant les six dernieres

    annees, Stanislav Nikolaevich Kruzhkov, puis Philippe Benilan, mont mene dans le monde

    de la recherche. Parmi tout ce quils mont donne, il mest difficile de choisir le plus

    precieux. Peut-etre, est-ce le gout pour la beaute des mathematiques; la volonte de ne pas

    sarreter a mi-chemin, daller au fond des choses. Et surtout, la confiance quils mont

    accordee, au-dela de ce que jaurais pu esperer. A Stanislav Kruzhkov et Philippe Benilan,

    jadresse ma premiere pensee et ma plus profonde gratitude.

    Je remercie beaucoup Evgenii Radkevich. Son soutien a aide a la poursuite de ce travail

    en co-tutelle, les discussions avec lui ont ete stimulantes.

    Athanasios Tzavaras sest interesse a mes resultats; il ma suggere un des problemes

    abordes dans cette these. Je len remercie.

    Denis Serre a accepte de donner son avis sur ce memoire; son appreciation mest

    tres importante. De plus, il ma fait lhonneur de presider le jury de these. Je lui suis

    doublement reconnaissant.

    Je suis reconnaissant a Valerii Galkin, pour son rapport sur cette these, pour avoir

    pris part a ce jury, et pour tout le soutien quil ma accorde a Moscou.

    Mes remerciements vont a Raphaele Herbin, pour lavis quelle a donne sur ce travail,

    pour ses explications, pour avoir accepte de participer au jury.

    Je remercie Brian Gilding pour avoir accepte de faire un rapport sur ce memoire, et

    pour lattention quil a pretee a mes tous premiers resultats.

    Assia Benabdallah ma fait lhonneur de participer a ce jury. De longues discussions

    avec elle, son encouragement constant mont ete precieux. Je lui adresse ma profonde

    reconnaissance.

    Je dois une partie importante de ma these a la collaboration avec Petra Wittbold. Elle

    a bien voulu sinteresser aux diverses parties de ce memoire et prendre part au jury. Jen

    suis honore. Je la remercie, et je remercie Michael Gutnic. Notre travail a trois ma

    beaucoup appris; il a ete un plaisir pour moi.

    Louis Jeanjean a bien voulu sinteresser aux questions abordees dans cette these et

    participer a ce jury. Ses remarques me seront tres utiles dans lavenir; je le remercie de

    son engagement.

  • La grande disponibilite de Catherine Pagani, Catherine Vuillemenot, Monique Digu,

    Jacques Vernerey, Jean-Daniel Tissot, Odile Henri, Nathalie Pasquet ma facilite la tache;

    leur gentillesse ma touche. Je leur dis merci.

    Le Labo de Mathematiques de Besancon ma accueilli pendant trois annees. Ou que

    je sois, je serai toujours nostalgique de son ambiance. Jen garderai des souvenirs, jen

    garderai des amis.

    Je dis merci et spasibo a mes amis : ceux de Moscou, de Besancon, de St-

    Peterbourg... On a partage de bons moments; leur encouragement ma beaucoup aide.

    Ma mere et mon pere mont apporte un soutien inestimable. Je leur dedie cette these.

  • Resume

    Dans la premiere partie, on traite par lapproche de viscosite auto-similaire le probleme

    de Riemann pour la loi de conservation scalaire et les systemes de type dynamique des

    gaz isentropiques en coordonnees de Lagrange et dEuler. Dans chacun des cas, cette

    etude aboutit aux resultats dexistence et dunicite de la solution wave-fan admissi-

    ble pour toute fonction de flux continue. En particulier, on couvre le cas dapparition

    du vide dans la dynamique des gaz et le cas des problemes mixtes avec transitions de

    phase. Dautre part, pour une loi de conservation scalaire multi-dimensionnelle avec une

    fonction de flux continue on demontre lexistence des solutions entropiques generalisees

    maximum et minimum dans le cadre L1 L . On etudie la nature de ces solutions alaide de la theorie des semi-groupes non-lineaires; ensuite, on etend quelques resultats

    dunicite dus a Benilan et Kruzhkov.

