pour l’obtention du diplôme universitaire d’actuariat de l
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Mémoire présenté le : 17 Novembre 2015
pour l’obtention du Diplôme Universitaire d’actuariat de l’ISFA
et l’admission à l’Institut des Actuaires
Par : Chloë VESTRI
Titre : Elaboration d’une loi d’entrée en arrêt de travail et étude de l’impact de
l’hétérogénéité sur le coefficient de sécurité
Confidentialité : NON OUI (Durée : 1 an 2 ans)
Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus.
Signature Entreprise
Nom : PERICLES ACTUARIAL
Signature :
Directeur de mémoire en entreprise
Nom : Mme Anne Sophie MUSSET
Signature :
Invité
Nom : M. Denis BOURGEOIS
Signature :
Autorisation de publication et de mise
en ligne sur un site de diffusion de
documents actuariels (après expiration
de l’éventuel délai de confidentialité)
Signature du responsable entreprise
Secrétariat : Signature du candidat
Mme Christine DRIGUZZI
Bibliothèque :
Mme Patricia BARTOLO
Membres présents du jury de l’ISFA
M. Frédéric PLANCHET
M. Yahia SALHI
Membres présents du jury de l’IA
Mme Magali KELLE-VIGNON
M. Patrick PERRET
M. Yann QUERE
M. David VALLEE
1
Résumé
Mots clefs : prévoyance, arrêt de travail, garantie incapacité, fréquence d'entrée en
arrêt de travail, modèles de durée, estimateur binomial, lissage de Whittaker-Henderson,
ajustement par splines cubiques, tari�cation, segmentation, théorie de la ruine, char-
gement de sécurité.
Bien que très peu étudiée du fait d'un manque de données disponibles, l'évaluation de la fréquenced'entrée en incapacité permet une meilleure appréciation du risque arrêt de travail. Ainsi, dans uncontexte �nancier compliqué, sa maîtrise peut se révéler être un atout pour aider les organismesassureurs à ajuster leur tari�cation et potentiellement commercialiser des contrats à des prix plusattrayants.
Grâce à la mise à disposition par le BCAC 1 de l'historique des données de son portefeuille du RégimeProfessionnel de Prévoyance, ce mémoire a permis d'estimer le taux d'incidence en incapacité etd'étudier l'impact sur le chargement de sécurité du degré d'hétérogénéité pris en compte dans latari�cation.
Dans un premier temps, le marché de la prévoyance et les caractéristiques du risque arrêt de travailsont présentés. Les données fournies par le BCAC font ensuite l'objet d'une description et d'unretraitement a�n d'éliminer les valeurs qui pourraient induire un biais dans le résultat. Puis, àpartir de l'estimateur binomial et via un lissage de Whittaker-Henderson, la loi d'entrée en arrêt detravail est élaborée. En�n, la dernière partie s'attache à mesurer les conséquences d'une éventuellesegmentation en matière de taux d'incidence sur le chargement de sécurité.
1. Bureau Commun d'Assurances Collectives
2
Abstract
Key words : protection, sick leave, disability risk, disability incidence rate, dura-
tion models, binomial estimator, Whittaker-Henderson smoothing, spline cubic �tting,
pricing, segmentation, ruin theory, risk margin.
Even if the valuation of the disability incidence rate is not often computed because of a lack ofavailable information, it leads to a better estimation of the disability risk. In a complicated �nancialframework, its control turns out to be a competitive advantage and gives the means to either increasethe pro�t margin or to sell more attractive policies.
Based on the data from the BCAC 2 on the Régime Professionnel de Prévoyance's portfolio, thisstudy aims to estimate the disability incidence rate and to analyse the impacts on the risk marginof pricing segmentation.
After describing the protection market and especially the characteristics of the disability risk, thesecond part is devoted to a presentation of the data and their processing in order to avoid biaisin the computation. Then, disability incidence rates for each age are calculated using the binomialestimator and a Whittaker-Henderson smoothing method. Finally, a quantitative research on theconsequences of pricing segmentation is conducted.
2. Bureau Commun d'Assurances Collectives
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Remerciements
Je souhaite tout d'abord remercier Roberto WOLFRUM, Responsable du Département Techniquedu BCAC, qui m'a permis de conduire cette étude sur le portefeuille du RPP. Je remercie aussiBénédictie BONNANFANT du service actuariat du BCAC grâce à qui les données transmises n'ontplus eu de secret pour moi.
J'adresse également mes remerciements à Frédéric PLANCHET, mon tuteur ISFA, pour son enca-drement ainsi qu'au Dr BAGGIO pour l'analyse médicale des résultats de l'étude.
Je tiens à remercier la dream team Péricles Actuarial qui m'a épaulée tout au long du mémoire : enparticulier Denis BOURGEOIS, Directeur Associé, et Anne Sophie MUSSET, Directrice Actuariat,pour leurs nombreux conseils ; sans oublier Marion DOUILLARD pour sa présence pendant la périodeestivale.
En�n, un grand merci à Franck et Virginie, mes parents d'adoption durant l'année tout juste écouléeet sans qui j'aurais eu beaucoup plus de di�cultés à �naliser ce mémoire. Je n'oublie pas non plusma vraie famille et Virgile pour leur précieux soutien.
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Table des matières
Introduction 7
1 Prévoyance et incapacité temporaire de travail 81.1 Description du marché de la prévoyance en France . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.2 Risque arrêt de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.3 Obligations réglementaires en matière de garantie incapacité . . . . . . . . . . 11
1.2 Dispositif assurantiel des contrats étudiés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.1 Groupe B2V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2 Régime Professionnel de Prévoyance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Prise en charge de l'arrêt de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1 Prise en charge par la Sécurité Sociale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2 Prise en charge RPP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Etude des données 172.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Problématiques rencontrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.2 Données relatives aux assurés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.3 Données relatives aux sinistres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Traitement des bases de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.1 Données relatives aux assurés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.2 Données relatives aux sinistres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Première analyse des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.1 Données relatives aux assurés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.2 Données relatives aux sinistres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Estimation de la fréquence d'entrée en arrêt de travail 303.1 Remarques préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.1 Troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.1.2 Censure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.1.3 Estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Taux d'entrée en arrêt de travail par âge non-segmentés . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.1 Estimation des taux bruts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.2 Révision des taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Taux bruts segmentés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.1 Segmentation selon le genre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5
3.3.2 Segmentation selon la catégorie socio-professionnelle . . . . . . . . . . . . . . 473.3.3 Segmentation selon le genre et la catégorie socio-professionnelle . . . . . . . . 473.3.4 Lissage des taux bruts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4 Interprétation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Impact de l'hétérogénéité de la tari�cation sur le chargement de sécurité 554.1 Théorie de la ruine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.1 Cadre mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1.2 Application aux données du BCAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 Etude du chargement de sécurité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2.1 Calcul du chargement via le Théorème Central Limite . . . . . . . . . . . . . 594.2.2 Description de l'étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2.3 Résultats sur les données du RPP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2.4 Evolution du chargement de sécurité en fonction de la taille du portefeuille . 654.2.5 Evolution du chargement de sécurité en fonction de la probabilité de ruine �xée 67
Conclusion 69
Bibliographie 71
Annexes 72Liste des abréviations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Liste des notations mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Détail des taux d'entrée lissés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Graphiques supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Table des �gures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Liste des tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
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Introduction
L'ANI 3 du 11 Janvier 2013 sur la généralisation de la complémentaire santé annonce une transforma-tion du marché de la protection sociale : la censure du principe de désignation déclarée par le ConseilConstitutionnel devrait favoriser la concurrence et la compétition entre les organismes d'assurancesanté, au risque de réduire les marges techniques sur cette branche d'activité. Il faut d'ailleurs re-marquer, sans que le lien de cause à e�et soit parfaitement établi à ce stade, que la santé collectiveest d'ailleurs devenue dé�citaire en 2014 avec un S/P de 101,9 % chez les institutions de prévoyance[17] . Aussi, les groupes sont dans l'obligation de développer de nouvelles activités concurrentielless'ils veulent poursuivre leur croissance et se tournent assez naturellement vers la prévoyance. Enparticulier, au sein des institutions de prévoyance, le principal moteur de l'accroissement se trouveêtre le marché de la prévoyance, en hausse de 7,5 % 4 en 2014.
Le développement de cette activité complémentaire s'inscrit en outre dans un contexte �nancier dif-�cile (il ne faut donc plus compter sur les résultats �nanciers pour équilibrer des résultats techniqueséventuellement négatifs) et de la mise en ÷uvre de Solvabilité II au 1er Janvier 2016 qui exige desorganismes une meilleure maitrise de leurs risques.
L'évaluation au plus juste du risque arrêt de travail, un des aléas couverts par l'assurance prévoyance,pourrait donc s'avérer être un atout dans ce triple contexte concurrentiel, �nancier et réglementaire.Ceci permettrait soit de proposer des tarifs plus attractifs, soit d'augmenter la marge réalisée sur cetype de contrats. Bien que l'appréciation des garanties incapacité et invalidité, les deux composantesdu risque arrêt de travail, soit l'objet de nombreuses études, la problématique de l'estimation des tauxd'entrée en incapacité reste assez peu traitée. Une telle disparité peut s'expliquer par un nombred'informations disponibles relativement faible ou encore très con�dentielles. Néanmoins, il a étépossible de mener une étude sur le sujet à partir de données fournies par le Bureau Commun desAssurances Collectives. Ces éléments sont issus des contrats du Régime Professionnel de Prévoyanceréservé au personnel des sociétés d'assurance.
Ainsi, après la description du marché de la prévoyance et plus particulièrement de la prise en chargede l'incapacité, les données mises à disposition et leur retraitement feront l'objet d'une analysedétaillée. La troisième partie concerne, quant à elle, l'étude des fréquences d'entrée en arrêt detravail selon di�érentes segmentations des assurés. En�n, est évalué l'impact sur le chargement desécurité de la prise en compte de l'hétérogénéité en matière de loi d'incidence.
3. A la place du terme � Accord National Interprofessionnel � est couramment utilisé son acronyme � ANI �.4. Donnée en % des cotisations pour les institutions de prévoyance [17]
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Chapitre 1
Prévoyance et incapacité temporaire de
travail
1.1 Description du marché de la prévoyance en France
1.1.1 Présentation
La prévoyance est une assurance dont le but est de protéger la personne des aléas de la vie humaine.Elle s'inscrit dans l'organisation générale de la protection sociale et est même dé�nie par la loi. Ene�et, l'article n�89− 10009 de la loi EVIN du 31 Décembre 1989 la caractérise comme suit : il s'agit� des opérations ayant pour objet la prévention et la couverture du risque décès, des risques portantatteinte à l'intégrité physique de la personne ou liés à la maternité ou des risques d'incapacité detravail ou d'invalidité ou du risque chômage � [2].
Les aléas suivants peuvent notamment être couverts :
- L'arrêt de travail
- Le décès
- La dépendance
- L'épargne retraite
La Sécurité Sociale assure, via un régime de base obligatoire un premier niveau de couverture desrisques de la vie humaine [14]. Néanmoins, l'indemnisation n'étant pas totale, le recours à la pré-voyance complémentaire peut s'avérer indispensable. En France, trois types d'organismes, soumis àleurs propres obligations réglementaires, se partagent le marché 1. Ce sont :
- Les sociétés d'assurance
- Les mutuelles
- Les institutions de prévoyance
1. Données du tableau en % des cotisations d'assurance en a�aires directes, issues de [11].
8
Figure 1.1 � Description des di�érents acteurs
Il est à noter que les garanties incapacité et invalidité représentent plus de 50 % de l'activité desinstitutions de prévoyance [11] aussi bien pour ce qui est du pourcentage des cotisations, qu'enmatière de prestations administrées :
Figure 1.2 � Répartition du marché de la prévoyance
Les contrats d'assurance prévoyance proposés par les di�érents organismes peuvent être souscrits dedeux manières di�érentes :
- Collectivement
- Individuellement
Les adhésions collectives sont les plus répandues : pour les groupes prédominant le marché tels queAG2R La Mondiale et Malako� Médéric, environ 90 % des cotisations proviennent de ce type decontrats [11]. Ceci peut s'expliquer par le fait que les garanties de prévoyance s'ajoutent souventaux contrats collectifs d'assurance santé. Mis en place par le biais de l'employeur, de branches
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professionnelles ou interprofessionnelles et bien souvent obligatoires, ils s'inscrivent dans une relationtriangulaire :
Figure 1.3 � Schéma de la relation Salarié - Employeur - Organisme Assureur
Ils doivent béné�cier à l'ensemble des salariés ou bien à des catégories objectives. Ainsi, les garantiessouscrites s'appliquent à tous et aux mêmes conditions.
1.1.2 Risque arrêt de travail
L'arrêt de travail (AT) est la conséquence de l'impossibilité médicalement constatée de travailler.S'il résulte d'une maladie ou d'un accident de la vie courante, il est quali�é de � privé � mais s'ilest la suite d'un accident du travail ou d'une maladie professionnelle, on le déclare alors d'ordre �professionnel �. Au sein de chacune de ces catégories, deux types d'arrêt de travail sont dé�nis selonl'état de l'individu et la durée du sinistre. Un arrêt de la vie privée peut ainsi être considéré soitcomme une incapacité temporaire, soit comme une invalidité. En revanche, un individu en maladieprofessionnelle est identi�é en incapacité temporaire ou permanente. Ils sont représentés dans leschéma de la �gure 1.4. Les critères de classement dans ces sous-catégories seront détaillés par lasuite, dans la partie sur la prise en charge.
Figure 1.4 � Organigramme des catégories de l'arrêt de travail
10
1.1.3 Obligations réglementaires en matière de garantie incapacité
Convention Collective Nationale des Cadres (1947)
Ce texte impose à l'employeur de cotiser à un régime de prévoyance collective pour l'ensemble deses salariés cadres. La contribution a pour obligation de représenter au moins 1,5 % de la TrancheA 2 du salaire dont 0,75 % doit être réservé pour la couverture du risque décès.
Loi Evin (1989)
La loi Evin impose plusieurs règles :
- Les contrats collectifs couvrent tous les salariés, y compris ceux en arrêt de travail au momentde la signature du contrat
- En cas de résiliation, le paiement des rentes doit être maintenu au moins au niveau atteint
- La remise d'une notice d'information sur les garanties aux employés
- L'attribution d'un rapport annuel sur les résultats du contrat à l'employeur
Loi du 8 Aout 1994
Ce texte oblige à la revalorisation annuelle des prestations en rente et impose à l'entreprise d'enorganiser la poursuite à la suite de la résiliation du contrat.
