livre rdm extra 2

125
Mécanique des structures Modélisation des liaisons TS Chapitre 1 - Modélisation des liaisons SOMMAIRE I - Définitions........................................................................................................................... 16 1°/ Solide réel et solide parfait. ...................................................................................................... 16 2°/ Système matériel........................................................................................................................ 16 II - Modélisation des liaisons parfaites. ................................................................................. 17 1°/ Définition d’une liaison parfaite. ............................................................................................. 17 2°/ Repère local associé au contact. ............................................................................................... 17 3°/ Notion de degré de liberté......................................................................................................... 17 4°/ Etude des liaisons parfaites. ..................................................................................................... 18 4.1 - Liaison encastrement........................................................................................................................... 18 4.2 - Liaison pivot........................................................................................................................................ 18 4.3 - Liaison glissière................................................................................................................................... 18 4.4 - Liaison appui plan. .............................................................................................................................. 19 4.5 - Liaison rotule. ..................................................................................................................................... 19 4.6 - Liaison linéique rectiligne. .................................................................................................................. 19 4.7 - Liaison ponctuelle. .............................................................................................................................. 19 5°/ Les trois liaisons usuelles en Génie Civil. ................................................................................ 20 Page 15/ 106

Upload: smlboy

Post on 10-Aug-2015

144 views

Category:

Documents


14 download

TRANSCRIPT

Page 1: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Modélisation des liaisons TS

Chapitre 1 - Modélisation des liaisons

SOMMAIRE

I - Définitions........................................................................................................................... 16 1°/ Solide réel et solide parfait. ...................................................................................................... 16 2°/ Système matériel........................................................................................................................ 16

II - Modélisation des liaisons parfaites. ................................................................................. 17 1°/ Définition d’une liaison parfaite. ............................................................................................. 17 2°/ Repère local associé au contact. ............................................................................................... 17 3°/ Notion de degré de liberté......................................................................................................... 17 4°/ Etude des liaisons parfaites. ..................................................................................................... 18

4.1 - Liaison encastrement........................................................................................................................... 18 4.2 - Liaison pivot........................................................................................................................................ 18 4.3 - Liaison glissière................................................................................................................................... 18 4.4 - Liaison appui plan. .............................................................................................................................. 19 4.5 - Liaison rotule. ..................................................................................................................................... 19 4.6 - Liaison linéique rectiligne. .................................................................................................................. 19 4.7 - Liaison ponctuelle. .............................................................................................................................. 19

5°/ Les trois liaisons usuelles en Génie Civil. ................................................................................ 20

Page 15/ 106

Page 2: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Modélisation des liaisons TS

I - DEFINITIONS.

1°/ Solide réel et solide parfait.

Le solide réel est le solide tel qu’il apparaît réellement. Il possède une masse constante et un volume dont les limites varient lorsqu’il est soumis à des actions mécaniques, suivant une loi connue (le ressort) ou non connue à priori.

En mécanique statique, nous utilisons un modèle idéalisé : le solide parfait. Pour considérer un solide comme parfait, nous devons faire certaines hypothèses. Le solide

parfait est :

- Indéformable : sa masse est toujours constante, mais les limites de son volume ne varient pas quelles que soient les actions extérieures appliquées au solide (contre exemple : le ressort). Donc, la distance entre deux points quelconque d’un solide indéformable ne varie pas. - Homogène : les éléments constitutifs du matériau sont de même nature en tout point du solide et leur répartition est uniforme (contre exemple : le béton armé). - Isotrope : les propriétés physiques du matériau (notamment les propriétés mécaniques) sont les mêmes dans toutes les directions (contre exemple : le bois, sens parallèle ou sens perpendiculaire aux fibres). - Géométriquement parfait : les surfaces sont considérées comme parfaitement lisses, les surfaces sont modélisées par des plans, des cylindres, des sphères,…

Un solide réel peut être considéré comme parfait dans le cas où les déformations de ce

solide sont très petites.

2°/ Système matériel.

On appelle système matériel une quantité de matière, homogène ou non, dont la masse reste constante pendant son étude.

Cette définition est indépendante de la notion de solide dont nous venons de parler et elle très générale, elle peut s’appliquer à beaucoup de choses. En effet, un système matériel peut être :

- un solide, - plusieurs solides, - un morceau de solide, - une masse de fluide,...

Ce qui est important en mécanique, c’est de bien choisir le système matériel. Une fois le

système matériel choisi, il nous est possible de l’« isoler », ce qui revient à le définir de façon très précise, dans le but par exemple d’étudier son équilibre. Isoler un système matériel revient à diviser l’univers en deux parties :

- d’une part, le système matériel, objet de notre étude, - d’autre part, l’extérieur, c’est-à-dire tout ce qui n’est pas le système considéré.

Page 16/ 106

Page 3: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Modélisation des liaisons TS

II - MODELISATION DES LIAISONS PARFAITES.

Une liaison mécanique entre deux pièces (ou entre deux groupes de pièces) est un ensemble de dispositions constructives permettant à ces deux pièces d’avoir l’une par rapport à l’autre certaines libertés de mouvements et de permettre la transmission de certains efforts.

Dans ce paragraphe, les deux solides en contacts sont supposés indéformable.

1°/ Définition d’une liaison parfaite.

Une liaison parfaite est une liaison telle que : - les possibilités de mouvement relatifs sont obtenues à partir de surfaces de contact géométriquement parfaites qui ont entre elles un jeu de fonctionnement nul. - le contact de ces surfaces se fait sans adhérence.

Une liaison parfaite est donc une liaison théorique.

2°/ Repère local associé au contact.

Pour décrire les contacts, on utilise un repère local associé au contact. Pour chaque cas, ce

repère est défini très clairement : ( z,y,x,AR )

)

- le point A est le centre géométrique de l’assemblage, - le vecteur x est porté par la normale au plan tangent commun ou par l’axe de symétrie de la liaison, - la base ( est orthonormée directe. z,y,x

3°/ Notion de degré de liberté.

Considérons deux solides 1 et 2 liés et ( )z,y,x,AR le repère local associé à cette liaison.

Nous pouvons définir dans R les différentes possibilités de

mouvements relatifs indépendants de 1/2 (ou de 2/1).

Dans l’espace, il y a 6 mouvements indépendants : - Tx, translation selon l’axe ( )x,A- Ty, translation selon l’axe ( )y,A- Tz, translation selon l’axe ( ) z,A

- Rx, rotation autour de l’axe ( ) x,A- Ry, rotation autour de l’axe ( ) y,A- Rz, rotation autour de l’axe ( )z,A

Définition : Le nombre de degré de liberté d’une liaison est le nombre de mouvements relatifs indépendants que la liaison autorise entre les deux solides

Ce nombre est au plus égal à 6. Quand le nombre de degrés de liberté est égal à 0, les deux solides sont en liaison

complète ; on dit : liaison d’encastrement. Quand le nombre de degré de liberté est égal à 6, les deux solides n’ont aucune liaison ; on dit : liaison libre.

Page 17/ 106

Page 4: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Modélisation des liaisons TS

4°/ Etude des liaisons parfaites.

Parmi toutes les liaisons parfaites, intéressons nous à celles le plus souvent rencontrées en

génie civil :

4.1 - Liaison encastrement.

Les surfaces de contact sont quelconques. Aucun mouvement relatif possible entre les deux

solides. Le nombre de degrés de liberté est 0.

4.2 - Liaison pivot

Les surfaces de contact sont des surfaces de révolution

complémentaires et non cylindriques. La rotation Rx est autorisée. Le nombre de degrés de liberté est 1. Les 5 mouvements empêchés sont : Tx, Ty, Tz, Ry et Rz.

4.3 - Liaison glissière.

Les surfaces de contact sont des surfaces cylindriques complémentaires et non de révolution (fréquemment prismatiques).

La translation Tx est autorisée. Le nombre de degrés de liberté est 1. Les 5 mouvements empêchés sont : Ty, Tz, Rx, Ry et Rz.

Page 18/ 106

Page 5: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Modélisation des liaisons TS

4.4 - Liaison appui plan.

Les surfaces de contact sont des surfaces planes

(P la surface de contact). Deux translations Ty et Tz sont autorisées et une

rotation Rx. Le nombre de degrés de liberté est 3. Les 3 mouvements empêchés sont : Tx, Ry et Rz.

4.5 - Liaison rotule.

Les surfaces de contacts sont des surfaces sphériques de

même centre et de même rayon. Les trois rotations Rx, Ry et Rz sont autorisées. Le nombre de degrés de liberté est 3. Les 3 mouvements empêchés sont Tx, Ty et Tz.

4.6 - Liaison linéique rectiligne.

Contact entre la génératrice du solide 1

et un plan (P) du solide 2. ( y,A )

Deux translations Ty et Tz sont autorisées et deux rotations Rx et Ry.

Le nombre de degrés de liberté est 4. Les 2 mouvements empêchés sont : Tx et Rz.

4.7 - Liaison ponctuelle.

Contact entre le point A de la sphère 1 et le plan (P) du solide 2.

Deux translations Ty et Tz sont autorisées et trois rotations Rx, Ry et Rz.

Le nombre de degrés de liberté est 5. Le mouvement Tx est empêché.

Page 19/ 106

Page 6: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Modélisation des actions mécaniques TS

5°/ Les trois liaisons usuelles en Génie Civil.

En génie civil, les études se font dans le plan. Le repère local associé est . ( )y,x,AR Dans le plan, il y a 3 mouvements indépendants :

x

y

A

Tx

Ty

R z - Tx, translation selon l’axe ( )x,A - Ty, translation selon l’axe ( )y,A - Rz, rotation autour de l’axe ( ) z,A

Trois liaisons sont utilisées : l’encastrement, l’articulation et l’appui simple.

Liaison Modélisation Mouvement(s) autorisé(s)

Nombre de degrés de liberté

Mouvement(s) empêché(s)

Encastrement

- - -

0 TxTyRz

y

A x

Articulation

- -

Rz

1 TxTy-

y

A x

Tx-

Rz

2 -

Ty-

Appui simple -

TyRz

y

A x

2 Tx - -

y

A x

Page 20/ 106

Page 7: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Modélisation des actions mécaniques TS

Chapitre 2 - Modélisation des actions mécaniques

SOMMAIRE

I - Définition d’une action mécanique. .................................................................................. 22

II - Les différents types d’actions mécaniques. ...................................................................... 22 1°/ Les actions mécaniques à distance ........................................................................................... 22 2°/ Les actions mécaniques de contact........................................................................................... 22

III - Modélisation des actions mécaniques............................................................................. 22 1°/ Notion de force........................................................................................................................... 23 2°/ Notion de moment d’une force par rapport à un point. ........................................................ 24

2.1 - Notion de moment - Exemple. ............................................................................................................ 24 2.2 - Définition du moment d’une force par rapport à un point................................................................... 25

3°/ Modélisation de l’action mécanique due à une force - Torseur associé................................ 27 4°/ Modélisation de l’action mécanique due à un ensemble de forces - Torseur associé. ......... 27 5°/ Isolement d’un système - Actions intérieures et extérieures.................................................. 28 6°/ Modélisation de l’action à distance Poids................................................................................ 29 7°/ Modélisation des actions mécanique de contact. .................................................................... 30 8°/ Modélisation des actions mécaniques de liaison. .................................................................... 31

8.1 - Relation entre les degrés de liberté d’une liaison et le torseur associé à cette liaison. ........................ 31 8.2 - Torseurs associés aux liaisons dans l’espace étudiées au chapitre précédent...................................... 31

8.2.1- Liaison encastrement. ................................................................................................................... 31 8.2.2- Liaison pivot................................................................................................................................. 31 8.2.3- Liaison glissière............................................................................................................................ 32 8.2.4- Liaison appui plan. ....................................................................................................................... 32 8.2.5- Liaison rotule................................................................................................................................ 32 8.2.6- Liaison linéique rectiligne. ........................................................................................................... 32 8.2.7- Liaison ponctuelle. ....................................................................................................................... 33

8.3 - Torseurs associés aux liaisons dans le plan utilisées en génie civil..................................................... 33

Page 21/ 106

Page 8: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Modélisation des actions mécaniques TS

I - DEFINITION D’UNE ACTION MECANIQUE.

On appelle « action mécanique » toute cause susceptible de : - maintenir un corps au repos, - créer un mouvement, - déformer un corps.

Exemples : charges appliquées, précontrainte, tassements d’appui, température, …

Une action mécanique est toujours l’action d’un solide (ou un fluide) 1 sur un autre solide 2. II - LES DIFFERENTS TYPES D’ACTIONS MECANIQUES.

On peut distinguer deux grandes familles : - les actions à distance, - les actions de contact.

1°/ Les actions mécaniques à distance

L’action mécanique d’un solide 1 sur un solide 2 est dite à distance si les deux solides 1 et 2

ne sont pas en contact.

La seule action mécanique à distance utilisée en Génie Civil est le poids, qui est l’action exercée à distance par la Terre sur le système matériel. Remarque : autres actions à distance non utilisées en Génie Civil : actions magnétique, électromagnétique ou électrostatique.

2°/ Les actions mécaniques de contact.

Les actions mécaniques de contact existent dès qu’il y a contact entre 2 solides ou entre un fluide et un solide.

Les actions de contact se répartissent en trois groupes : - les actions ponctuelles ou charges concentrées : l’effort de contact est concentré en un point ou sur une très faible surface. - les actions réparties sur une ligne ou charges linéiques : l’effort est réparti sur une ligne, droite ou non. - les actions réparties sur une surface ou charges surfaciques : l’effort est répartie sur une surface.

Page 22/ 106

Page 9: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Modélisation des actions mécaniques TS

Exemples d’actions mécaniques de contact : Mur

Semelle de fondation

Poteau

Charge ponctuelle représentant l’action du poteau sur la semelle

Charge linéique représentant l’action du mur sur la semelle

Semelle de fondation

Dalle

Charge surfacique représentant l’action de la neige sur la dalle

Remarque : on s’aperçoit que dans tous les cas, les actions sont surfaciques, mais qu’on peut parfois les ramener à des actions linéiques ou ponctuelles pour simplifier les calculs. III - MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES.

1°/ Notion de force.

On appelle force une action mécanique de contact ou à distance.

Elle est représentée par un vecteur et caractérisée par :

-son point d’application, - sa direction, - son sens, - son intensité.

Intensité

A Point d’application

(Δ) Support

21F

Le point d’application et la direction définissent le support (Δ) (ou droite support) de la

force.

L’unité de la force est le newton noté N.

Une force s’exerce toujours d’un solide 1 sur un solide 2, on la note 2

1F .

Page 23/ 106

Page 10: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Modélisation des actions mécaniques TS

2°/ Notion de moment d’une force par rapport à un point.

2.1 - Notion de moment - Exemple.

Les effets d’une force sur un solide dépendent de la position de la force par rapport à ce solide.

Prenons un exemple concret : étudions l’action du poids propre d’une buse en béton soulevée par une pelle hydraulique.

Dans un premier temps, le poids

de la pelle hydraulique permet de stabiliser l’engin.

Poids de l’engin Elément

à poser

Poids de la buse

Dans un second temps, le poids de la pelle hydraulique ne permet plus d’assurer la stabilité de l’engin.

Le poids de la pelle tout comme celui de la buse sont inchangés, par contre la position de la buse a changée ; elle est nettement plus éloignée de la pelle, ce qui augmente sa capacité à la faire basculer.

Point de basculement

Bras de levier du poids de la buse

Bras de levier du poids de l’engin

Cette capacité à faire basculer la pelle est due au « moment » de la force. (Ici, moment de

renversement de la buse auquel s’oppose le moment stabilisateur de la pelle.)

Cette notion de moment est nécessaire pour traduire avec précision les effets d’une force, compte tenu de sa position.

Page 24/ 106

Page 11: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Modélisation des actions mécaniques TS

2.2 - Définition du moment d’une force par rapport à un point.

Le moment de la force 2

1F par rapport au

point A, noté ( )2

1FMA , est le vecteur

perpendiculaire au plan défini par 2

1F et A, et dont le point d’application est A.

L’intensité de ce vecteur moment, notée ( )

21FMA , est égale au produit de

21F par le

bras de levier d. L’unité est le newton×mètre noté N.m.

d

x

y

z

O

A

(Δ)

2 2

1F

Convention de signe - Sens du vecteur moment : - Si la force

21F fait tourner le solide dans le sens trigonométrique autour de A, le moment est

dit positif : ( )2

12

1 F.dFMA += Exemple :

-2

1F et A sont dans le plan ,

donc

( )y,x,O

( )2

1FMA et perpendiculaire à ce plan, c'est-à-dire parallèle à l’axe ( )z,O . -

21F fait tourner le solide dans le sens

trigonométrique autour de A, donc le

moment est positif. ( )2A 1FM est de

même sens que z.

( )2

1FMA

d

x

y

z

O

A

(Δ)

2 2

1F

( )2

1FMA

( )z,O//

P

Page 25/ 106

Page 12: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Modélisation des actions mécaniques TS

- Si la force 2

1F fait tourner le solide dans le sens anti-trigonométrique autour de A, le

moment est dit négatif : ( )2

12

1 F.dFMA −= Exemple :

-2

1F et A sont dans le plan ,

donc

( )y,x,O

( )2

1FMA et perpendiculaire à ce plan, c'est-à-dire parallèle à l’axe ( )z,O . -

21F fait tourner le solide dans le sens

anti-trigonométrique autour de A, donc

le moment est négatif. ( )2

1FMA est de sens opposé à z.

Attention, ceci est une convention (c’est-à-dire un choix arbitraire), on pourrait très bien choisir l’inverse. Il faudra donc toujours prendre soin d’indiquer le sens positif choisi sur vos schémas au début de chaque étude. Représentation du vecteur moment dans le plan :

Comme il n’est pas aisé de représenter un vecteur perpendiculaire au plan, on adoptera la représentation suivante : Propriétés : - Cas de nullité : le moment d’une force

21F par rapport à un point A est nul si la droite

support (Δ) passe par A (d = 0), ou si 2

1F = 0.

d

x

y

z

O

A

(Δ)

2 2

1F

( )2

1FMAP

( )z,O//

d

x

y

O

A

(Δ)

2 2

1F

( )2

1FMA

Moment positif

P

( )2

1FMA

d

x

y

O

A

(Δ)

2 2

1F

Moment négatif

P

Page 26/ 106

Page 13: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Modélisation des actions mécaniques TS

- Théorème de Varignon : le moment d’une force

21F par rapport à un point A est égal

à la somme des moments de ses composantes U et V par rapport au même point A. ( ) ( ) ( )VMUMFM AAA 2

1 +=

3°/ Modélisation de l’action mécanique due à une force - Torseur associé.

Comme nous l’avons vu au paragraphe III, .2-1, la force seule ne suffit pas à caractérisée

une action mécanique, le moment de cette force, compte tenu de sa position, est nécessaire pour traduire avec précision une action mécanique.

L’écriture qui réunit la force et le moment de cette force par rapport à un point est le torseur.

Soit une force 2

1F appliquée en P sur un solide 2, on note ( ){ }2

1Fτ le torseur tel que :

( ){ } ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=τ0

F

FM

FF 2

1

21

21

21

PAA

Le torseur ( ){ }

21Fτ modélise l’action mécanique de la force

21F .

21F et ( )

21FMA sont appelés les éléments de réduction du torseur ( ){ }

21Fτ au point A.

4°/ Modélisation de l’action mécanique due à un ensemble de forces - Torseur

associé.

Soit un système matériel S soumis à une action mécanique définie par un ensemble E de n forces : { }

Sn

S4

S3

S2

S1 F;...;F;F;F;FE =

On appelle « résultante » de l’action mécanique de E sur S la somme vectorielle des

forces S

iF :

S

nS

4S

3S

2S

1S

iS

E F...FFFFFRn

1i

++++== ∑=

On appelle « moment résultant » au point A de l’action mécanique de E sur S la somme

vectorielle des moments au point A des forces S

iF :

( ) ( )∑=

=n

1iAA S

iFMSEM

A 2

1F

V

U

Page 27/ 106

Page 14: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Modélisation des actions mécaniques TS

L’action mécanique de E sur S est donc modélisable par le torseur ( ){ }SEτ tel que :

( ){ }( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=τSEM

RSE

AA

SE

SER et ( )SEM A sont les éléments de réduction du torseur ( ){ }SEτ .

5°/ Isolement d’un système - Actions intérieures et extérieures.

Lorsque l’on isole un système matériel, on peut distinguer les actions mécaniques

extérieures au système et les actions mécaniques intérieures au système matériel, suivant leur situation par rapport au système matériel choisi, c'est-à-dire isolé.

Une action mécanique intérieure au système matériel est une action exercée par un élément de ce système matériel isolé sur un autre élément du même système matériel.

Une action mécanique extérieure au système matériel est une action exercée par un élément qui n’appartient pas au système matériel isolé sur un élément du système matériel. Remarque : Le poids est toujours une action extérieure. Exemple : Manutention d’un panneau préfabriqué.

Selon l’étude que l’on souhaite menée, il est possible d’isoler chaque élément indépendamment des autres ou bien d’isolé l’ensemble des éléments.

Câble de la grue

Palonnier

Elingues

Panneau préfabriqué

⇒ voir figures ci-dessous. On s’aperçoit alors qu’une même action peut être une action intérieure ou une action extérieure en fonction des éléments isolés.

Actions des élingues sur le palonnier

Tension du câble de la grue

Poids propre du palonnier

Palonnier isolé

Poids du panneau

Actions des élingues sur le panneau

G

Panneau isolé

Page 28/ 106

Page 15: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Modélisation des actions mécaniques TS

Elingues

Actions du panneau sur les élingues

Actions du palonnier sur les élingues

Elingues isolées

Tension du câble de la grue

Poids propre du palonnier

Poids du panneau

G

Ensemble (Palonnier, Elingues, Panneau) isolé

Remarques :

On s’aperçoit que lorsque les éléments sont assemblés (ensemble palonnier, panneau et élingues isolé), les actions entre ces solides (actions intérieures) n’apparaissent pas.

