poly etsher rdm callaud 2002
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COURS DE STRUCTURE
Tome II
Notions de Résistance des Matériaux (RDM)
J.M. GENEVOIS 1991
M. CALLAUD juillet 2002
ECOLE INTER-ETATS DES TECHNICIENS SUPERIEURS DE L’HYDRAULIQUE ET DE L’EQUIPEMENT RURAL 01 BP 594 Ouagadougou 01 Burkina Faso Tél : (226) 31 92 03 / 31 92 04 / 31 92 18 Email : [email protected] Fax : (226) 31 92 34
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Statique - p 3 -
Sommaire 1. PRESENTATION : OBJECTIF DES CALCULS 4 2. POUTRES 6 2.1. Définition 2.2. Caractéristiques géométriques des section droites 2.2.2. Théorème de HUYGHENS 2.2.3. Exemples&exercices 3. CHARGEMENT ET APPUI DES POUTRES 10 3.1. Système isostatique / Système hyperstatique 4. DETERMINATION DES EFFORTS INTERNES 13 4.1. Méthode de la coupure 4.2. Relations entre Mf(x), V(x) et q(x) 5. ETUDE DES EFFORTS INTERNES POUR DIFFERENTS 19 CAS DE CHARGE 5.1. Poutres isostatiques 6. VECTEUR CONTRAINTE SUR UNE FACETTE EN UN POINT. 27 DEFINITION 7. COMPORTEMENT MECANIQUE ELEMENTAIRE DES MATERIAUX 28 7.1. Essai de traction sur une éprouvette d'acier 7.1.1. Diagramme de traction type pour l'acier 7.1.2. Loi de Hooke 7.1.3. Comportement simplifié de l'acier 7.2. Essai de compression sur une éprouvette béton 7.3. probleme de la résistance d'une structure 8. HYPOTHESES FONDAMENTALES DE LA RDM 33 8.1. Principe de St venant 8.2. Hypothèse de Navier-Bernouilli 8.3. Allure des lignes déformées de structures élémentaires 9. EXPRESSION DES CONTRAINTES DANS UNE SECTION DROITE 36 9.1. Cas de la traction-Compression (N=0, Mf=0, V=0) 9.1.1 Expression de la contrainte dans la section 9.1.2 Remarque importante à propos du flambement des poteaux 9.1.3 Condition de résistance d'une section tendue 9.2. Cas de la flexion simple (N=0, V=0, Mf=0) 9.2.1 Expression de la contrainte normale de flexion 9.2.2. Condition de résistance d'une poutre à la flexion simple. Matériau à
comportement symétrique, l'acier et par extension le bois
R.d.M - p 4 -
9.2.3. Remarque: Forme des sections adaptée aux poutres dont la sollicitation prépondérante est une flexion
9.3. Cas de la flexion composée (N=0, Mf=0, V=0) 9.3.1. Expression de la contrainte normale en un point 9.3.2. Condition de résistance d'une poutre à la flexion composée 9.4. Cas du cisaillement (V = 0, N qcq, Mf qcq) 9.4.1 Condition de résistance de la section
Statique - p 5 -
1. PRESENTATION : OBJECTIF DES CALCULS
Lorsqu'un maître d'ouvrage fait bâtir une construction, il espère (et même exige pour les constructions habituelles) qu'elle rende le service attendu durant une période au moins égale à la durée d'amortissement du coût de cet ouvrage.
Le constructeur doit donc garantir la bonne tenue du bâtiment face à tous les
événements pouvant raisonnablement survenir au cours de son existence (résistance de l'ouvrage).
Entre autres choses, il est aussi amené à garantir la durabilité de l'ouvrage. Le choix
des matériaux ainsi que leur mise en oeuvre doivent être adaptés à la situation géographique et à l'usage particulier du bâtiment.
Il doit aussi assurer l'aptitude du bâtiment à remplir sa fonction (par exemple, une
piscine ou un bassin doivent demeurer étanches). Pour mener à bien cette tâche, il fait appel à diverses connaissances (savoirs), qui ne
sont pas exclusives. Par exemple, en ce qui concerne la construction traditionnelle, les "REGLES DE
L'ART" consacrent l'expérience acquise par la profession lors de toutes les constructions antérieures. Ainsi, pour les bâtiments en maçonnerie, peu de calculs sont nécessaires. Les choix dimensionnels et les dispositions constructives réglementaires sont issus de l'observation du bon ou mauvais comportement d'ouvrages plus anciens. Les désordres constatés dans le passé ont été analysés et ont permis d'établir des règles et de fixer les limites d'utilisation de la construction maçonnée.
Avec une approche plus physique, il est aussi possible d'utiliser certains modèles de
calcul, qui eux aussi ont été validés par l'expérience et donnent satisfaction tant que les hypothèses constitutives sont respectées.
Lors de l'application de ces modèles, il est indispensable d'effectuer une
schématisation de la construction, permettant d'obtenir une "structure mécanique" (géométrie, matériau, chargement) entrant dans le champ d'application de la méthode, et correspondant néanmoins de façon réaliste au comportement de l'ouvrage.
Ainsi, la RESISTANCE DES MATERIAUX est une méthode (ancienne et donc
validée) permettant le calcul manuel des structures, assise sur un modèle simple et donnant des résultats réalistes.
R.d.M - p 6 -
Son objectif est la détermination des contraintes régnant dans le matériau constituant la structure (et donc de vérifier qu'elles demeurent admissibles), et de prévoir les déformations (et déplacements) de la structure sous son chargement.
L'élément de base du calcul est la poutre, la structure schématisée étant constituée
d'un assemblage de cette partie élémentaire. Certaines parties d'un bâtiment présentant un fonctionnement réel très différent de celui d'une poutre (planchers, consoles courtes, etc...), les résultats obtenus avec un calcul R.d.M peuvent présenter des différences significatives avec les observations faites sur la structure réelle.
