le : 1 juillet 2015 julien bencteux...mémoire présenté le : 1er juillet 2015 pour l’obtention...

Mémoire présenté le : 1er juillet 2015

pour l’obtention du Diplôme Universitaire d’actuariat de l’ISFA et l’admission à l’Institut des Actuaires

Par : Julien BENCTEUX

Titre : Modélisation du risque de provision par l’approche bootstrap

Confidentialité : NON OUI (Durée : 1 an 2 ans) Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus. Membres présents du jury de l’IA Signature Entreprise Véronique MAUME

DESCHAMPS Nom : Generali France

Pierre RIBEREAU Signature : Membres présents du jury de l’ISFA Directeur de mémoire en entreprise Brigitte DUBUS-THIRKELL Nom : Romain BOYER CHAMMARD Lionel LAURENT Signature : Invité Nom : Signature : Autorisation de publication et de mise

en ligne sur un site de diffusion de documents actuariels (après expiration de l’éventuel délai de confidentialité)

Signature du responsable entreprise Secrétariat : Signature du candidat Mme Christine DRIGUZZI Bibliothèque : Mme Patricia BARTOLO

Modélisation du risque de provision par l’approche bootstrap 2

RESUME La mise en place de la réforme règlementaire Solvabilité 2 va entraîner un bouleversement majeur dans les méthodes de provisionnement des assureurs et dans leur approche du risque. L’assureur devra alors être capable de calculer et de justifier le risque de pertes maximum à horizon un an avec une probabilité de 99,5%. Dans ce contexte, le risque de provision constituera l’une des composantes majeures du risque en assurance non-vie. Dans ce mémoire, nous essayons de développer les outils nécessaires pour fournir une réponse opérationnelle à cette problématique. Nous privilégions pour cela l’approche « bootstrap », basée sur les simulations de Monte Carlo. Nous abordons le risque de provision dans la cadre d’une approche basée sur les triangles de liquidation et développons des méthodes bootstraps reposant sur le Chain Ladder et ses variantes stochastiques (Mack, Poisson surdispersé) pour estimer le SCR de provision. Nous proposons également des variantes aux méthodes usuelles (simulation des résidus, rééchantillonnage « équilibré », méthode du « trapèze », choix de la loi de simulation pour l’erreur de processus). Nous intégrons ensuite les facteurs de queue à notre étude selon deux approches distinctes (simulation des facteurs de queue, estimation dynamique des facteurs de queue pour chaque itération du bootstrap). Nous généralisons enfin notre problématique dans un cadre multivarié en intégrant une structure de dépendance entre les résidus de chaque branche. Nous présentons par ailleurs brièvement les formules fermées de Mack et de Merz-Wüthrich à titre comparatif. MOTS CLES Best estimate – Boni-mali – Bootstrap – Copule – Dépendance – Facteur de queue – Modèle interne – Provisionnement stochastique – Risque de provision – SCR de provision –Solvabilité 2 – Value-at-Risk


ABSTRACT The Solvency 2 directive will lead to substantial changes in the reserving methods used by insurers and in the way they approach risks. Indeed, insurers will have to assess every year the maximum loss expected for their next year of exercise, with a 99.5% probability of occurrence. In this context, the reserve risk will be one of the main risks for the non-life insurance companies. Thus, in this report, we try to develop the required tools to solve this problem in an operational way. For these purposes, we choose the “bootstrap” approach, based on the Monte Carlo simulations. We consider the reserve risk within the framework of the run-off triangles methods and we develop our bootstrap models relying on the deterministic and stochastic Chain Ladder reserving models (Mack, Over Dispersed Poisson) in order to estimate the reserve SCR. We also consider several alternative methods (residuals simulation, “balanced” re-sampling, “trapezoid” method, distribution changes for the process error). Then, we improve our models by including the tail factors in two different ways (tail factors simulation, dynamic estimate of the tail factors for each bootstrap’s iteration). Lastly, we extend our study to a multivariate framework by incorporating a correlation between residuals from each line of business. We also briefly present the Mack and Merz-Wüthrich closed formulae as benchmarks. KEYWORDS Best estimate – Bootstrap – Claims development result – Copula – Dependence – Internal model – Reserve risk – Reserve SCR – Solvency 2 – Stochastic reserving – Tail factor – Value-at-risk


REMERCIEMENTS Je tiens tout d’abord à remercier l’ensemble de mes anciens professeurs pour leur pédagogie et pour les connaissances qu’ils m’ont transmises tout au long de mon parcours universitaire. Je suis particulièrement reconnaissant à :

L’université Paris 1 pour m’avoir transmis la passion des mathématiques et de l’économie.

L’ISFA pour l’exhaustivité et la qualité de son enseignement en actuariat. L’université Laval pour son accueil chaleureux lors de mon semestre d’échange.

Je tiens également à exprimer ma gratitude à l’ensemble de mes anciens collègues de Generali France qui m’ont fait bénéficier de leurs expériences, de leurs conseils et avec qui j’ai pris plaisir à travailler. Je souhaite remercier tout particulièrement Romain Boyer Chammard et Pierre Ribereau pour leur disponibilité, leur encadrement, ainsi que pour les conseils qu’ils m’ont prodigués lors de la rédaction de ce mémoire. Je leur fais également part de ma sincère gratitude pour leurs encouragements passés et pour leur soutien dans mes projets futurs.


TABLE DES MATIERES

RESUME ..............................................................................................................................2 ABSTRACT ..........................................................................................................................3

REMERCIEMENTS ............................................................................................................4 INTRODUCTION ................................................................................................................8

PARTIE I : Le risque de provision à un an ....................................................................... 11 A. Solvabilité 2 ................................................................................................................ 11

1. Les piliers de Solvabilité 2 .................................................................................... 11 2. Exigences quantitatives : la détermination du SCR ................................................ 12

B. Le risque de provision ................................................................................................ 14 1. La notion de risque de provision ............................................................................ 14 2. La mesure du risque de provision .......................................................................... 16

PARTIE II : Modèles de provisionnement ........................................................................ 21

A. Estimation du best estimate : modèle de Chain Ladder ........................................... 21 1. Hypothèses du modèle de Chain Ladder ................................................................ 21 2. Méthode du Chain Ladder ..................................................................................... 22

B. Extensions stochastiques du modèle de Chain Ladder ............................................. 23 1. Modèles stochastiques récursifs ............................................................................. 24

1.1. Modèle de Mack ............................................................................................... 24 1.2. Modèle de Buchwalder ..................................................................................... 25

2. Modèles stochastiques non récursifs ...................................................................... 26 2.1. Rappel sur les modèles linéaires généralisés ...................................................... 26 2.2. Modèle de Poisson surdispersé.......................................................................... 28

C. Application numérique .............................................................................................. 31 1. Présentation des données ....................................................................................... 31 2. Adéquation des données au modèle du Chain Ladder ............................................ 33 3. Adéquation des données aux modèles de Mack et de Buchwalder .......................... 36 4. Adéquation des données au modèle de Poisson Surdispersé ................................... 37 5. Best estimate des provisions .................................................................................. 40

PARTIE III : Mesure de l’incertitude des provisions par les formules fermées .............. 42 A. La formule de Mack ................................................................................................... 42

B. La formule de Merz-Wüthrich .................................................................................. 43 C. Limites des formules fermées .................................................................................... 45

D. Application numérique .............................................................................................. 46 PARTIE IV : Evaluation du risque de provision par l’approche bootstrap .................... 50

A. Théorie du bootstrap ................................................................................................. 50 B. Adaptation de la théorie du bootstrap à notre problématique ................................. 51

C. Bootstrap des méthodes non récursives .................................................................... 55


D. Bootstrap des méthodes récursives ............................................................................ 58

E. Application numérique .............................................................................................. 62 1. Analyse des hypothèses du bootstrap ..................................................................... 62 2. Résultats obtenus ................................................................................................... 67 3. Vitesse de convergence des CDR .......................................................................... 69 4. Loi de distribution des provisions simulées............................................................ 71

PARTIE V : Variantes de la méthode du bootstrap.......................................................... 75

A. Simulation des résidus ............................................................................................... 75 1. Principe et intérêts de la méthode .......................................................................... 75 2. Application numérique .......................................................................................... 76

B. Bootstrap équilibré .................................................................................................... 79 1. Principe et intérêt de la méthode ............................................................................ 79 2. Application numérique .......................................................................................... 79

C. Bootstrap de trapèzes de résidus .............................................................................. 81 1. Principe et intérêt de la méthode ............................................................................ 81 2. Application numérique .......................................................................................... 83

D. Simulation de l’erreur de processus ......................................................................... 84 1. Principe et intérêt de la méthode ............................................................................ 84 2. Application numérique .......................................................................................... 85

PARTIE VI : Gestion des facteurs de queue ..................................................................... 89 A. Prise en compte du facteur de queue dans le calcul du best estimate ...................... 89

1. Définition du facteur de queue ............................................................................... 89 2. Méthode de calcul du facteur de queue .................................................................. 89 3. Application numérique .......................................................................................... 90

B. Prise en compte du facteur de queue dans le calcul du SCR de provision ............... 91 1. Simulation des facteurs de queue par la méthode du delta ...................................... 92 2. Extrapolation d’un facteur de queue pour chaque itération du bootstrap ................. 94 3. Application numérique .......................................................................................... 95