En effet, les actions interieures s’annulent 2 à 2 (l’action du panneau sur l’élingue s’annule avec l’action de l’élingue sur le panneau), c’est le principe des actions mutuelles (principe d’action / réaction).

6°/ Modélisation de l’action à distance Poids.

Le champ de pesanteur est l’action mécanique à distance exercée par la Terre sur un système matériel.

Le torseur au point G des forces de pesanteur qui s’appliquent sur un solide peut se réduire à une force unique. En effet, le moment résultant par rapport au point G de toutes les forces de pesanteur qui s’appliquent sur un solide est considéré nul (le champ de pesanteur est considéré uniforme).

Le champ de pesanteur est toujours vertical vers le bas. Ainsi, dans un repère (O, x, y) dont l’axe (O, y) est vertical ascendant, jgg ⋅−= , avec g = accélération de la pesanteur.

Le poids d’un solide est donc représenté par un vecteur poids P dont les caractéristiques sont :

- Point d’application : G, centre de gravité du solide, - Direction : la verticale passant par G, - Sens : vers le bas, - Intensité : P = m . g P en newton N, m la masse du solide en kg, g = 9.81 m.s-2

Remarque : en génie civil, on prend une valeur arrondie : g = 10 m.s-2

Nous apprendrons à déterminer la position du centre de gravité d’un solide au chapitre

« Caractéristiques géométriques d’une section ».

Page 29/ 106

Page 16: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Modélisation des actions mécaniques TS

7°/ Modélisation des actions mécanique de contact.

Compte tenu des déformations locales, tout contact réel entre deux solides a lieu suivant une

surface.

On peut considérer qu’une surface de contact entre deux solides est décomposables en n petites surfaces élémentaires si, ayant pour centre de surface le point Pi. (i variant de 1 à n).

L’action mécanique du contact entre le solide 1 et le solide 2 se caractérise par une densité surfacique de forces if s’exerçant sur chaque surface élémentaire si.

Le contact entre les solides est considéré parfait, c'est-à-dire sans adhérence. Dans ce cas théorique, if est considérée perpendiculaire à si.

if est considérée comme uniformément répartie sur si, puisque si est très petite, mais if peut varier d’une surface élémentaire à l’autre.

if est homogène à une force divisée par une surface et s’exprime en Newton par m² [ N/m² ] ou en Pascal [ Pa ].

Ainsi, l’action mécanique du contact du solide 1 sur le solide 2 est modélisable en un point A quelconque par le torseur :

( ){ }( ) ( )

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⋅=

⋅==τ

=

=

n

1iiiAA

n

1iii

A

sfM21M

sfF21

21

Dans un repère , on peut écrire les composantes de la résultante et du moment

résultant : ( z,y,x,OR )

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

z

y

x

21

21

21

21

F

F

F

F et ( )( )( )( ) ⎟⎟

⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

zA

yA

xA

A

21M

21M21M

21M

On peut alors écrire : ( ){ }( )( )( ) ⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

zA

yA

xA

z

y

x

A21M

21M21M

F

F

F

21

21

21

21

La première colonne indique les composantes algébriques de

21F dans . ( )z,y,x,OR

La deuxième colonne indique les composantes algébriques de ( )21MA dans . ( )z,y,x,ORPour plus de commodité, nous choisirons le point A comme centre géométrique de

l’assemblage considéré entre les solides 1 et 2.

Page 30/ 106

Page 17: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Modélisation des actions mécaniques TS

8°/ Modélisation des actions mécaniques de liaison.

8.1 - Relation entre les degrés de liberté d’une liaison et le torseur associé à cette liaison.

Dans le chapitre précédent, nous avons défini les 6 degrés de

liberté dans l’espace (trois translations et trois rotations).

Lorsqu’un mouvement du solide 1 par rapport au solide 2 est permis, c’est que rien ne s’oppose à ce mouvement. Par contre, si un mouvement est empêché, c’est qu’il y a une action qui s’y oppose.

Autrement dit, à chaque degré de liberté bloqué par une liaison correspond une composante non nulle du torseur associé à l’action mécanique transmissible par cette liaison.

Une translation est empêchée grâce à une force de même direction et de sens opposé. Une rotation est empêchée grâce à un moment de même axe mais de sens opposé.

8.2 - Torseurs associés aux liaisons dans l’espace étudiées au chapitre précédent.

8.2.1- Liaison encastrement.

Le nombre de degrés de liberté est 0. Aucun mouvement relatif possible entre les deux solides.

Le torseur associé est ( ){ }( )( )( ) ⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

zA

yA

xA

z

y

x

A21M

21M21M

F

F

F

21

21

21

τ 21

8.2.2- Liaison pivot

La rotation Rx est autorisée. Le nombre de degrés de liberté est 1. Les 5 mouvements empêchés sont : Tx, Ty, Tz, Ry et Rz.

Le torseur associé est ( ){ } ( )( ) ⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

zA

yA

z

y

x

A21M

21M0

F

F

F

21

21

21

τ 21

Page 31/ 106

Page 18: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Modélisation des actions mécaniques TS

8.2.3- Liaison glissière.

La translation Tx est autorisée. Le nombre de degrés de liberté est 1. Les 5 mouvements empêchés sont : Ty, Tz, Rx, Ry et Rz.

Le torseur associé est ( ){ }( )( )( ) ⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

zA

yA

xA

z

y

A21M

21M21M

F

F0

21

21

21

8.2.4- Liaison appui plan.

Deux translations Ty et Tz sont autorisées et une rotation Rx. Le nombre de degrés de liberté est 3. Les 3 mouvements empêchés sont : Tx, Ry et Rz.

Le torseur associé est ( ){ } ( )( ) ⎪⎭

⎪⎬

zA

yA

21M

21M0

⎪⎩

⎪⎨

=τx

A00

F

212

1

8.2.5- Liaison rotule.

Les trois rotations Rx, Ry et Rz sont autorisées. Le nombre de degrés de liberté est 3. Les 3 mouvements empêchés sont Tx, Ty et Tz.

Le torseur associé est ( ){ }⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=000

F

F

F

z

y

x

A 21

21

21

τ 21

8.2.6- Liaison linéique rectiligne.

Deux translations Ty et Tz sont autorisées et deux rotations Rx et Ry.Le nombre de degrés de liberté est 4. Les 2 mouvements empêchés sont : Tx et Rz.

Le torseur associé est ( ){ }( ) ⎪⎭

⎪⎬

zA 21M00

⎪⎩

⎪⎨

=τx

A00

F

212

1

Page 32/ 106

Page 19: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Modélisation des actions mécaniques TS

8.2.7- Liaison ponctuelle.

Deux translations Ty et Tz sont autorisées et trois rotations Rx, Ry et Rz.Le nombre de degrés de liberté est 5. Le mouvement Tx est empêché.

Le torseur associé est ( ){ }⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

=τ000

00

F

21x

A

21

8.3 - Torseurs associés aux liaisons dans le plan utilisées en génie civil. Trois liaisons sont utilisées : l’encastrement, l’articulation et l’appui simple.

Liaison Modélisation

Mou

vem

ent(

s)

auto

risé

(s)

D.D

.L.

Mou

vem

ent(

s)

empê

ché(

s)

Inconnues de liaison

(Poutre isolée)

Torseur de liaison

Encastrement

- - -

0 TxTyRz

( ){ }⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

A

y

x

AM00

0

AA

.Encx

y

A

Articulation

- -

Rz

1 TxTy-

( ){ }⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

=τ000

0

AA

.Art y

x

A

Tx-

Rz

2 -

Ty-

( ){ }⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

=τ000

0A0

.S.A y

A

Appui simple -

TyRz

2 Tx - -

( ){ }⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧=τ

000

00

A.S.A

x

A

y

A x

x

y

A

x

y

A

x

y

A

x

y

A

yA

xA

yAAM

x

y

AxA

yA

x

y

AxA

Page 33/ 106

Page 20: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Principe fondamental de la statique TS

Chapitre 3 - Principe fondamental de la statique -

Détermination d’actions mécaniques s’exerçant sur un système en équilibre

SOMMAIRE

I - Notion d’isolement.............................................................................................................. 35 1°/ Isolement d’un solide. ............................................................................................................... 35 2°/ Isolement de plusieurs solides. ................................................................................................. 35

II - Equilibre d’un système matériel. ...................................................................................... 36

III - Principe fondamental de la statique ............................................................................... 37 1°/ Enoncé du PFS........................................................................................................................... 37 2°/ Système en équilibre sous l’action de deux forces .................................................................. 38 3°/ Système en équilibre sous l’action de trois forces................................................................... 38

IV - Degré d’hyperstaticité ...................................................................................................... 39 1°/ Hypostaticité, Isostaticité, Hyperstaticité et Degré d’hyperstaticité..................................... 39 2°/ Détermination du degré d’hyperstaticité. ............................................................................... 40

V - Organigramme de résolution d’un problème de statique. ............................................... 42

VI - Systèmes matériels composés de plusieurs solides.......................................................... 43

Page 34/ 106

Page 21: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Principe fondamental de la statique TS

I - NOTION D’ISOLEMENT.

La notion d’isolement est fondamentale dans l’analyse et la résolution des problèmes de mécanique. C’est la première étape de toute résolution en statique (et en dynamique).

1°/ Isolement d’un solide.

Isolé un solide consiste à réaliser un dessin précis (si possible à l’échelle) du solide étudié, destiné à décrire et à définir :

- toutes les actions extérieures qui s’y exercent : • actions à distance (poids), • actions de contact, … - tous les éléments connus concernant ces actions : • direction, • intensité, • sens, • point d’application, • distances entre les actions et les axes ou points choisis pour les calculs.

Exemple : reprenons l’exemple du palonnier utilisé pour la manutention d’un panneau.

Palonnier isolé

1T

p

Actions des élingues sur le palonnier

Tension du câble de la grue

Poids propre du palonnierA

B C

y

O x

2T3T

0,5 m 0,5 m 1,1 m

1,1 m 1,1 mCâble de la grue

Palonnier

Elingues

Panneau préfabriqué

2°/ Isolement de plusieurs solides.

Dans le cas de plusieurs solides, les actions mutuelles exercées entre les solides de l’ensemble deviennent des efforts intérieurs et ne doivent pas alors être comptabilisés dans le nombre des actions extérieures.

Tension du câble de la grue

Poids propre du palonnier

Poids du panneau

G

Exemple : isolons cette fois l’ensemble palonnier + élingues + panneau :

- l’action du panneau sur les élingues s’annule avec l’action des élingues sur le panneau, - l’action du palonnier sur les élingues s’annule avec l’action des élingues sur le palonnier.

Page 35/ 106

Ensemble (Palonnier - Elingues - Panneau) isolé

Page 22: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Principe fondamental de la statique TS

II - EQUILIBRE D’UN SYSTEME MATERIEL.

Soit un solide indéformable soumis à un

ensemble de n forces extérieures { }

nà1iSiFE

== .

Les éléments de réduction en un point P

du torseur associé à cet ensemble de forces sont :

( ) ( ) ttanrésulMoment

tetanRésul

FMSEM

FR

n

1iPP

n

1i

Si

Si

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

=

=

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )S

nS

iS

2S

1S

i

Sn

Si

S2

S1

Si

FM...FM...FMFMFMSEM

F...F...FFFR

PPPP

n

1iPP

n

1i

+++++==

+++++==

=

=

Si ce solide est animé d’un mouvement provoqué par l’ensemble de forces extérieures, ce

mouvement se décompose de la façon suivante : ⇒ un déplacement d’ensemble du solide (selon une trajectoire définie par les différentes

positions du centre de gravité G du solide) défini par le vecteur translation :

z

y

x

T

TT

T ,

ce vecteur est directement lié à la résultante R des forces extérieures appliquées au solide.

⇒ une rotation du solide autour de G définie par le vecteur :

z

y

x

R

RR

Ω directement lié au

moment résultant ( )EMG des forces extérieures appliquées au solide.

SnF

SkF

SiF

x

y

O

P

S1F

(S)

( )SEM P

S2F

R

x

y

O

R

( )SEMG

G

(S)

x

y G

(S)

x

y

Translation

Rotation

Page 36/ 106

Page 23: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Principe fondamental de la statique TS

Equilibre d’un système :

Un système matériel est en équilibre par rapport à un repère si, au cours du temps, chaque point de ce système conserve une position fixe par rapport à ce repère.

L’équilibre du système est donc défini par l’absence de mouvement de ce système.

Nous venons de voir que :

⇒ R engendre un mouvement de translation du centre de gravité du solide,

⇒ ( )EMG engendre un mouvement de rotation du solide autour de G.

Donc, pour que le solide soit en équilibre, il faut et il suffit que 0R = et ( ) 0EMG = , c'est-à-dire ( ){ } {0E =τ }

Remarque : si 0R = et ( ) 0EMG = , alors le moment résultant par rapport à un point P

quelconque est nul ( ) 0EMP = . III - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE

1°/ Enoncé du PFS.

Un système matériel est en équilibre par rapport à un repère fixe si et seulement si les

éléments de réduction du torseur des actions extérieures appliquées à ce système sont nuls :

0R = et ( ) 0EMP = , c'est-à-dire ( ){ }( )( )( )

{ }0

FM

FM

FM

F

F

F

F

zP

yP

xP

z

y

x

P SystExt

SystExt

SystExt

SystExt

SystExt

SystExt

SystExt =

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

Ce qui se traduit, dans l’espace, par 6 équations d’équilibre :

3 équations de la résultante :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

=

=

0F

0F

0F

z

y

x

SystExt

SystExt

SystExt

et 3 équations du moment résultant :

( )( )( )⎪

⎪⎪

=

=

=

0FM

0FM

0FM

zP

yP

xP

SystExt

SystExt

SystExt

Page 37/ 106

Page 24: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Principe fondamental de la statique TS

Lorsqu’il s’agit d’un problème plan (par exemple le plan (O, x, y) ), comme c’est habituellement le cas en génie civil, il ne reste plus que 3 équations d’équilibre :

2 équations de la résultante : ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

0F

0F

y

x

SystExt

SystExt

et 1 équation du moment résultant : ( ) 0FMzP Syst

Ext =

2°/ Système en équilibre sous l’action de deux forces

Soit un solide (S) soumis uniquement à l’action de deux forces

S1A et

S2B , non nulles et de

points d’application respectifs A et B.

S2B

S1A

Ce solide reste en équilibre si les deux forces sont égales et opposées. A

B (S)

3°/ Système en équilibre sous l’action de trois forces

Soit un solide (S) soumis uniquement à l’action de trois forces S

1A , S

2B et S

3C non nulles et de points d’application respectifs A, B et C.

Ce solide reste en équilibre si la résultante des trois forces est nulle et que les trois forces sont coplanaires et :

- concourantes,

S1A

S3C

S1A +

S2B +

S3C = 0

S3C

S1A

S2B

S2B (S)

A B

C

- ou parallèles

S2B

S3C

S1A +

S2B +

S3C = 0

S2B

S3C

(S)

S1A

S

1AA

B C

Page 38/ 106

Page 25: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Principe fondamental de la statique TS

- ou de même droite support.

S1A +

S2B +

S3C = 0

(S)

IV - DEGRE D’HYPERSTATICITE

1°/ Hypostaticité, Isostaticité, Hyperstaticité et Degré d’hyperstaticité.

Le PFS traduit le fait qu’un système matériel est en équilibre sous l’action d’actions mécaniques extérieures si tous les mouvements sont bloqués (empêchés), c’est-à-dire si tous les degrés de liberté sont supprimés.

Ce qui se traduit par 6 équations d’équilibre dans l’espace et 3 équations d’équilibre dans le plan.

Chaque degré de liberté supprimé engendre une inconnue de liaison à priori. Ainsi, le nombre d’inconnues varie de 1 à 6 dans l’espace et de 1 à 3 dans le plan.

Pour pouvoir résoudre un problème de statique avec le PFS, il faut que le nombre d’inconnues soit égal au nombre d’équations d’équilibre.

Le degré d’hyperstaticité permet de comparer le nombre d’inconnues au nombre d’équations : soit NINC ; le nombre d’inconnues, et NEQU ; le nombre d’équations. On note DH le degré d’hyperstaticité : DH = NINC - NEQU Si DH < 0 tous les degré de liberté ne sont pas bloqués.

On dit que le système est Hypostatique. Il n’y a pas de solution.

Si DH = 0 le nombre d’inconnues est égal au nombre d’équations. On dit que le système est Isostatique. On peut résoudre avec le PFS. Si DH > 0 il y a trop d’inconnues. On dit que le système est Hyperstatique. On ne peut pas résoudre qu’avec le PFS.

Il faut aussi vérifier que le système ne comporte aucun mécanisme (aucun mouvement possible), auquel cas le système est hypostatique.

Pour savoir si un problème de statique peut être résolu avec le PFS, il faut déterminer le

degré d’hyperstaticité du système.

A B C

S2B

S3C

S3C

S1A

S2B

S1A

Page 39/ 106

Page 26: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Principe fondamental de la statique TS

2°/ Détermination du degré d’hyperstaticité.

ETAPES OPERATIONS EXEMPLE

a) Numéroter chaque solide (barre) du système.

1 2

3

4 5

1 Calcul de NEQU : b) Comptabiliser 3 équations par barre :

NEQU= nombre de barres×3

NEQU = 5×3=15a) Dénombrer les inconnues de liaison

extérieures (entre le système global et l’extérieur) :

- Appui simple : 1 inconnue- Articulation : 2 inconnues- Encastrement : 3 inconnues

b) Dénombrer les inconnues de liaison intérieures (entre les solides constituant le système) : - Articulation : n barres articulées

1 2

i n

⇒ (n-1)×2 inconnues

- Encastrement : n barres encastrées

⇒ (n-1)×3 inconnues

1 2

i n

Inconnues extérieures en rouge Inconnues intérieures en vert

1 32

4 5 2 1

224

4

2 Calcul de NINC :

c) NINC = nombre d’inconnues de liaison ext + nombre d’inconnues de liaison int

NINC = 15

Page 40/ 106

Page 27: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Principe fondamental de la statique TS

OPERATIONS EXEMPLE ETAPES 3

Calcul de DH DH = NINC - NEQU DH = 15 –15 =0

a) vérifier qu’aucun solide ou ensemble de solide appartenant au système ne constitue un mécanisme (mouvement instable possible) ; si ce n’est pas le cas le système est HYPOSTATIQUE. b) On dira que : Si DH< 0 et/ou présence d’un mécanisme 4 Le système est HYPOSTATIQUE et il n’y pas de solution Nature du système Si DH = 0 et pas de mécanisme : le système est ISOSTATIQUE et on peut trouver les inconnues de liaison grâce au PFS. Si DH>0 et pas de mécanisme : Le système est HYPERSTATIQUE et on ne peut pas trouver les inconnues de liaison avec le seul PFS.

Le système ne comporte aucun mécanisme et DH = 0 , donc le système est isostatique ; on peut donc résoudre le problème avec les équations du PFS.

Page 41/ 106

Page 28: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Principe fondamental de la statique TS

V - ORGANIGRAMME DE RESOLUTION D’UN PROBLEME DE STATIQUE.

MODELISATION DU SYSTEME

LE SYSTEME EST HYPOSTATIQUE PAS DE SOLUTION

CALCUL DU DEGRE D’HYPERSTATICITE

ISOLEMENT DU SYSTEME - Je dessine le(s) solide(s) dans la même position géométrique - Je place le repère - J’écrit les renseignements connus (repères A, B, C,…, les

distances, les angles éventuels, …) - je fais le bilan des actions extérieures :

Actions connues (en vert) ⋅ Actions de contact, ⋅ Actions à distance (Poids).

Actions inconnues (en rouge) = inconnues de liaison Toujours dessinées dans le sens positif du repère.

LE SYSTEME EST ISOSTATIQUE.

JE PEUX APPLIQUER LE PFS

PFS

( ){ } { }0A SysExt =τ OU

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

=

=

∑∑∑

0FM

0F

0F

iI

y

x

LE SYSTEME EST HYPERSTATIQUE LE PFS NE SUFFIT

PAS

SCHEMA RECAPITULATIF

Je redessine le système isolé avec toutes les actions

Page 42/ 106

Page 29: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Principe fondamental de la statique TS

VI - SYSTEMES MATERIELS COMPOSES DE PLUSIEURS SOLIDES DETERMINATION DES ACTIONS INTERIEURES.

Prenons l’exemple d’un portique :

En A Articulation, En B et C Encastrement, En D Appui simple F1 = 10 kN F2 = 15 kN

On isole le portique, c’est-à-dire le système matériel composé des 3 solides (1+2+3) :

2 m

2 m

2 m

1 m

+

x

y

D

3

2F

C

A

B

1F

1

2

00

BILAN DES ACTIONS EXTERIEURES INTERIEURES

1F

2F

+

x

y

D

3

2F

C

A

B

1F

1 2

x10A

y10A x30D

x10A

y10A

x30D

x21B

y21B

21BM

x23C

y23C

23CM

x12B

y12B

12BM

x32C

y32C

32CM

Page 43/ 106

Page 30: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Principe fondamental de la statique TS

Remarques :

et il n’y a pas de mécanisme. 099DH9322111N

933N

INC

EQU =−=⇒⎭⎬⎫

=×+×+×=

=×=

⇒Le système matériel (1+2+3) est isostatique, on peut déterminer les actions

x10A , y10A et x30D en appliquant le PFS Le principe des actions mutuelles dit :

x21B = - x12B

y21B = - y12B

21BM = - 12BM

x23C = - x32C

y23C = - y32C

23CM = - 32CM

On cherche à déterminer les actions de liaison intérieures (aux nœuds B et C). L’outil à notre disposition pour déterminer des actions est le PFS. Mais le PFS s’applique pour des actions extérieures. Donc, pour déterminer les actions de liaison au nœud B et C, il faut isoler les barres 1, 2 et 3 séparément pour que ces actions deviennent des actions extérieures et pouvoir appliquer le PFS.