Il est donc indispensable d'interpréter les résultats de tout calcul en fonction du
matériau de construction retenu (acier, bois, béton, construction mixte acier/béton, etc ) et des problèmes et phénomènes particuliers non pris en compte dans la schématisation (particularité des liaisons effectivement réalisées entre poutres, différences entre les comportements mécaniques du matériau à court et à long terme, etc...). Ceci justifie l'existence des divers règlements à utiliser pour la vérification des structures en fonction de la nature du matériau de construction employé, et les différences que l'on peut noter entre des articles traitant d'un même type de problème mécanique dans deux règlements de construction.
R.d.M - p 7 -
7
yL
hR
OUI NON
b
2. POUTRES 2.1. DEFINITION Solide défini par une courbe Γ et des surfaces ∑ perpendiculaires à Γ, dont le centre de gravité G est situé sur Γ. _ :LIGNE MOYENNE DE LA POUTRE. Lieu du C.d.G des diverses sections droites de la poutre. Si _ courbe plane ===> POUTRE PLANE Si _ courbe droite ===> POUTRE DROITE (notre étude) AU SENS DE LA R.D.M., UNE POUTRE DOIT PRESENTER : Ne pas être un "plat" :
b ≤ h <10.b Une courbure faible, c.a.d d'un rayon supérieur à 5 fois sa hauteur.
R >> 5 . h Ne pas être trop cour ou trop long, mais en rapport avec la largeur de la pièce 1/30 < b/h < 1/5 Des variations de sections
PROGRESSIVES.
La section droite d'une poutre peut être de forme quelconque, et ses dimensions transversales variables tout au long de la poutre.
Nous nous limiterons au cas des poutres de DENSITE ET SECTION CONSTANTE,
et lors de l'étude de la flexion, aux POUTRES A PLAN MOYEN (symétrie de la section droite par rapport à un axe vertical (G, y)).
G0
y x z
Section droite d'extrémité
Section droite courante
origine
Σ :
Σ0 :
Γ
R.d.M - p 8 -
Exemples de formes de sections droites Profilés Section Tube Cornière Profilé métalliques rectangulaire carré métallique I , H en U Remarque:
Une poutre au sens R.d.M sera donc figurée par sa ligne moyenne Γ.
En plus de sa ligne moyenne, il suffira
de préciser les caractéristiques mécaniques du matériau, géométriques de la section et les conditions d'appui avec l'extérieur pour la définir complètement.
2.2. CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES DES SECTION DROITES
Les quantités géométriques intervenant dans les calculs R.d.M. et caractérisant la
section droite d'une poutre sont: - L'AIRE de la section droite notée S. S = ∫∫
Σ
ds Unité : m2
- La POSITION DU CENTRE DE SURFACE G de la section droite, telle que: ∫∫
Σ
dsy. = ∫∫Σ
dsz. = 0
- Le MOMENT QUADRATIQUE de la section, noté IGZ (par rapport à l'axe Gz). IGZ = ∫∫
Σ
dsy .2 Unité : m4
2.2.1. Rappels Section rectangulaire
IGZ = b.h3/12
A BIPN 80
L
z
y
G
ds
y
Σ
b
h
R.d.M - p 9 -
9
IGZ = IGY (sauf en cas de symétrie de révolution ou pour des géométries particulières). IGZ > 0 Le moment quadratique est une quantité strictement positive. Le moment quadratique est une quantité additive. ∑ = ∑1 + ∑2 + ∑3 ==> IGZ(∑) = IGZ(∑1) + IGZ(∑2) + IGZ(∑3) 2.2.2. Théorème de HUYGHENS
G: Centre de gravité de ∑. S: Aire de la section ∑. O: Point quelconque du plan. GZ , OZ : Axes du plan, distants de d.
IOZ = IGZ + S . d2
Conséquence: IGZ < IOZ 2.2.3. Exemples. Calculs de IGZ
Tube rectangulaire.
Section en I.
z G
Σ 1
Σ 2
Σ 3
zG
z0
d
( Σ )
50
100
5
5
zG 100
6
10
100
z G
R.d.M - p 10 -
3. CHARGEMENT ET APPUI DES POUTRES
Une poutre peut être isolée, ou n'être qu'un des éléments d'une structure plus complexe (pour l'exemple ci-contre, en général 8 poutres encastrées entre elles ou sur leurs appuis).
Les charges agissant sur les poutres peuvent être ponctuelles ou réparties, mais doivent impérativement être situées dans le plan moyen de la structure (si la structure est plane et chargée dans son plan, il n'y a aucune torsion dans les poutres).
Les liaisons entre les poutres constituant la structure ou avec l'extérieur peuvent être:
- des appuis simples - des articulations - des encastrements
3.1. SYSTEME ISOSTATIQUE / SYSTEME HYPERSTATIQUE
Un système (ou structure) est dit isostatique si les seules équations de la statique permettent de déterminer toutes les inconnues de liaison de la structure. Exemples de structures isostatiques Poutre Poutre sur Portique à 3 console 2 appuis articulations
Au contraire, un système est dit hyperstatique si les équations de la statique sont insuffisantes en nombre pour déterminer les inconnues de liaison de la structure avec
A B
A
D
G H
E F
CB
A
B
C
R.d.M - p 11 -
11
l'extérieur. Le degré d'hyperstatisme, noté Ns, est égal au nombre des inconnues de liaison surabondantes. Exemples de structures hyperstatiques Poutre bi-encastrée Poutre continue sur 3 appuis Portique encastré Portique bi-articulé
Pour les structures de la page suivante, déterminer le nombre et la nature des inconnues de liaison, et préciser le caractère iso. ou hyperstatique ainsi que le degré d'hyperstatisme de la construction.
n s = 3 n s =1
n s =1ns = 3
R.d.M - p 12 -
A B
B A
B A
A B
CA B
DB A C
A
B
C
C
B
A
A B
BA D
C
BD A
(Syst équivalent)
R.d.M - p 13 -
13
4. DETERMINATION DES EFFORTS INTERNES 4.1. METHODE DE LA COUPURE
L'application d'un chargement mécanique sur une poutre génère en son sein des "efforts" qui, à défaut de plus de précision peuvent dans un premier temps être qualifiés d'internes.