PARTIE VII : Risque de provision multivarié ................................................................ 100

A. Adaptation de la problématique au cadre multivarié ............................................. 100 1. Calcul du best estimate bivarié ............................................................................ 100 2. Principe de diversification pour le risque de provision ......................................... 100

B. Mesure et modélisation de la dépendance entre branches ..................................... 101 1. Rappel sur les mesures de dépendance ................................................................. 101 2. Rappel sur les copules ......................................................................................... 102

C. Approches de modélisation de la dépendance ........................................................ 104 1. Approche bottom-up............................................................................................ 104 2. Approche top-down ............................................................................................. 104

D. Simulation de la loi bivariée des CDR ..................................................................... 105 1. Etapes du bootstrap multivarié ............................................................................. 105 2. Calculs associés au bootstrap multivarié .............................................................. 109 3. Limites des bootstraps multivariés présentés........................................................ 113

E. Application numérique ............................................................................................ 114 1. Présentation des nouvelles données ..................................................................... 114


2. Etude des dépendances entre les résidus .............................................................. 116 3. Détermination de la structure de dépendance ....................................................... 118 4. Résultats de modélisation obtenus ....................................................................... 120 5. Evolution de la dépendance au cours du bootstrap ............................................... 121 6. Vitesse de convergence des CDR ........................................................................ 122

SYNTHESE DES MODELES ET PROLONGEMENTS POSSIBLES ......................... 124 CONCLUSION ................................................................................................................. 127

BIBLIOGRAPHIE ........................................................................................................... 128 ANNEXES ........................................................................................................................ 131

ANNEXE 1 : Analyse des hypothèses du Chain Ladder pour la branche DAB ......... 131 ANNEXE 2 : Analyse des hypothèses du bootstrap de Mack pour la branche DAB . 133


INTRODUCTION Compte-tenu de l’inversion du cycle de production en assurance, l’assureur ne connait pas à priori le coût futur des garanties offertes aux assurés. Il doit alors estimer le nombre et le montant des sinistres dont il aura la charge et effectuer les provisions nécessaires afin de respecter ses engagements. Si cette estimation n’est déjà pas aisée dans le contexte pour lequel ont été créés les produits d’assurance, l’assureur doit également être en mesure d’anticiper et de quantifier l’impact d’éventuels changements d’environnement tels que l’évolution de la législation, l’inflation des biens et des services, les changements climatiques ou encore l’évolution du comportement des assurés. Que ces évaluations soient faites à partir de modèles statistiques purs ou en y intégrant des jugements d’expert, ces estimations seront toujours basées sur l’historique de données qu’il possède ou sur leur projection. Le risque de sous-estimation des coûts des sinistres est donc réel et justifie la nécessité d’effectuer des réserves permettant à l’assureur d’honorer ses engagements. Une insuffisance en fonds propres pourrait par ailleurs limiter le développement de l’entreprise. L’assureur ne peut cependant pas se permettre de mobiliser « trop » de fonds propres. L’évaluation de ces montants guide en effet partiellement ses choix d’investissement et l’oblige à investir dans une certaine mesure dans des actifs moins risqués ou plus liquides et donc souvent moins rentables. Nous parlons alors de coût d’immobilisation du capital. L’évaluation des réserves est donc un enjeu économique pour l’assureur. Face aux deux visions opposées que sont la protection des assurés et la contrainte de rentabilité financière, il convient donc de déterminer le juste montant de fonds propres. Dans ce contexte, la réforme Solvabilité 2 a pour but de renforcer l’harmonisation des capitaux règlementaires entre les différents pays européens, permettant à l’ensemble des assureurs d’évoluer sous des mêmes contraintes règlementaires et donc financières. Cette harmonisation s’effectue « par le haut » puisqu’elle durcit les conditions de solvabilité des assureurs, renforçant ainsi l’intérêt des assurés. La perspective de mise en place de la réforme Solvabilité 2 entraîne un bouleversement majeur dans les méthodes de provisionnement des assureurs et dans leur approche du risque. Sous Solvabilité 1, les provisions sont calculées selon une approche prudente, consistant à calculer la valeur moyenne attendue des sinistres et à y ajouter une marge prudentielle. Sous Solvabilité 2, les provisions doivent quant à elles être évaluées selon une approche « best estimate » correspondant à la valeur espérée des sinistres. Cette réforme impose cependant à l’assureur de disposer de fonds propres suffisants pour faire face à ses engagements à horizon un an avec une probabilité de 99,5%. Dans ce nouvel environnement règlementaire, le risque de provision constitue l’une des composantes les plus coûteuses en termes de fonds propres. Afin de calculer ce risque, l’assureur devra déterminer la valeur espérée ou « centrale » des provisions, mais également estimer le risque que la révision des provisions entre deux années successives n’affecte sa solvabilité. Il devra alors être en mesure d’estimer la distribution des bonis-malis à horizon un an pour évaluer le quantile correspondant au « pire scénario sur 200 ». Deux grandes approches permettent d’évaluer ce risque. La première fait appel à des formules fermées permettant d’estimer les deux premiers moments de la loi des provisions. Cette approche est cependant non paramétrique et nécessite d’émettre une hypothèse quant à la loi de distribution, difficile à justifier en pratique. La seconde approche est basée sur le principe du bootstrap et offre une alternative pertinente. Elle permet en effet d’obtenir une distribution empirique des provisions en s’appuyant sur les simulations de Monte Carlo.

INTRODUCTION

Si l’évaluation des provisions dans le cadre de Solvabilité 2 est très exigeante sur le fond avec la détermination de scénarios extrêmes, elle peut également l’être sur la forme lorsque l’assureur opte pour une approche de type « modèle interne ». Dans cette configuration, si l’assureur est libre de choisir sa propre méthodologie de modélisation, il doit cependant en justifier la pertinence. Dans ce mémoire, nous allons tenter de relever le double défit que constitue l’évaluation du risque de provision et la justification de nos choix méthodologiques dans le cadre d’une approche « modèle interne ». A défaut d’effectuer une revue de l’ensemble des méthodes de calcul du best estimate ou d’évaluation des distributions des provisions, nous privilégions une approche consistant à décrire la modélisation du risque de provision dans son « intégralité » : calcul du best estimate, évaluation du risque de provision univarié, intégration des facteurs de queue, extension du modèle dans un cadre multivarié. En partant du postulat que le modèle de Chain Ladder et ses extensions sont les plus utilisés par les assureurs (pour leur facilité de compréhension, de calcul et d’adaptabilité aux données), nous choisirons de présenter des méthodes d’évaluation du risque de provision basées sur ces modèles. Nous porterons par ailleurs tout au long de ce mémoire une attention particulière à étudier les hypothèses, intérêts et limites théoriques de chacune des méthodes présentées et à les confronter à nos données lors d’applications numériques. Dans la première partie, nous rappellerons le contexte réglementaire dans lequel nous effectuerons notre étude. Nous définirons ainsi les principales notions (best estimate, boni-mali, risque de provision, SCR de provision, principe de diversification, VaR) de façon heuristique puis mathématique dans le cadre d’une approche basée sur les triangles de liquidation. Dans la seconde partie, nous présenterons le modèle de provisionnement de Chain Ladder et certaines de ses extensions stochastiques utilisés pour calculer le best estimate et sur lesquels reposeront les modélisations du risque de provision. La troisième partie sera consacrée à l’étude des formules fermées de Mack et de Merz-Wüthrich qui permettent de déterminer la variance des provisions à l’ultime et à horizon un an. Dans la quatrième partie, nous exposerons la théorie du bootstrap et son adaptation à notre problématique d’évaluation du risque de provision. Nous présenterons ensuite les étapes et les calculs à effectuer pour les bootstraps de Mack et de Poisson surdispersé. Dans la cinquième partie, nous proposerons quelques variantes aux modèles bootstraps présentés précédemment. La première variante consistera à remplacer le rééchantillonnage des résidus par leurs simulations. La seconde variante, que nous qualifierons de bootstrap « équilibré », modifiera le rééchantillonnage de sorte que tous les résidus seront « piochés » un même nombre de fois. La troisième variante, appelée méthode du trapèze étendra le principe de rééchantillonnage et permettra d’incorporer l’erreur de processus sans avoir recours aux simulations. La dernière variante consistera à tester différentes lois de simulation pour l’erreur de processus. Dans la sixième partie, nous incorporerons les facteurs de queue à la modélisation du risque de provision via deux approches distinctes. La première consistera à simuler les facteurs de queue et la seconde à les estimer de façon dynamique pour chaque itération du bootstrap. Dans la dernière partie, nous étendrons enfin l’étude du risque de provision à un cadre multivarié. Nous proposerons pour cela d’introduire une corrélation entre les différentes branches lors du rééchantillonnage des résidus. Nous aurons alors recours à la théorie des copules pour déterminer puis simuler notre structure de dépendance.