Traitement �scal et social des cotisations
La cotisation patronale au régime de prévoyance complémentaire obligatoire et collectif n'est passoumise à l'impôt sur le revenu dans la limite de 5 % du PASS + 2 % du salaire annuel brut, le totalne pouvant dépasser 16 % du PASS.
Les parts employeurs et salariés sont également exonérées de charges sociales sous certaines condi-tions et plafonds :
- Dans la limite d'un montant égal à la somme de 6 % du PASS et de 1,5 % de la rémunérationannuelle
- Le total ne peut dépasser 12 % du PASS
- Les contributions patronales sont soumises à CSG 3 et CRDS 4 au forfait social de 8 % pourles entreprises de plus de 10 salariés
2. La Tranche A est égale à 1 Plafond Annuel de la Sécurité Sociale. En 2015, 1 PASS = 38 040e.3. CSG = Contribution Sociale Généralisée4. CRDS = Contribution au Remboursement de la Dette Sociale
11
1.2 Dispositif assurantiel des contrats étudiés
Comme mentionné en introduction, les données sur lesquelles repose ce mémoire sont issues descontrats collectifs d'assurance du Régime Professionnel de Prévoyance (RPP). Ils sont souscritsauprès de B2V Prévoyance et gérés par le Bureau Commun d'Assurances Collectives (BCAC).
1.2.1 Groupe B2V
B2V [5] est un groupe paritaire de protection sociale proposant des contrats individuels et collectifsen retraite et assurance de personnes. Il se compose de l'Association Sommitale, dont le rôle est dedé�nir la stratégie de l'entreprise, et de l'organisme de moyens B2V Gestion qui pilote toutes lesentités du groupe.
B2V Prévoyance, l'institution de prévoyance associée, gère notamment l'ensemble de la protection so-ciale des sociétés et mutuelles d'assurance en leur o�rant une complémentaire collective regroupant :remboursement des frais de santé, garanties décès, incapacité et invalidité ainsi que complément deretraite, indemnité de �n de carrière et dépendance.
Le Bureau Commun d'Assurances Collectives s'occupe quant à lui de la couverture sociale des salariéset retraités du milieu de l'assurance. Il e�ectue également des missions d'intérêt général comme parexemple le calcul de tables actuarielles réglementaires et gère trois pools de coassurance : poolcatastrophe, pool dépendance et pool des risques aggravés de troisième niveau.
L'organigramme ci-après représente les liens entre les di�érentes entités :
Figure 1.5 � Organigramme du groupe B2V, représentant uniquement les entités inter-agissant dans le contexte de cette étude
1.2.2 Régime Professionnel de Prévoyance
Le régime RPP [1] est un organisme de prévoyance complémentaire exclusivement dédié aux salariésdes sociétés d'assurance et de leur famille. Il couvre notamment les risques décès, incapacité, invali-
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dité, accident lors d'un déplacement professionnel et le remboursement des frais de soins. L'adhésionà son assurance collective est, sauf exception, obligatoire.
L'employeur s'occupe de précompter sur la rémunération du personnel les cotisations à charge et deles verser au BCAC. Il doit également remettre à l'ensemble des salariés la notice d'information. Enoutre, il lui incombe de déclarer à B2V l'état d'incapacité de ses employés et d'y joindre l'attestationdu médecin traitant. Cependant, en cas d'incapacité complète, c'est au salarié d'amener la preuve.
1.3 Prise en charge de l'arrêt de travail
Depuis l'accord du 27 Mai 1992, l'employeur est soumis à des obligations supplémentaires du fait dela convention collective nationale des sociétés d'assurance [3]. Ces contraintes, en matière de maladieet d'accident, concernent uniquement les employés titularisés, c'est-à-dire ceux présents e�ectivementdans l'entreprise depuis plus de un an 5. Ainsi, durant les trois premiers mois d'arrêt de travail, lesalarié doit percevoir une allocation complémentaire versée par l'employeur et ayant pour but decompléter, à concurrence du salaire net mensuel, les indemnités journalières et pensions d'invaliditéoctroyées par la Sécurité Sociale et d'éventuels régimes de prévoyance d'entreprise.
Au-delà de trois mois d'arrêt maladie ou accident, le salarié recevra l'indemnité journalière �xée parle Régime Professionnel de Prévoyance et venant s'ajouter à celle de la Sécurité Sociale. Il est doncnécessaire de détailler la prise en charge de chacun des acteurs.
1.3.1 Prise en charge par la Sécurité Sociale
Les prestations journalières concédées au titre de l'indemnisation de l'arrêt de travail di�èrent selonla nature du sinistre. On ne considèrera ici que les indemnisations du Régime Général, seul régimedont le personnel des sociétés d'assurance dépend.
Arrêt de travail � privé �
• Incapacité temporaire (ITT)
Après un délai de carence de trois jours, le salarié perçoit en tant qu'indemnité journalière (IJ) etdans la limite de 1,8 SMIC :
IJ = 50 %× 1
91, 25× somme des salaires bruts des 3 derniers mois
L'incapacité temporaire de travail ne peut excéder trois ans. Au-delà, l'assuré est reclassé en invali-dité.
5. Un an ou trois mois pour les salariés ayant déjà e�ectué un an de présence dans une autre entreprise d'assuranceau cours des cinq dernières années.
13
• Invalidité
Il existe trois catégories d'invalidité en fonction de l'état physique de l'individu. L'indemnisation quien découle est un pourcentage du salaire annuel moyen des dix meilleures années d'activité plafonnéà la tranche A :
- Invalidité de 1ère catégorie : l'assuré est toujours capable de travailler
◦ Taux d'indemnisation de 30 %
- Invalidité de 2ème catégorie : la personne ne peut exercer de profession
◦ Taux d'indemnisation de 50 %
- Invalidité de 3ème catégorie : l'individu est dans l'incapacité de travailler et a en plus besoinde l'assistance d'une tierce personne
◦ Taux d'indemnisation de 50 % et majoration pour tierce personne
Arrêt de travail � professionnel �
• Incapacité temporaire
Pour un arrêt de travail temporaire d'ordre � professionnel �, les indemnités versées sont sans délaide carence et le salaire journalier de base se dé�nit comme étant :
salaire journalier de base =1
30, 42× dernier salaire plafonné à 0, 834 %PASS
Le salarié perçoit alors :
- Jusqu'au 28e jour, IJ = 60 %× salaire journalier de base
- A partir du 29e jour, IJ = 80 %× salaire journalier de base
De même qu'en � vie privée �, l'incapacité temporaire de travail ne peut excéder trois ans. Au-delà,l'assuré est reclassé en incapacité permanente.
• Incapacité permanente
En cas d'incapacité permanente (IPP), l'indemnisation dépend du taux d'IPP médicalement constaté :
- Si ce taux est inférieur à 10 %, le béné�ciaire percevra un capital (la somme allouée étantfonction du taux d'IPP).
- Sinon, il recevra une rente dont le taux dé�ni comme suit s'applique au salaire plafonné à latranche A :
taux rente IPP = 50 % min(taux IPP ; 50 %) + 150 % max(0 ; taux IPP− 50 %)
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Cas des rechutes
La Sécurité Sociale utilise le terme de rechute s'il y a survenance d'une nouvelle a�ection résultantd'une maladie guérie ou s'il y a aggravation de l'a�ection initiale. Aucun délai n'est précisé.
1.3.2 Prise en charge RPP
Au préalable, il est nécessaire de dé�nir la notion de traitement de base au sens du Régime Pro-fessionnel de Prévoyance : il est constitué de la somme des rémunérations brutes �xes et variablesdes douze mois antérieurs à la date de sinistre, limitées à huit fois le plafond annuel de la SécuritéSociale. Dans le cas où le salarié a moins de douze mois d'ancienneté, le traitement de base seracalculé prorata temporis.
Arrêt de travail de durée inférieure à douze mois ou ITT_1AN
En cas d'arrêt de travail pour maladie ou accident pendant trois mois continus, voire discontinus siune même a�ection en est la cause, le salarié perçoit une indemnisation journalière allouée mensuel-lement et supplémentaire à celle de la Sécurité Sociale. Cette indemnité, par jour d'indisponibilité,complète à concurrence de 85 % la rémunération brute dé�nie comme étant 1/360ème du traitementde base.
La rente, versée à terme échu, est maintenue tant que l'incapacité persiste, à condition de percevoirles indemnités de la Sécurité Sociale et ce, dans la limite de douze mois depuis la survenance dusinistre.
Les sinistres entrant dans cette catégorie prennent le nom de ITT_1AN pour le RPP.
Arrêt de travail excédant douze mois
A partir du treizième mois d'incapacité, l'assuré est automatiquement reclassé en invalidité partielle(PI_P) ou en invalidité totale (PI_T) : aucune distinction n'est faite selon le caractère � privé � ou� professionnel � du sinistre.
Figure 1.6 � Processus de classement des sinistres
15
• Invalidité partielle ou PI_P
De la même manière que pour les ITT_1AN, le salarié reçoit une allocation supplémentaire lorsqu'ilest déclaré invalide de catégorie 1 ou en incapacité permanente avec un taux IPP inférieur à 10 %.L'indemnité est fonction de son degré d'inaptitude. Il perçoit :
indemnité annuelle = 3× n
2× 40 %× traitement de base
Où n est égal soit au degré d'invalidité, soit à 9 % en cas d'incapacité permanente.
• Invalidité totale ou PI_T
Les conditions sont identiques à celles de la partie précédente, si ce n'est que la somme allouéecomplète à hauteur 70 % la rémunération brute dé�nie.
Il est à noter que tous les sinistres acquièrent forcément le statut d'ITT_1AN avant d'être reclassésen PI_T ou PI_P.
Cas des rechutes
Le Régime Professionnel de Prévoyance considère comme rechute tout nouvel arrêt pour cause demême accident ou maladie survenant moins de 12 mois suivant la reprise du travail.
16
Chapitre 2
Etude des données
2.1 Présentation
Comme évoqué, ce mémoire repose sur des données des contrats collectifs du RPP couvrant le risquearrêt de travail. Deux bases ont ainsi été mises à disposition par le BCAC :
- Une base d'assurés
- Une base de sinistres
2.1.1 Problématiques rencontrées
La principale di�culté à laquelle nous avons été confrontés fut la problématique de recoupemententre les données sinistres et assurés du fait de l'absence de clé de jointure commune aux deux typesde bases. Il a donc été nécessaire de développer une ingénierie spéci�que pour s'assurer de la qualitéet de la pertinence des données traitées.
Une période d'observation su�samment longue étant primordiale, le BCAC, malgré des contraintesopérationnelles importantes, a �nalement pu mettre à disposition les données de 2009 à 2014.
Le deuxième problème majeur qu'il a fallu résoudre fut de retrouver la catégorie socio-professionnellelorsqu'elle n'était pas mentionnée. En e�et, cette information est essentielle pour l'étude de l'impactde l'hétérogénéité sur la tari�cation.
2.1.2 Données relatives aux assurés
La base des assurés se décompose en six photos de la population étudiée aux 1er Janvier des années2009 à 2014. Elles présentent pour chaque individu les caractéristiques reportées dans la �gure 2.1.
2.1.3 Données relatives aux sinistres
La base des sinistres transmise à l'origine est constituée de la totalité des arrêts de travail indemnisésentre le 01/01/2002 et le 31/12/2014.
17
Figure 2.1 � Descriptif de la base des assurés
Figure 2.2 � Descriptif de la base des sinistres
18
2.2 Traitement des bases de données
Le traitement des données a requis une attention particulière : l'objectif étant d'étudier l'hétérogé-néité du portefeuille, il était nécessaire de s'assurer que la qualité des données exploitées permet deconduire l'analyse au niveau de granularité souhaité.
2.2.1 Données relatives aux assurés
A�n de faciliter l'étude des assurés d'une année sur l'autre, une base de données unique a été créée àpartir des di�érentes informations présentes sur chacune des photos. Nous avons également suppriméles doublons ainsi que les assurés pour lesquels il y avait con�it entre les dates d'adhésion de 2013et de 2014.
A la suite de ce traitement, la base unique des assurés de 2009 à 2014 est constituée de 155 687lignes :
Figure 2.3 � Etat des lieux avant et après retraitement
2.2.2 Données relatives aux sinistres
La base des sinistres a également fait l'objet d'un retraitement. Ont ainsi été retirés les doublons, leslignes pour lesquelles la date de début d'indemnisation était antérieure à celle de l'arrêt de travailet les sinistres dont l'entrée en AT n'était pas comprise entre 16 et 67 ans. En e�et, tout mineur nepeut être salarié quel que soit le type de contrat qu'à partir de 16 ans et nous considérons qu'au-delàde 67 ans, les individus travaillant encore sont en nombre trop faible pour être étudiés.
A partir des motifs renseignés pour la �n des arrêts de travail, il a été possible d'écarter les a�airesclassées en AT � par erreur �. Les justi�cations et/ou libellés suivants indiquent que certains sinistresprésents dans la base ne peuvent pas être considérés comme de vrais AT :
- � Erreur de saisie � : les sinistres ayant ce motif, font l'objet d'une nouvelle ligne corrigée dansla base, il ne faut donc pas les compter en double
- � Fausse déclaration � : ce terme fait suite à une information erronée de manière intentionnelleou non de la part de l'assuré
- � Garantie non-couverte � : le sinistre n'entrant pas dans la garantie AT, il ne peut pas êtreconsidéré comme un arrêt de travail pour le BCAC
- � Pièces reçues � : ce libellé désigne les cas où après réception, les pièces justi�catives n'étaientpas valables
- � Refus de prise en charge � : de la même manière que pour � Garantie non-couverte �, leBCAC ne prend pas en compte le sinistre comme AT
19
La base de données mise à disposition ne permet pas de savoir si le sinistre mène ou non à uneindemnisation, ce qui aurait pu être pertinent de considérer. Le retraitement des anomalies présentéprécédemment porte sur 1 % de la base.
Figure 2.4 � Etat des lieux avant et après retraitement
2.3 Première analyse des données
2.3.1 Données relatives aux assurés
L'analyse de la base des assurés conduit à véri�er la stabilité de la population dans le temps : les dif-férentes années présentent des répartitions globalement identiques au niveau de leurs caractéristiqueset c'est pourquoi nous nous permettons de ne représenter qu'un an sur les six à titre d'exemple.
Etude de la répartition Hommes/Femmes
Le portefeuille se compose notamment de 60 % de Femmes. L'aperçu de la répartition des assurésselon leur âge au 01/01/2014 le con�rme. Néanmoins, à partir de 60 ans, la tendance s'inverse.