On pourra dire qu'il y aura "rupture" dans une poutre lorsque les "efforts" au sein du
matériau constitutif de la poutre en un point de cette poutre auront dépassé les forces moléculaires de cohésion entre les particules du matériau. Cette décohésion locale des grains dans la matière se propagera sous forme d'une fissure et amènera la rupture de la poutre.
Pour déterminer ces "efforts internes" au moyen du P.F.S., il faut les rendre "externes" en effectuant une coupure fictive transversale plane (coupure confondue avec une section droite) de la poutre et écrire l'équilibre du tronçon de poutre situé à droite de la coupure fictive.
Ce plan de coupure fictif est repéré par son abscisse x et il est noté Π. Les "efforts internes" sont donc des fonctions de l'abscisse x de la section droite dans laquelle ils sont évalués.
Soit S le chargement total de la poutre (constitué des actions extérieures et des réactions d'appui).
S peut être décomposé en deux parties. SG: Partie du chargement agissant en des points de la poutre situés à gauche du plan de coupure Π. SD Partie du chargement agissant en des points
Σ 0
Σ Σ extrémité x
G 0 G
Π
x
S G D S
R.d.M - p 14 -
de la poutre situés à droite de Π.
La poutre dans son ensemble étant en équilibre, on peut écrire: 1) SG + SD = 0
Si l'on note SG/D l'action au travers de la section fictive ∑ du tronçon de gauche sur
le tronçon de droite (respectivement SD/G de droite vers la gauche), l'équilibre du tronçon de poutre à droite de Π se traduit par : 2) SG/D + SD = 0 En comparant les équations 1) et 2) on obtient :
SG = SG/D
L'action du tronçon de poutre gauche sur le
tronçon de poutre droit au travers de ∑, équivaut au système de toutes les actions extérieures agissant sur la poutre à gauche de la section envisagée.
Le système SG (action de la GAUCHE sur la DROITE) comporte une RESULTANTE (deux composantes de force) et un MOMENT, ce dernier étant réduit au point G, C.d.G de la section droite ∑ étudiée. R : Résultante des efforts à gauche de la section ∑. SG = { R ; MG } MG : Moment résultant en G des efforts agissants à gauche de la section ∑. La résultante R est décomposée en: Une composante normale au plan de section, notée N. Une composante tangente au plan de section, notée V R = N x + V y MG = Mf
x
+
y
M f
N
VR
G
R.d.M - p 15 -
15
N est appelé EFFORT NORMAL V est appelé EFFORT TRANCHANT dans la section. Mf est appelé MOMENT FLECHISSANT
Les trois quantités (N, V, Mf) sont appelées ELEMENTS DE REDUCTION EN G
DES EFFORTS INTERNES (à gauche) dans la section d'abscisse x, ou encore composantes des efforts internes dans la section. Il ne faut pas oublier que ces efforts internes dépendent de la section fictive envisagée (paramétrée par l'abscisse x).
En Génie-Civil, les efforts internes sont traditionnellement exprimés en utilisant le repère de projection suivant (convention de signes): Avec cette convention, il faut retenir: Un effort normal de COMPRESSION est compté POSITIVEMENT. Un effort normal de TRACTION est compté NEGATIVEMENT.
Si dans une section de poutre fléchie le moment fléchissant est positif, alors au droit de la section : La fibre supérieure est comprimée. La fibre inférieure est tendue.
Tronçon àdroite de ΣG
Σ
N V fM
x
y +
M
M +
-
Fibre allongée
+M M -
Fibre allongée
Mf > 0 Mf < 0CompressionRaccourcissement des fibres
Traction Allongementdes fibres
Flèche
R.d.M - p 16 -
4.1.1. Terminologie Sollicitation de TRACTION/COMPRESSION compression Mf = 0 , V = 0 et N > 0 traction Mf = 0 , V = 0 et N < 0 Sollicitation de FLEXION : Mf ≠ 0 flexion pure : si N = 0 et V = 0
flexion simple si N = 0 et V ≠ 0 flexion composée N ≠ 0 Exemples de poutres subissant des sollicitations simples
Σ
N
Σ
V
fM
fM
V
Σ
N
F
-Flexion-
F
N
N
-Com
pres
sion
-
Poteauchargé
ζ
ζ :: flèche au centre de la poutre
R.d.M - p 17 -
17
4.2. RELATIONS ENTRE Mf(x), V(x) ET q(x)
Soit une poutre subissant un chargement quelconque et deux sections droites ∑1 et ∑2 très proches, repérées par leurs abscisses respectives x et x+dx.