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Première partie

Le risque de provision à un an


PARTIE I : Le risque de provision à un an Cette première partie a pour but de situer le contexte dans lequel nous effectuons notre étude. Aussi, nous décrirons dans un premier temps le futur environnement réglementaire Solvabilité 2, en rappelant ses principales composantes et les changements de méthodologies qu’il impose pour le calcul des provisions. Nous définirons ensuite les notions de best estimate, de boni-mali et de risque de provision, ainsi que les méthodes utilisées pour les estimer dans le cadre d’une approche basée sur les triangles de liquidation. A. Solvabilité 2 Solvabilité 2 est une réforme réglementaire du monde de l’assurance devant entrer en application au 1er janvier 2016. Il s’agit d’une directive qui refonde profondément l’approche d’évaluation des capitaux du risque mise en place par Solvabilité 1 dans les années 70. En effet, là où Solvabilité 1 définissait l’exigence de fonds propres par un pourcentage forfaitaire des primes et des sinistres, Solvabilité 2 instaure une exigence de capital liée au profil de risque de l’entreprise. Par ailleurs, Solvabilité 2 instaure également des mesures qualitatives incitant les compagnies à gérer leur propre risque. 1. Les piliers de Solvabilité 2 Comme pour la réforme du secteur bancaire Bâle 2, Solvabilité 2 repose sur une architecture en 3 piliers. Le premier pilier concerne les exigences quantitatives, le second la gouvernance des risques et le dernier définit la discipline de marché.

Pilier 1 : Exigences quantitatives Le premier pilier a pour objectif essentiel de définir le mode de calcul des provisions techniques, des fonds propres et des exigences en fonds propres. Les provisions techniques se composent du best estimate et de la market value margin. Le best estimate correspond à la valeur actualisée des flux monétaires futurs, pondérée par leurs probabilités d’occurrence. La market value margin ou marge pour risque correspond au surplus de fonds propres nécessaire au best estimate pour qu’un autre assureur accepte de reprendre le portefeuille.

Concernant les exigences en fonds propres, le SCR (ou Solvency Capital Requirement) définit le niveau de fonds propres nécessaire à l’assureur pour absorber une perte annuelle exceptionnelle, c'est-à-dire lui permettant d’être solvable avec une probabilité de 99,5 %. Pilier 2 : Gouvernance des risques Le second pilier définit les exigences qualitatives. Il impose la mise en place d’un système de gouvernance des risques à travers notamment l’application de l’ORSA (Own Risk and Solvency Assessment). L’assureur doit alors être en mesure d’identifier et de mesurer les risques susceptibles de nuire à sa solvabilité et de mettre en place les réponses opérationnelles nécessaires pour s’assurer que les exigences en fonds propres soient en permanence respectées.

PARTIE I : Le risque de provision à un an


Pilier 3 : Discipline de marché Le dernier pilier traite des obligations de publications relatives aux deux premiers piliers, tant à destination des autorités de contrôles (ACPR, BCE) que du marché (actionnaires, analystes,…). Il est inscrit dans un objectif de communication et de transparence des résultats, des risques et des méthodes pratiquées par l’assureur. Formule standard et modèle interne Dans le cadre du pilier 1 de Solvabilité 2, l’évaluation du SCR peut être effectuée selon deux modalités distinctes : l’utilisation de la formule standard ou la mise en place d’un modèle interne. La formule standard est fournie par l’EIOPA et définit intégralement la méthodologie de calcul du SCR. Le calcul de ce dernier repose alors sur une approche forfaitaire calibrée à partir de paramètres de marché et s’applique identiquement aux différentes compagnies ayant choisi cette option. Si cette méthode présente l’avantage d’être facilement applicable, les résultats obtenus ne reflètent pas le risque réel encouru de chaque entreprise. Dans le cadre du modèle interne, la méthodologie relative au calcul du SCR est entièrement définie par l’assureur. Pour être applicable, le modèle interne devra préalablement faire l’objet d’un processus d’approbation auprès des autorités de contrôle référentes : l’ACPR pour la France et le collège des superviseurs pour les entreprises appartenant à un groupe européen. L’assureur devra alors être en mesure de justifier l’intégralité des choix méthodologiques et des paramètres de modélisation retenus. 2. Exigences quantitatives : la détermination du SCR Les composantes du SCR Le SCR définit le montant nécessaire pour limiter le risque de faillite à une chance sur 200. Il doit donc prendre en compte l’ensemble des risques liés au passif et à l’actif de l’assureur et que nous listons ci-dessous :

Risque d’action : risque de pertes liées à une évolution défavorable des marchés actions (choc pouvant affecter les actions, mais aussi les participations, les investissements alternatifs et les obligations sensibles au niveau des actions).

Risque immobilier : risque de pertes liées à une baisse du marché de l’immobilier.

Risque de taux : risque de pertes liées aux variations (hausse ou baisse) de la courbe

des taux qui influencent aussi bien l’actif (obligations, prêts) que le passif (actualisation des provisions pour sinistres et pour primes).

Risque de change : risque de pertes liées aux fluctuations des taux de change.

Risque de concentration : risque de pertes liées à une trop forte exposition à un

émetteur donné.



Risque de crédit : risque de pertes liées à un élargissement du spread, des changements de notation ou de défaut des émetteurs obligataires.

Risque de prime : risque de pertes liées à une insuffisance des primes perçues pour

faire face aux coûts des sinistres.

Risque de catastrophe : risque de pertes liées à un événement extrême ou irrégulier et non pris en compte par le risque de prime (événements naturels, terrorisme, conflagration).

Risque de provision : risque de pertes liées à une insuffisance des provisions pour

faire face aux engagements à horizon un an.

Risque opérationnel : risque de pertes liées à des processus défaillants, au personnel, aux systèmes informatiques, à des événements externes et à l’image de la compagnie.

L’assureur doit évaluer les SCR marginaux de chacun des risques décrits ci-dessus. Il doit pour cela déterminer le risque de pertes maximales associé à chacun de ces risques avec une probabilité d’occurrence de 99.5%. Le principe de diversification des risques L’une des innovations de Solvabilité 2, qui a pour vocation d’instaurer une exigence de capital liée au profil de risque de l’entreprise, est la prise en compte de la diversification du portefeuille dans le calcul de l’exigence en fonds propres totale. La diversification des risques repose sur le principe que le risque global est inférieur à la somme des risques pris séparément. Aussi, les corrélations entre les différents risques doivent être prises en compte lors de la détermination du SCR « global ». Le phénomène de diversification des risques s’applique à différents niveaux : entre les différents risques (risque d’action, de prime, de catastrophe, ….), entre les différentes branches du passif (RC auto, Santé, Construction, …), entre les différents produits de l’actif (actions, obligations, matières premières, …), entre les différents lieux géographiques (pour le risque de catastrophe notamment), etc. Les composantes du SCR (hors risque opérationnel) évoquées précédemment sont évaluées séparément puis agrégées à l’aide d’une matrice de corrélations :

ji jijiBRUT SCRSCRnCorrélatioSCR , ,

La matrice de corrélations est fournie par l’EIOPA dans le cadre de la formule standard ou déterminée par la compagnie dans le cadre du modèle interne. On appellera effet de diversification, la différence obtenue entre la somme des risques pris séparément et le SCR obtenu après diversification.



SCR global Le SCR global est obtenu en sommant le SCR après diversification et le SCR opérationnel (défini forfaitairement) et auxquels nous soustrayons l’atténuation par l’impôt (qui correspond à l’économie d’impôt consécutive aux pertes financières) :

nAtténuatioSCRSCRSCR elopérationnbrutglobal par l’impôt

B. Le risque de provision Dans cette sous-partie, nous définissons les notions sous-jacentes au risque de provision dans le contexte de Solvabilité 2 ainsi que les conventions retenues pour les mesurer. 1. La notion de risque de provision Inversion du cycle de production Dans le cycle de production d’une transaction classique, le prix de vente du bien ou du service est fixé en fonction de son prix de revient, connu à priori. Dans le cadre d’une opération d’assurance, l’assureur fixe la prime d’assurance en fonction d’une estimation statistique du coût de revient des garanties proposées, mais dont la vraie valeur n’est connue qu’à posteriori. L’assureur doit donc constituer des provisions suffisantes pour lui permettre de faire face à ses engagements futurs. Provisions dans le cadre de Solvabilité 2 Les provisions sont inscrites telles que nous les voyons au moment de leur évaluation. Compte-tenu de l’inversion du cycle de production, une incertitude demeure cependant quant au coût futur réel des contrats d’assurance. Pour tenir compte de cette incertitude, les provisions étaient déterminées de façon prudentielle sous Solvabilité 1, c'est-à-dire qu’elles incorporaient une marge de prudence. Sous Solvabilité 2, les provisions inscrites au compte de résultat doivent être évaluées sans calcul de marge de prudence, selon une approche dite « best estimate ». Les provisions sont alors égales à l’espérance des sinistres futurs actualisés.

Figure I.1 : Calcul des provisions sous Solvabilité 1 et sous Solvabilité 2



Risque de provision Nous inscrivons les provisions dans le compte de résultat telles que nous les voyons à la fin de l’exercice. L’année suivante, nous mesurons le boni-mali effectué, c'est-à-dire l’écart entre nos prévisions et les réalisations effectives. Le risque de provision est le risque de réaliser un mali, qui est une perte nette pour l’assureur et qui s’inscrit dans les comptes de résultat. On peut classer le risque de provisions selon différents niveaux, en fonction de l’importance du mali :

1er niveau : le mali remet en question la crédibilité de l’assureur dans sa capacité à calculer ses provisions.