Pour faire « apparaître » les actions intérieures, dessinons la structure éclatée :

2F

B

2

C

+

x

y 21BM

y21B

x21B

23CM

y23C

x23C

1F

x10A

y10A

12BM

y12Bx12B

+

x

y

A

1

B

D

3

C

x30D

+

x

y

32CMy32C

x32C

STRUCTURE

ECLATEE Détermination des actions de liaison aux nœuds B et C ; Démarche à suivre :

J’isole le portique, c’est-à-dire le système matériel composé des 3 solides (1+2+3). J’applique le PFS et je détermine les actions x10A , y10A et x30D .

Page 44/ 106

Page 31: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Principe fondamental de la statique TS

J’isole la barre 1 : - les 3 actions 1F , x10A et y10A sont connues,

- il y a 3 actions inconnues x12B , y12B , 12BM que je détermine avec le PFS.

J’isole la barre 2 :

- le principe des actions mutuelles me permet de déterminer les actions x21B , y21B , et

21BM (puisque x21B = - x12B , y21B = - y12B et 21BM = - 12BM ).

- il y a 3 actions inconnues x23C , y23C et 23CM que je détermine avec le PFS

J’isole la barre 3 : - l’action x30D est connue.

- le principe des actions mutuelles me permet de déterminer les actions x32C , y32C et

32CM (puisque x23C = - x32C , y23C = - y32C et 23CM = - 32CM ). Toutes les actions appliquées au solide 3 étant connues, je vérifie que le solide 3 est bien en équilibre et donc que je n’ai pas fait d’erreur de calcul.

Application numérique :

J’isole le portique (1+2+3) et j’applique le PFS pour déterminer les actions x10A ,

y10A et x30D :

⎪⎪

⎪⎪

=+

=+

=

=−=−=

−=−=

⇔⎪⎩

⎪⎨

=−−

=−+

=+

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

=

∑∑∑

kN5,124

20304

F.2F.2D

kN5,25,1215DFA

kN10FA

0F.2F.2D.4

0FDA

0FA

Mt

0F

0F

PFS

12y30

y302y10

1x10

12y30

2y30y10

1x10

A/

y/

x/

+

x

y

D

3

2F

C

A

B

1F

12

x10A

y10A x30D

⎪⎩

⎪⎨

=

=

−=

kN5,12D

kN5,2A

kN10A

y30

y10

x10

+ y

x D

3

2F

C B

Page 45/ 106

1F2

1

Page 32: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Principe fondamental de la statique TS

A x10A

y10A x30D (10 kN) (2,5 kN) (12,5 kN)

J’isole la barre 1 et je détermine x12B , y12B , 12BM avec le PFS.

Page 46/ 106

⎪⎩

⎪⎨

=+−−

=+

=++−

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

=

∑∑∑

0MB.3F.2

0BA

0BFA

Mt

0F

0F

PFS

12Bx121

y12y10

x121x10

A/

y/

x/

x10A (10 kN)

1F

y10A (2,5 kN)

12BM

y12Bx12B

+

x

y

A

1

B

x10A

(10 kN)

1F

y10A (2,5 kN)

12BM

(20 kN.m)

y12B (2,5 kN)

+

x

y

A

1

B

⎪⎩

⎪⎨

==

−=−=

=−=−=

m.kN20F.2M

kN5,2AB

01010FAB

112B

y10y12

1x10x12

⎪⎩

⎪⎨

=

−=

=

m.kN20M

kN5,2B

0B

12B

y12

x12

J’isole la barre 2. Principe des actions mutuelles :

2F

B

2

C

+

x

y 21BM

y21B

x21B

23CM

y23C

x23C

2F

B

2

C

+

x

y

21BM (20 kN.m)

y21B (2,5 kN)

23CM

y23C

x23C

x21B = - x12B ,

y21B = - y12B ⇒

et 21BM = - 12BM .

Page 33: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Principe fondamental de la statique TS

Je détermine x23C , y23C et 23CM avec le PFS.

PFS

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

=

∑∑∑

A/

y/

x/

Mt

0F

0F

⎪⎪

⎪⎪

=−++−

=−+

=

021BM23CMy23C.42F.2

02Fy23Cy21B

0x23C

⎪⎩

⎪⎨

=+−=+−=

=−=−=

=

0205030MC.4F.2M

kN5,125,215BFC

0C

21By23223C

y212y23

x23

⎪⎩

⎪⎨

=

=

=

0M

kN5,12C

0C

23C

y23

x23

2F

B

2

C

+

x

y

21BM

(20 kN.m)

y21B (2,5 kN)

y23C (12,5 kN)

J’isole la barre 3. (Vérification)

D

3

C

x30D (12,5 kN)

+

x

y

32CM y32C

x32C

D

3

C

x30D

(12,5 kN)

+

x

y

y32C (12,5 kN)

Principe des actions mutuelles :

x23C x32C= - ,

y23C y32C= - ⇒

et = - . 23CM 32CM

Le solide 3 est bien en équilibre, donc que je n’ai pas fait d’erreur de calcul.

Page 47/ 106

Page 34: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Sollicitations TS

Chapitre 4 - Théorie des poutres

SOMMAIRE

I - Définitions........................................................................................................................... 49

1°/ Notion de poutre ........................................................................................................... 49

2°/ Géométrie des poutres - Cas courants ........................................................................ 49

II - Hypothèses fondamentales de la théorie des poutres ...................................................... 50

1°/ Hypothèses sur la géométrie des poutres.................................................................... 50

2°/ Hypothèses sur le matériau.......................................................................................... 50

3°/ Hypothèses sur les déformations ................................................................................. 50

4°/ Hypothèses sur les actions extérieures........................................................................ 51

III - Sollicitations dans une section - Efforts internes........................................................... 51

1°/ Notion de coupure......................................................................................................... 51

2°/ Définition des sollicitations .......................................................................................... 52

3°/ Conventions de signe .................................................................................................... 54

4°/ Sollicitations simples ou composées ............................................................................ 55

5°/ Diagrammes des sollicitations...................................................................................... 56

6°/ Relations entre Q(x), V(x) et M(x). .............................................................................. 60

Page 48/ 106

Page 35: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Sollicitations TS

I - DEFINITIONS

1°/ Notion de poutre

On appelle poutre un solide engendré par une aire plane (S) dont le centre de gravité G décrit une courbe (G0G1), le plan de (S) restant perpendiculaire à cette courbe. (S) est appelée section droite,

G0G

G1

S0S

S1

(S0) section origine, (S1) section extrémité, (G0G1) est la fibre moyenne de la poutre

2°/ Géométrie des poutres - Cas courants

Si la fibre moyenne de la poutre (G0G1) est : - contenue dans un plan ⇒ on parle de poutre plane, - une droite ⇒ on parle de poutre droite, - une courbe ⇒ on parle de poutre gauche.

Si le plan (G0G1) est un plan de symétrie géométrique et mécanique (la section de la poutre est symétrique par rapport à ce plan et le chargement aussi), on parle de poutre à plan moyen. Exemple :

Toutes les poutres étudiées seront planes (les problèmes étudiés sont des problèmes plans), généralement droites et à plan moyen.

La section droite (S) peut être : - constante le long de (G0G1), poutre à section constante - variable en fonction des efforts qu’elle supporte, poutre à section variable.

Page 49/ 106

Page 36: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Sollicitations TS

II - HYPOTHESES FONDAMENTALES DE LA THEORIE DES POUTRES

1°/ Hypothèses sur la géométrie des poutres

Trois hypothèses sur la géométrie des poutres : - le rayon de courbure de la fibre moyenne est grand par rapport aux dimensions des sections droites,

- la longueur de la fibre moyenne est grande devant les dimensions des sections droites (longueur supérieure à 10 fois la plus grande dimension transversale), on parle de solide élancé,

- les éventuelles variations de l’aire de la section droite sont faibles et progressives.

2°/ Hypothèses sur le matériau

Les matériaux envisagés sont supposés : - homogènes : tous les éléments du matériau, aussi petits soient-ils, ont une structure identique,

- isotropes : les propriétés mécaniques sont les mêmes en tous points et dans toutes les directions,

- continus : les propriétés varient de manière continue d’un point à l’autre, - utilisés dans le domaine élastique : les relations entre contraintes et déformations sont linéaires = loi de HOOKE (voir plus loin).

3°/ Hypothèses sur les déformations

Hypothèse de NAVIER-BERNOULLI : « les sections planes normales aux fibres avant

déformation restent planes et normales aux fibres pendant et après la déformation. »

Ce qui est correctement vérifié par l’expérience sous réserve d’avoir : - de petits déplacements, - de petites déformations.

AV

EC

HY

POT

HE

SES

DE

PE

TIT

ES

DE

FOR

MA

TIO

NS

SAN

S H

YPO

TH

ESE

S D

E P

ET

ITE

S D

EFO

RM

AT

ION

S

⇒ La contraction latérale des poutres est négligée.

Page 50/ 106

Page 37: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Sollicitations TS

4°/ Hypothèses sur les actions extérieures

Hypothèse de SAINT-VENANT : les résultats de la résistance des matériaux ne s’appliquent valablement qu’à une distance suffisamment éloignée de la région où sont appliqués les efforts concentrés. III - SOLLICITATIONS DANS UNE SECTION - EFFORTS INTERNES.

Nous allons, dans ce paragraphe, déterminer quels sont les efforts qui se développent à l’intérieur de la matière, appelés efforts intérieurs, efforts internes ou encore efforts de cohésion car il assurent la cohésion (la liaison) entre les particules constitutives du matériau.

1°/ Notion de coupure

Soit une poutre droite en équilibre soumises à des actions extérieurs quelconques iF et à

des actions de liaisons quelconques iR .

x

y

z

G0G1G

S(x)

1F2FiF

1RiR 2R

Pour connaître ce qui se passe à l’intérieur de la poutre, on effectue par la pensée à l’abscisse x une coupure fictive au droit d’une section notée S(x).

Isolons le tronçon de poutre situé à gauche de la section S(x). Ce tronçon est en équilibre sous l’action : - des forces extérieures qui lui sont appliquées iF ,

- des actions de liaisons iR , - des forces que le tronçon de droite (2) exerce sur le tronçon de gauche (1). Ces forces

se développent à l’intérieur du matériau.

On peut exprimer ces « efforts internes » sous la forme d’un torseur pris au centre de gravité de la section S(x).

Page 51/ 106

Page 38: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Sollicitations TS

Tronçon de gauche (1) isolé :

x

y

z

G0G

S(x)

iF

iR

(x)1

2R

(x)1

2GM

Action du tronçon de droite (2) sur le tronçon de gauche (1) = torseur des efforts internes de cohésion :

( ){ }⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=τ)x(

)x(12

12

12

GGM

R

2°/ Définition des sollicitations

Par définition, on appelle sollicitations les projections sur les axes (G, x), (G, y) et (G, z)

des vecteurs (x)1

2R et (x)1

2GM :

(x)1

2R : résultante générale des efforts de cohésion,

zselontranchanteffort:)x(V

yselontranchanteffort:)x(Vnormaleffort:)x(N

(x)

Z

y1

2R

x

y

z

G

(x)1

2R

)x(Vy

)x(V

)x(N

)x(Vz

Page 52/ 106

Page 39: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Sollicitations TS

(x)1

2GM : moment résultant au point G des efforts de cohésion,

zdeautourtfléchissanmoment:)x(M

ydeautourtfléchissanmoment:)x(Mtorsiondemoment:)x(T

(x)

Zf

yf1

2GM

(x)1

2GM

x

y

Le torseur des efforts internes de cohésion s’écrit alors :

( ){ }⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

)x(M

)x(M)x(T

)x(V

)x(V)x(N

)x(

)x(12

Zf

yf

Z

y

GGG 1

2

12

M

R

Ce torseur correspond à un torseur d’encastrement.

z).x(My).x(Mx).x(Tz).x(Vy).x(Vx).x(N

)x(

)x(

Zfyf

Zy

G 12

12

++

++==

MR

REMARQUE : les problèmes que nous sommes amenés à traités sont des problèmes plan,

tous les efforts extérieurs étant situés dans le plan (O, x, y). Dans ces conditions, les seules composantes non nulles du torseur des sollicitations sont :

- l’effort normal N(x), - l’effort tranchant suivant y, Vy(x), que nous noterons V(x), - le moment fléchissant suivant z, Mfz(x), que nous noterons M(x),

représentés de la façon suivante :

z

G

)x(Myf

)x(Mf

)x(T

)x(M zf

x

y iF

iR )x(N

)x(V )x(M

G

Page 53/ 106

Page 40: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Sollicitations TS

3°/ Conventions de signe

Etudions l’équilibre des 2 tronçons de poutre séparés par la section S(x) :

x

- Equilibre du tronçon 1 :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−=

−=⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+

=+⇒

1ExtG

12G

1Ext

12

1ExtG

12G

1Ext

12

FM)x(

F)x(

0FM)x(

0F)x(

M

R

M

R

⎪⎩

⎪⎨

−=

−=⇔

StionsecladegaucheàforcesdesmomentsdesSomme)x(

StionsecladegaucheàforcesdesSomme)x(

12G

12

M

R

- Equilibre du tronçon 2 :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−=

−=⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+

=+⇒

2ExtG

21G

2Ext

21

2ExtG

21G

2Ext

21

FM)x(

F)x(

0FM)x(

0F)x(

M

R

M

R

Principe des actions mutuelles ⇒ ⎪⎩

⎪⎨

−=

−=

)x()x(

)x()x(

21G1

2G

21

12

MM

RR

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+=

+=⇒

2ExtG

12G

2Ext

12

FM)x(

F)x(

M

R

y

z

G0 G

S

Forces extérieures de

gauche : 1

ExtF

(x)1

2R

(x)1

2GMS0

(x)(x)1

22

1 GG MM −=

(x)(x)1

22

1 RR −=

G1G

S

Forces extérieures

de droite : 2

ExtF

S1

Tronçon de droite (2) isolé

Tronçon de gauche (1) isolé

Page 54/ 106

Page 41: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Sollicitations TS

⎪⎩

⎪⎨

=

=⇔

StionsecladedroiteàforcesdesmomentsdesSomme)x(

StionsecladedroiteàforcesdesSomme)x(

12G

12

M

R

REMARQUE : aucune convention n’est ni normalisée ni imposée. Les conventions de signe

varient d’un livre à l’autre, d’un pays à l’autre, etc. Quelle que soit la convention retenue, on dispose toujours de deux possibilités (au signe près) pour déterminer les efforts internes : - somme des forces à droite de la coupure, - somme des forces à gauche de la coupure.

4°/ Sollicitations simples ou composées

Si une seule composante N, V, T, ou Mf existe alors que les autres sont nulles, on dit qu’on

a une sollicitation simple. Si deux composantes au moins sont non nulles, on dit qu’on a une sollicitation composée.

Composantes Cas Schéma N V T Mf

Observations

Traction

N 0 0 0

Cisaillement

0 V 0 0

Torsion

0 0 T 0

Flexion pure

0 0 0 MfzSo

llici

tatio

ns si

mpl

es

Flexion simple

0 Vy 0 Mfz

Flexion composée

N Vy 0 Mfz

Flexion +

Torsion

0 Vy T Mfz

Non traité

en BTS

Flambement ou

Flambage

N 0 0 Mfz

Flexion déviée

0 Vy

Vz

Mfz

Mfy

Non traité

en BTS

Solli

cita

tions

com

posé

es

REMARQUE : d’autres cas sont possibles : flexion+torsion+traction, traction+cisaillement, torsion+cisaillement…

Page 55/ 106

Page 42: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Sollicitations TS

5°/ Diagrammes des sollicitations.

La finalité de la théorie des poutres est de connaître le comportement des particules dans

toute section d’une poutre. La première étape consiste à exprimer les sollicitations dans une section S(x) quelconque

de la poutre en fonction : - des actions extérieures (connues), - des actions de liaisons (calculées en appliquant le PFS à la poutre entière). Connaissant les sollicitations dans une section quelconque S(x), il suffit alors de faire

varier x le long de la poutre pour connaître les sollicitations dans toutes les sections. On obtient alors les diagrammes des sollicitations N, V et M en fonction de x. Exemple : Considérons pour exemple la poutre encastrée ci-contre soumise à des forces extérieures telles qu’elles sont représentées :

Pour un problème dans le plan (O, x, y), le torseur est de la forme :

( ){ }⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧=τ

M(x)00

0V(x)N(x)

2/1

G

Avec les conventions choisies, on obtient pour l’équilibre des tronçons de droite et de gauche :

N(x) = Σ des forces horizontales à droite de la coupure = - Σ des forces horizontales à gauche de la coupure V(x) = Σ des forces verticales à droite de la coupure = - Σ des forces verticales à gauche de la coupure M(x) = Σ des moments des forces à droite de la coupure = - Σ des moments des forces à gauche de la coupure

1,5 m

5 kN/m

10 kN

25 kN

0,3 m

Page 56/ 106

Page 43: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Sollicitations TS

⇒ Tracé des diagrammes des sollicitations :

Le P.F.S. nous permet de déterminer les actions de liaison. Connaissant alors toutes les actions extérieures appliquées à la poutre, on peut s’intéresser aux sollicitations.

Les diagrammes sont une représentation graphique des valeurs des sollicitations. Pour une abscisse x quelconque, on peut lire les valeurs des sollicitations.

Donc, pour tracer ces diagrammes, on va faire varier l’abscisse x de la coupure, et on va calculer à chaque fois les valeurs des sollicitations. EFFORT NORMAL : Quel que soit x, on a N(x) = Σ des forces horizontales à droite de la coupure N(x) = -10 kN DIAGRAMME DE L’EFFORT NORMAL :

1,5 m 0,3 m

10 kN 10 kN

x

x

y

1,5 m 0,3 m

5 kN/m

25 kN

10 kN10 kN

34 kN

y

x

45,6 kN.m

x [ m ]

N(x) [ kN ]

-- 10

1,8

Page 57/ 106

Page 44: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Sollicitations TS

EFFORT TRANCHANT : Il faut distinguer le cas où x > 1,5 m et x < 1,5m : x > 1,5 m : V(x) = Σ des forces verticales à droite de la coupure V(x) = - 5 kN/m répartis sur (1,8 – x) m V(x) = - 5 × (1,8 – x) = 5 x - 9

C’est l’équation d’une droite : le diagramme est linaire. On a besoin de 2 points pour tracer le diagramme, 2 valeurs aux limites x = 1,8 m ⇒ V(1,8) = 0 x = 1,5 m ⇒ V(1,5) = - 1,5 kN

x < 1,5 m : V(x) = Σ des forces verticales à droite de la coupure V(x) = [ - 5 kN/m répartis sur (1,8 – x) m ] + [ - 25 kN ] V(x) = - 5 × (1,8 – x) -25 = 5 x -34

C’est l’équation d’une droite : le diagramme est linaire. On a besoin de 2 points pour tracer le diagramme, 2 valeurs aux limites x = 1,5 m ⇒ V(1,5) = - 26,5 kN

x = 0 m ⇒ V(0) = -34 kN DIAGRAMME DE L’EFFORT TRANCHANT :

1,5 m 0,3 m

5 kN/m

25 kN

34 kN

x

y

x

x [ m ]

V(x) [ kN ]

-

1,8 1,5

- 1,5

- 26,5

- 34

Page 58/ 106

Page 45: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Sollicitations TS

MOMENT FLECHISSANT Il faut également distinguer le cas où x > 1,5 m et x < 1,5m : x > 1,5 m : M(x) = Σ des moments des forces à droite de la coupure M(x) = - 5 kN/m répartis sur (1,8 – x) m avec un bras de levier de [(1,8 – x)/2] m M(x) = [ - 5 (1,8 – x)² / 2 ] M(x) = - 2,5 x² + 9 x – 8,1 C’est l’équation d’une parabole. On peut calculer les 2 valeurs aux limites : x = 1,8 m ⇒ M(1,8) = 0 x = 1,5 m ⇒ M(1,5) = -0,225 kN x < 1,5 m : M(x) = Σ des moments des forces à droite de la coupure M(x) = [ - 5 (1,8 – x)² / 2 ] + [ - 25 kN avec un bras de levier de (1,5 – x ) m ] M(x) = - 2,5 x² + 34 x – 45,6 C’est l’équation d’une parabole. On peut calculer les 2 valeurs aux limites : x = 1,5 m ⇒ M(1,5) = -0,225 kN.m x = 0 m ⇒ M(0) = -45,6 kN.m DIAGRAMME DU MOMENT FLECHISSANT :

1,5 m 0,3 m

5 kN/m

25 kN

10 kN 10 kN

34 kN

x

y

45,6 kN.m

x

x [ m ]

M(x) [ kN.m ]

-

1,8 1,5

- 0,225

- 45,6

Page 59/ 106

Page 46: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Sollicitations TS

6°/ Relations entre q(x), V(x) et M(x).

Considérons un tronçon de poutre chargé par une charge répartie q(x) (éventuellement variable) et délimité par deux sections S et S1 infiniment voisines, distantes de dx.