    Dans la deuxieme partie, on traite de systemes elliptiques-paraboliques dont les coeffi-

    cients peuvent dependre de (t, x) . On demontre un theoreme de continuite des solutions

    variationnelles par rapport aux donnees et obtient ainsi le resultat dexistence de Alt et

    Luckhaus sous des hypotheses plus faibles, tout en mettant en evidence lessentiel de

    leurs arguments. On applique ensuite les techniques developpees pour demontrer la con-

    vergence des schemas de volumes finis pour un systeme modele fortement nonlineaire,

    qui apparat dans la physique des milieux poreux. On propose ainsi une approche pour

    la convergence des methodes de volumes finis, ou la preuve se fait par reduction du cas

    discret au cas continu.

    Mots cles :

    lois de conservation, probleme de Riemann, viscosite auto-similaire, dynamique des gaz

    isentropiques, solutions entropiques generalisees, semi-groupes non-lineaires, systemes

    elliptiques-paraboliques, conditions de type Leray-Lions, methodes de volumes finis.

  • Abstract

    In the first part, one treats by the self-similar viscosity approach the Riemann problem

    for a scalar conservation law and the systems of the isentropic gas dynamics type in

    the Lagrange and Euler coordinates. In each of the cases, the study yields existence

    and uniqueness of a wave-fan admissible solution for all continuous flux function. In

    particular, the situation when vaccuum appears in gas dynamics is covered, as well as

    the case of problems of mixed type with phase transitions. On the other hand, for a

    scalar multidimensional conservation law with continuous flux function the existence of

    maximum and minimum generalized entropy solutions in the L1 L framework isproved. Using the nonlinear semigroup theory, one studies the nature of these solutions;

    then one extends some uniqueness results of Benilan and Kruzhkov.

    In the second part, one treats elliptic-parabolic systems with coefficients that may

    depend on (t, x) . A theorem on continuity of variational solutions with respect to data

    is proved. This yields the existence result of Alt and Luckhaus under weaker hypotheses,

    while clarifying the essence of their arguments. Necessary techniques are developped;

    next, they are applied to proving convergence of finite volume schemes for a model

    strongly nonlinear system, which appears in the study of porous media. An approach for

    convergence of finite volume methods is proposed, where the proof goes on by reduction

    of the discret case to the continuous one.

    Key words :

    conservation laws, Riemann problem, self-similar viscosity, isentropic gas dynamics, gen-

    eralized entropy solutions, nonlinear semigroups, elliptic-parabolic systems, Leray-Lions

    type conditions, finite volume methods.

  • Table des matieres :

    Introduction

    Chapitre I Enonces des quelques problemes

    et un resume des resultats obtenus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. . . 19

    Chapitre II Les quelques problemes

    dans le contexte mathematique et physique . . . . . . . . . . . . . 21. . . 31

    Part 1. Conservation Laws with Continuous Flux Function

    Chapter 1.I The Riemann Problem for Scalar Conservation Law

    with Continuous Flux Function:

    the Self-Similar Viscosity Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35. . . 43

    Chapter 1.II The Riemann Problem for p-System

    with Continuous Flux Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45. . . 62

    Chapter 1.III On Viscous Limit Solutions to the Riemann Problem

    for the Equations of Isentropic Gas Dynamics

    in Eulerian Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63. . . 82

    Chapter 1.IV L1 -Theory of Scalar Conservation Law

    with Continuous Flux Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83. . . 98

    Part 2. Weak Solutions for Elliptic-Parabolic Systems

    Chapter 2.I Elliptic-Parabolic problems: Existence and Continuity

    with Respect to the Data of Weak Solutions . . . . . . . . . 101. . . 124

    Chapter 2.II Convergence of Finite Volume Approximations

    for a Nonlinear Elliptic-Parabolic Problem:

    a Variational Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125. . . 159

    Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163. . . 172

  • Introduction

  • CHAPITRE I

    Enonces des quelques problemes

    et un resume des resultats obtenus

    Partie 1.Les lois de conservation

    avec une fonction de flux continue

    On etudie ladmissibilite et lunicite de solutions pour la loi de conservation scalaire et les

    systemes de type elasticite non-lineaire et dynamique des gaz isentropiques. En general,

    la fonction de flux est seulemen

View more