2ème niveau : la consommation des fonds propres liée à la perte financière limite l’action de l’assureur et l’oblige à prendre certaines décisions.

3ème niveau : l’entreprise se retrouve en situation d’insolvabilité, ses fonds propres ne lui permettent plus de faire face à ses engagements.

SCR de provision En plus de mesurer le scénario central des provisions (best estimate), Solvabilité 2 impose également de mesurer un scénario extrême à horizon un an, qui est le risque de survenance sur 200. L’assureur doit alors calculer le SCR de provision, qui peut se définir comme la différence absolue entre le boni-mali espéré à horizon un an (nul en moyenne, par définition du best estimate des provisions) et la réalisation du pire mali possible avec une probabilité d’occurrence de 0,5%.

Figure I.2 : Principe du SCR de provision



2. La mesure du risque de provision Sous la formule standard, le risque de provision et le risque de prime sont estimés simultanément dans un seul bloc appelé risque de souscription. Dans le cadre du modèle interne, l’assureur doit lui-même déterminer et justifier la méthodologie retenue. Les problématiques d’estimation des distributions complètes des provisions et de leurs quantiles sont assez récentes dans le domaine de l’actuariat. Dans ce mémoire, nous choisissons d’appréhender la problématique du risque de provision dans le cadre du modèle interne. Pour cela, nous utiliserons l’approche la plus classique, qui consiste à travailler à partir des triangles de règlements des sinistres, également appelés triangles de liquidation. Triangle de liquidation En assurance dommage, les règlements relatifs aux sinistres sont effectués plus ou moins rapidement après leur survenance, selon la branche et la nature du sinistre considéré. Le triangle de liquidation regroupe les informations relatives aux règlements effectués et se présente de la façon suivante : les lignes i correspondent aux années de survenance du sinistre. les colonnes j représentent les années de développement, c'est-à-dire le délai entre la

survenance du sinistre et son règlement. les diagonales correspondent aux années calendaires et contiennent les informations

relatives aux années comptables i+j. jiX , représente l’information relative aux règlements effectués pour l’année de

survenance i et après j années. Ces règlements sont bruts ou nets des règlements des années précédentes (selon la convention retenue).

Le triangle de liquidation se présente donc sous la forme suivante :

Année de survenance i 1 … j … J

1…i

…I

Règlements futursà provisionner

Année de développement j

jiX ,

Figure I.3 : Triangle de liquidation

La partie grisée correspond à l’information connue, c'est-à-dire aux observations faites jusqu’à l’année comptable I+1. La partie blanche correspond quant à elle aux règlements futurs et donc non connus à ce jour et constitue la partie que nous cherchons à estimer lors du calcul des provisions. Best estimate des provisions Le best estimate des provisions à l’instant t est défini comme la somme des règlements futurs actualisés et pondérés par leurs probabilités d’occurrence. Il correspond donc à l’espérance conditionnelle des règlements futurs actualisés compte-tenu de l’information disponible .tF



Afin de ne pas interférer avec le risque de taux et pour ne pas conditionner nos résultats de modélisation futurs à une hypothèse quelconque de taux d’intérêt, nous utiliserons tout au long de ce mémoire une approche du best estimate pour laquelle les règlements futurs ne seront pas escomptés. Un tel best estimate est alors défini par :

tR I

i

J

iIj jiCE

2 2 ,[ | ]tF .

Définition mathématique du boni-mali à horizon un an Nous considérerons dans ce mémoire que les triangles étudiés sont en « run-off ». Les obligations de l’assureur vis-à-vis des sinistres ayant lieu après l’année JI ne seront donc pas prises en compte. Par ailleurs, à l’exception faite de la partie traitant spécifiquement des facteurs de queue (« tail factors »), nous considérerons que les sinistres seront entièrement réglés après JIn années de développement. Nous adoptons les notations ci-dessous : Soit IJn le nombre d’années observées de notre triangle. Soit jiC , les règlements incrémentaux pour l’année de survenance i ϵ {1, …, I} et

après j ϵ {1, …, J} année(s) de développement. Soit

j

h hijiCD

1 ,, les règlements cumulés pour l’année de survenance i et après j

année(s) de développement.

Evaluation des provisions au 31 décembre de l’année I+1

A la fin de l’année calendaire 1I , nous disposons de l’information 1IF sur les sinistres, définie par : 1IF = { jiC , tel que Iji ,1 et 1 Iji }, c’est-à-dire du triangle des paiements incrémentaux suivants :


1…i

…I


à provisionnerRèglements futurs

jiC ,

Figure I.4 : Information disponible à la fin de l’année t = I+1

Pour faire face aux règlements futurs, nous devons estimer ,i 1ˆ IiR le best estimate des provisions à effectuer pour l’année de survenance i et compte tenu de l’information 1IF :

1ˆ IiR J

iIjI

jiC21

,

avec EC I ji

1,

[ jiC , | 1IF ].



Evaluation des provisions au 31 décembre de l’année I+2

A la fin de l’année calendaire 2I , nous disposons de la réalisation d’une diagonale supplémentaire avec iiIiC )( 2, , les règlements effectués au cours de l’année comptable (I+1,I+2] :


1…i

…I


Règlements futursà provisionner

jiC ,

Figure I.5 : information disponible à la fin de l’année t = I+2

L’information disponible 2IF est définie par :

2IF = { jiC , tel que Iji ,1 et 2 Iji } 12 II FF { iiIiC )( 2, avec ni 2 }.

Le best estimate des provisions est alors donné par :

2ˆ IiR J

iIjI

jiC32

,

avec EC I ji

2,

[ jiC , | 2IF ].

Réalisation de bonis-malis à horizon un an

A la fin de l’année I+2, l’assureur doit inscrire dans les comptes de résultat les règlements ( iIiC )2, qu’il a effectués au cours de l’année (I+1,I+2] ainsi que l’estimation du best estimate

des provisions futures, compte-tenu de l’information dont il dispose ( 2ˆ IiR ). Il compare alors

ces montants à l’estimation des provisions faite une année plus tôt ( 1ˆ IiR ). L’écart constaté, appelé CDR (Claims Development Result), correspond à la réalisation d’un boni-mali. Le boni-mali ou CDR pour l’année de survenance i est donc donné par :

1ˆ)2( Iii RICDR - ( iIiIi CR 2,

2ˆ ) En définissant l’ultime comme la somme des règlements effectués jusqu’au développement complet du triangle, nous pouvons également réécrire les CDR comme la différence entre deux estimations successives des ultimes :

)2( ICDRi JiUE ,[ | 1IF ] - JiUE ,[ | 2IF ] avec J

j jiJiCU

1 ,,



Détermination du SCR

Evaluation de la distribution des CDR

Le SCR de provision correspond à la différence absolue entre le boni-mali espéré (nul en moyenne, par définition du best estimate des provisions) et la réalisation du pire mali possible avec une probabilité d’occurrence de 0,5%. Pour déterminer le SCR de provision, nous avons donc besoin d’estimer la distribution des bonis-malis à horizon un an (ou CDR) et donc de ses composantes : le best estimate des provisions à la date 1 It , qui est déterministe. la distribution des règlements effectués au cours de l’année (I+1,I+2]. la distribution du best estimate des provisions à la date 2 It , compte-tenu des

règlements effectuées pendant l’année comptable (I+1,I+2] et des observations connues à la date 1 It .

Pour que les bonis-malis soient cohérents, il sera nécessaire d’évaluer les best estimates aux années 1 It et 2 It selon une méthodologie similaire. L’estimation des règlements futurs devra également être en adéquation avec la méthode utilisée pour les calculs des best estimates.

Mesure de risque retenue Une fois la distribution des CDR connue, nous devons encore mesurer le SCR de provision. L’EIOPA recommande l’utilisation de la Value at Risk (ou VaR) comme mesure de risque. La Value at Risk (VaR) de niveau α de la variable X est définie par :

)()(,inf')( 1 xX FxFRxXVaR

Formule du SCR de provision

Le SCR de provision est donc donné par l’opposé de la 005,0VaR du CDR total qui correspond à la somme des CDR pour chaque année de survenance :