G G1

x

x

x+dx

y

V(x)

M(x)

V(x)+dV(x)

M(x)+dM(x)

q(x)

S S1

dV(x) et dM(x) représentent les variation élémentaires de V(x) et de M(x) sur la distance dx. ⇒ Equilibre du tronçon :

( ) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=++−+−

=+++−⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

∑∑

)2(0)x(dM)x(M2

²dx).x(qdx).x(V)x(M

)1(0)x(dV)x(Vdx).x(q)x(V

0FM

0F

1G

y

)x('Vdx

)x(dV)x(q)1( −=−=⇒ ,

soit ⇒ la dérivée de l’effort tranchant est égale à - q(x). )x(q)x('V −= Si on néglige dx², infiniment petit du deuxième ordre :

)x('Mdx

)x(dM)x(V)2( −=−=⇒ ,

soit ⇒ la dérivée du moment est égale à -(l’effort tranchant). )x(V)x('M −=

)x(''M²dx

)x(M²d)x(q)2()1( ==⇒+ ,

soit ⇒ la dérivée seconde du moment est égale à q(x). )x(q)x(''M =

REMARQUE 1 : s’il n’y a pas de charge entre S et S1 : 0)x(dV0)x(dV)x(V)x(V)1( =⇒=++−⇔ , l’effort tranchant est constant. 0)x(dM)x(Mdx).x(V)x(M)2( =+++−⇔

)x('Mdx

)x(dM)x(V −=−=⇒ , la relation reste exacte

Page 60/ 106

Page 47: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Sollicitations TS

REMARQUE 2 : s’il y a une force concentrée entre S et S1 :

G G1

x

x

x+dx

y

V(x)

M(x)

V(x)+dV(x)

M(x)+dM(x)

F

S S1

kdx F)x(V)dxx(V0)dxx(VF)x(V)1( +=+⇔=++−−⇔ il y a une variation brutale de l’effort tranchant. 0)x(dM)x(Mkdx.Fdx).x(V)x(M)2( =++++−⇔

⇒ si on néglige kdx, on a encore : )x('Mdx

)x(dM)x(V −=−= ,

et (1) indique qu’il y a une discontinuité dans la valeur de dM(x)/dx, donc un point singulier dans le diagramme de M(x).

REMARQUE 3 : on obtient des résultats analogues avec une poutre plane courbe supportant une charge quelconque, en se référant à l’abscisse curviligne (s) des sections :

ds

)s(dV)s(q −=

ds

)s(dM)s(V −=

²ds

)s(M²d)s(q =

⇒ Conséquences :

dans un tronçon de poutre non chargé, V est constant et M varie linéairement. Si V est négatif, M est croissant et inversement.

si le tronçon supporte une charge uniforme, V varie linéairement et M est une parabole.

si V s’annule dans une section, M passe par un extremum. Dans le sens des x croissants, si V passe d’une valeur 0< à une valeur >0, M est maximum.

Page 61/ 106

Page 48: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Sollicitations TS

EX

EM

PLE

S

CO

NSE

QU

EN

CE

S

Si q

(x) =

0 a

lors

V(x

) est

con

stan

t, Si

q(x

) = c

te a

lors

V(x

) est

liné

aire

, Si

q(x

) < 0

alo

rs V

(x) e

st c

rois

sant

, Si

q(x

) > 0

alo

rs V

(x) e

st d

écro

issa

nt.

Si v

(x) =

0 a

lors

M(x

) est

con

stan

t (fle

xion

pur

e)

Si V

(x) =

cte

alo

rs M

(x) e

st li

néai

re,

Si V

(x) <

0 a

lors

M(x

) est

cro

issa

nt,

Si V

(x) >

0 a

lors

M(x

) est

déc

rois

sant

. Q

uand

V(x

) s’a

nnul

e al

ors M

(x) p

asse

par

un

extre

mum

(ta

ngen

te h

oriz

onta

le) :

M

(x) e

st m

axi q

uand

V(x

) pas

se d

u - a

u +,

M

(x) e

st m

ini q

uand

V(x

) pas

se d

u +

au -.

En

tout

poi

nt, o

n pe

ut tr

acer

la ta

ngen

te à

la c

ourb

e M

(x),

dont

l’a

ngle

orie

nté

avec

l’ho

rizon

tale

est

: t

an-1

[ - V

(x) ]

Si

q(x

) > 0

alo

rs la

con

cavi

té d

e la

cou

rbe

M(x

) est

tour

née

vers

le h

aut

Si q

(x) <

0 a

lors

la c

onca

vité

de

la c

ourb

e M

(x) e

st to

urné

e ve

rs le

bas

Si

q(x

) = 0

alo

rs M

(x) =

ax

+ b

(liné

aire

) Si

q(x

) = c

te a

lors

M(x

) = a

x² +

bx

+ c

(par

abol

e)

Page 62/ 106

Si q

(x) l

inéa

ire a

lors

M(x

) = a

x3 + b

x² +

cx

+ d

(hyp

erbo

le)

RE

LA

TIO

NS

IMPO

RT

AN

TE

S E

T U

TIL

ES

AU

TR

AC

E D

ES

DIA

GR

AM

ME

S D

E N

(X),

V(X

) ET

M(X

).

RE

LA

TIO

NS

V’(

x) =

-q(x

)

M’(

x) =

-V(x

)

M’’

(x) =

q(x

)

Page 49: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Caractéristiques géométriques des sections TS

Chapitre 5 - Caractéristiques géométriques des sections

SOMMAIRE

I - Centre de gravité................................................................................................................. 64 1°/ Définition.................................................................................................................................... 64 2°/ Théorèmes de Guldin. ............................................................................................................... 65

II - Moment statique d’une surface plane par rapport à un axe de son plan. ...................... 66 1°/ Définition.................................................................................................................................... 66 2°/ Moment statique dans un système d’axes orthonormés ........................................................ 66 3°/ Moment statique des surfaces composées................................................................................ 66

III - Moment quadratique d’une surface plane par rapport à un axe de son plan .............. 66 1°/ Définition.................................................................................................................................... 67 2°/ Théorème de Huygens............................................................................................................... 67 3°/ Moment quadratique des surfaces composées ........................................................................ 68 4°/ Rayon de giration ...................................................................................................................... 68

IV - Applications...................................................................................................................... 68 1°/ Moment statique d’un rectangle par rapport à un de ses côtés. ........................................... 68 2°/ Moment quadratique d’un rectangle par rapport à un de ses côtés..................................... 68 3°/ Moment quadratique d’un rectangle par rapport aux axes de symétrie. ............................ 69

Formulaire Centre de gravité.................................................................................................. 70

Formulaire Moment quadratique ........................................................................................... 71

Page 63 / 106

Page 50: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Caractéristiques géométriques des sections TS

I - CENTRE DE GRAVITE

x

y

z

O

M1

G

Mi

Mn

1°/ Définition

Considérons, dans l’espace, un solide comme étant constitué d’un ensemble de n points matériels M1, M2, …, Mi, …, Mn, de masse respective dm1, dm2, …, dmi, …, dmn.

Ce solide est de volume V.

Par définition, le centre de gravité de l’ensemble des n points est le point G tel que :

0dm.GM

V i =∫ G est aussi appelé centre de masse.

Pour déterminer la position de G dans le repère (O, x, y, z), il faut mettre cette définition

sous une forme plus facile à exploiter : OGOMOMGOGM iii −=+= ( ) 0dm.OGOM

V i =−⇒ ∫

0dm.OGdm.OMVV i =−⇔ ∫∫

0dmOGdm.OMVV i =−⇔ ∫∫

0m.OGdm.OMV i =−⇔ ∫

m

dm.OMOG V i∫

=⇔ (1)

Soient xi, yi et zi les coordonnées du point Mi. On obtient à partir de la relation (1) les

coordonnées xG, yG et zG du centre de gravité G :

m

dm.xx V i

G∫=

m

dm.yy V i

G∫=

m

dm.zz V i

G∫=

→ Cas où le matériau est homogène : cte=ρ avec Vm ρ= et dVdm ρ= . La relation devient :

V

dV.xx V i

G∫=

V

dV.yy V i

G∫=

V

dV.zz V i

G∫

=

Les coordonnées du centre de gravité sont alors indépendantes de la nature du matériau. → Cas où le solide est d’épaisseur constante e : V = e.S et dV = e.dS, avec S la surface du solide. La relation devient :

S

dS.xx S i

G∫∫=

S

dS.yy S i

G∫∫=

S

dS.zz S i

G∫∫=

Dans ce cas, G est appelé centre de surface.

Page 64 / 106

Page 51: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Caractéristiques géométriques des sections TS

Propriété : Si un solide possède un plan, un axe, ou un centre de symétrie, son centre de

gravité est situé respectivement dans le plan de symétrie, sur l'axe de symétrie ou au centre de symétrie.

2°/ Théorèmes de Guldin.

1er théorème : « La surface engendrée par une ligne plane tournant autour d’un axe de son plan mais ne le traversant pas est égale au produit de la longueur de la ligne par la longueur de la circonférence décrite par le centre de gravité de cette ligne. »

Exemple : Détermination du centre de gravité d’un demi-cerceau : R

GZG

Surface décrite par la rotation du demi-cerceau = 4 π R² Longueur de la ligne = π × R Circonférence décrite par G = 2 π zG

⇒ 4 π R² = π R × 2 π zG

π

=⇔R2zG

2ème théorème : « Le volume engendré par une surface plane tournant autour d’un axe de son plan mais ne le traversant pas est égale au produit de la surface par la longueur de la circonférence décrite par le centre de gravité de cette ligne. »

Exemple : Détermination du centre de gravité d’une plaque semi circulaire : R

GZ

G

Volume engendré par la rotation de la plaque = 3R34

π

Surface du demi disque = 2R2π

⇒ 3R34

π = 2R2π × 2 π zG

π

=⇔3

R4zG

REMARQUE : Les théorèmes de Guldin ne peuvent pas servir à la détermination des centres de gravité des volumes.

Page 65 / 106

Page 52: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Caractéristiques géométriques des sections TS

II - MOMENT STATIQUE D’UNE SURFACE PLANE PAR RAPPORT A UN AXE DE SON PLAN.

1°/ Définition

Mi

S

dSi

ri

Δ Considérons une surface plane S

constituée de n points matériels M1, M2, …, Mi, …, Mn, de surface élémentaire dS1, dS2, …, dSi, …, dSn et un axe Δ situé dans son plan.

Théorème 1 : le moment statique d’une surface plane par rapport à un axe situé dans son

plan est égal au produit de la surface par la distance de son centre de gravité à l’axe considéré.

On appelle moment statique de la surface S par rapport à l’axe Δ la quantité :

( ) ∫∫=Δ S i dSrSW ri étant la distance de dSi à Δ.

2°/ Moment statique dans un système d’axes orthonormés

Théorème 2 : le moment statique d’une surface plane par rapport à un axe (O, x) de son

plan est égal au produit de la surface par la coordonnée yG du centre de cette surface.

Soit dans un repère (O, x, y) : ( ) S.ySW G)x,O( = et ( ) S.xSW G)y,O( =

Démonstration :

Moment statique de la surface plane S par rapport à l’axe (O, x) :

S

x

y

O

MidSi

yi

( )

( ) S.ySW

S

dS.yy

dSySW

GxS i

G

S ix

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

=

=

∫∫∫∫

Théorème 3 : le moment statique d’une surface plane par rapport à un axe de son plan passant par le centre de cette surface est nul.

La démonstration est évidente : si 0yG = alors ( ) 0SW )x,O( =

3°/ Moment statique des surfaces composées

Le moment statique d’une surface S, composées de plusieurs surfaces S1, S2, …, Sn, est égal

à la somme arithmétique des moments statiques des n surfaces :

( ) ( ) ( ) ( )n21 SW...SWSWSW ΔΔΔΔ +++=

Page 66 / 106

Page 53: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Caractéristiques géométriques des sections TS

III - MOMENT QUADRATIQUE D’UNE SURFACE PLANE PAR RAPPORT A UN AXE DE SON PLAN

1°/ Définition

Considérons toujours la même surface plane S

constituée de n points matériels Mi, de surface élémentaire dSi, et un axe Δ situé dans son plan.

On appelle moment quadratique de la surface S par rapport à l’axe Δ la quantité :

Mi

S

dSi

ri

Δ

( ) ∫∫=Δ S

2i dSrSI ri étant la distance de dSi à Δ.

Dans un repère orthonormé (O, x, y) :

et ( ) ( ) ∫∫=

S

2ix,O dSySI ( )( ) ∫∫=

S

2iy,O dSxSI

2°/ Théorème de Huygens

Théorème de Huygens : « Le moment quadratique d’une surface plane S par rapport à un axe quelconque Δ de son plan est égal au moment quadratique de cette surface par rapport à un axe ΔG parallèle à Δ et passant par le centre de gravité G de la surface S, augmenté du produit de l’aire de la surface S par le carré de la distance entre les deux axes. »

GirMi

S

dSi

ΔG

d

G

Δ

Théorème de Huygens : ( ) ( ) 2d.SSISI

G+= ΔΔ

Démonstration : Par définition : ( ) ∫∫=Δ S

2i dSrSI

Remplaçons ri par sa valeur drr

Gii += :

( ) ( )∫∫ +=⇒ Δ S

2i dSdrSIG

( ) ( )∫∫ ++=⇔ Δ S

2i

2i dSddr2rSI

GG

( ) ∫∫ ∫∫∫∫ ++=⇔ Δ S S

2

S i2

i dSddS.rd2dS.rSIGG

( ) ( ) 2

S

S id.SSISI

considéréetionsecladesurfaceSdS

gravitédecentredudéfinition0dS.rG

G+=⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=ΔΔ

∫∫∫∫

Page 67 / 106

Page 54: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Caractéristiques géométriques des sections TS

Remarque : le moment quadratique caractérise l’aptitude d’une section à tourner autour d’un axe :

- plus le moment quadratique est grand, plus la section a du mal à tourner autour de l’axe, - plus l’axe s’éloigne du centre de gravité, plus le moment quadratique est grand.

3°/ Moment quadratique des surfaces composées

Le moment quadratique d’une surface S, composées de plusieurs surfaces S1, S2, …, Sn, est

égal à la somme arithmétique des moments quadratiques des n surfaces :

( ) ( ) ( ) ( )n21 SI...SISISI ΔΔΔΔ +++=

4°/ Rayon de giration

Il est défini comme la racine carrée du moment d’inertie divisée par l’aire S de la surface :

SIi x

x = ou , de même SiI 2xx ⋅=

SI

i yy = ou . SiI 2

yy ⋅=

IV - APPLICATIONS

1°/ Moment statique d’un rectangle par rapport à un de ses côtés. Par définition : ( ) S.ydSySW GS

2i)x,O( == ∫∫

ici, S = b × h et 2hyG = ,

d’où ( )2

bhSW2

)x,O( =

2°/ Moment quadratique d’un rectangle par rapport à un de ses côtés.

( )( ) ∫∫ ∫∫∫∫ ===S

h

0

2b

0

2iS

2ix,O dyydxdy.dxydSySI

[ ]∫ ==b

0

b0 bxdx

3h

3ydyy

3h

0

3h

0

2 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=∫

d’où ( )( )3

bhSI3

x,O =

x

y

h

b

G

O

b

x

y

h G x’

y’

x

y dS

O

Page 68 / 106

Page 55: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Caractéristiques géométriques des sections TS

3°/ Moment quadratique d’un rectangle par rapport aux axes de symétrie.

On applique le théorème d’Huygens : ( ) ( ) 2d.SSISI

G+= ΔΔ

⇒ ( ) ( ) 2

G)'x,G()x,O( y.SSISI +=

⇔ ( ) ( ) 2G)x,O()'x,G( y.SSISI −=

⇔ ( )23

)'x,G( 2h).bh(

3bhSI ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⇔ ( )12bhSI

3

)'x,G( =

Page 69 / 106

Page 56: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Caractéristiques géométriques des sections TS

FORMULAIRE : CENTRE DE GRAVITE

Page 70 / 106

Page 57: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Caractéristiques géométriques des sections TS

FORMULAIRE : MOMENT QUADRATIQUE

Page 71 / 106

Page 58: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Traction - Compression TS

Chapitre 6 - Traction - compression Etude de l’effort normal

SOMMAIRE

I - Sollicitation étudiée : l’effort normal ................................................................................ 73

II - Loi de comportement des matériaux. ............................................................................... 73 1°/ Essai de traction sur une éprouvette en acier doux................................................................ 73 2°/ Analyse de la courbe contrainte - déformation - Loi de Hooke............................................. 74 3°/ Contraction ou dilatation latérale - Coefficient de Poisson ν. ............................................... 75 4°/ Généralisation............................................................................................................................ 76

III - Contrainte due à l’effort normal..................................................................................... 76 1°/ Notion de contrainte.................................................................................................................. 76 2°/ Contrainte due à l’effort normal.............................................................................................. 77

IV - Déformations dues à l’effort normal............................................................................... 78

V - Calcul de la variation de longueur d’une poutre droite soumise à un effort normal..... 79

VI - Dimensionnement des éléments soumis à un effort normal. ......................................... 79 1°/ Condition de résistance. ............................................................................................................ 79 2°/ Condition de déformation......................................................................................................... 79

VII - Quelques ordres de grandeurs ....................................................................................... 79

Page 72 / 106

Page 59: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Traction - Compression TS

I - SOLLICITATION ETUDIEE : L’EFFORT NORMAL

On considérera qu’une poutre est sollicitée en traction simple ou en compression simple lorsque les éléments de réduction du torseur des efforts internes de cohésion se ramènent à un seul effort normal N :

0)x(M

0)x(M0)x(T

0)x(V

0)x(V0)x(N

Zf

yf

Z

y

=

==

=

=≠

x

y

z )x(NGS(x)

N(x) > 0 : traction simple, N(x) < 0 : compression simple

Torseur des efforts internes de cohésion : ( ){ }⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧=τ

000

00

)x(N12

G

II - LOI DE COMPORTEMENT DES MATERIAUX.

1°/ Essai de traction sur une éprouvette en acier doux.

Considérons une barre d’acier doux de longueur initiale L0 et dont la section initiale S0 est constante sur la longueur L0.

Soumettons cette barre à une sollicitation de traction en lui appliquant à chaque extrémité un effort F :

- F

F

L0

S0

x

- F

F

L0

x

ΔL

Essai de traction sur

une éprouvette d’acier doux.

Page 73 / 106

Représentation simplifiée d’une machine d’essai de traction

Page 60: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Traction - Compression TS

On peut enregistrer à l’aide de comparateurs l’allongement ΔL de l’éprouvette en fonction de l’intensité de l’effort F. ΔL est appelé l’allongement absolu.

Pour pouvoir comparer les caractéristiques mécaniques des matériaux, celles-ci doivent être établies indépendamment des sections S0 et longueurs L0 des éprouvettes.

Ainsi, on reporte sur un graphique :

- en abscisse : l’allongement relatif 0

x LLΔ

=ε (ε = lettre grecque « epsilon »),

ε est sans unité puisque c’est le rapport de deux longueurs,

- en ordonnée : la contrainte 0S

F=σ (σ = lettre grecque « sigma »).

σ est l’effort par unité de surface en N/mm², ou MPa.

On obtient alors la « courbe contrainte - déformation » du matériau de l’essai qui a l’allure suivante :

A B

C

0x L

LΔ=ε

0SF=σ

σr

0e

e SF=σ

D

Striction Rupture

O

Courbe contrainte - déformation de l’acier doux

α

tan-1α = E

2°/ Analyse de la courbe contrainte - déformation - Loi de Hooke.

- Partie OA : la courbe est sensiblement rectiligne, ce qui signifie que la déformation est proportionnelle à l’effort exercé (ou que l’allongement relatif est proportionnel à la contrainte). (OA = droite de pente E)

Dans cette zone, si on décharge l’éprouvette, elle revient à sa longueur initiale, comme un ressort. On dit que le matériau a, dans cette phase, un comportement élastique linéaire.

Ceci se traduit par la loi de Hooke : LLE

SF Δ

×= ou ε×=σ E

E est le module d’Young, ou module d’élasticité longitudinal (Ex), du matériau et caractérise la rigidité du matériau. E s’exprime en MPa

Le point A marque la fin de la zone élastique de la courbe. La contrainte SFe

e =σ

correspondante est appelée la limite d’élasticité.

Page 74 / 106

Page 61: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Traction - Compression TS

- Partie AD : au-delà du point A, on rentre dans le domaine des grandes déformations, le domaine plastique, où les allongements ne sont plus proportionnels aux efforts. A ce stade, si on décharge l’éprouvette, celle-ci ne retrouve pas sa longueur initiale, on constate un allongement résiduel, c'est-à-dire une déformation permanente. - Entre A et B : l’éprouvette s’allonge alors que l’intensité de la charge ne varie pratiquement pas, cette partie de la courbe est appelée « palier plastique ». -Au-delà de B : on observe un allongement important pour une faible augmentation de la contrainte. La courbe se relève jusqu’à un maximum C qui correspond à la limite de rupture σr. A ce stade, on observe une diminution de la section de la barre dans la zone où va se produire la rupture, c’est le phénomène de striction. Puis la rupture intervient (point D).

3°/ Contraction ou dilatation latérale - Coefficient de Poisson ν.

Lors d’un essai de traction ou de compression sur une poutre, celle-ci subit une déformation longitudinale εx , respectivement un allongement ou un raccourcissement, mais aussi une déformation latérale perpendiculairement à la direction de l’effort, respectivement une contraction ou une dilatation.

⊥ε

F

2dΔ

- F

L0

x Δ

L

Poutre avant déformation d0

d

2dΔ 2

- F

F

L0

x

ΔL

Poutre avant déformation

d0

d

2dΔ

Cas de la traction Allongement longitudinal ; ΔL > 0 Contraction latérale ; Δd < 0

Cas de la compression Rétrécissement longitudinal ; ΔL < 0Dilatation latérale ; Δd > 0

Déformations longitudinale 0

x LLΔ

=ε et transversale 0ddΔ

=ε⊥ .

Le coefficient ν est le rapport de ces deux déformations : xε

ε−=ν ⊥

ν est compris entre 0,1 et 0,5 (0,3 pour les métaux et 0,15 pour les bétons).

Page 75 / 106

Page 62: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Traction - Compression TS

4°/ Généralisation.

Pour définir les caractéristiques mécaniques des matériaux, on réalise des essais sur des éprouvettes :

- traction directe sur les métaux, - traction par flexion, par fendage ou directe pour les mortiers et les bétons, -compressions sur les bétons, - traction, compression, flexion sur les bois.