Figure 2.5 � Répartition Hommes/Femmes
20
Par ailleurs, les salaires des Femmes sont majoritairement inférieurs à 1 PASS alors que ceux desHommes sont plutôt situés entre 1 et 2 PASS. Au global, les assurés perçoivent donc principalementdes rémunérations entre 0 et 2 PASS. Par souci de comparabilité, l'année 2009 n'a pas été représentée,les tranches de salaire n'étant pas découpées de la même manière que sur le reste de la périoded'observation.
Figure 2.6 � Répartition des salaires chez les Femmes (à gauche) et chez les Hommes(à droite)
Analyse de la catégorie socio-professionnelle (CSP)
L'information concernant la classi�cation cadre/non-cadre ou la sous-catégorie socio-professionnellen'est pas renseignée pour 8 % des assurés. Or l'étude de la fréquence d'entrée selon la CSP étant undes objectifs du mémoire, un retraitement a été mené a�n de trouver les valeurs manquantes :
- Comme nous disposons de la classi�cation PSA, EI ou EB, lorsqu'il manque la catégorie C/NC,on place l'assuré en NC s'il est renseigné comme EB ou EI. En e�et, les commerciaux ne sontpas considérés comme des cadres. A la suite de cette manipulation, il ne reste plus que 0,0027%d'individus sans classi�cation C/NC. Nous avons remarqué que les seuls assurés pour lesquelsnous n'avons pas pu retrouver la CSP sont ceux de l'année 2009.
- Pour l'in�me partie restante sans information, il a été décidé d'utiliser le critère donné par leBCAC : un assuré peut être considéré comme cadre si son salaire est supérieur à 1,1 PASS.Cependant, comme les rémunérations ne sont exprimées qu'en nombre de PASS, un individusera classé comme non-cadre s'il perçoit entre 0 PASS et 1 PASS et cadre dans le cas contraire.A noter qu'il existe un léger biais pour les assurés de la catégorie 1PASS - 2PASS. Il estcependant négligeable car seules six personnes sont concernées.
Avant estimation, 47 % des assurés dont la CSP est renseignée étaient cadres. Après retraitement,le portefeuille comprend en moyenne 43 % de cadres.
21
Figure 2.7 � Répartition des CSP sur les di�érentes années d'observation
De la même manière que pour l'analyse de la répartition Hommes/Femmes, un aperçu du nombred'assurés a été représenté. Comme attendu, les non-cadres débutent le travail plus tôt que les cadres,ceci pouvant s'expliquer par la di�érence de durée des études. En revanche, entre 40 et 55 ans, lescadres sont prépondérants, ceci peut être lié à l'évolution professionnelle des employés au cours deleur vie. A noter qu'à partir de 55 ans, les non-cadres redeviennent majoritaires .
Figure 2.8 � Répartition des CSP en fonction de l'âge
22
Examen de la segmentation croisée sexe/CSP
La �nalité du mémoire étant d'étudier la fréquence d'entrée selon le sexe et la catégorie socio-professionnelle de chaque assuré, nous avons également considéré les classes :
- Femmes cadres
- Femmes non-cadres
- Hommes cadres
- Hommes non-cadres
Ainsi, le portefeuille est majoritairement constitué de Femmes non-cadres alors qu'il y a plusd'Hommes cadres.
Figure 2.9 � Répartition croisée sexe/CSP
Individu moyen du portefeuillle
A partir de l'analyse qui vient d'être menée, il est maintenant possible de reconstituer l'individumoyen du portefeuille : il s'agit d'une Femme de 45 ans, non-cadre et avec une rémunération inférieureà 1 PASS.
23
2.3.2 Données relatives aux sinistres
Sinistralité par année de survenance
En traçant l'évolution de la sinistralité selon les années de survenance, on constate qu'il y a beaucoupmoins d'entrées en incapacité en 2014 alors que le nombre d'assurés présents dans la base 2014 estcomparable aux autres années. Ceci s'explique par le fait que la totalité des sinistres survenus en2014 n'avait pas encore fait l'objet d'une inscription dans la base à la date d'extraction des donnéesdu système d'information.
Figure 2.10 � Nombre annuel de sinistres
Compte tenu de ce biais, le choix a été fait de restreindre la durée d'observation à la période du01/01/2009 au 31/12/2013.
Sinistralité par sexe
65 % des sinistres concernent des assurés de sexe féminin. Ceci s'avère être cohérent avec la distri-bution du portefeuille, il n'y a pas a priori de sursinistralité à relever.
Par ailleurs, le graphique représentant la répartition des assurés par âge d'entrée en AT selon leurgenre, permet d'a�rmer que le nombre de sinistres a globalement la même tendance que ce soit chezles Femmes ou les Hommes. Néanmoins, une légère augmentation de la sinistralité est à constateraux alentours de 30 ans pour la population féminine.
24
Figure 2.11 � Sinistralité par âge
Sinistralité par type d'arrêt
Quant à la répartition des types d'arrêt selon la date de début d'indemnisation, elle se trouveêtre globalement identique sur les di�érentes années d'observation. On peut remarquer une grandemajorité de sinistres ITT mais très peu de sinistres classés en incapacité partielle (PI_P).
Figure 2.12 � Sinistralité en fonction de la nature de l'arrêt
25
Sinistralité par indemnisation annuelle
Nous avons également étudié la distribution des rentes annuelles versées, elles sont globalement endessous de 20 000e, avec une moyenne de 16 783e.
Il est à noter que la question de la �abilité des données se pose dans la mesure où quelques rentestrès faibles (inférieures à 1700e) et très élevées (supérieures à 105 000e) ont été relevées. Ellesreprésentent cependant seulement 2 % des entrées en incapacité.
Figure 2.13 � Sinistralité en fonction du montant de rente
Sinistralité par catégorie socio-professionnelle
La sous-catégorie socio-professionnelle n'est pas renseignée pour un nombre important de sinistrés(30 % des lignes). Pour les mêmes raisons que dans la partie concernant les données assurés, nousallons procéder à l'estimation de la catégorie cadre ou non-cadre de l'assuré.
Plusieurs techniques telles que les modèles linéaires généralisés et les arbres de décision ont étéenvisagées, mais les résultats obtenus ne s'avèrent pas satisfaisants.
La solution alternative �nalement considérée est de retrouver le salaire à partir de la rente annuelleallouée pour ensuite obtenir l'a�ectation cadre/non-cadre via le critère 1 du BCAC déjà explicitédans la partie précédente.
1. Un assuré peut être considéré comme cadre si son salaire est supérieur à 1,1 PASS.
26
• Etape 1 : Reconstitution du salaire
La di�culté majeure de cette étape réside dans le fait que l'indemnisation est fonction du rembourse-ment de la Sécurité Sociale et que cette somme versée dépend elle-même du type de sinistre (� privé� ou � professionnel �). Cette information n'étant pas disponible, on pose l'hypothèse que les arrêtssont tous d'ordre � vie privée � dans la mesure où, d'après les statistiques de l'Assurance Maladie,les accidents du travail et les maladies professionnelles concernent moins de 0,5 % des salariés del'assurance 2. Pour plus de détails sur les indemnités octroyées, se reporter à la partie 1.3 concernantla prise en charge.
Ainsi, pour un sinistre ITT_1AN, la Sécurité Sociale indemnise à hauteur de 50 % et le RPPcomplète a�n d'atteindre 85 % de la rémunération brute.
La démarche à suivre pour les sinistres classés en invalidité partielle (PI_P) ou totale (PI_T) s'avèreplus complexe puisque les indemnisations de la Sécurité Sociale et du RPP ne sont pas en phase : aucours des 2ème et 3ème années d'arrêt de travail, la Sécurité Sociale maintient le statut d'incapacitéalors que le régime de prévoyance reclasse l'assuré en invalidité.
Figure 2.14 � Processus d'indemnisation
La �gure 2.15 récapitule les taux d'indemnisation retenus. Par hypothèse, le taux d'invalidité n prisen compte dans l'évaluation de la rente côté RPP est de 100%, ce qui mène à un taux d'indemnisationcomplétant à hauteur de 3× n
2 ×40 % = 60 % celui de la Sécurité Sociale. Cette supposition conduità une vision prudente dans la mesure où elle correspond à la somme maximale pouvant être accordéepour ce type de sinistre.
2. Statistiques Accident du Travail/Maladie Professionnelle 2013 classés par code NAF pour les travailleurs dusecteur des assurances [4].
27
Figure 2.15 � Détail des taux indemnisés
A noter l'existence de biais supplémentaires puisque les assiettes dont se servent la Sécurité Socialeet le RPP ne sont pas les mêmes et que les salaires utilisés dans le calcul sont plafonnés di�éremment.
• Etape 2 : Estimation de la catégorie socio-professionnelle
La rémunération ainsi reconstituée permet de déduire la catégorie cadre/non-cadre de l'assuré sinistréà l'aide du critère du BCAC 3 énoncé précédemment.
Figure 2.16 � Comparaison de la répartition par CSP avant et après estimation
Ainsi, 30 % des sinistrés sont cadres. Cependant, compte tenu du manque d'information dont nousdisposons, la �abilité de la CSP peut être remise en question, elle reste néanmoins proche de larépartition qui peut être relevée sur les données pour lesquelles nous disposons de l'information (28%).
3. Un individu est considéré comme cadre lorsque son salaire est supérieur à 1,1 PASS.
28
Individu moyen représentatif des sinistrés
Le pro�l type de l'assuré sinistré est celui d'une Femme de 46 ans, non-cadre, percevant une renteannuelle de 16 640 e à titre d'indemnisation d'un sinistre ITT_1AN. Sa rémunération annuelle estde 47 543 e.
Cas des rechutes
Dans le cas des rechutes, le BCAC comptabilise même dans la durée d'indemnisation la période oùl'assuré n'est pas en arrêt, c'est-à-dire l'intervalle de temps où il a repris le travail entre la �n dusinistre originel et le début de la rechute. Ainsi certaines d'entre elles peuvent s'identi�er lorsque ladi�érence entre la date de début d'indemnisation et de �n d'indemnisation des sinistres ITT_1ANest supérieure à douze mois.
D'après les données, 10 % des arrêts de travail ont été suivis d'au moins une rechute.
Seuls les premiers sinistres, et non pas les rechutes, seront donc pris en compte pour le calcul dutaux d'entrée.
29
Chapitre 3
Estimation de la fréquence d'entrée en
arrêt de travail
3.1 Remarques préliminaires
Il paraît nécessaire d'introduire quelques notions complémentaires [15] pour prendre en compte lesparticularités des données étudiées.
3.1.1 Troncature
Il existe une troncature gauche si les variables d'intérêt ne sont observables qu'à partir d'un seuil Tget une troncature droite dans le cas où les données ne sont visibles qu'avant un seuil Td. En dehorsde ces seuils, aucune information n'est disponible.
Dans notre cas, du fait de la franchise de trois mois, nous avons e�ectivement une troncature gauchecar lorsqu'il y a arrêt de travail de durée inférieure à trois mois, l'information ne sera pas commu-niquée puisqu'aucune indemnisation ne pourra être accordée.
3.1.2 Censure
La censure s'apparente à la troncature mais avec comme di�érence fondamentale la connaissanced'une information en dehors des seuils Cd (pour une censure droite) et/ou Cg (pour une censuregauche). Si Cd ou Cg sont �xes, on parle d'une censure �xe ou de type I. Dans le cas contraire, ils'agit d'une censure aléatoire, aussi appelée de type III.
En revanche, d'après les éléments à notre disposition et contrairement à la majorité des donnéesen assurance, comme aucun rapprochement n'est possible entre les deux bases et que seuls sontconsidérés les sinistres survenus entre le 01/01/2009 et le 31/12/2013, aucune censure n'est à relever.
3.1.3 Estimateurs
Les estimateurs se classent en deux catégories distinctes :
30
- Les estimateurs paramétriques, utilisés lorsque des hypothèses peuvent être posées au préalablequant à la forme de la loi de survie. On peut citer par exemple, les modèles de Makeham oude Cox.
- Les estimateurs non-paramétriques, dans le cas où serait préférée l'estimation directe de cettefonction comme dans le modèle de Kaplan-Meier.
Exemple : l'estimateur binomial
L'estimateur binomial, également appelé estimateur actuariel, est paramétrique. Il s'utilise en consi-dérant que la probabilité d'entrer en incapacité pour chaque assuré suit une loi de Bernouilli deparamètre p, p étant le taux d'incidence que nous cherchons à évaluer. Ainsi, le nombre d'entrées enincapacité dans le portefeuille comprenant n assurés suit une loi binomiale de paramètres (n, p).p peut alors s'estimer par la méthode du maximum de vraisemblance décrite ci-après.
Soit une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres (n, p), cela revient à considérern variables aléatoires X1,X2,. . .,Xn indépendantes de loi de Bernouilli de paramètre p. On écrit alorsla vraisemblance correspondante :
L(p) =
n∏i=1
pXi(1− p)Xi
En passant au logarithme népérien, il vient :
l(p) = ln(L(p)) = ln(p)
n∑i=1
Xi + ln(1− p)n∑i=1
Xi
Par dérivation, on obtient :∂l(p)
∂p=
∑ni=1Xi
p−n−
∑ni=1Xi
1− p
Il reste à maximiser cette dernière expression :
∂l(p)
∂p= 0⇔
∑ni=1Xi
p̂−n−
∑ni=1Xi
1− p̂= 0
⇔ (1− p̂)n∑i=1
Xi = p̂
(n−
n∑i=1
Xi
)
⇔ p̂ =
∑ni=1Xi
n
p peut ainsi être estimé comme le rapport du nombre de sinistres incapacité survenus sur le nombred'assurés présents dans le portefeuille.
31
• Espérance et variance de l'estimateur binomial
L'espérance de l'estimateur se calcule ainsi :
E (p̂) = E
(∑ni=1Xi
n
)=
1
nE
(n∑i=1
Xi
)=
1
n
n∑i=1
E(Xi) = p
p̂ est donc un estimateur sans biais.