)(005,0Pr TOTovision CDRVaRSCR avec : I

i iTOTCDRCDR

2

20

Seconde partie

Modèles de provisionnement


PARTIE II : Modèles de provisionnement Nous cherchons à déterminer le SCR de provision défini dans la première partie. L’estimation de ce dernier nécessite l’évaluation de la distribution des bonis-malis à horizon un an et de ses composantes : le best estimate des provisions à la fin de l’année I+1, les règlements effectués au cours de l’année (I+1,I+2] et le best estimate des provisions à la fin de l’année I+2. Pour estimer ses différentes distributions, nous avons opté pour une approche basée sur les triangles de liquidation et à partir de laquelle de nombreuses méthodes de provisionnement ont été développées : London Chain, Cape Cod, Bornhuetter-Ferguson, méthode de Taylor, etc. Nous choisissons dans ce mémoire de retenir la méthode de provisionnement du Chain Ladder pour deux raisons : la première est qu’il s’agit probablement de la méthode de provisionnement la plus utilisée en assurance dommage et la seconde est que des extensions stochastiques à ce modèle ont été développées et permettent d’évaluer l’incertitude autour de ses prévisions. Nous pouvons classer les extensions stochastiques au modèle du Chain Ladder en deux grandes catégories : les modèles que nous qualifierons de récursifs et ceux que nous qualifierons de non-récursifs. Les modèles récursifs expriment les montants cumulés pour une année de développement j en fonction du ou des montants des années de développement précédentes. En d’autres termes, les variables d’intérêt de ces modèles sont les facteurs de développement. Dans les modèles non récursifs, les variables d’intérêt sont quant à elles les montants incrémentaux, qui sont exprimés indépendamment de l’information passée. A. Estimation du best estimate : modèle de Chain Ladder 1. Hypothèses du modèle de Chain Ladder Le modèle de Chain Ladder est sans aucun doute le modèle le plus utilisé pour le provisionnement et bien souvent sans vérification préalable de ses hypothèses. Aussi, nous récapitulons ici les hypothèses de ce modèle : Hypothèse H1 : Les paiements cumulés des sinistres jiD , sont indépendants des années de survenance i. Remarque : Cette hypothèse est difficile à vérifier en pratique. Un test permettant de rejeter l’indépendance des années de survenance consiste à étudier l’absence d’effet calendaire. Hypothèse H2 : Il existe des facteurs de développement Jff ,...,1 tels que Ii 1 et

Jj 2 , l’égalité suivante soit vérifiée :

jiDE ,[ | jijii DEDD ,1,1, [],..., | 1,11, ] jijji DfD

PARTIE II : Modèles de provisionnement


Remarque : l’hypothèse H2 se vérifie graphiquement en étudiant l’alignement des couples jjiji DD ),( 1,, pour chaque année de survenance i.

2. Méthode du Chain Ladder Principe du modèle de Chain Ladder Les règlements relatifs aux sinistres sont effectués plus ou moins rapidement après leur survenance, selon la branche et la nature du sinistre considéré. Le Chain Ladder suppose que quelque soit l’année au cours de laquelle est survenue le sinistre, les règlements (en nombre ou en montant) s’effectueront à la même vitesse. Partant du constat d’indépendance entre les années de survenance, il propose alors d’estimer les cadences de règlement (appelés facteurs de développement) par la cadence moyenne observée entre deux années de développement successives. On peut alors estimer simplement les règlements futurs en appliquant les facteurs de développement aux règlements observés.

Année de survenance i 1 2 … j … J

1 D1,1 D1,2 … D1,j … D1,J2 D2,1 D2,2 … D2,j … …… … … … … … …i Di,1 Di,2 … … … …

… … … D.,. … … …I DI,1 DI,. DI,. … … …


… … … Figure II.1 : Principe du Chain Ladder appliqué aux règlements des sinistres

Estimateurs du modèle de Chain Ladder Compte tenu de l’information 1IF = { jiC , tel que Iji ,1 et 1 Iji }, les estimateurs du modèles de Chain Ladder sont les suivants :

Les estimateurs sans biais et non corrélés des cadences de règlement, appelés facteurs

de développement jf̂ sont donnés par :

jJi ji

jJ

i jij

D

Df

1 ,

1 1,ˆ , j { 1,...,1 J }.

Les estimateurs des cadences de règlement propres à l’année de survenance, appelés

facteurs de développement individuels jif ,ˆ , sont donnés par :

ji

jiji D

Df

,

1,,

ˆ , i { 1,...,1 I }, j { 1,...,1 J }.

Les estimateurs sans biais des règlements futurs jiD ,ˆ sont donnés par :

.1.11,, .....ˆ jiIiIiji ffDD , Ii ,...,2 , j {J+2-i,…J}.



L’estimateur sans biais des réserves pour l’année calendaire i est donné par : )1ˆ....ˆ.(ˆ 111, IiIiIii ffDR , Ii ,...,2

L’estimateur sans biais du best estimate des provisions est donné par :

I

i iRR

2ˆˆ

Limites du modèle de Chain Ladder Le modèle de Chain Ladder a l’avantage d’être facilement applicable, il présente cependant certaines limites dont il faut rester conscient : Le Chain Ladder repose sur le principe que les cadences de règlement observées par le

passé vont se reproduire dans le futur, sans tenir compte de changements potentiels : évolution de la jurisprudence, changement du rythme de l’inflation, etc.

Les derniers facteurs de développement estimés reposent sur un nombre limité

d’observations. Bien que par construction, ces facteurs sont généralement ceux qui ont l’effet multiplicatif le moins importants (proches de 1), ils sont également ceux qui s’appliquent au plus grand nombre d’années de survenance.

Le calcul des règlements cumulés futurs nécessite d’estimer les règlements cumulés

intermédiaires entre le dernier règlement observé et celui recherché. Aussi, cette application récursive des estimateurs de développement induit un risque de cumul des erreurs d’estimations.

Le modèle de Chain Ladder présente enfin un inconvénient majeur puisqu’il est

déterministe. Aussi, il ne permet de prédire qu’une seule réalisation des règlements futurs et donc du best estimate. Il ne nous fournit donc aucune d’information quant à l’erreur d’incertitude autour de cette prédiction.

B. Extensions stochastiques du modèle de Chain Ladder De nombreuses extensions stochastiques du modèle de Chain Ladder, qui permettent d’obtenir des résultats identiques ou proches de ce dernier, ont été développées dans le but de fournir une estimation de la volatilité des réserves et ainsi d’associer un niveau de risque autour du best estimate. Dans cette partie, nous n’avons pas pour objectif de faire une revue de ces méthodes stochastiques, mais de décrire les modèles sur lesquels reposeront les méthodes d’estimation des distributions des CDR présentées ultérieurement dans ce mémoire (formules fermées de Mack et de Merz-Wüthrich, bootstraps des modèles de Poisson surdispersé et de Mack). Les méthodes d’évaluation des distributions des CDR basées sur le bootstrap différent selon le caractère récursif ou non-récursif du modèle, nous distinguons donc volontairement les modèles appartenant à chacune de ces familles.



1. Modèles stochastiques récursifs Nous appellerons modèles récursifs, les modèles dont les hypothèses relatives aux règlements sont exprimées conditionnellement aux règlements des années de développement précédentes. Ces modèles sont donc récursifs, dans le sens où pour déterminer un règlement futur, nous devons estimer celui de l’année de développement précédent. 1.1. Modèle de Mack Le modèle de Mack, introduit pour la première fois en 1993 dans « Distribution-free calculation of the standard error of Chain Ladder reserve estimates » [20], définit une extension stochastique au Chain Ladder. En ajoutant une hypothèse à ce dernier modèle, il permet d’introduire la notion de volatilité autour de l’estimation des règlements futurs. Hypothèses de Mack Il s’agit d’un modèle non-paramétrique, puisqu’aucune hypothèse ne définit la loi de distribution des composantes du triangle, seules des hypothèses relatives aux deux premiers moments sont formulées. Hypothèse H1 : Indépendance entre les années de survenance.

ji , { nii DD ,1, ,..., } et { njj DD ,1, ,..., } sont indépendants. Hypothèse H2 : Hypothèse sur l’espérance des règlements cumulés.

j {1,…, J-1}, il existe jf , tel que i {1,…, I} :

1,[ jiDE | 1,,1, [],..., jijii DEDD | jijji DfD ,, ] jifE ,[ | jji fD ], Hypothèse H3 : Hypothèse sur la variance.

j {1,…, J-1}, il existe j , tel que i {1,…, I} :

1,[ jiDV | 1,,1, [],..., jijii DVDD | jijji DD ,2

, ] jifV ,[ |2

, ] jjiD Remarque : Les deux premières hypothèses de Mack sont similaires à celles du Chain Ladder. Seule l’hypothèse H3, relative à la variance des moments cumulés et implicitement sous-jacente au modèle de Chain Ladder, est ici reformulée. Estimateurs du modèle de Mack Sous les hypothèses du modèle de Mack, nous retrouvons les mêmes estimateurs avec les mêmes propriétés que ceux décrits dans la méthode du Chain Ladder. Aussi, les provisions obtenues par ces deux méthodes sont identiques. Les estimateurs 2ˆ j de la variance des règlements cumulés sont quant à eux donnés par :

jJ

ij

ji

jijij fD

DD

jJ 1

2

,

1,,

2 ˆ1

1̂ , j { 2....,,1 J }.