Nous allons écrire l'équilibre du tronçon de poutre compris entre les sections ∑1 et ∑2. Equilibre du tronçon:
Projection sur y: -dV - q(x).dx = 0 Moment en G2: -dMf + V(x).dx - q(x).dx2/2 = 0 infiniment petit du 2˚ ordre
Donc
dV = -q(x) dx
et
dMf = V(x) dx
En dehors des points d'application des charges concentrées, les relations ci-dessus sont vérifiées. On en déduit: --> La courbe du moment fléchissant est continue. --> C'est une droite entre deux charges concentrées, en l'absence de charge réparties. --> Si une charge uniformément répartie agit sur la poutre, l'évolution du moment fléchissant est parabolique.
x Σ
Σ 1
2 x 1
2
q (x)
q (x)
1 Σ 2 Σ dx
V(x)
M (x) G1 G2 V(x) + dV
M(x) + dM
R.d.M - p 18 -
--> La courbe d'effort tranchant présente une disconti- nuité au droit du point d'application de toute charge concentrée. Exemple Détermination des diagrammes d'efforts internes d'une poutre console chargée à son extrémité. Calcul des réactions d'appui. Calcul des éléments de réduction Mf(x), N(x), V(x).
Soit une section fictive plane ∑ repérée par son abscisse x. On considère tous les efforts agissant sur le tronçon de poutre situé à gauche de ∑.
Résultante: R = F.y Moment fléchissant: Mf= -F.L + F.x = F.(x-L) ==> N(x) = 0 Donc ==> V(x) = F ==> Mf(x) = F.(x-L)
F A B
L
F
F
FxL
FxL
F
F x
y
x
S G
Σ
Mf (x)
x0 -
- FxL
L x
L0
N (x)
0L
x
V (x)
+
R.d.M - p 19 -
19
5. ETUDE DES EFFORTS INTERNES POUR DIFFERENTS CAS DE CHARGE 5.1. POUTRES ISOSTATIQUES 1˚ cas: Poutre sur 2 appuis simples 2˚ cas: Poutre sur 2 appuis simples
A
L
B
F
A
F
Bα L
R.d.M - p 20 -
3˚ cas: Poutre sur 2 appuis simples 4˚ cas: Poutre sur 2 appuis simples
A B
L
q
L
A B
c
R.d.M - p 21 -
21
5˚ cas: Poutre console 6˚ cas: Poutre console
L
A F
A L
q
R.d.M - p 22 -
7˚ cas: Poutre sur 2 appuis simples 8˚ cas: Poutre sur 2 appuis simples
L
cA B
L
A B
c BA c
R.d.M - p 23 -
23
Charge élémentaire n˚1
Charge élémentaire n˚2
Charge élémentaire n˚3
En général, les moments fléchissant sur appuis MfA et MfB sont négatifs (poutre continue). La courbe ci-dessous est tracée pour ce cas.
Elle est obtenue par sommation des trois courbes élémentaires correspondant aux
trois chargements simples : - Charge uniforme appliquée en travée. - Couple agissant au droit de l'appui de gauche. - Couple agissant au droit de l'appui de droite.
CA q =
q
+
+
CB
CA
CB
X
Mf(X)
O L/2
L
Mf(X)
Mf Max > Mf (L/2)
MfA
MfB (Mf2 + Mf3) (x)
Mf2(x)
Mf3(x)
= Mf1 + Mf2 + Mf3
Mf1(x)
Mf(L/2)= ql²/8 + (MA+MB)/2
R.d.M - p 24 -
9˚ cas: Poutre console 10˚ cas: Poutre sur 2 appuis avec une console
Cas fondamentaux à connaître.
L
c
A
a
BA q
a L
q
c
R.d.M - p 25 -
25
11˚ cas: Poutre sur 2 appuis avec une console Cas fondamentaux
à connaître.
B
A
q
a L
R.d.M - p 26 -
12˚ cas: Poutre sur 2 appuis avec deux consoles Cas fondamentaux
à connaître.
a B
L A
q
a
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6. VECTEUR CONTRAINTE SUR UNE FACETTE EN UN POINT. DEFINITION Soit P un point de la section droite ∑ d'une poutre.
Les efforts internes Mf, N, V qu'exerce le tronçon à gauche de ∑ sur le tronçon de poutre situé à droite de ∑ transitent par la surface ∑ en se répartissant sur toute son aire.
Soit ds l'élément d'aire de ∑ centré sur un point P quelconque de la section droite. La partie de l'action de G/D transitant par ds est une petite force notée dF (force incrémentale).
On appelle vecteur contrainte en P la quantité
T = lim dF/ds ds-->0
T est homogène à une force par unité de surface. Unité : Pascal
Si n et t sont les vecteurs directeurs unitaires respectivement normal et parallèle à l'élément de surface ds, la décomposition en composantes normale et tangentielle s'écrit: T = σ n + τ t \__/ \__/ Contrainte Contrainte normale tangente ou de cisaillement
z
x
y
x
Σ 0
Σ (x) G
P
G
Σ
x
z
y
P ds
n ds
P
dF
n
P
T τ
σ
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7. COMPORTEMENT MECANIQUE ELEMENTAIRE DES MATERIAUX 7.1. ESSAI DE TRACTION SUR UNE EPROUVETTE D'ACIER
On observe une éprouvette d'acier (barre d'acier), comportant 2 repères R0 et R1 distants de L0, que l'on soumet à une sollicitation de traction à l'aide d'une machine d'essai de traction. F = 0 F > 0 On note ε = ∆L/L0 = (L - L0)/L0
Déformation unitaire du matériau.
σ = F/S Par raison de symétrie, la contrainte normale _
est uniforme sur la section droite. 7.1.1. Diagramme de traction type pour l'acier ACIER DOUX TYPE Fe E240 ACIER NATURELLEMENT DUR
F F
LL
00 R 1R
0.2
E
5 250
σ = F/S (MPa)
σ e 240
%
Zone d'écrouissage
Palier
Plastique
Rupture
400 e σ
0
E
15
%
(MPa) = F/S σ
%
RuptureZone de déformationsplastiques et d'écrouissage
R.d.M - p 29 -
29
La première grandeur apparaissant sur la courbe de traction est:
σe: limite élastique de l'acier σe≈ 240 MPa Acier doux Fe E 240 σe≈ 400 MPa Acier type Fe E 400 Tant que σ < σe: On observe un retour élastique après déchargement de la barre, sans
déformations permanentes. C'est dans ce domaine qu'il faut normalement faire travailler l'acier des constructions. Depuis l'origine jusqu'à la limite élastique, la courbe de traction peut être assimilée à une droite.