Et sa variance est telle que :
Var (p̂) = Var
(∑ni=1Xi
n
)=
1
n2Var
(n∑i=1
Xi
)= p(1− p)
• Intervalle de con�ance asymptotique de l'estimateur binomial
Pour rappel, on appelle intervalle de con�ance de niveau de 1−α du paramètre p̂ tout intervalle CItel que la probabilité que le paramètre estimé soit en dehors de cet intervalle vaille α :
P (p̂ ∈ CI) = 1− α
L'objectif étant de trouver un intervalle de con�ance pour p à partir de p̂, nous repartons de l'hypo-thèse qui stipule que le nombre d'entrées en incapacité np dans le portefeuille composé de n assuréssuit une loi binomiale B(n, p). Par approximation de la loi binomiale par la loi normale, lorsque ntend vers l'in�ni, c'est-à-dire lorsque le nombre d'assurés devient su�samment important, on a :
np̂− E(np̂)√Var(np̂)
∼ N(0, 1)⇔ np̂− np√np(1− p)
∼ N(0, 1)⇔ p̂− p√p(1−p)n
∼ N(0, 1)
En choisissant un niveau de con�ance de 0, 95 (avec 1, 96 le quantile d'ordre 1− 0,052 de la loi normale),
on cherche à retrouver l'intervalle tel que :
P
−1, 96 < p̂− p√p(1−p)n
< 1, 96
= 0, 95⇔ P
(p̂− 1, 96
√p(1− p)
n< p < p̂+ 1, 96
√p(1− p)
n
)= 0, 95
On estime ensuite p(1− p) par p̂(1− p̂) [13], il vient alors :
P
(p̂− 1, 96
√p̂(1− p̂)
n< p < p̂+ 1, 96
√p̂(1− p̂)
n
)= 0, 95
32
3.2 Taux d'entrée en arrêt de travail par âge non-segmentés
3.2.1 Estimation des taux bruts
Comme les tables des assurés et des sinistrés ne peuvent être rapprochées, seule l'utilisation del'estimateur binomial semble envisageable. Cet estimateur présente cependant l'inconvénient de nepas prendre en compte la troncature de nos données.
Nous allons donc calculer le taux d'incidence par âge x en estimant pour chaque âge le ratio :
p̂ =nombre d'entrées en AT
nombre d'assurés exposés
Sinistralité selon l'âge
Le nombre d'entrées (NE) pour chaque âge en arrêt de travail se déduit facilement de la base dessinistres. Ainsi, nous comptabilisons les entrées en AT (et donc en ITT_1AN) selon les âges desassurés au moment de l'arrêt :
Figure 3.1 � Nombre d'entrées en arrêt de travail en fonction de l'âge
Il est à noter que si un assuré est touché par plusieurs sinistres ITT_1AN au cours de la même annéealors par prudence, ils sont tous pris en compte. De fait, nous supposons que les sinistres survenusau même âge et pour un même individu sont considérés comme indépendants. Cette hypothèseparaît envisageable dans la mesure où les sinistres classés comme rechutes ne sont pas comptabilisés,d'autant plus que les assurés touchés par au moins deux sinistres au cours de la même année nesont qu'au nombre de 51. On verra par la suite que le biais induit dans le calcul de la fréquence estlargement négligeable.
33
Exposition
L'exposition par âge est plus compliquée à obtenir du fait du rapprochement impossible des bases.Voici l'approche pour laquelle nous avons opté :
Figure 3.2 � Calcul de l'exposition réelle
Nous procédons au calcul de l'exposition pour chaque année calendaire : cela permet de prendreplus facilement en compte les assurés qui entrent et sortent plusieurs fois entre 2009 et 2014. Ceciprésentera aussi l'avantage de permettre la comparaison entre les di�érentes années. Ci-dessous, ledétail du raisonnement conduit pour chacune des trois étapes.
• Etape 1 : Calcul du nombre d'assurés
Les dates de début et de �n d'adhésion étant renseignées pour les années 2013 et 2014, notre premièreintention fut de les utiliser telles quelles pour 2013 et à partir de ces données estimer un jour etun mois de début et de �n d'adhésion pour les années 2009 à 2012. Cependant, beaucoup tropd'incohérences ont été relevées entre les dates de début/�n d'adhésion et la présence e�ective dansle portefeuille.Ainsi, pour indication de présence dans le portefeuille, nous nous limiterons à la présence e�ectivesur les di�érentes années et on retiendra respectivement comme dates de début et de �n d'adhésion :01/01/n et 31/12/n. Plus précisément, elles sont comptabilisées de la façon suivante : s'il y a à lafois absence de la base n-1, présence dans la base n et absence de la base n+1 alors date de début= 01/01/n et date de �n = 31/12/n.Pour l'année n, l'exposition �ctive pour l'âge x sera donc le nombre des assurés d'âge x présentsdans le portefeuille au 01/01/n.
34
• Etape 2 : Calcul du nombre d'assurés dont l'arrêt est en cours
La di�culté réside ici dans le fait que pour chaque année considérée, tous les assurés en arrêt detravail ne le seront pas forcément sur l'année complète. A�n de prendre en compte cette particularité,nous calculons pour chaque sinistre le ratio de durée de l'arrêt de travail sur l'année. Cela donnepour l'année n :
ratio(sinistre i) =max[min(Date �n indemnisation ; 31/12/n)−max(Date entrée AT ; 01/01/n) + 1; 0]
nombre de jours de l'année n
Ce ratio est à assimiler à une � fraction d'individu � en arrêt de travail. Pour chacune des années,on somme ensuite tous les ratios obtenus pour des individus de même âge.
• Etape 3 : Déduction de l'exposition �nale
A partir des résultats précédents, nous en déduisons l'exposition correspondante à chaque âge etpour chacune des années étudiées. Ainsi, pour l'âge x l'exposition de l'année n sera :
expon(x) = nb d'assurés d'âge x dans la base assurés−nb d'assurés d'âge x dont le sinistre est en cours
A�n d'obtenir l'exposition totale pour l'âge x, on somme toutes les expositions de chaque année :
expo(x) = expo2009(x) + expo2010(x) + expo2011(x) + expo2012(x) + expo2013(x)
Ci-dessous, le graphe de l'exposition et de la sinistralité par âge à titre de comparaison :
Figure 3.3 � Exposition et sinistralité par âge
35
A la vue du nombre d'assurés exposés, les résultats obtenus apparaissent plus �ables de 26 à 60 ansqu'en-dehors de cet intervalle. Il est à noter qu'il existe un léger biais du fait que le BCAC disposed'une information sûre quant à la date d'arrivée dans le portefeuille mais moins �able pour la sortiecar le départ à la retraite n'est pas aussi suivi.
Taux d'entrée
Ainsi, le taux d'entrée pour chaque âge x est :
p̂ =NE(x)
expo(x)
Les taux bruts et leurs intervalles de con�ance sont représentés ci-dessous :
Figure 3.4 � Courbe des taux bruts
Comme spéci�é dans la section 3.2.1, il existe un léger biais du fait de la prise en compte de tousles sinistres survenus chez un assuré au cours de la même année. Nous avons donc procédé au mêmeraisonnement en ne comptabilisant qu'un seul sinistre par assuré et par âge. Ce biais a ainsi étéévalué de l'ordre de +0,007 % par âge. L'impact est donc e�ectivement négligeable et l'hypothèseque nous avons sélectionnée rend nos résultats légèrement plus prudents.
On remarque qu'à la vue des intervalles de con�ance, l'estimation du taux d'entrée pour les âgessitués entre 23 et 59 ans semble plus �able que pour les âges extrêmes. Cela vient du fait qu'il ya moins d'assurés exposés pour ces catégories. Le recours à un lissage permettant de prendre encompte le nombre peu élevé d'assurés aux âges extrêmes paraît le plus pertinent.
36
Par ailleurs, comme attendu, la probabilité d'entrer en arrêt de travail se trouve être globalementcroissante jusqu'à 58 ans. C'est-à-dire que plus l'individu vieillit, plus il est enclin à tomber enincapacité. Néanmoins, à partir de cet âge, nous observons une baisse que le manque de �abilité auxextrêmes ne su�t pas à justi�er. Cette décroissance aurait pu éventuellement s'expliquer par unesurexposition due au départ anticipé à la retraite des assurés : ils seraient toujours comptabilisés maisplus exposés au risque. Le BCAC nous a donc fourni le taux de présence sur l'année des assurés pourles âges les plus avancés mais ces chi�res ne nous permettent pas de justi�er une telle décroissance :
Figure 3.5 � Taux de présence sur l'année
A�n de pouvoir évaluer si la tendance globale des taux évolue d'une année à l'autre, nous avonségalement calculé la probabilité d'entrer en incapacité pour les di�érentes années d'observation :
Figure 3.6 � Courbes des taux d'entrée calculés sur chaque année
37
Ainsi, il apparaît que les résultats sont relativement semblables, excepté en 2014, année pour laquellela probabilité est beaucoup plus faible. Ceci n'est pas étonnant puisque la totalité des sinistres n'apas encore été enregistrée et cela nous con�rme qu'il était judicieux d'écarter cette année pourl'estimation du taux.
3.2.2 Révision des taux
Il semble correct de supposer que les irrégularités observées sur les courbes des taux bruts sont laconséquence des conditions imparfaites d'étude et non pas celle des caractéristiques de la fréquenced'entrée en arrêt de travail. Nous allons donc chercher à atténuer cet e�et en � lissant � ou � ajustant� les taux bruts [15] .
Par ailleurs, deux contraintes doivent être respectées dans le processus de révision de l'estimationinitiale :
- La précision : les taux modi�és doivent être les plus proches possibles des taux bruts estimés.
- La régularité : la courbe des taux modi�és doit être la plus lisse possible.
Ainsi tout lissage réside en un arbitrage entre ces deux aspects.
Comme pour l'estimation des taux bruts, deux démarches di�érentes peuvent être conduites :
- La méthode non-paramétrique qui consiste seulement à appliquer certains traitements auxtaux bruts. On parle alors de � lissage �.
- L'approche paramétrique qui suppose la dé�nition a priori d'une forme pour la loi sous-jacente.On utilisera dans ce cas le terme d'� ajustement �.
Lissage de Whittaker-Henderson
Le lissage de Whittaker-Henderson est une méthode non-paramétrique. Cette approche permet d'ob-tenir les valeurs qui minimisent la somme des critères de précision et de régularité.
• Théorie en dimension 1
Nous introduisons quelques notations :
- (wi)16i6t représentant les poids strictement positifs que l'on attribue à chacun des taux bruts,t étant le nombre de taux bruts à lisser. D'après les données, t est égal à 52.
- W = diag(wi)16i6t la matrice diagonale des poids
- p̂ = (p̂i)16i6t le vecteur colonne des taux bruts à lisser
- p∗ = (p∗i)16i6t le vecteur colonne des taux lissés
- 4zp∗i =∑z
j=0
(zj
)(−1)z−jp∗j+i l'opérateur di�érence avant composé z fois
- Kz la matrice de taille (t− z, t) telle que 4zp∗ = Kz p∗
38
Le critère de précision s'écrit de la façon suivante :
F =
y∑i=1
wi(p∗i − p̂i)2 = (p∗ − p̂)′W (p∗ − p̂)
Et nous avons pour le critère de régularité, avec z un paramètre :
S =t−z∑i=1
4zp∗i = (4zp∗)′(4zp∗) = p∗′K ′zKzp∗
Le but est de minimiserM , la combinaison linéaire liant la précision à la régularité, avec h un secondparamètre :
M = F + h S
⇔M = (p∗ − p̂)′W (p∗ − p̂) + h p∗′K ′zKzp∗
⇔M = p∗′Wp∗ − 2p∗′Wp̂+ p̂′Wp̂+ h p∗′K ′zKzp∗
En dérivant par rapport à p∗, il vient :
∂M
∂p∗= 2Wp∗ − 2Wp̂+ 2 h K ′zKzp
∗
On résout maintenant :∂M
∂p∗= 0
W + h K ′zKz étant dé�nie positive [12], elle est donc inversible. Finalement, on obtient :
p∗ = (W + h K ′zKz)−1Wp̂
• Application aux données du BCAC
Cette méthode de lissage présente l'avantage de pouvoir choisir les poids en fonction de la �abilité desdonnées. Nous pondérons donc par rapport au nombre d'assurés exposés. De fait, les âges extrêmesdont les taux sont peu �ables auront un poids très faible dans le lissage.
Nous avons procédé à la révision des taux sous R. Pour cela, la première étape fut de déterminerla valeur des paramètres à utiliser. Il a donc été e�ectué plusieurs tests : plus z est élevé, plus lelissage sera précis ; a contrario, plus h est important, plus la courbe sera lisse. Ainsi, nous obtenonsdes résultats satisfaisants pour :
- Option 1 : (z = 2;h = 1)
- Option 2 : (z = 3;h = 2)
- Option 3 : (z = 2;h = 2)
39
Figure 3.7 � Comparaison des trois options
A la vue du tracé des trois possibilités, l'option 1 paraît la plus adéquate car :
- L'alternative 2 semble décroître de manière trop importante au-delà de 60 ans.
- Les taux lissés avec z = h = 2 appartiennent plus à l'intervalle de con�ance qu'avec z = 2 eth = 1.
Des tests statistiques sont ensuite menés a�n de valider les taux révisés et de sélectionner la meilleureoption.
Tests statistiques
Ils nous permettent de véri�er que les résultats restent proches des taux initiaux, on compare doncles distributions de p̂x et p∗x. Les trois tests non-paramétriques qui sont détaillés ci-après ont étéappliqués.
• Test d'adéquation du Khi-deux
Ce test permet de contrôler pour deux variables aléatoires si leurs observations sont comparables.Dans le cas de la fréquence d'entrée, nous confrontons donc les taux bruts à ceux lissés. La statistique
40
se dé�nit comme suit, avec expi désignant l'e�ectif d'assurés exposés au risque pour le ième taux :
K2 =t∑i=1
expi(p̂i − p∗i)2
p∗i
Sous l'hypothèse nulle, K2 suit approximativement une loi du Khi-deux à t− 1 degrés de libertés.
Les p-values obtenues valent 0,2426 pour les trois options, elles sont donc supérieures au seuil de 5%. Il y a ainsi 24,26 % de chance de se tromper en rejetant l'hypothèse nulle. Les lissages résultantdes trois choix de paramètres sont donc tous satisfaisants. En revanche les p-values étant identiques,ce test ne nous permet pas d'en préférer un aux autres [10].
• Test des changements de signe
Le test des changements de signe requiert l'indépendance entre les âges, hypothèse que nous pouvonsmanifestement poser.Pour un nombre d'observations su�samment important, le signe dx de la di�érence entre les deuxtaux à un âge donné possède une probabilité 0,5 d'être positif. Il en est de même pour la probabilitéque les signes de dx et de dx+1 soient les mêmes. Pour un nombre d'âges t considérés, le nombre dechangements de signes de dx suit une loi binomiale de paramètres (t− 1; 0, 5). Avec n le nombre dechangements de signes de dx, la statistique C ci-dessous suit une loi normale centrée réduite :
C =2n− (t− 1)√
t− 1
Dans notre cas, les p-values sont toutes supérieures au seuil de 5 %, la plus élevée étant celle del'option 1.