Tous ces essais font apparaître deux phases :

- une phase de déformation élastique linéaire pour laquelle s’applique la loi de Hooke et où les déformations sont réversibles, - une phase de déformation plastique où les déformations sont partiellement permanentes.

En résistance des matériaux, on fera l’hypothèse que l’on reste dans la phase élastique

du matériau.

Ces essais permettent de déterminer les caractéristiques suivantes : - limite d’élasticité : σe , - contrainte de rupture : σr , - module d’Young : E , - coefficient de Poisson : ν.

III - CONTRAINTE DUE A L’EFFORT NORMAL.

1°/ Notion de contrainte.

Dans une section droite de poutre, les sollicitations sont les éléments de réduction des forces internes de cohésion au centre de gravité de la section. Elles permettent de savoir quelle est la section la plus sollicitée mais ne donnent aucune indication sur ce qu’il se passe en chaque point de la section. Pour cela, il faut introduire la notion de contraintes.

d

d

d

Page 76 / 106

Page 63: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Traction - Compression TS

Etudions une poutre dans laquelle nous effectuons une coupure imaginaire de section S et d’orientation quelconque :

Isolons le tronçon 1 et divisons la section S en surfaces élémentaires dS infiniment petites. Ces surfaces, également appelées « facettes », sont orientées par deux vecteurs unitaires :

- n : vecteur unitaire normal à la facette et dirigé vers l’extérieur de la coupure,

- t : vecteur unitaire tangent à la facette et tel que ( )2

t,n π+= .

Sur chaque surface dS s’exerce des forces de cohésion 12idf dues à l’action de 2 / 1.

Le vecteur contrainte ( )n,MΦ en un point M, sur la facette dirigée par le vecteur n , est

défini de la façon suivante : ( )dS

dflimn,M 12i

0dS→=Φ .

Le vecteur contrainte est donc le rapport d’une force à une surface : l’intensité d’une contrainte est homogène à une pression et s’exprime en Pa.

1 Pa = 1 N/mm² ; 1 MPa = 106 Pa = 1 N/ mm² = 1 MN/m² ; 1 bar ≈ 105 Pa = 0,1 MPa = 1 daN/cm²

Si on projette ( )n,MΦ sur les directions n et t on obtient respectivement la contrainte normale σ et la contrainte tangentielle τ (τ = lettre grecque « tau »).

Autour du point M, selon l’orientation θ de la coupure, il existe une infinité de facettes et le vecteur contrainte varie d’une facette à l’autre : il n’existe pas qu’une contrainte en un point mais une infinité, on parle d’état de contrainte.

2°/ Contrainte due à l’effort normal.

Sur une section droite S (facettes perpendiculaires à la fibre moyenne), suffisamment éloigné des points d’application des charges extérieures, on peut considérer que l’action de l’effort normal est une répartition uniforme de contraintes normales :

0etSN

=τ=σ

x

y

z )x(NG

σ(x)

Le signe de N est défini par rapport à l’orientation de l’axe (G, x) : - si N > 0 : effort normal de traction, σ > 0, - si N < 0 : effort normal de compression, σ < 0,

Page 77 / 106

Page 64: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Traction - Compression TS

Remarque : On peut expliquer ici l’hypothèse de

Saint Venant vue dans le chapitre sur la théorie des poutres : « dans une section, loin des points d’application des charges concentrées, les contraintes ne dépendent que des éléments de réduction des forces situées à droites (ou à gauche) de la section. »

⇒ Près des points d’application des forces extérieures, la distribution des contraintes est perturbée par la proximité du chargement (cas a).

⇒ Loin des points d’application des forces extérieures, σ ne dépend que de la valeur de l’effort normal N(x), qui peut pourtant être dû à des chargements différents (cas b).

(a) (b)

IV - DEFORMATIONS DUES A L’EFFORT NORMAL y

Isolons un tronçon élémentaire de poutre de longueur dx. Ce tronçon est compris entre les sections Si et Si+1. Sous l’effet de l’effort normal, chaque fibre du tronçon subit une déformation Δdx.

Chaque fibre de poutre étant considérée indépendamment l’une de l’autre, on leur applique

la loi de Hooke : xE ε⋅=σ ou dxdxE

S)x(N Δ

⋅=

Tous les tronçons de fibres de longueurs dx subissent une déformation : dxSE

)x(Ndx =Δ

Ce qui signifie que la section se déplace parallèlement à sa position d’origine. Cela est

conforme à l’hypothèse de Bernoulli selon laquelle les sections droites restent droites après déformation.

− Δdx correspond à un allongement si N(x) > 0 (Traction), − Δdx correspond à un raccourcissement si N(x) < 0 (Compression),

x

Fibre

)x(N

Si

Δdx

)x(N

dx

Si+1 S’i+1

Page 78 / 106

Page 65: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Traction - Compression TS

V - CALCUL DE LA VARIATION DE LONGUEUR D’UNE POUTRE DROITE SOUMISE A UN EFFORT NORMAL (DEPLACEMENTS).

L’allongement (ou raccourcissement) total de la poutre est égal à la somme des

allongements de tous les tronçons élémentaires qui la constituent :

Pour une poutre de longueur L : ∫=ΔL

0dx

SE)x(NL

Si N et S sont constants, on a : SENLL =Δ

VI - DIMENSIONNEMENT DES ELEMENTS SOUMIS A UN EFFORT NORMAL.

1°/ Condition de résistance.

Dans les conditions normales d’utilisation, on doit vérifier que la contrainte maximale σmax dans la section la plus sollicitée de la poutre reste inférieure à une valeur σ (contrainte admissible) fixée expérimentalement ou réglementairement.

Souvent, σ est calculée à partir de la limite d’élasticité σe :

γ

σ=σ≤=σ emax

max SN

avec γ (γ = lettre grecque « gamma ») un coefficient de sécurité. Attention : pour les poutres élancées soumises à de la compression, la vérification de la condition de résistance ne suffit pas, il faut se mettre à l’abri d’une ruine par flambement, phénomène d’instabilité de forme qui peut intervenir pour des efforts inférieurs à ceux que peut supporter le matériau (voir chapitre sur le flambement).

2°/ Condition de déformation

En fonction du type d’élément, l’allongement ou le raccourcissement ne doit pas dépasser une limite admissible, qui, si elle était dépassée, compromettrait l’utilisation de l’ouvrage : valeur fixée ≤ΔL VII - QUELQUES ORDRES DE GRANDEURS

Il est bon de connaître quelques ordres de grandeur en ce qui concerne les caractéristiques mécaniques des matériaux les plus employés en Génie Civil : Béton : - Résistance à la compression : fcj = 20 à 40 MPa (60 à 120 pour les BHP) - Résistance à la traction : ftj ≈ 1/10ème de fcj (ftj = 0,6 + 0,06.fcj en MPa) - Module d’Young : E ≈ 35000 MPa (Eij ≈ 11000.(fcj)1/3) Acier HA pour béton : - Limite élastique : fe = 500 MPa - Résistance à la rupture : σr = 550 MPa - Module d’Young : Es = 200000 MPa

Page 79 / 106

Page 66: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Flexion TS

Chapitre 7 - Flexion pure Etude du moment fléchissant

SOMMAIRE

I - Sollicitation étudiée : moment fléchissant......................................................................... 81

II - Les effets du moment fléchissant : étude expérimentale................................................. 82

III - Contraintes normales de flexion..................................................................................... 82 1°/ Principe d’équivalence .............................................................................................................. 82 2°/ Calcul des contraintes normales de flexion............................................................................. 83 3°/ Condition de résistance aux contraintes normales. ................................................................ 84

IV - Etude des déformations dues au moment fléchissant..................................................... 85 1°/ Etude des déformations. ........................................................................................................... 85 2°/ Etude de la déformée................................................................................................................. 85 3°/ Exemple de calcul de la déformée par la méthode de la double intégration. ....................... 86

Page 80 / 106

Page 67: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Flexion TS

I - SOLLICITATION ETUDIEE : MOMENT FLECHISSANT

On considérera qu’une poutre (on se limite à l’étude des poutres droites) est soumise à de la flexion pure lorsque les éléments de réduction des efforts internes de cohésion se ramènent à un seul moment fléchissant (autour de l’axe Gz par exemple) Mz :

0)x(M

0)x(M0)x(T

0)x(V

0)x(V0)x(N

Z

y

Z

y

==

=

==

)x(Mz x

y

z GS(x)

Torseur des efforts internes de cohésion : ( ){ }( )⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧=τ

xM00

000

12

zG

Essai de flexion réalisé en laboratoire :

Entre C et D, on peut étudier les effets du moment fléchissant seul.

x

y

A

1 m 1 m 1 m

P P= 1000daN

BC D

x

y

Flexion simple

P P= 1000daN

BC D

A

x

Vy [daN]

1000+

-- 1000

x

Mz [daN.m]

1000+

Flexion pure

Flexion simple

Vy ≠ 0 Mz ≠ 0

Vy = 0 Mz = cte

Vy ≠ 0 Mz ≠ 0

Page 81 / 106

Page 68: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Flexion TS

II - LES EFFETS DU MOMENT FLECHISSANT : ETUDE EXPERIMENTALE

Reprenons l’exemple de la poutre de laboratoire précédente et précisons que :

- la ligne moyenne de la poutre est rectiligne, - la section droite de la poutre est constante, - la poutre admet un plan de symétrie longitudinal, - toutes les forces appliquées à la poutre sont perpendiculaires à la ligne moyenne et contenues dans le plan de symétrie longitudinal, - les hypothèses de la théorie des poutres s’appliquent, notamment : on reste dans le domaine des petites déformations et la loi de Hooke s’applique.

L’expérience montre qu’entre les points C et D, les fibres de la poutre soumise au

chargement décrit précédemment, se déforment selon des arcs de cercles parallèles (on parle de flexion circulaire) :

⇒ la ligne moyenne GG’ et le plan Gxz correspondant ne subissent aucune déformation : on parlera donc de fibre neutre et de plan neutre. ⇒ les fibres situées au dessus du plan neutre raccourcissent : elles sont comprimées ⇒ les fibres situées en dessous du plan neutre s’allongent : elles sont tendues

III - CONTRAINTES NORMALES DE FLEXION

1°/ Principe d’équivalence

Considérons une section droite S de poutre soumise à de la flexion composée (N≠0, Vy≠0, Mz≠0) :

Sur une facette infiniment petite dS de cette section s’exerce une force de cohésion df , ce qui correspond à une contrainte :

dSdf

=Φ .

Cette contrainte est la somme : - d’une composante perpendiculaire à la facette σx (contrainte normale), - d’une composante tangentielle τ (contrainte de cisaillement).

τ

)x(Mz

dsdf

x

dS xσ

)x(Vy

S(x)

y

zG

)x(N

Page 82 / 106

Page 69: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Flexion TS

L’action des forces de cohésion sur la section se réduit en G au torseur :

( ){ }( )( )

( )⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

=τxM

00

0

xVxN

12

z

y

G

Le principe d’équivalence exprime juste le fait que les sollicitations sont les éléments de réduction des forces élémentaires df qui s’exercent sur chacune des facettes dS : ( ) ∫∫ ⋅σ=

S x dSxN ( ) ∫∫ ⋅τ=Sy dSxV ( ) ∫∫ ⋅σ⋅−=

S xz dSyxM

2°/ Calcul des contraintes normales de flexion

Le système des forces extérieures se réduit à Mz qui est porté par Gz, axe principal de la section S. Nous verrons plus tard pourquoi cette précision est importante.

y

Considérons une surface élémentaire dS de la section S,

dS est centrée sur le point P de coordonnées (y ; z) :

- le principe d’équivalence donne : (1) , avec ici N(x) = 0 ( ) ∫∫ ⋅σ=

S x dSxN

(2) ( ) ∫∫ ⋅σ⋅−=S xz dSyxM

- d’après le principe de Navier - Bernoulli, les sections droites, planes avant leur déformation, restent planes après leur déformation. Donc la déformation des fibres est proportionnelle à y :

ykkLL

21x +=ε=Δ (équation d’une droite)

- de plus la loi de Hooke donne : xx E ε⋅=σ d’où yKK)ykk(E 2121x +=+=σ

- l’expression (1) donne alors : ∫∫∫∫∫∫ =+=+=⋅σ

S2S 121S x 0ydSKSKdS)yKK(dS

⇒ on remarque que est le moment statique de la section par rapport à Gz, donc

que ce terme est nul (voir chapitre « caractéristiques géométrique d’une section »). ∫∫SydS

Il reste alors : K1A = 0 ⇒ K1 = 0 - l’expression (2) donne : ( ) ∫∫∫∫ −=⋅σ⋅−=

S

22S xz dSyKdSyxM

⇒ on remarque que , moment quadratique de S par rapport à l’axe Gz. GzS

2 IdSy =∫∫

)x(Mz x

z G

S(x)

dS P

x

y

y

L ΔL

G

Raccourcissements relatifs

Allongements relatifs

Position après déformation

Position avant déformation

(S) (S’)

Analyse des déformations longitudinales consécutives à la flexion.

Page 83 / 106

Page 70: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Flexion TS

D’où : Gz

z2 I

MK −= , et il reste : yK2x =σ

Donc, finalement : yIM

Gz

zx −=σ

⇒ σx est proportionnel à l’ordonnée y du point considéré, ⇒ σx = 0 pour y = 0 : (G, x, z) est le plan neutre et (G, z) est l’axe neutre.

σ

x

y

G

(S)

x

y

z G

Représentation de la répartition des contraintes normales

σ dans une section droite S d’une poutre fléchie.

⇒ si le moment Mz est positif : - σx > 0 si y < 0 (traction dans les fibres situées sous l’axe neutre), - σx < 0 si y > 0 (compression dans les fibres situées au-dessus l’axe neutre), et réciproquement si Mz est négatif.

y

σx < 0 : Compression

σx > 0 : Traction

Moment fléchissant positif

σx

y

σx < 0 : Compression

σx > 0 : Traction

Moment fléchissant négatif

σx

3°/ Condition de résistance aux contraintes normales.

Dans les conditions normales d’utilisation, on doit vérifier que la contrainte maximale σmax reste inférieure à une valeur limite σ fixée expérimentalement ou réglementairement. Souvent σ est calculée à partir de la limite d’élasticité σe :

γ

σ=σ≤

⋅−=σ e

Gz

zmax I

vM

avec γ : coefficient de sécurité

v : ordonnée de la fibre la plus éloignée de l’axe neutre ; 2hv ±=

Page 84 / 106

Page 71: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Flexion TS

La relation précédente peut se mettre également sous la forme : γ

σ=σ≤−=σ e

Gz

zmax

vIM

Le rapport vIGz est appelé module de flexion élastique, sa valeur est donnée dans les

catalogues de profilés métalliques commerciaux. Dimensionnement pratique d’une section :

L’inéquation précédente peut se mettre sous la forme : σ

−≥ zGz Mv

I

Lorsque Mz et σ sont définis, il reste deux groupes d’inconnues :

- la forme et les proportions de la section, - ses dimensions.

En général, on choisit la forme et les proportions de la section et l’inéquation permet de déterminer une dimension.

Exemples : - section carrée : I/v = a3/6 ⇒ 1 inconnue a, - section circulaire : I/v = π.D3/32 ≈ 0,1 D3 ⇒ 1 inconnue D, - section rectangulaire : I/v = b.h²/6 ⇒ 2 inconnues, b et h, il faut choisir un rapport entre b et h.

IV - ETUDE DES DEFORMATIONS DUES AU MOMENT FLECHISSANT

1°/ Etude des déformations.

Etudions un tronçon élémentaire de poutre de longueur dx : la section S’ tourne par rapport à S d’un angle dθ. La loi de Hooke nous permet de calculer l’allongement (ou le raccourcissement) d’une fibre :

Δdx

x G G’

S S’ dx

y

ρ

O

dxdx

=ε et xx E ε⋅=σ

⇒ dxIE

yMdxdxE

dxEdx

dx

Gz

zxx

⋅⋅

−=Δ⇔σ

=Δ⇔σ

L’angle de rotation en radians vaut :

dθ ≈ tan dθ = dxI

M

Gz

z

Eydx

⋅=

−Δ (1)

2°/ Etude de la déformée.

Sous l’application de charges, la ligne moyenne d’une poutre se déforme. On se propose de déterminer l’équation y(x) de cette déformée en fonction de x.

Page 85 / 106

Page 72: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Flexion TS

Soient deux sections

distantes de dx, et soit ρ, le rayon de courbure entre ces deux sections :

En géométrie analytique, ( ))x(''y)x'²(y1

ddx 2

3+

Comme le terme y’²(x) est négligeable devant 1, on peut écrire : )x(''y

1=ρ

On peut donc écrire : dxd1)x(''y θ

= (2)

Or, d’après (1) : ⇒⋅

=θ dxIE

Md

Gz

z

Gz

z

IEM

dxd

⋅=

θ

Donc, (1) + (2) ⇒ Gz

z

IEM''y⋅

= sous une autre forme : zGzGz MdxdEI''yEI =

θ=

Cette expression qui donne la dérivée seconde de la déformée en fonction du moment

fléchissant est appelée loi moment-courbure ou formule de la double intégration. En effet, cette équation permet de déterminer l’équation de la déformée y(x) en intégrant

deux fois l’équation du moment Mz(x) (et en utilisant les conditions aux limites).

3°/ Exemple de calcul de la déformée par la méthode de la double intégration.

x

y

A

l

q

B Poutre sur deux appuis chargée uniformément :

x

Mz

+

l

Equation du moment : M(x) = 2xq

2²qx l

+−

2xq²x

2q)x(''EIy l+−=⇒

1

3

k4²xq

6xq)x(EI)x('EIy ++−=θ=⇔ l

21

34

kxk12xq

24xq)x(EIy +++−=⇔ l

Page 86 / 106

Page 73: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Flexion TS

Calcul des constantes d’intégration :

- en A, x = 0 et y = 0 ⇒ k2 = 0

- en B, x = l et y = 0 ⇒ lll1

44

k12

q24

q0 ++−= ⇒ 24

qk3

1l

−=

L’équation de la déformée est donc : x24

q12xq

24xq)x(EIy

334 ll −+−=

Cette équation du 4ème degré ne nous intéresse qu’entre 0 et l. y est maximum pour y’ = 0, c'est-à-dire pour x = l / 2.

x

y

A

θA

B

θBymax

Allure de la déformée :

Remarque : l’allure de la déformée ≈ - l’allure du moment. Valeurs intéressantes :

Flèche maximale :

224q

812q

1624q

2lxEIy

444

×−

×+

×−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ =

lll EI384

q5y4

maxl

−=⇒

Rotations aux appuis :

24q

4²xq

6xq)x(EI)x('EIy

33 ll −+−=θ=

Rotation au point A, θA pour x = 0 :

24

q)0x(EI3l

−==θ ⇒ EI24

q 3

Al

−=θ

Rotation au point B, θB pour x = l : B

24

q4

q6

q)x(EI333 llll −+−==θ ⇒

EI24q 3

Bl

+=θ

Nous verrons aussi, en traitant d’autres exemples, que la méthode de la double intégration peut nous permettre de résoudre des structures hyperstatiques simples.

Page 87 / 106

Page 74: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Cisaillement TS

Chapitre 8 - Cisaillement simple - Cisaillement de flexion Etude de l’effort tranchant

SOMMAIRE

I - Etude du cisaillement simple.............................................................................................. 89 1°/ Sollicitation étudiée : l’effort tranchant. ................................................................................. 89 2°/ Essai de cisaillement - Loi de comportement du matériau. ................................................... 89 3°/ Contrainte de cisaillement simple. ........................................................................................... 90

3.1 - Définition ............................................................................................................................................ 90 3.2 - Répartition de la contrainte de cisaillement simple............................................................................. 91

II - Etude du cisaillement de flexion. ..................................................................................... 91 1°/ Sollicitation étudiée : effort tranchant concomitant à un moment fléchissant. ................... 91 2°/ Loi de réciprocité des contraintes de cisaillement .................................................................. 91 3°/ Expression et répartition des contraintes de cisaillement de flexion. ................................... 92

3.1 - Calcul de la contrainte tangentielle τ................................................................................................... 92 3.2 - Calcul de la valeur maximum de la contrainte tangentielle τmax pour une section rectangulaire......... 94 3.3 - Section réduite..................................................................................................................................... 94

III - Condition de résistance ................................................................................................... 95

Page 88 / 106

Page 75: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Cisaillement TS

I - ETUDE DU CISAILLEMENT SIMPLE.

1°/ Sollicitation étudiée : l’effort tranchant.

On considérera qu’une section droite de poutre est soumise à un effort tranchant lorsque les éléments de réduction des efforts internes de cohésion se ramènent à la seule sollicitation V.

0)x(M

0)x(M0)x(T

0)x(Vou/et

0)x(V0)x(N

Zf

yf

Z

y

=

==

≠=

)x(Vz x

y

z

)x(Vy

GS(x)

Torseur des efforts internes de cohésion : ( ){ }⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

=τ000

)x(V

)x(V0

12

Z

y

G

Exemples d’éléments soumis à un effort tranchant : ⇒Fil de fer que l’on tente ⇒Poutre appuyée sur un corbeau de sectionner

Section cisaillée

S

F

- F

Section cisaillée

S

F

- F

2°/ Essai de cisaillement - Loi de comportement du matériau.

Sans entrer dans les détails, les notions acquises pour l’effort normal peuvent être transposées à l’effort tranchant. En effet, lors d’un essai de cisaillement on observe :

- un déplacement relatif :

eJ

S

F

- F e e

S

F

- F

J

τ

Page 89 / 106

R A

Page 76: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Cisaillement TS

- une zone de déformation élastique OA (droite de pente G), - une zone de déformation plastique AR. - La contrainte de cisaillement est représentée par τ, telle que, dans la zone de déformation élastique :

eJG ⋅=τ

(loi de Hooke pour le cisaillement).

G est appelé module d’élasticité transversal, en MPa.