Si σ ≥ σe: Le palier plastique est atteint et il subsiste dans le matériau, après déchargement,
des déformations permanentes (déformations plastiques). Une telle situation peut amener l'effondrement de la construction.
7.1.2. Loi de HOOKE
Dans la zone de comportement élastique (σ < σe ), on a:
σ = E. ε
Cette relation traduit la proportionnalité entre la contrainte et la déformation dans la partie élastique de la courbe de traction.
Le coefficient E est appelé module d'YOUNG ou module de déformation du
matériau (E est homogène à une contrainte puisque ε n'a pas de dimension). Il correspond à la "raideur" du matériau (E acier > E béton > E bois ). E acier = 2.1 105 MPa 7.1.3. Comportement simplifié de l'acier
Pour les calculs, le comportement des aciers de construction est schématisé par une
loi dite "élastique-plastique", définie complètement à l'aide des deux paramètres E (module d'Young) et σe (limite d'élasticité).
En effet, l'acier dans les constructions ne subit que des déformations "faibles", ce qui
permet de se contenter d'un comportement simplifié dit élastique-plastique (comportement élastique linéaire suivi immédiatement d'un palier plastique).
R.d.M - p 30 -
Chargement jusqu'à A puis déchargement (OA puis AO) : Pas de déformations permanentes (retour élastique).
Chargement jusqu'à A puis déchargement (OEA puis AB) : Il subsiste des déformation plastique permanente notée εp lorsque la charge est annulée.
Remarque importante: Le comportement de l'acier est symétrique (même courbe
effort/déformation pour une sollicitation de traction ou de compression).
7.2. ESSAI DE COMPRESSION SUR UNE EPROUVETTE BETON Le comportement du béton n'est PAS SYMETRIQUE.
Ce matériau présente une très FAIBLE résistance à la TRACTION mais par contre, il offre une EXCELLENTE résistance à la COMPRESSION.
Suivant la normalisation française, l'essai pour la mesure de la résistance à la compression d'un béton est mené sur des éprouvettes cylindriques Ø 16 x 32 soit une section droite de 200 cm2.
Le diagramme contrainte déformation obtenu lors d'un essai de compression présente l'allure ci-dessous.
σ
0
e
σ e M σ A
1
σ
eA σ
0
p
M
E
B
E
R.d.M - p 31 -
31
σ = F / S ε = (L - Lo) / Lo
Le comportement du béton dépendant entre autres paramètres de sa composition (dosage et nature du ciment, granulats, dosage en eau, vibration), de son âge, de son histoire, etc..., et étant d'une nature complexe, dans un but de simplification et d'uniformisation on utilise dans les calculs de structure en Béton Armé le diagramme de comportement conventionnel dit diagramme Parabole/Rectangle du règlement BAEL 90. fcj: Résistance caractéristique à la compression à l'age j (jour). fcj est obtenue par écrasement des éprouvettes d'essai du béton servant à la construction de l'ouvrage. _bc = 0.85 . fcj / b avec b= 1.5 (coefficient minorateur de la résistance du matériau)
Pour les calculs de déformation, le module d'Young du béton est lui aussi conventionnel et il est exprimé en fonction de la résistance caractéristique à la compression par la formule Eij= 11000.(fcj)1/3 (Eij : module de déformation "instantané" à l'age j (jour), en MPa). Ce module permet d'écrire: σbc = E. εbc (proportionnalité contrainte déformation).
H ~ 32 cm_
_ ~ 16 cm φ
σ
F
F
rupture450 bars 45 MPa
10-3 2.10-3 3.10-3 3.5.10-3
cσ
bc
σ bc_
2.10-3 3.5.10-3
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7.3. PROBLEME DE LA RESISTANCE D'UNE STRUCTURE
On peut supposer qu'une construction sera protégée d'une rupture éventuelle si, en toutes circonstances, la contrainte en tout point du matériau constitutif de la structure demeure inférieure à une valeur dite "CONTRAINTE ADMISSIBLE". Dans tous les cas, cette contrainte admissible est inférieure à la limite élastique du matériau, et elle est souvent exprimée comme une fraction de σe.
Les valeurs des contraintes admissibles sont choisies en fonction du matériau de
construction employé et sont fixées réglementairement (BAEL 90, CM 66, CB 71). Cependant, la sécurité de la structure n'est effective que dans la mesure ou le calcul est mené en respectant toutes les dispositions constructives et méthodes de calcul préconisées dans le règlement fournissant les valeurs des contraintes admissibles, en particulier le choix des coefficients de pondération ainsi que les combinaisons d'actions.
Mais quel que soit le volume et la complexité des calculs de vérification de la
résistance d'une structure, il faut avoir conscience qu'une bonne conception initiale et le choix de dispositions constructives adaptées sont les éléments essentiels de la tenue d'une construction. Valeur des contraintes admissibles. Exemples Charpente métallique: La valeur de σe dépend de la nuance de l'acier employé. En général, σe = 235 MPa. Traction-Compression σ adm-traction= σe Cisaillement σ adm-cisaillement= σe/2 Charpente bois:
Les valeurs à retenir dépendent de l'essence et de la direction de la sollicitation par rapport au fil du bois. Pour un bois de charpente ordinaire, on peut choisir, en fonction de la direction de la sollicitation : σ adm flexion = 20 MPa σ adm compression axiale = 20 MPa σ adm traction axiale = 25 MPa
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33
8. HYPOTHESES FONDAMENTALES DE LA RdM 8.1. PRINCIPE DE ST VENANT
Les contraintes dans une section droite de poutre (répartition et valeur) ne dépendent que des valeurs des éléments de réduction des efforts internes (Mf, N, V) dans cette section, et sont indépendantes de la nature exacte du chargement. Exemple
Dans la zone centrale de la poutre (x compris entre l et 3xl), seul le moment fléchissant est non nul et il a même valeur pour les deux cas de charge.