Compte-tenu du peu d’information disponible, Mack propose d’approximer le dernier paramètre à partir des 2 précédents :

)ˆ,ˆmin(,ˆ

ˆminˆ 2 2

232

3

222

1 JJJ

JJ

Limites du modèle de Mack En reprenant les hypothèses du modèle de Chain Ladder, le modèle de Mack en reprend également les limites présentées précédemment. Par ailleurs, l’hypothèse H3 relative à la variance implique que les règlements cumulés soient nuls ou positifs :

1,[ jiDV | ,,] ,2

, jiDD jijji 0, jiD . Remarque : à l’exception de la première année de développement, cette hypothèse n’impose aucune contrainte quant au signe des règlements incrémentaux. 1.2. Modèle de Buchwalder Buchwalder et al. [12] proposent de redéfinir le modèle de Mack sous la forme d’un modèle de séries temporelles. Hypothèses du modèle de Buchwalder Hypothèse 1 : Les variables sont indépendantes des années de survenance et la relation entre deux règlements cumulés successifs est formulée par :

jijijjijji DDfD ,,,1, ... , i {1,…,I} et j {1,…,J-1}

Hypothèse 2 : ji, , les résidus sont indépendants et centrés réduits ( 0][ , jiE , 1][ , jiV ) et j ,

.0j Remarque : nous pouvons facilement vérifier que ce modèle implique les hypothèses du modèle de Mack formulées précédemment et permet d’en reproduire les résultats. Intérêt du modèle La reformulation du modèle de Mack par Buchwalder et al. permet de faire apparaître explicitement les résidus jiji ,, )( , que l’on peut obtenir par inversion de la formule de l’hypothèse 1 :

jij

jijjiji D

DfD

,

,1,, .

).(



Ces résidus, parfois appelés « résidus de Mack », ne sont pas explicitement définis dans le modèle initial. La formalisation des résidus sera nécessaire pour le provisionnement par bootstrap présenté ultérieurement dans ce mémoire et justifie l’utilisation du modèle de Buchwalder. Par ailleurs, l’étude des résidus constitue un bon test d’adéquation du modèle aux données. Estimateurs du modèle de Buchwalder Les estimateurs de jf et de

2j , des règlements futurs et du best estimate des provisions sont

identiques à ceux du modèle de Mack. Les estimateurs des résidus sont quant à eux donnés par :

jij

jijjiji D

DfD

,

,1,, .ˆ

).ˆ(ˆ.

Limites du modèle de Buchwalder Le modèle de Buchwalder impliquant les hypothèses du modèle de Mack, il en reprend également les limites définies précédemment. Il impose par ailleurs le caractère centré-réduit des résidus. Conclusion sur les modèles récursifs de Mack et Buchwalder Les odèles de Mack et Buchwalder présentent trois grandes qualités. La première d’entre elles est qu’ils répliquent exactement les valeurs du modèle de Chain Ladder. La seconde qualité de ces modèles est leur caractère non paramétrique, qui leur permet d’être applicables à un grand nombre de données. Ils permettent enfin d’introduire la notion de volatilité des règlements et de la mesurer. Remarque : par la suite, les termes « modèle de Mack » et « résidus de Mack » désigneront par abus de langage le modèle de Mack redéfini par Buchwalder et al. et les résidus de ce dernier modèle. 2. Modèles stochastiques non récursifs Le modèle de Poisson surdispersé ou ODP (Over Dispersed Poisson) présenté dans cette partie est dérivé du modèle linéaire généralisé de Poisson. A contrario des modèles de Chain Ladder et de Mack, les modèles linéaires généralisés ont pour variables d’intérêt les règlements incrémentaux du triangle. Les incréments étant supposés indépendants dans ces modèles, nous les classons donc dans la famille des modèles de provisionnement non récursifs. 2.1. Rappel sur les modèles linéaires généralisés Les méthodes de provisionnement basées sur les modèles linéaires généralisés sont des modèles paramétriques qui proposent de relier des variables explicatives (années de survenance, de développement et calendaire) à une variable à expliquer (règlements



incrémentaux). Ils sont formés de trois composantes : la composante aléatoire, la composante systématique et la fonction lien. Composante aléatoire : Les règlements incrémentaux jiy , sont indépendants et suivent une loi de distribution f appartenant à la famille des exponentielles de : Densité :

);;()(

)(exp),,( ,,,

,,,,, jijiji

jijijijiji yca

byyf

Avec : :, ji paramètre réel, appelé paramètre canonique ou paramètre de la moyenne : paramètre de dispersion :, ji paramètre de pondération associé à jiC , a() : fonction non nulle définie sur R b() : fonction de classe 2C définie sur R, c() : fonction définie sur 2R

La famille exponentielle regroupe les lois suivantes : Bernoulli, Binomiale, Gamma, Poisson et Lognormale. Leurs distributions sont intégralement définies par les deux premiers moments. Espérance : )(][ ,

',, jijiji byE

Variance : ji

jijiji

VbyV

,

,,

'',

)()(][

avec V() fonction variance de la distribution.

Composante systématique : Les paramètres explicatifs du modèle sont donnés par ),,( , jiji c avec :

i : paramètre lié à l’année de survenance avec Ii 1 j : paramètre lié à l’année de développement avec Jj 1 cc ji , : paramètre lié à l’inflation (constante si le triangle est initialement déflaté).

On définit le prédicateur linéaire par : jijiji yc ,, )( Fonction lien : Le lien entre les paramètres explicatifs du modèle et les paramètres à expliquer est donné par la fonction lien g :

jijijiji ycg ,,, )()(



2.2. Modèle de Poisson surdispersé Le modèle de Poisson surdispersé n’est pas à proprement dit un modèle linéaire généralisé puisque sa distribution n’appartient pas à la famille des lois exponentielles. Il peut cependant facilement être implémenté à partir du modèle linéaire généralisé de Poisson dont il ne diffère que par son paramètre d’échelle, évalué à posteriori du modèle de Poisson. Hypothèses du modèle de Poisson surdispersé Le modèle de Poisson surdispersé repose sur les hypothèses suivantes : Hypothèse 1 : Les montants des sinistres incrémentaux jiC , sont indépendants et distribuées selon des lois de Poisson surdispersé, dont les espérances et variances sont données par :

jijiCE ,, ][ et jijiji CECV ,,, ][][ Remarque : La loi de Poisson surdispersé offre plus de souplesse que la loi de Poisson classique. Cette dernière exige en effet que les deux premiers moments soient égaux, tandis que la loi de Poisson surdispersé suppose simplement que la variance soit proportionnelle à la moyenne. Ces deux lois sont liées par la relation suivante :

jiC , ~ jiji

CODP ,, ),( ~ )( , jiPoisson

Hypothèse 2 : Le prédicateur linéaire du modèle est donné par :

jiji c , Avec : i : paramètre lié à l’année de survenance avec Ii 1 j : paramètre lié à l’année de développement avec Jj 1 c : constante de la régression 011 (pour des contraintes d’unicité du modèle) Remarque : Le prédicateur linéaire est identique à celui proposé par Kremer dans « IBNR-claims and the two-way model of ANOVA » [19]. Il diffère légèrement des prédicateurs présentés précédemment, dans le sens où ses composantes ne sont pas des variables explicatives quantitatives mais qualitatives. Hypothèse 3 Le lien entre le prédicateur linéaire ji, et l’espérance des incréments ji , est assuré par la fonction lien logarithmique :

jijiji c ,, )log(

)exp()exp( ,, jijiji c



Estimateurs du modèle de Poisson surdispersé

1ère étape : estimation du modèle linéaire généralisé de Poisson Estimateur du prédicateur linéaire Nous déterminons les composantes du prédicateur linéaire ( ),, jic par maximisation de la vraisemblance ou de la quasi-vraisemblance. Estimateurs des règlements futurs Les estimateurs des incréments futurs sont donnés par les estimateurs des espérances ( ji , ) :

)ˆˆˆexp(ˆˆ ,, jijiji cC , JiIjIi ;2,,2 . Best estimate des provisions Le best estimate des provisions est enfin obtenu en sommant les règlements futurs espérés :

I

i

J

iIj jiCR

2 2 ,ˆˆ

2ème étape : estimation du paramètre de dispersion

Calcul des résidus du modèle de Poisson Le calcul des résidus du modèle de Poisson constituent une étape préalable à l’estimation du paramètre de dispersion du modèle. Habituellement, 3 types de résidus sont utilisés pour les modèles linéaires généralisés : les résidus de Pearson, les résidus d’Ascombe et les résidus de déviance dont les estimateurs pour le modèle de Poisson sont les suivants :

Résidus non ajustés de Pearson : ji

jijiPji

Cr

,

,,, ˆ

ˆˆ

Résidus non ajustés d’Ascombe : 6

1

,

32

,3

2

,

,ˆ

)ˆ(23

ˆji

jijiAji

Cr

Résidus non ajustés de déviance : jijijijijijiji

Dji CCCCsigner ,,,,,,,, ˆ)ˆlog((2)ˆ(ˆ

1er estimateur du paramètre de dispersion McCullagh et Nelder [34], proposent d’estimer le paramètre de dispersion à l’aide de la méthode des moments :

Nr

pNN

pNr ii

22

̂

Avec : ir : résidu non ajusté de Pearson ou de déviance du modèle de Poisson. p : nombre de paramètres du prédicateur linéaire. N : nombre de résidus. N- p : nombre de degrés de liberté



2ème estimateur du paramètre de dispersion England & Verrall [18] proposent quant à eux d’abandonner l’hypothèse de constance du paramètre de dispersion et de déterminer un paramètre de dispersion pour chaque année de développement :

),ˆ,ˆmin(

1,...1, ˆ

21

12

Jjsi

Jjn

rpN

N

JJ

j

n

i i

j

j

Avec : jn : nombre de résidus pour la période de développement j. ir : résidu non ajusté de Pearson ou de déviance du modèle de Poisson. p : nombre de paramètres du prédicateur linéaire. N : nombre de résidus. N- p : nombre de degrés de liberté Intérêts du modèle Une extension stochastique du modèle de Chain Ladder Renshaw et Verrall [25] montrent que le modèle linéaire généralisé de Poisson permet de reproduire à l’identique les résultats du modèle de Chain Ladder sous les conditions suivantes : les estimateurs sont évalués par maximisation de la quasi-vraisemblance la somme des incréments de chaque colonne est positive ou nulle

Les estimateurs du modèle de Poisson surdispersé étant identiques à ceux du modèle de Poisson, il reproduit donc également sous certaines conditions les résultats du modèle de Chain Ladder. Un modèle plus flexible que le modèle de Poisson Nous observons souvent un phénomène de surdispersion des règlements incrémentaux (variance supérieure à l’espérance). Le modèle de Poisson surdispersé permet de répondre à cette problématique grâce au paramètre de dispersion . Un modèle paramétrique Contrairement aux modèles présentés précédemment qui ne décrivaient que les deux premiers moments (Mack et Buchwalder), le modèle de Poisson surdispersé définit entièrement la loi de distribution des règlements. Il nous évite ainsi de devoir supposer une loi de distribution, difficile à justifier en pratique.