( )ν+=12EG avec E : module d’élasticité longitudinal

et ν : coefficient de Poisson Attention : contrairement au cas de la compression ou de la traction simple (où la contrainte normale σ est uniformément répartie dans la section droite), la contrainte de cisaillement τ n’est pas à priori uniformément répartie dans la section.

3°/ Contrainte de cisaillement simple.

3.1 - Définition Soit une section droite par laquelle nous isolons la partie gauche d’une poutre. Supposons que la seule sollicitation à laquelle soit soumise cette section droite est un effort tranchant Vy.

1df

y

GdS 2df

dS

3df

dS

z

x

y

z

)x(Vy

GS(x)

Chaque surface élémentaire dS subit une force d’intensité df due à l’action du tronçon de droite sur le tronçon de gauche.

Les forces idf sont tangentes à S étant donné que la section n’est soumise qu’à un effort de cisaillement (il n’y a pas de force normale à S, donc pas de contrainte normale σ).

Chaque force qui s’applique sur une surface dS permet de définir une contrainte tangentielle

ou contrainte de cisaillement : dSdfi=τ en MPa.

3.2 - Répartition de la contrainte de cisaillement simple.

Page 90 / 106

Page 77: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Cisaillement TS

En cisaillement simple, on peut considérer que la répartition des contraintes de cisaillement

est uniforme dans la section : SV

Attention : ce n’est pas le cas en cisaillement de flexion (effort tranchant concomitant à un moment fléchissant). C’est ce que nous allons voir dans la suite du chapitre. II - ETUDE DU CISAILLEMENT DE FLEXION.

1°/ Sollicitation étudiée : effort tranchant concomitant à un moment fléchissant.

Une section droite de poutre travaillant en flexion est soumise à un effort tranchant et un moment fléchissant :

)x(Mzx

y

z

)x(Vy

G S(x)

0)x(M

0)x(M0)x(T

0)x(V

0)x(V0)x(N

Zf

yf

Z

y

==

=

≠=

Torseur des efforts internes de cohésion : ( ){ }⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

=τ)x(M

00

0

)x(V0

12

Z

y

G

2°/ Loi de réciprocité des contraintes de cisaillement

Pour comprendre le comportement des matériaux soumis au cisaillement, il faut connaître

(admettre) la loi simple suivante (théorème de réciprocité de Cauchy) : Lorsqu’il existe en un point une contrainte de cisaillement τ dans un plan d’un élément, il existe la même contrainte τ dans le plan perpendiculaire.

y

yx τ=τ

)x(Mz x

y

z

)x(Vy

GS(x)

zG

τ

dS

x

τy

Page 91 / 106

Page 78: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Cisaillement TS

Sur un petit élément de poutre isolé, les vecteurs contrainte tangentielle longitudinale τx et contrainte tangentielle transversale τy doivent être disposés symétriquement par rapport à l’arête des facettes et il y a donc deux orientations possibles :

xτ xτ

yτ yτ

Cette propriété a un intérêt notamment quand la contrainte de cisaillement limite (admissible) du matériau n’est pas la même dans le sens longitudinal et dans le plan transversal. C’est le cas par exemple des poutres en bois lamellé-collé.

3°/ Expression et répartition des contraintes de cisaillement de flexion.

3.1 - Calcul de la contrainte tangentielle τ.

On détermine l’expression de la contrainte tangentielle longitudinale τx :

L

x x + dx

y x

y

z

h

b

FF F

Soit une poutre droite de longueur L, de largeur b et de hauteur h soumise à des actions extérieures.

On isole un petit élément

de poutre situé entre les abscisses x et x + dx (la face intérieure de cet élément se trouve à l’ordonnée y.) et on reporte sur cet élément isolé l’ensemble des contraintes dont la projection sur l’axe x est non nulle.

( )y,xxσ

( )y,xxτ

x dx

x

z

y

( )y,dxxx +σ

y

Page 92 / 106

Page 79: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Cisaillement TS

A l’équilibre, la somme des forces exercées sur cet élément est égale à zéro. En projection sur x, cela donne : ( ) ( ) ( ) 0dSy,dxxdSy,xdxby,x 2

h2

h

y xy xx =⋅+σ−⋅σ+⋅⋅τ ∫∫ (1)

On connaît l’expression des contraintes normales de flexion :

( ) yI

)x(My,xGz

zx ⋅−=σ

On remplace cette expression dans l’équation (1) :

⇒ ( ) ( ) ( ) 0dSyI

dxxMdSyI

xMdxby,x 2h

2h

yGz

zy

Gz

zx =⋅

++⋅⋅−⋅⋅τ ∫∫

⇔ ( ) ( ) ( ) dSyIb1

dxxMdxxMy,x 2

h

yGz

zzx ⋅⋅

⋅⋅

−+−=τ ∫

⇔ ( ) ( ) dSyIb1

dxxdMy,x 2

h

yGz

zx ⋅⋅

⋅⋅−=τ ∫

⇒ on reconnaît l’expression du moment statique par rapport à l’axe Gz de la surface située

au dessus de l’ordonnée y : ( ) dSyyW 2h

yGz ⋅= ∫

⇒ et on connaît la relation qui lie le moment fléchissant à l’effort tranchant :

( ) ( )dx

xdMxV z−=

⇒ finalement, on obtient pour la contrainte tangentielle longitudinale l’expression suivante :

( )( )

Gz

Gzy

I.byWV

y⋅

x

z

y

b

G

y

τx

Pour une section droite de largeur b variable : ⇒ on peut considérer que la contrainte de cisaillement est constante parallèlement à l’axe z (sur toute la largeur b pour y donné). Elle ne varie qu’en fonction de y.

( )( )

( )ybIyWV

yGz

Gzy

⋅=τ

Page 93 / 106

Page 80: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Cisaillement TS

3.2 - Calcul de la valeur maximum de la contrainte tangentielle τmax pour une section

rectangulaire

Pour une section rectangulaire, on peut exprimer la valeur de la contrainte en fonction de l’ordonnée y :

b

y

y

z h G

A

12bhI

3

Gz =

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅= y

2h

21y

2hbAWGz

d’où : ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅=τ 2

2

3y y

4h

bhV6

y

C’est l’équation d’une parabole. τ est maximum pour y = 0

τ = 0 pour y =2h

±

Répartition des contraintes τx dans une section rectangulaire : y

τxG τmax

3.3 - Section réduite.

On appelle section réduite Ar (ou Av) la valeur minimale du rapport : ( )( )AW

ybI

Gz

Gz ⋅

Cette valeur (que l’on retrouve dans les tableaux des profilés commerciaux) permet de calculer rapidement la contrainte de cisaillement maximale :

r

ymax A

V=τ

Page 94 / 106

Page 81: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Cisaillement TS

Contrainte de cisaillement maximale pour des sections courantes : Section rectangulaire : Section circulaire Section en I

3A2Ar = ;

AV

23 y

max =τ 4A3Ar = ;

AV

34 y

max =τ Ar ≈ Aâme ; âme

ymax A

V≈τ

III - CONDITION DE RESISTANCE

Comme pour la traction ou la compression, on définit une contrainte limite (admissible) de cisaillement τ qui ne doit être dépassée en aucun point de la structure.

Par contre le concepteur n’a, en général, pas à se soucier de la déformation due au cisaillement qui est très faible.

On retiendra donc pour le dimensionnement une seule inéquation : τ≤τmax Quelques ordres de grandeurs pour τ :

- Acier : 100 MPa - Bois résineux longitudinalement aux fibres : 1,2 MPa - Bois résineux perpendiculairement aux fibres : 1,5 MPa

Pour le béton, la résistance au cisaillement est très faible, ce qui explique que l’on ne fasse pas travailler ce matériau au cisaillement. Pour le béton armé, c’est l’ensemble béton+acier q

Page 95 / 106

Page 82: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Flexion composée TS

Page 96 / 106

Chapitre 9 - Flexion composée

SOMMAIRE

I - Sollicitation étudiée :.......................................................................................................... 97

II - Contraintes tangentielles :................................................................................................ 97

III - Contraintes normales ...................................................................................................... 97 1°/ Expression de la contrainte normale σx................................................................................... 97 2°/ Position du plan neutre ............................................................................................................. 98 3°/ Force excentrée équivalente ..................................................................................................... 98 4°/ Diagramme de représentation de σx : les différents cas rencontrés...................................... 98

IV - Cas particulier d’une section rectangulaire ................................................................. 100

V - Noyau central .................................................................................................................. 100

VI - Dimensionnement en flexion composée........................................................................ 101

Page 83: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Flexion composée TS

I - SOLLICITATION ETUDIEE :

On considérera qu’une poutre est soumise à de la flexion composée lorsque les éléments de réduction du torseur des efforts internes de cohésion se réduisent à :

Page 97 / 106

0)x(M

0)x(M0)x(T

0)x(V

0)x(V0)x(N

Z

y

Z

y

==

=

≠≠

)x(Mz x

y

z GS(x)

)x(N

)x(Vy

Torseur des efforts internes de cohésion : ( ){ }( )( )

( )⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

=τxM

00

0

xVxN

12

z

y

G

II - CONTRAINTES TANGENTIELLES : Elles sont dues uniquement à l’effort tranchant Vy et se calculent par la méthode vue au chapitre « Cisaillement ». Comme elles sont nulles sur les fibres extérieures où les contraintes normales sont maximum, elles ne jouent pas un rôle particulier dans la flexion composée. ⇒ On fait abstraction de V pour le calcul des contraintes normales. III - CONTRAINTES NORMALES

1°/ Expression de la contrainte normale σx

L’effort normal N crée des contraintes normales uniformes SN

xN =σ qui sont des

compressions ou des tractions selon le sens de N.

Le moment de flexion Mz crée des contraintes normales yIM

Gz

zxF ⋅−=σ qui sont des

compressions et des tractions en fonction de y.

zM

x

y

G N

x

y

G x

y

G

N + zM

+ =

σx

y

G

xNσ

+ =

xFσ

σx

y

G σx

y

G

Le plan neutre (σ = 0) passe par G

x)FN( +σ

Le plan neutre (σ = 0) ne passe pas par G

yIM

Gz

zxF ⋅−=σ

SN

xN =σ + = yIM

SN

Gz

zx)FN( ⋅−=σ +

Page 84: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Flexion composée TS

En appliquant le principe de superposition, on obtient en un point de cote y :

yIM

SN

Gz

zx ⋅−=σ

2°/ Position du plan neutre

Le plan neutre est défini par σx = 0 : 0yIM

SN

Gz

z =⋅−⇒

⇔z

Gz1 MS

INy⋅⋅

=

La position du plan neutre est fonction des charges appliquées.

3°/ Force excentrée équivalente

L’ensemble N+M peut être remplacé par une force équivalente N d’excentricité e et dont le

moment vaut Mz = - N.e

avec N

Me z−= G

N + zM

N

e G

La contrainte normale peut alors s’écrire : ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅−=⋅

⋅−=σ

GzGzx I

Sye1SNy

IeN

SN

on rappelle l’expression du rayon de giration : S

Ii Gzz =

la contrainte normale devient : ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−=σ 2

zx i

ye1SN

et le plan neutre : ( )NeSIN

MSINy Gz

z

Gz1 −⋅

⋅=

⋅⋅

= ⇒eS

Iy Gz

1 ⋅−=

4°/ Diagramme de représentation de σx : les différents cas rencontrés

- Si xNxF σ<σ :

la contrainte normale maximum de flexion, xFσ , est inférieure à la contrainte normale due à N, ,en valeur absolue, la section est entièrement comprimée ou entièrement tendue.

xNσ

Dans tous les cas, le plan neutre (σx = 0) est en dehors de la section

- Si xNxF σ=σ :

Page 98 / 106

Page 85: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Flexion composée TS

alors le plan neutre est situé à l’ordonnée 2hy1 ±=

- Si xNxF σ>σ :

la contrainte normale maximum de flexion, xFσ , est supérieure à la contrainte normale due à N, ,en valeur absolue, le plan neutre est situé dans la section qui est donc divisée en 2 zones, l’une comprimée et l’autre tendue.

xNσ

Ordonnée du plan neutre : e

iMSINy

2z

z

Gz1 −=

⋅⋅

=

DIAGRAMMES DE REPARTITION DES CONTRAINTES NORMALES

dues à N et Mz

dues à N dues à Mz Cas où xNxF σ<σ

Cas où xNxF σ=σ

Cas où xNxF σ>σ

Section entièrement comprimée

Page 99 / 106

2hy1 −=

Section entièrement comprimée

2hy1 +=

Section entièrement tendue

2hy1 +=

Section entièrement tendue

2hy1 −=

N < 0 M > 0

N < 0 M < 0

N > 0 M > 0

N > 0 M < 0

Page 86: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Flexion composée TS

IV - CAS PARTICULIER D’UNE SECTION RECTANGULAIRE

Plaçons nous dans le cas d’une section rectangulaire de hauteur h et de largeur b :

S = b.h et 12bhI

3

Gz =

Les relations que nous avons vues donnent :

⇒ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−=⋅

⋅−=σ y

he121

bhNy

bheN12

bhN

23x

et ⇒ ( ) e12h

Nebh12bhNy

23

1 −=−⋅⋅

⋅=

Calculons les contraintes extrêmes, c'est-à-dire pour 2hy ±= :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±=⎥

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±−=σ

he61

bhN

2h

bhe12

bh1N 3extrêmesx ⇔ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ±=σ e

h61

bhN

extrêmesx

Trois cas sont alors possibles :

σ1

σ2

- 6

he < : il n’y a pas de changement de signe

des contraintes. La répartition des contraintes est trapézoïdale. σ1 = 2N/S

σ2 = 0

- 6he = : la répartition des contraintes est

triangulaire.

y1

σ1

σ2

- 6he > : il y a changement de signe des

contraintes, une zone tendue et une zone

comprimée, e12

hy2

1 −=

V - NOYAU CENTRAL Règle du tiers central :

Dans le cas d’une construction fondée sur le sol, il ne peut y avoir de contrainte de traction dans la base (car le sol ne s’y oppose pas). De même, dans un ouvrage en maçonnerie, aucune section ne doit supporter de contrainte de traction. L’excentricité de la force extérieure doit donc rester ≤ h/6. D’où la règle suivante :

h/3 h/3 h/3

h/6

R « La résultante des forces extérieures doit

passer dans le tiers central des sections. »

Page 100 / 106 Noyau central :

Page 87: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Flexion composée TS

Cherchons, pour toute une section, la forme et les dimensions de la région où on peut appliquer un effort de compression sans créer de contrainte de traction :

- section rectangulaire :

b/3 b/3 b/3

h/3

h/3

h/3

e i

j

k

A B

CD

Dans le cas d’une section rectangulaire, le noyau central est un losange.

Lorsque la charge est en j, la ligne de contrainte nulle est AB ″ ″ ″ i, ″ ″ ″ ″ AD Lorsque la charge se déplace sur ij, la ligne de contrainte nulle passe par A

- section circulaire :

Page 101 / 106

Du fait de la symétrie, le noyau central est un cercle de rayon a. Lorsque N est sur son contour, c’est-à-dire pour e = a, la ligne de contrainte nulle est tangente au contour de la section ⇒ y1 = R

N a

R

eSI

y Gz1 ⋅

−=4RI

4

Gzπ

= avec et S = π R²

Re4

ReR4

Ry2

2

4

1 =−=ππ

−=⇒ et e = a d’où 4Ra =

VI - DIMENSIONNEMENT EN FLEXION COMPOSEE

Il est en général trop compliqué de tenir compte des deux sollicitations (N et Mz). On dimensionne une section en tenant compte de l’effet prépondérant et on vérifie les contraintes sous l’action des deux sollicitations.

Page 88: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Flambement TS

Page 102 / 106

Chapitre 10 - Le flambement

SOMMAIRE

I - Qu’est-ce que le flambement ?......................................................................................... 103

II - Mise en évidence du flambement ................................................................................... 103

III - Charge critique d’Euler Nc ........................................................................................... 103

IV - Influence des liaisons aux appuis ................................................................................. 105

V - Contrainte critique d’Euler............................................................................................. 106

VI - Dimensionnement et vérification des sections.............................................................. 106

Page 89: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Flambement TS

Page 103 / 106

I - QU’EST-CE QUE LE FLAMBEMENT ?

Le flambement est en fait une sollicitation composée de compression et de flexion, mais dont l’étude est différente de la flexion composée parce que les méthodes sont différentes et que le flambement est un phénomène rapidement destructif. En effet, dans le cas du flambement, les déformations ne peuvent plus être supposées infiniment petites et négligées comme dans les chapitres précédents. De même, les forces extérieures ne sont plus proportionnelles aux déformations et, dans certains cas, de grandes déformations peuvent être causées par des accroissements de charge infimes. Tous ces phénomènes sont connus sous le nom d’instabilité élastique. Le risque de flambement d’un élément étant lié aux dimensions de cet élément, on dit que le flambement est un phénomène d’instabilité de forme. II - MISE EN EVIDENCE DU FLAMBEMENT

l0

x

y

N

A

B

z

y G

Considérons une pièce élancée (telle que sa longueur soit très

supérieure à sa plus grande dimension transversale), de ligne moyenne rectiligne, de section droite constante, articulée à ses deux extrémités, et soumettons la à un effort normal de compression centré.

On observe successivement deux types de sollicitation : - pour un effort N inférieur à une limite Nc, la poutre est comprimée, elle reste rectiligne et se raccourcit. - Lorsque N atteint Nc, la poutre fléchit brusquement et se rompt très vite. On observe que la flexion se produit dans le plan perpendiculaire à la direction de plus faible moment quadratique de la section de la poutre. Pour le schéma ci-contre par exemple, la flexion se produit dans le plan (A, x, y), perpendiculaire à (G, z) (rotation de la poutre autour de l’axe z).

La valeur Nc (ou Fc) de l’effort de compression à partir de laquelle se produit le flambement s’appelle charge critique d’Euler.

III - CHARGE CRITIQUE D’EULER NC

Modélisons la poutre par sa ligne moyenne AB et supposons que sous l’influence des efforts en A et B, cette ligne moyenne prenne une très légère courbure (accentuée sur le schéma ci-contre)

Si x et y sont les coordonnées d’un point courant G de la fibre

moyenne, y est la déformée de cette fibre. Habituellement, en ce qui concerne l’équilibre statique, on

considère que les déformations sont petites et que la fibre moyenne n’a pas bougé après déformation. Dans ce qui suit, nous allons au contraire prendre en compte l’influence des déformations sur l’équilibre statique et considérer le moment secondaire qu’elles provoquent. Ce moment de flexion dans la section vaut :

l0

x

y

N

A

B

x

y

- N

M(x) = - N y

( ) yNxMz ⋅−=

Page 90: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Flambement TS

Page 104 / 106

Utilisons la formule vue au chapitre sur la flexion : ⇔( )xM''yEI zGz = ( ) 0xM''yEI zGz =− ⇔ 0yN''yEIGz =+

⇔ 0yEI

N''yGz

=+ équation différentielle du 2ème ordre.

La solution générale de cette équation est de la forme :

y = A cos ωx + B sin ωx avec ω²=GzEI

N (1)

Détermination des constantes avec les conditions aux limites : Pour x = 0, y(0) = 0 ; donc A = 0 Pour x = l0, y(l0) = 0 ; donc B sin ωx = 0 A étant nul, il est évident que B ≠ 0 (sinon pas de flambement), ⇒ sin ω l0 = 0 ⇔ ω l0 = n π avec n = 1, 2, 3, …

n = 1 1er mode de flambement ⇒ 0lπ

=ω (2)

Equation de la déformée ; ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π=

0lx

sinBxy

⇒⎭⎬⎫

)2()1(

Gz2

0

22

EIN

l=

π=ω

La résolution de cette équation permet de trouver N provoquant la déformée, c'est-à-dire la charge critique d’Euler Nc au-delà de laquelle le flambement se produit :

20

Gz2

c lEIN π

=

dans le cas de la poutre bi-articulée étudiée (lf = l0 - voir paragraphe suivant) et le moment quadratique le plus faible (ce n’est pas toujours le cas) GzI

Plusieurs cas sont possibles pour la poutre : - N < Nc : compression simple, la poutre reste droite, elle est dite en équilibre stable. - N = Nc : la poutre peut rester droite ou fléchir (flamber) avec une flèche égale à B, elle est dite en équilibre neutre. A noter que B = ymaxi est en général petit. - N > Nc : il y a instabilité en position droite (équilibre instable) avec une forte tendance au flambement. B augmentera très rapidement avec un léger accroissement de N.

Remarques :

Page 91: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Flambement TS

Page 105 / 106

- Le flambement se produit suivant un axe perpendiculaire à l’axe du moment quadratique le plus faible. Pour les deux sections représentées, Iy < Iz, le flambement se produit dans le plan (x, z). - Pour les cinq sections représentées, toutes de même aire, celle du triangle équilatéral (c) est celle qui résiste le mieux au flambement (21% plus résistante que la section circulaire). IV - INFLUENCE DES LIAISONS AUX APPUIS On peut généraliser les résultats établis pour la poutre bi-articulée pour des poutres dont les conditions d’appuis sont différentes. L’expression générale de la charge critique d’Euler est :

2f

youGz2

cl

EIN

π= avec lf : longueur de flambement

Longueur de flambement lf en fonction des liaisons aux appuis

A et B sont sur la même verticale Déplacement de B en tête de poteau

0f ll = 0f l

22l =

2ll 0

f = 0f l2l = 0f ll =

Il faut en pratique envisager lfy et lfz pour déterminer les conditions de flambement dans les deux directions. V - CONTRAINTE CRITIQUE D’EULER

A

B

d

A

B

d

A

B

A

B

0l

A

B

Page 92: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Flambement TS

Page 106 / 106

A la force critique d’Euler Nc correspond une contrainte critique, qui peut prendre le nom de contrainte critique limite ou admissible, donnant un élément de sécurité vis-à-vis du flambement.