• Test de Wilcoxon-Mann-Whitney
Ce test nécessite également que les âges soient indépendants.Le test des rangs de Wilcoxon est plus puissant que celui des changements de signe car il prend enplus en compte la grandeur des di�érences. On teste donc l'hypothèse H0 = � les deux variablesaléatoires ont même distribution �. On pose, en notant R1 la somme des rangs du premier échantillonet ni la taille de l'échantillon i :
U1 = R1 −n1(n1 + 1)
2
Sous l'hypothèse nulle, la statistique WM exprimée ci-dessous suit une loi normale centrée réduite :
WM =U1 − n1 n2
2√n1 n2(n1+n2+1)
12
Ce test vient con�rmer les résultats précédents.
41
• ConclusionPour résumer, sont reportées dans le tableau ci-dessous les p-values obtenues selon les di�érentstests :
Figure 3.8 � p-values des tests pour les trois options de paramétrage
A noter que les tests e�ectués étant asymptotiques et du fait du nombre relativement peu importantde taux estimés, les résultats pris un par un ne sont pas extrêmement �ables. Cependant, comme ilsont tous les deux mené aux mêmes conclusions, on peut considérer que les lissages sont e�ectivementvalides et que le choix des paramètres doit être z = 2 et h = 1, comme nous l'avions pressenti.
Ajustement par splines cubiques
• Théorie en dimension 1
Il faut tout d'abord rappeler que les taux obtenus après révision sont supposés provenir de la mêmefonction paramétrique dans la mesure où il s'agit d'un ajustement à une loi continue. La contrainteci-dessus semble plutôt limitative compte tenu de la discontinuité dans la tendance des taux bruts.
Cette méthode paramétrique repose sur un découpage en sous-intervalles de la fonction à réviser,puis consiste à ajuster chaque segment à une fonction polynomiale de degré 3. Les points de jonctionprennent le nom de n÷uds : une quantité importante de n÷uds conduit à un lissage très précismais donc irrégulier alors qu'un nombre peu élevé entraîne une régularité trop déformante. Ils sedé�nissent en fonction de l'allure de la courbe. En outre, le raccordement à ces n÷uds se doit derespecter la continuité mais aussi l'égalité des pentes et des courbures.
On reprend les notations de la partie théorique sur le lissage de Whittaker-Henderson. Nous disposonsainsi de t observations des taux bruts p̂xi aux points xi correspondants aux di�érents âges d'entréeen AT. Et nous procédons au découpage de n intervalles, c'est-à-dire de n− 1 n÷uds.
On recherche ainsi les polynômes Pi(x) = aix3 + bix
2 + cix+ di, 0 6 i 6 n− 1, tels que :
p∗x =
P0(x) , pour x0 6 x 6 x1
...Pi(x) , pour xi 6 x 6 xi+1
...Pn−1(x) , pour xn−1 6 x 6 xn
Les contraintes au niveau des n÷uds s'écrivent alors :
42
Pi(xi+1) = Pi+1(xi+1)
ddxPi(xi+1) =
ddxPi+1(xi+1)
d2
dx2Pi(xi+1) =
d2
dx2Pi+1(xi+1)
Par conséquent, on pose :P0(x) = a3x
3 + a2x2 + a1x+ a0
Et pour 1 6 i 6 n− 1 :Pi(x) = Pi−1 + ai+3(x− xi)3
Il en découle n− 1+ 4 = n+3 inconnues à retrouver. En utilisant le critère des moindres carrés, oncherche les paramètres minimisant les erreurs au carré pondérées par les poids (wi)16i6t :
F =
xn∑i=x0
wi (p∗i − p̂i)2
C'est-à-dire :
F =
x1∑i=x0
wi (P0(i)− p̂i)2 + ...+
xn∑i=xn−1
wi (Pn−1(i)− p̂i)2
On résout pour 1 6 i 6 n+ 3 :∂F
∂ai= 0
On notant A = (a1, a2, . . . , an+3)′ , p̂ le vecteur colonne des taux bruts à ajuster, W la matrice
diagonale des poids et la matrice X de taille (t, n+ 4) telle que :
F = (XA− p̂)′W (XA− p̂)
Soit, en développant :F = (XA)′WXA− 2(XA)′Wp̂+ p̂′Wp̂
L'équation à minimiser se réécrit :
∂F
∂A= 2X ′WXA− 2Wp̂ = 0
Il vient :A = (X ′WX)−1X ′Wp̂
A titre d'exemple, dans le cas d'un ajustement à 4 n÷uds, on dé�nit X par :
43
X =
1 x0 x20 x30 0 0 0 0... ... ... ... ... ... ... ...1 x1 x1
2 x13 0 0 0 0
1 x1 x12
x13
(x1 − x1)3 0 0 0... ... ... ... ... ... ... ...1 x2 x2
2 x23 (x2 − x1)3 (x2 − x2)3 0 0
1 x2 x22
x23
(x2 − x1)3 (x2 − x2)3 0 0... ... ... ... ... ... ... ...1 x3 x3
2 x33 (x3 − x1)3 (x3 − x2)3 (x3 − x3)3 0
1 x3 x32
x33
(x3 − x1)3 (x3 − x2)3 (x3 − x3)3 0... ... ... ... ... ... ... ...1 x4 x4
2 x43 (x4 − x1)3 (x4 − x2)3 (x4 − x3)3 0
1 x4 x42
x43
(x4 − x1)3 (x4 − x2)3 (x4 − x3)3 (x4 − x4)3... ... ... ... ... ... ... ...1 x5 x25 x35 (x5 − x15)3 (x5 − x2)3 (x5 − x3)3 (x5 − x4)3
Avec :
- xi la plus grande valeur de x inférieure ou égale à xi pour laquelle un taux brut est associé
- xi la valeur de l'indice juste supérieure à xi et pour laquelle on dispose également d'un tauxbrut
• Application aux données du BCAC
Comme pour le lissage de Whittaker-Henderson, on choisit les poids en fonction de la �abilité desdonnées : ils sont donc identiques à la partie précédente. A la vue de la courbe des taux bruts, lenombre de n÷uds est �xé égal à 4.
Nous procédons aux tests paramétriques 1 et obtenons des p-values supérieures au seuil de 5 %, cequi nous permet de valider l'ajustement par splines cubiques.
Lissage de Whittaker-Henderson vs Ajustement par splines cubiques
Il nous faut donc maintenant comparer les taux obtenus selon les deux méthodes a�n de conserverles plus �ables.
D'après le graphe, le lissage de Whittaker-Henderson nous paraît légèrement plus adapté dans lamesure où les taux lissés semblent appartenir à l'intervalle de con�ance de façon plus satisfaisante.
1. Les résultats des tests sont portés en �gure 3.10.
44
Figure 3.9 � Graphes des deux méthodes d'ajustement
Pour nous en assurer, nous confrontons les p-values des di�érents tests :
Figure 3.10 � Résultats des tests statistiques des deux méthodes de lissage
Les p-values étant plus élevées pour le lissage de Whittaker-Henderson, nous optons pour cetteméthode.
3.3 Taux bruts segmentés
Dans l'objectif d'expliquer l'allure de la courbe en fonction des caractéristiques de l'assuré, le calculdes taux d'entrée a été e�ectué pour di�érentes segmentations :
- Femmes (F)
- Hommes (H)
- Cadres (C)
45
- Non-cadres (NC)
- Femmes cadres (FC)
- Femmes non-cadres (FNC)
- Hommes cadres (HC)
- Hommes non-cadres (HNC)
A�n d'obtenir la fréquence d'entrée en arrêt de travail pour chaque catégorie, nous avons procédéde la même manière que dans la partie précédente en ne conservant que les assurés correspondants.
Dans la mesure où nous avons détaillé tout le raisonnement dans la partie 3.1, nous nous contenteronsde présenter ici les résultats obtenus pour les di�érentes étapes. A savoir que les graphiques del'exposition et de la sinistralité pour les segmentations qui ne sont pas représentés dans cette partiesont à retrouver en annexe sur les �gures 1 et 2.
3.3.1 Segmentation selon le genre
Figure 3.11 � Comparaison des taux d'entrée globaux, Femmes et Hommes
Bien que les résultats suivent globalement la même tendance pour les deux genres, il apparaîtnettement que la gente féminine possède une probabilité plus importante de tomber en arrêt detravail. Nous pouvons donc conclure à une sursinistralité des Femmes par rapport aux Hommes.
Par ailleurs, on remarque un pic pour le sexe féminin aux alentours de 30 ans qui n'est pas présentchez les Hommes. Il pourrait s'expliquer par la grossesse des Femmes, fréquente à ces âges-là.
46
3.3.2 Segmentation selon la catégorie socio-professionnelle
Les taux ont même allure pour les assurés cadres et non-cadres. Les non-cadres ayant une probabilitéplus élevée d'être frappés par un arrêt de travail, ce qui nous amène également à conclure à unesursinistralité de cette population par rapport à celle des cadres.
Figure 3.12 � Comparaison des taux d'entrée globaux, cadres et non-cadres
Le pic à 30 ans, bien que moins prononcé que pour le sexe féminin, est encore notable chez les non-cadres. Nous pouvons ainsi imaginer une probabilité plus élevée chez les Femmes non-cadres quechez les Femmes cadres. L'estimation des taux selon les segmentations FC et FNC nous permettrade véri�er ou non cette supposition.
3.3.3 Segmentation selon le genre et la catégorie socio-professionnelle
Exposition
Les graphes représentant l'exposition selon l'âge des assurés sont la preuve qu'elle dépend avant toutde la catégorie socio-professionnelle : alors que sa forme est globalement parabolique pour les cadres,le nombre d'assurés exposés est plus irrégulier pour les non-cadres.
47
Figure 3.13 � Expositions segmentées
Sinistralité
La sinistralité varie quant à elle de façon di�érente pour tous les types de segmentation.
Figure 3.14 � Sinistralités segmentées
48
Taux bruts
Figure 3.15 � Taux bruts segmentés
Nous retrouvons ici clairement la sursinistralité des non-cadres par rapport aux cadres et ce, quelque soit le sexe de l'assuré.
En outre, l'intuition concernant le pic à 30 ans est con�rmée : on observe une nette augmentationdu taux pour les FNC alors qu'elle est à peine perceptible chez les FC. Il semblerait même quel'on puisse remarquer un décalage à droite du maximum local de la courbe des FC par rapport auxFNC dans cette plage d'âge : ceci nous laisse penser que les Femmes cadres ont des enfants plustardivement que les Femmes non-cadres.
3.3.4 Lissage des taux bruts
Comme pour les taux non-segmentés, nous procédons à la révision des résultats initiaux a�n degommer les irrégularités. Nous appliquons pour cela le lissage de Whittaker-Henderson avec lesparamètres z = 2 et h = 1 ainsi que l'ajustement par splines cubiques avec 4 n÷uds. Les p-valuesdes di�érents tests dépassant toutes le seuil de 5 %, les ajustements e�ectués sont tous acceptables.Il nous faut donc les confronter une à une a�n d'opter pour le meilleur lissage.
Les p-values du test d'adéquation du Khi-deux sont identiques quelle que soit la méthode employée.Nous comparons donc celles des autres tests, sachant que celui de Wilcoxon est plus puissant que
49
celui des changements de signe 2.
Figure 3.16 � p-values des di�érents tests sur les deux types de lissage
Il apparaît que pour une majorité de segmentations, le lissage de Whittaker-Henderson est nettementpréférable. Néanmoins, les p-values du test de Wilcoxon sont plus élevées pour l'ajustement parsplines cubiques des taux relatifs aux segmentations cadres, Femmes et Femmes cadres. Pour cescatégories, la seconde méthode semblerait plus adéquate. Et a�n de s'en assurer, les graphes destaux lissés selon les deux manières sont représentés.
Figure 3.17 � Comparaison des deux méthodes d'ajustement pour la population cadre
2. Cf. partie 3.2.2 sur les tests statistiques.
50
Figure 3.18 �Comparaison des deux méthodes d'ajustement pour la population féminine
Figure 3.19 � Comparaison des deux méthodes d'ajustement pour la population desFemmes cadres
51
Le lissage par splines cubiques, du fait de sa construction, a pour caractéristique principale de s'adap-ter à des changements rapides de tendance en fonction de la régression et d'induire une courbureégalement aux extrémités. Dans notre cas, il faut bien garder en tête que les extrémités (notammentsupérieures à 62 ans) restent peu �ables en regard de l'exposition constatée.
Bien que les résultats statistiques apparaissent meilleurs dans le cas d'un ajustement par splinespour ces trois segmentations, nous utiliserons le lissage de Whitakker-Henderson quel que soit le cas,pour les raisons suivantes :
- A dire d'expert, il n'y a aucune explication métier pour justi�er d'une courbure plus impor-tante.
- A dire d'expert, les extrémités restent peu �ables, et la tendance attendue serait plus à unestabilisation des fréquences d'entrée. Néanmoins, le taux de présence entre 58 et 62 ans justi�entd'une légère décroissance qui est mieux traduite via un lissage de Whitakker-Henderson.
3.4 Interprétation des résultats
A�n de comparer les taux les uns par rapport aux autres, on représente les probabilités pour lesdi�érentes segmentations dans le même graphique.
Figure 3.20 � Courbes des taux obtenus après lissage par Whittaker-Henderson
Nous avons contacté un médecin dans l'optique d'expliquer les courbes d'évolution des taux ainsi queles disparités d'une segmentation à l'autre. Les explications du Dr. Baggio, médecin à la polycliniquede Lyon-Nord, sont retranscrites ci-dessous :
52
- Il est prouvé médicalement qu'au cours de sa vie, une Femme sera soumise à plus de problèmesde santé qu'un Homme. En revanche, à la �n de la vie, les tendances s'inversent et l'Hommedevient le plus impacté. Ceci su�t à expliquer la sursinistralité féminine au cours de la périodede travail.
- L'origine du pic aux alentours de 30 ans chez les Femmes vient e�ectivement de la grossesse :
◦ Cet e�et se trouve être bien plus prononcé chez les Femmes non-cadres car elles mettentau monde globalement plus d'enfants que les cadres.
◦ Le maximum local se situe à 33 ans pour les non-cadres contre 37 ans pour l'autre ca-tégorie. Les Femmes cadres ont généralement suivi des études plus longues et ont parconséquent des enfants un peu plus tard.