Pour toutes les sections droites comprises entre les abscisses l et 3xl, et pour les deux chargements, la répartition des contraintes dans la section droite sera identique. 8.2. HYPOTHESE DE NAVIER-BERNOUILLI
Toute section droite ∑ d'une poutre reste plane et perpendiculaire à la fibre moyenne déformée de la poutre après application du chargement.
F A B
F
L 2L L
BA
2L L L
q= 2F/L q= 2F/L
Mf
0 x
FxL
0x
FxLfM
L 3L 4L
x
G 0
G
θ
Σ 0
Σ
y (x)
Etat déformé
Etat initial
R.d.M - p 34 -
Si ∑o est la section droite dans l'état non déformé correspondant à ∑ dans l'état déformé, toutes deux sont perpendiculaires respectivement aux lignes moyennes initiale et déformée de la poutre.
La courbe y(x) est appelée ligne moyenne déformée de la poutre (elle correspond à la position du CdG des sections droites après application du chargement).
L'angle _(x) caractérise la rotation de la section droite d'abscisse x, entre l'état non déformé et l'état déformé et correspond à la pente de la ligne moyenne déformée.
En adoptant la représentation simplifiée des poutres, seule la fibre moyenne est figurée, aussi bien à l'état initial que déformé. Elle suffit à déterminer complètement la déformation en tout point de la poutre.
Remarque: Dans le cas général, la part de la flèche d'une structure due au moment fléchissant (déformations de flexion) est très supérieure aux parts dues à l'effort tranchant ou à l'effort normal. Dans les calculs, ces dernières sont donc très souvent négligées devant les déformations de flexion. 8.3. ALLURE DES LIGNES DEFORMEES DE STRUCTURES ELEMENTAIRES
Il est important de remarquer que les lignes déformées des structures respectent les conditions cinématiques imposées par les appuis avec l'extérieur ainsi que la continuité des poutres sur appui s'il y a lieu.
x θ
Σ
0 Gy (x)
θ
(x)
1 G
F q c
Fq
c
F c
F F F
R.d.M - p 35 -
35
F
q
Fq
F F
F
R.d.M - p 36 -
9. EXPRESSION DES CONTRAINTES DANS UNE SECTION DROITE 9.1. CAS DE LA TRACTION-COMPRESSION (N=0, Mf=0, V=0)
Les efforts internes se réduisent à une composante de direction parallèle à l'axe de la poutre, passant par le centre de gravité de la section. Diagrammes de déformation et de contrainte de la section Forme de la section droite de la poutre.
Nature des efforts internes.
Diag. de déforma-tion de la section.
Diagramme des con-traintes.
Dans le cas de la compression/traction simple, la section droite étudiée se déplace parallèlement à elle-même (la déformation est uniforme sur toute la hauteur de la poutre). La contrainte est donc elle aussi uniforme sur toute la section droite et elle se réduit à une contrainte normale σ.
En écrivant que l'action globale (effort normal N) transitant par ∑ est la résultante des actions locales microscopiques (contraintes) sur toute la section ∑, on obtient la valeur de la contrainte normale dans une section de poutre comprimée ou tendue.
ε = constante et σ = E. ε Donc σ = constante
N
N
Σ 0
G 0
G z z'
y
N
Σ
y
0 (y) (y)σ0
y
σ N
S =
R.d.M - p 37 -
37
9.1.1 Expression de la contrainte dans la section Avec les notations habituelles, S : Aire de la section droite. E : Module d'Young du matériau. N : Effort normal sur la section.
σ = N / S
ε = N / E.S
9.1.2 Remarque importante à propos du flambement des poteaux
Si la condition de résistance présentée ci-dessous est tout à fait valable dans le cas
d'une pièce tendue, il n'en est pas de même pour les pièces comprimées de longueur importante.
En effet, dés que la longueur d'une poutre comprimée excéde 10 fois sa hauteur, un
phénomène d'instabilité provoquant systématiquement une rupture précoce de la poutre est susceptible de se produire.
Cette instabilité s'appelle le flambement et donne lieu à une vérification spécifique qui sera présentée ultérieurement (règlement CM 66).
Les sections nécessaires pour résister au flambement sont beaucoup plus fortes que
celles obtenues par application de la formule de traction/compression ci-dessous. 9.1.3 Condition de résistance d'une SECTION TENDUE Soit σadm la contrainte normale maximale que peut supporter le matériau avant "rupture" (en général σadm ≈ σe ). La section résistera tant que l'on vérifiera:
σ = N / S ≤ σadm
σ
0
σ
σe
adm
R.d.M - p 38 -
9.2. CAS DE LA FLEXION SIMPLE (N=0, V=0, Mf=0)
Les efforts internes dans la section se réduisent à un couple valant le moment fléchissant. La composante normale est nulle, par contre la valeur de l'effort tranchant est sans conséquence sur l'expression des contraintes normales. Allure de la déformation de flexion d'un tronçon de poutre de longueur dl
Fibre supérieure comprimée ==> Raccourcissement Fibre moyenne. Pas de variation de longueur en flexion simple. Fibre inférieure tendue ==> Allongement
Diagrammes de déformation et de contrainte dans la section Forme de la section droite de la poutre.