Limites du modèle de Poisson surdispersé Positivité des incréments L’hypothèse H1 du modèle impose que l’espérance des incréments soit positive ou nulle et restreint l’utilisation de ce modèle. Cependant, Renshaw et Verrall [25] montrent que ce modèle peut tout de même être paramétré (en utilisant la maximisation par quasi-vraisemblance) à condition que les sommes des incréments pour chaque colonne soient positives :

1

1 ,0, jI

i jiyj

Le modèle tel qu’il est paramétré ne permettra cependant pas de prédire d’incréments futurs négatifs (recours). Aussi, lorsque le nombre d’incréments négatifs observés est trop important, il est recommandé de privilégier d’autres modèles. Indépendance des règlements incrémentaux Les modèles linéaires généralisés requièrent l’indépendance des règlements incrémentaux, ce qui peut paraître contradictoire avec le principe du Chain Ladder. En effet, nous nous attendons à observer des corrélations (à minima) entre les lignes d’incréments compte-tenu des cadences de règlements. Limites du modèle de Chain Ladder Le modèle de Poisson surdispersé qui est une extension stochastique du Chain Ladder, en reprend également les limites présentées précédemment. C. Application numérique Dans cette application numérique, nous déterminons le montant des best estimates des provisions, nécessaire au calcul du SCR de provision. Les résultats obtenus par l’ensemble des modèles de provisionnement présentés dans cette partie (Chain Ladder, Mack, Buchwalder et Poisson surdispersé) seront identiques à cette étape de modélisation. Nous confrontons cependant nos données aux hypothèses de chacun de ces modèles. Les modélisations qui suivront dans ce mémoire seront en effet construites à partir de ces différentes méthodes de provisionnement. Nous voulons donc dès à présent tester la bonne adéquation de nos données à ces modèles. 1. Présentation des données Les données sont issues des bases de Generali. Elles correspondent aux règlements attritionnels et incrémentaux nets de recours de la branche responsabilité civile pour les années 2001 à 2012. Dans un souci de confidentialité, ces données ont subi certaines modifications (multiplication des valeurs par un facteur commun) qui n’impactent en aucune façon les conclusions tirées dans ce mémoire.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 122001 18 896 283 35 664 093 15 206 935 12 069 468 7 611 246 10 438 221 7 940 713 8 360 153 9 212 829 3 940 835 1 676 571 1 578 785 2002 21 943 802 32 271 516 13 572 809 12 660 323 10 125 851 8 231 922 7 360 101 6 106 391 9 350 605 3 866 655 4 810 721 2003 21 250 293 32 509 197 15 294 680 18 889 986 10 605 218 24 996 225 15 373 370 4 969 840 6 332 603 1 710 008 2004 22 433 393 35 806 550 19 910 433 13 945 271 11 839 094 19 839 500 5 232 722 5 607 286 4 948 882 2005 20 503 012 34 518 583 17 750 035 15 562 141 12 544 384 11 304 957 7 802 669 15 970 245 2006 21 952 941 38 916 647 31 261 837 18 176 269 11 779 964 9 840 124 7 028 423 2007 23 494 466 46 419 661 23 692 069 17 862 487 11 037 128 10 230 195 2008 23 972 063 47 319 522 26 236 051 18 018 285 17 350 257 2009 25 028 937 49 861 385 25 560 543 22 880 778 2010 25 313 117 46 980 942 28 382 952 2011 23 084 675 54 762 233 2012 27 939 231

Table II.1 - Règlements incrémentaux de la branche RC

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 122001 18 896 283 54 560 376 69 767 311 81 836 779 89 448 025 99 886 246 107 826 959 116 187 112 125 399 941 129 340 776 131 017 347 132 596 132 2002 21 943 802 54 215 318 67 788 127 80 448 450 90 574 301 98 806 223 106 166 324 112 272 715 121 623 321 125 489 976 130 300 697 2003 21 250 293 53 759 491 69 054 170 87 944 156 98 549 375 123 545 600 138 918 969 143 888 809 150 221 412 151 931 420 2004 22 433 393 58 239 943 78 150 376 92 095 647 103 934 741 123 774 241 129 006 963 134 614 249 139 563 132 2005 20 503 012 55 021 594 72 771 629 88 333 771 100 878 155 112 183 112 119 985 781 135 956 026 2006 21 952 941 60 869 588 92 131 425 110 307 694 122 087 659 131 927 783 138 956 206 2007 23 494 466 69 914 127 93 606 196 111 468 682 122 505 810 132 736 005 2008 23 972 063 71 291 585 97 527 636 115 545 922 132 896 179 2009 25 028 937 74 890 322 100 450 864 123 331 642 2010 25 313 117 72 294 059 100 677 012 2011 23 084 675 77 846 909 2012 27 939 231

Table II.2 - Règlements cumulés de la branche RC

Année de développement j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Cadence Incrémentale (%) 14,3% 26,9% 11,5% 9,1% 5,7% 7,9% 6,0% 6,3% 6,9% 3,0% 1,3% 1,2%

Cadence cumulée (%) 14,3% 41,1% 52,6% 61,7% 67,5% 75,3% 81,3% 87,6% 94,6% 97,5% 98,8% 100,0%

Cadences de règlement (Année de survenance 2001)

Table II.3 - Cadences de règlement de la branche RC pour les sinistres survenus au cours de l’année 2001

Les branches RC sont des branches « longues » et Generali n’échappe pas à cette règle. En effet, nous observons par exemple que pour les sinistres survenus au cours de l’année 2001, 25% des règlements effectués le sont plus de 6 ans après le sinistre. Nous pouvons donc nous attendre à ce que cette branche soit particulièrement consommatrice en capitaux propres.

i\j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112001 2,89 1,28 1,17 1,09 1,12 1,08 1,08 1,08 1,03 1,01 1,012002 2,47 1,25 1,19 1,13 1,09 1,07 1,06 1,08 1,03 1,042003 2,53 1,28 1,27 1,12 1,25 1,12 1,04 1,04 1,012004 2,60 1,34 1,18 1,13 1,19 1,04 1,04 1,042005 2,68 1,32 1,21 1,14 1,11 1,07 1,132006 2,77 1,51 1,20 1,11 1,08 1,052007 2,98 1,34 1,19 1,10 1,082008 2,97 1,37 1,18 1,152009 2,99 1,34 1,232010 2,86 1,392011 3,37

Année de Dvt j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Facteurs de Dvt (CL) 2,84 1,35 1,20 1,12 1,13 1,07 1,07 1,06 1,02 1,03 1,01

Facteurs de développement estimés par Chain Ladder

Facteurs de développement individuels

Table II.4 - Comparaison des facteurs de développement individuels et des facteurs de

développement estimés (par Chain Ladder) de la branche RC



Nous observons une bonne régularité dans les cadences de développement. En effet, les facteurs de développement individuels sont proches des estimateurs obtenus par la méthode du Chain Ladder et ceci malgré les deux principaux écarts observés (en rouge sur la table). On peut donc à priori présumer qu’il y a eu une bonne stabilité dans le temps dans la gestion des sinistres et des données et que ce triangle est un bon candidat pour l’utilisation de modèles de type Chain Ladder. Le ralentissement des cadences de règlement suggère qu’après 12 années de règlement, cette branche est proche de l’ultime sans pour autant l’avoir atteint. L’étude du facteur de queue (tail factor) est donc nécessaire et sera effectuée ultérieurement dans ce mémoire. 2. Adéquation des données au modèle du Chain Ladder Les modèles de Mack, de Buchwalder et Poisson surdispersé sont utilisés pour fournir des versions stochastiques du modèle de Chain Ladder. Le premier test à effectuer consiste donc tout naturellement à étudier la compatibilité des données avec les hypothèses du Chain Ladder. Nous étudierons ensuite l’adéquation des données aux modèles stochastiques. Hypothèse H1 : Indépendance des années de survenance. Un test d’indépendance des années de survenance consiste à étudier l’absence d’effet calendaire. Concrètement, nous comparons pour chaque diagonale, les cadences de règlements individuelles avec celles observées pour l’ensemble du triangle. Dans le triangle qui suit, nous indiquons si les facteurs de développement individuels sont supérieurs ou inférieurs à la médiane des facteurs de développement de la colonne.