Pour une poutre comprimée de section S, la contrainte critique σc est définie par la

relation : Sl

EI2

f

youGz2

c⋅

π=σ

on sait que S

Ii youGz

youz = le rayon de giration,

et on définit une nouvelle grandeur : youz

youfzyouz i

l=λ l’élancement (sans unité)

La contrainte critique s’exprime alors sous la forme : 2

2

cE

λπ

=σ (1)

Supposons que la poutre soit parfaitement rectiligne, que l’effort N soit centré et que le

matériau soit parfaitement homogène. Soit SN

=σ la contrainte dans la poutre :

- si (limite élastique) : il y aura ruine par flambement dès que σ atteindra la valeur σ

ec σ<σ

c. - si : la poutre périra par écrasement (ou compression simple sans flambement) dès que σ atteindra la valeur σ

ec σ>σ

e. Dans ce cas, il n’y a aucun risque de flambement. Le dimensionnement se fait en compression simple. Attention : ce raisonnement n’est plus valable en flexion composée (si la poutre a un défaut de rectitude ou si N n’est pas bien centré,…). Le flambement surviendra dans ce cas avant que σ n’atteigne σc.

La relation (1) fait apparaître la notion d’élancement critique (pour ec σ=σ ), à partir duquel

la poutre devra être calculée au flambement :

e

cEσ

π=λ

Notons que cette valeur de l’élancement critique ne dépend que des caractéristiques mécaniques du matériau. VI - DIMENSIONNEMENT ET VERIFICATION DES SECTIONS

Les conditions réelles de liaisons sont différentes des modèles théoriques et varient selon les matériaux ; c’est pourquoi les différents règlements de calcul (acier, bois, béton armé, béton précontraint) adaptent la théorie d’Euler à ses particularités pour chaque matériau. ⇒ Voir les cours correspondants (BA, …)

Page 93: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Méthodes énergétiques TS 2

MECANIQUE DES STRUCTURES

METHODES ENERGETIQUES

Page 1

Page 94: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Méthodes énergétiques TS 2

SOMMAIRE

I - THEORIE DU POTENTIEL INTERNE. ......................................................................... 3

1°/ INTRODUCTION: TRAVAIL D'UNE FORCE, NOTION DE POTENTIEL D'UNE STRUCTURE. ......... 3

a - Travail élémentaire d’une force.................................................................................... 3 b - Travail d'une force. ....................................................................................................... 3 c - Notion de potentiel d'une structure ............................................................................... 5

2°/ HYPOTHESES THERMODYNAMIQUES .................................................................................. 5 3°/ THEOREME FONDAMENTAL DE L'ENERGIE.......................................................................... 6

a - énoncé du théorème sous la forme utilisée en mécanique des structures..................... 6 b - Calcul de W , Wext déf. ..................................................................................................... 7 c - Exemples d'application : utilisation directe du théorème fondamental...................... 12 d - Limites de d'utilisation directe du théorème fondamental. ......................................... 12

4°/ THEOREMES ENERGETIQUES ............................................................................................ 13

a - Notations utilisées pour les démonstrations. .............................................................. 14 b - Expression du potentiel, en tant que fonction des variables efforts extérieurs .......... 14 c - Recherche du déplacement en un point d'une structure: théorème de Maxwell-Betti et théorème de CASTIGLIANO. ........................................................................................... 16 d - Cas où il n y a pas d'effort extérieur appliqué au point et dans le sens où l'on cherche le déplacement: théorème de la charge fictive................................................................. 19 e - Généralisation du théorème de Castigliano : théorème de la charge unité, ou théorème de MULLER-BRESLAU ................................................................................... 20

II - APPLICATION A LA RESOLUTION DE SYSTEMES HYPERSTATIQUES....... 22 1°/ INTRODUCTION. ............................................................................................................... 22 2°/ METHODES DES FORCES................................................................................................... 22

a - Cas d’une structure hyperstatique de degré 1. ........................................................... 22 b - Structures hyperstatiques de degré supérieur à 1....................................................... 24

3°/ THEOREME DE MENABREA. ............................................................................................. 25

Page 2

Page 95: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Méthodes énergétiques TS 2

I - THEORIE DU POTENTIEL INTERNE.

1°/ Introduction: Travail d'une force, notion de potentiel d'une structure. REMARQUE : l'étude faite ici concerne essentiellement, sauf mention particulière, des structures planes chargées dans leur plan.

Travail élémentaire d’une force.a -

FLe travail élémentaire dW d’une force dont le point d’application A se déplace de

entre A et A’ ( AA'dl = F dl) est égal au produit scalaire de par .

A’

F

A

θ

dl

F.dl.cosθdl.FdW ==

b - Travail d'une force. Il ne s'agit ici que de rappel de la notion de travail par l'intermédiaire de deux exemples: Exemple 1 : étude d'une poutre en flexion, soumise à l'effort P.

Lorsque P augmente, la flèche f de la poutre au droit du point d'application de P augmente proportionnellement à P si le matériau constituant la poutre est élastique linéaire.

On suppose en outre que P est appliqué progressivement, c'est-à-dire de manière réversible (du point de vue thermodynamique) - on reviendra sur cette hypothèse dans le paragraphe suivant.

Soit λ un paramètre compris entre 0 et 1 permettant de décrire l'évolution de l'effort appliqué, entre 0 et P.

Page 3

Page 96: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Méthodes énergétiques TS 2

L'évolution de P et, conjointement, celle de f est représentée par le tableau suivant:

P f 0 : état initial 0 0 0 ≤ λ ≤ 1

. . .

. . .

. . .

λ f état (λ) λ P (λ + dλ) f état (λ + dλ) (λ + dλ) P

. . .

. . .

. . .

f 1 : état final P où dλ représente une variation très faible du paramètre λ. Expression du travail élémentaire effectué pour passer de l'état (λ) à l'état (λ + dλ) :

dW = [(λ + dλ)f - λf]. (λ + dλ) P = λ . dλ . f. P + (dλ)² . f . P

on néglige le terme (dλ)² . f . P qui représente un infiniment petit d'ordre 2, par rapport au terme λ . dλ . f . P. Il reste alors: dW = λ . dλ . f. P W, travail total effectué entre l'instant initial (0) et l'instant final (l) représente donc l'intégration de dW entre 0 et l, d'où:

W = ∫∫ λλ=1

0

1

0d.P.dW f

Soit

21 W = f. P

puisque ni f ni P ne dépendent de λ. Exemple 2 : Etude d'une barre en traction, travail à fournir pour l'allonger de Δ.

Comme dans l'exemple précédent, le matériau constituant la tige est élastique linéaire, et

Page 4

Page 97: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Méthodes énergétiques TS 2

l'effort F est appliqué progressivement.

Un tableau analogue à celui de l'exemple précédent, traduisant l'évolution de F et de l'allongement associé Δ, par l'intermédiaire du paramètre d'évolution λ, 0 ≤ λ ≤ 1 s'écrit:

F Δ 0 : état initial 0 0 0 ≤ λ ≤ 1

. . .

. . .

. . .

état (λ) λ F λ Δ état (λ + dλ) (λ + dλ) F (λ + dλ) Δ

. . .

. . .

. . .

1 : état final F Δ D'où l'expression du travail élémentaire, par un raisonnement analogue à celui utilisé pour l'exemple précédent:

dW = λ . dλ . F . Δ Le travail global W qu'il est nécessaire de fournir au barreau pour l'allonger de Δ a alors pour expression:

W = ∫1

0dW

soit

21 W = F. Δ

c - Notion de potentiel d'une structure En mécanique des structures, on parle aussi d'énergie potentielle d'un système. C'est le travail effectué de manière réversible par des forces pour passer de l'état initial (d'indice (0)) à l'état final (d'indice (1)).

2°/ Hypothèses thermodynamiques REMARQUE : ces hypothèses sont applicables au chapitre sur les méthodes énergétiques dans son ensemble. Ces hypothèses sont les suivantes:

- le matériau constituant les structures étudiées a une loi de comportement élastique linéaire, - les transformations sont réversibles: elles se produisent suffisamment lentement pour que le système soit à chaque instant dans un état d'équilibre, - les effets thermiques ne seront pas pris en compte, - on négligera le poids propre des structures.

Page 5

Page 98: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Méthodes énergétiques TS 2

Justification du terme de potentiel: Avec l'hypothèse de réversibilité des transformations, on peut parler de potentiel pour

le travail (en fait de différence de potentiel), car ce travail ne dépendra que de l'état initial et de l'état final du système, indépendamment des états intermédiaires - la force dont dérive ce potentiel étant appelée une force conservative -.

Le potentiel est caractéristique des paramètres de l'état, et non de l'état lui-même.

REMARQUE : le potentiel est toujours défini à une constante additive près, la notion de différence de potentiel élimine l'imprécision introduite par la présence de cette constante.

3°/ Théorème fondamental de l'énergie.

a - énoncé du théorème sous la forme utilisée en mécanique des structures. Pour un solide isolé, en statique, la somme des travaux des efforts extérieurs et des travaux des efforts intérieurs au système est nulle, dans toute transformation réversible:

Wext +Wint =0 REMARQUE : autre formulation du théorème fondamental:

Les structures étudiées dans ce cours sont des structures déformables, l'énergie fournie par le travail des efforts extérieurs appliqués à la structure va servir à la déformer.

Le matériau constituant ces structures ayant un comportement élastique linéaire, l'énergie apportée par l'extérieur sert intégralement à déformer le corps, de manière réversible. On a donc:

Wext = Wdéf

avec: Wext : énergie apportée par le travail des efforts extérieurs,

W : énergie de déformation. déf

Ceci nous conduit à l'autre énoncé du théorème fondamental de l'énergie: La somme des travaux des efforts extérieurs appliqués au système est égale à l'énergie de déformation de ce système. Corollaire:

on a en effet: ⎩⎨⎧

==+

défext

intext

WW0WW

on en déduit l'égalité: Wint = - Wdéf qui s'énonce encore: La somme des travaux des efforts intérieurs au système est égale à l'opposé de l'énergie de déformation de ce système.

Page 6

Page 99: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Méthodes énergétiques TS 2

L'étape suivante va constituer maintenant en la détermination des différents termes Wext et W . déf

b - Calcul de Wext , Wdéf. ∗ Expression de Wext, travail des efforts extérieurs.

Reprenons les deux exemples traités au début du chapitre. L'effort extérieur est appliqué progressivement, il induit un déplacement de la structure, déplacement proportionnel à l'effort extérieur lorsque le comportement du matériau est élastique linéaire.

Les deux exemples précédents nous permettent d'écrire, sous réserve de vérifier les hypothèses thermodynamiques:

21Wext = F (dépl ) F

F : représente l'effort extérieur appliqué

(dépl ) : représente le déplacement dans le sens de cet effort F encore noté yF F REMARQUE : la notion de travail s'écrit mathématiquement sous la forme d'un produit scalaire. Seule aura donc un effet la composante du déplacement ayant même direction que l'effort, ici F.

21On a donc: Wext = F . yF

∗ Expression de Wdéf, énergie de déformation.

Calculons maintenant l'expression de l'énergie de déformation Wdéf. Elle représente le travail dû aux contraintes et aux déformations engendrées par ces contraintes. REMARQUE : il serait plus exact - mais plus difficile à comprendre - de dire que l'énergie de déformation représente le travail dû aux contraintes, dans le champ de déformations engendré par ces contraintes (élasticité linéaire).

Par analogie avec l'expression précédente (Wext), et avec une écriture purement formelle, l'énergie de déformation se met sous la forme:

Page 7

Page 100: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Méthodes énergétiques TS 2

21 σ . ε ) ( W = déf

avec une loi de comportement élastique linéaire.

Les parenthèses sont là pour montrer l'aspect formel de cette écriture.

Cette expression de l'énergie de déformation va donc faire intervenir les différents types de contraintes dus aux diverses sollicitations, et les déformations engendrées par ces contraintes. Il nous faudra donc prendre en compte les différentes sollicitations, en se limitant ici à l'étude des structures planes, chargées dans leur plan:

- traction, compression : σ , ε - flexion, . contraintes normales : σ , χ

. contraintes tangentielles : τ , γ - torsion : τ , γ

On calculera de cette manière chacun des termes de l'énergie de déformation de la structure, vis-à-vis des sollicitations élémentaires.

En outre les déformations, ainsi que les déplacements sont infiniment petits, on sait que dans ce cas il est possible d'appliquer le principe de superposition, ce qui nous permet d'écrire l'énergie de déformation comme la somme des énergies de déformation relatives aux sollicitations simples:

Torsiondéf

Fτdéf

Fσdéf

CT,déf

Totaldéf WWWWW +++=

Cette écriture est relative au cas de structures planes.

CT,défW : énergie de déformation relative à la traction (T), ou à la compression (C),

FσdéfW : énergie de déformation relative à la flexion (F) et aux contraintes normales (σ),

FτdéfW : énergie de déformation relative à la flexion (F) et aux contraintes tangentielles (γ),

TorsiondéfW : énergie de déformation relative à la torsion.

Page 8

Page 101: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Méthodes énergétiques TS 2

∗ Calcul des différents termes de l'énergie de déformation:

Effet de la traction, ou de la compression.

Il s'agit ici de sollicitation de traction simple, ou de compression simple. On suppose donc, que s'il y a compression simple, il n'y a pas apparition du phénomène de flambement. La démonstration étant alors identique pour l'une ou l'autre des sollicitations, on se place dans le cas de la traction simple.

Considérons le barreau en traction simple de la figure a ci-dessous. Les équations d'équilibre montrent que l'effort normal est constant, donc on adoptera la

représentation de la figure b.

b a

Isolons à l’intérieur un tronçon de longueur dx. Pour ce tronçon de longueur dx, N est

un effort extérieur, on peut alors écrire que l’énergie de déformation du tronçon est égale au travail des efforts extérieurs appliqués à ce tronçon (soit ici N).

×= N21dWdéf (allongement du tronçon dx). on a :

dAN21

×=

où l’on appelle dA l’allongement du tronçon de longueur dx. Si l’on se réfère au chapitre sur la traction simple, on avait trouvé :

ESdxN

dA = où N représente l’effort normal N(x)

Ce qui nous permet d’écrire :

dxES

(N(x))²21dWdéf =

d’où l’expression de l’énergie de déformation relative à la traction simple, ou à la compression simple :

Page 9

Page 102: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Méthodes énergétiques TS 2

∫= structure

CT,déf dx

2ES(N(x))²W

L’intégrale étant faite sur toute la longueur de la structure.

Effet de la flexion: Il faut ici distinguer l’effet des contraintes normales (traduction du travail en terme de moment fléchissant M (x)), de l'effet des contraintes tangentielles (traduction du travail en terme d'effort tranchant V (x)). Expression du travail en terme de moment fléchissant M (x)

L'énergie de déformation élémentaire, due aux contraintes normales est donnée par :

α= M(x).d21dWFσ

déf

Or on a vu, dans l'étude de la sollicitation de flexion que la courbure de la poutre, χ était donnée par:

dxdα

R1

EIMχ ===

En reportant la valeur de dα dans l'expression de , on obtient: FσdéfdW

dxEI

(M(x))²21dWFσ

déf =

D'où la valeur de l'énergie de déformation relative au terme de moment fléchissant:

∫=σ

structure

Fdéf dx

2EI(M(x))²W

où EI représente le module de rigidité en flexion de l'élément de structure étudié.

Il s'agit là encore d'une intégrale à calculer sur toute la longueur de la structure.

Page 10

Page 103: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Méthodes énergétiques TS 2

Expression du travail en terme d'effort tranchant V (x)

Par analogie avec l'étude conduite en terme de moment fléchissant, on détermine l'énergie de déformation relative au terme d'effort tranchant, pour laquelle interviennent:

- la contrainte de cisaillement τ, - la déformation associée γ.

On obtient pour cette énergie de déformation, sous sa forme intégrée :

∫=τ

structure

Fdéf dx

2GS'(V(x))²

W

Où S' représente la section réduite, à prendre en compte vis-à-vis du cisaillement,

G représente le module d'élasticité transversal, défini en fonction du module d'Young E et du coefficient de Poisson v du matériau, par la relation:

ν)2(1EG+

=

Expression du travail en terme de moment de torsion Mt

On admettra le résultat, démontré d'une manière analogue à celle utilisée pour les effets de N(x), M(x), ou V(x).

Sous sa forme intégrée, on obtient, pour l'énergie de déformation de la structure:

∫= structure

tTorsiondéf dx

2GK)²(M

W

où GK représente le module de rigidité en torsion, K représente la rigidité en torsion, encore appelée constante de Leduc. On en déduit la forme générale du POTENTIEL TOTAL de la structure, dans le cas d'une structure plane, chargée dans son plan:

dx2GK

²M2EIM²

2GS'V²

2ESN²WW

structure

tdéf ∫ ⎟

⎞⎜⎝

⎛+++==

REMARQUES : 1. - Afin de simplifier l'écriture précédente, la dépendance vis-à-vis de x dans les termes N(x),

V(x), M(x) n'apparaît pas explicitement; elle est toutefois toujours sous-entendue pour les calculs.

2. - Lorsqu'il n'y a pas de phénomène de torsion, l’énergie de déformation se réduit à trois termes:

Page 11

Page 104: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Méthodes énergétiques TS 2

dx2EIM²

2GS'V²

2ESN²W

structure∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

3. - A l'intérieur de l'intégrale, le terme dx représente l'élément différentiel de longueur, pris sur la ligne moyenne de l'élément de structure considéré, mais l'intégrale est prise sur l'ensemble de la structure.

2GS'V²4. - Dans la plupart des calculs, il s'avère que la contribution apportée par le terme est

faible, pour la flexion elle est de l'ordre de quelques % par rapport à la contribution

apportée par le terme 2EIM² .Dans la plupart des cas, on négligera donc l'effet du terme

2GS'V² : on dit, dans ce cas, que l'on néglige l'effet de l'effort tranchant.

c - Exemples d'application : utilisation directe du théorème fondamental.

⇒ Voir T.D.

d - Limites de d'utilisation directe du théorème fondamental.

Le calcul précédent nous a permis de calculer la flèche en B parce que l'effort P appliqué était vertical, donc dans le sens du déplacement cherché.

Considérons maintenant la structure suivante:

On pourrait, ici encore, calculer directement le déplacement horizontal en B, car l'effort extérieur est, d'une part appliqué lui-même en B, d'autre part cet effort est horizontal (penser à la signification mathématique du travail sous la forme d'un produit scalaire).

Mais si l'on s'intéresse à la rotation du nœud B (le terme déplacement est à prendre ici dans sa forme générale, translation ou rotation), il est impossible de la calculer en employant la méthode directe.

Page 12

Page 105: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Méthodes énergétiques TS 2

On trouve là, donc, une première justification de l'intérêt de fabriquer une méthode plus générale, à partir d'idées analogues à celles qui ont conduit notre raisonnement jusqu'ici.

En outre, l'application directe du théorème fondamental suppose que l'on peut accéder

au calcul de N(x), V(x), M(x). Or N(x), V(x), M(x) se calculent à partir des équations d'équilibre de la structure, déterminées par la statique.

Dans le cas de structures hyperstatiques, le théorème fondamental ne peut pas

s'appliquer, il faudra donc avoir recours à une méthode plus générale.

Enfin la méthode directe suppose l'existence d'un effort concentré au point et dans le sens où l'on recherche le déplacement, là encore elle ne permet pas de déterminer le déplacement en un point d'une poutre soumise à une densité de charge. Considérons par exemple la poutre suivante :

Si l’on s’intéresse au déplacement vertical en B, il n’y a pas ici d’effort concentré

appliqué en B, tel que l’on puisse écrire le travail des efforts extérieurs sous la forme BF.Y21 .

Là encore il faudra avoir recours à une méthode plus générale. La construction de cette méthode générale va faire l’objet de la suite du cours. Le point de départ est l’expression du potentiel de la structure, et c’est à partir de lui seul, exprimé de plusieurs manières que l’on va fabriquer les théorèmes énergétiques généraux.

4°/ Théorèmes énergétiques

Le potentiel sera maintenant exprimé: - tantôt en fonction des efforts extérieurs, - tantôt en termes d'énergie de déformation.

On en déduira: - le théorème de Castigliano (théorème intermédiaire: Théorème de Maxwell-Betti), - le théorème de Menabrea (dans le seul cas des structures hyperstatiques).

Pour les applications, deux méthodes de calculs peuvent être utilisées: - la méthode analytique (calcul de l'intégrale, analytiquement), - la méthode géométrique (théorème de Verechtchaguine).

Page 13

Page 106: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Méthodes énergétiques TS 2

a - Notations utilisées pour les démonstrations.

Considérons la structure suivante, (S) :

où i et j sont des indices muets. On appelle:

: la valeur algébrique du déplacement dans le sens de FΔi i, dû à l'ensemble des efforts extérieurs appliqués à la structure. Δii : la valeur algébrique du déplacement dans le sens de F , dû à F ; i i

on pose Δii = Fi δii. δii : la valeur algébrique du déplacement dans le sens de F , dû à F = 1 (déplacement unitaire). i i

Δij : la valeur algébrique du déplacement dans le sens de F , dû à F ; i j

on pose Δij = Fj δij. δij : la valeur algébrique du déplacement dans le sens de F , dû à à Fi j= 1 (déplacement unitaire)

, dû à FΔji : la valeur algébrique du déplacement dans le sens de F ; j i

on pose Δji = F δi ji

, dû à Fδji : la valeur algébrique du déplacement dans le sens de F = 1 (déplacement unitaire). j i

b - Expression du potentiel, en tant que fonction des variables efforts extérieurs

Par analogie avec l'expression utilisée lors de l'étude du paragraphe précédent, et par généralisation, on obtient pour le potentiel exprimé comme fonction des variables efforts extérieurs:

∑=

=n

1iiiΔF

21W

Si n efforts extérieurs F sont appliqués à la structure. i On a d'autre part:

∑=

=n

1jijji δFΔ

Page 14

Page 107: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Méthodes énergétiques TS 2

On reporte l'expression de Δ dans l'écriture de W : i

∑∑= =

=n

1iijj

n

1ji δFF

21W

où i, j sont des indices muets (jouant le même rôle) servant à numéroter l'effort extérieur appliqué : il y a ici n efforts extérieurs désignés par F ou F . i j REMARQUES : - W apparaît comme une forme quadratique des variables d'efforts

extérieurs. - Les coefficients δij sont parfois appelés coefficients d'influence, on démontrera par la suite leur symétrie: δij = δji (MaxwelI-Betti).