Nature des efforts internes.
Diag. de déforma-tion de la section.
Diag. des contrain-tes dans la sec-tion.
En vertu de l'hypothèse de Navier-Bernouilli, le diagramme de déformation est une
droite. Cette droite passe par zéro au niveau du CdG de la section (la ligne moyenne d'une poutre simplement fléchie ne change pas de longueur).
M
Σ 0
G 0 f
fM
M f fM
Σ x Σ x + dx
G z z'
y
Σ
y
0 (y) (y)σf M
v
v'
P
(P) (P)
0
y
σ
R.d.M - p 39 -
39
La loi de Hooke (proportionnalité entre la contrainte et la déformation) impose un diagramme de contrainte lui aussi linéaire, avec une contrainte normale nulle au droit du CdG de la section (dans le cas d'une sollicitation de flexion, la fibre neutre est donc confondue avec la fibre moyenne de la poutre). 9.2.1 Expression de la contrainte normale de flexion
En un point P de la section droite ∑ étudiée, repéré par son ordonnée y (distance
algébrique verticale au CdG), la contrainte normale σ a pour expression :
σ (y) = Mf.y / IGz
IGz : Moment quadratique de la section par rapport à l'axe Gz. L'expression proposée est algébrique (Mf et y peuvent être de signe quelconque).
Avec les conventions de signe habituelles, un
moment fléchissant positif entraîne une mise en compression (contrainte positive) des fibres supérieures et une mise en traction (contrainte négative) des fibres inférieures de la poutre.
Dans une section droite, les valeurs extrémales
des contraintes normales se rencontrent sur les fibres les plus éloignées du CdG (yMax = v et ymin = -v') puisque v et v' sont les distances au CdG des fibres supérieures et inférieures.
Si Mf ≥ 0 σMax = Mf /(I/v) σ min = -Mf /(I/v')
Si Mf < 0 σ Max = -Mf /(I/v') σ min = Mf /(I/v)
F
Σ
Σ
σ
v'
v M f
σ Max
σ
Max
R.d.M - p 40 -
Dans le cas habituel d'une section symétrique, on a : v = v' => d'où :
σ Max = Mf / (I/v) σ min = -Mf / (I/v)
I/v : Module de résistance de la section. Si l'on utilise des profilés métalliques du commerce, cette caractéristique est fournie directement dans les catalogues de produits sidérurgiques et est exprimée traditionnellement en cm3. Dans le cas de poutres Bois ou B.A., le module de résistance s'obtient par application de formules géométriques.
9.2.2. Condition de résistance d'une poutre à la flexion simple. Matériau à comportement symétrique, l'acier et par extension le bois Dans toutes les sections de la structure, il faut vérifier :
σ Max ≤ σadm avec σadm = 235 MPa pour l'acier σadm ≈ 20 MPa pour le bois en flexion
Or, au sein d'une section, σ Max= Mf/(I/v).
Donc, au long d'une poutre d'inertie constante, la plus grande des contraintes maximales entre les diverses sections droites se rencontrera au droit de l'abscisse pour laquelle le moment fléchissant est le plus grand (noté MfMax). On peut donc écrire:
|σ| Max = |Mf|Max / (I/v)
On est donc amené à TRACER LA COURBE DE REPARTITION DU MOMENT FLECHISSANT le long de la poutre (diagramme de moment fléchissant) et à retenir l'ABCISSE pour laquelle ce MOMENT FLECHISSANT EST MAXIMAL EN VALEUR ABSOLUE.
R.d.M - p 41 -
41
Exemple: Poutre sur 2 appuis. Valeur de la contrainte normale maximale de flexion ? F=10 kN L=5 m I/v=54.7 cm3 (IPN 120) Charge ponctuelle au centre de la portée. MfMax = F.L/4 σ Max = MfMax / (I/v) = (F.L/4) / (I/v) Charge uniforme sur la portée q = 4 kN/m. MfMax = q.L2/8 σ Max = (q.L2/8) / (I/v) 9.2.3. Remarque: Forme des sections adaptée aux poutres dont la sollicitation prépondérante est une flexion Il faut utiliser des profilés ayant un plan de symétrie vertical (poutre à plan moyen).
===> Eviter les cornières que l'on ne fait pas en général travailler suivant leur plan de
symétrie et qui de ce fait vont se "vriller".
Nous avons vu que c'est le module de résistance I/v qui intervient dans la condition de résistance à la flexion d'une poutre. A quantité de matière égale, I/v est proportionnel à la hauteur de la section (puisque I est proportionnel au carré de la hauteur). Les profilés les plus hauts sont donc les plus efficaces pour résister à une flexion. Section rectangulaire I = (b.h).h2/12 = S.h2/12 I/v = S.h/6
Mf
0 x
F
L
+
q
x0
Mf
+
h
b
R.d.M - p 42 -
Section en I (deux plats éloignés de h) I ≈ 2.(S/2).(h/2)2 = S.h2/4 soit I/v ≈ S.h/2
Les profilés les mieux adaptés à une sollicitation de flexion sont les profilés en I
(module de résistance trois fois plus fort qu'une section rectangulaire de même hauteur) puisque toute la matière y est rejetée loin du CdG de la section droite, et dans la direction la plus favorable à la flexion (IPN, IPE, HEA, ...).
Ce sont les deux semelles qui assurent la résistance à une sollicitation de flexion. Pratiquement, il est impératif de disposer le profilé de façon à ce que la flexion la
plus forte le fasse travailler dans sa direction de plus grande inertie (sens xx', cette dénomination étant celle des catalogues de produits sidérurgiques). Terminologie:
Semelle supérieure ou Membrure supérieure Ame du profilé Semelle inférieure ou Membrure inférieure
Le rôle de l'âme du profilé est de solidariser les deux semelles afin quelles travaillent de concert.