i\j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112001 Sup Inf Inf Inf Sup Sup Sup Sup X Inf X2002 Inf Inf Inf Sup Inf Sup X Sup Sup Sup2003 Inf Inf Sup Inf Sup Sup Inf Inf Inf2004 Inf Sup Inf Sup Sup Inf Inf Inf2005 Inf Inf Sup Sup X Inf Sup2006 Inf Sup Sup Inf Inf Inf2007 Sup Inf X Inf Inf2008 Sup Sup Inf Sup2009 Sup Sup Sup2010 X Sup2011 Sup

Table II.5 – Etude de l’effet calendaire- Partie a

Remarque : par construction certains facteurs individuels sont égaux aux facteurs de développement « médians » (X sur le graphique) et ne seront pas pris en compte dans la suite du test. Nous pouvons déjà constater une « tendance calendaire » pour la 7ème année. Les facteurs de développement sont en effet tous supérieurs à ce qui est observé en « moyenne » dans leurs colonnes respectives. Ce constat peut mettre en évidence une forte inflation au cours de l’année 2007 ou un changement dans la gestion des sinistres (Cf. Table II.6).



i\j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112001 Sup Inf Inf Inf Sup Sup Sup Sup X Inf X2002 Inf Inf Inf Sup Inf Sup X Sup Sup Sup2003 Inf Inf Sup Inf Sup Sup Inf Inf Inf2004 Inf Sup Inf Sup Sup Inf Inf Inf2005 Inf Inf Sup Sup X Inf Sup2006 Inf Sup Sup Inf Inf Inf2007 Sup Inf X Inf Inf2008 Sup Sup Inf Sup2009 Sup Sup Sup2010 X Sup2011 Sup

Table II.6 - Etude de l’effet calendaire-Partie b Pour une année calendaire k donnée, nous notons kS et kI les variables aléatoires représentant le nombre de facteurs de développement individuels jif , respectivement supérieurs et inférieurs au facteur de développement médian pour l’année de développement j considérée. En cas d’absence d’effet calendaire, nous pouvons émettre l’hypothèse que pour chaque année comptable, la probabilité qu’un facteur de développement individuel soit supérieur ou inférieur au facteur médian soit identique. Aussi, nous supposons que kS et kI suivent une loi binomiale de paramètres p = 0.5 et n = kS + kI . Nous testons donc l’hypothèse nulle suivante :

kSk, ~ kI ~ )5.0,( kk ISB (H0) Nous notons : ks et ki , les réalisations de kS et kI . kP la probabilité définie par : )()( kkkkk iIPsSPP .

Pour une année calendaire k donnée, nous rejetterons l’hypothèse H0 avec une p-value de 5% si 05.0kP . Compte-tenu du peu de valeurs sur lesquels sont effectués ces tests, le test proposé ne rejettera que difficilement l’hypothèse H0.

Année calendaire k s(k) i(k) s(k)+i(k) P(k)2001 1 0 1 50,0%2002 0 2 2 25,0%2003 0 3 3 12,5%2004 0 4 4 6,3%2005 4 1 5 15,6%2006 1 5 6 9,4%2007 7 0 7 0,8%2008 6 1 7 5,5%2009 3 3 6 31,3%2010 2 7 9 7,0%2011 6 4 10 20,5%

Table II.7 - Résultats au test d’effet calendaire

Avec une p-value de 5%, nous rejetons donc l’hypothèse H0 pour l’année calendaire 2007 et conservons l’hypothèse de distribution binomiale pour les autres années comptables.



Ce test vient donc confirmer l’intuition que nous avions sur la présence d’une tendance haussière pour l’année calendaire 2007. Nous devrions donc rejeter l’hypothèse d’indépendance des années calendaires. Nous n’abandonnerons pas l’utilisation du modèle de Chain Ladder pour ce motif, cependant nous devrons garder à l’esprit cette anomalie lors de l’interprétation de nos résultats futurs. Hypothèse H2 : Existence des facteurs de développement L’étude graphique des couples jjiji DD ),( 1,, permet de facilement tester l’adéquation des données à l’hypothèse H2, qui peut se traduire par le fait que Jj ,...,2 , ijiD )( , est une fonction linéaire de ijiD )( 1, .

Figure II.2 - Hypothèse H2- Alignements des couples ),( 1,, jiji DD

Au vu des graphiques, nous pouvons conclure que l’hypothèse H2 relative au modèle de Chain Ladder est bien vérifiée. Ces résultats sont confirmés par l’étude de l’ajustement des



modèles linéaires mesuré par les coefficients de détermination 2R (où 2R = variance expliquée par la régression / variance totale du modèle) :

(Di1,Di2) (Di2,Di3) (Di3,Di4) (Di4,Di5) (Di5,Di6) (Di6,Di7) (Di7,Di8) (Di8,Di9) (Di9,Di10)R-squared 0,9926 0,9977 0,9995 0,9997 0,9972 0,9993 0,9989 0,9996 0,9999

Table II.8 - Coefficients de détermination des régressions linéaires Conclusion de l’adéquation des données au modèle de Chain Ladder A l’exception de l’année calendaire 2007 pour laquelle nous observons une tendance haussière, les données vérifient l’hypothèse d’indépendance entre les années de survenance et montrent une très bonne régularité dans leurs cadences de développement. Le portefeuille présenté est donc un bon candidat pour l’utilisation du modèle de Chain Ladder. 3. Adéquation des données aux modèles de Mack et de Buchwalder Les hypothèses H1 et H2 de Mack sont similaires au Chain Ladder. Il ne nous reste donc plus qu’à vérifier la validité de l’hypothèse H3, relative à la variance des règlements cumulés. Pour vérifier cette dernière hypothèse, nous nous assurons que les résidus du modèle (résidus de Mack formalisés par Buchwalder) présentent des structures aléatoires. Dans le cas contraire, cela signifierait que certaines tendances ne sont pas prises en compte par le modèle ou que les hypothèses relatives aux deux premiers moments ne sont pas respectées. Hypothèse H3: Structure aléatoire des résidus de Mack Les graphiques qui suivent montrent que les résidus de Mack ont globalement une structure aléatoire, ce qui vient donc confirmer la dernière hypothèse du modèle de Mack. Une nuance est cependant à apporter puisqu’une tendance à la hausse pour les deux premières années de développement et une tendance à la baisse pour la cinquième année de développement sont observées.



Figure II.3 - Résidus de Mack

Hypothèse 3 bis : Moments des résidus de Mack Le modèle de Mack (reformulé par Buchwalder) suppose que les résidus sont centré-réduits. Les résultats empiriques obtenus sont les suivants :

Espérance -0,0004Variance 0,8456

Moments des résidus de Mack

Table II.9 - Espérance et variance empirique des résidus de Mack

L’espérance des résidus est quasiment nulle, cependant nous constatons un léger écart de la variance observée avec celle attendue. Nous ne rejetons toutefois pas le caractère centré-réduit des résidus. Les hypothèses H1 et H2 communes au modèle du Chain Ladder et l’hypothèse H3 des modèles de Mack (Buchwalder) étant respectées, nous pouvons conclure que ces derniers modèles sont applicables aux données présentées. 4. Adéquation des données au modèle de Poisson Surdispersé Adéquation des paramètres Le modèle de Poisson surdispersé repose sur le « modèle linéaire généralisé » suivant :

jijijiji cCE ,,, )log(])[log( Nous paramétrons ce modèle avec la fonction glm() de R. Les estimateurs des variables explicatives et les conclusions quant à leurs significativités sont donnés dans la table II.10 qui suit.



Paramètre testé Valeur p-value Significativité

c 16,690



Corrélations de Pearson entre les années de survenance i et i+h ( ,iC vs ),hiC :

i\h 1 2 3 4 5 6 7 8 91 0,97 0,80 0,90 0,96 0,88 0,98 0,97 0,98 0,952 0,78 0,89 0,93 0,85 0,95 0,92 0,90 0,833 0,89 0,61 0,54 0,69 0,88 0,93 0,894 0,85 0,84 0,90 0,97 0,95 0,965 0,91 0,99 0,98 0,98 0,966 0,93 0,91 0,85 0,907 0,98 0,99 0,998 0,98 1,009 0,99 Table II.12 - Test d’indépendance des incréments-partie 2

Corrélations de Pearson entre les années calendaires k et k+h ( ikiC , vs ), ihkiC :

k\h 1 2 3 4 5 6 7 8 93 -0,10 0,51 -0,20 -0,07 -0,22 -0,48 0,98 0,32 0,954 0,36 0,86 0,57 0,96 0,69 -0,29 0,89 -0,235 0,45 0,64 0,10 0,83 0,03 0,54 0,286 0,44 0,40 0,45 0,54 0,74 0,867 0,66 0,58 0,61 0,80 0,418 0,43 0,52 0,59 0,289 0,54 0,70 0,5910 0,67 0,8011 0,67 Table II.13 - Test d’indépendance des incréments-pa

le : 1 juillet 2015 julien bencteux...mémoire présenté le : 1er juillet 2015 pour l’obtention...

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