Figure 3.21 � Courbes des taux obtenus pour les Femmes après lissage par Whittaker-Henderson
- Les non-cadres présentent une sinistralité plus élevée que les cadres pour deux raisons ma-jeures :
◦ Ils possèdent une qualité de vie inférieure à celle des cadres. Par conséquent, ils tombentplus fréquemment malades et se soignent moins biens que les cadres.
◦ Les cadres, ayant des travails à plus grandes responsabilités, peuvent moins se permettred'être absents et auront ainsi tendance à moins s'arrêter.
- Les Hommes non-cadres ont un taux d'incidence qui croit beaucoup plus vite que celui desHommes cadres, cela s'expliquant par les conditions de vie. Il est également intéressant de
53
remarquer que la fréquence d'entrée des Hommes non-cadres dépasse même celle des Femmesaprès 42 ans.
Figure 3.22 � Courbes des taux obtenus pour les Hommes après lissage par Whittaker-Henderson
- La décroissance après 58 ans est réellement observée. La justi�cation n'a pas été identi�ée etil serait nécessaire de compléter ces travaux de statistiques complémentaires. Plusieurs pistessont envisageables :
◦ L'approche du départ en retraite joue de manière positive sur la santé des assurés.
◦ Les salariés encore présents à 58 ans sont les plus robustes, les autres n'étant déjà plusprésents sur le marché du travail.
54
Chapitre 4
Impact de l'hétérogénéité de la
tari�cation sur le chargement de sécurité
L'objectif de cette partie consiste à déterminer le chargement de sécurité adéquat à appliquer à laprime pure en fonction des fréquences d'entrées obtenues sur la base des données du BCAC.
Dans un premier temps, nous rappellerons brièvement le cadre mathématique sous-jacent de lathéorie de la ruine puis nous étudierons l'impact sur le coe�cient de sécurité du degré d'hétérogénéitéconsidéré dans la tari�cation.
4.1 Théorie de la ruine
4.1.1 Cadre mathématique
La théorie de la ruine a pour but d'évaluer la vulnérabilité d'un assureur face à son insolvabilité.E. Sparre Anderson a étendu le modèle de Poisson-composé introduit initialement en 1903 par F.Lundberg et republié dans les années 30 par H. Cramér. Ce modèle cherche à évaluer la trésoreriede la compagnie à la date t [8].
Nous considérons les notations suivantes :
- R(t) la trésorerie à la date t
- u le montant initial de la réserve de l'entreprise, u ≥ 0
- π la prime pure payée par les assurés, π > 0
- π′ la prime chargée : π′ = π(1 + λ)
- λ le taux de chargement de sécurité
- N(t), t ≥ 0 le nombre de sinistres jusqu'à la date t
- (Xn)n≥1 la suite des indemnisations versées aux assurés
- S(t) la somme des montants de sinistres jusqu'à la date t : S(t) =∑N(t)
i=1 Xi
On écrit alors :R(t) = u+ π′ − S(t)
55
Soit :
R(t) = u+ (1 + λ)π −N(1)∑i=1
Xi
Par ailleurs, deux hypothèses sont à véri�er :
- ( Xn )n≥1 est une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi
- {N(t), t ≥ 0} est un processus indépendant de (Xn)n≥1
4.1.2 Application aux données du BCAC
Dans la mesure où les contrats couvrant le risque arrêt de travail sont à échéance annuelle et queles tarifs peuvent être revus toutes les années, l'évaluation de la trésorerie à la date t = 1 semble laplus pertinente [18] :
R(1) = u+ (1 + λ)π −N(1)∑i=1
Xi
Dans le contexte de la couverture pour le risque incapacité au sens du RPP, la suite des montantsde sinistres correspond aux indemnisations accordées aux assurés sur une durée maximum de un an.
L'objectif est d'évaluer le coe�cient de sécurité relatif à la prestation réelle, à savoir en prenant encompte les lois d'entrée et de maintien en incapacité. Ainsi, au lieu de modéliser la somme S(1) desdédommagements via la simulation du nombre d'arrêts de travail N(1), on préfère représenter S(1)comme étant la valeur actuelle des indemnisations futures. De ce point de vue, π la prime pure duepar l'ensemble des assurés, se révèle être la valeur actuelle probable des prestations ultérieures.
A noter que la prime chargée du chargement de sécurité n'est pas la somme exactement versée parl'assuré. En e�et, les compagnies d'assurance doivent également rajouter des chargements a�n decompenser les dépenses dues à la vie du contrat.
Figure 4.1 � Processus de chargement de la prime
56
Modélisation des prestations versées pour un assuré
Soit Xj la variable représentant la somme des indemnités dues sur l'année pour l'assuré j. Lesprestations étant payées mensuellement à terme échu, Xj est telle que :
Xj =Lim∑t=1
(1
1 + i
) t12
Prov(xj + t, 3) 1{Txj>t}1{γxj=t|Txj>t}
Avec :
- i = taux d'actualisation annuel
- xj = âge de l'assuré numéro j
- Lim = durée de présence sur l'année. En partant de l'hypothèse que tous les assurés restentdans le portefeuille une année entière, on considère Lim égale à 12.
- Tx = durée de survie de l'assuré sachant qu'il est en vie à x ans
- γxj = durée jusqu'à ce que l'assuré j entre en incapacité
- Prov(xj + t, 3) =∑12
h=4Rj
12 (1
1+i)h−312
linc(xj+t , h)linc(xj+t , 3)
Où [6] :
◦ Rj = rente annuelle versée à l'assuré. On suppose ici qu'elle est constante sur l'année.
◦ linc(x, k) = loi de maintien en incapacité après k mois d'arrêt pour un individu entré enincapacité à l'âge x. Comme le RPP n'intervient que pour des sinistres de durée supérieureà 3 mois, il est uniquement pris en compte une franchise de 3 mois.
Avec cette approche, un assuré ne peut avoir qu'un seul sinistre par an dépassant la franchise. Entoute rigueur, il aurait fallu évaluer la loi du nombre d'arrêts de durée supérieure à trois mois parindividu au cours de la même année. Mais la quantité peu importante de données ne le permet pas.Néanmoins, il est largement envisageable de ne considérer qu'un sinistre de plus de trois mois paran pour chaque assuré dans la mesure où d'après nos éléments, seuls 51 assurés sont touchés parplus d'un arrêt au cours d'une même année.
• Calcul de l'espérance
E(Xj) = E
[Lim∑t=1
(1
1 + i
) t12
Prov(xj + t, 3) 1{Txj>t}1{γxj=t|Txj>t}
]
D'après le théorème de Fubini :
E(Xj) =Lim∑t=1
(1
1 + i
) t12
Prov(xj + t, 3) E[1{Txj>t}1{γxj=t|Txj>t}
]
Or E[1{Txj>t}1{γxj=t|Txj>t}
]= tpxj ρxj+t
Avec :
57
- tpxj = probabilité qu'un individu survive encore t années, sachant qu'il a déjà atteint l'âge xj
- ρxj+t = probabilité d'entrer en incapacité à l'âge xj + t sachant que Txj > t
Donc :
E(Xj) =
Lim∑t=1
(1
1 + i
) t12
Prov(xj + t, 3) tpxj ρxj+t
• Calcul de la variance
D'après la formule de décomposition de la variance 1 :
Var(Xj) =Lim∑t=1
Var
[(1
1 + i
) t12
Prov(xj + t, 3) 1{Txj>t}1{γxj=t|Txj>t}
]
+ 2
(1
1 + i
) k+h12
Prov(xj+k, 3) Prov(xj+h, 3)∑
16k<h6Lim
cov[1{Txj>k}1{γxj=k|Txj>k} , 1{Txj>h}1{γxj=h|Txj>h}
]
Mais dans la mesure où k 6= h et qu'un assuré ne peut avoir qu'un seul sinistre par an :
cov[1{Txj>k}1{γxj=k|Txj>k} , 1{Txj>h}1{γxj=h|Txj>h}
]= 0
Il reste donc à évaluer :
Var
[(1
1 + i
) t12
Prov(xj + t, 3) 1{Txj>t}1{γxj=t|Txj>t}
]=
(1
1 + i
) t6
Prov(xj+t, 3)2 Var
[1{γxj=t∩Txj>t}
]
Or comme :
Var[1{γxj=t∩Txj>t}
]= E
[1{γxj=t∩Txj>t}
2]−(E[1{γxj=t∩Txj>t}
])2Et :
E[1{γxj=t∩Txj>t}
2]= E
[1{γxj=t∩Txj>t}
]= tpxj ρxj+t
Finalement :
Var(Xj) =
Lim∑t=1
(1
1 + i
) t6
Prov(xj + t, 3)2 tpxj ρxj+t(1− tpxj ρxj+t)
1. Formule de décomposition de la variance :
Var
[n∑
j=1
Xj
]=
n∑j=1
Var(Xj) + 2∑
16i<k6n
cov(Xi, Xk)
58
Modélisation des prestations versées à l'ensemble du portefeuille
Les indemnisations allouées à la totalité des assurés correspondent à la somme des prestationsoctroyées à chaque individu. Dans la suite, on considère un portefeuille ou une segmentation composéde A personnes.
• Calcul de l'espéranceL'espérance de la somme des indemnisations s'assimile à la prime pure de l'ensemble des assurés :
π = E
A∑j=1
Xj
=
A∑j=1
E (Xj)
Ainsi :
π =
A∑j=1
Lim∑t=1
(1
1 + i
) t12
Prov(xj + t, 3) tpxj ρxj+t
• Calcul de la variance
Par indépendance des assurés, elle s'écrit :
Var
A∑j=1
Xj
=A∑j=1
Var (Xj)
D'où :
Var
A∑j=1
Xj
=
A∑j=1
Lim∑t=1
(1
1 + i
) t6
Prov(xj + t, 3)2 tpxj ρxj+t(1− tpxj ρxj+t)
4.2 Etude du chargement de sécurité
4.2.1 Calcul du chargement via le Théorème Central Limite
D'après la théorie de la ruine explicitée en partie 4.1 et avec α étant la probabilité de ruine del'organisme assureur, on cherche à évaluer le chargement de sécurité λ minimal en-deçà duquel latrésorerie de la compagnie devient négative :
P [R(1) < 0] = α
La réserve initiale u induisant un biais pour l'étude du chargement de sécurité, elle est �xée à 0 pourla suite de l'étude :
P [(1 + λ)π − S(1) < 0] = α
59
C'est-à-dire, en notant S(1) = S :
P [(1 + λ)E(S)− S] = α
Soit [7] :
P
[S − E(S)√Var(S)
>L× E(S)
Var(S)
]= α
Comme les assurés sont considérés indépendants et que les �ux Xj sont bornés par une constante,d'après le Théorème Central Limite et la condition de Lindeberg [16] :
S − E(S)√Var(S)
−−−−→A→∞ N(0, 1)
D'où, avec φ la fonction quantile de la loi normale centrée réduite :
1− φ(L× E(S)
Var(S)
)= α
λ se déduit donc facilement :
λ =
√Var(S)
E(S)φ−1(1− α) (4.1)
4.2.2 Description de l'étude
L'objectif étant d'analyser l'impact de l'hétérogénéité dans la tari�cation sur le chargement desécurité, trois procédés di�érents sont ainsi comparés :
- Situation 1 : le calcul du coe�cient de sécurité s'e�ectue sur l'ensemble du portefeuille, sansdistinction d'hétérogénéité
- Situation 2 : l'hétérogénéité est intégrée dans la prime pure
- Situation 3 : l'hétérogénéité est totale
Dans un premier temps, le chargement nécessaire sur le portefeuille moyen type du RPP est évaluédans chacune de ces situations. Ensuite, nous étudions l'évolution du coe�cient de sécurité selon lataille du portefeuille assuré puis en fonction de la probabilité de ruine �xée. A�n de mener à biencette analyse, un outil Excel a été développé.
Situation 1
Ne pas faire de distinction d'hétérogénéité revient à envisager une mutualisation complète entretous les assurés du portefeuille. Dans ce cas, la prime pure unique est calculée au global de tous lesindividus. Le même raisonnement s'applique pour la variance. Le taux d'entrée en arrêt de travailalors pris en compte est bien celui correspondant à la population non-segmentée. Puis par la formule4.1, le chargement de sécurité à utiliser sur l'ensemble du portefeuille est déduit.
60
Figure 4.2 � Calcul du chargement de sécurité pour la situation 1
Situation 2
Le processus de calcul reste similaire à la situation précédente, mais la prime pure et la varianceindividuelle sont évaluées en fonction de la segmentation de l'assuré et donc selon des taux d'entréespéci�ques à la catégorie de l'individu. Dans ce cas et comme pour la situation précédente, l'espéranceet la variance globale sont la somme des espérances et des variances individuelles. Ensuite, un uniquecoe�cient de sécurité que l'on applique à chacune des primes pures est calculé.
Figure 4.3 � Calcul du chargement de sécurité pour la situation 2
Situation 3
On applique le même procédé que pour la situation 1 à chacune des segmentations. Il en résulte uncoe�cient de chargement unique pour chaque catégorie d'assurés.
61
Figure 4.4 � Calcul du chargement de sécurité pour la situation 3
Tables retenues pour l'évaluation
Le Code des Assurances n'impose aucune règle particulière pour ce type de contrats en dehors dufait qu'aucune distinction ne doit être e�ectuée en fonction du genre de l'assuré.
Ainsi, en ce qui concerne la loi de décès, nous utilisons la table TGF05 recommandée dans le casdes rentes viagères. Le choix de la table générationnelle féminine correspond à une vision prudentepuisque les Femmes possèdent une plus grande espérance de vie.
Pour la loi de maintien en incapacité, nous reprenons les tables réglementaires qui sont celles duBCAC car les données mises à disposition ne permettent pas de l'évaluer.
4.2.3 Résultats sur les données du RPP
Choix retenu pour le quantile
Dans le cadre du pilier 1 de Solvabilité II, le quantile recherché est celui de 99,5 % mais dans lecadre d'une tari�cation, les organismes optent généralement pour un quantile de 80 % à 90 %. Pourl'étude, nous avons pris en compte un quantile de 85 %, ce qui correspond à φ−1(1 − α) = 1, 036.
62
En retenant cette valeur de quantile, λ s'écrit :
λ = 1, 036×√Var(S)
E(S)(4.2)
Taux de chargement historique
A partir des données relatives à chacune des années d'observation et en �xant le seuil de ruineà 15 % comme dans l'équation 4.2, l'évolution du taux de chargement et des primes pures dansles 3 situations a été observée. Les graphes montrent ainsi que les primes pures sont légèrementcroissantes : ceci s'explique par l'augmentation des salaires des assurés d'une année à l'autre (carliés au PASS).