Si ce sont les membrures qui assurent la résistance de la section au moment
fléchissant, on montre que l'âme reprend l'effort tranchant.
S/2
S/2
h
OUI NON
G
y
y'
x
v
v'
x'
R.d.M - p 43 -
43
9.3. CAS DE LA FLEXION COMPOSEE (N=0, Mf=0, V=0) Diagrammes de déformation et de contrainte dans la section Forme de la section droite de la poutre.
Nature des efforts internes.
Diag. de déforma-tion de la section.
Diagramme des con-traintes.
L'hypothèse de Navier-Bernouilli est conservée, mais dans le cas de la flexion composée, la droite de déformation ne passe plus par O au droit du CdG de la section droite (la fibre neutre n'est pas confondue avec la ligne moyenne de la poutre dans le cas d'une sollicitation de flexion composée).
La répartition des contraintes dans la section droite est linéaire (puisque la loi de Hooke impose la proportionnalité entre les contraintes et les déformations). 9.3.1. Expression de la contrainte normale en un point
La contrainte normale σ en un point P d'ordonnée y appartenant à la section droite ∑ étudiée a pour expression:
σ(y) = N/S + (Mf.y)/I
Part de la contrainte normale due à l'effort normal.
Part de la contrainte normale due au moment fléchissant.
L'expression précédente est algébrique, les valeurs de Mf, N et y pouvant être
positives comme négatives. Elle correspond à la superposition des contraintes normales dues à l'effort normal et au moment de flexion.
M
Σ 0
G 0 f
fM
N
N
G z z'
y
Σ
y
0 (y) (y)σfM v
v' (P) (P)
0
y
σ
N
R.d.M - p 44 -
Suivant l'importance relative de l'effort normal et du moment fléchissant, le diagramme de contrainte résultant peut prendre l'une des 3 formes suivantes (l'étude est menée dans le cas Mf>0):
La section est totalement tendue. L'effet de la traction est supérieur à celui de la flexion. N < 0 et |N/S| > Mf/(I/v) La section est tendue et comprimée suivant l'ordonnée envisagée. L'effet de la flexion est supérieur à celui de l'effort normal. |N/S| < Mf/(I/v) La section est totalement comprimée. L'effet de la compression est supérieur à celui de la flexion. N > 0 et N/S > Mf/(I/v)
σI
y
0 σ
σ Max
min σ σ
0
y
(y)1 2 (y)
y
0σ
(y) σ = N/S1 =
2σ (y)
Mf.y
σ0
y
(y)
Max σ
σ min
min σ
σ Max
(y)0 σ
σ0
y
(y)
Maxσ
σ min
R.d.M - p 45 -
45
9.3.2. Condition de résistance d'une poutre à la flexion composée
Dans une section droite, la contrainte peut être maximale en valeur absolue aussi bien sur la fibre supérieure que sur la fibre inférieure de la poutre.
Il faut donc envisager les deux expressions suivantes: |σ| Max = | N/S + Mf/(I/v) | ou |σ| Max = | N/S - Mf/(I/v') |
Dans le cas d'une poutre de section constante et si l'effort normal est indépendant de l'abscisse, la contrainte normale maximale en valeur absolue se rencontrera au droit de la section pour laquelle le moment fléchissant est maximal.
Si l'on emploie un profilé symétrique (v = v'), l'expression de la contrainte normale
maximale en valeur absolue au long de la poutre est donnée plus simplement par:
|σ| Max = |N/S| + |Mf|Max/(I/v)
La condition de résistance demeure du type
σMax ≤ σ adm
Pour la flexion composée, les valeurs des contraintes normales admissibles dans les matériaux sont identiques à celles de la flexion simple et de la compression/traction simple.
R.d.M - p 46 -
9.4. CAS DU CISAILLEMENT (V = 0, N qcq, Mf qcq)
La composante tangente τ du vecteur contrainte ( ntT .. στ += ) n'est fonction que de la valeur de l'effort tranchant V(x) au droit de la section ∑ et de l'ordonnée du point considéré dans la section.
Pour un point P de la section droite ∑, on note. y: la cote du point P. Ms(y): le moment statique de la surface située au dessus du point P. b(y): la largeur de la section droite au niveau du point P considéré.
L'expression de la contrainte tangente τ au point P est:
τ (y) = V . Ms(y) b(y) . IGz
τ (y) est nulle aux extrémités hautes et basses de la section et est maximale au niveau du CdG de la section. Dans le cas d'une section rectangulaire, la répartition sur la hauteur a l'allure ci-contre.
La valeur de τMax est souvent exprimée en fonction de la contrainte moyenne de cisaillement V/S sous la forme:
τ Max = k . V/S Coefficient dépendant de la forme
de la section Contrainte moyenne de
cisaillement
V
0G
Σ 0
y
z' zG
P y(P)
(y) b
G
b
h
(y)
y
0 τ
τ Max = 3/2Vbh
R.d.M - p 47 -
47
Section rectangulaire k = 3/2 Section circulaire pleine k = 4/3 Section circulaire creuse k = 2 9.4.1 Condition de résistance de la section Il faut vérifier:
τMax ≤ τadm Pour l'acier, τadm ≈ σe/2 Remarque: Dans le cas de la vérification de la résistance au cisaillement des boulons
d'assemblage, la condition de résistance est directement fixée sur la valeur de la contrainte moyenne de cisaillement.
τmoy= F/S ≤ (σmoy)adm τmoy : Contrainte conventionnelle de cisaillement F : effort repris par la section cisaillée. S : section cisaillée.
F
F