C'est en travaillant sur les deux expressions ci-dessous du potentiel, que l'on va mettre

en place les théorèmes énergétiques:

(1) ∑∑= =

=n

1iijj

n

1ji δFF

21W

(2) dx2EIM²

2GS'T²

2ESN²W

structure∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

(cas d'une structure plane chargée dans son plan, il n'y a pas de torsion).

Méthode utilisée pour la mise en place des théorèmes:

Les égalités (1) et (2) ne sont que deux écritures différentes de la même quantité W, potentiel de la structure. l'égalité (1) → va être reliée au déplacement que l'on cherche, l'égalité (2) → donnera la valeur de ce déplacement en fonction des efforts extérieurs appliqués à la structure. REMARQUE: De ce fait, il sera maintenant possible de calculer des déplacements en chaque point de la structure, indépendamment de l'existence ou non d'efforts extérieurs en ces points.

Page 15

Page 108: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Méthodes énergétiques TS 2

c - Recherche du déplacement en un point d'une structure: théorème de Maxwell-Betti et théorème de CASTIGLIANO.

Théorème de réciprocité de Maxwell-Betti.

Ce théorème, relatif à la symétrie des termes δij est nécessaire à la démonstration du théorème.

Ce théorème concerne la symétrie du produit Fi Δij vis-à-vis des indices: Le déplacement d'un point j de la structure appartenant au support de Fi, lorsqu’est

appliqué en i l'effort F est égal au déplacement du point i appartenant au support de Fi i; lorsqu’est appliqué en j l'effort F . j

Les deux points sont supposés être à la même température Fi . Δij = F . Δj ji

Démonstration:

Considérons une structure de configuration initiale (S1) lorsqu'elle n'est pas chargée, son énergie de déformation est W - On charge cette structure de deux manières: 1

cas (α): on applique d'abord F → configuration intermédiaire (Si 2)

→ configuration finale (S ) puis on applique Fj 3

→ configuration intermédiaire (S’cas (β): on applique d'abord F ) j 2

puis on applique F → configuration finale (S ) i 3

Les deux trajets de chargement (α) et (β) sont différents, mais conduisent au même état final : on suppose en effet vérifiées les conditions d'application du principe de superposition : petits déplacements, petites déformations.

On a donc, pour l'état final, noté (S ) même valeur de l'énergie de déformation W . 3 3

Cas de chargement (α) :

L'application de l'effort Fi, de manière progressive : le déplacement induit au point i est noté Δii, le point j s'est déplacé de Δji. La structure se déplace de S1 en S . 2

iiiΔF21 - W = Valeur du travail effectué : W2 1

, on applique progressivement en j l'effort F , l'effort FA partir de l'état S2 j i étant déjà appliqué à la structure. La structure se déplace de S en S . 2 3

et SLa valeur du travail effectué entre S2 3 est égale à :

Page 16

Page 109: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Méthodes énergétiques TS 2

ijijjj ΔFF21

+Δ W - W = 3 2

L'énergie de déformation globale est égale à :

ijijjj ΔFF21

+ΔiiiΔF21 W – W = +3 1

Cas de chargement (β) :

Application de l'effort F , de manière progressive : le déplacement induit en j est noté Δj jj, le point i s'est déplacé de Δij. La structure se déplace de S1 en S’ . 2

jjjΔF21 Valeur du travail effectué : W’ - W = 2 1

A partir de l'état S’ , on applique progressivement en i l'effort F , l'effort F2 i j étant déjà appliqué à la structure. La structure se déplace de S’2 en S . 3 La valeur du travail effectué entre S’ et S2 3 est égale à :

jijiii ΔFF21

+Δ W - W’ = 3 2

L'énergie de déformation globale est égale à :

jijiii ΔFF21

+ΔjjjΔF21 W – W = + 3 1

Page 17

Page 110: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Méthodes énergétiques TS 2

S3 représente le même état final que celui auquel on arrive par le trajet de chargement (α). On part du même état initial S1. Les énergies de déformation sont donc identiques, que l'on suive le trajet (α), ou (β) :

jijiii ΔFF21

+Δijijjj ΔFF21

+Δ jjjΔF21

iiiΔF21 + = +

D'où = ijiΔF jijΔF REMARQUES: 1. Si F et F sont unitaires, cela signifie F = 1 et F = 1, i j i j

= ijΔ jiΔ

ijδ jiδ = (symétrie des coefficients) ou encore 2. Seules interviennent ici les composantes des déplacements qui sont dans le sens de

l'effort F , ou F : cela est dû au fait que le travail s'écrit sous la forme d'un produit scalaire. i j Enoncé du théorème de CASTIGLIANO.

Théorème: Le déplacement algébrique du point d'application d'une force sur son support est égal à la dérivée du potentiel par rapport à cet effort.

i

i FWΔ∂∂

=

REMARQUE : F est pris au sens large de la définition d'un effort (force ou couple). i

Il en résulte que Δi constitue un déplacement au sens large (translation ou rotation).

Démonstration du théorème: L'expression du potentiel en fonction des variables efforts extérieurs est donnée par:

∑∑= =

=n

1iijj

n

1ji δFF

21W

Page 18

Page 111: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Méthodes énergétiques TS 2

on a d'autre part et ∑=

=n

1jijji δFΔ ijδ jiδ =

i

n

1jijj

i

ΔδFFW

==∂∂ ∑

=

Calcul de

REMARQUE: pour la démonstration du théorème de CASTIGLIANO, on constate que le théorème de Maxwell-Betti est fondamental. C'est en effet lui qui permet d'effectuer le regroupement, après dérivation, de tous les termes δij et δji égaux, donc de faire disparaître le

coefficient 21 qui intervient dans W.

Exemples d'application: ⇒ voir T.D.

d - Cas où il n y a pas d'effort extérieur appliqué au point et dans le sens où l'on cherche le déplacement: théorème de la charge fictive

Méthode utilisée: charge fictive.

Le théorème de Castigliano permet de calculer le déplacement Δi dans le sens et au point où est appliqué un effort F , par la relation: i

ii F

WΔ∂∂

=

Si, à l'endroit où l'on désire calculer un déplacement, il n'y a pas d'effort appliqué, on fera

intervenir un effort fictif X, au point et dans le sens du déplacement Δ cherché. L'expression de Δ sera donnée par la relation obtenue en appliquant sur X le théorème de Castigliano :

( )

0XXXP,WΔ

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=

où W(P, X) représente l'énergie de déformation de la structure, calculée en fonction de :

P → désignant globalement l'ensemble des efforts extérieurs appliqués à la structure, X → effort fictif.

Page 19

Page 112: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Méthodes énergétiques TS 2

REMARQUE : X est un effort fictif, qui donc n'existe pas dans la structure réelle: c'est pour

cette raison qu'après avoir calculé XW∂∂ on prend la valeur de cette expression pour X = O.

X ne fait que servir d'intermédiaire, afin de permettre le calcul de Δ par application du théorème de Castigliano. Exemples d'application: ⇒ voir T.D.

e - Généralisation du théorème de Castigliano : théorème de la charge unité, ou théorème de MULLER-BRESLAU

Enoncé du théorème : Le travail d'un effort unitaire appliqué à une structure chargée est égal au travail des

efforts internes qu’il développe dans cette structure, dans les déformations élastiques dues aux charges extérieures.

∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++=

structureiii

i GS'VV

ESNN

EIMMΔ

(cas d'une structure plane chargée dans son plan)

Démonstration :

ii F

WΔ∂∂

= (Castigliano) on a:

( )( )

∫= structuredx

2EI²xMW

REMARQUE : La démonstration est faite sur le seul terme de moment fléchissant, ceci dans le but de simplifier les écritures. Elle est, bien évidemment vraie sur l'ensemble des termes que comporte l'énergie de déformation.

∫ ∂∂

=∂∂

structureii

dxFM

EIM

FW

Page 20

Page 113: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Méthodes énergétiques TS 2

où M représente le moment fléchissant en un point courant de la structure. II faudrait écrire M(x).

F représente un effort concentré appliqué en i. i

iF représente un effort concentré unitaire appliqué en i dans le même sens que F . i

M est toujours linéaire par rapport à un effort concentré : c'est le produit de cet effort par la distance au point en lequel on le calcule (en expression formelle). On peut donc écrire:

iFM∂∂

iM= «distance» = M ( F = l ) = i

iM iF le moment dû à F = 1 (ou )appliqué en i. on note en effet i

iFW∂∂

iFM∂∂ dans l'expression de Si l'on reporte la valeur de ; on obtient :

∫=∂∂

=structure

i

i

dxEIMM

FWΔ

Rappel: signification de Δ : c'est le déplacement dans le sens de Fi i dû à l'ensemble des forces appliquées à la structure.

∫structure

i dxESNN

∫structure

i dxGS'

VV∫structure

i dxEIMM , REMARQUE : Les intégrales du type , , sont

appelées intégrales de MOHR Exemples d'application : ⇒ voir T.D.

Page 21

Page 114: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Méthodes énergétiques TS 2

II - APPLICATION A LA RESOLUTION DE SYSTEMES HYPERSTATIQUES.

1°/ Introduction. Deux méthodes sont très utilisées pour le calcul des structures hyperstatiques, l’une pour laquelle le point de départ est la notion d’effort, l’autre qui prend comme point de départ les déplacements. Ces deux méthodes, différentes mais aboutissant aux mêmes résultats sont : - la méthode des forces, - la méthode des déplacements. Nous allons, en ce qui nous concerne, étudier la méthode des forces.

2°/ Méthodes des forces.

a - Cas d’une structure hyperstatique de degré 1.

Considérons une poutre de longueur l, de rigidité en flexion EI = constante, encastrée en A, sur appui simple en B et soumise à une charge uniformément répartie p. Soit (S) cette structure :

Cette structure est hyperstatique de degré 1. Choisissons pour inconnue hyperstatique l’action de liaison en B notée X . 1

La structure (S’) est la structure isostatique associée à (S).

(S’) sera identique à (S) si l’inconnue hyperstatique X1 est telle que le déplacement vertical du point B sous l’effet de p et de X1 est nul (la liaison l’empêche). Soit Δ = 0 1

Page 22

Page 115: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Méthodes énergétiques TS 2

En utilisant le principe de superposition, on peut écrire que (S’) est la superposition de 2 systèmes :

(S’) = (S0) + (S1) (S0) : structure soumise au seul chargement extérieur (ici p), (S1) : structure soumise à l’inconnue hyperstatique X . 1 (S’) est identique à (S) si on rajoute la condition sur le déplacement Δ , Δ = 0 1 1

On a donc ⎩⎨⎧

=+=

0Δet)(S)(S(S)

1

10

Traduction au niveau des déplacements :

= Δ Δ1 10 + Δ11 = 0 Δ10 : déplacement dans le sens de X1 dû aux charges extérieures (structure S ) 0 Δ11 : déplacement dans le sens de X1 dû à X (structure S1 1). Δ11 = δ11 × X1 = X1 ×

Δ10

p

Δ11 δ11

1 X 1

On peut donc écrire : Δ10 + δ11 × X = 0 1

11

101 δ

ΔX −=⇔

Page 23

Page 116: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Méthodes énergétiques TS 2

Calcul de Δ10 et de δ11 : Pour cela, on applique le théorème de la charge unité :

∫= structure

1010 dx

EI(x)M(x)M

Δ

et ∫=δstructure

1111 dx

EI(x)M(x)M

: moment fléchissant dû au chargement extérieur (ici p), (x)M0

(x)M1 : moment fléchissant dû à X = 1. 1

b - Structures hyperstatiques de degré supérieur à 1.

Le principe reste identique à ce que nous venons de voir. Considérons une structure hyperstatique de degré 2 :

Le nombre d’inconnues hyperstatiques étant égal au degré d'hyperstaticité. Lorsqu’on rend la structure isostatique, on fait apparaître 2 inconnues hyperstatiques X et X1 2, ainsi que deux conditions sur les déplacements en B et C :

Page 24

Page 117: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Méthodes énergétiques TS 2

En appliquant le principe de superposition, on peut écrire :

(S) = (S ) + (S0 1) + (S2) La traduction de ce principe au niveau des déplacements donne : Δ = Δ1 10 + Δ11 + Δ12 = 0

= Δ Δ2 20 + Δ21 + Δ12 = 0 Ce système s’écrit encore :

⎩⎨⎧

−=+−=+

20222211

10122111

ΔδXδXΔδXδX

On a un système de deux équations à deux inconnues que l’on peut résoudre. REMARQUE :

1.-Théorème de Maxwell-Betti, on a δ21 = δ12 2.-Les inconnues hyperstatiques X peuvent être un effort ou un couple. i

3°/ Théorème de Ménabréa. Ce théorème est une application de théorème de Castigliano au calcul des actions hyperstatiques.

ii F

WΔ∂∂

=Le théorème de Castigliano permet d’écrire :

où W est l’énergie exprimé en fonction de toutes les variables et Δi le déplacement dans le sens de l’effort F . i Si en remplace l’effort F par l’inconnue hyperstatique X , le déplacement Δi i i dans la structure réelle étant nul, on obtient :

Théorème de Ménabréa : 0XW

i

=∂∂

Page 25

Page 118: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Poutres continues – Théorème des trois moments TS 2

Poutres continues Théorème des trois moments

1 - Définitions et notations.

1.1 – Définitions. 1.2 – Notations.

2 - Poutre isostatique associée. 3 – Théorème des trois moments. 4 – Expression des sollicitations et actions de liaison. 5 - Formulaire des rotations usuelles.

Page 1 / 8

Page 119: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Poutres continues – Théorème des trois moments TS 2

1 - Définitions et notations. 1.1 – Définitions.

Une poutre continue est une poutre droite horizontale, reposant sur plus de deux appuis simples, sans encastrement.

La poutre est soumise à des charges verticales et les actions de liaisons sont verticales.

Soit par exemple la poutre continue suivante :

On remarque que les appuis sont constitués d’une articulation et de n appuis simples. 1.2 – Notations.

Les appuis sont numérotés de 0 à n : A0, …, Ai, …, An

Les travées sont numérotées de 1 à n. On note i la travée située entre les appuis Ai-1 et Ai. On note Li la portée ou longueur de la travée i.

A0

L1 L2 Li Ln

A1 A2

Ai-1 Ai An-1 An

Il y a (n+1) réactions d’appui et on peut écrire 2 équations de la statique, donc le degré d’hyperstaticité est égal à (n-1).

Page 2 / 8

Page 120: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Poutres continues – Théorème des trois moments TS 2

2 - Poutre isostatique associée.

Une poutre continue comportant n travées peut être décomposée en n poutres isostatiques sur lesquelles s’appliquent les mêmes charges que sur la poutre continue avec en plus les moments aux appuis.

En fait, cela consiste à prendre comme inconnues hyperstatiques les (n-1) moments fléchissants sur appuis M1, …, Mi-1, Mi, Mi+1, …, Mn-1 qui s’exercent au droit des appuis A1, …, A i-1, A i, A i+1, …, A n-1 et que l’on fait apparaître en représentant la structure isostatique associée à la poutre continue.

Les valeurs de M0 et Mn sont nulles puisque A0 et An sont des appuis simples et qu’il n’y a pas de couple extérieur appliqué en ces points.

Par exemple, la poutre continue à trois travées suivante peut être décomposée en trois travées isostatiques :

A0 A1 A2 A3

p2

L1 L2 L3

p1 p3

A3L3

p3

A2

M2

A1 A2

p2

L2

M2M1

A0L1

p1

A1

M1

= + +

M0 et M3 = 0

Page 3 / 8

Page 121: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Poutres continues – Théorème des trois moments TS 2

De façon plus générale, considérons à présent la travée i d’une poutre continue et ses deux travées adjacentes, i-1 et i+1 :

Ai-2 Ai-1 Ai Ai+1

pi

Li-1 Li Li+1

pi-1 pi+1

Ai-1 Ai

pi

LiAi+1

Li+1

pi+1

AiAi-2Li-1

pi-1

Ai-1

Mi Mi Mi+1Mi-1Mi-1Mi-2

= + + On appelle :

Mi désigne le moment sur l’appui Ai (Mi < 0) Mi-1 désigne le moment sur l’appui Ai-1 (Mi-1 < 0) Mi(x) désigne le moment fléchissant dans la travée i de la poutre continue Moi(x) désigne le moment fléchissant dans la travée i isostatique associée et chargée seulement par pi(x) sans les moments sur appuis Mi et Mi-1

θi’’ désigne la rotation à droite de la travée i, donc à gauche de l’appui Ai

θi’ désigne la rotation à gauche de la travée i, donc à droite de l’appui Ai-1

θ0i’’ désigne la rotation à droite de la travée i, dans la travée i isostatique associée θ0i’ désigne la rotation à droite de la travée i, dans la travée i isostatique associée E Le module d’Young du matériau constitutif de la poutre I Le moment quadratique de la poutre suivant l’axe de flexion concerné Li La portée de la travée i

Pour que nos poutres isostatiques associées se comportent comme la poutre

continue d’origine il faut écrire l’égalité des rotations sur les appuis :

Rotation à gauche de l’appui = Rotation à droite de l’appui Soit pour l’appui Ai : θi’’ = θi+1’

Page 4 / 8

Page 122: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Poutres continues – Théorème des trois moments TS 2

3 – Théorème des trois moments.

Ai-1 Ai

pi

Li

MiMi-1 Intéressons nous à la travée i :

Ai-1 Aiθi’ θi’’ Calculons pour cette travée les rotations θi’ et θi’’ en appliquant le principe de superposition :

Effet de Mi :

Chargement Diagramme du moment Equation du moment

M(x) = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

ii L

xM-

Rotation θi’ à droite de Ai-1

Mi

M(x)

Théorème de la charge unitaire :

θi’ = ∫EI1 × dx

θi’ = - iiML6EI

1

Rotation θi’’ à gauche de Ai

Théorème de la charge unitaire :

θi’ = ∫EI1 × dx

θi’ = iiML3EI

1

Effet de Mi-1 :

Chargement Diagramme du moment Equation du moment

M(x) = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

i1i L

x1M

Rotation θi’ à droite de Ai-1

Théorème de la charge unitaire :

θi’ = ∫EI1 × dx

θi’ = -1iiML3EI

1

A Aii-1 x Li

Mi

Li

1 - Mi

1 - Mi

Ai-1 AiLi

Mi-1 M(x)

Mi-1

Lix

1 Mi-1

Page 5 / 8

Page 123: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Poutres continues – Théorème des trois moments TS 2

Rotation θi’’ à gauche de Ai

Théorème de la charge unitaire :

θi’ = ∫EI1 × dx

θi’ = - -1iiML6EI

1

Mi-1 1

Effet de M0i :

Chargement Diagramme du moment Equation du moment

M(x) = M0i(x)

piM(x)

x Li

Ai-1 AiLi

Rotation θi’ θ0i’ à droite de Ai-1

Rotation θi’’ θ0i’’ à gauche de Ai

Rotation θi’ à droite de Ai-1 par superposition :

'θML3EI

1ML6EI

1'θ 0i1iiiii ++−= −

Rotation θi’’ à gauche de Ai par superposition :

''θML3EI

1ML6EI

1''θ 0iii1-iii ++−=

Egalité des rotations : θi’’ = θi+1’

⇔ 'θML3EI

1ML6EI

1''θML3EI

1ML6EI

110ii1i

1i1i1i

1i0iii

i1-ii

i++

+++

+

++−=++−

''θ-'θ6EI

LMIL

IL

3EM

6EILM

0i10i1i

1i1i

1i

1i

i

ii

i

i1-i+

+

++

+

+ =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⇔

Equation des 3 moments pour E = Cte et I différent selon les travées.

Page 6 / 8

Page 124: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Poutres continues – Théorème des trois moments TS 2

Dans le cas où on a toujours E = Cte mais aussi I = Cte, l’équation des trois

moments se simplifie :

( ) ( )''θ-'θ6EILMLL2MLM 0i10i1i1i1iiii1-i ++++ =+++⇔

4 – Expression des sollicitations et actions de liaison.

Les sollicitations dans la travée hyperstatique sont déterminées par superposition des sollicitations dues au chargement extérieur et celles dues aux moments sur appuis.

Soit, pour le moment fléchissant, on peut écrire :

ii

i1ii0i L

xMLx1M(x)M(x)M +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= −

De même pour l’effort tranchant :

i

i

i

1ii0i L

ML

M(x)V(x)V −+= −

On déduit les actions de liaisons des valeurs de l’effort tranchant à droite et à

gauche de l’appui Ai :

( ) ( )0VLVY 1iiiA i +−=

Page 7 / 8

Page 125: Livre RDM Extra 2

Mécanique des structures Poutres continues – Théorème des trois moments TS 2

5 - Formulaire des rotations usuelles. Cas de poutre sur deux appuis simple de rigidité E.I = Cte

Cas de charge

θi’ à droite de Ai-1

θi’’ à gauche de Ai

16EIPL²

− 16EIPL²

P

Ai-1 Ai

6EILb)Pab(L+

− 6EIL

a)Pab(L +

24EIpL3

− 24EIpL3

24EILa)²pa²(2L −

− 24EIL

a²)pa²(2L² −

Ai-1 Ai

p

L

Ai-1 Ai

P

b a

L

L/2 L/2

L

Ai-1 Ai

p

b a

L

Page 8 / 8