Figure 4.5 � Evolution des primes pures annuelles totales
Le chargement requis est quant à lui réellement stable. Il n'y a donc pas de problème de volatilité àprendre en compte.
Figure 4.6 � Evolution des taux de chargement
63
Taux de chargement sur le portefeuille type
A�n de mesurer l'impact de la prise en compte de l'hétérogénéité dans la tari�cation, les résultatsobtenus sur le portefeuille type du RPP sont comparés. Le portefeuille type correspond aux donnéesmoyennes du RPP sur toutes les années, que ce soit au niveau du nombre d'assurés ou bien descaractéristiques de la population.Ainsi, il se compose de 108 187 individus dont :
- 38 % de Femmes non-cadres
- 21 % de Femmes cadres
- 16 % d'Hommes non-cadres
- 25 % d'Hommes cadres
Dans la mesure où il n'existe pas de taux unique concernant la 3e situation et a�n de rendre les troistari�cations comparables, il a été calculé une prime chargée moyenne équivalente pour les situations2 et 3. Ce montant représente la prime annuelle payée par un assuré, nette de tout chargement liéau coût de fonctionnement du contrat. En notant h une segmentation :
Prime chargée moyenne équivalente =∑h
(1 + chargementh)× prime pure totalehnombre d'assurés total
Bien que l'organisme assureur se doive d'appliquer un tarif homogène sur une même catégorie objec-tive, il est également intéressant de pouvoir comparer le taux de cotisation relatif à chaque segmen-tation. En e�et, même si la prime à payer est moins importante, du fait d'une rémunération plusfaible, elle peut représenter une somme plus conséquente. Ce coe�cient est en fait le rapport :
taux de cotisation =prime chargée
salaire moyen
• Comparaison des taux de chargement, des primes chargées et des taux de cotisation
Dans le cas où la mutualisation est totale, le taux de chargement s'avère plus faible et la primechargée plus importante que dans les autres cas. Cela vient du fait que les primes pures sont moinsajustées au risque réel que pour les situations 2 et 3. La prime chargée moyenne équivalente de lasituation 2 est, quant à elle, un peu plus faible que celle de la situation 3 car elle béné�cie de l'e�etde mutualisation sur le chargement de sécurité unique.
Concernant la dernière façon de tarifer, on remarque que ce ne sont pas les populations les plus àrisque (Femmes et Hommes non-cadres) qui présentent la prime chargée et le taux de chargement lesplus élevés. En e�et, ces segmentations perçoivent des rémunérations globalement moins importantesque pour la population cadre, l'indemnisation résultante en sera donc ressentie. En conséquence, lesnon-cadres se voient appliquer un taux de cotisation plus fort.
64
Figure 4.7 � Détail des résultats
De fait, la situation 3 permet à l'assureur de calculer une prime et un chargement de sécurité plusjustes en regard de l'aléa couvert. La mutualisation, que ce soit dans la situation 1 ou même dansla situation 2, diminue quant à elle le risque supporté par l'organisme assureur. La prime de risque(à assimiler au chargement de sécurité) ainsi nécessaire s'en trouve abaissée.
Il convient de préciser que l'analyse est menée sur le portefeuille du RPP, représentant une populationparticulièrement stable, et sur une garantie incapacité spéci�que à un an. Pour l'étude d'un autreportefeuille, il serait nécessaire de prêter attention aux caractéristiques de la nouvelle populationétudiée. En e�et, la volatilité des prestations engendrée par celle des salaires est notamment à prendreen considération.
4.2.4 Evolution du chargement de sécurité en fonction de la taille du portefeuille
Pour étudier l'impact de la taille du portefeuille, le chargement de sécurité nécessaire est évalué enfonction de groupes de dimension variable. Parallèlement, on veille à conserver les mêmes proportionsen matière de segmentation. Ainsi, sont testés des portefeuilles composés de 100 à 1 000 000 000d'assurés.
65
Il s'avère que si le nombre d'assurés est multiplié par n, le coe�cient est quant à lui multiplié par 1√n.
En e�et, en notant respectivement λn et Sn le chargement de sécurité et la somme des prestationsversées pour n fois plus d'assurés dans le portefeuille, il vient :
λn = 1, 036×√Var(Sn)
E(Sn)= 1, 036×
√nVar(S)
nE(S)=
1, 036√n×√Var(S)
E(S)=
λ√n
Bien que l'évolution du nombre d'assurés impacte en premier lieu le taux de chargement appliqué àla prime pure, il a été choisi de présenter les résultats en matière de taux de cotisation moyen relatifà chaque segmentation a�n de pouvoir comparer les trois situations.
Les résultats obtenus illustrent parfaitement le principe de mutualisation dans la mesure où lacroissance du nombre d'assurés s'accompagne de la diminution des ratios de cotisation. Et commeattendu, l'allure des courbes est en forme de 1√
n.
Les rapports prime chargée/salaire moyen de la 3ème situation restent supérieurs à ceux des autresfaçons de tarifer même s'ils convergent tous vers la même valeur. En e�et, l'impact de l'hétérogénéités'estompe avec le nombre d'assurés.
Figure 4.8 � Evolution des ratios chez les Femmes en fonction du nombre d'assuréesdans les trois situations
66
Figure 4.9 � Evolution des ratios chez les Hommes en fonction du nombre d'assurésdans les trois situations
4.2.5 Evolution du chargement de sécurité en fonction de la probabilité de ruine
�xée
Pour cette étude, on se replace sur le portefeuille type du RPP. Sont alors comparés les résultatsdes di�érentes situations pour un seuil de probabilité variant de 0,001 à 0,999.
De la même manière que dans la partie précédente, seuls les taux de cotisation sont ici présentésa�n de faciliter la comparaison, même si leur variation est exclusivement liée à celle du chargementde sécurité.
De manière attendue, le taux de cotisation augmente avec la probabilité de non-ruine. Les résultatssont comparables aux parties précédentes : la prise en compte de l'hétérogénéité à tous les niveaux,comme dans la situation 3, permet une tari�cation plus adaptée mais entraîne une prime de risqueplus conséquente pour chacune des segmentations. En revanche, une intégration de l'hétérogénéitédans le calcul de la prime pure et avec chargement de sécurité unique, tel que suggéré dans lasituation 2, propose un compromis intéressant dans la mesure où les taux de cotisation restent trèsproches de ceux de la situation de mutualisation complète.
Comme l'organisme assureur a l'interdiction d'utiliser des di�érenciations de tarif selon le sexe del'assuré, il serait donc envisageable d'appliquer soit la prime chargée équivalente à tous les individusdu portefeuille, soit de manière plus ajustée, de proposer une tari�cation selon la segmentationcadre/non-cadre, représentative d'une catégorie objective.
67
Figure 4.10 � Evolution des ratios chez les Femmes en fonction du quantile dans lestrois situations
Figure 4.11 � Evolution des ratios chez les Hommes en fonction du quantile dans lestrois situations
68
Conclusion
A�n de mieux appréhender le risque arrêt de travail, la présente étude s'est concentrée sur l'esti-mation de la fréquence d'entrée en incapacité. Les travaux menés à partir des données du RégimeProfessionnel de Prévoyance du BCAC ont tout d'abord conduit à développer une ingénierie spé-ci�que pour s'assurer de la qualité des informations et permettre un recoupement �abilisé entre labase des assurés et celle des sinistres. Un lissage selon la méthode de Whittaker-Henderson a ensuiteété appliqué aux taux d'incidence bruts. Les lois d'entrée par âge ont ainsi été obtenues pour leportefeuille dans sa globalité, mais également pour les classes Hommes, Femmes, cadres, non-cadreset plus �nement pour les segmentations croisées sexe/CSP. En�n, un chargement de sécurité a étéétudié selon le degré d'hétérogénéité pris en compte dans la population considérée.
Suite à ces travaux, les courbes d'entrée en incapacité nous semblent pouvoir être approchées selonle graphe suivant :
Figure 4.12 � Courbes des taux obtenus après lissage par Whittaker-Henderson
Ces résultats ont pu être confrontés avec ceux d'un bancassureur ayant mené des travaux similairesdans le cadre de l'assurance emprunteur. Il constate également une déformation à l'âge de 30 ansprincipalement expliquée par les statistiques observées sur la population féminine assurée ; une dé-
69
croissance à partir de 58 ans, tous genres confondus ; des fréquences d'entrée largement inférieures àcelles utilisées jusqu'ici pour ses calculs du Best Estimate sous Solvabilité II et issues des tables duBCAC.
La diminution observée à partir de 58 ans devrait devoir faire l'objet d'analyses complémentairespour challenger les pistes évoquées dans le cadre de ce mémoire qui sont l'impact positif sur lasanté des assurés de l'approche du départ en retraite mais aussi la meilleure condition physique etpsychologique des salariés encore présents à cet âge.
En�n, en ce qui concerne le coe�cient de sécurité, il apparaît sans surprise que le taux de chargementest décroissant lorsque le degré de mutualisation augmente. La situation 2, qui prend en comptel'hétérogénéité dans le calcul de la prime tout en proposant un coe�cient de sécurité unique, se posenéanmoins comme un compromis entre précision de la tari�cation du risque et niveau du chargementde sécurité. En outre, il faut souligner que les chargements de sécurité obtenus correspondent à lapopulation spéci�que du portefeuille du RPP. Aussi, cette étude ne pourrait s'appliquer à d'autresdonnées sans examiner les caractéristiques de la nouvelle population étudiée de manière à prendreen compte tout à la fois : la volatilité des prestations engendrée par celle des salaires, celle généréepar le renouvellement (entrée/sortie) de la population assurée. Il serait d'ailleurs intéressant d'enquanti�er les impacts sur le chargement de sécurité à mettre en place par l'assureur.
En synthèse, l'étude des taux d'entrée réalisée dans le cadre de ce mémoire propose une estimationplus �ne du risque réellement couvert par les assureurs. De manière à pousser l'étude au plus �nde l'hétérogénéité disponible au sein des données du portefeuille étudié, les obligations en matièrede segmentation de tari�cation (catégories objectives notamment) n'ont pas été prises en compte,et réduiraient la �nesse du raisonnement à une segmentation cadre/non cadre. Pour autant, cettepremière évaluation de chargement de sécurité en fonction des di�érentes approches de tari�cationpourrait être réutilisée à l'avenir par le BCAC et plus généralement par les assureurs couvrant cetype de risque. Cette démarche pourrait permettre une meilleure évaluation de type Best Estimatesous Solvabilité II pour les assureurs qui seront en mesure de procéder à ce type d'analyse.
70
Bibliographie
[1] Notice d'information du RPP.
[2] Article n�89-10009 de la loi EVIN, Décembre 1989.
[3] Convention collective nationale des sociétés d'assurance, Mai 1992.
[4] Sinistralité AT/MP de l'Assurance Maladie, 2013.
[5] Plaquette institutionnelle du groupe B2V, 2015.
[6] E. AUER. Modélisation d'un contrat emprunteur : Impacts et résultats. Mémoire du DUAS,2007.
[7] A. CHARPENTIER. La loi des grands nombres et le théorème central limite comme base del'assurabilité ? revue Risques N�88, Juin 2011.
[8] A. CHARPENTIER and M. DENUIT. Mathématiques de l'Assurance Non-Vie. Paris : Econo-mica., 2004.
[9] M. DALOZ. Etude de la garantie incapacité du portefeuille ircem. Mémoire du CNAM, 2012.
[10] L. GIESECKE. Use of the chi-square statistic to set whittaker-henderson smoothing coe�cients.Defense Manpower Data Center, 1981.
[11] S. GRAFE. Les groupes de prévoyance : A l'heure des choix stratégiques. PRECEPTA, 2015.
[12] T. GREVILLE. Part 5 study notes. Graduation, Education and Examination of the Society ofActuaries, 1974.
[13] T. LEURENT. Construction de tables d'expérience des risques incapacités et invalidité. Mé-moire du DUAS, 2010.
[14] M. MONTALEMBERT. La protection sociale - 6e édition. La documentation Française, 2013.
[15] F. PLANCHET and P. E. THEROND. Modélisation statistique des phénomènes de durée �applications actuarielles. Paris : Economica., 2011.
[16] F. PLANCHET and J. TOMAS. Uncertainty on survival probabilities and solvency capitalrequirement : Application to ltc insurance. Scandinarian Actuarial Journal, 2014.
[17] L. THEVENIN. Les institutions de prévoyance plus solides. Les Echos, Juillet 2015.
[18] R. WOLFRUM. Provision d'égalisation : étude technique. BCAC, Décembre 1995.
71
Annexes
72
Liste des abréviations
� ANI = Accord National Interprofessionnel� AT = Arrêt de Travail� BCAC = Bureau Commun d'Assurances Collectives� C = Cadre� C5, C6, C7 = Cadre catégorie 5, 6 ou 7� CI = Intervalle de con�ance� CSP = Catégorie Socio-Professionnelle� DI = Directeur� EB = Commercial Echelon de Base� EI = Commercial Echelon Intermédiaire� F = Femme� FC = Femme Cadre� FNC = Femme Non-cadre� H = Homme� HC = Homme Cadre� HNC = Homme Non-cadre� IC = Inspecteur Commissionné� INC = Inspecteur Non Commissionné� IJ = Indemnité Journalière� IPP = Incapacité Permanente Professionnelle� ITT = Incapacité Temporaire de Travail� ITT_1AN = ITT d'une durée d'1 an maximum� N1, N2, N3, N4 = Non-cadre catégorie 1, 2, 3 ou 4� NC = Non-cadre� NE = Nombre d'Entrées� PASS = Plafond Annuel de la Sécurité Sociale� PI_P = Invalidité Partielle� PI_T = Invalidité Totale� PSA = Personnel Salarié Administratif� RPP = Régime Professionnel de Prévoyance� Spline3 = Splines cubiques� WH = Whittaker-Henderson
73
Liste des notations mathématiques
� A = (a1, a2, . . . , an+3)′ pour la partie 3 / le nombre d'assurés pour la partie 4
� α = le pourcentage d'incertitude de l'intervalle de con�ance pour la partie 3 / la probabilitéde ruine de l'organisme pour la partie 4
� B(n, p) = la loi binomiale de paramètres n et p� C = la statistique du test des changements de signe� Cd = le seuil de la censure droite� Cg = le seuil de la censure gauche� dx = le signe de la di�érence entre les deux taux à un âge donné� 4zp∗i =
∑zj=0
(zj
)(−1)z−jp∗j+i l'opérateur di�érence avant composé z fois
� ∂l(p)∂p = la dérivée de l(p) par rapport à p
� E(p) = l'espérance de p� expi = l'e�ectif d'assurés exposés au risque pour le ièmetaux� expo(x) = l'esposition au risque incapacité pour l'âge x� F = le critère de précision� γxj = la durée jusqu'à ce que l'assuré j entre en incapacité� h = un paramètre du lissage de Whittaker-Henderson� H0 = l'hypothèse nulle des tests statistiques� Kz = la matrice de taille (t− z, t) telle que 4zp∗ = Kz p
∗
� K2 = la statistique du test du Khi-deux� L(p) = la vraisemblance� l(p) = la log-vraisemblance� Lim = durée de présence sur l'année� λ = le chargement de sécurité� λn = le chargement de sécurité pour n fois plus d'assurés dans le portefeuille� M = la combinaison précision/régularité du lissage de Whittaker-Henderson� ni = la taille de l'échantillon i du test de Wilcoxon-Mann-Whitney� N(0, 1) = la loi normale de paramètres 0 et 1� N(t), t ≥ 0 = le nombre de sinistres jusqu'à la date t� p = le taux d'entrée en AT� P = la probabilité de ...� p̂ = (p̂i)16i6t , le vecteur colonne des taux bruts à lisser� p∗ = (p∗i)16i6t , le vecteur colonne des taux lissés� p̂xi = le taux brut au point xi� Pi(x) = aix
3 + bix2 + cix + di , le polynôme utilisé dans le cadre de l'ajustement par splines
cubiques
74
� tpxj = la probabilité qu'un individu survive encore t années, sachant qu'il a déjà atteint l'âgexj
� π = la prime pure� π′ = la prime chargée� φ = la fonction quantile de la loi normale centrée réduite� Prov(x, 3) = la provision de maintien en invalidité pour un assuré d'âge x et avec 3 ansd'ancienneté
� R1 = la somme des rangs du 1er échantillon pour le test de Wilcoxon-Mann-Whitney� R = la trésorerie à un an� R(t) = la trésorerie à la date t� ρxj+t = la probabilité d'entrer en incapacité à l'âge xj + t sachant que Txj > t� S = le critère de régularité pour la partie 3 / la somme des indemnisations pour la partie 4
� S(t) = la somme des montants de sinistres jusqu'à la date t : S(t) =∑N(t)
i=1 Xi
� Sn = la somme des prestations versées pour n fois plus d'assurés dans le portefeuille� t = le nombre de taux bruts à lisser� Td = le seuil de la troncature droite� Tg = le seuil de la troncature gauche� u = le montant initial de la réserve de l'entreprise, u ≥ 0� U1 = une variable utilisée pour le test de Wilcoxon-Mann-Whitney� Var(p) = la variance de p� wi avec i variant de 1 à t, représentant les poids strictement positifs que l'on attribue à chacundes taux bruts
� W = diag(wi)(1 ≤ i ≤ t) , la matrice diagonale des poids� WM = la statistique du test de Wilcoxon-Mann-Whitney� x = l'âge des assurés� (Xn)n≥1= la suite des indemnisations versées� z = un autre paramètre du lissage de Whittaker-Henderson
75
Table 1 � Taux d'entrée en incapacité lissés par Whittaker-Henderson (partie 1)
Age Sans segmentation Femmes Hommes Cadres Non-cadres
16 0,0000% 0,0000% 0,0000% 0,0000% 0,0000%17 0,0000% 0,0000% 0,0000% 0,0000% 0,0000%18 0,0000% 0,0000% 0,0623% 0,0000% 0,0000%19 0,1102% 0,0178% 0,1348% 0,0000% 0,0000%20 0,2922% 0,2676% 0,2074% 0,0000% 0,0784%21 0,4743% 0,5174% 0,2804% 0,0170% 0,3417%22 0,6569% 0,7678% 0,3539% 0,0991% 0,6069%23 0,8394% 1,0182% 0,4280% 0,1813% 0,8748%24 1,0198% 1,2661% 0,5020% 0,2635% 1,1435%25 1,1944% 1,5070% 0,5740% 0,3456% 1,4081%26 1,3582% 1,7338% 0,6431% 0,4275% 1,6608%27 1,5089% 1,9423% 0,7104% 0,5088% 1,8982%28 1,6428% 2,1265% 0,7758% 0,5882% 2,1146%29 1,7557% 2,2802% 0,8371% 0,6641% 2,3034%30 1,8426% 2,3951% 0,8941% 0,7361% 2,4557%31 1,9020% 2,4706% 0,9437% 0,8032% 2,5685%32 1,9366% 2,5121% 0,9840% 0,8631% 2,6464%33 1,9485% 2,5230% 1,0150% 0,9128% 2,6930%34 1,9401% 2,5060% 1,0383% 0,9508% 2,7110%35 1,9161% 2,4675% 1,0554% 0,9809% 2,7030%36 1,8826% 2,4153% 1,0693% 1,0054% 2,6767%37 1,8451% 2,3579% 1,0813% 1,0245% 2,6410%38 1,8064% 2,2973% 1,0942% 1,0352% 2,6036%39 1,7729% 2,2434% 1,1082% 1,0406% 2,5734%40 1,7474% 2,2007% 1,1230% 1,0427% 2,5540%41 1,7345% 2,1731% 1,1434% 1,0474% 2,5491%42 1,7347% 2,1587% 1,1728% 1,0576% 2,5571%43 1,7511% 2,1619% 1,2128% 1,0783% 2,5799%44 1,7854% 2,1870% 1,2618% 1,1083% 2,6216%45 1,8383% 2,2345% 1,3216% 1,1504% 2,6807%46 1,9124% 2,3045% 1,3988% 1,2086% 2,7586%47 2,0070% 2,3948% 1,4955% 1,2824% 2,8548%48 2,1196% 2,5069% 1,6041% 1,3681% 2,9684%49 2,2480% 2,6377% 1,7231% 1,4631% 3,0972%50 2,3905% 2,7852% 1,8521% 1,5706% 3,2367%51 2,5452% 2,9456% 1,9916% 1,6920% 3,3829%52 2,7056% 3,1105% 2,1383% 1,8259% 3,5265%53 2,8663% 3,2729% 2,2896% 1,9654% 3,6660%54 3,0154% 3,4211% 2,4355% 2,1029% 3,7898%55 3,1416% 3,5433% 2,5670% 2,2320% 3,8861%56 3,2348% 3,6305% 2,6743% 2,3422% 3,9487%57 3,2789% 3,6677% 2,7414% 2,4183% 3,9631%58 3,2587% 3,6401% 2,7534% 2,4433% 3,9168%59 3,1649% 3,5413% 2,6978% 2,4084% 3,7999%60 3,0119% 3,3899% 2,5820% 2,3217% 3,6299%61 2,8350% 3,2237% 2,4366% 2,2093% 3,4470%62 2,6480% 3,0514% 2,2794% 2,0825% 3,2624%63 2,4557% 2,8746% 2,1173% 1,9462% 3,0776%64 2,2608% 2,6948% 1,9540% 1,8049% 2,8930%65 2,0643% 2,5119% 1,7912% 1,6609% 2,7075%66 1,8677% 2,3281% 1,6296% 1,5162% 2,5225%67 1,6710% 2,1439% 1,4682% 1,3710% 2,3376%
76
Table 2 � Taux d'entrée en incapacité lissés par Whittaker-Henderson (partie 2)
Age Femmes cadres Femmes non-cadres Hommes cadres Hommes non-cadres
16 0,0000% 0,0000% 0,0000% 0,0000%17 0,0000% 0,0000% 0,0000% 0,0000%18 0,0000% 0,0000% 0,0000% 0,0000%19 0,0000% 0,0000% 0,0000% 0,0000%20 0,0000% 0,0785% 0,0000% 0,0826%21 0,0000% 0,4050% 0,0000% 0,2048%22 0,1212% 0,7333% 0,0042% 0,3292%23 0,2456% 1,0639% 0,0454% 0,4568%24 0,3701% 1,3945% 0,0866% 0,5870%25 0,4945% 1,7197% 0,1279% 0,7166%26 0,6187% 2,0292% 0,1690% 0,8437%27 0,7429% 2,3164% 0,2094% 0,9724%28 0,8653% 2,5724% 0,2483% 1,1043%29 0,9842% 2,7880% 0,2844% 1,2368%30 1,0978% 2,9500% 0,3189% 1,3690%31 1,2035% 3,0576% 0,3530% 1,4922%32 1,2955% 3,1201% 0,3877% 1,6001%33 1,3689% 3,1437% 0,4218% 1,6921%34 1,4214% 3,1314% 0,4545% 1,7708%35 1,4593% 3,0886% 0,4870% 1,8347%36 1,4865% 3,0249% 0,5198% 1,8879%37 1,5007% 2,9543% 0,5549% 1,9285%38 1,4983% 2,8830% 0,5891% 1,9674%39 1,4856% 2,8231% 0,6220% 2,0054%40 1,4713% 2,7772% 0,6491% 2,0473%41 1,4656% 2,7459% 0,6719% 2,1032%42 1,4689% 2,7268% 0,6952% 2,1733%43 1,4860% 2,7243% 0,7238% 2,2536%44 1,5121% 2,7478% 0,7599% 2,3359%45 1,5493% 2,7964% 0,8076% 2,4178%46 1,5999% 2,8691% 0,8731% 2,5064%47 1,6616% 2,9630% 0,9574% 2,6065%48 1,7348% 3,0801% 1,0545% 2,7101%49 1,8152% 3,2179% 1,1634% 2,8167%50 1,9109% 3,3684% 1,2830% 2,9282%51 2,0245% 3,5253% 1,4140% 3,0466%52 2,1579% 3,6755% 1,5521% 3,1720%53 2,3027% 3,8153% 1,6925% 3,3077%54 2,4517% 3,9329% 1,8276% 3,4436%55 2,5944% 4,0180% 1,9560% 3,5636%56 2,7193% 4,0652% 2,0689% 3,6604%57 2,8125% 4,0591% 2,1519% 3,7203%58 2,8608% 3,9838% 2,1856% 3,7374%59 2,8623% 3,8293% 2,1565% 3,7010%60 2,8311% 3,6152% 2,0676% 3,6226%61 2,7922% 3,3850% 1,9446% 3,5352%62 2,7482% 3,1491% 1,8040% 3,4515%63 2,7008% 2,9087% 1,6517% 3,3755%64 2,6512% 2,6648% 1,4932% 3,3062%65 2,5989% 2,4176% 1,3327% 3,2411%66 2,5463% 2,1692% 1,1715% 3,1799%67 2,4931% 1,9203% 1,0096% 3,1200%
77
Graphiques supplémentaires
Figure 1 � Graphes des expositions
78
Figure 2 � Graphes des sinistralités
79
Table des �gures
1.1 Description des di�érents acteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Répartition du marché de la prévoyance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Schéma de la relation Salarié - Employeur - Organisme Assureur . . . . . . 101.4 Organigramme des catégories de l'arrêt de travail . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Organigramme du groupe B2V, représentant uniquement les entités inter-
agissant dans le contexte de cette étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 Processus de classement des sinistres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 Descriptif de la base des assurés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Descriptif de la base des sinistres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Etat des lieux avant et après retraitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Etat des lieux avant et après retraitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 Répartition Hommes/Femmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.6 Répartition des salaires chez les Femmes (à gauche) et chez les Hommes
(à droite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.7 Répartition des CSP sur les di�érentes années d'observation . . . . . . . . . 222.8 Répartition des CSP en fonction de l'âge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.9 Répartition croisée sexe/CSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.10 Nombre annuel de sinistres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.11 Sinistralité par âge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.12 Sinistralité en fonction de la nature de l'arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.13 Sinistralité en fonction du montant de rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.14 Processus d'indemnisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.15 Détail des taux indemnisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.16 Comparaison de la répartition par CSP avant et après estimation . . . . . 28
3.1 Nombre d'entrées en arrêt de travail en fonction de l'âge . . . . . . . . . . . 333.2 Calcul de l'exposition réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Exposition et sinistralité par âge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Courbe des taux bruts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5 Taux de présence sur l'année . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.6 Courbes des taux d'entrée calculés sur chaque année . . . . . . . . . . . . . . 373.7 Comparaison des trois options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.8 p-values des tests pour les trois options de paramétrage . . . . . . . . . . . . 423.9 Graphes des deux méthodes d'ajustement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.10 Résultats des tests statistiques des deux méthodes de lissage . . . . . . . . 45
80
3.11 Comparaison des taux d'entrée globaux, Femmes et Hommes . . . . . . . . 463.12 Comparaison des taux d'entrée globaux, cadres et non-cadres . . . . . . . . 473.13 Expositions segmentées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.14 Sinistralités segmentées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.15 Taux bruts segmentés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.16 p-values des di�érents tests sur les deux types de lissage . . . . . . . . . . . 503.17 Comparaison des deux méthodes d'ajustement pour la population cadre . 503.18 Comparaison des deux méthodes d'ajustement pour la population féminine 513.19 Comparaison des deux méthodes d'ajustement pour la population des
Femmes cadres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.20 Courbes des taux obtenus après lissage par Whittaker-Henderson . . . . . 523.21 Courbes des taux obtenus pour les Femmes après lissage par Whittaker-
Henderson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.22 Courbes des taux obtenus pour les Hommes après lissage par Whittaker-
Henderson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1 Processus de chargement de la prime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2 Calcul du chargement de sécurité pour la situation 1 . . . . . . . . . . . . . . 614.3 Calcul du chargement de sécurité pour la situation 2 . . . . . . . . . . . . . . 614.4 Calcul du chargement de sécurité pour la situation 3 . . . . . . . . . . . . . . 624.5 Evolution des primes pures annuelles totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.6 Evolution des taux de chargement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.7 Détail des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.8 Evolution des ratios chez les Femmes en fonction du nombre d'assurées
dans les trois situations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.9 Evolution des ratios chez les Hommes en fonction du nombre d'assurés
dans les trois situations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.10 Evolution des ratios chez les Femmes en fonction du quantile dans les trois
situations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.11 Evolution des ratios chez les Hommes en fonction du quantile dans les trois
situations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.12 Courbes des taux obtenus après lissage par Whittaker-Henderson . . . . . 691 Graphes des expositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782 Graphes des sinistralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
81
Liste des tableaux
1 Taux d'entrée en incapacité lissés par Whittaker-Henderson (partie 1) . . . . . . . . 762 Taux d'entrée en incapacité lissés par Whittaker-Henderson (partie 2) . . . . . . . . 77
82
83